高数竞赛(1)
河南科技大学第五届高数竞赛试卷一参考答案及评分标准
河南科技大学第五届高数竞赛试题(一)参考答案填空题（每空5分，共计100分）具体解答过程见下页：1.设()()2tan,2f x x fg x x==-⎡⎤⎣⎦，且()4g xπ≤.则()g x的定义域为 .解：()2tan 2f g x x x ==-⎡⎤⎣⎦，()()2arctan 2g x x =- 因为()4g x π≤，所以2121x -≤-≤，11x x ≤≤-≤≤，或2．求()()22211131limarctan !22311n n n n nn →∞+⨯-++⨯-⨯-⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= .解：()()22lim arctan !limarctan !002n n n n π→∞→∞⨯⎡⎤⎛⎡⎤=⨯=⨯=⎢⎥⎣⎦⎝⎣⎦（或者看成无穷小与有界量的乘积） ()221113122311lim 311111lim 112231n n n n nn n n →∞→∞+++⨯-⨯-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13lim 13n n →∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 所以()()22211131limarctan !223113n n n n nn →∞+⨯-++⨯-⨯-⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3．设()3sin 2lim0x x xf x x→+=，则()22limx f x x→+= .解：（法一）用泰勒公式。
题设相当于()()3sin 2x xf x o x +=，将()334sin 223x x x o x=-+代入，得()()33423x xxfx o x -+=，从而()()22423fx x o x+=+ 于是()224lim3x f x x→+=（法二）由()3sin 2lim0x x xf x x→+=，根据极限与无穷小的关系知：()()()()3sin 2,lim 0x x xf x x x xαα→+==其中，故()()2sin 2x fx x x xα=-()()()2222sin 2sin 2222limlimlim limx x x x x x x x fx xx x xxxαα→→→→+--+==+3222sin 222cos 21cos 22sin 240limlim2lim2lim3363x x x x x xxxx xxxx→→→→---=+====注：解此题最容易犯的错误，是不考虑()f x 是否满足条件而使用洛比达法则，结果花费了不少时间还未必得到正确的结论；当然用下面方法解题也是错误的()()()322sin 2sin 220limlimlimx x x xfx x xfx fx xxxx→→→+++===，这里用2代替sin 2x x是错误的！4．求()()10102tan 2sin limsin x x x x→+--= .解：()()10102tan 2sin limsin x x x x →+--=()()1010101002tan 22sin 2lim sin x x x x→⎡⎤⎡⎤+----⎣⎦⎣⎦ ()()101010102tan 22sin 2limlimsin sin x x x x xx→→+---=+-()()()()101010101010222tan 22sin 2limlimtan sin x x x x x x xxxx==→→+---''=+=+-999102210102102102x x x x===+=⨯⨯=⨯5．曲线221xy x=+的拐点为 .解：()22222121,111xxy y xxx'==-=+++()()2232214211xy x x ⎡⎤⎢⎥''=-⎢⎥++⎣⎦，令0y ''=得拐点的横坐标x =±，故拐点为14⎛⎫± ⎪⎝⎭（严格来说，需要分别判断）6．函数()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为 .解：()12sin f x x '=-，令()0f x '=解得唯一驻点6x π=（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时），比较()02,6622f f f ππππ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小易知 函数()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6π+7．求()223x x dx +=⎰ . 解：()223xxdx +=⎰()46942692ln 4ln 6ln 9xxxxxxdx C +⨯+=+⨯++⎰8．求211ln11x dx xx+=--⎰.解：因为()()21112ln ln 1ln 11111x x x x x x x '+⎡⎤'=+--=+=⎡⎤⎣⎦⎢⎥-+--⎣⎦，所以 2221112111111ln ln ln ln ln 1121121141x x x x x dx dx d C x x x x x x x +++++⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 9．求()2211xxedx e+=+⎰ .解：()()222222112211121111xxxxxxxxx eeeedx dx dx dx d e eee e +⎛⎫++==+=+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()2arctan xx e C =++10．设()f x 连续，则()21d fx t dt dx+=⎰.解：令x t u +=，则,1,1;2,2dt du t u x t u x ===+==+()()()()221121xxd d fx t dtf u du f x f x dxdx+++==+-+⎰⎰11．求2π=⎰ .解：令,;0,;,0222x t dx dt x t x t πππ=-=-====则22220tan tan 1cot 2t dtx dxt ππππ====+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰所以22220000tan 11224x dx dx πππππ⎡⎤⎢=+==⎢⎣⎰⎰⎰⎰ 12．由曲线1,2y x x x=+=及2y =所围图形的面积S = .解：所围图形的面积为[]22121112ln 22ln 24ln 12ln 21222x A x dx x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+-=+-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰13．以向量2a m n =+ 和3b m n =-为边的三角形的面积为 ，其中5,3,,6m n m n π∧⎛⎫=== ⎪⎝⎭ .解：设三角形面积为A ，则12A a b =⨯，a b ⨯ =()()235m n m n n m +⨯-=⨯115755sin ,2224A a b n m n m m n ∧⎛⎫=⨯=⨯==⎪⎝⎭14．设()()1,,z fxy y x y f xϕϕ=++具有二阶连续导数，则2z x y∂=∂∂ .解：()()()21z y fxy f xy y x y xxxϕ∂''=-+++∂()()()()()2211z y f xy x f xy f xy x x y y x y x yxxxϕϕ∂'''''''=-++++++∂∂()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''=++++15．函数()(),,cos f x y z xyz =在点11,,33π⎛⎫⎪⎝⎭处函数值增加最快的方向为 .解：因为函数值增加最快的方向即为梯度的方向，()()()()()(),,sin ,,,sin ,,,sin x y z f x y z yz xyz f x y z xz xyz f x y z xy xyz '''=-=-=-因为()11111,,sin ,,,sin ,,,sin 3933393399x y z f x y z f f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以11,,33gradf π⎛⎫=⎪⎝⎭1sin ,,9339πππ⎛⎫⎧⎫---⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭答案应填为1sin ,,9339πππ⎛⎫⎧⎫---⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭或者()1,,,,0339k k k ππ⎧⎫---∈≠⎨⎬⎩⎭16．求2411limsin22n nn i j j i nnππ→∞===∑∑.解：（法一）由二重积分定义及函数2sin x y 在区域01,02x y π≤≤≤≤上连续性可知2224111101021limsinlimsin sin 2222n nnnn n i j i j x y j i j ix ydxdy nnn n n n πππππ→∞→∞====≤≤≤≤⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑⎰⎰12201sin 3x dx ydx π==⎰⎰（法二）由定积分定义及函数2x 和sin y 分别在区间01,x ≤≤和02y π≤≤上连续性可知212224111111limsin lim lim sin sin 22223nnnnn n n i j i j j i j i x dx ydx nn n n n n πππππ→∞→∞→∞====⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑⎰⎰17．求()5!lim2nnn n n →∞= .解：先考虑()15!2nnn n n ∞=∑的敛散性：应用正项级数的比值判别法有()()()()()()111151!2151!25515lim lim lim lim 115!5!21222212n nn n n n n n nn n n n nn n n n n n n n e n n n ++++→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+⎡⎤ ⎪+⎛⎫⎣⎦====< ⎪⎪+⎝⎭+ ⎪+⎝⎭所以()15!2nnn n n ∞=∑收敛，于是的()5!lim02nnn n n →∞=18．1xd e dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭幂级数表达式为 .解：因为11,!nxn xe x n ∞=-=-∞<<+∞∑，111!xn n e xxn -∞=-=∑，()()21121222111!!!!n x n n n n n n n n x n d e d x d xxdx x dx n dxn n n ---∞∞∞∞-====--⎛⎫⎛⎫-====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑注：在应用逐项求导时不会出现x 的负幂次方。
数学竞赛高数试题及答案
数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。
试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。
试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。
试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。
试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。
对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。
高等数学五邑大学高数竞赛试卷
命题人： 试卷分类（A 卷或B 卷） A五邑大学高等数学竞赛（第一组） 试 卷专业：班级：姓名： 学号：一、选择题（40分）1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在.2. 设()f x 在x=a 的某个邻域内有定义，则()f x 在x=a 处可导的一个充分条件是 （ ）（A ）1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在 （B ）0limh →f(a+2h)-f(a+h)存在h（C ）0limh →f(a+h)-f(a-h)存在2h （D ）0lim h →f(a)-f(a-h)存在h3. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则22limb b ξ→= （ ）(A) 1 (B) 12 (C) 13 (D) 14. 4. 若21(),(0)f x x x'=> ，且(1)2f =，则()f x = （ ） (A) 2x (B)1ln 22x + (C) (D) 5. 设222:D x y a +≤，则DI xydxdy ==⎰⎰ （ ）(A) 0 (B) 42a (C) 4a(D) 4a π6. 若()f x 的二阶导数存在，且()0,(0)0f x f ''> =，则()()0f x F x x x=<<+∞在上（ ） (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有极小值 (D) 有极大值7. 设L 是曲线2y x =与直线y x =所围成区域的整个边界曲线，(,)f x y 是连续函数，则曲线积分(,)Lf x y ds =⎰（ ）(A) 11200(,)(,)f x x dx f x x dx +⎰⎰(B) 11200(,)(,f x x dx f x x +⎰⎰(C) 11200(,(,f x x f x x +⎰⎰(D)121[(,(,f x x f x x dx -⎰8.设直线L ：⎩⎨⎧-=---=++3102123z y x z y x ，平面π：224=+-z y x ，则它们的位置关系是 （ ）.（A ）π//L （B ）L 在π上 （C ）π⊥L （D ）L 与π斜交9. 设函数()()f x g x 与在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，则对任何(0,1)c ∈，有 （ ）(A) 1122()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰(B)1122()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰(C) 11()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰ (D)11()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰10. 设()f x 为不恒等于零的奇函数，且(0)f '存在，则函数()()f x g x x=（ ） (A) 在0x =处左极限不存在 （B ）有跳跃间断点0x =(C) 在0x =处右极限不存在 （D ）有可去间断点0x =二、(10分）已知数列120,n n n n U U U U -->=+且，如果数列1nn n U X U +=，且lim n n X A →∞=存在，求A三、（10分）设)(1lim)(2212N n xbxax x x f nn n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.四、（10分）设()f x 连续且201(2)arctan 2xtf x t dt x -=⎰，已知(1)1f =，求21()f x dx ⎰五、（10分）设2,A a b B ka b =+=+，其中1,2,a b a b ==⊥且，问：（1）k 为何值时，A B ⊥；（2）k 为何值时，以A B 和为邻边的平行四边形面积为6。
高数竞赛试题及答案
高数竞赛试题及答案在高等数学领域中，竞赛试题的编写与解答一直是学生们提高自己数学水平的重要方式之一。
本文将提供一些高等数学竞赛试题，并附上详细的解答过程，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
1. 竞赛试题一考虑函数f(x) = |x^2 - 4x + 3|，其中x为实数。
(1)求函数f(x)的定义域。
(2)求函数f(x)的最大值和最小值。
解答过程：(1)为了求函数f(x)的定义域，我们需要确定使函数的值有意义的x 的范围。
由于函数f(x)中包含了一个绝对值，我们可以将其拆分成两种情况讨论：当x^2 - 4x + 3 ≥ 0时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3；当x^2 - 4x + 3 < 0时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
对于第一种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0。
通过因式分解或配方法，我们可以得到(x-1)(x-3) ≥ 0。
解这个不等式可以得到x ≤ 1或x ≥ 3。
对于第二种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 < 0。
同样通过因式分解或配方法，可以得到(x-1)(x-3) < 0。
解这个不等式可以得到1< x < 3。
综上所述，函数f(x)的定义域为x ≤ 1或x ≥ 3，且1 < x < 3。
(2)为了求函数f(x)的最大值和最小值，我们可以分别考虑函数f(x)在定义域的两个区间内的取值情况。
当x ≤ 1时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最小值。
代入可得最小值为f(2) = 1。
当x ≥ 3时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
同样通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最大值。
代入可得最大值为f(2) = -1。
综上所述，函数f(x)的最大值为-1，最小值为1。
2. 竞赛试题二已知函数f(x) = 2^(x+1) - 3^(x-2)，其中x为实数。
第十届高等数学竞赛理工类(一)试题答案
第十届高等数学竞赛理工类（一）试题答案南昌大学第十届高等数学竞赛(前湖校区理工类)试题答案序号：姓名：学生编号：学院（学科部）：检查室：考试号：2022年10月13日题号1，15，2，15，3，7，4，8，5，9，6，8，9，6，总分，累积分数签名：这个卷有X页，主要问题，考试时间是8:30～1130评分审阅者。
填空（每个问题3分，共15分）1。
曲面x2？2y2？3z2？21点？1.2,2? 正态方程是3nx？1岁？2z？2.1.461? 十、1.十、1.十、1.2.设n为正整数，则Lim=x？1n 3.设置向量a？？1,2,3?， B1,1,0?，如果非负实数k构成向量a？KB和a？KB垂直，然后K？(1?x)n?17.4.穿过直线x？1岁？2z？2.2.32并且垂直于平面3x？2岁？Z5.0的平面方程是x？8岁？13z？9? 0 N5。
幂级数1.N212n？3x的收敛域是？？2,2?. N2n第1页，共6页二、单项选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、设f?x??2x?3x?2，则当x?0时（b）(a)f?x?与x是等价无穷小.(b)f?x?与x是同阶但非等价无穷小.(c)f?x?是比x低阶的无穷小.(d)f?x?是比x高阶的无穷小.2、x?0是f?x??2?12?11x1x的（b）.(a)可去间断点.(b)跳跃间断点.(c)无穷间断点.(d)振荡间断点.?g(x),x?0?3、设f?xx其中g?x?在x?0的某个邻域内二阶导数存在，且g?0??0，??0,x?0g??0??0，则（c）(a)f?x?在x?0处不连续.(b)f?x?在x?0处连续但不可导.(c)f?x?在x?0处可导，但导函数在x?0处不一定连续.(d)f?x?在x?0处导函数连续.4、设线性无关的函数y1?x?，y2?x?，y3?x?均是二阶非齐次线性方程yp?x?y??q?x?y?f?x?的解，c1,c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是(d)(a)c1y1?c2y2?y3.(b)c1y1?c2y2??c1?c2?y3.(c)c1y1?c2y2??1?c1?c2?y3.(d)c1y1?c2y2+?1?c1?c2?y3.5、设a为常数，则级数?sinna1n2??（a）.n?n?1??(a)发散.(b)绝对收敛.(c)条件收敛.(d)敛散性与a的取值有关.第2页共6页评分评审员3，（满分7分）找到极限limx2？lnarctan（x？1）？lnarctanx？。
高数竞赛试题集
高等数学竞赛一、 填空题⒈ 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a = ，b = ．⒉ 设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为．⒋ 已知xx xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．⒌ 设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设1ln arctan 22+-=xxxe e e y ，则==1x dx dy．⒎若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .⒏ 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则=-⎰221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→nk n k n n122lim ． ⒑1+∞=⎰ ． 二、 单项选择题11．把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】(A)γβα,,. (B)βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.14 .22lim ln (1)n nn→∞+于 【 】（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰. （C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰15 . 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 【 】(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【 】(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.18 . 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则【 】(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.三、解答题19．求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.20．设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dxx g x f )()()()(22222．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.23曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()lim ()t S t F t →+∞.24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若2lim()01x x ax b x →∞--=+，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-2、设(),0()(0),0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，其中()f x 在0x =处可导且'(0)0f ≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的（A ） 连续点 （B ） 第一类间断点 （C ） 第二类间断点 （D ）以上都不是 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e =-+在(0,)+∞内零点的个数为 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34、若在[0,1]上有(0)(0)0,(1)(1)0f g f g a ====>，且''()0f x >，''()0g x <，则110()I f x dx=⎰，120()I g x dx =⎰，130I ax dx =⎰的大小关系为（A ） 123I I I ≥≥ （B ） 231I I I ≥≥ （C ） 321I I I ≥≥ （D ） 213I I I ≥≥5、由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为（A ）2()b aV xf x dx π=⎰ （B ） 2()b aV f x dx π=⎰（C ） 2()b aV f x dx π=⎰ （D ） ()baV f x dx π=⎰6、(1,3,4)P -关于平面320x y z +-=的对称点是 （A ） (5,1,0)- （B ）(5,1,0) （C ）(5,1,0)-- （D ）(5,1,0)-7、设D 为222x y R +≤，1D 是D 位于第一象限的部分，()f x 连续，则22()Df x y d σ+⎰⎰=（A ）128()D f x d σ⎰⎰ （B ）0 （C ）22()R R RRdx f x y dy --+⎰⎰（D ）1224()D f x y d σ+⎰⎰8、a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑ （A ） 绝对收敛（B ）发散C ） 条件收敛（D ） 收敛性与a 的取值有关二、填空题1、340tan 2lim(1)1x x x xx e →-=- 。
高数竞赛练习
高数竞赛练习试卷（一）1. 求极限1101lim21arctantt t te te t π→+-。
2. 求极限0tan(sin )sin(tan )lim tan sin t x x x x →--。
3. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0f f f '''>==，t 是曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在x 轴的截距，求0()lim()x xf t tf x →。
4. 设()f x 在[0,)+∞二阶可导，且(0)1,(0)1,()(),(0f f f x f x x '''=>>>.求证：()x f x e >。
5. 已知()234111ydx ydx y dx y dxdx y -+++=--⎰⎰⎰⎰⎰，求()x f y =的表达式。
6. 设tan 20()()x F x f tx dt=⎰，其中()f x 为连续函数，求()F x '，并讨论()F x '的连续性。
7. 计算ln(sin )x x dxπ⎰。
8. 设()f x连续可导，证明：[]10(1)(0)x dx f f π'=-⎰⎰。
9. 设非负函数()f x 在[]0,1上连续，且单调上升，[]0,1,()t y f x ∈=与直线(1)y f =及x t =围成图形的面积为1()S t ，()y f x =与直线(0)y f =及x t =围成图形的面积为2()S t .⑴ 证明：存在唯一的(0,1)t ∈,使得12()()S t S t =.⑵ t 取何值时两部分面积之和取最小值？ 10.求函数xyz ω=+()1,0,1P -处沿直线11:111x y z L --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线l 方向的方向导数。
11.已知01n <<，证明级数2211nn m a m n ∞∞==+∑∑收敛.12. 计算曲线积分[][]()cos ()sin ACBf y x y dx f y x dyππ'-+-⎰，其中ACB 为连结点(,2)A π与点(3,4)B π的线段AB 之下方的任意路线，且该路线与线段AB 所围图形的面积为1，()f x 是连续可导的函数.13. 设(),()f x g x 可微，且()()z yf xy dx xg xy dy =+. ⑴ 若存在u ，使du z =，求()()f x g x -；⑵ 若()()f x F x '=，求u ，使z du =.14. 设()f u 在[)1,+∞上有连续的二阶导数，(1)1f =-，3(1)2f '=，且函数()()222222x y z f x y z ω=++++满足：2222220x y z ωωω∂∂∂++=∂∂∂，求()f u 在[)1,+∞上的最小值。
高等数学竞赛最新试题及答案
高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。
江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)
江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准是一项重要的数学技能评估活动。
在本次竞赛中，评分标准起着至关重要的作用。
评分标准不仅决定了考试成绩的计算方式，而且也体现了竞赛评分者对学生数学水平的认知。
本文将详细介绍江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准，以便于竞赛参与者更好地了解竞赛并备战。
试题分析江苏省高等数学竞赛本科级试题旨在考察参赛学生的数学思维能力和素质。
试题难度逐级提高，分别从选择题、填空题、证明题和应用题四个方面进行测试。
选择题和填空题主要考察学生的数学基础知识和解决问题的能力，证明题则更偏重于学生的推理和论证能力。
应用题则结合实际问题进行考察，需要学生将抽象理论与实践相结合，丰富其数学思维。
评分标准江苏省高等数学竞赛本科级评分标准主要分为两个部分：试题得分和满分。
试题得分根据学生对不同难度级别试题的答案正确率进行加权。
满分则是指总分，也就是学生在所有试题中可获得的最大分数。
对于选择题，每个题目的实际得分有三种情况。
如果参赛选手回答正确，则该题得分为该题分值；如果回答错误，则得分为0；未作答则计为0分。
填空题亦是如此。
对于证明题，如果参赛选手证明正确，则该题得分为该题分值，反之则为0分。
对于应用题，情况稍有不同。
应用题的得分计算方式为：学生需要先完成所有题目，获得所有的解题思路和计算方式。
如果该题是否定回答，则该题得分为该题分值的一半；如果回答错误，再回答正确情况下得分的一半；如果回答正确，则该题得分为该题分值。
如果参赛选手未能完成所有题目，则该题记为0分。
本文介绍了江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准。
试题难度分层，主要考察参赛选手的数学思维能力和素质。
评分标准则以得分和满分为主，通过对不同难度测试题的答对记录和正确率进行加权，最终得出学生成绩。
通过本文，相信参赛学生可以对江苏省高等数学竞赛本科级有更全面的认识，并更加有效地备战竞赛。
高数竞赛题
1、设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = 0，f(b) = 1。
若存在ξ∈ (a,b) 使得 f'(ξ) = 2，则以下哪个结论必然成立？A. ∀x ∈ (a, b), f(x) ≤ 2x - aB. ∃x₁, x₂∈ (a, b), f(x₁) < f(x₂)C. ∀x ∈ (a, ξ), f(x) < (x - a)/(b - a)D. ∃x₀∈ (a, b), f(x₀) = 1/2 且 f'(x₀) = 0（答案）2、设数列 {a_n} 满足 a_1 = 1，a_{n+1} = a_n + 2/a_n，则以下关于数列 {a_n} 的说法正确的是？A. {a_n} 是递减数列B. 对任意正整数 n，有 a_n < n + 1C. 存在正整数 k，使得 a_k < k 但 a_{k+1} > k + 1D. 对任意正整数 n，有 a_n ≥√(2n + 1)（答案）3、设函数 f(x, y) = x2 + y2 - 2x - 2y + 1，则 f(x, y) 在区域 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 2} 上的最小值为？A. -1B. 0C. 1 - √2（答案）D. 2 - 2√24、设向量 a = (1, 2)，b = (2, 1)，c = (1, -2)，若 (a + λb) ⊥ c，则实数λ的值为？A. -1/2B. 1/2（答案）C. -2D. 25、设函数 f(x) = x3 - 3x2 + 2，则 f(x) 的极值点个数为？A. 0B. 1C. 2（答案）D. 36、设矩阵 A = [1 2; 3 4]，B = [2 0; 1 1]，则 AB - BA =？A. [0 -2; 2 0]（答案）B. [2 2; -2 -2]C. [0 2; -2 0]D. [-1 -2; 3 4]7、设函数 f(x) = ex - x - 1，则不等式 ex > x2 + x + 1 的解集为？A. (-∞, 0)B. (0, +∞)（答案）C. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. (-1, 0) ∪ (0, 1)8、设函数 f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)，其中 a, b, c 是互不相等的实数。
高等数学竞赛试题(一)
高等数学竞赛试题（一）一、填空：1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x xx01e 0,arctan e 12sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则a = －1 。
2．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上的最大值为332+π 。
3．()=+⎰--22d ex x x x26e 2-- 。
4．由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()230,,处的指向外侧的单位法向量为{}32051,, 。
5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----x y z x x y z 所确定，则=z d ()y x x x xy z xy z d d e 1e 1-1+++---- 。
二、选择题：1． 设函数f (x )可导，并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分d y 是y ∆的（ A ） （A ）等价无穷小； （B ）同阶但不等价的无穷小； （C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。
2． 设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（ C ） （A ）f (a ) = 0，且()0='a f ； （B ）f (a )≠0，但()0='a f ； （C ）f (a ) = 0，且()0≠'a f ； （D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。
3． 曲线12+-+=x x x y （ B ）（A ）没有渐近线； （B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线。
4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数，且()0≠'x,y y ϕ。
已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）（A ）若()000=',y x f x ，则()000=',y x f y ； （B ）若()000=',y x f x ，则()000≠',y x f y ； （C ）若()000≠',y x f x ，则()000=',y x f y ； （D ）若()000≠',y x f x ，则()000≠',y x f y 。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. √3D. 0.33333（无限循环）答案：D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2x)的值。
A. 4x^2 - 16x + 16B. 4x^2 - 12x + 12C. 4x^2 - 8x + 4D. 4x^2 - 4x + 4答案：C3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 一个圆的半径为3，求其内接正六边形的边长。
A. 3√3B. 6C. 2√3D. 3答案：A5. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。
A. 29B. 32C. 35D. 38答案：A6. 根据题目所给的函数f(x) = 2x - 1，求f(x+1)的值。
A. 2x + 1B. 2x + 3C. 2x - 1D. 2x - 3答案：A7. 若x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。
A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 3答案：A8. 已知一个等比数列的首项a1=3，公比q=2，求第5项a5的值。
A. 48B. 96C. 192D. 384答案：A9. 一个圆的直径为10，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B10. 已知一个二次方程x^2 + 8x + 16 = 0，求其根的判别式Δ。
A. 0B. 64C. -64D. 16答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 若一个数列{an}是等差数列，且a3 = 7，a5 = 13，求a7的值。
答案：1912. 已知一个函数y = x^3 - 3x^2 + 2x，求其一阶导数dy/dx。
答案：3x^2 - 6x + 213. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其表面积。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
高数竞赛练习试卷
高数竞赛练习试卷（一）1. 求极限111lim21arctantt t te te tπ→+-。
2. 求极限0tan(sin )sin(tan )limtan sin t x x x x→--。
3. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0f f f '''>==，t 是曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在x 轴的截距，求0()lim()x xf t tf x →。
4. 设()f x 在[0,)+∞二阶可导，且(0)1,(0)1,()(),(0)f f f x f x x '''=>>>.求证：()xf x e >。
5. 已知()234111ydx ydx y dx y dxdx y-+++=--⎰⎰⎰⎰⎰，求()x f y =的表达式。
6. 设tan 2()()xF x f tx dt =⎰，其中()f x 为连续函数，求()F x '，并讨论()F x '的连续性。
7. 计算0ln(sin )x x dx π⎰。
8. 设()f x连续可导，证明：[]10(1)(0)x dx f f π'=-⎰⎰。
9. 设非负函数()f x 在[]0,1上连续，且单调上升，[]0,1,()t y f x ∈=与直线(1)y f =及x t =围成图形的面积为1()S t ，()y f x =与直线(0)y f =及x t =围成图形的面积为2()S t .⑴ 证明：存在唯一的(0,1)t ∈,使得12()()S t S t =. ⑵ t 取何值时两部分面积之和取最小值？ 10.求函数xyz ω=+()1,0,1P -处沿直线11:111x y z L --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线l 方向的方向导数。
11.已知01n <<，证明级数2211n n m a m n∞∞==+∑∑收敛.12. 计算曲线积分[][]()cos ()sin ACBf y x y dx f y x dy ππ'-+-⎰，其中 A C B 为连结点(,2)A π与点(3,4)B π的线段A B 之下方的任意路线，且该路线与线段A B 所围图形的面积为1，()f x 是连续可导的函数.13. 设(),()f x g x 可微，且()()z yf xy dx xg xy dy =+. ⑴ 若存在u ，使du z =，求()()f x g x -； ⑵ 若()()f x F x '=，求u ，使z du =.14. 设()f u 在[)1,+∞上有连续的二阶导数，(1)1f =-，3(1)2f '=，且函数()()222222x y zf xy zω=++++满足：2222220xyzωωω∂∂∂++=∂∂∂，求()f u 在[)1,+∞上的最小值。
江苏省第十一届高等数学竞赛题(本一)试卷评分标准
2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题（本科一级）评分标准一、填空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上）1、x→2、()()2ln 1,ny x y =−=则 3、820sin d x x π=∫ 4、1∫5、函数 ()()(),,,x x f x y ϕψ皆可微，设()()(),,z f x y x y ϕψ=+则z z x y∂∂−∂∂ =6、()2222,d d d x y z z x y z x y z ΩΩ++≤++=∫∫∫设：则 7、到直线 (213−点，，)13122x y z−+==−的距离为 8、级数()()211k nnn n n ∞=−+−∑为条件收敛，则常数 k二、（每小题6分，共12分）（1）求 ()11231lim n n nn→∞+−+−+−⋅""（2）设在处三阶可导，且)(x f 0=x (0)0,(0)3f f ′′′==，求 30(e 1)()lim .x x f f x x→−−三、（每小题6分，共12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明.（1）函数()f x 在处可导，但在0x =0x =的某去心邻域内处处不可导.（2）函数()f x 在(),δδ−上一阶可导()0δ>，()0f 为极值，且()()0,0f 为曲线的拐点.()y f x =四、（10分）设函数(,)f x y 在平面区域D 上可微，线段位于PQ D 内，点 的坐标分别为,P Q (),P a b ，,求证：在线段上存在点(,Q x y )PQ (),M ,ξη使得()()()()()(),,,,x y .f x y f a b f x a f y b ξηξη′′=+−+−五、（12分）计算曲线积分222222222()d ()d ()d x y z x y z x y z x y Γ+−++−++−∫v z , 其中 2226x y z y Γ++=为与 224x y y +=(0)z ≥ 的交线，从轴正向看去为逆时针方向..z六、（12分）点()()1,2,1,5,2,3A B −−在平面:223x y z Π−−=的两侧，过点,A B 作球面使其在平面ΣΠ上截得的圆Γ最小，（1）求球面的球心坐标与该球面的方程； Σ（2）证明: 直线与平面的交点是圆AB ΠΓ的圆心.七、（10分）求级数()()21112nnnn nn∞=++−∑ 的和.。
《高数竞赛》课件
极限基础
探讨极限概念、极 限计算和常见极限 性质。
导数基础
详细讲解导数的定 义、基本公式和常 见应用。
积分基础
介绍积分的概念、 计算方法和应用领 域。
章节三：竞赛技巧掌握
1 解题方法论
分享解决高数问题的有效方法和策略。
2 常见题型分析
分析竞赛中常见的题型和解题思路。
3 竞赛技巧分享
4 模拟竞赛演练
竞赛心态培养
培养积极的竞赛心态，应对 竞赛中的挑战。
竞赛压力应对技巧
学习有效的应对竞赛压力的 技巧和策略。
章节六：总结与展望
1 学习心得分享
同学们分享他们参与高 数竞赛的学习心得和体 会。
2 竞赛经验总结
总结高数竞赛的经验教 训和改进方向。
3 竞赛未来发展展望
展望高数竞赛的未来发 展趋势和新的方向。
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章节一：竞赛概述
竞赛介绍
了解高数竞赛的背景、目 的和重要性。
竞赛目标
明确参与高数竞赛的目标， 如提升数学能力和获得奖 项。
竞赛要求
掌握竞赛的报名要求、资 格和规则。
章节二：基础知识讲解
函数基础
深入介绍函数的定 义、性质和常见类 型。
传授提高竞赛得分和应对考试压力的技巧。
组织模拟竞赛，提供实战练习和评估机会。
章节四：竞赛历年真题分析
1
真题解析
2
详解历年真题的解题思路和关键步骤。
3
历年真题回顾
回顾高数竞赛过去几年的真题内容和 难度。
竞赛技巧应用
演练历年真题并应用竞赛技巧解决问 题。
高中数学竞赛试题
高中数学竞赛试题高中数学竞赛是让学生充分发挥数学思维和解题能力的重要途径之一。
竞赛试题通常既有难度较大的例题，也有难度适中的应用题。
在这里，我将对高中数学竞赛试题进行深入探讨，着重从几何、代数、概率统计三个方面进行解析，并给出一些解题技巧和建议。
一、几何题几何题在高中数学竞赛中占据了重要的地位。
常见的几何题形式包括三角形、圆、平行线、相似三角形等。
试题难度较大，需要考生具备一定的几何基础和解题思路。
（1）三角形题三角形题是几何题中常见的一种类型。
其中，求三角形的面积和周长是考察重点之一。
在解这类题时，可以考虑应用海伦公式、正弦定理和余弦定理。
例如，已知三角形的边长和一个角度，可以利用正弦定理求解其他角度。
此外，还可以运用面积公式，如海伦公式，计算三角形的面积。
（2）圆题圆题也是高中数学竞赛中常见的一种类型。
常见的圆题有求圆的面积和周长、求圆内接四边形的面积等。
在解这类题时，可以考虑应用圆的相关性质，如周长公式和面积公式。
另外，还可以利用勾股定理和相似三角形性质，在给定的条件下推导出所求解。
二、代数题代数题是高中数学竞赛中常见的题型之一。
主要考察代数运算、方程与不等式、函数和数列等。
解代数题需要灵活运用代数运算的性质和方法。
（1）方程与不等式题在解方程与不等式题时，可以采用因式分解、配方法、完全平方公式等方法。
同时需要注意方程和不等式的根的情况，如有无解、有一组或多组解等。
在解这类题时，要注意确定变量的范围，并根据题目要求给出答案的形式。
（2）函数题函数题是代数题中的一种重要类型，主要考察函数的性质和变化规律。
在解函数题时，需要掌握函数图像的绘制、函数性质的判断以及函数的复合、反函数等操作。
此外，还需要熟练运用函数的相关性质，如奇偶性、单调性和周期性等。
三、概率统计题概率统计题是高中数学竞赛中的一类常见题型。
主要考察概率与统计的基本概念和计算方法。
（1）概率题概率题主要考察试验的次数、事件的概率和条件概率等。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案试题（一）一、 ABC ∆为等边三角形，P 为其内一动点，且120APC ∠=。
AP 交BC 于N 、CP交AB 于M 。
求BMN ∆外心O 的轨迹。
(12分)二、 任意选24个相异且小于88的正奇数，试证：其中必有两个数它们的和是90。
(12分)三、 试证：对实数,,,0a b c d ≥，()()()()()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。
(12分) 四、定义：设A 是二阶整系数方阵，若存在二阶整系数方阵B ，使得1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦，则称A 可逆。
(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。
试证：A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。
(2) 设A , B 均为二阶整系数方阵，且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可逆，试证：5A B +亦可逆。
试题（二） 一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭，试求A 。
(5分)二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。
求方程 22[2]2[][]x x x x -+=在03x ≤<内所有实数解。
(5分)三、设a 和b 为实数，且使方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根，对所有这种数对(,)a b ，求出22a b +的最小可能值。
(6分)四、令N 为自然数集，若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =，求(54)f 。
(5分)试题（一）解答一、 【解】令G 为ABC ∆的外心。
因120MPN APC ∠=∠=与B ∠互补，P 在BMN ∆的外接圆上。
因120APC AGC ∠=∠=，A 、P 、G 、C 共圆，且30CPG CAG ∠=∠=。
高数竞赛试题及答案
高等数学竞赛试题一、填空题(每小题2分，共12分)1、函数2ln(1),0()(1)sin 2,0x x x f x e x x βα⎧+≥⎪=⎨⎪-<⎩若若 在点0=x 处可导，则,αβ==。
2、设x d xx f xx x f e ⎰-=12)(2ln )(，则()f x =。
3、221(1)(arctan )dxx x +∞=+⎰。
4、设二元函数(,)u x y 满足22ux y y∂=+∂，2(,)1u x x =，则(,)u x y =。
5、由x y z所确定的(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分为。
6、过1123:101x y z L ---==-且平行于221:211x y zL +-==的平面方程为。
二、选择题(每小题2分，共12分) 1、把0x →+时的无穷小量⎰=xdt t 02cos α，⎰=2tan x dt t β，⎰=xdt t 03sin γ排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )()A γβα,,； ()B βγα,,； ()C γαβ,,； ()D αγβ,,。
2、设2,()0,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩若为有理数若为无理数，则()f x 可导点的个数为( )(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 无穷。
3、设()f x 是(,)-∞+∞上可导的、周期为6π的函数，且满足0()()lim1x f f x xππ→--=-，则曲线()y f x = 在(7,(7))f ππ处的切线斜率为( )A 、2-；B 、0 ；C 、1-；D 、1。
4、设0a >，()t ϕ是正值连续函数，则曲线()()aay f x x t t dt ϕ-==-⎰( )(A) 在[],0a -上是凹的，在[]0,a 上是凸的； (B) 在[],0a -上是凸的，在[]0,a 上是凹的； (C) 在[],a a -上是凹的； (D) 在[],a a -上是凸的。