几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型课件(共22张PPT)
思维启迪:
依据图形建立四边形EFGH的面积S关 于自变量x的目标函数，然后利用解决 二次函数的最值问题求出S的最大值.
高中数学必修1同步辅导课程——几类不同增长的函数模 型
探究提高： 二次函数是我们比较熟悉的基本
不小于总成本）的最低产量是
（）
A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
解析 设利润为f（x）(万元)， 则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-3 000≥0,∴x ≥150.
高中数学必修1同步辅导课程——几类不同增长的函数模 型
• [答案] 219.01
• [解析 ] 甲到期本利和为： 10000×[1＋ 2.88%×(1－20%)×5]＝11152(元)
• 乙到期本利和为：10000×[1＋2.25%×(1 －20%)]5＝10932.99(元)
•∴甲、乙所得本息之和的差为 219.01(元)．
2
∴ 面 积 S ＝ x(6 － x) ＝ － x2 ＋ 6x ＝ － (x － 3)2 ＋ 9≤9(m2)(当且仅当 x＝3 时取“＝”)，故选 A.
高中数学必修1同步辅导课程——几类不同增长的函数模 型
变式：如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a， BC=b（b<a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取
函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决 实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意 自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在 数轴上所表示的区间之间的位置关系讨论求解.
高中数学必修1同步辅导课程——几类不同增长的函数模 型
几类不同增长的函数模型 课件 高一上学期数学人教A 版(2019)必修第一册
A(1, 0)，B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
解得k lg 2, b lg 2
f ( x ) (lg 2) x lg 2
练习
(课本P139页练习第4题)
4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（ ）
大超过y=kx(k>0)的增长速度.
指数函数不像一次函数按同一速度增
长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
探究2 选取适当的对数函数与
一次函数，探索它们在区间(0
，+∞)上的增长差异，你能描述
一下对数函数的增长特点吗？
不妨以函数y=lgx和= x为例.
列出上述两个函数自变量与函数值的对应值表，并
大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直
至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百
分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
:探究不同函数增长的差异
引例2.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方
案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只
兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，
兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大
利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75
亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载
畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳
1
函数y=lgx与y= 10 x在 6
高考数学必修知识讲解几类不同增长的函数模型提高
几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数(1)xy a a =>(0)y x αα=>()0,+∞αa x x a x αx a x α0x 0x x >xa >x αlog a y x =x x log a x x αlog a x x α0x 0x x >log a x x α<()0,+∞(1)xy a a =>(0)y x αα=>log (1)a y x a =>x (1)xy a a =>(0)y x αα=>log (1)a y x a =>0x 0x x >log .xa x x a α<<(0)y kx b k =+>(0)y kx b k =+<2(0)y ax bx c a =++<．（3）指数函数模型（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1. 当x ＞0时，比较，，的大小．【解析】作出函数，，的图象（如下图所示）．由二分法可得，方程的解为x=0.5，方程的近似解为x=0.64118574，方程的近似解为x=0.587774756．由图象及上述近似解可知，当0＜x ＜0.5时，；当x=0.5时，；当0.5＜x ＜0.587774756时，；2(0)y ax bx c a =++>()x f x ab c =+1b >01b <<()log a f x m x n =+1a >01a <<(0)ky k x=≠0k >(),0-∞()0,+∞0k <(),0-∞()0,+∞12log x 12x 12x⎛⎫⎪⎝⎭12log y x =12y x =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭1212xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭121log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭1212log x x =12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭12121log 2x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当x=0.587774756时，；当0.587774756＜x ＜0.64118574时，；当x=0.64118574时，；当x ＞0.64118574时，．【总结升华】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=a x （0＜a ＜1）、y=log a x（0＜a ＜1）和y=x n （n ＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y=log a x （0＜a ＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=a x （0＜a ＜1）与y=x n （n ＜0）的衰减速度．而y=a x （0＜a ＜1），y=a n （n ＜0）都是在正值范围内衰减，随着x 的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=a n （n ＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有x n ＞a x ＞log a x ．举一反三：【变式1】 比较、、的大小．【答案】【解析】分别画出的图象，可得结论．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现，f (n )近似地满足，其中，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【答案】9【解析】由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以，解得a ＝1，b ＝8.所以，其中.令f (n )＝8A ，得，解得，即，所以n ＝9.11221log 2xx x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13x⎛⎫⎪⎝⎭13x 13log (1)x x >13x >13x⎛⎫⎪⎝⎭13log x>13131(,,log 3xy y x y x ===9()nAf n a bt=+232t -=99314AA a b A A a b ⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩9()18n A f n t =+⨯223t =-9818nA A t =+⨯164nt =62122364n --==答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【总结升华】本题将指数函数型嵌入树苗种植问题，使问题情景生动而新颖，自然而贴切．同学们不仅要学会二次函数的知识，而且还要会运用所学数学知识分析和解决生活实际问题，体验数学与生活“融合”的乐趣．举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565 例3】【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（ ）【答案】D【解析】 函数故选 D ．【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x （x ＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a 元（a ＞0）．（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．【答案】（1）0＜x≤50；（2）50．【解析】（1）由题意得，即x 2－50x≤0，解得0≤x≤50．又∵x ＞0，∴0＜x≤50．（2）设这100万人农民的人均年收入为y 元，则，即，0＜x≤50．当0＜25(a+1)≤50且a ＞0，即0＜a≤1时，则x=25(a+1)时，y 取最大值．当25(a+1)＞50即a ＞1时，y 在（0，5]上单调递增，∴当x=50时，y 取最大值．答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这10022(01)()(12)t S t t ≤≤=⎪+<≤⎪⎩23000(100)(11003000100xx -⨯+≥⨯23000(100)(1)3000100100xx ax y -⨯++=603000(1)300000100x a x -+++=223[25(1)]3000375(1)5y x a a =--++++万人的人均年收入最大．【总结升华】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转译为数学语言，寻找变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？【解析】首先建立直角坐标系，画出散点图（右图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数型：f (x)=kx+b （k≠0）；二次函数型：g (x)=ax 2+bx+c （a≠0）；幂函数型：；指数函数型：m (x)=ab x +c ．最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数． 设月产量为y 万件，月份数为x ，建立直角坐标系（如右图），可得A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）．（1）对于直线，将B 、C 两点的坐标代入，有，，解得k=0.1，b=1，故．将A 、D 两点的坐标代入，得f (1)=1.1，与实际误差为0.1，f (4)=1.4，与实际误差为0.03．（2）对于二次函数，将A 、B 、C 三点的坐标代，有g (1)=a+b+c=1，g (2)=4a+2b=c=1.2，g (3)=9a+3b+c=1.3．解得a=―0.05，b=0.35，c=0.7，故g (x)=―0.05x 2+0.35x+0.7．将D 点的坐标代入，得g (4)=―0.05×42+0.35×4+0.17=1.3，与实际误差为0.07．（3）对于幂函数型，将A 、B 两点的坐标代入，有h (1)=a+b=1，．解得a≈0.48，b≈0.52．故．将C 、D 两点的坐标代入，得，与实际误差为0.05；h (4)=0.48×2+0.52=1.48，与实际误差为0.11．（4）对于指数函数型m(x)=ab x +c ，将A 、B 、C 三点的坐标代入，得m (1)=ab+c=1，m (2)=ab 2+c=1.2，m (3)=ab 3+c=1.3．解得a=―0.8，b=0.5，c=1.4．故m (x)=―0.8×(0.5)x +1.4．将D 点的坐标代入，得m (4)=－0.8×(0.5)4+1.4=1.35，与实际误差为0.02．比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m (x)恰好反映了这种趋势，因此选用m (x)=－0.8×(0.5)x +1.4比较接近客观实际．选用y=a·b x +c 模型，且a=－0.8，b=0.5，c=1.4比较接近实际．举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例4】12()h x ax b =+()(0)f x kx b k =+≠(2)2 1.2f k b =+=(3)3 1.3f k b =+=()0.11f x x =+2()(0)g x ax bx c a =++≠12()h x ax b =+(2) 1.2h b =+=12()0.480.52h x x =+(3)0.480.52 1.35h =+≈【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x 年绿色植被的面积为y ，则函数y = f (x ) 的图象大致为（ ）．【答案】D【解析】设某山区原有绿色植被为，则经过第一年增长后面积为，经过第二年增长后面积为，…，经过x 年绿色植被的面积为，是指数型函数，故选D ．【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x （x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y （单位：元）．【思路点拨】根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型．【答案】【解析】由题意可知：①当x ∈[0，5]时f （x ）=1.2x②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；即：当x ∈（5，6]时f （x ）=1.2×5+（x －5）×3.6=3.6x －12③当x ∈（6，7]时f （x ）=1.2×5+1×3.6+（x －6）×6=6x －26.4∴【总结升华】本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力，解题时要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型，分段函数的意义和应用．例4．（2016春 江苏启东市月考）某人年初向银行贷款10万元用于购房，（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），a (110.4%)a +2(110.4%)a +(110.4%)xa +1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）【思路点拨】（1）设每年还款x 元，由题意可得，从而解x ；（2）设每年还款y 元，由题意可得，从而解y ．【答案】（1）12245；（2）12330【解析】（1）设每年还款x 元，则，即，解得，；（2）设每年还款y 元，则，即，则．【总结升华】上述公式是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y =a (1+xr )．其中a 为本金，r 为每一期的利率，x 为期数．举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n 元（n ∈N*）时的销售量增加10%．（1）写出礼品价值为n 元时，利润y n （元）与n （元）的函数关系式；（2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润．【答案】（1）；（2）9元或10元．【解析】第（1）问易得，第（2）问礼品的价值为多少时，使商店获取最大的利润，只需借助于指数函数的单调性，使得n 取某个值时，其前面的取值与后面的取值都比它小即可，即且510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++ 5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++ 510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++ 510 1.510450.05x x ⨯=+⋅105 1.512245()12.25x ⨯=≈元5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++ 105101.04110 1.04 1.041y -⨯=-510 1.48020.0412330()0.4802y ⨯⨯≈≈元(1r)xy a =+(10080)(110%)(20) 1.1nnn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈10n n y y +-≥．（1）设未赠礼品时的销售量为m 件，则当礼品价值为n 元时，销售量为m(1+10%)n ；利润．（2）令，即，解得n≤9．所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9=y 10，令，即，解得n≥8．所以y 9=y 10＞y 11＞y 12＞y 13＞…＞y 19，所以礼品价值为9元或10元时，商品获得最大利润．【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例6】例5．如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c ∈R ）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S 成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）当时，；当时，．【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：总的淋雨量为：，即（Ⅱ）①当即时120n n y y ++-≥(10080)(110%)(20) 1.1n nn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈10n n y y +-≥1(19) 1.1(20) 1.10n n n m n m +-⋅⋅--⋅⋅≥120n n y y ++-≥12(19) 1.1(18) 1.10n n n m n m ++-⋅⋅--⋅⋅≥v c -11012325(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩10v =min 3202y c =-v c =min 50y c=131||1022v c ⨯-+10031||202y v c v ⎡⎤=⨯-+⎢⎥⎣⎦5(103)c y v -∴=5(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩1030,c ->1003c <≤在上单调递减时，最小，．②当即时在上单调递减，在上单调递增．当时，最小，．答：当雨速的分速度，时，；当雨速的分速度，时，．y (]0,10v ∈10v ∴=y min 3202y c =-1030,c -<1053c <≤y (0,)v c ∈(,10)v c ∈v c =y min 50y c=1003c <≤10v =min 3202y c =-1053c <≤v c =min 50y c=。
几类不同增长的函数模型
定义与公式
定义
幂函数是一种特殊的函数形式，通常表 示为`f(x) = x^n`，其中n是实数。
VS
公式
幂函数的公式为f(x) = x^n，其中x为底 数，n为指数。
幂函数增长的特点
增长率
幂函数的增长率随着n的增大而增大，即指数越大，函数增长速 度越快峭，随着x的增大，函数值 增长越来越快。
对数增长的应用
01
金融领域
对数增长函数模型被广泛应用于 金融领域，如股票价格、债券收 益率等变量的预测和分析。
02
03
环境科学
生物学
在环境科学领域，对数增长函数 模型被用于描述污染物在环境中 的扩散和稀释过程。
在生物学中，对数增长函数模型 被用于描述细菌生长、人口增长 等生物学过程。
04
幂函数增长模型
。
工业生产
在工业生产中，如果生产速度与 时间成正比，那么可以使用线性 增长函数来描述生产情况。通过 调整参数 k 可以控制单位时间内
生产的数量。
其他应用
线性增长函数还可以应用于描述 某些物理现象，如弹簧的伸长量
与受到的力成正比等。
02
指数增长函数模型
定义与公式
定义
指数增长函数模型是一种特殊的增长函数，其增长速度与时间成正比，通常表 示为 y = ae^rt，其中 a 为初始值，r 为增长率，t 为时间。
经济问题
高次多项式增长函数可以描述经济现象的变化 ，例如收益曲线、成本曲线等。
信号处理
高次多项式增长函数可以用于信号处理领域，例如频谱分析、滤波等。
06
分段函数增长模型
定义与公式
01
分段函数增长模型是指函数在 各个区间内具有不同的增长趋 势和公式。
几类不同增长的函数模型 课件
(2)如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需 要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数 关系图象，根据图象填空：
①通话2分钟，需付电话费________元．
②通话5分钟，需付电话费________元．
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间 的函数关系式为________．
几类不同增长的函数模型
常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不 变．
2．指数函数模型
能 利 用 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _指_ _数_ _函_ _数_ _(_底_ _数_ _a_>_1_)_ _ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 指 数 函
数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速 度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型 能 用 _ _ _ _ _ _ _对_ _数_函_ _数_ _(_底_数_ _a_>_1_)_ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 做 对
数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _越_ _来_越_ _慢_ _ ， 函 数 值 增 长 速 度 _____________．
函数模型的增长差异
(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝60x
B．y＝x60
C．y＝60x D．y＝log60x(x∈N*) (2)研究函数y＝0.3ex－3，y＝ln(x＋2)，y＝x2－2在[0，＋
∞)上的增长情况．
[思路探究] 1．处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？ 2．对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
3.2.1几类不同增长的函数模型课件人教新课标1
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.451.2…… … … ……
…
种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投
资方案；投资11天（含11天）以上，应选择
第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励门的嘉奖方案：在销售利润到达10万 元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元) 随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资 金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个嘉奖模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
O
R
圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=π*R2 (二次函数)
回顾： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两 个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。
第一次 第二次 第三次 第四次
第x次 2x个
学案3：4.5 增长速度的比较
4.5增长速度的比较学习目标核心素养1.了解和体会函数模型在实际生活中的广泛应用．(一般)2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较．(重点) 3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)1.通过三种不同增长的函数模型差异的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．借助函数模型的应用，提升数学建模核心素养.【自主预习】1．三种函数增长速度的比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度，会超过并远远y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度．(3)存在一个x0，当x>x0时，有.2．增长率问题日常生活中常见的问题，计算公式为y＝，若某月的产值是b，月增长率为p，则此月开始第n个月后的产值是.【基础自测】1．下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2 020x B．y＝x2 020C．y＝log2 020x D．y＝2 020x2．已知增函数f(x)的图像如图，则它的一个可能的解析式为()A．y＝2x B．y＝4－4x＋1C ．y ＝log 3(x ＋1)D ．y ＝x 13(x ≥0)3．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x ＞x 12＞lg xB ．2x ＞lg x ＞x 12C ．x 12＞2x ＞lg xD ．lg x ＞x 12＞2x4．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过________小时．【合作探究】【例1】(1)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )＞g (x )＞h (x )B ．g (x )＞f (x )＞h (x )C ．g (x )＞h (x )＞f (x )D ．f (x )＞h (x )＞g (x )(2)四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是哪一个？为什么？[思路探究] (1)根据指数函数、幂函数、对数函数的增长情况及指数函数的底数对其增长速度的影响来判断．(2)根据不同函数模型的增长特点来判断．【规律方法】三种函数模型的表达式及其增长特点(1)指数函数模型：表达式为f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0，b >0且b ≠1)，当b >1时，增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0<b <1时，函数值由快到慢地减小.(2)对数函数模型：表达式为f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m>0，a>0且a≠1)，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0<a<1时，相应函数值逐渐减小，变化得越来越慢.(3)幂函数模型：表达式为f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1，α>0)，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型.【跟踪训练】1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y2232 1 02432 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907关于x呈指数函数变化的变量是________．类型二三类函数图像的比较【例2】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．[思路探究]首先判断x1、x2的范围，再判断6和2 020在哪个区间内，从而得到f(6)与g(6)，f(2 020)与g(2 020)的大小．最后四个值进行排序．【规律方法】由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法,根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升的快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数. 【跟踪训练】2．(1)若－1＜x ＜0，则不等式中成立的是( ) A ．5－x ＜5x ＜0.5x B ．5x ＜0.5x ＜5－x C ．5x ＜5－x ＜0.5xD ．0.5x ＜5－x ＜5x(2)函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．①试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；②比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．类型三几类函数模型的应用【例3】 (1)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a ＞0且a ≠1)的图像．有以下叙述：①第4个月时，剩留量就会低于15；②每月减少的有害物质质量都相等；③若剩留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________．(2)某品牌茶壶的原售价为80元一个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下的方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个，……；如果一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个．乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．①分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；②该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？[思路探究](1)先求出解析式，再分别代入值求解．(2)根据题意先建立函数模型再求解．【规律方法】建立函数模型要遵循的原则(1)简化原则：,建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：,建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则：,建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.【跟踪训练】3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n＝P0(1＋k)n(k＞－1)，P n为预测人口数，P0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1＜k＜0，那么在这期间人口数()A．呈下降趋势B．呈上升趋势C．摆动变化D．不变【课堂小结】1．本节课的重点是掌握指数函数、对数函数、幂函数模型的增长差异及增长差异的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)常见函数模型的增长差异．(2)不同函数模型的选取标准．3．本节课的易错点是函数模型的选取．【当堂达标】1．我国工农业总产值从1999年到2019年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有()A．(1＋x)19＝4B．(1＋x)20＝3C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝42．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y13．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表所示：则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为________，________，________.4．试比较函数y＝x200，y＝e x，y＝lg x的增长差异．【参考答案】【自主预习】1．(1)增 (2)越来越快 大于越来越慢(3) a x >x n >log a x 2．N (1＋p )xb (1＋p )n【基础自测】1．A [比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.] 2．B [由于过(1,2)点，排除C ，D ；由图像与直线y ＝4无限接近，y ＜4，排除A ，所以选B.]3．A [结合y ＝2x ，y ＝x 12及y ＝lg x 的图像易知当x ∈(0,1)时，2x＞x 12＞lg x ．]4．3 [设1个细菌分裂x 次后有y 个细菌，则y ＝2x ，令2x ＝4 096＝212，则x ＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分钟)，即3小时．]【合作探究】【例1】(1)B [由函数性质可知，在区间(4，＋∞)，指数函数g (x )＝2x 增长最快，对数函数h (x )＝log 2x 增长最慢，所以g (x )>f (x )>h (x )．](2)[解] 最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x ，理由如下：显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x . 【跟踪训练】1．y 2 [从表格观察函数值y 1，y 2，y 3，y 4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．]【例2】[解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)∵f (1)＞g (1)，f (2)＜g (2)，f (9)＜g (9)，f (10)＞g (10)， ∴1＜x 1＜2,9＜x 2＜10，∴x 1＜6＜x 2,2 020＞x 2.从图像上可以看出，当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＜g (x )，∴f (6)＜g (6)． 当x ＞x 2时，f (x )＞g (x )，∴f (2 020)＞g (2 020)． 又∵g (2 020)＞g (6)，∴f (2 020)＞g (2 020)＞g (6)＞f (6)． 【跟踪训练】2．(1)B [画出y 1＝5－x ，y 2＝5x ，y 3＝0.5x 的图像如图，所以5x ＜0.5x ＜5－x .](2)[解] ①C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x . ②当x ＜x 1时，g (x )＞f (x )； 当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )； 当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )； 当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．类型三几类函数模型的应用【例3】(1)①③ [根据题意，函数的图像经过点⎝⎛⎭⎫2，49，故函数为y ＝⎝⎛⎭⎫23t，令t ＝4时，y ＝1681＜15，故①正确；令t ＝1时，y ＝23，减少13，当t ＝2时，y ＝49，减少29，每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y ＝12，14，18，解得t 1＝log 2312，t 2＝log 2314，t 3＝log 2318，t 1＋t 2＝t 3，故③正确．](2)[解] ①y 1与x 之间的函数关系式：y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋80x (0＜x ≤18，x ∈N *)，44x (x ＞18，x ∈N *)，y2与x之间的函数关系式：y2＝60x(x≥0，x∈N*)．②y＝y1－y2=当x＝10时，y＝y1－y2＝0，即y1＝y2；当1≤x＜10时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)＞0，即y1＞y2；当10＜x≤18时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)＜0，即y1＜y2；当x＞18时，y＝y1－y2＝－16x＜0，即y1＜y2.所以，当茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶的费用较少，当茶社购买数量为10个时，费用一样，当茶社购买这种茶具的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶的费用较少．【跟踪训练】3．A[若－1＜k＜0，则0＜1＋k＜1，结合P0＞0类指数函数P n＝P0(1＋k)n单调递减，即在这期间人口数呈下降趋势．]【当堂达标】1．D[本题为增长率模型函数，为指数函数形式：设1999年总产值为1，则(1＋x)20＝4.] 2．B[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图像(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图像依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]3．y3y2y1[通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，变量y3随x的变化越来越慢，为对数函数；y2随x的变化越来越快，为指数函数；y1随x 的变化速度介于指数函数与对数函数之间，为幂函数．]4．[解]根据幂函数、指数函数、对数函数的图像特征，增长最慢的是y＝lg x，由图像(图略)可知随着x的增大，它几乎平行于x轴；当x较小时，y＝x200要比y＝e x增长得快；当x较大时，y＝e x要比y＝x200增长得快．。
高一数学：3.2.1《幕、指、对函数模型增长的差异性》课件
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法--
实操
第三步 没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三） 仅 靠 大 脑 复 述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考， 合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了， 说明还 没有掌握，需要继续回顾。
TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在 编 故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼 （Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖，费曼不仅是一名杰出的 物理学家，并且是一位伟 大的教育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的概念，让其 他人能够快 速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会 不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解， 这也是这个学习法命名的由来！
y
y=2x y=x2
y=log2x
1
o 12 4
x
思考5:根据图象，不等式log2x<2x<x2和 log2x<x2<2x成立的x的取值范围分别如何？
y
y=2x y=x2
y=log2x
1
o 12 4
x
思考6:上述不等式表明，这三个函数模型增 长的快慢情况如何？
探究（二）：一般幂、指、对函数模型的差异
专题38 高中数学不同函数增长的差异(解析版)
专题38 不同函数增长的差异1.三种函数模型的性质(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大，其函数值的增长就越快．(4)一般地，虽然指数函数y＝a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝a x(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，a x会小于kx，但由于指数函数y＝a x(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有a x>kx.(5)一般地，虽然对数函数y＝log a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有log a x<kx.3.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.题型一几类函数模型增长差异的比较1．下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2 019x B．y＝2019C．y＝log2 019x D．y＝2 019x[解析]指数函数y＝a x，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.2．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( )A ．y ＝1B ．y ＝xC ．y ＝3xD ．y ＝log 3x[解析]结合函数y ＝1，y ＝x ，y ＝3x 及y ＝l o g 3x 的图象可知(图略)，随着x 的增大，增长速度最快的是y ＝3x . 3．当a >1时，有下列结论：①指数函数y ＝a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y ＝a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y ＝log a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y ＝log a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快． 其中正确的结论是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[解析]结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．故选B.4．下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( ) A ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢 B ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快 C ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度不变 D ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快[解析]观察函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象递减速度不变． 5．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ . [解析]当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长的要快． 6．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y 1 2 26 101 226 401 626 901 y 2 2 32 1 024 37 768 1.05×1063.36×1071.07×109y 3 2 10 20 30 40 50 60 y 424.3225.3225.9076.3226.6446.907[解析]以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.7．以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是()[解析]水面的高度增长得越来越快，图象应为B．8．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()[解析]小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.9．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．[解析] A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．题型二指数函数、对数函数、幂函数、一次函数模型的比较1．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1[解析]在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝l o g2x，故y2>y1>y3.2．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.[解析]结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x[解析]解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B. 4．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x[解析]用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．5．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是() A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x[解析]显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()A B C D[解析]设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意可得ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝l o g 1.104x (x ≥1)，所以函数y ＝f (x )的图象大致为D 中图象，故选D.7．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x 年后绿地面积是今年的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )[解析]设今年绿地面积为m ，则有my ＝(1＋10%)x m ，∴y ＝1.1x ，故选D ． 8．某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________．[解析]由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1)．反映了总产量C 随时间t 的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．9．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．[解析]∵y ＝a ·0.5x ＋b ，且当x ＝1时，y ＝1，当x ＝2时，y ＝1.5，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a ×0.5＋b ，1.5＝a ×0.25＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．10．画出函数f (x )＝x 与函数g (x )＝14x 2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．[解析]函数f (x )与g (x )的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x <4时，f (x )>g (x )；当x ＝4时，f (x )＝g (x )；当x >4时，f (x )<g (x )．11．函数f(x)＝2x 和g(x)＝x 3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数． (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．[解析] (1)C 1对应的函数为g(x)＝x 3，C 2对应的函数为f(x)＝2x .(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x 1<2,9<x 2<10，所以x 1<6<x 2. 由图可知g(6)>f(6)．12．函数f (x )＝2x 和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f ⎝⎛⎭⎫32与g ⎝⎛⎭⎫32，f (2 019)与g (2 019)的大小． [解析] (1)C 1对应的函数为g (x )＝2x ，C 2对应的函数为f (x )＝2x .(2)∵f (1)＝g (1)，f (2)＝g (2)，从图象上可以看出，当1＜x ＜2时，f (x )＜g (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＜g ⎝⎛⎭⎫32；当x ＞2时，f (x )＞g (x )，∴f (2 019)＞g (2 019)． 13．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． [解析] (1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．14．函数f (x )＝1.1x，g (x )＝ln x ＋1，h (x )＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．[解析]由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x ，曲线C 2对应的函数是h (x )＝x 12，曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1.由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )；当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )；当e <x <a 时，g (x )>f (x )>h (x )；当a <x <b 时，g (x )>h (x )>f (x )；当b <x <c 时，h (x )>g (x )>f (x )；当c <x <d 时，h (x )>f (x )>g (x )；当x >d 时，f (x )>h (x )>g (x )． 15．某国2016年至2019年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份 2016 2017 2018 2019 x (年份代码) 0 1 2 3 生产总值y (万亿元)8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图象，猜想y 与x 之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式； (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较； (3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值． [解析] (1)画出函数图象，如图所示．从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)． 把直线经过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解得k ＝0.677 7，b ＝8.206 7. ∴函数关系式为y ＝0.677 7x ＋8.206 7.(2)由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为0．677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)． 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．(3)2033年，即x ＝17时，由(1)得y ＝0.677 7×17＋8.206 7＝19.727 6， 即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元．题型三函数模型的选择问题1．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．[解析][将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．答案乙、甲、丙2．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．x 0.500.99 2.01 3.98y －1.010.010.98 2.00则x，y最合适的函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x[解析]根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝l o g2x，可知满足题意．故选D.3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t(年)12345 6h(米)0.61 1.3 1.5 1.6 1.7 [解析]据表中数据作出散点图如图：由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2,1)代入到h＝log a(t＋1)中，得1＝log a3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．4．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解析]借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y ＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．5．芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：(1)的变化关系的函数式：①Q ＝at ＋b ，②Q ＝at 2＋bt ＋c ，③Q ＝a·b t ，④Q ＝alog b t ；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．[解析] (1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a·b t ，Q ＝alog b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧15.0＝2500a ＋50b ＋c ，10.8＝12100a ＋110b ＋c ，15.0＝62500a ＋250b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12000，b ＝－320，c ＝854.所以反映芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝12000t 2－320t ＋854.故选②.(2)当t ＝150(天)时，芦荟种植成本最低，为Q ＝12000×1502－320×150＋854＝10(元/千克)．6．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？[解析]A 种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B 种债券的半年利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100⎝⎛⎭⎪⎫1＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为100⎝⎛⎭⎪⎫1＋100－9797≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，购买B 种债券．7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问： (1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？[解析] 设工厂每月生产x 件产品时，选择方案一的利润为y 1，选择方案二的利润为y 2，由题意知y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30000＝24x －30000. y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x.(1)当x ＝3000时，y 1＝42000，y 2＝54000，∵y 1<y 2，∴应选择方案二处理污水． (2)当x ＝6000时，y 1＝114000, y 2＝108000，∵y 1>y 2，∴应选择方案一处理污水．8．某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，②二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，③指数型函数m (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？[解析]将已知前四个月的月产量y 与月份x 的关系记为A (1，1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)． ①对于一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，将B ，C 两点的坐标代入，有f (2)＝2k ＋b ＝1.2，f (3)＝3k ＋b ＝1.3， 解得k ＝0.1，b ＝1，故f (x )＝0.1x ＋1.所以f (1)＝1.1，与实际误差为0.1，f (4)＝1.4，与实际误差为0.03.②对于二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7，故g (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.所以g (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，与实际误差为0.07.③对于指数型函数m (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.故m (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4.所以m (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x )最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．。
高中数学同步学案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。
人教B版必修一课后作业：第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.4 Word版含答案
学习目标 1.尝试将实际问题转化为函数模型.2.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.3.会根据函数的增长差异选择函数模型．知识点一函数模型思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？答案函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型．函数模型通常用来解释已有数据和预测．梳理一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二三种常见函数模型的增长差异比较三种函数模型的性质，填写下表.类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50x B ．y ＝x 50C ．y ＝50xD ．y ＝log 50x (x ∈N ＋)答案 C解析 四个函数中，增长速度由慢到快依次是y ＝log 50x ，y ＝50x ，y ＝x 50，y ＝50x . (2)函数y ＝2x －x 2的大致图象为( )答案 A解析 在同一平面直角坐标系内作出y 1＝2x ，y 2＝x 2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x ∈(0,2)时，2x ＞x 2，即此时y ＞0；当x ∈(2,4)时，2x ＜x 2，即y ＜0；当x ∈(4，＋∞)时，2x ＞x 2，即y ＞0；当x ＝－1时，y ＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A 中的图象符合条件． 反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x . 跟踪训练1 函数f (x )＝lg|x |x2的大致图象为( )答案 D解析 f (x )为偶函数，排除A 、B.当x ＞1时，y ＝lg|x |＝lg x ＞0，且增长速度小于y ＝x 2，所以随着x 的逐渐增大，lg|x |x 2越来越接近0且函数值为正数，故选D.类型二 函数模型应用 命题角度1 选择函数模型例2 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y 与售出商品的数量x 的关系，则可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数答案 D解析 四个函数中，A 的增长速度不变，B 、C 增长速度越来越快，其中C 增长速度比B 更快，D 增长速度越来越慢，故只有D 能反映y 与x 的关系．反思与感悟 根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型．跟踪训练2 某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系用图象表示，则正确的是( )答案 A命题角度2 用函数模型决策例3 某公司预投资100万元，有两种投资可供选择： 甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息； 乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元) 解 按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元)．故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利．反思与感悟 建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要靠建立的函数模型与实际的拟合程度．而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据．跟踪训练3 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．解 设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N ＋)，旅游收费为y ，旅游原价为a . 甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1)＝a2(x ＋3)；乙旅行社收费：y ＝2a3(x ＋2)．∵2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a6(x －1)， ∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等． 当x ＞1时，甲旅行社更优惠．1．下列函数中随x 的增长而增长最快的是( ) A ．y ＝e x B ．y ＝ln x C ．y ＝x 100 D ．y ＝2x答案 A2．能使不等式log 2x <x 2<2x 一定成立的x 的取值区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，2) D ．(4，＋∞)答案 D3．某物体一天中的温度T (单位：℃)是时间t (单位：h)的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60，t ＝0表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为( ) A ．8℃ B ．78℃ C ．112℃ D ．18℃答案 B4．下面选项是四种生意预期的收益y 关于时间x 的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是( ) A ．y ＝10×1.05xB ．y ＝20＋x 1.5C ．y ＝30＋lg(x －1)D ．y ＝50 答案 A5．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg II 0(其中I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB 的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的( ) A.76倍 B ．10倍 C ．1076倍 D ．ln 76倍答案 B解析 由题意，令70＝10lg I 1I 0，则有I 1＝I 0×107.同理得I 2＝I 0×106，所以I 1I 2＝10.1．四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型． (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型． (4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型． 2．函数模型的应用(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．课时作业一、选择题1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x答案 B解析D增长速度不变，A、C增长速度越来越快，只有D符合题意．2．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，x a＞log a xC．对任意的x＞0，a x＞log a xD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有a x＞x a＞log a x答案 D解析对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，显然不成立；对于D，当a＞1时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有a x＞x a＞log a x，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立．3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()答案 D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2答案 A解析 由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数．5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系式为：P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为( ) A.12小时 B.59小时 C ．5小时 D ．10小时答案 C解析 由题意知前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k ，∴0.1＝e －5k ，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，∴－kt ＝ln 0.01，∴⎝⎛⎭⎫15ln 0.1t ＝ln 0.01，∴t ＝10.∴至少还需要过滤5小时才可以排放． 6．向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是( )答案 B解析 水深h 为自变量，随着h 增大，A 中V 增长速度越来越快，C 中先慢后快，D 增长速度不变，只有B 中V 增长速度越来越慢． 二、填空题7．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (双)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________双． 答案 800解析 要使该厂不亏本，只需10x －y ≥0， 即10x －(5x ＋4 000)≥0，解得x ≥800.8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案 e 6－1解析 由题意2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm＝e 6－1. 9．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只． 答案 300解析 把x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)， 得a ＝100，故函数关系式为y ＝100log 2(x ＋1)， 所以当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300. 所以到第7年这种动物发展到300只．10．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式是________． 答案 y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋解析 已知本金为a 元，利率为r ，则1期后本利和为y ＝a ＋ar ＝a (1＋r )， 2期后本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2， 3期后本利和为y ＝a (1＋r )3，…x 期后本利和为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋. 三、解答题11．在制造纯净水的过程中，如果每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，那么要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少要过滤几次．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 解 设原有杂质为a ，经过x 次过滤后杂质为y ，则y ＝a ×(1－20%)x ＝a 0.8x . 由题意得ya<5%，即0.8x <5%，所以x lg 0.8<lg 0.05，即x >lg 0.05lg 0.8≈13.4，因此至少需要经过14次过滤才能使水中杂质减少到原来的5%以下．12．某企业生产A ，B 两种产品．根据市场调查与市场预测知A 产品的利润与投资成正比，其关系如图(1)所示，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图(2)所示．(注：图中的横坐标表示投资金额，单位为万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产．问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润为多少万元？解 (1)设投资了x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元． 由题意知f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x (k 2≠0)． 由题图可知f (2)＝1，所以k 1＝12，由g (4)＝4，得k 2＝2.故f (x )＝12x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10－x )万元． 设企业利润为y 万元， 则y ＝f (x )＋g (10－x )＝12x ＋210－x (0≤x ≤10)．令10－x ＝t ，则y ＝10－t 22＋2t ＝－12(t －2)2＋7(0≤t ≤10)．当t ＝2时，y max ＝7，此时x ＝10－4＝6.所以当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为7万元． 13．某纪念章从2015年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y (单位：元)与上市时间x (单元：天)的数据如下：(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①y ＝ax ＋b ；②y ＝ax 2＋bx ＋c ；③y ＝a log b x . (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．解 (1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y ＝ax ＋b 和y ＝a log b x 显然都是单调函数，不满足题意，∴函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系． (2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝90，100a ＋10b ＋c ＝51，1 296a ＋36b ＋c ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－10，c ＝126，∴y ＝14x 2－10x ＋126＝14(x －20)2＋26.∴当x ＝20时，y 有最小值26.故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元． 四、探究与拓展14．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A ．甲食堂的营业额较高 B ．乙食堂的营业额较高 C ．甲、乙两食堂的营业额相同11 D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a ＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m (m ＋8a )，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2＞0，所以y 1＞y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．15．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元．假定该商品的售价由三部分组成：生产成本(a 元)、包装成本(b 元)、利润，生产成本(a 元)与饼干质量成正比，包装成本(b 元)与饼干质量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试求出该种饼干1 000克装的合理售价． 解 设饼干的质量为x 克，则其售价y (元)与质量x (克)之间的函数解析式为y ＝(mx ＋n x )(1＋0.2)，由题意得1.6＝(100m ＋100n )(1＋0.2)，即43＝100m ＋10n . 又3＝(200m ＋200n )(1＋0.2)．即2.5≈200m ＋14.14n ，∴0.167≈5.86n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≈0.028 4，m ≈1.05×10－2， ∴y ≈(1.05×10－2x ＋0.028 4x )×1.2，当x ＝1 000时，y ≈13.7.∴估计这种饼干1 000克装的售价为13.7元．。
第三课时几种函数增长快慢的比较
3.2.1几类不同增长的函数模型（二）——几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法一、合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.1、观察函数4x y y =与在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况. 在同一坐标中函数图象如下师生合作观察研究函数4x y y =与的增长快慢. ①x ∈(0，16)时，y =4x y =4x >可知y =②(16,)x ∈+∞时，y =4x y =4x 可知4x y =增长较快 二、幂函数、指数函数、对函数增长快慢形成比较方法.1．实例探究：比较函数y =2x ，y = x 2，y = log 2x 的增长快慢.方法：①作图，（P99图3．２－４），列表比较（表３－５）、验证．②应用二分法求2x = x 2的根，即y = 2x 与y = x 2的交点横坐标．观察：观察P99图3．２－４，你能求出222log x x x <<成立的x 的取值吗？你能求出x x 2log 22<<成立的x 的取值吗？2．规律总结①一般地，对于指数函数y =a x (a ＞1)和幂函数y =x n (n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x ＞x n .②对于对数函数y =log a x (a ＞1)和幂函数y = x n (n ＞0)在区间(0,)+∞上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢.在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但由于log a x 的增长慢于x n 的增长， 因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n .③在区间(0,)+∞上，尽管函数y = a x (a ＞1)，y = log a x (a ＞1)和y = x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增长，y = a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = x n (n ＞0)的增长速度，而y = log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.三、举例分析例1 同一坐标系中，函数y=x2+7和y=2x的图象如图.试比较x2+7与2x的大小.【解析】根据函数y=x2+7与y=2x的图象增长差异，（1）当x＜5时，x2+7＞2x.（2）当x=5时，x2+7=2x.（3）当x＞5时，x2+7＜2x.答：当x＜5时，x2+7＞2x；当x=5时，x2+7=2x；当x＞5时，x2+7＜2x.例2 已知函数y=x2和y=log2(x+1)的图象如图，试比较x2与log2(x+1)的大小.【解析】根据题意，x＞– 1.根据函数y=x2与y=log2(x+1)的图象增长差异，（Ⅰ）当– 1＜x＜0或x＞1时，x2＞log2(x+1)；（Ⅱ）当x=0或x=1时，x2=log2(x+1)；（Ⅲ）当0＜x＜1时，x2＜log2(x+1).答：当– 1＜x＜0或x＞1时，x2＞log2(x+1)；当x=0或x=1时，x2=log2(x+1)；当0＜x＜1时，x2＜log2(x+1).四、练习1．下列说法不正确的是（ C ）A．函数y=2x在（0，+∞）上是增函数B．函数y=x2在（0，+∞）上是增函数C．存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立D．存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立2．比较函数y = x n（n＞0）和y = a x（a＞0），下列说法正确的是（B）A．函数y = x n比y=a x的增长速度快B．函数y = x n比y=a x的增长速度慢C．因a，n没有大小确定，故无法比较函数y = x n与y = a x的增长速度D．以上都不正确3．函数y = log a x（a＞1）、y = b x（b＞1）和y = x c（c＞0）中增长速度最快的是（ B ）A．y = log a x（a＞1）B．y = b x（b＞1）C．y = x c（c＞0）D．无法确定4．已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数函数y=ln x的图象.如图，则A表示函数互换y=2x的图象，B表示函数y=x1.4的图象，C表示函数y=ln x的图象.五、课堂小结1．幂函数、指数函数、对函数增长快慢的差异；2．会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.六、作业：《习案》作业三十二。
几种函数增长快慢的比较课件
12 345
4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)， 设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( A )
A.300只
B.400只
C.500只
D.600只
解析 由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.
谢谢！
由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量 y与年份x的关系.
规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求 出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进 而求出待定参数. 2.理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的 含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣.
跟踪演练2 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图.
(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数； 解 由函数图象特征及变化趋势，知 曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1， 曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)， g(x)的大小进行比较). 解 当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x). 函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大， 其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.
x 1 5 10 15
20
25
30
y1 2 26 101 226 401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
几类不同增长的函数模型1线性函数、指数函数和
线性函数的图像
线性函数的图像是一条直线，其斜率为 m，截距为 b。 当 m > 0 时，图像从左下到右上上升；当 m < 0 时，图像从左上到右下下降。
当 b = 0 时，图像经过原点。
线性函数的应用
在物理学中，线性函数常用于描述正比关系，如速度与 时间的关系。
在工程学中，线性函数用于控制系统和电路的分析。
在经济学中，线性函数用于描述收入与工作时间的关系。 在统计学中，线性函数用于回归分析和预测模型。
02 指数函数
定义与性质
定义
指数函数是一种数学函数，其形式为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是自变 量，y 是因变量。
性质
指数函数具有非负性、正值性和单调 性等性质，其值域为 (0, +∞)，当底 数 a > 1 时，函数是增函数；当 0 < a < 1 时，函数是减函数。
实例
在经济学中，复利计算就是一种典型的指数函数应用，本金加上利息一起计算 利息，随着时间的推移，累积的财富会以指数方式增长。
03 对数函数
定义与性质
定义
对数函数是指数函数的反函数，记作f(x) = logₐx (a>0且a≠1)，其定义域为正实数集。
性质
对数函数在其定义域内是单调递增或递减的，取决于底数a的取值。当a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函 数是递减的。
几类不同增长的函数模型1
目 录
• 线性函数 • 指数函数 • 对数函数 • 幂函数
01 线性函数
定义与性质
线性函数是数学中一类简单的 函数，其图像是一条直线。
线性函数的一般形式为 y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是截 距。
高中数学几类不同增长的函数模型
3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型【知识提炼】三种函数模型的性质y=a x(a>1)y=log x(a>1)y=x n(n>0)a在(0,+∞)上增函数增函数 增函数的增减性______________图象的变化随x 增大逐渐近似 随x 增大逐渐近随n 值而不同 趋势与 y 轴 平行 似与 x 轴平行②存在一个x0,当x>x0时,有x n a【即时小测】1.思考下列问题(1)在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有log a x<x n<a x成立?提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,log a x<x n<a x成立.(2)能否举例说明“指数爆炸”增长的含义?提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y=2x,此为“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别快,足以体现“爆炸”的效果.2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是()A.y减少1个单位B.y增加1个单位C.y减少2个单位D.y增加2个单位【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份利润的m倍,则m等于()A.(1.02)12B.(1.02)11C.(0.98)12D.(0.98)11【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,故m=(1.02)11.4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是. 【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快.答案:y=3x5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势.【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度.答案:幂函数或对数型【知识探究】知识点几类函数模型的增长差异观察图形,回答下列问题:问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势?问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?【总结提升】1.四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2.几类函数模型的选择(1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数,一次函数的图象为直线.(2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.(3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减率、利息等现实生活联系紧密.【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.【题型探究】类型一几类函数模型的增长差异【典例】1.(2015·怀柔高一检测)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:关于x呈指数函数变化的变量是.2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的是哪一组?提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快.2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义是什么?提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化.答案:y22.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)= ,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当0<x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d 时,f(x)>h(x)>g(x).【方法技巧】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升, 其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=ab x+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlog a x+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0, α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.【变式训练】有一组数据如下表:现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最接近的一个是()A.v=log2tB.v=tC.v=D.v=2t-2【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v==-1≠1.5,代入C,得v==1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5.经计算可知最接近的一个是选项C.类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例】(2015·赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011),g(2011)的大小.【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内?提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.又因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10.【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2011>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2011)>g(2011).又因为g(2011)>g(6),所以f(2011)>g(2011)> g(6)>f(6).【延伸探究】1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1) 呢?【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小.【解析】因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2015>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(8)<g(8).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2015)>g(2015).又因为g(2015)>g(8),所以f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8).【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.【补偿训练】(2015·包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示:(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数.(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系 .【解析】根据C2对应的函数关系式为f(x)=l gx,结合图象与x的交点为(1,0)可知,x1<1;由于f(10)=l g10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),根据图象,可知x2<10.2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5),f(2015),g(2015)的大小.【解析】由于f(3)=lg3>0,g(3)=0.3×3-1<0,f(10)=lg10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),结合图象可知3<x2<10,由于当1<x<3时,f(x)>g(x),故f(1.5)>g(1.5);由于x2<10,故当x>10时,g(x)>f(x),故g(2015)>f(2015),又因为f(2015)>f(1.5),所以g(2015)>f(2015)>f(1.5)>g(1.5).类型三函数模型的选择问题【典例】1.(2015·临汾高一检测)某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数2.(2015·邯郸高一检测)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费.问:(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?【解题探究】1.典例1中由“初期利润增长迅速,后来增长越来越慢”,联想到哪类函数的增长特性?提示:符合对数函数的增长特点.2.典例2中要进行两种方案的选择,需对两种方案进行什么比较?提示:需分为每月生产3000件产品,每月生产6000件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润,进行比较利润大小,作出选择.【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢.2.设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000,因为y1<y2,所以应选择方案二处理污水.(2)当x=6000时,y1=114000,y2=108000,因为y1>y2,所以应选择方案一处理污水.【方法技巧】解函数应用题的四个步骤第一步:阅读、理解题意,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.。
中学数学第九节 函数模型及其应用
第九节函数模型及其应用【最新考纲】 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(b>0，b≠1，a≠0)型．(5)对数函数模型：y＝mlog a x＋n(a>0，a≠1，m≠0)型．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)型．2．三种函数之间增长速度的比较(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)幂函数增长比直线增长更快．()(3)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到() A．200 只B．300 只C．400 只D．500 只解析：依题意100＝alog 3(2＋1)，得a ＝100，∴y ＝100 log 3(8＋1)＝200 (只)．答案：A3．(2015·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：C4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变．产品的总产量应呈直线上升，故选A.答案：A5．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15×（x －3）＋13<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×（x －8）＋1，x>8.当x ＝8时，y ＝19.75<22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6得x ＝9.答案：9一个程序解决实际应用问题的一般步骤(四步八字)1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；3．求模：求解数学模型，得出数学结论：4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：三点注意1．认真分析题意，合理选择函数模型是解决应用问题的基础．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．一、选择题1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象是()解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D2．(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x)2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1.答案：D3．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n 的函数，则其表达式为( )A ．y ＝(3n ＋5)1.2n ＋2.4B ．y ＝8×1.2n ＋2.4nC ．y ＝(3n ＋8)1.2n ＋2.4D ．y ＝(3n ＋5)1.2n －1＋2.4解析：第一年企业付给工人的工资总额为：1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对4个选择项来说，当n ＝1时，C 、D 相对应的函数值均不为12，故可排除C 、D ，A 、B 相对应的函数值都为12，再考虑第2年企业付给工人的工资总额及A 、B 相对应的函数值，又可排除B.答案：A4．一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f(h)的大致图象可能是图中的( )解析：当h ＝0时，v ＝0可排除A 、C ；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H 2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H 2时，增加越来越慢． 答案：B二、填空题6．A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出，A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 km/h，B的速度是16 km/h，经过________小时，AB间的距离最短．解析：设经过x h，A，B相距为y km，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x ≤298)， 求得当函数取最小值时x 的值为258. 答案：2587．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ， 则t ＝24，所以再经过16 min.答案：168．要制作一个容积为4 m 3, 高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ， 依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x ＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，所以该容器的最低总造价为160元．答案：160三、解答题10．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)元成反比例．又当x＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解析：(1)∵y 与(x －0.4)成反比例， ∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)． 把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2. (2)根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15x －2·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0， 解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55～0.75， 故x ＝0.5不符合题意，应舍去． ∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.B 级 能力提升1．(2017·北京海淀区一模)已知A(1，0)，点B 在曲线G ：y ＝lnx 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：设B(t ，ln t)，则AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 2，ln t 2，所以有ln t 2＝21＋t ，ln t ＝41＋t ，因此关联点的个数就为方程ln t ＝41＋t 解的个数，由于函数y ＝ln t ，y ＝41＋t在区间(0，＋∞)上分别单调递增及单调递减，所以只有一个交点．答案：B2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n)＝12n(n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年．解析：设第n(n ∈N *)年的年产量为a n ， 则a 1＝12×1×2×3＝3；当n ≥2时，a n ＝f(n)－f(n －1)＝12n(n ＋1)·(2n ＋1)－12n(n －1)(2n －1)＝3n 2. 又a 1＝3也符合a n ＝3n 2，所以a n ＝3n 2(n ∈N *)．令a n ≤150，即3n 2≤150，解得－52≤n ≤52，所以1≤n ≤7，n∈N*，故最长的生产期限为7年.答案：73．(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M 到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为l.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎨⎧a25＋b＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点， y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t)，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2. 故f(t)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22 ＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g(t)＝t2＋4×106t4，则g′(t)＝2t－16×106t5.令g′(t)＝0，解得t＝10 2.当t∈(5，102)时，g′(t)<0，g(t)是减函数；当t∈(102，20)时，g′(t)>0，g(t)是增函数；从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min ＝300，此时f(t)min＝15 3.故当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．基本初等函数与函数的应用指数函数、对数函数是高考考查的热点，题型多以小题的形式出现，中低档难度；二次函数、函数的零点问题是高考考查的重点与热点，题型多以小题或大题的关键一步出现，中高档难度；备考时应理解相关概念，掌握其性质，并切实加强等价转化、数形结合、分类讨论思想的应用意识．强化点1 二次函数（多维探究）三个二次即二次函数、二次方程、二次不等式等知识交汇命题是高考考查的高频考点．常见的命题角度有：(1)二次函数的最值问题；(2)二次函数中恒成立问题；(3)二次函数的零点问题．角度一 二次函数的最值问题1．已知a 是实数，记函数f(x)＝x 2－2ax 在区间[0，1]上的最小值为f(x)min ，求f(x)min 的解析式．解：∵f(x)＝x 2－2ax ＝(x －a)2－a 2，对称轴为x ＝a. ①当a<0时，f(x)在[0，1]上是增函数， ∴f(x)min ＝f(0)＝0.②当0≤a ≤1时，f(x)min ＝f(a)＝－a 2. ③当a>1时，f(x)在[0，1]上是减函数， ∴f(x) min ＝f(1)＝1－2a ，综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a<0，－a 2，0≤a ≤1，1－2a ，a>1.角度二 二次函数中恒成立问题2．已知a 是实数，函数f(x)＝2ax 2＋2x －3在[－1，1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．解：2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒小于0. 当x ＝0时，适合．当x ≠0时，a<32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a<12.综上，实数a 的取值范围是a<12.角度三 二次函数的零点问题3．(2017·郑州二检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x>ax 2＋5x ＋2，x ≤a，函数g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解析：由题意知g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x>ax 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x>a 时有一个解，由x ＝2得a<2. 由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1，2)． 答案：D二次函数图象与性质问题解题策略1．对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论，应以x 2的系数是否为0为标准分类讨论．2．当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况．3．求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．强化点2指数函数与对数函数【例2】已知0<a<1，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝log a x的图象在同一坐标系中可以是()解析：因为0<a<1，所以1a >1，所以函数f(x)＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象过点(0，1)且单调递增，函数g(x)＝log a x 的图象过点(1，0)且单调递减．答案：D已知含参函数的解析式，判断其图象的关键是：根据函数解析式明确函数的定义域、值域，函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数图象特征与性质，则解答此类题目就可事半功倍．【变式训练】 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f(log 47)，b ＝f(log 123)，c ＝f(0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c<a<bB ．c<b<aC ．b<c<aD ．a<b<c 解析：log 123＝－log 23＝－1og 49，b ＝f(log 123)＝f(－log 49)＝f(log 49)，log 47<log 49，0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2－0.6)<f(log 123)<f(log 47)，即c<b<a.答案：B强化点3 函数的应用【例3】 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f （x －1），x>0，若方程f(x)＝x ＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．(－∞，1]D ．[0，＋∞) 解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f （x －1），x>0的图象如图所示，当a<1时，函数y ＝f(x)的图象与函数f(x)＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．答案：C解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．【变式训练】 (1)函数f(x)＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)解析：因为函数f(x)在定义域上单调递增， 又f(－2)＝3－2－1－2＝－269<0，f(－1)＝3－1－12－2＝－136<0，f(0)＝30＋0－2＝－1<0.f(1)＝3＋12－2＝32>0，所以f(0)f(1)<0.所以函数f(x)的零点所在区间是(0，1)． 答案：C(2)(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2－3x ，则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}解析：令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x ＝x 2＋3x. 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x<0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋7>0(舍去)或x＝－2－7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1，3}．答案：D一、选择题1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，2B．0，1 2C．0，－12D．2，－12解析：∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴零点为0和－1 2.答案：C2．(2015·山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．b<a<cD ．b<c<a解析：因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c>1.综上，b<a<c.答案：C3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A ．a>0，4a ＋b ＝0B ．a<0，4a ＋b ＝0C ．a>0，2a ＋b ＝0D ．a<0，2a ＋b ＝0解析：由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0，又f(0)>f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a>0.答案：A4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1，或x>12}，则f(10x )>0的解集为( )A ．{x|－1<x<－lg 2}B ．{x|x<－1，或x>－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2}解析：由题意知，f(x)>0的解集为{x|－1<x<12}．由f(10x)>0，∴－1<10x<12，解得x<lg 12，即x<－lg 2.答案：D5．如图是函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g(x)＝ln x ＋f′(x)的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2，3) 解析：由f(x)的图象知0<b<1，f(1)＝0，从而－2<a<－1，g(x)＝ln x ＋2x ＋a ，g(x)在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a<0，g(1)＝2＋a>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·g(1)<0.答案：C6．当x ∈[－2，2]时，a x <2(a>0，且a ≠1)，则实数a 的范围是( )A ．(1，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) D ．(0，1)∪(1，2) 解析：x ∈[－2，2]时，a x <2(a>0，且a ≠1)，若a>1，y ＝a x 是一个增函数，则a 2<2，得a< 2. 故有1<a< 2.若0<a<1，y ＝a x是一个减函数，则a －2<2，a>22.故有22<a<1.综上知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)． 答案：C二、填空题7．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．解析：∵f(x)＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案：－28．(2015·安徽卷)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－19. 已知函数f(x)＝ax 2＋4x ＋1在区间(－∞，1)有零点，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＝0时，f(x)＝4x ＋1，函数f(x)的零点为x ＝－14，符合题意．当a>0时，只需Δ＝16－4a ≥0，即0<a ≤4. 当a<0时，函数f(x)在(－∞，1)上一定有零点．综上知，a ≤4. 答案：(－∞，4] 三、解答题10．函数f(x)＝m ＋log a x(a>0且a ≠1)的图象过点(8，2)和(1，－1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)＝2f(x)－f(x －1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （8）＝2，f （1）＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f(x)＝－1＋log 2x. (2)g(x)＝2f(x)－f(x －1)＝2(－1＋log 2x)－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x>1)．∵x 2x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2 （x －1）·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g(x)取得最小值1.。
种群数量增长几种数学曲线模型例析
种群生态学研究的核心是种群的动态问题。
种群增长是种群动态的主要表现形式之一，它是在不同环境条件下，种群数量随着时间的变化而增长的状态。
数学曲线模型能直观反映种群数量增长的规律，它能达到直接观察和实验所得不到的效果。
为了更好理解种群数量增长规律，下面结合实例介绍种群数量增长的几种数学曲线模型。
1．种群数量增长曲线模型种群在“无限”的环境中，即环境中空间、食物等资源是无限的，且气候适宜、没有天敌等理想条件下，种群的增长率不随种群本身的密度而变化，种群数量增长通常呈指数增长。
也就是说，种群数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍，t年后种群数量为N t＝N0λt，如果绘成坐标图指数式增长很像英文字母“J”，称之为“J”型增长曲线。
然而自然种群不可能长期地呈指数增长。
当种群在一个有限的环境中，随着密度的上升，个体间对有限的空间、食物和其他生活条件的种内斗争也将加剧，加之天敌的捕食，疾病和不良气候条件等因素必然要影响到种群的出生率和死亡率，从而降低了种群的实际增长率，一直到停止增长。
种群在有限环境条件下连续增长称之为逻辑斯谛增长，这种增长曲线很像英文字母“S”，称之为“S”型增长曲线。
两种类型种群增长模型如右图所示。
例1．右图为某种群在不同环境的增长曲线，据图判断下列说法不正确的是 ( D )A．A曲线呈“J”型，B曲线呈“S”型B．改善空间和资源有望使K值提高C．阴影部分表示有环境阻力存在D．种群数量达到K值时，种群增长最快解析：由图可知，A曲线呈“J”型增长，B曲线呈“S”型增长。
在种群生态学中，环境容纳量（K值）是指在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量。
环境容纳量是一个动态的变量，只要生物或环境因素发生变化，环境容纳量也就会发生相应的变化。
因此，改善空间和资源有望使K值提高。
图像中阴影部分表示环境阻力所减少的生物个体数，代表环境阻力的大小。
种群数量在k/2时增长速率最大。
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几类不同增长的函数模型
教材分析
本节课是在学生学习了指数函数、对数函数以及幂函数等基本初等函数的概念、图象和性质的基础上，对这些基本初等函数性质的进一步拓展和应用，同时也为下一节继续研究函数的增长性和“函数模型的应用”奠定了基础。
教学目标
知识与技能：通过运用函数表格、图象对具体的实际问题进行探究，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义。
过程与方法：通过恰当地运用函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），体会数形结合思想方法，认识函数问题的研究方法：观察—归纳—猜想—证明。
情感与态度：通过经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力。
教学重点
将实际问题转化为数学模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义。
教学难点
结合实际问题体会不同函数模型的增长差异，利用这种增长差异来解决一些实际问题。
教学方法
本节课主要是通过“实际问题—数学问题—数学问题的解—实际问题的解”的研究式学习方法，解决实际问题。
教具准备
ppt课件，计算器
教学过程
一、复习旧知，问题引入
一张纸的厚度大约为0.01 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度列出函数
2=16384,152=32768)
关系式，并用计算器计算n=14时它的厚度.(14
解：纸对折n次的厚度:f(n)=0.01·n2(cm),f(14)=0.01*142=163.84cm
也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解。
本节我们通过实例比较它们的增长差异。
设计意图:通过复习不同的函数模型，熟悉不同函数类型对应着不同的增长方式，自然合理地提出学生感兴趣的问题，创造轻松的氛围。
二、分析问题，建立模型
1、提出问题
例1．假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问：你会选择哪种投资方式？
2.分析问题
1.引导审题，抓住关键词“回报”，除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么? 从解决问题的角度看：
（1）学生分组操作，比较三种方案的每日回报；
x（天）方案一方案二方案三
日回报（元）日回报
（元）
日回报
（元）
1 4010 0.4
2 4020 0.8
3 4030 1.6
4 4040 3.2
5 4050 6.4
6 4060 12.8
7 4070 25.6
8 4080 51.2
9 4090 102.4
10 40100 204.8 ……………………
30 40300 8
2.1510
⨯
50 40500 14
2.2510
⨯
3.引导分析数量关系，建立函数模型
从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，画出函数图象
设第x天所得回报是y元,则
方案一可用函数y=40(x∈N*)进行描述;
方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述;
方案三可以用函数
1
0.42x
y-
=⨯
(x∈N*)。
画出函数图象来分析
4.教师提出问题
要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析,根据所列的表格和函数图像,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?
你会选择哪种投资方案？你能把前11天回报的累积值算出来吗?
5.学生分组讨论，比较不同增长
前11天回报的累积值算
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二10 30 60 100 150 210 180 360 450 550 660 三0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 6、解决实际问题，得出结论
投资8天以下（不含8天）,应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
总结解决实际问题步骤：
实际问题—数学问题—数学问题的解—实际问题的解
总结此例所涉及到的函数模型，比较这几个函数模型的增长差异。
设计意图:引导学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法。
三、深入探究，理性分析
1、提出问题
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，
同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：x y 25.0= 1log 7+=x y
x y 002.1=．其中哪个模型能符合公司的要求？ 2、引导分析
本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么?用数学语言描述符合公司奖励方案的条件
学生讨论得到本题中涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型,实质是比较三个函数的增长情况。
①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元，所以销售利润x 可用不等式表示为10≤x ≤1000 ②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，所以奖金y 可用不等式表示为0≤y ≤5
③依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的25%，所以奖金y 可用不等式表示为0≤y ≤25%x 3、解决问题
教师为每个小组准备好了三个函数的图象，每个小组根据给出的图象探究、讨论、计算，找出合适的模型并做出解释。
①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;
②对于模型y=X 002.1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符合要求;
③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求； 由图像并没有看出按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%,教师继续引导学生深入分析，即当x ∈[10,1000]时,要使y ≤0.25x 成立,只需log7x+1≤0.25x 成立，即log7x+1－0.25x ≤0。
令f(x)= log7x+1－0.25x,当x ∈
[10,1000]时,是否有f(x) ≤0恒成立?作f(x)= log7x+1－0.25x 的图象如下：
200 400 600 80
0 100
0 x y 25.0=x y 002.1=5=y 1log 7+=x y 2 3 4 5 6 7
8 1 0 x y
得出结论
根据图象观察,f(x)=log7x+1－0.25x 的图象在区间[10,1000]内的确在x 轴的下方。
这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%。
设计意图:让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点。
四、学以致用，用以致优 课本98页课后练习2 五、归纳总结，提炼升华
通过本节课的学习，你有哪些收获？请你从知识、方法、思想方面作一个小结。
1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数（没有增长）；一次函数（直线上升）；指数函数（急剧增长）；对数函数（缓慢增长）。
2.方法：函数有三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；函数问题的一般研究方法（实际问题—数学问题—数学问题的解—实际问题的解)
3.思想：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解。
六、布置作业，巩固提高 教材Ｐ107 习题3.2 1-4
y x
1 2 3 4 5 6 7 8 0
f(x)=log7x+1－0.25x
1
-1
200y
x
400600
800
10001200
50-100-150-200
-250-300
-f(x)=log7x+1－0.25x。