-1984年全国初中数学联赛试题及详解
1984年全国初中数学联赛试题及详解
1984年全国初中数学联赛试题及详解一、选择题1. 若a a ->-，则(A)0a > (B)0a < (C)1a <- (D)10a -<< (E)以上结论都不对答( )解：选（A ）当0a ≤时，a a -=-；若0a >，则0a ->，0a -<，因此a a->-成立.故选(A).2. 以线段1613106a b c d ====，，，为边，且使//a c 作四边形，这样的四边形(A)能作一个 (B)能作二个 (C)能作三个 (D)能作无数多个 (E)不能作答( )解：选（E ）.假设能作出，如图1所示，在△ABC 中，三边之长分别为6，6，13，此时两边之和小于第三边，故不能作.故选(E).3. 周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是346S S S ，，，则(A) 346S S S >> (B)643S S S >> (C) 634S S S >>(D) 364S S S >> (E) 463S S S >>答( )解：选（B ）设相同的周长为12l （0l >），则它们的面积分别是023144sin 602S l l =⨯⨯⨯=，()22439S l l ==，22662)S l ==（∴643S S S >> ,故选（B ）启发：在周长一定的条件下，边数越大，面积越大，圆的面积越大. (圆是边数最大的多边形)4. 如图，直线和直线上一点的坐标(,)x y 满足关系式(A)0x y += (B)1x += (C)21x y -= (D)0x y -=(E)0x y -= 答( )解：选（D ）由已给图像可得x y =或x y =-，即x y = ∴0x y -=，故选（D ）.5. 方程2198451331548910x x ++=(A)没有实数根 (B)有整数根(C)有正数根 (D)两根的倒数和小于1-(E)以上结论都不对答( )解：选（E ）由判别式△＞0，否定（A ）；由△不是完全平方数及求根公式否定（B ）；由各项系数都是正数否定（C ）；由12121211198451313154891x x x x x x +-+==>-，否定（D ）. 6. ABC ∆的三条外角平分线相交成一个LMN ∆，则LMN ∆(A)一定是直角三角形 (B)一定是钝角三角形(C)一定是锐角三角形 (D)不一定是锐角三角形(E)一定不是锐角三角形答( )解：选（C ）,如图2，,,L M N 是△ABC 外角平分线的交点，则()1+2LAB B C ∠=∠∠，()1+2LBA A C ∠=∠∠ ∴()()11++++22LAB LBA B C A C ∠∠=∠∠∠∠ ()0011++290+9022A B C C =∠∠∠=∠> 故∠L ＜90°，即为锐角.同理∠M ，∠N 也为锐角,亦即△LMN 为锐角三角形. ,故选（C ）.7. 已知方程22210x kx k +-+=的两个实数根的平方和为294，则k 的值为 (A)3 (B 11- (C)3或11- (D)11 (E)以上结论都不对答( ) 解：选（A ）由于原方程有两实根12,x x ，则2=42(12)0k k ∆-⨯-> ① 由两根平方和为294，则2212294x x += ② 由①，有21680k k +->,解得8k <--8k >-+ ③ 由②，有22221212121229()22224k k x x x x x x -⎛⎫+=+-=--⨯= ⎪⎝⎭ 即为 28330k k +-= , 解得3k =或11k =-,但11k =-不符合③的范围，故3k =,于是选(A).8. 一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的74倍，则这样的两位数有(A)1个 (B)2个 (C)4个 (D)无数多个 (E)0个答( )解：选（C ），设原两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，则710)104a b b a +=+（ 即2b a = ，∵19,19a b ≤≤≤≤ ∴1,2,3,4a =，则2,4,6,8b =，故符合条件的数是12，24，36，48共四个.故选（C ）.9. 半径为13和半径为5的两圆相交，圆心距为12，则这两圆公共弦长为(A) (B)656(C) (D)10 (E)以上结论都不对 答( ) 解法1：选（D ）,设大圆半径（两圆交点到圆心）与连心线的夹角的α，显然00090α<<，于是22213125125cos ,sin ,212131313αα+-===⋅⋅从而公共弦长为5213sin =213=1013α⨯⨯⨯⨯,故选（D ）. 解法2: 选（D ）如图所示,1212125,13OO O A O A ===，,则AB 为公共弦, 2221212+OO O A O A =,02190O O A ∠=,即21O OAB ⊥, 故1210AB O A ==,故选（D ）.10. 下列哪一个数一定不是某个正整数的平方(其中n 为正整数)(A)2333n n -+ (B)2444n n ++ (C)2555n n --(D)2777n n -+ (E)2111111n n +-答( )解：选（B ）∵223333(1)n n n n -+=-+,∴若令2+1=3n n -,这样当2n =时，2333n n -+是3的平方; 同理当3n =时,2555n n --是5的平方;当3n =时, 2777n n -+是7的平方;当3n =时, 2111111n n +-是11的平方.由此可否定（A ）、（C ）、（D ）、（E ），故应选（B ）.二、试推导出一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式.解法1: ∵20(0)ax bx c a ++=≠∴二次项系数化为1（方程两边都除以a ）得20.b c x x a a ++= 移项得2b c x x a a+=-, 配方(两边都加上一次项系数一半的平方)得22222()().224().22b b c b x x a a a ab b ac x a a ++=-+-+=即 当240b ac -≥时，得22b x a a+=±222b b x a a a-=-±=. 解法2：方程两边都乘以4a 得，2244+40a x abx ac +=移项得22444a x abx ac +=-配方(两边都加上2b )得2222444a x abx b b ac ++=-即()222+4ax b b ac =- 当240b ac -≥时，得2ax b +=x =. 三、已知：6lg lg A p q =+，其中p 、q 为质数，且满足29q p -=.求证：34A <<证明：∵ 29q p -=，∴,p q 为一奇一偶 ，又 ∵,p q 为质数，∴2,31p q ==因此66lg2lg31lg(231)lg1984A =+=⨯=∵大于1000的四位数的常用对数的首数为3，尾数是小于1的正小数.∴lg1984的首数为3，尾数是小于1的正小数.故得3＜A ＜4.(注:这里用到了整数的奇偶分析法:只有一奇一偶的两个整数的和差才是奇数,另外关于对数内容已移到高中学习)四、已知：如图，AB BC CA AD ===，AH CD ⊥于H ，CP BC ⊥交AH 于P ， 求证：ABC ∆的面积：S AP BD = .证法1 : 如图(1)，过A 作AE BC ⊥于E ，则E 是BC 的中点,又H 是CD 的中点，连接EH ，则有EH BD ∥,∴HEC DBC ∠=∠ ∵ ,AH CD AE BC ⊥⊥,∴,,,A H C E 四点共圆.∴HAC HEC DBC ∠=∠=∠ 又030EAC EHC BDC ∠=∠=∠=000906030PCA ∠=-=,∴PCA BDC ∠=∠,又PAC HAC DBC ∠=∠=∠,从而ACP BDC ∆∆∽ ∴BDAC BC AP =得AP BD BC AC ⋅=⋅∴ 01sin 602ABC S BC AC AP BD ∆=⋅⋅=⋅. 证法2 如图(2)，设BD 与AH 交于Q ，则由,AC AD AH CD =⊥得ACQ ADQ ∠=∠, ∵AB AD =, ∴ADQ ABQ ∠=∠，∴ABQ ACQ ∠=∠,因此,,,A B C D 四点共圆∴060AQB ACB ∠=∠=,060DQH ∠=，又 ∵090QHD ∠=，∴000906030BDC ∠=-=,000906030ACP ∠=-= ∴ACP BDC ∠=∠ ①又 ∵0090,90APC PCH BCD PCH ∠=+∠∠=+∠∴APC BCD ∠=∠ ②由①、②得APC BCD ∆∆∽ ∴BDAC BC AP = ,即2BC AC BC AP BD =⋅=⋅∵ 24ABC S BC ∆= , ∴4ABC S AP BD ∆=⋅. 五、在锐角ABC 中，1AC =，AB c =，ABC 的外接圆半径长1R ≤，求证：cos cos A c A A <≤.证明：如图，由余弦定理，得2222+2cos 12cos BC AC AB AB AC A c c A =-⋅⋅=+-又由正弦定理，得2224sin BC R A =于是22212cos 4sin c c A R A +-=∵1R ≤, 又R 是正数，∴21R ≤, 从而222212cos 4sin 4sin c c A R A A +-=≤即22(2cos )+(14sin )0c A c A --≤ 解得 cos cos A A c A A ≤≤ 过C 作CD AB ⊥于D ，∵ABC ∆是锐角三角形，则D 在AB 上，从而cos cos AB c AD AC A A =>=⋅= , ∴cos cos A c A A <≤.六、有两种重量(设分别为p 与q ，且p q >)的球五个，涂红、白、黑三种颜色.其中两个红球重量不同，两个白球重量也不同，一个黑球不知它的重量是p 还是q .由于从外形上不能确定球的轻重，请你用一台无砝码的天平(只能比较轻重，不能称出具体重量)称两次，将5个球的轻重都区分出来.试叙述你的称球办法，并说明理由.(提示：用天平称球比较重量的结果，可用等号或不等号表示.) 解：分别用1x 和2x 表示两个红球重量，1y 和2y 表示两个白球重量，z 表示黑球重量.将1+x z 与21+x y 通过天平进行比较（第一次称），结果可分三种情况： 情况1: 121+x z x y =+ 因为12x x ≠ 所以1z y ≠ 解法1: 将z 与1y 用天平进行比较（第二次称）： 当1z y >，得1212,,,,z p y q y p x q x p =====； 当1z y <，得1212,,,,z q y p y q x p x q =====解法2: 也可以将z 与1x 进行比较：1z x =（不可能）当1z x >，得1212,,,,z p x q x p y q y p =====； 当1z x <，得1212,,,,z q x p x q y p y q =====情况2:121x z x y +>+此时必有12x x > ,即12,x p x q ==（否则有121x z p q x y +≤+≤+） 并且1z y ≥（否则有121x z p q x y +=+=+）现将z 与2y 进行比较（第二次称）：当2z y >，得12,,z p y p y q ===；当2z y <，只能21,,z q y p y q ===；当2z y =，从1z y ≥，只能12,,z p y q y p ===解法3：也可以将12x x +与1y z +进行比较（第二次称）： 当12x x +1y z >+，得12,,y q z q y p ===；当12x x +1y z =+，得12,,y q z p y p ===；当12x x +1y z <+，得12,,y p z p y q ===情况3: 121x z x y +<+，此时必有12x x <，即12,x q x p ==，并且1z y ≤ 将z 与2y 比较（第二次称）：当2z y >，得12,,z p y p y q ===；当2z y =，得12,,z q y p y q ===；当2z y <，只能12,,z q y q y p ===.。
1984年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
8. 若四面体的一条棱长是 x，其余棱长都是 1，体积是 F (x)，则函数 F (x) 在其
定义域上 A. 是增函数但无最大值
B. 是增函数且有最大值
()
C. 不是增函数且无最大值 解答
D. 不是增函数但有最大值
设四面体 ABCD 中，△ABC 和 △ABD 是边长
为 1 的正三角形，E 为 AB 的中点，CD = x.
√ 依题意知，AD =1 + x, BD = 1 − x, CD = 1 − x2，由于 AD, CD, BD 成
(1 − x)2 + 1 − x2 > (1 + x)2, x2 + 4x − 1 < 0,
等比数列，于是 (1 + x)2 + 1 − x2 > (1 − x)2
⇒ x2 − 4x − 1 < 0
⇒
2
−
√ 5
<
x
<
√ 5
−
2.
所以
x
∈
(2
−
√√ 5, 5
−
2).
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10. 方程 cos x = cos x 的通解是
，在 (0, 24π) 内不相同的解有
个.
4
解答
x
=
2kπ ± x ⇒
x=
8 kπ
或
8 kπ(k
∈
Z)
⇒
方程
cos x
=
cos x
的通解是
ß4
3
5™
4
x
x
=
8 kπ或x 3
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在 △A′EH 中，EH2 = m2 + n2 − 2mn cos θ
1984年北京市中学生数学竞赛初二年级试题
1984年北京市中学生数学竞赛初二年级试题一、选择题:1．在整数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中,质数的个数为x ,偶数的个数为y ,完全平方数的个数为z ,则x+y+z等于（）（A） 14；（B） 13；（C） 12；（D） 11；（E） 102．下面是演算的习题:(1) （a+b）2 = a 2+ b2；(2) (3-π)-| 3-π| = 0；1 =(4) a 2+(-3) 2 = (a+3)(a+3)，设其中做错的题数为n ,则n =（）（A） 4；（B） 3；（C） 2；（D） 1；（E） 03．设11xy=+,11yx=+,其中x,y均不为0,那么y =（）（A）x-1；（B）1-x；（C）1+x；（D） -x；（E）x4．方程(1984x)2-1983•1985x-1=0的较大的根为r ,1983 x2-1984x+1=0的较小的根为s,则r-s等于（）（A）19841983；（B）19851984；（C）19821983；（D）19831984；（E）05．凸n边形的n个内角与某一个外角的总和为1350°,则n等于（）（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9 （E） 10二、如图,正ΔABC中,P为AB中点, Q为AC中点,R为BC中点, M为RC上任一点, ΔPMS 为正三角形,求证:RM=QS.R M CBA三、若k为正整数,一元二次方程(k-1)x2-px+k=0有两个正整数根,求 k kp(p p+k k)之值.四、平面上有10个点,其中任何两点的距离都不小于1,现将距离恰好等于1的每两点间都连上一条线,试证:这样的线段不会多于30条.五、任给一个正整数,如248,我们总可以用1984的四个数码经过适当的交换得到一个四位数3210a a a a 如8194,恰使 7 | (248+8194).请你证明:对任给的一个自然数N,总存在一个适当交换1984的数码所得到四位数3210a a a a ,使得7| (N+3210a a a a ).。
10t8、9、10 32多边形的面积和面积变换
多边形的面积和面积变换1．（第34届美国中学数学竞赛题）在下图的平面图形中，边AF 与CD 平行，BC 与ED 平行，各边长为1，且∠FAB=∠BCD=60O ，该图形的面积是（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）32（D （E ）22．（第5届美国数学邀请赛试题）如图，五条线段把矩形ABCD 分成了面积相等的四部分，其中XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX ，而PQ 平行于AB.如果BC=19cm ，PQ=87cm ，则AB 的长度等于_________.3.如图，四边形ABCD 的两边BA 和CD 相交于G ，E 、F 各为BD 、AC 的中点.试证：△EFG 的面积等于四边形ABCD 面积的四分之一.4.以直角三角形ABC的两直角边AC、BC为一边各向外侧作正方形ACDE、BCGH，连结BE、AH 分别交AC、BC于P、Q.求证:CP=CQ.5．(第37届美国中学数学竞赛题)如图,ABCDE是正五边形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB 和DE的延长线上所引的垂线.设O是正五边形的中心,若OP=1,则AO+AQ+AR等于( ).（A）3 （B）（C）4 （D）6.（第37届美国中学数学竞赛题）不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12.若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是（）.（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）不同于（A）-（D）的答案7.如图，已知AB是直角三角形ABC的斜边，在射线AC、BC上各取一点B’、A’，使AB’=BA’=AB.P、Q是△ABC内两点，如果P，Q到△ABC各边的距离之和相等，则PQ∥A’B’；反之亦然.8.(1987年全国初中数学联赛试题)如图,已知四边形ABCD内有一点E,连接AE、BE、CE、DE，将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形，那么命题（）.甲. ABCD是凸四边形;乙. E是对角线AC的中点或对角线BD的中点;丙. ABCD是平行四边形中.(A) 只有甲正确 (B)只有乙正确 (C)甲、乙、丙都正确（D）甲、乙、丙都不正确面积问题和面积变换_多种题型测试1． 选择题（1）等腰△ABC 60O，△ABC 的面积是（ ）.（A （B ）（C ）2 （D （E ）以上答案都不对 （2）如图，ABCD 是面积为1的正方形，△PBC 为正三角形，则△BPD 的面积为（ ）.（A ）12 （B ）18 （C ）4 （D ）14 （E ）14（3）已知等腰△ABC 一腰上的中线为15，底边上的高为18，则△ABC 的面积是（ ）.（A ）124 （B ）144 （C ）150 （D ）以上答案都不对2.填空题(1)已知一张矩形纸片ABCD,AB=a,BC=Ka,将纸片折叠一次,使顶点A 与C 重合,如果纸片不重2,则K=__________.(2)已知等腰梯形ABCD 的两对角线AC 、BD 互相垂直相交，且梯形的面积为100cm 2，则梯形的高h=_________.(3)(第3届美国数学邀请赛试题)如图所示,将△ABC 的三个顶点与同一个内点连接起来,所得三条联线把△ABC 分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图上标明. △ABC 的面积是_________.(4)(1984年西安初中数学竞赛题) 如图,设△ABC 的面积为1, 1AD AB m =,1BE BC n =, 1CF CA p=.则△DEF 的面积是___________.3.如图,B在AC上,Q在PR上,PB∥QC，AQ∥BR.求证：AP∥CR.4．（1974年加拿大中学生笛卡尔数学竞赛题）设AD为△ABC一中线，引任一直线CF交AD 于E，交AB于F.证明AE·FB=2AF·ED.5．（1983年中学生联合数学竞赛题）如图，在四边形ABCD中△ABD，△BCD，△ABC的面积比是3：4：1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM：AC=CN：CD，并且B、M、N三点共线，求证：M与N分别是AC与CD的中点.6．P为△ABC内部一点，P到边AB、AC的距离为PE、PF，PE=q，PF=r，PA=x，求证：ax≥cq+br.（a，b，c为相应顶点对应的边长）7．三角形的两边不等，则大边加上这边上的高，不小于小边加上小边上的高.。
1984年全国初中数学联合竞赛试题及解答
一、选择题 1．若 | a | a ，则（ A． a 0 D． 1 a 0 ） B． a 0 E．以上结论都不对 ） C． a 1
2． 以线段 a 16 ，b 13 ，c 10 ，d 6 为边， 且使 a ∥ c 作四边形， 这样的四边形 （ A．能作一个 D．能作无数多个 B．能作二个 E．不能作 ） C．能作三个
B C A H
又由正弦定理，得
BC 2 4R2 sin 2 A ，
于是 12 c2 2c cos A 4R2 sin 2 A ．∴ R ≤1 ，且 R 是正数， ∴ R 2 ≤1 ． 从而 12 c2 2c cos A 4R2 sin 2 A ≤ 4sin 2 A ， 即 c2 (2cos A)c 1 4sin 2 A ≤ 0 ． 解得 cos A 3 sin A ≤ c ≤ cos A 3 sin A ． 过 C 作 CD AB 于 D ． ∵ △ABC 是锐角三角形， 则 D 在 AB 上， 从而 AB c AD AC cos A cos A ， ∴ cos A c ≤ cos A 3 sin A ．
2
b c b b x ． a a 2a 2a
2
2
当 b2 4ac ≥ 0 时，得 x ∴x
b b2 4ac ． 2a 2a
b b2 4ac b b2 4ac ． 2a 2a 2a
三、 【解析】 ∵ p q 29 ， ∴ p ， q 为一奇一偶． 又∵ p ， q 为质数， ∴ p 2 ， q 31 ． 因此 A 6lg 2 lg31 lg(26 31) lg1984 ． ∵1000＜1984＜10000 ∴ lg103 ＜ lg1984 ＜ lg104 故得 3 A 4 ．
1984年数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】
1984年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是(C)X=Y(D)X≠Y【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么(A)F=0,G≠0,E≠0(B)E=0,F=0,G≠0(C)G=0,F=0,E≠0(D)G=0,E=0,F≠0【】[Key] (2)C;(A)一定是零(B)一定是偶数(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数【】[Key] (3)B;(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是(A)x∈(0,1](B)x∈(-1,0)【】[Key] (4)A;(A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角(D)是第二象限角【】[Key] (5)B.二、只要求直接写出结果.(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)x<-2;(4)-20;(5)0;三、本题只要求画出图形.[Key] 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.[Key] 四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c与b或交于一点或互相平行.(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.所以a,b,c交于一点(即P点).(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.所以a,b,c互相平行.[Key] 五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解法一:由原对数方程得cx2+d=1.这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.解法二:原对数方程有解的充要条件是:(1)x>0,cx2+d=1.因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:(1)x>0,(5)x≠1,这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.[Key] 六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0.由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,解法二:同解法一,得q>p2>0.根据实系数一元二次方程的求根公式,得可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.即这就是所求的轨迹方程.[Key] 七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.a=6,b=8.如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则如图建立坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72.解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.内切圆的参数方程为所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而因为0≤α≤2π,所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72.[Key] 八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.(1)证明:先证明x n>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式(x k-2)2>0成立,所以不等式x k+1>2也成立.从而不等式x n>2对于所有的正整数n成立.数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:所以不等式x n>2(n=1,2,…)成立.也可以这样证:对所有正整数n有还可以这样证:由于对所有正整数n有(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及x k>2知证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知再由x k>2及归纳假设可得x1>x2>…>x n>x n+1≥3.因此,由上面证明的结论及x1=α可得若x n≤3,则由第(1)小题可知x n+1<x n,从而有x n+1<3.若x n>3,则由第(1)小题可知x1>x2>…>x n>3.由此式及上面证明的结论,可得九、附加题,不计入总分.如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线[Key] 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解得。
历届全国初中数学联赛真题及答案
1991年全国初中数学联赛试题一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35．答（ ） ２．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±．答（ ） ４．已知：)19911991(2111n nx --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７．如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８．在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21；答（ ）11=S 3S =132=S（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m xx x x )1(1)1(+=-+恒成立，则=++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．120135第二试xx + y，x －y，x y，y四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值; Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是(A)22-(B)22 (C)23(D)21-.答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a 1:1:1; (B)c b a ::(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
01-1984年全国初中数学联赛试题及详解
1984年全国初中数学联赛试题及详解一、选择题1. 若a a ->-，则(A)0a > (B)0a < (C)1a <- (D)10a -<< (E)以上结论都不对答( ) 解：选（A ）当0a ≤时，a a -=-；若0a >，则0a ->，0a -<，因此a a ->-成立.故选(A).2. 以线段1613106a b c d ====，，，为边，且使//a c 作四边形，这样的四边形(A)能作一个 (B)能作二个 (C)能作三个 (D)能作无数多个 (E)不能作答( ) 解：选（E ）.假设能作出，如图1所示，在△ABC 中，三边之长分别为6，6，13，此时两边之和小于第三边，故不能作.故选(E).3. 周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是346S S S ，，，则(A) 346S S S >> (B)643S S S >> (C) 634S S S >>(D) 364S S S >> (E) 463S S S >>答( ) 解：选（B ）设相同的周长为12l （0l >），则它们的面积分别是023144sin 60432S l l l =⨯⨯⨯=，()22439S l l ==，226362)34S l l =⨯⨯=（ ∴643S S S >> ,故选（B ）启发：在周长一定的条件下，边数越大，面积越大，圆的面积越大. (圆是边数最大的多边形)4. 如图，直线和直线上一点的坐标(,)x y 满足关系式 (A)0x y += (B)21x y += (C)21x y -= (D)0x y -=(E)0x y -= 答( )解：选（D ）由已给图像可得x y =或x y =-，即x y = ∴0x y -=，故选（D ）.5. 方程2198451331548910x x ++=(A)没有实数根 (B)有整数根(C)有正数根 (D)两根的倒数和小于1-(E)以上结论都不对答( )解：选（E ）由判别式△＞0，否定（A ）；由△不是完全平方数及求根公式否定（B ）；由各项系数都是正数否定（C ）；由12121211198451313154891x x x x x x +-+==>-，否定（D ）. 6. ABC ∆的三条外角平分线相交成一个LMN ∆，则LMN ∆(A)一定是直角三角形 (B)一定是钝角三角形(C)一定是锐角三角形 (D)不一定是锐角三角形(E)一定不是锐角三角形答( )解：选（C ）,如图2，,,L M N 是△ABC 外角平分线的交点，则()1+2LAB B C ∠=∠∠，()1+2LBA A C ∠=∠∠ ∴()()11++++22LAB LBA B C A C ∠∠=∠∠∠∠ ()0011++290+9022A B C C =∠∠∠=∠> 故∠L ＜90°，即为锐角.同理∠M ，∠N 也为锐角,亦即△LMN 为锐角三角形. ,故选（C ）.7. 已知方程22210x kx k +-+=的两个实数根的平方和为294，则k 的值为 (A)3 (B 11- (C)3或11- (D)11 (E)以上结论都不对答( ) 解：选（A ）由于原方程有两实根12,x x ，则2=42(12)0k k ∆-⨯-> ① 由两根平方和为294，则2212294x x += ② 由①，有21680k k +->, 解得862k <--或862k >-+ ③ 由②，有22221212121229()22224k k x x x x x x -⎛⎫+=+-=--⨯= ⎪⎝⎭ 即为 28330k k +-= , 解得3k =或11k =-,但11k =-不符合③的范围，故3k =,于是选(A).8. 一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的74倍，则这样的两位数有(A)1个 (B)2个 (C)4个 (D)无数多个 (E)0个答( )解：选（C ），设原两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，则710)104a b b a +=+（即2b a = ，∵19,19a b ≤≤≤≤ ∴1,2,3,4a =，则2,4,6,8b =，故符合条件的数是12，24，36，48共四个.故选（C ）.9. 半径为13和半径为5的两圆相交，圆心距为12，则这两圆公共弦长为 (A)311 (B)656(C)6 (D)10 (E)以上结论都不对 答( ) 解法1：选（D ）,设大圆半径（两圆交点到圆心）与连心线的夹角的α，显然00090α<<，于是22213125125cos ,sin ,212131313αα+-===⋅⋅从而公共弦长为5213sin =213=1013α⨯⨯⨯⨯,故选（D ）. 解法2: 选（D ）如图所示,1212125,13O O O A O A ===，,则AB 为公共弦, 2221212+O O O A O A =,02190O O A ∠=,即21O O AB ⊥,故1210AB O A ==,故选（D ）.10. 下列哪一个数一定不是某个正整数的平方(其中n 为正整数)(A)2333n n -+ (B)2444n n ++ (C)2555n n --(D)2777n n -+ (E)2111111n n +-答( )解：选（B ）∵223333(1)n n n n -+=-+,∴若令2+1=3n n -,这样当2n =时，2333n n -+是3的平方; 同理当3n =时,2555n n --是5的平方;当3n =时, 2777n n -+是7的平方;当3n =时, 2111111n n +-是11的平方.由此可否定（A ）、（C ）、（D ）、（E ），故应选（B ）.二、试推导出一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式.解法1: ∵20(0)ax bx c a ++=≠∴二次项系数化为1（方程两边都除以a ）得20.b c x x a a ++= 移项得2b c x x a a+=-, 配方(两边都加上一次项系数一半的平方)得22222()().224().22b b c b x x a a a ab b ac x a a ++=-+-+=即 当240b ac -≥时，得2b x a +=2b x a =-±=解法2：方程两边都乘以4a 得，2244+40a x abx ac +=移项得22444a x abx ac +=-配方(两边都加上2b )得2222444a x abx b b ac ++=-即()222+4ax b b ac =- 当240b ac -≥时，得2ax b +=x =. 三、已知：6lg lg A p q =+，其中p 、q 为质数，且满足29q p -=.求证：34A <<证明：∵ 29q p -=，∴,p q 为一奇一偶 ，又 ∵,p q 为质数，∴2,31p q ==因此66lg 2lg31lg(231)lg1984A =+=⨯=∵大于1000的四位数的常用对数的首数为3，尾数是小于1的正小数.∴lg1984的首数为3，尾数是小于1的正小数.故得3＜A ＜4.(注:这里用到了整数的奇偶分析法:只有一奇一偶的两个整数的和差才是奇数,另外关于对数内容已移到高中学习)四、已知：如图，AB BC CA AD ===，AH CD ⊥于H ，CP BC ⊥交AH 于P ， 求证：ABC ∆的面积：S AP BD =.证法1 : 如图(1)，过A 作AE BC ⊥于E ，则E 是BC 的中点,又H 是CD 的中点，连接EH ，则有EH BD ∥,∴HEC DBC ∠=∠ ∵ ,AH CD AE BC ⊥⊥,∴,,,A H C E 四点共圆. ∴HAC HEC DBC ∠=∠=∠ 又030EAC EHC BDC ∠=∠=∠= 000906030PCA ∠=-=,∴PCA BDC ∠=∠,又PAC HAC DBC ∠=∠=∠,从而ACP BDC ∆∆∽ ∴BDAC BC AP =得AP BD BC AC ⋅=⋅ ∴ 013sin 602ABC S BC AC AP BD ∆=⋅⋅=⋅. 证法2 如图(2)，设BD 与AH 交于Q ，则由,AC AD AH CD =⊥得ACQ ADQ ∠=∠, ∵AB AD =, ∴ADQ ABQ ∠=∠，∴ABQ ACQ ∠=∠,因此,,,A B C D 四点共圆∴060AQB ACB ∠=∠=,060DQH ∠=，又 ∵090QHD ∠=，∴000906030BDC ∠=-=,000906030ACP ∠=-= ∴ACP BDC ∠=∠ ①又 ∵0090,90APC PCH BCD PCH ∠=+∠∠=+∠∴APC BCD ∠=∠ ②由①、②得APC BCD ∆∆∽ ∴BDAC BC AP = ,即2BC AC BC AP BD =⋅=⋅ ∵ 234ABC S BC ∆= , ∴34ABC S AP BD ∆=⋅. 五、在锐角ABC 中，1AC =，AB c =，ABC 的外接圆半径长1R ≤，求证：cos cos 3sin A c A A <≤.证明：如图，由余弦定理，得2222+2cos 12cos BC AC AB AB AC A c c A =-⋅⋅=+-又由正弦定理，得2224sin BC R A =于是22212cos 4sin c c A R A +-=∵1R ≤, 又R 是正数，∴21R ≤,从而222212cos 4sin 4sin c c A R A A +-=≤即22(2cos )+(14sin )0c A c A --≤ 解得 cos 3cos 3A A c A A ≤≤ 过C 作CD AB ⊥于D ，∵ABC ∆是锐角三角形，则D 在AB 上，从而cos cos AB c AD AC A A =>=⋅= , ∴cos cos 3sin A c A A <≤.六、有两种重量(设分别为p 与q ，且p q >)的球五个，涂红、白、黑三种颜色.其中两个红球重量不同，两个白球重量也不同，一个黑球不知它的重量是p 还是q .由于从外形上不能确定球的轻重，请你用一台无砝码的天平(只能比较轻重，不能称出具体重量)称两次，将5个球的轻重都区分出来.试叙述你的称球办法，并说明理由.(提示：用天平称球比较重量的结果，可用等号或不等号表示.)解：分别用1x 和2x 表示两个红球重量，1y 和2y 表示两个白球重量，z 表示黑球重量.将1+x z 与21+x y 通过天平进行比较（第一次称），结果可分三种情况：情况1: 121+x z x y =+ 因为12x x ≠ 所以1z y ≠解法1: 将z 与1y 用天平进行比较（第二次称）：当1z y >，得1212,,,,z p y q y p x q x p =====；当1z y <，得1212,,,,z q y p y q x p x q =====解法2: 也可以将z 与1x 进行比较：1z x =（不可能）当1z x >，得1212,,,,z p x q x p y q y p =====；当1z x <，得1212,,,,z q x p x q y p y q =====情况2:121x z x y +>+此时必有12x x > ,即12,x p x q ==（否则有121x z p q x y +≤+≤+）并且1z y ≥（否则有121x z p q x y +=+=+）现将z 与2y 进行比较（第二次称）：当2z y >，得12,,z p y p y q ===；当2z y <，只能21,,z q y p y q ===；当2z y =，从1z y ≥，只能12,,z p y q y p ===解法3：也可以将12x x +与1y z +进行比较（第二次称）：当12x x +1y z >+，得12,,y q z q y p ===；当12x x +1y z =+，得12,,y q z p y p ===；当12x x +1y z <+，得12,,y p z p y q ===情况3: 121x z x y +<+，此时必有12x x <，即12,x q x p ==，并且1z y ≤ 将z 与2y 比较（第二次称）：当2z y >，得12,,z p y p y q ===；当2z y =，得12,,z q y p y q ===；当2z y <，只能12,,z q y q y p ===.小学六年级奥数 圆柱圆锥圆柱与圆锥这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。
全国初中数学联赛试题详解
缺点和错误恐怕难免，请广大读者不吝指教！
裘宗沪
1993年12月
修订说明
由中国数学会普及工作委员会组织一批中国数学奥林匹克高级教练员编写的《全国初中数学联赛试题详解》，自1994年问世至今，经全国各地许多奥校以及各级各类学校的广大数学爱好者使用以后，无论在内容形式上和装帧设计上均给予好评。不少读者指名要购买此书。
答（）
4．如图，直线l1和l2上点的坐标（x，y）满足关系式
（A）|x|+|y|=0；（B）|x|+ =1；（C）x2-|y|=1；（D）|x|+|y|=0；（E）x-|y|=0
l1y l2
45°45°
O x
5．方程x2+1984513x+3154891=0
（A）没有实数根；（B）有整数根；（C）有正数根；（D）两根的倒数和小于-1；（E）以上结论都不对。
答（）
6．△ABC的三条外角平分线相交成一个△LMN，则△LMN
（A）一定是直角三角形；（B）一定是钝角三角形；（C）一定是锐角三角形；（D）不一定是锐角三角形；（E）一定不是锐角三角形。
答（）
7．已知方程2x2+kx-2k+1=0的两实根的平方和为29/4，则k的值为
（A）3；（B）-11；（C）3或-11；（D）11；（E）以上结论都不对。
1．设a-b=2+ ，b-c=2- ，则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（）。
2．设方程x2-402x+k=0的一根加3，即为另一根的80倍。那么k=（）。
全国初中数学联赛数论题目汇编
33. (1998 联赛)1, 2, 3, · · · , 98 共 98 个自然数中, 能够表示成两整数的平方差的个数是
34. (1998 联赛) 每一本书都有一个国际书号:ABCDEF GHIJ , 其中 ABCDEF GHI 由九个数字排列而 成, J 是检查号码. 令 S = 10A + 9B + 8C + 7D + 6E + 5F + 4G + 3H + 2I ,r 是 S 除以 11 所得的 余数, 若 r 不等于 0 或 1, 则规定 J = 11 − r. (若 r = 0, 则规定 J = 0; 若 r = 1, 规定 J 用 x 表示) 现有一本书的书号是 962y 707015, 那么 y = .
20. (1990 联赛)12 , 22 , 32 , · · · , 1234567892 的和的个位数的数字是 21. (1990 联赛)[x] 表示不超过实数 x 的最大整数, 令 {x} = x − [x] 1 (1) 找出一个实数 x, 满足 {x} + { } = 1 x (2) 证明: 满足上述等式的 x, 都不是有理数.
3 29. (1997 联赛) 若正整数 x,y 满足 x2 + y 2 = 1997, 则 x + y 等于 .
30. (1997 联赛) 已知定理:“若三个大于 3 的质数,a, b, c 满足关系式 2a + 5b = c, 则 a + b + c 是整数 n 的倍数”. 试问: 上述定理中的整数 n 的最大可能值是多少? 并证明你的结论. 31. (1998 联赛) 满足 19982 + m2 = 19972 + n2 (0 < m < n < 1998) 的整数对 (m, n), 共有 32. (1998 联赛) 设平方数 y 2 是 11 个相继整数的平方和, 则 y 的最小值是 . . 个.
全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准（A 卷和B 卷）第一试（A ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（）A. 0B. 3C. 6D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（）A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12B．2C ．1D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为（） A．3-B．6-C ．1D．6+6．设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为. 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形 的概率为.9．已知锐角△ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝.AB CD EF10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为.第一试（B ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（）A. 12B. 9C. 6D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（） A． B ．15CD． 4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12B．2C ．1D ．26．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为. 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为.9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20，AD＝AC 的长为.10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，b，c，d，e，使得ab＋bc＋cd ＋de＋ea最小，则这个最小值为.第二试（A）1．（20分）关于xx有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC.过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.（1）证明：∠BAD＝3∠DAC；（2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN＝MD.3．（25分）设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N .（1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．（25分）若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ， ∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠====. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+，AB CD EFG∴x ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==）时，22x y +取得最小值，最小值为2(21)36---=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15的倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-. ∵2535n n +-是15的倍数，∴21m -是3的倍数， ∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长， ∴所求概率为112.9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点. 又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°. 又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°.又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ， ∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，∴A 不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不小于6.同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63. 如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.第一试（B ）1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bmc m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ， ∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，AB CD EFG代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤≤，故22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠====. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6的倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12.9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE . 设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在Rt △ODE中，由勾股定理得DE =在Rt △ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2）， 此时的和式为155P b b d ed e =++++； 交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法， 此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b d bd d b -=+--=-->，∴12P P >.因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++； 交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小. 当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x >，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.显然，应该有02m ≤<，并且此时方程①只可能有解x =将x =1=-，化简整理得，于是有403m ≤≤，dddd e图1图2图3图4图5此时方程①有唯一解x =综上所述，所求实数m 的取值范围为403m ≤≤.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD . 又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CDBD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α， ∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD . 3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--=①， 方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.第二试（B ）1. 解：∵1ab =，∴1b a=， ∴2111111211211211212321a a M a b a a a a a a a a=+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=+++当a =.∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当ab =时，11112M a b =+++取得最小值2.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ，则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α.∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α，∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α，∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α.又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ，∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ，∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数，则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数.注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+，∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +. 若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 若217|(1)x +，同样可得k ＝1.∴满足条件的正整数k ＝1.。
1992年全国初中数学联赛试题及解答
1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一.选择题1.满足1=+−ab b a 的非负整数的个数是),(b a (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是0x )0(02≠=++a c bx ax ac b 42−=Δ20)2(b ax M +=(A)>ΔM (B)Δ=M (C)Δ>M ; (D)不确定. 3.若,则的个位数字是01132=+−x x 44−+x x (A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数的图像与反比例函数)0(>==a ax y x y 和)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt Δ和的面积分别为S COD Δ1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A) (B)S 21S S >21S = (C) (D)不确定答( )21S S <6.在一个由88×个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则1S 2S 21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .°=∠60A 则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,的最小值是19x x −(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若,则0≠x xx x x 44211+−++的最大值是__________.3.在中,的平分线相交于ABC ΔB A C ∠∠=∠和,90o P 点，又AB PE ⊥于E 点，若，则3,2==AC BC =⋅EB AE .4.若都是正实数，且b a ,0111=+−−b a b a ，则=+33()(ba ab .第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围.062=+−a x x a二、如图，在ABC Δ中，是底边上一点，D AC AB ,=BC E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1992年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一 选择题二 填空题第二试。
-年全国初中数学联赛试题及详解
1985年全国初中数学联赛试题及详解一、选择题（每小题5分，共30分）1. 设ABCD 为圆内接四边形，现在给出四个关系式：(1)sin sin A C = (2)sin sin 0A C += (3)cos cos 0B D += (4) cos cos B D = 其中总能成立的关系式的个数是(A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个答( )解：选（B ）因ABCD 为圆内接四边形，故0180C A ∠=-∠，且,A C ∠∠都不能为 0°及180°，故（1）式恒成立；（2）式恒不成立. 同样由0180D B ∠=-∠，（3）式恒成立；（4）式只有090B D ∠=∠=时成立.故只有（1）、（3）总能成立,故选B. 2. 若n 是大于1的整数，则()()11221n p n n --=+-的值(A)一定是偶数 (B)一定是奇数(C)是偶数但不是2 (D) 可以是偶数也可以是奇数答( )解：选（B ）当n 为偶数时，02)1(1=--n，1p n =+是奇数；当n 为奇数时，12)1(1=--n，且21n -为偶数，故2(1)p n n =+-为奇数，因而()()11221np n n --=+-的值一定是奇数.故选(B).3. 在平行四边形ABCD 中，P 为BC 的中点，过P作BD 的平行线交CD 于Q ，连PA ，PD ，QA ，QB ，则图中与ABP 面积相等的三角形，除ABP 外还有： (A)三个 (B)四个(C)五个 (D)六个答( )解: 选（C ）由题设条件，Q 是CD 的中点，这样图中与ABP ∆面积相等的三角形有三类：(1) 与ABP ∆等底等高的三角形有二个：,BPD PCD ∆∆.(2)一边为BP 边的二倍，而高为BP 上的高之半的三角形有二个：BCQ ∆、ADQ ∆.(3)与BCQ ∆等底同高的三角形有一个：QDB ∆.故共有五个,选（C ）.4. 函数21y x x =--的图像大致形状是(A)图1中的实线部分 (B)图2中的实线部分(C)图3中的实线部分 (D)图4种的实线部分答( )解:（C ）因20x x -=的根为0及1，故222101110, 1.x x x y x x x x x x ⎧+-≤≤⎪=--=⎨-+<>⎪⎩ 由二次函数的图像可知，函数21y x x =--的图像的大致形状是图3中的实线部分.故选(C).5. []x 表示取数x 的整数部分，例如1534⎡⎤=⎢⎥⎣⎦等，若[][]444x u x u y ⎛⎫⎡⎤++=- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 且当181114x =，，，时，1y =；251215x =，，，时，2y =； 36916x =，，，时，3y =；471013x =，，，时，0y =；则表达式中u 等于 (A)24x + (B) 14x + (C) 4x (D) 14x - 答( ) 解:（D ）若24x u +=，则当2x =时，1u =，[]1u =，因而334344y ⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，与题设2x =时，2y =矛盾，故（A ）错.同理，令3x =，可断定（B ）错；令4x =，可断定（C ）错. 从而（D ）正确.故选(D).6. 如图，在等腰ABC 中，CD 是底边AB 上的高，E 是腰BC 的中点，AE 交CD 于F ，现在给出三条路线：()a A F C E B D A →→→→→→()b A C E B D F A →→→→→→ ()c A D B E F C A →→→→→→设它们的长度分别为()L a ，()L b ，()L c ，那么下列三种关系式：()()L a L b <，()()L a L c <，()()L b L c <中，一定能够成立的个数是：(A)0个 (B)1个(C)2个 (D)3个答( )解:（B ）由题条件可知，F 是ABC ∆的重心，因而2,2CF DF AF FE ==，因为CA CB =,由FAD FBD ∆≅∆知AF BF =,()L c AB BE EF FC CA =++++, )L a AF FC CB BA =+++（，故()()0L c L a BE EF AF BE EF BF -=+-=+-> 即))Lc L a >（（，又)+L b AC CE EB BD DF FA =++++（ ))++L c L b AB BD EF FA FC DF CE AD DF EF CE -=----=+--（（（）（）（）当ABC ∆为等边三角形时，AD CE =,DF EF =，因而)()L c L b =（，这说明)()Lb Lc <（ 不恒成立.再因)()La Lb FC DA AC DF DF DA AC -=+--=+-（ 当0120ACB ∠=,且1AC BC ==时,11,,226AD CD DF ===故1)()106L a L b -=-=>（ 即)()L a L b >（,故不等式)()L a L b <（不恒成立，即三个不等式中，只有一个恒成立.故选(B).二、填空题（每小题5分，共30分）1.设2a b -=2b c -=则222a b c ab bc c a ++---的值为________. 解:填15.原式=22222211)()()(2(243022a b b c c a ⎡⎤⎡⎤-+-+-=+-+=⎣⎦⎣⎦（. 方法2: 令222S a b c ab bc ca =++---，则2222222222222()()()=30S a b c ab bc ca a b b c c a =++---=-+-+-∴ 130152S =⨯= ,即22215a b c ab bc ca ++---=. 2. 设方程24020x x k -+=的一根加3，即为另一根的80倍，那么k =__________.解:填1985.设方程两根为12,x x ，由题意，有12380x x +=,即12803x x =-,又 ∵12402x x +=，∴22803402x x -+=，从而2225,803397x x x ==-=,于是1239751985k x x ==⨯=.3. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元，购甲4件，乙10件，共需4.20元.现在购甲、乙、丙各1件共需__________元.解:填1.05元.设购甲货1件需x 元，乙货1件需y 元，丙货1件需z 元，根据题意，有 37 3.15410 4.20x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 即)2(3) 3.151()3(3) 4.202x y z x y x y z x y ++++=⎧⎨++++=⎩（（）（） 13(2)2⨯-⨯（）得 1.05x y z ++=,因此购甲、乙、丙各一件共需1.05元. 4. 不等式2242x ax a +<的解为__________. 解: 原不等式可化为6)(7)0x a x a +-<（ （1）当0a >时，原不等式解集为 76a x a <<-； （2）当0a <时，原不等式解集为 67a x a -<<； (3) 当0a =时，原不等式无解； 5. 已知()0,1x x ≠±和1两个数，如果只许用加法、减法，1作被除数的除法三种运算(可以使用括号)，经过六步算出2x ，那么计算的表达式是__________.解：表达式是[]111(1)x x x ÷÷-÷+- 或[]111)1x x x ÷÷--÷+（. 也可写成1111x x x --+ 或1111x x x +--6. 在正实数集上定义一个运算*，其规则为：当a b ≥时，a a b b *=；当a b <时，2a b b *=.根据这个规则，方程327x *=的解是__________.解:填或3若03x <≤,则33x x *=，又 ∵327x *=,∴327x =，∴3x =;若3x >,则23x x *=, 又 ∵327x *=,∴227x =,∴x ==因此方程，3*x=27的解是3,或三、如图，O 为凸五边形ABCDE 内一点，且12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠.求证：9∠与10∠相等或互补.证法1: 由正弦定理及已知条件得 ,9sin 8sin 7sin 6sin 5sin 4sin 3sin 2sin 1sin 10sin ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠OA OE OE OD OD OC OC OB OB OA 从而sin ∠10= sin ∠9，∴9=10∠∠或09+10=180∠∠, 即∠9与∠10相等或互补.证法2: 由于对定线段的张角为定角的点的轨迹是以定线段为弦的张角为定角的两个相等的弓形弧.【和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹，是以已知线段为弦所含的圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）】，所以由∠1=∠2，得OAB ∆的外接圆与OCB ∆的外接圆相等；同理，OCB ∆的外接圆与OCD ∆的外接圆相等；OCD ∆的外接圆与ODE ∆的外接圆相等;ODE ∆的外接圆与OAE ∆的外接圆相等； 于是OAB ∆的外接圆与OAE ∆的外接圆相等，从而∠9与∠10相等或互补.四、如图，1O ，2O 外切于A ，半径分别为1r 和2r ；PB ，PC 分别为两圆的切线， B ，C 为切点；12::PB PC r r =；又PA 交2O 于E 点.求证：PAB PEC ∆∆∽.证法1： 如图1，连接111222,,O A O B PO PO O A O C ，，，，则12,O A O ，三点共线，∵12::PB PC r r =，∴1Rt PBO ∆∽2Rt PCO ∆,∴3=4∠∠ 121212:::PO PO r r O A O A ==，于是PA 为12O PO ∠的平分线，即∠1=∠2，连接2O E ，由12O AP O EP ∠=∠，得1O A P ∆∽2O EP ∆∴ 12::PA PE r r =，即::PA PE PB PC = 又由∠3=∠4，∠1=∠2，知BPA CPE ∠=∠ ∴PAB PEC ∆∆∽证法2：如图2，延长BA 交⊙2O 于B ',过B '作直线平行于PB 交PA 的延长线于P '，交PC 的延长线于Q . 连接1122,,,O B O A O A O B '，则由12,,O A O 三点共线，知12O AB O AB '∠=∠ , ∴12O BA O B A '∠=∠，从而1O B ∥2O B ' 又∵BP ∥B P ''，1O B PB ⊥，∴2O B P Q ''⊥，即P Q '为2O 的切线，B '为切点. ∵BP ∥B P ''，∴ABP AB P ''∆∆∽，∴::PB P B AB AB '''=由12AO B AO B '∆∆∽知12::AB AB r r '=又12::PB PC r r =,∴::PB P B PB PC ''= ∴P B PC ''=又QC QB '=,∴ QP QP '=设2QO 交PA 于F ,FQ 为PQP '∠的平分线 ∴2,O F AE AF FE ⊥= 从而P F PF '= ∴P A PE '= 又,B P A CPE P B PC ''''∠=∠= ,∴P AB PEC '∆∆≌,∴PAB PEC ∆∆∽.五、有一长、宽、高分别为正整数m ，n ，r ()m n r ≤≤的长方体，表面涂上红色后切成棱长为1的正方体，已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红色的正方体个数得1985.求m ，n ，r 的值.解: （1）若1m =，这时1n =，没解，∴2n ≥ 依题意，不带红色的正方体的个数为00k =，一面带红色的正方体的个数为10k =，两面带红色的正方体的个数为2(2)(2)k n r =--，于是有01221985k k k k -+==即2)(2)19855397n r --==⨯（ ∴252397n r -=⎧⎨-=⎩或2121985n r -=⎧⎨-=⎩ ∴ 7399n r =⎧⎨=⎩或31987n r =⎧⎨=⎩∴ 1,7,399m n r ===，或 1,3,1987m n r ===（2）若2m =，依题意,不带红色的正方体的个数为00k =，一面带红色的正方体的个数为12(2)(2)k n r =--,两面带红色的正方体的个数为24(2)4(2)k n r =-+-，则 1k 与 2k 都是偶数，显然01221985k k k k -+=≠.(3)若2m >，依题意，不带红色的正方体个数为0(2)(2)(2)k m n r =---；一面带红色的正方体个数为12(2)(2)2(2)(2)2(2)(2)k m n m r n r =--+--+--； 两面带红色的正方体个数为24(2)4(2)4(2)k m n r =-+-+-；于是有 0211985k k k +-=,即[](2)(2)2)4(2)(2)+(2m n r m n r ---+-+---（）[]2(2)(2)(2)(2)(2)(2)1985m n m r n r --+--+--=亦即[]2)2[(2)2][(2)2]198581977m n r ------=-=（ 4)(4)(4)1977m n r ---=（∵1977=13659=111977=1(1)1977⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯（） ∴41434659m n r -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ 或414141977m n r -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩或414141977m n r -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩∴57663m n r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或551981m n r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或331981m n r =⎧⎪=⎨⎪=⎩综上所述，符合题意的,,m n r 有五组：1,7,399m n r ===；1,3,1987m n r ===；5,7,663m n r ===；5,5,1981m n r ===；3,3,1981m n r ===.*六、桌面上有五枚硬币正面全部向上，若每次任意翻动四枚能否经过若干次后，将背面全部翻到上面来？解:不能.对于任意一枚硬币来说翻动一次背面向上,翻动两次背面向下,一般来说,翻动奇数次时背面向上,翻动偶数次时背面向下.若五枚硬币背面全部向上时,每枚硬币摇翻动的次数分别为12521,21,,21n n n ---(125,,,n n n 均为正整数),共翻动125[2()5]n n n +++-次,这一结果为奇数次;另一方面, 每次任意翻动四枚硬币,设共翻动n 次可使五枚硬币背面全部翻到上面来,总共翻动4n 次,矛盾.故无论翻动多少次背面不能全部翻上来.。
专题 多边形的面积和等积变换
竞赛讲座32－多边形的面积和面积变换本讲在初二几何范围内，通过实例对平面图形的面积和用面积变换解几何题作些简单介绍.所用知识不多，简列如下：（1）全等形的面积相等；（2）多边形的面积定理（三角形、梯形等，略）；（3）等底等高的三角形，平行四边形，梯形的面积相等（对梯形底相等应理解为两底和相等）；（4）等底（等高）的三角形，平行四边形，梯形的面积比等于这底上的高（这高对应的底）的比.以下约定以△ABC同时表示△ABC的面积.1．多边形的面积例1 （第34届美国中学数学竞赛题）在图23-1的平面图形中，边AF与CD平行，BC与ED平行，各边长为1，且∠FAB=∠BCD=，该图形的面积是（）（A）（B）1 （C）（D）（E）2分析将这个图形分解为若干个基本图形——三角形，连BF、BE、BD得四个与△ABF全等的正三角形，进一步计算可得图形面积为.所以选（D）.例2 （第5届美国数学邀请赛试题）如图23-2五条线段把矩形ABCD 分成了面积相等的四部分，其中XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX，而PQ平行于AB.如果BC=19cm，PQ=87cm，则AB的长度等于_________.分析如图,延长PQ交AD、CB于E、F.由YB+BC+CZ=WD+DA+AX知a+c=b+d,又梯形PQWZ与梯形PQYX面积相等,故E、F分别为AD、CB的中点.而S AXPWD=S BYQZC，∴EP=QF，设为e.由S AXPWD=S PQZW得∴2e=106，∴AB=2e+87=193.例3.如图23-3四边形ABCD的两边BA和CD相交于G，E、F各为BD、AC的中点.试证：△EFG 的面积等于四边形ABCD面积的四分之一.分析注意到E、F各为BD、AC的中点，连结EA、EC和FD.则如果能够证明△EFG的面积等于四边形AEFD的面积，问题即可解决.为此，取AD的中点P，连PE、PF，则PE∥GB，PF∥GC.于是△GEP=△AEP，△GFP=△DFP.而△PEF公用.∴△GEF=S AEFD.至此，问题得解.证明略.2．利用面积变换解几何题先看一个例子.例4.以直角三角形ABC的两直角边AC、BC为一边各向外侧作正方形ACDE、BCGH，连结BE、AH分别交AC、BC于P、Q.求证:CP=CQ.证明 (如图23-4)显然S△GCQ=S△HCQ，∵HB∥AG，∴S△GCQ=S△ACH=S△ABC.同理,S△BDP=S△ABC.∴S△AGQ=S△BDP,∴CQ·AG=CP·BD.∵AG=AC+GC=DC+BC=BD，∴CP=CQ.此例是关于平面图形中线段的等式，看似与面积无关，然而我们却利用图形之间面积的等量关系达到了证明的目的.这种不考虑图形的形状只从图形的面积关系入手来研究图形的度量关系和位置关系的方法即所谓面积变换.例5 (第37届美国中学数学竞赛题)图23-5中,ABCDE是正五边形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB和DE的延长线上所引的垂线.设O是正五边形的中心,若OP=1,则AO+AQ+AR等于( ).（A）3 （B）1+（C）4 （D）2+ (E)5分析因题设中AP、AQ、AR分别与CD、CB、DE垂直，这就便于利用面积作媒介.注意到即由CD=BC=DE，则AP+AQ+AR=5·OP故AO+AQ+AR=4.应选（C）.例6 （第37届美国中学数学竞赛题）不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12.若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是（）.（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（E）不同于（A）-（D）的答案解设△ABC第三边上的高为h，面积为S，则该三角形的三边可表示为显见＞.据“三角形两边之和大于第三边”有+＞，+＞. 解得3＜h＜6.所以选（B）.例7 图23-6中，已知AB是直角三角形ABC的斜边，在射线AC、BC上各取一点、，使P、Q是△ABC内两点，如果P，Q到△ABC各边的距离之和相等，则PQ∥；反之亦然.证明设P、Q到△ABC各边的距离之和分别为S（P），S（Q）.连PA、PB、P、P，不难发现△APB+△AP+△PB-△P=△ABC-△C（定值）.于是=同理，显然，当S（P）=S（Q）时，，∴PQ∥反之，当PQ∥时，∴S（P）=S（Q）.3．一个定理的应用定理已知△ABC、△DBC共边BC，AD交BC或其延长线于E，则分析当B或C点与E重合时，结论显然成立.当B、C都不与E重合时，有两种情况：若E在BC之间，由△ABE=易知结论成立；若E在BC之外类似可证.证明略.这个定理叙述的事实虽然简单,但却能解决大问题.例8 (1987年全国初中数学联赛试题)如图23-8已知四边形ABCD内有一点E,连接AE、BE、CE、DE，将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形，那么命题（）.甲. ABCD是凸四边形; 此处无图乙. E是对角线AC的中点或对角线BD的中点;丙. ABCD是平行四边形中.(A) 只有甲正确 (B)只有乙正确 (C)甲、乙、丙都正确（D）甲、乙、丙都不正确分析如果ABCD是以AC为对称轴的凹四边形，易见AC的中点具有题中E点所要求的性质，所以甲、丙都不正确.设AE、BE、CE、DE将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形，BD、AC交于F，由△ABE=△ADE 及本讲定理知F是BD的中点，即E在AF上.如果F与E重合，则E是BD的中点，乙成立.如果F与E不重合，同理由△BEC=△DEC是E 在直线CF上，也就是说A、C都在直线EF上.再由△ABE=△BEC，得AE=EC，所以E是AC的中点，乙成立.所以选（B）.如果将三点A、B、C在一条直线上看成是△ABC的蜕化情况，那么A、B、C三点共线等价于△ABC=0.由此引出证明三点共线的一条极自然的思路:欲证三点A、B、C共线，只要证明△ABC=0.为了计算△ABC的面积，常在A、B、C之外适当选一点P，如果△PAB、△PBC、△PAC 三者之中一个等于另两个之和，则自然有△ABC=0，这方面传统的例子是梅内劳斯定理的证明.例9在图33-9△ABC的两边AB、AC上分别取E、F两点，在BC的延长线上取点D，使则D、E、F三点共线. 此处无图证明设则于是①②③由①、②、③易得△BDE=△BEF+△BDF，∴D、E、F三点共线.说明：A、B、C共线即点B在直线AC上.由此即知欲证l1、l2、l3共点，只要证l1、l2的交点B在直线l3上，若在l3上别取点A、C，则只要证明△ABC=0即可.看来三线共点的问题可转化为三点共线来解决，这方面典型的例子是塞瓦定理的证明（见练习题）.最后，我们来看一个漂亮的作图问题.例10设A、B是直线l1上的两点，而C、D是直线l2上的两点，l1与l2交于O，作出平面上一切满足条件△PAB=△PCD的点P.分析如图23-10，在l1上取E、F，使O为EF中点且EO=AB；在l2上取G、H，使O为GH 中点且GO=CD.不妨设E、G、F、H之顺序使EGFH成为以O为中心的平行四边形.设EG、GF、FH、HE之中点顺次为M、S、N、R，则P点为直线MN和RS上的一切点.设P为RS上或MN上任一点，由作图知△PAB=△PFO，△PCD=△PGO.由本讲定理知△PFO=△PGO，所以△PAB=△PCD.当P点不在直线MN上且不在RS上时，可以用反证法证明△PAB≠△PCD.练习二十三1．选择题（1）等腰△ABC中，一腰上的高线长为，这个高线与底边的夹角是，△ABC的面积是（）.（A）（B）2（C）2 （D）（E）以上答案都不对（2）如图，ABCD是面积为1的正方形，△PBC为正三角形，则△BPD的面积为（）.（A）（B）（C）（D）（E）（3）已知等腰△ABC一腰上的中线为15，底边上的高为18，则△ABC的面积是（）. （A）124 （B）144 （C）150 （D）以上答案都不对2.填空题(1) 已知一张矩形纸片ABCD,AB=a,BC=Ka,将纸片折叠一次,使顶点A与C重合,如果纸片不重合部分面积为,则K=__________.(2) 已知等腰梯形ABCD的两对角线AC、BD互相垂直相交，且梯形的面积为100cm2，则梯形的高h=_________.(3) (第3届美国数学邀请赛试题)如图所示,将△ABC的三个顶点与同一个内点连接起来,所得三条联线把△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图上标明. △ABC的面积是_________.(4) (1984年西安初中数学竞赛题)设△ABC的面积为1,则△DEF的面积是___________.3.如图,B在AC上,Q在PR上,PB∥Q C，AQ∥BR.求证：AP∥CR.4．（1974年加拿大中学生笛卡尔数学竞赛题）设AD为△ABC一中线，引任一直线CF交AD 于E，交AB于F.证明AE·FB=2AF·ED.5．（塞瓦定理）设X、Y、Z分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，若则AX、BY、CZ三线共点.6．（1983年中学生联合数学竞赛题）如图，在四边形ABCD中△ABD，△BCD，△ABC的面积比是3：4：1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM：AC=CN：CD，并且B、M、N三点共线，求证：M与N分别是AC与CD的中点.此处无图7．P为△ABC内部一点，P到边AB、AC的距离为PE、PF，PE=q，PF=r，PA=x，求证：ax≥cq+br.（a，b，c为相应顶点对应的边长）8．三角形的两边不等，则大边加上这边上的高，不小于小边加上小边上的高.9．设△ABC的面积S=1.试分别在边BC、CA、AB上依次我一内点E、F、G，使得△EFG的面积适合＜＜练习二十三１．ＡＤＢ２．（１）４－．（２）１０（３）３１５．（４）３．连ＰＣ、ＢＱ．△ＰＱＣ＝△ＢＱＣ，△ＡＢＲ＝△ＢＱＲ∴△ＰＲＣ＝ＳＱＲＣＢ＝△ＡＲＣ，∴ＡＰ∥ＣＲ．４．连ＢＥ后，引入三个面积参数，即Ｓ１＝△ＡＥＦ，Ｓ２＝△ＢＥＦ，Ｓ３＝△ＢＥＤ＝△ＤＥＣ则△ＡＥＣ＝△ＡＢＥ＝Ｓ１＋Ｓ２．５．设ＡＸ与ＢＹ交于点Ｏ，连ＺＯ、ＯＣ．设易知△ＡＯＺ＝λ△ＢＯＺ，△ＡＯＣ＝λμ△ＡＯＢ＝λμ（）＝λ△ＢＯＣ，∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ－△ＡＯＺ－△ＡＯＣ＝△ＡＢＣ－λ△ＢＯＺ－λ△ＢＯＣ∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ＝△ＢＺＣ∴Ｚ、Ｏ、Ｃ共线．∴ＡＸ、ＢＹ、ＣＺ共点．６．设及△ＡＢＣ＝１．这时，△ＡＢＤ＝３，△ＢＣＤ＝４，△ＡＣＤ＝３＋４－１＝６．△ＡＢＭ＝ｒ，△ＢＣＭ＝１－ｒ，△ＢＣＮ＝４ｒ，△ＡＣＮ＝６ｒ，△ＣＮＭ＝△ＢＣＮ－△ＢＣＭ＝４ｒ－（１－ｒ）＝５ｒ－１，△ＡＭＮ＝△ＡＣＮ－△ＣＮＭ＝６ｒ－（５ｒ－１）＝ｒ＋１．因此，所以解得即Ｍ与Ｎ分别是ＡＣ与ＣＤ的中点．７作ＡＨ⊥ＢＣ，设ＡＨ＝ｈ．又作ＰＤ⊥ＢＣ，设ＰＤ＝ｐ．显然ａｈ＝ａｐ＋ｃｑ＋ｒｂ，∴ｃｑ＋ｂｒ＝ａ（ｈ－ｐ）≤ａｘ．８．如图，设ＡＢ＝ｃ，ＡＣ＝ｂ，ｃ＞ｂ．ＢＤ＝ｈｂ，ＣＥ＝ｈｃ．易知ｂ－ｈｃ≥０，ｃ－ｈｂ≥０，ｃｈｃ＝ｂｈｂ．∴ｂｃ－ｃｈｃ＝ｂｃ－ｂｈｂ＝ｂ（ｃ－ｈｂ）＜ｃ（ｃ－ｈｂ），即ｃ（ｂ－ｈｃ）＜ｃ（ｃ－ｈｂ），∴ｂ－ｈｃ＜ｃ－ｈｂ，即ｂ＋ｈｂ＜ｃ＋ｈｃ．９．作法：如图，作△ＡＢＣ的中位线Ｂ′Ｃ′并延长Ｂ′Ｃ′至Ｍ，使Ｂ′Ｍ＝Ｂ′Ｃ′．作Ｂ′Ｅ⊥ＢＣ，垂足为Ｅ（当∠Ａ为△ＡＢＣ的最大内角时，Ｅ必为ＢＣ的内点），作MＤ∥Ｂ′Ｅ，交ＡＢ于Ｄ．选ＤＣ′的任一内点Ｇ，连结ＧＢ′、ＣＥ，并将点Ｂ′改名为Ｆ，则△ＥＦＧ即为所求．练习二十三１．ＡＤＢ２．（１）４－．（２）１０（３）３１５．（４）３．连ＰＣ、ＢＱ．△ＰＱＣ＝△ＢＱＣ，△ＡＢＲ＝△ＢＱＲ∴△ＰＲＣ＝ＳＱＲＣＢ＝△ＡＲＣ，∴ＡＰ∥ＣＲ．４．连ＢＥ后，引入三个面积参数，即Ｓ１＝△ＡＥＦ，Ｓ２＝△ＢＥＦ，Ｓ３＝△ＢＥＤ＝△ＤＥＣ则△ＡＥＣ＝△ＡＢＥ＝Ｓ１＋Ｓ２．５．设ＡＸ与ＢＹ交于点Ｏ，连ＺＯ、ＯＣ．设易知△ＡＯＺ＝λ△ＢＯＺ，△ＡＯＣ＝λμ△ＡＯＢ＝λμ（）＝λ△ＢＯＣ，∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ－△ＡＯＺ－△ＡＯＣ＝△ＡＢＣ－λ△ＢＯＺ－λ△ＢＯＣ∴△ＢＯＺ＋△ＢＯＣ＝△ＡＢＣ＝△ＢＺＣ∴Ｚ、Ｏ、Ｃ共线．∴ＡＸ、ＢＹ、ＣＺ共点．７．设及△ＡＢＣ＝１．这时，△ＡＢＤ＝３，△ＢＣＤ＝４，△ＡＣＤ＝３＋４－１＝６．△ＡＢＭ＝ｒ，△ＢＣＭ＝１－ｒ，△ＢＣＮ＝４ｒ，△ＡＣＮ＝６ｒ，△ＣＮＭ＝△ＢＣＮ－△ＢＣＭ＝４ｒ－（１－ｒ）＝５ｒ－１，△ＡＭＮ＝△ＡＣＮ－△ＣＮＭ＝６ｒ－（５ｒ－１）＝ｒ＋１．因此，所以解得即Ｍ与Ｎ分别是ＡＣ与ＣＤ的中点．７作ＡＨ⊥ＢＣ，设ＡＨ＝ｈ．又作ＰＤ⊥ＢＣ，设ＰＤ＝ｐ．显然ａｈ＝ａｐ＋ｃｑ＋ｒｂ，∴ｃｑ＋ｂｒ＝ａ（ｈ－ｐ）≤ａｘ．此处无图８．如图，设ＡＢ＝ｃ，ＡＣ＝ｂ，ｃ＞ｂ．ＢＤ＝ｈｂ，ＣＥ＝ｈｃ．易知ｂ－ｈｃ≥０，ｃ－ｈｂ≥０，ｃｈｃ＝ｂｈｂ．∴ｂｃ－ｃｈｃ＝ｂｃ－ｂｈｂ＝ｂ（ｃ－ｈｂ）＜ｃ（ｃ－ｈｂ），即ｃ（ｂ－ｈｃ）＜ｃ（ｃ－ｈｂ），∴ｂ－ｈｃ＜ｃ－ｈｂ，即ｂ＋ｈｂ＜ｃ＋ｈｃ．９．作法：如图，作△ＡＢＣ的中位线Ｂ′Ｃ′并延长Ｂ′Ｃ′至Ｍ，使Ｂ′Ｍ＝Ｂ′Ｃ′．作Ｂ′Ｅ⊥ＢＣ，垂足为Ｅ（当∠Ａ为△ＡＢＣ的最大内角时，Ｅ必为ＢＣ的内点），作MＤ∥Ｂ′Ｅ，交ＡＢ于Ｄ．选ＤＣ′的任一内点Ｇ，连结ＧＢ′、ＣＥ，并将点Ｂ′改名为Ｆ，则△ＥＦＧ即为所求．此处无图．。
-1985年全国初中数学联赛试题及详解
1985年全国初中数学联赛试题及详解一、选择题（每小题5分，共30分）1. 设A B C D 为圆内接四边形，现在给出四个关系式：(1)sin sin A C = (2)sin sin 0A C += (3)cos cos 0B D += (4) cos cos B D = 其中总能成立的关系式的个数是(A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个答( )解：选（B ）因A B C D 为圆内接四边形，故0180C A ∠=-∠，且,A C ∠∠都不能为 0°及180°，故（1）式恒成立；（2）式恒不成立. 同样由0180D B ∠=-∠，（3）式恒成立；（4）式只有090B D ∠=∠=时成立.故只有（1）、（3）总能成立,故选B.2. 若n 是大于1的整数，则()()11221np n n --=+-的值(A)一定是偶数 (B)一定是奇数(C)是偶数但不是2 (D) 可以是偶数也可以是奇数答( )解：选（B ）当n 为偶数时，02)1(1=--n，1p n =+是奇数；当n 为奇数时，12)1(1=--n，且21n -为偶数，故2(1)p n n =+-为奇数，因而()()11221np n n --=+-的值一定是奇数.故选(B).3. 在平行四边形A B C D 中，P 为B C 的中点，过P作B D 的平行线交C D 于Q ，连P A ，P D ，Q A ，Q B ，则图中与A B P 面积相等的三角形，除A B P 外还有： (A)三个 (B)四个 (C)五个 (D)六个答( ) 解: 选（C ）由题设条件，Q 是C D 的中点，这样图中与A B P ∆面积相等的三角形有三类： (1) 与A B P ∆等底等高的三角形有二个：,B P D P C D ∆∆.(2)一边为B P 边的二倍，而高为B P 上的高之半的三角形有二个：B C Q ∆、A D Q ∆. (3)与B C Q ∆等底同高的三角形有一个：Q D B ∆.故共有五个,选（C ）.DAC B PQ4. 函数21y x x =--的图像大致形状是(A)图1中的实线部分 (B)图2中的实线部分 (C)图3中的实线部分 (D)图4种的实线部分答( )解:（C ）因20x x -=的根为0及1，故222101110, 1.x x x y x xx xx x ⎧+-≤≤⎪=--=⎨-+<>⎪⎩由二次函数的图像可知，函数21y x x =--的图像的大致形状是图3中的实线部分. 故选(C).5. []x 表示取数x 的整数部分，例如1534⎡⎤=⎢⎥⎣⎦等，若[][]444x u x u y ⎛⎫⎡⎤++=- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 且当181114x =，，，时，1y =；251215x =，，，时，2y =；36916x =，，，时，3y =；471013x =，，，时，0y =；则表达式中u 等于(A)24x + (B)14x + (C)4x (D)14x -答( ) 解:（D ）若24x u +=，则当2x =时，1u =，[]1u =，因而334344y ⎛⎫⎡⎤=-=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，与题设2x =时，2y =矛盾，故（A ）错.同理，令3x =，可断定（B ）错；令4x =，可断定（C ）错. 从而（D ）正确.故选(D). 6. 如图，在等腰A B C 中，C D 是底边A B 上的高，E 是腰B C 的中点，A E 交C D 于F ，现在给出三条路线：()a A F C E B D A →→→→→→ ()b A C E B D F A →→→→→→ ()c A D B E F C A →→→→→→设它们的长度分别为()L a ，()L b ，()L c ，那么下列三种关系式：()()L a L b <，()()L a L c <，()()L b L c <中，一定能够成立的个数是：(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个答( ) 解:（B ）由题条件可知，F 是A B C ∆的重心，因而2,2C F D F A F F E ==， 因为C A C B =,由F A D F B D ∆≅∆知A F B F =,()L c A B B E E F F C C A =++++,)L a A F F C C B B A =+++（，故()()0L c L a B E E F A F B E E F B F -=+-=+->即))L c L a >（（，又)+L b A C C E E B B D D F F A =++++（))++L c L b A B B D E F F A F C D F C E A D D F E F C E-=----=+--（（（）（）（）当A B C ∆为等边三角形时，A D C E =,D F E F =，因而)()L c L b =（，这说明)()L b L c <（ 不恒成立.再因)()L a L b F C D A A C D F D F D A A C -=+--=+-（当0120A C B ∠=,且1A C B C ==时,311,,,226A D C D D F ===故31335)()10266La Lb --=+-=>（ 即)()L a L b >（,故不等式)()L a L b <（不恒成立，即三个不等式中，只有一个恒成立.故选(B). 二、填空题（每小题5分，共30分）1. 设23a b -=+，23b c -=-，则222a b c a b b c c a ++---的值为________.解:填15. 原式=22222211)()()(23)(23)43022a b b c c a ⎡⎤⎡⎤-+-+-=++-+=⎣⎦⎣⎦（.方法2: 令222S a b c a b b c c a =++---，则2222222222222()()()=30S a b c a b b c c a a b b c c a =++---=-+-+-FCBAED∴ 130152S =⨯= ,即22215a b c a b b c ca ++---=.2. 设方程24020x x k -+=的一根加3，即为另一根的80倍，那么k =__________. 解:填1985.设方程两根为12,x x ，由题意，有12380x x +=,即12803x x =-, 又 ∵12402x x +=，∴22803402x x -+=，从而2225,803397x x x ==-=, 于是1239751985k x x ==⨯=.3. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元，购甲4件，乙10件，共需4.20元.现在购甲、乙、丙各1件共需__________元.解:填1.05元.设购甲货1件需x 元，乙货1件需y 元，丙货1件需z 元，根据题意，有 37 3.15410 4.20x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 即)2(3) 3.151()3(3) 4.202x y z x y x y z x y ++++=⎧⎨++++=⎩（（）（）13(2)2⨯-⨯（）得 1.05x y z ++=,因此购甲、乙、丙各一件共需1.05元.4. 不等式2242x a x a +<的解为__________. 解: 原不等式可化为6)(7)0x a x a +-<（ （1）当0a >时，原不等式解集为 76a x a <<-； （2）当0a <时，原不等式解集为 67a x a -<<；(3) 当0a =时，原不等式无解；5. 已知()0,1x x ≠±和1两个数，如果只许用加法、减法，1作被除数的除法三种运算(可以使用括号)，经过六步算出2x ，那么计算的表达式是__________.解：表达式是[]111(1)x x x ÷÷-÷+- 或[]111)1x x x ÷÷--÷+（.也可写成1111x x x --+ 或1111x x x+--6. 在正实数集上定义一个运算*，其规则为：当a b ≥时，aa b b *=；当a b <时，2a b b *=.根据这个规则，方程327x *=的解是__________.解:填33,或3若03x <≤,则33x x *=，又 ∵327x *=,∴327x =，∴3x =;若3x >,则23x x *=, 又 ∵327x *=,∴227x =, ∴2733x ==因此方程，3*x=27的解是3,33或.三、如图，O 为凸五边形A B C D E 内一点，且12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠. 求证：9∠与10∠相等或互补. 证法1: 由正弦定理及已知条件得,9sin 8sin 7sin 6sin 5sin 4sin 3sin 2sin 1sin 10sin ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠OA OE OE OD OD OC OC OB OB OA从而sin ∠10= sin ∠9，∴9=10∠∠或09+10=180∠∠, 即∠9与∠10相等或互补. 证法2: 由于对定线段的张角为定角的点的轨迹是以定线段为弦的张角为定角的两个相等的弓形弧.【和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹，是以已知线段为弦所含的圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）】，所以由∠1=∠2，得OAB ∆的外接圆与O C B ∆的外接圆相等；同理，O C B ∆的外接圆与O C D ∆的外接圆相等；O C D ∆的外接圆与O D E ∆的外接圆相等;O D E ∆的外接圆与O A E ∆的外接圆相等；于是O A B ∆的外接圆与O A E ∆的外接圆相等，从而∠9与∠10相等或互补.四、如图，1O ，2O 外切于A ，半径分别为1r 和2r ；P B ，P C 分别为两圆的切线，B ，C 为切点；12::P B P C r r =；又P A 交2O 于E 点.求证：P A B P E C ∆∆∽. 证法1： 如图1，连接111222,,O A O B P O P O O A O C ，，，， 则12,O A O ，三点共线，∵12::P B P C r r =， ∴1R t P B O ∆∽2R t P C O ∆,∴3=4∠∠121212:::P O P O r r O A O A ==，于是P A 为12O P O ∠的平分线，即∠1=∠2，连接2O E ，由12O A P O E P ∠=∠，得1OA P ∆∽2O E P ∆∴ 12::P A P E r r =，即::P A P E P B P C = 又由∠3=∠4，∠1=∠2，知B P A C P E ∠=∠ ∴P A B P E C ∆∆∽证法2：如图2，延长B A 交⊙2O 于B ',过B '作直线平行于P B 交P A 的延长线于P '，AO 1O 2PQBC E交P C 的延长线于Q . 连接1122,,,O B O A O A O B '，则由12,,O A O 三点共线，知12O A B O A B '∠=∠ , ∴12O B A O B A '∠=∠，从而1O B ∥2O B '又∵B P ∥B P ''，1O B P B ⊥，∴2O B P Q ''⊥，即P Q '为2O 的切线，B '为切点.∵B P ∥B P ''，∴A B P A B P ''∆∆∽，∴::P B P B A B A B '''=由12A O B A O B '∆∆∽知12::A B A B r r '= 又12::P B P C r r =,∴::P B P B P B P C ''= ∴P B P C ''= 又Q C Q B '=,∴ Q P Q P '=设2Q O 交P A 于F ,F Q 为P Q P '∠的平分线 ∴2,O F A E A F F E ⊥= 从而P F P F '= ∴P A P E '= 又,B P A C P E P B P C ''''∠=∠= ,∴P A B P E C '∆∆≌,∴P A B P E C ∆∆∽. 五、有一长、宽、高分别为正整数m ，n ，r ()m n r ≤≤的长方体，表面涂上红色后切成棱长为1的正方体，已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红色的正方体个数得1985.求m ，n ，r 的值.解: （1）若1m =，这时1n =，没解，∴2n ≥ 依题意，不带红色的正方体的个数为00k =，一面带红色的正方体的个数为10k =，两面带红色的正方体的个数为2(2)(2)k n r =--，于是有01221985k k k k -+==即2)(2)19855397n r --==⨯（∴252397n r -=⎧⎨-=⎩或2121985n r -=⎧⎨-=⎩ ∴ 7399n r =⎧⎨=⎩或31987n r =⎧⎨=⎩∴ 1,7,399m n r ===，或 1,3,1987m n r ===（2）若2m =，依题意,不带红色的正方体的个数为00k =，一面带红色的正方体的个数为12(2)(2)k n r =--,两面带红色的正方体的个数为24(2)4(2)k n r =-+-，则 1k 与2k 都是偶数，显然01221985k k k k -+=≠.(3)若2m >，依题意，不带红色的正方体个数为0(2)(2)(2)k m n r =---； 一面带红色的正方体个数为12(2)(2)2(2)(2)2(2)(2)k m n m r n r =--+--+--； 两面带红色的正方体个数为24(2)4(2)4(2)k m n r =-+-+-； 于是有 0211985k k k +-=,即[](2)(2)2)4(2)(2)+(2m n r m n r ---+-+---（）[]2(2)(2)(2)(2)(2)(2)1985m n m r n r --+--+--=亦即[]2)2[(2)2][(2)2]198581977m n r ------=-=（4)(4)(4)1977m n r ---=（∵1977=13659=111977=1(1)1977⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯（）∴41434659m n r -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ 或414141977m n r -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩或414141977m n r -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩ ∴57663m n r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或551981m n r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或331981m n r =⎧⎪=⎨⎪=⎩综上所述，符合题意的,,m n r 有五组：1,7,399m n r ===； 1,3,1987m n r ===； 5,7,663m n r ===； 5,5,1981m n r ===； 3,3,1981m n r ===.*六、桌面上有五枚硬币正面全部向上，若每次任意翻动四枚能否经过若干次后，将背面全部翻到上面来？解:不能.对于任意一枚硬币来说翻动一次背面向上,翻动两次背面向下,一般来说,翻动奇数次时背面向上,翻动偶数次时背面向下.若五枚硬币背面全部向上时,每枚硬币摇翻动的次数分别为12521,21,,21n n n ---(125,,,n n n 均为正整数),共翻动125[2()5]n n n +++-次,这一结果为奇数次;另一方面, 每次任意翻动四枚硬币,设共翻动n 次可使五枚硬币背面全部翻到上面来,总共翻动4n 次,矛盾.故无论翻动多少次背面不能全部翻上来.。
整数奇偶性习题 (含答案
习题一1．选择题(1)若n是大于1的整数，则p=n+(n2-1)1(1)2r--的值(A)一定是偶数．(B)一定是奇数．(C)是偶数但不是2．(D)可以是偶数也可以是奇数．(1985年全国初中数学联赛题)(2)设二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p，q都是奇数那么它的根一定是(A)奇数．(B)偶数．(C)分数．(D)无理数．(1983年上海市初中数学竞赛题)(3)如果n是正整数，那么18[1-(-1)n](n2-1)的值(A)一定是零．(B)一定是偶数．(C)是整数但不一定是偶数．(D)不一定是整数．(1984年全国高考题)(4)满足等式1983=1982x-1981y的一组自然数是(A)x=12785，y=12768．(B)x=12784，y=12770．(C)x=11888，y=11893．(D)x=1947，y=1945．(1983年福建省初中数学竞赛题)(5)若7个连续偶数之和为1988，则此7个数中最大的一个是(A)286．(B)288．(C)290．(D)292．(1987年全国部分省市初中数学通讯赛题)(6)已知n是偶数，m是奇数，方程组19881127x y nx y m-=⎧⎨+=⎩的解x py q=⎧⎨=⎩是整数，则(A)p，q都是偶数．(B)p，q都是奇数．(C)p是偶数，q是奇数．(D)p是奇数，q是偶数．(1989年“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)(7)如果方程x2+(4n+1)x+2n=0(n为整数)有两个整数根，那么这两个根是(A)都是奇数．(B)都是偶数．(C)一奇一偶．(D)无法判断．(1985年成都市初中数学竞赛题)(8)设a，b都是整数，给出四个命题：(i)若a+5b是偶数，则a-3b也是偶数；(ii)若a+b能被3整除，则a，b都能被3整除；(iii)若a+b是素数，则a-b一定不是素数；(iv)若c=a+b≠0，则3333a b a ba c a c--=++．上述命题中是正确命题的个数是(A)1个．(B)2个．(C)3个．(D)4个．(第二届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)(9)六个奇数，它们的和是42，它们的平方和只可能是(A )280． (B )368． (C )382． (D )423．(1990年南昌市初中数学竞赛题)(10)自然数1，2，3，…，1989之和为一个奇数，若将前t 个数添上“-”号，则这1989个数的和(A )总是奇数． (B )总是偶数．(C )t 为奇数时其和为整数． (D )奇偶性不能确定．(第6届缙云杯数学邀请赛题)(11)设u =x 2+y 2+z 2，其中x ，y 是相邻的整数，且z =xy(A )总为奇数． (B )总为偶数．(C )有时为偶数，有时为奇数． (D )总为无理数．(第6届缙云杯数学邀请赛题)(12)设a 为任一给定的正整数，则关于x 与y 的方程x 2-y 2=a 2(A )没有正整数解． (B )只有正整数解．(C )仅当a 为偶数时才有整数解． (D )总有整数解．(1988年江苏省初中数学竞赛题)(13)将正奇数1，3，5，7，…依次排成五列，如下表所示．把最左边的一列叫做第1列，从左到右依次将每列编号．这样，数“1985”出现在(A )第1列．(B )第2列．(C )第3列．(D )第4列．(E )第5列．(1985年第36届美国中学生数学竞赛题)2．扑克牌中的A ，J ，Q ，K 分别表示1，11，12，13．甲取13张红桃，乙取13张黑桃，分别洗和后，甲、乙依次各出一张牌，使红、黑牌配成13对，求证：这13对的差的积必为偶数．(1987年天津市初二数学竞赛题)3．求证：1986不能等于任何一个整数系数二次方程ax 2+bx +c=0的判别式的值．(1985年苏州市初中数学竞赛题)4．设有n 个实数x 1，x 2，…，x n ，其中每一个不是+1就是-1，且12x x +23x x +…+1n nx x ＋1n x x =0，求证：n 是4的倍数．(1985合肥市初中数学竞赛题) 5．把n 2个互不相等的实数排成下表：a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……a n 1，a n 2，…，a nn ．取每行的最大数得n 个数，其中最小的一个是x ；再取每列的最小值，又得n 个数，其中最大的一个是y ，试比较x n 与y n 的大小．(1982年上海市高中数学竞赛题)6．把1980分解成连续整数之和．(1980年长沙市高中数学竞赛题)7．求证：当n 为自然数时，2(2n +1)形式的数不能表示为两个整数的平方差．(1990年西安市初中数学竞赛题)8．设n 是正的偶数，试问下列诸数：1×(n -1)，2×(n -2)，…，(n -1)×1中哪个数最大？为什么？(1989年浙江省初二数学竞赛题)9．有一无穷小数A =0.a 1a 2a 3…a n a n +1a n +2…，其中a k (k =1，2，…)是0，1，2，…，9中的一个数，且a 1为奇数，a 2为偶数，a 3等于a 1+a 2的个位数，a 4等于a 2+a 3的个位数，…，a n +2等于a n +a n +1的个位数．求证：A 是一个循环小数．(1991年浙江省初中数学竞赛题)10．在99张卡片上分别写着数字1，2，3，…，99，现将卡片顺序打乱，让空白面朝上，再在空白面上分别写上1，2，3，…，99，然后将每一张卡片两个面上的数字相加，再将这99个和数相乘，问这个乘积是奇数还是偶数？说明理由．(1991年浙江省初中数学竞赛题)11．桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中的一枚，按这样的方法翻动硬币，问能否使桌上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上？说明你的理由．(1992年浙江省初中数学竞赛题)12．求证：不存在两个连续的奇数，每个都可写成两个整数的平方和．13．已知一个整数n ，当它减去48所得的差是一个整数的平方，当它加上41所得的和是另一个整数的平方，求n ．(1984年苏州市高中数学竞赛题)14．给定自然数a ，b ，求证：(1)如果ab 是偶数，那么一定可以找到两个自然数c 和d ，使得a 2+b 2+c 2=d 2；(2)如果ab 是奇数，那么满足a 2+b 2+c 2=d 2的自然数c 和d 一定不存在．(1980年北京市初中数学竞赛题)15．平面上的任意五个格点，若任何三点都不在同一条直线上，求证：以其中三点为顶点的所有三角形中，至少有一个面积为整数．16．设数列{a n }：1，9，8，5，…，其中a i +4是a i +a i +3的个位数字(i =1，2，…)，求证：222198519862000a a a +++是4的倍数． 17．存在多少个不同的七位数字，其数字和为偶数．18．设a ，b 是正整数，求证：仅有有限个正整数n 存在，使得1122n na b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是整数．(1992澳大利亚数学竞赛题) 19．设a ，b ，c 是奇自然数，求证：方程ax 2+bx +c =0没有形如p q 的解，其中p ，q 是整数．(1991澳大利亚数学通讯赛题)20．求满足|12m -5n |=7的全部正整数解．(第30届加拿大IMO 训练题)21．求证：x 2+y 2=1983没有整数解．22．求证：方程2x 2-5y 2=7没有整数解．23．是否有整数m ，n 使得5m 2-6mn +7n 2=1987？24．求证：5x +2=17y 没有正整数解．25．求证：四个正整数之和为13时，它们的立方和不可能是120．你能否把这个命题推广到一般的情形？请证明你的结论．26．一张8×8的方格纸，任意把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂成白色，接着对涂了色的方格纸进行“操作”，每次操作把任意横行或者竖列上每个方格同时变换颜色，问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？27．用0至9十个不同数字，组成一个能被11整除的最大十位数．28．在一个凸n 边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n 边形的顶点之间，用线段连结起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n 边形分为只有三角形的小块．求证：这种小三角形的个数与n 的奇偶性相同．29．在1，2，3，…，1989之间填上“+、-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？(第15届全俄中学生数学竞赛题)30．三个质数之积恰好等于它们和的7倍，求这三个质数．31．置于暗室的一只抽屉内装有100只红袜子，80只绿袜子，60只蓝袜子，40只黑袜子，一个人从抽屉中选取袜子，但他无法看清所取袜子的颜色．为确保取出的袜子至少有10双(一双袜子是指两只相同颜色的袜子，但每只袜子只能一次用在一双中)，问至少需取多少只袜子？(第37届美国中学生数学竞赛题)32．如图表示64间陈列室，凡邻室皆有门相通，一人从A 进，从B 出，但要求每室都到且只到一次，问这种路线是否存在？33．求证：不存在三阶幻体．即将数1，2，…，27填入3×3×3的立方体中，不可能使所有“共线”的三数之和均相等．34．设a ，b 是自然数，且有关系式123456789=(11111+a )(11111-b )，求证：a -b 是4的倍数．(1990年日本高考数学题)35．求证：方程x 2+4xy +4y 2+6x +12y =1986无整数解．36．已知多项式x 3+bx 2+cx +d 的系数都是整数，并且bd +cd 是奇数，求证：这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积．(1963年北京市中学数学竞赛题)37．求证：x 4+1980x 2+2000x +1990不可能分解成两个整系数二次三项式之积．38．设有7个3的不同方幂：13x ，23x ，…，73x ，(x i ≥0，i =1，2，…，7)．求证：可以从中找到四个数，它们的积等于某整数的四次方．39．求出所有的正整数m ，n ，使得(m +n )m =n m +1413．(1987年第2届东北三省数学邀请赛题)40．给定关于x ，y 的方程组22200y x a y xy x b --=⎧⎨-+-=⎩ (其中a ，b 是整数)．求证：如果这个方程组有一组有理数解，那么这组有理数一定是整数．41．求证：勾股三角形(即边长为整数的直角三角形)的两条直角边长不可能是两个差为2的质数．42．设n为大于2的整数，求证，可以找到一个整数边长的直角三角形，它的一条边长等于n．43．设a，b，c为三个偶数，且a>b>c>0，它们的最小公倍数为1988．当a在它可取值的范围内取最小的一个时，试确定a，b，c可能组成的数组．(1988年天府杯初中数学竞赛题)44．设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101，已知a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=S是偶数，求证：a1+a3+…+a99+a101是偶数．45．设n为正整数，k为大于1的正整数，求证：n k是n个连续奇数之和．46．设a，b，c为正整数，n为正奇数．如果a+b+c可被6整除，求证：a n+b n+c n可被6整除．47．求证：任何形如2n的正整数，都不可能表示为两个或两个以上的连续整数之和，而其他形式的正整数都可以表示为这样的和．48．设a，b，c，d都是奇数，0<a<b<c<d，且ad=bc．如果对整数k和m 有a+d=2k及b+c=2m，求证：a=1．(第25届IMO试题)49．设点O在凸1000边形A1A2...A1000内部，用整数1，2， (1000)1000边形的各边任意编号，用同样的整数把线段OA1，OA2，…，OA1000任意编号．问能否找到这样一种编号法，使△A1OA2，△A2OA3，…，△A1000OA1各边上的号码和相等？50．已知如下数表：将它的任一行或任一列中的所有数同时变号，称为一次变换．问能否经过若干次变换，使表中的数全变为正数？51．设集合M由奇数个元素组成，如果对于M中的每一个元素x，都有一个唯一确定的集合H x M与x对应，并且满足条件：(i)对于任意x∈M，都有x∈H x；(ii)对于任意两个元素x，y∈M，当且仅当y∈H x时，x∈H y．求证：至少有一个H x由奇数个元素组成．(1987年安徽省数学竞赛题)52．在两张1994×1995的方格纸上涂上红蓝两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是蓝色的，如果将这两张纸重叠时，有一个蓝格与一个红格重合，求证：至少还有三个方格与不同颜色的方格重合．53．m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论．(第2届全国中学生数学冬令营试题)54．在4000与7000之间有多少个偶数具有4个不同的数字？(1993年第11届美国数学邀请赛试题)55．设E ={1，2，3，…，200}，G ={a 1，a 2，…，a 100}⊂E ．且G 具有下列两条性质：(i)对任何1≤i ≤j ≤100，恒有a i +a j ≠201；(ii)1001i i a =∑=10080．求证：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一个定数．(1990年全国高中数学联赛题)56．每个正整数都可以表示成一个或者多个连续正整数之和，试对每个正整数n ，求n 有多少种不同的方法表示成这样的和．(1992年中国台北第1届数学竞赛题)57．设r 为正整数，定义数列{a n }如下：a 1=1．且对每个正整数n ，a n +1=22(1)2rn ma n n +++．求证：每个a n 都是正整数，且确定对哪些n ，a n 是偶数．(1992年中国台北第1届数学竞赛题)习题一解答1．(1)B ．(2)D ．(3)B ．(4)C ．(5)C ．(6)C ．(7)C ．(8)B ．(9)C ．(10)A ．(11)A ．(12)B ．(13)B ．2．由于这13对数的差的和为0，所以不可能每对数的差都是奇数(原因是它们的和为奇数)．于是至少有一对数的差为偶数，即13对数的差的积必为偶数．3．用反证法．设△=b 2-4ac =1986=4k +2(k 为正整数)，这时b 2能被2整除，因而b 为偶数，令b =2t ，b 2=4t 2且4t 2-4ac =4k +2．这时等式左边的数被4整除，而右边的数不能被4整数，矛盾．4．由于n 个实数x 1，x 2，…，x n 中每一个不是+1就是-1，所以n 个实数12x x ，23x x ，…，1n x x 中每一个不是+1就是-1．设其中有a 个+1，b 个-1，则a +b =n ．又由12x x +23x x +...+1n x x =0，即a -b =0，∴a =b =2n ．又由于12x x .23x x .. (1)n x x =1，即1a ·(-1)b =-1，∴b 为偶数，设b =2m ，则n =4m ．5．设x =a ij ，y =a pq ，a ij ≥a iq ≥a pq ，∴x ≥y ．(1)当n 是奇数时，x n ≥y n ；(2)当n 是偶数时，(i)如果x ≥y ≥0，则x n ≥y n ；(ii)如果0≥x ≥y ，则x n ≤y n ；(iii)如果x ≥0≥y ，则当x ≥-y 时，x n ≥y 时，x n ≤y n ．6．设1980=a +(a +1)+…+(a +n -1)，即na +12n (n -1)=22·32·11·5， 故有n (2a +n -1)=23×32×11×5．易知n 与2a +n -1有不同的奇偶性，由此可得n ，2a +n -1与a 的取值如下表：可知分解成连续正整数的分解法有12种，分解成含有负整数的分解法也有12种，共有24种不同的分解法．7．应用反证法，进行奇偶性分析．8．所列各数可表示为i (n -i )(i =1，2，…，n -1)，由于i (n -i )=-i 2+in =-(i 2-2·2n ·i +24n )+24n =24n -(i -2n )2．故当i =2n 时，i (n -i )取得最大值，且最大值为2n (n -2n )=24n ． 9．由题设知：A =0.a 1a 2…a n a n +1…中的a i 是0，1，2，…，9中的数，而a 1是奇数，a 2是偶数，a 3是由a 1+a 2确定的，个位数必为奇数，以下类推，可知有如下规律：A =0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……因为0，1，2，…，9这10个数字只能组成不同的奇偶数组25个，开首的不同奇偶数组，便决定了不同的A ．另一方面，对于每一个A ，至多在小数点后第26个奇偶组之后便开始循环，出现重复的奇偶组，因此，A 必然是循环小数．10．因为1，2，…，99中，奇数个数多于偶数个数，两面数字之和中必有一个是两面为奇数的情况，此时必然得到其和为偶数，99个和的乘积也必然是偶数．11．能．按题目规定的翻法，共翻了1+2+3+…+1993=1993×997(次)，平均每枚硬币翻动了997次，这是奇数．翻动奇数次的结果，必使硬币朝向相反，只要在翻动n 个硬币时，选择翻动1993-n 个硬币时所剩余的硬币，则每个硬币恰好都翻动了997次，故能使所有1993枚硬币都反了面，将原来朝下的一面都变成朝上．12．可表成两整数的平方和的奇数必是4m +1型，故不存在．13．设n -48=m 2，n +41=l 2，解得m =±44，l =±45，∴n =48+442=1984．14．(1)分两种情况讨论：a ，b 一奇一偶，则a 2+b 2为奇数．可设a 2+b 2=2k +1，所以a 2+b 2+k 2=(k +1)2．故可找到c =k ，d =k +1，使a 2+b 2+c 2=d 2成立；a ，b 同为偶数，则a 2+b 2是4的倍数，可设a 2+b 2=4m +4，所以，a 2+b 2+m 2=(m +2)2，故可找到c =m ，d =m +2，使a 2+b 2+c 2=d 2成立．(2)∵ab 是奇数，∴a ，b 都是奇数．不妨设a =2m+1，b =n +1，则a 2+b 2=(2m +1)2+(2n +1)2=4m 2+4n 2+4m +4n +2．可见a 2+b 2是偶数，但不能被4整除．如果存在c ，d ，使a 2+b 2+c 2=d 2成立，则d 2-c 2=(d +c )(d -c )应为偶数，即d +c 与d -c 应都是偶数，因此a 2+b 2=d 2-c 2必能被4整除，这就导致了矛盾．15．设五个格点为A k ，其坐标是(x k ，y k )(k =1，2，3，4，5)．在五个整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中至少有三个同是奇数或者同是偶数．不妨设三个整数为x 1，x 2，x 3，则x 1-x 3和x 2-x 3都是偶数．△A 1A 2A 3的面积=11223311121x y x y x y =12|(x 1-x 3)(y 2-y 3)-(x 2-x 3)(y 1-y 3)|． ∵y 2-y 3和y 1-y 3都是整数，∴(x 1-x 3)(y 2-y 3)-(x 2-x 3)(y 1-y 3)是偶数，∴△A 1A 2A 3的面积为整数．16．当原数列中a i 为奇数，偶数时，分别记b i 为1，0，则得数列{b i }：1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1，1，0，1，0，…且a i 与b i 的奇偶性相同．由观察及{a i }，{b i }的定义可见，{b i }从第15项开始出现循环，即b i =b i +15．∵1985=15×132+5，1986=15×132+6，…，2000=15×133+5，∴b 1985=b 5=0，b 1986=b 6=1，…，b 2000=b 5=0，即在a 1985到a 2000的16项中，奇数，偶数各有8项．由于偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，∴21985a +…+22000a 是4的倍数．17．研究以下10个七位数：a 1a 2a 3a 4a 5a 60，a 1a 2a 3a 4a 5a 61，…，a 1a 2a 3a 4a 5a 69，这里a 1，a 2…，a 6为任意数字，且a 1≠0．显然数字和为偶数的有5个．第一个数字a 1可以取9个不同的值，a 1，a 2…，a 6中的每一个可以取10个不同的值，∴存在9·105·5=45·105个不同的七位数字，其数字和为偶数．18．当n 为偶数时，(2a +1)n +(2b +1)n =(4a 2+4a +1)2n +(4b 2+4b +1)2n 是奇数的2倍，不能被2n 整除，所以(a +12)n +(b +12)n 不可能是整数；当n 为奇数时，(2a +1)n +(2b +1)n =2(a +b +1)[(2a +1)n -1-(2a +1)n -2(2b +1)+…+(2b +1)n -1]．这里第二个括号内有n 个奇数项，它们的代数和为奇数，所以若(a +12)n +(b +12)n 是整数，必有2n 整除2(a +b +1)，显然这样的整数n 只有有限个．19．假设x =p q是方程的解，(p ，q )=1，则方程可化为ap 2+bpq +cq 2=0．由已知a ，b ，c 为奇数．(1)当p ，q 都为奇数时，方程左边=奇数，而右边为零，矛盾：(2)当p ，q 为一奇一偶时，可推知方程左边仍为奇数，矛盾．20．若5n -12m =7，两边mod4，得1≡3(mod4)，这不可能．若12m -5n =7，而m ，n 中有一个大于1，则另一个也大于1，mod3可得(-1)n +1≡(mod3)，∴n 为奇数，而mod8可得-5n ≡-1(mod8)．∵n 为奇数，上式导出-5≡-1(mod8)．矛盾！∴m =1，n =1是唯一的解．21．显然x ，y 的奇偶性相反．若x =2n ，则y =2k +1，(2n )2+(2k +1)2=1983，即4(n 2+k 2+k )=1982，但41982，∴方程x 2+y 2=1983没有整数解．22．设方程有整数解，则y 应是奇数，可设为y =2k +1，则2x 2-5(2k +1)2=7，整理得x 2-10k 2-10k =6，可见x 是偶数．设x =2M ，则有2M 2-5k (k +1)=3，因k (k +1)是偶数，而两个偶数之差不可能等于奇数，因此等式不成立，原方程没有整数解．23．容易看出，若m ，n 同奇同偶，所给方和左边为偶数，而1987是奇数，矛盾．所以m ，n 一奇一偶，从而m +n 与m -n 是奇数．原方程为4(m -n )2+(m +n )2+2n 2=1987．①(1)若n =2k ，m -n =2l +1，m +n =2p +1，由①式得4(2l +1)2+(2p +1)2+2(2k )2=1987，即16(l 2+l )+4p (p +1)+8k 2+5=1987．②∵p (p +1)是偶数，∴16(l 2+l )+4p (p +1)+8k 2能被8整除，则②式可写成8M +5=1987，但1987被8除余3，故上式不可能成立．(2)若n 为奇数时，类似可推出②式左边为8k +7，矛盾，故满足要求的整数m ，n 不存在．24．设有正整数x ，y 使得5x +2=17y ，即(3·2-1)x +2=(3·6-1)y ，∴3k +(-1)x +2=3l +(-1)y ，即(-1)x +2=3m +(-1)y ．若y 为奇数，则(-1)x =3(m -1)，这不可能，∴y 必须是偶数．另一方面，由5x +2=17y =(5·3+2)y =5M +2y ，知2y -2可被5整除，但y 为偶数时，2y -2的末位数是2或4，又得矛盾．25．由已知可知四数必是三奇一偶或一奇三偶，不论哪一种，四数之立方和为奇数，不可能为120．一般命题：如果偶数个正整数之和为奇数，则它们的幂之和必为奇数．26．回答是否定的．可用奇偶性来证明：设横行或竖列内含k 个黑色方格及8-k 个白色方格(0≤k ≤8)．当改变方格颜色时，即得8-k 个黑色方格和k 个白色方格，因此，每进行一次操作，黑色方格数“增加了”(8-k )-k =8-2k (即改变了一个偶数)．于是无论进行多少次操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性无变化．所以原来32个黑色方格(偶数)进行操作后，最后还是有偶数个黑色方格，决不会得到恰有一个(奇数)黑色方格的方格纸．27．设十位数中，五个奇数位数字之和为a ，五个偶数位数字之和为b (10≤a ≤35，10≤b ≤35)，则a +b =45．又十位数能被11整除，则a -b 应为0，11，22．由于a +b 与a -b 有相同的奇偶性，经分析所求的十位数是9876524130． 类似地，我们还可以求出由0到9十个不同数字组成的能被11整除的最小十位数为1203465879．28．设小三角形的个数为k ，则k 个小三角形共有3k 条边，减去n 边形的n 条边及重复计算的边数后共有12(3k -n )条线段．显然只有k 与n 有相同的奇偶性时，12(3k -n )才是整数． 29．除995外，可将1，2，…，1989所有数分为994对：(1，1989)，(2，1988)，…，(994，996)，每对数中两个数的奇偶性相同，所以在每对数前无论放置“+”、“-”号，运算结果只能是偶数．而995为奇数，所以数1，2，…，1989的总值是奇数，于是所求的最小非负数不小于1；数1可用下列方式求得：1=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(1986-1987-1988+1989)．30．设三个质数分别为x ，y ，z ，则x +y +z =7xyz ，∴x ，y ，z 中必有一个是7．若x =7，则yz =y +z +7，即(y -1)(z -1)=8．利用奇偶性分析求得y =5，z =3．31．注意到一种袜子至多一只无配偶，而且，某一种颜色的袜子有一只无配对 该颜色的袜子取了奇数只．当取出袜子总数是奇数时，最坏的可能是有三种颜色为奇数只，由此可知至少要取23只袜子。
1984年全国高中数学联合竞赛试题及解答
1984年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题(本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分) 1984*1、 集合(){}为常数a a z zS ,arg 2==在复平面上的图形是( )A ．射线a z 2arg =B ．射线a z 2arg -=C ．射线a z =argD ．上述答案都不对 ◆答案：D★解析：由于[)π2,0arg ∈z ， a z -=π2arg ，故选D ．1984*2、下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式()0log log 2>y x x 的是( )y 2=xy 2=xy 2=xy 2=xx =1x =1x =1x =11D.C.B.A.OxyOx yOx yO x y1111111◆答案：D★解析：当10<<x 时，得012>>>x y ；当1>x 时，得12>>x y ．选D ．1984*3、 对所有满足51≤≤≤m n 的n m ,，极坐标方程θρcos 11nm C -=表示的不同双曲线条数是( )A ．15B ．10C ．7D ．6 ◆答案：D★解析：由n m C e =若表示双曲线，则1>e ，由1>nm C ，可得n m ,的不同取值为231324142515,,,,,C C C C C C ，共有6个不同的值，故选D ．1984*4、方程x x lg sin =的实根个数是（ ）A.1B. 2C. 3D.大于3◆答案：C ★解析：作x y sin =及x y lg =的图象，当10>x 时，1lg >x ．故二者只在()10,0内可能有交点．经作图可知，二者在()π,0内有一交点，在()ππ3,2内有一交点．选C ．1984*5、若0>a 且1≠a ，)(x F 是一个奇函数，则⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅=2111)()(xa x F x G 是（ ） A.奇函数 B. 偶函数 C.不是奇函数也不是偶函数 D.奇偶性与a 的具体数值有关 ◆答案：B★解析：()121)(2111)()(-+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=xx x a a x F a x F x G ，故()()x G x G =-，且()x G 的定义域是()x F 的定义域与{}0|≠x x 的交集，为以原点为对称的区域，故选B ．1984*6、若x x x F =⎪⎭⎫⎝⎛+-11，则下列正确的是（ ） A. )(2)2(x F x F --=-- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-x x F x F 11)( C. )()(1x F x F =- D. x x F F -=))(( ◆答案：A ★解析：令x x t +-=11，得t t x +-=11，即ttt F +-=11)(，一一验证知())(22x F x F --=--，选A ．1984*7、 若动点),(y x P 以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点),2(22x y xy Q --的运动方式是（ ）A ．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B ．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C ．以角速度ω2在单位圆上顺时针运动D ．以角速度ω2在单位圆上逆时针运动 ◆答案：C★解析：令t x ωcos =，t y ωsin =．则⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-t t xy ωπω223cos 2sin 22 ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-t t x y ωπω223sin 2cos 22．显然t ω2-与t ω旋转方向相反．故选C ．1984*8、 若四面体的一条棱长是x ，其余棱长都是1，体积是)(x F ，则函数)(x F 在其定义域上（ ） A ．是增函数但无最大值 B ．是增函数且有最大值C ．不是增函数但无最大值D ．不是增函数但有最大值 ◆答案：D★解析：易得23121)(x x x F -=定义域为30<<x ，当23=x 时，)(x F 最大，故选D ．D CB A11yxO 二、填充题(本题满分10分，每小题5分)1984*9、如图，AB 是单位圆的直径，在AB 上任取一点D ，作AB DC ⊥，交圆周于C ，若点D 的坐标为)0,(x D ，则当∈x 时，线段AD 、BD 、CD 可以构成锐角三角形． ◆答案：()25,52--★解析：由对称性，先考虑10<≤x 的情况，设c CD b BD a AD ===,,， 则2=+b a ，2c ab =，且必有b c a ≥≥，于是只要考虑222a b c >+， 即()()()()221111x x x x +>-++-，解得250-<≤x ．∴2552-<<-x ．1984*10、方程x xcos 4cos =的通解是 ，在()π24,0内不相同的解有 个．◆答案：πk x 38=或πm x 58=；20★解析：由题意得x k x ±=π24，πk x 38=或πm x 58=．当24380<<k 时，8,,3,2,1 =k ；当24580<<m 时，14,,3,2,1 =m ；而当5,3==m k 及10,6==m k 时，解是相同的，故共有202148=-+个不同的解．BC AE FP M N1984年全国高中数学联赛二试题1984*一、(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明，否则给出反例。
历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析
历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析目录1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (3)1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (10)2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (19)2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (26)2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (34)2003年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (42)2004年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (53)2005年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (61)2006年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (69)2007年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (78)2008年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (91)2009年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (100)2010年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (110)2011年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (119)2012年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (128)2013年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (144)2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案 (153)1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).1、已知c b a ，，都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是(B ).A. ；bc ab >B. ；c b b a +>+C. ；c b b a ->-D..cbc a > 【解析】B.根据不等式的基本性质.2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为(D ).A. 2；B. 4；C. ；3D. .5【解析】D..514)(14)()(.1.200422212212212121212=⇒⨯--=⇒-+=-∴⎩⎨⎧=-=+>⇒⎭⎬⎫>>-=∆p p x x x x x x x x px x x x p p p 为方程的两根，那么有、设由3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且64==⊥CE BD CE BD ，，，那么△ABC的面积等于(C ). A. 12； B. 14；C. 16；D. 18.【解析】C..16123434.4141.12642121=⨯==∴=-⇒=⇒∆=⨯⨯=⋅⋅=⇒⊥∆∆∆∆∆BCDE ABC ABC BCDE ABC ABC AED BCDE S S S S S S S ABC DE CE BD S CE BD DE 四边形四边形四边形的中位线是，则如图所示，连接Θ4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第()象限.(B ) A. 一、二； B. 二、三； C. 三、四； D. 一、四.【解析】B...11222.12.10.02)()(2一定通过第二、三象限直线过第二、三、四象限时，直线当过第一、二、三象限；时，直线当或或p px y x y p x y p p p cc c b a p c b a c b a p c b a p c b a pba c pa cb pcb a p b ac a c b c b a +=∴--=-=+==-==∴-=-=+=⇒=++=++=⇒++=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+⇒=+=+=+ΘΘ5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a 、b )共有(C ). A. 17个； B. 64个； C. 72个； D. 81个.【解析】C..7298)(.832313029282726259987654321.322490483190.89个有，满足条件的整数有序对个，共，，，，，，，个；，共，，，，，，，，则依题意，知由原不等式组可得=⨯∴==∴⎩⎨⎧≤<≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<<≤b a b a b a b a b x a二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD =12，AB =5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE +PF =_____.【解析】.1360 .136013560135.1355125sin 135605125)12(sin .12)120(2222=-+=+∴=+⋅=∠⋅=-=+⨯-=∠⋅=∴-=<<=x x PF PE xx PAF AP PF xx PDE DP PE x DP x x AP ；，则如图所示，设FEADCBP7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于_____.【解析】6..639211121)31()91(21'.''').93()11(32''''2=⨯⨯-⨯⨯-+⨯+⨯=--=-=+-=∆∆∆O BB O AA B B AA OAB S S S S B A x BB AA B A x y x y 梯形则，轴，垂足分别为分别垂直于，作，，，的交点为与抛物线如图所示，直线8、已知圆环内直径为cm a ，外直径为cm b ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_____cm .【解析】49a+b..49)150(225050242332222b a ab b b a ab b b a ab b +=-⨯--⋯⋯+=⨯--+=⨯--个时，链长为当圆环为；个时，链长为当圆环为；个时，链长为如图所示，当圆环为9、已知方程())(015132832222是非负整数其中a a a x a a x a =+-+--，至少有一个整数根，那么a =_____.【解析】1，3或5..53151322)2()83(2)15132(4)83()83(21222222222，或，可取故，a ax a x a a a a a a a a a a a a a x -=-=∴+±-=+---±-=Θ10、B 船在A 船的西偏北o 45处，两船相距km 210，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是_____km .【解析】52..52''620)6-(5)210()10(''''./.''.102221045sin 102221045cos 22222o o 取得最小值时，当则船的速度为并设处，船分别航行到船、小时后，设经过，如图所示，B A xt xt xt xt C B C A B A h km x A B A B A t AB BC AB AC =+=-+-=+==⨯=⋅==⨯=⋅=三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).11、如图，在等腰ABC ∆中，o 901=∠=A AB ，，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积.AB CEF【解】解法一：.24161212121612214522122∽9090.o o o =⨯⨯=⋅⋅=∴=⇒=-∴=⇒=∠-=-=∴=⇒==∴=⇒∆∆∴∠=∠⇒⎭⎬⎫=∠+∠=∠+∠⊥∆GF CE S GF GF GF GF CG C GFGE CE CG GF GE AEABGF GE GEABGF AE GEF Rt ABE Rt GEF ABE AEB GEF AEB ABE G CE FG CEF ΘΘ于如图所示，作解法二：241)21()(∽9090.22o o ==∴====∴∆∆∴∠=∠⇒⎭⎬⎫=∠+∠=∠+∠⊥∆∆AEABCH CE CE AB CH AE AB CE S S CEH Rt ABE Rt CEH ABE AEB CEH AEB ABE H EF CE CH C ABE CEH ，的延长线交于，与作如图所示，过Θ.2412112141324132322.45o =⨯⨯⨯⨯=⨯==∴==∴⇒∠⇒=∠=∠∆∆∆∆∆ABE CHE CEF CHF CEF S S S CH CE S S CE CH F HCE CF HCF ECF 的距离相等、到的角平分线是Θ12、设抛物线452)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点.(1)求a 的值； (2)求618323-+a a 的值. 【解】.5796)138(323)15972584(3231381011)1(310113)2)(53(1115344)1(44)2()1(1212)1(12)1()1(11101159725846101597)1(9876101597987)1)(610987(610987169546)1(441169546441)1321()(1321412)1(94129)23()(2312)1(12)1()(101)1()2(.251010)452(4)12(.0452)12(.452)12()1(618224622224222222216182228162224822224222222=+-++=+∴+-=+-+=+-=+-+-=⋅=+-=+-+=+-=+-==+-=+-+=+-=-==-=∴=--+=+++=++=++=⋅=+=+++=++=+==+=+++=++=+==+=+++=++=+==+=∴=--±=∴=+-=+-+=∆∴=++++∴++++=-a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a x x a x a x y 又知，由，即有两个相等的实根一元二次方程轴只有一个交点的图像与抛物线ΘΘ13、A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台.已知：从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为200元和800元；从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为400元和500元.(1)设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器调运完毕后，求总运费W (元)关于x (台)的函数关系式，并求W 的最大值和最小值.(2)设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x 、y 表示总运费W (元)，并求W 的最大值和最小值. 【解】.1420014200100142001720010300020017200)(300200.98009800810980017200183001020017200)(300200.1810100100172003005001810100100818010010017200300500)10(500)10(700)10(800)18(400300200.101010182.132005100009958218010017200800)102(500)10(700)10(800)218(400300200.10210102181元的最大值是，故时，，即当；又元的最小值是，故时，，即当是整数，，，且又于是台，，机器台数分别为市的台，发往，，市的机器台数分别为市发往市、市、）由题设知，（元取到最大值时，元；当取到最小值时，所以，当又于是台，，机器台数分别为市的台，发往，，市的机器台数分别为市发往市、市、）由题设知，（W W y x y x x W W W y x y x x W y x y x y x y x W y x y x y x y x y x y x y x y x y x W y x y x E y x y x D C B A W x W x x x x x x x x x x x W x x x E x x x D C B A ====+⨯-⨯-≤++--=====+⨯-⨯-≥++--=∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤≤+--=∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤≤≤+--=-++-+-+--++=-+----==≤≤⇒⎩⎨⎧≤-≤≤≤+-=-+-+-+-++=----1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).14、一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是(C ).A. 11；B. 12；C. 13；D. 14.【解析】C.18019131999)2(180o o <⇒<-n n .15、某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费(B ). A. 60元； B. 66元； C. 75元； D. 78元.【解析】B.设4月份用户使用煤气x (x >60)立方米.则 60×0.8+1.2×(x -60)=0.88x .解得x =75. 故4月份该用户应交煤气费0.88×75=66元.16、已知11=-a a，那么代数式a a +1的值为(D ).A.；25 B. ；25-C. ；5-D. .5【解析】D..1111110②52321)1(113111110①2222222此时无解时，当；时，当-=+⇒=+⇒=-<=+=++=+=+⇒+∴=+⇒=-⇒=->a aa a a a a a aa a a a a a a aa a a a a17、在ABC ∆中，D 是边BC 上的一点，已知51065====CD BD AD AC ，，，，那么ABC ∆的面积是(B ). A. 30； B. 36； C. 72； D. 125.【解析】B..36524)510(212152454621214353621215.2222=⨯+⨯=⋅⋅=∴=⨯=⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅=∴=-=-=∴=⨯==⇒⊥==⊥⊥∆∆AF BC S CD CE AD AF AF CD CE AD S AE AC CE AD AE AD CE CD AC F BC AF E AD CE ABC ADC ，则于，于如图所示，作18、如果抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值是(A ). A. 1； B. 2；C. 3；D. 4.【解析】A.().1184)1(452522145221214524)]1([)1(444212)1(252)1(4)1(4)(11.01)1(32222212222221221212121212取得最小值时，当，，则，的两实根为设一元二次方程ABC C ABC S k k k kk k k k x x y AB S k k k k a b ac k k a b k k k k x x x x x x k x x k x x x x k x k x ∆∆-=++=++⋅++⋅=++⋅-⋅=⋅⋅=∴++-=-----=--=---=-++=----=-+=-∴--=-=+=----19、在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为(D ). A. 2； B. 3； C. 4； D. 5.【解析】D..③②①.31452P P BA B P BA BP P AB A P AB AP P P AB P BP AP ABP CD CD B P BCD PCD ，为半径的圆上，此时有为圆心，必在以时，点当；为半径的圆上，此时有为圆心，必在以时，点当；，的中垂线上，此时有必在线段时，点当是等腰三角形，则要使的对称直线上的直线或此直线关于且平行于一定在过点的面积相等，则点与如图所示，要使===∆∆∆二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).20、已知231231-=+=y x ，，那么22y x +的值为_____. 【解析】10..10)23)(23(2)]23()23[(2)(23232312312222=+--++-=-+=+∴+=-=⇒-=+=xy y x y x y x y x ，，Θ21、如图，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上，且EB =10cm ，点P 在边DC 上运动，EP 与AB 的交点为F .设DP =xcm ，△EFB 与四边形AFPD的面积和为ycm 2，那么，y 与x 之间的函数关系式是_____(0＜x ＜10).【解析】y=5x+50.50510)]215([2110)215(21)(2121215)215(10215)10(21)(212121101010∽+=⨯++⨯+⨯-⨯=⋅+⋅+⋅⋅=+=∴+=--=-=∴-=-=-==⇒=+==⇒∆∆∆x x x x AD AF DP BE BF S S y xx BF AB AF x x DP DC CP BF EC EB CP BF ECP EBF AFPD EFB 四边形Θ22、已知02022=-+≠b ab a ab ，，那么ba ba +-22的值为_____. 【解析】3135或. 35)2(2)2(22231222220)2)((0222=+-⨯--⨯=+-=+-=+-∴-==⇒=+-⇒=-+b b b b b a b a b b b b b a b a b a b a b a b a b ab a 或或Θ23、如图，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，A 、B 两点在第Ⅰ象限内，OA 与x 轴的夹角为30°，那么点B 的坐标是_____.【解析】)213213(+-，.212321232323130cos 2121130sin 2323130cos 2121130sin .o o o o +=+=+=-=-=-=∴=⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅=⊥⊥⊥AE BF FD BF BD AF OE DE OE OD AB BF AB AF OA OE OA AE F BD AF D x BD E x AE ，，，则于，轴于，轴于如图所示，作F EDCBOxyA24、设有一个边长为1的正三角形，记作A1(如图3)，将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图4)；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3(如图5)；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长_____.【解析】964..964])31(1)[43(316])31(1)[43(4)311()43(313.31433422321=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯的周长是，的周长是，的周长是，的周长是为原来的条边，每条线段长度变把一条边变成变化规律为：每次变化AAAA25、江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机_____台.【解析】6..6103210316010103231601641640240台故至少需要抽水机，则水，每台抽水机每分钟抽，每分钟涌出的江水是涌出的江水是设使用抽水机抽水前已=⨯+=+⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧⨯=+⨯=+ccccbacbcacbacbacba三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).26、设实数ts，分别满足019991991922=++=++ttss，，并且1≠st，求tsst14++的值.【解】.519141991419199191991.199911119199)1(19919222-=++--=++∴⎩⎨⎧=--=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+∴=++∴≠⇒≠=+⋅+⇒=++∴ssstsststssttstsxxtsststssss的两个不等实根是一元二次方程，Θ27、如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长.【解】如图所示，连接BO并延长交AD于H，连接OD.则HDPOAB.632213)6(36)2123()2221()()21(221316.0236.023∽∥909022222222222222o o +++∴=-=-==++⨯=++=+==-=-==-⨯=⋅=∴=⇒∆∆∴∠=∠⇒∴=∠⇒∠=∠=∠⇒≅∆∴的周长为四边形上的圆周角是直径ABCD AB AC BC OH BO AD BH AH AB CD AC AD OP CP OB CD CPOPCD OB CPD OPB CDP OBP CD BH ADC AC ADC DHB AHB DBH ABH Θ28、有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3.例如，30可以这样得到：30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+.(1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到22297100-+.【解析】(1)倒过来考虑：①22假设是通过乘法得到，则必是×2； A ，11假设是通过+2得到； 9必是×3得到. 3必是+2得到.(*) B ，11假设是通过+3得到. 8必是×2得到. (A)4是+2得到； 2必是×2得到.(*) (B)4是+3得到.(*) ②22假设是通过加法得到.A ，假设是+2得到； 20必是×2得到. (A)10假设是+2得到； 8必是×2得到. a ，4是+2得到； 2必是×2得到.(*) b ，4是+3得到.(*) (B)10假设是+3得到. 7不能通过乘法得到，不满足.B ，假设是+3得到.19不能通过乘法得到，不满足. 故所有方法有148102022124810202214811221248112213911223-22-22-22-22-22-3-23-222-23-22-32-2−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷(2)倒过来考虑：148423)2293(423223423123322122222③)(2471416222)23247(222422122222②)(247222)2296(222422222①3-222-2952-952963-96396992-969929710023-22-1423-29598296993-969929710023-0322-96992971002-97100−→−−→−=-⨯→-÷−→−−→−⋯-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-+−→−-+−→−-+−→−−→−−→−−→−=-+→÷-÷−→−−→−−→−⋯-+−→−-+−→−-+−→−-+−→−−→−=-+→÷-−→−−→−⋯-+−→−-+−→−-+÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷，次不满足，，次不满足，次【解】证明：(1)22119312232−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+. 或222010841222010842122118412211842122223222222232323222−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯证明：(2)222229129329123423)2292(423223423223423223197100972962963963962242323222223-+=-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯→⨯+−→−−→−⋯-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，次2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).29、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若cba>>，则M与P的大小关系是(B).A.；PM=B.；PM>C.；PM<D.不确定.【解析】B..1221221224234222223PMccccbaPMcbacbacbacbaPMcbacbacNPbaNcbaM>⇒=-+>-+=-∴>>-+=++-++=-∴++=++=+=+=++=ΘΘ，，30、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米(b﹤a)，再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是(C).【解析】C.图(A)中没有反映休息所消耗的时间；图(B)虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图(C)正确地表述了题意.31、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么(A).A. 甲比乙大5岁；B. 甲比乙大10岁；C. 乙比甲大10岁；D. 乙比甲大5岁.【解析】A.设甲、乙的年龄差是x 岁.则乙现在(10+x )岁，甲现在(25-x )岁，年龄差为[(25-x )-(10+x )]=15-2x 岁. 故15-2x =x ，即x =5.32、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1，－25)，则在线段AB 上(包括端点A 、B )，横、纵坐标都是整数的点有(B ). A. 4个； B. 5个； C. 6个； D. 7个.【解析】B..5012340419419)(419190)()4950()019().19(4549545)251(4954500000个点故共有，，，，是整数点，则上横纵坐标都是整数的是线段，设，，，则的一次函数的解析式是，平行，且过与直线----=⇒≤-=≤-⇒⎩⎨⎧=-≤≤∴--=-=--+=t x t t tx x AB y x B A x x y x y33、设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是(B ). A. ∠B ＞2∠A ； B. ∠B =2∠A ； C. ∠B ＜2∠A ；D. 不确定.【解析】B.BACD BAD D ABC DBAD D BAC DAC ABC DCACAC BC C C DAC ABC c a CD AB BD D CB c a b b a c b a b b a a b a c b a b a b a c b a b a b a ∠=∠=∠+∠=∠∴∠=∠∠=∠⇒∆∆∴=∠=∠∆∆+==+=⇒+++-++-=--⇒+++=--⇒+++=22∽.)()(Θ，中，和在，于是，使到如图所示，延长ca bcDC B A34、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ，，，面积为S ，111C B A ∆的三边长分别为111c b a ，，，面积为S 1，且111c c b b a a >>>，，，则S 与S 1的大小关系一定是(D ). A. ；1S S > B. ；1S S < C. ；1S S = D. 不确定.【解析】D..2121214121..2.2.11111111111111111`111S S h CB S S h CB S S h CB h AB S CB AB S c c b b a a ABc b a h AB C B A AB c ABAB b a l C AB l AB B >>==<<⋅=⋅⋅=>>>===∆==>=时，；当时，；当时，当，而，，显然满足，则为为边的等边三角形，高是以，则上任一点为的中垂线，是的中点，是如图所示，二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).35、已知：333124++=a ，那么=++32133aa a _____. 【解析】1..11)]12(1[1)11(1)1(113313313312111)2()124)(12()12(12433333323323233333333333=--+=-+=-+=-+++=++=++∴-=⇒=-=++-=-⇒++=aa a a a a a a a a a a a aa a Θ36、在梯形ABCD 中，o o 12045268∥=∠=∠==BAD BCD BC AB DC AB ，，，，，则梯形ABCD 的面积等于_____.【解析】3666+..36666)]3214(8[21)(21321468323223630tan30120.62264526.oooo+=⨯++=⋅+=∴+=++=++=∴=⨯=⋅=⇒=∠⇒=∠====⇒=∠=AECDABSFCEFDEDCAEDEDAEBADCFBFAEBCDBCFEDCBFAEABCD梯形，、于垂直、如图所示，作37、已知关于x的方程012)1(2=--+-axxa的根都是整数，那么符合条件的整数有_____个.【解析】5..5①②.32121112111②11①.0)]1()1)[(1(12)1(212个有知，符合条件的整数结合，，，，即，是整数知，，由，时，当；时，当aaaxaxxaxaaxaxaxxa-=±±=----==≠===++--⇒=--+-38、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆.那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为_____米.【解析】2.4..4.24.21561541515615∽415∽.米离地面的高度是即点则于如图所示，作PPQPQPQBQQDPQCDBDPQBQBDBQCDPQBCDBPQPQABBDPQQDBDQDABPQDABDPQQBDPQ=⇒=+∴=+=⋅=⇒=⇒∆∆=⋅=⇒=⇒∆∆⊥Θ39、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线bxy+=31恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b=_____.【解析】0.5..211)515()0(===-==+b BQ OP S S b BQ b OP b Q b P OPQA BQPC，即，则要使，，知，，，由梯形梯形40、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_____.）进价进价销售价（注：利润率%100⨯-=【解析】17%.%17%10017.117.1%8%100%100%)4.61(%)4.61(%.100%)4.61(%)4.61(%4.6%.100=⨯-==⨯--⨯---⨯---⨯-xxx xy x x y x x y xxy xxy y x 率为故这种商品原来的利润解得，依题意得，为后，在销售时的利润率原进价降低的利润率为元，那么按原进价销售元，销售价为设原进价为三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).41、设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根21x x ，.(1)若62221=+x x ，求m 的值； (2)求22212111x mx x mx -+-的最大值. 【解】.1011.101.11)11(25)23(2)13(2)13(2)1()13)(1(2)2882(1)42()33()]42)(33()10102[(1)()]([)1)(1()]1()1([11)2(.217511217561010210102)33(2)]2(2[2)()1(.1110)33(4)]2(2[.033)2(222212122222232222121212122212112222122212122222122122212222的最大值是故取得最大值时，当上是单调递减的在设根据题设，有有两个不相等的实数根方程x mx x mx y m m y m m m m y m m m m m m m m mm m m m m m m m m m m m m m x x x x x x x x x x m x x x x x x m x mx x mx m m m m m m m m m m x x x x x x m m m m m m m x m x -+--=∴<≤-<≤---=+-=+-=-+--=--+-=+-++--+-++-=++-+-+=---+-=-+--=∴<≤-±=⇒=+-∴+-=+----=-+=+<≤-<⇒>+---=∆∴=+-+-+ΘΘΘΘ42、如图，已知四边形ABCD 外接圆O 的半径为2，对角线AC 与BD 的交点为E ，322===BD AE AB EC AE ，且，，求四边形ABCD 的面积.【解】由题设，得ADAB ADB ABE ACBADB ACB ABE ACB ABE BACEAB AB AE AC AB AC AE AB EC AE AE AB AE AB =⇒∠=∠∴∠=∠∠=∠⇒∆∆∴∠=∠=⇒⋅=⇒⎭⎬⎫==⇒=ΘΘ∽2222232333.313221211121)3(233221212222=+=+=∴==∴=⨯⨯=⋅⋅=∴=-=-==-=-=∴=⨯===⇒∆≅∆∴∠=∠⇒∆≅∆∆∆∆∆∆ABD CBD ABCD ABD CBD ABD S S S S S AC E AH BD S OH OA AH BH OB OH BD DH BH ADH ABH DAO BAO ADO ABO H BD AO DO BO AO 四边形的中点是，，则于交，、、如图所示，连接Θ43、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次.对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)【解】易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人.先证明：要使不满意的总分达到最小，则对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数.证明：设乘电梯上、下楼和直接走楼梯上楼的2个人分别住第s 和第t 层. 并设电梯停在第x 层.①当x ≤s 时，这两者不满意总分为3(s -x )+3(t -1)=3s +3t -3x -3.与t ，s 的大小关系无关； ②当x >s 时，这两者不满意总分为(x -s )+3(t -1)=3t +x -s -3，要使总分最小，则t <s . 故s <t ，即乘电梯上、下楼的人，他所住的层数大于直接走楼梯上楼的人所住的层数. 今设电梯停在第x 层，并设住在第2层到第a (a <x )层的人直接走楼梯上楼. 那么不满意总分为：.31672774101316)7(815)4101(216832)101(22)33)(34(32)1)((2)1(32)33)](33(1[32)1)](1(1[2)1)](1(1[3)]33(21[3)]1(21[)]1(21[32222取得最小值时，当S a x a a x a a x a a x a x x x a x a x a a x x a x a x a a x a x a S ⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-++-=+-++-=--+---+-=--+⨯+----++--+⨯=-+⋯+++--+⋯+++-+⋯++= 所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分.2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).44、化简)2(2)2(2234++-n n n ，得(C ). A. ；8121-+nB. ；12+-nC. ；87 D. .47【解析】C.872122)12(2222)2(2)2(223343141434=-=-=-=-+++++++n n n n n n n n .45、如果c b a ，，是三个任意整数，那么222ac c b b a +++，，(C ). A. 都不是整数； B. 至少有两个整数； C. 至少有一个整数； D. 都是整数.【解析】C.①若a ，b ，c 中有0个奇数，则3个数都是整数； ②若a ，b ，c 中有1个奇数，则只有1个数是整数； ③若a ，b ，c 中有2个奇数，则只有1个数是整数； ④若a ，b ，c 中有3个奇数，则3个数都是整数.46、如果b a ，是质数，且01301322=+-=+-m b b m a a ，，那么baa b +的值为(B ). A.；22123B.；或222125C.；22125D..222123或 【解析】B.①当a =b 时，2=+=+aa a ab a a b ； ②当a ≠b 时，a ，b 是一元二次方程x 2-13x +m =0的两实根.故a +b =13. 又a ，b 是质数，故a =2，b =11或a =11，b =2.故22125112211=+=+b a a b . 47、如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为(B ).A. 6；B. 8；C. 10；D. 12.【解析】B.设正方形的边长为a ，则分成的矩形的长为a /2.宽为(a -a /2)/2=a /4，故中间竖排有4个.所以，正方形分成8个全等的矩形.48、如图，若PA =PB ，∠APB =2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB =4，PD =3，则AD ·DC 等于(B ).A. 6；B. 7；C. 12；D. 16.【解析】B.如图所示，以P 为圆心，以PA =PB 为半径作圆，延长BD 交圆于M .则由∠APB =2∠ACB ，知点C 必在⊙P 上.故根据相交弦定理，有AD •DC =BD •DM =(PB -PD )(PM +PD ）=(4-3)×(4+3）=7.49、若b a ，是正数，且满足)111)(111(12345b a -+=，则b a 和之间的大小关系是(A ).A. ；b a >C. ；b a <D. 不能确定.【解析】A.由12345=(111+a )(111-b )，得111(a -b )-ab =24>0，故a >b .二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).50、已知：23232323-+=+-=y x ，.那么=+22y x x y _____. 【解析】970.9701101310)()(3)(110625625232323232323223322=⨯⨯-=+-+=+=+∴⎩⎨⎧==+⇒⎩⎨⎧+=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=xy y x xy y x y x y x y x xy xy y x y x y x Θ.51、若281422=++=++x xy y y xy x ，，则y x +的值为_____.【解析】6或-7.两式相加，得(x +y )2+(x +y )-42=0，即[(x +y )-6][(x +y )+7]=0，故x +y =6或-7.52、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_____.【解析】1036或.①若1，4为底.如图所示，延长DA ，CB 相交于G ，并设AG =x ，BG =y ，则35345414==⇒+==+⇒==y x y y x x GC GB DC AB GD GA ，.在△GAB 中，GA 2+AB 2=GB 2，故△GAB 是直角三角形，即∠D =∠GAB =90o .于是，S =(AB +DC )·AD /2=(1+4)·4/2=10. ②若1，5为底.如图所示，作AE 、BF 垂直DC 于E 、F .则DE =CF =(5-1)/2=2，32242222=-=-=DE AD AE .于是，3632)51(21)(21=⨯+=⋅+=AE DC AB S .③若4，4为底.应为平行四边形，但不满足.④若4，5为底.则1，4为腰，由于1+4=5，故不满足.53、销售某种商品，如果单价上涨%m ，则售出的数量就将减少150m.为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为_____.【解析】25.设这种商品的原单价为A ，原销售量为B ，销售总额为W ，则)1500050(15000150150100100)1501(%)1(2---=-⋅+⋅=-⋅+=m m AB m m AB m B m A W当25250=--=m 时，W 取得最大值.54、在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点)0(，x M 到定点)12()55(，、，Q P 的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP +MQ 取最小值时，点M 的横坐标=x _____.【解析】25.如图所示，作P 关于x 轴的对称点P’.则MP +MQ =MP’+MQ ，故当Q 、M 、P’三点共线时，MP +MQ最小.过P’，Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为I ，H .于是255251'=⇒--=⇒=x x x IM HM I P QH . 55、已知实数b a ，满足22221b a ab t b ab a --==++，且，那么t 的取值范围是_____.【解析】313-≤≤-t . 31)1(2123113121210)(211310)(231122222222222222-=--⨯≥-=--=-=-⨯≤-=--=∴-≥⇒≥+=++=+⇒++=≤⇒≥-=+-=-⇒++=ab b a ab t ab b a ab t ab b a b ab a ab b ab a ab b a b ab a ab b ab a Θ.三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).56、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次.在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环.他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数.如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环.那么他在第10次射击中至少要得多少环？(每次射击所得环数都精确到0.1环)【解】设前5次射击的平均环数为x ，则前9次射击的平均环数为98.34593.91.84.80.95+=++++x x . 由题设知，x x >+98.345，即7.8<x . 故前9次的总环数至多为8.7×9-0.1=78.2.所以，第10次射击至少得8.8×10+0.1-78.2=9.9（环）.57、如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于A ，B 两点，并交ST 于点C .求证：)11(211PBPA PC +=.【解】如图所示，作OE ⊥AB 于E ，连接OP 交ST 于F ，连接OT .PBPA PB PA PB PA PC PB PA PC PB PA PE PC PB PA PE PC PB PA PBPA PT PAB PT POPF PT POPTPT PF PTO PFT PEPC PO PF PE PFPO PC POE PCF BEAE ST OP 112)(222.∽∽22+=⋅+=∴+⋅=⋅⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅∴⋅=⇒⋅=⇒=⇒∆∆⋅=⋅⇒=⇒∆∆∴=⊥∴是割线是切线，，ΘΘ58、已知：关于x 的方程01)1)(72()1)(1(22=+-+---x x a x x a 有实根. (1)求a 取值范围；(2)若原方程的两个实数根为21x x ，，且113112211=-+-x x x x ，求a 的值.【解】(1)令1-=x xt ，得)1(1≠-=t t t x . 原方程转化为关于t 的方程01)72()1(22=++--t a t a 有不为1的实数根. ①当a 2-1=0时，符合题意； ②当a 2-1≠0时，28530)1(4)]72([22-≥⇒≥--+-=∆a a a . 若t =1，则22101)72()1(2±=⇒=++--a a a . 故a 的取值范围是2212853±≠-≥a a 且. (2))(3810113172113111721)72(112122211222211舍去，-==⇒=-+∴=-+--+=-+--=-+-a a a a x x x x a a a a x x x x Θ.所以，a 的值为10.2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).59、设ab b a b a 4022=+<<，，则ba ba -+的值为(A ). A. ；3 B. ；6 C. 2； D. 3.【解析】A ..3242422)()()(0002222222=-+=-+++=-+=-+=-+∴>-+⇒⎩⎨⎧<+<-⇒<<abab abab ab b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a Θ60、已知200219992001199920001999+=+=+=x c x b x a ，，，则多项式ca bc ab c b a ---++222的值为(D ). A. 0； B. 1； C. 2； D. 3.【解析】D..3]2)1()1[(21])()()[(21222222222=+-+-=-+-+-=---++a c c b b a ca bc ab c b a61、如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCDS S 矩形四边形等于(D ).A. ；65B. ；54 C. ；43 D. .32【解析】D..32612)(261412412....=⨯-=+-=∴=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=∴====∴=∆∆∆∆∆∆a a a S y x S S S ay x a y x S a y x S y S S x S S BC AB ABCD F E BG a S ABCD ABCD ABCDAGCD ABF CBE AGE BGE BGF CGF ABCD 矩形矩形矩形四边形矩形，的中点、的边是矩形、如图所示，连接设Θ62、设c b a 、、为实数，323232222πππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ，，，则z y x 、、中至少有一个值(A ). A. 大于0； B. 等于0； C. 不大于0； D. 小于0.【解析】A..00)3()1()1()1(222323232222222222中至少有一个大于、、，，z y x c b a c b a c b a z y x a c z c b y b a x ∴>-+-+-+-=+---++=++∴+-=+-=+-=ππΘ63、设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不等的实数根21211x x x x <<，且，，那么a 的取值范围是(D ). A. ；5272<<-a B. ；52>aC. ；72-<aD. .0112<<-a 【解析】D..0112102012901)(0)1)(1(121212121<<-⇒-<+⇒<+++∴<++-⇒<--⇒<<a a a a a x x x x x x x x Θ64、9321A A A A ⋯是一个正九边形，b A A a A A ==3121，，则51A A 等于(D ).A. ；22b a +B. ；22b ab a ++C. ；)(21b a + D. .b a +【解析】D.ba A A A A P A A A P A A A A PA A PA A PA A PA A A A A A A A A A A PA A PA A A A Ab A A A A A A P A A A A +=+=+==∴∆∆∴=+=∠=∠∴=-=∠=∠∆=-=∠=∠∴=-⨯⋯==42212211515142oo o 2442ooo243423432oo o 3432o o 93213142424521.602040202140180.40140180.1409)29(180..是等边三角形是等边三角形，中，在的每个内角都为正九边形则，连接相交于点，如图所示，延长Θ6A二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).65、设21x x 、是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为_____.【解析】863-. .863863)49(21892)2(9)(29)(25]2)[(25)(2)2)(2(.04)2()2(4222212212121221212221122122-≤---=-+-=-+-⨯-=++-=+-+-=++-=-->+-=--=∆a a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a 为一切实数知，由66、已知b a 、为抛物线2))((----=d c x c x y 与x 轴交点的横坐标，b a <，则b c c a -+-的值为_____.【解析】b-a...))((a b c b a c b c c a b c a x d c x c x y d c c -=-+-=-+-∴<<---=+则轴的交点与是抛物线，如图所示，67、如图，在△ABC 中，∠ABC =60o ，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB =∠BPC =∠CPA ，且PA =8，PC =6，则PB=_____.【解析】34..3468∽6060120o o o =⨯=⋅=∴=∴∆∆∴∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠=∠⇒∠=∠=∠PC PA PB PBPAPC PB PBCPAB PBC PAB PBC PBA PBA PAB BPC APB CPA BPC APB ΘΘ68、如图，大圆O 的直径cm a AB =，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为_____cm 2.【解析】261a ..61322212132)62(22.6)4()4()2(244⊙24321343222331134321a a a O O O O S aa a OO O O a x x a a x a xa OO x a O O a OO x O O O O O =⨯⨯=⋅⋅=∴=-⨯==∴=⇒+=+-∴-=+==菱形，，，则的半径为设69、满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有_____个.【解析】4.201211211021)1(2222，，，是偶数或或--=⇒⎩⎨⎧-=--+=--=+⇒=--+n n n n n n n n n n70、某商品的标价比成本高%p ，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣(即降价的百分数)不得超过%d ，则d 可以用p 表示为_____.【解析】ppd +=100100. .100100%)1%)(1(ppd a d p a a +=⇒=-+，则设成本为三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).。
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1984年全国初中数学联赛试题及详解一、选择题1. 若a a ->-，则(A)0a > (B)0a < (C)1a <- (D)10a -<< (E)以上结论都不对答( ) 解：选（A ）当0a ≤时，a a -=-；若0a >，则0a ->，0a -<，因此a a ->-成立.故选(A).2. 以线段1613106a b c d ====，，，为边，且使//a c 作四边形，这样的四边形(A)能作一个 (B)能作二个 (C)能作三个 (D)能作无数多个 (E)不能作答( )解：选（E ）.假设能作出，如图1所示，在△ABC 中，三边之长分别为6，6，13，此时两边之和小于第三边，故不能作.故选(E).3. 周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是346S S S ，，，则(A) 346S S S >> (B)643S S S >> (C) 634S S S >>(D) 364S S S >> (E) 463S S S >>答( ) 解：选（B ）设相同的周长为12l （0l >），则它们的面积分别是023144sin 602S l l =⨯⨯⨯=，()22439S l l ==，22662)S l ==（∴643S S S >> ,故选（B ）启发：在周长一定的条件下，边数越大，面积越大，圆的面积越大. (圆是边数最大的多边形)4. 如图，直线和直线上一点的坐标(,)x y 满足关系式(A)0x y += (B)1x += (C)21x y -= (D)0x y -=(E)0x y -= 答( )解：选（D ）由已给图像可得x y =或x y =-，即x y = ∴0x y -=，故选（D ）.5. 方程2198451331548910x x ++=(A)没有实数根 (B)有整数根(C)有正数根 (D)两根的倒数和小于1-(E)以上结论都不对答( )解：选（E ）由判别式△＞0，否定（A ）；由△不是完全平方数及求根公式否定（B ）；由各项系数都是正数否定（C ）；由12121211198451313154891x x x x x x +-+==>-，否定（D ）. 6. ABC ∆的三条外角平分线相交成一个LMN ∆，则LMN ∆(A)一定是直角三角形 (B)一定是钝角三角形(C)一定是锐角三角形 (D)不一定是锐角三角形(E)一定不是锐角三角形答( )解：选（C ）,如图2，,,L M N 是△ABC 外角平分线的交点，则()1+2LAB B C ∠=∠∠，()1+2LBA A C ∠=∠∠ ∴()()11++++22LAB LBA B C A C ∠∠=∠∠∠∠ ()0011++290+9022A B C C =∠∠∠=∠> 故∠L ＜90°，即为锐角.同理∠M ，∠N 也为锐角,亦即△LMN 为锐角三角形. ,故选（C ）.7. 已知方程22210x kx k +-+=的两个实数根的平方和为294，则k 的值为 (A)3 (B 11- (C)3或11- (D)11 (E)以上结论都不对答( ) 解：选（A ）由于原方程有两实根12,x x ，则2=42(12)0k k ∆-⨯-> ① 由两根平方和为294，则2212294x x += ② 由①，有21680k k +->,解得8k <--8k >-+ ③ 由②，有22221212121229()22224k k x x x x x x -⎛⎫+=+-=--⨯= ⎪⎝⎭ 即为 28330k k +-= , 解得3k =或11k =-,但11k =-不符合③的范围，故3k =,于是选(A).8. 一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的74倍，则这样的两位数有(A)1个 (B)2个 (C)4个 (D)无数多个 (E)0个答( )解：选（C ），设原两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，则710)104a b b a +=+（ 即2b a = ，∵19,19a b ≤≤≤≤ ∴1,2,3,4a =，则2,4,6,8b =，故符合条件的数是12，24，36，48共四个.故选（C ）.9. 半径为13和半径为5的两圆相交，圆心距为12，则这两圆公共弦长为(A) (B)656(C) (D)10 (E)以上结论都不对 答( ) 解法1：选（D ）,设大圆半径（两圆交点到圆心）与连心线的夹角的α，显然00090α<<，于是22213125125cos ,sin ,212131313αα+-===⋅⋅从而公共弦长为5213sin =213=1013α⨯⨯⨯⨯,故选（D ）. 解法2: 选（D ）如图所示,1212125,13OO O A O A ===，,则AB 为公共弦, 2221212+OO O A O A =,02190O O A ∠=,即21O OAB ⊥, 故1210AB O A ==,故选（D ）.10. 下列哪一个数一定不是某个正整数的平方(其中n 为正整数)(A)2333n n -+ (B)2444n n ++ (C)2555n n --(D)2777n n -+ (E)2111111n n +-答( )解：选（B ）∵223333(1)n n n n -+=-+,∴若令2+1=3n n -,这样当2n =时，2333n n -+是3的平方; 同理当3n =时,2555n n --是5的平方;当3n =时, 2777n n -+是7的平方;当3n =时, 2111111n n +-是11的平方.由此可否定（A ）、（C ）、（D ）、（E ），故应选（B ）.二、试推导出一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式.解法1: ∵20(0)ax bx c a ++=≠∴二次项系数化为1（方程两边都除以a ）得20.b c x x a a ++= 移项得2b c x x a a+=-, 配方(两边都加上一次项系数一半的平方)得22222()().224().22b b c b x x a a a ab b ac x a a ++=-+-+=即 当240b ac -≥时，得22b x a a+=±222b b x a a a-=-±=. 解法2：方程两边都乘以4a 得，2244+40a x abx ac +=移项得22444a x abx ac +=-配方(两边都加上2b )得2222444a x abx b b ac ++=-即()222+4ax b b ac =- 当240b ac -≥时，得2ax b +=x =. 三、已知：6lg lg A p q =+，其中p 、q 为质数，且满足29q p -=.求证：34A <<证明：∵ 29q p -=，∴,p q 为一奇一偶 ，又 ∵,p q 为质数，∴2,31p q ==因此66lg2lg31lg(231)lg1984A =+=⨯=∵大于1000的四位数的常用对数的首数为3，尾数是小于1的正小数.∴lg1984的首数为3，尾数是小于1的正小数.故得3＜A ＜4.(注:这里用到了整数的奇偶分析法:只有一奇一偶的两个整数的和差才是奇数,另外关于对数内容已移到高中学习)四、已知：如图，AB BC CA AD ===，AH CD ⊥于H ，CP BC ⊥交AH 于P ， 求证：ABC ∆的面积：S AP BD = .证法1 : 如图(1)，过A 作AE BC ⊥于E ，则E 是BC 的中点,又H 是CD 的中点，连接EH ，则有EH BD ∥,∴HEC DBC ∠=∠ ∵ ,AH CD AE BC ⊥⊥,∴,,,A H C E 四点共圆.∴HAC HEC DBC ∠=∠=∠ 又030EAC EHC BDC ∠=∠=∠=000906030PCA ∠=-=,∴PCA BDC ∠=∠,又PAC HAC DBC ∠=∠=∠,从而ACP BDC ∆∆∽ ∴BDAC BC AP =得AP BD BC AC ⋅=⋅∴ 01sin 602ABC S BC AC AP BD ∆=⋅⋅=⋅. 证法2 如图(2)，设BD 与AH 交于Q ，则由,AC AD AH CD =⊥得ACQ ADQ ∠=∠, ∵AB AD =, ∴ADQ ABQ ∠=∠，∴ABQ ACQ ∠=∠,因此,,,A B C D 四点共圆∴060AQB ACB ∠=∠=,060DQH ∠=，又 ∵090QHD ∠=，∴000906030BDC ∠=-=,000906030ACP ∠=-= ∴ACP BDC ∠=∠ ①又 ∵0090,90APC PCH BCD PCH ∠=+∠∠=+∠∴APC BCD ∠=∠ ②由①、②得APC BCD ∆∆∽ ∴BDAC BC AP = ,即2BC AC BC AP BD =⋅=⋅∵ 24ABC S BC ∆= , ∴4ABC S AP BD ∆=⋅. 五、在锐角ABC 中，1AC =，AB c =，ABC 的外接圆半径长1R ≤，求证：cos cos A c A A <≤.证明：如图，由余弦定理，得2222+2cos 12cos BC AC AB AB AC A c c A =-⋅⋅=+-又由正弦定理，得2224sin BC R A =于是22212cos 4sin c c A R A +-=∵1R ≤, 又R 是正数，∴21R ≤, 从而222212cos 4sin 4sin c c A R A A +-=≤即22(2cos )+(14sin )0c A c A --≤ 解得 cos cos A A c A A ≤≤ 过C 作CD AB ⊥于D ，∵ABC ∆是锐角三角形，则D 在AB 上，从而cos cos AB c AD AC A A =>=⋅= , ∴cos cos A c A A <≤.六、有两种重量(设分别为p 与q ，且p q >)的球五个，涂红、白、黑三种颜色.其中两个红球重量不同，两个白球重量也不同，一个黑球不知它的重量是p 还是q .由于从外形上不能确定球的轻重，请你用一台无砝码的天平(只能比较轻重，不能称出具体重量)称两次，将5个球的轻重都区分出来.试叙述你的称球办法，并说明理由.(提示：用天平称球比较重量的结果，可用等号或不等号表示.) 解：分别用1x 和2x 表示两个红球重量，1y 和2y 表示两个白球重量，z 表示黑球重量.将1+x z 与21+x y 通过天平进行比较（第一次称），结果可分三种情况： 情况1: 121+x z x y =+ 因为12x x ≠ 所以1z y ≠ 解法1: 将z 与1y 用天平进行比较（第二次称）：当1z y >，得1212,,,,z p y q y p x q x p =====； 当1z y <，得1212,,,,z q y p y q x p x q =====解法2: 也可以将z 与1x 进行比较：1z x =（不可能）当1z x >，得1212,,,,z p x q x p y q y p =====； 当1z x <，得1212,,,,z q x p x q y p y q =====情况2:121x z x y +>+此时必有12x x > ,即12,x p x q ==（否则有121x z p q x y +≤+≤+） 并且1z y ≥（否则有121x z p q x y +=+=+）现将z 与2y 进行比较（第二次称）：当2z y >，得12,,z p y p y q ===；当2z y <，只能21,,z q y p y q ===；当2z y =，从1z y ≥，只能12,,z p y q y p ===解法3：也可以将12x x +与1y z +进行比较（第二次称）： 当12x x +1y z >+，得12,,y q z q y p ===；当12x x +1y z =+，得12,,y q z p y p ===；当12x x +1y z <+，得12,,y p z p y q ===情况3: 121x z x y +<+，此时必有12x x <，即12,x q x p ==，并且1z y ≤ 将z 与2y 比较（第二次称）：当2z y >，得12,,z p y p y q ===；当2z y =，得12,,z q y p y q ===；当2z y <，只能12,,z q y q y p ===.。