高二数学上册知识点综合测试题
2016-2017学年高二数学上册知识点综合测试题15
综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题：若a >0，则a 2>0 ) A ．若a >0，则a 2≤0 B ．若a 2>0，则a >0 C ．若a ≤0，则a 2>0 D ．若a ≤0，则a 2>0[答案] B[解析] 将原命题的条件、结论互换得原命题的逆命题． 2．设点B (－4,0)，C (4,0)，若△ABC 的周长为18，则动点A 的)A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 225＋y 216＝1(x ≠0) D.y 216＋x 29＝1(x ≠0)[答案] A[解析] 由已知得|AB |＋|AC |＝10>|BC |，由椭圆定义知，动点A的轨迹为椭圆(y ≠0)，且2a ＝10，a ＝5，c ＝4，所以b 2＝9，方程为x225＋y 29＝1(y ≠0)．3．已知向量a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是) A ．2，12 B ．－13，12 C ．－3,2D ．2,2[答案] A[解析] 已知a ∥b ，则∃t ∈R ，使得b ＝t a (t ≠0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧tλ＋t ＝62μ－1＝02t ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2λ＝2μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3λ＝－3μ＝12.4．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a)A ．[0，2π3] B ．[π3，π] C ．[π3，2π3] D ．[π3，π2][答案] D[解析] 设a 与l 所成角为θ，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，其中θ1＝π3，θ2∈[0，π2]得0≤cos θ≤12，∴π3≤θ≤π2.5．已知双曲线x 22－y 23＝1的左右焦点分别是F 1、F 2，过F 1的直线l 与双曲线相交于A 、B 两点，则满足|AB |＝32的直线l)A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] C[解析] 由a 2＝2，b 2＝3得，c 2＝a 2＋b 2＝5，∴F 1(－5，0)，将x ＝－5代入双曲线方程中得，y ＝±322，∴过F 1的通径长为32，又双曲线的实轴长为22，∴过F 1与x 轴不垂直的直线l 与双曲线相交于A 、B 两点，|AB |＝32时，这样的直线有2条，∴共有3条，选C.6．已知空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则) A ．点P 必在直线AB 上 B ．点P 必不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AP →与AB →方向必相同 [答案] A[解析] 由题设知mn ≠0，又m ＋n ＝1，则OP→＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA→－nOA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，所以AP →＝nAB →，因此A ，P ，B 共线，即点P 必在直线AB 上．7．已知有相同两焦点F 1，F 2的椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n －y 2＝1(n >0)，P 是它们的一个交点，则△PF 1F 2)A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m ，n 的变化而变化[答案] B[解析] 由题设得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝±2n ，并且m －1＝n ＋1.所以|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4m ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4n ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝4(m －1)＝|F 1F 2|2，所以△PF 1F 2为直角三角形．8．命题p ：若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：定义域为R 的函数f (x )在(－∞，0)及(0，＋∞)上都是增函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．则下列说法正确的是) A ．p 且q 是假命题 B ．p 或q 是真命题 C ．¬p 是假命题 D ．¬q 是假命题[答案] A[解析] 若a ·b <0，则a 与b 夹角可为平角，故命题p 为假命题；对于命题q ：若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0－1x ，x ≠0，则f (x )在(－∞，0)及(0，＋∞)上是增函数，但是f (x )在(－∞，＋∞)上不是增函数，故命题q 也是假命题，因此命题p 且q 是假命题．9．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好为椭圆的右焦点F ，则m 的)A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2[答案] D[解析] F 点的坐标为(16－m 2，0)，∴由16－m 216＋(2216－m 2)m2＝1得m 4＋8m 2－128＝0，∴m 2＝8，∴m ＝2 2.故选D.10．已知点P 是以F 1，F 2为左、右焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支上一点，且满足PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 2F 1＝23，则此双曲线的)A. 3B.132C. 5D.13[答案] D[解析] 据已知设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝3m2，在直角三角形PF 1F 2中利用勾股定理可得m 2＋(3m 2)2＝4c 2，解得m ＝413c 13，则由双曲线定义可得|PF 2|－|PF 1|＝m 2＝213c 13＝2a ，故有e ＝ca ＝13.11．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b)A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件[答案] C[解析] 本题考查充要条件的判定若φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2，∴ab ＝0，当a ＝0时，由b 2＝b 知b ≥0；当b ＝0时，由a 2＝a 知a ≥0，∴a 与b 互补．反之，亦然．12．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB＝2BB 1，则AB 1与C 1B)A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°[答案] B[解析] 设AB →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，且令BB 1＝1，则〈a ，b 〉＝120°，AB 1→＝a ＋c ， BC 1→＝b ＋c ，AB 1→·BC 1→＝(a ＋c )(b ＋c )＝a·b ＋a·c ＋b·c ＋c 2＝2×2×cos120°＋1＝0，∴应选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________[答案] m ≥6[解析] 由x －1x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≤0x ≠0，得0<x ≤1，由题设知，当0<x ≤1时，4x 2＋2x －m ≤0，即4x ＋22≤m 恒成立，易知y ＝4x ＋2x (0<x ≤1)的最大值为6，所以m ≥6.14．如果过两点A (a,0)和B (0，a )的直线与抛物线y ＝x 2－2x －3没有交点，那么实数a 的取值范围是____[答案] (－∞，－134)[解析] 过A 、B 两点的直线为：x ＋y ＝a 与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得x 2－x －a －3＝0，因为直线x 与抛物线没有交点，则方程无解．即Δ＝1＋4(a ＋3)<0，解之a <－134.15．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于________[答案] π3[解析] 因为底面对角线长为26，所以底面边长为23，从而利用体积得四棱锥的高为3，所以二面角的正切值为3，所以侧面与底面所成二面角的大小为π3，本题也可用向量知识求解．16．设P 是曲线y 2＝4(x －1)上的一个动点，则点P 到点A (0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值是________[答案]5[解析] 如右图，由定义可知，点P 到y 轴的距离等于点P 到F (2,0)的距离，即点P 到点A 与到y 轴的距离之和等于|P A |＋|PF |，又|P A |＋|PF |≥|AF |，即A ，P ，F 三点共线时最小，即最小值为|AF |＝(2－0)2＋(0－1)2＝ 5.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a[解析] 命题p 为真命题⇔f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ⇔ax 2－x ＋116a >0对任意实数x 均成立⇔a >2，所以命题p 为真命题⇔a >2.命题q 为真命题⇔2x ＋1－1<ax 对一切正实数均成立⇔a >2x ＋1－1x ＝2xx (2x ＋1＋1)＝22x ＋1＋1对一切正实数x 均成立，由于x >0，所以2x ＋1>1，所以2x ＋1＋1>2，所以22x ＋1＋1<1，所以命题q 为真命题⇔a ≥1.由题意知p 与q 有且只有一个是真命题．当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，a ∈[1,2]．综上知a ∈[1,2]．18．(本小题满分12分)(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度(2)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，求椭圆C 离心率的取值范围．[解析] (1)由题意知2a ＋2c ＝2×2b ，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＋2ac －3a 2＝0，即5e 2＋2e －3＝0，所以e ＝35或e ＝－1(舍去)．(2)因为点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，则点B 的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得|y |＝b 2a ，又13<k <12，所以B (c ，b 2a )．易知顶点A 的坐标为(－a,0)，故直线AB 的斜率k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ，所以13<1－e <12，解得12<e <23.19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝1，AD ＝2，求二面角B －PC －A 的正切值．[解析] (1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥P A ，又因为PC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，∴BD ⊥PC ， 而P A ∩PC ＝P ，所以，BD ⊥平面P AC ；(2)由(1)BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥AC ，又四边形ABCD 为矩形， 所以四边形ABCD 是正方形．设AC 交BD 于O 点，因为PC ⊥平面BDE ，所以∠BEO 即二面角B －PC －A 的平面角．∵P A ＝1，AD ＝2，AC ＝22，BO ＝OC ＝2，∴PC ＝P A 2＋AC 2＝3又OE ＝OE P A ＝CO PC ＝23在直角三角形BEO 中，tan ∠BEO ＝BO EO ＝223＝3.所以二面角B －PC －A 的正切值为3.20．(本小题满分12分)如图所示，已知动点P 与双曲线x 22－y 23＝1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值是 －19.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若已知点D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围．[解析] (1)由题意得c 2＝5，设|PF 1|＋|PF 2|＝2a >25，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝2a 2－10|PF 1|·|PF 2|－1，又|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1|·|PF 2|取最大值． 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值为2a 2－10a 2－1， 令2a 2－10a 2－1＝－19，解得a 2＝9，又∵c ＝5，∴b 2＝4， 故所求P 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)设N (s ，t )，M (x ，y )，则由DM→＝λDN →，可得(x ，y －3)＝λ(s ，t －3)， 故x ＝λs ，y ＝3＋λ(t －3)， ∵M 、N 在动点P 的轨迹上，∴s 29＋t 24＝1，且(λs )29＋(3＋λt －3λ)24＝1， 消去s 可得(λt ＋3－3λ)2－λ2t 24＝1－λ2，解得t ＝13λ－156λ. 又由|t |≤2，即－2≤13λ－156λ≤2，解得15≤λ≤5，故实数λ的取值范围为[15，5]．21．(本小题满分12分)(2015·天津理，17)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D(1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点．若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．[解析] 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (2,0,0)，D (1，－2,0)，A 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(2,0,2)，D 1(1，－2,2)，又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，－2,1)．(1)依题意，可得n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量，MN ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，0，由此可得，MN ―→·n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD .(2)AD 1―→＝(1，－2,2)，AC ―→＝(2,0,0)， 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的法向量，则 ⎩⎨⎧n 1·AD ―→＝0n 1·AC ―→＝0，即⎩⎨⎧x 1－2y 1＋2z 1＝02x 1＝0，不妨设z 1＝1，可得 n 1＝(0,1,1)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的一个法向量， 则⎩⎨⎧n 2·AB 1―→＝0n 2·AC ―→＝0，又AB 1―→＝(0,1,2)，得⎩⎨⎧y 2＋2z 2＝02x 2＝0，不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2,1).因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010，于是sin 〈n 1，n 2〉＝31010，所以二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010.(3)依题意，可设A 1E ―→＝λA 1B 1―→，其中λ∈[0,1]，则E (0，λ，2)，从而NE ―→＝(－1，λ＋2,1)，又n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量，由已知得cos 〈NE ―→，n 〉＝NE ―→·n|NE ―→||n |＝1(－1)2＋(λ＋2)2＋12＝13，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0,1]，解得λ＝7－2， 所以线段A 1E 的长为7－2.22．(本小题满分14分)(2016·山东理，21)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．导学号 64150932(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．[解析] (1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得：a 2＝4b 2， 因为抛物线E 的焦点F (0，12)， 所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1． (2)①设P (m ，m 22)(m >0)． 由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ．因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )， 即y ＝mx －m 22．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0． 由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)，(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1)， 因为y 0x 0＝－14m ，所以直线OD 的方程为y ＝－14m x ． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m xx ＝m，得点M 的纵坐标y M ＝－14， 所以点M 在定直线y ＝－14上． ②由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22． 令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G (0，－m 22)．又P (m ，m 22)，F (0，12)，D (2m 24m 2＋1，－m 22(4m 2＋1))， 所以S 1＝12·|GF |·m ＝(m 2＋1)m 4， S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m (2m 2＋1)28(4m 2＋1)． 所以S 1S 2＝2(4m 2＋1)(m 2＋1)(2m 2＋1)2． 设t ＝2m 2＋1．则S 1S 2＝(2t －1)(t ＋1)t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2， 当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取得最大值94，此时m ＝22，满足(*)式， 所以P 点的坐标为(22，14)，因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为(22，14)．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
高二数学上册知识点综合测试题25
习题课综合法和分析法
【学习目标】
加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．
【知识导学】
1．综合法
综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．
综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论) 2．分析法
分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．
分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐P n－2⇐P n－1⇐P n(结论)
分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．
题型一选择恰当的方法证明不等式
例1设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.
题型二选择恰当的方法证明等式
例2已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，
b，c，求证：1
a＋b ＋
1
b＋c
＝
3
a＋b＋c
.
题型三立体几何中位置关系的证明
例3如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC ⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.。
高二数学上册知识点综合测试题
选修1－2综合能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z＝1＋2i，则z2－2z) A．－3B．3C．－3i D．3i[答案] A[解析]∵z＝1＋2i，∴z2＝(1＋2i)2＝1＋22i－2＝－1＋22i.∴z2－2z＝－1＋22i－2－22i＝－3.简解：z2－2z＝z(z－2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－2－1＝－3.2．有这样一段演绎推理“有些有理数是分数，整数又是有理数，则整数是分数”，结论显然是错误的，错误的原因)A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[答案] C[解析]整数这个整体属于有理数的范围，但不满足大前提中的结论，因为大前提不是对所有的有理数加以定义的，故推理形式错误．3)A．它们都是流程图B．它们都是结构图C．(1)(2)是流程图，(3)是结构图D．(1)是流程图，(2)(3)是结构图[答案] D[解析]结合流程图和结构图的特征可知D选项正确．4)A．(1)(2) B．(1)(3)C．(2)(4) D．(2)(3)[答案] D[解析](1)为函数关系，(4)关系不明显，(2)(3)具有相关关系．5)①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A．①②B．②③C．③④D．①③[答案] B[解析]①回归方程只适用于我们所研究的样本和总体，故①错误．④回归方程得到的预报值可能是取值的平均值，故④是错误的．6．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是)A．a k＋a k＋1＋…＋a2k B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2k D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2[答案] D[解析]由归纳推理可知D正确．7．给出下面类比推理：①“若2a<2b，则a<b”类比推出“若a2<b2，则a<b”；②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”；③“a、b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a、b∈C，若a－b＝0，则a＝b”(C为复数集)；④“a、b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a、b∈C，若a －b>0，则a>b(C为复数集)”．)A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析]①显然错误；∵复数不能比较大小，∴④错误；②③正确．8．观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，…，对于任意的正实数a、b，使a＋b<211成立)A．a＋b＝20 B．a＋b＝21C．ab＝20 D．ab＝21[答案] B[解析]由给出的三个不等式观察其特点可得a＋b＝21.9．分类变量X和Y)A.ad－bcB．ad－bc越大，说明X和Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强[答案] C[解析]χ2＝(a＋b＋c＋d)(ad－bc)2(a＋c)(b＋d)(a＋b)(c＋d)，∴(ad－bc)2越大，说明X、Y关系越强．10．在复平面内，复数(2－i)2()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，∴复数(2－i)2对应的点(3，－4)位于复平面内的第四象限． 11．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：①Z ＝12i ；②z ＝－14＋34i ；③z ＝22＋12i ；④z ＝12－32i)A ．①B ．②C ．③D ．④[答案] D[解析] |z |＝|12－32i|＝(12)2＋(32)2＝1.故选D.12．已知a <b ，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤是)∵a <b ，∴a ＋a <b ＋a ，即2a <b ＋a ，…① ∴2a －2b <b ＋a －2b ，即2(a －b )<a －b ，…② ∴2(a －b )·(a －b )<(a －b )·(a －b )， 即2(a －b )2<(a －b )2.…③∵a <b ，∴(a －b )2>0，∴可证得2<1.…④ A ．① B ．② C ．③ D ．④[答案] C[解析] 步骤③，由于a <b ，所以a －b <0，根据“不等式两边同乘一个负数，不等号方向改变”，步骤③错误．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．观察下列等式： 1＝1，1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)， 1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， ……猜想第n 个式子为________．[答案] 1－22＋32＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )．14．设z ＝(4－3i )4(3－i )6(1－i )12，则|z |＝[答案] 625[解析] ∵z ＝(4－3i )4(3－i )6(1－i )12∴|z |＝|4－3i|4·|3－i|6|1－i|12＝54·26(2)12＝54＝625.15．程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是________[答案]127[解析]本题考查程序框图的基本知识．输入a＝1，循环一次时，a＝3，循环二次时，a＝7，循环三次时，a＝15，循环四次时，a＝31，循环五次时，a＝63，循环六次时，a＝127，此时循环终止，输出127.16．(2018·四川文，15)在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P′(yx2＋y2，－xx2＋y2)；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身．现有下列命题：导学号96661191①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称；④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．[答案]②③[解析] 对于①，设A (0,3)，则A 的“伴随点”为A ′(13，0)，但是A ′(13，0)的“伴随点”为(0，－3)，与A 不同，所以①错误；对于②，设单位圆C ：x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )，点P 的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝yx 2＋y 2y ′＝－xx 2＋y2，所以x ′2＋y ′2＝y 2(x 2＋y 2)2＋(－x )2(x 2＋y 2)2＝1x 2＋y2＝1，所以②正确；对于③，设P (x ，y )的“伴随点”为P ′(yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2)，P 1(x ，－y )的“伴随点”为P ′1(－yx 2＋y 2，－xx 2＋y2)，易知P ′(yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2)与P ′1(－y x 2＋y 2，－xx 2＋y 2)关于y 轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为Ax ＋By ＋C ＝0，其中A ，B 不同时为0，且P (x 0，y 0)为该直线上一点，P (x 0，y 0)的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，其中P ，P ′都不是原点，且⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y 0x 2＋y20y ′＝－x0x 20＋y20，则x 0＝－(x 20＋y 20)y ′，y 0＝(x 20＋y 20)x ′，将P (x 0，y 0)代入原直线方程，得－A(x20＋y20)y′＋B(x20＋y20)x′＋C＝0，则－Ay′＋Bx′＋Cx20＋y20＝0，由于x20＋y20的值不确定，所以“伴随点”不一定共线，所以④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)调查某桑场采桑员和辅助工关于桑毛虫皮炎发病情况结果如表：利用2×2桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？[解析]因为a＝18，b＝12，c＝5，d＝78，所以a＋b＝30，c＋d＝83，a＋c＝23，b＋d＝90，n＝113.所以χ2＝n(ad－bc)3(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝113×(18×78－5×12)230×83×23×90≈39.6>6.635.所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%.18．(本题满分12分)求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a ＋b＋c)．[证明]∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，∴a2＋b2≥22|a＋b|≥22(a＋b)，同理b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(c＋a)，∴a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．19．(本题满分12分)某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元，请设计一个表示按人数收取卫[解析]流程图如图所示：20．(本题满分12分)已知复数z 满足：|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z的值．[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，而|z |＝1＋3i －z ，即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎨⎧ a 2＋b 2＋a －1＝0b －3＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝－4b ＝3.∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i 4－3i＝3＋4i. 21．(本题满分12分)实数a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a 、b 、c 、d 中全都是非负数，即a 、b 、c 、d ≥0，由a ＋b ＝c ＋d ＝1，得(a ＋b )(c ＋d )＝1，即ac ＋ad ＋bc ＋bd ＝1，∴ac ＋bd ＝1－ad －bc ≤1.与条件ac ＋bd >1矛盾．故a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．22．(本题满分14分)化学反应中催化剂能加快化学反应，现统计一定量的高锰酸钾加热后生成的氧气的体积x 与加热时间y 的一组数据，如下表.间的一般规律吗？(2)求回归直线方程．[解析] (1)用x 轴表示生成的氧气体积，y 轴表示加热时间，可作散点图，如图所示．由图可知，各点分布在一条直线附近，它们呈线性相关关系．(2)设所求的回归直线方程为y ^＝b^x ＋a ^. 计算得x ＝159.8，y ＝172， i ＝110x i y i ＝287 640，∑i ＝110x 2i ＝265 448，则b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2≈1.267，a^＝y －b ^ x ＝172－1.267×159.8≈－30.47. ∴回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47.。
高二上数学知识点练习题
高二上数学知识点练习题1. 三角函数a) 计算 sin(30°) + cos(45°) = ?b) 若 sin(x) = 0.6，求 cos(x) 的值。
c) 在直角三角形中，如果两个锐角的正弦值分别为 0.4 和 0.6，求该直角三角形的斜边长。
2. 平面几何a) 已知三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,1), B(5,3), C(3,7)，求三角形的周长和面积。
b) 证明：对于任意三角形，连接三个顶点和三个中点所形成的小三角形的面积之和，等于原三角形的面积的三倍。
c) 已知直线 y = 2x + 3 和 x + 2y = 4，求两直线的交点坐标。
3. 数列与级数a) 求等差数列 3, 7, 11, 15, ... 的第 10 项。
b) 求等比数列 2, 6, 18, 54, ... 的第 5 项。
c) 计算等差数列 1, 3, 5, 7, ... 的前 100 项之和。
4. 函数与二次方程a) 已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a = 2, b = 3, c = -1，求当 x = 2 时的函数值。
b) 解方程 2x^2 - 5x + 3 = 0，给出方程的根。
c) 求解不等式 x^2 - 4x > 0 的解集。
5. 概率与统计a) 抛一枚均匀硬币，求出现正面的概率。
b) 从一副标准扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到黑桃的概率。
c) 甲乙两人比赛投篮，甲的命中率为 0.6，乙的命中率为 0.7，若两人各投一次篮筐，求乙命中甲未命中的概率。
以上是高二上数学知识点的练习题，你可以按照题目给出的格式和要求进行解答和计算。
通过练习这些题目，可以帮助你巩固和提升高二上学期的数学知识，加深对各个知识点的理解和应用能力。
祝你学业进步！。
高二数学上册综合检测试题(附答案和解析)
高二数学上册综合检测试题（附答案和解析）3．3．2一、选择题1．将0,1]内的均匀随机数a1转化为－2,6]内的均匀随机数a，需实施的变换为()答案]C解析]∵0≤a1≤1，∴0≤8a1≤8，∴－2≤8a1－2≤6.2．小红随意地从她的钱包中取出两枚硬币，已知她的钱包中有1分、2分币各两枚，5分币3枚，则她取出的币值正好是7分的概率是() A.17B.27C.37D.47答案]B解析]共有取法6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，其中币值正好为7分的必有一枚5分币，故有3×2＝6种，∴概率P＝621＝27.3．从正六棱锥P－ABCD的侧棱和底边共12条棱中任取两条，能构成异面直线的概率为()A.111B.211C.411D.811答案]C解析]共能组成11＋10＋9＋…＋1＝66对，其中为异面直线的有6×4＝24对(∵侧棱都共面，底面多边形的边当然共面，∴异面的只有一条侧棱和底面的一条边的情形，一侧棱可与底面多边形的4条边构成异面直线)，∴P＝2466＝411.4．在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为()A.13B.19C.127D.34答案]C解析]在正方体内到各面的距离都大于1的点的集合是以正方体的中心为中心、棱长为1的正方体，所以所求概率P＝V小正方体V大正方体＝133＝127.5．某人利用随机模拟方法估计π的近似值，设计了下面的程序框图，运行时，从键盘输入1000，输出值为788，由此可估计π的近似值约为()A．0.788B．3.142C．3.152D．3.14答案]C解析]由条件知，投入1000个点(a，b)，－1≤a≤1，－1≤b≤1，其中落入x2＋y2≤1内的有788个．∵圆面积正方形面积＝π4，∴π4≈7881000，∴π≈3.152.6．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S3的概率为()A.13B.23C.19D.49答案]B解析]如图所示，作AD⊥BC于D，PE⊥BC于E，对于事件W＝“△PBC的面积大于S3”，有12•BC•PE>13•12•BC•AD，即PE>13AD，∴BP>13AB，∴由几何概型的概率计算公式得P(W)＝23ABAB＝23.7．利用随机模拟法近似计算下图中阴影部分曲线y＝2x与x＝±1及x 轴围成的图形的面积时，设计了如下算法：设事件A为“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．S表示阴影部分的面积．S1：用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足－1S2：用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足yS4：表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行；S5：S＝____①____；S6：输出S，结束．则①处应为()A．mB.mnC．4mD.4mn答案]D解析]∵阴影部分的面积为S，正方形的面积为4，由几何概型计算公式得P(A)＝S4.所以mn＝S4.所以S＝4mn即为阴影部分面积的近似值．8．下面是随机模拟掷硬币试验的程序框图．其中a＝0表示正面向上，a＝1表示反面向上，则运行后输出的是() A．正面向上的频数B．正面向上的频率C．反面向上的频数D．反面向上的频率答案]D二、填空题9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P在圆x2＋y2＝25外的概率为______．答案]712解析]基本事件的总数为6×6＝36(个)，记事件A＝“点P(m，n)落在圆x2＋y2＝25外”，即m2＋n2>25，当m取1、2、3时，n只能取5或6，有2×3＝6种；当m取4时，n只能取4、5、6有3种；当m取5或6时，n可取1至6的任何值，有2×6＝12种．∴事件A包含的基本事件数共有6＋3＋12＝21个，∴P(A)＝2136＝712.10．任意一个三角形ABC的面积为S，D为△ABC内任取的一个点，则△DBC的面积和△ADC的面积都大于S3的概率为________．答案]19解析]在AB上取三等分点E、F，过点E作EM∥BC交AC于M，过点F 作FN∥AC交BC于N，则当点D在△AEM内时，满足S△DBC>S3，在△BFN内时，满足S△DAC>S3，设EM与FN的交点为G，则当点D 在△EFG内时，同时满足S△DBC>S3，S△DAC>S3，∴所求概率P＝S△EFGS△ABC＝19.11．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是区间0,4]内的数，则f(1)>0成立的概率是________．答案]932解析]∵0≤a≤4,0≤b≤4，∴点(a，b)构成区域为正方形OBDE及其内部，∵f(1)＝－1＋a－b>0，∴a－b>1，满足条件的点构成区域为△ABC及其内部，其中A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC＝92，所求概率P＝S△ABCS四边形OBDE＝924×4＝932.三、解答题12．向边长为2的正方形内投飞镖，用随机模拟方法估计飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率．解析]用几何概型概率计算方法可求得概率P＝S小正方形S大正方形＝14.用计算机随机模拟这个试验步骤如下：S1用计数器n记录做了多少次飞镖试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置初始值n＝0，m＝0；S2用函数rand()*4－2产生两组－2～2的随机数x，y，x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；S3判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|S4表示随机试验次数的记数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤S2，否则，程序结束．程序结束后，飞镖投在小正方形内发生的频率mn表示概率的近似值，全班同学一块试验，看频率是否在14附近波动，次数越多，越有可能稳定在14附近．13．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min.用随机模拟方法估计乘客到达站台立即乘上车的概率．解析]地铁列车每10min一班，在车站停1min可以看作在0～1min这个时间段内，车停在停车点，在1～11min这个时间段内行驶，乘客到达站台立即乘上车的条件是他在0～1min这个时间段内到达站台．设事件A＝{乘客到达站台立即乘上车}．S1用计算机产生一组0,1]区间的均匀随机数a1＝RAND；S2经过伸缩变换a＝11*a114．在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估计该正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率，并写出算法．解析]正方形的面积只与边长有关，本题可以转化为在线段AB上任取一点M，使AM的长度介于6cm与9cm之间．设事件A＝{正方形的面积介于36cm2与81cm2之间}(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1＝RAND；(2)经过伸缩变换，a＝a1*18;算法为：INPUT“n＝”；nm＝0DOi＝1a＝18*rand()15．如图，射击比赛使用的靶子是一个边长为50cm的正方形木板，由内到外画了五个同心圆，半径分别为5cm,10cm,15cm,20cm,25cm，由内到外依次为10环，9环，8环，7环，6环．某人在20m之外向此板射击，设击中线上或没有击中靶子时不算，可重新射击，假设击中靶子上任意位置的可能性相等．用随机模拟法估算下列概率：(1)得到8环以上(包括8环)的概率；(2)得到9环的概率；(3)得到8环以下(不包括8环)的概率．解析]设事件A＝“得到8环以上(包括8环)”，事件B＝“得到9环”，事件C＝“得到8环以下(不包括8环)”．S1用计算器产生两组0,1]区间上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND……；16．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝9－x2与x轴和y ＝x围成的图形)的面积．解析]设事件A为“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；(2)经过伸缩平移变换，x＝(x1－0.5)*6，y＝y1*9；设阴影部分的面积为S，矩形的面积为9×6＝54.由几何概率公式得P(A)＝S54.所以，阴影部分面积的近似值为：S≈54N1N.17．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝x与直线x＝2及x轴围成的图形)的面积．解析]设事件A“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．S1用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足yS2用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数x表示所投点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数y表示所投点的纵坐标；S3判断点是否落在阴影部分，即是否满足yS4表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1.如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．程序结束后，事件A发生的频率mn作为事件A概率的近似值．设阴影部分面积为S，正方形面积为4，则mn≈P(A)＝S4，∴S≈4mn.。
高二数学上册知识点综合测试题14(答案含解析)
第三章综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB→－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个[答案] C[解析] ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，①不正确．②b 为非零向量，故不正确．③2－2－1≠1，故不正确．④正确．⑤不正确．2．已知△ABC ，AB→＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，用向量a ，b ，c 的数量积的形式表示△ABC 为锐角三角形的充要条件是 ( )A ．b·c >0，a·c >0B ．a·b >0，b·c >0，a·c >0C ．a·b >0D ．a·b >0，b·c >0，a·c <0 [答案] D[解析] 由数量积的意义知D 成立．3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( ) A ．(3210，4210，－22)和(－3210，－4210，22) B ．(3210，4210，－22) C ．(－3210，－4210，22)D ．(3210，4210，22)和(－3210，－4210，－22) [答案] A[解析] 所求的单位向量e 与(－3，－4,5)方向相同或相反，且|e |＝1，求得(3210，4210，－22)和(－3210，－4210，22)．4．已知A (2,3，－1)，B (8，－2,4)，C (3,0,5)，若存在实数x 使得AB→⊥(AB →＋xAC →)，则实数x 的值为( ) A ．－6851 B.6851 C ．－8651 D.8651[答案] C[解析] AB→＝(6，－5,5)，AC →＝(1，－3,6)， 则AB→＋xAC →＝(6＋x ，－5－3x,5＋6x )， 从而AB →·(AB→＋xAC →)＝36＋6x ＋25＋15x ＋25＋30x ＝51x ＋86＝0，解得x ＝－8651.5．已知点M (2，－1,2)在平面α内，n ＝(3,1,2)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．(1,3，32) C ．(1，－3，32) D ．(－1,3，－32)[答案] B[解析] 设该点为N ，若点N 在平面α内，则MN →·n ＝0.将各选项代入验证可知，选B.6．如图，过二面角α－l －β内一点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，若P A ＝5，PB ＝8，AB ＝7，则二面角α－l －β的大小为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] B[解析] 设P A →＝a ，PB →＝b ，则AB →＝b －a ，且|a |＝5，|b |＝8，|AB →|＝7，|AB→|2＝|b －a |2 ＝b 2＋a 2－2a ·b化简得a ·b ＝20，所以cos<a ，b >＝a·b|a ||b|＝205×8＝12，所以<a ，b >＝60°.故二面角α－l －β的大小为120°.7．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量能作为平面AEF 的一个法向量的是( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)[答案] B[解析] 设平面AEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则由题设得AE →＝(0,1，12)，AF →＝(－12，0,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝y ＋12z ＝0，n ·AF →＝－12x ＋z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12z ，x ＝2z .取z ＝－2时，则x ＝－4，y ＝1，所以n ＝(－4,1，－2)． 8.如图，在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是 ( )A.92 B.3 C.655 D ．2[答案] D[解析] 以AB →、AD →、AA 1→为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立直角坐标系，则M (32，0,3)，N (0，32，3)，A (0,0,0)，易知平面AMN 的法向量n ＝(2,2，－1)，AB→＝(3,0,0)， ∴d ＝|AB →·n ||n |＝2，故选D.9．如右图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM→〉的值为( )A.12 B.21015 C.23 D.1115[答案] B[解析] 以DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系Dxyz ，设正方体棱长为1，则D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，12，0)，则DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝(1，－12，0)，cos 〈DB ′→，CM→〉＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.10．在棱长为a 的正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，则异面直线A ′F 与C ′E 所成角的大小为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不确定[答案] B[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设AE ＝BF ＝x ，则A ′(a,0，a )、F (a －x ，a,0)、C ′(0，a ，a )、E (a ，x,0)，A ′F →＝(－x ，a ，－a )，C ′E →＝(a ，x －a ，－a )，∴A ′F →·C ′E →＝－xa ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A ′F ⊥C ′E .11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为底面A 1B 1C 1D 1的中心，若AE →＝AA 1→＋λAB →＋μAD →，则λ＋μ的值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.34[答案] C[解析] 连接B 1D ，A 1E ，由于E 为A 1B 1C 1D 1的中心，则E 为B 1D 1的中点，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→＝AA 1→＋12AB →＋12AD →，所以λ＝μ＝12，λ＋μ＝1.12．在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点S 在底面的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角是( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°[答案] D[解析] 如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设SO ＝OD ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，S (0,0，a )，D (0，－a,0)，则P (0，－a 2，a 2)，BC →＝(－a ，－a,0)，AP →＝(－a ，－a 2，a 2)，AC →＝(－2a,0,0)．设平面P AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·AC →＝0n ·AP →＝0，可得⎩⎨⎧x ＝0y ＝z，取y ＝1，则z ＝1，n ＝(0,1,1)．设直线BC 与平面P AC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos<BC→，n >|＝|BC →·n ||BC →||n |＝a 2a ·2＝12，又直线与平面所成的角的范围为[0°，90°]，所以θ＝30°.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos<m ，n >＝－12，则直线l 与平面α所成角的大小为________．[答案] 30°[解析] 因为cos<m ，n >＝－12，所以<m ，n >＝120°，又直线l 与平面α所成角的范围为[0°，90°]，所以所求角的大小为30°.14．设|m |＝1，|n |＝2,2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ，则〈a ，b 〉＝________.[答案] 0[解析] 由于(2m ＋n )·(m －3n )＝0， 可得：m ·n ＝－2，则： a·b ＝(4m －n )·(7m ＋2n )＝18. |a |＝(4m －n )2＝6， |b |＝(7m ＋2n )2＝3，cos 〈a ，b 〉＝186×3＝1，∴〈a ，b 〉＝0.15．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为________．[答案] 1510[解析] 如图所示，AD ⊥平面BCD ，AD ＝32， BD ＝CD ＝BC ＝12， ∴V A －BCD ＝13×AD ×S △BCD .又∵V A －BCD ＝V D －ABC ＝13×h ×S △ABC ， ∴由等积法可解得h ＝1510.16．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，有以下命题： ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角为60°； ④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB 1→·AA 1→·AD →|. 其中正确命题的序号是________． [答案] ①②④[解析] 由A 1A →，A 1D 1→，A 1B 1→两两垂直易知①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，AB 1→⊥A 1C →，故②正确；③中，A 1B →与AD 1→所在直线为异面直线，夹角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③错；④中，设正方体棱长为a ，则|AB 1→·AA 1→·AD →|＝||AB 1→||AA 1→|cos45°·AD →|＝|a 2AD →|＝a 3，故④正确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知空间四边形OABC ，棱OA ，OB ，BC 两两垂直，OA ＝OB ＝BC ＝1，N 是OC 的中点，点M 在AB 上，且MN ⊥AB ，求AM AB 的值．[解析] 如图所示，设AM AB ＝x ，则AM→＝xAB →.OM→＝(1－x )OA →＋xOB →， ON →＝12OC →＝12(OB →＋BC →)， MN→＝ON →－OM → ＝12OB →＋12BC →－(1－x )OA →－xOB → ＝(x －1)OA →＋(12－x )OB →＋12BC →. 又知AB →＝OB →－OA →，MN ⊥AB ， 所以MN →·AB→＝0. 即[(x －1)OA →＋(12－x )OB →＋12BC →]·(－OA→＋OB →)＝0. 进行向量运算，考虑到OA →、OB →、BC →两两垂直且它们的长度都为1，运算结果得12－x ＋1－x ＝0.解得x＝34.所以MN AB＝3 4.18．(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的余弦值．[解析](1)证明：∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1均为菱形．∵AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，∴O，O1分别为BD，B1D1中点．∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1为矩形，∴OO1∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，∴OO1⊥BD，OO1⊥AC，又∵AC∩BD＝O且AC，BD⊂底面ABCD，∴OO1⊥底面ABCD.(2)解法1：过O1作B1O的垂线交B1O于点E，连接EO1，EC1.不妨设四棱柱ABCD－A1B1C1D1的边长为2a.∵OO 1⊥底面ABCD 且底面ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1， ∴OO 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又∵O 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴O 1C 1⊥OO 1， ∵四边形A 1B 1C 1D 1为菱形，∴O 1C 1⊥O 1B 1，又∵O 1C 1⊥OO 1且OO 1∩O 1C 1＝O 1，O 1O ，O 1B 1⊂平面OB 1D .， ∴O 1C 1⊥平面OB 1D ，又∵B 1O ⊂平面OB 1D ，∴B 1O ⊥O 1C 1，又∵B 1O ⊥O 1E 且O 1C 1∩O 1E ＝O 1，O 1C 1，O 1E ⊂平面O 1EC 1， ∴B 1O ⊥面O 1EC 1，∴∠O 1EC 1为二面角C 1－OB 1－D 的平面角， cos ∠O 1EC 1＝O 1EEC 1，∵∠CBA ＝60°且四边形ABCD 为菱形， ∴O 1C 1＝a ，B 1O 1＝3a ，OO 1＝2a ，B 1O ＝B 1O 21＋OO 21＝7a ，则O 1E ＝B 1O 1·sin ∠O 1B 1O ＝B 1O 1·O 1O B 1O ＝3a ·2a 7a ＝2217a ， 再由△O 1EC 1的勾股定理可得EC 1＝O 1E2＋O 1C 21＝127a 2＋a2＝197a ，则cos ∠O 1EC 1＝O 1EEC1＝2217a 197a ＝25719，所以二面角C 1－OB 1－D 的余弦值为25719.解法2：∵四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又O 1O ⊥平面ABCD ，从而OB 、OC 、OO 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB 、OC 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AB ＝2，∵∠ABC ＝60°，∴OB ＝3，OC ＝1，于是各相关点的坐标O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)，易知n 1＝(0,1,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量， 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量， 则⎩⎨⎧n 2·OB 1→＝0，n 2·OC 1→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，∴n 2＝(2,23，－3)．设二面角C 1－OB 1－D 的大小为θ，易知θ为锐角， ∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝25719，∴二面角C 1－OB 1－D 的余弦值为25719.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．[解析] (1)取CD 中点G ，连结BG . ∵∠CDE ＝∠BED ＝90°，∴BE ∥CD . 又CD ＝2，BE ＝1，∵BE 綊DG ，∴四边形DEBG 为矩形， ∴BG ＝DE ＝1，∠BGC ＝90°又GC ＝12CD ＝1，∴BC ＝ 2. 又AC ＝2，AB ＝2， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2， 即AC ⊥BC .又∵平面ABC ⊥平面BCDE 且交线为BC ， AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BCDE .(2)解法1：过点E 作EF ⊥BC 交BC 延长线于F ， 由(1)知EF ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ，∴EF ⊥平面ABC ，连结AF ，则∠EAF 即为AE 与平面ABC 所成的角．由已知得∠GBC ＝45°，∴∠EBF ＝45° ∴BF ＝EF ，又BE ＝1 ∴BF ＝EF ＝22，在Rt △AFC 中，AC ＝2， CF ＝BC ＋BF ＝2＋22＝322， ∴AF ＝2＋184＝262，∴tan ∠EAF ＝EF AF ＝22262＝1313，∴直线AE 与平面ABC 所成角的正切值为1313.解法2：过C 作DE 的平行线CG ，以C 为原点，CD 、CG 、CA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．则C (0,0,0)，A (0,0，2)，B (1,1,0)，E (2,1,0)，∴AE→＝(2,1，－2)，AB →＝(1,1，－2)，CA →＝(0,0，2)， 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·CA →＝0，∴⎩⎨⎧x ＋y －2z ＝0，2z ＝0，令x ＝1得n ＝(1，－1,0)．设AE 与平面ABC 所成的角为α，则sin α＝cos 〈n ，AE →〉＝|n ·AE →||n |·|AE →|＝114，∴tan α＝1313. 20．(2015·重庆理，19)如图，三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝π2.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2.(1)证明：DE ⊥平面PCD ；(2)求二面角A－PD－C的余弦值．[解析](1)由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE，由CE＝2，CD＝DE＝2得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD.(2)由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝π4，如图，过D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1，又已知EB＝1，故FB ＝2.由∠ACB＝π2得DF//AC，DFAC＝FBBC＝23，故AC＝32，DF＝32.以C为坐标原点，分别以CA―→，CB―→，CP―→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，C(0,0,0)，P(0,0,3)，A(32，0,0)，E (0,2,0)，D (1,1,0)．ED ―→＝(1，－1,0)，DP ―→＝(－1，－1,3)，DA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0.设平面P AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·DP ―→＝0，n 1·DA ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＋3z 1＝012x 1－y 1＝0，故可取n 1＝(2,1,1)．由(1)可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED ―→，即n 2＝(1，－1,0)从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝36，故所求二面角A －PD －C 的余弦值为36.21．(本小题满分12分)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．(1)证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)求二面角B －FC 1－C 的余弦值．[解析] (1)因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD 綊AF ，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.(2)过D作DR⊥CD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．则F(3，1,0)，B(3，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，所以FB→＝(0,2,0)，→＝(－3，－1,2)，DB→＝(3，3,0)．BC1由FB＝CB＝CD＝DF，所以DB⊥FC.又CC1⊥平面ABCD，所以DB→为平面FCC1的一个法向量．设平面BFC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由⎩⎨⎧n ⊥FB→n ⊥BC 1→得⎩⎨⎧(x ，y ，z )，(0，2，0)＝0(x ，y ，z )，(－3，－1，2)＝0即⎩⎨⎧2y ＝0，－3x －y ＋2z ＝0.取x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0z ＝32，因此n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，32，所以cos<DB →，n >＝DB →·n |DB →||n |＝33＋9×1＋34＝17＝77.故所求二面角的余弦值为77.22．(本小题满分14分)(2016·北京理，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝5．(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)因为平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥PD ．又P A ⊥PD ，所以PD ⊥平面P AB ．(2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO ．因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD ．因为PO ⊂平面P AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO ．因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系O －xyz ．由题意得，A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0,0,1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧ －y －z ＝0，2x －z ＝0，令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2．所以n ＝(1，－2,2)．又PB →＝(1,1，－1)，所以cos<n ，PB →>＝n ·PB →|n ||P B →|＝－33． 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33．(3)设M 是棱P A 上一点，则存在λ∈[0,1]，使得AM→＝λAP →． 因此点M (0,1－λ，λ)，BM→＝(－1，－λ，λ)． 因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD ，则BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0，解得λ＝14．所以在棱P A 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14．14．(2016·北京理，13)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．[答案] 2[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得b a ＝1．又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2．。
高二数学上册知识点综合测试题20
曲线的参数方程学习目标：1．理解曲线的参数方程的有关概念．2.掌握圆的参数方程，并能用参数方程解决最值问题 学习任务1.阅读教材P21—23，理解参数方程 ,参数,普通方程的概念2.阅读教材P23—24，圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为); (.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x (其中参数的几何意义是什么？) 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为). (.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x练习：1.把下列参数方程化为普通方程.)20 (,sin 3,cos 3)1(πθθθ≤≤⎩⎨⎧==y x) (,sin 42,cos 41)2(为参数t t y t x ⎩⎨⎧+-=+=) (.1,1)3(22为参数t t t y t t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= 注意:普通方程中 (x, y)的范围应该符合参数方程的限制条件. 2.(1)若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝x ＋y 的最大值和最小值.(2) 点(x ，y)是曲线C: )20,(sin cos 2πθθθθ<≤⎩⎨⎧=+-=为参数y x 上任意一点，求xy的取值范围.补充学习材料：1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点 ( )． A ．(2，3) B ．(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D ．(2，0)2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为 ( )．A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2 (2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2 (0≤y ≤1) 3．若曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t2(t是参数，t ≠0)，它的普通方程是 ( )．A ．(x －1)2(y －1)＝1 B ．y ＝x （x －2）（1－x ）2C ．y ＝1（1－x ）2－1D ．y ＝x1－x 24．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋ty ＝b ＋t，(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离为 ( )．A ．|t 1|B ．2|t 1| C.2|t 1| D.22|t 1|5．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a ，则a ＝________． 6．(2018·北京高考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋ty ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为任意实数)的交点个数为________．7．把圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．8．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ化成普通方程为__________．9．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．10．已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P (x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．11．已知C(r,0) (r＞0)，动点M满足|MC|＝r，根据下列选参数的方法，分别求动点M的轨迹方程．(1)以x轴正方向到CM所成角θ为参数；(2)以x轴正方向到OM所成角α为参数．。
高二数学上册知识点综合测试题18
简单曲线的极坐标方程学习目标：1.了解极坐标方程的意义2.掌握直线和圆的极坐标方程3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题 学习任务：阅读教材P22—24，理解下列问题： 1. 圆的极坐标方程如图，半径为a 的圆的圆心坐标为C (a ,0)(a ＞0).你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件吗？圆经过极点O .设圆和极轴的另一个交点是A ，那么|设M (ρ,θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则OM ⊥AM. 在Rt △AMO 中，|OM|＝|OA|cos ∠MOA ,即ρ＝2a cos θ ①一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ,θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ,θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ,θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程. ①就是圆心在C (a ,0)(a ＞0)，半径为a 的极坐标方程. 2. 直线的极坐标方程如图，直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角是4π，求直线l 的极坐标方程.射线OM 的极坐标方程是)0(4≥=ρπθ射线OM'的极坐标方程是)0(45≥=ρπθ 因此，直线l 的方程可以用)(454R ∈==ρπθπθ和3. 极坐标与直角坐标的互化.,sin ,cos 222ρθρθρ=+==y x y x.,sin ,cos 222y x y x +===ρθρθρ4. 求曲线极坐标方程的基本方法: (1)轨迹法①设曲线上任意一点M (ρ,θ)；②连OM ，确定ρ与θ关系；③化简，检查. (2)直角坐标法①求曲线的直角坐标方程；②(x ,y )→(ρ,θ)；③化简，检查. 练习题：1.说明下列极坐标方程表示什么曲线，并画图..sin 2 )3( );(65)2( ;5 )1(θρρπθρ=∈==R2.在坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程..)23,( )2(;)3(2, )1(的圆，半径为圆心在线，并且和极轴垂直的直过点a a ππ3. 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状..5sin 3cos 2 )4( ;4 )3();cos (sin 9 )2( );0(cos 2 )1(=-=+=>=θρθρρθθρθρa a4.把下列直角坐标方程化为极坐标方程..16 )2( ;02 )1(22=-=+y x y5 .把下列极坐标方程化为直角坐标方程..sin 4cos 2 )2( ;04)sin 5(2cos )1(θθρθθρ-==-+. 43)4,2(.6的极坐标方程，求直线点且与极轴所成的角为过，直线设l P l P ππ.1)6sin( )611,2(.7的距离是到直线在极坐标系中，点=-πθρπP补充学习材料：1．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ2．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为 ( )．A ．ρ＝22cos θB ．ρ＝－22cos θC ．ρ＝22sin θD ．ρ＝－22sin θ3．极坐标方程ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )．4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为 ( )．A ．x 2＋(y ＋2)2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝4 5．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．6．极点到直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的距离为________． 7．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________．8．极坐标方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为______________．9．求过点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，并且与极轴垂直的直线的极坐标方程．10．将下列直角坐标方程和极坐标方程互化．(1)y 2＝4x ； (2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)ρcos 2θ2＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4； (5)ρ＝12－cos θ.11．在极坐标系中，求圆心为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π3，半径为5的圆的极坐标方程．.。
高二数学上册知识点综合测试题29
1．7.1 定积分在几何中的应用【学习目标】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【知识导学】1．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f (x )d x .2．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f (x )d x .3．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )> 0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x .(如图)【预习检测】1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝ʃa b [f (x )－g (x )]d x S ＝ʃ80(22x －2x ＋8)d x S ＝ʃ41f (x )d x －ʃ74f (x )d x S ＝ʃa b [g (x )－f (x )]d x+ʃa b [f (x )－g (x )]d x① ② ③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3 C.52 D ．43．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________．4．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．探究点一求不分割型图形的面积思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．探究点二分割型图形面积的求解思考由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求？答求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．例2计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.探究点三定积分的综合应用例3在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．【当堂检测】1、求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．2、求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．3、如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．[呈重点、现规律]对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．。
高二数学上册知识点综合测试题27
1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质【知识导学】1．下列结论中成立的个数是()①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ； ②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n (i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n i 3n 3·1n .A ．0B ．1C ．2D ．32．定积分ʃb a f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：①ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； ②ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x .4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．探究点一 定积分的概念思考1 怎样正确认识定积分ʃb a f (x )d x?答 (1)定积分ʃb a f (x )d x 是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃb a f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·Δx ，而ʃb a f (x )d x 只是这种极限的一种记号，读作 “函数f (x )从a 到b 的定积分”．(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x 3d x 的值．探究点二 定积分的几何意义思考1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃb a f (x )d x 表示什么？思考2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃb a f (x )d x 表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？例2 用定积分的几何意义求：(1)⎠⎛01(3x ＋2)d x ； (2)⎠⎜⎛π23π2sin x d x ； (3)⎠⎛-33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ； (4)⎠⎛a b (x －a )(b －x )d x (b >a )．探究点三 定积分的性质思考1 定积分的性质可作哪些推广？答 定积分的性质的推广①ʃb a [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃb a f n (x )d x ； ②ʃb a f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃb c n f (x )d x (其中n ∈N *)． 思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 答 奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续不断，则ʃa －a f (x ) d x ＝0.②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续不断，则ʃa －a g (x )d x ＝2ʃa 0g (x )d x .例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值．【当堂检测】1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .2 利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃ3－39－x 2d x ； (2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求：(1)ʃ203x 3d x ； (2)ʃ416x 2d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x .。
人教版高二数学上学期测试模拟题：全面检测数学知识点
人教版高二数学上学期测试模拟题：全面检测数学知识点最新的人教版高二上学期数学测试模拟测验一、函数与基本初等函数本部分内容包括函数的概念、基本性质、幂函数、指数函数、对数函数等。
同学们需掌握各种函数的定义、性质及其应用，能够灵活运用函数的思想解决实际问题。
二、三角函数与解三角形本部分内容包括三角函数的定义、性质、证明、解三角形等问题。
同学们需掌握三角函数的基本概念、公式及其应用，了解解三角形的各种方法并能解决相关问题。
三、数列及其应用本部分内容包括数列的基本概念、等差数列、等比数列、数列的综合应用等。
同学们需掌握数列的基本概念与性质，理解等差数列与等比数列的公式及其应用，了解数列在实际生活中的应用。
四、立体几何初步本部分内容包括空间几何体的概念、性质、证明、计算等。
同学们需掌握空间几何体的基本概念、性质和几何证明方法，培养空间想象能力与逻辑思维能力。
五、平面解析几何初步本部分内容包括平面解析几何的基本概念、直线与圆、椭圆、双曲线等。
同学们需掌握平面解析几何的基本概念与性质，理解直线、圆、椭圆、双曲线的方程及其应用，能够解决相关的综合问题。
六、算法初步与框图本部分内容包括算法的概念、程序框图、解题思路等。
同学们需了解算法的基本概念与程序框图的表示方法，掌握基本的算法思想与解题思路，能够运用算法解决实际问题。
七、统计与概率本部分内容包括随机事件、概率的概念、计算、应用等。
同学们需了解统计与概率的基本概念与思想，掌握概率的运算及其应用，能够解决相关的实际问题。
八、数学建模初步本部分内容包括数学建模的概念、方法、应用等。
同学们需了解数学建模的基本步骤与方法，能够运用数学知识解决简单的实际问题，提高数学应用能力。
九、数学文化与思维方法本部分内容包括数学文化、数学思维方法等。
同学们需了解数学发展历程中的重要事件与人物，培养数学思维方式，提高数学素养。
十、数理逻辑初步本部分内容包括数理逻辑的基本概念、解题方法等。
高二上学期数学知识点考题
高二上学期数学知识点考题在高二上学期数学学习中，我们接触了许多重要的数学知识点。
这些知识点不仅仅是理论，更体现在实际问题的解决过程中。
在本文中，我将为大家总结并介绍高二上学期的数学知识点，并配以一些相应的考题，帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、函数与导数函数与导数是高中数学的重要基础，也是高二上学期的重点知识。
函数概念的运用涉及到函数的定义、性质和运算等内容。
导数的运用则包括导数的概念、导数的计算、导数在几何和物理问题中的应用等。
考题示例：1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 5x + 1，求函数在 x = -1 处的导数值。
2. 已知函数 f(x) 在区间 [-2, 2] 上单调递增，若 f(1) = 3，求函数f(x) 在区间 [-2, 2] 的最小值。
3. 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且在区间 (a, b) 内可导。
若f(a) = f(b) = 0，证明在区间 (a, b) 存在介于 a 和 b 之间的一点 c，使得 f'(c) = 0。
二、三角函数与向量三角函数是高中数学中的重要内容，涉及到三角函数的定义、性质、图像等。
向量的概念和性质是高中数学中的另一个重要知识点，也是高二上学期的内容之一。
考题示例：1. 在直角三角形中，已知一条直角边的长度是5，斜边长为13，求另一条直角边的长度。
2. 已知向量 a = 4i + 3j，向量 b = -2i + 5j，求 a 与 b 的数量积。
3. 设 sinA = 0.8，A 属于第二象限，求 cosA 和 tanA 的值。
三、平面几何与立体几何平面几何和立体几何是数学中的两个重要分支。
平面几何的内容包括点、直线、圆等图形的性质和应用，立体几何的内容包括平面图形的投影、旋转体的体积与表面积等。
考题示例：1. 在平面直角坐标系中，直线 l 过点 A(2, 5) 和点 B(4, -1)，求直线 l 的方程。
2. 已知抛物线 y = x^2 的焦点为 F，顶点为 V，点 P 在抛物线上，且 PF 的斜率为 -2，求点 P 的坐标。
高二精品数学上册综合检测试题0.pdf
3．3．2 一、选择题 1．将[0,1]内的均匀随机数a1转化为[－2,6]内的均匀随机数a，需实施的变换为( ) [答案] C [解析] ∵0≤a1≤1，∴0≤8a1≤8， ∴－2≤8a1－2≤6. 2．小红随意地从她的钱包中取出两枚硬币，已知她的钱包中有1分、2分币各两枚，5分币3枚，则她取出的币值正好是7分的概率是( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 共有取法6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，其中币值正好为7分的必有一枚5分币，故有3×2＝6种，∴概率P＝＝. 3．从正六棱锥P－ABCD的侧棱和底边共12条棱中任取两条，能构成异面直线的概率为( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 共能组成11＋10＋9＋…＋1＝66对，其中为异面直线的有6×4＝24对(∵侧棱都共面，底面多边形的边当然共面，∴异面的只有一条侧棱和底面的一条边的情形，一侧棱可与底面多边形的4条边构成异面直线)，∴P＝＝. 4．在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 在正方体内到各面的距离都大于1的点的集合是以正方体的中心为中心、棱长为1的正方体，所以所求概率P＝＝＝. 5．某人利用随机模拟方法估计π的近似值，设计了下面的程序框图，运行时，从键盘输入1000，输出值为788，由此可估计π的近似值约为( )A．0.788 B．3.142 C．3.152 D．3.14 [答案] C [解析] 由条件知，投入1000个点(a，b)，－1≤a≤1，－1≤b≤1，其中落入x2＋y2≤1内的有788个． ∵＝， ∴≈，∴π≈3.152. 6．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 如图所示，作AD⊥BC于D，PE⊥BC于E， 对于事件W＝“△PBC的面积大于”，有·BC·PE>··BC·AD，即PE>AD，∴BP>AB， ∴由几何概型的概率计算公式得P(W)＝＝.7．利用随机模拟法近似计算下图中阴影部分曲线y＝2x与x＝±1及x轴围成的图形的面积时，设计了如下算法： 设事件A为“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．S表示阴影部分的面积． S1：用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足－1<x<1,0<y<2x(即点落在阴影部分)．首先置n＝0，m＝0；S2：用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标； S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足y25，当m取1、2、3时，n只能取5或6，有2×3＝6种；当m取4时，n只能取4、5、6有3种；当m取5或6时，n可取1至6的任何值，有2×6＝12种． ∴事件A包含的基本事件数共有6＋3＋12＝21个， ∴P(A)＝＝. 10．任意一个三角形ABC的面积为S，D为△ABC内任取的一个点，则△DBC的面积和△ADC的面积都大于的概率为________．[答案] [解析] 在AB上取三等分点E、F，过点E作EM∥BC交AC于M，过点F作FN∥AC交BC于N， 则当点D在△AEM内时，满足S△DBC>，在△BFN内时，满足S△DAC>，设EM与FN的交点为G，则当点D在△EFG内时，同时满足S△DBC>，S△DAC>，∴所求概率P＝＝. 11．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是区间[0,4]内的数，则f(1)>0成立的概率是________． [答案] [解析] ∵0≤a≤4,0≤b≤4，∴点(a，b)构成区域为正方形OBDE及其内部， ∵f(1)＝－1＋a－b>0，∴a－b>1，满足条件的点构成区域为△ABC及其内部，其中A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC＝，所求概率P＝＝＝. 三、解答题 12．向边长为2的正方形内投飞镖，用随机模拟方法估计飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率． [解析] 用几何概型概率计算方法可求得概率P＝＝.用计算机随机模拟这个试验步骤如下： S1 用计数器n记录做了多少次飞镖试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置初始值n＝0，m＝0； S2 用函数rand( )*4－2产生两组－2～2的随机数x，y，x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标； S3 判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|<1，|y|<1，如果是则m的值加1，即m＝m＋1；否则m值保持不变； S4 表示随机试验次数的记数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤S2，否则，程序结束． 程序结束后，飞镖投在小正方形内发生的频率表示概率的近似值，全班同学一块试验，看频率是否在附近波动，次数越多，越有可能稳定在附近． 13．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min.用随机模拟方法估计乘客到达站台立即乘上车的概率． [解析] 地铁列车每10min一班，在车站停1min可以看作在0～1min这个时间段内，车停在停车点，在1～11min这个时间段内行驶，乘客到达站台立即乘上车的条件是他在0～1min这个时间段内到达站台． 设事件A＝{乘客到达站台立即乘上车}． S1 用计算机产生一组[0,1]区间的均匀随机数a1＝RAND； S2 经过伸缩变换a＝1114．在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估计该正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率，并写出算法． [解析] 正方形的面积只与边长有关，本题可以转化为在线段AB上任取一点M，使AM的长度介于6cm与9cm之间． 设事件A＝{正方形的面积介于36cm2与81cm2之间} (1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1＝RAND； (2)经过伸缩变换，a＝a1算法为： INPUT“n＝”；n m＝0 DO i＝1 a＝1815．如图，射击比赛使用的靶子是一个边长为50cm的正方形木板，由内到外画了五个同心圆，半径分别为5cm,10cm,15cm,20cm,25cm，由内到外依次为10环，9环，8环，7环，6环．某人在20m之外向此板射击，设击中线上或没有击中靶子时不算，可重新射击，假设击中靶子上任意位置的可能性相等．用随机模拟法估算下列概率：(1)得到8环以上(包括8环)的概率； (2)得到9环的概率； (3)得到8环以下(不包括8环)的概率． [解析] 设事件A＝“得到8环以上(包括8环)”，事件B＝“得到9环”，事件C＝“得到8环以下(不包括8环)”． S1 用计算器产生两组[0,1]区间上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND……； 16．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝9－x2与x轴和y＝x围成的图形)的面积．[解析] 设事件A为“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND； (2)经过伸缩平移变换，x＝(x1－0.5)*6，y＝y1设阴影部分的面积为S，矩形的面积为9×6＝54.由几何概率公式得P(A)＝. 所以，阴影部分面积的近似值为：S≈. 17．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝与直线x＝2及x轴围成的图形)的面积． [解析] 设事件A“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”． S1 用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足y<(所投的点落在阴影部分)．首先置n＝0，m＝0； S2 用变换rand( )*2产生0～2之间的均匀随机数x表示所投点的横坐标；用变换rand( )*2产生0～2之间的均匀随机数y表示所投点的纵坐标； S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足y<.如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1.如果不是，m的值保持不变； S4 表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1.如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束． 程序结束后，事件A发生的频率作为事件A概率的近似值． 设阴影部分面积为S，正方形面积为4，则≈P(A)＝， ∴S≈.。
高二上数学综合小测试题
高二上数学综合小测试题一、单项选择题1.点P（－1，1）关于原点的对称点的坐标为（）A.（－1，－1）B.（1，－1）C.（－1，1）D.（1，1）2.将分数指数幂32a 写成根式的形式为（）A.－3a2B.－a3C.1 3a2D.1 a33.求值：1log252等于（）A.－5B.5C.5D.－154.343log 的值是（ ）A.16B.2C.3D.45.将lga ＝b （a>0）化成指数式为（ ）A.10b ＝aB.eb ＝aC.ab ＝eD.ea ＝b6.已知圆的半径为3，则π3圆心角所对的弧长为（）A.πB.π2C.3D.2π7.若cosαtanα<0，则角α是（）A.第一或第二象限角B.第一或第四象限角C.第三或第四象限角D.第二或第三象限角8.若π2<α<π，则（）A.sinα>0B.tanα>0C.cosα>0D.sinα<09.在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝60°，则a∶b等于（）A.1∶ 2B.2∶1C.2∶ 3D.3∶ 210.已知sin α＝－12，且0°≤α<360°，则α等于（ ） A.210°B.150°C.210°或150°D.210°或330°11.下列各角中，终边与123°角相同的角是（ ）A.237°B.123°C.483°D.－483°12.已知角α＝π4，将其终边按顺时针方向旋转2周得角β，则β等于（ ）A.9π4B.17π4C.－15π4D.－17π413.由正弦函数y ＝sinx 的图像可以得出的以下几个结论，错误的是（ ）A.最大值为1B.最小值为－1C.图像关于y 轴对称D.最小正周期是2π14.在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，∠C ＝30°，则△ABC 的面积为（ ）A.12B.6C.3D.3 315.如图所示是函数y ＝f （x ）的图像，则函数f （x ）的单调递减区间是（ ）A.（－1，0）B.（1，＋∞）C.（－1，0）∪（1，＋∞）D.（－1，0），（1，＋∞）16.已知函数f （x ）＝log2x ，则函数的图象是（ ）17.若函数y ＝loga （x ＋b ）＋c （a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点（3，2），则实数b ，c 的值分别为（ ）A.2，2B.－2，2C.2，－2D.－2，－218.求值：2tan22.5°1－tan222.5°等于（ ） A. 3 B.－ 3 C.1 D.－119.已知α∈，且cos α＝－35，则sin α等于 （ ）A.－45π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.45C.34D.－34 20.1tan151tan15+︒-︒＝（ ）A.3B.D.121.若α∈(π，3π2)，则α－π2是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角22.下列函数在区间[0，＋∞）上单调递增的是（）A.y ＝lnxB.y ＝1xC.y ＝5－2xD.y ＝x223.直线y ＝2x －1关于直线y ＝1对称的直线方程是（ ）A.y ＝12 x ＋12B.y ＝2x ＋1C.y ＝－2x ＋1D.y ＝－2x ＋324.若sin α＝13 ，则cos 2α的值为（ ）A.89B.79C.－79D.－8925.函数y ＝log2（x －1）的图象经过（ ）A.（1，0）B.（2，1）C.（3，0）D.（3，1）26.若角α的终边上有一点P （1， 3 ），则cos α的值为（ ） A. 3 B.33 C.12 D.3227.在△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝ 3 ，∠A ＝π3 ，则S △ABC 等于（ ）A.6B.3C. 3D.2 328.将ab=N 写成对数式是（ ）A.a=logbNB.b=logbNC.N=logabD.b=logNa 29.cos 74的值是（ ） A.12B.-2D.230.函数y=π3 的图像是（） 二、填空题31.已知扇形的半径为1 cm ，圆心角为π6，则这个扇形的面积为.32.弧长等于半径的圆心角为 弧度.33.使sinx ＝2a －3有意义的a 的取值范围是 .34.函数y ＝3－sinx 的最大值是 ，最小值是 .35.若sin α＞0，tan α＜0，则角α是第 象限角.36.函数y ＝2sinx 的最小正周期为 .37.已知α∈（（π，3π2），cos α＝－35，则sin （α－π3）＝ .38.已知定义域为R 的函数y ＝f （x ）的图象关于y 轴对称，且当x ∈（－∞，0）时函数f （x ）是增函数，则f （e f （π）（填“>”“<”或“＝”）.39.将15°角的终边逆时针旋转360°，所得角的大小为 ，它们的 相同.40.sin 60°－cos 150°＋tan 45°＝ .三、解答题41.已知θ是第三象限角，求|sinθ|sinθ＋|cosθ|cosθ＋|tanθ|tanθ的值.42.已知对数函数y ＝log （a ＋1）x 过点（10，1），求a 的值.43.log243＋log26＋（x ＋1）0＋sin （π＋α）cos （π－α）tan （π－α）＋C88. 44.已知α为锐角，且sin2α－sin α·cos α－2cos2α＝0，求tan α的值.45.已知tanα，tanβ是方程x2－5x＋2＝0的两个根，求tan（α＋β）的值.答案一、单项选择题1.B2.D3.C4.D5.A6.A7.C8.A9.C10.D11.C【提示】483°＝360°＋123°.12.C【解析】β＝α－4π＝π4－4π＝－154π.13.C【解析】结合图像可以看出y＝sinx关于原点对称．14.C【提示】S △ABC ＝12absinC ＝12×4×3×12＝3，∴选C.15.D16.C17.B18.C 【解析】原式＝2tan22.5°1－tan222.5°＝tan45°＝1. 19.B 【提示】由sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝1－925＝1625，∵α∈（π2，π），∴sin α＝45.20.C 【提示】1tan151tan15+︒-︒＝tan 45tan151tan 45tan15︒+︒-︒︒＝tan （45°＋15°）＝tan60故选C.21.B22.D23.D 【提示】直线y ＝2x －1与y ＝1交于点(1，1)，再在直线y ＝2x －1上取一点，如(0，－1)，其关于直线y ＝1的对称点为(0，3)，过点(1，1)与(0，3)的直线为y ＝－2x ＋3，故选D.24.B 【提示】cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×(13 )2＝79 .25.D 【提示】当x ＝3时，x －1＝2，则y ＝0，即该函数图象经过点（3，1）.26.C 【提示】∵x ＝1，y ＝ 3 ，r ＝x2＋y2 ＝2，∴cos α＝x r ＝12 .故选C.27.B 【提示】S △ABC ＝12 ×AB×AC×sin A ＝12 ×4× 3 ×sin π3 ＝3.故选B.28.B29.C30.C二、填空题31.π12cm232.133.[1，2]34.4 235.二36.2π37.33－410 【提示】 ∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝1－cos2α＝1－235⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1625，则sin α＝±45．又∵α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin α＝－45，则sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin αcos π3－cos αsin π3＝－45×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝33－410． 38.>39.375° 终边40. 3 ＋1【提示】sin 60°＝32 ，cos 150°＝－32 ，tan 45°＝1.三、解答题41.解：原式＝－1＋（－1）＋1＝－1.42.解：由题意得log （a ＋1）10＝1，∴a ＋1＝10，a ＝9.43.解：原式＝log2463⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＋1＋－sin α－cos α（－tan α）＋1＝3＋1－1＋1＝4. 44.解：∵α为锐角，∴cos α≠0，∴sin2α－sin α·cos α－2cos2αcos2α＝0， 即tan2α－tan α－2＝0，解得tan α＝2或tan α＝－1.∵α为锐角，∴tan α＝2.45.解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝5，tan α·tan β＝2，∴tan （α＋β）＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝51－2＝－5.。
【高二】高二数学数学归纳法综合测试题(带答案)
【高二】高二数学数学归纳法综合测试题（带答案）选修2-2 2. 3 数学归纳法一、1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－11)时，第一步应验证不等式( )A．1＋12<2B．1＋12＋13＜2C．1＋12＋13＜3D．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3[答案] B[解析] 因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2[答案] D[解析] f(n＋1)－f(n)＝1(n＋1)＋1＋1(n＋1)＋2＋…＋12n＋12n＋1＋12(n＋1)－1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＝12n＋1＋12(n＋1)－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( )A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2?2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4?k2－2k－3≥0?(k＋1)(k－3)≥0?k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f(n)＝(2n＋7)?3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A．30B．26C．36D．6[答案] C[解析] 因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( )A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1[答案] B[解析] 由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝nn＋2an (n≥2)．当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝a13＝13a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110猜想an＝2n(n＋1)，故选B.10．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、题11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n(n＋1)，通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测Sn＝________.[答案] nn＋1[解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.[答案] 5[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k；(k－1)[3(k－1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1][解析] 由数学归纳法的法则易知．三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．[证明] ①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n－1>n－22(n≥2)．[证明] ①当n＝2时，左＝12>0＝右，∴不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k－1>k－22成立．那么n＝k＋1时，12＋13＋…＋12k－1＋12k－1＋1＋…＋12k－1＋2k－1>k－22＋12k－1＋1＋...＋12k>k－22＋12k＋12k＋ (12)＝k－22＋2k－12k＝(k＋1)－22，∴当n＝k＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝(k＋1)2＋(k＋1)＋22块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2021?衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2?2k＋2＝2(2k＋2)－2>2?k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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第四章基本知能检测
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1)
A．程序框图B．工序流程图
C．知识结构图D．组织结构图
[答案] D
[解析]描述一个工厂的组成情况应用组织结构．
2．根据“二分法”原理求方程x2－2＝0的解的程序框图可称为
)
A．工序流程图B．程序流程图
C．知识结构图D．组织结构图
[答案] B
[解析]“二分法”解方程是一种算法，即程序流程图．
3)
[答案] A
[解析] 由数系的从属关系可知只有A 正确．
4 )
A ．边长为3,4,5的直角三角形的面积
B ．边长为3,4,5的直角三角形内切圆的面积
C ．边长为3,4,5的直角三角形外接圆的面积
D ．以3,4,5为弦的圆的面积 [答案] B
[解析] 由直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c
2可知．
5 )
①结构图中基本要素之间一般为概念的从属关系或逻辑关系； ②在工序流程图中一定要出现循环回流；
③工序流程图中的流程线表示相邻两工序之间的衔接关系； ④画工序流程图类似于算法的流程图，自上而下，逐步细化． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
[答案] C
[解析] 只有②不正确．
6 )
A.整数→分数→有理数→实数→复数
B.点→线→面→体
C.放衣服→放水→洗衣→脱水
D.等差数列→通项→性质→应用
[答案] C
[解析]选项C是工序流程图．
7
)
A．空集B．全集
C．子集D．补集
[答案] D
[解析]集合的运算包括交、并、补三种．
8
()
A．工序流程图又称统筹图
B．开始时工序流程图可以画得粗疏，然后再对每一框细化
C．工序流程图中用平行四边形框表示一道工序
D．工序流程图中两相邻工序之间用流程线相连
[答案] C
[解析]工序流程图中，并不限定用平行四边形表示一道工序．
9．关于算法的逻辑结构中，
()
A．一个算法只能含有一种逻辑结构
B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构
C．一个算法必须含有三种逻辑结构
D．一个算法可以含有三种逻辑结构的任意组合
[答案] D
[解析]一个算法可以含有三种逻辑结构的任意组合．
10．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路
()
A．26 B．24
C．20 D．19
[答案] D
[解析]3＋4＋6＋6＝19，故选D.
11．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等
)
A．－3 B．－10
C．0 D．－2
[答案] A
[解析]本题考查了程度框图的应用．
(1)k＝1,1<4，S＝2×1－1＝1；
(2)k＝2,2<4，S＝2×1－2＝0；
(3)k＝3,3<4，S＝2×0－3＝－3；
(4)k＝4，直接输出S＝－3.
对于程序框图要看清楚属于哪种循环，是直到循环，还中当型循环，还要注意跳出循环时各变量的最新状态．
12．广州2018年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见表．若以A为起
点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路
)
A.20.6
C．22 D．23
[答案] B
[解析]A→C→D→B→E
4＋9＋6＋2＝21故选B.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．如图为有关函数的结构图，由图我们可知基本初等函数包括__________．
[答案]指数函数、对数函数、幂函数
[解析]由结构图可知，“基本初等函数”的下位要素是指数函数、对数函数、幂函数，故基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数．
14．已知流程图符号，写出对应名称：①____________，②
____________，③
[答案] 起止框 处理框 判断框 [解析] 根据程序流程图的符号来判断．
15．(2018·山东文，11)执行下边的程序框图，若输入的x 的值为
1，则输出的y 的值是________
[答案] 13
[解析] 第一次执行程序，满足条件x ＜2，x ＝1＋1＝2；第二次执行程序，不满足条件x ＜2，y ＝3×22＋1＝13，输出y ＝13，结束．答案为13.
16．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则lg1 000⊗(1
2)－2＝________.
[答案] 1
[解析] ∵a ＝lg1 000＝3，b ＝(12)－2
＝4且3<4， ∴输出b －1a ＝4－13＝1.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设计判断数列{a n }是否为等比数列的流程
[解析] 判断数列{a n }是否为等比数列的流程图如图所示．
18．(本题满分12分)根据我们所掌握的知识，设计一个结构图，
[解析] 圆与方程的知识内容包括圆的方程、直线与圆的位置关系，其知识结构图如图所示：
19．(本题满分12分)某银行推出了95599电话银行代缴费业务，
如果要缴电费，按照这个流程图，应该怎样操作？如果要进行手机充值呢？
[解析]S1拨通95599电话；
S2注册客户服务按1；
S3代缴费按5；
S4代缴公共事业费按1；
S5代缴电费按2.
S1拨通95599电话；
S2注册客户服务按1；
S3代缴费按5；
S4手机充值缴费按2；
S5手机充值按1.
20．(本题满分12分)按如图所示的程序框图操作：
(1)写出输出的数所组成的数集，若将输出的数按照输出的顺序
从前往后依次排列，则得到数列{a n}，请写出数列{a n}的通项公式；
(2)如何变更A框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数例{3n}的前8项？
[解析](1)输出的数组成的集合为{1,4,7,10,13,16,19,22}；
数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，n∈N＋且n≤8.
(2)将A框内的语句改为“a＝3”即可．
21．(本题满分12分)十·一国庆节即将到来，小强一家准备通过旅游公司到张家界旅游，联系旅行社的任务由小强完成．小强为了详细了解景色、费用、居住、饮食、交通等方面的信息，在打电话之前
[解析]如图所示：
接通→问好→问旅游线路→费用→交通工具
↓
再见←谢谢←景点特色←居住条件←饮食标准
22．(本题满分14分)
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装．
(2)提取环节经检验，合格，进入下工序，否则返回前处理．
(3)包衣、颗粒分装两环节检验合格进入下工序，否则为废品．画出生产该产品的工序流程图．
[解析]该产品工序流程图如图：。