1神算与速算(一、二)高斯求和、4,8,9整除性质、弃九法、数的整除性质
小学数学四年级奥数基础教程目录
小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
小学数学奥数辅导讲座(四年级)
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准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
四年级弃九法讲解
四年级弃九法讲解从第4四年级弃九法讲解9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。
利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。
例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。
但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。
有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。
利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。
例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。
分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。
只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。
口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。
所以这个多位数除以9余1。
例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。
我们已经熟知1＋2＋3＋…＋9＝45，而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，…，9都可以划掉。
在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，…，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，…，9，也都划掉。
这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。
所以这个数除以9余1。
在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。
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其实你若真爱一个人，内心酸涩，反而会说不出话来12.生命中有一些人与我们擦肩了，却来不及遇见；遇见了，却来不及相识；相识了，却来不及熟悉，却还要是再见13.对自己好点，因为一辈子不长；对身边的人好点，因为下辈子不一定能遇见14.世上总有一颗心在期待、呼唤着另一颗心15.离开之后，我想你不要忘记一件事：不要忘记想念我。
二年级高斯求和目标
二年级高斯求和目标
摘要：
1.二年级高斯求和的目标
2.高斯求和的公式
3.高斯求和的实际应用
正文：
【二年级高斯求和的目标】
二年级高斯求和目标是指，在数学中，求解一系列数的和的问题。
这个问题可以被广泛地应用于许多实际生活场景中，例如在统计学中，求解一组数据的和是一种常见的计算方式。
【高斯求和的公式】
高斯求和的公式是求解一系列数的和的一种方法，也被称为等差数列求和公式。
这个公式是由德国数学家高斯发现的，它的公式为：(首项+ 末项) × 项数÷ 2。
通过这个公式，我们可以快速地求解一系列数的和。
【高斯求和的实际应用】
高斯求和的公式在实际生活中有许多应用，例如在计算一个星期的菜钱，我们可以用高斯求和的公式来计算。
假设每天菜的价格都是一样的，那么我们只需要将每天的菜价相加，然后除以天数，就可以得到每天的平均菜价。
另外，高斯求和的公式也可以用于计算一个三角形的面积，或者用于解决一些计算机算法问题。
高斯求和法公式
高斯求和法公式在咱们的数学世界里，有一个超级厉害的工具，叫做高斯求和法公式。
这玩意儿可神奇啦，能帮咱们快速算出一大堆连续数字相加的结果。
先来说说高斯求和法公式到底是啥。
它呀，就是“（首项 + 末项）×项数÷ 2”。
就这么个简单的式子，却有着大大的能量。
我记得有一次，我在给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙一脸疑惑地问我：“老师，这公式咋就这么神奇呢？”我笑了笑，给他举了个例子。
咱们假设要算 1 加到 100 是多少。
按照平常的方法，一个一个加，那得加到啥时候呀。
但是用高斯求和法公式，就简单多啦。
首项是 1，末项是 100，项数就是 100 个数，那就是（1 + 100）× 100 ÷ 2 = 5050 。
小家伙听完眼睛都亮了，直说：“哇，好神奇！”其实呀，这个公式在生活中也很有用呢。
比如说，你要计算从 1 楼爬到 20 楼一共爬了多少级台阶，假设每层楼的台阶数都一样。
知道了第一层的台阶数和第 20 层的台阶数，再知道一共有 20 层，就能用这个公式轻松算出来啦。
那为啥这个公式能这么厉害呢？咱们来琢磨琢磨。
它其实是利用了数字的规律。
比如说 1 加到 10，1 和 10 相加是 11，2 和 9 相加也是 11，3 和 8 相加还是11……一直这样配对下去，会发现一共有 5 对 11 ，所以就是 11×5 = 55 。
再举个例子，算 2 加到 50 。
首项是 2 ，末项是 50 ，项数是 49 个数。
那就是（2 + 50）× 49 ÷ 2 = 1274 。
同学们在学习这个公式的时候，可别死记硬背，得理解它背后的道理。
多做几道练习题，感受感受其中的规律，慢慢地就能熟练运用啦。
当你真正掌握了高斯求和法公式，你会发现数学变得更有趣，解决问题也更轻松了。
就像打开了一扇通往神奇数学世界的大门，里面有着无数的宝藏等着咱们去发现呢！总之，高斯求和法公式是咱们数学学习中的一个好帮手，大家一定要好好掌握它，让它为咱们的数学学习助力加油！。
学而思(四年级)目30讲全
合用标准准数，各数与基准数的差的和叫做累学而思（四年级）若是你需要更多的各种奥数计差。
由例 1 获取：教材，课程同步教材，同步总和数 =基准数×加数的个数+累计第 1 讲速算与巧算（一）练习题，培优练习题，期中差，第 2 讲速算与巧算（二）期末单元试卷，平均数 =基准数 +累计差÷加数的个第 3讲高斯求和各种致富管理文学作品书籍数。
第4讲4， 8， 9 整除的数的特点维修书籍大人物传记在使用基准数法时，应采用与各第 5讲弃九法都是电子档。
能够联系我数的差较小的数作为基准数，这样才第 6 讲数的整除性（二）468453607简单计算累计差。
同时考虑到基准数第 7 讲找规律（一）微信电话与加数个数的乘法能够方便地计算出第 8 讲找规律（二）来，所以基准数应尽量采用整十、整第 9 讲数字谜（一）百的数。
第 10 讲数字谜（二）例 2 某农场有 10 块麦田，每块的产量第 11 讲归一问题与归总问题以下（单位：千克）：第 12 讲年龄问题462，480，443，420，473，429 ，第 13 讲鸡兔同笼问题与假设法例 1 四年级一班第一小组有10名同468， 439，475 ， 461。
求平均每块麦第 14 讲盈亏问题与比较法（一）学，某次数学测试的成绩（分数）如田的产量。
第 15 讲盈亏问题与比较法（二）下：解：选基准数为 450，则第 16 讲数阵图（一）86， 78， 77， 83， 91， 74， 92，累计差 =12＋ 30－7－ 30＋23－ 21第 17 讲数阵图（二）69，84，75。
＋18－11＋25＋11第 18 讲数阵图（三）求这 10 名同学的总分。
＝50，第 19 将乘法原理解析与解：平常的做法是将这10 个数平均每块产量 =450 ＋ 50÷ 10 ＝第 20 讲加法原理（一）直接相加，但这些数纷乱无章，直接455（千克）。
第 21 讲加法原理（二）相加既繁且易错。
高斯求和法的项数公式
高斯求和法的项数公式高斯求和法是数学中一种常见的求和方法，可以用来计算等差数列的和。
高斯求和法的项数公式是其中的重要部分，它可以帮助我们快速计算出等差数列的和，而不需要逐个相加。
下面我们来详细介绍一下高斯求和法的项数公式。
我们先来回顾一下等差数列的概念。
等差数列是指数列中的每个数之间的差都相等的数列。
我们用a表示等差数列的首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的第n项可以表示为：an = a + (n-1)d。
而高斯求和法的项数公式可以帮助我们直接计算等差数列的和，而不需要逐个相加。
项数公式的表达式为：Sn = n/2 * (a + an)。
其中，Sn表示等差数列的和，n表示项数，a表示首项，an表示第n项。
项数公式的原理是将等差数列的每一项与对应的倒数项相加，每一对的和都是公差d，总共有n/2对。
所以，我们可以将公差d 乘以n/2即可得到等差数列的和。
举个例子来说明高斯求和法的项数公式的使用方法。
假设我们要计算等差数列1，3，5，7，9的和。
首先，我们可以确定该等差数列的首项a为1，公差d为2，项数n为5。
根据项数公式，我们可以直接计算出等差数列的和：S5 = 5/2 * (1 + 9) = 5 * 10 = 50。
因此，等差数列1，3，5，7，9的和为50。
高斯求和法的项数公式在实际应用中有着广泛的用途。
比如在计算机科学中，我们经常需要对一组数据进行求和操作。
如果这组数据满足等差数列的特点，那么我们就可以利用高斯求和法的项数公式来快速计算出它们的和，从而提高计算效率。
除了等差数列，高斯求和法的项数公式还可以用于计算一些特殊的数列的和，比如等比数列。
对于等比数列，我们可以对其取对数，将其转化为等差数列，然后再利用高斯求和法的项数公式来计算。
在使用高斯求和法的项数公式时，需要注意的是要确保等差数列的首项和公差都是已知的，并且项数是正整数。
如果条件不满足，那么就无法使用高斯求和法来计算等差数列的和。
高斯速算法公式
高斯速算法公式
高斯速算法公式是一种快速算术技巧，可以在短时间内完成复杂的计算。
该公式由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪末发明，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
高斯速算法公式的核心思想是将复杂的计算分解为简单的步骤，然后利用数学规律进行快速计算。
具体来说，高斯速算法公式包括以下几个常用公式：
1. 两数之积法：设要计算的两个数为a和b，将a和b分别加上（或减去）一个相同的数c，使得a+c和b-c均为整数的平方数，然后将a+c和b-c的平方数相减即为所求的积。
2. 平方差法：设要计算的两个数为a和b，将它们的平均数记为m，则a和b的平方差可表示为(m+(a-m))^2 - (m+(b-m))^2，化简后得到(a+b)(a-b)。
3. 三角形法则：对于一个三角形，若知道任意两边的长度和它们夹角的正弦值，则可以通过正弦定理求出第三边的长度。
4. 除法求余法：设要计算的除数为a，被除数为b，将a和b 分别除以一个相同的数c，得到商和余数，则a/b可表示为(c×商+余数)/c。
以上四个公式是高斯速算法中常用的公式，可以极大地提高计算效率。
此外，还有其他一些公式，例如完全平方数的求法、立方差公式等，都可以应用于高斯速算法中。
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高斯求和公式原理
高斯求和公式原理高斯求和公式，这可是数学世界里的一个神奇小法宝！咱们今天就来好好聊聊它的原理。
话说我之前有一次监考数学考试，发现好多孩子在一道涉及求和的题目上抓耳挠腮。
那时候我就在想，要是他们能真正理解高斯求和公式的原理，或许就不会这么苦恼啦。
先来说说什么是高斯求和公式。
它的表达式是：（首项 + 末项）×项数 ÷ 2 。
这个公式看似简单，但其背后的原理可不简单哦！咱们来举个例子，假设要计算 1 到 100 的所有整数的和。
按照常规的方法，咱们得一个一个加起来，1 + 2 + 3 + 4 +……+ 99 + 100，这得多累啊！但高斯同学就很聪明，他发现了一个巧妙的方法。
他把这 100 个数首尾两两配对相加，1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，3 + 98 = 101……以此类推，一直到 50 + 51 = 101 。
这样一共能配成 50 对，每对的和都是 101 。
所以，总和就是 101×50 = 5050 。
这其实就揭示了高斯求和公式的核心原理。
首项和末项相加，得到的和在整个数列中具有一定的代表性。
而项数除以 2 ，就是因为我们把数列两两配对了。
再比如说，计算 1 到 50 的和。
首项是 1 ，末项是 50 ，项数是 50 。
那么根据公式就是（1 + 50）× 50 ÷ 2 = 1275 。
在实际的学习和生活中，高斯求和公式的应用可广泛啦！比如说，咱们要计算一堆整齐摆放的书的总数，如果知道最上面一本书是第一本，最下面一本是最后一本，而且清楚一共有多少层，那就可以轻松用高斯求和公式算出总数。
又比如，统计一段时间内做某项任务的总次数。
假如从第一天开始，到第 n 天结束，每天的次数都有规律，也能借助这个公式迅速得出总数。
总之，高斯求和公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开很多求和问题的大门。
希望同学们在学习数学的过程中，都能像高斯同学那样，多观察、多思考，发现数学中的奇妙之处，让数学变得不再那么可怕，而是充满乐趣和惊喜！回想起那次监考，我真心希望孩子们能早点掌握这些巧妙的方法，不再被数学难题困扰，能够在数学的海洋里畅游，享受探索和发现的快乐！。
数的整除
第四讲我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
四年级数学弃九法讲解
四年级数学弃九法讲解从第4四年级数学弃九法讲解9整除.那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几.那么这个数被9除的余数也一定是几。
利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。
例如.3645732这个数.各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30.30被9除余3.所以3645732这个数不能被9整除.且被9除后余数为3。
但是.当一个数的数位较多时.这种计算麻烦且易错。
有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数.所以凡是若干个数的和是9时.就把这些数划掉.如3＋6＝9.4＋5＝9.7＋2＝9.把这些数划掉后.最多只剩下一个3（如下图）.所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉.用剩下的数字和求除以9的余数的方法.叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。
利用弃九法可以计算一个数的九余数.还可以检验四则运算的正确性。
例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。
分析与解：利用弃九法.将和为9的数依次划掉。
只剩下7.6.1.5四个数.这时口算一下即可。
口算知.7.6.5的和是9的倍数.又可划掉.只剩下1。
所以这个多位数除以9余1。
例2 将自然数1.2.3.…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100.那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大.全部写出来很麻烦.在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数.所以要配合适当的分析。
我们已经熟知1＋2＋3＋…＋9＝45.而45是9的倍数.所以每一组1.2.3.….9都可以划掉。
在1～99这九十九个数中.个位数有十组1.2.3.….9.都可划掉；十位数也有十组1.2.3.….9.也都划掉。
这样在这个大数中.除了0以外.只剩下最后的100中的数字1。
所以这个数除以9余1。
在上面的解法中.并没有计算出这个数各个数位上的数字和.而是利用弃九法分析求解。
高斯求和的五个公式推理
高斯求和的五个公式推理在数学的奇妙世界里，高斯求和可是个超级有趣又重要的家伙！今天咱们就来好好聊聊高斯求和的五个公式推理。
记得我当年教过一个小学生小明，那孩子聪明得很，但一开始对高斯求和那也是一头雾水。
咱们先来说说第一个公式，就是“和= （首项+ 末项）×项数÷ 2”。
这就好比你有一堆整齐排列的苹果，从第一个到最后一个，第一个就是首项，最后一个就是末项，而这一堆一共有多少个苹果，那就是项数。
为啥要乘以项数再除以 2 呢？咱们来举个例子。
比如说从 1 加到100，1 是首项，100 是末项，项数就是 100 个。
那咱们把这 100 个数首尾两两配对，1 和 100 一对，2 和 99 一对，3 和 98 一对……一直到50 和 51 一对。
每一对的和都是 101，一共有 50 对。
所以总和就是101×50 = （1 + 100）× 100÷ 2 。
再看第二个公式“末项 = 首项 + （项数 - 1）×公差”。
这个公差呢，就是相邻两项的差值。
比如说一个等差数列，每次都多 3，那 3 就是公差。
假如首项是 2，项数是 10，公差是 3，那末项就是 2 + （10 - 1）×3 = 29 。
说到这，想起小明当时做这道题，把公差给算错了，急得抓耳挠腮。
我告诉他别慌，一步步来，先找准首项、项数和公差，这才把题做对了。
第三个公式“项数 = （末项 - 首项）÷公差+ 1”。
比如说从 5 开始，每次加 2，加到 21 结束，公差是 2，首项是 5，末项是 21，那项数就是（21 - 5）÷ 2 + 1 = 9 。
还有第四个公式“首项 = 末项 - （项数 - 1）×公差”。
这个理解起来也不难，就还是刚才那个例子，21 是末项，9 是项数，2 是公差，那首项就是 21 - （9 - 1）× 2 = 5 。
高斯求和.ppt
称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
❖ 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
❖ 和=（首项+末项）×项数÷2
❖ （1）1，2，3，4，5，…，100； ❖ 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ ❖ （2）1，3，5，7，9，…，99； ❖ 1＋3＋5＋7＋…＋99＝？
❖2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差 数列的和。
❖3.求首项是13，公差是5的等差数列的前 30项的和。
❖4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数 等于该钟点数，每半点钟也敲一下。 问：时钟一昼夜敲打多少次？
❖5.求100以内除以3余2的所有数的和。
❖6.在所有的两位数中，十位数比个位 数大的数共有多少个？
❖ 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判 断题目中的各个加数是否构成等差数列。
❖
❖例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
❖ 分析与解：这串加数11，12，13，…， 31是等差数列，首项是11，末项是31，共有 31-11＋1＝21（项）。
❖ 原式=（11+31）×21÷2=441
❖在利用等差数列求和公式时，有时项数并 不是一目了然的，这时就需要先求出项数。 根据首项、末项、公差的关系，可以得到
❖ 项数=（末项-首项）÷公差+1， ❖ 末项=首项+公差×（项数-1）。
❖
❖ 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ ❖ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数
列，
❖ 项数=（99－3）÷4＋1＝25，
❖ 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
❖
项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。
高斯数学有趣的规律
高斯数学有趣的规律1. 高斯平方和公式：高斯发现了一种求和公式，可以用来计算从1到n的所有自然数的平方和。
这个公式的本质是将平方和转化为等差数列的求和，简化了计算过程。
2. 高斯二项式定理：高斯在研究代数学时发现了二项式的求和公式，可以将任意幂次的二项式展开为多项式。
这个定理在组合学和概率论中有广泛的应用。
3. 高斯消元法：高斯提出的一种线性方程组的求解方法，通过行变换将方程组转化为上三角形式或化简为简化行阶梯形式，从而求解方程组的解。
这种方法在线性代数中具有重要的地位和应用。
4. 高斯曲率：高斯定义了曲面上某点的曲率，即曲线在该点附近的形状的度量。
高斯曲率是刻画曲面性质的一个重要指标，在微分几何中有广泛的应用。
5. 高斯分布：高斯发现了一种描述连续变量分布的概率分布函数，即高斯分布（也被称为正态分布）。
在统计学和自然科学领域中，高斯分布被广泛应用于模型和数据分析。
6. 高斯整数：高斯引入了一种特殊的整数集合，称为高斯整数。
高斯整数包括所有形如a+bi的数，其中a和b为实数，i为虚数单位。
高斯整数在数论和代数学中有重要的应用。
7. 高斯恒等式：高斯发现了一个涉及三角函数的恒等式，被称为高斯恒等式或者高斯求和公式。
这个公式可以用来求和一些特殊的三角函数序列，具有一定的美学和数学价值。
8. 高斯数塔：高斯提出了一种构建数塔的方法，即每个数字都由它上面两个数字之和得到。
高斯数塔在组合学和动态规划中具有重要的应用。
这些是高斯数学中一些有趣的规律和发现，展示了高斯对数学的深刻理解和贡献。
高斯数学有趣的规律
高斯数学有趣的规律
（原创实用版）
目录
1.高斯数学的概念和背景
2.高斯数学中的有趣规律
3.如何应用高斯数学中的有趣规律
4.高斯数学与奥数的区别
正文
高斯数学是以德国数学家高斯命名的一门数学学科，它是研究数学规律和数学方法的科学。
高斯数学中有很多有趣的规律，这些规律不仅可以帮助我们更好地理解数学，还可以让我们更好地应用数学知识来解决实际问题。
一个有趣的高斯数学规律是，任何一个两位数及其以上的数字减去这个数字前后顺序倒置后组成的新数字得到的差，都能被九整除。
这个规律可以用一个简单的数学公式表示为：(10x + y) - (y + 10x) = 9x - 9y = 9(x - y)。
另一个有趣的高斯数学规律是，对于一个正整数，若它为奇数，则对其乘三再加一；若为偶数，则除以二；一直这样下去总能得到 1、4、2、1 这个数列的循环。
这个规律可以用一个简单的数学公式表示为：n →(3n + 1) / 2 → (3(3n + 1) + 1) / 2 →...
我们可以通过应用高斯数学中的有趣规律来解决一些实际问题。
例如，我们可以利用第一个规律来判断一个数是否能被九整除，我们可以利用第二个规律来判断一个数是否能被 4 整除。
高斯数学与奥数有着密切的联系，但它们也有一些区别。
高斯数学是一个学科，而奥数是一个竞赛。
高斯配对求和公式
高斯配对求和公式好的，以下是为您生成的一篇关于“高斯配对求和公式”的文章：咱先来说说啥是高斯配对求和公式哈。
这玩意儿在数学里可有名啦，特别是在咱们从小学到高中的数学学习中，时不时就会碰到它。
其实啊，高斯配对求和公式就是用来解决一堆连续数字相加的问题的神奇工具。
比如说，从1 加到100 ，要是一个一个加，那得多累啊！但有了这个公式，一下子就能算出来。
我还记得有一次，我给一群小朋友讲这个公式。
当时啊，他们一个个眼睛瞪得大大的，充满了好奇。
我就问他们：“假如你们要把 1 到 10 加起来，你们会怎么做？”有的小朋友说一个一个加，有的呢，直接懵圈了。
我笑着说：“那咱们来看看高斯当年是怎么做的。
”我在黑板上写下1 到 10 这几个数字，然后把 1 和 10 配成一对，2 和 9 配成一对，3 和8 配成一对，4 和 7 配成一对，5 和 6 配成一对。
我问小朋友们：“你们发现每一对的和都是多少啦？”聪明的小家伙们很快就喊出来：“都是 11 ！”“对啦！那一共有几对呢？”我继续引导他们。
“5 对！”“那 1 加到 10 的和是不是就很容易算出来啦？”小朋友们恍然大悟，原来这就是高斯配对求和的妙处。
在咱们的数学教材里，这个公式可重要啦。
比如说算等差数列的和，它就能派上大用场。
咱们来仔细瞅瞅这个公式：假设要算从 1 加到 n 的和，那么和就等于 n×(n + 1)÷2 。
就拿 1 加到 100 来说，n 就是 100 ，套进公式里就是 100×(100 +1)÷2 ，也就是 5050 。
是不是很快？而且啊，这个公式在解决实际问题的时候也特别好用。
比如说，有一堆书，从第一本开始编号，一直到第 50 本。
要知道这 50 本书的编号总和，用高斯配对求和公式，一下子就能算出来。
再比如说，计算一段楼梯从第一级到第 20 级的总级数，也能轻松搞定。
从小学开始，咱们就接触简单的数字相加，慢慢到了初中、高中，遇到的数字越来越复杂，但是这个公式的本质不变。
能被489整除的数的特征
个性化教学辅导教案质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。
例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。
同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。
例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
例4五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？分析与解：已知能被72整除。
因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6。
再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。
在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B 和A所代表的数字。
在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A 的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。
例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。
由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。
再由六位数能被3整除，推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。
B可取0，3，6，9这4个值。
由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。
弃九法讲解
第5讲弃九法从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。
利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。
例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。
但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。
有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。
利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。
例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。
分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。
只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。
口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。
所以这个多位数除以9余1。
例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。
我们已经熟知1＋2＋3＋…＋9＝45，而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，…，9都可以划掉。
在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，…，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，…，9，也都划掉。
这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。
所以这个数除以9余1。
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2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？ 3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6， 并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和 最小的各是多少？ 4．五位数
能被12整除，求这个五位数。 5．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是 几？最小是几？ 6．从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个 可以被8整除的没有重复数字的四位数？ 7．在123的左右各添一个数码，使得到的时，这个四位 数分别能被9，8，4整除？
例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整 除的数，并将这些数从小到大进行排列。
例4 五位数
能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
例5 六位数 是6的倍数，这样的六位数有多少个？
例6 要使六位数 能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？
例2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？
例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792＝？
例4 2865×7265＝？
练习2 计算下列各题： 1.68×62； 2.93×97； 3.27×87； 4.79×39； 5.42×62； 6.603×607；
7.693×607； 8.4085×6085。
165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。
2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分 别为（单位：厘米）：
26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批 麦苗的平均高度。
3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为： 68，91，84，75，78，81，83，72，79。 他们共加工了多少个零件？
（4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。 （5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。 （6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相 同。 例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9 整除？ 234，789，7756，8865，3728.8064。
例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）： 462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平 均每块麦田的产量。
例3 求292和822的值。
例4 求9932和20042的值。
例5 88×64＝？ 例6 77×91＝？
练习1 1.求下面10个数的总和：
（2）17＋19＋21＋…＋39； （3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。 3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。 4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟 也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？ 5.求100以内除以3余2的所有数的和。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9 的余数的方法，叫做弃九法。 一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计 算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。 例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。
例2
将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？
第四讲 我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我 们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一 定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一 定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与 差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么 21＋15及21-15都能被3整除。
第2讲 速算与巧算（二） 上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘 法的“同补”与“补同”速算法。 两个数之和等于10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中， 常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互 补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72×78的被乘 数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头 相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位 数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类 题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补 同”速算法。 例1 （1）76×74＝？ （2）31×39＝？
练习5 1．求下列各数除以9的余数： （1）7468251； （2）36298745； （3）2657348； （4）6678254193。 2．求下列各式除以9的余数： （1）67235＋82564； （2）97256-47823； （3）2783×6451； （4）3477+265×841。 3．用弃九法检验下列各题计算的正确性：
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数 一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整 除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问 题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些 整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么 这个数就能被2整除。 （2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整 除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个 数就能被3整除。 （4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数 就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个 数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个 数就能被9整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6） 是本讲要学习的内容。 因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的 数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数 与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的 后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就 证明了（4）。 类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方 法。 837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。 因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知， （8x99＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能 被9整除，就能判断837能被9整除。 利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：
东方果核学科教师辅导讲义
学生姓名：秦觉非 数：2h 辅导科目: 数学 王希伟
年 级： 年级
课时
学科教师：
课
题 1神算与巧算（一、二）、高斯求和、4,8,9整除
性质、弃九法、整除
授课日期及其 2014年
月
日
点
时段
——
点
教学 内 容
第1讲 速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算 本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练， 既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分 析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本 讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分 数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。
1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9
的余数是多少？
例3 检验下面的加法算式是否正确： 2638457＋3521983＋6745785＝12907225。
例4 检验下面的减法算式是否正确： 7832145-2167953＝5664192。
例5 检验下面的乘法算式是否正确： 46876×9537＝447156412。
4.计算： 13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。
5.计算下列各题： （1）372； （2）532； （3）912；
（4）682： （5）1082； （6）3972。
6.计算下列各题：
（1）77×28；（2）66×55； （3）33×19；（4）82×44； （5）37×33；（6）46×99。
第3讲 高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师 出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答 案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观 察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于 是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且 广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其 中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的 数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…， 71。 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列； （2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为