华东师大版数学八年级下期末复习 第16章 分式
华东师大版八年级下册数学 第十六章 分式 全章复习
第十六章 分式 全章复习 学案【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）m n m n m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ； （5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232z y x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab abb b a a ----222； （3）b a c c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）ba b b a ++-22； （5）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .（2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+--（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab （4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x . 【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-xxx x ；（2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x x x（5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x （7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程： （1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xbb x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
华师大版初中数学八年级下册16章 分式
； （4）
2x
4
x y
3
； (5)
；(6)
mn
；(7)
3
+1.
3x 4
4b 2x2 1
同步一试：在代数式－ ，
，x+y， ，
中，分式有（ ）
2 xy3a 兀源自A、2 个B、3 个
C、4 个
问题 2：当 x 取什么值时，下列分式有意义？
1
（1）
；
x3
x 1 x 2
（2）
.
2x 1 2x 3
D、5 个
x
1
1
（2）
与
的最简公分母是：
4x 2x2 x2 4
1
1
1
（3）
,
,
的最简公分母是：
3x(x 2) (x 2)(x 3) 2(x 3)2
x
1
1
（4）
,
,
的最简公分母是：
2x 2 x2 x x2 1
问题
2： 通 分 （ 1）
1 3x2
，
5
（ 2）
12xy
1， x2 x
1 x2 x
1 x2 xy .
为
，
1
所以
＝
x2 y2
1
＝
x2 xy
归纳：求几个分式的最简公分母的步骤？
1．取各分式的分母中系数的
；
2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
3．相同字母（或因式）的幂取指数最 的；
4．所得的系数的
与各字母（或因式）的最
三、课内巩固训练
次幂的积即为最简公分母。
1
2
通分： （1）
和
2ab3 5a 2b2c
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
华东师大版八年级数学下册第16章分式16.1分式及其基本性质16.1.2分式的基本性质 教学课件
（2） x2 1 ． x2 2x 1
提示：先找出分子和分母的公因式，约分的结果要彻底.
解：（1）aa2bbc
ab ac ab
ac；
（2） x2 1
（x 1）(x 1) x 1 .
x2 2x 1
（x 1）2
x 1
归纳：约分时若分子﹑分母都是单项式，则约去系 数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；若分子 ﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去 分子﹑分母所有的公因式.
2x x5
2x( x 5) ( x 5)( x 5)
2x2 x2
10x . 25
3x x5
3x(x 5) (x 5)(x 5)
3x2 x2
15x . 25
随堂练习
5x
1.如果把 x y 的x与y都扩大10倍，那么这个分式的值（ A ） A.不变
B.扩大50倍
C.扩大10倍
D.缩小到原来的
（ x x y） （x y）2
x； x y
（4）m2 m
m 2 1
（1
m（m m）（1
1） m）
m. m 1
2x 8y
5.先化简，再求值： x2 16 y2
，其中x+4y
=
1 2
.
2(x 4 y)
解：原式= (x 4 y)(x 4 y)
=2x+4y =-4.
6.通分
（1） b2dc
练一练：下列分式中是最简分式的是（ B ）
ax
A. ay
x y
B. x y
C.
x 1 x2 1
mn
D. m2 2mn n2
判断一个分式是不是最简分式， 要严格按照定义来判断，就是 看分子、分母有没有公因式. 分子或分母是多项式时，要先 把分子、分母因式分解.
华东师大版八年级下册数学第16章 分式 - 16.1 分式及其基本性质 -第2课时 分式的基本性质
解：
课堂小结
总结
分式的分子与分母都乘以（或都除以） 同一个不等于零的整式，分式的值不变. 分子与分母没有公因式的分式称为最 简分式. 分式的约分，就是要把分子与分母的 公因式约去.
总结
分式的通分，就是要把几个异分母的
分式分别化为与原来分式值相等的同分母
的分式.通分的关键是确定几个分式的公 分母，通常取各分母所有因式的最高次幂 的积作为公分母（叫做最简公分母）.
1 x （3） 2 = ； 2 x -y x( x y)( x - y) 1 x y = . 2 x xy x( x y)( x - y)
随堂练习
练习1
军训期间，小华打靶的成绩是m发9环 和n发7环，小华的平均成绩是每发多少环？
9m 7 n 列式为： mn
练习2
约分：
2 2 ab 2 a x -4 2ax y （ 1） ；（2） ；（3） 2 . 2 3ab - 3b xy 2 y 3axy
数学八年级下册（华东师大版）
第16章 分式
16.1 分式及其基本性质
第2课时 分式的基本性质
复习引入
复习
我们知道，分数的基本性质是：分数
的分子与分母都乘以（或都除以）同一个 不等于零的数，分数的值不变.分数的基 本性质是约分、通分和化简繁分数的理论 根据.
探究新知
性质
（一）分式的基本性质
分式也有类似分数的性质，就是分式 的分子与分母都乘以（或都除以）同一个 不等于零的整式，分式的值不变，这个性 质叫做分式的基本性质，用式子表示是：
解析
通分：
1 1 1 1 1 1 （ 1） 2 ， 2 ；（2） ， ；（3） 2 ，2 . 2 a b ab x- y x y x - y x xy
华师大版八年级下册第16章分式复习材料
11-x 55+x x 2568x x x -++223(1)9x x x ++-121-+x 9313+--xx 1121--x 1-m m 32+-m m 112+-mm 分式复习材料一、分式的概念（一）特征一：分母中含有字母1、在代数式132x +、5a 、26x y 、35y +、23a b +、2325ab c 、π1中，分式有（ ）.个。
2、在π1,0,1,31),(21,32c a b y x x --中，整式有 ，分式有 . 3.在y x x x n m m n a a -+++251,5,1,3,4,4，21-π中,整式有 ,分式有 ； （二）特征二：分母≠01、当取何值时，下列分式有意义？2、当取何值时，下列分式有意义？3、当取何值时，下列分式无意义？（三）拓展一：（分式的值为0的条件：分子=0，分母≠0） 1、当m 为何值时，分式的值为0？2、当x 为何值时，分式的值为0？3.当时，分式的值为零4.当时，分式的值为零5.当式子2545x x x ---的值为零时，x 的值是（ ）x x 57+x x 3217-x x x --221x x 23+x x 7213-xx x --22132+-m m 55+x x A 、6 B 、-5 C 、-1或5 D 、-5或5（四）拓展二：（分式的值为正或负的条件）1、分式 的值为正数，求M 的取值范围。
2、分式 的值是负数，求X 的取值范围。
二、分式的基本性质 1、变形填空（(),232.1-=--x x x (2)()222c b c b a =,(3)1)(112-=-x x .(4))(11132=-++x x x 2、去掉分子和分母中的“—”号； (1)不改变分式的值,使分式xyx y y y 2,2,2----的分子,分母不含“—”号； (2)不改变值,使分式2311xx x-+-分子,分母最高次项系数为正； 3、去掉分子和分母中的小数和分数； （1）不改变值,使分式yx yx 04.03.05.001.0+-的分子,分母各项系数均为整数.（2）不改变分式值,使分式的分子,分母中各项的系数化为整数,=-+y x y x 2434.三、通分和约分（一）确定最大公约数（三定：定系数，定字母，定指数） 1、指出下列分式的最大公约数324232128yz x z y x322423248c b a c b a d b a c b a 32232432-2、指出下列分式的最大公约数()()y x a x y a --271223()()()()b a y x b a y x -+-+23 44422-++x x x（二）约分（分子,分母都是单项式时可直接约分；当分子,分母是多项式时,先做因式分解,然后再约分）22232223244323342396)5()())(()4(42)3(3012)2(1624)1(y xy y xy x a x x a y x x xx c b a c b a y x z y x -+---+--- （三）确定最简公分母（三定：定系数，定字母，字指数） 1、求分式4322361,41,21xy y x z y x 的（最简）公分母；2、求分式2241x x -与412-x 的最简公分母。
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
华师大版数学八年级下册第16章 分式 复习课件(共21张PPT)
随堂练习
1.下列代数式
1 1 x，1 ，x2 y2 ，1 +m，5a2 ， 5
5
3 m 2a 6 x
中是分式的有（ C ）个.
A.5
B.4
C.3
D.2
2.如果把分式 x5xyy中的 x 、y 都扩大到原
来的 5 倍，那么分式的值（ B ）. A.扩大到原来的 25 倍
B.扩大到原来的 5 倍
解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一
小时后的速度为1.5xkm/小时，由题意得：
180 x
1
180 x 1.5 x
2 3
，
解这个方程为x=60，
经检验，x=60是所列方程的根，
答：前一小时的速度为60km/小时．
课后作业
1.从教材习题中选取. 2.完成练习册本课时的习题.
3.分式的运算 （1）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相 加减，分母不变，分子相加减． （2）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相 加减，先通分，变为同分母后再加减．
(3)分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算 顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括 号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配 律，再计算更简便些.
C.不变
D.缩小到原来的
1 5
3.下列各分式中，是最简分式的是（ A ）.
x2 y2 A.
x y
x2 y2 B.x yBiblioteka x2 x C.xy
xy D. y2
4. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025 m 的颗粒物， 将 0.0000025 用科学计数法表示为（ D ）.
A.0.25×10-5
6.零指数幂与负整数指数幂
华师大版八年级数学下册数学第16章分式第16章小结与复习课件
一、分式 1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有
字母，那么称 A 为分式.其中A叫做分式的分子，
B
B为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式
A B
：当__B_≠_0___时分式有意义；
当__B_=__0__时分式无意义.
3.分式值为零的条件：
当__A_=_0_且___B_≠_0_时，分式
1 6
针对训练
3.下列变形正确的是( C )
A. a b
a2 b2
C. 2 x x 2 x 1 1 x
B. a b a2 b
a
a2
D.
6x2y 9 xy 2
2x 9y
例3 已知x= 1
2 ,y= 1
2，求
(
x
1
y
x
1
y
)
x2
2x 2xy
y2
值.
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简
划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依
题意列出正确的方程为（ C ）
A 90 90 3 . x x 1
C. 90 90 3 x x 1
B. 90 90 3 x 1 x
D. 90 90 3
x 1 x
8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次
又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一 次进价的 5 倍，购进数量比第一次少了30支.求第一
考点四 分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已 知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路 程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)． 答：普通列车的行驶路程是520千米；
华东师大版八年级下册第16章分式(分式方程)章复习专题(无答案)
分式、分式方程 ●章复习 考点知识结构图转化为整式方程→整式方程的解 分式方程的概念 实际问题 实际问题的解 分式方程的解 分式的概念 分式的性质 分式的运算（法则） 零指数 负指数 科学计数法综合调控能力题◆利用分式值、分式的概念反求未知数的值1-01、已知分式bax a x +-2。
当x = 3时，分式值为0；当x = —3时，分式无意义，求a 、b 。
◆分式值、绝对值、不等式、“且”和“或”的逻辑意思1-02、若分式232--x x 的值是负数，则的取值范围是（ ）A 、232<<x B 、32>x 或2-<x C 、22<<-x 且32≠x D 、232<<x 或2-<x◆分式值、因式分解、整除1-03、已知分式91862-+-a a 的值为正整数，求整数a 的值。
◆利用增根的实质反求未知数的值1-04、若分式方程x m x x -=--2524产生增根（即无解），求m 的值。
1-05、已知关于x 的方程xx x a x x x x 2222--=-+-恰有一个实根，求满足条件的实数a 的个数。
◆分式方程、因式分解（一元二次方程）1-06、已知21=+a a ，求200220021a a +的值。
◆整体思想（分式方程的构建）1-07、已知方程a a x x 11+=+的两根分别为a 、a 1，求方程1111-+=-+a a x x 的根。
◆分式方程转化为方程组1-08、已知x 、y 、z 满足x z z y x +=-=532，求zy y x 25+-的值。
◆分式方程值的变化特点、“且”和“或”的逻辑意思1-09、将分式ba a +2中的a 扩大到2倍，b 扩大到4倍，而分式的值不变，则（ ） A 、0=a B 、0=b C 、0=a 且0=b D 、0=a 或0=b1-10、把分式ba a -2中的a 和b 都变为原来的n 倍，那么该分式的值（ ） A 、变为原来的n 倍 B 、变为原来的n 2倍 C 、不变 D 、变为原来的n 4倍◆零指数、负指数与分式1-11、解关于x 的方程()116=-+x x 。
华东师大版数学八年级下册第16章分式章末复习一(共30张PPT)
(2)
x2-4 |x|-2
(3)
x2-2x-3 x2-5x-6
x =1
无
x=3
4、(1)当x取何值时，分式
5 3-x
的值为正？
x＜3
(2)当x取何值时，分式
2-x 1+(x+3)2
的值为负？
x＞2
(3)当x取何值时，分式
2-x x+3
的值为非负数？-3＜x≤2
5、当 x、y 满足 2x=3y 时，分式
=
a2(a+1) a(a-1)(a+1)2
【知识点四】
1、分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达：
A B
·CD
=
A·C B·D
2、分式的除法法则：
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后 再与被除式相乘。
用符号语言表达：Biblioteka A B÷C D
3、如果(2x-1)-4有意义，则 x≠0.5 .
4、(-2×10-1)3×(2×102)-4= -5×10-12 .
5、(an+1bm)-2÷anb=a-5b-3，则m= 1 ，n=_1__.
6、计算： (1)(2 xy)2 (21 x1 y)3 3
解:原式=
22 32
x2 y2
23 x3 y3
华东师大版数学八年级下册
第16章 《分式》
章末复习
学而不思则罔，疑而不探则空
【学习目标】
1、熟悉分式的定义，分式有(无)意义的条件， 分式值为0、为正、为负的条件；
2、理解掌握分式的基本性质、分式的符号法则；
3、能熟练运用分式的基本性质进行分式的约分、通分；
华师大版八年级下册数学第16章 分式含答案
华师大版八年级下册数学第16章分式含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、分式方程﹣=的解是（）A.x=﹣4B.x=1C.x1=4，x2=1 D.x1=﹣4，x2=12、若有意义，则的值是（）A.非正数B.负数C.非负数D.正数3、要使分式有意义，则x的取值应满足（）A.x≠﹣2B.x≠1C.x=﹣2D.x=14、从，，，，，这六个数中，随机抽取一个数，记为.关于的方程的解是正数，那么这个数中所有满足条件的的值有（）个.A. B. C. D.5、为了响应中央号召，今年我市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到235000000元，其中235000000元用科学记数法可表示为（）A.23.5×10 8元B.2.35×10 8元C.2.35×10 9元D.0.235×10 10元6、地球与月球之间的平均距离是38.4万千米，数据“38.4万”用科学记数法表示为（）A.38.4×10 4B.3.84×10 5C.3.84×10 6D.3.84×10 47、要使分式有意义，则x的取值应满足（）A.x≠4B.x≠﹣2C.x＝4D.x＝﹣28、下列各式运算正确的是（）A.a 2+a 3=a 5B.a 2•a 3=a 6C.（a 2）3=a 6D.a 0=19、若分式方程无解，则m的值为（）A.﹣1B.1C.﹣2D.210、满足分式方程的x值是（）A.2B.﹣2C.1D.011、下列运算错误的是（）A.（a 2）3＝a 6B.（x+y）2＝x 2+y 2C.﹣3 2＝﹣9 D.61200＝6.12×10 412、下列运算中，错误的是（）A. (c≠0)B. =-C.=-113、方程−＝0的解是（）A.5B.4C.6D.814、下列计算正确的是（）A. B. C. D.15、在下列式子，，，，，中，分式的个数是（）.A.2个B.4个C.3个D.5个二、填空题(共10题，共计30分)16、若分式的值为0，则x的值为________．17、使函数在实数范围内有意义的条件是________.18、如果，则m=________．19、国际足联预测，全球将有大约32亿人在长达1个月的世界杯大赛期间到现场观看比赛或者收看电视转播，请用科学记数法表示32亿：________ ．20、函数y= 中，自变量x的取值范围是 ________．21、当x________时，是二次根式.22、已知n＞1，M= ，N= ，P= ，则M、N、P的大小关系为________．23、若a2+5ab﹣b2=0，则的值为________．24、某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是________．25、据调查，地球海洋面积约为361000000平方千米，请用科学记数法表示该数：________三、解答题(共5题，共计25分)26、先化简，再求值：，再从0、1、2三个数中，选择一个你认为合适的数作为x值代入求值.27、计算（1）运用乘法公式简便运算：98×102（2）2﹣2+（）0+（﹣0.2）2014×52014．28、在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？29、化简代数式，请在-2，0，1，2中选择一个你喜欢的x的值代入化简后的代数式并求值.30、某施工队要铺设一条长为1500米的管道，为了减少施工对交通造成的影响，施工队实际的工作效率比原计划提高了20%，结果比原计划提前2天完成任务．求施工队原计划每天铺设管道多少米？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、D3、B4、B5、B6、B7、A8、C9、B10、D11、B12、D14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、30、。
八年级数学下册第16章分式复习课课件新版华东师大版
b2
C. 2 x x 2 x 1 1 x
a b a2 b B. a a2
D. 6x2 y 2x 9xy2 9 y
考点讲练
已知x= 1
2 , y=1
2
，求
x
1
y
x
1
y
x2
2x 2xy
y2
值.
分析：本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分
（2）去分母，得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3. 经检验，x=﹣3是分式方程的解．
考点讲练
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把 分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一 定要验根．
考点讲练
针对训练
6.解方程：x x
2 2
1
16 x2
. 4
解：最简公分母为（x+2）（x﹣2）. 去分母，得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=1 整理，得﹣4x+8=16，解得x=﹣2. 经检验，x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
a b ab cc c (2)异分母分式的加减法则： a c ad bc ad bc b d bd bd bd
知识梳理
知识梳理
4.分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号
的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式．
三、分式方程
知识梳理
1.分式方程的定义： 分母中含未知数的方程叫做分式方程.
又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第 一次进价的 5 倍，购进数量比第一次少了30支.
4
求第一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元.根据题意，得
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2
A.
2
B. 2 2
C.- 2 2
2
D.-
2
9. 关于 x 的分式方程 a 1 ，下列说法正确的是（
）
x3
A. 方程的解是 x a 3
B. 当 a 3 时，方程的解是正数
C. 当 a 3 时，方程的解为负数
D. 以上答案都是正确
10. 某服装专卖店销售的 A 款品牌西服去年销售总额为 50000 元，今年该款西服每件售价
4x2 x2
2x 2x 1
，其中
x
的值从不等式组
2 x 3 2x 4 1的
整数解中选取.
重难点 2 解分式方程
例 2 解方程： x 2x 1 x 1 3x 3
ห้องสมุดไป่ตู้ 变式训练
3.
分式方程 5 3 x 的解是 x x 1 x 1
。
4. 解分式方程： 1 1 2 6x 2 2 1 3x
0 0
C
50000 x 400
50000
1 x
20
0 0
D.
50000 x
50000 1 20 x 400
0
0
2、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11. 某颗粒物的直径是 0.0000025，把 0.0000025 用科学计数法表示为
。
1
12. 要使分式 xx 1 有意义，则 x 应满足
重难点 1 分式的运算
分式
例
1：先化简： 1
x
1
2
x2
x 1 4x
4
，再从
1,2,3
三个数中选择一个合适的数作为
x
的
值，代入求值。
变式训练：
1.
计算：
3a a3
a
a
3
a
2 a
9
2.
先化简，再求值：
x
1 x
x2 x 1
一商家买同样的资料，这次商家每本优惠 4 元，结果比上次多买了 20 本，求第一次买了多
少本资料？若设第一次买了 x 本资料，列方程正确的是（ ）
A.
240 120 4 x 20 x
B.
240 x 20
120 x
4
C. 120 240 4 x x 20
D. 120 240 4 x x 20
B. ①写出当 r=1 时的欧拉公式，并证明；
②利用欧拉公式直接写出 20183 20173 20163 的结果。
2
2
20.（12 分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，现有甲队筑路 60km，再由乙队完成剩
4
下的筑路工程，已知乙队筑路的长度是甲队筑路的长度的 倍，甲队比乙队多筑路 20 天。
a
2019
”，“小
马虎”不小心把 a 2019 错抄成 a 2009 ，但他的计算结果却是正确的，请说明原因。
19. （11 分）阅读下面材料，并解答相应的问题
分式中的欧拉公式
欧拉是 18 世纪瑞士著名的数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，
同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹。下面是关于分式的欧拉公式：
重难点 3 分式方程的应用
例 3. 王老师家在商场与学校之间，离学校 1 km ，一天王老师骑车到商场买奖品后再到 学校，结果比平常步行直接到校迟 20 min .已知骑车速度为步行速度的 2.5 倍。买奖品时间 为 10 min ，求骑车的速度。
变式训练
5. 某校美术社团为练习素描，他们第一次用 120 元买了若干本资料，第二次用 240 元在同
a
1
ba
c
b
c
1
a
b
a
1
cb
c
=
a
b
ba
c
cb
c
+
=
=0
（1）请将材料中 r 0 时欧拉公式的证明过程补充完整；
（2）请从下面 A,B 两题中任选一题进行解答，我选择
题；
A. 写出当 r=2 时的欧拉公式，并任选一组 a,b,c 的值，对该公式当 r=2 时的情形情形验证；
3
（1）求乙队筑路的长度； （2）若甲乙两队平均每天筑路长度之比 5:8，求乙队平均每天筑路多少千米？
比去年便宜 400 元，若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低 20％，求今年
该款西服的每件售价。若设今年该款西服的每件售价。若设今年该款西服每件售价为 x 元，
则可列方程为（ ）
A.
50000 50000 1 20 00
x 400
x
B.
50000 x
50000 1 20 x 400
6
B. 1 1 20 32
6
C 32 20 1 1
6
D. 20 32 1 1
6
8. 已知 m n 2 ，则 1 1 2 的值为（ ） n m mn
）
x 1
x 1
A. -1
B.-2
C.-3
D.任意实数
4. 若 x,y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
3x
A.
2y
3x B. 2 y2
3x2
C.
2y
3x3 D. 2 y2
5. 若 a2 ab 0(b 0) ，则 a （
）
ab
1
1
A.0
B.
C.0 或
2
x 4
1. 若分式
的值为 0，则 x 的值为（ ）
x4
A.4
B.-4
C. 4
D.任意实数
2. 下列分式中，不是最简分式的是（ ）
4y2
A.
3x
x2 y2
B.
x y
2 y2 x2
C.
x y
3x y
D.
4xy
3. 若 3 2x 1 ，则（）中的数是（
2
D.1 或 2
6.
化简
1
1 a
1
a2
a 2a
1
的结果是（
）
A. a 1
1
B.
a 1
a 1
C.
a
D. a 1
7. 将 1 1, 20, 32 这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ）
6
A. 20 1 1 32
6.某工厂的甲车间承担了加工 2100 个机器零件的任务，甲车间单独加工了 900 个零件后，
由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前 12 天完成任务，已知乙
车间的工作效率是甲车间的 1.5 倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？
复习自测： 1、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
16 a2 （2） a2 4a a
a4 a2 2a 4 a 4
17. （12 分）解下列方程：
（1）
x
x
3
2 x
1
（2）
2 3
x 3x
1
1 9x
3
18.
（10
分）有这样一道题“求
a2 a2
a 1
a2
a
1 2a 1
a a
1 1
的值，其中
。
13. 某车间要制造 a 个零件，原计划每天制造 x 个，需要
天才能完成；若每天多制造
b 个，则可提前
天完成。
14. 若 x
1 x
2 ，则 x2
1 x2
。
15.
若分式方程
x
x
4
2
x
a 4
的解为正数，则
a
的取值范围
。
3. 解答题（共 55 分）
16. （10 分）计算：
（1） m3n 2 2m n 2 3 2
0(r 0,1)
a
a'
ba
c
b
b,
cb
a
c
c,
ac
b
1(r a
b
2) c(r
3)
这个公式我们可以分情况进行研究，例如，当 r 0 时的欧拉公式为：
a
1
ba
c
b
1
cb
a
c
1
ac
b
0
证明如下：左边=