数值分析10方程求根的迭代法

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数值分析10迭代法的收敛性分析

例如，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法是两种常见的求解线性方程组的迭代法。通过收敛性分析，可以发现Jacobi迭代法在一般情况下是收敛的，但收敛速度较慢；而Gauss-Seidel迭代法在一般情况下也是收敛的，且收敛速度较快。因此，在实际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代方法。
研究方向
进一步深入研究迭代法的收敛性，探索更有效的迭代公式和算法，以提高收敛速度和稳定性。
展望
随着计算技术的发展，迭代法在数值分析中的应用将更加广泛，其收敛性分析将为解决实际问题提供更有力的支持。同时，随着数学理论的发展，迭代法的收敛性分析将更加深入和完善。
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例如，梯度下降法和牛顿法是两种常见的求解优化问题的迭代法。通过收敛性分析，可以发现梯度下降法在一般情况下是收敛的，但可能会遇到收敛速度较慢或者不收敛的情况；而牛顿法在一般情况下也是收敛的，且收敛速度可能比梯度下降法更快。因此，在实际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代方法。
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迭代法收敛的充要条件
迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径小于1。谱半径是迭代矩阵所有特征值的模的最大值。
收敛性的判定方法
可以通过计算迭代矩阵的特征值来判断迭代法的收敛性，也可以通过迭代矩阵的范数来近似判断。
收敛速度的度量
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迭代次数
迭代次数是衡量收敛速度的一个直观指标，迭代次数越少，收敛速度越快。
在非线性方程求解中的应用
非线性方程的求解是数值分析中的另一个重要问题，迭代法也是求解非线性方程的重要方法之一。与线性方程组求解类似，收敛性分析在非线性方程求解中也有着重要的作用。通过收敛性分析，可以判断迭代法的收敛速度和收敛性，从而选择合适的迭代方法和参数，提高求解效率。

数值分析实验报告——方程求根

《数值分析》实验报告实验一方程求根一、实验目的:掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。

二、实验内容:二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。

观察初值对收敛性的影响。

三、实验步骤：①、二分法：定义：对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

实现方法：首先我们设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[0.1,1]上的根，误差限为e=10^-4。

PS：本方法应用的软件为matlab。

disp('二分法')a=0.1;b=1;tol=0.0001;n0=100;fa=400*(a.^4)-300*(a.^3)+200*(a.^2)-10*a-1;for i=1:n0 p=(a+b)/2;fp=400*(p.^4)-300*(p.^3)+200*(p.^2)-10*p-1;if fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)disp('用二分法求得方程的根p=')disp(p)disp('二分迭代次数为：')disp(i)break;end;if fa*fp>0 a=p;else b=p;end;end;if i==n0&&~(fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)) disp(n0) disp('次二分迭代后没有求出方程的根')end;程序调试：运行结果：用二分法求得方程的根p=0.1108二分迭代次数为：14②Newton法定义：取定初值x0，找到函数对应的点，然后通过该点作函数切线，交x轴，得到新的横坐标值，然后找函数对应的点，做切线，得到新的横坐标值,重复上述步骤，多次迭代，直到收敛到需要的精度。

数值分析第三章线性方程组迭代法

数值分析第三章线性方程组迭代法线性方程组是数值分析中的重要问题之一，涉及求解线性方程组的迭代法也是该领域的研究重点之一、本文将对线性方程组迭代法进行深入探讨。

线性方程组的一般形式为AX=b，其中A是一个n×n的系数矩阵，x和b是n维向量。

许多实际问题，如电路分析、结构力学、物理模拟等，都可以归结为求解线性方程组的问题。

然而，当n很大时，直接求解线性方程组的方法计算量很大，效率低下。

因此，我们需要寻找一种更高效的方法来求解线性方程组。

线性方程组迭代法是一种基于迭代思想的求解线性方程组的方法。

其基本思想是通过构造一个序列{xn}，使得序列中的每一项都逼近解向量x。

通过不断迭代，可以最终得到解向量x的一个近似解。

常用的线性方程组迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法等。

雅可比迭代法是其中的一种较为简单的迭代法。

其基本思想是通过分解系数矩阵A，将线性方程组AX=b转化为x=Tx+c的形式，其中T是一个与A有关的矩阵，c是一个常向量。

然后，通过不断迭代，生成序列xn，并使序列中的每一项都逼近解向量x。

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。

其核心思想是利用当前迭代步骤中已经求得的近似解向量的信息。

具体而言，每次迭代时，将前一次迭代得到的近似解向量中已经计算过的分量纳入计算，以加速收敛速度。

相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。

逐次超松弛迭代法是高斯-赛德尔迭代法的改进方法。

其核心思想在于通过引入一个松弛因子ω，将高斯-赛德尔迭代法中的每次迭代变为x[k+1]=x[k]+ω(d[k+1]-x[k])的形式，其中d[k+1]是每次迭代计算得到的近似解向量的一个更新。

逐次超松弛迭代法可以根据问题的特点调整松弛因子的值，以获得更好的收敛性。

除了以上提到的三种迭代法，还有一些其他的线性方程组迭代法，如SOR迭代法、共轭梯度法等。

这些方法都具有不同的特点和适用范围，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代法。

高斯-赛德尔法--数值分析线性方程组的迭代解法

高斯赛德尔法数值分析线性方程组的迭代解法线性方程组的迭代解法迭代法求解线性方程组高斯赛德尔迭代法高斯赛德尔迭代法原理高斯赛德尔迭代赛德尔迭代法线性方程组的解法pkpm线性方程组解法非线性方程数值解法
实验六、高斯-塞德尔法
一、实验目的
通过本实验学习线性方程组的迭代解法。掌握高斯-赛德尔迭代法编程。
二、计算公式
}
if(k==T)printf("\nNo");
else
printf("\n",k);
for(i=0;i<M;i++)
printf("x(%d)=%15.7f\n",i+1,x[i]);
}
四、例题
书P189页例6：用高斯-塞德尔迭代解线性方程组：
取使得
#include<math.h>
#define M 3
#define N 4
main()
{
double a[M][N]={{8,-3,2,20},
{4,11,-1,33},
{6,3,12,36},
};
double x[M]={0,0,0};//初值
double r,t,q,eps=0.0000202;//需要精度
if(j!=i)q=q+a[i][j]*x[j];
x[i]=(a[i][N-1]-q)/a[i][i];
if(fabs(x[i]-t)>r)r=fabs(x[i]-t);
}
if(r<eps)break;
printf("\nk=%d,",k);
for(i=0;i<M;i++)
printf("\nx[%d]=%lf",i,x[i]);

《数值分析》第六讲方程求根

《数值分析》第六讲方程求根数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科，其中方程求根是其中重要的内容之一、方程求根是指找到一个或多个满足方程条件的根。

在实际生活中，方程求根的问题是非常常见的，比如求解物理学中的运动方程、电路中的电流方程等等。

本文将简要介绍几种常用的方程求根方法。

首先介绍最简单的试位法。

试位法是通过选择一个初始值，然后逐步逼近根的位置。

具体来说，首先选择一个初始点x0，然后根据函数的性质来选择一个适当的步长h。

然后计算f(x0)和f(x0+h)，如果它们符号相同，则说明根在区间(x0,x0+h)内；如果符号不同，则说明根在区间(x0-h,x0)内。

通过这样的逐步逼近，最终可以找到方程的根。

然而，试位法的精度依赖于所选择的初始值和步长，如果选择不当，可能会导致找不到根。

其次介绍割线法。

割线法也是一种逼近法，它的思路是通过不断连接两个初始点来逼近根的位置。

具体来说，选择两个初始点x0和x1，计算f(x0)和f(x1)，然后通过割线的斜率来计算下一个点的位置，即x2=x1-(f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))。

重复这个过程，可以逐步逼近根的位置。

割线法相较于试位法的优势是可以更快地逼近根的位置，但同样也依赖于所选择的初始点。

还有一种非常常用的方程求根方法是二分法。

二分法是通过不断将问题划分为两个子问题来逼近根的位置。

具体来说，选择一个初始区间[a,b]，计算f(a)和f(b)。

如果f(a)和f(b)符号相同，则说明根不在此区间内，需要重新选择区间。

如果f(a)和f(b)符号不同，则说明根在此区间内。

然后根据区间中点的位置，划分出两个新的子区间，再次进行判断。

通过这样的逐步划分，最终可以找到方程的根。

二分法是一种十分稳定和可靠的方法，但是它的收敛速度相对较慢。

最后介绍牛顿法。

牛顿法是一种迭代法，通过不断进行线性逼近来逼近根的位置。

具体来说，选择一个初始点x0，然后通过计算函数f在该点的斜率来计算下一个点的位置，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)。

数值分析迭代法二分法和迭代法原理

| xk x*| L | xk1 x*| L2 | xk2 x*| Lk | x0 x*|
lim | xk x* | 0
k
即 lim xk x *.
k
(b) | xk1 x*| L | xk x*|
| xk 1 xk | | ( xk 1 x*) ( xk x*) | xk x * xk 1 x * (1 L) xk x * 1 xk x * xk 1 xk 1 L 又 | xk1 xk | ( xk ) ( xk1 ) | '( ) | | xk xk1 | L | xk xk1 |
等价变换
x = (x) 称为迭代函数
(x) 的不动点x*
不动点迭代
具体做法：
从一个给定的初值 x0 出发，计算 x1 = (x0), x2 = (x1), … x 若 k k 0 收敛，即存在 x* 使得 lim x k x *，则由的连续
k
xk 1 lim xk 可得 x* = (x*)，即 x* 是的不性和 lim k k
根的估计
引理3.1（连续函数的介值定理）设f(x)在 [a,b]上连续，且f(a) f(b)<0，则存在x*(a,b) 使f(x*)=0。例3.1 证明x33x1 = 0 有且仅有3个实根，并确定根的大致位置使误差不超过 =0.5。解:
单调性分析和解的位置选步长h=2, 扫描节点函数值异号区间内有根
ek 1 xk 1 x* ( xk ) ( x*) '( )ek e 取极限得 lim k 1 '( x*) 0 线性收敛. k e k

数值分析--第三章--迭代法

数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：本⽂实例⽅程组：⼀.jacobi迭代法从第i个⽅程组解出xi。

线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。

得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。

转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）得到迭代公式：其中的矩阵B和向量f如何求得呢？其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。

上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。

特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。

⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。

所以只需要⼀组存储单元。

转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。

计算过程同jacobi迭代法的类似三.逐次超松弛法SOR法上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。

迭代法求方程的根c语言

迭代法求方程的根c语言迭代法求方程的根是数学中一种非常实用的方法，它通过反复逼近来得到方程的根。

对于许多复杂的方程，迭代法可以提供一种更加简单有效的求解方式。

在计算机中，使用C语言可以轻松地实现迭代法求方程的根。

迭代法基础迭代法是一种数值分析中常用的计算方法，它通过在初始条件下反复施加同一运算，来逐渐逼近目标值的过程。

简单的迭代法可以用下面的公式进行表示：Xn+1 = f(Xn)其中，Xn是第n次迭代的结果，Xn+1是下一次迭代的结果，f(Xn)是在当前值下计算得到的函数值。

这个公式可以反复使用，以达到逐步逼近目标值的效果。

例如，在求解方程f(x) = 0时，可以使用下面的迭代公式：Xn+1 = Xn - f(Xn)/f’(Xn)其中，f’(Xn)表示f(Xn)的导数，也就是函数在Xn 处的切线斜率。

这个公式可以通过在Xn处求出函数值和导数，计算出下一次迭代的Xn+1值。

实现迭代法求方程的根要使用迭代法求解方程的根，需要首先定义迭代函数f(x)以及其导数f’(x)。

这里我们以求解方程x^2 - 2x -1 = 0为例，f(x) = x^2 - 2x - 1，f’(x) = 2x - 2。

在C语言中，我们可以使用以下代码定义迭代函数和其导数：double f(double x) { return x*x - 2*x -1; }double fder(double x) { return 2*x - 2; }接下来，我们可以使用以上定义的迭代函数和导数，使用下面的代码实现迭代法求方程的根：double iterative(double x0, int n){ double x = x0; int i = 0; while(i<n) { x = x - f(x)/fder(x); i++; } return x; }其中x0为迭代的初始值，n为迭代的次数。

在迭代过程中，我们可以使用while循环来反复使用迭代公式，来一步一步逼近方程的根。

数值分析中的牛顿迭代法

数值分析中的牛顿迭代法在现代科学技术领域中，数值计算是一项不可忽视的内容。

牛顿迭代法是数值计算中的一种重要方法，被广泛应用于数学、物理、化学、航空航天等领域。

下面就让我们来了解一下什么是牛顿迭代法，以及它的原理、特点和应用。

1. 概述牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程组的数值计算方法。

它的基本思想是：从已知函数的一个近似解出发，借助函数的切线逼近函数的零点，直到达到指定的精度要求为止。

牛顿迭代法的应用非常广泛，如求解函数的根、优化问题、最小二乘拟合、时间依赖问题等。

2. 原理假设$f(x)$是一个在$x0$处有连续二阶导数的函数。

如果要找到它在$x0$处的零点，那么牛顿迭代法的基本公式为：$$ x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$其中，$n$表示迭代的次数，$x_{n+1}$表示迭代后的值，$x_n$表示当前的值，$f(x_n)$表示函数在$x_n$点的值，$f'(x_n)$表示函数在$x_n$点的导数。

公式的物理意义是：先用当前的$x$值求出函数值$f(x)$，然后用当前的$x$值求出函数的导数$f'(x)$，接着用$f(x)$和$f'(x)$计算出一个斜率，最后用当前的$x$值减去这个斜率，得到一个新的近似解$x_{n+1}$。

迭代过程如下：（1）选取初始值$x_0$；（2）计算出第一个近似值$x_1$，即$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$；（3）计算出第二个近似值$x_2$，即$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$；（4）依此类推，直到$f(x_n)$的值小到满足预设的精度为止。

3. 特点牛顿迭代法具有以下几个特点：（1）收敛速度快。

迭代公式是二阶收敛的，收敛速度远远超出了线性迭代法和高斯-赛德尔迭代法。

（2）精度高。

根据牛顿迭代法的收敛次数和精度估计定理，只要初值足够接近所求的跟，牛顿迭代法就能收敛，并且有二阶精度。

数值分析——二分法及迭代法

数值分析——二分法及迭代法数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科。

在数值分析中，二分法和迭代法是两种常用的数值求解方法。

本文将对二分法和迭代法进行详细介绍，并比较它们的特点和适用范围。

一、二分法二分法是一种通过将问题分解为两个子问题，并选择其中一个子问题进行求解的方法。

它适用于解决连续函数的求根问题。

二分法的基本思想是利用中值定理，通过不断缩小区间来逼近根的位置。

具体步骤如下：1.选取一个初始的区间[a,b]，确保f(a)和f(b)的符号相反。

2.计算区间的中点c=(a+b)/23.判断f(c)的符号，并更新区间。

若f(c)与f(a)符号相反，则更新区间为[a,c]；否则更新区间为[c,b]。

4.重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。

5.最后得到的近似根为区间的中点c。

二分法的优点是收敛速度快，且能够保证收敛到根的位置。

然而，二分法的缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度，所以其收敛速度相对较慢。

此外，二分法需要事先确定区间，并且要求f(a)和f(b)的符号相反，这对于一些问题来说可能并不容易实现。

因此，二分法主要适用于单峰函数求根问题。

二、迭代法迭代法是一种通过迭代逐步逼近解的方法。

它适用于一般的数值求解问题。

迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，将原始问题转化为一个具有相同解的等价问题，并通过逐步逼近来求解。

具体步骤如下：1.选取一个初始的近似解x_0。

2.根据迭代公式x_{k+1}=g(x_k)，计算下一个近似解x_{k+1}，其中g(x)是一个适当的函数。

3.判断迭代是否达到停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。

若满足停止准则，则停止迭代；否则返回步骤2继续迭代。

4.最终得到的近似解为迭代过程中的最后一个近似解x_k。

迭代法的优点是适用范围广，可以求解一般的数值问题。

此外，迭代法的迭代公式可以根据具体问题的特点进行选择，使得迭代过程更加高效。

数值分析E

牛顿迭代公式的收敛速度
从xk+1= xk-f(xk)/f '(xk)得牛顿法的迭代函数为 f(x) ϕ(x)=xf ′(x) 经计算有 f(x*)f ′′(x*)
ϕ′(x*)=
{f ′(x*)}
2
结论当x*是f(x)的单根, 即 f(x*)=0, f'(x*) 0,有 ϕ'(x*)=0<1, 因此 (1) 牛顿公式具有局部收敛性, (2) 对单根是二阶收敛的注对于重根, 牛顿公式的收敛速度会减低.
p的大小是衡量迭代公式优劣的标准
定理设ϕ(x)在x=ϕ(x)根x*邻近有p阶连续导数,且 (p)(x*) (p-1) ϕ 0, ϕ'(x*)=ϕ''(x*)=…=ϕ (x*)=0, 则迭代公式xk+1=ϕ(xk)具有p阶收敛速度证明首先计算ek+1=xk+1-x*=ϕ(xk)-ϕ(x*) 将ϕ(xk)在x*处泰勒展开等于0 * ϕ(xk)=ϕ(x )+ϕ'(x*)(xk-x)+... +ϕ(p-1)(x*)(xk-x*)p-1/(p-1)!+ϕ(p)(ξ) (xk-x*)p/p! =ϕ(x*)+ϕ(p)(ξ) (xk-x*)p/p! : 其中ξ介于xk,x*之间令k
迭代过程的收敛速度
Lk|x1-x0|/(1-L)知, L越小,收敛速度越快但L的计算不容易用误差减小的幅度表示收敛速度的快慢定义假设xk+1=ϕ(xk)收敛到x*, 记误差ek=x*-xk,若由 |xk-x*|
e k+1 lim p =c ≠ 0 k →∞ e k
称该公式具有p阶收敛速度特别地, p=1 称为线性收敛 p=2 称为平方收敛 p 注按极限定义, 当k较大时, 有 e k+1 ≈ ce k 当|ek|<1时, p越大,ek+1减小越快, 即敛速越快

数值分析中的迭代法收敛性分析

数值分析中的迭代法收敛性分析迭代法是数值分析领域中常用的一种数值计算方法，通过迭代逼近的方式求解数值问题。

在使用迭代法时，我们需要关注其收敛性，即迭代过程是否能够逼近问题的解。

本文将探讨数值分析中的迭代法收敛性分析方法。

一、迭代法的基本概念迭代法是一种通过逐次逼近的方式求解数值问题的方法。

在求解问题时，我们通过不断使用公式迭代计算，直到满足某个特定的条件为止。

迭代法在实际应用中广泛使用，例如求解方程组、求解最优化问题等。

二、迭代法的数学模型我们可以用以下数学模型描述迭代法的过程：设迭代公式为：x_(n+1) = g(x_n)，其中x_n表示第n次迭代的结果，g(x)为迭代函数。

三、迭代法的收敛性在使用迭代法时，我们希望迭代过程能够收敛到问题的解。

迭代法的收敛性分析是判断迭代过程是否能够收敛的关键。

1.线性收敛如果迭代法满足以下条件：1）对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*| ≤ C (0 < C < 1)，其中x*为问题的解，那么称迭代法是线性收敛的。

2）线性收敛的迭代法需要满足条件|x_1 - x*| / |x_0 - x*| ≤ C (0 < C <1)。

2.超线性收敛如果迭代法满足以下条件：对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*|^p ≤ C (0 < C < 1, p > 1)，那么称迭代法是超线性收敛的。

3.二次收敛如果迭代法满足以下条件：对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*|^2 ≤ C (0 < C < 1)，那么称迭代法是二次收敛的。

四、判断迭代法的收敛性在实际应用中，判断迭代法的收敛性是非常重要的。

下面介绍几种常用的判断方法。

1.收敛准则根据数列极限的定义，如果一个数列{x_n}满足：对于任意ε > 0，存在正整数N，当n > N时，有|x_n - x*| < ε，则称{x_n}收敛于x*。

第4章方程求根的迭代方法

数值分析简明教程
引论 2+0
第一章插值方法
第二章数值积分
8+4
8+2
第三章常微分方程的差分解法
第四章方程求根的迭代法
8+4
8+2
第五章线性方程组的迭代法
第六章线性方程组的直接法
6+2
8+2
48+16
基本概念
线性方程：未知数都是一次的方程。非线性方程：高次代数方程和超越方程。代数方程：由未知数的代数式所组成的方程。
2x
是方程 f ( x) e 1 2 x 2 x 0 的 3 重根。
2x 2
第四章
方程求根的迭代法
4.1 迭代过程的收敛性 4.2 4.3 4.4 迭代过程的加速牛顿法弦截法
4.1
4.1.1
迭代过程的收敛性
迭代法的设计思想
有根区间
介值定理若函数 f ( x) 在 [ a , b ] 连续，且 f ( a ) f ( b ) 0 ，则方程 f ( x ) 0 在 ( a , b ) 内至少有一个实根。将 [ a , b ] 称为 f ( x ) 的有根区间。
ab )。 2
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
例：证明方程 x 3 3 x 2 6 x 1 0 在区间（ 0，1）内有唯一的实根，并用二分法求这个根的近似值，使误差不超过 0.01 。解设 f ( x ) x 3 x 6 x 1, x [0,1] 。因为 f ( x ) 在 [0， 1]连续，且
单根和重根
定理若 f ( x ) 满足 f ( x ) ( x x )

第4章方程求根的迭代法

' ( x) L
则迭代过程对任意初值x0∈[a,b]均收敛于方程的根x*,且有下列误差估计式只要相邻两次 1 x * xk xk 1 xk 迭代值的偏差 1 L 充分小，就能 k L 保证迭代值足 x * xk x1 x0 1 L 够准确。
第4章方程求根的迭代法
k 2 3 4 5 6 xk 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 0.56486 |xk-xk-1| 0.06129 0.03446 0.01964 0.01111 0.00631 k 7 8 9 10 xk 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691 |xk-xk-1| 0.00358 0.00203 0.00115 0.00065
1.89328947 1.89328925 1.89328921 1.89328920 1.89328920 ……
第4章方程求根的迭代法
2.迭代法收敛的条件定理1 设 ( x) 在[a,b]上具有连续的一阶导数,且满足下列两项条件： (1) 对于任意x∈[a,b],总有 ( x)∈[a,b]; (2) 存在0≤L<1,使对于任意x∈[a,b],成立
容易验证，上例迭代18次得到的精度为10-5的结果为0.56714，本例只要迭代3次即可得到，加速效果明显.
第4章方程求根的迭代法
2.埃特金算法设xk是根x*的某个近似值，用迭代公式校正一次得
xk 1 ( xk )
再迭代一次，得
~ xk 1 ( xk 1 ) x * xk 1 L( x * xk ) x * ~ xk 1 L( x * xk 1 )
1 xk xk 1 (e 0.6 xk ) 1.6

数值分析论文 (10)

学习数值分析课程重要性研究内容摘要:学习《数值分析》是数学学习和应用中不可缺少的一部分，通过对此课程的学习可以更好的掌握数学方面的应用。

通过对数值计算中算法设计的技巧、插值法、解线性方程组的直接接法和迭代法的学习可以更好的了解数值分析在解决问题中的重要性。

关键字：开方求值；迭代法；高斯消去；拉格朗日插值1.导言《数值分析》是理工科院校应用数学、力学、物理、计算机软件等专业的学生必须掌握的一门重要的基础课程。

它是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论.它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.通过本课程的学习，能使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据实际问题建立数学模型，然后提出相应的数值计算方法，并能编出程序在计算机上算出结果，这既能为学生在理论学习方面以及在计算机上解决实际问题等方面打下良好的基础，同时又能培养学生的逻辑思维能力和提高数学推理能力。

2、数值应用举例2.1迭代法与开方求值迭代法是一种按同一公式重复计算逐次逼近真值的算法，是数值计算普遍使用的重要方法，以开方运算为例，它不是四则运算因此在计算机上求开方值就要转化为四则运算，使用的就是迭代法.假定0>a ,求a 等价于解方程02=-a x （2.1.1）这是方程求根问题,可用迭代法求解.现在用简单的方法构造迭代法,先给一个初始近似00>x , 令x x x ∆+=0, x ∆是一个校正量,称为增量,于是(2.1.1)式化为a x x =∆+20)(展开后略去高阶项2)(x ∆则得)(2100x x a x -≈∆ 于是1000)(21x x a x x x x =+≈∆+= 它是真值a x =的一个近似,重复以上过程可得迭代公式,2,1,0),(211=+=+k x a x x kk k (2.1.2) 它可逐次求得,,,21 x x 若*lim x x k k =∞→ 则,*a x =容易证明序列}{k x 对任何00>x 均收敛,且收敛很快. 迭代法（2.1.2）每次迭代只做一次除法,一次加法与一次移位(右移一位就是除以2),计算量很小.计算机中求a 用的就是该迭代法.无论在实用上或理论上,求解线性或非线性方程,迭代法都是重要的方法. 例1：用迭代法求3，取20=x解：若计算精确到610-，由（2.1.1）公式可求得,732051.1,732051.1,73214.1,75.14321====x x x x 计算停止。

数值分析实验报告之迭代法求非线性方程的根

数值分析实验报告之迭代法求非线性方程的根1.实验目的掌握迭代法求非线性方程根的基本原理和使用方法，加深对数值计算方法的理解与应用。

2.实验原理迭代法是一种通过不断逼近的方法求解非线性方程的根。

根据不同的函数特点和问题需求，可以选择不同的迭代公式进行计算，如牛顿迭代法、二分法、弦截法等。

3.实验内容本次实验使用牛顿迭代法求解非线性方程的根。

牛顿迭代法基于函数的局部线性逼近，通过不断迭代逼近零点，直至满足收敛条件。

具体步骤如下：Step 1：选择初始点X0。

Step 2：计算函数f(x)在X0处的导数f'(x0)。

Step 3：计算迭代公式Xn+1 = Xn - f(Xn) / f'(Xn)。

Step 4：判断收敛准则，若满足则迭代结束，输出解Xn；否则返回Step 2，继续迭代。

Step 5：根据实际情况判断迭代过程是否收敛，并输出结果。

4.实验步骤步骤一：选择初始点。

根据非线性方程的特点，选择恰当的初始点，以便迭代公式收敛。

步骤二：计算导数。

根据选择的非线性方程，计算函数f(x)的导数f'(x0)，作为迭代公式的计算基础。

步骤三：迭代计算。

根据迭代公式Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn)，计算下一个迭代点Xn+1步骤四：判断收敛。

判断迭代过程是否满足收敛条件，通常可以通过设置迭代次数上限、判断前后两次迭代结果的差值是否足够小等方式进行判断。

步骤五：输出结果。

根据实际情况，输出最终的迭代结果。

5.实验结果与分析以求解非线性方程f(x)=x^3-x-1为例，选择初始点X0=1进行迭代计算。

根据函数f(x)的导数计算公式，得到导数f'(x0)=3x0^2-1，即f'(1)=2根据迭代公式Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn)，带入计算可得：X1=X0-(X0^3-X0-1)/(3X0^2-1)=1-(1-1-1)/(3-1)=1-0/2=1根据收敛准则，判断迭代结果是否满足收敛条件。

数值分析10-方程求根的迭代法

ln 2
只要二分足够多次（即 k 充分大），便有
x * xk , 这里为预定的精度.
例3 用二分法求方程 x3 x 1 0 在区间 [1,1.5] 上的根，误差
限为 102，问至少需对分多少次？
解： a 1, b 1.5， 102;
k ln(b a) ln 1
4.1 方程求根与二分法
4.1.1 引言单变量非线性方程的一般形式
f (x) 0
（1.1）
其中 x R, f (x) C[a, b], [a, b] 也可以是无穷区间.
f(x)是高次多项式函数或超越函数如果函数 f (x)是多项式函数，即
f ( x) a0 xn a1 xn1 an1 x an (a0 0), （1.2）其中 a0 0, ai (i 0,1,, n) 为实数，则称方程(1.1)为n 次代数方程.
• 后来卡当的学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次方程的解法。此成果更激发了数学家们的情绪，但在以后的二个世纪中，求索工作始终没有成效，导致人们对高次代数方程解的存在性产生了怀疑。
• 1799年，高斯证明了代数方程必有一个实根或复根的定理，称此为代数基本定理，并由此可以立刻推理n次代数方程必有n个实根或复根。
超越函数不能表示为多项式的函数
如 (x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 (x)=e2x+1-xln(sinx)-2
高次代数方程
超越方程
如果实数 x *满足 f (x*) 0，则称 x *是方程(1.1)的根，或称 x *是f (x)的零点.
若f ( x)可分解为 f (x) (x x*)m g (x), 其中 m为正整数，且 g (x*) 0. 则称 x *为方程(1.1)的m 重根，或 x *为 f (x) 的 m重零点，m 1 时为单根. 结论若 x *是 f (x)的 m重零点，且 g ( x) 充分光滑，则

数值分析中的迭代法研究

数值分析中的迭代法研究数值分析是数学和计算机科学的交叉学科，研究如何使用数值方法来处理和解决数学问题。

在数值计算中，迭代法是一种常见且重要的方法，用于求解方程组、逼近函数、求极值点等数学问题。

本文将介绍迭代法在数值分析中的应用和研究进展。

1. 迭代法的基本原理迭代法是一种通过逐步逼近的方式来求解数学问题的方法。

它基于以下基本原理：通过不断反复进行计算，使得计算结果逐渐趋近于问题的准确解，直到满足预设的精度要求。

2. 迭代法在方程求解中的应用迭代法在方程求解中有广泛的应用。

例如，对于非线性方程f(x)=0，可以通过迭代来求解。

最简单的迭代公式为x_{n+1} = g(x_n)，其中 g(x) 是一个逼近方程解的函数。

通过不断迭代计算，并选择适当的初始值 x_0，可以得到方程的近似解。

3. 迭代法在函数逼近中的应用函数逼近是数值分析的重要内容之一。

迭代法在函数逼近中可以通过泰勒级数展开和牛顿法等方法实现。

通过不断迭代计算，可以逼近函数的值，并得到一定精度的结果。

4. 迭代法在求极值点中的应用求解函数极值点是数学中的常见问题。

迭代法也可以用来寻找函数的极值点。

通过选择适当的迭代公式和初始值，可以通过迭代逼近的方式找到函数的局部或全局最大或最小值。

5. 迭代法的优缺点及改进方法迭代法作为一种常见的数值方法，具有优点和缺点。

其优点在于可以适用于复杂的数学问题，并且具有较高的灵活性和适应性。

然而，迭代法的收敛速度可能较慢，需要选择合适的初始值和迭代公式。

为了解决这个问题，研究者们提出了一系列改进方法，如加速收敛的算法和自适应调整步长的方法等。

6. 迭代法在实际应用中的案例研究迭代法在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在工程领域中，迭代法可以用于计算电路中的稳态工作点，通过不断迭代来找到电流和电压的准确值。

此外，迭代法还可以应用于经济学、物理学、生物学等领域，解决各种实际问题。

7. 迭代法的未来发展趋势随着计算机技术和数值算法的不断进步，迭代法在数值分析中的研究也在不断深入。

数值分析2-方程求根二分法迭代法

即使用|φ'(x0)|>1来判断（但需选择靠近x0上的合适初值）例:用迭代法求方程 f(x) = x(x+1)2 -1=0 在x=0.4附近的根。
x=φ(x)= φ'(x)= -
(1 | '( x ) |)
1 2
可令正数
,则有
| '( x) | | '( x ) | | '( x) '( x ) | (再利用绝对值性质)

1 1 | '( x) || '( x ) | (1 | '( x ) |) (1 | '( x ) |) 1 2 2
| '( x ) | 1,

1 (1 '( x )) 0. 2
| '( x ) | 1
(先证明第2个条件：构造某区间,有
)
lim '( x) 0 . ( x) 为一阶导数连续，即 x 0
再利用函数极限知识:对任意给定正数，总存在
当
x [ x , x ] 时,有 | '( x) || '( x) '( x ) |
xk＋1 - x ＝φ '( ξ k )( xk - x )
*
*
*
，∴
xk＋1 - x* ＝φ '( ξ k) xk - x*
ξ k )＝x ， ∴ 又∵ klim( →∞
xk＋1 - x* * lim ＝ φ '( x ) k→∞ x - x* k
0
| '( x) | 1，则对任意初值x [a, b] ， (6) 若 x [a, b] 时，迭代公式发散.

迭代法

迭代法编辑迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法，即一次性解决问题。

迭代法又分为精确迭代和近似迭代。

“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。

它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

目录1算法▪确定迭代变量▪建立迭代关系式▪对迭代过程进行控制▪举例2递归的基本概念和特点1算法编辑迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法（Iterative Method）。

一般可以做如下定义：对于给定的线性方程组x=Bx+f（这里的x、B、f同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式），用公式x(k+1）=Bx(k)+f（括号中为上标，代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法（或称一阶定常迭代法）。

如果k趋向无穷大时limx（k）存在，记为x*，称此迭代法收敛。

显然x*就是此方程组的解，否则称为迭代法发散。

跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性的快速解决问题，例如通过开方解决方程x +3= 4。

一般如果可能，直接解法总是优先考虑的。

但当遇到复杂问题时，特别是在未知量很多，方程为非线性时，我们无法找到直接解法（例如五次以及更高次的代数方程没有解析解，参见阿贝耳定理），这时候或许可以通过迭代法寻求方程（组）的近似解。

最常见的迭代法是牛顿法。

其他还包括最速下降法、共轭迭代法、变尺度迭代法、最小二乘法、线性规划、非线性规划、单纯型法、惩罚函数法、斜率投影法、遗传算法、模拟退火等等。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。