｜A(G)｜=2 5P 2(p为奇素数)的有限Abel群G
群论试题及答案
群论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足以下哪些条件？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 存在逆元答案：ABCD2. 以下哪个不是阿贝尔群的性质？A. 群的运算满足交换律B. 群中任意两个元素的乘积仍然在群中C. 群中存在唯一的单位元D. 群中每个元素都有唯一的逆元答案：B3. 群的阶数是指：A. 群中元素的个数B. 群中元素的最小公倍数C. 群中元素的最大公约数D. 群中元素的乘积答案：A4. 以下哪个不是子群的性质？A. 子群是群的一个非空子集B. 子群中的元素对群的运算封闭C. 子群包含群的单位元D. 子群的阶数必须小于原群的阶数答案：D5. 群的同态映射满足以下条件：A. 保持运算结构B. 映射到的群与原群是同构的C. 保持单位元和逆元D. 映射是双射答案：A二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述群的定义及其基本性质。
答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件： - 封闭性：对于任意的a, b ∈ G，有a * b ∈ G。
- 结合律：对于任意的a, b, c ∈ G，有(a * b) * c = a * (b * c)。
- 存在单位元：存在一个元素e ∈ G，使得对于任意的a ∈ G，有e * a = a * e = a。
- 存在逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b ∈ G，使得a * b = b * a = e。
2. 什么是群的同构映射？请给出一个例子。
答案：群的同构映射是指两个群之间的一个双射函数f: G → H，它保持群的运算结构，即对于任意的a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) * f(b)。
例如，考虑整数加法群(Z, +)和模n的剩余类群(Zn, +)，映射f: Z → Zn，定义为f(k) = k mod n，这是一个同构映射。
3. 解释什么是群的正规子群，并给出一个例子。
答案：群的正规子群是指满足以下条件的子群N：对于G中的任意元素g和N中的任意元素n，都有g * n * g^-1 ∈ N。
关于有限p群的计数问题的若干研究
关于有限p群的计数问题的若干探究专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。
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有限Abel群的结构定理(Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups)
有限Abel群的结构定理（Fundamental Theorem ofFinite Abelian Groups）有限Abel群的结构定理(Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups) 有限Abel群是群论中已被研究清楚了的重要群类，也是应用比较广泛的群类，本节的主要结论是有限Abel群可以分解成阶为素数的方幂的循环群(循环p-群)的直积，而且表法是唯一的。
我们先看几个具体的例子。
4阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。
Z,Z，Z422 ，其中是非Abel群;是Abel群，且6阶群有两种不同的类型，代表分别是ZZ,SS6633。
Z,Z，Z6238阶Abel群有三种不同的类型，代表分别是。
Z,Z，Z,Z，Z，Z8242229阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。
Z,Z，Z933 这些有限Abel群都同构于循环群或者循环群的直积，并且每个循环群的阶都是一个素数的方幂，这些循环群的阶组成的有重集合正好是该群阶素数方幂乘积的所有可能组合。
例如8阶32Abel群，有三种情形:，分别对应于8写成素数方幂乘积所有可能的形式{2},{2,2},{2,2,2}32(三种):。
8,2,8,2，2,8,2，2，2下面我们讨论一般有限Abel群的结构。
引理1 设a是群G的一个元素，a的阶等于。
其中与是两个互素的正整数，m,mmmm1212那么a可以唯一的表示成，式中的阶是;;而且都am(i,1,2)a(i,1,2)a,aaaa,aaii12i1221是a的方幂。
证明因为与互素，所以存在整数使得。
于是mmu,uum，um,112121122umumum，umumumumum2211112211222211，令，则，而且a,a,a,aa,aa,aaa,a,aa,aa121221mm12都是的方幂。
因为，所以的阶是的因子。
由于a(i,1,2)adm(i,1,2)ma,e,a,eaiiii112与互素，从而互素，并且，故的阶等于。
【word】带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群
带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群数学年刊2011,32A(6):665—678带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群冰廖军杨艳刘合国.提要给出了带极大或极小条件的Abel群A的自同构群以及自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.同时也给出了群A=Q0Q0…0Q的自同构群是可解或幂零的充要条件,以及群A的自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.关键词自同构群,自同态环,可解,幂零MR(2000)主题分类20K30,20F16,20F18中图法分类O152.2文献标志码A文章编号1000—8314(2011)06—0665—141引言本文采用文f121的术语和符号,一般情况下计算群的自同构群和研究群的自同构群的性质是很困难的,即使对Abel群也是如此.从结合环R出发,自然地可以构造一个Lie环L,方法如下:定义L的加群为_R的加法群(R,+)以及Lie积为[X,Y]=xy—yx,通常记为_R(～,称为的相伴Lie环.Abel群的自同态环EndA是结合环,则可以构造Lie环End(一.因此我们可以研究Abel群的自同态环的相伴Lie 环的可解,幂零性质对群结构的影响.同样地,也可以通过研究Abel群的白同构群AutA的可解,幂零性质来分析群A的结构.本文将对几类带有有限性条件的Abel 群进行讨论,并给出了它们的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零以及自同构群是可解,幂零的充要条件.在多数情况下它们具有相似性.其实这也并不偶然,正是由于这些Abel群是由它的自同态环或者自同构群所确定.第2节首先给出了有限AbelP一群的自同构群AutA可解的充要条件,接着利用自同构群的稳定自同构的一个结论(见引理2.3),分别给出了带极大和极小条件的Abel群的自同构群是可解,幂零的充要条件.在定理2.6一定理2.10中,分别给出了有限AbelP一群,带极大条件的Abel群和带极小条件的Abelp-群的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零的充要条件.当P≠3时,有限Abelp-群的自同构群AutA可解当且仅当群A的自同态环的相伴Lie环End(一)可解.对于带极大,极小条件的Abel群的自同构群AutA的可解性和群的自同态环的相伴Lie环End(一)的可解性,定理2.2一定理2.3和定理2.8一定理2.9分别相对应,在它们的幂零性的论述中,定理2.4和定理2.10相对应.设A=Q0Q.0…④Q,其中Q={丌pmI?Tti,m∈Z},这里7rk为某pi∈k 些素数的集合.第3节对群A讨论了类似的问题:定理3.1和定理3.2分别给出了A的本文2011年2月25日收到,2011年6月18日收到修改稿.北京大学数学科学学院,北京100871.E—mail:*************.ca0湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:******************0通讯作者.湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:**************.cn国家自然科学基金(No.10971054)资助的项目.数学年刊32卷A辑自同构群AutA是可解,幂零的充要条件,定理3.4给出了群A的自同态环的相伴Lie环EndA(一)是可解,幂零的充要条件.此时AutA是可解(幂零)的当且仅当EndA㈠是可解(幂零)的.定理3.3表明,A的自同构群AutA可解和B1是一致的.除去P=2的情况,比较定理2.4,定理2.10,定理3.2和定理3.4可以知道,对于我们所讨论的Abel群A,的自同构群AutA和自同态环的相伴Lie环EndA(一)是幂零的当且仅当它们是交换的.而且此时它们都具有相对简单的结构:AutA和EndA【一)是幂零(交换)的,如果A是满足极大条件的Abel群,当且仅当A是循环的;如果是满足极小条件的Abel群,当且仅当A是循环的或者是拟循环群的直和;如果A=Q0Q0…0Q当且仅当每一个Q是全不变的.2带极大或极小条件的Abel群设有限Abelp-群有分解A=(zpn)h0(n.)0…0(nr),其中r,ft是正整数,0<nl<n2<…<n.记群A的自同态环EndA=,群A的自同构群为AutA.下列的事实,见文【3-6】.(a)群A的自同态环=EndA可以表示成r×r矩阵环(岛),其中岛=Hom((nt)”,(n));(b)环有Jaeobson根=(),其中=pCi~;当i≠J时,J=(C)AutA的极大正规子群是△=1+.引理2.1【】除了n=2,IFI=2,3外,GL(F)是不可解的.以下总约定P为素数,z为整数环,Zp为进整数环,n=Z/(pZ)为模P剩余类环或P阶循环群.引理2.2(i)群GL2(Z)以及GL2(Zp)不可解;(ii)当素数P>2时,上的上三角可逆矩阵群()不是幂零的;(iii)当素数P>3时,Aut(m0n)不是幂零的.证记[,Y]=[z,Y,Y,…,],其中Y出现n次.环的满同态:Z一诱导群的满同态GL2(Z)一GL2(),同态像GL2()在P>3时是不可解的,因而GL~(Z)不可解.类似地,GL2(Zp)不可解.GL2(Z2)&,是可解的,而中一5-是平凡的,因此不是幂零的.考虑上的上三角可逆矩阵群(zp),由于[(G0o)]=(.1),当P>2时,取a:2,则[(((.1)组因此()不是幂零的.不妨设m≠佗(否则GL2(n)不可解),Aut(m0n)在Q1(m0n)上的限制同构于(),因此Aut(m0n)不是幂零的.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群667定理2.1设是有限Abelp-群,且A=(n)”0(n).0…0(n),其中r是正整数,n1<n2<…<礼,ft都是正整数.则(1)当P>3时,AutA可解当且仅当f1:f2=…=0=1;(2)当P=2或3时,Aut可解当且仅当li≤2(1≤i≤r)证(1)当P>3,ll=12=…=f=1时,由文【8]中推论2.9知AutA△(一1),这里△=(AutA)是AutA的极大正规子群,因此是幂零群,则是可解群,(zp一1)是Abel群,即AutA是可解子群△=Op(AutA)被Abel群的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个li>1,则GL2(zpn.)≤AutA,但是GL2(nt)的商群GL2()是不可解的,矛盾.所以?1=f2=…=0=1.(2)当P=2或3时,ct≤2(1≤i≤r),由文[8】中定理1.1和命题2.2知rAutA△×lJGLt(),t=1这里△=(AutA),它是幂零的因而是可解的.由引理 2.1,当2t≤2时,GLl(zp)是可解群,则兀GLt()是可解的.则AutA是可解子群△=Op(AutA)被可解群0=lr兀GLf,()的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个fi>2,则GL3(nt)≤AutA,但是GL3(nt)的商群GL3()是不可解的,矛盾.所以li≤2.事实上,对于有界Abelp-群也有同样的结论,定理2.1的证明也同样适用.另一方面,有限Abel群可以分解为有限Abelp-群的直和,每个分支都是全不变的,则是特征子群,所以有限Abel群的自同构群可以分解为有限Abelp-群自同构群的直积.因此对有限Abel群总可以约化到定理2.1的情形,类似地对有界Abel群也一样.为便于叙述,我们首先给出下面的引理,它是本文计算某些自同构群的基础.引理2.3设是Abel群,B是的特征子群,且A=B0,则AutA=Horn(C,B)(AutB×Aut).证的所有稳定B的自同构构成AutA的一个子群,记为Aut(A)B,即Aut()B={∈AutAIB”=B).由于是A的特征子群,所以AutA=Aut(A)B.由文f9]中定理2.1知Aut(A)8=Der,B)Pair(C,B).由于A是Abel群B与C的直和,即A=B0C,因此平凡地作用在Abel 群B上,则导子就是它们之间的同态,即Der(C,B)=Hom(C,),668数学年刊32卷A辑并且由直接验算Pair(C,B)满足的条件,可知Pair(C,B)=AutB×AutC,因此AutA=Hom(C,B)(AutB×Aut),AutB×AutC在Hom(C,B)上的作用为(,(,))一&.定理2.2设是满足极大条件的Abel群,则AutA可解的充要条件是的挠子群的白同构群是可解的且ro(A)≤1.证若AutA可解,由引理2.2,GL2(Z)不可解,知ro(A)≤1,并且A的挠子群的自同构群是AutA的子群,因此是可解的,必要性已证.下证充分性.注意到的挠子群是A的特征子群,设为,如果TO(A):0,则A是有限群,此时归为定理2.1的情形.不妨设TO(A)=1,则A=T0Z,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,T))日(AutTXAutz),其中Hom(Z,T)T,AutZ=Z2.由假设,有AutT可解,因此AutA可解.类似地,对于满足极小条件的Abel群有下面的定理.定理2.3设4是满足极小条件的Abelp-群,则AutA可解的充要条件是A的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1.证设A是满足极小条件的Abelp-群,的极大可除子群为D,既约子群为R,则‘A=D0R且D是A的特征子群.由引理2.3,可得AutA=Hom(R,D)>日(AutD×AutR),而Horn(R,D)是Abel群,因此AutA可解的充要条件是AutD,AutR是可解的,引理2.2说明GL2(Zp)不可解,其中z是P一进整数环.因此的极大可除子群D的秩r(D)≤1.若r(D)=1,即D=z..,熟知当P>2时,AutZp..～10zp.当P=2 时,AutZ2..Z20z2,其中z是进整数环.反之,4的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1时,AutA可解.注意到满足极小条件的Abel群的自同构群是其P一子群自同构群的直积,因此满足极小条件的Abel群的自同构群是可解的充要条件是其所有子群的自同构群都是可解的.于是,结合定理2.1和定理2.3我们可以得到满足极小条件的Abel 群的自同构群是可解的充要条件.由引理2.2和引理2.3可以得到下面的定理.定理2.4(i)有限Abel2’-群A的白同构群AutA幂零的充要条件是rp(A)≤1,当且仅当是循环群;(ii)满足极大条件的Abel群且其挠子群是2一群的自同构群AutA 幂零的充要条件是有限且(A)≤1或A=Z,即为循环群;(iii)满足极小条件的Abel2/_群的自同构群AutA幂零的充要条件是A有限且rv(A)≤l或A=0...6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群669证(i)不妨设是有限AbelP一群,由引理2.2,当P>2时,T2()不是幂零的,因此不含形如m0的子群,即是循环群,rp(A)≤1.反之显然.(ii)假设Z=n0Z,则AutAn(AutnX),计算[(1,(1,1)),(0,(1,))]l其中Oz是z的二阶自同构,注意到它的作用方式把它写成矩阵形式[((呈)]=(.12)这里(一2)≠0是因为是2一群,因此AutA不是幂零的,所以或者有限或者自由循环,当有限时,由(i)知也是循环的.(iii)此时的证明方法同(为了处理P=2的情形,我们需要下面定理,见文『1O].稳定性定理设群G忠实地作用在群上,G稳定的如下长度为2的正规群列1≤W<记Z:=41(W)是的中f1.,它自然地作成一个一模,则G≤Der(v/z),其中Der(Z)是到z的所有导子作成的Abel群.定理2.5(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)0(Z2n2).0…0(Z2)L,这里nl<?22<…<几,l是正整数,则AutA幂零的充要条件是l=1.(ii)设是自由Abel群与Abel2-群的直和,则A的自同构群AutA幂零当且仅当A=2r2n0Z2nz0?-?0Z2n0Z,这里礼1<礼2<…<72r.(iii)满足极小条件的Abel2-群A的自同构群AutA幂零当且仅当A=Z2n①Z2nz0…0n0..,这里札1<佗2<-??<竹r.证(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)h0(Z2n.)120?-?0(Z2n),这里几1<?22<…<n,ll是正整数.当所有的i,1=1时,群4的自同构群AutA是一个2一群,因此是幂零的.反之假设存在某个ft>1,则GL2(n)≤AutA 且它的一个商群是GL(),由引理2.2是非幂零的,矛盾.(ii)设是自由Abel群与Abel2一群的直和,且自由子群是自由循环群z若Abel2一子群B=Z2n0Z2n①…0Z2(其中?21<礼2<…<礼),它是特征子群,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,B)×(AutB×Autz),其中Horn(Z,B)B,AutB是一个2一群,AutZZ2,则AutA是一个2一群,因此是幂零的.670数学年刊32卷A辑当A=Z2n0Z2n.0…0n0z时,证明其自同构群是幂零的另一个方法是:设C=2”A={2”aIa∈),其中n>n,则C2Z,它是的特征子群,A/Cz2n10Z2n20…0Z2n0zn.考虑G=AutA在0≤C<A上的自然作用.记ca(c)={∈GIc.=c,c∈), Cc(A/C):{∈Gl(a+)=a+C,a+C∈A/C},贝0c/ca(c)≤AutC,C/Ca(A/C)≤Aut(A/C),且c/ca(c)rhCa(A/C)≤c/cc(c)XG/Ca(A/C),又cc(c)nCc(A/C)稳定,0<C<A,故根据稳定性定理知cc(c)nCG(A/C)≤Der(A/C,),A/C是有限的,而C是自由循环群,因此Der(A/C,C):Hom(A/C,C)=0.AutA/C是一个2一群,AutC,则G≤AutC×Aut(A/C)是幂零群.反之若AutA是幂零群,则AutA的子群AutB是幂零的,当且仅当B=Z2n0Z2”0…0…由于GL2(Z)不是幂零的,因此自由子群是自由循环群z,因此A=z2n0Z2n20…0n0Z,其中nl<n2<…<nr.(iii)由(ii)以及引理2.2知条件是必要的,下证充分性.设A=Z2n0Z2n20…0n0..,这里仡1<n2<…<nr,设B:Q2n(A)={0∈Al2ha=0),其中n>n,则Bz2n10z2n20…0n0n,它是A的特征子群.考虑G=AutA在0≤B<A上的自然作用.记Ca(B)=fQ∈G1b.=b,b∈B),Cc(A/B)={∈Gl(a+B)”=a+B,a+B∈A/B},则C/Ca(B)≤AutB,C/CG(A/B)≤Aut(A/B),且C/CG(B)nCc(A/B)≤C/Cc(B)×C/Cc(A/B).又Cc(B)nCc(A/B)稳定,0<B<A,故根据稳定性定理知Cc(B)nCc(A/B)≤Der(A/B,B),A/BZ2o.是可除的,而B有限,因此Der(A/B,B)=Hom(A/B,B)=0.AutA/B(o.)=Z20Z2是Abel群,由(i)知AutB是一个2一群,则C≤AutBXAut(A/B)是幂零群.下面讨论带极大,极小条件的Abel群的自同态环构成的Lie环是可解,幂零的条件,为此需要下面的引理.引理2.4(m)(一)可解,坞()(一)不可解.证直接计算可得[(),()]=(c—brz+-cyd一.6cr一一d).6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群671设L=M2(Z2)(一,则由上面的计算知则则)lm)为了计算,在上式中令d=一a,r=一x,有[),G)]=(2.b…z-cyn名一),{(m).令b=2b1,c:2c1,Y=2yl,=2zl,有),()]一blz…l-cly哪yza-bmlx/,)c∈m)归纳地,知M2(Z2m)(一)可解.记K=M3(Z2)(_.,则K=(e),其中表示(J)位置为1,其它位置全为0的矩由于当i≠J时,,eij1=eij,[eij,eft]=eli—ejj,有K=(eij,eii—eli≠歹).又因n>2,存在k满足k≠i,k≠J,i≠J,则eij=【eik,ekj],eii一jJ=【eij,e所以K=K≠0,因此不可解,即M3(Z2)(一)不可解引理2.5当P>2时,()(一)不可解;相伴Lie环(z)(一)和(zp)(一)不可解.证取L=(el2,e21>,由于(e12,e21】=ell—e22,【611一e22,el2】=2e12,【ell—e22,e21】=一2e21, 则el1一e22,e12,e21∈L,归纳地,对任意的正整数此()(一)不可解.m,有el1一e22,e12,e21∈(,则()≠0,L不可解,因()(一)是(z)(一)和Mn(Zp)(一)在自然同态z一以及zp一下诱导的Lie环同态像,因此(z)(一)和(zp)(一)不可解.定理2.6设P是奇素数,记A=(n)ll④(n.)④…0(),这里扎1<n2<…<n,如是正整数,则End(一)可解的充要条件是如=1672数学年刊32卷A辑证如果End(一)可解,由引理2.5知1=1,否则存在一个子环()(一)不可解,矛盾.另一方面,如果li=1,则A=n10zpn20 0EndA{(aij)laijEHorn(,’))且i<J,Pln巧.记L=End(_.,Cij=∑(aikakj—bikakj),如果cij∈L,则PlCij,i≤J.归纳地, Cij∈(,对任意的i,J,有PI.,且当i<J时,P.l,继续重复上述过程,直到Cij=0,因此可解.也可以用另外一种方法来证明可解:EndA在【21(A)上的限制就是n一诱导的环同态,即对每一位置模P,同态像是上的一个三角矩阵,同态的核是每个位置元素都能被P整除的数,即0Mod(p).由环的同态得到Lie环的一个同态,结合可解Lie环在扩张下封闭的性质得到Lie环L=End(一)是可解的.定理2.7设A=(Z2n)/10(Z2)120…0(Z2),这里n1<Tt2<…<n,f是正整数,则End(一)可解的充要条件是ft≤2证设fi≤2,自然同态z2n.一z2诱导的环同态,End(一)的同态像是一个下对角矩阵,并且对角线上是1阶或2阶可解块,因此同态像可解,同时核满足2Ia同上述定理相同的证明方式,知其可解,得到End(一)可解.反之,由引理2.4,如果End(一)可解,则li≤2.定理2.8设A是满足极大条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解且_r0(A)≤1.证设A=0A0Z,0A是A的全不变子群,).(~EndAEndZEndA【H.m(z)J(,z/),又(0EndAp)～0EndA和z(一)都是可解的,按分块矩阵计算知EndA(一)是可解的.反之,End是End(一)的子环显然可解,且()(一)不可解,因此ro()≤1.类似的方法可以得到下面极小条件下的定理.定理2.9设是满足极小条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解.End可解当且仅当End磷可解且rank(Dp)≤1,其中Rp和Dp分别是A的既约子群和极大可除子群.的引理2.6(z)(一)不是幂零的,若=n0m,n<m,则EndA(一)不是幂零证注意到对任意的正整数n,[el2,?tc22]=el2≠0由引理2.5和引理2.6,立即可得下面的定理6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群673定理2.10(i)有限Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是rp(A)≤1;(ii)满足极大条件的Abel群A的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且口(A)≤1或A=z;(iii)满足极小条件的Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且rp(A)≤1或A=0..;P(iv)满足极大或极小条件的Abel群4的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是的自同态环的相伴Lie环是Abel的.3完全分解的无挠Abel群下面考虑这样一类Abel群,首先介绍符号和一些简单的结论:记丌为某些素数的集合,设Q={兀.mIm,m∈Z}.对群Q有下列简单事Pl∈7r实:(a)Q的元具有无限丌一高,有限丌一高,即任意的P∈7r,P高为0(3,否则为有限.(b)Q的任意一个自同态可以由1的像完全决定.事实上,m=(m?1)妒=m?1;由(pp)=1,知p?(p)=1,因此(p)妒=p1妒,所以(兀m)妒=兀m?1;pp(c)如果71”17I”2,则Horn(Q,Q.)=0,否贝0Horn(Q,Q.)Q.事实上,如果丌17r2,存在P∈丌1一丌2,Q中的任意元具有无限71”1一高,特别地,1具有无限高,若∈Hom(QQ.),则1∈Q.也具有无限p一高,则1=0,因此Horn(Q丌l1Q)=0.如果71”171-2,任意的∈Hom(Q丌¨Q.),由1的像1完全决定,而1∈Q.,因此Horn(Q,Q.)Q..特别地,EndQ=Horn(Q,Q)Q.(d)AutQQ={l=士11p.,Pi∈7r,仃∈z)z2①ZI.特别地,AutQpQ=r,oZ2④Z.这是因为EndQ=Horn(Q,Q)Q,因此AutQQ.若兀m∈Q,则存在p:.兀他∈Q,使1=兀m兀n=兀m佗,贝0mn=1,m=土1.pppp设A:Q0Q.0…0Q此时称是”完全分解”的,首先我们讨论秩为2即=Q0Q.的情形.A=Q0Q的自同态环和自同构群具有下面的矩阵表达形式:EndA竺{I兰三}I∈Itom(p,Q),{,J=1,2},AutA』【【2()可逆,∈H.m(Q,Q)下面按集合71”1和71”2的包含关系分别讨论群A=Q0Q.的白同构群以及自同构群的可解幂零性.(i)当71”171”2,71”271”1时,记71”1=71”2=7r.End[g>(,AutGL2(674数学年刊32卷A辑由于GL2(Z)≤GL2(Q),而GL2(Z)是不可解群,因此GL2(Q)也不可解.GL2(Q)的中5-为CGL2(Q)=)aEQA),铡).易知O.charA,而A=Q0O由引理2.3,知AutAHom(O,O)>日(AutOXAutO)O.(Q.×Q)是可解的,但不是幂零的,事实上,Aut(!)f.∈AutQ.,c∈AutQ~,bEHom(Q,Q:>.若(!)∈~AutA,则()=)=I1c+)=(舌,6=..取是嵌入同态,则.限制在Q等于c,记为..所以()a01),即(~AutA=()I.).若1)∈(~2AutA,则对任意的)∈AutA,有[(6)j(舌tA又(=(.一)一[(),(吾)]=(n0一一ac一-16.)(0一一X--一1)(a..b)(苦Y) =(.1).由于(01)∈<Aut,其中=一a-1bc+X--1yz+a-ix一(6一y)zc=0,对任意的∈Q.,∈Q,Y∈Q成立.若Y=0,即一a-1bc+a-ix_1bzc=0,则b=0,且2C--lyz—a-1-1yzc=0,则a】=c.因此()=()∈(AutA,AutA=(AutA≤AutA,AutA不是幂零群.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群675当I71-2J<..时,AutA=Q.(AutQ×AutQ.)是有限生成的可解群,但不是多循环的,由于Q.不是有限生成的.而超可解是多循环的,因此它不是超可解的.(iii)当71”171”2,7r27r1时,E..%OZI#ll~.,此时AutA是Abel群.因此若AutA是超可解或多循环的,则AutA是幂零的且是Abel的.当且仅当7rl丌2,7r27r1.一般地,有下面定理.定理3.1设A=Q0Q.0…0Q其中Q:{nm}mi,m∈Z},这里.1rk为某些素数的集合,则AutA可解当且仅当对任意的i≠J,71”i≠7rj.证当7’=2时,由前面的叙述(i)一(iii)知AutA可解当且仅当71”1≠71”2.先证充分性.假设对某个i≠J,7I”i=,当k≠i,时,设A1={∈AutAl使在Q上的限制为1,即lQ:1Q),则1是AutA的子群,且A1GL2(Q.),而GL2(Q)是不可解的,从而1是不可解的,于是AutA不可解,与已知矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,亿≠,那么存在一个元,不妨记为丌,满足对任意的i≠r,有丌,否则,必有某两个集合相等,与已知矛盾.这样的丌称为集合{『1≤i≤r)的极大元.显然QcharA,则.r一1,,r一1,AutAHorn(0QQ)>日(Aut0Q×AutQ~r)jt=1i=1,r一1,r一1其中Horn(0QQ)0Horn(QQ)与AutQ都是Abel的,对r进行归,i=1=1 r一1纳,知Aut0Q是可解的,因此AutA是可解的.=1定理3.2设A;Q0Q.0…0Q其中Q:{npmIIYt,,m∈Z},这,pt∈丌’里丌为某些素数的集合,则AutA幂零当且仅当对任意的i≠J,死.证当r=2时,由前面的叙述知道AutA幂零当且仅当丌1/1”2,丌2丌1.先证充分性.如果对某个i≠J,7ri7r{,当k≠i,J时,设A1={∈AutAI使在Q上的限制为1,即lQ=1Q),则A1是AutA的子群,当死:时,A1GL~(Q);当时,AutAQ)日(AutQ×AutQ),而aL2(Q)和Q丌j(AutQ×AutQ丌j)都不是幂零群,因此A1不是幂零的,与AutA幂零矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,7ri,则Horn(QQ)=0.676?数学年刊32卷A辑因此EndAA,AutA(Q)×(Q)×-??×(Q)日≥(z2.z’z’),=1AutA是Abel的,因而是幂零的.推论3.1设A=Q0Q0…0Q其中Q:{兀pmI?gti,m∈Z},这Pl∈.a-k. 里丌为某些素数的集合.则下列条件等价:fa)AutA是多循环的;(b)AutA是超可解的;fC]CAutA是幂零的;(d)AutA是Abel的.注意到群G称为是B的,如果G有一个正规列G=G1>G2>>Gn=1,即G司G,且Gi/Gi+1≤Q或Gi/Gi+l≤Q/z.定理3.3设A=Q0Q0…0Q其中Q={兀pmImt,仇∈z},这Pi∈7rk0里7r为某些素数的集合,则AutA是B1的当且仅当AutA是可解的. 证充分性显然,因为由定义B是可解的.下证必要性.当r=2时,AutAQ>日(AutQ×AutQ.)或AutA=r-oAutQl×AutQ2.若AutAQ:(AutQ×AutQ.),贝40<Q2<QZ2<Q.(Z20Z2)<Q.(Z20Z20Z)<Q>日(Z20Z20Z)<<Q.(Z20Z20Z/】+l.I)=AutA是AutA=Q.(AutQ×AutQ.)的一个正规列,其商因子分别为QZ2,Z2,Z,-? z,而QZ是Q的子群,是O,/Z的子群,因此AutA是B1的.如果AutA=e-,4AutQ1×AutQ2Zg.0Zl10Z20Zl,则AutA是Abel群,且可以分解为和z的直和,因此也是B1的.所以当r=2时,AutA是可解的则是B1的.当r≥3时,由定理3.1,存在一个极大元丌,使QcharA,则AutAHorn((~QQ)×(Al1t0QAutQ).记s=ml7r,1≤i<r)l,有r一1r一1Horn(Q,Q)Horn(Q,Q)Q,6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群677可以得到,r一1,AutAQ(Aut≥Q×AutQ).因Q,AutQ是B1的,由归纳假设Aut0Q是B1的,易知AutA是B1的. 定理3.4设A=Q0Q.0…0Q其中Q={兀pmlmi,m∈Z},这里丌k为某些素数的集合,则(a)EndA(一)可解的充要条件是7i”i≠对任意的i≠J;(b)EndA(一)幂零的充要条件是71”i对任意的i≠J,此时它是Abel的,其中End(一)是由自同态环EndA的加法群以及Lie积Y]=xy—yx构成的相伴Lie环.证先讨论r:2的情形:(i)当71”1=71”2时,EndA=(Q),由于(z)(一)≤(Q)(一)是不可解的,所以M2(Q)(一)不可解;(ii)当丌丌.,7r2丌时,End(Q~l.Q.)(%g),此时它构造的Lie环是可解的不是幂零的,因为[e12,n~22】:e12;(iii)当7r1丌z,7r271”1时,End(Q.Q.)(%.),此时的Lie环是幂零的,并且是交换的.一般地,如果71”i≠对任意的i≠J,则存在一个极大元丌,即7r,设A=B0Q,那么Q是全不变的,Ena(EBH.m),由于EndB(一)是可解的,因此EndA(一)可解.反之,显然有≠霄j对任意的i≠J.这就证明了第一部分.71”i对任意的i≠J,此时EndA0EndQAi是Abel的,因此是幂零的.反之由r=2情形易得对任意的i≠J,7ri参考文献[1]RobinsonDJS.Acourseinthetheoryofgroups[M].2nded.NewY ork:Spri nger—V erlag,1995.【2]KhukhroEI.p-AutomorphismsoffiniteP—groups[M】.Cambridge:Ca mbridgeUniver—sityPress,1998.[31Avifi6MA,SchultzP.Theuppercentralseriesofap-groupactingonaboun dedAbelianP—Group[EB/OL].arXiv:math.GR/0606605.『41Avifi6MA,SchultzP.TheendomorphismringofaboundedAbelianp-gro up[M]//678数学年刊32卷A辑AbelianGroups,RingsandModules,ContemporaryMathematics.V ol273,P rovidence,RI:AmerMathSoc,2001:75—84.[5】FuchsL.InfiniteAbeliangroupsV olI[M].NewY ork:AcademicPress,1970.[6]HausenJ,SchultzP.Themaximalnormalp-subgroupoftheautomorphism groupofanAbelianp-group[J】_ProcAmerMathSoc,1998,216:2525—2533. 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E—mail:unicornyy~163.corn3Correspondingauthor.DepartmentofMathematics,HubeiUniversity,Wlu han430062,China.E—mail:ghliu~.ca AbstractLetAbeanAbeliangroupwithmaximumorminimumcondition.Th eauthors givenecessaryandsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Li eringasso—ciatedwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent).Moreove r,necessary andsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Lieringassociate dwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent)forA=Q7r10Q20…0Q 7rarealsogiven.KeywordsAutomorphismgroup,Endomorphismring,Solvable,Nilpotent 2000MRSubjectClassification20K30,20F16,20F18。
自同构群的阶为2 tp 2(p为奇素数)的有限Abel群G
Ａ Ｇ Ａ 日）×Ａ（ ． （） （ ） 引理 ４ 设 Ｇ是 Ｐ ［ 阶交换 群 ， Ｇ的型 为
Ｌ ！：！ １ ． ： ！ ：
０ １
：：： ； ： ２ … ：
ｓ ２
：：： ｔ ， ： ： Ｊ
其中ｍ １＞ｍ ２＞… ＞ｍ ＞０ ｓ ， ＞０ 则 ，
‘ ｓｉ
ｒｔ 一 ‘ ｍ ｛ｄｌ ｒｉ ｊ 口 ｉ ‘
下面定理的证 明中， 我们 总假定 Ｐ ， ， ， 是互 ：… Ｐ Ｐ 异 的奇 素数．
２ 主 要结 果 及 证 明
定 理 １ Ｇ是 有 限交 换 群 ， Ｉ Ｇ）ｌ ｐ 当 Ａ（ ＝２
Ｐ （ Ｐ一１ Ｉ Ａ Ｇ Ｉ ） （ ） ． ｌ
第 ３期
２ １ 年 ７月 ０１
Ｄ ：０ ３ ６ ／．ｓｎ １０ －９ ２ ２ １ ．３ ０ ２ ＯＩ １ ． ９ ９ ｊｉ ． ０ ３０ ７ ．０ １０ ． ０ ｓ
自同构群的阶为 ｔ２ 为奇素数） （ Ｐ 的有限Ａ ｅ群 Ｇ ｂｌ
余 红宴
（ 湖北师范学院 数学与统计学 院 ， 湖北 黄石 ４５０ ） ３０２ 摘 要 ： 用有 限 Ａ ｅ群 Ｇ的 自同构群 的阶和有限 Ａ ｅ群 的性质 ， 究 了 自同构群 Ａ ｃ 阶为 ２ （ ＝ ， 利 ｂｌ ｂｌ 研 （） ｔ １
ｉ ｏｄｐｉ ）ｒ ｉ ｕｓｄ ｃｏｄｎ ｅｏｄ ｒ ｆ ｕｏ ｏ ｈｓ ｒｕ ｆ ｎ ｅａｅｉ ｏｐａｄｔｅｃａａｔ ｆ ｓ ｄ ｒ ｍｅ ａｅｄｓ ｓｅ ．Ａ ｃｒｉｇｔ ｔ ｒｅ ｏ ａｔｍ ｒ ｉ ｇｏ ｐｏ ｉ ｂｌ ｎｇ ｕ ｎ ｈｒｃ ｒ ｃ ｏｈ ｐ ｍ ｉ ｆｔ ａｒ ｈ ｅｏ
Ｆ ｎ ｔ ｅｉ ｎ Ｇｒ ｕ ｔ ｔ ｍｏ ｐ ｉｍ ｏ ｐ ｉ ｉｅ Ａｂ ｌ ｏ ｐ ｗｉ Ａｕ ｏ ｒ ｈ ｓ Ｇｒ ｕ ａ ｈ
关于有限Abelp群的自同构群
关于有限Abel “群的自同构群**
徐涛1刘合国彳余杨2
提要从有限Abel a群P的型不变量岀发，给岀了其自同构群AutP的阶的计算公式，并利用|AutP| 的计算公式得到了下面3个结果：1.由有限Abel旷群的型不变量的两种变换得到了其自同构群的阶 的变化规律；2.用群的阶、秩、帚指数三个量界定了有限Abel”群的自同构的阶；3.对部分Frattini 子群为P阶群的有限P■群，确定了其自同构群的阶何时达到最小值和最大值. 关键词有限Abel R群，自同构群，Frattini子群 MR (2000)主题分类 20D45 中图法分类0152.1 文献标志码A 文章编号 1000-8314(2019)02-0199-12
1=2
i=l
i=l
iAbel»群的自同构群
201
2公式的应用
下面我们给岀有限Abelp群的型不变量的两种变换,并结合上述计算公式，找到了有 限Abel严群的自同构群的阶的变化规律.
定义2.1 （第一种变换）有限Abel p■群P的型不变量为（门,『2厂…，心），任选n <
f(°爲)—b论 + 航订。订 + …• + diti + fiti + uiti-｝
其中fij W去(1 W J W切；矩阵(忑诚)饥x绘W GL(圮Zp);
bij € (an)㊉…㊉〈如仇〉㊉…㊉他_1,1〉㊉…㊉他_1,仇_J； \bij\ W p8i]
^ij W〈他+1,1〉㊉…㊉仏+1,饥+J㊉…㊉｛ari｝㊉…㊉@怙〉・
|AutP| =
素数定理 阿达玛
素数定理阿达玛素数定理是数论中的重要结果之一，它描述了素数的分布规律。
这个定理的内容可以用2000字进行详细的阐述，下面我将对素数定理进行解释和推导。
素数定理是由数学家阿达玛（Adrien-Marie Legendre）在1798年提出的，后来也被高斯（Carl Friedrich Gauss）和黎曼（Bernhard Riemann）等数学家进一步发展和证明。
该定理的表述如下：对于一个大于1的正整数n，令π(n)表示不超过n的素数的个数。
素数定理指出，当n趋向于无穷大时，π(n)与n/ln(n)的比值趋近于1，即：lim (n→∞) π(n) / (n / ln(n)) = 1其中ln(n)表示自然对数（以e为底）。
素数定理的含义是，当n足够大时，不超过n的素数的个数大致等于n除以ln(n)。
这个定理揭示了素数的分布规律，说明了素数在整数序列中的稀疏性和随机性。
要理解素数定理的证明和推导，需要运用复杂的数论和分析工具。
黎曼猜想是对素数分布的深入研究，它与素数定理密切相关。
黎曼猜想提出了一个与素数分布有关的复数函数，称为黎曼ζ函数（Riemann zeta function）。
黎曼猜想认为，除了实部为1的特殊点外，黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面的临界线上，也就是实部为1/2的直线。
这个猜想至今尚未被证明，但与素数定理的关联性使得它成为数论中的重大问题之一。
素数定理的应用广泛，涉及到许多领域。
在密码学中，素数的随机性和稀疏性是构建强大密码算法的基础。
在数值计算中，素数定理可以用于估计素数的个数，从而确定算法的时间复杂度。
在算法设计中，素数定理也有一些重要的应用，比如在质因数分解和快速傅里叶变换等算法中。
总之，素数定理是数论中的重要结果，它描述了素数的分布规律。
虽然素数定理的证明和推导非常复杂，涉及到深奥的数论和分析工具，但它的应用广泛，对密码学、数值计算和算法设计等领域都有重要意义。
黎曼猜想与素数定理的关联性使得素数分布问题成为数学界的研究热点之一。
拔尖班抽象代数讲义
第十一讲 环的整性与模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 整性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 模的概念 第十二讲 线性代数模拟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 模的基本知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 同态基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 模的直和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 自由模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十三讲 主理想整环上有限生成模的结构定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 定理证明的唯一性部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17 定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十四讲 一些代数常识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18 代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19 范畴语言简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 域扩张理论 第十五讲 分裂域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 域扩张基本常识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 分裂域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 何时|Gal(E/F )| = [E : F ]? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定理补证
素数定理 阿达玛
素数定理阿达玛
摘要：
1.素数定理的定义和背景
2.阿达玛的研究和贡献
3.素数定理的应用和意义
正文：
1.素数定理的定义和背景
素数定理，是数论中的一个重要定理。
它主要研究的是素数在自然数中的分布规律。
素数，又称为质数，是大于1 的自然数中，除了1 和它本身以外不再有其他因数的数。
在数学领域，素数分布问题是一个古老的问题，历史上许多数学家都曾对此进行过研究。
2.阿达玛的研究和贡献
在素数定理的研究历程中，法国数学家阿达玛（Hadamard）做出了重要的贡献。
阿达玛在1896 年发表了一篇关于素数分布的论文，提出了一种新的研究方法，被称为“阿达玛方法”。
他利用复分析技术，将素数分布问题转化为一个关于复平面上的解析函数的问题，从而开创了素数分布问题的新篇章。
阿达玛的贡献并不仅限于理论研究，他还通过大量的数值计算，验证了自己的理论。
他的计算结果表明，素数在自然数中的分布规律可以用一个特定的公式来描述，这个公式被称为“素数定理”。
3.素数定理的应用和意义
素数定理在数学领域具有广泛的应用，它为我们研究素数的性质和分布规
律提供了一个重要的理论工具。
此外，素数定理还在计算机科学、密码学等领域有重要的应用。
素数定理的研究，不仅丰富了数学领域的理论体系，还推动了数学与其他学科的交叉发展。
同时，它也为我们理解自然数中的素数分布规律提供了一个深刻的视角。
自同构群的阶为2 tp 2q(t=1,2,3)的有限Abel群G
下 面定理 的证 明 中，我们 总假 定 ｐ ， … ，％是互 异 的奇 素数 １Ｐ ， Ｐ
２ 主要 结果 及证 明
定理 １ Ｇ 是有限交换群，当 ｌ （ ｌ ｐｑＰｇ为互异的奇素数） Ｇ）＝２ （， 时， 最多有 ６型 Ｇ
收稿 日期： ０ ８０ —１ ２ ０ —１２ 接 收 日期 ： ０ ８０ －３ ２ ０ —７０
１ 引言和预备知识
我们知道，自同构群 Ａ（ 是 由群 Ｇ 决定的． Ｇ） 然而知道 了 Ａ（ 的阶， Ｇ） 能否确定群 Ｇ 的 构造呢？ 一般说来， 这个 问题是困难的．本文将对 Ａ Ｇ 的一个特殊的阶， （） 来确定群 Ｇ 的构 造． 文中所讨论的群 Ｇ 是有限 Ａ ｅ 群，ＧＩ ｂｌ Ｉ 表示群 Ｇ 的阶， （ ） Ａ Ｇ 表示 Ｇ 的自同构群 ， 表示 佗阶循环群， 表示 Ｇ 的 Ｓ ｌ ｉ ｙ ｗｐ 子群． ｏ 其它符号与文献 ｆ 一致． １ 】 引理 １ ］ Ｇ ［若 ， Ａ Ｇ 为 （） 则 （ ） ｎ 阶的交换群， （） 其中 ｎ 为欧拉函数． 引理 ２ ］ Ｇ 是 Ｐ ［若 阶交换群 ， Ｐ （ 则 一 Ｐ一１ｌ Ｇ） ）Ａ（ １ ｌ ． 引理 ３ Ｊ Ｇ＝Ｈ 则当 （ ， ） 【设 ＸＫ， １ Ｉ ＝１时， （ ） Ａ（ Ｘ （ ． 日Ｉｇ１ Ａ Ｇ Ｈ） ） 引理 ４。 Ｇ 是 Ｐ ｆ ｊ设 ”阶交换 群 ， 的型 为 １… ， ； ， ， ； … ； Ｇ ， ｍ１ｍ２… ｍ２… ｍ ． ， ］ ．ｍｔ ，
（）当 ｋ＝０时， １ ｌ ＝２ 又因为 ２ｏ １Ａ（ ）２ Ｑ ＝１２ Ｇｌ ． ｃ－ｔ ｌｐｑ ￣ ｌ ｌ ０ ，． （ ０ ｌ时，ＧＩ — ｝ Ｉ ）当 ＝ Ｊ ＝２ Ｇ ＝ Ｉ （ ）＝１ ｌ（ ）：２ 矛盾． Ｇ Ｉ 与 Ｇ ｌ ｐｑ （ ）当 Ｑ ＝２时，ＧＩ Ｇ Ｉ Ｉ ０ Ｉ ＝４ 。 Ｘ ． ， （ ｉ ）若 Ｇ Ｃ 。 ２ ｌ（ Ｉ ． Ａ Ｃ）：２ （）若 Ｇ ｉ ｉ ×Ｃ Ｉ （ ）＝６ 均与 ｌ（ ）＝２ 矛盾． ２ ＧＩ ． Ａ Ｇ ｌ ｐｑ （）当 ｋ＝１时， ２ 因为 ２ｌ（ ） ｌ Ｉ Ａ （ ） Ｑ ＝０ １ 又 ＝１ ｏ ，． ｐ １ ）Ａ Ｓ Ｉ （ ）＝２ 一 一ＸＩ （，） ｉ ａ ｌ ｐｑ Ｉ ｌ ａ
10大仍未解开的数学难题
10大仍未解开的数学难题几个世纪以来，一些数学问题一直在困扰着我们，尽管近来超级计算机的出现让其中的一些难题取得了一些新进展，例如“三方求和”问题，但数学界仍然存在10大悬而未解的难题。
1.科拉兹猜想科拉兹猜想科拉兹猜想又称为奇偶归一猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。
澳大利亚数学家陶哲轩本月初，澳大利亚数学家陶哲轩对科拉兹猜想有了一个接近解决方案，但这个猜想仍未完全解决。
科拉兹猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤后，最终都会得到1，可能所有自然数都是如此。
目前已知数目少于1万的，计算最高的数是6171，共有261个步骤；数目少于10万的，步骤中最高的数是77031，共有350个步骤；数目少于100万的，步骤中最高的数是837799，共有524个步骤；数目少于1亿的，步骤中最高的数是63728127，共有949个步骤；数目少于10亿的，步骤中最高的数是670617279，共有986个步骤。
但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。
2.哥德巴赫猜想将一个偶数用两个素数之和表示的方法，等于同一横线上，蓝线和红线的交点数。
哥德巴赫猜想是数学界中存在最久的未解问题之一。
它可以表述为：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。
例如，4 = 2 + 2；12 = 5 + 7；14 = 3 + 11 = 7 + 7。
也就是说，每个大于等于4的偶数都是哥德巴赫数，可表示成两个素数之和的数。
中国数学家陈景润哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。
目前最好的结果是中国数学家陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。
他用筛法证明了任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数的和或者一个素数及一个半素数（2次殆素数）的和。
有限生成阿贝尔群
有限生成阿贝尔群有限生成阿贝尔群是数学中一个重要的概念，它在群论、数论和代数学等领域中具有广泛的应用。
一个群G是有限生成的，如果存在有限个元素$某_1,某_2,...,某_n$使得每个元素都可以写成这些元素的有限和的形式。
而当这个群G是阿贝尔群时，则称它为有限生成阿贝尔群。
另一个有限生成阿贝尔群的性质是它满足加性基本定理。
加性基本定理是说，任何有限生成阿贝尔群都可以表示成$p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_r^{a_r}$的形式，其中$p_1,p_2,...,p_r$是不同的质数，$a_1,a_2,...,a_r$是非负整数。
换句话说，任何有限生成阿贝尔群都可以由有限个循环阿贝尔群的直积表示出来。
这个性质在求解一些问题时非常有用。
例如，我们可以根据这个定理来计算阿贝尔群的七种类型，即循环群、Klein四元群、德墨因-琴伯群、柯西群、元素数量为$p^n$（$p$为质数）的德墨因-莫泽尔群、极小非循环$p$-群和德墨因-托泽群。
这些结论在数论、代数学和物理学等领域中都有重要的应用。
此外，有限生成阿贝尔群还有其他一些重要的结论。
例如，一个有限生成阿贝尔群的子群也是有限生成阿贝尔群；一个有限生成阿贝尔p-群一定是元素数量为$p^n$的德墨因-莫泽尔群的直积；有限生成阿贝尔群的阶数是这个群中最大循环子群的阶数的乘积，等等。
总之，有限生成阿贝尔群是数学中一个基础而且重要的概念，它具有广泛的应用。
通过研究它的性质，我们可以深入理解群论、数论和代数学等领域中的许多问题，也可以在实践中应用它们。
因此，对于数学学术研究及其应用都有很高的价值。
buuctf 费马小定理
buuctf 费马小定理BUUCTF费马小定理：深入探索与实际应用费马小定理，又称为费马小除数定理，是数论中的一个重要定理，由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出。
这个定理建立了整数幂与模运算之间的关系，对于理解数论中的模运算和素数性质有着重要意义。
在BUUCTF（北京理工大学CTF比赛）等信息安全竞赛中，费马小定理也经常被用作解题的关键。
费马小定理的内容是：如果p是一个素数，a是一个整数，并且a不是p的倍数，那么a的p次方减去1一定是p的倍数。
用数学语言表示就是：如果p是素数，a是整数且a不被p整除，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
这个定理的证明相对简单，主要基于归纳法和模运算的性质。
通过费马小定理，我们可以推导出一些有用的结论，比如：如果a是p的原始根（即a的幂在模p意义下可以生成1到p-1的所有整数），那么a的p-1次方一定等于1（模p）。
在信息安全领域，费马小定理有着广泛的应用。
例如，在密码学中，费马小定理可以用于验证公钥的正确性，因为在某些公钥密码体制中，公钥和私钥的关系可以通过费马小定理进行验证。
此外，在一些加密算法和数字签名方案中，费马小定理也扮演着重要角色。
在BUUCTF等CTF比赛中，费马小定理常常被用作解题的关键。
参赛者需要灵活运用费马小定理及其推论，结合其他数学知识和编程技巧，解决各种复杂的数学问题。
通过参与这样的比赛，参赛者不仅可以加深对费马小定理的理解，还可以提升自己的数学素养和编程能力。
总之，费马小定理是数论中的一个重要定理，对于理解模运算和素数性质具有重要意义。
在信息安全领域和CTF比赛中，费马小定理的应用也十分广泛。
通过深入学习和实践应用，我们可以更好地掌握这一强大工具，为解决各种数学问题提供有力支持。
自同构群的阶为26p2的有限Abel群
自同构群的阶为26p2的有限Abel群
李玲;潘晓玮
【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》
【年(卷),期】2011(024)002
【摘要】设p是奇素数,G是有限Abel群,A(G)是G的自同构群.运用初等数论方法证明了:当| A(G)|=26p2时,如果p≠3,5或17,则G至多有20种类型.
【总页数】3页(P261-263)
【作者】李玲;潘晓玮
【作者单位】陕西工业职业技术学院基础部,陕西咸阳 712000;西安医学院公共课部,陕西西安 710021
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.自同构群的阶为2tp2q(t=1,2,3)的有限Abel群G [J], 余红宴;黄本文
2.|A(G)|=26p2(p为奇素数)的有限Abel群G [J], 王秀花;唐立军
3.自同构群的阶为2<sup>t</sup>pq(1≤t≤3)的有限Abel群G [J], 石静静;周芳;
4.自同构群的阶为2~tp^2(p为奇素数)的有限Abel群G [J], 余红宴
5.自同构群的阶为2~6p^2的有限Abel群G [J], 余红宴
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最高阶元素个数为28p的有限群
参考文献:
[1] 杨成.最高阶元素个数不同的有限群[J].数学年刊，1993,14(A):561-567.
[2] 姜友谊.最高阶元素个数为2P2的有限群是可解群[J].数学年刊，2000,21(A):61-64.
7)若|M(G)|=28p,n=14p时，则G是可解群.
若k=3，则G为{2,3}-群，从而由paqb定理，G可解.若k=4，同理可证.若k=6，则π(G)⊆{2,3,7,p}.若否，取h∈π(G)-{2,3,7,p}，于是h|ni，从而h||M(G)|=28p，矛盾.所以π(G)⊆{2,3,7,p}.又因为k=6,p>5，所以π(G) ⊆{2,3},从而可解.
设<ai>为G的14个k阶循环子群，i=1,2,…，14.令m=|G∶NG(<a>)|=min{|G∶NG(<a>)|,i=1,2,…,14}，由引理8，存在正整数α，使得|G||22·7·P·kα,从而3| |G|,5t||G|.
由n=14,|G∶NG(<a>)|≤n，可得：m=1,2,4,7,14.若m=1,2,4，可选适当的a满足以下条件：|G∶NG(<a>)|=1,2,4.从而由式(1)，|G|为{2,p,4}-群，因为p>5，且q=2p+1为素数，由引理5,G必可解.若m=7，可选适当的a满足以下条件：|G∶NG(<a>)}=7，考虑G在子群NG(<a>)上的置换表示η,则有因p>5，且q=2p+1为素数，所以p>7,q>7，从而G的Sylowp-子群，Sylow q-子群包含在Kerη之中，由式(1)，G/Kerη为{2,3}-群，从而G/Kerη可解.又|NG(<a>)/CG(<a>)|2p，从而NG(<a>)/CG(<a>)可解.显然CG(<a>)可解，从而NG(<a>)可解.而从而Kerη亦可解，所以G可解.若m=14，同理可证G是可解群.
数论经典题目
选择题以下哪个数是素数（质数）？A. 15B. 17（正确答案）C. 20D. 22下列哪个等式描述了欧拉函数的性质？A. φ(n) 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（正确答案）B. φ(n) 是小于n的正整数的和C. φ(n) 是n的所有因数的和D. φ(n) 是n的平方根下列哪个数不是完全平方数？A. 36B. 49C. 55（正确答案）D. 81下列哪个定理与费马小定理相关？A. 如果p是一个素数，且a是一个整数，不是p的倍数，则a的p次方减1是p的倍数（正确答案）B. 如果a和b是整数，且a+b是偶数，则a和b都是偶数C. 如果a和b是整数，且ab是偶数，则a和b中至少有一个是偶数D. 如果a是一个整数，则a的平方是正的下列哪个数不是斐波那契数列中的一项？A. 8B. 13C. 21D. 25（正确答案）下列哪个等式描述了模运算的性质？A. (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n（正确答案）B. (a * b) mod n = (a mod n) * nC. (a - b) mod n = (a mod n) - nD. (ab) mod n = (a mod n)b下列哪个是求解同余方程的基本方法？A. 牛顿迭代法B. 中国剩余定理（正确答案）C. 欧拉算法D. 费马小定理下列哪个数是梅森素数？A. 11B. 23C. 31D. 89（正确答案，且是第一个梅森素数M_31）下列哪个等式不是数论中的基本定理？A. 威尔逊定理B. 拉格朗日定理（正确答案）C. 欧拉定理D. 中国剩余定理。
数论之巅——5个关于素数的“未解之谜”，人类的知识极限之一
数论之巅——5个关于素数的“未解之谜”，人类的知识极限之一数学中研究最多的领域之一是素数的研究。
素数领域存在很多非常困难的问题，即使是最伟大的数学家也没有解决。
今天，我们来看看数学中关于素数的5个最古老的问题，这些问题理解起来很容易，但却没有得到证实。
完美数（完全数、完备数）：奇数完全数是否存在？偶数完全数是无限的吗？看一下6、28、496、8128这些数字.....这些数字有什么特别之处？我建议你试着寻找一个关于数字的美丽的基本性质。
如果你看一下这些数的真因数，你可能会注意到这个“美丽”的性质。
•6 = 1 + 2 + 3,•28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,•496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248•8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064真因数之和等于数字本身的数字被称为完全数。
最早的关于完全数的研究已经消失在历史潮流中。
然而，我们知道毕达哥拉斯人（公元前525年）曾研究过完全数。
我们对这些数字了解多少呢？欧几里德证明，对于一个给定的n，如果（2^n-1）是一个素数，那么是一个完全数。
再做些铺垫。
梅森素数：梅森猜想，当n为素数时，所有形式为2^n-1的数都是素数。
我们知道这不是真的。
例如，2^11-1 =2047 = 23 × 89开放性问题：是否有无限多的梅森素数？目前我们知道47个梅森素数。
•欧拉在18世纪提出，任何偶数完全素数的形式都是2^(n-1)(2^n-1)。
换句话说，偶数完全数和梅森素数之间有一个一一对应的关系。
正如你所看到的，自从欧几里德（约公元前300年）以来，我们就知道偶数完全数以及得到它们的方法。
我们不知道的是，是否存在任何奇数完全数？（实际上，对奇数完全数的研究很少，在这个问题上几乎没有任何进展。
数论的几个重要定理(精选、)
11数论的几个重要定理欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理及中国剩余定理是数论的四大定理，它们是解决数论问题的重要工具。
下面介绍这几个定理在竞赛数学中的应用方法。
1.基本原理定理1 (欧拉定理) 设m为大于1的整数，(a, m) 1 , (m)为欧拉函数，则a (m) 1 (mod m).证设r i,r2,…，r(m)为模m的一个简化剩余系，因为(a,m) 1,所以ar1, ar2,…,ar(m)也是模m的一个简化剩余系，从而有(arja)…(ar ⑴))也…r ⑴)(mod m),即a(m)(rr2…r(m)) 「厂…r ⑴)(modm) (1)因为(盹…r (m),m) 1，所以由(1)得a (m) 1 (mod m).定理2 (费马小定理) 设p是素数，(a, p) 1,则a p 1 1 (mod p).证因为p是素数，所以(p) p 1，由欧拉定理知a (p) 1 (mod p),a p 1 1 (mod p).推论设p为素数，a为整数，则a p a (mod p) (2)证当p a时，(2)式显然成立.当p不能整除a时，因为p为素数，所以(a,p) 1.由定理2得a p 1 1 (mod p),a p a (mod p).定理3 (威尔逊定理) 若p为素数，则(p 1)! 1 (mod p).证a 2,3,-, p 2，因为(a, p) 1，所以a,2a,…,(p 1)a也是模p的简化剩余系，故存在唯一的 b 1,2,…，p 1 ,使得ba 1 (mod p)(1)••• a 2,3,…，p 2 ,• b1, b p 1.若 b a ，贝Ua 2 1 (mod p)••• (a 1)(a 1) 0 (mod p).••• a 1 或1(mod p),这与a 2,3，…,p 2矛盾.综上即知b 2,3,-, p 2且b a 将2,3，…，p2中的数按（1） 式两两配对，得2 3 4…(p 2)1 (mod p),• (p 1)! 1 (mod p).定理4 （中国剩余定理） 设m i ,m 2,…,m k 是k 个两两互质的正整数， m mg ?…m k ,M i — , i 1,2,…，k ,则同余式组 m ix a 1 (modmjx a 2 (mod m t ) x a k (mod m k )有唯一解其中 M i M i 1 (modm) , i 1,2,…,k .证 容易验证（2）是（1）的解.又若x , x 均是（1）的解，则对于i 1,2,…，k ，有x a （mod m i ） x a （mod m i ）,x x 0 （mod m i ），又因为m^m ?,…，m k 两两互质，从而有x x (mod m),所以X 与X 是同余式组(1 )的相同解•设m 1, (a,m)1，则由欧拉定理知 a (m) 1 (mod m)，我们把满足条件(1)x M 1 M 1a 1M 2 M 2a 2 …M k M k a k (modm)(2)从而有ra 1 (mod m)的最小正整数r称为a对模m的阶，或称为a对模m的指数.关于a对模m的阶，我们有如下结论•定理5设m 1，(a, m) 1，a对模m的阶为n0，n为正整数若a n 1 (mod m)，则n0 n.证由带余除法知，存在非负整数q及r,使得n q n o r，0 r n°.所以1 a n a qn0 r (a n0)q a r a r (mod m)，由于r n0,由n0的最小性知r 0 ,所以n0 n .2.方法解读用上述定理解题，除应掌握数论解题的基本方法外，还应对这几个定理的用途有一定的认识.一般说来，欧拉定理与费马小定理提供了降幕与归1的工具.威尔逊定理提供了处理连续整数的积的方法.中国剩余定理提供了某些存在性问题的构造方法.定理5提供了由方幕的指数导出整除关系的途径.例1 求使2n1为7的倍数的所有正整数n .解T 21 2 (mod 7) , 22 4 (mod 7) , 23 1 (mod 7),所以2对模7的阶为3.又因为2n 1 (mod 7)，所以由定理5知3n，即n 3k(k N ).例2 设整数a , b, c满足a b c 0，记d a2011 b2011 c2011，求证| d不是素数.证T a2 a (mod 2),2011 2011 2011二a a (mod 2) 同理知b b (mod 2) , c c (mod 2),…a b c a b c 0 (mod 2),••• 2d.・ 2011 a 2010a a / 3\670(a ) a a670a a669a2a3 223a2223 2a a a224a a78a a26 a a27 a9 a3 a (mod 3),同理可证.2011b b (mod 3),2011c c (mod 3),. 2011 .2011 2011 .c 0a b c a b (mod3),••• 3d .又:(2,3) 1 ,••• 6d，所以d 不是素数•例3 证明：数列1,19,119,1119,11119,…中有无穷多个合数.证因为19是素数，(10,19) 1，由费马小定理知1018 1 (mod19)，所以对于任意的正整数n，有1018n 1 (mod19)，18n10 1 0 (mod19),9 11…1 0 (mod19),18n个1(19,9) 1 ,• 19 11…1 ,•19 11…119,即19 11 (1)1918n 个1 18n个1 18n个1由于正整数n有无穷多个，所以数列中有无穷多项被19整除，故数列中有无穷多项为合数例4 (第47界IMO预选题) 已知x (0,1)，令y (0,1)，且y的小数点后第n位数字是X的小数点后第2n位数字.证明：若X为有理数，则y也为有理数.证设X 0.X/2…X n…,y O.yv2…y n…，则对于n 1,2,…，有y n X2n.因为X为有理数，所以数列X n从某项开始为周期数列，为了说话方便，不妨设X n为周期数列，d为它的一个周期，d 2n°v，其中n°为非负整数，v为大于1的奇数(这是可以办到的，因为若T为数列的周期，则3T也为周期).现令(v)，由欧拉定理知， 2 2 (v) 1 (mod v)，从而有2 n0 2n0 (mod(v 2n0)),即2 n 2n0 (modd),所以对于任意的正整数n n0，有2 n0 2n n0 2n02n n0 (modd),d 是X n 的周期，从而有 x 2 n x 2n ,即y n y n .综上知，对于任意的n n o ，都有y ny n ,所以 y 从第n 。
无穷多个费马素数
无穷多个费马素数
费马素数是一种特殊的素数，其定义是满足费马小定理的素数。
费马小定理是一个关于素数的重要定理，它表明如果p是一个素数，那么对于任意整数a，都有a^p ≡ a (mod p)。
根据费马小定理，如果一个素数p满足对于所有整数a都有a^p ≡ a (mod p)，则p被称为费马素数。
费马素数是一种非常稀有的素数，目前只知道五个费马素数，它们分别是3、5、17、257和65537。
这也是因为费马素数的定义要求其对于所有整数a都满足费马小定理，这种数学性质在数论中被认为是非常特殊的。
值得注意的是，费马素数与费马大定理无关，费马大定理是另一条关于整数解的数学问题。
费马素数的性质和应用在数论和密码学等领域有着重要的作用。
由于费马素数的稀有性质，它们在一些密码算法中被用作加密和解密的关键参数，例如RSA算法中的素数选择。
在数论研究中，费马素数也是一种有趣的数学对象，研究费马素数的性质和分布可以深入理解数论的重要定理和推论。
总的来说，费马素数是一种特殊的素数，满足费马小定理的数学性质。
尽管目前已知的费马素数数量很少，但它们在数论和密码学中的重要性不可忽视，对于数学研究和应用都具有深远的影响。
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文 章 编号 ：６ １８ ３ （０ ８ ０ －０ ９ ０ １ ７ — ８ ６ ２ ０ ） １０ １ － ６
Ａ（ ｌ ５ ２ｐ为奇素数 ） Ｇ） ＝２Ｐ （ 的有限 Ａ ｅ 群 Ｇ ｂｌ
王 秀 花 ，黄 本 文
（ ． 感学 院 数 学 系， 北 孝 感 ４ ２ ０ ； ． １孝 湖 ３ １ ０ ２ 武汉 大学 数 学 与统计 学院 ，湖北 武汉 ４ ０ ７ ） ３ ０ ２
一１ ２ ３ ４ ５ ６ ， ， ， ，． ． ，
（Ｖ Ｉ ）当 一４ 》 Ｇｌ 》 ２ Ｃ Ｃ ×Ｃ ａ Ｃ２ ２， ２ ２ ２， ２ ２ ２ ２ ＝ ｌ 一２＝ Ｇ ： ２， ２ ２， ２×Ｃ ２ Ｃ ×Ｃ ×Ｃ ２ Ｃ ×Ｃ ×Ｃ ×Ｃ ． （ Ｖ）当 一５ 》 一２＝ Ｇ２ Ｃ ５ Ｃ ×Ｃ Ｃ ２ ２，Ｃ ×Ｃ ×Ｃ ａ ２ ２×Ｃ２ ２ ２ ２ ＝ｌ Ｇｌ 》 ： ２， ２ ２， ２ ×Ｃ ａ ２ ２ ２，Ｃ ×Ｃ２ ２，Ｃ ×Ｃ ×Ｃ ×
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第 ５卷 第 １ ４ 期 ２０ ０ ８年 ２月
武汉 大 学 学 报 （ 学 版 ） 理
Ｊ ．Ｗ ｕ ａ ｉ ． Ｎａ ． ｃ． ｄ ） ｈ ｎ Ｕｎ ｖ （ ｔ Ｓ ｉ Ｅ ．
Ｖｏ１ ４ ．５ Ｎｏ． １ Ｆｅ ２ ８． ９～ Ｏ２ ｂ． ００ ０１ ４
引理 ４
设 Ｇ是 Ｐ 阶交换群 ， Ｇ的型为［ ！： ， ！： … ； ！： ］ ： ； ： ： ： ：： ・ ：
１ ｓ ２
ｔ ｓ ｉ
ｓ ｔ
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其中 ｌ 当ｍ＞优＞…＞优＞ｏＳ＞ ， 是有 ｌ （） —ＰⅡ Ⅱ （ 一１， 一 ∑ ｍ 一 ， ｏ于 Ｇ ｌ “ Ａ ） 其中
１ 预 备知 识
引 理 ｊ 则 Ｇ） ，阶 ２ 是 Ｅ ｌ ｕｅ ｒ函数 ．
引理 ２。 Ｇ是 Ｐ 阶交换 群 ， Ｐ （ 则 一 一１ ／ Ａ（ １ ） ｌ Ｇ） ． 引理 ３。 设 Ｇ—Ｈ×Ｋ， 当（ Ｈ ｌ １一１时 ， Ｇ） Ａ（ ×Ａ（ ． ｃ 则 ，Ｋ １ ｌ ） Ａ（ Ｈ） Ｋ）
Ａ（ ｐ） Ｓ ×… ×Ａ（ ） 又 由引理 ２知 ， 每一个 素 数 Ｐ ，／ Ａ（ ｐ） ／ Ｇ） 一２Ｐ ． 而 ２／ 是 ， ｓ ． 对 ２ ｌ Ｓ ｌ ｌ Ａ（ ｌ 从 ２Ｐ 一０
１， ３， ５ ２， ４， ．
收 稿 日期 ： ０ ７ ０ — ３ ２ ０ — ５２ 基 金 项 目 ：湖北 省 教 育厅 中青 年 人 才 项 目（ Ｏ ７ ６ ｏ ） 孝 感学 院科 研 项 目基 金 资 助项 目 （２ Ｏ Ｏ ５ Ｑ２ Ｏ ２ ｏ ３ ； ｚＯ ８ Ｏ ）
作 者 简介 ：王 秀花 （ ９ １） 女 ， 师 ， 从 事 有 限 群 与 计算 群 论 研 究 ． Ｅｍａｌｗｍｌｎ ＠ １３ ｃｍ １ ８一 ， 讲 现 － ｉ ： ｆ ｅ ６ ．ｏ ｉ
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武汉大学学报（ 学版） 理
第５ ４卷
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２ 主 要 结 果
现在利用 群 Ｇ 的 自同构群 Ａ（ 的 阶来 讨论 Ｇ 的构 造． Ｇ） 设 ｌ 一２ － ｚ Ｇｌ ；…踏 ， 中 Ｐ ， … ， 是互 异 的奇素 数 ， 由引理 ３知 ， Ｇ） 其 ｌＰ ， 则 Ａ（ 一Ａ（ ｚ ×Ａ（ ｐ） Ｓ） Ｓ。 ×
摘 要 ： 用 有 限 Ａｂ ｌ Ｇ 的 自同 构 群 Ａ（ 的 阶 来 讨 论 群 Ｇ 的 构 造 ， 据 有 限交 换 群 的 性 质 ， 导 出 了 利 ｅ群 Ｇ） 根 推 ｌ Ｇ） ＝２ Ｐ （ Ａ（ ｌ ｐ为 奇素 数 ） 有 限 Ａｂ ｌ Ｇ 的全 部 类 型 ． ｐ 的 ｅ群 当 ＝３时 ， Ｇ有 ３ ８型 ； ｐ 当 一５时 ， Ｇ有 １ 型 ； ｐ １ ９ 当 一 ７ 时 ， 有 ３型 ； ｐｆ３ ５ １ Ｇ 当 ＝ ， ，７时 ， ｉ ： Ｇ最 多有 ３ ４型． 关 键 词 ：自 同构 群 ； ｅ 群 ； 构 造 ；Ｅ ｌ 函 数 Ａｂ ｌ 群 ｕｅ ｒ 文献 标 识 码 ： Ａ
中 图分 类 号 ： ５ ． Ｏ １２ １
０ 引 言
自同构群 Ａ（ 是 由群 Ｇ决定 的 ， Ｇ） 然而 ， 知道 了 Ａ（ ） 阶 ， Ｇ的 能否 判 断 Ｇ 的类 型仍 相 当复 杂 引， 内外 国
已存 人在研究 这方 面的 内容 ． 本文 试 图利 用 Ａ（ 的一 类特殊 阶 ， 决定 群 Ｇ 的构 造 ， Ｇ） 来 是文 献 ［ ］ ４ 的继续
Ｃ Ｃ２× Ｃ２ Ｃ × Ｃ × Ｃ２ ｚ， × ．
与发展 （ 文献 ［ ］ ４ 中只讨论 了 、 、 为互 异奇 素数 的情形 ） ｑｒ ． 文 中所讨 论 的群 都是 有限 Ａｂ ｌ ，Ｇｌ ｅ 群 ｌ 表示群 Ｇ 的阶 ， Ｇ） 示 Ｇ 的 自同构 群 ， 示 ， 阶循 环群 ， Ａ（ 表 Ｃ 表 ２
Ｓｐ表
．
Ｇ 的 Ｓ ｌｗ Ｐ一 群 ． ｙｏ 子
下 面对 忌分 ６种情 况讨论 ． ① 愚 ｌ 一２ 由引理 ２ ２ ／ Ａ（ ２ ｌ ｌ Ｇ） 一２Ｐ ＝０ Ｇｌ “， ， ｌ Ｓ ） ／ Ａ（ ｌ
（ 工）当 一１ ｌ ｌ Ｇ２Ｃ ． 一２ ２ （Ｉ Ｉ）当 一２ ｌ 一２ Ｇ ＝ ２， ２ ２ Ｇｌ ＝ Ｃ ｚ Ｃ ×Ｃ ． ＝ （Ｎ Ｉ）当 一３ ｌ 一２ Ｇ ＝ ２， ２ ２， ２ ２ ２ Ｇｌ 。 ＝ Ｃ ａＣ ×Ｃｚ Ｃ ×Ｃ ×Ｃ ． ＝