考点46 洛伦兹力 带电粒子在磁场中的运动

1．洛伦兹力与电场力的比较2．洛伦兹力与安培力的联系及区别（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。

（2）洛伦兹力对电荷不做功；安培力对通电导线可做正功，可做负功，也可不做功。

3．带电粒子在匀强磁场中的运动（1）如何确定“圆心”①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。

确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。

②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。

③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。

（2）如何确定“半径”方法一：由物理方程求，半径qBmv r =； 方法二：由几何方程求，一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。

（3）如何确定“圆心角与时间”①速度的偏向角φ=圆弧所对应的圆心角（回旋角）θ=2倍的弦切角α，如图（d ）所示。

②时间的计算方法。

方法一：由圆心角求，2πt T θ=方法二：由弧长求，vR t θ=4．带电粒子在有界匀强磁场中运动时的常见情形5．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。

（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。

6．求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（①带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；②射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切），然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。

（1）两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。

（2）两种方法一是物理方法：①利用临界条件求极值；②利用问题的边界条件求极值；③利用矢量图求极值。

二是数学方法：①利用三角函数求极值；②利用二次方程的判别式求极值；③利用不等式的性质求极值；④利用图象法等。

（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。

审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。

1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动．2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．如下图，带电粒子在磁场中，①中粒子做匀速圆周运动，②中粒子做匀速直线运动，③中粒子做匀速圆周运动．3．半径和周期公式：(v⊥B)（2020·广东省高二期中）一束等离子体(含有大量带等量正电和负电的微粒，不考虑其重力及电荷间的相互作用)，沿图中箭头所示的方向垂直于磁场方向射入一匀强磁场，磁场方向垂直纸面，粒子运动的轨迹如图中a、b所示，则以下说法中正确的是A．a是带负电的微粒的运动轨迹B．b是带负电的微粒的运动轨迹C．a是带正电的微粒的运动轨迹D．a是带正电微粒及负电微粒的共同轨迹【参考答案】BC【详细解析】由左手定则可知，a是带正电的微粒的运动轨迹，b是带负电的微粒的运动轨迹，故选BC.1．（2020·广东省高二期中）如图所示，用丝线吊一个质量为m的带电(绝缘)小球处于匀强磁场中，空气阻力不计，当小球分别从A点和B点向最低点O运动且两次经过O点时( )A．小球的动能相同B．丝线所受的拉力相同C．小球所受的洛伦兹力相同D．小球的向心加速度相同【答案】AD【解析】带电小球在重力与拉力及洛伦兹力共同作用下，绕固定点做圆周运动，由于拉力与洛伦兹力始终垂直于速度方向，它们对小球不做功．因此仅有重力作功，则有机械能守恒．从而可以确定动能是否相同，并由此可确定拉力与洛伦兹力．由向心加速度公式和牛顿第二定律列式分析．A 、小球运动过程中，所受的细线的拉力与洛伦兹力对小球不做功，仅仅有重力作功，则小球机械能守恒，所以小球分别从A 点和B 点向最低点O 运动且两次经过O 点时的动能相同;故A 正确.B 、小球经过最低点时速度大小不变，则根据牛顿第二定律可知，由于速度方向不同，导致产生的洛伦兹力的方向也不同，则拉力的大小也不同;故B 错误.C 、小球经过最低点时速度大小不变，由于速度方向不同，导致产生的洛伦兹力的方向也不同，则洛伦兹力不相同;故C 错误.D 、小球的动能相同则速度的大小相等，据2F rv m 知，v 、r 相同，可知小球所受的向心力相同,向心加速度相同;故D 正确.故选AD.【点睛】本题考查对小球进行受力分析，并得出力做功与否，根据机械能守恒定律来解题是突破口，同时注意洛伦兹力方向随着速度的方向不同而不同．最后由牛顿第二定律来分析向心力与向心加速度． 2．（多选）如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN 为理想边界，磁感应强度分别为B 1、B 2，今有一质量为m 、电荷量为e 的电子从MN 上的P 点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场B 1中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。

则以下说法正确的是A ．电子的运行轨迹为PDMCNEPB ．电子运行一周回到P 用时为12π=mT B eC ．B 1=2B 2D ．B 1=4B 2 【答案】AC【解析】根据左手定则可知：电子从P 点沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场B 1时，受到的洛伦兹力方向向上，所以电子的运行轨迹为PDMCNEP ，故A 正确；电子在整个过程中，在匀强磁场B 1中运动两个半圆，即运动一个周期，在匀强磁场B2B错误；由图象可知，电子在匀强磁场B1中运动半径是匀强磁场B2中运动半径的一半，根据rmvBe=可知，B1=2B2，故D错误，C正确。

故选AC。

【名师点睛】本题是带电粒子在磁场中运动的问题，要求同学们能根据左手定则判断洛伦兹力的方向，能结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，难度适中。

单边界即直线边界，进、出磁场具有对称性，如图所示（2020·衡水市中学高二月考）带电粒子M经小孔垂直进入匀强磁场，运动的轨迹如图中虚线所示。

在磁场中静止着不带电的粒子N。

粒子M与粒子N碰后粘在一起在磁场中继续运动，碰撞时间极短，不考虑粒子M和粒子N的重力。

下列说法正确的是（）A．碰后粒子做圆周运动的半径减小B．碰后粒子做圆周运动的周期减小C．碰后粒子做圆周运动的动量减小D．碰后粒子做圆周运动的动能减小【参考答案】D【详细解析】带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式得2mv qvBr=解得带电粒子在磁场中做圆周运动的半径mv rqB =带电粒子在磁场中做圆周运动的周期22r mT v qBππ== ABC ．设粒子M 的电量为q ，质量为1m ，速度为0v 。

粒子N 的质量为2m ，碰撞前101,2πv r T qB Bm m q == 碰撞前后两粒子动量守恒，则1012()m v m m v =+ 碰撞后121212π2π()(),m v m r r T T qB qB qBm m m ++''===>= 即碰后新粒子做圆周运动的半径不变，周期增大，动量不变，故ABC 错误； D ．碰撞后粘在一起，机械能有损失，动能减小，选项D 正确。

故选D 。

1．（2020·广东省中山中学高二期中）如图所示，直线MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a 点垂直MN 且垂直磁场方向射入磁场，经t 1时间从b 点离开磁场．之后电子2也由a 点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t 2时间从a 、b 连线的中点c 离开磁场，则12t t 为( )A ．23B ．2C ．32D ．3【答案】D 【解析】电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式mvr qB=可知，两电子运动半径相同，由周期公式2mT qBπ=可知，周期也相同，由几何关系可知，电子1运动的圆心角为π，电子2运动的圆心角为3π，由时间2t T θπ= 可得：1233tt ππ==，D 正确。

故选D 。

2．（2020·宁夏回族自治区高三三模）如图所示，直线MN 是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别沿图示1、2、3三个方向以相同的速率从O 点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经t 1、t 3时间均从p 点离开磁场，沿箭头2方向(垂直于MN)的粒子经t 2时间从q 点离开磁场，p 是Oq 的中点，则t 1、t 2、t 3之比为A ．1：2：3B ．2：3：4C ．1：3：5D ．2：3：10【答案】C【解析】各个粒子的圆心所在位置如图所示：由于粒子运动的速度相等，所以三个粒子的轨道半径也相等，粒子2在磁场中运动了半个周期，所用时间212t T =，根据几何关系知粒子1转过的圆心角为60 ，所用时间为116t T = ,粒子3运动转过的圆心角为300 所用时间为356t T = ，所以123::135t t t ：：= 故C 正确； 故选C平行边界，存在临界条件，如图所示．（2020·辽宁省高三三模）如图所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S 。

某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场。

已知∠AOC=60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于2T（T 为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（ ）A ．8T B ．7T C ．6T D ．4T 【参考答案】CD【详细解析】粒子在磁场做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦，初速度大小相同，根据2v qvB m R=则mv R qB=轨迹半径相同，如图所示设OS d =，当出射点D 与S 点的连线垂直于OA 时，DS 弦最长，轨迹所对的圆心角最大，周期一定，则由粒子在磁场中运动的时间最长，由此得到，轨迹半径为R =当出射点E 与S 点的连线垂直于OC 时，弦ES 最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短，则SE =由几何知识，得60θ=︒，最短时间16min t T =所以，粒子在磁场中运动时间范围为1162T t T ≤≤，AB 错误CD 正确。