数学参考答案
《高等应用数学》参考答案
《高等应用数学》参考答案第1章答案习题1.11．（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数；（5）偶函数；（6）奇函数． 2．在)0,(−∞、),0(+∞上单调减少，不能． 3．（1）4)1(x y +=由4u y =和x u +=1复合而成. （2）y =由u y =和31x u +=复合而成.（3）1x y e+=由uy e =和1+=x u 复合而成.（4）)13(cos 2+=x y 由2u y =，v u cos =，13+=x v 复合而成. （5）)32sin(ln 2+=t s 由u s ln =，v u sin =，322+=t v 复合而成. （6）32)]1[arccos(x y −=由3u y =，v u arccos =，21x v −=复合而成.4．（1）[()]xf x ϕ=，),(+∞−∞∈x ；xx f =21)]([ϕ，),0[+∞∈x ； （2）122[()]122k x k f x k x k πππϕπππ−−+<< =≤<+ ，，，，，012k =±± ，，，；sin10[()]sin10x f x x ϕ−< = ≥ ，，，.5．5)2(=−f ，0)1(=f ，3)2(=f ，)4(f 无意义． 6．x x a V 2)2(−=，(0)2ax ∈，．7．22102222241610462x x S x x x x x ≤< =−≤< −+−≤≤ ，，，，，，定义域为[06]，．21)1(=S ，4)3(=S ，5.7)5(=S ，8)6(=S ．8．21.9610f v −=−×． 9．0.400500.6512.550x x y x x ≤≤ = −> ，，，，函数图形见图1-30．图1-30习题1.2１．（1）0；（2）0；（3）2；（4）0；（5）1；（6）3．2．2)01(=+f ，0)01(=−f ，1lim ()x f x →不存在，函数图形见图1-31．图1-313．211lim ()lim(1)2x x f x x −−→→=+=，11lim ()lim(1)1x x f x ++→→=−=− 11lim ()lim ()x x f x f x −+→→≠ 1lim ()x f x →∴不存在 4（1）lim sin x x →∞； （2）11lim1x x x →−−．解：（1）当∞→x 时，sinx 的值不趋向于一个确定的常数，所以极限不存在。
预科高等数学习题参考答案（上学期）
第一章函数与极限1.1 数列的极限1 (1) 对任意的自然数n 有7)1(5750n n ，所以有07)1(51751n n，即01nnx x ，因此数列}{n x 是单调递减数列．显然对于任意的自然数n 有175n ，因而有17510n x n．进而存在1M ，对任意的自然数n 有，M x x nn1，所以数列}{n x 是有界的．综上数列是单调递减有界数列，因此必有极限．观察出0limnnx ．nn n x x nn1517510．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n 时，就有nx n 10，故0limn nx ．(2) 对任意的自然数n 有5)1(2520n n，所以有10n n x x ，因此数列}{n x 是单调递增数列．显然对于任意0M ，存在}25,1max {0M n ，使得M n x n 5200，因此数列}{n x 是无界的．综上数列是单调递增无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．(3) 从数列的前几项,5,0,3,0,154321x x x x x 可以看出数列}{n x 既非单调递减数列也非单调递增数列．显然对于任意0M ，存在}21,1max {0M k ，使得M k k k x k122)12(sin)12(0120，因此数列}{n x 是无界的．综上数列既不是单调数列也不是无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．2 分析用“N ”语言证明数列极限A x nnlim的步骤如下：(1) 化简A x n(往往需将它适当放大后)得)(n f ；(2) 逆序分析求N ．0，要使)(n f ，(解不等式后知))(g n，于是取正整数)(g N；(3) 按定义作结论则当N n时，就有Ax n．故A x nnlim．证明 (1)nnn110144．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n时，就有nn 1014，故014limnn．(2)nnnn 1241231213．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n 时，就有nn n 1231213，故231213limnn n ．(3)nnC CCCn nnnnnnnn 1919991)91(11011999.022109个．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n 时，就有nn 11999.09个，故1999.09lim个n n．3证明222222656112136561121365611213limlimlim limlimlim limlimnnn n nnn n nnn n nnnnnnnn6130060013．4 证明当0q时，显然00limlimnnnq；当0q 时，显然nnq q0．0(10)，要使nq，由于10q ，因此只要qnlog ，于是取正整数qNlog．则当N n 时，就有nnqq0，故0limnnq．综上所述，当1q 时，0lim nnq ．5证明 (N定义证明)令01nnn h ，则有nnh n)1(，即nn n n nnnnh nh h n n nh h n122)1(1)1(，进而22)1(n h n n n ，即)1(12nn h n．0，要使121n h n nn，只要212n ，即1112n，于是取正整数112N ．则当N n 时，就有121n nn，故1limnnn．(夹逼定理证明) 由于nn nnn n n n nn nn n2211111111212个个，并且122limnn nn，因此1limnnn．5 证明由数列}{n x 有界知，0M，使得数列}{n x 的每一项都有M x n．又0limnny ，则有0，存在0N，当N n时，My y nn．进而当N n时，MMy x y x nn nn 0．因此0lim nnny x．1.2 函数的极限1证明0，0，当00x x时，c c ．因此c c x xlim．2证明)1sin (1sin 0sin x xx x xx ．0，要使x1，只要1x，于是取正数1M．则当M x时，就有xxx 10sin ，故0sin limx x x ．343434343433412313412313423limlimlim limlimlimlimlimxxx x xxxx x x xxx x xxxxx x xx0001000．4解3212223213212321limlim44x x x x x x xx xx34381242321223214242limlim44xx x x x x xx．5解ax ax a xax a x axax2cos 2sin2sin sin limlima a a x a x axaxcos cos 12cos22sinlim．另解axaa a x axa xaxaxsin ])sin[(sin sin limlima xaaa x aa x axsin sin )cos(cos )sin(limaaxa xaaxa x axsin 1)cos(cos )sin(limaa x a x a x aax a x axsin 2sin22sincos )sin(lima aa cos sin 01cos 1．6 因为0)1()(lim limxxxex f ，00)(lim limxxx f ，即0)()(limlimx f x f xx．因此函数)(x f 在0x点处极限存在，并且0)(lim0x f x．7111111113323323131limlimxxxxxxx x xx xx3211111133213321limlimxxxx x x xx xx ．8xx x xx xx xx)2sin()2sin()2sin()2sin(limlim2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2limlim00xx xxxx．92122322233221231212314232limlimlime eexxxx xx xx xxxxxx．另解221)42(421142114232limlimlimx x xxxxxxxx 221)42(42114211limxxx x221)42(42114211limlimxxxx x 21211e e10aba b ax xbxxbx xax axax ax 33113113114limlimlimabab ababax xe eax ax 333311131131lim．另解a baba bab ax abax xbxbxxbxxe e eaxax axax ax ax 344441141114114limlimlim．1.3 无穷小与无穷大1因为x，1sin x ，01limxx，即x时x sin 是有界变量，x1是无穷小量，因此01sin sin limlimxxxx xx．2 (利用无穷大的)(M E定义求解)0E ，要使E xx 523，只要)5(223xE xx ，即E x2，于是取}5,2max {E M ，当M x时，E xx 523．所以523xx 是x时的无穷大量，即523limxx x．另解(利用无穷大与无穷小的关系求解)显然当x时，0523xx ，但是01515332limlimx xx xxx，进而根据无穷大与无穷小的关系有，3223515limlimxxxx xx．3 (利用无穷大的)(M E 定义求解)0E ，要使E xx x x21232，只要)3(121x E x x x ，即1E x，于是取}3,1max{EM，当M x 时，E xx232．所以232xx是x时的无穷大量，即232limx xx．4414144tan sin limlimlim220220xxxxxxx．52121cos 12202limlimx x xx xx．6设00，当0x x时，)(x g 有界，则存在00M，使得当0x x时，0)(M x g ．当0x x时，)(x f 是无穷大量，则0M，存在01，当10x x时，0)(M M x f ．取},m in{1，则当0x x 时，00)()()()(M M M x g x f x g x f ，因此)()(x g x f 是0x x 时的无穷大量．7x x y cos 在,不是有界变量，即x x y cos 在,是无界的．因为0M，存在1][Mx ，使得M M x x 1][cos 00．下面证明当x 时，x x y sin 不是无穷大量．1E ，对于0M ，存在10Mx ，使得M x 0，并且E x x 0sin 00．因此当x时，x x ysin 不是无穷大量．1.4 函数的连续性与间断点1 (1) 函数)(x f 的定义域是),3()3,5()5,(．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的连续区间是),3(),3,5(),5,(．(2) 函数)(x f 的定义域是]6,4[．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的在区间)6,4(内连续．又)4(464464)(limlim44f x xx f xx，则)(x f 在4x 处右连续；)6(664664)(limlim66f xxx f xx，则)(x f 在6x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]6,4[．(3) 函数)(x f 的定义域是]2,1[．显然函数)(x f 在区间)2,1(),1,0(),0,1(内连续．又)1(11)(lim lim11f x f xx，则)(x f 在1x处右连续；1)(lim lim0xxx f )0(1f ，)0(1sin )(limlim 0f xx x f xx，即)0()()(limlim 0f x f x f xx，则)(x f 在0x 处连续；)1(81sin sin )(limlim11f xx x f xx，即)(x f 在1x 处不左连续，则)(x f 在1x处不连续；)2(14)83()(limlim 22f xx f xx，则)(x f 在2x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]2,1(),1,1[．2 (1)函数)(x f 的定义域是),7()7,2()2,(，进而函数的间断点只可能为2x 和7x．对于2x，72)7)(2()2)(2(1494)(limlimlimlim222222xx xxx x xxx x f xxxx54，因此2x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于7x，)7)(2()2)(2(1494)(lim limlim72277xxx x xxx x f xxx，因此2x 是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，2x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，7x 是第二类间断点中的无穷间断点．(2) 显然函数)(x f 的定义域是Zk Zk k kk k )1(,22,，进而函数)(x f 的间断点只可能为k x 和)(2Z kkx ．对于0x，1tan )(limlim 0xx x f xx，因此0x是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)0,(k Z k k x，xx x f kxkxtan )(limlim，因此当0k 时，kx是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于)(2Z k kx ，0tan )(limlim22xx x f kxkx，因此2kx 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．综上，0x和)(2Z k kx是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，)0,(k Z k k x 是第二类间断点中的无穷间断点．(3) 显然函数)(x f 的定义域是),1()1,0()0,(，进而函数)(x f 的间断点只可能为0x和1x ．对于0x，111)(limlimx xxxe xf ，因此0x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于1x，011)(111limlim x xxxex f ，111)(111limlimxxxxe xf ，即函数)(x f 在1x处的左右极限存在，但不相等，因此1x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，0x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点，1x 是第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(，进而)(x f 的间断点只可能为0x ．21arctan)(limlim 0xx f xx，21arctan)(limlimxx f xx，即)(x f 在0x处的左右极限存在，但不相等，因此0x函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,0()0,(，进而)(x f 的间断点只可能为0x 和1x．对于0x，0223)(limlimxx f xx，因此0x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于1x ，xx f xx223)(limlim11，因此1x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．因此0x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，1x 是第二类间断点中的无穷间断点．(6) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(，进而)(x f 的间断点只可能为0x ．22cos 1cos 1)(2limlimlimxx x x x f xxx，22cos 1cos 1)(20limlimlimx xxxx f xxx，即)(x f 在0x 处的左右极限存在，但不相等，因此0x函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(7) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,(，进而)(x f 的间断点只可能为1x ．xx x f xx12)(lim lim 11，因此1x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性1 (1) 当1x 时，02limnnx，则有x x x x x f nn n2211)(lim ；当1x 时，nnx2lim，并且11122lim nn nxx ，则有x x xx x f nn n2211)(lim ；当1x 时，012nx，则有011)(22lim xxx x f nn n．因此111,,0,)(xx x x x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(内连续．对于1x，1)(limlim11x x f xx，1)()(lim lim11x x f xx，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1x，1)()(limlim11x x f xx，1)(limlim11xx f xx，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(，1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(2) 显然1x时，函数)(x f 无定义；当1x 时，0limnn x，则有01)(lim nnnxxx f ；当1x 时，nnxlim，则有11)(lim nnnx xx f ；当1x 时，1nx ，则有211)(lim nnnxxx f ．因此111,0,21,1)(xx x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(内连续．对于1x ，00)(lim lim11xxx f ，11)(lim lim11xxx f ，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1x，11)(limlim11xxx f ，00)(limlim11xxx f ，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(，1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(3) 当10x 时，0limnnx，则有111)(lim nnxx f ；当1x 时，nnxlim，则有011)(lim nnxx f ；当1x时，1nx，则有2111)(lim nnxx f ．因此1011,1,21,0)(xx x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,0(内连续．对于0x ，)0(11)(limlimf x f xx，因此)(x f 在0x 处右连续．对于1x ，00)(lim lim11x xx f ，11)(lim lim11xx x f ，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,0[，1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 当0x 时，xnxnnnlim lim ,0，则有1)(limxxx x n nnn n x f ；当0x 时，0,lim lim xnxnnn，则有1)(limxxx x nnnn n x f ；当0x 时，1xn，则有0)(limxxx x nnnn n x f ．因此000,1,0,1)(xx x x f ．显然函数)(x f 在区间),0(),0,(内连续．对于0x ，11)(lim limxxx f ，1)1()(lim limxxx f ，即)(x f 在0x 处的左右极限存在，但不相等，因此0x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),0(),0,(，0x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5)显然1x 时，函数)(x f 无定义．又xexnxn x f xxnnnxn1111111)(limlim，因此xe xf x1)(，并且定义域为),1()1,(．显然函数)(x f 在区间),1(),1,(内连续．对于1x，xex f xxx1)(lim lim11，因此1x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,(，1x函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．2 (1) 因为函数)(x f 在区间),0(),0,(内是初等函数，因此函数)(x f 在,连续，只需在分段点0x处连续，即)0()()(limlim 00f x f x f xx．又在0x 处，b f )0(，b b ax x f xx)()(limlim，1)(lim limxxxex f ，因此1b．由于2)1(f ，即2b a，因此1a ．综上当1,1ba 时，函数)(x f 在,上连续．(2) 因为函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(内是初等函数，因此函数)(x f 在,连续，只需在分段点1x处连续，即)1()()(limlim11f x f x f xx，)1()()(limlim11f x f x f xx．在1x 处，1)1(f ，b a bx axx f xx)()(211limlim ，11)(limlim11xx f xx，因此1ba ．在1x处，1)1(f ，11)(limlim11xx f xx，b a bx axx f xx)()(211limlim，因此1b a ．于是有11b a b a ，解得1,0b a ．综上当1,0b a 时，函数)(x f 在,上连续．3 )(x f 在1x 处连续，则)1()(lim1f x f x，即4313)(lim1xx b xb a x．由于0313lim1xx x，则有0)(lim1bxb ax，即02ba ，进而b a 2．从而313313)(limlim11xx b bx xxb x b a x x313313313)1(lim1x x x x x x x b x)1(2313)1(lim1x x x x b x b xxb x22313lim1．因此42b ，即2b，于是4a ．综上当2,4ba 时，)(x f 在1x处连续．1.6 闭区间上连续函数的性质1若)0()(f a f ，则0或a ．因此下面假设)0()(f a f ．令)()()(a x f x f x F ．显然)(x F 在],0[a 上连续，并且)2()()(),()0()0(a f a f a F a f f F ．由于)2()0(a f f ，所以有0)]0()()][()0([)()0(f a f a f f a F F ，从而根据根的存在定理知，),0(a ，使得0)(F ，即)()(a f f ．综上存在一点],0[a ，使得)()(a f f ．2由于b x f a )(，则b b f a f a )(),(．令x x f x F )()(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且0)()(aa f a F ，0)()(bb f b F ，从而根据根的存在定理知，],[),(b a b a ，使得0)(F ，即)(f ．3令bx b xa ax B x f A x F ,),(,)(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且A a F )(，B b F )(．又0AB ，因此0)()(b F a F 从而根据根的存在定理知，),(b a ，使得0)(F ，即0)(f ．4方程可以变为),,(0))(())(())((321213312321x x x a x x a x xa ．令))(())(())(()(213312321xxa xxa xxa x F ．显然)(x F 在],[],,[3221上连续，并且))(()(322111a F ，))(()(321222a F ，))(()(131333a F ．由于321，0,,321a a a ，所以0)(1F ，0)(2F ，0)(3F ．进而根据根的存在定理知，),(211，),(322，使得0)(1F ，0)(2F ，即),(211，),(322，使得0313212111a a a ，0323222121a a a ．5 (反证法)假设存在),(，使得0)(f ．若 (或)，则函数)(x f 在],[ (或],[)内连续，并且0)(f ，0)(f ，即0)()(f f ．因此存在),( (或),()，即),(，使得0)(f ．这与x和x是0)(x f 相邻的两个根相矛盾．故),(x都有0)(x f ．6若1)sin(b a，则显然方程b x a x sin 有一个根是b a x ．下面假设1)sin(b a ．令b x a xx f sin )(．显然)(x f 在],0[b a上连续，并且0)0(bf ，0)]sin(1[)sin()(b a a b b a a b a b a f (因为0,0b a)，进而0)()0(b a f f ．因此存在),0(b a，使得0)(f ，即b x a xsin 在区间),0(b a上至少有一个根．综上方程b x a x sin 至少有一正根，并且它不超过b a ．7 令)}(,),(),(min{21n x f x f x f m，)}(,),(),(m ax {21n x f x f x f M，则n x x x ,,,21中至少有一个i x 使得m x f i )(，至少有一个j x 使得M x f j )(，显然有M x f nx f x f mj nk k i )()()(1．若这个不等式中有一等号成立，则对应的i x 或j x 即为所求的点．若不等式都是严格不等式时，又)(x f 在],[j i x x 或],[i j x x 上连续，由介值定理知，至少存在一点介于i x 与j x 之间，使得nx f x f x f f n )()()()(21．综上存在],[b a ，使得nx f x f x f f n )()()()(21．习题 110，要使nn n n 11)1(1，只要1n，于是取正整数1N，当N n 时，1)1(1n nn ，因此1)1(1limnn n n．2由于当0x时，x ex~1，所以x ex3~13．进而331limlim30xx xexxx．3因为nnnn333213，则有nnnn33)321(31，并且nn33lim3，因此3)321(1limnnnn．4 令x t arcsin ，则t x sin ，并且00tx ．因此1sin arcsin limlimtt xx tx．53sin 2tan 2limxxxxxxxxx x xxsin 2tan 2sin 2tan 2sin 2tan 23limxxxx xxsin 2tan 2sin tan 3limxx xx x xsin 2tan 2)cos 1(tan 3limxxxxx xsin 2tan 22132limxxxsin 2tan 221lim 082241．6任取),(0b a x ，对0，存在0k ，当00x x时，kx xk x f x f 00)()(．因此)()(0limx f x f x x，即)(x f 在0x x处连续．由0x 的任意性知，)(x f 在),(b a 上连续．当ax 0时,ka x k a f x f )()(．因此)()(lima f x f ax，即)(x f 在a x 处右连续．当0bx 时，kb x k b f x f )()(．因此)()(limb f x f bx，即)(x f 在b x处左连续．综上)(x f 在],[b a 上连续，又由于0)()(b f a f ，所以根据根的存在定理知，存在),(b a 使得0)(f ．7 函数)(x f 的定义域为),2()2,1()12,12(0,k Z k k k．显然)(x f 的间断点只可能是)0,(12kZ k k x ，0x和2x．由于)(x f 在区间)0,)(12,12(k Z k k k ，)0,1(，)2,0(，),2(内是初等函数，因此)(x f 在这些区间上连续．对于2x，4222limxx，则有42sin )(222lim limxx f xx不存在，但是在1到1之间来回振荡，因此2x 是)(x f 的第二类间断点中的振荡间断点．对于0x ，21sin42sin)(2limlimxx f xx，02cos)1()(limlimxx x x f xx，即左右极限存在但不相等, 因此0x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1x ,)1(2cos )1(2cos)1()(limlimlim111t t t xx x x f tx t xx2)1(22)1(2sin)1(limlimlimt tt t tt t ttt，因此1x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)1,(12kZ kkx，xx x x f k xk x2cos)1()(limlim1212，因此12k x )1,(k Z k 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上所述，函数)(x f 在区间)0,)(12,12(kZ kkk ，)0,1(，)2,0(，),2(内连续；0x 是第一类间断点中的跳跃间断点；1x是第一类间断点中的可去间断点；2x 是第二类间断点中的振荡间断点；)1,(12kZ kkx是第二类间断点中的无穷间断点．8先证命题：若)(x F 在],[b a 上连续，则)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(x F 在],[b a 上连续，则任取],[0b a x ，)()(0limx F x F x x(a x 0时取右极限，b x 0时取左极限)．若)0(0)(0x F ，则根据极限的局部保号性知，在0x 的某个邻域内)0(0)(x F ，进而)()()()(00lim limx F x F x F x F x xx x()()()()(00limlimx F x F x F x F x xx x)，注意a x 0时取右极限，b x 0时取左极限．因此)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(),(x g x f 在],[b a 上连续，则)()(x g x f 在],[b a 上连续，进而)()(x g x f 在],[b a 上连续．又2)()()()()}(),(max {x g x f x g x f x g x f ，因此)}(),(max{x g x f 在],[b a 上连续．9由于n 为非零有理数，则可令qp n，其中q p,为非零整数，并且0p ．进而nx与方程0qp x同解．(存在性)令px x f )(．则)(x f 在),0[内连续，并且当x时，)(x f ．因此存在),0(a使得)(a f ．显然)(x f 在],0[a 上连续，并且)()0(0a f f ，根据介值定理知，存在),0(a ，使得)(f ，即是方程px的一个正根．(唯一性)假设21,是方程px的两个正根. 进而有pp 21，即))((12221221112121p p p p pp ，由于0,21，则01222122111p p p p ．因此21，即方程px只有一个正根．10狄利克雷(Dirichlet)函数是无理数是有理数，，x x x D 01)(．显然狄利克雷函数在),(上每一点都有定义, 但是在每一点都不连续．第二章一元函数的导数和微分2.1 导数的概念1 分析 (1) AA x f x f Ax f )(')(')('00_0；(2) 2 函数在0x x处可导，则函数在0x x处必连续；(3) 0 4ln )(x f 是常值函数，因此0)('x f ；(4) 0 驻点：函数的导数值为0的点．2 (1)xx f x x f xx f x x f xx2)()2(2)()2(0000limlim)('22)()2(20000limx f xx f x x f x．(2)xx f x x f xx f x x f xx)()()()(000000limlim)(')()(000limx f xx f x x f x．(3)hx f h x f x f h x f hh x f h x f h h)()()()(212)()(00000000lim limhx f h x f hx f h x f h )()()()(2100000lim)(')()()()(2100000limlimx f hx f h x f hx f h x f hh．(4)000)()()()(limlimx x x f x f x xx f x f x xx x)(')()(000limx f x x x f x f x x．3 (1)22)12(]1)(2['limlimlimxx xx x xxy y xxx；(2)xx x xxxx x xy y xxx2sin2sin 2cos )cos('limlimlimx xx x xxsin 22sin2sin lim；(3)xx x x xx x xy y xx)()]()[('22limlim12)12()()12(limlim2x x x x x xx xx；(4)1)1()](1['limlimlimx x xx x x x y y xxx．4因为0)0(f ，01sin)(limlimxx x f xx，即)0()(limf x f x，因此)(x f 在0x 处连续．因为xxxx xf x f xxx1sin1sin)0()(limlimlim不存在，因此)(x f 在0x 处不可导．5 (1) 因为x y cos '，故曲线在点)0,0(处的切线斜率为10cos 'x y k，进而曲线x ysin 在点)0,0(处的切线方程是x y ，法线方程是x y．(2) 因为x y sin '，故曲线在点)1,0(处的切线斜率为00sin 'x y k，进而曲线x y cos 在点)1,0(处的切线方程是1y，法线方程是0x．(3) 因为xy 1'，故曲线在点)0,1(处的切线斜率为1'1x y k ，进而曲线x y ln 在点)0,1(处的切线方程是1x y，法线方程是1xy．6因为速度是t t tt S t V 22)'211()(')(2，加速度是)(')(t V t a 2)'22(t ，因此速度2)2(,6)2(a V ，即2t 秒时，运动物体的速度是s m/6，加速度是2/2s m ．2.2 求导公式和求导法则1 (1)1620'3xx y ．(2)'221'21211xx mxx my 32232121111xxxm mxxmxm．(3)xx y 55ln 5'4．(4)01111'22xxy ．(5)52)2()3()'3)(2()3()'2('x x x x x x xy ．(6)xxxx xxx x x xxxy 1ln 21)1(ln 2)')(ln 1(ln )'1('2222．(7)xxxxxxe e e e e y 3)13(ln )3ln()3(]')3[()'3('．(8))'(sin sin )'()'(cos '22x x x x x y x x x x x x x x xcos sin )12(cos sin 2sin 22．(9)x xx xy 22csc sec tan '．(10))'(ln sin ln )'(sin ln sin ''x x x x x x x x x y x x x x x x xx x xx x x x sin ln cos ln sin sin ln cos ln sin ．(11)222ln 1ln 1'ln )'(ln 'xx xx x xxx x x x y ．(12)2cos 1)'cos 1(sin )cos 1()'(sin 'xx x x x y xxx xxx x x cos 11cos 1cos 1cos 1sin sin )cos 1(cos 22．另解2sec21'2tan'cos 1sin '2x x xx y ．(13)22''sin cos sin cos sin sin sin 'xxxx xxx x xx xx y ．(14)422)')(ln ()'ln ('xx x x x x xy 342ln 21)ln (211xxx xx x x xx．(15)2)ln 1()'ln 1)(ln 1()ln 1()'ln 1('x x x x x y 22)ln 1(2)ln 1(ln 1ln 1x x x xxx x．另解222)ln 1(2)ln 1(12)ln 1()'ln 1(2'1ln 12'x x x x x x xy ．(16)2222)1()'1(ln )1()'ln ('x x x x x x x y 22222222)1(ln )1(1)1(ln 2)1)(1(ln x xx xx xx x x ．2 (1) 2222222)'(1'xax x axay ．(2))53cos(3)'53()53cos('x x x y ．(3))1sin(2)1()1sin('222xx xxy ．(4)xx x xy ln 1)'(ln ln 1'．(5)xxe x ey 333)'3('．(6)222)'('2x x xex e y ．(7)22'24121212211'xx x x y ．(8)422212)'(11'xx x xy ．(9)222'21111111111'xxxxx y ．(10)222'211)1(21111111111'xx xx xx xx y ．(11)x e x e x e x e y xx xx 3sin 33cos 3cos 3cos '''．(12)'2'21sin1sin'xxxxy xxx xxxxx 1cos1sin21cos11sin 222．(13))'(arccos 1arccos 1'2'2x xxx y 11arccos 111arccos 12222xx x xxxxx ．(14)''11112111111111'xx xx xx xx x x y 1112112122xxxx ．另解11111121)1ln()1ln(21'2'xxxx x y ．(15))'(sin )sin 2(22ln )'(sin 22ln '22sin2sin x x x y xxx xx xx2sin 22ln cos )sin 2(22ln 22sin sin ．(16)x xx x xx xy 4csc 42cos 2sin 2)]2(sec 2[2tan 1)'2(tan 2tan 1'2．(17)x x x x x y 6sin 3)3cos 3()3sin(2)'3(sin 3sin 2'．(18))'12(sin sin '21212'12122222x xeeeey x x x x x x x x。
高一数学参考答案(详版)
试卷答案1.【答案】B 【解析】{1,2}A =，{}|12B x x =−<<，A B ∴={}1，故选：B.2.【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，因此命题“2,0x x x ∀∈+>N ”的否定是2,0x x x ∃∈+≤N ，因此命题“2,0x x x ∀∈+>N ”的否定是：2,0x x x ∃∈+≤N ，故选：D. 3.【答案】A【解析】(1)1f −=，((1))(1)134f f f −==+=，故选：A. 4.【答案】B【解析】根据不等式的性质，可知若a b >，则33a b >，故选：B. 5.【答案】B【解析】||1x >⇔1x >或1x <−，因此p 是q 的必要不充分条件，故选：B. 6.【答案】B【解析】1||y x x =+221,01,0x x x x ⎧+≥⎪=⎨−<⎪⎩，故可根据解析式画出函数图象，如选项B 所示，故选：B. 7.【答案】C【解析】0x >时()0f x <即为230x x −<，解得03x <<，又()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以0x <时()0f x <的解是3x <−，故选：C. 8.【答案】B【解析】由22m n +≥=，所以有22m n +≥2m n +≥，得24m n +≥，所以2m n +≥，当且仅当1m n ==时等号成立.所以2122127m n m n ++++≥++=.故选：B. 9.【答案】ACD【解析】A 中x 不一定大于0，故错误；C 中0a =时不等式显然恒成立，故错误；D 中0c ≤时结论错误.故选：ACD. 10.【答案】BD【解析】化简得,[1,)A B ==+∞R ，可知B A ⊆,所以A B ≠,A B B =,故选：BD. 11.【答案】BC【解析】()f x 的图象可由|21|x y =−通过上下平移得到，作出|21|x y =−的图象如下图：可知下移小于1个单位则()f x 图象与x 轴有两个交点，所以A 错误; 下移超过1个单位，则只有一个交点，故B 正确; 若上移则没有交点，所以C 正确;只有一个交点时，显然可以不平移，或者下移超过1个单位，故D 错误. 故选：BC. 12.【答案】ABC【解析】令0x y ==得(0)(0)(0)f f f +=，即得(0)0f =，A 正确；在定义域范围内令y x =−得()()(0)0f x f x f +−==，即得()f x 是奇函数，B 正确；令1x x =，2y x =−，且12x x <，所以12()()f x f x −=121212()()()1x xf x f x f x x −+−=−，又120x x −<且111x −<<，211x −<<，所以122112(1)()(1)(1)0x x x x x x −−−=+−>，即1212101x x x x −−<<−，所以12())0(f x f x −>，所以()f x 是单调减函数，C 正确.故选：ABC.13.【答案】52【解析】12041)9−⎛⎫+= ⎪⎝⎭1293511422⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.14.【答案】53【解析】由函数为幂函数知1m =，又代入点得2,α=即31222α=，解得23α=，所以函数为23y x =，所以251.33m α+=+= 15.【答案】1 470.15【解析】依题意可知，四天后的价格为221500(110%)(110%)1470.15⨯+⨯−= . 16.【答案】1(,)6+∞【解析】由条件可知5[2,]2x ∈时()0f x >恒成立，即220x kx +−≥恒成立，化简为2k x x≥−恒成立.因为函数2y x x =−在5[2,]2x ∈上为减函数，所以max 2()1x x−=−，可得1k ≥−.又二次函数2()2f x x kx =+−的对称轴为122k x =−≤，所以()f x 在5[2,]2上单调递增，所以min max 5517()(2)22,()()224f x f k f x f k ==+==+，要使以123(),(),()f x f x f x 为长度的线段能围成三角形，只需三个值中两较小值的和大于最大值，即5172(22)24k k +>+，解得1.6k > 17.【答案】（1）{|15}UA x x x =≤−>或；（2）50,4⎛⎤⎥⎝⎦. 【解析】（1）依题意化简得{|15}A x x =−<≤， ..........3分又全集U =R ,所以{|15}UA x x x =≤−>或. .....................5分（2）因为{|4,0}B x a x a a =≤≤>，B A ⊆，所以145a a >−≤且， ...................................................8分 解得514a −<≤， 又0a >，所以a 的取值范围是50,4⎛⎤⎥⎝⎦. .................10分18.【答案】（1）(,2][3,)−∞−+∞；（2）[4,53].【解析】（1）因为()f x 在(,]a −∞−上递减，在[,)a −+∞上递增，.........................2分所以()f x 要在[3,2]−单调需满足32a a −≤−−≥或， ..................5分 解得a 的取值范围是(,2][3,)−∞−+∞. .........................................6分 （2）由()f x 是偶函数得0a =，所以2()4f x x =+， ...................8分 所以2()(1)4[4,6]g x x x =++∈−，， .......................................9分 所以()g x 在[4,1]−−上递减，在(1,6]−上递增， ..................................10分 又(1)4(6)53,(4)13g g g −==−=，，所以()g x 值域是[4,53]. ........................................................12分19.【答案】证明见解析【解析】（1）222(1)a b a b +−+−22(21)(21)a a b b =−++−+22(1)(1)0a b =−+−≥，...............4分当且仅当1a b ==时等号成立， .....................................................5分 所以222(1)a b a b +≥+−，当且仅当1a b ==时等号成立. ......6分 （2）由条件有(1)4a b ++=，且0,10a b >+>， .....................7分 又14114114(1)()(5)14141b a a b ab a b a b ++=+++=+++++1(54≥⨯+19(54)44=⨯+=， ...............................10分当且仅当141b a ab +=+，即12b a +=时等号成立，此时由3a b +=得45,33a b ==， ......................................................12分即证.20.【答案】（1）()f x 在1[,)2+∞单调递增，证明见解析；（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）1m =时，21()2xx f x −+=，()f x 在1[,)2+∞单调递增. .......................2分证明如下：记21u x x =−+，任取1212x x ≤<，则22121122(1)(1)u u x x x x −=−+−−+1212()(1)x x x x =−+−，............................4分 因为1212x x ≤<，所以12120,10x x x x −<+−>，所以1212()(1)0x x x x −+−<，即有120u u −<，所以12u u <，所以1222u u <，即12()()f x f x <，所以()f x 在1[,)2+∞上单调递增. ...................................6分（2）()f x 的值域是)+∞，即21-1222mxx +≥=，所以2112mx x −+≥且取到最小值12，所以有2min 1(1)2mx x −+=，...............8分①0m =时，不符合要求；②0m ≠时，则有0m >且41142m m−=，解得12m =，.......................................11分综上可知：12m =，即m 的取值范围是1{}2. ............................................12分21.【答案】（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130. 【解析】（1）设生产x 万箱时平均每万箱的成本为W ，则218048805485x xx W x x++==++， ...................................................................3分因为0x >，所以8085x x +≥=，当且仅当805x x=，即20x =时等号成立. ……5分所以min 84856W =+=，当20x =时取到最小值，即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元. ...............................6分 （2）设生产x 万箱时所获利润为()h x ，则21()100(4880)5h x x x x =−++，即21()5280(0)5h x x x x =−+−≥，， .........................9分即21()(130)33005h x x =−−+，所以min ()(130)3300h x h == ，............................................................................................11分 所以生产130万箱时，所获利润最大为3 300万元. ..............................12分22.【答案】（1）(5,2)(3,)−+∞；（2）当162a −>时，()min F x =；当162a −≤时，()min F x =8822a −+. 【解析】（1）由条件可知函数()f x 在R 上单调递减，且是奇函数, ...................................1分所以(0)0f =，则不等式即为211(2)(0)2x f f x −+<−， 因为()f x 在R 上单调递减， ....2分所以不等式等价为211202x x −+>−，即221502x x x +−<−，即为2215020x x x ⎧+−<⎨−>⎩或2215020x x x ⎧+−>⎨−<⎩，解得52x −<<或3x >, .........................................................4分 所以不等式的解集为(5,2)(3,)−+∞. ..........................................................5分（2）由（1）得()4f x x =−，函数()()44()22x xa F x g f x −−==+， 令42x t −=，在(,2]−∞上82t −≥，设函数()a G t t t=+， ...................6分①当0a ≤时，()aG t t t=+在8[2,)−+∞上递增， 所以8min ()(2)G t G −==8822a −+，所以函数()()()F x g f x =在(,2]−∞上的最小值为8822a −+； ...........8分②当162a −>时，()aG x t t=+≥， 所以函数()()()F x g f x =在(,2]−∞上最小值为； ③当1602a −<≤时，()aG x t t=+在8[2,)−+∞上递增，所以8min ()(2)G t G −==8822a −+，所以函数()()()F x g f x =在(,2]−∞上的最小值为8822a −+. ..........11分 综上，当162a −>时，函数()F x 在(,2]−∞上最小值为，当162a −≤时，函数()F x 在(,2]−∞上的最小值为8822a −+. ....................12分。
高等数学上册试题及参考答案3篇
高等数学上册试题及参考答案高等数学上册试题及参考答案第一篇：微积分1.已知函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$，求$f'(x)$和$f''(x)$。
参考答案：首先，根据对数函数的导数公式$[\lnf(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}$，我们可以得到$f'(x)$的计算式为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\cdot\frac{\fra c{1}{2}\cdot2x}{\sqrt{(1+x^2)}}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$ 将上式整理化简，得到：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$接下来，我们需要求$f''(x)$。
由于$f'(x)$是由$f(x)$求导得到的，因此$f''(x)$可以通过对$f'(x)$求导得到，即：$$f''(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{(1+x^2) }\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\r ight]$$通过链式法则和乘法法则，我们得到：$$f''(x)=\frac{-(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)-\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{2x}{\sqrt{(1+x^2)}}\cdot(\sqrt{ (1+x^2)}+x)^2}{(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$$将上式整理化简，得到：$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $因此，函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$的导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$分别为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $2.计算二重积分$\iint_D(x^2+y^2)*e^{-x^2-y^2}d\sigma$，其中$D$是圆域$x^2+y^2\leqslant 1$。
2024年全国新高考二卷数学真题及参考答案
2024年全国新高考二卷数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知1i z =--，则||z =().A.0B.1D.22.已知命题:R p x ∀∈，|1|1x +>；命题:0q x ∃>，3x x =.则().A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量a ，b 满足||1a = ，|2|2a b += ，且(2)b a b -⊥ ，则||b =().A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理如下表所示.根据表中数据，下列结论正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 到300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 到1000kg 之间5.已知曲线22:16(0)C x y y +=>，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为().A.221(0)164x y y +=> B.221(0)168x y y +=>C.221(0)164y x y +=> D.221(0)168y x y +=>6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为().A.12 B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为().A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
人教版六年级数学下册教材课后习题参考答案
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43+40+41+44+42≈40×5=200(人)
因为把43、41、44、42看成40计算时，都把原数看小了，
所以这5个数的和的准确值要比近似值200大，说明开会的人数比椅子数多。
因此需要加椅子。
练习十九答案
数学53参考答案
数学53参考答案数学53参考答案数学是一门抽象而又具有逻辑性的学科，它贯穿于我们生活的方方面面。
无论是在学校还是在社会中，数学都扮演着重要的角色。
而对于学生来说，数学考试更是一个不可避免的挑战。
因此，有一个可靠的参考答案对于他们来说至关重要。
在这篇文章中，我将为大家提供数学53参考答案，希望能对你的学习有所帮助。
第一部分：代数与函数1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。
解：将x = 4代入函数f(x)中，得到f(4) = 2(4) + 3 = 11。
2. 解方程2x + 5 = 13。
解：首先将方程化简为2x = 13 - 5 = 8，然后除以2得到x = 4。
3. 求方程x^2 - 4x + 4 = 0的解。
解：这是一个完全平方的方程，可以写成(x - 2)^2 = 0。
因此，方程的解为x = 2。
第二部分：几何与三角学1. 已知直角三角形的直角边分别为3和4，求斜边的长度。
解：根据勾股定理，斜边的长度为√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。
2. 已知正方形的边长为a，求正方形的对角线长度。
解：根据勾股定理，对角线的长度为√(a^2 + a^2) = √(2a^2) = a√2。
3. 已知正方形的对角线长度为10，求正方形的面积。
解：设正方形的边长为a，则根据勾股定理，a^2 + a^2 = 10^2，化简得到2a^2 = 100，进一步得到a^2 = 50。
因此，正方形的面积为a^2 = 50。
第三部分：概率与统计1. 一枚硬币抛掷3次，求出现正面的次数为2次的概率。
解：在每次抛掷中，硬币出现正面的概率为1/2。
根据二项式分布的公式，求出现正面2次的概率为C(3, 2) * (1/2)^2 * (1/2)^1 = 3/8。
2. 一副扑克牌中有52张牌，其中红桃牌有13张。
从中随机抽取5张牌，求其中至少有1张红桃牌的概率。
解：首先计算没有红桃牌的情况，即从39张非红桃牌中抽取5张的概率为C(39, 5) / C(52, 5)。
2024年高考数学真题(新高考Ⅰ卷)含参考答案
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学（包含参考答案）（适用地区：山东、湖北、江苏、浙江、河北、河南、湖南、广东、福建、安徽、江西）本试卷共10页，19小题，满分150分。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f < D.(20)10000f <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差2s =X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2N x s，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A .(2)0.2P X >> B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e xy x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案一、选择题（单选）：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
四年级上册数学书参考答案
四年级上册数学书参考答案一、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C二、1.B 2.A 3.C 4.B 5.A三、1.B 2.A 3.C 4.A 5.B四、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C五、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B六、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C七、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B八、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C九、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B十、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C十一、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 十二、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 十三、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 十四、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 十五、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 十六、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 十七、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 十八、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 十九、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 二十、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 二十一、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B二十三、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 二十四、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 二十五、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 二十六、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 二十七、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 二十八、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 二十九、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 三十、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 三十一、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 三十二、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C三十四、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 三十五、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 三十六、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 三十七、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 三十八、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 三十九、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 四十、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 四十一、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 四十二、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 四十三、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B四十五、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 四十六、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 四十七、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 四十八、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 四十九、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 五十、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 五十一、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 五十二、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 五十三、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 五十四、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C五十六、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 五十七、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 五十八、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 五十九、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 六十、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 六十一、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 六十二、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 六十三、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 六十四、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 六十五、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B六十七、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 六十八、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 六十九、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 七十、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 七十一、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 七十二、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 七十三、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 七十四、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 七十五、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 七十六、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C七十八、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 七十九、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 八十、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 八十一、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 八十二、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 八十三、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 八十四、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 八十五、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 八十六、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 八十七、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B八十九、1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 九十、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 九十一、1。
人教版五年级数学上册教材习题部分参考答案
教材2页“板一做"L5x +.6=23(jj)2.6.4 x 6=猛4(元)40>3S.4够教材3页“做一魅"1.282,812512,5I 13.8I3S.013.30136.003. S6.B27.612,3165.B9练习一L6.0252.853Z67,63一每天走“一3x4-5.2(fan)一周走x 5=26(kin)5.033x 4=1.32(km )教材5^*W-W"2.0114.885.7780.27教材6页“橄一惟”I,17.020.720.020300084 救材7页“徵一撇” 3.2K 2.5=0.8x 改为82.6x1.08=2.70S x 改为2.S0S 练习二 1.41.40.14826.50.011486.020.2341L610.0033 2.21x 2.7二5&70(元) 1.60x7.5=12.09(元) 7.20x 72=51.84(元) 4. 0.85x J4-11耳(元) 5. 30x L28=38.4(77千米) 6. 14310.0464740 15210.0090.010B 7. ]50K JK.7=2K05(t} 25.9x32=82.88(m) S,1.46x 3.5=5.11(m) 5.11-1.46■3.65(DL ) 9一3.2x 6.25—20(cm 3)4”5x4.5=20.25(cm 3) 423x 5.9=24,957(cm 1)II705x 6.4=451.2(千米)人教版五年级数学上册教材习题部分参考答案14.25.35-(6.5)x (3.9>-(0.65)x (39)2.535=(6,5)x(0,39}=(0.65)x(3.9)(答案不唯一)思爭题先装満小水桶.再倒入大水桶，连绫再做两次.小水珮剩1焜水■将大水郴的水倒掉黑小水桶的1kg 水倒入大水欄中*再装満小水桶，将小水柚的4k£水倒AA T K 桶中*就得到5k 呂水。
数学的奥秘：本质与思考--参考答案
数学的奥秘：本质与思考--参考答案什么可以解决相对论和量子力学之间矛盾？（）•A、质子理论•B、中子理论•C、夸克理论•D、弦理论我的答案：D得分：25.0分2弦理论认为宇宙是几维的？（）•A、4•B、3•C、11•D、10我的答案：C得分：25.0分数学是素质教育中最重要的载体。
（）我的答案：√得分：25.0分4天王星被称为“笔尖上发现的行星”。
（）我的答案：√得分：0.0分1美国哪位总统喜欢通过学习几何学来训练自己的推理和表达能力？（）•A、华盛顿•B、罗斯福•C、林肯•D、布什我的答案：C得分：25.0分下列哪个是孪生数对?（）•A、（17，19）•B、（11，17）•C、（11，19）•D、（7，9）我的答案：A得分：25.0分3谁写了《几何原本杂论》？（）•A、杨辉•B、徐光启•C、祖冲之•D、张丘我的答案：B得分：25.0分仅存在有限对孪生的素数。
（）我的答案：×得分：25.0分1偶数和正整数哪个多？（）•A、偶数多•B、正整数多•C、一样多•D、无法确定我的答案：C得分：25.0分2以下哪个汉字可以一笔不重复的写出？（）•A、日•B、田•C、甲•D、木我的答案：A得分：25.0分3数学的抽象能力是数学学习的最重要的目的。
（）我的答案：√得分：25.0分4高斯解决了著名的七桥问题（）。
我的答案：×得分：25.0分1下面哪个人物用穷竭法证明了圆的面积与圆的直径的平方成正比？（）•A、刘徽•B、欧多克索斯•C、欧几里得•D、阿基米德我的答案：C得分：0.0分2以下什么成果是阿基米德首先得到的？（）•A、圆周率的值•B、圆的面积与圆的直径的平方成正比•C、抛物线弓形的面积•D、穷竭法我的答案：C得分：25.0分3穷竭法的思想源于欧多克索斯。
（）我的答案：√得分：25.0分4欧多克索斯完全解决了圆的面积的求法。
（）我的答案：×得分：25.0分1抛物线在处的斜率是多是？（）•A、1•B、2•C、3•D、不确定我的答案：B得分：33.3分2圆的面积，曲线切线的斜率，非均匀运动的速度，这些问题都可归结为和式的极限。
2023考研数学一真题及参考答案-完整版
（1）函数1ln(e )1y x x 的渐近线为（）（A ）e y x .（B ）1e y x .（C ）y x .（D ）1ey x .【答案】（B ）.（2）若微分方程0y ay by 的解在(,) 有界，则（）（A ）0,0a b （B ）0,0a b （C ）0,0a b （D ）0,0a b 【答案】（C ）.（3）确定，则（）.（A ）连续，但不存在（B ）存在，但不连续（C ）连续，但不存在（D ）存在，但不连续【答案】（C ）.（4）已知n n a b (1,2,)n ，若级数1nn a与1nn b均收敛，则1nn a绝对收敛是1nn b绝对收敛的（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分（D ）既不充分也不必要【答案】（A ）.（5）已知n 阶矩阵,,A B C 满足0ABC =E 为n 阶单位矩阵，记矩阵A BCE ， 0AB C E ，0E AB AB 的秩分别为123,,r r r ，则（A ）123r r r （B ）132r r r （C ）312r r r （D ）213r r r 【答案】（B ）.（6）下列矩阵中不能相似于对角阵的是（）（A ）11022003a .（B ）1112003a a .（C ）11020002a .（D ）11022002a.【答案】（D ）.（7）121212212,1,5,03191若 既可由12, 线性表示，也可由12 线性表示，则（A）3,4k k R（B）35,10k k R（C）11,2k k R（D）15,8k k R【答案】D（8）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则 =E X EX（A）1e（B）12（C）2e（D）1【答案】（C）（9）为总体的简单随机样本,为总体的简单随机样本，且两样本相互独立.，，则（A）2122(,)S F n mS（B）2122(1,1)S F n mS（C）21222(,)S F n mS（D）21222(1,1)S F n mS【答案】（D）（10）设12,X X为总体2(,)N 的样本，0为未知参数，若12ˆ||a X X为 的无偏估计，则a （）（A）2（B）22（C（D（11）当0x 时，函数2()ln(1)f x ax bx x 与2()cos x g x e x 是等价无穷小，则ab.【答案】2 .（12）曲面222ln 1z x y x y 在 0,0,0处的切平面方程为_______.【答案】20x y z （13）函数()f x 是周期为2的周期函数，且()1,[0,1]f x x x ，若01()cos π2n n a f x a n x，则21n n a.【答案】0.（14）连续函数()f x 满足20(2)(),()d 0,f x f x x f x x 则31()d f x x _______【答案】12（15）向量123(1,0,1,1),(1,1,0,1),(0,1,1,1) ，(1,1,1,1) ，112233k k k ，若T T i i（1,2,3i），则222123k k k【答案】119（16）设随机变量X 与Y 相互独立，且1(1,)3X B ，1(2,2Y B ，则P X Y .【答案】13【解析】由题意可知(,)X Y 联合分布律为：从而 0,01,13P X Y P X Y P X Y 。
人教版六年级数学下册教材课后习题参考答案
人教版六年级下册数学书答案第4页做一做答案
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练习一答案
第8页做一做答案第9页做一做答案第10页做一做答案第11页做一做答案第12页做一做答案练习二答案
第18页做一做答案第19页做一做答案
练习三答案
第21页做一做答案第22页做一做答案
练习四答案
第25页做一做答案第26页做一做答案
第27页做一做答案练习五答案
第32页做一做答案第34页做一做答案练习六答案
第37页整理和复习答案
练习七答案
第40页做一做答案第41页做一做答案
第42页做一做答案练习八答案
第46页做一做答案
第48页做一做答案练习九答案
第53页做一做答案第54页做一做答案
第55页做一做答案练习十答案
第60页做一做答案第62页做一做答案
练习十一答案
43+40+41+44+42≈40×5=200(人)
因为把43、41、44、42看成40计算时，都把原数看小了，
所以这5个数的和的准确值要比近似值200大，说明开会的人数比椅子数
多。
因此需要加椅子。
练习十九答案。
六年级数学书参考答案
六年级数学书参考答案六年级数学书参考答案数学是一门需要理解和掌握的学科，而对于六年级的学生来说，数学知识的学习也变得更加复杂和抽象。
为了帮助同学们更好地理解和应用数学知识，我们提供了一份六年级数学书的参考答案，供同学们参考和对照。
第一章：整数整数是数学中最基础的概念之一，也是我们日常生活中经常接触到的数字。
在这一章节中，我们学习了整数的加减法、乘除法以及整数的应用。
下面是一些例题的参考答案：1. 计算：-5 + 3 = -22. 计算：(-8) - (-3) = -53. 计算：4 × (-2) = -84. 计算：-12 ÷ 4 = -3第二章：分数分数是指一个整体被平均分为若干等份，而每份的大小就是分数。
在这一章节中，我们学习了分数的加减法、乘除法以及分数的应用。
下面是一些例题的参考答案：1. 计算：1/2 + 1/3 = 5/62. 计算：3/4 - 1/5 = 11/203. 计算：2/3 × 4/5 = 8/154. 计算：5/6 ÷ 2/3 = 5/4第三章：小数小数是指一个整体被分成若干等份，而每份的大小是整数的一部分。
在这一章节中，我们学习了小数的加减法、乘除法以及小数的应用。
下面是一些例题的参考答案：1. 计算：0.4 + 0.3 = 0.72. 计算：0.8 - 0.2 = 0.63. 计算：0.5 × 0.6 = 0.34. 计算：0.9 ÷ 0.3 = 3第四章：图形的认识图形是我们生活中无处不在的，通过学习图形的认识，我们可以更好地理解和应用几何知识。
在这一章节中，我们学习了各种常见图形的性质和计算方法。
下面是一些例题的参考答案：1. 正方形的周长计算公式为：4 × 边长2. 长方形的面积计算公式为：长× 宽3. 三角形的面积计算公式为：底× 高÷ 24. 圆的周长计算公式为：2 × π × 半径第五章：数据的收集和整理数据的收集和整理是数学中的一项重要技能，通过学习这一章节的知识，我们可以更好地理解和应用统计学的方法。
小学数学教材参考答案六上练习十五
练习十五计算下面各圆的周长和面积。
（1）直径=10cm （2）半径=3cmC=3.14×10=31.4cm C=2×3.14×3=18.84cmr=10÷2=5cm S=3.14×32 =28.26 cm2S=3.14×52 =78.5 cm2公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10 m，它能喷灌的面积是多少?3.14×102 =314 m2小刚量得一棵树的树干横截面的周长是125.6 cm。
树干的横截面近似于圆，它的面积大约是多少?r=125.6÷3.14÷2=20cmS=3.14×202 =1256 cm2一块环形的玉璧，外直径为18 cm，内直径为7cm。
这块玉璧的面积是多少?R=18÷2=9cm r=7÷2=3.5cmS=3.17×92-3.14×3.52=254.34-38.465=215.875 cm2右图中的大圆半径等于小圆的直径，请你求出涂色部分的面积。
r=6÷2=3cmS=3.14×62-3.14×32 =113.04-28.26=84.78 cm2计算下面左边图形的周长和右边圆环的面积。
C=(3.14×12+3.14×8)÷2+(12-8)=66.8cm S=3.14×122-3.14×82 =251.2 cm2生活中的数学。
（知识了解）古代的铜钱外面的圆形，中间是正方形，一枚铜钱的直径为28mm，中间正方形的边长为6mm。
这枚铜钱的面积是多少?r=28÷2=14mmS=3.14×142 -6×6=615.44-36=579.44 mm2一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。
这个运动场的周长是多少米?面积是多少平方米?C=100×2+2×3.14×32=200+200.96=400.96m;S=100×32×2+3.14×322=6400+3215.36=9615.36m2右图中的花瓣状门洞的边是由4个直径都是1m的半圆组成的。
人教A版数学课本优质习题总结训练——必修一参考答案
人教A 版数学课本优质习题总结训练——必修一参考答案：1．223,0123()233,1223,2t t f t t t t t ⎧<⎪⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪>⎪⎪⎩，函数图象见解析；【分析】在求()f t 的解析式时，关键是要根据图象，对t 的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象．【详解】解：(1)当01t <时，如图，设直线x t =与OAB 分别交于C 、D 两点，则||OC t =，又3CD BCOC OE==，∴||3CD t =，∴2113()||||3222f t OC CD t t t=⋅=⋅⋅=(2)当12t <时，如图，设直线x t =与OAB 分别交于M 、N 两点，则||2AN t =-，又||||33||||1MN BE AN AE ===，∴||3(2)MN t =-，∴221133()23||||3(2)2332222f t AN MN t t t =⋅⋅-⋅⋅=--=-+-(3)当2t >时，()3f t =，综上所述223,0123()233,1223,2t t f t t t t t ⎧<⎪⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪>⎪⎪⎩2．(1)3150(0)y x x =-+>(2)232404500(0)P x x x =-+->，销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元【分析】(1)猜想y 与x 是一次函数关系，设(0)y ax b a =+≠，代入数据计算得到答案.(2)232404500(0)P x x x =-+->，根据二次函数的单调性得到最值.【详解】(1)如图，猜想y 与x 是一次函数关系，设(0)y ax b a =+≠.将(30,60),(40,30)代入得60303040a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得3150a b =-⎧⎨=⎩.∴y 与x 的一次函数解析式为3150(0)y x x =-+>.(2)2(3150)(30)32404500(0)P x x x x x =-+-=-+->，当240402(3)x =-=⨯-时，max 300P =.∴销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元.【点睛】本题考查了求函数解析式，函数图像，函数的最值，意在考查学生对于函数知识的应用能力.3．(1)3；(2)73.【解析】(1)根据指数幂运算法则将原式转化为321010mn ÷即可求值；(2)利用立方和公式化简因式分解再求值.【详解】(1)原式()3332221010103233mnm =÷=÷=÷=；(2)原式()()22xx x x x xx xaa a a a a a a ----+-+=+221xx aa -=-+173133=-+=.【点睛】此题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解.4．(1)7；(2)47.【解析】(1)对等式11223a a -+=两边同时平方即可得解；(2)根据(1)对17a a -+=两边同时平方即可得解.【详解】(1)11223a a -+= ，∴两边平方得129a a -++=.17a a -∴+=.(2)由(1)知17a a -+=，两边平方得2222249,47a a a a --++=∴+=.【点睛】此题考查与指数幂运算相关的化简求值，关键在于找准关系，准确化简代换求值.5．(1)见解析；(2)是，没有.【解析】(1)利用计算器依次计算求值；(2)根据(1)的计算结果分析，11nn骣琪+琪桫越来越大，没有最大值.【详解】(1)12331191412;1 2.25;1 2.370412433⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+=≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；1010010100111 1.125937;1 1.012.704810100⎛⎫⎛⎫+=≈+=≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；100010011 1.001 2.71691000⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭；100001000011 1.0001 2.718110000⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭；10000010000011 1.00001 2.7183100000⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭.(2)由(1)知，当n 越来越大时，11nn骣琪+琪桫的值也会越来越大，但没有最大值.【点睛】此题考查利用计算机计算指数幂的值，根据指数幂的大小关系分析代数式的变化趋势，和最值的情况，体现了根据有限的事实与类比无限的思想.6．(1)||2122x y ⎛⎫=- ⎪⎭+⎝，图象见解析；(2)()f x 为偶函数，()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数.【分析】(1)由函数图象过原点可得0a b +=，又由图象无限接近直线2y =可得2b =，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象；(2)利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得()122,02122,02xxx f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，根据单调性的性质即可求得函数的单调性．【详解】解：(1)由题意知，0,2a b b +==，2a ∴=-，()||1222x f x ⎛⎫∴=- ⎪⎝+⎭，∴()122,02122,02xxx f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，图象如图：(2)∵||1()222x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴1()222xf x -⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭122()2xf x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()f x ∴为偶函数，又()122,02122,02xxx f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，∴()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数．【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题．7．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可．【详解】解:11log 1log log 22aa a a <⇔< ，当1a >时1log log 2a a a <成立；②当01a <<时，解得102a <<．又011110222aaa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇔<⇔> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，121101a a <⇔<⇔≤<，∴a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．8．(1)0.20.30.4log 6log 6log 6>>(2)234log 3log 4log 5>>【解析】(1)利用换底公式分析即可.(2)分别两两作差,根据基本不等式分析作差后的正负再判定即可.【详解】解:(1)因为0.20.30.4lg 6lg 6log 66,log 6lg 0.3lg 0.4===,lg 60>，且lg 0.2lg 0.3lg 0.40<<<,故0.20.30.4log 6log 6log 6>>(2)223lg 3lg 4(lg 3)lg 2lg 4log 3log 4lg 2lg 3lg 2lg 3--=-= 222222lg 2lg 4lg8lg 9(lg 3)(lg 3)(lg 3)2220lg 2lg 3lg 2lg 3lg 2lg 3+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>=>=,23log 3log 4∴>同理可证35234log 4log 5,log 3log 4log 5>∴>>.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性以及作差比较大小的问题,属于中档题.9．π6α=，π4β=【分析】由①易知：tantan 2tan 21tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-tan tan 32αβ+=tantan 22αβ⋅=与α为锐角，则可求出tan22α=，tan 1β=，即可得出答案.【详解】存在.由①得π23αβ+=，∴tantan 2tan 21tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-将②代入上式得tan tan 32αβ+=，因此，tan 2α，tan β是方程(2320x x -+=的两根，解得11x =，22x =当tan12α=时，∵π02α<<，∴π024α<<，此时α不存在，故tan22α=-tan 1β=，所以22tan2tan 31tan 2ααα==-，∵α，β均为锐角，∴π6α=，π4β=.10．(1)周期为2π，单调递增区间为75,,248248k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)值为【解析】(1)利用诱导公式、辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和单调性求解即可；(2)利用辅助角公式直接求解即可.【详解】解：(1)()sin 4sin 4sin 4cos 433233f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦443412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭⎝⎭，最小正周期为242ππ=；由242,2122k x k k Z πππππ-+++∈，得75,248248k k x k Z ππππ-+∈，∴单调递增区间为75,,248248k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)()sin cos )f x a x b x x ϕ=+=+，其中cos ϕϕ==()f x ∴【点睛】本题考查了用辅助角公式求解正弦型函数的最小正周期、单调区间和最值，考查了数学运算能力.11．证明见解析【分析】取线段AB 的中点M ，求出它的坐标，再利用圆的几何性质和锐角三角函数中正弦的定义和余弦的定义证明即可.【详解】证明：线段AB 的中点M 的坐标为11(cos cos ),(sin sin )22αβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.过点M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，如图，则111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA 中，coscos22OM OA βααβ--==.在1Rt OM M 中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=.11sin sincos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=于是有1(cos cos )cos cos 222αβαβαβ+-+=，1(sin sin )sin cos 222αβαβαβ+-+=.【点睛】本题考查了利用单位圆、锐角三角函数中正弦的定义、余弦的定义证明三角恒等式，考查了数形结合思想.12．猜想，当2,x k k +=∈N 时，11()12k f α-≤≤.【解析】根据同角三角函数的平方关系，二倍角的正弦公式，分别求出当2,4,6x =时，()f α的取值范围，然后猜想出x 取一般值时()f α的取值范围.【详解】解：当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，()244222221()sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f αααααααα=+=+-=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，()()36622222223()sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1sin 24f αααααααααα=+=+-+=-，此时有1()14f α，由此猜想，当2,x k k +=∈N 时，11()12k f α-≤≤.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了正弦的二倍角的公式，考查了正弦函数的值域，运用代数式的恒等变形是解题的关键.13．(1)证明见解析；(3)2(4)【解析】分别根据两角和的正切公式即求出或证明．【详解】(1)证明：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=- tan tan tan()(1tan tan )tan()tan tan tan()αβαβαβαβαβαβ∴+=+-=+-+=右边，tan tan tan()tan tan tan()αβαβαβαβ∴+=+-+(2)解：()tan 20tan 40tan 60tan 20401tan 20tan 40︒︒︒︒︒︒︒+=+==-tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒∴+=tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒∴+=(3)解：tan tan 3tan()tan 11tan tan 4αβπαβαβ++===-- tan tan tan tan 10αβαβ∴+-+=()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan 2αβαβαβ∴--=-++=.(4)解：tan120tan 60=-︒=tan 20tan 40tan(2040)(1tan 20tan 40)tan 60(1tan 20tan 40)20tan 40︒+︒=︒+︒-︒︒=︒-︒︒=︒︒∴tan 20tan 40tan120tan 20tan 40︒+︒+︒=-︒︒【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了运算求解能力和转化与划归思想，属于中档题．15．(1)4；(2)-1(3)-1；(4)1【解析】(1)利用辅助角公式及二倍角公式计算可得；(2)利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；(3)利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；(4)利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；【详解】解：(1)原式=14cos1022sin10cos10︒︒︒︒⎛⎫-⎪⎝⎭=()4sin 30cos10cos30sin102sin10cos10︒︒︒︒︒︒-=()4sin 30104sin 20︒︒︒-==；(2)原式sin10sin 40cos10︒︒︒⎛=- ⎝sin 40︒=12sin102sin 40cos10︒︒︒︒⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅()2cos 30cos10sin 30sin10sin 40cos10︒︒︒︒︒︒--=⋅2sin 40cos 40cos10︒︒︒-=sin 80cos10︒︒-=()sin 9010cos101cos10cos10︒︒︒︒︒-=--==-(3)原式20tan 70cos101cos 20︒︒︒︒⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭20cos 20tan 70cos10cos 20︒︒︒︒︒-=1220202tan 70cos10cos 20︒︒︒︒︒⎫-⎪⎝⎭⋅=()o co 2sin 3020cos30sin 20tan 70cos10c s 20s ︒︒︒︒︒︒︒--⋅=()2sin 3020tan 70cos10cos 20︒︒︒︒︒--⋅=sin 702sin10cos10cos70cos 20︒︒︒︒︒-=⋅⋅()()sin 702cos10sin10cos 900cos 90270︒︒︒︒︒︒︒-⋅--=sin 201sin 20︒︒-=-(4)原式sin 501cos10︒︒︒⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭sin 50︒=12cos102sin 50cos10︒︒︒︒⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅()2cos 60cos10sin 60sin10sin 50cos10︒︒︒︒︒︒+=⋅2cos50sin 50cos10︒︒︒=⋅sin100cos10︒︒=()sin 90cos1010︒︒︒+=cos101cos10︒︒==【点睛】此题考查了二倍角的正弦公式，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．15．(1)95；(2)2425；(3)3±；(4)1725【解析】(1)由3cos 5θ=-，利用同角的三角函数关系求出sin θ，再计算2sin cos 22θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)由1sincos225αα-=，两边平方利用二倍角正弦公式求出sin α的值；(3)由445sin cos 9+=θθ，根据平方公式和二倍角公式求出sin 2θ的值；(4)由3cos 25θ=，利用平方关系结合题意求得44sin cos θθ+的值．【详解】解：(1)由3cos 5θ=-，32ππθ<<，得4sin 5θ==-，所以22249sin cos sin 2sin cos cos 1sin 122222255θθθθθθθ⎛⎫-=-+=-=+= ⎪⎝⎭；(2)由1sincos225αα-=，所以2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 22222225ααααααα⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭，解得24sin 25α=；(3)由445sin cos 9+=θθ，得2224422251(sin cos )sin cos 2sin cos sin 2192θθθθθθθ+=++=+=，解得28sin 29θ=，则sin 23θ=±；(4)由3cos 25θ=，得：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-211sin 22θ=-()2111cos 22θ=--21131225⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭1725=．【点睛】本题考查了三角函数的求值与应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，属于中档题．16．(1)12；(2)5972-【分析】(1)利用两角和与差的余弦函数公式化简可求1sin sin ,52cos cos ,5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩进而根据同角三角函数基本关系式化简即可求解．(2)将两边同时平方，再相加即可得解；【详解】解：(1) 13cos(),cos()55αβαβ+=-=，∴1cos()cos cos sin sin ,53cos()cos cos sin sin ,5αβαβαβαβαβαβ⎧+=-=⎪⎪⎨⎪-=+=⎪⎩∴1sin sin ,52cos cos ,5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴1tan tan 2αβ= ．(2)因为1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，所以()21cos cos 4αβ+=，()291sin sin αβ+=，上述两式相加得222211cos 2cos cos cos sin 2sin sin sin 94ααββααββ+++++=+即()1322cos 36αβ+-=解得()59cos 72α-=-17．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析；(4)证明见解析【解析】(1)利用二倍角公式即可证明；(2)利用二倍角正弦公式及商数关系即可证明；(3)利用两角和的正弦公式化简证明；(4)利用二倍角余弦公式及完全平方公式化简证明；【详解】证明：(1)左边22cos 214cos 23αα=-++()()222242cos 22cos 212(cos 21)22cos 8cos ααααα=++=+===右边(2)左边2222sin cos 2sin cos (sin cos )sin cos 11tan 2cos 2sin cos 2cos (cos sin )2cos 22αααααααααααααααα++++===+=++右边.(3)左边sin(2)2cos()sin sin αβαβαα+-+=sin[()]2cos()sin sin αβααβαα++-+=sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边(4)左边()()22222cos 22cos 2134cos 22cos 2134cos 22cos 212cos 22cos 21A A A A A A A A -+-+-==++-++()()22242222sin (1cos 2)tan (1cos 2)2cos A A A A A -====+右边.【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，三角恒等变换公式是的灵活应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．50.【分析】依题意可得0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4sin 5α=，3cos 5α=.然后可得sin 2α，cos2α，进而可得sin 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】将1sin cos 5αα-=平方得112sin cos 25αα-=，所以242sin cos 25αα=，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以22449(sin cos )12sin cos 12525αααα+=+=+=，从而7sin cos 5αα+=.联立1sin cos 57sin cos 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得sin 53cos 5αα⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以24sin 22sin cos 25ααα==，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故)247sin 2sin 2cos 2422252550πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.19．证明见解析【解析】由22sin cos 1θθ+=，得到2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+，把已知两等式代入，整理即可得证．【详解】证明：22sin cos 1θθ+= ，2(sin cos )12sin cos θθθθ∴+=+，把sin cos 2sin θθα+=，2sin cos sin θθβ= 代入得：224sin 12sin αβ=+，即224(1cos )12(1cos )αβ-=+-，整理得：224cos 12cos αβ=+．224cos 212cos αβ-=-+．2cos 2cos 2αβ=，两边平方可得：224cos 2cos 2αβ=．【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．20．(1)T π=，(2)38x π⎧⎫∈⎨⎩⎭，时()min f x =【分析】(1)先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；(2)由x 的范围先求出24x π+的范围，结合余弦函数的性质即可求解．【详解】解：(1)44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，4x π=+，故()f x 的最小正周期T π=；(2)由[0,2x π∈可得2[44x ππ+∈，54π，当得24x ππ+=即38x π=时，函数取得最小值．所以38x π⎧⎫∈⎨⎩⎭，时()min f x =21．tan()1,4παβαβ+=∴+=4PCQ π∴∠=【详解】试题分析：分析设出角,,PCB QCD αβ∠=∠=，然后借助于正方形的性质得到tan tan αβ+=结合内角和为直角，间接法得到tan tan 1tan tan αβαβ∴+=-⋅进而表示所求的角的大小．设,,PCB QCD αβ∠=∠=则tan ,tan PB DQ αβ==,则1tan ,1tan AP AQ αβ=-=-21tan 1tan PQ αβ=∴=-+-tan tan tan tan αβαβαβ+=∴+=-⋅即tan()1,4παβαβ+=∴+=4PCQ π∴∠=考点：本题主要是考查运用三就爱哦函数表示边长，进而结合两角和差的关系式得到结论．点评：解决该试题的关键是能根据边表示出,,PCB QCD αβ∠=∠=的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．。
数学基训参考答案
数学基训参考答案数学基训参考答案数学基训是一项旨在提高学生数学能力的培训课程。
它涵盖了数学的各个领域，包括代数、几何、概率和统计等。
在这篇文章中，我们将给出一些数学基训的参考答案，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
一、代数1. 解方程：例题：解方程2x + 5 = 15。
答案：首先，我们将方程转化为2x = 15 - 5，得到2x = 10。
然后，我们将方程进一步简化为x = 10 ÷ 2，得到x = 5。
2. 因式分解：例题：因式分解x² + 4x + 4。
答案：根据因式分解公式，我们可以将x² + 4x + 4分解为(x + 2)²。
3. 求根：例题：求方程x² - 5x + 6 = 0的根。
答案：我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a来解这个方程。
代入a = 1，b = -5，c = 6，得到x = 3和x = 2。
二、几何1. 直角三角形：例题：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度为√(3² + 4²)，计算得到斜边长度为5。
2. 面积计算：例题：计算一个半径为5的圆的面积。
答案：圆的面积公式为πr²，代入半径r = 5，得到面积为25π。
三、概率和统计1. 概率计算：例题：从一副扑克牌中抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
答案：一副扑克牌中有52张牌，其中有13张红心牌。
因此，抽到红心牌的概率为13/52，即1/4。
2. 平均值计算：例题：有一组数据：2, 4, 6, 8, 10，求平均值。
答案：将这组数据相加得到30，然后除以数据的个数5，得到平均值6。
3. 方差计算：例题：有一组数据：2, 4, 6, 8, 10，求方差。
答案：首先计算平均值为6，然后计算每个数据与平均值的差的平方，得到4, 0, 4, 4, 4。
数学小练参考答案
数学小练参考答案数学小练参考答案数学是一门需要不断练习的学科，通过做题来巩固知识点和提高解题能力是非常重要的。
然而，有时候我们可能会遇到一些难题，无法得到正确的答案。
为了帮助大家更好地理解和掌握数学知识，下面给出一些数学小练的参考答案。
一、代数1. 解方程：求解方程2x + 5 = 15，将常数项移到等号右边，得到2x = 10，再将系数移到等号右边，得到x = 5。
所以方程的解为x = 5。
2. 因式分解：将多项式x^2 + 5x + 6进行因式分解，可以得到(x + 2)(x + 3)。
3. 展开式：将(x + 2)(x + 3)进行展开，得到x^2 + 5x + 6。
二、几何1. 计算面积：计算一个半径为5的圆的面积，可以使用公式S = πr^2，其中π取近似值3.14，半径r为5。
代入公式计算得到S = 3.14 * 5^2 = 78.5。
所以圆的面积为78.5平方单位。
2. 计算周长：计算一个正方形的周长，可以使用公式P = 4s，其中s为正方形的边长。
假设正方形的边长为6，代入公式计算得到P = 4 * 6 = 24。
所以正方形的周长为24单位长度。
三、概率与统计1. 计算概率：计算从一副扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红心的概率。
一副扑克牌中有52张牌，其中有13张红心。
所以红心的概率为13/52 = 1/4。
2. 统计数据：某班级有30名学生，他们的身高数据如下：150cm、155cm、160cm、165cm、170cm等。
计算这些数据的平均值，将所有数据相加得到总和，然后除以数据的个数，即(150+155+160+165+170+...) / 30。
这样就可以得到平均身高。
四、数列与级数1. 计算等差数列：计算等差数列1，4，7，10，13的第10项。
根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
代入数据计算得到a10 = 1 + (10-1)3 = 28。
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初一数学参考答案
说明：
1、答案若有问题，请阅卷老师自行修正．
2、各解答题只提供其中一种解法的评分标准，若出现不同的解法可参照各题的解法评分标准给分．
一、选择题（每小题3分，共36分）
CBADC CBCAA DA
二、填空题（每小题4分，共40分）
13．＞； 14．四； 15．2； 16．
21； 17．－2； 18．1； 19．4； 20．略； 21．4.5×103； 22．()
2112+-n n ； 三、解答题（共44分）
23．（本大题6分）
原式＝－6＋4－5 ……………………4分 ＝－7． ……………………6分
24．（本大题6分）
解：52524x x -+=， ……………………2分 721x =， ……………………4分 3.x = ……………………6分
25．（本大题6分）
原式＝－b a 2
＋8． ……………………4分 当a ＝－2，b ＝2时， ……………………5分 原式＝0． ……………………6分
26．（本大题7分）
解：去分母，得122(21)3(1)x x -+=+， ……………………2分 去括号，得124233x x --=+， ……………………4分 移项，合并同类项，得77x -=-， ……………………6分 把系数化为1，得1x =． ……………………7分
27．（本大题6分）
（1）18，34； ……………………4分
（2）22. ……………………6分
28．（本大题7分）
解：（1）裁出的侧面个数为6x ＋4(19－x )＝(2x ＋76)个， ……………………1分 裁出的底面个数为5(19－x )＝(－5x ＋95)个； ……………………2分
（2）由题意得2763
x +＝5952x -+， ……………………4分 解得x ＝7， ……………………6分 当x ＝7时，∴
2763x +＝30，能做30个盒子． ……………………7分 29．（本大题6分）
解：∵数轴上A ，B ，C 三点所代表的数分别是a ，1，c ，∴|c －1|＝BC ，|a －1|＝AB ，|a －c |＝AC ． ……………………3分 ∵|c －1|－|a －1|＝|a －c |．∴BC －AB ＝AC ．（BC ＝AC ＋AB ）……………………5分 ∵c ＞1，则如图所示． ……………………6分
初二数学参考答案
说明：
1、答案若有问题，请阅卷老师自行修正．
2、各解答题只提供其中一种解法的评分标准，若出现不同的解法可参照各题的解法评分标准给分．
一、选择题（每小题3分，共36分）
CDBCC ABDBD BD
二、填空题（每小题4分，共40分）
13．2，－3； 14．四； 15．（2，5）； 16．1； 17．65； 18．6； 19．80；
20．y ＝2
3x －2； 21．10； 22．20； 三、解答题（共44分）
23．（本大题5分）
原式＝4－2－2 ………………………4分 ＝0． ………………………5分
24．计算（本大题6分）
∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠BAE ＝∠DAE －∠BAE ，……………………2分 即∠DAB ＝∠CAE ， ………………………3分 ∵AB ＝AE ，AC ＝AD ， ………………………5分 ∴△ABD ≌△AEC ． ………………………6分
25．（本大题6分）
解：（1）略； ……………………4分
（2）答案不惟一，如（0，－1），（－1，－1），（2，1）等都符合题意． ……6分
26．（本大题6分）
解：（1）如图，点D 即为所求． ………………………2分
（2）如图，△BCE 1和△BCE 2即为所求． ………………………6分
27．（本大题7分）
解：（1）把P （2，n ）代入y ＝x 得n ＝2， ……………………1分 所以P 点坐标为（2，2）， ……………………2分 把P （2，2）代入y ＝－x ＋m 得－2＋m ＝2，解得m ＝4． ……………………3分
（2）把x ＝0代入y ＝－x ＋4得y ＝4， ……………………4分 所以B 点坐标为（0，4）， ……………………5分 所以△POB 的面积＝4． ……………………7分
28．（本大题7分）
解：（1）设y ＝kx ＋b ， ………………………1分 ∴⎩⎨⎧+==,
212,24b k b ………………………3分 解得⎩
⎨⎧=-=,24,6b k ………………………4分 ∴y ＝－6x ＋24； ………………………5分
（2）当y ＝0，0＝－6x ＋24，解得x ＝4，
∴蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为4小时． ………………………7分
29．（本大题7分） 解：在Rt △ABC 中，∵AC ＝8m ，BC ＝6m ，∴AB ＝10m ．……………………1分
（1）当AB ＝AD 时，CD ＝6m ，△ABD 的周长为32m ； ……………………3分
3
初四数学参考答案
说明：
1、答案若有问题，请阅卷老师自行修正．
2、各解答题只提供其中一种解法的评分标准，若出现不同的解法可参照各题的解法评分标准给分．
一、选择题（每小题3分，共36分）CBADD CCDBC DA
二、填空题（每小题4分，共40分） 13．4； 14．2，2； 15．略； 16．3； 17．0.1；
18．＞； 19．26； 20．120，3πcm 2； 21．7tanα； 22．0；
三、解答题（共44分）
23．（本大题6分）∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽ABC ． ……………2分 ∴AB AD ＝BC
DE ． ……………3分 ∵AD ＝4，DB ＝2，∴AB ＝6． ……………5分 ∴
BC DE ＝32． ……………6分 24．（本大题6分）树状图略； ……………3分
∴P （A ，C 两个区域所涂颜色不相同）＝
84＝2
1. ……………6分 25．（本大题6分）解：在Rt △ABC 中，CD ＝6，tan A ＝23，∴AD ＝4．…………2分 ∴AD ＝AB －AD ＝8． ……………3分 ∴BC ＝10． ……………4分
∴sin B ＋cos B ＝53＋54＝5
7． ……………6分 26．（本大题6分）解：（1）四；a
ac b b x 242-±-=． ……………2分 （2）方程02422=--x x 变形，得2422=-x x ， ……………3分 124122+=+-x x ，25)1(2=-x ， ……………4分 51±=-x ， ……………5分 51±=x ，所以4-=x 或6=x ． ……………6分
27．（本大题7分）（1）图略； ……………1分
（2）图略，A （0，1），C （－3，1）； ……………4分
（3）图略，B 2（3，－5），C 2（3，－1）． ……………7分
28．（本大题6分）
解：（1）过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，则点M 为AB 的中点．∵CA ＝2，CM
AM
1． ……………1分 于是，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0）． ……………3分
（2）将（1，0），（3，0）代入2
y x bx c =++得，
22011033.b c b c ⎧=+⨯+⎪⎨=+⨯+⎪⎩， ……………4分 解得43.
b c =-⎧⎨=⎩，所以，此二次函数的解析式为243y x x =-+． ……………6分 29．（本大题7分）
解：因为函数y ＝kx ＋b 图象过点P （－23，0）和点A （－2，1），所以3-0221
k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得23k b =-⎧⎨=-⎩
，所以一次函数的解析式为y ＝－2x －3． ……………2分 又反比例函数的图象过点A （－2，1），所以
2m -＝1，所以m ＝－2，故反比例函数的解析
式为y＝
2
x
-．……………3分
（2）联立
23
2
y x
y
x
=--
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，解得1
1
2
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
2
1
2
4
x
y
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
2，……………5分
所以点B（1
2
，－4），……………6分
由图知，当－2＜x＜0或x＞1
2
时，一次函数函数值小于反比例函数函数值．…7分。