稳中求变体现创新_2015年浙江数学高考理科数列试题评析
2015年浙江省高考数学试卷(理科)解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card （A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年高考数列创新题赏析
2015年高考数列创新题赏析中南大学第一附属中学 （410083） 刘文生 （qq ：1341467906）2015年全国高考数学试题中数列创新题精彩纷呈，数列问题的创新成为高考命题的一道亮丽的风景。
数列内容基本而且重要，它是普通高中数学模块5中的一个学习内容。
通过学习，学生应了解数列的概念和几种简单的表示方法，并认识到数列是一种特殊函数；学生应理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式，并体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系；学生要能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
数列内容是每年高考必考的一个重要内容。
基本题主要考察等差数列、等比数列的概念、通项公式与前n 项和的公式及它们的一些简单性质。
但高考试题中更多的数列问题是创新题。
新颖的数列模型、新颖的设问方式、新颖的问题情境层出不穷。
数列问题的创新让人赞不绝口。
例1（2015，湖南（文））设数列{n a }的前n 项和为n S ，已知11=a ，22=a ，且2+n a =n S 3-1+n S +3，*N n ∈。
（1）证明：n n a a 32=+； （2）求n S .审题要点：①已知条件简洁，就是一个关于数列的项2+n a 与前n 项和nS的一个递推关系，可以利用11++=-n n n a S S ，n n n a S S =--1（2≥n ）或122+++-=n n n S S a 转化变形。
②求证目标是数列{n a }的奇数项形成的子数列{12-n a }和偶数项形成的子数列{n a 2}都是等比数列，并在此基础上对n 分奇偶，利用分组求和方法求得n S 2及12-n S 。
解题过程（略）评析： ①本题考查了数列的递推公式、前n 项和与通项的关系、等比数列、分组求和等相关知识，是数列知识内部综合题，难度适中。
②试题简洁，学生容易入手，优秀学生也容易走出来，整个求解过程无需费多少周折，能较好地考察学生的运算和推理能力。
2015年浙江高考数学理科解析
V = 1 Sh 3
其中 S 表示棱的底面积， h 表示棱柱的高 台体的体积公式
( ) V
= 1h 3
S1 + S2 +
S1S2
其中 S1 ，S2 分别表示台体的上、下底面积，h
表示台体的高．
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
2
2．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是
A． 8 cm2
B．12 cm2
C． 32 cm2 3
D． 40 cm3 3
【解 析】 C
图象为正四棱锥与正方体的组合体.由俯视图知：
正方体棱长为 2 ，正四棱锥底面边长 2 ，高为 2 ，
∴该几何体的体积V = 23 + 1 × 22 × 2 = 32 ．
【解析】 B
杭州学而思高考研究中心
2015 浙江高考真题
∵ a2 , a4 , a5 成等比数列，∴ (a1 + 3d )2 = (a1 + d )(a1 + 4d ) ，化简得 a1d = −5d 2 < 0 dS4 = d (4a1 + 6d ) = 4a1d + 6d 2 = −14d 2 < 0
2
4
2
8
8
∴单调递减区间：[kπ + 3π , kπ + 7π ] ， k ∈ Z
8
8
12．若 a = log4 3 ，则 2a + 2−a =
．
【解析】 4 3 3
由 a = log4 3 可知 4a = 3 ，即 2a =
年浙江省高考数学试卷(理科)解析
2015年浙江省高考数学试卷(理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共４0分20１5年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷）数学（理科）1．(5分)（2015•浙江）已知集合P=｛x|x2﹣2x≥０｝,Q={x|1<x≤2｝,则(∁R P)∩Ｑ=（) A．[0，１）Ｂ. (０,2]Ｃ. （1,2) D. [1,2]2．（5分）(2015•浙江)某几何体的三视图如图所示（单位:ｃｍ),则该几何体的体积是（)Ａ. 8cm3B．12cm3 C. D.3.(5分）(2０15•浙江)已知{a n}是等差数列，公差ｄ不为零，前n项和是S n，若a3,a4，a8成等比数列，则（)Ｂ．a1d<0,dＳ4<0 C. ａ1d＞0，dS4＜0 D. a１ｄ<０，dS4>0A．a１ｄ＞０,ｄS４＞04．（5分）(２0１5•浙江）命题“∀ｎ∈Ｎ*，f（n)∈N*且f（n)≤ｎ”的否定形式是( ）A. ∀ｎ∈N*,ｆ（n)∉N*且f(n）>n Ｂ．∀n∈N*，f(n）∉Ｎ*或f(n）＞nC. ∃ｎ∈N*，f（n0）∉N*且f(n0)>n０ D. ∃ｎ0∈Ｎ*,f（n0)∉Ｎ*或ｆ（n0)＞n００5．(5分)(201５•浙江)如图,设抛物线ｙ2=4ｘ的焦点为Ｆ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，Ｃ,其中点A,Ｂ在抛物线上，点C在y轴上,则△ＢCF与△ＡCF的面积之比是（）Ａ．B．C．Ｄ.6.(5分)(2015•浙江)设A,B是有限集，定义：ｄ(A,B）=card(A∪B)﹣caｒｄ(A∩Ｂ)，其中ｃａrd（A)表示有限集Ａ中的元素个数（）命题①:对任意有限集A,B，“Ａ≠B”是“ｄ(A,B)>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A,B，C，d（A，Ｃ）≤d（A，B）＋ｄ（Ｂ,Ｃ)A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立,命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立７.（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足,对任意x∈R都有(）A. f(siｎ2x）=siｎxB. f(siｎ2x)=x2+x C．f(x2＋１）=|x+1| D．f(x２+2x)=|x＋１|8．（5分)(2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′C Ｄ,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α,则( ）A．∠A′DＢ≤αＢ．∠A′ＤB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．(6分）（2０１5•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是. 10．(6分）（201５•浙江)已知函数f（ｘ）=,则f（ｆ（﹣3)）= ，ｆ(ｘ）的最小值是.11.(6分)（201５•浙江)函数f(ｘ）＝ｓｉｎ2x+sｉnxｃosx+１的最小正周期是，单调递减区间是．12．（４分)(2015•浙江）若a=log43,则２ａ＋2﹣ａ=．１3．(4分)（201５•浙江）如图,三棱锥A﹣ＢＣD中，AＢ＝AC=BD=CD=3，AD＝BＣ=２,点M，Ｎ分别是ＡD,ＢC的中点,则异面直线AN，CＭ所成的角的余弦值是.14．(４分）（20１5•浙江）若实数ｘ,y满足x2+y2≤1,则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3ｙ|的最小值是．15.（6分)(2０15•浙江)已知是空间单位向量,,若空间向量满足，且对于任意x,y∈Ｒ，,则x0=,y０=，|= ．三、解答题:本大题共５小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（14分)(２０１５•浙江）在△ＡBC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，ｃ,已知A=,b ２﹣ａ２=ｃ2.(1)求taｎC的值；（２）若△ＡBC的面积为３,求b的值.17．(15分)(2015•浙江）如图，在三棱柱ＡBC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°，AB=AC=2,A１A=4，A1在底面ABC的射影为ＢC的中点，D是Ｂ１C1的中点.（1）证明：A１D⊥平面A1ＢＣ；(2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．1８.（１5分）（2015•浙江)已知函数f（x)=x2+ax+ｂ(ａ,b∈Ｒ），记M（a，b)是|ｆ（x)｜在区间[﹣1，1]上的最大值.（1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2;(2）当ａ,b满足Ｍ（a，b）≤２时,求|ａ|＋|b|的最大值．19.（15分)（2０15•浙江）已知椭圆上两个不同的点A,Ｂ关于直线y=mx＋对称．(1）求实数ｍ的取值范围;（2)求△AOＢ面积的最大值（O为坐标原点)．2０.（15分）(2015•浙江)已知数列{ａn}满足a1=且a n+1＝aｎ﹣a n２(n∈N*）（1）证明：1≤≤2(n∈N＊)；（2)设数列{aｎ2}的前ｎ项和为Ｓｎ,证明(n∈N*）．ﻬ２０15年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共４0分２015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)1．(5分)考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出Ｐ中不等式的解集确定出P,求出P补集与Q的交集即可.解答:解：由P中不等式变形得:x（x﹣2)≥0,解得：x≤0或ｘ≥2,即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞)，∴∁R P=（0,2)，∵Q＝(１,２]，∴（∁R P）∩Q=(1,2),故选:C.点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.2．（5分）考点: 由三视图求面积、体积.专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据,求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥,所求几何体的体积为:2３+×2×2×2=．故选:C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法,考查计算能力．3．（5分)考点: 等差数列与等比数列的综合.专题: 等差数列与等比数列．分析:由ａ3，a4，a8成等比数列,得到首项和公差的关系，即可判断ａ1ｄ和dS4的符号．解答:解:设等差数列{a n}的首项为a1，则a3＝a1+2d,a4=a１+3ｄ，a8=a1+7d，由a3，a4，ａ８成等比数列，得，整理得:．∵d≠0,∴，∴，=<0.故选:Ｂ.点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前ｎ项和，是基础题．4．(５分）考点: 命题的否定．专题：简易逻辑.分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解:命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈Ｎ*,f(n0）∉N*或ｆ(n０)＞n０,故选：Ｄ．点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.5.(５分）考点：直线与圆锥曲线的关系.专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可.解答:解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A,B分别作ＡE⊥DE于E，交y轴于N，BＤ⊥DE于E,交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD,ＡF=AＥ，则|BM|＝|BD|﹣1=｜BＦ|﹣1,|AN｜=|AＥ｜﹣1=|AF|﹣1，则===,故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.6．(5分）考点：复合命题的真假.专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义,根据集合的运算，判断即可．解答:解:命题①:对任意有限集A,B，若“Ａ≠B”,则A∪B≠A∩B，则caｒｄ（A∪B）>card(A∩B）,故“ｄ（A，Ｂ）>0”成立，若ｄ（Ａ,B）>0”，则ｃaｒd（Ａ∪Ｂ)＞cａｒｄ(A∩B)，则A∪B≠A∩B,故A≠Ｂ成立,故命题①成立,命题②,ｄ(A,Ｂ)=cａrｄ（A∪Ｂ）﹣ｃａrd(A∩Ｂ）,d（B，C)＝caｒd(Ｂ∪Ｃ）﹣ｃaｒd（B∩C)，∴d（A,B)+ｄ（B，C）=card(A∪B）﹣card(A∩B)＋ｃaｒd（B∪C）﹣card（B∩C）＝[cａｒｄ(Ａ∪B)＋card(Ｂ∪C）]﹣［card（A∩Ｂ)+cａrd（B∩C)］≥ｃard(Ａ∪C)﹣caｒd（A∩C）＝d（Ａ，Ｃ），故命题②成立，故选:Ａ点评：本题考查了，元素和集合的关系,以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系,注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系,但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7.（5分）考点: 函数解析式的求解及常用方法.专题：函数的性质及应用．分析：利用ｘ取特殊值,通过函数的定义判断正误即可.解答:解:A．取x＝0，则siｎ2x=0，∴ｆ(0)＝0;取x=，则ｓin2ｘ=０,∴f(0）=1；∴ｆ（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f(sin2x)=sinｘ;Ｂ.取x=0，则f(0）=0；取x＝π,则f(0)=π2+π；∴ｆ（0)有两个值,不符合函数的定义；∴该选项错误；Ｃ．取x=1,则f（２)＝2，取x=﹣1,则f(2)＝０;这样ｆ（2）有两个值,不符合函数的定义;∴该选项错误；D．令｜ｘ+1|=t,t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1＝ｘ,则t=；∴；即存在函数f(x)=，对任意x∈R，都有f(ｘ2+2x)＝|x+1|;∴该选项正确.故选:D.点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比较难．8．(5分)考点：二面角的平面角及求法.专题：创新题型;空间角.分析:解：画出图形,分AC=ＢC，ＡC≠ＢC两种情况讨论即可.解答:解：①当AＣ=BＣ时,∠Ａ′ＤB=α；②当AC≠BC时，如图，点Ａ′投影在AE上,α＝∠A′OE,连结AA′，易得∠ＡDＡ′<∠AOA′,∴∠A′ＤB>∠A′OＥ,即∠A′ＤＢ＞α综上所述，∠A′ＤB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较,注意解题方法的积累，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分,单空题每题4分,共36分．9.（6分)考点: 双曲线的简单性质．专题：计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量,即可求出焦距、渐近线方程．解答:解:双曲线＝1中,ａ=,b=1，c＝,∴焦距是２c=2，渐近线方程是y=±ｘ.故答案为:2;y＝±x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.10.(6分）考点: 函数的值.专题：计算题;函数的性质及应用．分析:根据已知函数可先求f(﹣3)=1，然后代入可求f（f(﹣3))；由于x≥1时,f（ｘ)=，当ｘ<１时,f(x)=lg（x２+1），分别求出每段函数的取值范围,即可求解解答：解：∵f(x)=,∴f（﹣3)=lg１０=1，则f（f(﹣３））=f(１)=0,当ｘ≥1时，f(ｘ)=，即最小值，当x＜１时,x2+1≥１，（x)=lｇ（x2+1）≥0最小值0，故f(x）的最小值是.故答案为:0；．点评:本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题.１1.(6分）考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性.专题: 三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得f(x)=sin（2ｘ﹣)+，易得最小正周期,解不等式２kπ+≤２x﹣≤２ｋπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f(x）=siｎ2x+ｓinxcosx+１＝(１﹣ｃｏｓ2x）+sin２x+1=sin(2ｘ﹣)+，∴原函数的最小正周期为Ｔ==π,由2kπ+≤2ｘ﹣≤２kπ+可得kπ+≤x≤kπ+,∴函数的单调递减区间为［ｋπ+,kπ+](k∈Z）故答案为:π;[kπ+，ｋπ+]（k∈Ｚ）点评:本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题．１2．(4分）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用.分析：直接把a代入2a+２﹣a，然后利用对数的运算性质得答案.解答:解：∵a=lｏg43，可知4a＝3,即２a＝，所以2a+2﹣a=+=.故答案为:.点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题.１３.（4分）考点: 异面直线及其所成的角．专题: 空间角.分析:连结ND,取ND 的中点为：E,连结MＥ说明异面直线ＡN,CＭ所成的角就是∠EMC通过解三角形,求解即可．解答：解:连结NＤ,取ND 的中点为：E,连结ＭE，则ＭE∥AN，异面直线ＡN,ＣM所成的角就是∠EMC，∵AN=2,∴ME==EN,ＭC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cｏs∠EMC=＝=．故答案为：.点评：本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.１4．（4分）考点：函数的最值及其几何意义.专题: 不等式的解法及应用；直线与圆.分析:根据所给ｘ，ｙ的范围,可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2ｘ+y﹣２=0将圆x２+ｙ２=１分成两部分,分别去绝对值,运用线性规划的知识,平移即可得到最小值.解答:解:由x2+y２≤1，可得6﹣x﹣3y＞0,即｜6﹣x﹣３y|＝6﹣x﹣3ｙ,如图直线2x+y﹣2＝0将圆ｘ2+y２=１分成两部分,在直线的上方（含直线)，即有2x+y﹣2≥0，即|2＋y﹣2|＝2x＋y﹣2，此时｜2x+ｙ﹣２|+|６﹣x﹣3y|=(２x+y﹣２）+(6﹣ｘ﹣３y）=x﹣２y+４,利用线性规划可得在A（,)处取得最小值3；在直线的下方（含直线),即有2x＋ｙ﹣2≤0，即|２+ｙ﹣2|=﹣（2x+ｙ﹣2),此时|2ｘ＋ｙ﹣2｜+|6﹣x﹣３ｙ|＝﹣(２ｘ+y﹣2)+（6﹣x﹣3y)=8﹣3ｘ﹣4y,利用线性规划可得在Ａ(,）处取得最小值3.综上可得，当ｘ=，y=时,|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为３．故答案为:3.点评:本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题.１5.（6分)考点: 空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型;空间向量及应用.分析:由题意和数量积的运算可得<•>=,不妨设=（,，０），=（1，0，0），由已知可解=(,，t），可得|﹣(｜2=（x＋)2+（y﹣2)2+t2,由题意可得当ｘ=x0=１，y=y０＝2时,(ｘ＋）2+（ｙ﹣2）２+t2取最小值1,由模长公式可得｜．解答:解:∵•=||||cos<•>=cos<•>=，∴<•＞=,不妨设＝(,,０)，=(１，０，0)，=（ｍ,n,t）,则由题意可知=m+n=2，=m＝，解得m=,n=,∴=（,,t)，∵﹣()＝（﹣x﹣y，,t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y)２+()2＋ｔ２＝ｘ２+xy+y2﹣４x﹣5ｙ+t2+7＝（x+）2+(ｙ﹣2）2＋t2，由题意当x＝x0＝１，y=y0=2时，（x+）2＋（ｙ﹣2）2+ｔ2取最小值１,此时t2=1,故|==２故答案为:1;２；２点评：本题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题．三、解答题：本大题共5小题,共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（１４分）考点: 余弦定理．专题：解三角形.分析:（１）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c２.可得,a=．利用余弦定理可得cｏsC．可得ｓinC=，即可得出tanＣ=．（2)由＝×=3，可得c,即可得出b．解答：解：（1)∵A=,∴由余弦定理可得:，∴b2﹣a２＝bc﹣ｃ2，又b２﹣a2=c2．∴bc﹣ｃ2=c2．∴ｂ= c.可得，∴a2=ｂ2﹣=，即a=.∴cosC===．∵Ｃ∈（０,π),∴ｓinC=＝.∴ｔanＣ＝＝２．(2）∵＝×=3，解得c=2．∴＝3.点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.17.(15分)考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定．专题: 空间位置关系与距离;空间角．分析:（1)以BC中点O为坐标原点，以OB、ＯA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（２）所求值即为平面Ａ1ＢD的法向量与平面B1BＤ的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可．解答:(1)证明:如图,以ＢC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z 轴建系．则BC=AC=２,Ａ1O==，易知A1（0，0,)，B（，0，0)，C(﹣,0，0），A(０,，0),D(0,﹣，),B1（，﹣,）,=（0，﹣，0),=（﹣，﹣,)，=(﹣，0，0),＝（﹣2,0,0），=(0，0,）,∵•=0，∴A１D⊥OA1,又∵•＝０,∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC＝O,∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面Ａ１BＤ的法向量为=（x,y,z）,由，得，取z=1,得=（，0，1),设平面B1BＤ的法向量为＝(x,y，z)，由,得，取z=1,得=（0，,1）,∴ｃos<，>===，又∵该二面角为钝角,∴二面角A1﹣BＤ﹣Ｂ1的平面角的余弦值为﹣.点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题.１8．(15分)考点: 二次函数在闭区间上的最值.专题：函数的性质及应用.分析:(１)明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=ｂ＝0以及分析M（a,b)≤2得到﹣3≤a＋b≤１且﹣3≤ｂ﹣ａ≤1,进一步求出｜ａ|＋|b|的求值．解答:解：(1）由已知可得f（1)=1+a+b，f(﹣１）＝１﹣a+ｂ，对称轴为ｘ=﹣,因为|a|≥2,所以或≥1,所以函数ｆ（x)在［﹣１，１]上单调，所以M（ａ，ｂ)=maｘ{|f(１),|ｆ（﹣1)｜}=ｍax{｜1＋ａ+b｜,|１﹣a＋b｜｝,所以Ｍ（ａ，b）≥（|１+ａ+ｂ|+|１﹣a+ｂ|)≥|（1＋a+b)﹣（1﹣a+b)|≥|2a|≥2；（２)当a＝b=0时,|ａ|+|b｜＝0又|a|+|b|≥０，所以0为最小值,符合题意；又对任意x∈[﹣1，１］．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤ｂ﹣ａ≤1,易知|a|+|b|=ｍaｘ{|a﹣b|,｜a+ｂ|｝＝３,在b＝﹣1,ａ=２时符合题意,所以｜ａ|+|b|的最大值为３．点评:本题考查了二次函数闭区间上的最值求法;解答本题的关键是正确理解M（ａ，b)是｜ｆ（x）｜在区间[﹣1，１］上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．(15分)考点: 直线与圆锥曲线的关系．专题: 创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题.分析：(1)由题意,可设直线ＡＢ的方程为ｘ＝﹣my＋n,代入椭圆方程可得(ｍ２+2)y2﹣2mny+ｎ2﹣2＝0，设A(x1，y１）,Ｂ（x2,y２）．可得△>0，设线段AB的中点P(ｘ０,y０）,利用中点坐标公式及其根与系数的可得P,代入直线y=mｘ+,可得,代入△＞0,即可解出．(2)直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=,再利用均值不等式即可得出．解答:解：（1）由题意,可设直线AB的方程为ｘ=﹣mｙ+n,代入椭圆方程,可得（m2+2）ｙ２﹣2mny+ｎ2﹣２＝０，设A（ｘ1,y１),B(x2,y２）.由题意，△＝4ｍ2n2﹣4（m２＋２）（n2﹣2)＝8(ｍ2﹣n2+２)＞０，设线段AB的中点P(x0，y0),则.ｘ0=﹣m×+ｎ＝，由于点P在直线ｙ=ｍx＋上，∴=+,∴，代入△＞0，可得３m４+4m2﹣4>0,解得m2，∴或m.（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n,∴S△OAB=＝|ｎ|•=，由均值不等式可得:n2（m2﹣n２+2)=，∴S△AOB=,当且仅当ｎ2=m2﹣n2＋2，即2n2=ｍ2＋２，又∵，解得m＝,当且仅当m=时,S△ＡOB取得最大值为.点评:本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力,属于难题.２0．(15分)考点：数列的求和；数列与不等式的综合.专题: 创新题型；点列、递归数列与数学归纳法.分析：(1）通过题意易得0＜a n≤(n∈Ｎ*），利用ａn﹣ａn＋1=可得≥1，利用=＝≤2，即得结论;（2)通过=aｎ﹣ａｎ＋１累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥(n≥2），从而≥≥,化简即得结论．解答:证明:（１)由题意可知：0＜a n≤（ｎ∈N＊）,又∵a2＝a1﹣＝,∴＝＝2，又∵a n﹣a n+１＝,∴a n＞a n+1，∴≥1,∴=＝≤2，∴１≤≤2(n∈N＊);（2）由已知，=aｎ﹣a n+1,＝ａｎ﹣１﹣a n,…，=a1﹣a2,累加,得Ｓn=++…+=a１﹣a n+１=﹣a n+1，易知当n=1时,要证式子显然成立;当ｎ≥2时，＝．下面证明:≥a n≥(n≥２)．易知当n=２时成立，假设当n=ｋ时也成立,则ａk+1=﹣＋，由二次函数单调性知：a n＋1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣＋=≤,∴≤≤，即当n＝ｋ+１时仍然成立,故对n≥２，均有≥a n≥，∴=≥≥=,即（n∈N＊).点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(浙江卷)
2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =ð（ ）A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A.38cmB. 312cmC.3323cmD.3403cm【答案】C.3.已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（） A.140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>4.命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A. 11BF AF --B. 2211BF AF -- C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++6.设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立7.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A.(sin2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+8.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C.A CB α'∠≤D.A CB α'∠≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.双曲线2212xy-=的焦距是，渐近线方程是．10.已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．12.若4log 3a =，则22a a -+=． 【答案】334. 【解析】13.如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．13.若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x =，0y =，b =．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.17.（本题满分15分） 如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11BC 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.18.（本题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.19.（本题满分15分）已知椭圆2212xy+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．20.（本题满分15分） 已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112n n a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.1 1 1玉—-—::::2a ,:-I a : 从而可得 1玉a :-1三上(n e/),即可得证2(n + 1) n +2试题解析：(1)由题怠得，a .. a .• = I _1 -. -a : ::::O , 即a ,:-I ::, a .. , a .. _ <一，由a ,:=(I -a 2：-1)a ,:-l 1 得a ,,=(l -a ,,_1)(1-a ,,_)· · ·(1-a 1)芍>0, 由O <a ,,C:::-得2a . a . I 一=·.: =—e [l ,2)a . •即1::::一"-0::2,(2)由题怠得a •. ·=a • -a 气！．．习a ,:-I a ,: -a ,: I -a ,:1 1 a , a . S ,: = a 1 -a ,:-I (D , 由一－－—=�和1竺一"--0::2得a ,:-I a ,: a ,:-Ia ,:-I 1 1 1玉—-—::::2'a :-I a ,: I I ：三—--::::2因此1 红习三上（哇_\''@,由(j)@得2(n + 1) n +2 ） a 习令1S 1玉-"-0::2(n + 2) n 2(n + 1)【考点定位】数列与不等式结合综合题【名师点皓】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，屁于较难题，第一小间易证，利用条件中的递推公式作等价变形，即可得到—= -=—，再结合已知条件即可得证，第二小a , 习a ,, 1 a ,, 间具有较强的技巧性，首先根据递推公式将＄转化为只与a ,,-1有关的表达式，再结合已知条件得到a ,,-1的取值范围即可得证，此次数列自汉伯＄年之后作为解答题压轴题重出江湖，笾是一个不大不小的怜门（之前浙江各地的模考解答题压轴题基本都是以二次函数为背崇的函数综合题），由千数列综合题常与不等式，函数的毅值，归纳猫想，分类讨论等数学思想相结合，技巧性比较强，鸯要平时一定蚕的训练与积累，在后续复习时应子以关注。
2015年高考浙江理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ） （A ）[0,1) （B ）(0,2] （C ）(1,2) （D ）[1,2] 【答案】C【解析】(][),02,P =-∞+∞，()0,2R P =，()()1,2R P Q ∴=，故选C ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ）（A ）38cm （B ）312cm （C ）332cm 3 （D ）340cm 3【答案】C【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积3213222233V =+⨯⨯=，故选C ．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． （3）【2015年浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）（A ）10,0n a d dS >> （B ）10,0n a d dS << （C ）10,0n a d dS >< （D ）10,0n a d dS <>【答案】B【解析】因为245,,a a a 成等比数列，所以()()()211134a d a d a d +=++，化简得2150a d d =-<，()224114646140dS d a d a d d d =+=+=-<，故选B ．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题． （4）【2015年浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ）（A ）**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > （B ）**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >（C ）**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > （D ）**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 【答案】D【解析】全称命题:p x M ∀∈，()p x 的否定是0:p x M ⌝∃∈，()0p x ⌝，所以命题的否定为：*0n N ∃∈，()*0f n N ∉或()00f n n >，故选D ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． （5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则n a 与ACF ∆的面积之比是（ ） （A ）11BF AF --（B ）2211BF AF --（C ）11BF AF ++（D ）2211BF AF ++【答案】A【解析】如图所示，抛物线的准线DE 的方程为1x =-，又由抛物线定义知BF BD =，AF AE =，11BM BD BF ∴=-=-，11AN AE AF =-=-，11BCF ACF BMBF S BC S AC AN AF ∆∆-∴===-，故选A ． 【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．（6）【2015年浙江，理6】设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+．（A ）命题①和命题②都成立 （B ）命题①和命题②都不成立 （C ）命题①成立，命题②不成立 （D ）命题①不成立，命题②成立 【答案】A【解析】由题意，()()()(),20d A B card A card B card A B =+-≥，命题①：()()(),0A B card AB card AB d A B =⇔=⇔=，(),0A B d A B ∴≠⇔>，命题①成立．命题②：由维恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：()()(),,,d A C d A B d B C ≤+()()()()()()()()()222card A card C card A C card A card B card AB card B cardC card BC ⇔+-≤+-++-()()()()card A C card A B card B C card B ⇔≥+-()()()()card AC card AC B card A B C card B ⇔≥--⎡⎤⎣⎦，因为()0card A C ≥且()()()0card A C B card ABC card B --≤⎡⎤⎣⎦，故命题②成立，故选A ．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．（7）【2015年浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）（A ）(sin 2)sin f x x = （B ）2(sin 2)f x x x =+ （C ）2(1)1f x x +=+ （D ）2(2)1f x x x +=+ 【答案】D【解析】选项A ：当4x π=时，()212f =；当54x π=时，()212f =-； 选项B ：当4x π=时，()21164f ππ=+；当54x π=时，()22551164f ππ=+； 选项C ：当1x =-时，()20f =；当1x =时，()22f =；或()21f x +为偶函数，然而1y x =+并不是偶函数；选项D ：()()222111f x x f x x +=+-=+，令1t x =+得()21f t t -=，0t ≥，再令21t m -=，则1t m =+，()1f m m =+，故函数()1f x x =+可以满足要求，故选D ．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．（8）【2015年浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）（A ）A DB α'∠≤ （B ）A DB α'∠≥ （C ）A CB α'∠≤ （D ）A CB α'∠≤ 【答案】B【解析】解法一：考查特殊值，用排除法，若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ，当0α=时， 0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A ，C ，故选B ． 解法二：①当AC BC =时，A DB α'∠=； ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，A OE α'=∠，连接AA '，易得ADA AOA ''∠<∠，A DB A OE ''∴∠>∠，即A DB α'∠>． 综上所述，A DB α'∠≥，故选B ．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（9）【2015年浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．【答案】23；22y x =±【解析】2a =，1b =，焦距223c a b =+=，∴焦距为23，渐近线22b y x x a =±=±．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年浙江，理10】已知函数221,1()2lg(1),1x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 【答案】0；223-【解析】()()((3))log1011230f f f f -===+-=；当1x ≥时，()23223f x x x=+-≥-（当2x =时取最小值）当2x =时取最小值，当1x <时，()()2log 1log10f x x =+≥=，2230-<，()f x ∴的最小值为223-．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题． （11）【2015年浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π；37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】()21cos 2123sin sin cos 1sin 21sin 222242x f x x x x x x π-⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期T π=； 单调递减区间：3222242k x k πππππ+≤-≤+，化简得3788k x k ππππ+≤≤+， ∴单调递减区间：37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． （12）【2015年浙江，理12】若2log 3a =，则22a a -+= ． 【答案】433【解析】由2log 3a =可知43a =，即23a =，所以14322333a a -+=+=． 【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． （13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 __．【答案】78【解析】取ND 的中点E ，因为//ME AN ，则EMC ∠为异面直线AN ，CM 所成的角．22AN =，2ME NE ∴==，22MC =，又EN NC ⊥，223EC EN NC ∴=+=，2837cos 82222EMC +-∴∠==⨯⨯．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （14）【2015年浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．【答案】3【解析】221x y +≤，630x y ∴-->，即6363x y x y --=--，如图，直线220x y +-=将直线221x y +=分成了两部分：①在阴影区域内的(),x y 满足220x y +-≥，即2222x y x y +-=+-， 此时()()2263226324x y x y x y x y x y +-+--=+-+--=-+，利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3；②在阴影区域外的(),x y 满足220x y +-≤，即()2222x y x y +-=-+-， 此时()()22632263834x y x y x y x y x y +-+--=-+-+--=--，利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3．综上，当35x =，45y =时，2263x y x y +-+--的最小值为3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．（15）【2015年浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ． 【答案】01x =，02y =，22b ==． 【解析】121212121cos ,cos ,2e e e e e e e e ⋅===，12,3e e π∴=，不妨设113,,022e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()21,0,0e =，(),,b m n t =，则由题意知113222b e m n ⋅=+=，252b e m ⋅==，解得52m =，32n =，53,,22b t ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭， ()125133,,2222b xe ye x y x t ⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭，()22221251332222b xe ye x y x t ⎛⎫⎛⎫∴-+=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222243457224y x xy y x y t x y t -⎛⎫=++--++=++-+ ⎪⎝⎭，由题意，当1e x x ==，2e y y ==时，()22243224y x y t -⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭取到最小值1，此时21t =，故2225382222b t ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在()nf n n ≤中，内角**,()n N f n N ∀∈∉所对边分别为**,()n N f n N ∀∈∉．已知4A π=，22212b ac -=-． （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若()nf n n ≤的面积为7，求b 的值．解：（Ⅰ）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，故2cos2sin B C -=．又由4A π=，即34B C π+=， 得cos2sin22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =．（Ⅱ）由tan 2C =得25sin 5C =，5cos 5C =，又()sin sin sin 4B A C C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故310sin 10B =，由正弦定理得223c b =，又4A π=，1sin 32bc A =，故62bc =，故3b =．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点．（Ⅰ）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值． 解：解法一：（Ⅰ）设E 为BC 的中点，连1,A E AE ．由题1A E ⊥平面ABC ，故1A E AE ⊥．因AB AC =，故AE BC ⊥， 从而AE ⊥平面1A BC ．由,D E 分别11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =， 从而1//DE A A ，且1DE A A =，所以1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ．又AE ⊥平面1A BC ， 故1A D ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）作1A F BD ⊥于F ，连1B F ，由题2AE EB ==，01190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==．由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆．由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠ 为二面角11A BD B --的平面角．由12A D =，14A B =，0190DA B ∠=，得32BD =，1143A F B F ==，由余弦定理得111cos 8A FB =-．解法二：（Ⅰ）如图，以BC 中点为原点O ，CB 方向为x 轴正方向，OA 为y 轴正方向，1OA 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．2BC =，22AC =，221114AO AA AO =+=，易知 ()10,0,14A ，()2,0,0B，()2,0,0C -，()0,2,0A ，()0,2,14D -，()12,2,14B -， ()10,2,0A D =-，()2,2,14BD =--，()12,0,0B D =-，()22,0,0BC =-， ()10,0,14OA =，110A D OA ∴⋅=，11A D OA ∴⊥，又10A D BC ⋅=，1A D BC ∴⊥，又1OA BC O =，1A D ∴⊥平面1A BC ．（Ⅱ）设平面1A BD 的法向量为()1111,,n x y z =，知11120n A D y ⋅=-=，111122140n BD x y z ⋅=--+=，则取()17,0,1n =，设平面1B BD 的法向量为()2222,,n x y z =，则2122222140n B D x y z ⋅=--+=，2220n BD x ⋅=-=，则取()20,7,1n =，12121211cos ,82222n n n n n n ⋅∴===⨯⋅，又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为18-．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． （18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记(),M a b 是()||f x 在区间[]1,1-上的最大值．（Ⅰ）证明：当||2a ≥时，(),2M a b ≥；（Ⅱ）当,a b 满足(),2M a b ≤，求||||a b +的最大值．解：（Ⅰ）由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a -≥，故()f x 在[]1,1-上单调，因此()()(){},max |1|,|1|M a b f f =-．当2a ≥时，()()1124f f a --=≥，故()()4|1||1|f f ≤+-，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥；当2a ≤-时，()()1124f f a --=-≥，故()()4|1||1|f f ≤-+，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥．综上，当||2a ≥时，(),2M a b ≥．（Ⅱ）由(),2M a b ≤得()|1||1|2a b f ++=≤，()|1||1|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由()()||0||||||0a b ab a b a b ab ⎧+≥⎪+=⎨-<⎪⎩，得||||3a b +≤．当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[]1,1-的最大值为2，即()2,12M -=，故||||a b +的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解(),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值，以及利用三角不等式变形．（19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）． 解：（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB ：1y x b m=-+，代入椭圆方程并整理得()()222224210m x mbx m b +-+-=． 因直线AB 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，故()2222820m m m b ∆=+-> ①．将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+得2222m b m +=-②．由①②得m <m > （Ⅱ）令2130,2t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则||AB =，且O 到AB的距离为1t d +=，故AOB ∆的面积()1||2S t AB d =⋅≤，当且仅当12t =时，等号成立，故AOB ∆． 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（20）【2015年浙江，理20】（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且()21n n n a a a n N ++=-∈，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：（Ⅰ）()112n n an N a ++≤≤∈；（Ⅱ）()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 解：（Ⅰ）由题210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤． 由()111n n n a a a --=-得()()()12111110n n n a a a a a --=--->，故102n a <≤，从而(]111,21n n n a a a +=∈-，即112n n a a +≤≤． （Ⅱ）由题21n n n a a a +=-，故11n n S a a +=- ①．由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤，故11112n n n a a +≤-≤，因此()()111212n a n N n n ++≤≤∈++ ②， 由①②得()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析
2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D 是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ． [0，1） B ． （0，2] C ． （1，2） D ． [1，2] 考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析： 求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可．解答： 解：由P 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0， 解得：x ≤0或x ≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2）， ∵Q=（1，2]，∴（∁R P ）∩Q=（1，2）， 故选：C ． 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 8cm 3B ． 12cm 3C ．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2答： 的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ． 点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列． 分析： 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号． 解答： 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ，由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B ．点评： 本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分根据全称命题的否定是特称命题即可得到析： 结论． 解答： 解：命题为全称命题， 则命题的否定为：∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f（n 0）＞n 0， 故选：D ． 点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：直线与圆锥曲线的关系．专圆锥曲线的定义、性质与方程．题： 分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可． 解答： 解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=﹣1，过A ，B 分别作AE ⊥DE 于E ，交y 轴于N ，BD ⊥DE 于E ，交y 轴于M ， 由抛物线的定义知BF=BD ，AF=AE ， 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1， |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1， 则===，故选：A点评： 本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析： 命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可． 解答： 解：命题①：对任意有限集A ，B ，若“A ≠B ”，则A ∪B ≠A ∩B ，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），故“d （A ，B ）＞0”成立，若d （A ，B ）＞0”，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），则A ∪B ≠A ∩B ，故A ≠B 成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立， 故选：A 点评： 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答： 解：A ．取x=0，则sin2x=0，∴f （0）=0； 取x=，则sin2x=0，∴f （0）=1；∴f （0）=0，和1，不符合函数的定义； ∴不存在函数f （x ），对任意x ∈R 都有f （sin2x ）=sinx ；B ．取x=0，则f （0）=0； 取x=π，则f （0）=π2+π；∴f （0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；C ．取x=1，则f （2）=2，取x=﹣1，则f （2）=0；这样f （2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；D ．令|x+1|=t ，t ≥0，则f （t 2﹣1）=t ； 令t 2﹣1=x ，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f （x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D ． 点评： 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析： 解：画出图形，分AC=BC ，AC ≠BC 两种情况讨论即可．解答： 解：①当AC=BC 时，∠A ′DB=α； ②当AC ≠BC 时，如图，点A ′投影在AE上，α=∠A ′OE ，连结AA ′， 易得∠ADA ′＜∠AOA ′，∴∠A ′DB ＞∠A ′OE ，即∠A ′DB ＞α 综上所述，∠A ′DB ≥α， 故选：B ．点评： 本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2 ，渐近线方程是 y=±x ． 考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=， ∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x ．故答案为：2；y=±x ． 点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= 0 ，f （x ）的最小值是 ．考函数的值．点： 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：根据已知函数可先求f （﹣3）=1，然后代入可求f （f （﹣3））；由于x ≥1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=lg （x 2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解 解答：解：∵f （x ）=，∴f （﹣3）=lg10=1，则f （f （﹣3））=f （1）=0， 当x ≥1时，f （x ）=，即最小值，当x ＜1时，x 2+1≥1，（x ）=lg （x 2+1）≥0最小值0，故f （x ）的最小值是． 故答案为：0；．点评： 本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [k π+，k π+]（k ∈Z ） ． 考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析： 由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间． 解答： 解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π， 由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ） 点本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的评： 周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log 43，则2a +2﹣a = ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析： 直接把a 代入2a +2﹣a ，然后利用对数的运算性质得答案．解答： 解：∵a=log 43，可知4a =3， 即2a =，所以2a +2﹣a =+=．故答案为：．点评： 本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析： 连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME 说明异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可． 解答： 解：连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME ，则ME ∥AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC ， ∵AN=2，∴ME==EN ，MC=2， 又∵EN ⊥NC ，∴EC==，∴cos ∠EMC===．故答案为：．点评： 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ． 考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆． 分析： 根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 解答： 解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ， 如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0， 即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3． 故答案为：3．点评： 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x ，y ∈R ，，则x 0=1 ，y 0=2 ，|= 2 ． 考点： 空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t ），可得|﹣（|2=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1，由模长公式可得|．解答： 解：∵•=||||cos ＜•＞=cos ＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m ，n ，t ）， 则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t ）， ∵﹣（）=（﹣x ﹣y ，，t ）， ∴|﹣（|2=（﹣x ﹣y ）2+（）2+t 2 =x 2+xy+y 2﹣4x ﹣5y+t 2+7=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1， 此时t 2=1，故|==2故答案为：1；2；2 点评： 本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，b 2﹣a 2=c 2．（1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析： （1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=． （2）由=×=3，可得c ，即可得出b ． 解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2， 又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π）， ∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评： 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可． 解答： （1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1， 又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ； （2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评： 本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=x 2+ax+b （a ，b ∈R ），记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M （a ，b ）≥2； （2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2时，求|a|+|b|的最大值． 考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析： （1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明； （2）讨论a=b=0以及分析M （a ，b ）≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，进一步求出|a|+|b|的求值． 解答： 解：（1）由已知可得f （1）=1+a+b ，f （﹣1）=1﹣a+b ，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f （x ）在[﹣1，1]上单调， 所以M （a ，b ）=max{|f （1），|f （﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M （a ，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b ）﹣（1﹣a+b ）|≥|2a|≥|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x ∈[﹣1，1]．有﹣2≤x 2+ax+b ≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，易知|a|+|b|=max{|a ﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3． 点评： 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M （a ，b ）是|f（x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A ，B 关于直线y=mx+对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．可得△＞0，设线段AB 的中点P （x 0，y 0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P ，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，可得S △OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答： 解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由题意，△=4m 2n 2﹣4（m 2+2）（n 2﹣2）=8（m 2﹣n 2+2）＞0， 设线段AB 的中点P （x 0，y 0），则．x 0=﹣m ×+n=， 由于点P 在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m 4+4m 2﹣4＞0， 解得m 2，∴或m ．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n 2（m 2﹣n 2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n 2=m 2﹣n 2+2，即2n 2=m 2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *），又∵a 2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a 1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)试题与解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科)及答案解析版一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）D3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）C D6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f （x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）D+3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，成等比数列，得．，∴∴=**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）C D根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．==，6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；x=t=∴=8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．解：双曲线，c=，渐近线方程是±；±10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．，=）的最小值是；11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．sin），易得最小正周期，解不等式+﹣可得函数的单调递减区间．（sin2x+1sin），T==≤+≤，+]，]12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．，+=故答案为：13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．，=EN MC=2EC===．故答案为：．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．，）处取得最小值，）处取得最小值x=y=15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．由题意和数量积的运算可得＜•，不妨设=（，，，，由已知可解（，|﹣（|）（x+）（由模长公式可得解：∵=|||＞＜＞，•＞，不妨设（，，，=n=2，，解得n=，∴=，∵﹣（）（﹣∴|﹣（|﹣x（）（）（，故=2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．由余弦定理可得：=可得sinC=，即可得出tanC=）由=×A=，由余弦定理可得：bc=．∴=．∴c．可得﹣cosC=．==2）∵×c=2∴=317．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．•==0AC=2，=）（，，，﹣，，﹣，，，（﹣，﹣）（﹣，=∵•又∵•的法向量为，得，得=的法向量为，得，得=，，＞=，的平面角的余弦值为﹣．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．﹣，所以或≥||2a|19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．y=mx+可得=，代入椭圆方程，可得，则×+n=上，∴+∴2，∴===，AOB=，又∵取得最大值为20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．≤可得通过利用数学归纳法可证明（≥（﹣，∴=，∴∴≤）由已知，=a++=下面证明：≥（﹣，+=，﹣=≤∴≤，均有≥∴=≥，（。
2015高考浙江卷数学试题评析
试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，同时 “且”的否定是“或”，可知选D.
解析：①当AC=BC时，∠A ’ DB=α； ②当AC≠BC时,如图,点A’投影在OE上,α=∠A ’ OE,连结AA ’ 易得∠ADA ’ ＜∠AOA′,∴∠A ’ DB＞∠A ’ OE,即∠A ’ DB＞α 综上所述，∠A ’ DB≥α，故选：B
题目的创新性和综合性较往年都有一定程度的提高，给考生
带来较大的麻烦，但同往年一样，这类考试题目的考点往往 回归于传统考点，只要考生善于分析题目，研究并确定考点 及其对应的知识点或者方法，很多题目并不是无法下手.
这份具有较好区分度的试卷，对考试答题的规范性提出了较 高的要求
第二部分：试题解析
2015高考数学浙江卷 解析与点评第一部分：试卷分析 第二部来自：试题解析一、试题特点分析
题型和考点的变化与此前透露的关于高考数学改革 的信息并无较大差别，也基本确定了2016年高考数 学的考试题型分布及主要考点，即选择题减少为8 题，每题5分共40分，填空题改为4道多空题，每题 6分，3道单空题，每题4分，共36分。解答题依旧5 道，共74分，但五道大题考点改为三角函数，立体 几何，函数，圆锥曲线，及数列。特别是含参函数 的最值问题及数列与不等式的综合是今年第一次考， 其灵活的出题形式给考生带来了较大的解题困难， 是2016届考试需要特别注意的。
最新2015年高考浙江理科数学试题及答案解析
12015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）1 数学（理科）2 第Ⅰ卷（选择题 共40分）3 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一4 项符合题目要求．5 （1）【2015年浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ）6 （A ）[0,1) （B ）(0,2] （C ）(1,2) （D ）[1,2]7 【答案】C8 【解析】(][),02,P =-∞+∞，()0,2R P =，()()1,2R P Q ∴=，故选C ．9 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10 （2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的11 体积是（ ）12（A ）38cm （B ）312cm （C ）332cm 3 （D ）340cm 313 【答案】C14 【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱15 锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积3213222233V =+⨯⨯=，故选C ． 16【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能17 力．18 （3）【2015年浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成192等比数列，20 则（ ） 21 （A ）10,0n a d dS >>（B ）10,0n a d dS <<（C ）10,0n a d dS >< （D ）10,0n a d dS <>22 【答案】B23 【解析】因为245,,a a a 成等比数列，所以()()()211134a d a d a d +=++，化简得2150a d d =-<，24 ()224114646140dS d a d a d d d =+=+=-<，故选B ．25 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题． 26 （4）【2015年浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ） 27 （A ）**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > （B ）**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > 28 （C ）**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > （D ）**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 29 【答案】D30 【解析】全称命题:p x M ∀∈，()p x 的否定是0:p x M ⌝∃∈，()0p x ⌝，所以命题31 的否定为：*0n N ∃∈，()*0f n N ∉ 或()00f n n >，故选D ．32 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．33 （5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不34 同的35 点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则n a 与ACF ∆的面积之比是（ ）36（A ）11BF AF --（B ）2211BF AF --（C ）11BF AF ++（D ）2211BF AF ++373【答案】A38 【解析】如图所示，抛物线的准线DE 的方程为1x =-，又由抛物线定义知39 BF BD =，AF AE =，11BM BD BF ∴=-=-，11AN AE AF =-=-，40 11BCF ACF BMBF S BC S AC AN AF ∆∆-∴===-，故选A ． 41【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键． 42 （6）【2015年浙江，理6】设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 43 表示有限44 集A 中的元素个数（ ）45 命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；46 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+．47 （A ）命题①和命题②都成立 （B ）命题①和命题②都不成立 48 （C ）命题①成立，命题②不成立 （D ）命题①不成立，命题②成立 49 【答案】A50 【解析】由题意，()()()(),20d A B card A card B card A B =+-≥，命题①：51 ()()(),0A B card AB card AB d A B =⇔=⇔=，(),0A B d A B ∴≠⇔>，命题①成立．52 命题②：由维恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：53 ()()(),,,d A C d A B d B C ≤+54()()()()()()()()()222card A card C card A C card A card B card AB card B cardC card BC ⇔+-≤+-++-55 ()()()()card A C card A B card B C card B ⇔≥+-56 ()()()()card AC card AC B card ABC card B ⇔≥--⎡⎤⎣⎦，因为574()0card A C ≥且()()()0card A C B card ABC card B --≤⎡⎤⎣⎦，故命题②成立，故选A ．58 【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各59 集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合60 的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题． 61 （7）【2015年浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）62 （A ）(sin 2)sin f x x = （B ）2(sin 2)f x x x =+ （C ）2(1)1f x x +=+ （D ）2(2)1f x x x +=+ 63 【答案】D64【解析】选项A ：当4x π=时，()21f =；当54x π=时，()21f =-； 65 选项B ：当4x π=时，()21164f ππ=+；当54x π=时，()22551164f ππ=+； 66选项C ：当1x =-时，()20f =；当1x =时，()22f =；或()21f x +为偶函数，然而1y x =+67 并不是偶函数；68 选项D ：()()222111f x x f x x +=+-=+，令1t x =+得()21f t t -=，0t ≥，再令21t m -=，69 则1t m =+，()1f m m =+，故函数()1f x x =+可以满足要求，故选D ． 70 【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解71 决问题的方法比较难．72 （8）【2015年浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆73 折成A CD '∆，74 所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）75 （A ）A DB α'∠≤ （B ）A DB α'∠≥ （C ）A CB α'∠≤ （D ）A CB α'∠≤765【答案】B 77 【解析】解法一：78 考查特殊值，用排除法，若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ，当0α=79 时，80 0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A ，C ，故选B ．81 解法二：82 ①当AC BC =时，A DB α'∠=；83 ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，A OE α'=∠，连接AA '，易得ADA AOA ''∠<∠，84 A DB A OE ''∴∠>∠，即A DB α'∠>．85 综上所述，A DB α'∠≥，故选B ．86 【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．87 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）88 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．89（9）【2015年浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．90【答案】23；22y x =±91 【解析】2a =，1b =，焦距223c a b =+=，∴焦距为23，渐近线2b y x x a=±=±． 92 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．936（10）【2015年浙江，理10】已知函数221,1()2lg(1),1x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小94值是 ． 95 【答案】0；396【解析】()()((3))log1011230f f f f -===+-=；当1x ≥时，()233f x x x=+-≥97（当x =时取最小值）当x =时取最小值，当1x <时，()()2log 1log10f x x =+≥=，98 2230-<，()fx ∴的最小值为3．99 【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．100 （11）【2015年浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调101 递减区间是 ． 102【答案】π；37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦103【解析】()21cos 213sin sin cos 1sin 2122242x f x x x x x x π-⎛⎫=++=++-+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期T π=； 104 单调递减区间：3222242k x k πππππ+≤-≤+，化简得3788k x k ππππ+≤≤+， 105 ∴单调递减区间：37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．106【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． 107 （12）【2015年浙江，理12】若2log 3a =，则22a a -+= ．1081097【解析】由2log 3a =可知43a =，即23a =，所以432233a a -+=+=． 110【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．111 （13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，112 点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 __．113【答案】78114 【解析】取ND 的中点E ，因为//ME AN ，则EMC ∠为异面直线AN ，CM 所115 成的角．22AN =，2ME NE ∴==，22MC =，又EN NC ⊥，116 223EC EN NC ∴=+=，7cos 82222EMC ∴∠==⨯⨯． 117【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．118 （14）【2015年浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值119 是 ． 120 【答案】3121 【解析】221x y +≤，630x y ∴-->，即6363x y x y --=--，122 如图，直线220x y +-=将直线221x y +=分成了两部分：123 ①在阴影区域内的(),x y 满足220x y +-≥，即2222x y x y +-=+-， 124 此时()()2263226324x y x y x y x y x y +-+--=+-+--=-+，125利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3；1268②在阴影区域外的(),x y 满足220x y +-≤，即()2222x y x y +-=-+-， 127 此时()()22632263834x y x y x y x y x y +-+--=-+-+--=--，128利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3． 129综上，当35x =，45y =时，2263x y x y +-+--的最小值为3．130 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方131 法，属于中档题．132（15）【2015年浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足133 1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，134 0y = ，b = ．135【答案】01x =，02y =，22b ==．136【解析】121212121cos ,cos ,2e e e e e e e e⋅===，12,3e e π∴=，不妨设11,2e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()21,0,0e =，137(),,b m n t =，则由题意知1122be m ⋅=+=，252b e m ⋅==，解得52m =，n，53,2b t ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 138()1251,22b xe yex y t ⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，139()2222125122b xe ye x y t ⎫⎛⎫∴-+=--++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭140 ()22222243457224y x xy y x y t x y t -⎛⎫=++--++=++-+ ⎪⎝⎭，由题意，当1e x x ==，2e y y ==时，141()22243224y x y t -⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭取到最小值1，此时21t =，故252b ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 1429【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．143 三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．144 （16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在()nf n n ≤中，内角**,()n N f n N ∀∈∉145 所对边分别为**,()n N f n N ∀∈∉．已知4A π=，22212b ac -=-．146（Ⅰ）求tan C 的值；147 （Ⅱ）若()nf n n ≤的面积为7，求b 的值．148 解：（Ⅰ）由22212b ac -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，故2cos2sin B C -=．又由4A π=，即34B C π+=，149得cos2sin22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =．150 （Ⅱ）由tan 2C =得25sin C =，5cos C =，又()sin sin sin 4B AC C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故310sin B =，151 由正弦定理得22c b =，又4A π=，1sin 32bc A =，故62bc =，故3b =．152【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公153 式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．154 （17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，155 090BAC ∠=，2AB AC ==，156 14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点．157（Ⅰ）证明：1A D ⊥平面1A BC ；158 （Ⅱ）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值．15910解：解法一：160 （Ⅰ）设E 为BC 的中点，连1,A E AE ．由题1A E ⊥平面ABC ，故1A E AE ⊥．因AB AC =，故161 AE BC ⊥， 从而AE ⊥平面1A BC ．由,D E 分别11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且162 1DE B B =，163 从而1//DE A A ，且1DE A A =，所以1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ．又AE ⊥平164 面1A BC ，165 故1A D ⊥平面1A BC ．166 （Ⅱ）作1A F BD ⊥于F ，连1B F ，由题2AE EB ==，01190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==．167 由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆．由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠ 168 为二面角11A BD B --的平面角．由12A D =，14A B =，0190DA B ∠=，得32BD =，1691143A F B F ==，由余弦定理得111cos 8A FB =-． 170解法二：171 （Ⅰ）如图，以BC 中点为原点O ，CB 方向为x 轴正方向，OA 为y 轴正方向，1OA 为172 z 轴正方173 向，建立空间直角坐标系．2BC =，22AC =，221114AO AA AO =+=，易知 174 ()10,0,14A ，()2,0,0B，()2,0,0C -，()0,2,0A ，()0,2,14D -，()12,2,14B -，175()10,2,0A D =-，()2,2,14BD =--，()12,0,0B D =-，()22,0,0BC =-，176()10,0,14OA =，110A D OA ∴⋅=，11A D OA ∴⊥，又10A D BC ⋅=，1A D BC ∴⊥，又177111OA BC O =，1A D ∴⊥平面1A BC ．178 （Ⅱ）设平面1A BD 的法向量为()1111,,n x y z =，知11120n A D ⋅=-=，111120n BD ⋅=--+=，179 则180 取()17,0,1n =，设平面1B BD 的法向量为()2222,,n xy z =，则2122220n B D ⋅=-+=，1812220n BD ⋅=-=，则取()20,n =，1212121cos ,82n n n n n n ⋅∴===⋅，182又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为18-．183 【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法184 的积累，属于中档题．185 （18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记186 (),M a b 是()||f x 在区间[]1,1-上的最大值．187 （Ⅰ）证明：当||2a ≥时，(),2M a b ≥；188 （Ⅱ）当,a b 满足(),2M a b ≤，求||||a b +的最大值．189解：（Ⅰ）由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a -≥，190故()f x 在[]1,1-上单调，因此()()(){},max |1|,|1|M a b f f =-．191 当2a ≥时，()()1124f f a --=≥，故()()4|1||1|f f ≤+-，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即192 (),2M a b ≥；当2a ≤-时，()()1124f f a --=-≥，故()()4|1||1|f f ≤-+，193 ()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥．综上，当||2a ≥时，(),2M a b ≥．19412（Ⅱ）由(),2M a b ≤得()|1||1|2a b f ++=≤，()|1||1|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，195 由()()||0||||||0a b ab a b a b ab ⎧+≥⎪+=⎨-<⎪⎩，得||||3a b +≤．当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在196 []1,1-197 的最大值为2，即()2,12M -=，故||||a b +的最大值为3．198 【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解199 (),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值，以及利用三角不等式变形．200（19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两201 个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．202（Ⅰ）求实数m 的取值范围；203 （Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．204 解：（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB ：1y x b m=-+，代入椭圆方程并整理得205 ()()222224210m x mbx m b +-+-=． 因直线AB 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，故206 ()2222820m m m b ∆=+-> ①．将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+得2072222m b m+=- ②．由①②得6m <-或6m >． 208（Ⅱ）令2130,2t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则21886||t t t AB +⋅-++=，且O 到AB 的距离为121t d t +=+，故AOB ∆209的面积()21112||22222S t AB d t ⎛⎫=⋅=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时，等号成立，故AOB ∆面积的最大21013． 211 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程212 联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、213 弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．214（20）【2015年浙江，理20】（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且215 ()21n n n a a a n N ++=-∈，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：216（Ⅰ）()112nn a n N a ++≤≤∈； 217 （Ⅱ）()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 218 解：（Ⅰ）由题210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤．219由()111n n n a a a --=-得()()()12111110n n n a a a a a --=--->， 220故102n a <≤，从而(]111,21n n n a a a +=∈-，即112n n aa +≤≤． 221（Ⅱ）由题21n n n a a a +=-，故11n n S a a +=- ①．由1111=n n nn a a a a ++-和112n n aa +≤≤得，11112n na a +≤-≤，222故11112n n n a a +≤-≤，因此()()111212n a n N n n ++≤≤∈++ ②， 223由①②得()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 224 【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形225 是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．226。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析
2015年浙江省高考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数学〔理科〕1．〔5分〕〔2015•浙江〕已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则〔∁R P〕∩Q=〔〕A．[0，1〕B．〔0，2]C．〔1，2〕D．[1，2]2．〔5分〕〔2015•浙江〕某几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，则该几何体的体积是〔〕A．8cm3B．12cm3C．D．3．〔5分〕〔2015•浙江〕已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，假设a3，a4，a8成等比数列，则〔〕A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞04．〔5分〕〔2015•浙江〕命题“∀n∈N*，f〔n〕∈N*且f〔n〕≤n”的否认形式是〔〕A．∀n∈N*，f〔n〕∉N*且f〔n〕＞n B．∀n∈N*，f〔n〕∉N*或f〔n〕＞nC．∃n0∈N*，f〔n0〕∉N*且f〔n0〕＞n0D．∃n0∈N*，f〔n0〕∉N*或f〔n0〕＞n05．〔5分〕〔2015•浙江〕如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是〔〕A．B．C．D．6．〔5分〕〔2015•浙江〕设A，B是有限集，定义：d〔A，B〕=card〔A∪B〕﹣card〔A∩B〕，其中card〔A〕表示有限集A中的元素个数〔〕命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d〔A，B〕＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d〔A，C〕≤d〔A，B〕+d〔B，C〕A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．〔5分〕〔2015•浙江〕存在函数f〔x〕满足，对任意x∈R都有〔〕A．f〔sin2x〕=sinx B．f〔sin2x〕=x2+x C．f〔x2+1〕=|x+1| D．f〔x2+2x〕=|x+1|8．〔5分〕〔2015•浙江〕如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则〔〕A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．〔6分〕〔2015•浙江〕双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．〔6分〕〔2015•浙江〕已知函数f〔x〕=，则f〔f〔﹣3〕〕=，f〔x〕的最小值是．11．〔6分〕〔2015•浙江〕函数f〔x〕=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．〔4分〕〔2015•浙江〕假设a=log43，则2a+2﹣a=．13．〔4分〕〔2015•浙江〕如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．〔4分〕〔2015•浙江〕假设实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．〔6分〕〔2015•浙江〕已知是空间单位向量，，假设空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．〔14分〕〔2015•浙江〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设△ABC的面积为3，求b的值．17．〔15分〕〔2015•浙江〕如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．〔1〕证明：A1D⊥平面A1BC；〔2〕求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．〔15分〕〔2015•浙江〕已知函数f〔x〕=x2+ax+b〔a，b∈R〕，记M〔a，b〕是|f〔x〕|在区间[﹣1，1]上的最大值．〔1〕证明：当|a|≥2时，M〔a，b〕≥2；〔2〕当a，b满足M〔a，b〕≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．〔15分〕〔2015•浙江〕已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．〔1〕求实数m的取值范围；〔2〕求△AOB面积的最大值〔O为坐标原点〕．20．〔15分〕〔2015•浙江〕已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2〔n∈N*〕〔1〕证明：1≤≤2〔n∈N*〕；〔2〕设数列{a n2}的前n项和为S n，证明〔n∈N*〕．2015年浙江省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数学〔理科〕1．〔5分〕〔2015•浙江〕已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则〔∁R P〕∩Q=〔〕A．[0，1〕B．〔0，2]C．〔1，2〕D．[1，2]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x〔x﹣2〕≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=〔﹣∞，0]∪[2，+∞〕，∴∁R P=〔0，2〕，∵Q=〔1，2]，∴〔∁R P〕∩Q=〔1，2〕，故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．2．〔5分〕〔2015•浙江〕某几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，则该几何体的体积是〔〕A．8cm3B．12cm3C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：此题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．〔5分〕〔2015•浙江〕已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，假设a3，a4，a8成等比数列，则〔〕A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：此题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．〔5分〕〔2015•浙江〕命题“∀n∈N*，f〔n〕∈N*且f〔n〕≤n”的否认形式是〔〕A．∀n∈N*，f〔n〕∉N*且f〔n〕＞n B．∀n∈N*，f〔n〕∉N*或f〔n〕＞nC．∃n0∈N*，f〔n0〕∉N*且f〔n0〕＞n0D．∃n0∈N*，f〔n0〕∉N*或f〔n0〕＞n0考点：命题的否认．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否认是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否认为：∃n0∈N*，f〔n0〕∉N*或f〔n0〕＞n0，故选：D．点评：此题主要考查含有量词的命题的否认，比较基础．5．〔5分〕〔2015•浙江〕如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是〔〕A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如下图，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：此题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决此题的关键．6．〔5分〕〔2015•浙江〕设A，B是有限集，定义：d〔A，B〕=card〔A∪B〕﹣card〔A∩B〕，其中card〔A〕表示有限集A中的元素个数〔〕命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d〔A，B〕＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d〔A，C〕≤d〔A，B〕+d〔B，C〕A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，假设“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card〔A∪B〕＞card〔A∩B〕，故“d〔A，B〕＞0”成立，假设d〔A，B〕＞0”，则card〔A∪B〕＞card〔A∩B〕，则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d〔A，B〕=card〔A∪B〕﹣card〔A∩B〕，d〔B，C〕=card〔B∪C〕﹣card 〔B∩C〕，∴d〔A，B〕+d〔B，C〕=card〔A∪B〕﹣card〔A∩B〕+card〔B∪C〕﹣card〔B∩C〕=[card〔A∪B〕+card〔B∪C〕]﹣[card〔A∩B〕+card〔B∩C〕]≥card〔A∪C〕﹣card〔A∩C〕=d〔A，C〕，故命题②成立，故选：A点评：此题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意此题对充要条件的考查．集合的元素个数，表达两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．〔5分〕〔2015•浙江〕存在函数f〔x〕满足，对任意x∈R都有〔〕A．f〔sin2x〕=sinx B．f〔sin2x〕=x2+x C．f〔x2+1〕=|x+1| D．f〔x2+2x〕=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f〔0〕=0；取x=，则sin2x=0，∴f〔0〕=1；∴f〔0〕=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f〔x〕，对任意x∈R都有f〔sin2x〕=sinx；B．取x=0，则f〔0〕=0；取x=π，则f〔0〕=π2+π；∴f〔0〕有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f〔2〕=2，取x=﹣1，则f〔2〕=0；这样f〔2〕有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f〔t2﹣1〕=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f〔x〕=，对任意x∈R，都有f〔x2+2x〕=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．点评：此题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．〔5分〕〔2015•浙江〕如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则〔〕A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：此题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．〔6分〕〔2015•浙江〕双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．点评：此题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．〔6分〕〔2015•浙江〕已知函数f〔x〕=，则f〔f〔﹣3〕〕=0，f〔x〕的最小值是．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f〔﹣3〕=1，然后代入可求f〔f〔﹣3〕〕；由于x≥1时，f〔x〕=，当x＜1时，f〔x〕=lg〔x2+1〕，分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f〔x〕=，∴f〔﹣3〕=lg10=1，则f〔f〔﹣3〕〕=f〔1〕=0，当x≥1时，f〔x〕=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，〔x〕=lg〔x2+1〕≥0最小值0，故f〔x〕的最小值是．故答案为：0；．点评：此题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．〔6分〕〔2015•浙江〕函数f〔x〕=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得f〔x〕=sin〔2x﹣〕+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f〔x〕=sin2x+sinxcosx+1=〔1﹣cos2x〕+sin2x+1=sin〔2x﹣〕+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕故答案为：π；[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕点评：此题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．〔4分〕〔2015•浙江〕假设a=log43，则2a+2﹣a=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：此题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．〔4分〕〔2015•浙江〕如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：此题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．〔4分〕〔2015•浙江〕假设实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方〔含直线〕，即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=〔2x+y﹣2〕+〔6﹣x﹣3y〕=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A〔，〕处取得最小值3；在直线的下方〔含直线〕，即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣〔2x+y﹣2〕，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣〔2x+y﹣2〕+〔6﹣x﹣3y〕=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A〔，〕处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点评：此题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．〔6分〕〔2015•浙江〕已知是空间单位向量，，假设空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=〔，，0〕，=〔1，0，0〕，由已知可解=〔，，t〕，可得|﹣〔|2=〔x+〕2+〔y﹣2〕2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，〔x+〕2+〔y﹣2〕2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=〔，，0〕，=〔1，0，0〕，=〔m，n，t〕，则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=〔，，t〕，∵﹣〔〕=〔﹣x﹣y，，t〕，∴|﹣〔|2=〔﹣x﹣y〕2+〔〕2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=〔x+〕2+〔y﹣2〕2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，〔x+〕2+〔y﹣2〕2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：此题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．〔14分〕〔2015•浙江〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设△ABC的面积为3，求b的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：〔1〕由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．〔2〕由=×=3，可得c，即可得出b．解答：解：〔1〕∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc ﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈〔0，π〕，∴sinC==．∴tanC==2．〔2〕∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：此题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．〔15分〕〔2015•浙江〕如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．〔1〕证明：A1D⊥平面A1BC；〔2〕求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：〔1〕以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；〔2〕所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：〔1〕证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1〔0，0，〕，B〔，0，0〕，C〔﹣，0，0〕，A〔0，，0〕，D〔0，﹣，〕，B1〔，﹣，〕，=〔0，﹣，0〕，=〔﹣，﹣，〕，=〔﹣，0，0〕，=〔﹣2，0，0〕，=〔0，0，〕，∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；〔2〕解：设平面A1BD的法向量为=〔x，y，z〕，由，得，取z=1，得=〔，0，1〕，设平面B1BD的法向量为=〔x，y，z〕，由，得，取z=1，得=〔0，，1〕，∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．点评：此题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．〔15分〕〔2015•浙江〕已知函数f〔x〕=x2+ax+b〔a，b∈R〕，记M〔a，b〕是|f〔x〕|在区间[﹣1，1]上的最大值．〔1〕证明：当|a|≥2时，M〔a，b〕≥2；〔2〕当a，b满足M〔a，b〕≤2时，求|a|+|b|的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；〔2〕讨论a=b=0以及分析M〔a，b〕≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：〔1〕由已知可得f〔1〕=1+a+b，f〔﹣1〕=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f〔x〕在[﹣1，1]上单调，所以M〔a，b〕=max{|f〔1〕，|f〔﹣1〕|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M〔a，b〕≥〔|1+a+b|+|1﹣a+b|〕≥|〔1+a+b〕﹣〔1﹣a+b〕|≥|2a|≥|a|≥2；〔2〕当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：此题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答此题的关键是正确理解M〔a，b〕是|f〔x〕|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．〔15分〕〔2015•浙江〕已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．〔1〕求实数m的取值范围；〔2〕求△AOB面积的最大值〔O为坐标原点〕．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔1〕由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得〔m2+2〕y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．可得△＞0，设线段AB的中点P〔x0，y0〕，利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．〔2〕直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：〔1〕由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得〔m2+2〕y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由题意，△=4m2n2﹣4〔m2+2〕〔n2﹣2〕=8〔m2﹣n2+2〕＞0，设线段AB的中点P〔x0，y0〕，则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．〔2〕直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2〔m2﹣n2+2〕=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：此题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．〔15分〕〔2015•浙江〕已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2〔n∈N*〕〔1〕证明：1≤≤2〔n∈N*〕；〔2〕设数列{a n2}的前n项和为S n，证明〔n∈N*〕．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：〔1〕通过题意易得0＜a n≤〔n∈N*〕，利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；〔2〕通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥〔n≥2〕，从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：〔1〕由题意可知：0＜a n≤〔n∈N*〕，又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2〔n∈N*〕；〔2〕由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥〔n≥2〕．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即〔n∈N*〕．点评：此题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决此题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
浙江省高考数学试卷(理科)试题与解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科)及答案解析版一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）B6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card （A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f （x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）+3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，成等比数列，得．，∴，=**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）B根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．==，6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card （A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；x=t==8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．解：双曲线，c=，渐近线方程是±；±10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．，=）的最小值是；11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．sin）++可得函数的单调递减区间．（sin2x+1sin），=≤+≤，，]，]12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．，+=故答案为：13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．AN=2ME=MC=2，EC==，EMC===故答案为：．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．，）处取得最小值，）处取得最小值x=y=15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．由题意和数量积的运算可得＜•，不妨设=（，，，=，由已知可解（，|﹣（|）（x+）（由模长公式可得解：∵=||||cos•＜•=•＞，不妨设（，，==n=2，=m=，m=n=∴（，﹣（）（﹣，|﹣（|﹣x）（）（，故=2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．由余弦定理可得：c可得sinC=，即可得出tanC=）由=×A=，∴由余弦定理可得：=．∴c b=．可得，﹣，即cosC=．=tanC=）∵=×c=2=317．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．•==0AC=2，=）（，，，﹣，，﹣，），，（﹣，﹣）（﹣，，=••=0的法向量为，得，得=的法向量为，得，得=，，＞==．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．﹣，所以或≥||2a|19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．，可得=，代入椭圆方程，可得，则×+n=上，∴+2，∴m=|n|=，AOB=，又∵．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．≤可得通过﹣≥（≥，化简即得结论．（﹣，∴=2，∴≤）由已知，=a++=下面证明：≥（﹣，+=，﹣=≤≤，即当，均有≥=≥，（。
2015年浙江省高考数学试题评析
今年的高考数学试卷，延续了浙江省多年的命题风格，保持了低起点、宽入口、多层次、区分好的特色，试题的题型和背景熟悉而常见，整体感觉试题灵活，思维含量高，能充分考查学生的数学素养、思维品质、学习潜能，有很好的区分度和选拔功能。
试卷主要体现了以下特点：1.考查双基、注重覆盖试卷全面考查了高中数学的基础知识和基本技能，着重考查了中学数学教材中的主干知识，准确把握了高中数学的教学重点。
试题覆盖了高中数学的核心知识，涉及了函数的概念、单调性、周期性、最大值与最小值、三角函数、数列、立体几何、解析几何等主要知识，考查全面而又深刻，甚至容易被忽视的存在量词也进行了必要的考查。
2.注重思维、凸显能力今年的试题看似熟悉平淡，但将数学思想方法和素养作为考查的重点，提高了试题的层次和品位，能力考查步伐加大，许多试题保持了干净、简洁、朴实、明了的特点，充分体现了数学语言的形式化与数学的意义，对考生的数学语言的阅读、理解、转化、表达等能力提出了较高的要求。
如理科第7、8、14、15、18、20题，文科第8、15、20(2)题等，数学形式化程度高，不仅需要考生有较强的数学阅读与审题能力，而且需要考生有灵活机智的解题策略与分析问题解决问题的综合能力。
3.分层考查、文理有别试题层次分明，由浅入深，各类题型的起点难度较低，但落点较高，选择、填空题的前几道不需花太多时间就能破题，而后几题则需要在充分理解数学概念的基础上灵活应变;解答题的5个题目中共有10个小题，仍然具有往年的多问把关的命题特点。
试卷关注文理考生在数学学习方面的差异。
理科特点突出，注重考查理性思维和抽象概括能力，文科注重考查形象思维和定量处理能力。
全卷文理相同题仅有1题，姐妹题也只有2题，文科较理科在许多方面都作了适当的降低。
4.稳中有变、坚持创新创新是时代的特征，试卷在三类题型不变的基础上，在试卷结构与命题手法上作了创新，改变以往一成不变的模式，减少了两个选择题，丰富了填空题的形式，出现了一题多空。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题 (理科)解析版
2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =I ð（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm【答案】C.3. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ） A.140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>4. 命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6. 设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-U I ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立7. 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+8. 如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. 双曲线2212xy-=的焦距是，渐近线方程是．10. 已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．11. 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．12. 若4log 3a =，则22aa-+= ．【答案】334. 【解析】13. 如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．13. 若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．15. 已知12,e e r r 是空间单位向量，1212e e ⋅=r r ，若空间向量b r 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=r r r r ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈r u r u u r r u r u u r u u u u r，则0x = ，0y = ，b =r ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=o，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. （1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.18.（本题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.19.（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．20.（本题满分15分）已知数列{}n a满足1a=12且1na+=na-2na（n∈*N）（1）证明：112nnaa+≤≤（n∈*N）；（2）设数列{}2n a的前n项和为n S，证明112(2)2(1)nSn n n≤≤++（n∈*N）.。
稳中求变 体现创新——2015年浙江数学高考理科数列试题评析
稳中求变体现创新——2015年浙江数学高考理科数列试题
评析
卢明
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2015(000)008
【摘要】2015年浙江省数学高考理科试题与前2年一样，考了一道数列解答题，分值为15分．不同的地方有2点：一是2015年理科数列增加了一个小题一选择题第3题，分值为5分，主要考查等差（等比）数列的概念、前n项和，解题思路常规，难度不高；
【总页数】5页(P21-25)
【作者】卢明
【作者单位】元济高级中学浙江海盐314300
【正文语种】中文
【中图分类】G634.75
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完全归纳， 也是有漏洞的．
得
第8 期
卢 明： 稳中求变 体现创新
· 23· 1 上单调递增， 所 ) 在 [ 2（ k1+ 1） ， k +2]
2
an 1 1 = － ， an an + 1 an + 1 即 由第 1 ） 小题知 从而 于是 1 ≤ 1≤ an 1 1 = － ． an + 1 an + 1 an 1≤ an ≤2 ， an + 1
*
an － 1 ） = 0， 因为 an － 1 ≤
1 ， 所以 an － 1 = 0． 由递推式得 2
an － 1 = an － 2 = … = a1 = 0， 从而an ≠0． 矛盾， 点评 例 1 第 1） 小题考查的知识点和思想方法 主要有递推数列、 数列的单调性、 不等式的基本性质、 作差比较法以及等价转换的数学思想． 下面证明例 1 的第 2） 小题． 证法 1 由条件得 a2 n = an － an + 1 ， 从而 于是
an ≤an － 1 ≤…≤a1 = 从而
1 ， 2 （ 2）
又
an + 1 1 = 1 － an ≥ ＞ 0， an 2
1 1 = n + 2， ≥1 + 1 + … + 1 + 于是 1 an + 1 2 Sn 1 1 （ 其中 n∈N * ） ． ≤ ≤ n 2（ n + 1） 2（ n + 2） 点评 以上证明使用了迭代法、 分析综合法和
1 ） 小题的结论和递推关系， 然后使用“同向不等式 相加” 等不等式基本性质． 关于本题所考查的知识 ： “主要考查数列的递推公式 点， 命题组的说法是 与单调性、 不等式性质等基础知识， 同时考查推理 论证能力． ” 此题还可以用数学归纳法来证明 ． 证法 3
2 所以 S n = 因为 a n = a n － a n + 1 ，
1 因此 an + 1 与 an 同号． 因为 a1 ＞ 0， 所以 0 ＜ an ≤ （ 下 2 略） ．
2 从递推式 an + 1 = an － an 到式（ 2） ， 必须 仔细推敲，
放缩法， 不少学生用了以上方法， 有的教师认为本 “超纲” 题有 的嫌疑． 再来看看命题组给出的解法． 证法 2 “证法 1 ” ． 式（ 3 ） 式（ 3 ） 之前的证明同 之后的证明如下：
2 进而有 an + 1 ≤ an ≤ 缩法来证， 即 an + 1 = an － an ≤ an ，
1 － an + 1 ， 2
Sn 1 － 2an + 1 = ． n 2n
Sn 1 1 ， ≤ ≤ 等价于证明 要证明 2（ n + 2） n 2（ n + 1） n +2≤ 由第 1） 小题得 从而 1 ≤ 2（ n + 1） ． an +1 （ 3）
2 证法 1 由题意 an + 1 － an = － an ≤0， 知数列｛ an ｝
单调递减， 且 an +1 ≤ an ≤ an －1 ≤ … ≤ a1 = 又由 an + 1 = （ 1 － an ） an 得 an = （ 1 － an － 1 ） an － 1 = … = （ 1 － an － 1 ） （ 1 － an － 2 ） …（ 1 － a1 ） a1 ＞ 0， 从而 1 0 ＜ an ≤ ． 2 1 ． 2 （ 1）
an － 1 ≤…≤a1 =
1 ． 2
1 1≤ ≤2， 1 － an
以上证明中， 因此要往下 由式（ 1） 得不出 an ＞ 0， 证， 必须先证明 an ＞ 0， 在不等式 an + 1 ≤an 的 2 否则， 边同除以 an + 1 时就会有问题， 这一点考生往往容易疏 忽． 有多位学生在第 1 ） 小题的证明中产生了类似错 误， 如：
第8 期
卢 明： 稳中求变 体现创新
· 21·
稳
中
求
变
体
现
创
新
— — —2015 年浙江数学高考理科数列试题评析
●卢 明
（ 元济高级中学 浙江海盐 314300）
2015 年浙江省数学高考理科试题与前 2 年一样， 考了一道数列解答题， 分值为 15 分． 不同的地方有 2 — —选择 点： 一是 2015 年理科数列增加了一个小题— 题第 3 题， 分值为 5 分， 主要考查等差（ 等比） 数列的 概念、 前 n 项和， 解题思路常规， 难度不高； 二是数列 解答题放在了第 20 题压轴题的位置， 形式新颖， 难度 较大， 学生普遍上手困难． 这也是体现命题理念的一 — —压轴题的第 1） 小题不再轻易送分， 种创新— 这一 理念在 2014 年的压轴题上已经开始渗透． 因为理科 “ ， 数列题的以上 新动向” 所以它自然成为大家关注和 议论的热点之一． 2009 年以来， 浙江省数学高考理科试题都是以函 2014 年考了带绝对值 数题压轴， 多数是考导数知识， 的函数． 2015 届高三是浙江省普通高中深化课程改革 的第 1 届毕业生， 数学教学内容有所调整， 导数内容 “ “选修” ， B 范围． 为此， 从 必修” 变为 列入 高考前大 Ⅰ 家都在猜想： 2015 年浙江省数学高考理科压轴题将考 什么？ 是延续 2014 年的考法？ 还是另辟蹊径？ 后 2015 年理科数学可能会以数列题压 来， 坊间有传说， ， “ 轴． 于是 作为压轴题的数列又将会考什么？ 怎么 考？” 一线教师、 教研员议论纷纷． 各地模拟卷数列压 轴题蜂拥而上， 形式、 内容、 技巧各抒己见． 为了让试 题体现创新， 凸显能力， 命题者积极尝试与递推数列、 不等式放缩等知识挂钩， 各种题型层出不穷． 高考试题真的会是这样出吗？ 怎样做才能既达 “ “ “ 到 压轴” 的目的， 又不超越 课标” 要求， 还能坚守 宽 入口、 深展开、 重通法、 淡技巧” 的浙江命题风格呢？ 这对命题者来说的确是一场严峻的挑战． 然而， 最终 亮相的高考真题， 还是较好地回答了以上问题． 1 试题再现， 立意分析 例 1 已知数列｛ an ｝ 满足 a1 =
1 ， 且 an + 1 = an － 2
an * 1） 求证： 1≤ ≤2（ 其中 n∈N ） ； an + 1
· 22· 由式（ 1） 得
中学教研 （ 数学）
2015 年
证明 an ≠0 还可以使用反证法． 证法如下：
2 假设 an = 0． 由已知得 an = an － 1 － an － 1 = an － 1 （ 1 －
2 2 Sn = a2 1 + a2 + … + a n =
an an ， 所以 ≥1． an + 1 an ≤2， 等价于证明 2an + 1 ≥an ． 作差得 再证明 an + 1 2an + 1 － an = 2（ an － a2 n ） － a n = a n （ 1 － 2a n ） ≥ an （ 1 － 2a1 ） ≥0， 从而 an ≤2． an + 1 an * 1≤ ≤2（ 其中 n∈N ） ． 综上所述， an + 1 解法 1” 中证明数列｛ an ｝ 单调递减用的 点评 “ 是作差比较法， 即先证 an + 1 － an ≤0． 也可以直接用放
2 由 an + 1 = an － an ≤an 得
1 1 1 1 = = + = an + 1 an （ 1 － an ） 1 － an an 1 1 1 + + =… = 1 － an 1 － an － 1 an － 1 1 1 1 1 + +… + + ≤ 1 － an 1 － an － 1 1 － a1 a1 2 +2 + … +2 + 1 = 2n + 2． 1
* a2 n （ 其中 n∈N ） ．
2） 假 设 数 列 ｛ a2 证 明： n ｝ 的 前 n 项 和 为 Sn ， Sn 1 1 （ 其中 n∈N* ） ． ≤ ≤ n 2（ n + 1） 2（ n + 2） （ 2015 年浙江省数学高考理科试题第 20 题） 从试题表述看， 它继续保持了简洁明了、 通俗易 懂的浙江风格， 不让考生在审题上耗费过多的时间和 精力． 回顾 2011 ～ 2014 年的浙江省高考理科数列试 2015 年的数列题与前几年相比， 题， 不难发现， 最明显 的差异在于已知条件发生了质的变化： 条件给出的数 列｛ an ｝ 既不是等差数列， 也不是等比数列， 而是一个 递推数列， 并且它的递推关系也不是学生常见的； 从 求解的结论看， 摆脱了以往求通项、 求和之类的常规 “尾 设问， 而是将数列与不等式证明结合起来， 后面的 2011 巴” 翘得也比较高， 压轴压得很稳当． 要说继承， 2014 年考过不等式恒成 年考过 2 个数列的和比大小， 立问题， 因此 2015 年考不等式证明， 不是空穴来风， 而 是一种继承和发展． 用数列题代替函数题压轴， 是 2015 年命题布局上的一种创新． 2 解法探讨， 智慧碰撞 例 1 入口虽宽， 但门槛较高， 加上条件表述方式 比较新颖、 隐蔽， 导致考生难以上手． 首先， 许多考生 “an + 1 = an － a2 ， 对递推关系中的 没有读懂所蕴含的 n” 从而没有想到判断数列｛ an ｝ 的单调性． 有的考 意思， 生证明了｛ an ｝ 单调递减， 但是没有意识到需要证明 an ＞ 0， 导致解题漏洞． 下面解答例 1． 或者无法证明， 先证例 1 的第 1） 小题．
an an 1 * = = 1≤ ≤2（ 其中 n∈N ） ． an + 1 an （ 1 － an ） 1 － an （ 注： 以上是命题组给出的证法． ） an 证法 2 先证 ≥1． 数列｛ an ｝ 的单调性及 an ＞ an + 1 0（ 其中 n∈N ） 的证明同 “ ． 由式（ 1） 得 an + 1 ≤ 证法 1”