函数的单调性,极值与最值

心理学家研究的结果： 按记忆能力的强弱来分，黄金时段 是20-40岁；其次是40-65岁和 12-20岁；12岁以下较差。强迫12岁 以下的少年记忆大量内容是不妥当的。 也有的心理学家认为： 若以18-35岁的记忆能力为100，那 么，36-60岁为95；60-85岁为8085。即：年龄大，对记忆的影响并不大。
（4）确定 f ( x ) 的间断点、 f ' ( x ) 不存在的点xk；
（5）用 xi、xk把函数的定义域划分为单调区间； （6）把以上结果制成表格。
5
3 2 例4 确定f x 2 x 9 x 12 x 3的单调区间
解 定义域 ,
f x 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
2x1 1, x 2 3时，y 0
法1
3x在 1的左侧附近时， x 0 f f 1 10为极大值。 x在 1的右侧附近时， x 0 f
. f 3 22为极小值 x在3的右侧附近时， x 0 f
a x1
o
x2 x3
x4
x5
x6
b
x
设 f f 定理1（必要条件） f x 在x 0点可导， x 0 为极值，则 x 0 0.
驻点：使导数为零的点（即方程 f ' ( x ) 0的实根）。 可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。
问题：怎样才能从驻点中找出极值点？
令y 0, 得x 15km.
y
x0
400k , y x 15 380k ,
sin x x
只有一个实根
是一个根
f ( x ) sin x x , x 0
f ' ( x) cos x 1 0
f (x)在（ ， ）单调递减。
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第五节 函数的极值及其求法
极值定义
y
y f (x)
a x1


o
x2

x4
x5
x6
b
x
若U x0 , , x U x0 , , f x f x 0 f x f x 0 ,
y x sinx在0,2 上单调增加。
3
例2 讨论y e x x 1的单调性 解 定义域 ,, y e x 1, x 0时y 0,
x ,0, y 0, f x 在( ,0]上单调减少 ,
. x 0,, y 0, f ( x )在[0,)上单调增加
则f x 0 为 极 小 值 。
（3）如果当 取x 0 左右两侧邻近的值时，' ( x )恒为正或恒 x f 为负，那么函数 ( x )在x 0 处没有极值。 f
定理3（第二充分条件） 设f x 0 , f x 0 0, 则
1 f x 0 0时, f x 0 为极大值 ; 2 f x 0 0时, f x 0 为极小值 .
' '
'
f ( x0 ) 0
'
f '( x) 0 x x0
x x0 , f ( x ) 0; x x0 , f ( x ) 0
'
f ( x0 ) 是极大值
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例1 求f x x 3 3 x 2 9 x 5的极值. 解 1 f ' x 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3)
解
1 f ' x 6 x( x 2 1) 2 2x1 1, x 2 0, x 3 1时，y 0
3 f " x 6( x 2 1)(5 x 2 1) f 0 0, f 0 0为极小值 .
! f " 1 0，法二失效，用法一
令y 0, 得x 1,2;
1,2, 2,.
x
f x f x
x 1,2将定义域 ,划分为三个区间 ,1,
,1

1
0
1,2

2
0
2,

. 则f x 在(,1], [2,)上单调增加 在1,2上单调减少 ,
1
第四节 函数单调性的判定法
B
A
y f x
y f x
A
B
a
x
b
a
x
b
x (a, b), f ' ( x ) 0
x (a, b), f ' ( x ) 0
问题： 反过来，若 x (a, b), f ' ( x ) 0, f ( x ) ？ 若 x (a, b), f ' ( x ) 0, f ( x ) ？
16
例3 求f x 1 ( x 2) 的极值。
解 1 f ' x
2 3 x2
3
2 3
0
2x 2时，f x 不存在.
3x ,2时，f x 0 x 2,时，f x 0 f 2 1为极大值 .
a x1
o
x2
x4 c
x5 d x6 e b
x
注： （1）函数的极大值和极小值是局部性的。 f ( x 2 ) f ( x 6 )。 如： （2） 函数的极值只能在区间内部取得取得。 （3）若函数在某区间内部有唯一的极值点， 则极大值一定是 最大值，极小值一定是最小值。
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y
y f (x)
法2
x在3的左侧附近时， x 0 f
3 f " x 6 x 6 f " 1 12 0 f " 3 12 0
f 1 10为极大值.
f 3 22为极小值.
15
2 3 例2 求f x ( x 1) 1的极值.
f ( x ) 0
f x1 f x 2 f x1 x 2 0 ( x1 x 2 )
同样的方法可证（2）。 . 例1 判定y x sin x在0,2 上的单调性 解
x 0,2 ,
y 1 cos x 0.
f x 6 x 2 6 x 12 6( x 2)( x 1)
令f x 0, 得驻点x 2,1.
f 3 23;
f 2 34;
f 1 7; f 4 142.
18
比较得f 4 142为最大值， 1 7为最小值 f .
减少）的。
又例 讨论y x cos x的单调性
解
定义域 ,
y 1 sin x 0
2 f x 在 ,上单调增加 .
（除去x 2k

, k 0,1,2,时）
7
利用单调性证不等式
1 2 例6 证明x 1时， x 3 . x 1 令f x 2 x ( 3 ), 证 x
则f x
1 x

1 1 2 ( x x 1). x2 x
在1, 内，f x 0
f x 在[1,)上单调增加 ,
x 1时, f x f 1 0
即x 1时， x 3 2 1 . x
8
试证方程
提示： 设
2. 实际问题中的最大最小值问题 例2 已 知 铁 路 每 公 里 货 运 的 费 运 A
与公路上每公里货运的 费 运 最省？ 之 比 为3：,问D选 何 处 ， 运 费 5
铁路
100km

D

B
20km
2
公路
解 设AD x , 则CD 20 x ,
2
C 工厂

运费y 5k 400 x 2 3k 100 x (0 x 100) 5x y k( 3) 2 400 x
3
例3 讨 论y
x 2的 单 调 性
y
y
3
解
定义域 ,,
2 2 3 y x 3 , 3 3 x
1
x2
o
x 0时y 不；
x 0时，y 0； f x 在(,0]上单调减少 ,
x 0时，y 0.
x
f ( x )在[0,)上单调增加 .
2
函数的单调性的判定法
1若x a, b, f x 0, 则f x 在a, b上单调增加 .
2若x a, b, f x 0, 则f x 在a, b上单调减少 .
证 1x1 , x 2 a, b, 且x1 x 2 ,
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充分条件 定理2（第一充分条件） (1)在x 0 左 侧 附 近 ， x 0； 在x 0 右 侧 附 近 x 0， f f
( 2)在x 0 左 侧 附 近 ， x 0； 在x 0 右 侧 附 近 x 0， f f
则f x 0 为 极 大 值 .
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定理3（第二充分条件） 设f x 0 , f x 0 0, 则
1 f x 0 0时, f x 0 为极大值 ; 2 f x 0 0时, f x 0 为极小值 .
分析：
f ' ( x ) f ' ( x0 ) '' f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) 0 x x0
x在 1的左侧附近时， x 0 f
1
1
x在 1的右侧附近时， x 0 f
f 1不是极值 .
f 1不是极值 .
x在1的左侧附近时， x 0 f
x在1的右侧附近时， x 0 f
x1 1, x 3 1 是函数的驻点。
习题 如果
2
y ax 3 bx 2 cx d满足条件 2 3ac 0, b 则这函数没有极值 .
2 2 y' 提示： 3ax 2bx c, 4(b 3ac) 0
a 0, y ' 0, a 0, y ' 0,
原函数递增 原函数递减
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第六节 最大值最小值问题
内可导，求最大值和最 . 1. f x 在a, b上连续，在a, b 小值
函数取得最值的点： （1）驻点； （2）区间端点。
a
b
4 例1 求y 2 x 3 3 x 2 12x 14在 3，上的最大值和最小值。
解
f x 2 x 3 3 x 2 12 x 14
则称f x 0 为极大 (小) 值，x 0为极大 (小) 值点.
f ( x 2 )、f ( x 5 )
极大值， x 2、x 5
极大值点。 极小值点。
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f ( x1 )、f ( x 4 )、f ( x 6 )
极小值，x1、x 4、x 6
极 大 值 极 值 极 小 值
y
极大值点 极值点 极小值点 y f (x)
4
结论：若函数在其定义域上连续，除(有限个点)导数不存在的点外， 导数存在且连续，则用 f ' ( x ) 0的根及 f ' ( x )不存在的点划分 f ( x ) 的定义域区间， f ( x ) 在这样的每个区间上的单调。 划分函数 f ( x ) 的单调区间的步骤:
（1）确定函数定义域； （2）求 f ' ( x ); （3）令 f ' ( x ) 0 , 求出它的根xi;
6
例5 讨论y x 3的单调性 解 定义域 ,
y 3x 2 0
（除去 0） x
f x 在 ,上单调增加 .
结论： 若 f ' ( x ) 在某区间内的个别点处为零， 在其余各点 均为正（或负）时， 则 f ( x )在该区间上仍是单调增加（或单调