初中数学 第一节 一次方程与方程组及应用 精练
淄博市初中数学方程与不等式之一元一次方程技巧及练习题附解析
淄博市初中数学方程与不等式之一元一次方程技巧及练习题附解析一、选择题1．我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x 天相遇，可列方程为（ ）A ．179x x -=B ．179x x += C ．7x+9x=1 D ．9x-7x=1【答案】B 【解析】 【分析】直接根据题意得出野鸭和大雁的飞行速度，进而利用它们相向而行何时相逢进而得出等式． 【详解】解：野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x 天相遇，可列方程为：11179x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即179x x +=，故选B. 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出每天飞行的距离是解题关键．2．如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20dm ；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30dm ，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12dm ，且水桶与铁柱的底面半径比为2:1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为（ ）A ．4.5dmB ．6dmC ．8dmD ．9dm【答案】D 【解析】 【分析】由水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，得到水桶底面积：铁柱底面积=4：1，设铁柱底面积为a(dm 2)，水桶底面积为4a(dm 2)，于是得到水桶底面扣除铁柱底面部分的环形区域面积为4a-a=3a(dm 2)，，根据原有的水量为3a×12=36a (dm 3)，列出方程，即可得到结论． 【详解】∵水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1， ∴水桶底面积：铁柱底面积=4：1，设铁柱底面积为a(dm 2)，则水桶底面积为4a(dm 2)，∴水桶底面扣除铁柱底面部分的环形区域面积为4a−a=3a(dm 2)， ∴原有的水量为：3a×12=36a (dm 3)， 设水桶内的水面高度变为xdm ， 则4ax=36a ，解得：x=9， ∴水桶内的水面高度变为9dm ． 故选D ． 【点睛】本题主要考查用一元一次方程解决圆柱体的等积变形问题，掌握圆柱体的体积公式是解题的关键．3．解方程2153132x x +--=，去分母正确的是（ ） A ．2(21)3(53)1x x +--= B ．21536x x +--=C ．2(21)3(53)6x x +--=D ．213(53)6x x +--=【答案】C 【解析】试题分析：方程两边同乘以6得2（2x+1）-3（5x-3）=6，故答案选C. 考点：去分母.4．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件.设原计划每小时生产x 个零件，则所列方程为( ) A ．1312(10)60x x =++B ．12(10)1360x x +=+C ．60101312x x +-= D ．60101213x x+-= 【答案】B 【解析】 【分析】实际生产12小时的零件比原计划13小时生产的零件多60件，根据生产总量=生产效率乘以时间即可列出方程 【详解】实际生产12小时的零件数量是12（x+10）件， 原计划13小时生产的零件数量是13x 件， 由此得到方程12(10)1360x x +=+， 故选：B. 【点睛】此题考查列方程解决实际问题，正确理解原计划与实际生产的工作量之间的关系是解题的关键.5．方程834x ax -=-的解是3x =，则a 的值是（ ）. A ．1 B ．1-C ．3-D ．3【答案】A 【解析】 【分析】把3x =代入方程834x ax -=-，得出一个关于a 的方程，求出方程的解即可． 【详解】把3x =代入方程834x ax -=-得： 8-9=3a-4 解得：a=1 故选：A ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元二次方程的解，能够得出关于a 的一元一次方程是解此题的关键．6．如图，平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=12cm ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止(同时点Q 也停止)，在运动以后，以P 、D 、Q 、B 四点组成平行四边形的次数有( )A ．4次B ．3次C ．2次D ．1次【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=12，AD ∥BC ， ∵四边形PDQB 是平行四边形， ∴PD=BQ ，∵P 的速度是1cm/秒， ∴两点运动的时间为12÷1=12s ， ∴Q 运动的路程为12×4=48cm ， ∴在BC 上运动的次数为48÷12=4次，第一次PD=QB 时，12-t=12-4t ，解得t=0，不合题意，舍去；第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12-t=4t-12，解得t=4.8；第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12-t=36-4t，解得t=8；第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12-t=4t-36，解得t=9.6．∴在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，故选：B．考点：平行四边形的判定与性质7．足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.一个队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了A．3场B．4场C．5场D．6场【答案】C【解析】【分析】设共胜了x场，本题的等量关系为：胜的场数×3+平的场数×1+负的场数×0=总得分，解方程即可得出答案．【详解】设共胜了x场，则平了（14-5-x）场，由题意得：3x+（14-5-x）=19，解得：x=5，即这个队胜了5场．故选C．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是要掌握胜的场数×3+平的场数×1+负的场数×0=总得分，难度一般．8．小元步行从家去火车站，走到 6 分钟时，以同样的速度回家取物品，然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3 分钟．小元离家路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数图象如图，从家到火车站路程是( )A．1300 米B．1400 米C．1600 米D．1500 米【答案】C【解析】【分析】根据图象求出小元步行的速度和出租车的速度，设家到火车站路程是x米，然后根据题意，列一元一次方程即可．【详解】解：由图象可知：小元步行6分钟走了480米 ∴小元步行的速度为480÷6=80（米/分） ∵以同样的速度回家取物品， ∴小元回家也用了6分钟∴小元乘出租车（16－6－6）分钟走了1280米 ∴出租车的速度为1280÷（16－6－6）=320（米/分） 设家到火车站路程是x 米 由题意可知：62380320x x -=⨯+ 解得：x=1600 故选C ． 【点睛】此题考查的是函数的图象和一元一次方程的应用，掌握函数图象的意义和实际问题中的等量关系是解决此题的关键．9．方程2﹣24736x x --=-去分母得（ ） A ．2﹣2（2x ﹣4）=﹣（x ﹣7） B ．12﹣2（2x ﹣4）=﹣x ﹣7 C ．12﹣2（2x ﹣4）=﹣（x ﹣7） D ．以上答案均不对【答案】C 【解析】 【分析】两边同时乘以6即可得解. 【详解】解方程：247236x x ---=- 去分母得：122(24)(7)x x --=--.故选C. 【点睛】本题考查了解一元一次方程的去分母，两边乘以同一个数时要注意整数也要乘以这个数.10．下列等式的变形中，正确的有（ ） ①由53x =得53x =；②由a=b 得，-a=-b ；③由a b c c =得a b =；④由m n =得m 1n = A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】本题需先根据等式的性质对每一选项灵活分析，即可得出正确答案. 【详解】①若53x =，则35x =故本选项错误 ②若由a=b 得，-a=-b ，则-a=-b 故本选项正确 ③由a bc c=，说明c ≠0，得a b =故本选项正确 ④若m n =≠0时，则m1n=故本选项错误 故选:B 【点睛】本题考查了等式的基本性质，在已知等式等号两边同时加减或乘除等式是否仍然成立.11．根据等式性质，下列结论正确的是（ ） A ．如果22a b -=，那么=-a b B ．如果22a b -=-，那么=-a b C ．如果22a b =-，那么a b = D ．如果122a b =，那么a b = 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【详解】A.两边都除以-2，故A 正确；B.左边加2，右边加-2，故B 错误；C.左边除以2，右边加2，故C 错误；D.左边除以2，右边乘以2，故D 错误； 故选A ． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题的关键．12．已知∠1：∠2：∠3=2：3：6，且∠3比∠1大60°，则∠2=（ ） A ．10° B ．60°C ．45°D ．80°【答案】C 【解析】 【分析】根据∠1：∠2：∠3=2：3：6，则设∠1=2x ，∠2=3x ，∠3=6x ，再根据∠3比∠1大60°，列出方程解出x 即可. 【详解】解：∵∠1：∠2：∠3=2：3：6，设∠1=2x，∠2=3x，∠3=6x，∵∠3比∠1大60°，∴6x-2x=60，解得：x=15，∴∠2=45°，故选C.【点睛】本题是对一元一次方程的考查，准确根据题意列出方程是解决本题的关键.13．若代数式x＋2的值为1，则x等于( )A．1 B．－1 C．3 D．－3【答案】B【解析】【分析】列方程求解．【详解】解：由题意可知x+2=1，解得x=-1，故选B．【点睛】本题考查解一元一次方程，题目简单．14．某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，出售价不变，使得利润由n%提高到(n+6)%，则n的值为()．A．10 B．12 C．14 D．17【答案】C【解析】【分析】设原进价为x，根据等量关系：原进价+原来利润=进价降低后的进价+降价后的利润列方程求解即可．【详解】解：设原进价为x，则：x+n%•x=95%•x+95%•x•(n+6)%，∴1+n%=95%+95%(n+6)%，∴100+n=95+0.95(n+6)，∴0.05n=0.7解得：n=14．故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，此类题常用到得数量关系是：售价=进价+利润，进价×利润率=利润．15．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ） A ．24里 B ．12里C ．6里D ．3里【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设第一天走了x 里，则根据题意知234511111137822222x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，解得x=192，故最后一天的路程为5119262⨯=里. 故选C16．下列各式中：①由3x ＝﹣4系数化为1得x ＝﹣34； ②由5＝2﹣x 移项得x ＝5﹣2； ③由213132x x --=+ 去分母得2（2x ﹣1）＝1+3（x ﹣3）； ④由2（2x ﹣1）﹣3（x ﹣3）＝1去括号得4x ﹣2﹣3x ﹣9＝1． 其中正确的个数有（ ） A ．0个 B ．1个C ．3个D ．4个【答案】A 【解析】 【分析】根据解一元一次方程的去分母、去括号、移项及系数化1的方法依次判断后即可解答. 【详解】①由3x=﹣4系数化为1得x=﹣43，可知①错误； ②由5=2﹣x 移项得x=2﹣5，可知②错误；③由213132x x --=+去分母得2（2x ﹣1）=6+3（x ﹣3），可知③错误； ④由2（2x ﹣1）﹣3（x ﹣3）=1去括号得4x ﹣2﹣3x+9=1，可知④错误． 综上，正确的结论有0个，故选A. 【点睛】本题考查了解一元一次方程的去分母、去括号、移项及系数化1的方法，熟知解一元一次方程的基本步骤是解决问题的关键.17．我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有x 人，则可列方程为（ ） A ．8374x x +=+ B ．8374x x -=+C ．8374x x +=-D ．8374x x -=-【答案】B 【解析】 【分析】根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x 人，可列方程为：8x-3=7x+4． 故选：B 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出合适的等量关系，列出相应的方程．18．甲、乙两人都从A 出发经B 地去C 地，乙比甲晚出发1分钟，两人同时到达B 地，甲在B 地停留1分钟，乙在B 地停留2分钟，他们行走的路程y （米）与甲行走的时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的个数有（ ） ①甲到B 地前的速度为100/min m ②乙从B 地出发后的速度为600/min m ③A 、C 两地间的路程为1000m④甲乙在行驶途中再次相遇时距离C 地300mA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】①②③直接利用图中信息即可解决问题，求出到B 地后的函数关系式，利用方程组求交点坐标即可判定④的正确性． 【详解】解：由图象可知：甲到B 地前的速度为400÷4=100米/分钟，故①正确，乙从B 地出发后的速度为600÷2=300米/分钟，故②错误， 由图象可知，A 、C 两地间的路程为1000米，故③正确，设甲到B 地后的函数关系为y=kx+b ，则有540091000k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得150350k b =⎧⎨=-⎩， ∴y=150x-350，设乙到B 地后的函数关系为y=mx+n ，则有640081000m n m n +=⎧⎨+=⎩ ， 解得3001400m n =⎧⎨=-⎩， ∴y=300x-1400，由1503503001400y x y x =-⎧⎨=-⎩解得7700x y =⎧⎨=⎩ ，∴甲乙再次相遇时距离A 地700米， ∵1000-700=300，∴甲乙再次相遇时距离C 地300米，故④正确， 故选：C ． 【点睛】本题考查一次函数的应用、路程=速度×时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标解决实际问题，属于中考常考题型．19．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x 辆车，则可列方程（ ） A ．3(2)29x x -=+B ．3(2)29x x +=-C ．9232x x -+= D ．9232x x +-=【答案】A 【解析】 【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可． 【详解】设有x辆车，则可列方程：3（x-2）=2x+9．故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．20．某公园门票的收费标准如下：有两个家庭分别去该公园游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果一家比另一家少花40元，则花费较少的一家花了（）元.A．300 B．260 C．240 D．220【答案】B【解析】【分析】根据题意，分情况讨论：若花费较少的一家的购票方案为5人团购，则另一家花费340元，据此组合验证是否能凑成整数张成人票和儿童票；若花费较少的一家的购票方案是成人票和儿童票分开购买，则可根据题意设未知数，列方程求解并验证．【详解】若花费较少的一家是60×5=300（元），则花费较多的一家为340元，经检验可知，成人和儿童共5张票无法组合成340元．x+元，根据题意得：设花费较少的一家花了x元，则另一家花了40x+⨯40=605x=解得：260检验可知，该家庭有1个成人，4个儿童，共花费100+40×4=260（元）；故选：B．【点睛】本题考查一元一次方程应用，理清题意，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．。
浙教版初中数学中考复习：一次方程与方程组的应用 (共41张PPT)
• A．x－y＝20
B．x＋y＝20
C．5x－2y＝60
D．5x＋2y＝60
• (2)[2018·绍兴] 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题:一支竿子一条索,索比 竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托.如果1托为5尺,那么索长为 尺,竿子长为 尺.
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解析：
• 【练】(1)(2018·杭州)某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得＋5分，每答错一题得 －2分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题， 则( C )
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∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，
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∴－10a＋18 000≤[25a＋45(1 200－a)]×30%，∴a≥450.
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∵y＝－10a＋18 000，k＝－10＜0，∴y随a的增大而减小，
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∴a＝450时，y最大＝13 500元．
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∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13 500元
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解析：
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考点二：利用一元一次方程解决实际问题
• 【练】(原创题)如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连结而成．闲 置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图1所示)：使用时，可将 鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图2所示)．图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下 的平面示意图．已知第1节套管长50 cm，第2节套管长46 cm，以此类推，每一节套管均比 前一节套管少4 cm.完全拉伸时，为了使相邻两节套管连结并固定，每相邻两节套管间均有 相同长度的重叠，设其长度为x cm.
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考点二：利用一元一次方程解决实际问题
考点04 一次方程(组)与其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(原卷版)
考点04 一次方程（组）与其应用一元一次方程与二元一次方程组在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程，所以常放在一起统称为“一次方程”，而在数学中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，需要考生在一轮复习中把该考点熟练掌握。
考向一·等式的基本性质考向二·一元一次方程的解法考向三·二元一次方程组的解法考向四·一次方程（组）的简单应用考向一：等式的基本性质等式的基本性质【易错警示】1．下列判断错误的是（ ）A ．如果a ＝b ，那么a +c ＝b +c B ．如果ac ＝bc ，那么a ＝b C ．如果a ＝b ，那么ac ＝bcD ．如果a ＝b ，那么＝（c ≠0）2．已知3a ＝2b +5，下列等式不一定成立的是（ ）A ．3ab ＝2b 2+5b B ．3a +1＝2b +6C ．＝+D ．a ＝b +3．若，则x 与y 的等量关系是 （结果不含a ，b ）．4．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）：如果a c ＝b ，那么（a ，b ）＝c ．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝ ，＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ．（2）令（2，6）＝x ，（2，7）＝y ，（2，42）＝z ，试说明下列等式成立的理由：（2，6）+（2，7）＝（2，42）．5．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：（2）通过猜想，写出第n 个点阵相对应的等式： ．，那么考向二：一元一次方程的解法1.一元一次方程的概念：只含有1个未知数（元），未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程。
2.一元一次方程解法：上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；去分母①不含分母的项也要乘以最小公倍数；②分子是多项式的一定要先用括号括起来去括号括号外是负因数时，一是要注意变号，二是要注意各项都不要漏乘公因数移项移项要变号步骤名 称方 法1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）2去括号去括号法则（可先分配再去括号）3移项把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）4合并同类项分别将未知项的系数相加、常数项相加5系数化为“1”在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数）*6检根x =a方法：把x =a 分别代入原方程的两边，分别计算出结果。
中考数学复习第二章方程(组)与不等式(组)第一节一次方程(组)及其应用练习(2021年整理)
（东营专版）2019年中考数学复习第二章方程（组）与不等式（组）第一节一次方程（组）及其应用练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（东营专版）2019年中考数学复习第二章方程（组）与不等式（组）第一节一次方程（组）及其应用练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章方程（组）与不等式（组)第一节一次方程(组）及其应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2017·永州中考）x＝1是关于x的方程2x－a＝0的解，则a的值是（ )A．－2 B．2 C．－1 D．12．(2018·利津模拟）二元一次方程组错误!的解是( ）A.错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!3．（2019·改编题）已知x＝－3是方程k(x＋4)－2k－x＝5的解，则k值为( ）A．2 B．－2 C．5 D．34．(2018·新疆中考)某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!5．（2019·易错题）小明在拼图时,发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1。
小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形,中间还留下了一个洞，恰好是边长为3的小正方形,则每个小长方形的面积为( )A．120 B．135C．108 D．966．(2018·宁波中考）已知x，y满足方程组错误!则x2－4y2的值为__________．7．（2018·呼和浩特中考)文具店销售某种笔袋,每个18元，小华去购买这种笔袋,结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”,小华说：“那就多买一个吧，谢谢．”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款__________元．8．（2018·攀枝花中考)解方程：错误!－错误!＝1。
初中数学试题分类汇编：一次函数与方程、不等式综合训练1(选择 附答案)
初中数学试题分类汇编：一次函数与方程、不等式综合训练1（选择附答案）1．若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式kx﹣b＞0的解集为()A．x＜2 B．x＞2 C．x＜4 D．x＞42．若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（）A．（1，4）B．（1，2）C．（1，0）D．（1，3）3．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞32B．x＜32C．x＞3 D．x＜34．在同一直角坐标系内，若直线y=2x-1与直线y=-2x+m的交点在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＞—1 B．m＜1 C．—1＜m＜1 D．—1≤m≤1 5．如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m ＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（）7．如图，直线y 1＝kx+2与直线y 2＝mx 相交于点P(1，m)，则不等式mx ＜kx+2的解集是（ ）A ．x ＜0B ．x ＜1C ．0＜x ＜1D ．x ＞18．若以二元一次方程x +2y ﹣b=0的解为坐标的点（x ，y ）都在直线y=﹣12x+b ﹣l 上，则常数b=（ ）A ．12B ．2C ．﹣1D ．19．如图，直线y ＝kx ＋b (k ≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx ＋b ≥3解集为（ ）A ．x ≤－1B ．x ≥－1C ．x ≤3D ．x ≥310．如图，直线y=ax+b 过点A （0，2）和点B （﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（ ）A ．x=2B ．x=0C ．x=﹣1D ．x=﹣311．如图所示，函数1y x =和21433y x =+的图象相交于（–1，1），（2，2）两点．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）12．如图所示，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（3 2，3），则关于x的不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≤32B．x≤3C．x≥32D．x≥313．直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＜3 B．x＞3 C．x＞0 D．x＜014．如图,一次函数11y k x b=+,的图象1l与22y k x b=+的图象2l相交于点P,则方程组111222y k x by k x b=+⎧⎨=+⎩的解是（）A．23xy=-⎧⎨=⎩B．32xy=⎧⎨=-⎩C．23xy=⎧⎨=⎩D．23xy=-⎧⎨=-⎩15．一次函数y kx b=+（0k≠）的图象如图所示，则关于x的不等式0kx b+>的解集为（）A．1x>-B．1x<-C．2x>D．0x>16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x ，x 的二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解，那么这个点是A ．MB ．NC ．ED ．F17．若直线y=－2x －4与直线y=4x ＋b 的交点在第三象限，则b 的取值范围是（ ） A ．－4<b<8 B ．－4<b<0 C ．b<－4或b>8 D ．－4≤6≤818．直线y kx b =+与y mx =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式kx b mx +≤的解集为（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ≥﹣1D ．x ＜﹣119．如图，已知一次函数y=k x+b 的图象与x 轴，y 轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x 的方程0kx b +=的解为2x =；②关于x 的方程3kx b +=的解为0x =；③当2x >时，0y <；④当0x <时，3y <．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④20．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y ＝3x 和直线y ＝ax +b 交于点（1，3），根据图象分析，方程3x ＝ax +b 的解为（ ）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣321．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数1y k x =与2y k x b =+的图象， 则二元一次方程组21y k x b y k x =+⎧⎨=⎩的解是（ ）A ．20x y =-⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=-⎩D ．12x y =⎧⎨=⎩22．如图所示，一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，且k ≠0）与正比例函数y =ax （a 为常数，且a ≠0）相交于点P ，则不等式kx +b ＞ax 的解集是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞2D ．x ＜223．已知点A （-1，3），点B （-1，-4），若常数a 使得一次函数y =ax +1与线段AB 有交点，且使得关于x 的不等式组45(3)65425x x a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的个数为（ ）24．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，有下列结论:①0a >；②0k >；③当4x <时,kx b x a +>+其中正确的结论有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个25．如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于A(m ，3),则不等式2x ax+4<的解集为（ ）A ．3x 2>B ．x 3>C ．3x 2<D ．x 3<26．如图，直线与y 轴交于点（0，3）、与x 轴交于点（a ，0），当a 满足时，k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．27．一次函数y 1＝kx +b 与y 2＝x +a 的图象如下图所示，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③b ＞0；④当x ＜3时，y 1＜y 2；其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．观察图中的函数图象，则关于的不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．29．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当2x <时，y 的取值范围是( )A ．4y <-B ．40y -<<C ．2y <D ．0y <30．一次函数1y ax b 与2y cx d =+ 的图象如图所示，下列说法：①0ab ＜ ；②函数y ax d =+ 不经过第一象限；③不等式ax b cx d ++＞ 的解集是3x ＜ ；④()13a c db -=- ．其中正确的个数有( )A ．4B ．3C ．2D ．1参考答案1．A【解析】【分析】观察函数图象得到即可．【详解】由图象可得：当2x <时，函数y kx b =-的图象在x 轴的上方，所以关于x 的不等式0kx b ->的解集是2x <，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．2．A【解析】【分析】根据对称的性质得出两个点关于直线x ＝1对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出交点坐标即可．【详解】解：∵直线l 1经过点（﹣1，0），l 2经过点（2，2），关于直线x ＝1对称，∴点（﹣1，0）关于直线x ＝1对称点为（3，0），点（2，2）关于直线x ＝1对称点为（0，2），∴直线l 1经过点（﹣1，0），（0，2），l 2经过点（2，2），（3，0），∴直线l 1的解析式为：y ＝2x+2，直线l 2的解析式为：y ＝﹣2x+6，解方程组2226y x y x =+⎧⎨=-+⎩得，14x y =⎧⎨=⎩∴l 1和l 2的交点坐标为（1，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l 1与l 2的交点坐标为l 1与l 2与y 轴的交点是解题关键．3．B【解析】【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝32，∴点B（32，0）．观察函数图象，发现：当x＜32时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜32．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．4．C【解析】【分析】联立两直线的解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．【详解】解：联立方程组212y xy x m=-⎧⎨=-+⎩，解得：1412mxmy+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵交点在第四象限，∴1412mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得：11m-<<．故选：C．【点睛】本题考查了两直线的交点和一元一次不等式组的解法，属于常考题型，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活应用．5．D【解析】【分析】利用函数图象,找出直线y=x+m在直线y=kx-1的下方所对应的自变量的范围即可【详解】解析根据图象得,当x<-1时,x+m<kx-1故选D【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集和一次函数与ー元一次不等式，解题关键在于判定函数图象的位置关系6．D【解析】试题分析：∵B点在正比例函数y=2x的图象上，横坐标为1，∴y=2×1=2，∴B（1，2），设一次函数解析式为：y=kx+b，∵过点A的一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y=2x的图象相交于点B（1，2），∴可得出方程组，解得，则这个一次函数的解析式为y=﹣x+3．故选D．考点：1.待定系数法求一次函数解析式2.两条直线相交或平行问题．7．B【解析】【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案．【详解】解：∵直线y1＝kx+2与直线y2＝mx相交于点P（1，m），∴不等式mx＜kx+2的解集是x＜1，故选：B．【点睛】本题考查了对一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．8．B【解析】【分析】直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．【详解】因为以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣12x+b﹣l上，直线解析式乘以2得2y=﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2=0，所以﹣b=﹣2b+2，解得：b=2，故选B．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以2后和方程联立解答．9．B【解析】【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．【详解】解：观察图象知：当1x -时，3kx b +，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．10．D【解析】∵方程ax +b =0的解是直线y =ax +b 与x 轴的交点横坐标，∴方程ax +b =0的解是x =-3.故选D.11．B【解析】试题解析：当x≥0时，y 1=x ，又21433y x =+， ∵两直线的交点为（2，2），∴当x ＜0时，y 1=-x ，又21433y x =+， ∵两直线的交点为（-1，1），由图象可知：当y 1＞y 2时x 的取值范围为：x ＜-1或x ＞2．故选B ．12．C【解析】【分析】根据函数的图象即可写出不等式的解集．【详解】解：已知函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（32，3），根据函数图象可以看出，当x＝32时，2x＝ax+4；当x＞32时，2x＞ax+4；当x＜32时，2x＜ax+4；故关于x的不等式2x≥ax+4的解集为32x ．故选择C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图像及交点坐标，判断关于x的不等式的解集是解答本题的关键．13．A【解析】【分析】由图知：一次函数与x轴的交点横坐标为3，且函数值y随自变量x的增大而减小，根据图形可判断出解集．【详解】解：直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），当x=3时，y=0，函数值y随x的增大而减小；根据y随x的增大而减小，因而关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜3．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b＞0或ax+b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．14．A【解析】【分析】根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案．【详解】解：∵由图象可知：一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（-2，3），∴方程组111222y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是23x y =-⎧⎨=⎩， 故选A.【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．15．A【解析】【分析】直接从一次函数的图象上即可得到答案.【详解】解：由题图可知，当x ＞﹣1时，y=kx b +＞0，则不等式0kx b +>的解集为1x >-.故选A.【点睛】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获取信息. 16．C【解析】【分析】本题可以通过直线与方程的关系得到两直线都过定点E ，得到本题结论．【详解】解：两直线都过定点E ，所以点E 表示关于x 、y 的二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解，故选C ．【点睛】本题考查的是直线与方程的关系，还可以用解方程组的方法加以解决．【解析】【分析】联立y=－2x－4和y=4x＋b，求解得交点坐标，x和y的值都用b来表示，再根据交点坐标在第三象限表明x、y都小于0，即可求得b的取值范围：【详解】解：由244y xy x b=--⎧⎨=+⎩解得4683bxby+⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵交点在第三象限，∴4683bb+⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得48 bb>-⎧⎨<⎩∴－4＜b＜8．故选A．18．C【解析】【分析】根据函数图象交点左侧直线y=kx+b图象在直线y=mx图象的下面，即可得出不等式kx+b≤mx 的解集．【详解】解：由图可知，在x≥-1时，直线y=mx在直线y=kx+b上方，关于x的不等式kx+b≤mx的解是x≥-1．故选：C．本题考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．19．A【解析】【分析】根据一次函数的性质及一次函数与一元一次方程的关系对各结论逐一判断即可得答案.【详解】∵一次函数y=k x+b 的图象与x 轴，y 轴分别交于点（2，0），点（0，3），∴x=2时，y=0，x=0时，y=3，∴关于x 的方程0kx b +=的解为2x =；关于x 的方程3kx b +=的解为0x =， ∴①②正确，由图象可知：x>2时，y<0，故③正确，x<0时，y>3，故④错误，综上所述：正确的结论有①②③，故选A.【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的思想是解题关键.20．A【解析】【分析】根据方程的解即为函数图象的交点横坐标解答．【详解】解：∵直线y ＝3x 和直线y ＝ax +b 交于点（1，3）∴方程3x ＝ax +b 的解为x ＝1．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组21．D【解析】【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答．【详解】解：由题图可知：一次函数1y k x =与2y k x b =+的图象交于(1，2)，所以方程组21y k x b y k x =+⎧⎨=⎩的解是：12x y =⎧⎨=⎩； 故选：D ．【点睛】函数1y k x =与2y k x b =+的交点坐标就是方程组21y k x b y k x =+⎧⎨=⎩的解，明确此知识点是解题的关键．22．D【解析】分析：以函数的交点为分界线，然后看谁的图像在上面就是谁大．详解：根据函数图像可得：当x ＞2时，kx+b ＜ax ，故选C ．点睛：本题主要考查的是不等式与函数之间的关系，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是看懂函数图像．23．D【解析】【分析】根据一次函数y=ax+1与线段AB 有交点，求得-2≤a≤5，且a≠0，再解不等式组得18525x x a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜ ，由题意得a≤4，据此a 的值为-2，-1，1，2，3，4，即可得整数a 的个数．【详解】解：把点A （﹣1，3）代入y ＝ax +1得，3＝﹣a +1，解得a ＝﹣2，把点B （﹣1，﹣4）代入y ＝ax +1得，﹣4＝﹣a +1，解得a ＝5，∵一次函数y ＝ax +1与线段AB 有交点，∴﹣2≤a ≤5，且a ≠0， 解不等式组45365425x x a ⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪--⎪⎩＜ 得18525x x a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜ ， ∵不等式组无解，∴a ﹣25 ≤185， 解得：a ≤4，则所有满足条件的整数a 有：﹣2，﹣1，1，2，3，4．故选D ．【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．24．B【解析】【分析】利用一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解：①∵2y x a =+的图象与y 轴的交点在负半轴上，∴a ＜0，故①错误；②∵1y kx b =+的图象从左向右呈下降趋势，∴k ＜0，故②错误；③两函数图象的交点横坐标为4，当x ＜4时，1y kx b =+ 在2y x a =+的图象的上方，即y 1＞y 2，故③正确；故选：B.【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标．利用数形结合是解题的关键.25．C【解析】【分析】【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），∴3=2m，解得m=32．∴点A的坐标是（32，3）．∵当3x2<时，y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方，∴不等式2x＜ax+4的解集为3x2 <．故选C．26．C【解析】【分析】【详解】解：把点（0，3）（a，0）代入，得b=3．则a=，∵，∴，解得：k≥1．故选C．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，属于综合题，难度不大．27．B【解析】【分析】根据一次函数12,y kx b y x a =+=+的图象及性质逐一分析可得答案．【详解】解：根据图象1y kx b =+经过第一、二、四象限，∴k ＜0，b ＞0， 故①③正确；∵2y x a =+与y 轴负半轴相交，∴a ＜0， 故②错误；当x ＜3时，图象1y 在2y 的上方，所以：当x ＜3时，1y ＞2y ，故④错误．所以正确的有①③共2个．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与不等式的关系，准确识图并熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．28．D【解析】【分析】根据图象得出两图象的交点坐标是（1，2）和当x ＜1时，ax ＜bx+c ，推出x ＜1时，ax ＜bx+c ，即可得到答案．【详解】解：由图象可知，两图象的交点坐标是（1，2），当x ＞1时，ax ＞bx+c ，∴关于x 的不等式ax-bx ＞c 的解集为x ＞1．故选：D ．【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系的理解和掌握，能根据图象得出正确结论是解此题的关键．29．D【解析】观察图象得到直线与x轴的交点坐标为（2，0），且图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，所以当x＜2时，y＜0．【详解】解：∵一次函数y＝kx＋b与x轴的交点坐标为（2，0），且图象经过第一、三象限，∴y随x的增大而增大，∴当x＜2时，y＜0．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当k ＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y 随x的增大而减小.30．A【解析】【分析】仔细观察图象：①a的正负看函数y1＝ax＋b图象从左向右成何趋势，b的正负看函数y1＝ax＋b图象与y轴交点即可；②c的正负看函数y2＝cx＋d从左向右成何趋势，d的正负看函数y2＝cx＋d与y轴的交点坐标；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④看两直线都在x轴上方的自变量的取值范围．【详解】由图象可得：a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，∴ab＜0，故①正确；函数y＝ax＋d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②正确，由图象可得当x＜3时，一次函数y1＝ax＋b图象在y2＝cx＋d的图象上方，∴ax＋b＞cx＋d的解集是x＜3，故③正确；∵一次函数y1＝ax＋b与y2＝cx＋d的图象的交点的横坐标为3，∴3a＋b＝3c＋d∴3a−3c＝d−b，∴a−c＝13（d−b），故④正确，【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．。
5一次方程与方程组(A)
答：甲、乙两种商品进价分别为150元，200元.
x 150, y 200.
80%(1 50%) x 90%(1 50%) 450.
P22
举一反三 7.（2014·石景山区二模）北京某郊区景点 门票价格：成人票每张40元，学生票每张是成人票的 半价.小明和小华两家人买了12张门票共花了420元，求 两家的学生和成人各有几人.
用一次方程（组）解决实际问题有以下步骤： （1）审题，找到两个等量关系； （2）设未知数，可直接设，也可间接设； （3）列方程（组）； （4）解方程（组）； （5）检验，检验是否符合实际问题； （6）答，包括单位.
自学检测2（8分钟） P20
考点3 一次方程组 1.用代入消元法解方程组：
2.用加减消元法解方程组：
n n
三、解一元一次方程：
解一元一次方程的一般步骤：①去分母，②去括号，③ 移项，④合并同类项，⑤未知数的系数化为1.
自学检测（8分钟）
考点1 等式的性质 【例1】把方程
P19
B.3（x+15）=1－5（x－7） D.3（x+15）=15－（x－7）
1 1 （ 5 x+15)=1- 3(x－7)去分母,下列正确的是（
方法技巧：若方程组中有一个方程的一个未知数 的系数为+1或-1时，用代入法较简便； 若方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等 或成整数倍时，用加减法较简便.
考点4
一次方程（组）的应用
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【例4】某商场购进物品后，加价50%作为销售价.商场 搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买 甲、乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款450元. 两种商品原销售价之和为525元，两种商品的进价分别 为多少元? 解：设甲、乙两种商品进价分别为x元、y元.根 (1 50%) x (1 50%) y 525, 据题意，得 解得
中考数学《第6课时：一次方程与方程组》精讲精练.doc
笫二章方程与不等式笫6课时一次方程与方程组屮考命题规律与预测中考考题感知与试做命题点7 -次方程（组）的解法1.（2016 •百色屮考）解方程组：错误！解：错误！①X8+②，得33x = 33,即x=l…把x = l代入①，得y=l.则原方程组的解为错误！命题点2 —次方程（组）的应用2.（2015 •百色中考）某次知识竞赛有20道必答题，每一题答対得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，•抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛，甲队必答题得了170 分，乙队必答题只答错了1题.（1）甲队必答题答対答错各多少题？（2）抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了！”小汪说：“小黄的话不一定对！”请你举一例说明“小黄的话”有何不对.解：（1）设甲队必答题答对x道，答错y道，根据题意，得错误!解得错误！则甲队必答题答对18道，答错2道；（2）“小黄的话”不对，理由如下：现在甲队得分170分，乙队得分：19X10 —5 + 10=195 （分），若乙队抢答第2题错误，则乙队得分：195 —20 = 175 （分），且甲队抢答第3题正确，则甲队得分：170+10 = 180 （分），甲队可获胜.（注：还存在“乙队抢答第2题错误，乙队抢答笫3题错误”而甲队获胜的情况）核心考点解读考点硫理考点丫方程、方程的解与解方程1.方程是含有未知数的等式W.2•使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解;一元方程的解，也叫做方程的根.3.解方程就是根据等式的性质求方程」L的过程.考点g 等式的基本性质考点3 —次方程（组）【温馨提示】解一元一次方程去分母时，不含分母的项不要“漏乘”，移项一定要变号./考点4/方程（组）的实际应用4.列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设：设未知数,设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题，需设两个未知数；（3）列：弄清题意，找出相等关系,根据相等关系,列方程（组）；（4）解：解方程（组）；（5）验：检验结果是否是原方程的解及是否符合题意；（6）答：答题（包括单位）.【方法点拨】解一次方程（组）用到的思想方法：（1）消元思想：通过消元，把解二元一次方程组转化为解一元一次方稈.（2）整体思想：在解方程时结合方稈的结构特点，灵活釆取整体思想，使整个解题过程简便.（3）转化思想：解一元一次方程最终「要转化成ax = b的形式.（4）数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决儿何图形中的问题.（5）方程思想：利用其他知识构造方程，解决问题.考点自测1.下列方程的变形正确的是（D ）A.由2x — 3=4x,得2x = 4x — 3B.由7x-4 = 3-2x,得7x+2x = 3-4L 1 1 zri 1 . 1C.由—-=3x4-4,得一4 = 3x+~xD.由3x-4 = 7x + 5,得3x-7x = 5 + 42.已知关于x的方程2x+a-9 = 0的解是x = 2,则a的值为（D ）A. 2B. 3C. 4D. 53.（2018 •桂林中考）若|3x-2y-l|+Vx + y ZZ2 = 0,则x, y 的值为（D ）A.错误！B.错误！C.错误！D.错误！4.（2018 •宁波中考）已知x, y满足方程组错误!则x2-4y2的值为—15 W.5.（2016 •南宁屮考）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（A ）A. 0. 8x —10 = 90B. 0. 08x-10 = 90C. 90-0. 8x=10 .D. x-0. 8x-10 = 906.（2018 •江西中考）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2 头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为一错误！W.典题精讲精练婪型1一次方程与方程组及其解法例1 （2017 •桂林中考）解二元一次方程组：错误！【解析】利用加减消元法求出该方程组的解即可.【解答】解：②一①，得3x=6,解得x = 2.把x = 2代入①，得y= —1.・••原方程组的解为错误！【点评】消元常用方法有代入消元法和加减消元法.4类型一次方程（组）的应用例2 （2018 •贵港中考）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满.己知45座客车租金为每辆220 元，60座客车租金为每辆300元.（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？【解析】（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x, y的二元一次方程组，解之即可得岀结果；（2）找出每个学生都冇座位时需要租两种客车各多少辆，由“总租金=每辆车的租金X租车辆数”分别求出租两种客车，各需多少费用，比较后即可得出结论…【解答】解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意，得错误!解得错误！答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆（2）・・•要使每位学生都有座位，・••租45座客车需要5+1=6 （辆），租60座客车需要5 — 1=4 （辆）・220X6=1 320 （元），300X4 = 1 200 （元）.VI 320>1 200,・・・若租用同一种客车，租4辆60座客车划算.【点评】本题解第（2）问的关键是求出租两种客车各需多少费用，第（1）问可用一元一次方程求解，会用到一个基本相等关系“表示同一个量的两个不同的式子相等”・针对训练11.（2016 •梧州中考）一元一次方程3x —3 = 0的解是（A ）A・ x = l B・ x = —1C. x=£D.. x=02.（2014 •百色屮考）方程组错误！的解为错误！W.3.（2017 •南宁中考）已知错误!是方程组错误！的解，则3a—b= 5 W.针对训练24.（2016 •來宾中考）一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（A ）A.错误！B.错误！C.错误！D.错误！5.（2018 •柳州屮考）篮球比赛屮，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1.分，艾美所在的球队在8场比赛中得14分.若设艾美所在的球队胜x场，负y场，则可列出方程组为错误！W.6.（2017 •百色中考改编）某校九年级10个班级师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现歌唱类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个.九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？解：设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，根据题意，得错误!解得错误！答：九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个.。
7年级上一元1次解方程方程100道及其步骤答案
7年级上一元1次解方程方程100道及其步骤答案7年级上一元1次解方程方程100道及其步骤答案7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1;(5y+1)+ (1-y)= (9y+1)+ (1-3y);20%+(1-20%)(320-x)=320×40%2(x-2)+2=x+12(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)x/3 -5 = (5-x)/22(x+1) /3=5(x+1) /6 -1(1/5)x +1 =(2x+1)/4(5-2)/2 - (4+x)/3 =1x/3 -1 = (1-x)/2(x-2)/2 - (3x-2)/4 =-111x+64-2x=100-9x15-(8-5x)=7x+(4-3x)3(x-7)-2[9-4(2-x)]=223/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=22(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)11x+64-2x=100-9x15-(8-5x)=7x+(4-3x)3(x-7)-2[9-4(2-x)]=223/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=22(x-2)+2=x+11.7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-12.(5y+1)+ (1-y)= (9y+1)+ (1-3y)3.[ (- 2)-4 ]=x+24.20%+(1-20%)(320-x)=320×40%5.2(x-2)+2=x+16.2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)7.11x+64-2x=100-9x8.15-(8-5x)=7x+(4-3x)9.3(x-7)-2[9-4(2-x)]=2210.3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=211.5x+1-2x=3x-212.3y-4=2y+113.87X*13=514.7Z/93=4115.15X+863-65X=5416.58Y*55=2748917.2（x+2）+4=918.2(x+4)=1019.3(x-5)=1820.4x+8=2(x-1)21.3(x+3)=9+x22.6(x/2+1)=1223.9(x+6)=6324.2+x=2(x-1/2)25.8x+3(1-x)=-226.7+x-2(x-1)=127.x/3 -5 = (5-x)/228.2(x+1) /3=5(x+1) /6 -129.(1/5)x +1 =(2x+1)/430.(5-2)/2 - (4+x)/3 =1 15x-8(5x+1.5)=18*1.25+x 3X+189=5214Y+119=223X*189=58Z/6=4583X+77=594Y-6985=8187X*13=57Z/93=4115X+863-65X=5458Y*55=274891.2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)2.11x+64-2x=100-9x3.15-(8-5x)=7x+(4-3x)4.3(x-7)-2[9-4(2-x)]=225.3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=26.2(x-2)+2=x+17.0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.388.30x-10(10-x)=1009.4(x+2)=5(x-2)10.120-4(x+5)=2511.15x+863-65x=5412.12.3(x-2)+1=x-(2x-1)13.11x+64-2x=100-9x14.14.59+x-25.31=015.x-48.32+78.51=8016.820-16x=45.5×817.(x-6)×7=2x18.3x+x=1819.0.8+3.2=7.220.12.5-3x=6.521.1.2(x-0.64)=0.5422.x+12.5=3.5x23.8x-22.8=1.224.1\ 50x+10=6025.2\ 60x-30=2026.3\ 3^20x+50=11027.4\ 2x=5x-328.5\ 90=10+x29.6\ 90+20x=3030.7\ 691+3x=7001 2x-10.3x=152 0.52x-(1-0.52)x=803 x/2+3x/2=74 3x+7=32-2x5 3x+5(138-x)=5406 3x-7(x-1)=3-2(x+3)7 18x+3x-3=18-2(2x-1)8 3(20-y)=6y-4(y-11)9 -(x/4-1)=510 3[4(5y-1)-8]=6（1）-3x-6x2=7（2）5x+1-2x=3x-2（3）3y-4=2y+1（4）3y-4=y+3（5）3y-y=3+4（6）0.4x-3=0.1x+2（7）5x+15-2x-2=10（8）2x-4+5-5x=-1求十道七年级上一元一次解方程，有答案2x+3=x-12x-x=-1-3x=-4-2x=-3x+83x-2x=8x=89- 3x=6-3x=6-9-3x=-3x=12x-2=92x=9+22x=11x=5.511x+64-2x=100-9x9x+64=100-9x9x+9x=100-6418x=36x=25-(8-5x)=7x5-8+5x=7x5x-3=7x2x=-3x=-1.53(x-7)-2=9-4(2-x)3x-21-2=9-8+4x3x-23=1+4x4x-3x=-23-1x=-24一元一次解方程的步骤去分母去括号移项合并同类项同除以未知数系数初一上册解方程30道带步骤带答案 6道一元一次应用题带步骤(1) 3X-(1/2+1/4)=7/123X=7/12+3/43X=4/3X=4/9(2) 6.6-5X=3/4-4X6.6-0.75=-4X+5XX=5.85(3) 1.1X+2.2=5.5-3.3X1.1X+3.3X=5.5-2.24.4X=3.3X=3/4=4/3（4)3x-3=1x=4/3(5)5x-3x=4x=2(6)3x+7=28x=7(7)3x-7=26x=11(8)9x-x=16x=2(9)24x+x=50x=2(10)3x-8=30x=38/3一1.光明中学学生为“希望小学”捐款，七年级和八年级共捐款11144元。
初中数学方程与不等式的应用题(及答案)
初中数学方程与不等式的应用题（及答案）知识点睛1．理解题意：分层次，找结构借助表格等梳理信息2．建立数学模型：方程模型、不等式(组)模型、函数模型等①共需、同时、刚好、恰好、相同等，考虑方程；②显性、隐性不等关系等，考虑不等式(组) ；③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值等，考虑函数3．求解验证，回归实际①数据是否异常；②结果是否符合题目要求及取值范围；③结果是否符合实际意义例题精选应用题1．公司推出两种手机付费方式：甲种方式不交月租费，每通话1分钟付费0.15元；乙种方式需交18元的月租费，每通话1分钟再付费0.10元，两种方式不足1分钟均按1分钟计算．(1)如果一个月的通话时间为100分钟，按甲种方式应付话费多少元？按乙种方式应付话费多少元？(2)若某月两种方式付费相同，求该月通话时长：(3)如果某人一个月的通话时间在300到400分钟之间，此人如何选择更合算的付费方式？请自接给出合理化的建议．2．小明周末守护爷爷输液，输液袋上标有药液共250毫升，15滴/毫升．输液开始时，细心的小明发现药液流速为每分钟75滴．爷爷感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速直至结束．输液20分钟时，输液袋中的药液余量为160毫升．(1)求输液10分钟时输液袋中的药液余量是多少毫升？(2)求10到20分钟期间药液流速是每分钟多少滴？(3)求从开始输液到结束输液共用了多少分钟？3．某书城开展学生优惠购书活动：凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．（1）甲同学一次性购书标价的总和为100元，需付款多少元．（2）丙同学第一次去购书付款63元，第二次去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了37元，求该学生第二次购书实际付款多少元？4．一学生队伍以4千米/时的速度从学校出发步行前往某地参加劳动．出发半小时后，学校有紧急通知要传给队长，立即派了一名通讯员骑自行车以14千米/时的速度原路去追，该通讯员要用多少时间才能追上学生队伍？5．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出2件．若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？你若是商场经理，为获得最大利润，每件衬衫应降价多少元，此时最大利润是多少？6．列方程组解应用题：某车间10月份计划加工甲、乙两种零件共200个，由于采用新技术，实际产量为216个，其中甲零件超产10%，乙零件超产5%求，该车间10月份计划加工甲、乙零件各多少个？7．自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率．8．阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数n 来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：100%n =⨯食品消费支出总额消费支出总额各类家庭的格尔系数如下表所示：根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对某乡的农民家庭进行抽样调查，从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元． （1）1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元？（2）设从1997年起m 年后该乡平均每户的恩格尔系数为m n （m 为正整数），请用m 的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数m n ，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数；（百分号前保留整数）（3）按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活？该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标？9．如家宾馆有三人间、双人间客房，收费标准如下表：有一个50人的旅游团入住到该宾馆，住了若干三人间与双人间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去住宿费4530元，求这个旅游团住了三人间与双人间客房各多少间？10．随着西昌葡萄种植面积不断扩大，现新推广甲、乙两种葡萄苗，已知乙种葡萄苗比甲种葡萄苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种葡萄苗的株数与用160元钱购买乙种葡萄苗的株数刚好相同．(1)求甲、乙两种葡萄苗每株的价格；(2)小颖家计划购买甲、乙两种葡萄苗共1000株，调查统计发现，甲、乙两种葡萄苗的成活率分别为90%、95%，要使这批葡萄苗的成活率不低于92%，且使购买葡萄苗的费用最低，应如何选购葡萄苗？最低费用是多少？11．某一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成．(1)求乙工程队单独完成该工程所需的天数；(2)若延期完成，则超出的时间公司每天损失0.6万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？12．为了更好的实现信息化教学，我校准备从某公司购入一批新型设备．经调查，某公司有A、B两种型号设备，其中每台B型号设备的售价比每台A型号设备的售价的2倍少一万元．若购买A型号设备4台，B型号设备5台，则共需资金30万元．(1)求每台A、B型号设备的售价分别为多少万元？(2)该公司在“元旦”期间有如下表所示优惠活动：由于A、B两种型号不混合出售，按上述优惠条件，学校第一次购买A型号设备一次性付款237500元，第二次购买B型号设备一次性付款612000元，求购买A、B两种设备共多少台？13．．．列方程．．．．解应用题：某社区超市按每千克8元的进价购进脐橙500千克，然后按标价的八折全部售出，获得利润800元，求该超市脐橙每千克的标价是多少元？14．某家具厂有60名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套．15．下面是小彬同学解一元一次方程的过程，认真阅读并完成相应任务． 解方程：1126x x --=． 解：________，得()316x x --=．第一步去括号，得316x x -+=．……第二步移项，得361x x -=+．……第三步合并同类项，得27x =．……第四步方程两边同除以2，得 3.5x = ……第五步填空：任务一．以上求解步骤中，第一步进行的是________，这一步的依据是________________；任务二． 以上求解步骤中，第________步开始出现错误，具体的错误是________； 任务三． 该方程正确的解为________．任务四． 除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【参考答案】应用题1．(1)甲种方式付话费15元，乙种方式付话费28元(2)一个月通话360分钟时两种方式的费用相同(3)通话时间不少于300分钟但不超过360分钟时，选甲种付费方式合算；当通话时间为360分钟时，选择两种付费方式一样合算；当通话时间超过360分钟但不超过400分钟时，选择乙种付费方式合算【解析】【分析】（1）甲：0.15元/分钟×时间；乙：18+0.10元/分×时间；（2）设一个月通话x 分钟时两种方式的费用相同，根据题意可得方程18+0.10x ＝0.15x ，解方程即可；（3）根据（2）分三种情况讨论即可．(1)解：甲：0.1510015⨯=（元)乙：180.1010028+⨯=（元)答：甲种方式付话费15元，乙种方式付话费28元．(2)解：设一个月通话x 分钟时两种方式的费用相同，由题意得：180.100.15x x +=解得360x =答：该月通话时长360分钟两种方式付费相同；(3)解：由（2）可知，当通话时间不少于300分钟但不超过360分钟时，选甲种付费方式合算，当通话时间为360分钟时，选择两种付费方式一样合算；当通话时间超过360分钟但不超过400分钟时，选择乙种付费方式合算．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出正确的数量关系，列出方程是解题的关键． 2．(1)200毫升(2)60滴(3)60分钟【解析】【分析】（1）先求出药液流速为5毫升/分钟，再求出输液10分钟的毫升数，用250减去输液10分钟的毫升数即为所求；（2）用20分钟时剩余药液量减去10分钟时剩余药液量，再乘以每毫升滴数求出总的滴数，最后除以时间即可得出答案；（3）可设从输液开始到结束所需的时间为t 分钟，根据输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升，列出方程计算即可求解．(1)解：25075151025050200-÷⨯=-=（毫升）．故输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升；(2)解：10到20分钟期间药液流速是每分钟()200160156010-⨯=（滴)；(3)解：设从输液开始到结束所需的时间为t 分钟，依题意有()200160201602010t --=-， 解得60t =．故从输液开始到结束所需的时间为60分钟．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题关键是求出输液前10分钟药液流速和输液10分钟后药液流速．3．（1）需付款90元；（2）该学生第二次实际付款为220元．【解析】【分析】（1）根据一次性购书不超过200元的一律九折优惠的办法计算即可求出；（2）设第二次购书的标价为x 元，且200x >，可得第二次需付款为0.820x +，第一次的标价为70，依据题意列出方程求解得出第二次购书的标价，然后根据第二次实际付款的计算方法求解即可．【详解】（1）由题意，得：10090%90⨯=元，∴需付款90元；（2）设第二次购书的标价为x 元，且200x >，根据题意得：第二次需付款为：()2000.92000.80.820x x ⨯+-⨯=+， 第一次的标价为：63700.9=， 可得：()()700.8206337x x +-+-=，解得：250x =元，则第二次需付款为：()2000.92502000.8220⨯+-⨯=元，∴该学生第二次实际付款为220元．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及列代数式，理解题意，列出相应方程是解题关键． 4．2小时【解析】【分析】设需x 时追上，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：设需x 时追上，由题意，得：（14-4）x =4×0.510x =2解得：x =0.2答：需0.2小时才能追上学生队伍．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 5．商场每天盈利达1200元，每件衬衫应降价20元；每件衬衫应降价15元，此时最大利润是1250元．【解析】【分析】（1）设每件衬衫应降价x 元，根据每件衬衫的利润、销售量、总利润的关系可得一元二次方程，求解即可得；（2）设商场获得的总利润为y 元，可得y 与x 的函数关系式，然后化为顶点式，即可得出最大利润．【详解】解：（1）设每件衬衫应降价x 元，由题意得：()()402021200x x -+=，即22604000x x -+=，2302000x x ∴-+=，()()10200x x ∴--=，解得：10x =或20x， 为了减少库存，∴20x ，∴每件衬衫应降价20元；（2）设商场获得的总利润为y 元，由题意得：()()40202y x x =-+2260800x x =-++22(15)1250x =--+，20-<，∴当15x =时，y 有最大值，最大值为1250，∴每件衬衫应降价15元，此时最大利润是1250元．【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次函数的应用，理解题意，列出方程，确定函数解析式是解题关键．6．该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个．【解析】【分析】根据等量关系,甲加工的数量加上乙加工的数量等于总量列出方程组即可;【详解】解:设该车间10月份计划加工甲、乙零件各x 个,y 个,由题意得:()()2001101%%5216x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩解得12080x y =⎧⎨=⎩ 答: 该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据等量关系列出方程组是解题的关键．7．这个增长率为10%【解析】【分析】设这几周工作时间的增长率为x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设这几周工作时间的增长率为x ，由题意可得：240(1)48.4x +=解得10.1x =，2 2.1x =-（舍去）答：这个增长率为10%【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等量关系，列出方程． 8．（1）4800元；（2）55%；（3）2013年，能．【解析】【分析】（1）根据题意中的关系，易得：8000×60%＝4800元；（2）将题中的数据代入公式，可得答案；（3）根据题意取m n ＝0.5，根据题意中的公式易得关于m 的关系式，解可得m 的值．【详解】解：（1）8000×60%＝4800元，（2）48002008000500m m n m +=+， 即482805m m n m+=+， 当m ＝2003−1997＝6时， 当648260.5555%8056n +⨯=≈=+⨯， （3）取0.5m n = ， 即48250%805m m+≤+ ， 解得m ≤16．即1997＋16＝2013＜2020年．所以，2013该村进入小康生活，并能实现十六大提出的目标．【点睛】此题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，主要是套用题干中的公式，列式子求解．9．三人间8间，二人间13间【解析】【分析】设三人间有x 间，二人间有y 间，根据“三人间人数+二人间人数50=、三人间费用+二人间费用4530=”列方程组求解可得．【详解】解：设这个旅游团住了三人间x 间，二人间y 间，根据题意得：32502252104530x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：813x y =⎧⎨=⎩， 答：这个旅游团住了三人间8间，二人间13间．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知列出方程组是解题关键．10．(1)甲种葡萄苗每株的价格为5元，乙种葡萄苗每株的价格为8元(2)购买甲种葡萄苗600株，乙种葡萄苗400株时费用最低，最低费用是6200元【解析】【分析】（1）设甲种葡萄苗每株的价格为x 元，则乙种葡萄苗每株的价格为(3)x +元，根据题目中的等量关系列分式方程，求解即可；（2）设甲种葡萄苗购买b 株，则乙种葡萄苗购买(1000)b -株，根据总成活率不低于92%列不等式，求出b 的取值范围，列出总费用W 与b 的函数关系式，即可求解．(1)解：设甲种葡萄苗每株的价格为x 元，则乙种葡萄苗每株的价格为(3)x +元， 由题意得1001603x x =+， 解得：5x =，经检验5x =是原方程组的解．所以甲种葡萄苗每株的价格为5元，乙种葡萄苗每株的价格为353=8x +=+元．答：甲种葡萄苗每株的价格为5元，乙种葡萄苗每株的价格为8元；(2)解：设甲种葡萄苗购买b 株，则乙种葡萄苗购买(1000)b -株，购买的总费用为W 元， 由题意，90%95%(1000)100092%b b +-≥⨯，解得600b ≤，由题意，58(1000)38000W b b b =+-=-+，∴30k =-<，∴W 随b 的增大而减小，∴600b =时，6200W =最低元．答：购买甲种葡萄苗600株，乙种葡萄苗400株时费用最低，最低费用是6200元．【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的实际应用，根据已知等量关系正确列方程是解题关键，注意分式方程求解后要进行检验．11．(1)25天(2)单独找甲工程队更实惠【解析】【分析】（1）设乙队单独完成要x 天，则每天完成1x，根据两队合作4天后又16天完工列方程求解；（2）由题意知工期为20天，分别计算每队单独完成的费用比较哪个更少；(1)解：设乙队单独完成要x 天，则每天完成1x， 根据题意得：111416120x x ⎛⎫+⨯+⨯= ⎪⎝⎭， 12015x+=， 解得x =25，经检验x =25是原方程的解，故乙队单独完成要25天；(2)解：∵两队合作4天，乙队又用了16天如期完工，∴工期为20天，甲队单独完成费用为：1.5×20=30（万元）；乙队单独完成费用为：1.1×25+0.6×（25-20）=30.5（万元）；故甲队更实惠；【点睛】本题考查分式方程的运用，做题的关键是要分清等量关系，分式分式方程的根最后要检验．12．(1)每台A 型号设备的售价为2.5万元，每台B 型号设备的售价为4万元；(2)购买A 、B 两种设备共27台或28台【解析】【分析】（1）设每台A 型号设备的售价为x 万元，则每台B 型号设备的售价为(21)x -万元，根据“购买A 型号设备4台，B 型号设备5台，共需资金30万元”，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）：设第一次购买A 型号设备m 台，第二次购买B 型号设备n 台，根据第一、二次的付款额，即可得出关于m （或n ）的一元一次方程，解之即可得出m （或n ）的值，再将其代入()m n +中即可求出结论．(1)解：设每台A 型号设备的售价为x 万元，则每台B 型号设备的售价为(21)x -万元， 依题意得：()452130x x +-=，解得： 2.5x =，214x ∴-=，答：每台A 型号设备的售价为2.5万元，每台B 型号设备的售价为4万元；(2)解：设第一次购买A 型号设备m 台，第二次购买B 型号设备n 台，依题意得：250000.95237500m ⨯=，解得：10m =，400000.9612000n ⨯=或400000.85612000n ⨯=，解得：17n =或18，∴当10m =，17n =时，27m n +=；当10m =，18n =时，28m n +=；综上可得：27m n +=或28m n +=，答：购买A 、B 两种设备共27台或28台．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 13．该超市脐橙每千克的标价是12元．【解析】【分析】设该超市脐橙每千克的标价是x 元，从而可得每千克的售价为0.8x 元，再根据“利润=（售价-进价）⨯销量”建立方程，解方程即可得．【详解】解：设该超市脐橙每千克的标价是x 元，则每千克的售价为0.8x 元，由题意得：(0.88)500800x -⨯=，解得12x =，答：该超市脐橙每千克的标价是12元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．14．有20个工人加工桌面，40个工人加工桌腿【解析】【分析】设有x 个工人加工桌面，根据“工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．”列出方程，即可求解．【详解】解：设有x 个工人加工桌面，根据题意得：()66034x x -= ， 解得：x =20，∴60－20=40，答：有20个工人加工桌面，40个工人加工桌腿．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 15．任务一：去分母；等式的基本性质2；任务二：三；移项时没有变号；任务三：2.5x =；任务四：答案不唯一，如：去分母时不要漏乘不含分母的项【解析】【分析】先去分母，再去括号，再移项，再合并同类项，最后化系数为“1”，从而可得答案.【详解】解：任务一．方程的两边都乘以6,所以第一步是：去分母，依据是：等式的基本性质2；任务二．第三步开始出现错误，错误是：移项没有改变符号； 任务三．去分母，得()316x x --=．第一步去括号，得316x x -+=．……第二步移项，得361x x -=-．……第三步合并同类项，得25x =．……第四步方程两边同除以2，得 2.5x = ……第五步所以方程的正确的解为： 2.5.x =任务四．答案不唯一，如：去分母时不要漏乘不含分母的项.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法的基本步骤是解题的关键.。
初中数学一次方程(组)及应用
一次方程（组）及应用一．选择题（共14小题） 1．（2020•天津）方程组{2x +y =4，x −y =−1的解是（ ）A ．{x =1y =2B ．{x =−3y =−2C ．{x =2y =0D ．{x =3y =−1【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解析】{2x +y =4①x −y =−1②，①+②得：3x ＝3， 解得：x ＝1，把x ＝1代入①得：y ＝2， 则方程组的解为{x =1y =2．故选：A ．2．（2020•嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组{x +3y =4，①2x −y =1ㅤ②时，下列方法中无法消元的是（ ） A ．①×2﹣② B ．②×（﹣3）﹣① C ．①×（﹣2）+②D ．①﹣②×3【分析】方程组利用加减消元法变形即可． 【解析】A 、①×2﹣②可以消元x ，不符合题意； B 、②×（﹣3）﹣①可以消元y ，不符合题意； C 、①×（﹣2）+②可以消元x ，不符合题意； D 、①﹣②×3无法消元，符合题意． 故选：D ．3．（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．12x ＝（x ﹣5）﹣5B ．12x ＝（x +5）+5C ．2x ＝（x ﹣5）﹣5D ．2x ＝（x +5）+5【分析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解． 【解析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺， 依题意，得：12x ＝（x ﹣5）﹣5．故选：A ．4．（2020•重庆）解一元一次方程12（x +1）＝1−13x 时，去分母正确的是（ ）A ．3（x +1）＝1﹣2xB ．2（x +1）＝1﹣3xC ．2（x +1）＝6﹣3xD ．3（x +1）＝6﹣2x【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案． 【解析】方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ， 故选：D ．5．（2020•绥化）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x 辆，37座客车y 辆．根据题意，得（ ） A ．{x +y =1049x +37y =466B ．{x +y =1037x +49y =466C ．{x +y =46649x +37y =10D ．{x +y =46637x +49y =10【分析】根据“准备了49座和37座两种客车共10辆，且466人刚好坐满”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 【解析】依题意，得：{x +y =1049x +37y =466．故选：A ．6．（2020•金华）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x ．则列出方程正确的是（ ）A ．3×2x +5＝2xB ．3×20x +5＝10x ×2C ．3×20+x +5＝20xD ．3×（20+x ）+5＝10x +2【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可． 【解析】设“□”内数字为x ，根据题意可得： 3×（20+x ）+5＝10x +2． 故选：D ．7．（2020•齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ） A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种【分析】设可以购买x 支康乃馨，y 支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可得出小明有4种购买方案．【解析】设可以购买x 支康乃馨，y 支百合， 依题意，得：2x +3y ＝30， ∴y ＝10−23x ． ∵x ，y 均为正整数，∴{x =3y =8，{x =6y =6，{x =9y =4，{x =12y =2， ∴小明有4种购买方案． 故选：B ．8．（2020•宁波）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（ ）A ．{y =x +4.50.5y =x −1B ．{y =x +4.5y =2x −1C ．{y =x −4.50.5y =x +1D ．{y =x −4.5y =2x −1【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；12绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．【解析】设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为： {y =x +4.50.5y =x −1． 故选：A ．9．（2020•随州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ） A ．{x +y =352x +4y =94B ．{x +y =354x +2y =94C ．{2x +y =35x +4y =94D ．{x +4y =352x +y =94【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解析】设鸡有x 只，兔有y 只， 根据题意，可列方程组为{x +y =352x +4y =94，故选：A ．10．（2020•襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x 匹，大马有y 匹，则下列方程组中正确的是（ ） A ．{x +y =100y =3xB ．{x +y =100x =3yC ．{x +y =10013x +3y =100D ．{x +y =10013y +3x =100【分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解析】根据题意可得：{x+y=100x3+3y=100，故选：C．11．（2020•临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．{x3=y+2x2+9=yB．{x3=y−2x−92=yC．{x3=y+2 x−92=y D．{x3=y−2x2−9=y【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{x3=y−2x−92=y．故选：B．12．（2020•黑龙江）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C 种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．12种B．15种C．16种D．14种【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数＝200；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．【解析】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为1个时，根据题意得10m +20n +30＝200， 整理得m +2n ＝17，∵m 、n 都是正整数，0＜2m ＜17， ∴m ＝1，2，3，4，5，6，7，8； 当C 种奖品个数为2个时， 根据题意得10m +20n +60＝200， 整理得m +2n ＝14，∵m 、n 都是正整数，0＜2m ＜14， ∴m ＝1，2，3，4，5，6； ∴有8+6＝14种购买方案． 故选：D ．13．（2020•黑龙江）学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，A 种每个15元，B 种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【分析】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个，根据学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，其中A 种每个15元，B 种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x ，y 为非负整数可求出解． 【解析】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个， 根据题意得：15x +25y ＝200，化简整理得：3x +5y ＝40，得y ＝8−35x ， ∵x ，y 为非负整数， ∴{x =0y =8，{x =5y =5，{x =10y =2， ∴有3种购买方案：方案1：购买了A 种奖品0个，B 种奖品8个； 方案2：购买了A 种奖品5个，B 种奖品5个； 方案3：购买了A 种奖品10个，B 种奖品2个． 故选：B ．14．（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地（ ） A ．120kmB ．140kmC ．160kmD ．180km【分析】设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，根据题意得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可． 【解析】设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，如图：设AB ＝xkm ，AC ＝ykm ，根据题意得： {2x +2y =210×2x −y +x =210， 解得：{x =140y =70．∴乙在C 地时加注行驶70km 的燃料，则AB 的最大长度是140km ． 故选：B ．二．填空题（共19小题）15．（2020•衢州）一元一次方程2x +1＝3的解是x ＝ 1 ．【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解． 【解答】解；将方程移项得， 2x ＝2， 系数化为1得， x ＝1． 故答案为：1．16．（2020•株洲）关于x 的方程3x ﹣8＝x 的解为x ＝ 4 ． 【分析】方程移项、合并同类项、把x 系数化为1，即可求出解． 【解析】方程3x ﹣8＝x ， 移项，得3x ﹣x ＝8， 合并同类项，得2x ＝8． 解得x ＝4．故答案为：4．17．（2020•天水）已知a +2b =103，3a +4b =163，则a +b 的值为 1 ． 【分析】用方程3a +4b =163减去a +2b =103，即可得出2a +2b ＝2，进而得出a +b ＝1． 【解析】a +2b =103①，3a +4b =163②， ②﹣①得2a +2b ＝2， 解得a +b ＝1． 故答案为：1．18．（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，根据题意，可列方程组为 {x +y =250x +10y =30 ．【分析】根据“现用30钱，买得2斗酒”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{x +y =250x +10y =30．故答案为：{x +y =250x +10y =30．19．（2020•武威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．原价： 200 元 暑假八折优惠，现价：160元【分析】设广告牌上的原价为x 元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】设广告牌上的原价为x 元， 依题意，得：0.8x ＝160， 解得：x ＝200． 故答案为：200．20．（2020•牡丹江）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打 8 折． 【分析】设商店打x 折，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】设商店打x 折， 依题意，得：180×x10−120＝120×20%，解得：x ＝8． 故答案为：8．21．（2020•成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 {5x +2y =102x +5y =8．【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【解析】设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两， 由题意可得，{5x +2y =102x +5y =8，故答案为：{5x +2y =102x +5y =8．22．（2020•南充）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 10 支．【分析】首先设某同学买了x 支钢笔，则买了y 本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费＝100元，即可求解．【解析】设某同学买了x 支钢笔，则买了y 本笔记本，由题意得： 7x +5y ＝100， ∵x 与y 为整数， ∴x 的最大值为10， 故答案为：10．23．（2020•绍兴）若关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =2，A =0的解为{x =1，y =1，则多项式A 可以是 答案不唯一，如x ﹣y （写出一个即可）．【分析】根据方程组的解的定义，为{x =1y =1应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕为{x =1y =1列一组算式，然后用x ，y 代换即可．【解析】∵关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =2A =0的解为{x =1y =1，而1﹣1＝0，∴多项式A 可以是答案不唯一，如x ﹣y ． 故答案为：答案不唯一，如x ﹣y ．24．（2020•铜仁市）方程2x +10＝0的解是 x ＝﹣5 ． 【分析】方程移项，把x 系数化为1，即可求出解． 【解析】方程2x +10＝0， 移项得：2x ＝﹣10， 解得：x ＝﹣5． 故答案为：x ＝﹣5．25．（2020•南京）已知x 、y 满足方程组{x +3y =−1，2x +y =3，，则x +y 的值为 1 ．【分析】求出方程组的解，代入求解即可． 【解析】{x +3y =−1①2x +y =3②，①×2﹣②得：5y ＝﹣5， 解得：y ＝﹣1，①﹣②×3得：﹣5x ＝﹣10， 解得：x ＝2， 则x +y ＝2﹣1＝1， 故答案为1．26．（2020•北京）方程组{x −y =13x +y =7的解为 {x =2y =1 ．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解析】{x −y =1①3x +y =7②，①+②得：4x ＝8， 解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝1， 则方程组的解为{x =2y =1．故答案为：{x =2y =1．27．（2020•枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a +12b ﹣1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick ）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S ＝ 6 ．【分析】分别统计出多边形内部的格点数a 和边界上的格点数b ，再代入公式S ＝a +12b ﹣1，即可得出格点多边形的面积．【解析】∵a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积， ∴a ＝4，b ＝6，∴该五边形的面积S ＝4+12×6﹣1＝6， 故答案为：6． 28．（2020•泰安）方程组{x +y =16，5x +3y =72的解是 {x =12y =4 ．【分析】用代入法或加减法求解二元一次方程组即可． 【解析】{x +y =16①5x +3y =72②②﹣3×①，得2x ＝24，∴x ＝12．把x ＝12代入①，得12+y ＝16， ∴y ＝4．∴原方程组的解为{x =12y =4．故答案为：{x =12y =4．29．（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 23 名．【分析】设女生有x 名，根据某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，可以列出相应的方程，解方程即可求解． 【解析】设女生有x 名，则男生人数有（2x ﹣17）名，依题意有 2x ﹣17+x ＝52， 解得x ＝23． 故女生有23名． 故答案为：23．30．（2020•重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 1：8 ．【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为5b ，由题意列出方程组，可求a ，b 的值，即可求解．【解析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为由题意可得：{7b −2a =2x20b −10a =5x ，解得：{a =x6b =x 3， ∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比＝（5b ﹣5a ）：20b ＝1：8，故答案为：1：8．31．（2020•无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 8 尺．【分析】可设绳长为x 尺，井深为y 尺，根据等量关系：①绳长的13−井深＝4尺；②绳长的14−井深＝1尺；列出方程组求解即可．【解析】设绳长是x 尺，井深是y 尺，依题意有{13x −y =414x −y =1， 解得{x =36y =8．故井深是8尺． 故答案为：8．32．（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次． 【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【解析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意{x +y =1015−1×10+5y =35， 整理得：{x +y =105y =30，解得：{x =4y =6．故答案为：4．33．（2020•绍兴）有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是 100或85 元．【分析】可设所购商品的标价是x 元，根据小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分①所购商品的标价小于90元；②所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解．【解析】设所购商品的标价是x 元，则 ①所购商品的标价小于90元， x ﹣20+x ＝150， 解得x ＝85；②所购商品的标价大于90元， x ﹣20+x ﹣30＝150， 解得x ＝100．故所购商品的标价是100或85元． 故答案为：100或85． 三．解答题（共11小题） 34．（2020•台州）解方程组：{x −y =1，3x +y =7.【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解析】{x −y =1①3x +y =7②，①+②得：4x ＝8， 解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝1， 则该方程组的解为{x =2y =1.35．（2020•连云港）解方程组{2x +4y =5，x =1−y ．【分析】把组中的方程②直接代入①，用代入法求解即可． 【解析】{2x +4y =5①x =1−y②把②代入①，得2（1﹣y ）+4y ＝5， 解得y =32．把y =32代入②，得x =−12． ∴原方程组的解为{x =−12y =32． 36．（2020•乐山）解二元一次方程组：{2x +y =2，8x +3y =9．【分析】方程组利用加减消元法与代入消元法求出解即可． 【解析】{2x +y =2①8x +3y =9②，法1：②﹣①×3，得 2x ＝3， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{x =32y =−1；法2：由②得：2x +3（2x +y ）＝9， 把①代入上式， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{x =32y =−1．37．（2020•攀枝花）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？ 【分析】设这些学生共有x 人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解． 【解析】设这些学生共有x 人， 根据题意得x 6−x 8=2，解得x ＝48．答：这些学生共有48人． 38．（2020•凉山州）解方程：x −x−22=1+2x−13．【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【解析】去分母，得：6x ﹣3（x ﹣2）＝6+2（2x ﹣1）， 去括号，得：6x ﹣3x +6＝6+4x ﹣2， 移项，得：6x ﹣3x ﹣4x ＝6﹣6﹣2， 合并同类项，得：﹣x ＝﹣2， 系数化为1，得：x ＝2．39．（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4月份的销售总额为a 元，线上销售额为x 元，请用含a ，x 的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间 销售总额（元） 线上销售额（元） 线下销售额（元）2019年4月份 a x a ﹣x 2020年4月份1.1a1.43x1.04（a ﹣x ）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a ，x 的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代数式表示），再将其代入1.43x1.1a中即可求出结论．【解析】（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．故答案为：1.04（a﹣x）．（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），解得：x=2 13，∴1.43x1.1a=1.43⋅213a1.1a=0.22a1.1a=0.2．答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．40．（2020•杭州）以下是圆圆解方程x+12−x−33=1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．【解析】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：去分母，得：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．移项，合并同类项，得x＝﹣3．41．（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【分析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【解析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元， 依题意，得：{2x +3y =19x +7y =26，解得：{x =5y =3．答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）． ∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 42．（2020•扬州）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x 、y 满足3x ﹣y ＝5①，2x +3y ＝7②，求x ﹣4y 和7x +5y 的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x ﹣4y ＝﹣2，由①+②×2可得7x +5y ＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：（1）已知二元一次方程组{2x+y=7，x+2y=8，则x﹣y＝﹣1，x+y＝5；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝﹣11．【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用13（①+②）可得出x+y的值；（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①﹣②可得除m+n+p的值，再乘5即可求出结论；（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，即1*1的值．【解析】（1）{2x+y=7①x+2y=8②．由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，由13（①+②）可得：x+y＝5．故答案为：﹣1；5．（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，依题意，得：{20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，由2×①﹣②可得m+n+p＝6，∴5m+5n+5p＝5×6＝30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．（3）依题意，得：{3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，即1*1＝﹣11． 故答案为：﹣11．43．（2020•淮安）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？【分析】设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆，根据“停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解析】设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆， 依题意，得：{x +y =3015x +8y =324，解得：{x =12y =18．答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．44．（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A ，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A ，B 两个品种各种植了10亩．收获后A ，B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ，A ，B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A ，B 种植亩数不变的情况下，预计A ，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a %和2a %．由于B 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a %，而A 品种的售价不变．A ，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a %．求a 的值．【分析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克；根据题意列方程组即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论．【解析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克； 根据题意得，{y −x =10010×2.4(x +y)=21600，解得：{x =400y =500， 答：A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）2.4×400×10（1+a %）+2.4（1+a %）×500×10（1+2a %）＝21600（1+209a %）， 解得：a ＝10，答：a 的值为10．。
中考初三数学 一轮复习导学案及专题精练 (含答案)
中考一轮复习导学案及专题精练目录➢第1讲实数概念与运算➢第2讲整式与因式分解➢第3讲分式➢第4讲二次根式➢第5讲一元一次方程及其应用➢第6讲一次方程组及其应用➢第7讲一元二次方程及其应用➢第8讲分式方程及其应用➢第9讲一元一次不等式组及其应用➢第10讲平面直角坐标系与函数➢第11讲一次函数的图象与性质➢第12讲一次函数的应用➢第13讲反比例函数➢第14讲二次函数的图象及其性质➢第15讲二次函数与一元二次方程➢第16讲二次函数的应用➢第17讲几何初步及平行线相交线➢第18讲三角形与多边形➢第19讲全等三角形➢第20讲等腰三角形➢第21讲直角三角形与勾股定理➢第22讲相似三角形及其应用第1讲 实数概念与运算一、知识梳理实数的概念1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。
(1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。
(2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。
实数a 的相反数是______0的相反数是________②性质： 若a+b=0 则a 与b 互为______, 反之，若a 与b 互为相反数，则a+b= _______(3)倒数：①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。
②a 的倒数是________(a ≠0)(4)绝对值：① 定义：一般地数轴上表示数a 的点到原点的_______, 叫数a 的绝对值。
②2、平方根、算术平方根、立方根(1)平方根：一般地，如果_________________________,这个数叫a 的平方根，a 的平方根表示为_________.（a ≥0）(2)算术平方根：正数a 的____的平方根叫做a 的算术平方根，数a 的算术平方根表示为为_____（a ≥0）(3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a 的立方根，数a 的立方根表示为______。
七年级数学(上册)一元一次方程应用题专题讲解(超全超详细)
一元一次方程应用题专题讲解列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。
许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。
因此我们要努力学好这部分知识。
一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答——检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。
（一）和、差、倍、分问题——读题分析法这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.1.倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
2.多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？（二）等积变形问题等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
自学初中数学资料 三大方程 (资料附答案)
自学资料一、一元一次方程【知识探索】1．解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成（）的形式；（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解．【说明】去括号法则：括号前面带“＋”号，去掉括号时括号内各项都不变符号；括号前带“－”号，去掉括号时括号内各项都改变符号．【错题精练】例1．下列等式变形：①如果x=y，那么ax=ay；②如果x=y，那么xa =ya；③如果ax=ay，那么x=y；④若果xa =ya，那么x=y．其中正确的是（）A. ①④B. ③④C. ①②D. ②③第1页共20页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页共20页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第3页 共页 自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼 非学科培训第4页共20页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第5页共20页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第6页共20页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第7页 共20页 自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼 非学科培训②{x +3y =0x 3−y−12=1（2）解不等式组{5x −2＞3（x −2）1−x ≥x −5并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：（1）①{y =2x −3①4x −3y =1②， 把①代入②得4x-3（2x-3）=1，解得x=4，把x=4代入①得y=8-3，解得y=5，故原方程组的解是{x =4y =5； ②{x +3y =0x 3−y−12=1， 化简为{x +3y =0①2x −3y =3②， ①+②得3x=3，解得x=1， 把x=1代入①得1+3y=0，解得y=-13，故原方程组的解是{x =1y =−13；（2）{5x −2＞3（x −2）①1−x ≥x −5②， 解不等式①，得x ＞-2，解不等式②得x≤3，故原不等式的解集是-2＜x≤3，把不等式的解集表示在数轴上，得【举一反三】1．关于x ，y 的方程组{3x −y =2m x +y =m +1的解满足x ＞y ，则m 的取值范围是（ ） A. m ＜2 B. m ＞2 C. m ＜1 D. m ＞1【解答】解：解方程组得{x =3m+14y =m+34， ∵x ＞y ，第8页共20页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第9页 共20页 自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼 非学科培训【解答】解：已知关于x ，y 的方程组{x +3y =4−a x −y =3a，给出下列结论； ①把{x =5y =−1代入得：3a=6， 解得：a=2，代入x+3y=4-a 得：左边=5-3=2，右边=4-2=2，则{x =5y =−1是方程组的解； ∴a=2时，{x =5y =−1是方程组是解， a≠2时，{x =5y =−1表示方程组的解，故①错误， ②当a=-2时，方程组为：{x +3y =6x −y =−6， 解得：{x =−3y =3， 则x ，y 的值互为相反数；故②正确，③当a=1时，方程组的解为{x =3y =0， {x =3y =0也是方程x+y=4-a 的解；故③正确， ④若用x 表示y ，则y =−x 2+32；故④正确，故选：C ．【答案】C三、一元二次方程【知识探索】1． 一元二次方程，当时，它有两个实数根，．这就是一元二次方程的求根公式． 2．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【说明】只有满足下列四个条件的方程才是一元二次方程：（1）整式方程，即方程的左右两边都是整式；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）二次项的系数不为0．【错题精练】例1．用配方法解方程2x 2+3x-1=0，则方程可变形为（ ）第10页共20页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训例3．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（）A. （20-x）（32-x）=540B. （20-x）（32-x）=100C. （20+x）（32-x）=540D. （20+x）（32-x）=100【解答】解：由题意，得种草部分的长为（32-x）m，宽为（20-x）m，∴由题意建立等量关系，得（20-x）（32-x）=540．故A答案正确，故选：A．【答案】A例4．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．“如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是（）A. x（x+12）=864B. x（x-12）=864C. x2+12x=864D. x2+12x-864=0【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．根据矩形面积=长×宽，得：x（x-12）=864．故选：B．【答案】B例5．方程（m-1）x|m|+1-4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：______，此方程的二次项系数为：______，一次项系数为：______，常数项为：______．【解答】解：根据题意得，|m|+1=2且m-1≠0，解得m=1或-1且m≠1，所以，m=-1，m-1=-1-1=-2，所以，此方程的二次项系数为-2，一次项系数为-4，常数项为3．故答案为：m=-1；-2，-4，3．2．已知关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k≤2且k≠1 B. k＜2且k≠1 C. k≤2 D. k＜2【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x+1=0有实数根，∴{k−1≠0△=22−4（k−1）≥0，解得k≤2且k≠1．故选：A．【答案】A3．某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，建成后的活动室面积为75m2，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为（）A. x（27-3x）=75B. x（3x-27）=75C. x（30-3x）=75D. x（3x-30）=75【解答】解：设矩形宽为xm，则矩形的长为（30-3x）m，根据题意得：x（30-3x）=75．故选：C．【答案】C4．一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是（）A. （1-x）2=15%B. （1+x）2=1+15%C. （1-x）2=1+15%D. （1-x）2=1-15%【解答】解：设平均每年降低百分率为x，（1-x）2=1-15%．故选：D．【答案】D5．（1）x2-2x-3=0（2）2x2+5x-1=0（3）（2x-3）2-121=0【答案】解：（1）（x-3）（x+1）=0，x-3=0或x+1=0，所以x 1=3，x 2=-1；（2）△=52-4×2×1=17，x=−5±√172×2， 所以x 1=−5+√174，x 2=−5−√174； （3）（2x-3）2=121，2x-3=±11，所以x 1=7，x 2=-4；（4）（x-3）2+2（x-3）=0，（x-3）（x-3+2）=0，x-3=0或x-3+2=0，所以x 1=3，x 2=1．1．下列说法正确的是（ ）A. 在等式ab=ac 中，两边都除以a ，可得b=cB. 在等式a=b 两边都除以c 2+1可得a c 2+1=bc 2+1C. 在等式b a =c a 两边都除以a ，可得b=cD. 在等式2x=2a-b 两边都除以2，可得x=a-b【解答】解：∵a=0时，“在等式ab=ac 中，两边都除以a ，可得b=c”这种说法不正确，∴选项A 不正确；∵c 2+1≠0，∴在等式a=b 两边都除以c 2+1可得a c 2+1=bc 2+1，∴选项B 正确；∵在等式b a =c a 两边都乘a ，可得b=c ， ∴选项C 不正确；【答案】解：（1）3x-6=18x+6，3x-18x=6+6，-15x=12，x=-45；（2）30−10x2-20x+105=9，150-50x-40x-20=90，-50x-40x=90-150+20，-90x=-40，x=49；（3）4x-2≥3x-1，4x-3x≥-1+2，x≥1．。
初中数学单元结构教学设计实践探究——以“一次方程与方程组”为例
(
１)基础性(
１~３ 题)
(
)
综合性(
２
１ 题)
分析,设元
→ 方程组
列方程(组)
图４
单元教学实施之前教 师 应 编 制 评 价 量 化 表,在 教
学中与教学后对学生和课 堂 进 行 评 价 反 思,找 出 存 在
的问题,并对教学设计进行调整改进 ．
评价与反思是 提
高教学质量以及教师教育教学能力的重要环节 ．
线索,结合学 生 已 有 的 知 识 经 验 和 思 维 能 力,进 行 整
体建构 ．
数学结构(系统)的界 定:以 教 育 部 教 材 审 定 委 员
会审定通过的某一个版本 的 教 材 知 识 结 构 为 框 架,依
据学生认知基础、思维水平 和 学 生 认 知 心 理 建 立 的 一
般性的逻辑联系 ．
２．
２ 认知结构分析
学生的认知基础是一 切 数 学 教 学 活 动 的 起 点,更
是进行单元教学的 基 本 前 提 ．
首 先,在 知 识 内 容 方 面,
学生在小学已学过等式的 基 本 性 质,接 触 过 简 单 的 方
程及解法,所以对方程并不陌生 ．
同时,在本章之 前,学
生学习了有 理 数、整 式 的 加 减 等 知 识,学 生 的 认 知 结
用,对以 后 学 习 更 复 杂 的 方 程 和 函 数 起 到 “启 后 ”的
作用 ．
本单元的 重 点 是 一 元 一 次 方 程 和 二 元 一 次 方 程
组的解法及它们的应用;难 点 是 能 根 据 实 际 问 题 正 确
列出方程,用消元法解二元一次方程组 ．
(
２)课标分析
«义务教育数 学 课 程 标 准 (
自学初中数学资料-一元一次、二元一次方程(组)、分式方程
第1页 共10页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训自学资料年份 题量 分值 考点题型201526列一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程等解法 选择、解答2016 3 10列一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程等解法 选择、填空、解答2017 5 23列一元一次方程、分式方程、二元一次方程组、一元二次方程等解法选择、填空、解答2018 1 3 二元一次方程组 选择 2019 1 3 一元一次方程的应用选择一、二元一次方程、一次方程组【知识探索】1． 如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．【错题精练】例1．关于x ，y 的方程组{2x +y =2m +33x −2y =m −1的解满足不等式组{5x −y ＞0x −3y ＜0，则m 的取值范围______．第2页共10页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第3页共10页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第4页共10页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第5页共10页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第6页共10页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第7页共10页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第8页 共10页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训B.15x −15x+1=12 C. 15x−1−15x=12 D.15x −15x−1=129．某工程队要铺建一条长2000米的管道，采用新的施工方式，工作效率提高了25%，结果比原计划提前2天完成了任务，设这个工程队原计划每天要铺建x 米管道，则依题意所列方程正确的是（ ） A. 2000x +2=20001.25x B. 2000x=20001.25x-2C. 2000x +20001.25x =2D.2000x−20001.25x =21．设方程组{2y −x =33x +y =2k 的解满足x ＜1且y ＞1，则整数k 的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 无数个2．已知方程组{3x +y =m −1x −3y =2m 的解x ，y 满足x+2y≥0，则m 的取值范围是（ ）A. m≥13B. 13≤m≤1C. m≤-1D. m≥-13．已知关于X 的方程axx−1-21−x =3无解，求a 的取值范围．4．若分式方程1x−3+1=a−xx−3有增根，则a 的值是（ ） A. 4B. 0或4C. 0D. 0或-4第9页 共10页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好 非学科培训5．若分式方程3x−ax 2−2x +1x−2=2x 有增根，则实数a 的值是______．6．某铁路桥长为y 米，一列长为x 米的火车从上桥到过完桥共用去30秒，而整列火车在桥上的时间为20秒，若火车的速度为20米/秒，则可列方程组为______．7．端午节前夕，某超市用1680元购进A 、B 两种商品共60件，其中A 型商品每件24元，B 型商品每件36元．设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件，依题意列方程组正确的是（ ）A. {x +y =6036x +24y =1680B. {x +y =6024x +36y =1680C. {36x +24y =60x +y =1680D. {24x +36y =60x +y =16808．受今年五月份雷暴雨影响，深圳某路段长120米的铁路被水冲垮了，施工队抢分夺秒每小时比原计划多修5米，结果提前4小时开通了列车．若原计划每小时修x 米，则所列方程正确的是（ ） A.120x -120x+5=4 B. 120x+5-120x =4 C. 120x−5-120x =4 D.120x -120x−5=4第10页共10页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训。