浙江省温州市2020届高三上学期11月份高考适应性测试一模数学试题 含解析

温州市普通高中高考适应性测试数学试题 2019年11月一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知全集{}1,2,3,4U =，{}1,3A =，{}U 2,3B =ð，则A B =I （ ）A ．{}1B ．{}3C ．{}4D ．{}1,3,4【答案】A 【解析】由题意得：}31{，=A ,}41{，=B ,}1{=⋂B A .2. 设实数,x y 满足不等式组0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6【答案】D 【解析】由题意得：我们可以画出线性区域，线性区域是一个三角形，最值点在线性区域的三个端点处取得。

我们联立方程得：()()()300400，，，，，，所以我们知道在()30，取得最大值：6=z 3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（ ）A ．31cm 6B ．31cm 3C ．31cm 2D ．32cm 3俯视图侧视图正视图【答案】B4. 若双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．y = B ．2y x =± C．y = D ．12y x=±【答案】A 【解析】 由题意得：,3,3==ace 设m a m c ==,3，则m a c b 222=-=，所以渐近线方程为y =5. 已知a ，b 是实数，则“1a >且1b >”是“1ab a b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意得：充分条件满足，必要条件：当4,2-=-=b a 时，1ab a b +>+不一定可以推导出“1a >且1b >” 所以A 为正确选项。

6. 函数()1211f x x x =-+-的图象可能是（ ）【答案】B 【解析】先求定义域：11-≠≠x x 且，取特殊值，当2-=x ，31-=y ，排除C ，D.函数)1)(1(3-+--=x x x y ，当.03=-=y x ，所以正确答案是B 。

7. 在四面体ABCD 中，BCD △是等边三角形，2ADB π∠=，二面角B AD C --的大小为α，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦ADCB【答案】C8. 已知随机变量ξ满足()01P p ξ==-，()1P p ξ==，其中01p <<，令随机变量()E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ> D ．()()D D ηξ<【答案】D9.如图，P 为椭圆()22122:10x y E a b a b+=>>上的一动点，过点P 作椭圆()22222:01x y E a bλλ+=<<的两条切线PA ，PB ，斜率分别为1k ，2k ．若12k k ⋅为定值，则λ=（ ）A ．14B C．12D 【答案】C【解析】设过）（00,y x P 的直线方程：)(00x x k y y -=-， 直线方程与椭圆2E 联立可得：()[]022200222==-++ba kx y kx a x b化简：()()()022220020022222=--+-++λb a kx y a x kx y ka x k a b因为相切，△=0化简：()0222200=---λλk a b kx y ，在整理成关于k 的二次函数，()02220002220=-+--λλb y k y x k a x 有两个不相等的实数根，∴=--=λλ22022021a x b y k k 常数，在化简得到21=λ9. 已知数列{}n x 满足12x =，1n x +=()*n ∈N ，给出以下两个命题：命题p ：对任意*n ∈N ，都有11n n x x +<<；命题q ：存在()0,1r ∈，使得对任意*n ∈N ，都有11n n x r -≤+．则（ ）A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q假 【答案】B 【解析】命题p ：对任意*n ∈N ，都有11n n x x +<<；为真命题，命题q ：存在()0,1r ∈，使得对任意*n ∈N ，都有11n n x r -≤+为假命题。

二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分10. 若复数z 满足()()2212z -=+i i ，其中i 为虚数单位，则z = ，z = ．【答案】i 21-+【解析】由题意得：()()2212z -=+i i ⇒i z 21+-=z=11. 直线142x y+=与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB = ；以线段AB 为直径的圆的方程为 ．【答案】024;5222=--+y x y x【解析】由题意得：AB =164+52=AB 中点坐标为()1,2，半径为5；所以圆的方程：()5)1(222=-+-y x12. 若对x ∈R ，恒有()()75601561x a x a a x a x a x +=+++++L ，其中0156,,,,,a a a a a ∈R L ，则a = ，5a = ． 【答案】1，-113. 如图所示，四边形ABCD 中，7AC AD CD ===，120ABC ∠=︒，sin BAC ∠=，则ABC △的面积为 ，BD = ． 【答案】4,8DCBA14. 学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果，西梅数量不多，只够一人购买．甲、乙、丙、丁4位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种水果，则他们购买水果的可能情况有 种． 【答案】600【解析】分两种情况：（1）水果中无西梅；360332435=A C C （2）水果中有西梅24022122425=A C C C 。

合计60015. 已知平面向量a ，b ，c 满足1=a，=b 0⋅=a b ，-c a 与-c b 的夹角为6π，则()⋅-c b a 的最大值为 ．【答案】516. 设函数()33f x x x a =-++，若()f x 在[]1,1-上的最大值为2，则实数a 所有可能的取值组成的集合是 ．【答案】{3,5--三、解答题：5小题，共74分17. （本题满分14分）在锐角．．ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3b =，sin sin A a B +=（1）求角A 的值；（2）求函数()()22cos cos f x x A x =--（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的值域．【答案】（1）.3π【解析】(Ⅰ)由正弦定理，得sin sin 3sin a B b A A ==，则sin sin 4sin A a B A +==，得sin 2A =， 又A 为锐角，故3A π=； (Ⅱ因02x π≤≤，故22333x πππ--≤≤，于是，因此即()f x 的值域为18. （本题满分15）如图，已知四棱锥P ABCD -，BC AD ∥，平面PAD ⊥平面PBA ，且DP DB =，2AB BP PA AD BC ====．（1）证明：AD ⊥平面PBA ；（2）求直线AB 与平面CDP 所成角的正弦值． 【解析】（I ）证明：分别取PA ，PB 的中点M ，N ，连结AN ，DN ，BM .因DP DB =，N 为PB 的中点， 故PB DN ⊥. 同理，PB AN ⊥，BM PA ⊥.故PB ⊥平面DNA . 故PB AD ⊥.因平面PAD ⊥平面PBA ，平面PAD I 平面PBA PA =，BM ⊂平面PBA ，BM PA ⊥，故BM ⊥平面PAD . 则BMAD ⊥.又PB ，BM 是平面PBA 中的相交直线， 故AD ⊥平面PBA . （II ）法一：设直线AB 和DC 交于点Q ，连结PQ ，则PQ PA ⊥.因ADP ABP ⊥面面，故PQ PAD ⊥面， 则PQD PAD ⊥面面.取PD 的中点G ，连结AG ，QG ，则AG PQD ⊥面， 所以AQG ∠就是直线AB 与平面PCD 所成角.不妨设2AB =，则在Rt AGQ ∆中，4AG AQ =，故sin AG AQG AQ ∠=所以直线AB 与平面PCD所成角的正弦值为4. 法二：由（I ）知，AD ABP ⊥面，又BC ∥AD ， 故BC PAB ⊥面.如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 不妨设2AB =，则(0,0,0)A，B，C ，(0,0,2)D ，(2,0,0)P ，则AB =u u u v，(1,CD =-uuu v ，(2,0,2)PD =-uuu v. 设(,,)x y z =n 是面PCD 的一个法向量， 则00CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r，n n，即0220x z x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 取=1x ，则(1,0,1)=n .设直线AB 与平面PCD 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||AB AB AB θ⋅=<>=⋅uuu vuuu v uuu v n n n所以直线AB 与平面PCD. 19. （本题满分15）已知等差数列{}n a 的首项11a =，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，且12S +，22S +，32S +成等比数列．（1）求通项公式n a ；（2）求证：11n <+L （*n ∈N ）；【解析】（I ）记d 为{}n a 的公差，则对任意n *∈N ，112222n n n na a a da ++-==，即{2}n a 为等比数列，公比20dq =>.由12S +，22S +，32S +成等比数列，得2213(2)(2)(2)S S S +=++， 即22[2(1)2](22)[2(1)2]q q q ++=++++，解得2q =，即1d =.所以1(1)n a a n d n =+-=，即()n a n n *=∈N ；（II ）由（I ）)n *<∈N L .下面用数学归纳法证明上述不等式. ①当1n =时，不等式显然成立；②假设当()n k k*=∈N<L ，则当1n k =+<++L .因+=<，故+<.<L ，即当1nk =+时，不等式仍成立.)n *<∈N L .所以11)n n *<+∈N L 20. （本题满分15）如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中10y >，124y y =-．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ． （1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值．【解析】（I ）易得直线AB 的方程为1212()2y y y px y y +=+，代入(,0)2p ，得2124y y p =-=-，所以2p =； （II ）点221212(,)(,)44y y A y B y ，，则1(1,)H y -，直线1:(1)2y PQ y x =--， 代入24y x =，得2222111(216)0y x y x y -++=. 设3344(,)(,)P x y Q x y ，，则2134214(4)||2y PQ x x y +=++=. 设A B ，到PQ 的距离分别为12d d ，，由11:20PQ y x y y +-=，得32311211121122112|2(2)||(2)|y y y y y y y y y y y y d d +--+-+--+-+===3112|2|y y y +-311224|2|y y ++==因此1211||()2APBQ S PQ d d =⋅+=设函数256(4)()x f x x +=(0)x >，则24274(4)(6)'()x x f x x +-=，可得，当x ∈时，()f x单调递减；当)x ∈+∞时，()f x 单调递增，从而当1y 时，S9=． 21. （本题满分15）已知实数0a ≠，设函数()e ax f x ax =-．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当12a >时，若对任意的[)1,x ∈-+∞，均有()()212a f x x ≥+，求a 的取值范围． 注：e 2.71828=L 为自然对数的底数．【解析】（I ）由()(1)=0ax axf x a e a a e '=⋅-=-，解得0x =．①若0a >，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞内单调递减．②若0a <，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞内单调递减．综上所述，()f x 在(,0)-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增．（II ）2()(1)2a f x x +≥，即2(1)2ax a e x +≥（﹡）． 令0x =，得12a ≥，则122a <≤． 当1x =-时，不等式（﹡）显然成立，当(1,)x ∈-+∞时，两边取对数，即2ln(1)ln2a ax x ++≥恒成立． 令函数()2ln(1)ln 2a F x x ax =+-+，即()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立． 由22(1)()=011a x F x a x x -+'=-=++，得211x a=->-． 故当2(1,1)x a ∈--时，()0F x '>，()F x 单调递增；当2(1+)x a∈-∞，时，()0F x '<， ()F x 单调递减. 因此22()(1)2ln2ln 2ln 22a a F x F a a aa -=-++=--≤． 令函数()2ln 2a g a a =--，其中122a <≤， 则11()10a g a a a-'=-==，得1a =， 故当1(,1)2a ∈时，()0g a '<，()g a 单调递减；当(1,2]a ∈时，()0g a '>，()g a 单调递增． 又13()ln 4022g =-<，(2)0g =， 故当122a <≤时，()0g a ≤恒成立，因此()0F x ≤恒成立， 即当122a <≤时，对任意的[1,)x ∈-+∞，均有2()(1)2a f x x ≥+成立。