§2.3 极限的运算法则和存在法则

2）利用夹逼准则求极限的关键是构造出yn与zn， 并且yn与zn的极限是相等的．
例11 求 lim (
n
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
)
解
n 1 1 n 2 , 2 2 2 n n n 1 n n n 1
1 1 n n 1 lim 2 lim n n 1 n 1 1 1 2 n 由夹逼定理得 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
3n 2 n 例1 求 lim 2 n 2n 3n 1
lim (x 2 4 x 1) 例3 求
x2
解
x2
lim (x 2 4 x 1) ( lim x )2 4 lim x lim 1
x2 x2 x2
22 4 2 1 3
一般地， 设 f ( x ) a0 x a1 x an , 则有
f ( x) A
x x 0

2
又由条件 lim g（x） B 可知，存在 2 0, 使当
0 x x0 2 时有
g ( x) B

2
现取 min{1 , 2 }, 当 0 x x0 时就有
f ( x ) A

2
,
g ( x) B
n n1
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) a1 ( lim x )
n x x0 x x0
n1
an
a0 x0n a1 x0n1 an
f ( x0 )
例4 求 lim 解
x3 1 x2 3x 5
x2 x2
f(x) A (3) lim , 其中 B 0. g( x ) B 说明: 以上等式对x 的各趋限都成立,
例如
x x0 , x 等
证 我们仅就 x x0 的过程给出(1)的证明
对任意>0 , 由条件 lim f（x） A 可知，存在 1 0,
x x 0
使当 0 x x0 1 时有
2

2
及三角形OAB 1 x S扇 1 AB 2 2 1 sin x S 1 BC 2 2
B
1
x O C A
取半径为1, 圆心角为 x 0 , 的扇形OAB, 2 及三角形OAB
1 sin x S扇 S 1 BC 2 2 sin x x 由面积大小可得 2 2 即 0 sin x x x 0 , 2
x2
x2
lim ( x 2 3 x 5)
23 1 7 . 3 3
P( x ) 一般地， f ( x ) 设 , 且 Q( x0 ) 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) x x0 lim Q( x ) Q( x0 )
x x0 x x0
a0 , 当n m , b m m 1 0 a 0 x a1 x am lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
x3 x 2 1 1 1 2 2 x x 1 解 x x (1) lim lim 1 x 2 x 2 1 x 2 2 x 1 0 0 1 lim x 2 0 2 1 2 3 2 x 2 x x ( 2) lim 3 lim 1 2 x x x 2 x 1 2 3 x x 00 lim 0 x 1 0 0
又 lim
n n n
2
n
lim
1
n
1
例12 用夹逼准则证明 lim cos x 1 分析: lim cos x 1 lim (1 cos x ) 0
x 0 x 0
x 0
x 0 1 cos x 2 sin 2 2 x 2 2 x 因为 lim x 0 ,所以只要证明 sin 即可 x0 2 2 解 取半径为1, 圆心角为 x 0 , 的扇形OAB,
x , 0 时, x 0 , 当 2 2
B 1 x O
1 x 1 AB 2 2
0 sin( x) ( x)
即 0 sin x x
C
A
时有 因此当 x 0 , 2
sin x x
lim ( x 2 x 1)
x 1
lim (32 3 1) 3
x1
2x3 3x2 5 . 例8 求 lim 3 2 x 7 x 4 x 1
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大.( 型 )
先用x 3去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.

2
从而有
f ( x ) g ( x ) A B f ( x ) A g ( x ) B
f ( x ) A g( x ) B
所以
lim
0

2


2

f ( x ) g( x ) A B x x
lim[cf ( x)] c lim f ( x)
x1 lim x 1 x 3
11 1 lim x1 1 3 2
x 1 例7 求 lim x 1 x 1
3
解 当 x 1时，分母为零，且 x 1的过程， x 1，故可约去因子 x 1

x3 1 ( x 1)( x 2 x 1) lim lim x 1 x 1 x 1 x 1
类似地
1 1 1 1 2 n 1 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ) 2! n n! n n n
1 1 xn1 1 1 (1 ) 2! n 1
1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 2 n 1 1 1 2 n (1 )(1 )(1 ) ( n 1)! n 1 n 2 n 1
2 2
x x 所以 0 1 cos x 2 sin 2 2 2
而
lim x 0
x 0
x lim 2 0 x 0 2
2
由夹逼准则得
lim (1 cos x ) 0
x 0
即
lim cos x 1
x 0
2、单调有界准则 准则Ⅱ（单调有界准则） (1)如果数列 {xn } 单调增加且有上界, 则数列 {xn }收敛; (2)如果数列 {xn } 单调减少且有下界, 则数列 {xn } 收敛. 几何解释:
2
解
0 x 1时, 分子、分母的极限均为零 ( 型 ) 0 先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
x2 2 x 3 ( x 1)( x 3)
x1 x 2 x 3x n x n 1
A
M
x
例13 设 xn (1 1 )n ，证明数列 {xn} 收敛
n
证明
1 n xn (1 ) n
n 1 n( n 1) 1 n( n 1)( n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n n! n
如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn ( 2) lim yn a ,
n
( n 1,2,3) lim zn a ,
n
n
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
注意: 1）准则 I和准则I’统称为夹逼准则
§2.3 极限的运算法则和存在法则 2.3.1 极限的四则运算法则 定理 ( 极限的四则运算法则 )
设 lim f ( x ) A, lim g( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B (2) lim[ f ( x ) g( x )] A B
x 2 x
例9 求 (1) lim
x2 x 1 2x 1
( 2) lim
x2 2
1 x, x 0 , 求 lim f ( x ). 例10 设 f ( x ) 2 x0 x 1, x 0
解 x 0是函数的分段点, 两个单侧极限为
lim f ( x ) lim (1 x ) 1 x 0 x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 2 1) 1
x 0
y y 1 x
y x2 1
左右极限存在且相等
1
故 lim f ( x ) 1.
x 0
o
x
2.3.2 极限的存在准则
1、夹逼准则
准则Ⅰ（函数极限的夹逼准则）
如果当 x N ( x 0 ) (或 x M )时,有
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) x x g ( x ) A, x x h( x ) A, lim lim
( x )
0
( x )
0
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A
x x0 ( x )
准则Ⅰ’ （数列极限的夹逼 x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3 x lim 5
x2
( lim x )2 3 lim x lim 5