重庆市南开中学高2010级高考考前模拟测试数学(理)

重庆南开中学高2010级高考考前模拟测试数学试题（理科）数学试题卷（理工农医类）满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求．1．2(1)=（ ）A ．3+B ．3-C ．1--D ．1-+ 2．33cot()25ππ+=（ ）A ．3tan 5πB ．3cot5π C ．3cot5π- D ．3tan5π- 3．在等差数列{}n a 中，131427,a a a ++= 则其前11项的和11S = （ ）A ．99B ．198C ．992D ．1284．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生相邻排列的概率是 （ ）A ．130B ．115 C ．110 D ．155．已知ABC ∆的外心为,O 8,AO AB ⋅= 则||AB =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．16．,A B 为ABC ∆的两内角，则“A B >”是“22cos cos A B <”的如下哪个条件（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．不充分不必要D ．充分必要7．在ABC ∆中，90,60,A B ==一椭圆与一双曲线都以,B C 为焦点，且都过,A 它们的离心率分别为12,,e e 则12e e +的值为（ ）ABCDα题10图ABCDA 1B 1C 1题13图A．BC ．3D ．28．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2),f x f x =+ 当[3,4]x ∈时，()2,x f x =则下列不等式中正确的是（ ）A ．11(sin (cos )22f f <B ．(sin)(cos 33f f ππ>C ．(sin1)(cos1)f f <D ．33(cos (sin 22f f <9．已知()y f x =为R 上的连续可导的函数，当0x ≠时，'()()0,f x f x x+>则关于x 的方程1()0f x x+=的根的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或210．如题10图，面,ABC α⊥D 为AB 的中点，||2,AB =60,CDB ∠= P 为α内的动点，且P 到直线CD则APB ∠的最大值为 （ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题：本大题共5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上． 11．不等式1x x>的解集是_________． 12．已知实数,x y 满足不等式组2,0y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则目标函数3z x y =+的最大值为__________． 13．如题13图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AB =点D 在棱1BB 上，且1,BD = 且AD 与平面11AAC C 所成的角的正弦值 是____________．14．设函数23(1)(0,1),nf x x x x x x -=++++≠…且()f x 中所有项的系数和为,n a 则lim 2nnn a →∞=______．15．把数列*1{}(N )21n n ∈-的所有项按照从大到小的 原则写成如题15图所示的数表，其中的第k 行有12k -个数，第k 行的第s 个数（从左数起）记为(,),A k s 则(10,495)A =_____________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．（各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程） 16．（本小题满分13分）已知A BC 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为,a b c 、、若(2cos ,tan ),2A m A = (cos ,cot ),2An A =- 且1.2m n ⋅=（Ⅰ）求角;A（Ⅱ）若4,b c +=ABC ∆求.a17．（本小题满分13分）在一次数学考试中，共有10道选择题，每题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，评分标准规定：“每道题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有6道题是正确的，其余题目中：有两道题可判断两个选项是错误的，有一道可判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，请求出该考生： （Ⅰ）得50分的概率；（Ⅱ）设该考生所得分数为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分 ）如题18图，已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PD ⊥面,2,ABCD PD =,E F 分别为,BC AD 的中点．（Ⅰ）求直线DE 与面PBC 所成的角； （Ⅱ）求二面角P BF D --的大小． 19．（本小题满分12分）已知函数2()ln(1)(1)f x a x x =+++，其中，a 为实常数且0.a ≠ （Ⅰ）求()f x 的单调增区间； （Ⅱ）若()2af x ≥对任意(1,)x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）已知曲线C 上任意一点M 到点(1,0)F 的距离比它到直线2x =-的距离小1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）直线:l y x b =-+与曲线C 相交于,A B 两点，(1,2),P 设直线PA PB 、的斜率分别为12,,k k 求证：12k k +为定值．ABCD EF P题18图21．（本小题满分12分）设各项为正的数列{}n a 满足：111(1)1,1,n nn n na n a a a a +++==+令11,b a =21222311[n b n a a a =+++ (2)11](2).n n a -+≥ （Ⅰ）求;n a （Ⅱ）求证：12111(1)(1)(1)4(1).nn b b b +++<≥…ABCDαP参考答案一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分． 1～5 DDACB 6～10 DACAB10．提示：空间中到直线CD 的距离为3的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P 在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，b2,a ==则1,c =于是,A B 为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，故为60°．二、填空题：本大题共5小题，共25分． 11．{}101;x x x <-<<或12．4；13 14．2； 15．12011三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（Ⅰ）由1,2m n ⋅= 得2112cos1cos ,222A A -+=⇒=- 所以120A =…………6分 （Ⅱ）由11sin sin12022ABC S bc A bc ∆=== 得4,bc =………………9分 2222222cos ()12,a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=+-=所以a =……13分17．解：设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选择对为事件,A“有一道可判断一个选项是错误的”选择对为事件,B “有一道因不理解题意”选择对为事件,C 则111(),(),()234P A P B P C ===ABCDE FPM N（Ⅰ）得50分的概率为11111;223448P =⨯⨯⨯= ……………………5分 （Ⅱ）ξ的可能值是50,45,40,35,30得30分的概率为11231;22348P =⨯⨯⨯= ……………………6分 得35分的概率为1211231113112117;22342234223448P C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=…8分 得40分的概率为112211231113112117;22342234223448P C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=…10分 得45分的概率为121113112111117;22342234223448P C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ………………12分1177145530(3540)4550.848484812E ξ=⨯++⨯+⨯+⨯=………………13分18．解：（Ⅰ）取PC 的中点,N 连接,,DN EN⊥PD 面,ABCD ,PD BC ⊥∴又由题意，有DC BC ⊥BC ⊥∴面,PDC ∴面⊥PBC 面,PDC又DC PD =知,DN PC ⊥DN ⊥∴面,PBC所以DEN ∠为直线DE 与面PBC 所成的角，…………4分由题意DN DE =所以sinDEN ∠==所求角为 ………………7分 （Ⅱ）过D 作,DM BF ⊥交BF 的延长线于,M 连接,PM⊥PD 面,ABCD 所以PM 在面ABCD 内的射影为,DM ,PM BF ⊥∴所以PMD ∠为二面角P BF D --的平面角………………10分 由Rt DMF∆与Rt BAF ∆相似，所以DM DF DM AB BF =⇒=所以tan PDPMD DM∠==所求二面角大小为……………………13分19．解：（Ⅰ）2'2(1)()2(1)11a x a f x x x x ++=++=++……………2分 因为)(x f 的定义域为(1,),-+∞所以10x +>当0>a 时，'()0,f x >此时)(x f 的单调增区间为),1(+∞-…………4分当0<a 时，22(1),x a +>-即1x >-'()0,f x >此时()f x 的单增区间为(1)-++∞………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0>a 时，)(x f 在),1(+∞-单调增，而当0→x 时，-∞→)(x f所以此时()f x 无最小值，不合题意………………7分当0<a 时，()f x 在(1,1--上单调减，在(1)-+∞上增， 所以2)(ax f ≥恒成立，即2(122a af a -≥⇒≥……10分1,⇒ 得2020.e e a <⇒-≤< ………………12分 20．解：（Ⅰ）由题意，M 到(1,0)F 距离等于它到直线1x =-的距离，由抛物线定义，知C 为抛物线，(1,0)F 为焦点，1-=x 为准线， 所以C 的方程为x y 42=．……………………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y联立0)42(4222=++-⇒⎩⎨⎧=+-=b x b x xy bx y2121224,x x b x x b +=+=∴………………6分12122112121222(2)(1)(2)(1)11(1)(1)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----………………8分 12122121122222(1)(1)y x y x y x y x x x --++--+=--1221121212()2()4(1)(1)y x y x y y x x x x +-+-++=--2112121212()()()2()4(1)(1)x x b x x b x b x b x x x x -++-+--+-+-++=--………10分1212122(1)()42(1)(1)x x b x x bx x -+-++-=--2122(1)(24)42(1)(1)b b b bx x -+-++-=-- 0=所以21k k +为定值．……………………12分 21．解：（Ⅰ）令1,n na t a +=则111n n nt t t n ++=+⇒=或1-=t （舍去） 即11,n n a n a n++= ∴1321221132,,,1221n n n n a a a a n n a n a n a a ----====-- 将以上各式相乘得：.n a n =………………4分 （Ⅱ）21222231111[](2).n n b n a n a a a -=++++≥∴2222111[1](2).23(1)n b n n n =++++≥-22221111,23(1)n b n n ⇒=++++- ∴12222222111111(1)23(1)n n b b n n n n n +=+++++=++-∴2211;(1)n n b n b n ++=+ ………………6分当1=n 时，11124,b +=<结论成立；………………7分 当2≥n 时，312121*********(1)(1)(1)nn nb b b b b b b b b b b +++++++=⋅⋅ (312112341)1111()n n n b b b b b b b b b b ++++++=⋅⋅ 22221222211234()14345(1)n n b n ++=⋅⋅⨯+ 122(1)n b n +=⋅+…………9分 ∴222211111112[1]2[1]23(1)1223(1)n n n n +++++<++++-⨯⨯- 111112[1(1)()()]2231n n =+-+-++--44 4.n=-< ……………………12分。