2020届湖南省岳阳市第一中学高三第二次模拟数学(理)试题(解析版)

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2022届湖南省岳阳市第一中学高三下学期一模数学试题(解析版)

2022届湖南省岳阳市第一中学高三下学期一模数学试题一、单选题1．定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =，所以{0,1,2}A B ⊗=--，故集合A B ⊗中的元素个数为3，故选：C.2．若i 为虚数单位，复数z 满足1z ≤，则(1i)z -+的最大值为（）A 1BC 1D ．【答案】C【分析】2i z -+表示的几何意义是复数z 对应的点与点()1,1连线段的长度，从这个角度可以得到复数模的最大值.【详解】1z ≤表示的几何意义是复数z 对应的点到原点的距离小于等于1， ()1i z -+表示的几何意义是复数z 对应的点与点()1,1连线段的长度，故的(1i)z -+11=，故选：C.3．“2022x =”是“2202220210x x -+=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】因为220222021(1)(2021)0x x x x -+=--=，1x =或2021x =，所以2022x =是2202220210x x -+=的既不充分也不必要的条件．故选：D ．4．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C 的一部分，若C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，且点(6,3)P 在双曲线C 上，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．22139x y -=D ．221412x y -=【答案】C【分析】利用待定系数法可求双曲线C 的标准方程.【详解】设双曲线的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为离心率2e =，故半焦距2c a =，故3b a =，而双曲线过()6,3P，故22691a b -=，解得3,3a b ==，故双曲线的方程为：22139x y -=，故选：C.5．已知数列{}n a 中，10a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则35124e e e e e a a a a a ++++=（）A ．6B ．10C ．15D ．21【答案】C【分析】利用递推公式，分别求出2345,,,a a a a ，即可求解. 【详解】因为10a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以21211ln 1ln a a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以2e 2a =；32321ln 1ln a a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以3e 3a =；43431ln 1ln a a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以4e 4a =；54541ln 1ln a a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以5e 5a =；所以35124e e e e e 1234515a a a a a ++++=++++=.故选：C6．设5log 4a =，4log 3b =，0.614c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的性质判断．【详解】22254lg3lg5lg 4()lg 4lg3lg 4lg3lg52log 4log 3lg5lg 4lg 4lg5lg 4lg5+---=-=≥0=>, 所以54log 4log 3>， 441log 3log 22>=，而0.6 1.2111()()422=<，所以a b c >>．故选：A ．7．已知平面四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，135BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，(1)AC AB AD λ=+-，则λ=（）A ．1BC1 D2+【答案】D【分析】由向量的线性运算及数乘定义得//BC AD ，从而得ABCD 是直角梯形，求出BC 的长后可得．【详解】(1)AC AB AD λ=+-(1)AC AB BC AD λ⇒-==-，所以//BC AD ，即//BC AD ，所以ABCD 是直角梯形，如图，作AE BC ⊥于E ，则AECD 是矩形，2AB =，45ABC ∠=︒，则AE BE ==1EC AD ==，所以1BC =，即(21)BC AD =+，又(1)BC AD λ=-，所以11λ-=，2λ=．故选：D ．8．已知函数221e e ()312x xx f x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[]e,0- B ．[]2,0- C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦【答案】C【分析】先判断()f x 为R 上的增函数且()()11f x f x +-=，利用这两个性质可得关于x 不等式，利用判别式可求参数的取值范围，注意分类讨论. 【详解】()f x 的定义域为R ，221e e ()312x x x f x ----=++，故1131()()131313131x x x x x f x f x --+=+=+=++++，()222223ln 3ln 3()e +e e +e 131323x x x x x xx x f x --'=-+=-+++，因为13221243xx++≥=（当且仅当0x =等号成立）， 22e +e 2x x -≥（当且仅当0x =等号成立），故ln 3()204f x '≥->，所以()f x 为R 上的增函数，故2(4)(2)1f ax f ax -+≤可转化为：2(4)1(2)f ax f ax -≤-，即转化为：2(4)(2)f ax f ax -≤-，所以242ax ax -≤-对任意的x ∈R 恒成立，故2240ax ax +-≤对任意的x ∈R 恒成立，当0a =时，40-≤恒成立，故0a =符号，当0a <时，24160a a ∆=+≤，故40a -≤<，当0a >时，224y ax ax =+-的图象为开口向上的抛物线，故2240ax ax +-≤对任意x ∈R 不恒成立，舍，故[]4,0a ∈-，故选：C.二、多选题9．设随机变量X 服从正态分布(4,4)N ，且2(23)(6)P X m P X m <-=>+，则实数m 的值可为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】AD【分析】根据正态分布的图象对称性求解即可【详解】由题，正态分布(4,4)N 图象关于4x =对称，故22368m m -++=，即230m m -=，解得0m =或3m = 故选：AD10．已知正方形ABCD 的对角线长为2，EF 是它的内切圆一条弦，点P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，当弦EF 的长度最大时，PE PF ⋅不可能为（）A ．13-B ．0C ．13D ．23【答案】AD【分析】建立平面直角坐标系，分析出EF 为圆的直径，设(),E m n ，则(),F m n --满足2212m n +=.利用向量坐标化计算出10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.对照四个选项,即可得到答案.【详解】因为正方形ABCD 的对角线长为2，所以边长为2. 建立如图示的平面直角坐标系，则正方形的内切圆的方程为2212x y +=当弦EF 的长度最大时，EF 为圆的直径.设(),E m n ，则(),F m n --,且2212m n +=.当点P 在CD 上时，可设222,P p p ⎛⎛≤≤ ⎝⎭⎝⎭. 则22,,2,PE P m p n p n F m ⎛⎫⎛=--=--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2222221,,2m p n m p P n p m n p E PF ⎛⎛⋅=-⋅---=-+-= ⎝⎭⎝⎭.因为p ≤≤2102p ≤≤.即10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.当点P 在AB 上时，可设,,P p p ⎛⎛≤≤ ⎝⎭⎝⎭.则2,,2,PE P m p n p n F m ⎛⎫⎛=-+=--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22221,,2m p n m p P n p m n p E PF ⎛⎛⋅=-⋅---=-+-= ⎝⎭⎝⎭.因为p ≤≤2102p ≤≤.即10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.当点P 在BC 上时，可设,P p p ⎫⎛≤⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.则2,2,PE PF m n p m n p ⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22221222m n p m P n p P m p n E F p ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅----=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为22p -≤≤2102p ≤≤.即10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.当点P 在AD 上时，可设,222P p p ⎛⎫⎛≤≤ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.则2,2,PE PF m n p m n p ⎛⎫⎛⎫=+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222212m n p m P n p P m p n E F p ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅---=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为p ≤≤2102p ≤≤.即10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦. 综上所述：10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.对照四个选项,PE PF ⋅不可能为：AD.故选：AD.11．已知函数2()6cos 4sin 23f x x x =+-，()()()g x f x f x =-，若存在0x R ∈，使得对任意x ∈R ，0()()f x f x ≤恒成立，则下列结论正确的是（） A ．对任意x ∈R ，00()()f x x f x x +=-+B ．存在x ∈R ，使得0()()2f x f x π<+C ．存在,04πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()g x 在()00,x x θ+上有且仅有1个零点D ．存在25πθ<，使得()g x 在002,5x x πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上单调递减【答案】AD【分析】应用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数式，0x 是()f x 的最大值点，由周期得02x π+是最小值点，这样易判断AB ，根据()g x 的定义，利用正弦函数性质得出()g x 在00[,]42x x ππ++上递减，在003[,]24x x ππ++上递增，00[,]44x x x ππ∈-+时，()0g x =，由此判断CD ．【详解】2()6cos 4sin 23f x x x =+-3cos 24sin 25sin(2)x x x ϕ=+=+，其中4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=，ϕ为锐角， 0()()f x f x ≤恒成立，则0()f x 是()f x 的最大值，0x x =是其函数图象的一条对称轴，因此00()()f x x f x x +=-+，A 正确；()f x 的周期是22T ππ==，因此02x π+是最小值点，B 错； ()()()g x f x f x =-，则sin(2)0x ϕ+≥时，()0g x =，sin(2)0x ϕ+<时，()10sin(2)g x x ϕ=+，所以00[,]44x x x ππ∈-+时，()0g x =，,04πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x 在()00,x x θ+上恒为0，有无数个零点，C 错；由()g x 的定义知其在00[,]42x x ππ++上递减，在003[,]24x x ππ++上递增，所以当245ππθ≤<时，002,5x x πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⊆00[,]42x x ππ++，D 正确．故选：AD ．12．如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，BA BC ⊥，2PA PB PC ===，O 为AC 的中点，点M 是棱BC 上一动点，则下列结论正确的是（）A ．三棱锥P ABC -的表面积为731++B ．若M 为棱BC 的中点，则异面直线PM 与AB 所成角的余弦值为77C ．若PC 与平面PAM 所成角的正弦值为12，则二面角M PA C --的正弦值为23D ．PM MA +的取值范围为627,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 【答案】ABD【分析】连结OB .证明出OP ⊥面ABC .O 为原点，以,,OB OC OP 分别为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.对于A ：直接求出三棱锥P ABC -的表面积，即可判断；对于B ：用向量法求出异面直线PM 与AB 所成角的余弦值，即可判断；对于C ：用向量法求出二面角M PA C --的平面角的正弦值为33，即可判断；对于D:把平面PBC 展开，判断出当M 与C 重合时，PM MA +最大；PM MA +的最小值为AP ，利用余弦定理可以求得. 【详解】连结OB .在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，BA BC ⊥，2PA PB PC ===. 所以OP AC ⊥,OB AC ⊥,且22213OP =-=,1OB =. 所以222OB OP PB +=，所以OB OP ⊥. 又因为OB AC O ⊥=，所以OP ⊥面ABC .可以以O 为原点，以,,OB OC OP 分别为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()0,1,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，(3P ，所以(0,1,3PA =-,(1,0,3PB =,(0,1,3PC =,()1,1,0CB =-.对于A ：在三棱锥P ABC -中，AB BC ==BA BC ⊥，2PA PB PC ===，所以底面三角形ABC为直角三角形，其面积为112=；APC △为边长为2的等边三角形，所以面积为1222⨯⨯=APB △和CPB △为腰长为212；所以三棱锥P ABC -的表面积为211=.故A 正确；对于B ：M 为棱BC 的中点，所以11,,022M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以11,,22PM ⎛= ⎝,()1,1,0AB =.所以异面直线PM 与AB 所成角的余弦值为cos ,1PM AB PM AB PM AB⋅===⨯故B 正确；对于C ：点M 是棱BC 上一动点，不妨设()()1,1,0,,0CM CB λλλλ==-=-，（01λ≤≤） . 所以()()()0,2,0,,0,2,0AM ACCM λλλλ=+=+-=-.设(),,n x y z =为面P AM 的一个法向量，则()0020n PA y nAM x y λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，不妨设y=1，则2,1,n λλ⎛-= ⎝⎭(0,1,PC =.因为PC 与平面PAM 所成角的正弦值为12，所以1sin cos ,2013PC n PC n PCn PC nPC nθ⋅⋅=====⨯⨯++，解得：201λλλ-=≤≤取2λλ-=263n ⎛=-⎝⎭显然，面P AC 的一个法向量为()1,0,0m =. 设二面角M PA C --的平面角为β，所以cos cos ,m n m n m nβ⋅====⨯所以2263sin 1cos 133ββ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故C 错误；对于D:如图示，把平面PBC 展开，使A 、B 、C 、P 四点共面.当M 与B 重合时，224PM MA +=；当M 与C 重合时，224PM MA +=+=最大；连结AP 交BC 于M 1，由两点之间直线最短可知，当M 位于M 1时，PM MA +最小.此时，2222214sin 4CBP ⎛⎫- ⎪⎝⎭∠=，所以14cos cos sin 24ABP CBP CBP π⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭. 由余弦定理得：222cos AP AB BP AB BP ABP +-⋅⋅∠2214222224⎛⎫+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭627+所以PM MA +的取值范围为627,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 故D 正确. 故选：ABD【点睛】立体几何题目的解题策略： (1)证明题：几何关系的证明，用判定定理；(2)计算题：求角或求距离（求体积通常需要先求距离），可以用向量法.三、填空题13．已知函数sin π,0()(),01(2),1x x f x f x x f x x ≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，则2021()2f =________．【答案】1-【分析】根据分段函数()f x 的解析式求得正确答案.【详解】2021111π2020sin 122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：1-14．251(5)(1)x x-+的展开式的常数项是________．【答案】5【分析】根据多项式的乘法，用2x 乘以511x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的21x 项再加上用5-乘以展开式的常数项，即得所求【详解】因为554321151010511x x x x x x ⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭所以()52151x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为()10515+-⨯=故答案为：515．已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于,P Q两点，点M 是椭圆C 上异于,P Q 的一点，直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，且1259k k ⋅=-，若2PF QF =，则cos PFQ ∠=________．【答案】14--0.25【分析】由条件1259k k ⋅=-化简可得,,a b c 的关系，由2PF QF =结合椭圆的定义可求,PF QF ，再由余弦定理求cos PFQ ∠.【详解】设00(,)M x y ，11(,)P x y ，由已知可得11(,)Q x y --，2211221x y a b +=，2200221x y a b += 所以22220101220x x y y a b --+=，所以22201222010y y b a x x -+=- 因为1259k k ⋅=-，所以010*******y y y y x x x x -+⋅=--+， 2201220159y y x x -=--，所以2259b a =，所以22259a c a -=，故2249c a =，设椭圆的右焦点为2F ，因为2,PQ FF 互相平分可得四边形2PFQF 为平行四边形，所以2PF QF =，又2PF QF =，22PF PF a +=，所以242,33PF a PF a ==， 2222222cos cos 2PF PF FF PFQ FPF PF PF +-∠=-∠=-⋅，所以2221644199cos 424233a a c PFQ a a +-∠=-=-⨯⨯，四、双空题16．用标有1克，2克，4克的砝码各一个，在某架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么该天平所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有______种；若再增加15克，40克的砝码各一个，所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有______种．【答案】 7 62【分析】用列举法得到1克，2克，4克的砝码称量的种数；若加入15克后，求出可称量的范围为822≤≤x ，若加入40克后求出可称量的范围为3347≤≤x ，也可称量4862≤≤x 、1848≤≤x ，再加1克，2克，4克的砝码称量的种数从而求出重量为整数的种数.【详解】当一边放砝码时：一个砝码时，有能称出1克、2克、4克，两个砝码时能称出3克、5克、6克，三个砝码时能称出7克共有7种情况；当两边都放砝码时：一边各放一个砝码时，则能称出321-=克、211-=克、312-=克三种情况；一边两个另一边一个有2130+-=克、2314+-=克、3122+-=克三种情况，综上所述，该天平所能称出的不同克数至多有共有7种情况. 若用1克、2克、4克的砝码可称量范围17x ≤≤，若加入15克后，可称量的范围157157-≤≤+x ，即822≤≤x ，若加入40克后，可称量的范围407407-≤≤+x ，即3347≤≤x ，也可称量4084022+≤≤+x ，即4862≤≤x ，也可称量4022408-≤≤+x ，即1848≤≤x ，则17x ≤≤，822≤≤x ，1848≤≤x ，3347≤≤x ，4862≤≤x ，因为x 为正整数，所以162≤≤x ，所以再增加15克，40克的砝码各一个，所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有62种.故答案为：7；62.五、解答题17．已知在ABC 中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 2sin 0b A -=. (1)求角B 的大小；(2)若角B 为钝角，且角B 的角平分线与边AC 相交于点D ，满足BD =ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)3B π=或23B π=；(2)【分析】（1）利用正弦定理直接求出角B ；（2）根据面积相等及基本不等式求出8ac ≥，即可求出面积的最小值【详解】(1)2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=.因为0A π<<,所以sin 0A ≠,所以sin B =. 因为0B π<<，所以3B π=或23B π=. (2)当23B π=时，1211sin sin sin 232323ABCS ac aBD cBD πππ==+，所以()ac a c BD =+，即)ac a c =+≥a c =时取等号），解得：8ac ≥（当且仅当a c =时取等号）.所以121sin 8232ABCSac π=≥⨯=（当且仅当a c =时取等号）.即ABC的面积的最小值为18．已知数列{}n a 是公比1q ≠的等比数列，481a =，且3a ，22a ，13a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足1113b a =，()121n n n b b n a ++=+，记11211...33n n n T b b b -⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，若1433nn n n c b T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，证明：121115...3n c c c +++<.【答案】(1)*3(N )n n a n =∈(2)证明见解析【分析】（1）根据等差中项可得21343a a a =+，结合等比数列通向公式求解；（2）结合题意整理可得2n c n =，利用放缩2214112412121n n n n ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭，结合本题应从第二项开始放缩．【详解】(1)∵3a ，22a ，13a 成等差数列，则21343a a a =+ 211143a q a a q ∴=+ 即2430q q -+= 1q ∴=(舍去)或3q =4133a a q ∴== 1*13(N )n n n a a q n -∴==∈(2)由1121133n n n T b b b -⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，可得：21211113333nn n T b b b ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两式相加得：()()()211122314111133333n nn n n n T b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵()121n n n b b n a ++=+∴()21121141111335321333333n nn n n T b n b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则()2411352133nn n T b n n ⎛⎫-=++++-= ⎪⎝⎭，即24133nn n n c T b n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（1) 1151,13n c ==<成立；（2) 221144112,241(21)(21)2121n n c n n n n n n ⎛⎫≥=<==- ⎪--+-+⎝⎭12111111111...122...235572121n c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭553213n n =-<+ 综上所述：对一切*121115N ,...3n n c c c ∈+++< 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=，//AD BC ，90ABC ∠=，222CD AB AD ===.(1)求证：CD ⊥平面PBD ；(2)若三棱锥A PBD -的外接球表面积为16π，求三棱锥B PCD -的体积与三棱锥B PCD -的外接球的体积的比值. 【答案】(1)证明见解析 (2)727π【分析】（1）利用平面PBC ⊥平面ABCD 可以推出PB ⊥平面ABCD ，进而推出PB CD ⊥，而在四边形ABCD 中易证CD DB ⊥，最后利用线面垂直的判定定理即可证明（2）易知三棱锥A PBD -外接球的球心是PD 中点，三棱锥B PCD -外接球的球心是PC 中点，解出相关线段的长度即可求解【详解】(1)在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=，2222AB CD AD ===，ABD ∴，BCD △为等腰直角三角形，即CD DB ⊥，2BC =平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=，平面PBC 平面ABCD BC =， PB ∴⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，PB CD ∴⊥，BD PB B =，,BD PB ⊂平面PBD ，CD 平面PBD .(2)PB ⊥平面ABCD ，,BD AD ⊂平面ABCD ，BD PB ∴⊥，AD PB ⊥，又//AD BC ，90ABC ∠=，90DAB ∴∠=，即AD AB ⊥，PB AB B =，,PB AB ⊂平面PAB ，AD ∴⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，AD AP ∴⊥，即DBP ，DAP 均为直角三角形，且公共斜边为PD ，PD ∴中点到三棱锥A PBD -四个顶点的距离相等，∴三棱锥A PBD -的外接球半径12R PD =2=所以在Rt PBD 中PB =在Rt PBC △中，PC ==同理可得三棱锥B PCD -的外接球半径12R PC '==111332B PDC P DBC DBC V V S PB --∴==⨯⨯=⨯=△343V π==⎝⎭球B PDC V V -∴球20．有编号为A 、B 的两个盒子，A 盒子中有6个球，其中有2个球上写有数字0，3个球上写有数字1，1个球上写有数字2，B 盒子中也有6个球，其中有2个球上写有数字0，2个球上写有数字1，2个球上写有数字2.现从A 盒子取2个球，从B 盒子取1个球，设取出的3个球数字之积为随机变量ξ. (1)求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)记“函数()sin 216f x x πξ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度得到一个对称中心为π(,1)3的函数()g x ”为事件C ，求事件C 发生的概率. 【答案】(1)分布列见解析；()35E ξ= (2)115【分析】（1）先依据分布列规则去求随机变量ξ的分布列，再求其数学期望；（2）先求得ξ的值，进而可以求得事件C 发生的概率. 【详解】(1)ξ的可能取值为0，1，2，4()21442166C C 1101C C 15P ξ==-⋅=，()21322166C C 11C C 15P ξ==⋅=，()211113312221216666C C C C C 22C C C C 15P ξ==⋅+⋅=，()1113122166C C C 14C C 15P ξ==⋅=ξ的分布列为则()1112130124151515155E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (2)函数()sin 216f x x πξ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度得到函数ππππ()sin 2()1sin 216663g x x x ξξ⎡⎤⎛⎫=-++=+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭由函数()g x 一个对称中心为π(,1)3，可得πππ2π363k ξ⨯+-=，即62,Z kk ξ=-∈又ξ的取值为0，1，2，4，则4ξ=，则()115P C =21．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点0(,2)P x ，抛物线C 的焦点F 在以OP 为直径的圆上（O 为坐标原点）. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 引圆222:(3)(1M x y r r -+=<≤的两条切线PA 、PB ，切线PA 、PB 与抛物线C 的另一交点分别为A 、B ，线段AB 中点的横坐标记为t ，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)24y x = (2)149,1419t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）由题设可得90PFO ∠=︒，据此可求0x ，从而可得p ，故可得抛物线的方程.（2）设切线PA 的方程为()112y k x =-+，切线PB 的方程为()212y k x =-+，根据相切可得12,k k 满足的方程，再联立直线方程与抛物线方程后可用12,k k 表示,A B 两点，从而用12,k k 表示中点的横坐标，结合12,k k 满足的方程（结合韦达定理）可得中点横坐标的一元函数，故可求其范围.【详解】(1)由已知条件可得90PFO ∠=︒，20,4222p px p p ∴==⨯=，解得021p x =⎧⎨=⎩，所以，抛物线的方程为24y x =.(2)由题意可知，过P引圆222(3)(1x y r r -+=<≤的切线斜率存在，设切线PA 的方程为()112y k x =-+，则圆心M 到切线PA的距离d r ==，整理得，()222114840r k k r --+-=.，设切线PB 的方程为()212y k x =-+,同理可得()222224840r k k r --+-=.所以，12,k k 是方程()2224840r k k r --+-=的两根，121228,14k k k k r +==-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，由()12124y k x y x ⎧=-+⎨=⎩，得2114480k y y k --+=，由韦达定理知111842k y k -=，所以11211424242k y k k k -==-=-，同理可得2142y k =-. 设点D 的横坐标为t ，则()()22222112124242288k k x x y y t -+-++===()()()()22212121212221223k k k k k k k k =+-++=+-+- .设12m k k =+，则2888,43m r ⎡⎫=∈--⎪⎢-⎣⎭，所以2223t m m =--，对称轴1823m =>-，则149,1419t ⎛⎤∈⎥⎝⎦22．已知函数()()()ln 2f x a x x a R =+-∈. (1)讨论()f x 的单调性和最值； (2)若关于x 的方程21e ln (0)2x m m m m x =->+有两个不等的实数根12,x x ，求证：122e e x x m+>. 【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值. （2）利用同构可得原方程即为2e x x m +=有两个不同的实数根12,x x ，结合构造法可证 122e e x x m+>成立. 【详解】(1)()2122a a x f x x x --'=-=++，其中2x >- 若0a ≤，则0f x在()2,-+∞上恒成立，故()f x 在()2,-+∞上为减函数，故()f x 无最值.若0a >，当()2,2x a ∈--时，0f x ；当()2,x a ∈-+∞时，0fx ；故()f x 在()2,2a --上为增函数，在()2,a -+∞上为减函数，故()max ()2ln 2f x f a a a a =-=-+，()f x 无最小值. (2)方程21e ln (0)2x m m m m x =->+即为()e ln 2ln 2x m x m x x ++=+++，故()ln ln elne 2ln 2x mx m x x +++=+++，因为ln y x x =+为()0,+∞上的增函数，所以ln 2e e x m x x m ++==所以关于x 的方程21e ln (0)2xm m m m x =->+有两个不等的实数根12,x x 即为： 2e x x m +=有两个不同的实数根12,x x .所以12122e ,2e x xx m x m +=+=，所以()1212e -e x x x x m -=，不妨设12x x >，12t x x =-，故()()12121212e e e e e e x x x x x x x x m -+=+-，要证：122e e x xm+>即证()()1212122e e e e x x x x x x m m -+>-，即证()121212e 12e 1x x x x x x ---+>-，即证()()e 120e 1t t tt +>>-，即证()()e 12e 20t tt t +>->，设()()e 12e 2t t s t t =+-+，则()()e 1e 2e 1e 1t t t ts t t t '=++-=-+，故()e 0ts t t ''=>，所以()s t '在()0,+∞上为增函数，故()()00s t s ''>=，所以()s t 在()0,+∞上为增函数，所以()()00s t s >=，故122e e x xm+>成立.【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式.。

湖南省岳阳市岳阳县一中2020届高三市一模模拟卷二理科数学

岳阳县一中2020届高三市一模模拟试题(二)数学(理科)总分:150分时量:120分钟一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.若复数z 满足(2)55(z i i i +=+为虚数单位),则z 为( )A. 35i +B. 35i -C. 35i -+D. 35i -- 2.已知集合{|2},{|2}x x A x y B y y ====,则A B =I ( )A. [0,)+∞B. (0,)+∞C. RD. ∅3.设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据(,i x )(1,2,,)i y i n =L ,用最小二乘法建立的回归直线方程为$0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确的是( )A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 回归直线方程过样本点的中心(,)x yC. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重为58.79kg4.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若2019201312018,620192013S S a =--=,则2019S =( ) A. 2019 B. 2018 C. 1 D. 05.已知217()ln ,()(0)22f x xg x x mx m ==++<,直线l 与函数(),()f x g x 的图象都相切,且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ,则m 的值为( )A. 1-B. 3-C. 4-D. 2-6.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点,O E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD交于点F ,若,AC BD ==a b u u u r u u u r ,则AF u u u r等于( )A.1142+a b B. 2133+a b C. 1124+a b D. 1233+a b 7.如图,在正方体ABCD -1111A B C D 中,E 为棱1BB 的中点,用过点 1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为( )8.已知F 为抛物线28y x =的焦点,过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于,A B 两点, 则||FA FB -的值为( )C A B DD 11A. B. 8C. D. 16 9.函数()sin f x x =在区间(0,10)π上可以找到n 个不同的数12,,n x x x L ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===L 成立,则n 的最大值等于( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张,将其中一张在验钞机上检验发现是假钞,则这两张都是假钞的概率为( )A.217 B. 215 C. 15 D. 31011.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,以线段12F F 为直径为圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,若12||||2MF MF b -=,该双曲线的离心率为e ,则2e =( )A. 2B.12C. 32+D. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1,点M 在线段BC 上(点M 异于,B C 两点),点N 为线段1CC 的中点,若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形,则线段BM 的取值范围为( )A. 1(0,]3B. 1(0,]2C. 1[,1)2D. 12[,]23二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上.13.若变量,x y 满足约束条件2,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值为 .14.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.今共有粮38石,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知甲分得18石,则“衰分比”为15.若3(ax 的展开式中含2x项的系数为,则22a x dx -⎰的值为 16.函数()2)f x x π≤≤的值域为 .三、解答题:本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题:共60分17.(本小题满分12分)已知(2cos ,1),(,cos )x x y x =+=a b ,且//a b . (Ⅰ)将y 表示成x 的函数()f x ,并求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若9()3,2f B BC BA =⋅=u u u r u u u r,且3a c +=,求边长b .18.(本小题满分12分)如图,平面ABEF ⊥平面ABC ,四边形ABEF 为矩形,,AC BC O =为AB 的中点,OF EC ⊥. (Ⅰ)求证:OE FC ⊥;(Ⅱ)若FC 与平面ABC 所成的角为30o ,求钝二面角F CE B --的余弦值.19.(本小题满分12分)已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆G 与x 轴交于A 、C 两点,与y 轴交于B 、D 两点,且A 点的坐标为(—2,0),四边形ABCD 的面积为4. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ)过x 轴上一点M (1,0)作一条不垂直于y 轴的直线l ,交椭圆G 于E 、F 点,是否存在直线l ,使得AEF ∆,说明理由.20.(本小题满分12分)岳阳市某县乡村中学教师流失现象非常严重,为了乡村孩子们能接受良好教育,该县教体局今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要1万元,若三年后教师严重短缺时再招聘,由于各种因素,则每招聘一名教师需要3万元,已知现在该县乡村中学无多余教师,为决策应招聘多少名乡村中学教师,该县教体局搜集并整理了其中50表示两所乡村中学过去三年共流失的教师数,n 表示今年这两所乡村中学招聘的教师数.为保障该县乡村中学孩子们教育不受影响,若未来三年内教师有短缺,则第四年马上招聘短缺的教师.(Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(Ⅲ)以两所乡村中学未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据,在15n =与16n =之中选一种,应选用哪种? 21.(本小题满分12分)A C O EB F已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)若对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)当0a >时,若()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2-,求a 的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分) 选修4-4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,点M ,以坐标原点为极点,x 轴为非负半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=点A 为直线l 与极轴的交点,若以A 点为圆心的圆经过点M . (Ⅰ).求圆A 的直角坐标方程;(Ⅱ).若直线l '的参数方程为1,(,x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),直线l '与圆A 交于,P Q 两点,求||PQ 的值.23.(本小题满分10分) 选修4-5: 不等式选讲已知0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立. (Ⅰ)求满足条件的实数t 的集合T ;(Ⅱ)若1,1,m n >>对t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,求mn 的最小值.模拟卷(二)参考答案一、选择题 1.B. 2.B. 3.D. 4.D. 5.D. 6.B. 7.C. 8.C. 9.C. 10. A. 11.D. 12. B.二、填空题 13. 53. 14.13. 15.73,3或. 16.11[,]22y ∈-.三、解答题17.【解】(Ⅰ)由//a b 得,22cos cos 0x x x y +-=,…………………………………2分即22cos cos 1cos222sin(2)16y x x x x x x π=+=++=++所以()2sin(2)16f x x π=++,……………………………………………………………4分又22||2T πππω===,所以()f x 的最小正周期为π.……………………………………6分 (Ⅱ)由()3f B =得2sin(2)136B π++=,即sin(2)16B π+=, 又22666B ππππ<+<+,所以262B ππ+=,即6B π=.…………………………………8分又由92BC BA ⋅=u u u r u u u r 知9cos 2ac B =,所以ac =分由余弦定理知22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+,即22(3233b =-⨯+=,所以b =分 18.【解】(Ⅰ) 证明:由平面ABEF ⊥平面ABC且,AC BC O =为AB 中点,所以OC AB ⊥, 所以OC ⊥面ABEF ,故OF OC ⊥,又已知OF EC ⊥OF ⊥面OEC ;也所以OE OF ⊥OE OC ⊥, 且OC OF O =I 所以OE FC ⊥分 (Ⅱ)由平面ABEF ⊥平面ABC 且矩形ABEF 中,AF AB ⊥,ABC ,取EF 的中点D ,连结OD , 易知OD ⊥面ABC ,如图以O 为原点,以OC OB OD 、、分别为x y z 、、轴建立空间坐标系,设1AF =,则2AB=,由FC 与平面ABC 所成的角为30o ,即30ACF ∠=o ,所以2,AC FC OC ===则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0)F E C B -,从而((0,2,0)CE EF ==-u u u r u u u r,设平面FCE 的法向量为1(,,)x y z =n ,则由110,0CE EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u u ur,得0,20y z y ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩,得0y =,令1,x =得z =,故1=n , 同理可得平面BEC的一个法向量为=n ,13=-,即求.…………………………………12分19.【解】(Ⅰ)因为A 点坐标为(2,0)-,故4AC =,又因为四边形ABCD 为菱形,故其面积为14,2AC BD =⨯⨯故2BD =.所以椭圆G 是焦点在x 轴上的椭圆,且长半轴长为2,短半轴长为1.所以椭圆G 的方程为2214x y +=20.【解】(Ⅰ)依题依题每所中学流失教师数6,7,8,9的概率分别为510105，，，, 又X 的所有可能取值为12,13,14,15,16,17,18,19,且两所中学教师流失是相互独立事件,于是由事件的相互独立性知211133(12)(,(13)252551025P X P X =====⨯⋅=; 222313211313(14)(2,(15)2(2()1051010051050P X P X ==+⋅⋅===+=;233121313(16)(2,(17)21010510010525P X P X ==+⋅⋅===⋅⋅=,211(18)()525P X ===. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当14n =时,(14)0.52525100100P X ≤=++=<;当15n =时,371363(15)0.510050100P X ≤=+=>,所以n 的最小值为15.…………………7分 (Ⅲ)设ξ表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用,①当15n =时,可知15X ≤时,15ξ=;16X =时,18ξ=;17X =时,21ξ=; 18X =时,24ξ=;于是ξ的分布列为于是1()1518212416.711001002525100E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅==;②当16n =时,同理可得ξ分布列为:于是2()16192216.6252525100E ξ=⋅+⋅+⋅==;由于12()()E E ξξ>,故应选16n =.……………………………………………………12分21.【解】(Ⅰ)当1a =时,211()ln 2,()22f x x x x f x x x'=+-=+-所以3(1)0,(1)2k f f '===-,所以切线方程为32y =-..…………………………………3分(Ⅱ)由对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立等价于21121122()()()()f x f x x x f x x f x x -≥-⇔+≤+,等价于21()()ln 2g x f x x ax ax x =+=-+在(0,)+∞上递增(()g x 不可能为常量函数)则211()0ax ax g x ax a x x-+'=-+=≥在(0,)+∞恒成立,于是210ax ax -+≥对(0,)+∞恒成立, ①当0a =时,10≥显然成立;②当0a ≠时,由二次函数图象知,有0a >,又102x =>对,所以只须240a a ∆=-≤,得04a <≤;综上①②得04a ≤≤..………………………………………………………………………7分(Ⅲ)由21()ln (1)2f x x ax a x =+-+的定义域为(0,)+∞,又21(1)1(1)(1)()(1),0,0ax a x ax x f x ax a x a x x x-++--'=+-+==>>,令()0f x '=时,得1211,x x a==;①当1a =时,2(1)()0x f x x-'=≥,则()f x 在定义域上递增,所以min 1()(1)122f x f a ==--=-,得2a =,舍去;②当1a >时,则11a <,可知当1x >时,()0f x '>,则()f x 递增,同理①可得2a =,符合;③当01a <<时,11a >;当11x a <<,()0f x '<,()f x 递减,当1x a>时,()0f x '>,()f x 递增,1)当1e a ≥,即10a e<≤时,()f x 在[1,]e 上最小值21()1(1)12f e ae a e =+-+=-,解得26202ea e e-=<-,舍去; 2)当11e a <<,即11a e<<时,()f x 在[1,]e 上最小值为11()ln 122f a a a =---=-,即1ln 12a a +=,令2211121()ln ,()222a h a a h a a a a a -'=+=-=, 易知当112a e <<时,()0h a '<,()h a 递减,当112a <<时,()0,()h a h a '>递增;所以1()max{(),(1)}h a h h e ≤.又11()11,(1)122e h h e =-+<=<,所以()1h a <恒成立.所以1ln 12a a +=在1(,1)e上无解. 综上①②③知,2a =为所求. ………………………………………………………………12分22.【解】(Ⅰ)由直线l :cos()4πρθ-=,cos sin 2ρθρθ+= 代入得:20l x y +-=,令0y =时,得(2,0)A ,易知圆A 的半径为2r AM ==,也即22:(2)4A x y -+=e .(Ⅱ)设直线l '与A e 交点,P Q 对参数分别为12,t t ,则由t 的几何意义知12||||PQ t t =-,也即||PQ 而将l '方程代入A e 中有230t -=,0∆>恒成立,故12123t t t t +==-,代入上式得||PQ ==即求.23.【解】(Ⅰ)由绝对值三角不等式||1||2|||(1)(2)|1x x x x ---≤---=, 当(1)(2)0x x --≥,即1,x ≤或2x ≥时取等号,得1|1||2|1x x -≤---≤,依题0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立,则只需1t ≤,即有{|1}T t t =≤.………………5分 (Ⅱ)由t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,则33log log 1m n ⋅≥, 而1,1,m n >>则33log 0,log 0m n >>,于是由2233333log log log log log ()24m n mnm n +⋅≤=,得2333log log log mn m n ≥4⋅≥4⨯1, 得3log 2mn ≥,即9mn ≥,当且仅当33log log m n =,且33log log 1m n ⋅=时取等号,于是得3m n ==时,mn 有最小值9. ……………………………………………………10分。

湖南省2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题理(含解析)

湖南省2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题理（含解析）注意事项：1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 2．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设复数z 满足21iz =+，则z 的共轭复数为（） A. 1i - B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】【分析】先利用复数除法的公式化简z ,再求共轭复数即可. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-,故z 的共轭复数为1i +. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数的概念,属于基础题型. 2.已知集合{}3A x x =<，{}2log 0B x x =>，则（） A. {}13A B x x ⋂=<< B. A B φ⋂= C. {|3}AB x x =<D. {}1A B x x ⋃=>【答案】A 【解析】【分析】根据对数不等式的解法求集合B ,再分析交集并集即可.【详解】{}{}2log 01B x x x x =>=>.故{}13A B x x ⋂=<<,A B R =.故选：A【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与对数不等式的求解,属于基础题型. 3.执行图中所示程序框图，若输入14p =，则输出结果为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据程序框图逐步运行求解即可.【详解】由框图知：输入14p=,1,1n S==,1.14S>判定为是, 11122S=-=,2n=.2.14S>判定为是, 111244S=-=,3n=3.14S>判定为否,输出3n=.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图输入数据输出结果的问题,属于基础题型.4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变B. 他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人C. 他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D. 他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 【答案】D 【解析】【分析】根据饼图逐个选项计算分析即可.【详解】对A,易得们健身后,体重在区间[90kg ,100kg ）内的人数占比均为0040,故A 正确. 对B,体重在区间[100kg,110kg ）内的人数减少了000000503020-=,即0020204⨯=人. 故B 正确.对C,因为健身后[80kg ,90kg ）内的人数占0030,[90kg ,100kg ）内的人数占0040,故中位数位于[90kg ,100kg ）.故C 正确.对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg ,减肥后为109kg 依然满足.故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型. 5.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则4a 等于（） A. 8 B. 32C. 64D. 128【答案】C 【解析】【分析】由题可列出3241123,,,a a a a a a a 的值再累乘计算即可. 【详解】由题, 32411238,4,2,1a a aa a a a ====,故32441123842164a a a a a a a a =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解某一项的问题,属于基础题型.6.某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10，现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是（） A.15B.715C.815D.45【答案】C 【解析】【分析】根据系统抽样的方法分析抽取出来的学生编号,再分析其中男女生的个数,再利用排列组合的方法求解概率即可.【详解】由题意知,抽取的学生编号成等差数列,首项为10,公差为6006010=. 故抽取的10人中男生有10,70,130,190,这4个号码,其余的6人为女生. 即抽到的10人中,有男生4人,女生6人, 再从这10位学生中随机抽取2人座谈, 基本事件总数21045n C ==,2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数114624m C C =⋅=, 故2人中既有男生又有女生的概率2484515m p n ===. 故选：C【点睛】本题主要考查了系统抽样的方法与排列组合解决概率的问题,属于中等题型. 7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=（）A. 2-B. 0C. 2D. 2020【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶性与(1)(3)0f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4,再根据性质计算(1),(2),(3),(4)f f f f 即可.【详解】因为奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=,即(1)(3)(3)f x f x f x +=--=-.故()f x 周期为4.故(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++,因为20194504......3÷=.故原式[]504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)f f f f f f f =⨯++++++.令0x =,则(01)(30)0(1)(3)0(3)2f f f f f ++-=⇒+=⇒=-. 令1x =,则(11)(31)02(2)0(2)0f f f f ++-=⇒=⇒=. 又奇函数()f x 故()(4)00f f ==.故[]()504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)50420202020f f f f f f f ⨯++++++=⨯+-+++-=. 故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的应用,需要根据题意分析函数的周期,再代入特殊值求对应的函数值.属于中等题型.8.已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，且(,1),(,1)2A B π-π，则ϕ的值为（）A. 56π-B.56π C. 6π-D.6π 【答案】D 【解析】【分析】根据图像判断函数的周期,从而确定ω的值,再代入对应的点求得ϕ即可. 【详解】由图像可知,周期22T ππωω==⇒=.即()2sin(2)f x x ϕ=+,代入()0,1可知,12sin ϕ=.因为||ϕπ<,故6π=ϕ或56πϕ=.又由图可得,0x =在最高点的左侧,所以6π=ϕ. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数中参数的值,需要根据题意求得周期,代入点进行分析,同时结合图像可知ϕ的范围.属于中等题型.9.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm ．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（）（保温带厚度忽略不计）A. 14B. 14πC.21414ππ++ D.2116116ππ++【答案】D 【解析】【分析】根据题意,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,每隔四分之一的带宽就绕一层保温带,则一共可以盖四层.故画出所求角度所在的直角三角形,再分别分析临边与斜边即可. 【详解】由题,作''AP B D ⊥于P .根据题意可知'B P 宽为带宽四分之一即1414⨯=,又水管直径为4 cm.故4AP π=.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是()2222'116cos''11614B PAB PB Aπππ+∠===++.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意找到对应的边角关系进行求解,属于基础题型.10.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 4πD.823π【答案】A【解析】【分析】2的等腰直角三角形,高为2.再分析外接球的直径求解即可.2的等腰直角三角形,高为2.222+2=22故外接球表面积2224482S Rπππ⎛===⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图求外接球的表面积方法,属于基础题型.11.如图，已知双曲线22221(0)x yb aa b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若12AF F△的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）23B.54C.53D.322【答案】C 【解析】【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()by x c a=-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=，即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53c e a ==．故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．12.数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当n S 取最大值时n 为（） A. 11 B. 12 C. 11或13 D. 12或13【答案】C 【解析】【分析】分n 的奇偶讨论数列{}n a 的奇偶性分别满足的条件,再分析n S 的最大值即可.【详解】由题,当n 为奇数时, ()1111nn n a a n ++=-+-,()()1211111n n n a a n ++++=-++-.故()()()()1211111111211n n n n n a a n n ++⎡⎤⎡⎤-=-++---+-=--⋅-=⎣⎦⎣⎦.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当n 为偶数时, ()21213nn n a a +-=--⋅-=-. 故偶数项为公差为-3的等差数列.又601a <<即2206167a a <-<⇒<<.又()12111119a a +=-+-=.所以123a <<. 综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n 的增大由正变负.故当n S 取最大值时n 为奇数.故n 为奇数且此时有()()()()11121111100011110n n n n n n n a a a a n --+++⎧--+-≥+≥⎧⎪⇒⎨⎨+≤-++-≤⎩⎪⎩ ,解得1113n ≤≤.故11n =或13n =. 故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________．【答案】10x y --= 【解析】【分析】根据导数的几何意义设切点列式求解即可. 【详解】由题, 1'y x =,设切点为()00,ln x x ,则在切点处的切线斜率为01x ,又切线过点(0,1)-,故0000ln (1)11x x x x --=⇒=.故切点为()1,0. 故切线方程为()101101x y y x -=---=⇒. 故答案为：10x y --=【点睛】本题主要考查了导数几何意义的运用,根据切点到定点的斜率等于在该点处的导函数的值列式求解即可.属于基础题型.14.已知AB 为圆O 的弦，若||=2AB ，则OA AB ⋅=_________．【答案】2- 【解析】【分析】根据数量积的几何意义求解即可. 【详解】由题,作OC AB ⊥于C.则()cos ACOA AB OA AB OAB OA AB AOπ⋅=⋅⋅-∠=-⋅⋅2AB AC =-⋅=-故答案为：2-【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算的直接公式法,属于基础题型.15.已知以F 为焦点的抛物线C ：24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则|AB|=________．【答案】163【解析】【分析】根据3AF FB =可求得直线AB 的倾斜角,再联立方程根据抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】由题,不妨设A 在第一象限.作11,AA BB 分别垂直于准线, 1BC AA ⊥于C 如图. 设FB m =,由3AF FB =,可得：3AF m =,由抛物线的定义知13AA m =,1BB m =,∴ABC 中, 32AC m m m =-=,34AB m m m =+=,故1cos 2AFx ∠=,所以直线AB 的倾斜角为3π,3∴直线AB 方程为()31y x =-,与抛物线方程联立消y 得231030x x -+= 所以121623AB x x =++=, 故答案为：163. 【点睛】本题主要考查了抛物线几何意义的运用,需要根据题中给的比例关系求出直线的倾斜角,再联立方程利用焦半径公式求解即可.属于中等题型.16.已知函数22,1,()11,.x x x t f x x t x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩（1）若1t =,且()f x 值域为[)1,3-,则实数a 的取值范围为_________．（2）若存在实数a ,使()f x 值域为[]1,1-,则实数t 的取值范围为_________．【答案】 (1). [1,3] (2). (1,21]-- 【解析】【分析】(1)根据题意有22,11,()11,1.x x x f x x x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩画出图像再分析即可.(2)先分析临界条件,再分析随着t 的改变图像的变化情况判断即可.【详解】(1)画出图像易得,当111x --=-时3x =（舍去负值）.故实数a 的取值范围为[1,3].(2)用虚线画出22,11y x x y x =+=--的整体图像,再分析随着t 的改变图像的变化情况. 由图,当221y x x =+=时,()21221x x +=⇒=（舍去负值）.由图可知,(1,21]t ∈--时, 存在实数3a =满足()f x 值域为[]1,1-.故答案为：(1). [1,3] (2). (21]-【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数值域的问题,需要根据题意画出对应的图像,分析当参数变化时整个函数变化的情况,从而找到临界条件求得取值范围.属于中等题型. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分． 17.在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为23CD ；（2）若5cos 5BCA ∠=，310cos 10DCA ∠=，求CD ．【答案】（1）CD 23=（26 【解析】【分析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.(2)根据BCD BCA DCA ∠=∠-∠,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可.【详解】解：（1）1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC =在BCD ∆中,由余弦定理可得2222212cos 42242122CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴CD 23=（2）BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠5cos5BCA ∠=,310cos 10DCA ∠=,∴21cos 25sin 5BCA BCA -∠∠==,21cos 10sin 10DCA DCA -∠∠==,∴3101010102552sin 552BCD ∠=⋅-⋅=在BCD ∆中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠, ∴sin 6sin BD BCD BCD⋅==∠．【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.18.在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ，AE ⊥平面BCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面ACD ；（2）若2BD CD AD ===，E 为BC 的中点，求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）23【解析】【分析】(1)证明CD AE ⊥,CD EF ⊥进而可得CD AEF ⊥面即可证明平面AEF ⊥平面ACD(2) 分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,再根据构造的直角三角形的关系求得每边的长度,再利用空间向量求解线面夹角即可.【详解】解：（1）证明：因为//BD AEF 面,BCD AEF EF =面面,BD BCD ⊂面所以//BD EF ,因为BD CD ⊥,所以CD EF ⊥．又因为AE BCD ⊥面,CD BCD ⊂面, 所以CD AE ⊥,而EFAE E =,所以CD AEF ⊥面,又CD ACD ⊂面, 所以AEF ACD ⊥面面．（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ．连接DE ,在BCD ∆中,=2BD CD =,BE EC =,BD CD ⊥,所以DE BC ⊥,且22BC =,2DE =,又因为AE BCD ⊥面,DE BCD ⊂面,BC BCD ⊂面, 所以AE DE ⊥,AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中,2DE =,2AD =,所以2AE =．如图,以点E 为坐标原点,分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,各点坐标为(0,02)A ，,(2,0,0)B -,(0,2,0)D ,(2,0,0)C ,因为//BD EF ,E 为BC 的中点,所以F 为CD 的中点,即22,22F , 设平面ABD 的法向量(,,)m x y z =,(2,0,2)BA =,(2,2,0)BD =,由m BA m BD ⎧⊥⎨⊥⎩,即(,,)(2,0,2)0(,,)(2,2,0)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩,整理得0x z x y +=⎧⎨+=⎩,令1z =-,得1x =,1y =-,则(1,1,1)m =--．因为2(AF =,所以2sin ||||m AF m AF θ⋅==⨯故直线AF 与平面ABD 所成交的正弦值为3．【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的方法,属于中等题型.19.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-．（1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】【分析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进行化简,同理可得m 的值.【详解】解：（1）椭圆Γ过点,∴22211a b+=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k--=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k -++,∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++mk k k m kOP OM m k m k k k k , 要使OP OM ⋅与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x , ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=.∴2m =【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题.20.某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．【答案】（1）226(1)p p -（2）111()np n<-（3）①()()2221kE k k p ξ=+--②()(1)1km k mk p +-- 【解析】【分析】(1)根据二项分布的方法求解即可.(2)记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,再根据题意求出对应的数学期望1E n ξ=,()211nE n n p ξ=+--再根据1E ξ>2E ξ化简求解即可.(3)①设两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,由(2)可知()12()()11kE E k k p ξξ==+--再相加即可.②根据题意可知,这m 组采用混合检验的检验次数所有的可能值均为1,1k +,再求解数学期望即可.【详解】解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211kP p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+,且检验总次数12m ξξξξ=+++,()()11,1,2,,ki P p i m ξ∴==-=,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．【点睛】本题主要考查了二项分布的方法以及根据题意求离散型随机变量的数学期望方法,需要根据题意找到所有可能的取值,再列式求解.属于难题.21.已知函数12()(1)1x f x e x x x -=+-++，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----．证明：（1）存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0；（2）存在唯一x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】(1)求导后根据极值点的存在性定理证明即可.(2)令2t x =-,换元将()(2)g x g t =-m 再构造函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,分析()h t 的单调性,结合(1)中的结论求得()h t 存在唯一的()10,1t ∈,使1()0h t =,再根据零点的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当x ∈（0,1）时,f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0,函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0,f (1)＝3>0,所以存在唯一x 0∈（0,1）,使f (x 0)＝0． (2)当x ∈（1,2）时,1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----, 令2t x =-,x =2-t ,x ∈（1,2）,t ∈（0,1）, 1(2)(1)ln(1)t g t te t t --=-++,t ∈（0,1）记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,t ∈（0,1）．则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++．由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,f (t )<0,h ′(t )＞0, 当t ∈(x 0,1)时,f (t )>0,h ′(t )<0．故在(0,x 0)上h (t )是增函数,又h (0)＝0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,h (t )>0,所以h (t )在(0,x 0]上无零点．在(x 0,1)上h (t )为减函数,由h (x 0)>0,h (1)＝12－ln2<0,知存在唯一t 1∈(x 0,1),使h (t 1)＝0, 故存在唯一的t 1∈(0,1),使h (t 1)＝0．因此存在唯一x 1＝2－t 1∈(1,2),使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0．因为当t ∈(0,1)时,1＋t >0,故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈（1,2）,使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1,t 1>x 0,所以x 0＋x 1<2．【点睛】本题考查了根据导数求解隐零点的问题.需要根据题意确定零点所在区间,再根据零点满足的关系式证明函数的单调性与最值.同时也考查了构造函数证明不等式分方法,属于难题.（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ON OM的最大值．【答案】（1）sin()4πρθ+=2【解析】【分析】 (1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=,将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=)242ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM的最大值为2．【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.23.已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a +≥．【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析【解析】【分析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥- ∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=．当且仅当21a a =,即1a =时等号成立．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。

湖南省岳阳市岳阳一中2020届高三一模理科数学试卷(附答案)

岳阳县一中2020届高三市一模模拟试题(二)数学(理科)总分:150分时量:120分钟一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.若复数z 满足(2)55(z i i i +=+为虚数单位),则z 为( )A. 35i +B. 35i -C. 35i -+D. 35i -- 2.已知集合{|2},{|2}x x A x y B y y ====,则A B =I ( )A. [0,)+∞B. (0,)+∞C. RD. ∅3.设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据(,i x )(1,2,,)i y i n =L ,用最小二乘法建立的回归直线方程为$0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确的是( )A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 回归直线方程过样本点的中心(,)x yC. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重为58.79kg4.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若2019201312018,620192013S S a =--=,则2019S =( ) A. 2019 B. 2018 C. 1 D. 05.已知217()ln ,()(0)22f x xg x x mx m ==++<,直线l 与函数(),()f x g x 的图象都相切,且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ,则m 的值为( )A. 1-B. 3-C. 4-D. 2-6.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点,O E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD交于点F ,若,AC BD ==a b u u u r u u u r ,则AF u u u r等于( )A.1142+a b B. 2133+a b C. 1124+a b D. 1233+a b 7.如图,在正方体ABCD -1111A B C D 中,E 为棱1BB 的中点,用过点 1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为( )8.已知F 为抛物线28y x =的焦点,过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于,A B 两点, 则||FA FB -的值为( )C A B DD 11A. B. 8C. D. 16 9.函数()sin f x x =在区间(0,10)π上可以找到n 个不同的数12,,n x x x L ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===L 成立,则n 的最大值等于( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张,将其中一张在验钞机上检验发现是假钞,则这两张都是假钞的概率为( )A.217 B. 215 C. 15 D. 31011.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,以线段12F F 为直径为圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,若12||||2MF MF b -=,该双曲线的离心率为e ,则2e =( )A. 2B.12C. 32+D. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1,点M 在线段BC 上(点M 异于,B C 两点),点N 为线段1CC 的中点,若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形,则线段BM 的取值范围为( )A. 1(0,]3B. 1(0,]2C. 1[,1)2D. 12[,]23二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上.13.若变量,x y 满足约束条件2,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值为 .14.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.今共有粮38石,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知甲分得18石,则“衰分比”为15.若3(ax 的展开式中含2x项的系数为,则22a x dx -⎰的值为 16.函数()2)f x x π≤≤的值域为 .三、解答题:本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题:共60分17.(本小题满分12分)已知(2cos ,1),(,cos )x x y x =+=a b ,且//a b . (Ⅰ)将y 表示成x 的函数()f x ,并求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若9()3,2f B BC BA =⋅=u u u r u u u r,且3a c +=,求边长b .18.(本小题满分12分)如图,平面ABEF ⊥平面ABC ,四边形ABEF 为矩形,,AC BC O =为AB 的中点,OF EC ⊥. (Ⅰ)求证:OE FC ⊥;(Ⅱ)若FC 与平面ABC 所成的角为30o ,求钝二面角F CE B --的余弦值.19.(本小题满分12分)已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆G 与x 轴交于A 、C 两点,与y 轴交于B 、D 两点,且A 点的坐标为(—2,0),四边形ABCD 的面积为4. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ)过x 轴上一点M (1,0)作一条不垂直于y 轴的直线l ,交椭圆G 于E 、F 点,是否存在直线l ,使得AEF ∆,说明理由.20.(本小题满分12分)岳阳市某县乡村中学教师流失现象非常严重,为了乡村孩子们能接受良好教育,该县教体局今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要1万元,若三年后教师严重短缺时再招聘,由于各种因素,则每招聘一名教师需要3万元,已知现在该县乡村中学无多余教师,为决策应招聘多少名乡村中学教师,该县教体局搜集并整理了其中50表示两所乡村中学过去三年共流失的教师数,n 表示今年这两所乡村中学招聘的教师数.为保障该县乡村中学孩子们教育不受影响,若未来三年内教师有短缺,则第四年马上招聘短缺的教师.(Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(Ⅲ)以两所乡村中学未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据,在15n =与16n =之中选一种,应选用哪种? 21.(本小题满分12分)A C O EB F已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)若对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)当0a >时,若()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2-,求a 的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分) 选修4-4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,点M ,以坐标原点为极点,x 轴为非负半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=点A 为直线l 与极轴的交点,若以A 点为圆心的圆经过点M . (Ⅰ).求圆A 的直角坐标方程;(Ⅱ).若直线l '的参数方程为1,(,x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),直线l '与圆A 交于,P Q 两点,求||PQ 的值.23.(本小题满分10分) 选修4-5: 不等式选讲已知0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立. (Ⅰ)求满足条件的实数t 的集合T ;(Ⅱ)若1,1,m n >>对t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,求mn 的最小值.模拟卷(二)参考答案一、选择题 1.B. 2.B. 3.D. 4.D. 5.D. 6.B. 7.C. 8.C. 9.C. 10. A. 11.D. 12. B.二、填空题 13. 53. 14.13. 15.73,3或. 16.11[,]22y ∈-.三、解答题17.【解】(Ⅰ)由//a b 得,22cos cos 0x x x y +-=,…………………………………2分即22cos cos 1cos222sin(2)16y x x x x x x π=+=++=++所以()2sin(2)16f x x π=++,……………………………………………………………4分又22||2T πππω===,所以()f x 的最小正周期为π.……………………………………6分 (Ⅱ)由()3f B =得2sin(2)136B π++=,即sin(2)16B π+=, 又22666B ππππ<+<+,所以262B ππ+=,即6B π=.…………………………………8分又由92BC BA ⋅=u u u r u u u r知9cos 2ac B =,所以ac =分由余弦定理知22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+,即22(3233b =-⨯+=,所以b =分 18.【解】(Ⅰ) 证明:由平面ABEF ⊥平面ABC且,AC BC O =为AB 中点,所以OC AB ⊥, 所以OC ⊥面ABEF ,故OF OC ⊥,又已知OF EC ⊥OF ⊥面OEC ;也所以OE OF ⊥OE OC ⊥, 且OC OF O =I 所以面所以OE FC ⊥分 (Ⅱ)由平面ABEF ⊥平面ABC 且矩形ABEF 中,AF AB ⊥,ABC ,取EF 的中点D ,连结OD , 易知OD ⊥面ABC ,如图以O 为原点,以OC OB OD 、、分别为x y z 、、轴建立空间坐标系,设1AF =,则2AB=,由FC 与平面ABC 所成的角为30o ,即30ACF ∠=o ,所以2,AC FC OC ===则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0)F E C B -,从而((0,2,0)CE EF ==-u u u r u u u r,设平面FCE 的法向量为1(,,)x y z =n ,则由110,0CE EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u u ur ,得0,20y z y ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩,得0y =,令1,x =得z =,故1=n , 同理可得平面BEC 的一个法向量为2=n ,3=-,即求.…………………………………12分19.【解】(Ⅰ)因为A 点坐标为(2,0)-,故4AC =,又因为四边形ABCD 为菱形,故其面积为14,2AC BD =⨯⨯故2BD =.所以椭圆G 是焦点在x 轴上的椭圆,且长半轴长为2,短半轴长为1.所以椭圆G 的方程为2214x y +=20.【解】(Ⅰ)依题依题每所中学流失教师数6,7,8,9的概率分别为510105，，，, 又X 的所有可能取值为12,13,14,15,16,17,18,19,且两所中学教师流失是相互独立事件,于是由事件的相互独立性知211133(12)(,(13)252551025P X P X =====⨯⋅=; 222313211313(14)(2,(15)2(2()1051010051050P X P X ==+⋅⋅===+=;233121313(16)(2,(17)21010510010525P X P X ==+⋅⋅===⋅⋅=,211(18)()525P X ===.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当14n =时,132137(14)0.52525100100P X ≤=++=<; 当15n =时,371363(15)0.510050100P X ≤=+=>,所以n 的最小值为15.…………………7分(Ⅲ)设ξ表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用,①当15n =时,可知15X ≤时,15ξ=;16X =时,18ξ=;17X =时,21ξ=;时,;于是的分布列为于是1()1518212416.711001002525100E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅==;②当16n =时,同理可得分布列为:于是2()16192216.6252525100E ξ=⋅+⋅+⋅==;由于12()()E E ξξ>,故应选16n =.……………………………………………………12分21.【解】(Ⅰ)当1a =时,211()ln 2,()22f x x x x f x x x'=+-=+-所以3(1)0,(1)2k f f '===-,所以切线方程为32y =-..…………………………………3分(Ⅱ)由对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立等价于21121122()()()()f x f x x x f x x f x x -≥-⇔+≤+,等价于21()()ln 2g x f x x ax ax x =+=-+在(0,)+∞上递增(()g x 不可能为常量函数)则211()0ax ax g x ax a x x-+'=-+=≥在(0,)+∞恒成立,于是210ax ax -+≥对(0,)+∞恒成立, ①当0a =时,10≥显然成立;②当0a ≠时,由二次函数图象知,有0a >,又102x =>对,所以只须240a a ∆=-≤,得04a <≤;综上①②得04a ≤≤..………………………………………………………………………7分(Ⅲ)由21()ln (1)2f x x ax a x =+-+的定义域为(0,)+∞,又21(1)1(1)(1)()(1),0,0ax a x ax x f x ax a x a x x x-++--'=+-+==>>,令()0f x '=时,得1211,x x a==; ①当1a =时,2(1)()0x f x x-'=≥,则()f x 在定义域上递增,所以min 1()(1)122f x f a ==--=-,得2a =,舍去;②当1a >时,则11a <,可知当1x >时,()0f x '>,则()f x 递增,同理①可得2a =,符合;③当01a <<时,11a >;当11x a <<,()0f x '<,()f x 递减,当1x a>时,()0f x '>,()f x 递增,1)当1e a ≥,即10a e<≤时,()f x 在[1,]e 上最小值21()1(1)12f e ae a e =+-+=-,解得26202ea e e -=<-,舍去;2)当11e a <<,即11a e<<时,()f x 在[1,]e 上最小值为11()ln 122f a a a =---=-,即1ln 12a a +=,令2211121()ln ,()222a h a a h a a a a a -'=+=-=, 易知当112a e <<时,()0h a '<,()h a 递减,当112a <<时,()0,()h a h a '>递增;所以1()max{(),(1)}h a h h e ≤.又11()11,(1)122e h h e =-+<=<,所以()1h a <恒成立.所以1ln 12a a +=在1(,1)e上无解. 综上①②③知,2a =为所求. ………………………………………………………………12分22.【解】(Ⅰ)由直线l :cos()4πρθ-=,cos sin 2ρθρθ+= 代入得:20l x y +-=,令0y =时,得(2,0)A ,易知圆A 的半径为2r AM ==,也即22:(2)4A x y -+=e .(Ⅱ)设直线l '与A e 交点,P Q 对参数分别为12,t t ,则由t 的几何意义知12||||PQ t t =-,也即||PQ 而将l '方程代入A e 中有230t -=,0∆>恒成立,故12123t t t t +==-,代入上式得||PQ ==即求.23.【解】(Ⅰ)由绝对值三角不等式||1||2|||(1)(2)|1x x x x ---≤---=, 当(1)(2)0x x --≥,即1,x ≤或2x ≥时取等号,得1|1||2|1x x -≤---≤,依题0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立,则只需1t ≤,即有{|1}T t t =≤.………………5分 (Ⅱ)由t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,则33log log 1m n ⋅≥, 而1,1,m n >>则33log 0,log 0m n >>,于是由2233333log log log log log ()24m n mnm n +⋅≤=,得2333log log log mn m n ≥4⋅≥4⨯1, 得3log 2mn ≥,即9mn ≥,当且仅当33log log m n =,且33log log 1m n ⋅=时取等号,于是得3m n ==时,mn 有最小值9. ……………………………………………………10分。

2020年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷(理科)(含解析)

2020年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2−2x−3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩(∁U B)＝（）A.(2, 3]B.⌀C.[−1, 0)∪(2, 3]D.[−1, 0]∪(2, 3]2.已知实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.在等比数列{a n}中，若2a2，3a3，4a4成等差数列，则公比q为（）A.1B.2C.1或12D.124.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A12．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A.8B.9C.10D.115.若直线ax+by+2＝0(a>0、b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2＝1的弦长为2，则1a +2b 的最小值为（） A.4 B.6 C.8 D.106.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f(x)=2x +12x −1cosx 的图象大致是（）A. B.C. D.7.函数y ＝sinx −√3cosx 的图象可由函数y ＝sinx +√3cosx 的图象至少向右平移（）个单位长度得到． A.π6 B.π3C.π2D.2π38.平面向量a →与b →的夹角为60∘，a →=(2, 0)，|a →+2b →|=2√3，则|b →|＝（） A.√3 B.1C.2D.√3−19.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.1−2π B.12−1πC.2πD.1π10.设函数f(x)的定义域为R ，满足2f(x +1)＝f(x)，且当x ∈(0, 1]时，f(x)＝−x(x −1)．若对任意x ∈[m, +∞)，都有f(x)≤89，则m 的取值范围是（） A.[−76,+∞) B.[−53,+∞)C.[−54,+∞)D.[−43,+∞)11.SC 是球O 的直径，A 、B 是该球面上两点，AB =√3，∠ASC ＝∠BSC ＝30∘，棱锥S −ABC 的体积为√3，则球O 的表面积（） A.4π B.8π C.16π D.32π12.关于函数f(x)=2x +lnx ，下列说法正确的是() A.x =2是f(x)的极小值点； B.函数y =f(x)−x 有且只有1个零点; C.f(x)>12x 恒成立；D.设函数g(x)=−xf(x)+x 2+4，若存在区间[a,b]⊂[12,+∞)，使g(x)在[a, b]上的值域是[k(a +2), k(b +2)]，则k ∈(1,9+2ln210]．二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上）已知单位向量a →与向量b →=(1, 2)方向相同，则向量a →的坐标是________．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若B ＝60∘，2b =√7c ，则sinA 的值为________．2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如下： 2019年1月1日后个人所得税税率表个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是________元．函数y＝(15sinx+7)cosx的最大值是________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d为整数，S5＝35，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．a n a n+1已知四棱锥E−ABCD，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，cos∠ADC=1213，EC⊥平面ABCD．（1）求证：平面ABE⊥平面EBC；（2）当CE＝60时，求直线AC和平面ADE所成角的正弦值．已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2．(Ⅰ)求椭圆T的标准方程；(Ⅱ)若直线l:y＝kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1, 0)，求实数k的取值范围．已知函数f(x)＝lnx−a(x−1)．（1）若函数f(x)的图象与x轴相切，求实数a的值；（2）讨论函数f(x)的零点个数．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N∗)份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次．方式二：混合检验，将其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p <1)．现取其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（1）若E(ξ1)＝E(ξ2)，试求关于k 的函数关系式P ＝f(k)；（2）若P 与干扰素计量x n 相关，其中x 1，x 2，…，x n (n ≥2)是不同的正实数，满足x 1＝1且∀n ∈N ∗(n ≥2)都有e −13∑n−1i=1x n 2x i x i+1=x n 2−x i 2x22−x 12成立．(i)求证：数列{x n }为等比数列；(ii)当P ＝1−√x 3时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ−4cosθ＝0． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 经过曲线C 的焦点F 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|FQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x +a +1|+|x −4a |,(a >0)． (Ⅰ)证明：f(x)≥5；(Ⅱ)若f(1)<6成立，求实数a 的取值范围．2020年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2−2x−3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩(∁U B)＝（）A.(2, 3]B.⌀C.[−1, 0)∪(2, 3]D.[−1, 0]∪(2, 3]【解答】∵全集U＝R，集合A＝{x|x2−2x−3≤0}＝{x|−1≤x≤3}，集合B＝{x|log2x≤1}＝{x|0<x≤2}，∴∁U B＝{x|x≤0或x>2}，∴A∩(∁U B)＝{x|−1≤x≤0或2<x≤3}＝[−1, 0]∪(2, 3]．2.已知实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”⇒2√2x⋅2y≤4，化为：2x+y≤4，∴x+y≤2．∴2√xy≤2，化为xy≤1．反之不成立，例如x=4，y=16，∴实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的充分不必要条件．故选C.3.在等比数列{a n}中，若2a2，3a3，4a4成等差数列，则公比q为（）A.1B.2C.1或12D.12【解答】等比数列{a n}中，若2a2，3a3，4a4成等差数列，可得6a3＝2a2+4a4，即有3a1q2＝a1q+2a1q3，即为2q2−3q+1＝0，解得q＝1或12，4.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A12．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A.8B.9C.10D.11【解答】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图运行输出的是茎叶图所有数据中大于90的数据的个数n，由茎叶图知，n＝9．5.若直线ax+by+2＝0(a>0、b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2＝1的弦长为2，则1a +2b的最小值为（）A.4B.6C.8D.10【解答】由题意圆心坐标为：(−2, −1)，半径＝1，所以圆心代直线的距离为：d=√a2+b2，所以弦长2＝2√1−(√22)2，整理可得：2a+b＝2，a>0，b>0，所以1a +2b=(1a+2b)⋅12⋅(2a+b)=12(2+2+ba+4ab)≥12(4+2√ba⋅4ab)＝4，所以最小值为4，6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f(x)=2x +12x −1cosx 的图象大致是（）A. B.C. D.【解答】f(−x)=2−x +12−x −1cos(−x)=1+2x1−2x cosx =−f(x)，故函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AC ；当x →0+时，f(x)→+∞，故排除D ；7.函数y ＝sinx −√3cosx 的图象可由函数y ＝sinx +√3cosx 的图象至少向右平移（）个单位长度得到． A.π6 B.π3C.π2D.2π3【解答】y =sinx −√3cosx =2sin(x −π3)， y =sinx +√3cosx =2sin(x +π3)， ∵y ＝2sin(x −π3)＝2sin(x −2π3+π3)，即函数y =sinx −√3cosx 的图象可由函数y =sinx +√3cosx 的图象至少向右平移2π3的单位得到，8.平面向量a →与b →的夹角为60∘，a →=(2, 0)，|a →+2b →|=2√3，则|b →|＝（） A.√3 B.1 C.2 D.√3−1【解答】由已知|a →|=2,|a →+2b →|2=a →2+4a →⋅b →+4b →2＝4+4×2×|b →|×cos60∘+4|b →|2=12，|b →|=1，9.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.1−2π B.12−1πC.2πD.1π【解答】设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，S 白＝4π−16(π4−12)＝8，设“此点取自阴影部分”为事件A ，由几何概型中的面积型可得：则P(A)＝1−SS =1−84π=1−2π，10.设函数f(x)的定义域为R ，满足2f(x +1)＝f(x)，且当x ∈(0, 1]时，f(x)＝−x(x −1)．若对任意x ∈[m, +∞)，都有f(x)≤89，则m 的取值范围是（） A.[−76,+∞) B.[−53,+∞)C.[−54,+∞)D.[−43,+∞)【解答】作出当x ∈(0, 1]时，f(x)＝−x(x −1)的图象，由2f(x +1)＝f(x)，可得将y ＝f(x)在(0, 1]的图象向左平移1个，2个，3个单位，同时点的纵坐标伸长到原来的2倍，4倍，8倍，将y ＝f(x)在(0, 1]的图象每向右平移1个，2个，3个单位，同时点的纵坐标缩短到原来的12倍，14倍，18倍，作出直线y =89，如图所示：对任意x ∈[m, +∞)，都有f(x)≤89，可得只要找直线y =89与f(x)(−2<x <−1)的右边的交点，由−4(x +1)(x +2)=89，解得x =−43（−53舍去），则m ≥−43，故选：D．11.SC是球O的直径，A、B是该球面上两点，AB=√3，∠ASC＝∠BSC＝30∘，棱锥S−ABC的体积为√3，则球O的表面积（）A.4πB.8πC.16πD.32π【解答】如图，∵SC是球O的直径，可得△SCA，△SCB是直角三角形，∵∠ASC＝∠BSC＝30∘，∴SA＝SB=√3R，（R为球半径），作AD⊥SC于D，连接DB，可得AD＝BD=√32R，∵AB=√3，∴S△ABD=12×AB×√AD2−(AB2)2=34√R2−1．∵13×34√R2−1×2R=√3，解得R＝2，则球O的表面积为4πR2＝16π．12.关于函数f(x)=2x+lnx，下列说法正确的是()A.x=2是f(x)的极小值点；B.函数y=f(x)−x有且只有1个零点;C.f(x)>12x恒成立；D.设函数g(x)=−xf(x)+x2+4，若存在区间[a,b]⊂[12,+∞)，使g(x)在[a, b]上的值域是[k(a+2), k(b+2)]，则k∈(1,9+2ln210]．【解答】解：f′(x)=x−2x2=0，解得x=2.且当x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递减.∴x=2是f(x)的极小值点.故A选项正确；令g(x)=f(x)−x=2x+lnx−x，则g ′(x)=−x 2+x−2x 2<0恒成立，所以函数g(x)在(0, +∞)上单调递减，而g(1)=2−1=1>0，g(e 2)=2e +2−e 2<3−e 2<0，所以函数y =f(x)−x 有且只有1个零点，即B 选项正确；令ℎ(x)=f(x)−12x ，原问题转化为ℎ(x)>0恒成立， ℎ′(x)=−x 2+2x−42x 2<0恒成立，所以函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，由于ℎ(e 2)=2e +2−e 22<3−e 22<0，所以ℎ(x)>0不可能恒成立，即C 选项错误； g(x)=−xf(x)+x 2+4=x 2−xlnx +2，则g ′(x)=2x −lnx −1，令t(x)=2x −lnx −1，则t ′(x)=2−1x ，所以t(x)在[12,+∞)上单调递增，t(x)≥t(12)=ln2>0，所以g(x)在[12,+∞)上单调递增．因为[a,b]⊂[12,+∞)，所以g(x)在[a, b]上单调递增．因为g(x)在[a, b]上的值域为[k(a +2), k(b +2)]，所以{g(a)=k(a +2)，g(b)=k(b +2)，即方程g(x)=k(x +2)在[12,+∞)上有a ，b 两个不同解，所以k =g(x)x+2，令F(x)=g(x)x+2=x 2−xlnx+2x+2(x ≥12)，则F ′(x)=x 2+3x−2lnx−4(x+2)2，令G(x)=x 2+3x −2lnx −4，则G ′(x)=(2x−1)(x+2)x ≥0，所以G(x)在[12,+∞)上单调递增，而G(12)<0，G(1)=0，所以当x ∈[12,1)时，G(x)<0即F ′(x)<0；当x ∈[1, +∞)时，G(x)≥0即F ′(x)≥0，因此F(x)在[12,1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增，所以F(1)<k ≤F(12)，即1<k ≤9+2ln210，所以D 选项正确．故选ABD .二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上）已知单位向量a →与向量b →=(1, 2)方向相同，则向量a →的坐标是________．【解答】设向量a ＝(x, y)，则{x 2+y 2=12x =y ，解得{x =√55y =2√55或{x =−√55y =−2√55，由于向量a 与向量b 方向相同，所以a =(√55,2√55)．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若B ＝60∘，2b =√7c ，则sinA 的值为________．【解答】由正弦定理得sinC =cb sinB =√7×√32=√217，因为2b =√7c ，所以b >c ，角C 为锐角， ∴cosC =√1−2149=2√77，则sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√32×2√77+12×√217=3√2114． 2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如下： 2019年1月1日后个人所得税税率表个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是________元．【解答】当工资、薪金为8000元时，缴纳税款3000×3%＝90（元）；当工资、薪金为17000元时，缴纳税款3000×3%+9000×10%＝990（元），所以他的工资、薪金在8000−17000元之间，设工资、薪金为x 元，则3000×3%+(x −10000)×10%＝390，解得：x ＝13000，所以税后所得为13000−390＝12610（元），函数y ＝(15sinx +7)cosx 的最大值是________．【解答】方法一：y ′＝15cos 2x −(15sinx +7)sinx ＝15cos 2x −15sin 2x −7sinx ＝−30sin 2x −7sinx +15＝(−5sinx +3)(6sinx +5)，令y ′＝0，得sinx =35或sinx =−56，因为函数的定义域为R ，所以函数若存在最大值，则最大值应在极大值处取到，当sinx =35，cosx =45时，函数的最大值为645．方法二：因为16sin 2x +9cos 2x ≥24sinxcosx ，当4sinx ＝3cosx 时，等号成立；7(cos 2x +1625)≥7×85cosx ，当cosx =45时，等号成立，所以16sin 2x +9cos 2x +7(cos 2x +1625)≥24sinxcosx +7×85cosx ，即24sinxcosx +7×85cosx ≤16+16×725，3sinxcosx +75cosx ≤6425， 15sinxcosx +7cosx ≤645，当cosx =45，sinx =35时，等号成立，因此函数y ＝(15sinx +7)cosx 的最大值是645．胡答案为：645．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d 为整数，S 5＝35，且a 2，a 3+1，a 6成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】由S 5＝5a 3＝35，得a 3＝7，由a 2，a 3+1，a 6成等比数列，得a 2a 6＝(a 3+1)2＝64，即(a 3−d)(a 3+3d)＝64，整理得3d 2−14d +15＝0，又因为公差d 为整数，所以d ＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n −2． b n =1an a n+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)，所以T n ＝b 1+b 2+b 3+...+b n=13×[(1−14)+(14−17)+(17−110)+⋯+(13n −2−13n +1)] =13×(1−13n +1) =n3n+1．已知四棱锥E −ABCD ，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，cos∠ADC =1213，EC ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面ABE ⊥平面EBC ；（2）当CE ＝60时，求直线AC 和平面ADE 所成角的正弦值．【解答】在△ADC 中，由余弦定理可得，AC 2＝AD 2+DC 2−2AD ⋅DCcos∠ADC ， =132+122−2×12×13×1213=25，故AC ＝5，AB 2+BC 2＝AC 2，即AB ⊥BC ，又EC ⊥平面ABCD ，AB ⊆平面ABCD ，所以EC ⊥AB ，EC ∩BC ＝C ，所以AB ⊥平面EBC ，又AB ⊆平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面BCE ，由（1）知AC ⊥CD ，又EC ⊥平面ABCD ，所以AC ，CD ，EC 两两垂直，以C 为原点，以CD ，CA ，CE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得，C(0, 0, 0)，A(0, 5, 0)，(12, 0, 0)，E (0, 0, 60)，则AD →=(12, −5, 0)，AE →=(0, −5, 60)，设n →=(x,y,z)为平面ADE 的一个法向量，由{AD →⋅n →=0AE →⋅n →=0可得{12x −5y =0−5x +60z =0，令z ＝1可得，n →=(5, 12, 1)，而AC →=(0, −5, 0)，设直线AC 与平面ADE 所成的角为α，则sinα=|AC →⋅n →||AC →||n →|=5×√52+122+12=6√17085，即直线AC 与平面ADE 所成的角的正弦值为6√17085已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． (Ⅰ)求椭圆T 的标准方程；(Ⅱ)若直线l:y ＝kx +m(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点(1, 0)，求实数k 的取值范围．【解答】（1）由题意可知：{2b =2ca =√32a 2=b 2+c 2，得{a =2b =1c =√3 ，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，将y ＝kx +m 代入椭圆方程，消去y 得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，所以△＝(8km)2−4(1+4k 2)(4m 2−4)>0，即m 2<4k 2+1…① 由根与系数关系得x 1+x 2=−8km1+4k 2，则y 1+y 2=2m1+4k 2，……………… 所以线段MN 的中点P 的坐标为(−4km1+4k ,m1+4k )．……………………………… 又线段MN 的垂直平分线l ′的方程为y =−1k (x −1)，由点P 在直线l ′上，得m1+4k 2=−1k (−4km1+4k 2−1)，即4k 2+3km +1＝0，所以m =−13k (4k 2+1)②…………… 由①②得(4k 2+1)29k 2<4k 2+1，∵4k 2+1>0∴4k 2+1<9k 2，所以k 2>15，即k <−√55或k >√55，所以实数k 的取值范围是(−∞,−√55)∪(√55,+∞)．…………已知函数f(x)＝lnx −a(x −1)．（1）若函数f(x)的图象与x 轴相切，求实数a 的值；（2）讨论函数f(x)的零点个数．【解答】f′(x)=1−axx ，令f′(x)＝0，则x=1a，因为函数f(x)的图象与x轴相切，所以f(1a)=0，即f(1a )=ln1a−a(1a−1)=a−1−lna=0，令ℎ(x)＝x−1−lnx，则ℎ(x)=1−1x，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减；当x>1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)min＝ℎ(1)＝0，所以a−1−lna＝0有唯一解a＝1，即实数a的值为1．f′(x)=1−axx，①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，且f(1)＝0，函数有唯一零点；②当a>0时，函数f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减，f(x)max=f(1a)=a−1−lna，由（1）ℎ(x)＝x−1−lnx的单调性知：（1）当a＝1时，f(x)max＝0，所以函数只有一个零点；（2）当0<a<1时，f(1a)=a−1−lna>0，f(1)＝0，所以函数f(x)在(0,1a )上有一个零点，f(1a2)=a−1a−21na，令p(x)=x−1x −21nx，则p′(x)=1+1x2−2x=(x−1)2x2≥0，所以函数p(x)在(0, +∞)上单调递增，又p(1)＝0，当0<x<1时，p(x)<0，所以f(1a )=a−1a−21na<0，所以函数f(x)在(1a,+∞)上有一个零点，所以函数f(x)在(0, +∞)上有两个零点；(Ⅲ)当a>1时，f(1)＝0，f(1a)=a−1−lna>0，所以函数f(x)在(1a,+∞)上有一个零点，当0<x<1e a时，lnx<−a，f(x)＝lnx−a(x−1)<−a−a(x−1)＝−ax<0，所以函数f(x)在(0,1a)上有一个零点，所以函数f(x)在(0, +∞)上有两个零点，综上，当a ≤0或a ＝1时，函数f(x)有唯一零点；当0<a <1或a >1时，函数f(x)有两个零点．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n(n ∈N ∗)份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n 次．方式二：混合检验，将其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p <1)．现取其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（1）若E(ξ1)＝E(ξ2)，试求关于k 的函数关系式P ＝f(k)；（2）若P 与干扰素计量x n 相关，其中x 1，x 2，…，x n (n ≥2)是不同的正实数，满足x 1＝1且∀n ∈N ∗(n ≥2)都有e −13∑ n−1i=1x n2x i xi+1=x n 2−x i 2x22−x 12成立．(i)求证：数列{x n }为等比数列；(ii)当P ＝1−x 3时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值．【解答】由已知可得E(ξ1)＝k ，ξ2的所有取值为1，k +1，P(ξ2＝1)＝(1−p)k ，P(ξ2＝k +1)＝1−(1−p)k ，E(ξ2)＝(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]＝k +1−k(1−p)k ，由E(ξ1)＝E(ξ2)，可得k ＝k +1−k(1−p)k ，即(1−p)k =1k ，即1−p ＝(1k )1k ，即p ＝1−(1k )1k ，可得f(k)＝1−(1k )1k ，k ∈N ∗，k ≥2； (i)证明：当n ＝2时，e−13⋅x 22x1x 2=x 22−x 12x22−x 12=1，即x 2x 1=e 13，可令q =x 2x 1=e 13>0，则q ≠1，由x 1＝1，下面证明对任意的正整数n ，x n ＝en−13，①当n ＝1，2时，显然成立；②假设对任意的n ＝k ，x k ＝e k−13，下面证明n＝k +1时，x k+1＝e k 3，由题意可得e−13⋅∑ki=1x k+12x i x i+1=x k+12−x 12x 2−x 1，则e−13⋅x k+12(1x1x 2+1x2x 3+⋯+1x k−1x k+1x k x k+1)=x k+12−1e 23−1，则e−13⋅x k+12{e −13[1−(e −23)k−1]1−e −23+1e k−13⋅x k+1}=x k+12−1e 23−1，x k+12(1−e −2(k−1)3)e 23−1+e−k 3⋅x k+1=x k+12−1e 23−1，e−2(k−1)3⋅x k+12{+(e −k3−e−k 3+23)x k+1−1＝0，即(e−k 3⋅x k+1−1)(e−k 3+23⋅x k+1+1)＝0，可得x k+1＝e k 3或x k+1＝−ek−23（舍去），即x k+1＝e k 3成立，由①②可得数列{x n }为等比数列，且x n ＝en−13；(ii)由(i)可知p ＝1−√x 3=1−e3，E(ξ1)＝E(ξ2)，可得k >k +1−k(1−p)k ，即1k <(1−p)k ＝(√e3)k ，所以lnk >13k ，设f(x)＝lnx −13x ，x >0，f′(x)=3−x 3x，当x ≥3时，f′(x)<0，f(x)递减，又ln4≈1.3863，43≈1.3333，则ln4>43； ln5≈1.6094，53≈1.6667，则ln5<53，可得k 的最大值为4．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ−4cosθ＝0．(Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 经过曲线C 的焦点F 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|FQ|的值．【解答】（1）∵直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数），∴直线l 的普通方程为y ＝tanα⋅x +1，由ρsin 2θ−4cosθ＝0，得ρ2sin 2θ−4ρcosθ＝0，即y 2−4x ＝0，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ；（2）∵直线l 经过曲线C 的焦点F(1, 0)，∴tanα＝−1，直线l 的倾斜角α=3π4， ∴直线l 的参数方程为{x =1−√22t y =√22t（t 为参数），代入y 2＝4x ，得t 2+4√2t −8=0，设A ，B 两点对应的参数为t 1．t 2，可得t 1+t 2＝−4√2，∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q 对应的参数值为t 1+t 22=−2√2．又点F(1, 0)，则|FQ|=|t 1+t 22|=2√2． [选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x +a +1|+|x −4a |,(a >0)．(Ⅰ)证明：f(x)≥5；(Ⅱ)若f(1)<6成立，求实数a 的取值范围．【解答】（1）证明：f(x)=|x +a +1|+|x −4a |≥|(x +a +1)−(x −4a )|=|a +1+4a |∵a >0，∴f(x)≥a +1+4a ≥2√a ⋅4a +1=5⋯．（2）由f(1)<6得：|a +2|+|1−4a |<6，∵a >0，∴|1−4a |<4−a ，|a−4|a <4−a ⋯①当a≥4时，不等式|a−4|a<4−a无解；②当a<4时，不等式|a−4|a <4−a，即1a<1，a>1，所以1<a<4综上，实数a的取值范围是(1, 4)。

2020年湖南省岳阳市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

每分钟跳绳个
数
[155，165）
[165，175）
[175，185）
[185，+∞）
得分
17
18
19
20
（1）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率；（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N（μ，σ2），用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 S2≈169（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，现利用所得正态分布模型：
B. 6
C. 8
D. 10
5. 将多项式 a6x6+a5x5+…+a1x+a0 分解因式得（x-2）（x+2）5，则 a5=（）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 1
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何
体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积
为（）
A. 16π B. 64-16π
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1.答案：D
-------- 答案与解析 --------
解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合 M，N，由此能求出 M∩N．【解答】解：∵集合 M={x|log2x＜2}={x|0＜x＜4}， N={-1，0，1，2}， ∴M∩N={1，2}．故选：D．
函数 f（x）与 g（x）互为“n 度零点函数“，若 f（x）=32-x-1 与 g（x）=x2-aex 互为

2020年湖南省岳阳一中高考数学二模试卷1（含答案解析）

2020年湖南省岳阳⼀中⾼考数学⼆模试卷1（含答案解析）2020年湖南省岳阳⼀中⾼考数学⼆模试卷1⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共36.0分）1.已知集合A={x|1A. (1,2)B. [1,2)C. (?1,2)D. [?1,2)2.已知i为虚数单位，则复数z=3+i(1?i)i的虚部为()A. 1B. 2C. ?1D. ?23.上午某专家的第⼀场报告在8:30～10:00进⾏，⼩张由于没有赶上第⼀趟公交，所以改乘第⼆趟公交或打的前往，但也只能在上午9:30～10:10到达会场，则第⼀场报告他能听到时间不少于25分钟的概率是() A. 18B. 14C. 23D. 344.等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，若a1+1，a3，a6成等⽐数列，则S n=()A. n(n+1)B. n2C. n(n?1)D. 2n5.对于函数f(x)=sin(13π2x)，下⾯说法中正确的是()A. 是最⼩正周期为π的奇函数B. 是最⼩正周期为π的偶函数C. 是最⼩正周期为2π的奇函数D. 是最⼩正周期为2π的偶函数6.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不⾜”中有⼀道问题：“今有垣⾼九尺，⽠⽣其上，蔓⽇长七⼨；⽠⽣其下，蔓⽇长⼀尺，问⼏何⽇相逢？”现⽤程序框图描述，如图所⽰，则输出的结果n=()A. 4B. 5C. 6D. 77.实数a=30.4，b=log432，c=log550的⼤⼩关系为A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. b>a>c8.函数f(x)=(3x+3?x)ln|x|的图象⼤致为()A. B.C. D.9.⼀个⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为A. 12√3B. 14√3C. 16√3D. 20√310.函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所⽰，如果x1,x2∈(π6,2π3)，且f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=()A. ?12B. ?√32C. 12D. √3211.⼰知函数y=log a(x?1)+2(a>0且a≠1)恒过定点A.若直线mx+ny=2过点A，其中m，n 是正实数，则1m +2n的最⼩值是()A. 3+√2B. 3+2√2C. 92D. 512.已知点F1、F2是双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若在右⽀上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则离⼼率e的取值范围是()A. [√2,+∞)B. (√2,+∞)C. (1,√2)D. (1,√2]⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共12.0分）13.已知a?=(1,λ)，b? =(2,1)，若向量2a?+b? 与c?=(8,6)共线，则实数λ的值为______．14.已知变量x，y满⾜约束条件{x?y+2≤0,x≥1,x+y?7≤0,则yx的取值范围是________．15.甲、⼄、丙三个同学在看a，b，c三位运动员进⾏“乒乓球冠军争夺赛”(冠军唯⼀).赛前，对于谁会得冠军，甲说：不是b，是c，⼄说：不是b，是a，丙说：不是c，是b，⽐赛结果表明，他们的话有⼀⼈全对，有⼀⼈对⼀半错⼀半，有⼀⼈全错，则冠军是______．16.若对任意的x∈[1e ,+∞)，都有12x2?alnx≥0成⽴，则实数a的取值范围是_______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共84.0分）17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=34.求：(Ⅰ)△ABC的⾯积；(Ⅱ)sinA的值．18.如图，四棱锥E?ABCD中，底⾯ABCD是平⾏四边形，∠ADC=60°，CD=2AD，EC⊥底⾯ABCD．(1)求证：平⾯ADE⊥平⾯ACE；(2)若AD=CE=2，求三棱锥C?ADE的⾼．19.某组织在某市征集志愿者参加志愿活动，现随机抽出60名男⽣和40名⼥⽣共100⼈进⾏调查，统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男⼥⽣⽐例情况，具体数据如图所⽰．(Ⅰ)根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关？愿意不愿意总计男⽣⼥⽣总计72队长，求抽取的2⼈⾄少有⼀名⼥⽣的概率．参考数据及公式：P(K2≥k0)0.10.050.0250.01 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 K2=2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(n=a+b+c+d)．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为2√2的等腰直⾓三⾓形．(Ⅰ)求椭圆C的标准⽅程；(Ⅱ)若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．(ⅰ)当m=1时，求线段PQ的长度；(ⅰ)是否存在m，使得S△OPQ=43若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=2lnx ?ax(a ∈R)，g(x)=m ?3x ．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a =?1时，对任意x ∈(0,+∞)，f(x)≥g(x)恒成⽴，求实数m 的取值范围．22. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建⽴极坐标系．已知曲线C 1的极坐标⽅程为ρ=4cosθ，直线l 的⽅程为{x =1?2√55ty =1+√55t (t 为参数)． (Ⅰ)求曲线C 1的直⾓坐标⽅程及直线l 的普通⽅程；(Ⅱ)若曲线C 2的参数⽅程为{x =2cosαy =sinα(α为参数)，曲线C 1上点P 的极坐标为(ρ,π4)，Q 为曲线C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最⼤值．23. 已知函数f(x)=｜2x ?4｜+｜x +1｜，x ∈R ．(Ⅰ)解不等式f(x)≤9；(Ⅱ)若⽅程f(x)=?x2+a在区间[0,2]有解，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合A={x|1B={x|x?1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|1解不等式化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=3+i(1?i)i =(3+i)(1+i)2i=1+2ii=2?i，∴z的虚部为?1．故选C．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼏何概型中的长度类型，解决的关键是找到问题的分界点，分清是长度，⾯积，还是体积类型，再应⽤概率公式求解，是基础题．由题意，⼩张在上午9：30～10：10之间随机到达会场，区间长度为40，第⼀场报告他能听到时间不少于25分钟，⼩张应在9：30～9：35之间到达会场，区间长度为5，由测度⽐为长度⽐得答案．【解答】由于⼩张在上午9：30～10：10之间随机到达会场，区间长度为40，若第⼀场报告他能听到时间不少于25分钟，则⼩张应在9：30～9：35之间到达会场，区间长度为5，所以所求概率P=540=18．故选A．4.答案：A解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等⽐数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．由题意列式求得等差数列的⾸项，然后直接代⼊等差数列的前n项和公式得答案．解：由等差数列{a n}的公差为2，且a1+1，a3，a6成等⽐数列，得a32=(a1+1)a6，即(a1+4)2=(a1+1)(a1+10)，解得a1=2，∴S n=2n+2n(n?1)2=n(n+1)．故选A．5.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的诱导公式及三⾓函数的性质，属于基础题．由于13π2?x=6π+π2x，可以化简为f(x)=cosx，即可去判断．【解答】∵f(x)=sin(13π2?x)=sin[6π+(π2x)]=sin(π2x)=cosx，∴f(?x)=cos(?x)=cosx=f(x)，∴f(x)=sin(13π2x)为偶函数，⼜其最⼩正周期T=2π，∴f(x)=sin(13π2x)是最⼩正周期为2π的偶函数．故选D．6.答案：C。

2020届湖南省岳阳市高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）

岳阳市2020届高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）分值：150分时量：120 分钟第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。

1.已知复数z=(1+ i)(3-i)(i 为虚数单位)，则Z 的虚部为A.2B.2iC.4D.4i2.已知集合A={x|x+1≤0}， B={x|x≥a}，若A ∪B=R ，则实数a 的值可以为A.2B.1C.0D. -23.若a 424log 3,log 7,0.7,a b c ===则实数 A. a>b> c B.c>a>b C. b> a>c D. c>b>a4.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353,a a a +-=则7S =A.42B.21C.7D.35.已知向量1||1,(,),2a b m ==若()(),a b a b +⊥-，则实数m 的值为 1.2A 3.2B 1.2C ± 3.2D ± 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？"其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为A.10000 立方尺B.11000 立方尺C.12000立方尺D.13000 立方尺7. 在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆221x y +=相交的概率为 1.2A 1.3B 2.C 2.D 8.5(21)(22)x x --的展开式中8x 的项的系数为A.120B.80C.60D.40 9. 已知'()f x 为函数f(x)(x ∈R)的导函数,满足f(1)=1,且'()1,f x <则不等式22(lg )lg f x x <的解集为1.(0,)10A 1.(0,)(10,)10B ⋃+∞ 1.(,10)10C D.(10, +∞)10.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题"四个答题模块.某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有A.60种B.192 种C.240 种D.432种 11.已知函数13()4sin(2),[0,]63f x x x ππ=-∈，若函数F(x)= f(x)-3的所有零点依次记为123,,,,,n x x x x 且123n x x x x <<<<，则1231222n n x x x x x -+++++= 50.3A πB.21π 100.3C π D.42π 12. 已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且 |AF|=5，过点F 的动直线l 与抛物线交于B ，C两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M.给出下列四个命题:①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个;②若P 是抛物线准线上一动点, 则| PA|+ |PO|的最小值为③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有∠OMB=∠OMC ;④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B 、O 、D 在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为A.1B.2C.3D.4第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（二）（有答案解析）

2020年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（二）（有答案解析）2020年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|log2x＜2}，N={-1，0，1，2}，则M∩N=（）A. {-1，0，1，2}B. {-1，1，2}C. {0，1，2}D. {1，2}2.若复数z=，则其虚部为（）A. iB. 2iC. -2D. 23.等差数列{a n}满足7a3+a13-2a5=30，则a4=（）A. -5B. 0C. 5D. 104.过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1（x1、y1），P2（x2、y2）两点，若y1+y2=6，则|P1P2|的值为（）A. 5B. 6C. 8D. 105.将多项式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得（x-2）（x+2）5，则a5=（）A. 8B. 10C. 12D. 16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（）A. 16πB. 64-16πC. 64-D. 64-7.曲线y=2x lnx在x=e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A. B. C. e2 D. 2e28.函数f（x）=sin x?cos（x+）的图象的一条对称轴方程是（）A. x=B. x=C. x=D. x=9.已知在区间[0，π]上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为P'，P'的横坐标为x0，则tan x0的值为（）A. B. C. D.10.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A和区域B标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A. B. C. D.11.设双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为（）A. B. 2 C. D.12.已知M={α|f（α）=0}，N={β|g（β）=0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α-β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n度零点函数“，若f（x）=32-x-1与g（x）=x2-ae x互为“1度零点函数“，则实数a的取值范围为（）A. （，]B. （，]C. [，）D. [，）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，2），=（-1，m），若⊥（），则m=______．14.某社团计划招入女生x人，男生y人，若满足约束条件，则该社团今年计划招入的学生人数最多为______15.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且a2+b2-c2=4S，c=1，则该三角形的外接圆面积为______．16.正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P、Q、R分别在棱AB、B1C1、DD1上，且AP=λPB、B1Q=λQC1、D1R=λRD，其中λ≥0，若平面PQR与线段AC1的交点为N，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}，a1=3，且na n+1-a n=na n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．18.如图,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,,G为BE的中点．Ⅰ求证：平面ADF；Ⅱ若,求二面角的余弦值．19.已知椭圆C：的上顶点为A，以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、．（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆C交于P、Q两点，且，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．20.当当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初中毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某市2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到每段人数的频率分布直方图（如图），且规定计分规则如表：每分钟跳绳个[155，165）[165，175）[175，185）[185，+∞）数得分17181920（）现从样本的名学生中，任意选取人，求两人得分之和不大于分的概率；（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N（μ，σ2），用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差S2≈169（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：（ⅰ）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.997421.已知函数f（x）=（ax2+x+a ）e-x（a∈）．（Ⅰ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的a≤0，f（x）≤b ln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（且两种坐标系取相同的长度单位）．曲线C的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，若|AB|≥16，求角α的取值范围．23.已知关于x的函数f（x）=|x+1|+|x-m|．（1）若f（x）≥3对所有的x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）若关于x的不等式f（m）-2m≥x2-x的解集非空，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|log2x＜2}={x|0＜x＜4}，N={-1，0，1，2}，∴M∩N={1，2}．故选：D．2.答案：D解析：解：∵z==，∴z的虚部为2．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵7a3+a13-2a5=30，∴7（a1+2d）+（a1+12d）-2（a1+4d）=30，化为：a1+3d=5．则a4=5．故选：C．4.答案：C解析：【分析】本题主要考查抛物线的基本性质和两点间的距离公式的应用，直线与圆锥曲线是高考的重点，每年必考，要着重复习．先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而可设出直线方程，然后联立直线与抛物线消去y 得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再由两点间的距离公式表示出|P1P2|，将得到的两根之和与两根之积即可得到答案．【解答】解：x2=4y的焦点为（0，1），设过焦点（0，1）的直线为y=kx+1则令kx+1=，即x2-4kx-4=0由韦达定理得x1+x2=4k，x1x2=-4y1=kx1+1，y2=kx2+1所以y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2=6，所以k2=1所以|AB|=|x1-x2|====8．故选：C．5.答案：A解析：解：由题意可得（x-2）（x+2）5=（x-2）（x5+10x4+40x3+80x2+80x+32）=a6x6+a5x5+…+a1x+a0，故a5=10-2=8，故选：A．把（x+2）5按照二项式定理展开（x-2）（x+2）5的展开式中x5的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6.答案：B解析：解：由题意可知：几何体是棱长为4的正方体去掉一个半径为4的圆柱的几何体，如图：几何体的体积为：=64-16π．故选：B．判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．7.答案：B解析：解：y=2x lnx，y'=2（1×ln x+x?）=2+2ln x，y'（e）=4，∴切线方程为y-2e=4（x-e），此直线与x轴、y轴交点分别为（e，0）和（0，-2e），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S=×e×2e=e2．故选：B．欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点（e，2e）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=e处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．8.答案：B解析：解：f（x）=sin x?cos（x+）=sin x（cos x-sin x）=sin x cosx-sin2x=sin2x-×=sin2x cos2x-=（sin2x+cos2x）-=sin（2x+）-．由2x+=+kπ，得x=+，k∈Z，当k=0时，x=，即函数的对称轴为x=，故选：B．利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数的对称性，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：∵过P作PP'⊥x轴于点P'，直线PP'与y=tan x的图象交于点P0，线段P'P0的长即为点P'点的纵坐标的值即tan x0的值，且其中的x满足，则2sin x+9cos x=7，又sin2x+cos2x=1，且x∈[0，π]，解得sin x=，cos x=，线段P'P0的长为tan x0=，故选：B．由结合平方关系求得sin x，cos x的值，则答案可求．本题考查三角函数的图象、函数值的求法，考查计算能力，数形结合思想，是中档题．10.答案：C解析：解：当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大，此时所在的小方格个数n=5×6=30，标记为1的区域中小方格的个数m=10，∴恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是P=．故选：C．当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：A解析：解：设双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，由F（c，0）到渐近线的距离为d==b，可得|OP|==a，即有|QF|=a，由QF：bx-ay-bc=0，联立双曲线方程可得Q（，），即有（-c）2+（）2=a2，由b2=c2-a2，化为c2=3a2，即c=a，则e==．故选：A．设双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，求得F到渐近线的距离，可得矩形的另一条边，求得QF的方程，代入双曲线方程求得Q的坐标，由|QF|=a，化简可得所求离心率的值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查联立方程求交点，以及化简运算能力，属于中档题．12.答案：B解析：【分析】本题考查实数取值范围的求法，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．由f（x）=32-x-1=0，解得x=2，由g（x）=x2-ae x=0，解得x2=ae x，设其解为x0，由f（x）=32-x-1与g（x）=x2-ae x互为“1度零点函数“，得1＜x0＜3，设h（x）=，则，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）=32-x-1=0，解得x=2，由g（x）=x2-ae x=0，解得x2=ae x，设其解为x0，∵f（x）=32-x-1与g（x）=x2-ae x互为“1度零点函数“，∴|x0-2|＜1，解得1＜x0＜3，∵，∴a=，设h（x）=，则，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴h（x）max=h（2）=，h（1）=，h（3）=，∴实数a的取值范围为（，]．故选：B．13.答案：3解析：解：；∵；∴；∴m=3．故答案为：3．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积和减法的坐标运算．14.答案：13解析：解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y?y=-x+z则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值-1，截距最大时的直线为过?（6，7）时使得目标函数取得最大值为：z=13．故答案为：13．由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．此题考查了线性规划的应用，还考查了学生的数形结合的求解问题的思想．15.答案：π解析：【分析】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得tan C，结合范围C∈（0，π），可求C，利用正弦定理可求△ABC外接圆的半径，即可求△ABC外接圆的面积．【解答】解：∵a2+b2-c2=4S，c=1，∴4×ab sin C=2ab cos C，可得：tan C=，∵C∈（0，π），∴C=，∴则△ABC外接圆的半径R===1．∴则△ABC外接圆的面积S=πR2=π．故答案为：π．16.答案：解析：解：以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体棱长为1，则P（1，，0），Q（1-，1，1），R（0，0，1-），A（1，0，0），C1（0，1，1），∴=（1，，0），=（1-，1，1），=（0，0，1-），=（-1，1，1），设=a=（a+b-b，a?+b，b+c-c），则=（a+b=b?-1，a+b，b+c-c），∵A，N，C1三点共线，∴b+1-a-b=a+b=b+c-c，①∵N∈平面PQR，∴a+b+c=1，代入①可得：a=1-2，b=22，c=2-22，∴=a+b=．故答案为：．以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出的值．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解：（Ⅰ）由na n+1-a n=na n，得na n+1=（n+1）a n，即，可得a n=a1??…=3??…=3n，则a n=3n；（Ⅱ）由等差数列前n项和公式得，所以，数列的前n项和前n项和T n=（1-+-+…+-）=（1-）=．解析：（Ⅰ）由题意可得，运用数列的恒等式：a n=a1??…，计算可得所求通项公式；（Ⅱ）由等差数列前n项和公式得，可得，再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查累乘法求数列的通项公式，考查等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.答案：（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，AD⊥AB，矩形ABCD∩菱形ABEF=AB，∴AD⊥平面ABEF，∵AG?平面ABEF，∴AD⊥AG，∵菱形ABEF中，∠ABE=60°，G为BE的中点．∴AG⊥BE，即AG⊥AF．∵AD∩AF=A，,∴AG⊥平面ADF；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知AD，AF，AG两两垂直，如图所示以A为坐标原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，故A（0，0，0），，D（0，0，1），，则，，，设平面ACD的法向量，由，取，得，设平面ACG的法向量，由，取y2=2，得，设二面角D-CA-G的平面角为θ，则，由图可知θ为钝角，∴二面角D-CA-G的余弦值为．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．（Ⅰ）由已知矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，得AD⊥AB，由面面垂直的性质可得AD⊥平面ABEF，进一步得到AD⊥AG，再由已知证得AG⊥AF，则AG⊥平面ADF；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG 为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ACD与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D-CA-G的余弦值．19.答案：解：（1）依题意知点A的坐标为（0，b），则以点A 圆心，以a为半径的圆的方程为：x2+（y-b）2=a2，令x=0得y=b±a，由圆A与y轴的交点分别为、可得，解得，故所求椭圆C的方程为．（2）解法1：由得，可知PA的斜率存在且不为0，设直线l PA：y=kx+1---------------①则-------------②，将①代入椭圆方程并整理得（1+3k2）x2+6kx=0，可得，则，类似地可得，由直线方程的两点式可得：直线l的方程为，即直线l过定点，该定点的坐标为，解法2：若直线l垂直于x轴，则AP不垂直于AQ，不合题意，可知l的斜率存在，又l不过点（0，1），设l的方程为y=kx+m （m≠1），又设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则，由得x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0，由，消去y得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，△=12（3k2-m2+1），当△＞0即3k2-m2+1＞0时，-------①---------②，又，y1+y2=k（x1+x2）+2m，于是有，-----------③，将①②代入③得整理得：，满足△＞0，这时直线l的方程为，直线l过定点解析：（1）根据题意可得可得，解得，即可得到a，b，进而得到椭圆方程；（2）解法1：由得，可知PA的斜率存在且不为0，设直线l PA：y=kx+1，则，把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，求出点P，Q的坐标，即可求出，解法2，设l的方程为y=kx+m（m≠1），又设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系由向量的数量积的坐标表示，即可得出m 与k的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20.答案：（12分）解：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，………………（3分）（Ⅱ）=160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08=185（个）…………（5分）又σ2≈169，σ=13，所以正式测试时，μ=185，σ=13，∴μ-σ=172．（ⅰ）∴P（ξ＞182）=1-=0.8413，∴0.8413×2000=1682.6≈1683．（人）………………（7分）（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即ξ～B（3，0.5），∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，ξ0123P0.1250.3750.3750.125E（ξ）=3×0.5=1.5 ………………（12分）解析：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，判断类型，然后求解概率．（Ⅱ）利用频率分布直方图真假求解平均数，推出正式测试时，μ=185，σ=13，μ-σ=172．（ⅰ）P（ξ＞182）=1-=0.8413，推出人数．（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，得到ξ～B（3，0.5）求出ξ的分布列，然后求解期望即可．本题考查正态分布的应用，频率分布直方图的应用，期望的求法，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：（Ⅰ）由题意，f'（x）=（2ax+1）e-x-（ax2+x+a）e-x=-e-x[ax2+（1-2a）x+a-1]=-e-x（x-1）（ax+1-a）．（ⅰ）当a=0时，f'（x）=-e-x（x-1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（-∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；（ⅱ）当a＞0时，，令f'（x）＞0，得；f'（x）＜0，得或x＞1，所以f（x）在单调递增，，（1，+∞）单调递减，（Ⅱ）令g（a）=e-x（x2+1）a+xe-x，a∈（-∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e-x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则，则g（a）≤b ln（x+1）对?a∈（-∞，0]恒成立等价于b ln（x+1）≥g（a）max=g（0），即xe-x≤b ln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．（ⅰ）当b≤0时，?x∈（0，+∞），b ln（x+1）＜0，xe-x＞0，此时xe-x＞b ln（x+1），不合题意，舍去．（ⅱ）当b＞0时，令h（x）=b ln（x+1）-xe-x，x∈[0，+∞），则，其中（x+1）e x＞0，?x∈[0，+∞），令p（x）=be x+x2-1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，①当b≥1时，p（x）≥p（0）=b-1≥0，所以对?x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h （x）≥h（0）=0，即不等式b ln（x+1）≥xe-x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．②当0＜b＜1时，由p（0）=b-1＜0，p（1）=be＞0，且p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）=0，且x∈（0，x0）时，p（x0）＜0．从而x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=0，即b ln（x+1）＜xe-x，不符合题意．综上所述，b≥1．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）令g（a）=e-x（x2+1）a+xe-x，a∈（-∞，0]，求出g （a）的最大值，等价于b ln（x+1）≥g（a）max=g（0），即xe-x≤b ln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，求出函数的导数，通过讨论b的范围结合函数的单调性确定b的范围即可．22.答案：解：（1）由ρ=，得ρcos2θ=4sinθ，∴ρ2cos2θ=4ρsinθ，即x2=4y．∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y；（2）将直线l的参数方程代入曲线C中，得t2cos2α=4（1-t sinα），∴t2?cos2α+4t?sinα-4=0．△=16sin2α+16cos2α=16．，．∴=．∴，则≤cosα≤，且cosα≠0．又0＜α＜π，∴α的取值范围为[，）∪（，]．解析：（1）把已知极坐标方程变形，两边同时乘以ρ，即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入曲线C中，化为关于t的一元二次方程，利用|AB|≥16，得到三角不等式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程的应用，考查计算能力，是中档题．23.答案：解：（1）f（x）=|x+1|+|x-m|≥|m+1|≥3，∴m+1≥3或m+1≤-3，∴m≥2或m≤-4，故m的取值范围为（-∞，-4]∪[2，+∞）．（2）∵f（m）-2m≥x2-x的解集非空，∴|m+1|-2m≥（x2-x）min，∴|m+1|≥2m-，①当m＜时，2m-＜0．|m+1|≥2m-恒成立，即m＜，②当m≥时，2m-≥0，m+1＞0，∴m+1≥2m-，解得，由①②得，实数m的取值范围是（-∞，]．解析：（1）利用绝对值不等式求得f（x）的最小值，然后将不等式恒成立转化为最小值成立；（2））∵f（m）-2m≥x2-x的解集非空，∴|m+1|-2m≥（x2-x）min，=-．本题考查了函数恒成立问题，属中档题．。

2020年湖南省岳阳市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

5.答案：B
解析：解：抛物线 y2=-4 x 的准线 l：x= ，可得 c= ，即 a2+b2=5，
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由题意可得 =2，
解得 a=1，b=2，
则双曲线的方程为 x2- =1，
故选：B．求得抛物线的准线方程可得双曲线的 c，由双曲线的渐近线方程可得 a，b 的关系，解方程可得 a，b，进而得到所求双曲线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为 d， ∵7a3+a13-2a5=30， ∴7（a1+2d）+（a1+12d）-2（a1+4d）=30，化为：a1+3d=5．则 a4=5．故选：C．
4.答案：A
解析：解：根据题意，g（x）=f（x）+2，则 g（-2）=f（-2）+2=3，则有 f（-2）=1，又由 f（x）为奇函数，则 f（2）=-f（-2）=-1；故选：A．根据题意，由函数的解析式可得 g（-2）=f（-2）+2=3，变形可得 f（-2）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
A. {-1，0，1，2} B. {-1，1，2}
C. {0，1，2}
D. {1，2}
3. 等差数列{an}满足 7a3+a13-2a5=30，则 a4=（）
A. -5
B. 0
C. 5
D. 10
4. 已知 f（x）为 R 上的奇函数，g（x）=f（x）+2，g（-2）=3，则 f（2）=（）
A. -1
（2）现从表（2）中成功完成时间在[20，30）和[30，40]这两组内的 6 名男生中任

2020年湖南省高三二模理科数学试卷(含答案和解析)

20. 分别过椭圆
左、右焦点、的动直线、相交于点，与椭圆
分别交于、与、不同四点，直线、、、的斜率分别为、、、，且满
4
足
，已知当与轴重合时，
，
．
（ 1 ）求椭圆的方程．（ 2 ）是否存在定点，，使得说明理由．
为定值？若存在，求出、点坐标，若不存在，
是纯虚数，则复数
在复平面内对应的点位于（）．
6. 湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为球前，球面上的点到冰面的最大距离为（）． A. B. C. D.
，深
的空穴，则取出该
7. 已知函数 A. 的最小正周期为，且在 B. 的最小正周期为，且在 C. 的最小正周期为，且在 D. 的最小正周期为，且在
（ 1 ）求数列（2）设
的通项公式．，求数列
的前项和．
【答案】
（1）
．
（2）
．
解析: （ 1 ）由
，两边平方并整理得：
∴
，又
，∴
当
时，
由① ②得
，∴
，
又因为
，所以
，
∴数列的首项为，公差为等差数列，∴
（2）
，
∴
，
．
① ②
．
两式相减得
，
∴
．
11
19. 如图，在梯形
中，
，
形，平面
平面
，
2
由命题的否定的定义可知正确．
5. 若复数 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 B
解析:
， ∴ 故选．

2020年湖南省岳阳市高考数学一模试卷(理科)(含解析)

2020年湖南省岳阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集为R ，集合A ＝{x|−3<x <3}，B ＝{x|x 2−4x −5<0}，则A ∩∁R B ＝（） A.(−3, 0) B.(−3, −1] C.(−3, −1) D.(−3, 3)2.已知复数z 满足(1+2i)z ＝3−4i ，则|z ¯|=() A.√55 B.1 C.√5 D.53.设a ，b ，c 均为正数，且e a ＝−lna ，e −b ＝−lnb ，e −c ＝lnc ，则（） A.c <b <a B.c <a <bC.b <a <cD.a <b <c4.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图．有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（）A.①③B.②③C.①④D.②④5.函数f(x)=(x−1x+1)e x 的部分图象大致是（）A. B. C. D.6.已知cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，则sin2β＝（） A.12B.√22C.√32D.17.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛．赛后，他们四个人预测名次的谈话如下：甲：“丙第一名，我第三名”；乙：“我第一名，丁第四名”；丙：“丁第二名，我第三名”；丁没有说话．最后公布结果时，发现他们预测都只猜对了一半，则这次竞赛甲、乙、丙、丁的名次依次是第（）名．A.一、二、三、四B.三、一、二、四C.三、一、四、二D.四、三、二、一8.在△ABC 中，AB →⋅BC →=0,|AB →|=|BC →|=3√2，AD →=2DC →，则BD →⋅CA →=() A.4 B.−6C.6D.−4√39.我国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩三，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余二，被七除余三，问该数为多少？”为解决此问题，某同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（）A.a−235∈Z B.a−221∈Z C.a−335∈Z D.a−215∈Z10.已知{a n }为等差数列，a 3＝52，S 7＝343，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大值时n 是（） A.19 B.20 C.39 D.4011.已知F 1，F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1的直线与圆x 2+y 2＝a 2相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F 1T →=TP →，则双曲线C 的渐近线方程为（） A.x ±y ＝0 B.2x ±3y ＝0 C.3x ±2y ＝0 D.x ±2y ＝012.已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝5，AC =BD =√34，AD =BC =√41，O 为其外接球球心，AO 与AB ，AC ，AD 所成的角分别为α，β，γ．有下列结论：①该四面体的外接球的表面积为50π②该四面体的体积为10③cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝1④∠BAC +∠CAD +∠DAB ＝180∘ 其中所有正确结论的编号为（） A.①④ B.①② C.②③ D.③④二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上） 13.若曲线y ＝e −x 上点P 到直线x +y +1＝0的最短距离是________√2．14.在数列{a n }中，a 1＝1，a n+2+(−1)n a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 40＝________．15.习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，我市某示范性高中安排5名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人．则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为________．16.阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足|PA||PB|=t(t >0且t ≠1)为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆O:x 2+y 2＝1和A(−12,0)，若定点B(b, 0)(b ≠−12)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB 面积的最大值为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA=√3sinB且b＝c．（1）求角A的大小；（2）若a＝2√3，角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．18.如图，在三棱锥P−ABC中，△PAC为正三角形，M为棱PA的中点，AB⊥AC，AC=12BC，平面PAB⊥平面PAC（1）求证：平面ABC⊥平面PAC；（2）若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为√217，求二面角Q−MC−A的正弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,√2)，离心率为√22．（1）求E的方程；（2）过点P斜率为k1，k2的两条直线分别交椭圆E于A，B两点，且满足k1+k2＝0．证明：直线AB的斜率为定值．20.已知函数f(x)=lnx+ax+x．（1）讨论函数f(x)的单调性；,+∞)，xf(x)<e x+x2恒成立，请求出a的取值范围．（2）对任意的x∈(1221.某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量．当Z≥8时，产品为优等品；当6≤Z<8时，产品为一等品；当2≤2<6时，产品为二等品第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标z的条形图．用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率．（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X元，求X的分布列与数学期望：（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖“活动，客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、．方格图上标有第0格、第1格、第2格…50机器人开始在反面的概率都是12第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从k到k+1），若携出反面，机器人向前移动两格（从k到k+ 2），直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营“，则可获得优惠券，设机器人移到第n格的概率为P n(0≤n≤50, n∈N∗)，试证明{P n−P n+1}(1≤n≤49, n∈N∗)是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买：该款产品．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在极坐标系中，射线l:θ=π6与圆C:ρ＝2交于点A ，椭圆E 的方程为：ρ2=31+2sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角标系xOy ．（1）求点A 的直角坐标和椭圆E 的直角坐标方程；（2）若B 为椭圆E 的下顶点，M 为椭圆E 上任意一点，求AB →⋅AM →的最大值．23.已知函数f(x)＝|x +a|+2|x −1|(a >0)．（1）当a ＝1时，求不等式f(x)>4的解集；（2）若不等式f(x)>4−2x 对任意的x ∈[−3, −1]恒成立，求a 的取值范围．2020年湖南省岳阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集为R ，集合A ＝{x|−3<x <3}，B ＝{x|x 2−4x −5<0}，则A ∩∁R B ＝（） A.(−3, 0) B.(−3, −1] C.(−3, −1) D.(−3, 3)【解答】∵A ＝{x|−3<x <3}，B ＝{x|−1<x <5}， ∴∁R B ＝{x|x ≤−1或x ≥5}，A ∩∁R B ＝(−3, −1]． 2.已知复数z 满足(1+2i)z ＝3−4i ，则|z ¯|=() A.√55 B.1 C.√5 D.5【解答】∵(1+2i)z ＝3−4i ， ∴z =3−4i 1+2i =−1−2i ， ∴|z ¯|＝−1+2i ，∴|z ¯|=|−1+2i|=√1+4=√5，3.设a ，b ，c 均为正数，且e a ＝−lna ，e −b ＝−lnb ，e −c ＝lnc ，则（） A.c <b <a B.c <a <bC.b <a <cD.a <b <c【解答】在同一坐标系中分别画出y ＝e x ，y ＝e −x ，y ＝lnx ，y ＝−lnx 的图象， y ＝e x 与y ＝−lnx 的交点的横坐标为a ， y ＝e −x 与y ＝−lnx 的图象的交点的横坐标为b ， y ＝e −x 与y ＝lnx 的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出b <a <c ．4.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图．有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（）A.①③B.②③C.①④D.②④【解答】甲的中位数为28，乙的中位数为29，故①不正确；甲的平均数为28，乙的平均数为29，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确 5.函数f(x)=(x−1x+1)e x 的部分图象大致是（）A. B. C. D.【解答】当x →−∞时，e x →0+,x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f(x)→0+，排除C ，D ；因为x →+∞时，e x →+∞,x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f(x)→+∞，因此排除B ， 6.已知cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，则sin2β＝（） A.12 B.√22C.√32D.1【解答】因为α，β均为锐角，所以β−α∈(−π2,π2)，所以cos(β−α)=3√1010，sinα=2√55，由sinβ＝sin[α+(β−α)]＝sinαcos(β−α)+cosαsin(β−α) =2√55⋅3√1010+√55⋅(−√1010)=√22，所以sinβ=√22，cosβ=√22，所以sin2β＝2sinβcosβ＝1，7.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛．赛后，他们四个人预测名次的谈话如下：甲：“丙第一名，我第三名”；乙：“我第一名，丁第四名”；丙：“丁第二名，我第三名”；丁没有说话．最后公布结果时，发现他们预测都只猜对了一半，则这次竞赛甲、乙、丙、丁的名次依次是第（）名． A.一、二、三、四 B.三、一、二、四 C.三、一、四、二D.四、三、二、一【解答】由题意，他们预测都只猜对了一半，则甲的猜测也是对一半，错一半．假设甲猜的丙第一名正确，则甲猜的自己第三名错误；则乙猜的乙第一名错误，则乙猜的丁第四名正确；则丙猜的丙第三名错误，则丙猜的丁第二名正确．由此可见，丁既是第二名，又是第四名，故此假设不正确．故甲猜的丙第一名错误，则甲猜的自己第三名正确；则丙猜的丙第三名错误，则丙猜的丁第二名正确．则乙猜的丁第四名错误，则乙猜的乙第一名正确；故甲第三名，乙第一名，丙第四名，丁第二名．8.在△ABC 中，AB →⋅BC →=0,|AB →|=|BC →|=3√2，AD →=2DC →，则BD →⋅CA →=() A.4 B.−6 C.6 D.−4√3【解答】如图，由AD →=2DC →得BD →=AD →−AB →=23AC →+BA →=23(BC →−BA →)+BA →=23BC →+13BA →，CA →=BA →−BC →，又∵AB →⋅BC →=0，|AB →|=|BC →|=3√2， ∴BD →⋅CA →=(23BC →+13BA →)⋅(BA →−BC →) =−2BC →2+1BA →2=−23×18+13×18＝−6．9.我国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩三，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余二，被七除余三，问该数为多少？”为解决此问题，某同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（）A.a−235∈Z B.a−221∈ZC.a−335∈ZD.a−215∈Z【解答】由题意，判断框内应该判断a 的值是否同时能被三除余二，被五除余二，被3和5整除余2的数即是被15整除余2的数即判断a−215是否为整数；10.已知{a n }为等差数列，a 3＝52，S 7＝343，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大值时n 是（） A.19 B.20 C.39 D.40【解答】由S 7＝7a 4＝343，得a 4＝49，所以d ＝a 4−a 3＝49−52＝−3， a 1＝a 3−2d ＝52−2×(−3)＝58，所以a n ＝a 1+(n −1)d ＝−3n +61．由{a n ≥0a n+1≤0，得n ＝20．11.已知F 1，F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1的直线与圆x 2+y 2＝a 2相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F 1T →=TP →，则双曲线C 的渐近线方程为（） A.x ±y ＝0 B.2x ±3y ＝0 C.3x ±2y ＝0 D.x ±2y ＝0【解答】连PF 2，过F 2作F 2Q // OT ，若2F 1T →=TP →，则易知|OF1|＝c，|OT|＝a，|TF1|＝|TQ|＝|QP|＝b，|QF2|＝2a，|PF2|＝|PF1|−2a＝3b−2a，所以在Rt△PQF2中，(3b−2a)2＝(2a)2+b2，整理得ba =32，所以渐近线方程为y=±32x，即3x±2y＝0，12.已知四面体ABCD中，AB＝CD＝5，AC=BD=√34，AD=BC=√41，O为其外接球球心，AO与AB，AC，AD所成的角分别为α，β，γ．有下列结论：①该四面体的外接球的表面积为50π②该四面体的体积为10③cos2α+cos2β+cos2γ＝1④∠BAC+∠CAD+∠DAB＝180∘其中所有正确结论的编号为（）A.①④B.①②C.②③D.③④【解答】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以5，√34，√41为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝25，x2+z2＝34，y2+z2＝41，则有(2R)2＝x2+y2+z2＝50（R为球的半径），对于①，球的表面积为S＝4πR2＝50π．故正确．由上可知x2＝x2+y2+z2−(y2+z2)＝50−41＝9，x＝3y2＝x2+y2+z2−(x2+z2)＝50−34＝16，y＝4，z2＝x2+y2+z2−(x2+y2)＝50−25＝25，x＝5，对于②，四面体ABCD体积为xyz−4×13×12xyz=13xyz=13×3×4×5=20，故错．对于，③cos2α+cos2β+cos2γ=1AB2AE2+AC2AE2+AD2AE2=25+41+3432+42+52=2，故错．对于④，∠BAC，∠CAD，∠DAB是边长为5，√34，√41的三角形的三个内角，故正确．二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上）若曲线y＝e−x上点P到直线x+y+1＝0的最短距离是________√2．【解答】y＝e−x的导数为y′＝−e−x，设在P(m, n)处的切线平行于直线x+y+1＝0，即有−e−m＝−1得m＝0，n＝1，即有切点为P(0, 1)，可得最短距离为点P(0, 1)到直线x+y+1＝0的距离d=√2=√2，在数列{a n}中，a1＝1，a n+2+(−1)n a n＝1，记S n是数列{a n}的前n项和，则S40＝________．【解答】在数列{a n}中，a1＝1，a n+2+(−1)n a n＝1，当是n奇数时，a n+2−a n＝1，数列{a n}中奇数项构成等差数列，当n是偶数时，a n+2+a n＝1，=20a1+20×192×1+10=220．习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，我市某示范性高中安排5名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人．则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为________．【解答】总的基本事件数为n=C52C32A22×A33+C53A33=150，杨老师与李老师在一组所含的基本事件数为m=C31×A33+C32A33=36，∴李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为p=mn =625．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P到两定点A，B的距离之满足|PA||PB|=t(t>0且t≠1)为常数，则P点的轨迹为圆．已知圆O:x2+y2＝1和A(−12,0)，若定点B(b, 0)(b≠−12)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________34．【解答】设点M(x, y)，由|MB|＝λ|MA|，得(x−b)2+y2=λ2[(x+12)2+y2]，整理得x2+y2−2b+λ21−λ2x+b2−14λ21−λ2=0，所以{2b+λ21−λ2=0b2−14λ2 1−λ2=−1解得λ＝2，b＝−2如右图，当M(0, 1)或M(0, −1)时，(S△MAB)max=34．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA=√3sinB且b＝c．（1）求角A的大小；（2）若a＝2√3，角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．【解答】由sinA=√3sinB及正弦定理知a=√3b，又b＝c，由余弦定理得cosA=b 2+c2−a22bc=b2+b2−3b22b2=−12，A∈(0, π)，A=2π3；由（1）知B＝C=π6，又a＝2√3，在△ABC中，由正弦定理知：AB＝2，在△ABD中，由正弦定理ABsinD =ADsin∠ABD及∠ABD=π12，∠BDC=π4解得AD=√3−1，故S△ABD=12⋅AB⋅AD⋅sin2π3=12⋅2⋅(√3−1)⋅√32=3−√32．如图，在三棱锥P−ABC中，△PAC为正三角形，M为棱PA的中点，AB⊥AC，AC=12BC，平面PAB⊥平面PAC（1）求证：平面ABC ⊥平面PAC ；（2）若Q 是棱AB 上一点，PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为√217，求二面角Q −MC −A 的正弦值．【解答】证明：因为△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，所以CM ⊥PA ，又平面PAB ⊥平面PAC ，且平面PAB ∩平面PAC ＝PA ，所以CM ⊥平面PAB ，所以CM ⊥AB ，又AB ⊥AC ，且AC ∩CM ＝C ，所以AB ⊥平面PAC ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PAC ．作AC 中点O ，连OP ，由（1）及OP ⊥AC 可知OP ⊥平面ABC以O 为坐标原点，OA ，OP 分别为x ，z 轴，过O 且平行于AB 的方向为y 轴，如图，建立空间直角坐标系．设AC ＝2则O(0,0,0),P(0,0,√3),A(1,0,0),C(−1,0,0)，M(12,0,√32),B(1,2√3,0)，设AQ →⊥λAB →，则Q(1,2√3λ,0)，PQ →=(1,2√3λ,−√3)，设平面ABC 的法向量为n 1→=(0, 0, 1)，因为PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为√217所以|n 1→⋅PQ →||n 1→||PQ →|=√217，即√3√12λ2+4=√217，解得λ=12即Q 为AB 的中点，则Q(1,√3,0)，设平面QMC 的法向量为n 2→=(x, y, z)，则{n 2→⋅CQ→=0n 2→⋅CM→=0，即{(x,y,z)⋅(2,√3,0)=0(x,y,z)⋅(32,0,√32)=0 ，{2x +√3y =03x +√3z =0，取n 2→=(√3,−2,−3)，设平面AMC 的法向量为n 3→，则n 3→=(0, 1, 0) 则二面角Q −MC −A 的余弦值为cosθ=−n 2→⋅n 3→|n 2→||n 3→|=12，故sinθ=√32．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P(2,√2)，离心率为√22．（1）求E 的方程；（2）过点P 斜率为k 1，k 2的两条直线分别交椭圆E 于A ，B 两点，且满足k 1+k 2＝0．证明：直线AB 的斜率为定值．【解答】依题意，e =ca=√1−b 2a =√22，所以b 2a =12，又椭圆E 过点P(2,√2)，所以4a 2+2b 2=1，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．证明：方法一：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AP 的方程为y =k(x −2)+√2，由{y =k(x −2)+√2x 2+2y 2=8，消去y 得(2k 2+1)x 2−(8k 2−4√2k)x +8k 2−8√2k −4=0，所以x 1+x P =x 1+2=8k 2−4√2k 2k 2+1，所以x 1=4k 2−4√2k−22k 2+1，又因为直线PA ，PB 的斜率互为相反数，x 2=4k 2+4√2k−22k +1，2√2)−(kx 1√2)x 2−x 121x 2−x 18k 2−42k 2+1⋅(−k)+4k 8√2k 2k 2+1√22，所以直线AB 的斜率为定值√22．已知函数f(x)=lnx +ax +x ．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）对任意的x ∈(12,+∞)，xf(x)<e x +x 2恒成立，请求出a 的取值范围．【解答】f ′(x)=1x −ax 2+1=x 2+x−a x 2，x >0，当a ≤0时，f ′(x)>0，f(x)在(0, +∞)递增；当a >0时，对于y ＝x 2+x −a ，△＝1+4a >0，故y ＝0有在x >0时，有一个解m =−1+√1+4a2，当x ∈(0, m)时，f ′(x)<0，f(x)递减；当x ∈(m, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)递增；综上，当a ≤0时，f(x)在(0, +∞)递增；当a >0时，f(x)在(−1+√1+4a2, +∞)递增；在(0, −1+√1+4a2)递减；根据题意，任意的x ∈(12,+∞)，xf(x)<e x +x 2恒成立，即xlnx +a <e x ，分离参数得a <e x −xlnx ，令g(x)＝e x −xlnx ，x ∈(12,+∞)，g ′(x)＝e x −lnx −1，g ′′(x)=e x −1x 单调递增，g ′′(12)=√e −2<0，g ′′(1)＝e −1>0，故存在唯一的零点n ∈(12,1)，e n =1n ，当x ∈(12, n)时，g ′′(x)<0，g ′(x)递减，当x ∈(n, +∞)时，g ′′(x)>0，g ′(x)递增，故g ′(x)min ＝g(n)=e n −lnn −1=1n +n −1>2−1=1>0，故g(x)在x ∈(12,+∞)递增，故a <g(12)=√e −12ln 12=√e +21n2．某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z 来衡量产品的质量．当Z ≥8时，产品为优等品；当6≤Z <8时，产品为一等品；当2≤2<6时，产品为二等品第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标z 的条形图．用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率．（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X 元，求X 的分布列与数学期望：（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖“活动，客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是12．方格图上标有第0格、第1格、第2格…50机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从k 到k +1），若携出反面，机器人向前移动两格（从k 到k +2），直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营“，则可获得优惠券，设机器人移到第n 格的概率为P n (0≤n ≤50, n ∈N ∗)，试证明{P n −P n+1}(1≤n ≤49, n ∈N ∗)是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买：该款产品．【解答】根据条形图可知，优等品的频率为121+87+42500=12，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的概率为P =12．由（1）任取一件产品为优等品的概率为12，由题意X ＝(1600−1000)×80−250×4＝47000．或X ＝(1500−1000)×80−250×4＝39000．P(X ＝47000)=∁44(12)4+∁43(12)4=516． P(X ＝39000)=∁40(12)4+∁41(12)4+∁42(12)4=1116．故X 的分布列为：所以数学期望EX ＝47000×516+39000×1116=41500．机器人在第0格为必然事件，P 0＝1，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率P 1=12．机器人移到第n(2≤n ≤49)格的情况只有两种： ①先到第n −2格，又出现反面，其概率12P n−2， ②先到第n −1格，又出现正面，其概率12P n−1．所以P n =12P n−1+12P n−2，故P n −P n−1=−12(P n−1−12P n−2)，所以1≤n ≤49时，数列{P n−1−P n−2}为首项P 1−P 0=−12，公比为−12的等比数列．所以P 1−P 0=−12，P 2−P 1=(−12)2，P 3−P 2=(−12)3，……，P n −P n−1=(−12)n ．以上各式累加，得P n −1=−12+(−12)2+(−12)3+⋯+(−12)n=−12[1−(−12)n ]1−(−12)．∴P n =23+13(−12)n．(n ＝0, 1, 2,……,49)．∴获胜概率P 49=23+13(−12)49．失败概率P 50=12P 48=13[1−(−12)49]=13[1+(12)49]．P 49−P 50=23+13(−12)49−13[1+(12)49]=13[1−(12)48]>0，所以获胜概率更大，故此方案能吸引顾客购买该款产品．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．在极坐标系中，射线l:θ=π6与圆C:ρ＝2交于点A ，椭圆E 的方程为：ρ2=31+2sin θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角标系xOy ．（1）求点A 的直角坐标和椭圆E 的直角坐标方程；（2）若B 为椭圆E 的下顶点，M 为椭圆E 上任意一点，求AB →⋅AM →的最大值．【解答】∵射线l:θ=π6与圆C:ρ＝2交于点A ，∴点A 的直角坐标(√3,1)，∴椭圆E 的方程为ρ2=31+2sin 2θ，∴直角坐标方程为x 23+y 2=1．由（1）椭圆E 的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ，（θ为参数）．设M(√3cosθ,sinθ)， ∵B(0, −1)，∴AB →=(−√3,−2)，AM →=(√3cosθ−√3,sinθ−1)，∴AB →⋅AM →=−3cosθ+3−2(sinθ−1)=−√13sin(θ+φ)+5，当sin(θ+φ)＝−1时，AB →⋅AM →的最大值为√13+5．已知函数f(x)＝|x +a|+2|x −1|(a >0)．（1）当a ＝1时，求不等式f(x)>4的解集；（2）若不等式f(x)>4−2x 对任意的x ∈[−3, −1]恒成立，求a 的取值范围．【解答】当a ＝1时，f(x)＝|x +1|+2|x −1|，∴f(x)>4等价于{x ≤−1−3x +1>4 或{−1<x ≤1−x +3>4 或{x >13x −1>4 ，解得x <−1或x >53，∴不等式的解集为{x|x <−1或x >53}；当x ∈[−3, −1]时，由f(x)>4−2x 得|x +a|+2−2x +2x −4>0 即|x +a|>2，∴a >2−x 或a <−2−x 对任意的x ∈[−3, −1]恒成立，又(2−x)max ＝5，(−2−x)min ＝−1， ∴a <−1或a >5，又a >0，∴a >5， ∴a 的取值范围为：(5, +∞)．。

湖南省岳阳市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学(理)试题(解析版)

2020届高三月考试题（三）数学（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

4.本试题卷共4页。

如缺页，考生须声明，否则后果自负。

5.时量120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{A =，{1,}B m =，若集合A B 有4个子集，则实数m =（）A. 0、1或3B. 1或3C. 1D. 0或3【答案】D 【解析】【分析】集合AB 有4个子集，则3m =或m =【详解】由题集合A B 有4个子集，所以A 与B 的交集有两个元素，则3m =或m =当m =可得0m =或1，当1m =时，集合{1,3,1}A =，{1,1}B =，不满足集合的互异性，故0m =或3．【点睛】本题主要考查集合中元素的关系，属于简单题．2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（） A. 复数z 的实部为3B. 复数z 的共轭复数为：342525i +C. 复数z 部虚部为：425i - D. 复数z 的模为5【答案】B 【解析】【分析】将复数化为z a bi =+形式，则实部为a ，虚部为b ，共轭复数为z a bi =-，模为z =．【详解】()()1343434343434252525i i z i i i i --====-++-，则实部为325，虚部为425，共轭复数为：342525i +，模为15．选B.【点睛】本题考查复数的基本运算，属于简单题．3.若向量()1,2a =，()1,1b =-，则2a b +与a b -的夹角等于（） A. 4π-B.6π C.4π D.34π 【答案】C 【解析】【分析】利用坐标表示出2a b +和a b -，根据向量夹角公式直接求解即可得到结果. 【详解】由题意得：()23,3a b +=，()0,3a b -=()()2cos 2,2992a b a b a b a b a b a b+⋅-∴<+->===++⋅- 又[]2,0,a b a b π<+->∈ 2,4a b a b π∴<+->=本题正确选项：C【点睛】本题考查利用向量数量积和模长求解向量夹角的问题，关键是能够熟练掌握向量数量积和模长的坐标运算.4.下列命题中，真命题是（） A. 0a b +=的充要条件是1ab=- B. 1a >，1b >是1ab >的充分条件 C. 00,0xx R e ∃∈… D. 2,2xx R x ∀∈>【答案】B 【解析】【分析】逐项分析即可．【详解】A 中， 00a b b +=⎧⎨≠⎩的充要条件是1ab =-．A 错B 中， 1a >，1b >可以得到1ab >，当1ab >时，不一定可以得到1,1a b >>．故正确C 中，,0x x R e ∀∈>．C 错D 中，2x ∃=，4x =，22x x =．D 错，所以选B.【点睛】本题考查充要条件以及全称命题与特称命题的真假，属于简单题．5.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A. －1 B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】()()1tan171tan28++00000000001tan17tan 28tan17tan 281tan(1728)(1tan17tan 28)tan17tan 28=+++=++-+000001tan 45(1tan17tan 28)tan17tan 282=+-+=，选D.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.6.已知等比数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}2log n a 的前11项和等于（）A. 1023B. 55C. 45D. 35【答案】B 【解析】【详解】因为等比数列{n a }的前n 项和21nn S =-，11211a s ==-=所以当2n …时，112n n n n a s s --=-=， 11a =也适合上式,即n a =12n -，所以2log n a =()12log 2n -=n −1，故所求值为()11010552+=，故选B.7.已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值为（）A. 1B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到228||BF AF AB +=-，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时||AB 最小，把||AB 的最小值2b 代入228||BF AF AB +=-，由22BF AF +的最大值等于5可求b 的值．【详解】由02b <<可知，焦点在x 轴上，∴2a =，∵过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，∴22112248BF AF BF AF a a a +++=+== ∴228||BF AF AB +=-．当AB 垂直x 轴时||AB 最小，22BF AF +值最大，此时222||b AB b a==，∴258b =-，解得b =C ．【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是得出22114BF AF BF AF a +++=，属于一般题．8.已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（）A.54π B.34π C.2π D.3π 【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.【详解】函数()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值，由()4262x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈；其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==．故选：C ．【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()1? {0? x f x x =，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1ff x =；②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立；④存在三个点()()()()()()112233A x f xB x f xC x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】试题分析：如x 为有理数，则(())(1)1f f x f ==；如x 为无理数，(())(0)1f f x f ==，故①正确；如x为有理数，则x -为有理数，则()1()f x f x -==，如x 无有理数，则x -为无理数，则()0()f x f x -==，故②正确；如x 为有理数，则T x +为有理数，则()1()f T x f x +==，如x 无有理数，则T x +为无理数，则()1()f T x f x +==，故③正确；令1230x x x ===，则123()()0,()1f x f x f x ===，此时三角形ABC 为等边三角形，所以④正确；故选A.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值.10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()(2)0f x f x +-=．若当[0,1)x ∈时，()21xf x =-，则12log 6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A. 12-B. 52-C. 5-D. 6-【答案】A 【解析】【分析】判断()f x 的周期为2，判断12log 6的范围，利用周期性和奇偶性得出答案．【详解】由()(2)0f x f x +-=可得()(2)f x f x =--，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()(2)f x f x =-，所以函数的最小正周期为2．又因为111222log log 64log 8<<，即1262log 3-<-<，所以122lo 1g 60+-<<，即1220log 13-<<，则1122233log 6log log 22f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为函数是奇函数，所以22331log log 222f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．选A 【点睛】本题主要考查函数的周期性和奇偶性，属于一般题．11.已知角3(,)2παπ∈，(0,)2πβ∈，且满足tan cos 1sin αββ=+，则β=（）（用α表示）．A. 122απ-B. 522πα-C. 522απ-D. 322απ-【答案】C 【解析】【分析】由已知得sin 1sin cos cos αβαβ+=，整理得sin()cos αβα-=，结合题意与诱导公式可得3(,)22ππαβ-∈，(,)22ππαπ-∈--，sin()sin[2()]2παβπα-=+-，进而得出答案．【详解】由已知得sin 1sin cos cos αβαβ+=，所以sin cos cos (1sin )αβαβ=+，即sin()cos αβα-=．结合诱导公式得sin()sin()2παβα-=-．因为3(,)2παπ∈，(0,)2πβ∈，所以3(,)22ππαβ-∈，(,)22ππαπ-∈--．由诱导公式可得sin()sin[2()]2παβπα-=+-，易知32()(,)22ππαππ+-∈．因为sin y x =在3(,)22ππ上单调递减，所以2()2παβπα-=+-，即522βαπ=-．【点睛】本题主要考查三角函数的公式的应用以及求角的范围问题，属于一般题．12.函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（）A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)1,+∞ D. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A由题意设()()xf xg x e=，则()()1()x f x f x g x e x -'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x -=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()xf xg x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）13.已知等比数列{}n a 的各项都为正数，且3a ，512a ，4a 成等差数列，则4635a a a a ++的值是________．．【分析】设等比数列的公比为q ，且0q >，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q ，再由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．【详解】设等比数列的公比为q ，且0q >，因为3a ，512a ，4a 成等差数列，所以354a a a =+，则2333q a a a q =+，化简得210q q --=，解得q =，所以45563353a a a a q a a q q a a ++===++【点睛】本题主要考查等差中项的性质以及等比数列的通项公式，属于一般题．14.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)2x y a b a b -=>>的焦点相同，则双曲线渐近线方程为：____________．【答案】3y x =±．【解析】【分析】将双曲线方程化为标准形式，由题可得22221122a b a b -=+，即223a b ==线方程．【详解】依题意椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)2x y a b a b -=>>的焦点相同，即与22221(0,0)22x y a b a b-=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+，即223a b =，∴b a ==,x y y x ==．【点睛】本题考查双曲线与椭圆的标准方程以及求双曲线的渐近线方程，属于一般题．15.2015年北京庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为______米.【答案】30 【解析】【详解】设旗杆的高度为x 米，如图，可知1806015105ABC ∠=--=，301545CAB ∠=+=，所以1801054530ACB ∠=--=，根据正弦定理可知sin 45sin 30BC AB=，即BC =所以sin 60x BC ==，所以30x ==米.点睛：1．解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模(准确地画出图形)——求解——检验作答． 2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值． 3．解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．16.已知函数12()12f x =⎨⎪⎪⎩的图像与函数31()2g x kx =+的图像有三个交点A 、B 、C ，且0AB CB +=，记三个交点的横坐标之和为a ，纵坐标之和为b ，则1()2ba f x dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰________．【答案】3π+．【解析】【分析】由题可知两个函数均是单调函数且都关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，又由A 、B 、C 三点的关系得：点A 、C 关于点B对称，而点B 就是两个函数的公共对称中心10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0a =，32b =，进而得出积分．【详解】分析可知：两个函数均是单调函数且都关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，又由0AB CB +=得AB CB =-，即点A 、C 关于点B 对称，而点B 就是两个函数的公共对称中心10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0a =，32b =，))02()20x f x x ≤≤=-≤<⎪⎩，图形为圆心是()1,0，半径是1的圆的上半部分与圆心为()1,0-，半径是1的圆的下半部分，可得32011()()22ba f x dx f x dx ⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所求的积分为圆心是()1,0，半径是1的圆的上半部分与直线32x =，x 轴所围面积，如图所示其中1AB AD ==，12AC =，所以22,33BAD CAD ππ∠=∠=，CD =，所以扇形BAD 的面积21121233S ππ=⨯⨯=，三角形ACD 的面积为2112228S =⨯⨯=，故所求的积分值为3π+．【点睛】本题考查定积分，解题的关键是得出两个函数均是单调函数且都关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，属于一般题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：60分.17.已知向量(3sin ,cos())3m x x π=+，5(cos ,sin())6n x x π=+，记函数()f x m n =⋅．（1）求不等式1()4f x >的解集；（2）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3()24A f =且sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，1b =，求ABC ∆的面积S 的值．【答案】（1）2,,3k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2【解析】【分析】（1）由题可得11()sin(2)262f x m n x π=⋅=-+，所以不等式1()4f x >可化为：1sin(2)62x π->-，进而得出答案．（2））由（1）知：3()24A f =，解得3A π=，由正、余弦定理及1b =得：222222cos a c b b c a bc A+==⎧⎨+-=⎩，从而得出1a c ==，再求出ABC ∆的面积S 的值．【详解】（1）由(3sin ,cos())3m x x π=+，5(cos ,sin())6n x x π=+得：2()(3sin ,cos())(cos ,cos())cos cos ()333f x m n x xx x x x x πππ=⋅=+⋅+=++1cos2()1111322cos22sin(2)222442262x x x x x x ππ++=+=--+=-+． ∴不等式1()4f x >可化为：1sin(2)62x π->-，∴7222666k x k πππππ-<-<+，k Z ∈．即：2,3k x k k Z πππ<<+∈，∴不等式的解集为：2,,3k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）由（1）知：113()sin()22624A f A π=-+=，∴1sin()62A π-=，又∵02A π<<，∴663A πππ-<-<，∴66A ππ-=，∴3A π=因为sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，所以2sin sin sin B A C =+ 再由正、余弦定理及1b =得：222222cos a c b b c a bc A+==⎧⎨+-=⎩，∴21()()a c c a c a c+=⎧⎨++-=⎩，∴1a c ==所以ABC ∆是正三角形，故S =【点睛】本题以向量为背景考查三角函数的基本公式以及解三角不等式，考查正、余弦定理和三角形的面积计算，属于一般题．18.如图所示，已知正方形ABCD 所在平面垂直于矩形ACEF 所在的平面，AB 与AC 的交点为O ，M 、P 分别为AB 、EF 的中点，2AB =，1AF =．（1）求证：平面PCD ⊥平面PCM ．（2）求三棱锥O PCM -的高．【答案】（1）详见解析（2【解析】【分析】（1）先由题证得PO ⊥平面ABCD ，再由数量关系得出PM PC ⊥，PM PD ⊥，进而证得平面PCD ⊥ PM ，最后根据面面垂直判定定理证明平面PCD ⊥平面PCM ．（2）利用等体积转化O PCM P COM V V --=即可求出答案．【详解】（1）在正方形ABCD 中，∴O 是AC 的中点，又P 是EF 的中点，而正方形ABCD 所在平面垂直于矩形ACEF 所在平面，∴PO ⊥平面ABCD由已知2AB =，1AF =得PC PD ==CM DM ==PM =∴222CM PC PM =+，222DM PD PM =+ ∴PM PC ⊥，PM PD ⊥，又PC PD P ⋂= 所以平面PCD ⊥ PM ，因为PM ⊂平面PCM 故平面PCD ⊥平面PCM（2）设三棱锥O PCM -的高为h ，由（1）可得，11111113326P COM COM V S PO -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=，∴16O PCM P COM V V --==的又在PCM ∆中∴PM PC ⊥，PC =，PM =12PCM S ∆==∴1113326O PCM PCM V S h h -∆==⋅⋅=，故6h = 【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用等体积转化法求锥体的高，属于一般题．19.时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚的美好时刻。

湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第二次质检数学(理)试题(解析版)

高三年级第二次质检考试数学试卷（理科）时量：120分钟分值：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则z的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由得到故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合B={x|x＜0}，∴A∩B=．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在中，“”则，则，由倍角公式可得，可得，反之也成立，所以在中，“”是“”的充分必要条件，故选C.考点：正弦定理与倍角公式.4.如图，是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率的程序框图，是圆周内的点的次数，当大于时，圆周内的点的次数为，总试验次数为，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是，故选B.考点：程序框图的应用.5.从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（）A. 70B. 140C. 420D. 840【答案】C【解析】试题分析：先分组：“个男个女”或“个女个男”，第一种方法数有，第二种方法数有.然后派到桑格不同的地区，方法数有种.考点：排列组合.6.已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据题意，由偶函数的性质可得sin（x+α）=cos（-x-β），进而利用三角函数的和差公式化简可得sinxcosα+cosxsinα=cosxcosβ-sinxsinβ，分析可得sinα=cosβ，cosα=-sinβ，由三角函数诱导公式分析可得α=β+，分析选项即可得答案．【详解】根据题意，设x＞0，则-x＜0，则有f（x）=sin（x+α），f（-x）=cos（-x-β），又由函数f（x）是偶函数，则有sin（x+α）=cos（-x-β），变形可得：sin（x+α）=cos（x+β），即sinxcosα+cosxsinα=cosxcosβ-sinxsinβ，必有：sinα=cosβ，cosα=-sinβ，分析可得：α=β+，分析选项只有B满足α=β+，故选：B．【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及三角函数和差公式的应用，关键是利用偶函数的性质，得到关于α、β的三角恒等式．7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 54B. 60C. 66D. 72【答案】B【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是由一个底面为直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥而得到的，其直观图如图所示，所以该几何体的表面积为，故选B．考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点晴】在解答根据空间几何体三视图求其体积或表面积问题中，先从三视图的俯视图入手，如果俯视图是圆，几何体为圆锥或三圆柱，如果俯视图是三角形，几何体为三棱柱或三棱锥．解答此类问题的关键是正确还原出该几何体的直观图．【此处有视频，请去附件查看】8.已知P是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∴，得：，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为故答选B【点睛】本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．9.设实数x，y满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【详解】作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是即∈，令t＝，则，又在t∈上单调递增，得u∈．故选：A．【点睛】本题考查线性规划、利用函数的单调性求最值，注意换元法的应用．10.如图，在长方体中，，，而对角线上存在一点P，使得取得最小值，则此最小值为（）A. 2B. 3C.D.【答案】D【解析】【分析】把对角面A1C绕A1B旋转至使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1并求出，就是最小值．【详解】把对角面A1C绕A1B旋转至使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1，在中，，则的最小值为：，故选：D．【点睛】本题考查两线段长的最小值的求法，考查正方体的结构特征、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.【此处有视频，请去附件查看】12.已知实数，若关于x的方程有三个不同的实根，则t的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出函数的图象如图所示，的对称轴为，若原方程有个不同的根，则在内有且仅有个值，由对称轴可知，另外一个根，在内，即方程，在内各有一个根，，故选A.【方法点睛】巳知函数的零点个数求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（一元二次方程根的分布不同，可列出相应的不等式组），再通过解不等式确定参数范围;②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.设，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）【答案】210【解析】试题分析：根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．因为展开式中通项令∴展开式中的常数项为考点：二项式定理的应用14.已知向量，满足，，则向量在方向上的投影为______．【答案】【解析】由，得，故在方向上的投影为.15.若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是______．【答案】【解析】试题分析：由，则，且，又，所以切线方程为，即，又因为切线与圆相切，所以，即，因为，所以，所以，所以，所以的最大值是.考点：导数在函数中的应用.【方法点晴】本题主要考查了导数在函数解题中的应用，其中解答中涉及到利用导数求解曲线上某点的切线方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查两学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.16.的最大值是3，的图像与y轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则______．【答案】4033【解析】试题分析：，最大值，解得，周期，因此，得，，由于过点，，即，，，在一个周期内，.考点：1、三角函数的化简；2、函数的周期性的应用.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在锐角中，已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积的运算以及余弦定理求得a2+b2=2c2，由此利用正弦定理、两角和的正弦公式、化简要求的式子，可得结果．（Ⅱ）根据，a2+b2=2c2≥2ab，利用基本不等式，求得cosC的取值范围．【详解】（Ⅰ）依题意得，，即．．（Ⅱ），此时时，取到若，不妨设，则，即．又因为为锐角三角形，所以，所以．于是，则．综上可知，的取值范围是．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理和余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．18.已知数列的前n项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为，，点在直线上，若对任意的，使不等式成立，求实数m的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】【分析】（I）利用等递推式、比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）由题意得，，利用等差数列的通项公式可得：T n，进而得到．令，利用“错位相减法”可得M n，利用（M n）min≥m．即可得出．【详解】（Ⅰ）∵①∴②∴②－①得∴，即，∴成等比数列，公比为2．∴．（Ⅱ）由题意得，，∴成等差数列，公差为．首项，∴，，当时，，当时，成立，∴．∴，令，只需．∴③④③－④得，∴．∵．∴为递增数列，且n=1时取最小值1，∴．∴，实数m的最大值为1．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有％的把握认为平均车速超过的人与性别有关．人数人数（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：，其中.【答案】（Ⅰ）表格见解析，有关（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据题目中的数据，完成列联表，求出K2=8.13＞7.879，从有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．（Ⅱ）记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，推导出X服从二项分布，即，由此能求出在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h．【详解】（Ⅰ）人数人数因为，所以有％的把握认为平均车速超过与性别有关；（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，X的分布列为．【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查概率的求法及应用，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.如图，在梯形ABCD中，，，，平面平面ABCD，四边形ACFE是矩形，，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：平面ACFE；（Ⅱ）当EM为何值时，平面？证明你的结论；（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，即可证明：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）根据线面平行的判定定理，确定EM的长度，然后根据AM∥平面BDF的判定定理即可得到结论．（Ⅲ）由（Ⅰ）知CF，CA，CB两两垂直，以点C为原点，CA，CB，CF所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求二面角的平面角的余弦值．【详解】（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵，，，∴，∴，又∵平面平面ABCD，平面平面，∴平面ACFE．（Ⅱ）当时，平面BDF，在梯形ABCD中，设，连接FN，则，∵∽，∴∵，而，∴，，∴四边形ANFM是平行四边形，∴，又∵平面BDF，平面BDF，∴平面BDF．（Ⅲ）由（Ⅰ）知CF，CA，CB两两垂直，以点C为原点，CA，CB，CF所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则，，，，，∵，，设平面BEF的法向量，则，，同理可得平面EFD的法向量为，（10分）所以．又二面角的平面角为锐角，所以的平面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，考查利用空间向量求二面角，要求熟练掌握常用的判定定理和性质定理．21.已知函数，，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若的最大值为M，存在最小值N，且，求证：．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（1）先求，讨论和两种情况，分别令得减区间，得增区间；（2）由（1）可知，且，（为的极值点），由题设，即，将代入上式，得，则。

湖南省示范高中——岳阳市岳化一中2020届高三数学(理)月考试卷2020.9.6

湖南省示范高中——岳阳市岳化一中2020届高三数学（理）月考试卷2020.9.6一、选择题：（每小题5分，共50分. 注意：答案请填入答卷上相应的答题框内．．．．．．．．．．．．．．．） 1．已知i 为虚数单位，则2212211i i i i +-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭（）A ．－3+4i B. 0 C.－4+3i D.－4－3i2．节假日时，国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信问候的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别是8，15，14，3（人），通常情况下，小李应收到同事问候的信息条数为（）A ．27B ．37C ．38D ．８3．2lg 0.11x >是||1x <的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件4．设随机变量ξ的方差是ξD ，则)(b a D +ξ（b a ,为常数）等于（） A.b aD +ξ B.b D a +ξ2 C.ξD a 2 D.ξaD5．曲线f (x )=x 3－2在P 0点处的切线平行于直线y =3x －1,则P 0点的坐标为（）A.(1，0)B.(2，8)C.(1，－1)和(－1，－3)D.(2，8)和(－1，－4)6. 某一供电网络有n 个用电单位,若每个单位在一天中用电的概率是p ,那么供电网络中一天平均用电的单位个数是（）A.np (1－p )B.npC.nD.p (1－p )7．若(1+5x )n 的展开式中各项系数之和为a n ,(7x 2+5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ,则∞→n lim nn nnb a b a 432+-的值是（） A.1B.－21C.31 D.41 8．给定集合A B 、，定义 {|,,}A B x x m n m A n B ==-∈∈※.若 {4,5,6},{1,2,3}A B ==，则集合 A B ※ 中的所有元素之和为（） A . 15 B . 14 C . 27 D . -149．已知20ax bx c ++=r r r r 是关于x 的一元二次方程，其中,,a b c r r r是非零向量，且a r 与b r 不共线，则方程（） A. 可能有无数个实数解 B. 至多有两个实数解 C. 至少有一个实数解 D. 至多有一个实数解10．若投掷一枚骰子3次，则最大数与最小数的差为5的概率是（）A.12B.13C.16D.536二、填空题：（每小题5分，共25分. 注意：答案请填入答卷上相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．）11．32ax >+的解集为(4, b ),则a b ⋅=_________12．[lim x x →-∞=13．从正方体的八个顶点中任取4个点，其中4点恰能构成三棱锥的概率为14．任意两正整数m 、n 之间定义某种运算⊕，m ⊕n=((m n m n mn m n +⎧⎨⎩与同奇偶）与异奇偶）,则集合M={(a,b)|a ⊕b=36,a 、b ∈N *}中元素的个数是___________15．下列4个命题：①命题“若Q 则P ”与命题“若非P 则非Q ”互为逆否命题；②“am 2<bm 2”是“a<b ”的必要不充分条件；③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假；④命题“∅∈{1,2}或4∉{1,2}”为真命题.其中真命题的序号是是：_______ 三、解答题：（本大题有6小题，共75分. 注意：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．, ．解答．．请填入答卷上相应的答题框内．．．．．．．．．．．．．） 16．(本小题满分12分) 设命题P ：关于x 的不等式2221x ax a a -->(a>0且a ≠1)的解集为{x|-a< x< 2a}；命题Q ：y =lg(ax 2-x+a)的定义域为R.如果P 或Q 为真，P 且Q 为假，求a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）在湖南卫视的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题.若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14. (1)记先回答问题A 的奖金为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？(2)你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由.18．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （I ）证明PA ⊥平面ABCD ；（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.19．（本小题满分13分）已知一次函数f x ()的图象关于直线x y -=0对称的图象为C ，且[]f f ()11=-，若点()n a a n N n n ，+⎛⎝⎫⎭⎪∈1*在曲线C 上，并有()a a a aa n n n n n 111112=-=≥+-，．①求f x ()的解析式及曲线C 的方程； ②求数列{}a n 的通项公式；③设()S a a a a n n n=+++++1233452!!!!…，求lim n n S →∞的值．20．（本小题满分13分）设函数()()3213f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点()()()()1,1,,A f B m f m 处的切线的斜率分别为0，a -.（Ⅰ）求证：01;ba≤< （II ）若函数()f x 的递增区间为[s ，t]，求|s-t|的取值范围；（Ⅲ）若当()(),0,k .x k f x a '≥+<时k 是与a,b,c 无关的常数恒有试求的最小值21．（本小题满分13分）已知函数)(x f 满足2)1(),0(),()(=≠⋅+=⋅f b a x f b x f ax 且)2()2(x f x f --=+对定义域中任意x 都成立.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若数列}{n a 的前n 项和为n S ，}{n a 满足当1=n 时，2)1(1==f a ，当n ≥2时，)25(21)(22-+=-n n a f S n n ，试给出数列}{n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.高三数学（理）月考试卷参考答案2020.9.61-10 BAACC BCADD11. 9/2 12.-1 13.352914．41 15．①③④ 16. 解：简解：P ：0<a<1;Q ：a>1/2；P 、Q 中有且仅有一个为真，∴0<a ≤1/2或a ≥1。

湖南省岳阳市中学2020年高一数学理联考试卷含解析

湖南省岳阳市中学2020年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在四边形ABCD中，若·＝－||·||，·＝||·||，则该四边形一定是A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形参考答案：A2. 已知，则数列是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列参考答案：A3. sin1830°=A. B. C. D.参考答案：D【分析】本题首先可以将1830°转化为，然后可以根据公式对进行化简，即可得出结果。

【详解】，故选D。

【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的诱导公式的使用，考查的公式为，考查计算能力，是简单题。

4. 已知向量，，那么向量的坐标是（）A. B. C. D.参考答案：D 略5. 一个几何体按比例绘制的三视图如图12－8所示(单位：m)，则该几何体的体积为()A．4 m3 B． m3 C．3 m3 D． m3图12－9参考答案：C6. 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则等于( )A．{4,5} B．{2,4,5,7} C．{1,6} D．{3}参考答案：A7. 在等比数列中，，则（）A．； B．； C．； D．。

参考答案：B略8. 在△ABC中，若，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°参考答案：C【考点】HP：正弦定理．【分析】直接利用正弦定理，转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，若b=2asinB，可得sinB=2sinAsinB，由于sinB＞0，可得sinA=，可得：A=60°或120°．故选：C．9. 在△ABC中，sin A：sin B：sin C=：4：，则角C的大小为（）A．150°B．120°C．60° D．30°参考答案：A【分析】由已知及正弦定理知a：b：c=：4：，不妨设a=d，则b=4d，c=d，利用余弦定理即可解得cosC的值，结合C的范围即可得解C的值．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=：4：，∴由正弦定理知a：b：c=：4：，不妨设a=d，则b=4d，c=d，则由余弦定理可得：cosC===﹣，∵C∈（0°，180°），∴C=150°．故选：A．10. 设集合A={（x，y）|x2+y2≤|x|+|y|，x，y∈R}，则集合A所表示图形的面积为（）A．1+πB．2 C．2+πD．π参考答案：C【考点】圆方程的综合应用；Venn图表达集合的关系及运算．【专题】综合题；数形结合；分类讨论；直线与圆．【分析】根据不等式，分别讨论x，y的取值，转化为二元二次不等式组，结合圆的性质进行求解即可．【解答】解：若x≥0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤x+y，即（x﹣）x2+（y﹣）2≤，若x≥0，y＜0，则不等式等价为x2+y2≤x﹣y，即（x﹣）x2+（y+）2≤，若x≤0，y≤0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x﹣y，即（x+）x2+（y+）2≤，若x＜0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x+y，即（x+）x2+（y﹣）2≤，则对应的区域如图：在第一象限内圆心坐标为C（，），半径=，则三角形OAC的面积S==，圆的面积为×=π，则一个弓弧的面积S=π﹣，则在第一象限的面积S=π×（）2﹣2×（π﹣）=﹣+=+，则整个区域的面积S=4×（+）=2+π，故选：C【点评】本题主要考查区域面积的计算，根据条件利用分类讨论的数学数学化简条件，利用圆的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，比较复杂．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数满足条件则的最大值是________参考答案：--1 12. 若函数是偶函数，则等于______参考答案：【分析】利用偶函数的性质直接求解即可【详解】由题，又，故=故答案为【点睛】本题考查三角函数的奇偶性，熟记性质是关键，是基础题13. 满足不等式中x的集合是.参考答案：14. 在等比数列中，如果，，那么等于．参考答案：815. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2b cos C ，则的值为．参考答案： 1 略16. 如图是计算的值的程序框图．（I ）图中空白的判断框应填 **** .执行框应填 ******* ；（II ）写出与程序框图相对应的程序．参考答案：解：（I ）判断框：i <=2010；…………… 3分或执行框：S =S +i +1/i …………… 6分（II ）程序：17. 与的等差中项是。

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2020届湖南省岳阳市第一中学高三第二次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i +【答案】A【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i=++，利用复数的四则运算可以求出z .详解：由题设有512112z i i i i i=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.2．已知集合A ＝{y |y ，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞）【答案】D【解析】求函数的值域得集合A ，求定义域得集合B ，根据交集和补集的定义写出运算结果. 【详解】集合A ＝{y |y =}＝{y |y ≥0}＝[0，+∞）； B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}＝{x |x ﹣2x 2＞0}＝{x |0＜x 12＜}＝（0，12）， ∴A ∩B ＝（0，12）， ∴∁R （A ∩B ）＝（﹣∞，0]∪[12，+∞）. 故选：D . 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.3．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A【解析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ．【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．4．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】分析：根据流程图中的2aa a =+可知，每次循环a 的值应是一个等比数列，公比为32；根据流程图中的2b b =可知，每次循环b 的值应是一个等比数列，公比为2，根据每次循环得到的,a b 的值的大小决定循环的次数即可.详解：记执行第n 次循环时，a 的值记为有n a ，则有3322nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；记执行第n 次循环时，b 的值记为有n b ，则有122nn b =⨯.令3321222n n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，则有3348n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故 4n ≥，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前n 和、前n 项积等）.5．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1 B ．2C ．22D 2【答案】D【解析】设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ．【详解】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，可得222337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，设公比为q ，则()2237q a a 4q 8+==，则q =负的舍去)，故选D ．【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．6．已知函数()22018tan 1x x m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（） A ．-3 B ．-1C ．3D ．0【答案】D【解析】分析：因为题设中给出了()1f 的值，要求()1f -的值，故应考虑()(),f x f x -两者之间满足的关系.详解：由题设有()2212018tan 2018tan 11x x x m f x x x x x m m ---=-+=-+++，故有()()212f x f x x +-=+，所以()()113f f +-=，从而()10f -=，故选D.点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系.7．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v ，则AB AM⋅u u u v u u u u v等于（） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】利用已知条件，表示出向量AM u u u u r,然后求解向量的数量积．【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v，可得12.33AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r则AB AM ⋅u u u v u u u u v =12()33AB AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r =212213347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=u u u r u u u r u u u r【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．8．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（） A ．2 B ．153C ．163D ．3【答案】A【解析】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.详解：由2434120y xx y ⎧=⎨++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解，所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离，从而121d d ++的最小值为P 到直线34120x y ++=的距离3=，故12d d +的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.9．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种【答案】C【解析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合；若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；因此共有12416+=种组合. 故选C 【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型. 10．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（）A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B【解析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++ )sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.11．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u uv u u u v ，120QF QF ⋅=u u u u vu u u v ，则双曲线C 的离心率为（）A1 B 1C 2D 2【答案】D【解析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且,P Q 都位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF =⋅=u u u u v u u u u vu u u v u u u v ，可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥u u u ru u u u r,点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ，设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--，解得1122,33a c b x y +==，即22(,)33a c bP +，代入双曲线的方程可得22(2)1144a c a +-=，解得2c e a ==，故选D ．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（）①与点D 的点P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①与点D的点P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和．【详解】如图：①错误，因为1D P ===，与点D 的点P形成以1D 14圆弧MN ，长度为124⋅=； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为3⎣； ③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下，所以六个面上的正投影长度之22⎛≤= ⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号. 故选：C.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．二、填空题13．()()521a b c --的展开式中，32a b c 的系数是______.【答案】40-【解析】先将原式展开成()()5522a b c a b ---，发现()52a b -中不含32a b c ，故只研究后面一项即可得解. 【详解】()()()()5552122a b c a b c a b --=---，依题意，只需求()52c a b -⋅-中32a b c 的系数，是()225C 240-⋅-=-.故答案为：-40 【点睛】本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.14．若x ，y 满足223x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则2x y +的最小值为________.【答案】5【解析】先作出可行域，再做直线1:2l y x =-，平移l ，找到使直线在y 轴上截距最小的点，代入即得。