现代通信系统-2-建模理论-3

9 广泛应用于网络流量分析和计算机系统建模， 例如在WLAN的CSMA/CD协议分析中采用了 二维Markov模型 9 应用于时间序列分析，它不但可以处理AR模 型，而且可以处理非线性模型 9 Markov链的计算机仿真算法理论，如Gibbs抽 样和Markov Monte Carlo方法(MMC)
且
P { X n + 1 = j X 0 = i 0 , X 1 = i1 , = P { X n +1 = j X n = i }
则称Xn是一离散时间的Markov链，简称M链。 Markov链表示一个随机序列的条件概率只与 最近的系统状态有关，而与先前的系统状态无关。
8
转移概率矩阵与齐次Markov链
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连续时间Markov过程的特性
同样，对于有限状态Markov过程，已证明具有 以下性质：
¾ 正常返 (positive recurrence) 且不可约 (irreducuble) 的连续时间有限状态Markov过程，其平稳状态概 率分布存在，且满足 πQ = 0
πe = 1
¾ 连续时间的齐次 Markov 过程，在任意一个状态 j 连续滞留的时间服从参数为 − q j j 的负指数分布。
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生灭过程的状态转移图
生灭过程的状态转移概率可用下图表示。
显然，生灭过程的所有状态均互通，但在极短 的时间内，只能在两个相邻状态之间变化： 或“生”一个；或“灭”一个；或不“生”也不“灭” 故称它为生灭过程。
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更新过程
更新过程(Renewal Process)是泊松过程的推
广，事件发生的间隔仍是i.i.d，但分布函数不再 是无记忆的指数分布(可以是任意分布)。 概念
中国科学技术大学通信与信息系统专业研究生学位课
《现代通信系统》
—相关理论与新技术
第二章
信息网络建模理论(2)
中国科学技术大学 合肥 2006年2月
2-5 通信网性能分析中 常见的点过程
¾ 泊松过程 (Poisson Process) ¾ 马尔可夫过程 (Markov Process) ¾ 生灭过程 (Birth-Death Process) ¾ 更新过程 (Renewal Process) ¾ 马尔可夫更新过程 (Markov Renewal Process) ¾ 马尔可夫调制泊松过程 (MMPP)
X1 X2
Xn
T2
Tn−1
T0
T1
Tn
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更新函数
¾ 平均更新间隔时间
µ = E [ X n ] = ∫ x dF ( x ) > 0
0
∞
¾ 平均更新次数称更新函数
m ( t ) = E[ N ( t )] = ∑ nP { N ( t ) = n}
n =1
∞
= ∑ n[ Fn ( t ) − Fn+1 ( t )] = ∑ Fn ( t )
k∈S
（连续Markov过程的C-K方程） (4) pij (0) = δ ij , δ ii = 1, δ ij = 0 ( j ≠ i ) 相应的矩阵形式：
P( u + t ) = P( u)P( t ) P(0) = I, lim P( t ) = I
t →0
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转移强度与 Q 矩阵
定义瞬时转移强度
(k ) P Pi j ( n, n + k ) 通常称为k 步转移概率,简记为 i j
9
齐次Markov链
具有平稳转移概率的Markov链称为齐次 Markov 链，它可用起始状态和一步转移概率矩 阵（简称转移矩阵）来充分表示：
) pi(1 j = p i j = P ( X n +1 = j X n = i )
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生灭过程
定义 一个状态空间为 S={0, 1, 2,…} 的齐次
Markov 过程 X，若其转移强度矩阵 Q = (qij ) 满足
qij = 0, i , j ∈ S , i − j ≥ 2 qi , i +1 = λi , qi , i −1 = µi , qi , i = − (λi + µ i ), i ≥ 1 q01 = λ0 , q00 = − λ0
定义 ∀i , j ∈ S , 称 P{ X n+1 = j X n = i } = pij ( n) n , n +1 P 为 n 时刻的一步转移概率，记作 i j 。 若对 ∀i , j ∈ S , pij ( n) = pij ,即 pij 与n无关，则 称 { X n , n ≥ 0 } 为齐次Markov链。 记 P = ( pij ) ,称 P 为 { X n , n ≥ 0 } 的一步转移概 率矩阵。
2
泊松过程(Poisson process)
¾ 定义 若用N(t)表示从0开始到时刻 t 已经发生 的事件的数目，则称随机过程{N(t), t≥0}为计 数过程。 ¾ 定义 设{N(t), t≥0}为满足泊松分布性质的计 数过程，则称{N(t), t≥0}是以 λ (>0) 为参数的 泊松过程。 ¾ 泊松过程广泛应用于各种随机事件的描述或近 似，在排队论中起着非常重要的作用，在通信 网的性能分析中也得到了广泛的应用。
3
泊松过程实例
¾ 若用户的各次呼叫相互独立且不会同时有两个以上 的呼叫，则交换台所观察到的呼叫次数近似泊松过程
4
泊松过程的叠加和分解
定理 2.1 设 N 1 ( t ), N 2Biblioteka Baidu( t ), , N k ( t ) 分别是参数为λ1 , λ2 ,…, λk 的泊松过程，且相互独立，则 ∑ N j ( t ) 是一个参数为
7
离散时间Markov链
定义 设随机过程 { X n , n ≥ 0 ,} Xn取值的状态 空间 S 为有限集或可数集, 对任意 i0 , i1 , , in , ∈ S
P { X 0 = i0 , X 1 = i1 , , X n = in } > 0
, X n−1 = i n−1 , X n = i }
1 − Pii ( t ) ， i∈S qi = − qii = lim t →0 t Pij ( t ) qij = lim , i, j ∈ S , i ≠ j t →0 t 可得到转移强度矩阵(也称无穷小矩阵)：Q 矩阵
P (t ) − I Q = lim t →0 t
Q矩阵反映了概率转移矩阵P(t)在t=0处的变化速率。 同时对于齐次Markov链，可以利用其局部变化特性推断 出它的整体变化特性，这具有重要的物理意义。
∑π
i
i∈S i
=1
( πe = 1) e 是单位纵向量
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π = {π 1 ,π 2 , ,π i , }, π i 为处于 i 状态的概率分布。
连续时间Markov过程
记状态空间为 S = {0,1, 2,
}
定义1 设随机过程 X = { X ( t ), t ≥ 0} 对任意
0 ≤ t0 < t1 <
k
∑ λk 的泊松过程。
j =1
k
j =1
定理 2.2 设N(t)是参数为的泊松过程，每一发生的事件 以概率p(0 ≤ p ≤ 1) 分流到一个新的随机过程，则分流 后的子过程是一个参数为 pλ 的泊松过程。 ¾ 大量的稀有事件流，如果每一事件流在总事件流中起 的作用很小，且相互独立，则总合成流可以认为是 泊松流。
n =1 n =1
∞
∞
Fn ( t ) 是 Tn 的分布函数。 式中，
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剩余时间与工作时间
¾ 定义： Yn ( t ) = Tn − t 为剩余时间 (剩余寿命) ； Z n ( t ) = t − Tn−1为已工作时间 (使用寿命)。 ¾ 定理： 时间间隔分布为F(x)，平均更新时间为λ −1 的更新过 程，其剩余时间分布 H Y ( x )等于使用寿命的分布 H Z ( x )
¾ 对任何m, n≥0有
Pi(jn+ m ) = ∑ Pi(rn ) Pr(jm )
上式是著名的Chapman-Kolmogorov方程。 ¾ 离散时间的齐次马尔可夫链，在状态 j 连续滞 留 k 个单位时间的概率为 Pjkj (1 − Pj j ) 即连续在同一状态的滞留时间服从几何分布。
11
r
离散时间Markov链的特性
P11 P12 P21 P22 [P ] = [ pi j ] = Pn1 Pn 2
P1n P2 n Pnn
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离散时间Markov链的特性
¾ M链的一步转移概率 Pi j 必须满足条件概率的特 点： ∞
Pi j ≥ 0，
∑ Pi j = 1
j =0
22
更新过程的定义
设｛X n , n = 1, 2,
n
} 是独立同分布的非负随机变量，
分布函数均为F(x), 且F(0)<1，第 n 个点事件的发生 时间是 由
Tn = ∑ X i , n ≥ 1 (T0 = 0)
N ( t ) = sup{ n Tn ≤ t }, t ≥ 0
i =1
定义的计数过程 { N ( t ), t ≥ 0 } 称作更新过程。 式中，Tn 是第n次更新发生的时间，因此N(t)表示系 统在[0,t]中发生的更新次数。这种随机过程的统计 特性可由F(x)完全描述。
式中 λ i , µ i , i = 0, 1, 2, 分别称为出生率与死亡率， 即单位时间内出生与死亡的个数。 对生灭过程X，如果 µi = 0, i ≥ 1 称X是纯生过程； 如果 λi = 0, i ≥ 0则称为纯灭过程。
19
生灭过程的状态转移
¾ 生灭过程实际上是一个特殊的连续时间M链， 即Markov过程。生灭过程的状态转移示意可 用下图表示。
则称 X 为一个生灭过程。
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生灭过程的Q矩阵
上式写成矩阵形式
− λ0 µ 1 Q=
λ0
− (λ1 + µ1 )
λ1
− ( λ2 + µ 2 )
µ2
λ2
− ( λ3 + µ 3 ) λ3
µ3

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生灭过程的等价表示
生灭过程等价于
Pi , i +1 ( ∆t ) = λ i ∆t + ο ( ∆t ) Pi , i −1 ( ∆t ) = µ i ∆t + ο ( ∆t ) Pi , i ( ∆t ) = 1 − (λ i + µ i )∆t + ο ( ∆t ) P ( ∆t ) = ο ( ∆t ), i − j ≥ 2 i, j
¾ 矩阵表示：
[ P ( n ) ] = [ P ] [ P ( n−1 ) ] = [ P ] [ P ][ P ( n− 2 ) ] = = [ P ]n
¾ 可见，对于齐次M链来说，一步转移概率完全决定了n 步转移概率。 ¾ 非周期不可约的有限状态 M 链，其平稳状态概率分布 存在，且满足
π j = ∑ π i pij ( π = π P) π是横向量
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状态转移概率矩阵的性质
对于齐次Markov过程，利用上述定义可以验证状态转移 概率矩阵 P( t ) = { pij ( t )}( i , j ∈ S ) 满足如下性质：
(1) (2) (3) pij ( t ) ≥ 0, i , j ∈ S ;
∑ p (t ) = 1;
j∈S ij
pij ( u + t ) = ∑ pik ( u) pkj ( t ), u, t ≥ 0, i , j ∈ S ;
则称 X = { X ( t ), t ≥ 0}为连续时间的Markov链。 定义2 若对任意 u, t ≥ 0, i , j ∈ S , 有
P { X ( u + t ) = j X ( u) = i } = P{ X ( t ) = j X (0) = i } = pij ( t )
则称 X = { X ( t ), t ≥ 0}为齐次Markov链。
< t n < t n+1 , ik ∈ S , 0 ≤ k ≤ n + 1,
若 P{ X ( t k ) = ik , 0 ≤ k ≤ n} > 0, 有
P { X ( t n+1 ) = in+1 X ( t k ) = ik , 0 ≤ k ≤ n } = P{ X ( t n+1 ) = in+1 X ( t n ) = in },
5
泊松过程的叠加和分解
p 1λ p 2λ p 1λ p 2λ
λ
pk λ
pk λ
实际中经常遇到泊松流，如城市内的交通事故、 电信局的电话呼叫次数、在车站等车的乘客数、 到银行提款或存款的客户数等等。
6
马尔可夫过程(Markov Process)
¾ 一个随机过程如果具有“无记忆性”则称为马尔 可夫过程。 ¾ 马尔可夫过程应用简介