七年级数学培优专题11 设元的技巧

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七年级数学上册专题提分精练数轴上动点返回问题(解析版)

专题11 数轴上动点返回问题1．数轴上有A 、B 、C 三个点对应的数分别是-22、-10、10．动点P 从 A 出发，以每秒3个单位的速度向点C 方向移动，设移动时间为t 秒，点Q 从B 点出发，以每秒1个单位的速度向右运动， P 点到达C 点后，再立即按原速返回点A ．(1)点P 到达点B 时t = 秒，点Q 向右运动的过程所表示的数为，点P 返回的过程中所表示的数为；(2)当t 为何值时， P 、Q 两点之间的距离为4．【答案】（1）4；−10＋t ；42−3t （2）4s 或8s 或12s 或14s【解析】【分析】（1）由时间＝路程÷速度，可求t 的值，由两点距离可求解；（2）分两种情况讨论，列出方程可求解．【详解】（1）点P 到达点B 时，t ＝10223-+＝4s ，点Q 向右运动的过程中所表示的数为−10＋t ，点P 返回的过程中所表示的数为10−（3t−32）＝42−3t ，故答案为：4，−10＋t ，42−3t ；（2）当点P 到点C 之前，则有|（−10＋t ）−（−22＋3t ）|＝4，∴t ＝4或8当点P 返回时，则有|（42−3t ）−（−10＋t ）|＝4∴t ＝12或14答：当t ＝4s 或8s 或12s 或14s 时，P 、Q 两点之间的距离为4．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．已知数轴上有三点A ，B ，C 分别表示有理数26-，10-，10，动点P 从点A 出发，以1个单位长度/s 的速度向终点C 移动，设点P 移动时间为s t ．（1）用含t 的代数式表示点P 分别到点A 和点C 的距离：PA =______，PC ______．（2）当点P 运动到点B 时，点Q 从点A 出发，以3个单位长度/s 的速度向点C 运动，点Q 到达点C 后，再立即以同样的速度返回，当点P 运动到点C 时，两点运动停止．当点P ，Q 运动停止时，求点P ，Q 间的距离．【答案】（1）t ，36t -；（2）24【解析】【分析】（1）根据数轴上两点的距离即可求得答案；（2）先求得点P 从B 点到C 点的时间，进而求得点Q 运动20s 的路程，根据题意确定Q 的位置，进而求得,P Q 的距离【详解】（1）PA t =，36PC t =-故答案为：t ，36t -；（2）解：点P 从B 点到C 点的时间为20120s ÷=点Q 运动20s 的路程为32060⨯=点P ，Q 距离为60(2610)24-+=答：点P ，Q 距离为24【点睛】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键．3．如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是a 、b 、c 、d ，且d ﹣2a=14（1）那么a= ，b= ；（2）点A 以3个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点B 以4个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动．当点A 到达D 点处立刻返回，与点B 在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数；【答案】（1）6a =-，8b =-；（2）47.【解析】【分析】（1）根据数轴可知8d a =+，然后代入等式求出a 的值，再根据数轴确定出原点即可；（2）先求出A 点到达D 所需要时间，再根据相遇问题列方程求得相遇时间，再计算即可求解；【详解】解：（1）由图可知：8d a =+，214d a -=，8214a a ∴+-=，解得6a =-，则28b a =-=-；（2）由（1）可知：6a =-，8b =-，3c =-，2d =，点A 运动到D 点所花的时间为83，设运动的时间为t 秒，则A 对应的数为823()1033t t --=-，B 对应的数为：84(1)412t t -+-=-，当A 、B 两点相遇时，103412t t -=-，227t =， 44127t ∴-=．答：这个点对应的数为47；【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的坐标与距离表示方法等知识，正确表示数轴上的点的距离是解答本题的关键．4．如图，点A 从原点出发沿数轴向左运动，同时点B 从原点出发沿数轴向右运动，4秒钟后，两点相距16个单位长度，已知点B 的速度是点A 的速度的3倍．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出点A 点B 运动的速度．（2）若A 、B 两点从（1）中位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时原点恰好处在点A 点B 的正中间（3）若A 、B 两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C 同时从B 点位置出发向A 点运动，当遇到A 点后，立即返回向B 点运动，遇到B 点又立即返回向A 点运动，如此往返，直到B 点追上A 点时，点C 一直以10单位长度/秒的速度运动，那么点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少单位长度．【答案】（1）A 、B 这动的速度分别为1单位长度/秒，3单位长度/秒；（2）2秒时，原点给好处在点A 点B 正中间；（3）C 行驶的路程是80个单位长度．【解析】【分析】（1）设点A 的速度为每秒x 个单位，则点B 的速度为每秒3x 个单位，由甲的路程＋乙的路程＝总路程建立方程求出其解即可；（2）设t 秒时原点恰好在A 、B 的中间，根据两点离原点的距离相等建立方程求出其解即可；（3）先根据追击问题求出A 、B 相遇的时间就可以求出C 行驶的路程．【详解】（1）设点A 的速度为每秒x 个单位，则点B 的速度为每秒3x 个单位，由题意，得4x ＋4×3x ＝16，解得：x ＝1，所以点A 的速度为每秒1单位长度/秒，则点B 的速度为3单位长度/秒．（2）设t 秒后原点位于A 、B 点正中间．(4)(123)02t t --+-= 480t -+=2t =2∴秒时，原点给好处在点A 点B 正中间．（3）设B 点追上A 点的时间为1t 秒112(4)831t --==-（秒） ∴点C 行驶路程：10880⨯=（单位长度）C ∴行驶的路程是80个单位长度．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，数轴的运用，行程问题的相遇问题和追及问题的数量关系的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键．5．已知数轴上点A 与点B 相距12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B 在点A 的右侧，点C 表示的数与点B 表示的数互为相反数，动点P 从A 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C 移动，设移动时间为t 秒．（1）点A 表示的数为__________，点C 表示的数为_________；（2）用含t 的代数式表示P 与点A 的距离：=PA _________；（3）当点P 运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒3个单位的速度向C 点运动，Q 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，回到点A 处停止运动．①点Q 运动过程中，请求出点Q 运动几秒后与点P 相遇？②在点Q 从点A 向点C 运动的过程中，P 、Q 两点之间的距离能否为4个单位？如果能，请直接写出此时点P 表示的数；如果不能，请说明理由．【答案】（1）24-，12；（2）t ;（3）①6秒或15秒；②8-或4-或2或-2．【解析】【分析】（1）由点A 在原点的左侧，离原点的距离为24，可知点A 表示的数，继而解得点B 表示的数，，再根据相反数的定义解得点C 的坐标；（2）根据路程=速度⨯时间，可得PA ；（3）①分两种情况讨论Ⅰ：点Q 从点A 向点C 运动时，Ⅰ：点Q 从点C 返回点A 时，根据题意列一元一次方程解题即可；②分两种情况讨论，Ⅰ）点Q 从点A 向点C 运动时，Ⅰ）点Q 从点C 返回点A 时，根据题意，列一元一次方程解题即可．【详解】（1）由题意可知，点A 表示数-24，根据数轴上点A 与点B 相距12个单位长度，点B 在点A 的右侧，可得点B 表示的数是-24+12=-12因为点C 表示的数与点B 表示的数互为相反数，所以点C 表示的数是12，故答案为：-24，12；（2）根据题意得，点P 在点A 的右侧，故点P 表示的数是-24+t,=-24+t-(-24)=t PA ∴故答案为：t ；（3）①设点Q 运动x 秒与点p 相遇，Ⅰ：点Q 从点A 向点C 运动时，根据题意得：3x -x =12 （或-24+3x =-12+x ），解得：x =6；Ⅰ：点Q 从点C 返回点A 时，AC=12-（-24）=36，BC=12-（-12）=24根据题意得：3x +x =36+24或12(336)12x x --=-+，解得：x =15②分两种情况讨论，设点Q 运动x 秒与点p 相距4个单位，Ⅰ）点Q 从点A 向点C 运动时，则12+(324)4x x ---=，解得4x =或8x =，P 1=-8或P 2=-4Ⅰ）点Q 从点C 返回点A 时，12+(336)4x x ---=，解得14x =或10x =，P3 = 2或P 4 = -2【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．6．如图，点A 表示的数为﹣3，线段AB ＝12（点B 在点A 右侧），动点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB 向终点B 运动，同时，另一个动点N 从点B 出发，以每秒3个单位的速度在线段AB 上来回运动（从点B 向点A 运动，到达点A 后，立即原速返回，再次到达B 点后立即调头向点A 运动）．当点M 到达B 点时，M 、N 两点都停止运动．设点M 的运动时间为x 秒．（1）当x ＝2时，线段MN 的长为．（2）当M 、N 两点第一次重合时，求线段BN 的长；（3）是否存在某一时刻，使点BN 的中点恰好落与点M 重合，若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4；（2）9BN =；（3）当x = 9.6时，恰好重合【解析】【分析】（1）结合图形，分别表示出AM 、BN 的长，即可得MN 的长；（2）设x 秒后M ，N 重合，根据题意列出方程求解即可；（3）点BN 的中点恰好落与点M 重合分三种情况讨论，分别列出方程，求解即可．【详解】解：（1）由题意可知：AM x =，3BN x =，则124MN x =-或412MN x =-当2x =时，1244x -=，当2x =时，4124x -=-，（不合题意，舍去） ∴4MN =故答案为：4；（2）设x 秒后M ，N 重合，得：312x x +=，解得：3x =，3339BN x ==⨯=；（3）当点M 从点A 运动到B 时，用时：12112÷=秒；当点N 从点B 运动到A 时，用时：1234÷=秒；①当点N 从点B 出发后，运动到A 时，即04x ≤≤时，3122x x =-，解得：2445x =>，（舍去） ②当点N 到点A 后，从点A 到点B 过程中，即48x <<时，243122x x -=-，解得：0x =，（舍去）③当点N 返回B 点，从点B 出发运动到A 时，即812x ≤≤时，324122x x -=-，解得：9.6x =，综上可得：当9.6x =时，点BN 的中点恰好落与点M 重合．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，理解题意，利用树形结合思想进行分类讨论是解题关键．7．在数轴上原点O 表示数0，A 点表示的数是m ，B 点表示的数是n ，并且满足1050m n ++-=．（1）点A 表示的数为________，点B 表示的数为________；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒同时动点Q 从点B 出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设P 运动的时间为t 秒，并且P Q 、两点在C 点相遇．试求t 值及C 点所表示的数；（3）在（2）的条件下，若点P 运动到达B 点后按原速立即返回，点Q 继续按原速原方向运动，点P 离开B 点多少秒后，P Q 、两点的距离为4个单位长度？【答案】（1）10-，5；（2）3t =，1-；（3）6秒或14秒【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性，解得m 、n 的值，即可解题；（2）分别写出点P 、Q 所表示的数，再根据相遇时，点P 、Q 表示同一个数解题即可；（3）分两种情况讨论，当P 在Q 右边时，或当P 在Q 左边时，结合数轴上两点间的距离解题即可．【详解】（1）1050m n ++-=10+0,50m n ∴=-=10,5m n ∴=-=∴点A 表示的数为10-，点B 表示的数为5，故答案为：-10；5；（2）点P 表示的数是：10+3t -，点Q 表示的数是：52t -，根据题意得，10+3t -=52t -32510t t +=+解得3t =523=1∴-⨯-，此时C 点表示的数是1-；（3）P 从C 运动到B 时，Q 距离C 点4，点P 到达点B 时，P Q 、相距10，当P 在Q 右边时，(210)34t t +-=解得6t =当P 在Q 左边时， 3(210)4t t -+=解得14t =综上所述，当6t =或14t =时，P Q 、两点的距离为4个单位长度．【点睛】本题考查数轴、数轴上的动点，涉及绝对值、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．点A 在数轴上表示的数是-8，点在点A 的右侧，且线段AB =24（单位长度）（1）点B 在数轴上表示的数是（2）若点A 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．求几秒后点A 和点B 相距8个单位长度;（3）在（2）的条件下，有一只电子蚂蚁同时从原点出发向点A 运动，当遇到点A 后，立即返回向点B 运动，遇到点B 后立即返回向点A 运动，如此往返，直到点A 和点B 相遇时，电子蚂蚁立即停止运动．若电子蚂蚁一直以4个单位长度/秒的速度匀速运动，那么电子蚂蚁从开始到停止运动时，求蚂蚁运动的路程是多少个单位长度【答案】（1）16；（2）2秒或4秒后点A 和点B 相距8个单位长度；（3）电子蚂蚁的路程是12个单位长度【解析】【分析】（1）由题意得，88OA =-=，0OB >，即可得；（2）设经过t 秒后点A 和点B 相距8个单位长度，分情况讨论：①当点A ，B 两点相遇前，AB =8，②当点A 、B 两点相遇之后，AB =8，进行解答即可得；（3）设经过x 秒后点A 和点B 相遇，得经过3秒后点A 和点B 相遇，再用电子蚂蚁的速度乘时间即可得．【详解】解：（1）由题意得，88OA =-=，0OB >，则24824816OB AB OA =-=--=-=，即点B 在数轴上表示的数是：16，故答案为：16；（2）设经过t 秒后点A 和点B 相距8个单位长度，①当点A ，B 两点相遇前，AB =8，则62824t t ++=，816t =，解得2t =，②当点A 、B 两点相遇之后，AB =8，则62824t t +-=，832t =，4t =，综上，当AB =8时，运动时间为2秒或4秒；（3）设经过x 秒后点A 和点B 相遇，6224x x +=，3x =，即经过3秒后点A 和点B 相遇，则3412⨯=，故电子蚂蚁的路程是12个单位长度．【点睛】本题考查了数轴及其动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握灵活运用知识点，全面考虑问题可能出现的情况．9．已知数轴上两点A B 、对应的数分别为1-、3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，则点P 对应的数为_____________；（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为8？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，动点P也同时从原点出发向点A运动，当遇到点A后立即返回向点B运动，遇到点B后又立即返回向点A运动，如此往返，直到点A追上点B时，点P立即停止运动．若点P一直以2个单位长度/秒的速度匀速运动，则点P一共运动了__________个单位长度．【答案】（1）1；（2）存在，当x=-3或5时，点P到点A、点B的距离之和为8；（3）16 3【解析】【分析】（1）根据数轴上中点公式即可求出结论；（2）根据点P与点A、B的位置分类讨论，分别列出方程即可求出结论；（3）先求出AB的长，即可求出点A追上点B所用时间，从而求出点P的运动时间，再乘点P的运动速度即可求出结论．【详解】解：（1）∵A B、对应的数分别为1-、3，点P到点A、点B的距离相等∴点P对应的数为1+31 2-=故答案为：1；（2）存在当点P在点A左侧时，则PA=-1－x，PB=3－x由题意可得（-1－x）＋（3－x）=8解得：x=-3当点P在A、B之间时，则PA=x－（-1）=x＋1，PB=3－x此时PA＋PB=4≠8，故此时不符合题意；当点P在点B右侧时，则PA=x－（-1）=x＋1，PB=x－3由题意可得（x＋1）＋（x－3）=8解得：x=5综上：当x=-3或5时，点P到点A、点B的距离之和为8；（3）∵A B、对应的数分别为1-、3，∴AB=3－（-1）=4∵点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动∴点A追上点B所用时间为4÷（2－0.5）=83（秒）即点P运动的时间为83秒∴点P运动的路程为83×2=163个单位长度故答案为：163．【点睛】此题考查的是数轴与动点问题和一元一次方程的应用，掌握两点之间的距离公式、中点公式和实际问题中的等量关系是解题关键．10．如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．）当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．（1）当x=3时，线段PQ的长为．（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2）7.5；（3）当x=207或x=4或x=607时，点Q恰好落在线段AP的中点上．【解析】【分析】（1）根据运动速度以及时间分别求出点P和点Q的位置，从而得出PQ的长度；（2）设时间为x秒，然后根据题意列出方程求出x的值；（3）分三种情况分别列出方程，从而求出x的值．【详解】解：（1）由题意可知：AP=x，BQ=3x，则PQ=10-4x或4x-10当x=3时，10-4x=-2（不合题意，舍去）当x=3时，4x-10=2∴PQ=2故答案为：2；（2）设x秒后P，Q重合，得：x+3x=10解得：x=2.5PQ=3x=3×2.5=7.5（3）①x=2（10－3x）解得：x=207② x=2（3x －10）解得：x=4③ x=2（30－3x ）解得：x=607【点睛】本题考查数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，利用数形结合思想解题是关键． 11．如图1，数轴上有三点A 、B 、C ，表示的数分别是a 、b 、c ，这三个数满足()()228|4|20a b a c ++-++=，请解答：(1)=a _________，b =_________，c =_________；(2)点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，点P 以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q 以每秒1个单位长度的速度向数轴负方向运动，当点P ，Q 之间的距离为4个单位时，求运动的时间是多少秒？(3)如图2，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发向数轴正方向运动，点P 的速度每秒3个单位长度，点Q 的速度每秒1个单位长度，当点P 到达C 点时立即掉头向数轴的负方向运动，并且速度提高了13，直至点P 与点Q 相遇时两个点同时停止运动．设运动时间为t 秒，请直接写出在运动过程中点P 与点Q 之间的距离（用含t 的化简的代数式表示，并指出t 的对应取值范围）．【答案】(1)8,4,16- (2)2秒或4秒(3)06t <≤时，122PQ t =-； 68t <≤时，212PQ t =-； 4885t <≤时，445PQ t =-．【解析】【分析】（1）根据非负数的性质可得a 、b 、c 的值；（2）先用含t 的代数式表示出点P 和点Q 表示的数，再根据两点距离为4，列方程可得解；（3）分三种情况讨论：当06t <≤时；当68t <≤时；当4885t <≤时，即可求解 (1)解：∵()()228|4|20a b a c ++-++=， ∴80,40,20a b a c +=-=+=，解得：8,4,16a b c =-== (2)解：设运动时间为x 秒，依题意得，点P 表示的数是-8+3x ，点Q 表示的数是4-x ， ∴|（-8 + 3x ）-（4-x ）| = 4，解得x = 4或2，答：当P ，Q 之间的距离为4个单位时，运动的时间是4或2秒； (3)当06t <≤时，点P 表示的数是-8+ 3t ，点Q 表示的数是4+t ， ∴PQ =（4 + t ）-（-8 + 3t ）= 12-2t ；当68t <≤时，点P 表示的数是-8+3t ，点Q 表示的数是4+t ， ∴PQ =（-8 + 3t ）-（4 +t ）= 2t -12；当4885t <≤时，点P 表示的数是16-4（t -8）= 48-4t ，点Q 表示的数是4+t ， ∴PQ =（48-4t ）-（4 +t ）= 44-5t ；综上，当06t <≤时，122PQ t =-；当68t <≤时，212PQ t =-；当4885t <≤时，445PQ t =-．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，绝对值非负性，数轴上两点间的距离，会用含t 的代数式表示出点P 和点Q 表示的数是解题关键． 12．思考下列问题，并在横线上填上答案：（1）数轴上表示-3的点与表示4的点相距_______个单位．（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是 _____________．（3）数轴上若点A 表示的数是2，点B 与点A 的距离为3，则点B 表示的数是_______．（4）若|a －3|=2，|b+2|=1，且数a 、b 在数轴上表示的数分别是点A 、点B ，则A 、B 两点间的最大距离是_______，最小距离是_______．（5）数轴上点A 表示8，点B 表示-8，点C 在点A 与点B 之间，A 点以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B 以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C 以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A 后立即返回向左运动，碰到点B 后又立即返回向右运动，碰到点A 后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，经过_______秒三个点聚于一点，这一点表示的数是_________，点C 在整个运动过程中，移动了_______个单位．【答案】（1）7；（2）-1；（3）5或-1；（4）8，2；（5）8，4，24 【解析】【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，即可求解；（2）根据数轴上点的平移和其对应的数的大小变化规律：左减右加，即可求解；（3）根据数轴上两点间的距离公式，列绝对值方程即可求解；（4）利用绝对值的性质分别求得x 、y 的值，根据数轴上两点间的距离公式计算出结果，比较即可得出；（5）设经过t 秒，三个点聚于一点，根据点A 、B 运动的路程为()88--，列一元一次方程求解，利用“速度⨯时间=路程”即可求得点C 运动的路程．【详解】（1）数轴上表示-3的点与表示4的点相距|-3-4|=7个单位；故答案为：7；（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是2251+-=-；故答案为：1-；（3）数轴上若点A 表示的数是2，点B 与点A 的距离为3，设点B 表示的数为x ，则23x -＝，解得：5x =或1x =-，点B 表示的数是5或1-，故答案为：5或1-；（4）∵32a -=，21b +=， ∴a 为5或1，b 为-1或-3，则A 、B 两点间的最大距离是()538--=，最小距离是()112--=, 故答案为：8，2；（5）设经过t 秒，三个点聚于一点，由题意可得：()0.5 1.588t t +=--， ∴8t =(秒)，880.54-⨯=， 3824⨯=(个单位)，故经过8秒三个点聚于一点，这一点表示的数是4，点C 在整个运动过程中，移动了24个单位．故答案为：8，4，24．【点睛】本题考查了数轴，绝对值方程，一元一次方程的应用等知识．数轴上两点间的距离，即数轴上两点所表示的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数．数轴上点的平移和其对应的数的大小变化规律：左减右加．13．如图，在数轴上有A 、B 、C 三点，A 、B 两点所表示的有理数分别是2k -4和-2k+4，且k 为最大的负整数．点C 在A 、B 之间，且C 到B 的距离是到A 点距离的2倍，动点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达点B 后立即返回，以每秒3个单位长度的速度向左运动；动点Q 从点C 出发，以每秒l 个单位长度的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为t 秒，当点P 与点Q 第二次重合时，P 、Q 两点停止运动，（1）直接写出A 、B 、C 三点所代表的数值；A ：________B ：________C ：________ （2）当t 为何值时，P 到点A 与点Q 的距离相等；（3）当t 为何值时，P 、Q 两点间的距离为1个单位长度．【答案】（1）A ：-6；B ：6；C ：－2；（2）t=45；（3）t =32或52或19 4【解析】【分析】（1）由k 为最大的负整数可得出k 的值，进而可得出点A 、B 表示的数，由点C 在A 、B 之间，且C 到B 的距离是到点A 点距离的2倍，可得到结果；（2）由P 到点A 与点Q 的距离相等可得到关于t 的一元一次方程，解方程即可；（3）利用时间=路程÷速度求出点P 到达点B 的时间及两点第二次相遇的时间，分04t ≤≤和4＜5t ≤两种情况，利用1pq =得出方程计算即可；【详解】（1）∵k 为最大的负整数， ∴1k =-，∴点A 表示的数为6-，点B 表示的数为6，又∵点C 在A 、B 之间，且C 到B 的距离是到点A 点距离的2倍， ∴点C 表示的数为()66623---+=-；故答案是-6；6；-2．（2）依题意可得： -6+3t -(-6)=-2+t -(-6+3t)，解得：t=45．（3）点P 到达点B 的时间为()6634⎡⎤--÷=⎣⎦（秒），当点P 到达点B 时，点Q 表示的数为242-+=，点P 、Q 第二次相遇的时间为624531-+=+（秒），当04t ≤≤，点P 表示的数为63t -+，点Q 表示的数为2t -+， ∵P ，Q 两点间距离为1，∴()2631t t -+--+=或()6321t t -+--+=，解得：32t =或52t =；当4＜5t≤时，点P 表示的数为()634t --，点Q 表示的数为2t -+， ∵P ，Q 两点间距离为1， ∴()()63421t t ----+=，解得：194t =；故当t =32或52或194时，P 、Q 两点间的距离为1个单位长度．【点睛】本题主要考查了数轴的应用、一元一次方程的应用和两点间的距离，准确计算是解题的关键． 14．数轴上点A 表示的数为10，点M ，N 分别以每秒a 个单位长度、每秒b 个单位长度的速度沿数轴运动，a ，b 满足|a －3|+（b －4）2=0．（1）请直接写出a = ，b = ；（2）如图1，若点M 从A 出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点．若MP=MA，求t 的值；（3）如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为94时，求此时点M对应的数．【答案】（1）a=3，b=4；（2）t=52或154；（3）此时点M对应的数为12．【解析】【分析】（1）根据非负数的性质解答；（2）分三种情况解答：①点M未到达O时（0＜t≤2时），NP=OP=3t，AM=5t，OM=10-5t；②点M到达O返回时当（2＜t≤4时），OM=5t-10，AM=20-5t；③点M到达O返回时，即t＞4时，不成立；（3【详解】（1）∵|a－3|+（b－4）2=0．∴a－3=0，b－4=0∴a=3，b=4（2）①点M未到达O时（0＜t≤103时），NP=OP=2t，AM=3t，OM=10－3t，即2t+10－3t=3t，解得t=5 2②点M到达O返回时（103＜t≤203时），OM=3t－10，AM=20－3t，即2t+3t－10=20－3t，解得t=15 4③点M到达O返回时，即t＞203时，不成立（3）①依题意，当M在OA之间时，NO+OM+AM+MN+OA+AN=4t+3t+(10－3t)+7t+10+(10+4t)=15t+30=94，解得t=6415＞103，不符合题意，舍去；②当M在A右侧时，NO+OA+AM+AN+OM+MN=4t+10+(3t－10)+(4t+10)+3t+7t=94，解得t=4，点M对应的数为12答：此时点M对应的数为12．【点睛】此题考查一元一次的应用，非负性偶次方，数轴，清楚各个点之间距离的表示方式是解题的关键．另外要注意路程相等的几种情况．15．已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a-b|+（a-4）2=0（1）a= ，b= ，并在数轴上面出A、B两点；（2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍；（3）数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数．【答案】（1）4，16．画图见解析；（2）83或8秒；（3）点P和点Q运动4或8或9或11秒时，P，Q两点之间的距离为4．此时点Q表示的数为20，24，25，27．【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可解决问题；（2）构建方程即可解决问题；（3）分四种情形构建方程即可解决问题.【详解】（1）∵a，b满足|4a-b|+（a-4）2≤0，∴a=4，b=16，故答案为4，16．点A、B的位置如图所示．（2）设运动时间为ts．由题意：3t=2（16-4-3t）或3t=2（4+3t-16），解得t=83或8，∴运动时间为83或8秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；（3）设运动时间为ts．由题意：12+t-3t=4或3t-（12+t）=4或12+t+4+3t=52或12+t+3t-4=52，解得t=4或8或9或11，∴点P和点Q运动4或8或9或11秒时，P，Q两点之间的距离为4．此时点Q表示的数为20，24，25，27．【点睛】本题考查多项式、数轴、行程问题的应用等知识，具体的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．16．已知，如图，A 、B 、C 分别为数轴上的三个点，A 点对应的数为60，B 点在A 点的左侧，并且与A 点的距离为30，C 点在B 点左侧，C 点到A 距离是B 点到A 点距离的4倍．（1）求出数轴上B 点对应的数及AC 的距离．（2）点P 从A 点出发，以3单位/秒的速度项终点C 运动，运动时间为t 秒． ①点P 点在AB 之间运动时，则BP =_______．（用含t 的代数式表示）②P 点在A 点向C 点运动过程中，何时P 、A 、B 三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间t ．③当P 点运动到B 点时，另一点Q 以5单位/秒速度从A 点出发，也向C 点运动，点Q 到达C 点后立即原速返回到A 点，那么Q 点在往返过程中与P 点相遇几次？直接写出．．．．相遇是P 点在数轴上对应的数．【答案】（1）B 点对应的数为30；AC=120；（2）①303t -；②t 的值为5或20；③相遇2次；P 点在数轴上对应的数为－15或3484-．【解析】【分析】(1)根据A 点对应的数为60，B 点在A 点的左侧，AB=30求出B 点对应的数，根据AC=4AB 求出AC 的距离；(2)①当P 点在AB 之间运动时，根据路程=速度×时间求出AP=3t ，根据BP=AB -AP 求解； ②分P 点是AB 的中点和B 点是AP 的中点两种情况进行讨论即可；③根据P 、Q 两点的运动速度与方向可知Q 点在往返过程中与P 点相遇2次，设Q 点在往返过程中经过x 秒与P 点相遇，第一次相遇是点Q 从A 点出发，向C 点运动的途中，根据AQ -BP=AB 列出方程；第二次相遇是点Q 到达C 点后返回到A 点的途中，根据CQ+BP=BC 列出方程，进而求出P 点在数轴上的对应的数．【详解】解（1）A点对应的数为60，B ,点在A 点的左侧，并且与A 点的距离为30，∴B 点对应的数为603030-=；C 点到A 点距离是B ,点到A 点距离的4倍，∴4430120AC AB ==⨯=; （2）①当P 点在AB 之间运动时，3AP t =，303BP AB AP t ∴=-=-．故答案为303t -；。

列方程解应用题——设元的技巧

列方程解应用题——设元的技巧
题目：超市购进苹果和橙子共270个，购进的苹果多于橙子120个，苹果的单价是橙子的2倍，总共花费了650元。

求苹果和橙子的单价。

设橙子的单价为x元/个，苹果的单价为2x元/个。

购进的苹果数量=购进的橙子数量+120（方程1）
购进的苹果单价=橙子的单价×2（方程2）
购进的苹果单价×购进的苹果数量+购进的橙子单价×购进的橙子数量=650（方程3）
根据方程1，可以得到购进的橙子数量为购进的苹果数量-120。

将方程1和方程2代入方程3中，得到：
购进的苹果单价×购进的苹果数量+橙子的单价×(购进的苹果数量-120)=650
进一步化简：
(2x)×(购进的苹果数量)+x×(购进的苹果数量-120)=650
2x×购进的苹果数量+x×购进的苹果数量-120x=650
合并同类项：
3x×购进的苹果数量-120x=650
移项：
3x×购进的苹果数量=120x+650
除以3x：
购进的苹果数量=(120x+650)/(3x)（方程4）
由于购进的橙子数量=购进的苹果数量-120，将方程4代入方程1中，得到：
购进的橙子数量=(120x+650)/(3x)-120
苹果的单价为2x元/个，将此值代入方程2中，得到：
橙子的单价=(2x)/2=x元/个
因此，苹果的单价为2x元/个，橙子的单价为x元/个。

综上所述，苹果和橙子的单价分别为2x元/个和x元/个。

七年级上册数学培优题及详解答案

挑战题1、已知a ：b ：c＝2 ：3 ：4，且2a＋3b－2c＝10，求a， b，c的值。

2、麦迪在一次比赛中22投14中得28分，除了3个三分球全中外，他还投中了两分球和个罚球.3、小明、小亮、小强三个人在一起玩扑克牌，，他们各取了相同数量的扑克牌（牌数大于3），然后小亮从小明手中抽取了3张，又从小强手中抽取了2张;最后小亮说小明，“你有几张牌我就给你几张。

”小亮给小明牌之后他手中还有张牌。

4、.一个长方形的周长为26,如果长减少1,宽增加2,就可成为一个正方形,设长方形的长为,则可列方程为.5、生产某种型号的打火机．每只的成本为2元，毛利率为25%．工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15％．则这种打火机每只的成本降低了．（精确到元．毛利率即利润率）6、元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”，请你回答：良马___________天可以追上驽马.7、古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程（）8、一张试卷共25道题，做对一题得4分，做错或不做一题扣1分，小明做了全部试题，若要得70分以上，那么小明至少要做对的题数是（）9、小亮的爸爸在一家合资企业工作，月工资5500元，按规定：其中2500元是免税的，其余部分要缴纳个人所得税，应纳税部分又要分为两部分，并按不同税率纳税，即不超过1500元的部分按3%的税率；超过1500元不超过4500元的部分则按5%的税率，你能算出小亮的爸爸每月要缴纳个人所得税多少元？10、民航规定：旅客可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b 千克(b＞a)时，所交费用为Q=10b-200(单位：元).(1)小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？(2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？(3)若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m表示Q.11、某中学组织七年级学生秋游，由王老师和甲、乙两同学到客车租赁公司洽谈租车事宜.（1）两同学向公司经理了解租车的价格.公司经理对他们说：“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元.”王老师说：“我们学校八年级昨天在这个公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，你们能知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元吗？”甲、乙两同学想了一下，都说知道了价格.你知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元？（2）公司经理问：“你们准备怎样租车？”，甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，王老师在一旁听了他们的谈话说：“从经济角度考虑，还有别的方案吗？”如果是你，你该如何设计租车方案，并说明理由.12、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案.方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成.你认为选择哪种方案获利最多？为什么？13、某人承做一批零件，原计划每天做40个，可按期完成任务，由于改进工艺，工作效率提高了20%，结果不但提前了16天完成，而且超额完成了32件，求原来预定几天完成？原计划共做多少零件？14、小华家是我市第一批9万户统一换装“峰谷分时”电表的家庭之一，他们家将率先享受苏州市生活用电“峰谷分时电价”的新政策，用电价将按不同时段实行不同的价格，具体为：8点至21点为“峰时”，电价为每千瓦时0.55元；21点至次日8点为“谷时”，电价为每千瓦时0.30元，而我市原来实行的电价为每千瓦时0.52元。

七年级数学人教版(上册)小专题(十一)设元技巧在实际问题中的应用

方法二：设李伟从家出发时距离火车开车的时间为 y h，则根据路程不变，可－60)＝18(y＋60)．
解得 y＝1.
50 由此得路程为 22.5 km，22.5÷60＝27(km/h)．
答：李伟骑摩托车的速度应是 27 km/h.
2．某炼铁厂接到一批原料加工任务 425 吨，现打算调用甲、乙两条生产线完成．已知甲生产线平均每天比乙生产线多加工 5 吨．若甲生产线独立加工 20 天后，乙生产线加入，两条生产线又联合加工 5 天，刚好全部加工完毕．甲生产线平均每加工 1 吨需用电 40 千瓦·时，乙生产线平均每加工 1 吨需用电 25 千瓦·时，则完成这批加工任务需用电 16 250 千瓦·时．
第三章一元一次方程
小专题(十一) 设元技巧在实际问题中的应用
类型 1 直接设元
当题目中的数量关系能用所求的未知量表示时，不妨直接设未知数，即求什么设什么，这是设未知数常用的方法．
【例 1】两支一样长的蜡烛，同时点燃后，第一支蜡烛每小时缩短 8 cm，第二支蜡烛每小时缩短 6 cm，2 h 后第二支蜡烛的长度是第一支蜡烛的 1.5 倍．求这两支蜡烛原来的长度．
【思路点拨】分析题干可发现题目中要求的只有一个未知数．找出题目中的等量关系：“第二根原长－缩短的长度＝(第一根原长－缩短的长度)×1.5”，故可设蜡烛原来的高度为 x 厘米，列方程求解即可．
解：设这两支蜡烛原来的长度为 x cm，根据题意，得 x－6×2＝1.5(x－2×8)，解得 x＝24. 答：这两支蜡烛原来的长度为 24 cm.
1．一鞋店老板以每双 60 元的价格购进了某种品牌的布鞋 360 双，并以每双 100 元的价格销售了 240 双．冬季来临，老板为了清库存，决定促销．请你帮老板计算一下，每双鞋降价 30 元时，销售完这批鞋正好能达到盈利 50%的目标．

七年级数学竞赛培优(含解析)专题11 设元的技巧

11 设元的技巧阅读与思考应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一．应用题联系实际，反映现实生活中的数量关系，通过解应用题可以培养运用数学知识去分析和解决问题的能力．列方程解应用题，一般有审题、设元、布列方程、解方程、作答等几个步骤．恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，常见的设元技巧有：1．直接设元题目要求什么量，就设什么量为未知数，或有几个要求的量，而设其中的某一个量为未知数． 2．间接设元即所没的不是所求的，适当地选择与题目要求的未知数有关的某个量为未知数，则易找出符合题意的数量关系，从而列出方程．3．辅助设元有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因而需把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就是辅助设元． 4．整体设元有些应用题未知量太多而已知关系又少，如果在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，这样就减少了设元的个数，这就是整体设元．例题与求解【例1】某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，则该书有____页.解题思路：依题意可知该书页码的数字组成有三种：一个数字、两个数字、三个数字.一共有636个数字，可设直接未知数，列方程求解．找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系是列方程解应用题又一关键．寻找相等关系常用方法有：①从关键词中寻找相等关系；②利用基本公式寻找相等关系；③利用不变量寻找相等关系；④对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次），形成一种相等关系．行程问题、工程问题、劳力分配问题、浓度问题、数字问题等是列方程解应用题的基本类型，此外，还有趣味问题（如年龄、时钟等）、经济问题（如银行存款、销售利润等），尽管形式多变，但是解题实质未变，需要我们用数学观点，理清数量关系，恰当设未知数，准确列方程．【例2】某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润（每件冬装的利润＝出厂价一成本）是出厂价的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长()。

分配问题(二元一次方程组的应用)(原卷版)

2022-2023学年人教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题11 分配问题（二元一次方程组的应用）考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2022秋·全国·八年级专题练习）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等），做成如图2所示的A种与B种两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形和纸板180张，长方形纸板340张，刚好全部用完若设能做成x个A型盒子y个B型盒子则以下列出的方程组中正确的为（）A．218034340x yx y+=⎧⎨+=⎩B．218043340x yx y+=⎧⎨+=⎩C．418023340x yx y+=⎧⎨+=⎩D．321804340x yx y+=⎧⎨+=⎩2．(本题2分)（2023·全国·七年级专题练习）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？设用x张制盒身，y张制盒底.根据题意可列出的方程组是（）A．362540x yx y+=⎧⎨=⎩B．3622540x yy x+=⎧⎨⨯=⎩C．3625240x yx y+=⎧⎨=⨯⎩D．3622540x yx y+=⎧⎨⨯=⎩3．(本题2分)（2022秋·陕西西安·八年级西安市第三中学校联考阶段练习）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（）A．60220050x yx y+=⎧⎨⨯=⎩B．6020050x yx y+=⎧⎨=⎩C ．60200250x y x y +=⎧⎨=⨯⎩D ．50200250x y x y +=⎧⎨=⨯⎩4．(本题2分)（2022春·山东济宁·七年级统考期末）现采购北京冬奥会吉祥物两种大礼包，甲种礼包里面含有4个冰墩墩和1个雪容融，乙种礼包里面含有3个冰墩墩和2个雪容融，现在需要37个冰墩墩和18个雪容融，则需要采购甲种礼包的数量为（）A ．5B ．4C ．3D ．25．(本题2分)（2021春·七年级课时练习）有一些苹果箱，若每个装苹果25kg ，则剩余40kg 苹果无处装，若每个装苹果30kg ．则余20个空箱，这些苹果箱有（）A ．12个B ．60个C ．112个D ．128个6．(本题2分)（2022春·天津和平·七年级耀华中学校考期末）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（）A ．50人，40人B ．30人，60人C ．40人，50人D ．60人，30人7．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）“某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的 A 、B 两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板 120 张，长方形纸板 360 张，刚好全部用完，问能做成多少个 A 型盒子？”则下列结论正确的个数是（）①甲同学：设 A 型盒子个数为 x 个，根据题意可得： 4x + 3 ⋅1202x - = 360 ②乙同学：设 B 型盒中正方形纸板的个数为 m 个，根据题意可得： 3 ⋅2m + 4(120 - m ) = 360 ③A 型盒 72 个④B 型盒中正方形纸板 48 个A ．1B ．2C ．3D ．48．(本题2分)（2020春·广东惠州·七年级统考期末）七年级学生在会议室开会，每排座位坐12人，则有11人没有座位；每排座位坐14人，则余1人独坐一排，则这间会议室的座位排数是（）A ．14B ．13C ．12D ．159．(本题2分)（2022春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）某单位采购小李去商店买笔记本和笔，他先选定了笔记本和笔的种类，若买25本笔记本和30支笔，则他身上的钱缺30元；若买15本笔记本和40支笔，则他身上的钱多出30元．（）A．若他买55本笔记本，则会缺少120元B．若他买55支笔，则会缺少120元C．若他买55本笔记本，则会多出120元D．若他买55支笔，则会多出120元10．(本题2分)（2020春·河南信阳·七年级统考期末）某工厂有工人35人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓16个或螺母24个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人，则可以列方程组( )A．351624x yx y+=⎧⎨=⎩B．352416x yx y+=⎧⎨=⎩C．3516224x yx y+=⎧⎨=⨯⎩D．3521624x yx y+=⎧⎨⨯=⎩二、填空题(每题2分，共20分)11．(本题2分)（2023春·七年级课时练习）一旅行团游客入住一家宾馆，如果每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．设该宾馆有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组______．12．(本题2分)（2023春·浙江·七年级专题练习）某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住5折优惠措施，一个48人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1380元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共___________间．13．(本题2分)（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）现用190张铁皮做盒，一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子？若设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，列方程组为__________ 14．(本题2分)（2021春·河南许昌·七年级统考期末）通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：①快餐总质量为300g；②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%根据上述数据可以得出营养快餐中蛋白质和矿物质的质量分别是______．15．(本题2分)（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每间每天60元，两人间每间每天50元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1100元，则三人间客房租了______间；16．(本题2分)（2020春·云南昆明·七年级统考期末）要把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元，1元的人民币，那么共有_______种换法．17．(本题2分)（2023秋·四川达州·八年级校考期末）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组为：_________________________．18．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）向日葵水果店推出甲乙两种礼盒，甲礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，乙礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈蜜瓜1千克，已知樱桃每千克30元，甲礼盒每盒100元，乙礼盒每盒98元，当然，顾客也可根据需要自由搭配，小陶用1100元买乙礼盒和自由搭配礼盒(香梨1千克，枇杷1千克，哈蜜瓜1千克)若干盒，则小陶一共可买礼盒____个．19．(本题2分)（2021秋·湖南益阳·七年级统考期末）某中学七（2）班学生去劳动实践基地开展实践劳动，在劳动前需要分成x组，若每组11人，则余下一人，若每组12人，则有一组少4人，若每组分配7人，则该班可分成_____组．20．(本题2分)（2018·安徽合肥·七年级统考期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊的数量．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同．则甲的羊数量为______只．三、解答题(共66分)21．(本题6分)（2023春·浙江·七年级专题练习）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．(1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．22．(本题6分)（2022春·吉林·七年级吉林省实验校考期中）2022北京冬奥会期间，大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配40座新能源客车若干辆，则有8人没有座位；若只调配25座新能源客车，则用车数量将增加3辆，并空出7个座位．计划调配40座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？23．(本题8分)（2022秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品，要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共多少块？24．(本题8分)（2022春·江西宜春·七年级江西省宜丰中学校联考期中）为庆祝建党100周年，更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到井冈山开展红色研学之旅．计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位问计划调配30座客车多少辆，全校共青团员共有多少人．25．(本题8分)（2022秋·全国·八年级专题练习）某包装厂承接一批礼品盒制作业务，他们以规格200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材按照截法一或截法二裁下A型与B型两种板材．如图甲（单位：cm）(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值．(2)若将625张标准板材用截法一裁剪，125张标准板材用截法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖．．礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？26．(本题8分)（2022春·安徽黄山·七年级统考期末）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？27．(本题8分)（2022春·四川乐山·七年级统考期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）．(1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数．(2)纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？28．(本题8分)（2023春·浙江·七年级专题练习）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?。

七年级数学辅导：列方程解应用题—设元的技巧

列方程解应用题—设元的技巧姓名：日期：【知识要点】的条件来确定（1）直接设元：对未知元的选择，将要求的量设为未知数；（2）间接设元：将要求的量以外的其它量设为未知数（即所设的不是所求的，而更易找出符合提议的数量关系）；（3为参数，以便建立等量关系，称此为辅助设元.【典型例题】例1、张先生于2002年7月8日卖入1998年中国工商银行发行的5年期国库券1000元.回家后他在存单的背面记下了当国库券于2007年7月8日到期后他可获得的利息数为390元，若张先生计算无误的话，求该国库券的利率是多少？例2、《1001夜》中有一个绝妙的谜语：一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一直落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们飞一只上来，你们的数目就使整个鸽群的31；倘若我们飞一只下去，我们的数目恰好和你们相同啦”猜猜有多少只鸽子在树上？有多少只鸽子在树下？例3、甲、乙、丙、丁四个数之和等于-90，甲数减-4，乙数加-4，丙数乘-4，丁数除以-4彼此相等，求四个数中最大的一个数比最小的一个数大多少？例4、某班参加一次智力竞赛，共a、b、c 三题，每题或者得满分或者得0 Array分。

其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分。

竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。

答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20。

问这个班平均成绩是多少分？例5、游泳者在河中逆流而上，于桥A下面将水壶遗失被水冲走，他继续向前游了20分钟后，才发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶.在桥A下游距桥A2千米处追到了水壶.那么流的速度是每小时多少千米？例6、从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等.问切下的一块重是多少千克？【练习与拓展】1、某商店将某种超级VCD按进价提高35％，然后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台超级VCD仍获得208元，那么每台超级VCD的进价是多少元？2、甲乙两市相距55公里.王鸣同学从甲市出发去乙市，先步行了25公里，接着改骑自行车，速度提高了1倍，到达乙市后，他发现行程中步行的时间比骑自行车用的时间多1小时.求王鸣同学步行的速度是多少公里/小时.3、小明现在坐在公共汽车，忽然发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他下车去追小偷，如果其速度比小偷快一倍，比汽车速度慢54，那么追上小偷要多少秒？4、一个长方形（如下图）恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1平方厘米.求这个长方形的面积.5、某一缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比1：2：3.他用十个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣，10条裤子和2件上衣，共需多少工时？6、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两第三次相遇，已知每秒钟甲比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是多少米.7、某市2003年人均住房面积为7.29m2,若两年后人均住房面积要增加到9m2,而人口增长率为0.1％，求这两年中该市每年住房面积应增加百分之几？8、山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘流淌.现池塘有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机则20分钟正好把池中水抽完.问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？设元的技巧课后作业姓名：家长签名：1、学校到县城有28千米，除乘汽车之外，还需步行一段路，汽车的速度是36千米/小时，步行的速度是4千米/小时，行全程共需1小时，则步行所用的时间为大多少小时2、某市举行自行车环城赛，每圈长12千米，已知选手甲与选手乙的速度比为5:7，两人同时同地同向出发后，2小时30分钟第一次相遇，问乙比甲每分钟快多少千米？3、某校初一、初二、初三各年级的学生数相同，已知该校的初一的男生数与初二的女生数相同，初三男生占全校男生的83，求全校女生数与全校学生数之比.4、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地。

7年级上册§8解一元一次方程应用题的设元技巧

§8.解一元一次方程应用题的设元技巧一、知识要点解应用题的设元技巧 1.直接设元法； 2.间接设元法；；4.整体设元法. 二、考点演练题型一：直接设元法1.甲、乙两名打字员，甲每页打500字，乙每页打600字.已知甲每完成8页，乙恰好能完成7页.若甲打完2页后乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了多少页？2.某人乘船由A 地顺流到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为h km /5.7，水流速度为h km /5.2，若A 、C 两地间的距离为km 10，求A 、B 两地间的距离.题型二：间接设元法3.自行车轮胎安装在后轮上，行驶km 3000就要报废；安装在前轮上，行驶km 5000才报废.为了使一对新轮胎尽可能行驶多的路程才报废，在自行车行驶一定路程后就要将前后轮胎调换，则自行车的一对新轮胎最多可行驶多少千米？4.某大型超市元旦假期举行促销活动.规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物金额的9折优惠；超过300元时，其中的300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美两次所购买的物品，则小丽应付款多少元？题型三：设辅助元法5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定速度增加.如果开放一个检票口，则检票口前的队伍要20分钟才消失；如果同时开放两个检票口，则检票口前的队伍8分钟消失.设检票的速度一定，求同时开放三个检票口时队伍要多少分钟才消失？6.小王沿公路行走，发现每隔12分钟有一辆公共汽车从背后追上；每隔4分钟有一辆公共汽车迎面开来，若小王和公共汽车都是匀速前进，求公共汽车站每隔多少分钟发一趟车？题型四：整体设元法7.一个六位数__________2abcde的3倍等于__________9abcde，求这个六位数.8. 如图，在下面的算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，求被乘数.专题演练一、选择题1.如图，足球是由黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长相等，若黑皮有12块，则白皮有（）A.32块B.20块C.12块D.10块2.一片牧场上的草长得一样快，如果60头牛吃，24天可以将草吃完；如果30头牛吃，60天可以将草吃完；如果要在120天里将草吃完，则需要（）头牛.A.16B.18 C二、填空题3. 某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，求该书共有________页.4.植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女生完成，则每人应植树15棵，如果只由男生完成，则每人应植树________棵.三、解答题5.停电时，小明同时点燃了两支蜡烛，这两支蜡烛一样长，但不一样粗，粗蜡烛可点4小时，细蜡烛可点2小时，来电后，小明吹灭了两支蜡烛，发现此时粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，求停电多久？6.某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠.在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的一半.在六月份内，如果团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价，才能使这两个月的票款收入持平？§一、知识要点解应用题的设元技巧 1.直接设元法； 2.间接设元法； 3.设辅助元法； 4.整体设元法. 二、考点演练题型一：直接设元法1.甲、乙两名打字员，甲每页打500字，乙每页打600字.已知甲每完成8页，乙恰好能完成7页.若甲打完2页后乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了多少页？【解析】设当甲、乙打的字数相同时，乙打了x 页. 则x x 600785002500=⨯+⨯. 解之得35=x .答：当甲、乙打的字数相同时，乙打了35页.2.某人乘船由A 地顺流到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为h km /5.7，水流速度为h km /5.2，若A 、C 两地间的距离为km 10，求A 、B 两地间的距离. 【解析】设A 、B 两地间的距离为xkm . （1）当C 在A 、B 之间时.则45.25.7105.25.7=--++x x .解之得20=x ，即A 、B 两地间的距离为20km.（2）当C 在BA 的延长线上时.则45.25.7105.25.7=-+++x x .解之得320=x ，A 、B 两地间的距离为km 320.综上得A 、B 两地间的距离为20km or km 320.题型二：间接设元法3.自行车轮胎安装在后轮上，行驶km 3000就要报废；安装在前轮上，行驶km 5000才报废.为了使一对新轮胎尽可能行驶多的路程才报废，在自行车行驶一定路程后就要将前后轮胎调换，则自行车的一对新轮胎最多可行驶多少千米？【解析】设自行车行驶了x 千米调换前后轮胎.则35)3000(53)5000(⨯-=⨯-x x . 解之得1875=x .即行驶了1875千米后调换前后轮胎，则还可行驶187553)18755000(=⨯-. 于是最多可行驶375018751875=+千米.4.某大型超市元旦假期举行促销活动.规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物金额的9折优惠；超过300元时，其中的300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美两次所购买的物品，则小丽应付款多少元？【解析】小美第一次购物用了94.5元，因为1005.94909.0100<<=⨯，所以小美第一次购物的原价有未满100元和超过100元两种情况.又因为小美第二次购物用了282.8元，而8.2822709.0300<=⨯，所以小美第二次购物的原价超过了300元.设小美第二次购物的原价为x 元. 则8.2828.0)300(9.0300=⨯-+⨯x .解之得316=x ，即小美第二次购物的原价为316元. 则小丽应付的款分以下两种情况讨论：（1）当小美第一次购物原价没有超过100元时. 则4.3589.03008.0)3003165.94(=⨯+⨯-+元. （2）当小美第一次购物原价超过100元时. 小美第一次购物原价为1059.05.94=÷元. 则8.3669.03008.0)300316105(=⨯+⨯-+元. 综上，小丽应付款358.4元或366.8元.题型三：设辅助元法5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定速度增加.如果开放一个检票口，则检票口前的队伍要20分钟才消失；如果同时开放两个检票口，则检票口前的队伍8分钟消失.设检票的速度一定，求同时开放三个检票口时队伍要多少分钟才消失？【解析】设检票开始时已有a 人在排队等候，每个检票口每分钟检票x 人，队伍每分钟增加y 人.则⎩⎨⎧⨯=+=+x y a x y a 8282020，解之得y a y x 40,3==.设同时开放三个检票口时队伍消失的时间为t 分钟. 则tx ty a 3=+，即ty ty y 940=+，所以5=t . 即同时开放三个检票口时队伍要5分钟才消失.6.小王沿公路行走，发现每隔12分钟有一辆公共汽车从背后追上；每隔4分钟有一辆公共汽车迎面开来，若小王和公共汽车都是匀速前进，求公共汽车站每隔多少分钟发一趟车？【解析】设公共汽车的速度为v ，小王的速度为x ，公共汽车站每隔t 分钟发一趟车，那么相邻两辆车之间的距离为vt . 则⎩⎨⎧=+=-vt x v vtx v 441212，解之得6=t .即公共汽车站每隔6分钟发一趟车.题型四：整体设元法__________2abcde 的3倍等于__________9abcde ，求这个六位数.【解析】设x abcde =________.则910)200000(3+=+x x ，解之得85713=x . 所以这个六位数是285713.8. 如图，在下面的算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，求被乘数.【解析】设“神舟五号”=A ，“飞天”=B. 则A B B A +=+10000)100(3. 解之得B A 76923=.因为1)769,23(=，所以令n B n A 23,769==. 因为42≤≤n ，且n 为自然数，所以4=n . 于是A=3076，B=92. 所以被乘数是307692.专题演练一、选择题1.如图，足球是由黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长相等，若黑皮有12块，则白皮有（）【答案】BA.32块B.20块C.12块D.10块【解析】设有x 块白皮. 则512621⨯=⨯x ，解之得20=x . 2.一片牧场上的草长得一样快，如果60头牛吃，24天可以将草吃完；如果30头牛吃，60天可以将草吃完；如果要在120天里将草吃完，则需要（）头牛.【答案】D A.16 B.18 C 二、填空题3. 某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，求该书共有________页. 【答案】248【解析】设该书有x 页.则636)99(32909=-+⨯+x ，解之得248=x .4.植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女生完成，则每人应植树15棵，如果只由男生完成，则每人应植树________棵. 【答案】10 【解析】共应植树x 棵，那么全班共有6x 人，其中女生有15x 人，则男生人数为10156xx x =-人. 于是男生每人植树1010=÷xx 棵. 三、解答题5.停电时，小明同时点燃了两支蜡烛，这两支蜡烛一样长，但不一样粗，粗蜡烛可点4小时，细蜡烛可点2小时，来电后，小明吹灭了两支蜡烛，发现此时粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，求停电多久？【解析】设停电x 小时，原蜡烛长为a .则)2(24x a a x a a -=-，解之得34=x . 答：停电34小时.6.某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠.在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的一半.在六月份内，如果团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价，才能使这两个月的票款收入持平？【解析】设总票数为a 张，六月份售票应按每张x 元定价. 五月份：团体票售出票数为a a 523253=⨯，票款收入为a a 5245212=⨯；零售票售出票数为a a 613121=⨯，票款收入为a a 386116=⨯. 六月份：团体票所剩票数为a a 1543252=⨯，可收入为a a 15645416=⨯；零售票所剩票数为a a 613121=⨯，可收入为ax 61. 则ax a a a 61156438524+=+，解之得2.19=x ..。

2021学年苏科版七年级数学下册《第11章一元一次不等式》经典好题培优训练(附答案)

2021学年苏科版七年级数学下册《第11章一元一次不等式》经典好题培优训练（附答案）1．已知x＞y，xy＜0，a为任意有理数，下列式子一定正确的是（）A．﹣x＞﹣y B．a2x＞a2y C．﹣x+a＜﹣y+a D．x＞﹣y2．某单位为某中学捐赠了一批新桌椅．学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（）A．80B．120C．160D．2003．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（）A．B．C．D．4．若不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥2C．m＜2D．m＞25．如果关于x的不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1，那么a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜1D．a＞16．若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m≤2C．m＜2D．m＝27．已知关于x的不等式2x﹣m＜1﹣x的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．3＜m≤4B．3≤m＜4C．8＜m≤11D．8≤m＜118．若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是（）A．﹣3B．﹣4C．﹣10D．﹣149．若关于x，y的方程组的解满足x＞y，则m的取值范围是（）A．m＜1B．m＜2C．m＜3D．m＜410．已知x＜y，则﹣2x﹣3﹣2y﹣3．（填“＞”、“＜”或“＝”）11．甲种蔬菜保鲜的适宜温度（单位：℃）是1≤t≤5，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是3≤t≤8，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度t（单位：℃）的范围是．12．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是．13．不等式组的解集为．14．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围为．15．关于x的不等式组的解集为﹣1≤x＜4，则（a+1）（b﹣1）的值为．16．已知a+b＝4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是．17．若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x＜，则关于x的不等式（a+b）x＞a﹣b的解集为．18．不等式组的整数解的和是．19．一个多于200人且少于300人的旅行团队准备外出旅游，旅行团队向某汽车运输公司租用可以乘坐30人、乘坐45人的两种客车若干辆，其中大型客车辆数要多于中型客车辆数．按照预定的租车方案，如果大型客车都坐满，中型客车有一辆就会空出少于一半的座位，但是汽车运输公司发过来的车辆，车型与对应的辆数刚好搞反了，这样就有5个人没有座位可坐．这个旅游团一共有个人．20．如果关于x的不等式2x+3m＞0恰有3个非正整数解，求m的取值范围．21．一瓶饮料净重360g，瓶上标有“蛋白质含量≥0.5%”，设该瓶饮料中蛋白质的含量为xg，则x g．22．解下列不等式（组）并在数轴上表示：（1）﹣4＞﹣；（2）．23．解不等式组，并求出它的整数解的和．24．已知关于x，y的二元一次方程组的解是一对正数．（1）求a的取值范围；（2）化简：|a+4|﹣|a|+|2a+3|．25．某超市销售甲、乙两种商品，9月份该超市同时一次购进甲、乙两种商品共100件，购进甲种商品用去300元，购进乙种商品用去1200元．（1）若购进甲、乙两种商品的进价相同，求两种商品的数量分别是多少；（2）由于商品受到市民欢迎，超市10月份决定再次购进甲、乙两种商品共100件，但甲、乙两种商品进价在原基础上分别降20%，涨20%，甲种商品售价20元，乙种商品售价36元，若这次全部售出甲、乙两种商品后获得的总利润不少于1200元，该超市最少购进甲种商品多少件？26．某学校组织175人参加社会实践活动．已知35座的客车租金为每辆320元，55座的客车租金为每辆400元．（1）若学校单独租用这两种车辆，则各需多少元钱？（2）若学校同时和用这两种客车共4辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金．请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案．27．为实现区域教育均衡发展，某市计划对A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金2000万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金210万元；改造两所A 类学校和一所B类学校共需资金180万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该市的A类学校不超过8所，则B类学校至少有多少所？（3）市教育局计划今年对该市A、B两类学校共10所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过490万元；地方财政投入的改造资金不少于200万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所15万元和25万元．请你通过计算求出有几种改造方案？参考答案1．解：∵x＞y且xy＜0，∴x＞0，y＜0，∴A、﹣x＜﹣y，故本选项不符合题意；B、当a＝0时，a2x＝a2y，即a2x＞a2y错误，故本选项不符合题意；C、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴﹣x+a＜﹣y+a，故本选项符合题意；D、根据题意不能判断x和﹣y的大小，故本选项不符合题意；故选：C．2．解：设可搬桌椅x套，即桌子x把，椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需人，根据题意，得2x+≤300，解得x≤120．答：最多可搬桌椅120套．故选：B．3．解：A、不等式组的解集为x≥2，故本选项不合题意；B、不等式组的解集为x＜1，故本选项不合题意；C、不等式组的解集为1＜x≤2，故本选项符合题意；D、不等式组的解集为1≤x＜2，故本选项不合题意；故选：C．4．解：∵不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，∴m≤2．故选：A．5．解：∵不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1，∴a＜0，故选：A．6．解：，解x﹣m＞0，得：x＞m，解5﹣2x≤1，得：x≥2，∵不等式组的解集是x≥2，∴m＜2，故选：C．7．解：2x﹣m＜1﹣x，移项得2x+x＜m+1，系数化为1，得：x＜，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3＜≤4，解得：8＜m≤11．故选：C．8．解：，不等式组整理得：，由不等式组至少有4个整数解，得到a+2＜﹣1，解得：a＜﹣3，解方程组，得，∵关于x，y的方程组的解为正整数，∴a﹣2＝﹣6或﹣12，解得a＝﹣4或a＝﹣10，∴所有满足条件的整数a的值的和是﹣14．故选：D．9．解：方程组的解为：，∵关于x，y的方程组的解满足x＞y，∴＞，解得：m＜4．故选：D．10．解：∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，∴﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3．故答案为：＞．11．解：根据题意可知解得3≤t≤5．故答案为：3≤t≤5．12．解：不等式组有解，则4＜x＜m，解得m＞4．故答案为：m＞4．13．解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x≤2．故不等式组的解集为﹣3＜x≤2．故答案为：﹣3＜x≤2．14．解：不等式组解得：m＜x≤﹣0.5，由不等式组的整数解只有2个，得到整数解为﹣2，﹣1，则m的范围为﹣3≤m＜﹣2．故答案为：﹣3≤m＜﹣2．15．解：，解①得x≥a，解②得x＜3﹣b，因为不等式组的解集为﹣1≤x＜4，所以a＝﹣1，3﹣b＝4，解得a＝﹣1，b＝﹣1，所以（a+1）（b﹣1）＝（﹣1+1）（﹣1﹣1）＝0．故答案为：0．16．解：由a+b＝4得b＝4﹣a，∵﹣2≤b≤﹣1，∴﹣2≤4﹣a≤﹣1，∴5≤a≤6．故答案为：5≤a≤6．17．解：∵不等式ax﹣b＞0的解集为x＜，∴＝，即a＝3b且a＜0，则b＜0∴不等式（a+b）x＞a﹣b整理为4bx＞2b，∴x＜．故答案为：x＜．18．解：，解2﹣x≥x﹣2得x≤2，解3x﹣1＞﹣4得x＞﹣1，故不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则不等式组的整数解为0，1，2，和为0+1+2＝3．故答案为：3．19．解：设原来准备中型客车x辆，大型客车y辆，依题意有30x+45y﹣（45x+30y+5）＜30÷2，解得y﹣x＜，∵车辆数为整数，并且y＞x，∴y﹣x＝1，又由题意得200＜45x+30y+5＜300，∴200＜45x+30（x+1）+5＜300，解得＜x＜，∵车辆数为整数，∴x＝3，∴y＝4，所以一共有45×3+30×4+5＝260（人）．故这个旅游团一共有260个人．故答案为：260．20．解：2x+3m＞0，2x＞﹣3m，x＞﹣，∵关于x的不等式2x+3m＞0恰有3个非正整数解，∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴＜m≤2．故答案为：＜m≤2．21．解：由题意可得，x≥360×0.5%＝1.8，故答案为：≥1.8．22．解：（1）不等式两边同乘以6得：2（2x﹣1）﹣24＞﹣3（x+4），解得：x＞2，在数轴上表示为：（2），解不等式①得：x＜﹣1，解不等式②得：x＞﹣11，∴解集为：﹣11＜x＜﹣1，在数轴上表示为：23．解：解不等式组得：﹣＜x＜，则不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1、2、3，∴整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2+3＝3．24．解：（1），①+②得2x＝2a+8，解得x＝a+4，代入①得y＝﹣2a﹣3．故方程组的解为：，∵x＞0，y＞0，∴，解得：﹣4＜a＜﹣1.5；（2）由（1）得：a+4＞0，a＜0，2a+3＜0，∴原式＝a+4﹣（﹣a）+（﹣2a﹣3）＝a+4+a﹣2a﹣3＝1．25．解：（1）设购进甲种商品x件，由题意得，＝，解得：x＝20，经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意，则100﹣x＝80．答：购进甲种商品20件，乙种商品80件；（2）设超市购进甲种商品y件，由（1）可得：甲、乙商品的进价为300÷20＝15（元），由题意得，[20﹣15（1﹣20%）]y+[36﹣15（1+20%）]（100﹣y）≥1200，解得y≤60，∵y为整数，∴y的最大整数值为60．答：该超市最多购进甲种商品60件．26．解：（1）∵175÷35＝5（辆），∴单独租用35座客车需5辆，租金为320×5＝1600（元），∵175÷55＝3辆，∴单独租55座客车需4辆，租金为400×4＝1600（元）．答：学校单独租用这两种车辆，则各需1600元，1600元钱；（2）设租用35座客车x辆，则55座客车（4﹣x）辆，由题意得，35x+55（4﹣x）≥175，解得：x≤2，因为35座客车租金便宜，所以当x取最大整数2时租车最合适，答：租用35座客车2辆，租用55座客车2辆最节省．27．解：（1）设改造一所A类学校所需的资金是a万元，改造一所B类学校所需的资金是b 万元，由题意得：，解得：．答：改造一所A类学校所需的资金是50万元，改造一所B类学校所需的资金是80万元；（2）设该市A类学校有m所，B类学校有n所，由题意得：50m+80n＝2000，m＝﹣n+40，∵A类学校不超过8所，∴﹣n+40≤8，∴n≥20．答：B类学校至少有20所；（3）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为（10﹣x）所，依题意得：，解得：3≤x≤5，∵x取整数，∴x＝3，4，5．答：共有3种方案。

初中数学工程实际问题如何设元更简便

初中数学工程实际问题如何设元更简便发布时间：2021-08-02T16:22:35.953Z 来源：《中小学教育》2021年3月第9期（下）作者：黄嘉[导读] 学习不是死记硬背的过程，而是持续探索的过程。

初中数学有相关的问题解决技巧，不仅可以让学生更好地理解所学知识，还可以提高学习动机。

黄嘉南宁经济开发区明阳第二初级中学 530226摘要:学习不是死记硬背的过程，而是持续探索的过程。

初中数学有相关的问题解决技巧，不仅可以让学生更好地理解所学知识，还可以提高学习动机。

学生掌握着探索数学知识的主动权。

本文针对当前的初中数学工程初中数学工程实际问题进行了相关的探究，并提出了设元的解题技巧，希望可以对广大教师今后教学有所指导。

关键词：初中数学；设元；工程初中数学工程实际问题新课程改革的持续深入发展使我国教师面临着新的挑战，教师需要在常规教学过程中不断改进教学思想和教学方法，以帮助学生更好的学习知识。

数学的科目与其他科目不同，很多问题的结果是一样的，但是过程却有很大的不同，解决问题的能力对知识的掌握起着重要的作用。

在初中数学的学习中，应用数学知识解决初中数学工程实际问题是一类重要题型，其中列方程解应用题是常见的一种，也是中考的高频题型。

列方程解应用题是将初中数学工程实际问题转化为数学问题，利用常见的数量关系列出代数式，根据能反映应用题全部含义的等量关系建立方程，通过解方程得到初中数学工程实际问题的答案。

选择适当的未知数是列方程解应用题的重要步骤，设什么为元，需要根据具体问题的条件来确定。

根据所设未知数与数学工程实际问题的关系。

一、当前初中数学教学现状（一）教师教学方式古板，教学模式僵化许多受传统教育概念影响的，初中数学教师在日常教学中使用传统的教学方法，盲目地向学生灌输知识，不知道如何让学生自己去探索，在这种教学模式下，学生无法学到更多的东西。

（二）学生们基础水平差，课堂积极性不足许多学生没有在小学阶段打下坚实的基础，在中学阶段，随着课程的增加，他们被所学的知识所压倒，许多学生产生了放弃数学的想法。

专题11.5 用一元一次不等式解决问题(知识讲解)七年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)

专题11.5 用一元一次不等式解决问题（知识讲解）【学习目标】1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系1.行程问题：路程＝速度×时间2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 要点二、列不等式解决实际问题列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；(2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．特别说明：(1)列不等式的关键在于确定不等关系；(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．=100%⨯利润利润率进价32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B型车x辆”，而在答中应为“至少需要11辆 B型车”．这一点应十分注意．【典型例题】类型一、行程问题1.油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．某品牌油电混动汽车售价是16.48万元，百公里燃油成本20元；同一品牌的普通汽车售价16万元，百公里燃油成本50元．问至少行驶多少公里油电混动汽车的总成本不高于普通汽车的总成本？【答案】行驶的公里数至少为16000公里．【分析】设行驶的公里数为x公里，根据题意列出不等式即可得出答案．解：设行驶的公里数为x公里，根据题意得：164800＋20100x≤160000＋50100x，解得：x≥16000．答：行驶的公里数至少为16000公里．【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．类型二、工程问题2.计划对河道进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成550米施工任务：若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成420米的施工任务．（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？（2）该河道全长6000米，若两队合作工期不能超过90天，乙工程队至少施工多少天？【答案】（1）甲工程队每天能完成施工任务50米，乙工程队每天能完成施工任务80米；（2）乙工程队至少施工50天【分析】（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据等量关系列出二元一次方程组，即可求解；（2）设乙工程队施工a天，根据不等量关系，列出一元一次不等式，即可求解．解：（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意得：3555024420x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：5080xy=⎧⎨=⎩，答：甲工程队每天能完成施工任务50米，乙工程队每天能完成施工任务80米；（2）设乙工程队施工a天，根据题意得：80a+50（90-a）≥6000，解得：a≥50，答：乙工程队至少施工50天【总结升华】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，找出等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式，是解题的关键．举一反三：【变式】某工厂计划m天生产2160个零件，安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成．（1）直接写出a与m的数量关系：；（2）若原计划16天完成生产任务，但实际开工6天后，有3名工人外出参加培训，如果剩下的工人要在规定时间里完成这批零件生产任务，每人每天至少要多加工多少个零件？【答案】（1）a＝144m；（2）3个【分析】（1）根据工作总量=参加工作的人数×人均工作效率×工作时间，即可得出a与m的数量关系；（2）将m=16代入a=144m中求出a的值，设每人每天多加工x个零件，根据要在规定时间里完成这批零件生产任务，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小整数值即可得出结论．【详解】（1）依题意得：15am＝2160，∴a＝216015m，即a＝144m．故答案为：a ＝144m．（2）当m ＝16时，a ＝144m ＝9．设每人每天多加工x 个零件，依题意得：15×9×6＋（15﹣3）×（16﹣6）×（9＋x ）≥2160，解得：x ≥94，又∵x 为正整数，∴x 的最小值为3．答：每人每天至少要多加工3个零件．【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出a ，m 之间的数量关系；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．类型三、方案选择3.（2021·浙江宁波市·八年级期末）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司购买A 型号和B 型号垃圾分拣机器人共60台，其中B 型号机器人不少于A 型号机器人的1.4倍．（1）该垃圾处理厂最多购买几台A 型号机器人？（2）机器人公司报价A 型号机器人6万元/台，B 型号机器人10万元/台，要使总费用不超过510万元，则共有几种购买方案？【答案】（1）25台；（2）3种【分析】（1）设该垃圾处理厂购买x 台A 型号机器人，根据“B 型号机器人不少于A 型号机器人的1.4倍”列出不等式求解即可；（2）根据“总费用不超过510万元”列出不等式，结合（1）中不等式的解和x 为整数，即可得出共有3种方案．解：（1）设该垃圾处理厂购买x 台A 型号机器人．由题意得60 1.4x x -≥，解得25x ≤，∴该垃圾处理厂最多购买25台A 型号机器人；（2）610(60)510x x +-≤，解得22.5x ≥，22.525x ≤≤，且x 为整数，23x ∴=或24或25，答：共有3种购买方案．【点拨】本题考查一元一次不等式的应用．能根据题中不等关系列出不等式是解题关键．举一反三：【变式】（2021·山东济宁市·七年级期末）某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过3km 行程的出租车价格），超过3km 行程后，其中除3km 的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足1km 按1km 计算）．如果仅去程乘出租车而回程时不乘坐此车，并且去程超过3km ，那么顾客还需付回程的空驶费，超过3km 部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘同一出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市中心A 处到相距km x （12x ≤）的B 处办事，在B 处停留的时间在3分钟以内，然后返回A 处．现在有两种往返方案：方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）；方案二：4人乘同一辆出租车往返．问选择哪种计费方式更省钱？（写出过程）【答案】当x 小于5时，方案二省钱；当x=5时，两种方案费用相同；当x 大于5且不大于12时时，方案一省钱【分析】先根据题意列出方案一的费用：起步价+超过3km 的km 数×1.6元+回程的空驶费+乘公交的费用，再求出方案二的费用：起步价+超过3km 的km 数×1.6元+返回时的费用1.6x+1.6元的等候费，最后分三种情况比较两个式子的大小．解：方案一的费用：7+（x -3）×1.6+0.8（x -3）+4×2=7+1.6x -4.8+0.8x -2.4+8=7.8+2.4x ，方案二的费用：7+（x -3）×1.6+1.6x+1.6=7+1.6x-4.8+1.6x+1.6=3.8+3.2x，∴费用相同时x的值7.8+2.4x=3.8+3.2x，解得x=5，所以当x=5km时费用相同；∴方案一费用高时x的值7.8+2.4x＞3.8+3.2x，解得x＜5，所以当x＜5km方案二省钱；∴方案二费用高时x的值7.8+2.4x＜3.8+3.2x，解得x＞5，所以当x＞5km方案一省钱．【点拨】此题考查了应用类问题，解答本题的关键是根据题目所示的收费标准，列出x的关系式，再比较．类型四、几何问题4.（2020·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．∴ABC的边BC在x轴上，A（0，4）．B、C两点的坐标分别为B（m，0）、C（n，0），且m、n满足：21321m nm n-=-⎧⎨+=⎩．（1）求线段BC的长．（2）若点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB向终点B匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．如果时间为t，PQ的长度为d，请用含t的式子表示d．（3）在（2）的条件下，若∴APQ的面积不小于∴ABC的面积的二分之一，求出t的范围．【答案】（1）BC＝8；（2）当0≤t≤83时，d＝8﹣3t；当83＜t≤8时，d＝3t﹣8；（3）0≤t≤43或4≤t≤8．【分析】（1）解方程组可求m，n的值，即可求解；（2）分相遇前和相遇后两种情况讨论，由路程＝速度×时间，可求解；（3）分两种情况讨论，由面积公式列出不等式，即可求解．解：（1）∵m、n满足：21321m nm n-=-⎧⎨+=⎩，∴解得53mn=-⎧⎨=⎩，∴点B（﹣5，0），点C（3，0），∴BC＝8；（2）点B（﹣5，0），点C（3，0），53OB OC∴==，分两种情况讨论：当0≤t≤83时，即点P、Q相遇前，532PQ OB OC BP CQ t t =+--=+--∴d＝8﹣3t；当83＜t≤8时，当P、Q相遇后，PQ BP CQ OB OC=+--∴d＝3t﹣8，综上所述，d＝8﹣3t或d＝3t﹣8；（3）当0≤t≤83时，∵△APQ的面积不小于△ABC的面积的二分之一，∴12×4×（8﹣3t）≥12×12×4×8，∴t≤43，∴0≤t≤43；当83＜t≤8时，∵△APQ的面积不小于△ABC的面积的二分之一，∴12×4×（3t﹣8）≥12×12×4×8，∴t≥4，∴4≤t≤8，综上所述：当0≤t≤43或4≤t≤8时，△APQ的面积不小于△ABC的面积的二分之一．【点拨】本题考查二元一次方程组的解法，其中涉及分类讨论法、线段上的动点与线段的和差、一元一次不等式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．举一反三：【变式】如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点M从A出发，沿矩形的边A→B→C 运动，速度为1.5 cm/s；点N从B出发，沿矩形的边B→C→D运动，运动速度为3cm/s. 它们同时出发，设运动时间为x秒（0≤x≤2），一个点停止运动时，另一个点也同时停止运动．若MC∴ND,则x的值为___________________.【答案】43≤x≤2【解析】因为MC∴ND，而点C、D，分别固定的，且四边形ABCD是矩形，所以只有当M 点在BC上，N点在CD上时，满足题意.详解：当同时满足M点在BC上，N点在CD上时，MC∴ND.即：2 1.5643602xxx≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,解得：44342302xxx⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪⎩.综上可得：42 3x≤≤.点拨：本题考查了一元一次不等式组.。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲有理数的巧算

第一讲有理数的巧算趣题引路】(第6届“希望杯"竞赛试题改编)计算：2004 X 20032003+2005 X 20042004 一 2003 X 20042004 一 2004 X 20052005解析原式=2004 X 20032003 一 2003 X 20042004+2005 X 20042004一2004 X 20052005=(2004 X 2003 X 10001-2003 X 2004 X 10001)+(2005 X 2004 X 10001- 2004 X 2005 X 10001) =0点评:赢赢型式子通常将它化成^cXlOOl 型式子，有的问题还利用到1001=7X11X13这一特点来进行考査，有理数的运算有许多技巧和方法，是中考和竞赛的热点。

知识延伸】一、巧用运算律进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。

7113 1 1例 1 计算：(1)-1999- X 16： (2)(-一一一 +二一一)-(——)86 36 4 12 48解析⑴原式=-(2000-])><168= -(3200-2) = -31998(2)原式=一(一丄一丄 + 丄)><48=—(一8 — 已 +36—4)=一 22?・6 36 4 12 3 37 1点评:⑴像1999_、2003等数字在参与运算时，往往将其写成2000--、2000+3的形式：(2)利用乘8 8法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。

二、有理数大小的比较有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小：两个正数比较大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运用一些熟知的规律进行比较.1991 QI log? 09例2 (1992年"缙云杯“初中数学邀请赛试题)把-四个分数按从小到大的顺序1992 92 1993 93排列是 __________________________________ •a 疋1992(1 92 ,1 1993(1 93(11991 1991 91 91 1992 1992 92 92点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也是经常用到的方法•实际上，此类习题具有-般规律；弓<角⑴是正整数)，如！|<|斗…199991一'921 1<922 311999999而丄9191-92< >丄9292-939391-92, < 92-9192一93 <一93一921,, < 9 9 ^911919 9 9 9 9 1 1 << 2 3929999 19'- 9 1 1三. 有理数巧算的几种特殊方法有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求英中的规律, 往往可以为解题开辟新的途径.1 •倒序相加法例 3 计算：(1)1+2 + 3 + ・・・+2003 + 2004：(2)1 — 2 + 3—4+・・・ + 2003 — 2004・解析(1)设S=l+2+3 + ・・・ + 2003+2004 ①则 S=2004+2003 +…+3+2+1 ②①+②，得2S=(l+2004)+(2+2003)+・・・+(2004+l) =2005 + 2005 +…+2005 (共 2004 个 2005)=2005X2004,即原式=2009010・(2)原式=(1 一2)+(3—4)+・・・ + (2003 — 20Q4)= -1-1 ------------- 1(共 1002 个一 1) = -1002.点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用“I 表示；最后一项叫末项，通常用血表示；相等的差叫公差，通常用d 表示。

七年级数学上册第三单元《一元一次方程》-解答题专项(培优专题)

一、解答题1．数学课上，某班同学用天平和一些物品（如图）探究了等式的基本性质.该班科技创新小组的同学提出问题：仅用一架天平和一个10克的砝码能否测量出乒乓球和一次性纸杯的质量？科技创新小组的同学找来足够多的乒乓球和某种一次性纸杯（假设每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），经过多次试验得到以下记录：记录天平左边天平右边状态记录一6个乒乓球，1个10克的砝码14个一次性纸杯平衡记录二8个乒乓球7个一次性纸杯，1个10克的砝码平衡请算一算，一个乒乓球的质量是多少克？一个这种一次性纸杯的质量是多少克？解：（1）设一个乒乓球的质量是x克，则一个这种一次性纸杯的质量是______克；（用含x的代数式表示）（2）列一元一次方程求一个乒乓球的质量，并求出一个这种一次性纸杯的质量.解析：（1）61014x+或8107x-；（2）一个乒乓球的质量是3克，一个这种一次性纸杯的质量是2克.【分析】(1)根据题意即可得出答案；（2）弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）61014x+或8107x-（2）根据题意得，610810 147x x+-=6101620 x x+=-6162010 x x-=--1030x-=-3x =．当3x =时，610631021414x +⨯+==（克）．答：一个乒乓球的质量是3克，一个这种一次性纸杯的质量是2克．【点睛】本题考查了一元一次方程与实际问题，解题的关键是找到合适的等量关系，列出方程，解方程．2．在十一黄金周期间，小明、小华等同学随家长共15人一同到金丝峡游玩，售票员告诉他们：大人门票每张100元，学生门票8折优惠．结果小明他们共花了1400元，那么小明他们一共去了几个家长、几个学生？解析：10个家长，5个学生【分析】设小明他们一共去了x 个家长，则有（15﹣x ）个学生，根据“大人门票购买费用+学生门票购买费用=1400”列式求解即可. 【详解】解：设小明他们一共去了x 个家长，（15﹣x ）个学生，根据题意得：100x +100×0.8（15﹣x ）=1400，解得：x =10， 15﹣x =5，答：小明他们一共去了10个家长，5个学生．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用. 3．利用等式的性质解下列方程：（1）x －2＝5；（2）－23x ＝6；（3）3x ＝x ＋6．解析：（1）x ＝7；（2）x ＝－9；（3）x ＝3 【分析】（1）两边同时加上2即可求解；（2）两边同时乘－32即可求解；（3）两边同时减x ，然后同时除以2即可求解．【详解】解：（1）等式两边加2，得x －2＋2＝5＋2，即x ＝7．（2）等式两边乘－32，得x ＝6×（－32），即x ＝－9．（3）等式两边减x，得2x＝6．两边除以2，得x＝3．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．4．解下列方程（1）-9x-4x+8x=-3-7；（2）3x+10x=25+0.5x．解析：（1）x=2；（2）x=2【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【详解】解：（1）合并同类项，得，-5x=-10系数化为1，得，x=2（2）移项，得3x+10x-0.5x=25合并同类项，得12.5x=25系数化为1，得，x=2【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．运用等式的性质解下列方程：(1)3x＝2x－6；(2)2＋x＝2x＋1；(3)35x－8＝－25x＋1．解析：（1）x＝－6；（2）x＝1；（3）x＝9【分析】（1）根据等式的性质：方程两边都减2x，可得答案；（2）根据等式的性质：方程两边都减x，化简后方程的两边都减1，可得答案．（3）根据等式的性质：方程两边都加25x，化简后方程的两边都加8，可得答案．【详解】(1)两边减2x，得3x－2x＝2x－6－2x．所以x＝－6．(2)两边减x，得2＋x－x＝2x＋1－x．化简，得2＝x＋1．两边减1，得2－1＝x＋1－1所以x＝1．(3)两边加25x ，得35x －8＋25x ＝－25x ＋1＋25x ．化简，得x －8＝1．两边加8，得x －8＋8＝1＋8．所以x ＝9．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 6．已知16y x =-，227y x =+，解析下列问题：（1）当122y y =时，求x 的值；（2）当x 取何值时，1y 比2y 小3-．解析：（1）215x =；（2）18x 【分析】（1）根据题意列出等式，然后解一元一次方程即可；（2）根据题意得到213y y -=-，然后代入x ，解一元一次方程即可求解．【详解】（1）由题意得：62(27)x x -=+ 解得215x =215x ∴=．（2）由题意得：27(6)3x x +--=- 解得18x18x ∴=．【点睛】本题考查了解一元一次方程，重点是熟练掌握移项、合并同类项、去括号、去分母的法则，细心求解即可．7．解方程：()()3x 7x 132x 3--=-+① ；5x 2x 3132---=②．解析：（1）5；（2）138；【分析】①方程去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；②方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【详解】①去括号得：3x−7x+7=3−2x−6，移项合并得：−2x=−10，解得：x=5；②去分母，去括号得：10−2x−6=6x−9，移项合并得：8x=13，解得：x=13 8.【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于掌握方程的解法.8．a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b=a2+2ab，例如3※（-2）=32+2×3×（-2）=-3（1）试求（-2）※3的值（2）若1※x=3，求x的值（3）若（-2）※x=-2+x，求x的值．解析：（1）-8；（2）1；（3）65．【分析】（1）根据规定的运算法则求解即可．（2）（3）将规定的运算法则代入，然后对等式进行整理从而求得未知数的值即可．【详解】（1）（-2）※3=（-2）2+2×（-2）×3=4-12=-8；（2）∵1※x=3，∴12+2x=3，∴2x=3-1，∴x=1；（3）-2※x=-2+x，（-2）2+2×（-2）x=-2+x，4-4x=-2+x，-4x-x=-2-4，-5x=-6，x=65．【点睛】此题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，解题关键在于掌握运算法则.9．关于x的方程357644m x mx+=-的解比方程4(37)1935x x-=-的解大1，求m的值.解析：623 m=-【分析】分别求出两方程的解，根据题意列出关于m 的方程，然后求解即可. 【详解】解：357644m x m x +=-，整理得：2(310)321m x m x +=-313x m =-解得：331m x =-， 4(37)1935x x -=-4747x =1x =由题意得：31131m--= 解得：623m =- 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解方程，关键是能先用含有m 的式子表示x ，然后根据题意列出方程.10．如图，甲船逆水，静水速度为28海里/时；乙船顺水，静水速度为12海里/时，两船相距60海里.已知水流速度为3海里/时，两船同时相向而行. （1）两船同时航行1小时，求此时两船之间的距离；（2）再（1）的情况下，两船再继续航行1小时，求此时两船之间的距离；（3）求两船从开始航行到两船相距12海里，需要多长时间？解析：(1) 20海里;(2) 20海里;(3) 1.2小时或1.8小时. 【分析】（1）根据1h 后甲、乙间的距离=两船相距-（甲船行驶的路程+乙船行驶的路程）即可得；（2）根据2h 后甲、乙间的距离=甲船行驶的路程-乙船行驶的路程即可得；（3）可分相遇前与相遇后两种情况讨论即可解答. 【详解】解：根据题意可知甲船的行驶速度为28-3=25海里/时，乙船的行驶速度为12+3=15海里/时（1）1h 后甲、乙间的距离=60-25×1-15×1=20海里；（2）2h 后甲、乙间的距离=25×2-15×2=20海里；（3）相遇前，设两船从开始航行到两船相距12海里，需要t 小时则12=60-（25+15）t，求得t=1.2小时相遇后，设两船从开始航行到两船相距12海里，需要t1小时则12+60=（25+15）t1，求得t1=1.8小时故两船从开始航行到两船相距12海里，1.2小时或1.8小时.【点睛】本题主要考查列代数式与一元一次方程的实际应用，掌握船顺流航行时的速度与逆流航行的速度公式是解题的关键．11．图1为全体奇数排成的数表，用十字框任意框出5个数，记框内中间这个数为 a（如图2）．（1）请用含a的代数式表示框内的其余4个数；（2）框内的5个数之和能等于 2015，2020 吗?若不能，请说明理由；若能，请求出这5个数中最小的一个数，并写出最小的这个数在图1数表中的位置．（自上往下第几行，自左往右的第几个）解析：（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）上下相邻的数相差18，左右相邻的数相差是2，所以可用a表示；（2）根据等量关系：框内的5个数之和能等于2015，2020，分别列方程分析求解．【详解】（1）设中间的数是a，则a的上一个数为a−18，下一个数为a＋18，前一个数为a−2，后一个数为a＋2；（2）设中间的数是a，依题意有5a＝2015，a＝403，符合题意，这5个数中最小的一个数是a−18＝403−18＝385，2n−1＝385，解得n＝193，193÷9＝21…4，最小的这个数在图1数表中的位置第22排第4列．5a＝2020，a＝404，404是偶数，不合题意舍去；即十字框中的五数之和不能等于2020，能等于2015．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是看到表格中中间位置的数和四周数的关系，最后可列出方程求解．12．某市百货商店元月1日搞促销活动，购物不超200元不予优惠；购物超过200元而不足500元的按全价的90%优惠；超过500元，其中500元按9折优惠，超过部分按8折优惠，某人两次购物分别用了134元和466元．问：（1）列方程求出此人两次购物若其物品不打折共值多少钱？（2）若此人将这两次购物合为一次购买是否更节省？为什么？解析：（1）654元钱；（2）将这两次购物合为一次购买更节省，理由见解析. 【分析】（1）根据“超过200元而不足500元的按9折优惠”可得：200×90%＝180元，由于第一次购物134元＜180元，故不享受任何优惠；由“超过500元，其中500元按9折优惠，超过部分8折优惠”可知500×90%＝450元，466＞450元，故此人购物享受“超过500元，其中500元按9折优惠，超过部分8折优惠”，设他所购价值x 元的货物，首先享受500元钱时的9折优惠，再享受超过500元的8折优惠，把两次的花费加起来即可得出此人第二次购物不打折的花费，最后将两次购物不打折的花费相加即可；（2）计算出两次购物合为一次购买实际应付的费用，再与他两次购物所花的费用进行比较即可．【详解】解：（1）①因为134元＜200×90%＝180元，所以该人此次购物不享受优惠； ②因为第二次付了466元＞500×90%＝450元，所以该人享受超过500元，其中500元按9折优惠，超过部分8折优惠．设他所购货物价值x 元，则90%×500+（x ﹣500）×80%＝466，解得x ＝520， 520+134＝654（元）．答：此人两次购物若其物品不打折共值654元钱；（2）500×90%+（654﹣500）×80%＝573.2（元），134+466＝600（元）， ∵573.2＜600，∴此人将这两次购物合为一次购买更节省．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是分析清楚付款打折的情况，找出合适的等量关系列出方程．13．某同学在给方程21133x x a-+=-去分母时，方程右边的-1没有乘3，因而求得方程的解为2x =，试求a 的值，并正确地解方程. 解析：2a =，0x = 【分析】根据方程的定义，把2x =代入211x x a -=+-，求得a ，把a 代入原方程，去分母、去括号、移项、合并同类项得出议程的解. 【详解】把2x =代入211x x a -=+-，得：2a = ∴原方程为：212133x x -+=- 去分母得：2123x x -=+- 移项得：2231x x -=-+ 合并同类项得：0x = 【点睛】本题考查了解分数系数的一元一次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键. 14．某班将买一些乒乓球和乒乓球拍.了解信息如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元；经洽谈：甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠.该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不小于5盒).问：(1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？(2)如果要购买15盒或30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？解析：(1) 购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样；(2)买30盒乒乓球时，在甲店买5副乒乓球拍，在乙店买25盒乒乓球省钱. 【分析】（1）设当购买乒乓球x 盒时，两种优惠办法付款一样，根据总价=单价×数量，分别求出在甲、乙两家商店购买需要的钱数是多少；然后根据在甲商店购买需要的钱数=在乙商店购买需要的钱数，列出方程，解方程，求出当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样即可；（2）首先根据总价=单价×数量，分别求出在甲、乙两家商店购买球拍5副、15盒乒乓球，球拍5副、30盒乒乓球需要的钱数各是多少；然后把它们比较大小，判断出去哪家商店购买比较合算即可．【详解】(1)设当购买乒乓球x 盒时，两种优惠办法付款一样，则30×5+5(x −5)=(30×5+5x )×90% 5x +125=135+4.5x 5x +125−4.5x =135+4.5x −4.5x 0.5x +125=135 0.5x +125−125=135−125 0.5x =10 0.5x ×2=10×2 x =20答：当购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样．(2)①在甲商店购买球拍5副、15盒乒乓球需要： 30×5+5×(15−5)=150+50=200(元)在乙商店购买球拍5副、15盒乒乓球需要： (30×5+5×15)×90%=225×90%=202.5(元) 因为200<202.5，所以我去买球拍5副、15盒乒乓球时，打算去甲家商店购买，在甲家商店购买比较合算. 答：我去买球拍5副、15盒乒乓球时，打算去甲家商店购买，在甲家商店购买比较合算. ②在甲商店购买球拍5副、30盒乒乓球需要： 30×5+5×(30−5)=150+125=275(元)在乙商店购买球拍5副、30盒乒乓球需要： (30×5+5×30)×90%=300×90%=270(元) 因为270<275，所以我去买球拍5副、30盒乒乓球时，打算去乙家商店购买，在乙家商店购买比较合算. 答：我去买球拍5副、30盒乒乓球时，打算去乙家商店购买，在乙家商店购买比较合算. 考点：1．一元一次方程的应用；2．方案型． 15．已知14y x =-+，222y x =-. （1）当x 为何值时，12y y =；（2）当x 为何值时，1y 的值比2y 的值的12大1；（3）先填表，后回答：根据所填表格，回答问题：随着x 值的增大，1y 的值逐渐；2y 的值逐渐 . 解析：（1）2x =；（2）2x =；（3）表格详见解析，减小，增大. 【分析】（1）由题意可得关于x 的方程，解方程即得答案；（2）根据1y =122y +1可得关于x 的方程，解方程即得答案；（3）把x 的值依次代入1y 和2y 的关系式进行计算，即可完成表格；根据所填表格中的数据即可判断1y 和2y 的变化趋势. 【详解】解：（1）由题意得：422x x -+=-，解得：2x =，所以，当2x =时，12y y =；（2）由题意得： 1(422)21x x -+=-+，解得：2x =，所以，当2x =时，1y 的值比2y 的值的12大1. （3）x3-2-1-0 1 2 3 4 1y 7 6543 2 1 0 2y8-6- 4- 2-246由表格中的数据可知：随着值的增大，1的值逐渐减小；2的值逐渐增大. 故答案为：减小，增大. 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、代数式求值和根据表格判断代数式的变化趋势，正确列出方程、熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键.16．如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块小正方形以及另两块长方形的纸板，恰好拼成一个大正方形，求大正方形的面积.解析：大正方形的面积是36cm 2 【分析】设小正方形的边长为x ，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．【详解】设小正方形的边长为x ，则大正方形的边长为4＋（5−x ）cm 或（x ＋1＋2）cm ，根据题意得：4＋（5−x ）＝（x ＋1＋2），解得：x ＝3， ∴4＋（5−x ）＝6， ∴大正方形的面积为36cm 2．答：大正方形的面积为36cm 2．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．17．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中AB ＝2BC ，设点A ，B ，C所对应数的和是m．（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为，，m的值为；（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．解析：（1）﹣3，﹣1，﹣4；（2）﹣2；（3）8或-40．【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解；（2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解；（3）根据原点在点C的右边先确定点C对应的数，进而确定点B、点A所表示的数即可求解．【详解】解：（1）∵点C为原点，BC＝1，∴B所对应的数为﹣1，∵AB＝2BC，∴AB＝2，∴点A所对应的数为﹣3，∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；（2）∵点B为原点，AC＝6，AB＝2BC，AB+BC=AC，∴AB=4，BC=2，∴点A所对应的数为﹣4，点C所对应的数为2，∴m=﹣4+2+0＝﹣2；（3）∵原点O到点C的距离为8，∴点C所对应的数为±8，∵OC＝AB，∴AB＝8，当点C对应的数为8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为﹣4，∴m＝4﹣4+8＝8；当点C所对应的数为﹣8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为﹣12，点A所对应的数为﹣20，∴m＝﹣20﹣12﹣8＝﹣40．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是数形结合思想的灵活运用．18．由于施工，需要拆除学校图书馆，七年级同学主动承担图书馆整理图书的任务，如果由一个人单独做要用30小时完成，现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么先按排整理的人员有多少？解析：6人【分析】设先安排整理的人员有x 人，根据工作效率×工作时间×工作人数=工作总量结合题意，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设先安排整理的人员有x 人，根据题意得：()1126=13030x x +⨯+，解得：x ＝6．答：先安排整理的人员有6人．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．19．对于任意四个有理数a b c d ,,,，可以组成两个有理数对(,)a b 与(,)c d . 我们规定：(,)(,)a b c d bc ad =-★. 例如：(1,2)(3,4)23142=⨯-⨯=★. 根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对(2,3)(3,2)--=★ ；（2）若有理数对(2,31)(1,1)9x x -+-=★，则x = ；（3）当满足等式(3,21)(,)32x k x k k --+=+★的x 是整数时，求整数k 的值. 解析：（1）－5；（2）2；（3）k=0，-1，-2，-3. 【分析】（1）原式利用规定的运算方法计算即可求出值；（2）原式利用规定的运算方法列方程求解即可；（3）原式利用规定的运算方法列方程，表示出x ，然后根据k 是整数求解即可．【详解】解：（1）根据题意得：原式＝−3×3−2×(−2)＝−9＋4＝−5；故答案为：−5；（2）根据题意得：3x+1−(−2)×(x−1)＝9，整理得：5x ＝10，解得：x ＝2，故答案为：2；（3）∵等式（−3，2x−1）★（k ，x ＋k ）＝3＋2k 的x 是整数， ∴（2x−1）k−（−3）（x ＋k ）＝3＋2k ， ∴（2k ＋3）x ＝3，∴323x k =+， ∵k 是整数，∴2k ＋3＝±1或±3， ∴k ＝0，−1，−2，−3．【点睛】此题考查了新运算以及解一元一次方程，正确理解新运算是解题的关键． 20．解下列方程(1)32(4)25x x --=-； (2) 212164y y -+-=-； (3)312423(1)32x x x -+-+=-； (4)4 1.550.8 1.20.50.20.1x x x----= ； (5) 315x x +-= ； (6)解下列关于x 的方程211423x m mx ---=．解析：（1）4x =；（2）4y =-；（3）83x =；（4）117x =-；（5）2x =-或32x =；（6）2+364=-m x m . 【分析】（1）先两边同时乘以5去分母，然后去括号解方程即可；（2）先两边同时乘以12去分母，然后去括号解方程即可；（3）先两边同时乘以6去分母，然后去括号解方程即可；（4）先两边同时乘以1去分母，然后去括号解方程即可；（5）分①当x≤13时，②当x ＞13时，两种情况，分别求出x 即可；（6）把m 当成已知数，先两边同时乘以12去分母，然后去括号解方程即可. 【详解】解：（1）103(4)510--=-x x10312510-+=-x x 351022--=--x x 832-=-x4x =；（2）()()4216224--+=-y y8461224---=-y y 224+16=-y28y =- 4y =-；（3）()()2311232418(1)--++=-x x x62126121818--++=-x x x 1218182-=-+x x616-=-x83x =；（4）()()()24 1.5550.8101.2---=-x x x832541210--+=-x x x 1710121-+=-x x711-=x117x =-; （5）315x x +-= ①当x≤13时， ()315+-+=x x24x -=2x =-，-2＜13，∴2x =-满足；②当x ＞13时，()315+-=x x46x =32x =3123＞， ∴32x =满足， ∴2x =-或32x =；（6）()()32641--=-x m mx63644--=-x m mx 644+3+6-=-x mx m()642+3-=m x m2+364=-mx m . 【点睛】本题是对解一元一次方程的考查，熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键. 21．某市水果批发欲将A 市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主要参考数据如下：(1) 如果汽车的总支出费用比火车费用多1100元，你知道本市与A 市之间的路程是多少千米吗？请你列方程解答.（总支出包含损耗、运费和装卸费用）(2) 如果A 市与B 市之间的距离为S 千米，你若是A 市水果批发部门的经理，要想将这种水果运往B 市销售，试分析以上两种运输工具中选择哪种运输方式比较合算呢？解析：(1) x ＝400；(2) 当s ＞200时，选择火车运输；当s ＜200时，选择汽车运输；当s ＝200时，两种方式都一样【分析】（1）设路程为x 千米，题中等量关系是：汽车的总支出费用比火车费用多1100元，列出方程解答；（2）根据（1）中结论分别算出火车和汽车所需的运费，再进行比较即可求解．【详解】(1) 设本市与A 市之间的路程是x 千米200•20015200011002090010080x x x x +++=++，解得x ＝400(2) 火车的运输费用为•200152000172000100ss s ++=+ 汽车运输的费用为•2002090022.590080ss s ++=+ 当17s ＋2000＝22.5s ＋900，解得s ＝200 当s ＞200时，选择火车运输当s ＜200时，选择汽车运输当s ＝200时，两种方式都一样【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本类问题的关键. 22．老师在黑板上写了一个等式(3)4(3)a x a +=+．王聪说4x =，刘敏说不一定，当4x ≠时，这个等式也可能成立．（1）你认为他们俩的说法正确吗？请说明理由；（2）你能求出当2a =时(3)4(3)a x a +=+中x 的值吗？解析：（1）王聪的说法不正确，见解析；（2）4x = 【分析】（1）根据等式的性质进行判断即可．（2）利用代入法求解即可．【详解】（1）王聪的说法不正确．理由：两边除以(3)a +不符合等式的性质2，因为当30a +=时，x 为任意实数．刘敏的说法正确．理由：因为当30a +=时，x 为任意实数，所以当4x ≠时，这个等式也可能成立．（2）将2a =代入，得(23)4(23)x +=+，解得4x =．【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的性质、等式的性质是解题的关键． 23．李老师准备购买一套小户型商品房，他去售楼处了解情况得知，该户型商品房的单价是5000元2/m ，如图所示(单位：m ，卫生间的宽未定，设宽为xm )，售楼处为李老师提供了以下两种优惠方案：方案一：整套房的单价为5000元2/m ，其中卫生间可免费赠送一半的面积；方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售．（1）用含x 的代数式表示该户型商品房的面积及按方案一、方案二购买一套该户型商品房的总金额；（2）当2x =时，通过计算说明哪种方案更优惠，优惠多少元．解析：（1）该户型商品房的面积为2(482)x m +，按方案一购买一套该户型商品房的总金额为(2400005000)x +元，按方案二购买一套该户型商品房的总金额为(2280009500)x +元；（2）当2x =时，方案二更优惠，优惠3000元．【分析】（1）该户型商品房的面积=大长方形的面积-卫生间右侧的长方形，代入计算，也可以利用各间的面积和来求；方案一：（总面积-厨房的12）×单价5000；方案二：总价×0.95；（2）分别把数据代入计算即可；【详解】解：（1）该户型商品房的面积为：2473(84)2(73)(842)(482)x x m ⨯+⨯-+⨯-+--=+按方案一购买一套该户型商品房的总金额为：147342425000(2400005000)2x x ⎛⎫⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭元；按方案二购买一套该户型商品房的总金额为：(4734242)500095%(2280009500)x x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+元．（2）当2x =时，方案一总金额为2400005000250000x +=(元)；方案二总金额为2280009500247000x +=(元)．方案二比方案一优惠2500002470003000-=(元)．所以方案二更优惠，优惠3000元．【点睛】本题是根据实际应用列代数式，是楼房销售问题，考查了图形面积与销售总额及银行利率的知识；解题的关键是熟练掌握利用代数式表示图形的面积． 24．解方程：（1）3(26)17x x +=--；（2）4(2)13(1)x x --=-；（3）4(1)5(3)11x x +--=；（4）14(1)(26)112x x --+=．解析：（1）5x =-；（2）6x =；（3）8x =；（4）6x = 【分析】（1）去括号，移项及合并同类项，系数化为1即可求解．（2）去括号，移项及合并同类项，系数化为1即可求解．（3）去括号，移项及合并同类项，系数化为1即可求解．（4）去括号，移项及合并同类项，系数化为1即可求解．【详解】（1）去括号，得61817x x +=--．移项及合并同类项，得735x =-．系数化为1，得5x =-．（2）去括号，得48133x x --=-．移项，得43381x x -=-++．合并同类项，得6x =．（3）去括号，得4451511x x +-+=．移项，得4511415x x -=--．合并同类项，得8x -=-．系数化为1，得8x =．（4）去括号，得44311x x ---=．移项，得41143x x -=++．合并同类项，得318x =．系数化为1，得6x =．【点睛】本题考查了解一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 25．某圆柱形饮料瓶由铝片加工做成，现有若干张一样大小的铝片，若全部用来做瓶身可做900个，若全部用来做瓶底可做1200个．已知每一张这样的铝片全部做成瓶底比全部做成瓶身多20个．（1）问一张这样的铝片可做几个瓶底？（2）这些铝片一共有多少张？（3）若一个瓶身与两个瓶底配成一套，则从这些铝片中取多少张做瓶身，取多少张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多？解析：（1）80个（2）15张（3）6张；9张【分析】（1）列方程求解即可得到结果；（2）用总量除以（1）的结果即可；（3）设从这15张铝片中取a 张做瓶身，取(15)a -张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多，代入值计算即可；【详解】解：（1）设一张这样的铝片可做x 个瓶底．根据题意，得9001200(20)x x =-．解得80x =．2060x -=．答：一张这样的铝片可做80个瓶底．（2）12001580=（张）答：这些铝片一共有15张．（3）设从这15张铝片中取a 张做瓶身，取(15)a -张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多．根据题意，得26080(15)a a ⨯⋅=-．解得6a =．则159a -=．答：从这些铝片中取6张做瓶身，取9张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．26．甲、乙两人骑自行车分别从相距36km 的两地匀速同向而行，如果甲比乙先出发半小时，那么在乙出发后经3小时甲追上乙；如果乙比甲先出发1小时，那么在甲出发后经5小时甲才能追上乙．请问：甲、乙两人骑自行车每小时各行多少千米？解析：甲骑自行车每小时行18千米，乙骑自行车每小时行9千米【分析】设甲骑自行车每小时行x 千米，先根据“甲比乙先出发半小时，那么在乙出发后经3小时甲追上乙”用含x 的代数式表示出乙的速度，然后根据甲5小时骑行的路程－乙6小时骑行的路程=36千米即可列出方程，解方程即可求出结果．【详解】解：设甲骑自行车每小时行x 千米，则乙骑自行车每小时行133623x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭千米，即7126x ⎛⎫- ⎪⎝⎭千米．依题意，得()755112366x x ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，解得18x =． 712211296x -=-=．答：甲骑自行车每小时行18千米，乙骑自行车每小时行9千米．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 27．解方程：（1）36156x x -=--；（2）45173x x +=-；（3） 2.57.5516y y y --=-；（4）11481.5533z z +=-．解析：（1）1x =-；（2）66x =-；（3）56y =；（4）407z =- 【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可．（2）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可．（3）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可．（4）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可．【详解】（1）移项，得36156x x +=-+．合并同类项，得99x =-．系数化为1，得1x =-．（2）移项，得41753x x -=--．合并同类项，得1223x =-．系数化为1，得66x =-．（3）移项，得 2.57.5165y y y --+=．合并同类项，得65y =．系数化为1，得56y =．（4）移项，得11841.5533z z -=--．合并同类项，得7410z =-．系数化为1，得407z =-．【点睛】本题考查了解一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．28．我们知道13写成小数形式为0.3，反过来，无限循环小数0.3也可以转化成分数形式．方法如下：设0.3x =，由0.30.333=，可知10 3.333x =，所以103x x -=．解方程，得13x =，所以10.33=．例如：把无限循环小数0.32化为分数的方法如下：设0.32x =，由0.320.323232=，可知10032.323232x =，所以10032x x -=，解方程，得3299x =，所以320.3299=．根据上述材料，解答下列问题：（1）把下列无限循环小数写成分数形式：①0.5=________；②2.58=________；③0.518=________．（2）借鉴材料中的方法，从第（1）题的①②③中任选一个，写出你的转化过程．解析：（1）①59；②25699；③518999；（2）见解析【分析】（1）根据题目中的转化方法进行转化即可．（2）根据题目中的转化方法进行转化，并写出过程．【详解】（1）①59；②25699；③518999．（2）从①②③中任选一个转化即可． ①设0.5x =，则10 5.5555x =⋯，所以105x x -=，解方程，得59x =，所以50.59=． ②设0.58x =，则10058.5858x =⋯，所以10058x x -=，解方程，得5899x =，所以。

【核心考点突破】2023学年七年级数学上册精选专题培优讲与练(人教版)设元的五种技巧-原卷版

设元的五种技巧（原卷版）【专题精讲】解应用题时,设元是常用来解题的方法,通过设元可以找到条件和结论之间的联系,准确、恰当地设元往往有助于简化解题过程,达到事半功倍的作用,设什么元需要根据具体问题的条件确定,就常见的设元法简析如下:1.直接设元法就是将题目中需要求的量直接设为未知元,即求什么设什么,这是最常用的设元法。

1．（2022·全国·七年级专题练习）A，B两地相距448km，一列慢车从A地出发，速度为60km/h，一列快车从B地出发，速度为80km/h，两车相向而行，慢车先行28min，快车开出多长时间后两车相遇？2．（2022·全国·七年级专题练习）甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千米？3．（2022·江西赣州·七年级期末）石城县矿山机械设备闻名省内外．在某矿山机械设备车间工人正在紧张地按订单进度进行生产，若每人每天平均可以生产轴承12个或者轴杆16个，1个轴承与2个轴杆组成一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？4．（2022·辽宁大连·七年级期末）列一元一次方程解应用题∶某社区为响应抗击“新冠病毒”号召，组织志愿者到各个街道进行“少出门，少聚集”的安全知识宣传．原计划在甲街道安排20个志愿者，在乙街道安排12个志愿者，但到现场后发现任务较重，决定增派16名志愿者去支援两个街道，增派后甲街道的志愿者人数是乙街道志愿者人数的2倍，请问新增派的志愿者中有多少名去支援甲街道？2.间接设元法对于直接设元比较困难的问题,通常可以间接设元,所设的量不是要求的,但更易找出符合题意的等量关系,这种把题中要求量以外的量设为未知元的方法,称为间接设元法。

5．（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）列一元一次方程解应用题：在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求无风时这架飞机在这一航线的平均航速和两机场之间的航程．6．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学七年级阶段练习）小刚和小强分别从A、B两地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一线路相向匀速而行，出发两小时两人相遇，相遇时小刚比小强多走了24千米，相遇后0.5小时小刚到达B点．(1)两人的行驶速度各是多少？(2)AB两地相距多少千米？7．（2022·河南驻马店·七年级期末）在一条铁路上，有甲，乙两个站，相距408千米，一列慢车从甲站开出每小时行72千米，一列快车从乙站开出，每小时行96千米，若两车同向而行，几小时后两车相距60千米？8．（2022·全国·九年级专题练习）在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？3.整体设元法3个有些问题未知量太多,而等量关系又太少,若末知量的某一部分存在一个整体关系,则可设这一部分为未知数,这样就成少了设未知数的个数,这种设元的方法叫做整体设元法。

设元的若干技巧

设元的若干技巧作者：徐子国来源：《中学生数理化·教研版》2008年第12期解应用题的主要困难在于列方程困难，而列方程的难易又取决于设元是否合理.本文针对题目的特征，介绍设元的若干技巧.一、根据题问，直接设元例1分一堆苹果给三只猴子，第一只猴子分得了这一堆苹果的一半少一个，第二只猴子分得了余下的一半多一个，第三只猴子分得了余下的8个苹果，这一堆苹果有多少个？解：设有苹果x个.依题意得：-1+x--1?摇×+1+8=x.解得 x=34.故有苹果34个.二、回避题问，间接设元例2四个数中每三个数相加得到的和分别是31、30、29、27，那么，原来四个数中最大的一个数是多少.解：设这四个数的和为x.依题意得：（x-31）+（x-30）+（x-29）+（x-27）=x.解得 x=39.∴x-27=39-27=12.故四个数中最大的一个数是12.三、左右逢源，中间设元例3若三个连续偶数的和等于1 992，则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于.解：设这三个连续偶数的中间一个为x，依题意得：（x-2）+x+（x+2）=1 992.解得x=664.则x-2=662，x+2=666.∴6662-6622=（666+662）（666-662）=1 328×4=5 312.四、着眼全局，整体设元例4一个六位数的3倍等于，则这个六位数是.解：设abcde=x.依题意得：3（200 000+x）=10x+9.解得x=85 731.故这个六位数是285 731.五、借助参数，比例设元例5书架上有三种书：文学、科技，生活常识，比例为5∶2∶4，若多摆35本文学书，科技书增至3倍，则生活常识书占22%，生活常识书共有本.解：设文学书5x本，科技书2x本，生活常识书4x本，依题意，得：=.解得x=11.故生活常识书共有44本.六、抓住关键，增加设元例6已知四个数的和为64，若第一数加3，第二数减3，第二数乘以3，第四数除以3，所得的结果均相同，则这四个数分别为.解：设相同的结果为x，则四个数分别为x-3，x+3，，3x，依题意，可得：x-3+x+3++3x=64.解得x=12.故这四个数分别为9、15、4、36.七、便列方程，也可减少设元例7一轮船从重庆到上海要5昼夜，而从上海到重庆要7昼夜，那么有一木排从重庆顺流漂到上海要多少昼夜？解：设木排从重庆顺流漂到上海要x d，轮船在静水中的速度为v1 km/d，水流的速度为v2 km/d，依题意，得5（v1+v2）=（v1-v2），①5（v1+v2）=v2x.②由①得v1=6v2代入②，得x=35（d）.故木排从重庆顺流漂到上海要35昼夜.。

三种设元方法

三种设元方法
设元是解决数学问题的重要步骤，它可以帮助我们更好地理解和解决问题。

在解决某些问题时，我们可能需要采用不同的设元方法。

以下是三种常见的设元方法：
1. 直接设元法：这是最直接的方法，直接将问题中的未知数设为变量。

例如，在求解一元二次方程时，我们可以直接将方程中的未知数设为x。

2. 整体设元法：这种方法是将问题看作一个整体，而不是将其拆分成多个部分。

例如，在求解一些几何问题时，我们可以将整个图形看作一个整体，并设其为变量。

3. 参数设元法：这种方法是在解决问题时引入一些参数，这些参数可以帮助我们更好地描述问题。

例如，在求解一些物理问题时，我们可以引入速度、时间和距离等参数来描述物体的运动。

这三种设元方法各有特点，适用于不同的问题类型。

在实际应用中，我们需要根据问题的具体情况选择合适的设元方法。

人教版数学七年级下册--设元有法解题有方

设元有法解题有方列二元一次方程组解实际问题需要设元，根据不同的实际问题，采用不同的设元法，可使问题得到巧妙解决.一、直接设元直接设元，就是根据题目的相等关系，把要求的量直接用未知数表示.例1 某小学在6月1日组织师生共110人到某公园游览，该公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元.该学校购票共花费2400元，则在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？分析：用二元一次方程组解决问题的关键是找等量关系.本题中等量关系：①教师人数+学生人数＝110；②教师的总票钱+学生的总票钱＝2400.根据题意列出方程组，解得答案.解：设在这次游览活动中，教师有x人，学生有y人，由题意，得解得答：在这次游览活动中，教师有10人，学生有100人.二、间接设元间接设元，就是选取一个和问题有关的量设未知数，再通过这个未知数求出所要求的量.例2 初三（2）班的一个综合实践活动小组去A、B两个超市调查去年和今年“五一节”期间销售情况，下面是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情况，小敏：两超市销售额，去年共为150万元，今年共为170万元；学生甲：A超市销售额今年比去年增加15%；学生乙：B超市销售额今年比去年增加10%.根据他们的对话，请你分别求出两个超市，今年“五一节”期间的销售额？分析：由第一组对话可知，去年A、B两超市销售额的和为150万，今年两超市销售额的和为170万元，第二组对话A超市比去年增加15%，即今年＝去年+去年×15%，第三组对话B超市今年＝去年+去年×10% ，由这三组对话可得两个方程，问题得以解决.解：设 A超市去年销售额为x万元，那么今年A超市销售额为x+15%x＝1.15x万元，B 超市去年销售额为y万元，那么今年B超市销售额为y+10%y＝1.1y万元.根据题意得：解得： 1.15x＝115，1.1y＝55.答：今年A超市销售额为115万元，B超市销售额为55万元.三、设辅助元法设辅助元，就是为了使问题易于解决，增设一个未知量，这个量只起到辅助解题的作用.例3 学校准备用一笔钱买奖品,若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品,则可买80份奖品;若以1支钢笔和4本笔记本为一份奖品,则可买60份奖品.问这笔钱全部用来买钢笔或笔记本,则各买多少？分析：本题中的未知量有：准备用来买奖品的总钱数，钢笔和笔记本的单价.不妨将这三个未知量都设出来，便于列方程组.解：设钢笔每支x元，笔记本每本y元，这笔钱有a元.根据题意，得解得x＝4y，将x＝4y代入方程①可得a＝480y，将4y＝x代入方程②，得a＝120x.所以这笔钱全部用来买钢笔可买120支或笔记本480本.答：这笔钱全部用来买钢笔可买120支或笔记本480本.。

七年级数学思维探究（7）怎样设元（含答案）

李善兰（1811-1882），晚清中国杰出的数学家，在西方传教士的帮助下，翻译了大量科学著作，如《几何原本》后九卷、《代数学》等．不仅向中国学者介绍了西方数学知识，还创立了许多型概念、新名词、新符号，如代数学、方程式、函数、微分等．除翻译西方名著外，李善兰也有多种自己的著作，如《方圆阐幽》、《对数探源》、《弧矢启密》等，为中国数学的发展作出了卓越的贡献．7．怎样设元解读课标荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，倒不如说学习“数学化”方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型．在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有： 1．直接设元即问什么设什么．2．间接设元即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系．3．辅助设元有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析．4．整体设元若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数．问题解决例1 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为_____________．试一试要求长方形的面积需求出各正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于6个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．例2 植树节时，某班平均每人植树6棵．如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树（）棵．A ．9B ．10C ．12D ．14 试一试略例3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的23，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的35；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？试一试票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．例4 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，者可在以下两种购铺方案中作出选择：方案一：者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%．方案二：者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．（1）请问：者选择哪种购铺方案，5年后所获得的收益率更高？为什么？（注：100%=⨯投资收益投资收益率实际投资额）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各了多少万元？试一试在阅读理解的基础上通过设元解决问题．F EDCB A例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加．如果开放一个检票口，则要20分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则8分钟队伍就消失．设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？分析与解未知量有以下几个：检票开始时，等候检票的队伍人数；每个检票口每分钟检票的人数；队伍每分钟增加的人数，只有指明这些量，才能表示等量关系．设检票开始时，等候检票的队伍有a 人，每个检票口每分钟检票x 人，队伍每分钟增加y 人，则20ax y=-，82a x y =-，消去a ，得()()2082x y x y -=-，3x y =．故同时开放三个检票口，等候检票的队伍消失的时间是：()()20203202533338x y y y a x y x y y y --⨯====--⨯-（分钟）．纪念例6 瑞士数学家欧拉（L ．Euler ，1707-1783）是历史上最多产的数学家，据统计他一共写了886本（篇）书籍和论文．著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师．”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影，下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题．有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多．问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？分析根据设未知数和思路的不同，可得多种解法．解法1 设有x 个儿子，则最后一个儿子分得100x 克朗，倒数第二个儿子先得到()1001x -克朗，又得到“余下的110”，即留给最后一个儿子的是余下的910，故这个“余下的110”也是最后一个儿子钱数的19．由最后两个儿子分得钱数相等，得方程()10010011009xx x -+=，解得 9x =．所以这位父亲共有9个儿子，每人分得财产100900x =（克朗），留下90098100⨯=（克朗）财产．解法2 设每个孩子分得的财产是x ，总的财产是y ，则根据题意，第一个孩子分得的财产是：10010010y x -=+，第二个孩子分得的财产是：20020010y x x --=+，第三个孩子分得的财产是：230030010y x x --=+，依此类推，可以看出，老大与老二（老二与老三，老三与老四等都一样）的差额是10010010x +-．根据题意，这个差数应当是0，于是得出一元一次方程：100100010x +-=．解之，得900x =，于是8100y =．经过验证，每个孩子确实都分得900元，即第二、三、四……个方程都满足81009009÷=（个）．所以这位父亲有9个孩子，他共有财产8100克朗，每人分到900克朗．数学冲浪知识技能广场1．古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有4个数，把其中每3个相加，其和分别为22，24，27，20，则这四个数分别是____________． 2．一个六位数2abcde 的3倍等于9abcde ，则这个六位数等于_____________．3．10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是______________．4．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折．如果小明一次性购书付款162元，那么小明所购书的原价一定为（）元．A ．180B ．202.5C ．180或202.5D ．180或2005．一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（）． A ．100元 B ．105元 C ．108元 D ．118元6．某种产品是由A 种原料x 千克、B 种原料y 千克混合而成，其中A 种原料每千克50元，B 种原料每千克40元，后来调价，A 种原料价格上涨10%，B 种原料价格减少15%，经核算产品价格可保持不变，则:x y 的值是（）．A ．23B ．56C ．65D ．55347．陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10的整数，笔记本的单价可能为多少元？ 8．燃蜡时间问题（英国）在伦敦的一个大雾天，一家商店的店主叫店员点燃两支长度相同的蜡烛，这两支蜡烛的一支可维持4个小时，另一支可维持5小时．雾散后，店主来吹蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的4倍，问蜡烛点燃了多长时间？20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元．篮球排球进价/（元/个） 8050 售价/（元/个） 9560（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？思维方法天地10．某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一个球得1分，得分的部分情况得分 0 1 2 … 8 9 10 人数 7 5 4 … 3 4 16分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有_____________人．11．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需___________小时．12．下边算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”3 ，那么被乘数是___________．13．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是（）．A ．5千克B ．6千克C ．7千克D ．8千克×神州五号飞天神天飞号五州神14．某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的45，已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的14，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的比是（）A ．919B ．1019C ．1121D ．102115．某商品原价为a 元，春节促销，降低20%，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高（） A ．15% B ．20% C ．25% D ．30%16．将下表的方格中的7个方格填入不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上的3个数宇之和都相 2012 2010-．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．月使用费/元主叫限定时间/分主叫超时费/（元/分）被叫方式一 58 150 0.25 免费方式二 88 350 0.19 免费150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0.25元．设一个月内使用移动电话主叫的时间为t 分（t 为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题： 150t ≤ 150350t << 350t = 350t ≥方式一计费/元 58108 方式二计费/元 8888 88 t （3）当330360t <<时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．18．为了改善城乡人民生产、生活环境，我市投入大量资金，治理竹皮河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂．设库池中存有待处理的污水a 吨，又从城区流入库池的污水按每小时b 吨的固定流量增加．如果同时开动2台机组需30小时处理完污水，同时开动4台机组需工10小时处理完污水．若要求在5小时内将污水处理完毕，那么要同时开动多少台机组？应用探究乐园19．某农民在农贸市场卖鸡．甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好买完．问该农民一共卖了多少只鸡？20．如图，长方形ABCD 、ABEF 、AGHF 的长与宽的比相同，长方形ABCD 与AGHF 的面积比是8116，长方形BEHG 的周长是22，求长方形ECDF 的面积．HGF EDCB A7．怎样设元问题解决例1 143 设C 、D 的边长为x ，则E 、F 、B 的边长分别为1x +，2x +，21x -，由题意得：()()()1221x x x x +++=+-，解得4x =．例2 B 设男、女同学分别有x 、y 人，则()156y x y =+，32x y =，则只由男同学完成每人应植树()33661022x y x y y y ⎛⎫+÷=+÷= ⎪⎝⎭．例3 设总票数为a 张，六月份零售票应按每张x 元定价，由题意得24864153156a a a ax +=+，解得19.2x =（元）．例4 （1）设商铺标价为x 万元，则按方案一购买，则可获收益()120%110%50.7x x x -⋅+⋅⨯=，收益率为0.7100%70%xx⨯=．按方案二购买，则可获利益()()10%12110%30.60%0.852x x x ⋅+⋅⨯-⨯=-．收益率为0.62100%72.9%0.85xx⨯≈． ∴者选择方案二所获得的收益率更高．（2）设甲了x 万元，由题意得0.70.625x x -=，解得62.5x =， ∴甲了62.5万元，乙了53.125万元．数学冲浪1．9，7，4，11设四个数的和为x 2．2857133．2- 提示：设报3的人心里想的数是x ，报5的人心里想的数应是8x -．于是，报7的人心里想的数是()1284x x --=+，报9的人心里想的数是()16412x x =-+-，报1的人心里想的数是()20128x x --=+，报3的人心里想的数是()484x x -+=--，由4x x =--，得2x =-．4．C 5．A 6．C 7．（1）设单价为8元的课外书为x 本，由()8121051500418x x =-+-，得44.5x =（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．（2）设单价为8元的课外书为y 本，笔记本的单价为a 元，则()8121051500418y y a +-=--，即1784a y +=，178a +应被4整除，2a =，4，6，8，经讨论2a =或6．8．设蜡烛点燃了x 小时，蜡烛的长度为l 厘米，由445l l l x l x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得154x =小时．9．（1）12个，8个（2）4个 10．43 设共有x 人，由()()4576241534138394101x x ---⨯+⨯+⨯=---⨯+⨯+⨯+⨯，得43x =． 11．2412．307692 设“神舟五号”A =，“飞天”B =，则()100310000A B B A ⨯+=+，23769A B =，()23,7691=，故23B n =，769A n =，n 为自然数，24n ≤≤，得4n =，从而3076A =，92B =．13．B 设切下的每一块合金重x 克，10千克、15千克的合金含铜的百分比分别为a 、()b a b ≠，则()()10151015a x bxb x ax-+-+=，整理得()()6b a x b a -=-．故6x =． 14．C 设初一年级学生人数为a ，男生人数为b ，可求得初三年级男生人数为13a ，所求比为：()4141153521a b b a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-÷++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．15．C16．1 17．（1）当150350t <<时，方式一：0.2520.5t +；当350t >时，方式一：0.2520.5t +；方式二：0.1921.5t +．（2）当350t >时，()()0.2520.50.1921.50.0610t t t =+-+->， ∴当两种计费方式的费用相等时，t 的值在150350t <<取得． ∴列方程0.2520.588t +=，解得270t =．当主叫时间为270分钟，两种计费方式的费用相等．（3）方式二．18．设1台机组每小时处理污水V 吨，要在5小时内处理污水，需开x 台机组，则302301041055a b V a b V a b xV +=⨯⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩③①②由①、②得30a Vb V =⎧⎨=⎩．代入③，得7x =．19．设该农民一共卖了a 只鸡，则111224488a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得7a =．20．设AG x =，AF mx =，则2AB m x =，3BC m x =，可得32m =，32BE x =，54BG x =，由35112242x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得4x =，长方形ECDF 的面积为67.5．7．怎样设元问题解决例1 143 设C 、D 的边长为x ，则E 、F 、B 的边长分别为1x +，2x +，21x -，由题意得：()()()1221x x x x +++=+-，解得4x =．例2 B 设男、女同学分别有x 、y 人，则()156y x y =+，32x y =，则只由男同学完成每人应植树()33661022x y x y y y ⎛⎫+÷=+÷= ⎪⎝⎭．例3 设总票数为a 张，六月份零售票应按每张x 元定价，由题意得24864153156a a a ax +=+，解得19.2x =（元）．例4 （1）设商铺标价为x 万元，则按方案一购买，则可获收益()120%110%50.7x x x -⋅+⋅⨯=，收益率为0.7100%70%xx⨯=．按方案二购买，则可获利益()()10%12110%30.60%0.852x x x ⋅+⋅⨯-⨯=-．收益率为0.62100%72.9%0.85xx⨯≈． ∴者选择方案二所获得的收益率更高．（2）设甲了x 万元，由题意得0.70.625x x -=，解得62.5x =， ∴甲了62.5万元，乙了53.125万元．数学冲浪1．9，7，4，11设四个数的和为x 2．2857133．2- 提示：设报3的人心里想的数是x ，报5的人心里想的数应是8x -．于是，报7的人心里想的数是()1284x x --=+，报9的人心里想的数是()16412x x =-+-，报1的人心里想的数是()20128x x --=+，报3的人心里想的数是()484x x -+=--，由4x x =--，得2x =-．4．C 5．A 6．C 7．（1）设单价为8元的课外书为x 本，由()8121051500418x x =-+-，得44.5x =（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．（2）设单价为8元的课外书为y 本，笔记本的单价为a 元，则()8121051500418y y a +-=--，即1784a y +=，178a +应被4整除，2a =，4，6，8，经讨论2a =或6．8．设蜡烛点燃了x 小时，蜡烛的长度为l 厘米，由445l l l x l x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得154x =小时．9．（1）12个，8个（2）4个 10．43 设共有x 人，由()()4576241534138394101x x ---⨯+⨯+⨯=---⨯+⨯+⨯+⨯，得43x =． 11．2412．307692 设“神舟五号”A =，“飞天”B =，则()100310000A B B A ⨯+=+，23769A B =，()23,7691=，故23B n =，769A n =，n 为自然数，24n ≤≤，得4n =，从而3076A =，92B =．13．B 设切下的每一块合金重x 克，10千克、15千克的合金含铜的百分比分别为a 、()b a b ≠，则()()10151015a x bxb x ax-+-+=，整理得()()6b a x b a -=-．故6x =． 14．C 设初一年级学生人数为a ，男生人数为b ，可求得初三年级男生人数为13a ，所求比为：()4141153521a b b a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-÷++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．15．C16．1 17．（1）当150350t <<时，方式一：0.2520.5t +；当350t >时，方式一：0.2520.5t +；方式二：0.1921.5t +．（2）当350t >时，()()0.2520.50.1921.50.0610t t t =+-+->， ∴当两种计费方式的费用相等时，t 的值在150350t <<取得． ∴列方程0.2520.588t +=，解得270t =．当主叫时间为270分钟，两种计费方式的费用相等．（3）方式二．18．设1台机组每小时处理污水V 吨，要在5小时内处理污水，需开x 台机组，则302301041055a b V a b V a b xV +=⨯⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩③①②由①、②得30a Vb V =⎧⎨=⎩．代入③，得7x =．19．设该农民一共卖了a 只鸡，则111224488a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得7a =．20．设AG x =，AF mx =，则2AB m x =，3BC m x =，可得32m =，32BE x =，54BG x =，由35112242x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得4x =，长方形ECDF 的面积为67.5．。

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专题11设元的技巧阅读与思考应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一．应用题联系实际，反映现实生活中的数量关系，通过解应用题可以培养运用数学知识去分析和解决问题的能力．列方程解应用题，一般有审题、设元、布列方程、解方程、作答等几个步骤．恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，常见的设元技巧有：1．直接设元题目要求什么量，就设什么量为未知数，或有几个要求的量，而设其中的某一个量为未知数．2．间接设元即所没的不是所求的，适当地选择与题目要求的未知数有关的某个量为未知数，则易找出符合题意的数量关系，从而列出方程．3．辅助设元有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因而需把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就是辅助设元．4．整体设元有些应用题未知量太多而已知关系又少，如果在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，这样就减少了设元的个数，这就是整体设元．例题与求解【例1】某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，则该书有____页.解题思路：依题意可知该书页码的数字组成有三种：一个数字、两个数字、三个数字.一共有636个数字，可设直接未知数，列方程求解．找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系是列方程解应用题又一关键．寻找相等关系常用方法有：①从关键词中寻找相等关系；②利用基本公式寻找相等关系；③利用不变量寻找相等关系；④对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次），形成一种相等关系．行程问题、工程问题、劳力分配问题、浓度问题、数字问题等是列方程解应用题的基本类型，此外，还有趣味问题（如年龄、时钟等）、经济问题（如银行存款、销售利润等），尽管形式多变，但是解题实质未变，需要我们用数学观点，理清数量关系，恰当设未知数，准确列方程．【例2】某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润（每件冬装的利润＝出厂价一成本）是出厂价的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长( )。

A. 2% B．8% C. 40. 0% D．62%（江苏省竞赛试题）解题思路：设出与总额相关的量：出厂价、销售件数．解决以实际生活为情景的应用题时，需要具备一定的优化意识和估算决策能力.【例3】某音乐厅决定月初在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？（北京市东城区中考试题）解题思路：票款与票数、票价有关，故既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．与商品利润相关的基本知识： ①利润率＝进货价利润×100%；②利润＝售出价一进货价；③售出价＝利润＋进货价＝进贷价×(1＋利润率)．【例4】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表．价目表每月用水量单价不超过6m 3的部分 2元/m 3 超过3m 3不超出10m 3的部分4元/m 3 超出10m 3的部分8元/m 3注：水费按月结算．若某居民1月份用水8 m 3，则应收水费2×6＋4×(8－6) ＝20（元）． (1)若该户居民2月份用水12. 5 m 3，则应收水费______元．(2)若该户居民3，4月份共用水15 m 3（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该居民3，4月份各用水多少立方米？（江苏省扬州市中考试题）解题思路：第(1)问须分段计费；第(2)问设3月份用水量为x m 3，则4月份用水量为)15(x m 3，分两种情况进行讨论．【例5】A ，B ，C 三个微型机器人围绕一个圆形轨道高速运动，它们顺时针同时同地出发后，A 在2秒钟时追上B ，2.5秒钟时追上C ，当C 追上B 时，C 和B 的运动路程之比是3：2，问第1分钟时，A 围绕这个圆形轨道运动了多少圈？（“华罗庚金杯”竞赛试题）解题思路：要充分运用问题中的等量关系，需设出A ，B ，C 三个微型机器人的速度、圆形轨道长等多个未知数．【例6】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草. 设每头牛每天吃草的量是相等的，问：(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？（全国数学通讯赛试题）解题思路：此题可采取设定多个间接未知数的解决方法.能力训练A 组1．光明中学七年级一、二、三班，向希望学校共捐书385本，一班与二班捐书的本数之比为4：3，一班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐书______本．（北京市“迎春杯”竞赛试题）2．一个六位数abcde 1的3倍等于1abcde，则这个六位数为________．（黑龙江省竞赛试题）3．某种电器产品，每件若以原定价的9.5折销售，可获利150元，若以原定价的7.5折销售，则亏损50元．该种商品每件的进价为________元．（“希望杯”竞赛试题）4. 某出租汽车的车费是这样计算的：路程在4公里以内（含4公里）为10.40元；达到4公里以后，每增加1公里加1. 60元；达到15公里后，每增加1公里加2.40元．增加不足1公里时按四舍五人计算．则乘坐15公里该种出租车应交车费____元．某乘客乘坐该种出租车交了车费95.20元，则这个乘客乘该出租车行驶的路程为________公里．（精确到两位小数）（“希望杯”邀请赛试题）x:（重量比）相混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每千克50元，乙5．甲、乙两种茶叶，以y种茶叶的价格每千克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶x:等于( ).的价格不变，则yA．1:1B．4:5C．5:4 D. 6:5（北京市竞赛试题）6．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米．按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分接每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0. 88元，那么，4月份这用户应交煤气费( )．A．60元B．66元C．75元 D. 78元（全国初中数学联赛试题）7．植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树( )棵．A.9 B．10 C．12 D．14（四川省竞赛试题）8．某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，以成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏本20%，则这次出售中商贩( )．A．不赚不赔B．赚37.2元C．赚14元D．赔14元9．从两块重量分别为6千克和4千克且含银的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块分别和另一块切剩的合金放在一起，熔炼后，两块合金的含银的百分数相同，求所切下的合金的重量是多少？10.陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元，”王老师算了一下，说：“你肯定弄错了．”(1)王老师为什么说他弄错了？试用方程的知识加以解释；(2)陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应是小于10的整数，笔记本的单价可能为多少元？（四川省资阳市中考试题）B级1．一幢楼房内住有6家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵、钱、孙、李、周分别订了其中2，2，4，3,5种报纸．而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，那么吴姓住户订有____种报纸，报纸F 在这幢楼里有____家订户．（“祖冲之杯”邀请赛试题）2．某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量是颠倒了，因此，比计划支出增加了50%，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为_______ .（天津市竞赛试题）3．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要_______天．（“希望杯”邀请赛试题）4．右边算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”－o ，那么被乘数是________________.神舟十号飞天神飞天神舟五号5．一艘轮船从A 港到B 港顺水航行，需6小时，从B 港到A 港逆水需8小时，若在静水条件下，从A 港到B 港需( )小时．A ．7B ．217C ．766D ．216（五城市联赛试题）6．某商品连续两次提价10%，又提价5%，要恢复原价，至少应降价x %（x 为整数），则x ＝( )． A ．20 B ．21 C ．22 D. 237．如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为多少？（山东省济南市中考试题）8．自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶3 000km 就要报废，安装在前轮上，则行驶5 000km 才报废．为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在自行车行驶一定路程后，就将前后轮调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？（《时代学习报》数学文化节试题）9．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A 型抽水机，1小时后正好能把池塘中的水抽宪，若用两台A 型抽水机20分钟正好把池塘中水抽完。

问若用三台A 型抽水机同时抽水，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？（江苏省竞赛试题）专题11设元的技巧例1 248提示:设该书有x 页，则可列方程()6369290399=+⨯+⨯-x ，解得x =248页. 例2 B 提示:设9月份每件冬装的出厂价为x 元，9月份销售冬装m 件，则%825.025.08.115.0=-⨯xmxmm x .例3设总票数为a 张，六月份零售票应按每张x 元定价，则ax a a a 61156438524+=+，解得x =19.2元. 例4 (1)应收水费()()48105.128610462=-⨯+-⨯+⨯元.(2)设三月份用水量为3xm ，则四月份用水量为(15-x) m 3.若x ≤6,15-x ≤10时，则()[]446154622=--+⨯+x x ，解得，x=2(舍去);若x ≤6,15-x >10时，则()[]441015844622=--+⨯+⨯+x x ，解得x =4;若x>6，由题意知x<10，则15一x <10,则()()[]441546264-62=--+⨯+-⨯⨯b x x ，无解. 所以三月份用水43m ，四月份用水113m .例5 42圈提示：设A ，B ，C 三个微型机器人的速度分别为u ，v 和w ，圆形轨道周长是S ，则S u －v ＝2,S u －w ＝2.5,即S 2＝u －v ,S 2.5＝u －w .∴w －v ＝S 2－S 2.5＝S 10…..①.又有10w 10v ＝32……②．解①和②，得v ＝S 5……③，代入S 2＝u －v 中，得u ＝7S 10,7S10×60＝42S ．故第一分钟时，A 围绕这个圆形轨道运动了42圈．例6 (1)设牧场原有草量为a ，每天生长出的草量为b ，每头牛每天吃草量为c ，16头牛x 天吃完草，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6b ＝24×6c ①a ＋8b ＝21×8c ②a ＋bx ＝16cx ③． ②一①得b ＝12c ④，③一②得(x －8)b ＝（16x －168）c ⑤，将④代人⑤得（x 一8）•12c ＝(16x －168)c ，解得x ＝18.(2)设至多放牧y 头牛，牧草才永远吃不完，则有cy ≤b ，即每天吃的草不能多于生长的草，y ≤b c ＝12．A 级1. 992. 142 857 提示：设abcde ＝x ，则3(100 000＋x ) ＝l 0x ＋1，解得x ＝42 857．故这个六位数为142 857.3. 800 提示：设该商品的原定价为x 元，由题意有：9.510x －150＝7.510x ＋50，解得x ＝1000.故该商品每件的进价为1000×7.510＋50＝800元．4. 30. 40 43 提示：(1)注意，到15千米时刚好跳表，所以要加上2.4元，不要漏了．(2)设所行路程为x 公里，则2.40×(x －15)＋28.00＝ 95.20. 5．C 6．B7．B 提示：设分别有男、女同学x ，y 人，则15y ＝6(x ＋y )，x ＝32y ．则男同学完成每人应植树6(x ＋y )÷x＝10棵． 8. D9．设所切下的合金重量为x 千克，重6千克，4千克的合金含银的百分数分别为a ，b (a ≠b )，bx ＋(b －x )a6＝ax ＋(4－x )b4，解得x ＝2.4． 10．(1)设单价为8元的课外书为x 本，由8x ＋12(105－x )＝1500－418，解得x ＝44.5（不合题意），所以陈老师肯定弄错了．(2)设单价为8元的课外书为y 本，笔记本的单价为a 元，则8y ＋(105－y )×12＝1500－418－a ,即178＋a ＝4y ，178＋a 应被4整除，a ＝2，4，6，8，经讨论a ＝2或6．B 级1. 1 6 提示：设吴姓住户订有x 种报纸，报纸F 在这幢楼里有y 家订户，其中x ，y 为x ≥1，y ≤6的整数，由题意得2＋2＋4＋3＋5＋x ＝1＋4＋2＋2＋2＋y ，解得x ＝1，y ＝6．2. 1：4提示：设原计划贿买钢笔x 支，圆珠笔y 支，圆珠笔的价格为k 元，由题意得（2kx ＋ky ）×(1＋50%)＝2ky ＋kx ，解得y ＝ 4x .. 3. 1004. 307 692 提示：设“神舟十号”＝A ，“飞天”＝B ，则3×(100A ＋B )＝10000B ＋A ，得23A ＝ 769B ．又(23，769)＝1，故B ＝23n ，A ＝769n ，n 为自然数且2≤n ≤4．经讨论n ＝4可行，从而A ＝3076，B ＝92．5．C 提示：设A 港到B 港路程为S ，静水速度和水流速度分别为V 船，V 水．则S V 船＋V 水＝6……①，S V 船―V 水＝8……②，则6(V 船＋V 水)＝8（V 船―V 水），得V 船＝7V 水．把V 水＝17V 船代入①中'得S V 船＋17V 船＝6，故S V 船＝667.6．C7. 143 提示：设C ，D 的边长为x ，则E ，F ，B 的边长分别为x ＋1，x ＋2，2x －1，由题意得(x ＋1)＋(x ＋2)＝x ＋（2x －1），解得x ＝4．也可用x ＋3表示出B 的边长，则x ＋3＝2x －1，更易求得x ＝4.8．设自行车行驶了x km 后，互换前、后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报废，因此，前轮胎还可行驶(5000－x )km ．后轮胎还可行驶(3 000－x )km.当前后轮胎互换后，还可行驶，并有(5000－x )×35＝(3000－x )×53．解此方程，有（53一35）x ＝2000，解得x ＝1875．这就是说，当自行车行驶了1875km 后，互换前后轮胎，这样还可行驶（5000－1875）×35＝1875 km ．故最多可行驶3750 km.9．设流水的速度为x 米3／分，池塘原有水y 米3，每台A 型抽水机抽水效率为z 米3／分，三台A 型抽水机需t 分钟把池塘中水抽完，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋60x ＝60z ①y ＋20x ＝40z ②y ＋tx ＝ 3tz ③． ②一①,得z －＝2－x …..④③一②,得(20－t )x ＝(40－3t )z ……⑤， ④代入⑤得t ＝12分钟．。