Jzewdy高考数学难点突破 难点41 应用问题
高中数学难点突破策略及答案
高中数学难点突破策略及答案高中数学作为一门基础科目和必修课程，在学生中的重要性不言而喻。
然而，很多学生面对数学题目时却感到头疼和无从下手。
这主要是因为高中数学难点比较多，需要掌握大量的知识和技巧。
为了帮助大家更好地解决高中数学难点，下面给出几个突破的策略及答案。
一、题目深层理解要突破高中数学的难点，首先需要对题目进行深层次的理解。
因为数学问题本身是一个个独立的系统，需要从整体和细节两方面入手，了解每个知识点所存在的联系与区别，在理解后再去进行操作分析以及答案求解。
例如，对于一道具体的代数题目：已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$以及$\frac{a+b}{b}=n$，求$\frac{c+d}{d}$我们可以先确定方程式，再从代数式子出发进行思考。
代数思想推理：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$\frac{a}{c}+1=\frac{b}{d}+1$$\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}$$\frac{a+b+c}{c}=\frac{b+d}{d}$$\frac{a+b+c}{b+d}=\frac{c}{d}$$\frac{a+c}{c}=\frac{1}{n}$$\frac{a+b}{b}=n$$\frac{a}{c}=\frac{1}{n}-1=-\frac{1}{n-1}$$\frac{c}{a}=\frac{n-1}{n}$$\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+1=\frac{a}{b}+1=\frac{a+b}{b}=\fra c{1}{n-1}+n$所以答案为$\frac{1}{n-1}+n$对于这种题目，我们需要对数学概念进行充分的理解，确定方程组，并深入去理解整个问题，分析题目中的复杂信息，一步步推演得出答案。
二、分类讨论高中数学题目通常根据题目的基础知识和细节分类，可以分为多个子分类进行讨论，从而帮助解答。
2022年高考数学基础题型重难题型突破类型四 用“不动点法”求数列的通项公式(解析版)
2022年高考数学基础题型重难题型突破类型四用“不动点法”求数列的通项公式设已知数列}{n a 的项满足其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c dx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.【典例1】已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 【典例2】已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位.当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？定理2.如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p、q、r、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx q px x ++=.（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则112--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换N ,∈-=n a d n n λ则λλ-++=-=++hra qpa a d n n n n 11h ra hq r p a n n +-+-=λλ)(hd r hq r p d n n ++-+-+=)())((λλλλλλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2①∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ②将rpx =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ③当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+④由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r hp -=λ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr h p h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp r d d n n λ令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以rp r λ-为公差的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ其中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ，将hra qpa a n n n ++=+1代入再整理得N,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ⑤由第（1）部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根，故.,21rp r p ≠≠λλ故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a r p r p c n n n λλλλλλ⑥∵特征方程hrx qpx x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程xrp xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--rp hq r p h q 将上两式代入⑥式得N,2121211∈--=--⋅--=-n c rp rp a a r p r p c n n n n λλλλλλ当,01=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有.)(((12121111211------=--=n n n rp r p a a r p r p c c λλλλλλ当01=c 即11λ=a 时，上式也成立.由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n 所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ(证毕)注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.【典例3】已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.【典例4】已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a （1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？下面分两种情况给出递推数列dt c bt a t n n n +⋅+⋅=+1通项的求解通法.(1)当c=0,时,由d t c b t a t n n n +⋅+⋅=+1dbt d a t n n +⋅=⇒+1,记k d a =,c db=，则有c t k t n n +⋅=+1（k≠0）,∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c,由kx+c=x ⇒x=k c -1,则c t k t n n +⋅=+1⇒1(11k ct k k c t n n --=--+∴数列}1{k ct n --是公比为k 的等比数列,∴11)1(1-⋅--=--n n k k c t k c t ⇒11)1(1-⋅--+-=n n k kct k c t .(2)当c≠0时,数列{n t }的特征函数为：)(x f =dx c bx a +⋅+⋅由x dx c bx a =+⋅+⋅0)(2=--+⇒b x a d cx 设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有:0)(121=--+b x a d cx ,0)(222=--+b x a d cx ∴12)(1x a d cx b -+= (1)222)(x a d cx b -+= (2)又设212111x t x t k x t x t n nn n --⋅=--++(其中,n∈N *,k 为待定常数).由212111x t x t k x t x t n nn n --⋅=--++⇒2121x t x t k x dt c b t a x d t c bt a n n n n n n --⋅=-+⋅+⋅-+⋅+⋅⇒212211x t x t k dx t cx b at dx t cx b at n nn n n n --⋅=--+--+……(3)将(1)、（2）式代入(3)式得:2122221121x t x t k ax t cx cx at ax t cx cx at n n n n n n --⋅=--+--+⇒212211))(())((x t x t k x t cx a x t cx a n nn n --⋅=----⇒21cx a cx a k --=∴数列{21x t x t n n --}是公比为21cx a cx a --(易证021≠--cx a cx a )的等比数列.∴21x t x t n n --=1212111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--n cxa cx a x t x t ⇒12121111212111211--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--⋅-=n n n cxa cx a x t x t cxa cx a x t x t x x t .【典例5】已知数列{a n }中，a 1=2，3121+=+n n a a ，求{a n }的通项。
高考数学难点突破难点(化归思想-探索性问题-应用问题)
技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵 魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.
则 lim an 的值为( ) b n
n
4
6
4
A.
B.1
C.
D.
3
3
9
二、填空题
3.（★★★★）某房间有 4 个人，那么至少有 2 人生日是同一个月的概率是
.
（列式表示即可）
4（. ★★★★★）函数 f(x)=x3–3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则 b 的取值范围是
.
三、解答题
5.（★★★★）已知 f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R 是参数）.
工作原理如下：
①输入数据 x0∈D，经数列发生器输出 x1=f(x0)；
②若 x1 D，则数列发生器结束工作；若 x1∈D，则将 x1 反馈回输
入端，再输出 x2=f(x1)，并依此规律继续下去.
4x 2 现定义 f (x)
x 1
49
（1）若输入 x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的
(1)当 t=–1 时，解不等式 f(x)≤g(x);
(2)如果 x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数 t 的取值范围.
6.（★★★★★）已知函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n∈N*且 a1、a2、a3、……、an
高中数学突破思维定势与知识灵活运用
高中数学突破思维定势与知识灵活运用不少同学在学习了一个新的知识点，或者对某些知识点做题训练多了，遇到相关的数学符号题目，就会不自主的套用这种方法。
下笔特快，效果特差（典型的思维定势）。
拿到一个题时，首先观察分析。
这个过程一定不能省略。
盲目的生搬硬套，会带来灾难性的后果。
我们先来看下面的题：已知f(x)=(ax^2-8x+b)/(x^2+1)，f(x)的值域为[1,9]，求a+b解析：首先，[1,9]这个符号怎么理解？1≤f(x)≤9 。
【思路1】：如果能直接求出f(x)min,或f(x)max对应的x是不是有可能解决。
求最值可以对其进行求导f’(x)=0，这里特别要注意的是：因为x^2+1>0，有的同学直接令g(x)=ax^2-8x+b，g’(x)=0对求导，根据a的符号分类讨论，得到的f(x)对应x的极值。
错在哪里？g(x)的单调性能不能代表f(x)?答案显然是不能的。
再者，对于f’(x)=0，计算起来是很复杂的。
当然理论上可以找出取得f(x)极值时，x与系数的关系。
有兴趣的、计算能力强的可以尝试一下。
学了导数后，特别是做了不少难题后，会形成一种定向思维，万物皆可导。
反而忘却了为了什么而出发。
实际上如果这道题在大家初中的时候做时，解答起来更加得心用手。
【思路2】：【正统解法】 (ax^2+8x+b)/(x^2+1)>=1恒成立，(a-1)x^2+8x+b-1>=0 恒成立。
因此 a-1>0 并且Δ等于零 (因为y可以取到1)，Δ=64-4(a-1)(b-1)=0 --（1）式。
(ii) (ax^2+8x+b)/(x^2+1)<=9恒成立，(a-9)x^2+8x+b-9<=0恒成立。
因此a-9<0 并且Δ等于零（因为y可以取到9），Δ=64-4(a-9)(b-9)=0-------------------（2）式。
联立解得a=5 ，b=5【思路3】：[万能k法] 设f(x)=y,则yx²+y=ax²-8x+b,化简得(a-y)x ²-8x+b-y=0，判别式△=64-4(a-y)(b-y)≥0，得y²-(a+b)y+ab-16≤0由已知,这个不等式的解集应该是[1,9]，即y对应着[1,9]，即y²-(a+b)y+ab-16=0的两个根是1和9，将1和9代入可以解得a=5,b=5。
高考数学综合性大题解题技巧——数学应用性问题
数学应用性问题怎么解数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.例1某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。
据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.设第n 次去健身房的人数为a n ，去娱乐室的人数为b n ，则150=+n n b a .3010730107)150(102109102109111111+=+=-+=+=∴------n n n n n n n n a a a a a b a a 即. )100(1071001-=-∴-n n a a ，于是11)107)(100(100--=-n n a a 即 )100()107(10011-⋅+=-a a n n .100lim =∴∞→n n a .故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.上述解法中提炼的模型301071+=-n n a a , 使我们联想到了课本典型习题（代数下册P.132第34题）已知数列{}n a 的项满足 ⎩⎨⎧+==+dca a b a n n 11,其中1,0≠≠c c ，证明这个数列的通项公式是.1)(1---+=-c d c b d bc a n n n有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002年全国高考解答题中的应用题(下文例9)就属此类模型.例2 某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时（4≤V ≤20）从A 港出发前往50千米处的B 港，然后乘汽车以匀速W 千米/小时（30≤W ≤100）自B 港向300千米处的C 市驶去，在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、y 小时，若所需经费)8(2)5(3100y x p -+-+=元，那么V 、W 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于103,5.125.2,100450≤≤≤≤∴≤≤=x y V Vy 同理及又149≤+≤y x .23),23(131)8(2)5(3100y x z y x y x P +=+-=-+-+=令则z 最大时P 最小.作出可行域，可知过点（10，4）时, z 有最大值38， ∴P 有最小值93，这时V=12.5，W=30. 视y x z 23+=这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.例3 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧施工的遂道工程。
高考数学难点突破训练数列与数学归纳法(含详解)
18. 在不等边△ ABC中，设 A、B、C所对的边分别为 a，b，c，已知 sin 2 A ，sin 2 B ，sin 2 C
依次成等差数列，给定数列 cos A ， cosB ， cosC ．
a
b
c
（ 1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号：
数列 cos A ， cos B ， cosC （
差数列（ d 0 ） .
( Ⅰ ) 若 a20 40 ，求 d ；（Ⅱ）试写出 a30 关于 d 的关系式，并求 a30 的取值范围； （Ⅲ）续写已知数列，使得 a30 , a31 , , a40 是公差为 d 3 的等差数列，……，依次类推，
把已知数列推广为无穷数列 . 提出同（ 2）类似的问题（ （ 2）应当作为特例） ，并进行 研究，你能得到什么样的结论？ ( 所得的结论不必证明 )
设 x1 1, an x n 1 x n , bn yn y n 1 。
（ I ）求 Q1 ,Q2 的坐标； （ II ）求数列 an 的通项公式；
1 （ III ）记数列 an bn 的前 n 项和为 Sn ，求证： Sn 3
答案：
1.
解：①由条件可得
13 P1 a1 , a1
22
3 a12
1 a1, a1 0, a1
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2. 设 an , bn 都是各项为正数的数列，对任意的正整数 bn2 , an 1,bn2 1 成等比数列．
n ，都有 an , bn2 , an 1 成等差数列，
（ 1）试问 bn 是否成等差数列？为什么？
（ 2）如果 a1 1,b1
2 ，求数列
1 an
的前 n 项和 Sn ．
高考数学难点突破_难点41__应用问题
命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数
学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目
.
知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或
a 与 b 间的等量关系找不到 .
技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数 解决 .
/ 小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等 定使用哪种运输工具总费用最省 . （题中字母均为正的已知量）
. 试确
6. （★★★★）已知某海滨浴场的海浪高度
y（米）是时间 t (0 ≤ t ≤ 24，单位小时）
的函数，记作 y=f ( t ) ，下表是某日各时的浪高数据
由u
64 (a 2)2 2 ，令 u′ =0 得 a=6
(a 2)
且当 0＜ a＜ 6 时， u′＞ 0，当 6＜ u＜ 30 时 u′＜ 0,
∴ u (30 a)a 在 a=6 时取最大值，此时 b=3. 2a
从而当且仅当 a=6，b=3 时, y= k 取最小值 . ab
［例 2］某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保 有量的 6%，并且每年新增汽车数量相等 . 为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过
=b1× 0.94 n+ 1 0.94 n x
x (30
x ) 0.94 n .
0.06
0.06
0. 06
x
当 30
≥0，即 x≤1.8 时， bn+1≤ bn≤…≤ b1=30
0.06
【免费下载】高考数学难点突破 详析41 应用问题
知识依托：数列极限、等比数列、解不等式. 错解分析：①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出 bn+1 与 x 的关系后，不能 进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果. 技巧与方法：建立第 n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、 尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高. 解：设 2001 年末的汽车保有量为 b1 万辆，以后各年汽车保有量依次为 b2 万辆，b3 万 辆，……每年新增汽车 x 万辆，则
且当 0＜a＜6 时，u′＞0，当 6＜u＜30 时 u′＜0,
∴ u (30 a)a 在 a=6 时取最大值，此时 b=3. 2a k
从而当且仅当 a=6，b=3 时,y= 取最小值.
ab
［例 2］某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保 有量的 6%，并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
0.94n
.
当 30
x 0.06
≥0，即
x≤1.8
时，bn+1≤bn≤…≤b1=30
当 30 x ＜0，即 x＞1.8 时， lim[ x (30 x ) 0.94n1] x
0.06
n 0.06
0.06
0.06
x
并且数列{bn}逐项递增，可以任意靠近
.
0.06
因此如果要求汽车保有量不超过 60 万辆，
1.（★★★★★）一只小船以 10 m/s 的速度由
高考数学应用性问题的注意点
高考数学应用性问题的注意点近几年江苏高考数学试题中，正在构成强调将数学运用于处置实践效果的趋向，07年气候站天气预告的正确性效果，08年铺设排污管道最优化效果，09年买卖商品满意度效果。
这个趋向有以下两个特点：一是运用效果考察加鼎力度，延续多年考大题，构成江苏特征;二是由复杂的直接运用向实践效果数学化转化，贴近生活，并且阅读量逐渐添加，09年的考题字数到达360多字。
下面与同窗们谈谈临考前温习运用性效果的留意点：一、掌握求解运用题的普通步骤：1、读懂标题，应包括对题意的全体了解和局部了解，以及剖析关系、领悟实质。
2、树立数学模型，将实践效果笼统为数学效果，从各种关系中找出最关键的数量关系，将这些关系用有关的量及数字、符号表示出来。
3、求解数学模型，依据树立的数学模型，选择适宜的方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学效果的解。
4、检验，既要检验所得结果能否适宜数学模型，又要评判所得结果能否契合实践效果的要求。
二、留意详细的建模剖析法：1、关系剖析法：即经过寻觅和关键量之间的数量关系的方法来树立效果的数学模型的方法。
2、列表剖析法：关于数据较多，较复杂的运用性效果经过列表的方式探求效果的数学模型的方法。
3、图象剖析法：经过图象中的数量关系剖析树立数学模型的方法。
三、求解数学运用题必需打破三关：第一关，事理关。
明白效果说了什么事，学会数学运用的建模剖析。
第二关，文理关。
阅读了解关，普通数学运用题的文字阅读时势刊物较大，经过审题找出和句，并了解其意义。
第三关，数理关。
用恰当的数学方法去解数学模型。
上述〝三关〞的打破口在于阅读与转译。
建议从三个方面入手：第一、划分标题的层次。
鉴于运用题标题篇幅长，信息容量大，阅读时有必要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系;第二、领悟语。
标题中难免出现一些专业术语或新名词，有的词语采用即时定义来解释，仔细阅读，仔细体会即时定义的外延和外延，是处置效果的关键;第三、弄清题图联络。
高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第41—45题(含答案解析)
感知高考刺金411．已知m ∈R ，函数()()221,1log 1,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩，()2221g x x x m =-+-，若函数()y f g x m =-⎡⎤⎣⎦有6个零点，则实数m 的取值范围是 ．解：令()g x t =，则函数()y f g x m =-⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()f t m =恰有三个实根且对应()g x t =有6个实根．函数()()221,1log 1,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩与y m =图象有三个交点，其横坐标分别为123,,t t t ． 如图所示，其中最小的根112m t +=- 结合图象可知，要满足()g x t =有6个实根需使()1min 1222m t g x m +=->=-，且0m > 解得305m <<2．集合{}321234|101010A x x a a a a ==⨯+⨯+⨯+，其中{}1,2,3,4,14,i a i i ∈≤≤∈N ，则集合A 中满足条件：“i a 中1a 最小，且12233441,,,a a a a a a a a ≠≠≠≠”的元素有 个．解：本题可理解为涂色问题，四个格子，相邻两格不同数字，头尾两个数字也不同，且第一格数字最小． 第一格填1，则第二格有13C 种选择，第三格填的数字与第一格相同填1，则第四格有13C 种选择，因此共9种选择；第一格填2，则第二格有12C 种选择，第三格填的数字与第一格相同填2，则第四格有12C 种选择，因此共4种选择；第一格填3，则第二格有1种选择填4，第三格填的数字与第一格相同填3，则第四格有1种选择填4，因此共1种选择；第一格填1，则第二格有13C 种选择，第三格填的数字与第一格不同有12C 种选择，，则第四格有12C 种选择，因此共12种选择；第一格填2，则第二格有12C 种选择，第三格填的数字与第一格不同有11C 种选择，，则第四格有1种选择，因此共2种选择；因此共有94112228++++=种．感知高考刺金421． 已知函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象过点()1,0，且对任意的x ∈R 都有不等式()23231x f x x x --≤≤+-成立．若函数()()222y f x f x mx m =---有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ．解：由题夹逼形式知，令23231x x x --=+-，解得1x =-．当1x =-时，()212f -≤-≤-，即()12f -=-，所以2a b c -+=-又()10f =，即0a b c ++=所以1,1b c a ==--再由2231231x ax x a x x --≤+--≤+-对任意的x ∈R 恒成立即2420ax x a ++-≥且()2220a x x a ---≤对任意的x ∈R 恒成立所以()()164204420020a a a a a a --≤⎧⎪+-≤⎪⎨>⎪⎪-<⎩，解得1a =，所以()22f x x x =+-函数()()222y f x f x mx m =---有三个不同的零点 即(][)()()22222222,,21,222222224,2,1mx m x y x x x x mx m x m x m x ⎧+∈-∞-+∞⎪=+---+--=⎨--+-+∈-⎪⎩有三个不同零点 则必有2220mx m +=在(][),21,x ∈-∞-+∞上有一解，且()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解．由2220mx m +=在(][),21,x ∈-∞-+∞上有一解得2m -≤-或1m -≥，即2m ≥或1m ≤-． 由()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解转化为2222422x x mx m ++=+有两解 即二次函数与一次函数相切的临界状态 由()()22228420m m ∆=++-=解得127m ±= 结合图象得1271272,,1m ⎛⎫⎛⎫+-∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2． 若21n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ()*n N ∈的二项展开式中第5项为常数项，则n = ． 答案：T 5＝C n 4(x 2)n －4·(1x)4＝C n 4x 2n －12，令2n －12＝0，得n ＝6 感知高考刺金431． 在平面直角坐标系xoy 中，若动点(),P a b 到直线1:l y x =，2:1l y x =-+的距离分别为12,d d 满足12222d d +=，则22a b +的最大值为 ．解：121,22a b a b d d -+-== 122122222a b a b d d -+-+=+=，得214a b a b -++-=画出可行域如图，是个平行四边形ABCD ．22a b +可以视为平行四边形ABCD 上的点(),P a b 到原点的距离的平方故当(),P a b 取35,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭或53,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，()22max 172a b += 2． 由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成_______个数字不重复且2，3相邻的四位数． 答案：60感知高考刺金441．对于实数,a b ，定义运算“∆”： ()2a b a b ∆=-．已知实数12,x x 满足()21212111y x x x x x ⎛⎫=∆++∆- ⎪⎝⎭，则y 的最小值为 ．解：y=等价于1y xx=+上的点()11,P x y与y=()22,Q x y连线段的最小值，也就等价于圆心()0,0O与1y xx=+上的点()11,P xy连线长度的最小值减1．所以OP==当且仅当11x=时，min1y=2．若3162323n nC C++=2012((3)n nnn N x a a x a x a x*∈-=++++)且，则012(1)nna a a a-+-+-=．答案：256感知高考刺金451．在面积为2的ABC∆中，,E F分别是,AB AC 的中点，点P在直线EF上，则2PC PB BC+的最小值是．解：取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得22222222334444BC BC AD BCPC PB BC PD BC PD+=-+=+≥+此时当且仅当PD BC⊥时取等号22222332234444AD BC AD BCPC PB BC+≥+≥=2．某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项比赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有种．答案：45种。
高考数学考试小技巧 小问题 大问题 细活
高考数学考试小技巧小问题大问题细活高考数学考试小技巧，大题，小任务，细活。
心理准备。
把十年的辛苦集中在两个小时，难免会感到紧张，而心理上的平静，也就是“考试中的正常心态”，是你正常水平的重要基础，所以要做好充分的心理调整和准备。
拿到试卷后不要急着回答。
而是要通读整篇论文，在短时间内抓住针对自己学习水平的易、中、难问题，得到初步的思路。
此外，你不必根据问题的序号来解决问题。
而是应该在刚才说要回答的基础上，选择X容易得分的问题，拿到分数，稳定心理，让思维升温，让思维活动尽快达到高峰。
不要过分关注暂时“一城一地”的得失，以免进入“知识的xx角”，急躁，造成心态失衡，大脑空白，使以前熟悉的知识和话题出现不应有的错误。
以及方法和策略的准备。
在答题过程中，要非常注意把握试卷中不同类型的题型，并采取相应的处理方法。
对于选择题，因为已经给出了答案(在四个选项中)，所以很有启发性。
因此，要充分利用分析期权的方法，提炼期权所蕴含的丰富信息，运用排除、验证、变换、分析、估计、限制等方法帮助我们识别，运用特殊价值法、特殊位置法、特殊图形(数图结合)等方法尽可能减少计算和思考的量。
对于填空题，由于没有过程要求，要求操作简洁、准确、一步到位，公式定理运用得当、巧妙，思维严谨，答案追求数值的准确性和全面性。
在回答问题时，由于分步骤评分，要特别注意过程步骤的严谨性和规范性，追求“表达准确、考虑周密、书写规范、语言科学”，写清楚得分点，清晰呈现自己的思维水平。
否则，如果不注意表达准确、书写规范，往往会被“分段扣分”。
比如解决概率问题，就要给出适当的文字描述，不能只罗列几个公式或者简单的结论。
注意几何证明题中定理的使用条件，是必不可少的，不能省略。
回答问题时，要注意“小方法做大题，细节做大题”。
此外，注意“速度与速度相结合，合理把握时间”。
慢主要体现在审题上。
看问题要清晰、透彻、理性，防止错漏。
从定义上说：“成功在于审题，失败在于审题”。
高一数学 解题技巧传播重点难点突破四学生
新领航教育咨询高一数学 备战期末解题技巧传播重点难点打破〔四〕〔学生版〕10,0x y >>，且21x y +=，那么11x y +的最小值为 2假设不等式()2210x a x +++≥的解集为R ，那么实数a 的取值范围是 ． 3假设不等式220ax bx ++>的解集为11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么a b -＝________． 4在△ABC 中，︒=60A ，2=b ，32=ABC S ∆，那么CB A c b a sin sin sin ++++= . 5阅读所示的程序框图，假设输出y 的值是0，那么输入x 的值是 。
6阅读如图程序框图，假如输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入的实数x 的取值范围是___________.1?x <开场输入x1?x >y =x 否 是 否 是完毕 输出yy =1y =x 2-4x +4720x px q ++<的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求不等式210qx px ++>的解集.8对于关于x 的不等式2364ax x -+>， -〔*〕〔1〕假设〔*〕对于任意实数x 总成立，务实数a 的取值范围；〔2〕假设〔*〕的解集为{|1}x x x b <>或，求不等式2()0ax ac b x bc -++<的解集.9．数列{}a n ：1212312100122333100100100++++++，，，…，…，… 〔1〕观察规律，写出数列{}a n 的通项公式，它是个什么数列？〔2〕假设()11n n n b n N a a *+=∈，设12n n S b b b =+++… ，求n S 。
〔3〕设12n n n c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T 。
10．数列{a n }的前n 项和21122n S n n =+， 〔1〕求通项公式a n ；〔2〕令12n n n b a -=⋅，求数列{b n }前n 项的和T n .11．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =。
高考数学万能解题法 数学难题深刻剖析
高考数学万能解题法数学难题深刻剖析信任现在的同学肯定在紧急的备考，高中数学选择题分值比重比较高，所以肯定要好好复习，为便利同学们复习功课，下面高三网我为大家整理的《高考数学万能解题法数学难题深刻剖析》，仅供大家参考。
高中数学必修一学问结构图如何从数学学渣逆袭成数学学霸?学霸支招：如何提高高三数学成果高中文科数学公式大全高中数学万能解题法1.极端性原则：将所要讨论的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到快速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，许多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采纳极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。
2.剔除法：利用已知条件和选择支所供应的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特别点代入验证即可排解。
3.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简洁的推理或计算，从而得出答案的方法。
数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。
高考数学快速解题法1.熟识基本的解题步骤和解题方法解题的过程，是一个思维的过程。
对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了一些基本的解题思路和常用的解题程序，我们一般只要顺着这些解题的思路，遵循这些解题的步骤，往往很简单找到习题的答案。
2.审题要仔细认真对于一道详细的习题，解题时最重要的环节是审题。
审题的第一步是读题，这是猎取信息量和思索的过程。
读题要慢，一边读，一边想，应特殊留意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。
有些同学没有养成读题、思索的习惯，心里焦急，匆忙一看，就开头解题，结果经常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到缘由，想快却慢了。
所以，在实际解题时，应特殊留意，审题要仔细、认真。
3.仔细做好归纳总结在解过肯定数量的习题之后，对所涉及到的学问、解题方法进行归纳总结，以便使解题思路更为清楚，就能达到举一反三的效果，对于类似的习题一目了然，可以节省大量的解题时间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。
难点41 应用性问题数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求.●难点磁场1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟.3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足R (x )=⎩⎨⎧>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？●案例探究［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目.知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式.错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到.技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决.解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =abk (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①要求y 的最小值，只须求ab 的最大值.由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4≥124)22)(2(2=-++b a ∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立 将a =2b 代入①得a =6,b =3.故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：由2a +4b +2ab =60,得aa b +-=230,记aa a ab u +-==2)30((0＜a ＜30)则要求y 的最小值只须求u 的最大值.由22)2()2(64++-='a a u ，令u ′=0得a =6且当0＜a ＜6时，u ′＞0，当6＜u ＜30时u ′＜0, ∴aa a u +-=2)30(在a =6时取最大值，此时b =3.从而当且仅当a =6，b =3时,y =abk 取最小值.［例2］某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？命题意图：本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：数列极限、等比数列、解不等式.错解分析：①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出b n +1与x 的关系后，不能进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果.技巧与方法：建立第n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高.解：设2001年末的汽车保有量为b 1万辆，以后各年汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，……每年新增汽车x 万辆，则b 1=30,b 2=b 1×0.94+x ,…对于n ＞1，有b n +1=b n ×0.94+x =b n –1×0.942+(1+0.94)x ,… 所以b n +1=b 1×0.94n +x (1+0.94+0.942+…+0.94n –1) =b 1×0.94n+nnx x x 94.0)06.030(06.006.094.01⨯-+=⋅-.当06.030x -≥0，即x ≤1.8时，b n +1≤b n ≤…≤b 1=30 当06.030x -＜0，即x ＞1.8时，06.0]94.0)06.030(06.0[lim 1x x x n n =⨯-+-∞→并且数列{b n }逐项递增，可以任意靠近06.0x.因此如果要求汽车保有量不超过60万辆， 即b n ≤60(n =1,2,…)则有06.0x ≤60，所以x ≤3.6综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆. ●锦囊妙计1.解应用题的一般思路可表示如下2.解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础. （2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.3.中学数学中常见应用问题与数学模型 （1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★★）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元 2.（★★★★）某体育彩票规定：从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B.1052元C.2100元D.2102元二、填空题3.（★★★★）一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了 米.4.（★★★★）有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在A 地观测气球时，其中心仰角为∠BAC =30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高B C的值约为米.三、解答题5.（★★★★★）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c 元.且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）6.（★★★★）已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据（1）根据以上数据，求出函数y=A cosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.7.（★★★★★）某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？8.（★★★★★）某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个A、2个B，组装一件Q产品要6个A、8个B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个；B零件最多12000个.已知P产品每件利润1000元，Q产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P、Q产品各多少件？最大利润多少万元.参考答案●难点磁场1.解析：设经过时间t汽车在A点，船在B点，（如图），则AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，设小船所在平面为α,AQ,QP确定平面为β,记α∩β=l,由AQ∥α,AQβ得AQ∥l,又AQ⊥PQ，得PQ⊥l,又PQ⊥PB，及l∩PB=P得PQ⊥α.作AC∥PQ，则AC⊥α.连CB，则AC⊥CB，进而AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40–10t）2+(30–20t)2=100［5(t–2)2+9］,t=2时AB最短，最短距离为30 m.答案：30 m2.解析：按以下工序操作所需时间最少，①、④（并在此时完成②、③、⑤）所用时间为2+10+3=15分钟.答案：153.解：依题意，G（x)=x+2,设利润函数为f(x),则⎩⎨⎧>-≤≤-+-=)5( 2.8)50( 8.22.34.0)(2x x x x x x f (1)要使工厂有赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有–0.4x 2+3.2x –2.8>0,得1<x <7,∴1<x ≤5.当x >5时，有8.2–x >0,得x <8.2,∴5<x <8.2. 综上，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2.即产品应控制在大于100台小于820台的范围内. （2）0≤x ≤5时，f (x )=–0.4(x –4)2+3.6 故当x =4时，f (x )有最大值3.6. 而当x >5时f (x )<8.2–5=3.2所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x =4时，每台产品售价为4)4(R =2.4（万元/百台）=240（元/台）. ●歼灭难点训练一、1.解析：此人购买的商品原价为168+423÷90%=638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%+（638–500）×70%=450+96.5=546.6元.答案：C2.解析：从01到17中选连续3个号有15种方法，从19到29中选连续2个号有10种选法，从30到36中选1个有7种选法，故购买注数为1050注至少花1050×2=2100元.答案：C二、3.解析：小球经过的路程为：30020021121100100)21(21004121002121003=⨯-+=++⨯+⨯⨯+⨯⨯+= s m.答案：300 4.提示：sin2°=90π答案：86 m三、5.解：设运输路程为S （千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y 1(元)、y 2(元)、y 3(元).则由题意，,)2(.)(21S v m b y S vm a m vS aS y +=+=+=S vm b a y y S vm c y ]2)[(.)10(213+-=-+=,由a >b ,各字母均为正值，所以y 1–y 2>0，即y 2<y 1.由y 3–y 2=［(c –b )–vm 52］S .令y 3–y 2>0,由c >b 及每字母都是正值，得c >b +vm 52.所以，当c >b +vm 52时y 2<y 3,由y 2<y 1即y 2最小，当b <a <c <b +vm 52时，y 3<y 2<y 1,y 3最小.6.解：（1）由表中数据，知T =12，ω=62ππ=T.由t =0,y =1.5得A +b =1.5.由t =3,y =1.0,得b =1.0.所以，A =0.5,b =1.振幅A =21，∴y =16cos21+t π(2)由题意知，当y >1时，才可对冲浪者开放.∴16cos21+t π>1, t 6cosπ>0.∴2k π–2262ππππ+<<k t ,即有12k –3<t <13k +3.由0≤t ≤24,故可令k =0,1,2,得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.7.解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f (n ),则f (n )=50n –［12n +2)1(-n n ×4］–72=–2n 2+40n –72(1)获纯利润就是要求f (n )>0,∴–2n 2+40n –72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利.（2）①年平均利润=nn f )(=40–2(n +n36)≤16.当且仅当n =6时取等号.故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n =6,②f (n )=–2(n –10)2+128.当n =10时，f (n )|max =128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.8.解：设分别生产P 、Q 产品x 件、y 件，则有⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤≤≤≤60004700032120008214000641200025000y x y x y x y x y x 则有依题意有 设利润S =1000x +2000y =1000(x +2y )要使利润S 最大，只需求x +2y 的最大值. x +2y =m (2x +3y )+n (x +4y )=x (2m +n )+y (3m +4n ) ∴⎩⎨⎧=+=+24312n m n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5152n m有x +2y =52(2x +3y )+51(x +4y )≤52×7000+51×6000.当且仅当⎩⎨⎧=+=+60004700032y x y x 解得⎩⎨⎧==10002000y x 时取等号，此时最大利润S max =1000(x +2y )=4000000=400(万元).另外此题可运用“线性规划模型”解决.。