GPS导航解算中几种非线性Kalman滤波的理论分析与比较
卡尔曼滤波器在GPS系统中的应用
卡尔曼滤波器在GPS系统中的应用摘要：目前，随着GPS应用范围的扩大，传统的定位方法越来越不能满足其日益增长的性能要求。
因此将卡尔曼滤波理论应用到卫星导航中对国防和民用事业具有非常重要的意义。
关键词：GPS 卫星卡尔曼滤波二系统组成：2.0 GPS介绍GPS即全球定位系统(GlobalPositioningSystem)。
简单地说，这是一个由覆盖全球的24颗卫星组成的卫星系统。
这个系统可以保证在任意时刻，地球上任意一点都可以同时观测到4颗卫星，以保证卫星可以采集到该观测点的经纬度和高度，以便实现导航、定位、授时等功能。
这项技术可以用来引导飞机、船舶、车辆以及个人，安全、准确地沿着选定的路线，准时到达目的地。
GPS主要有三大部分组成:空间卫星星座部分、地面监控部门和用户设备部分(GPS接收机)。
目前，随着GPS应用范围的扩大，传统的定位方法越来越不能满足其日益增长的性能要求。
因此将卡尔曼滤波理论应用到卫星导航中对国防和民用事业具有非常重要的意义(1)空间部分GPS的空间部分是由24颗工作卫星组成，它位于距地表20200km的上空，均匀分布在6个轨道面上(每个轨道面4颗)，轨道倾角为55“。
此外，还有4颗备份卫星在轨运行。
卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星，并能保持良好定位解算精度的几何图像。
这就提供了在时间上连续的全球导航能力。
GPS卫星产生两组电码，一组称为C/A码(Coarse/AequlsitionCodell023MHz);一组称为p码(ProeiseCodel0123MHz)，P码因频率较高，不易受干扰，定位精度高，因此受美国军方管制，并设有密码，一般民间无法解读，主要为美国军方服务。
C/A码人为采取措施而刻意降低精度后，主要开放给民间使用(2)地面控制部分地面控制部分由一个主控站，5个全球监测站和3个地面控制站组成。
监测站均装配有精密的艳钟和能够连续测量到所有可见卫星的接受机。
Kalman滤波应用于GPS相对导航信息解算方法
Kalman滤波应用于GPS相对导航信息解算方法随着全球卫星导航系统的不断完善和发展，以GPS为代表的全球卫星定位系统已经成为了现代导航和定位的主要手段。
然而，在定位过程中，GPS系统会受到各种误差的影响，从而导致定位精度的降低。
而Kalman滤波作为一种优秀的滤波算法，可以对GPS数据进行有效的滤波处理，提高GPS相对导航信息的解算精度。
首先，在GPS测量中，误差有很多来源，如卫星误差、接收机误差、当地大气层误差等等。
这些误差会导致GPS解算出的位置和速度信息不准确，甚至无法获取。
因此，在GPS解算中应用Kalman滤波算法可以减少这些误差的影响。
Kalman滤波是一种离线递归滤波算法，它可以通过使用系统状态方程组和测量方程组来进行系统状态的估计。
其基本思想是将先验知识和测量数据相结合，通过递归计算得到一个状态序列，从而达到有效滤波的目的。
在GPS相对导航信息解算中，Kalman滤波算法的具体实现步骤如下：首先，通过GPS测量得到当前时刻的位置和速度信息；其次，通过Kalman滤波算法来处理测量数据并估计系统状态。
具体而言，由于GPS测量数据误差很大，因此需要对测量数据进行处理，提取出有效信息。
同时，需要将系统状态分为两个部分：预测阶段和更新阶段。
在预测阶段，根据系统状态方程组对当前状态进行预测。
在更新阶段，根据测量方程组对当前状态进行更新。
通过逐步迭代，可以得到一个状态序列，从而达到有效滤波的目的；最后，根据处理后的数据得到高精度的GPS相对导航信息。
综上所述，Kalman滤波算法可以有效地处理GPS数据中的噪声、误差等因素，提高GPS相对导航信息的解算精度。
在实际的应用中，Kalman滤波算法被广泛应用于航空、地球探测、机器人控制等领域，为工程应用提供了有力的支持。
为了进行数据分析，我们需要先确定相关数据。
在GPS相对导航信息解算中，可能需要考虑的数据包括但不限于以下几个方面：1. GPS测量数据：包括接收机接收到的卫星信号以及信号传输时间。
抗差Kalman滤波算法研究及其在GPS监测数据中的应用
文章编号:1672
7479(2021)03
0017
05
抗差 Kalman 滤波算法研究及其在
GPS 监测数据中的应用
焦雄风1 陈 铮1 杨兴旺3 索广建4 张献州1,2
(1. 西南交通大学地球科学与环境工程学院,成都 611756; 2. 西南交通大学高速铁路运营安全空间信息技术
更新的状态估及协方差估计为
x^ k = x^ k / k - 1 + K k( z k - H k x^ k / k - 1 )
{
2. 1 经典 Kalman 滤波
上述系统的随机模型设定为
T
ìïE( w k ) = 0,E( w k w j ) = Q k δ kj
ï
T
íE( v k ) = 0,E( v k v j ) = R k δ kj
量噪声;Φ k / k-1 为( n ×n) 状态转移矩阵;H k 为( m × n) 观
测矩阵;B k / k-1 为( n × r) 控制参数的增益矩阵;u k-1 为
( r × 1) 控制参数矩阵,下标 k 表示第 k 时刻。
(3)
(5)
P k / k - 1 = Φ k / k - 1 P k - 1 Φ Tk / k - 1 + Q k
作者简介:焦雄风(1995—) ,男,西南交通大学在读硕士研究生。
accuracy. According to statistics, the optimal accuracy of
signal-to-noise ratio, root mean square error, average
卡尔曼滤波在GPS中的应用
本科毕业论文 (设计)题目：卡尔曼滤波在GPS定位中的应用学院：自动化工程学院专业：自动化姓名：指导教师：2010年 6月 4日The Application of Kalman Filtering for GPS Positioning摘要本文提出了一种应用卡尔曼滤波的GPS滤波模型。
目前在提高GPS定位精度的自主式方法研究领域，普遍采用卡尔曼滤波算法对GPS定位数据进行处理。
由于定位误差的存在,在GPS动态导航定位中，为提高定位精度，必须对动态定位数据进行滤波处理。
文中在比较分析各种动态模型的基础上，提出了应用卡尔曼滤波的GPS滤波模型，并通过对实测滤波算例仿真，证实了模型的可行性和有效性。
最后提出了卡尔曼滤波在GPS定位滤波应用中的问题和改进思路。
关键词 GPS 卡尔曼滤波定位误差AbstractThis article proposed applies the GPS filter model of the Kalman filtering. At present, to improve GPS positioning accuracy in the autonomous areas of research methods, we commonly use Kalman filter algorithm to process GPS location data.As a result of the position error existence in the GPS dynamic navigation localization, we must carry on filter processing to the dynamic localization data for the enhancement pointing accuracy．In the base of comparing each kind of dynamic model, this article proposed applies the GPS filter model of the Kalman filtering，the actual examples of filter calculation are simulated, it confirmed that the model is feasibility and validity. Finally, this article also proposed the existing problems and improving the idea ofthe applications of Kalman filter in GPS positioning.Keywords GPS Kalman filtering Positioning error目录前言 (1)第1章绪论 (3)1.1GPS的简介及应用 (3)1.2本课题的背景及意义 (5)1.3国内外研究动态及发展趋势 (7)1.4目前GPS定位系统面临着新的困扰和挑战 (5)第2章 GPS全球定位系统及GPS定位误差分析 (8)2.1GPS全球定位系统组成部分 (8)2.1.1 GPS卫星星座 (8)2.1.2 地面支持系统 (9)2.1.3 用户部分 (10)2.2GPS定位原理和测速原理 (16)2.2.1 卫星无源测距定位和伪距测量定位原理 (17)2.2.2 多普勒测量定位原理 (193)2.2.3 GPS测速原理 (214)2.3GPS定位误差分析 (225)2.3.1 星钟误差 (225)2.3.2 星历误差 (225)2.3.3 电离层和对流层的延迟误差 (236)2.3.4 多路径效应引起的误差 (246)2.3.5 接收设备误差 (246)2.3.6 GPS测速误差 (257)第3章卡尔曼滤波理论 (27)3.1卡尔曼滤波理论的工程背景 (27)3.2卡尔曼滤波理论 (28)第4章卡尔曼滤波在GPS定位中的应用 (34)4.1卡尔曼滤波在GPS定位中的应用概述 (34)4.2运动载体的动态模型 (35)4.3卡尔曼滤波模型 (36)4.3.1 状态方程 (36)4.3.2系统的量测方程 (37)4.4滤波仿真和结论 (37)第5章卡尔曼滤波在GPS定位应用中的问题和改进思路 (40)5.1对野值的处理 (40)5.2对状态以及观测噪声方差阵的处理 (41)5.3对观测噪声和测量噪声的处理 (42)结论 (30)谢辞 (31)参考文献 (47)前言自从赫兹证明了麦克斯韦的电磁波辐射理论以后，人们便开始了对无线电导航定位系统研究。
卡尔曼滤波算法在GPS非差相位精密单点定位中的应用研究
卡尔曼滤波算法在GPS非差相位精密单点定位中的应用研究一、本文概述随着全球定位系统（GPS）技术的不断发展，其在各种领域的应用日益广泛，尤其是在高精度定位领域，GPS技术发挥着至关重要的作用。
然而，传统的GPS差分相位定位方法受到诸多限制，如需要多个接收站、数据传输延迟等问题，使其在某些特定场合的应用受到限制。
近年来，非差相位精密单点定位技术（PPP）的提出为GPS定位技术的发展带来了新的突破。
卡尔曼滤波算法作为一种高效的动态数据处理方法，其在非差相位精密单点定位中的应用，不仅提高了定位精度，还增强了系统的稳定性和实时性。
本文旨在探讨卡尔曼滤波算法在GPS非差相位精密单点定位中的应用。
介绍了GPS非差相位精密单点定位技术的基本原理和优势，然后详细阐述了卡尔曼滤波算法的基本理论和实现方法。
在此基础上，本文深入分析了卡尔曼滤波算法在GPS非差相位精密单点定位中的具体应用，包括模型的建立、算法的实现以及定位精度的评估等方面。
通过本文的研究，期望能够为GPS非差相位精密单点定位技术的发展提供理论支持和实践指导，同时也为卡尔曼滤波算法在其他领域的应用提供借鉴和参考。
二、卡尔曼滤波算法基本原理卡尔曼滤波算法是一种高效的递归滤波器，它能够从一系列的不完全及含有噪声的测量中，估计出动态系统的状态。
卡尔曼滤波算法以其递推计算的特点，在计算机科学、航空航天、自动控制等领域得到了广泛应用。
卡尔曼滤波算法的基本原理是基于线性动态系统的状态空间模型。
这个模型通常包含两个方程：状态方程和观测方程。
状态方程描述了系统状态的演变，而观测方程则描述了如何从系统状态生成观测值。
x_{k} = Ax_{k-1} + Bu_{k-1} + w_{k-1} ]其中，( x_k ) 是系统在时刻 ( k ) 的状态向量，( A ) 是状态转移矩阵，( B ) 是控制输入矩阵，( u_{k-1} ) 是控制输入向量，( w_{k-1} ) 是过程噪声向量。
小波和Kalman滤波用于GPS数据去噪方法分析
１ Ｈａ ｒ 波 。 Ｈａ ｒ ） ａ小 ａ 函数 是小 波 分 析 中最 早 用
到 的一 个具 有 紧支 撑 的 正 交 小 波 函 数 ， 是 最 简 单 也
的一 个小 波 函数 ， 它是 支 撑 在 ｔ ［ ，］ 围 内的 单 ∈ ０ １范
ｄ Ｎ 小 波 ， 滤 波 器 是 最 小 相位 滤 波 器 ； 果 选 择 ｂ Ｕ 如 其 他 的 ， 得 到更 为对 称 的滤 波 器 ， 就 是 Ｓ ｍｌｔ 就 这 ｙ ｅｓ
２ Ｄａ ｂ ｃ ｉ 波 （ ｂ 。在 ｄ Ｎ 中 ， 代 表 ） ｕ ｅｈｅ小 ｄ Ｎ） ｂ Ｎ
次序 。这 族小 波包 括 Ｈａ ｒ 波 ， 作 ｄ ｌ最 简 单 ａ小 写 ｂ， 的小 波可 以想 象是 最早 期 的 。它们 是 紧支 撑小 波并 且在 给定 的支 持宽 度 拥有 最高 数 目的消失 矩 。他 们
时 引入 Ｋａ ｎ滤 波 方 法 ， 其 与 小 波 分 析 方 法 有 机 结 合 ， 而 提 出利 用 小 波 分 析 的 自适 应 Ｋ ｌ ｎ滤 波 方 法 进 行 ｌ ｍａ 将 进 ａｍａ
Ｇ ｌ ｎ滤 波 ； Ｓ 数 据 去 噪 Ｋａ ｍａ ＧＰ ；
李 永 泉
（ 宁省 交通 高 等 专 科 学 校 测 绘 系 ， 宁 沈 阳 １ ０ ２ ） 辽 辽 １ １２
摘
要 ： 据 小 波 分析 基 本 理 论 和 ＧＰ 根 Ｓ信 号 噪 声 特 性 ， 小 波 分 析 这 一数 学 工 具 应 用到 Ｇ Ｓ数 据 的 去 噪 处 理 中 ， 将 Ｐ 同
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａｃ ｏ ｄ ｎ ｏ ｔ ｅ ｂ ｓ ｃ ｔ ｅ ｒ ｆｗａ ｅ ｅ ｎ ｌ ｓｓ ａ ｄ ＧＰ ｉ ｎ ｌ ｏ ｓ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ，ｔ ｉ ｓ ｕ ｙ ｓｒ ｃ ： ｃ ｒ ｉ ｇ ｔ ｈ ａ ｉ ｈ ｏ ｙ ｏ ｖ ｌ ｔａ ａ ｙ ｉ ｎ Ｓ ｓｇ ａ ｉｅ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉｓ ｈ ｓ ｔ ｄ ｎ ｕ ｅ ｔ ｅ ｍａ ｈ ｍ ａ ｉ ａ ｏ ｌｗａ ｅ ｅ ｎ ｌ ｓｓ ｉ ｓ ｈ ｔ ｅ ｔ ｌ ｔ ｏ ｖ ｌ ｔ ａ ａ ｙ ｉ ｎ ＧＰＳ ｄ ｔ ｅ ｎ ｉｉ ｇ Ｍ ｅ ｎ ｉ ，ｍ ａ ｉ ｇ ｗａ ｅ ｅ ｎ ｌ ｓ ｓ ｃ ａ ａ ｄ － ｏ ｓｎ ． ａ ｗｈ ｌ ｅ ｋ ｎ ｖ ｌ ｔａ ａ ｙ ｉ
卡尔曼滤波参数设置对箭载GPS滤波效果影响分析
的对称 正定 方差 阵 。
Ｙ ） （＾ ２ ） 一 ｚ ） ／ ４ ＋ ｚ一 （ －Ｒ － Ｉ
其 中， 、 、 为 在 ｋ时刻 箭载 Ｇ Ｓ接 收机 的 主 乏 Ｐ
速 度 坐标 ； 、 主
摘 要 ： 尔曼（ ｌ ｎ 滤 波作 为一种 实时递推 算 法 ， 卡 Ｋａｍａ ） 对减 少随机 噪 声 的影 响具 有 重要 作 用 。但 在 目前 资料 中很 少 涉及 关于 Ｋａｍａ 波过程 中各 种参 数 选择 对 于滤 波效 果 的影 响 ｌ ｎ滤 分析 ， 通过从 理论 和 工程应 用 两个层 面 对箭 载 ＧＰ Ｓ状 态参 数 的初 值 、 数 估计 的 协 方差 矩 阵 参
１一
，
ｋ １ －
Ｐ 一吐 一 ＋Ｉ 一 Ｑ 一Ｊ ＿ （ ） １幔＾１ １ １１ ｌ ３ １
滤波 增益 方程 为
Ｋ ｐ ［ Ｐ ＋戤 ］ － ＿ 一 ｎｉ Ｈ 一 Ｈ
状态 估计 方程 为
＾＝ 枞 一 ＋ （ — Ｈ ＝ ＝ Ｚｋ 一）
（） ４
标。
、 是 ｋ时刻 卫星 ｉ的速度 坐 乏
从 离散 型 Ｋａ ｎ滤波基 本 方程 分 析 ， 给定 ｌ ｍａ 若
初值 和 Ｐ ， 据 ｋ时 刻 的量 测 ｚ ， 可 以递 推 ０根 就
Ｋ ｌ ｎ滤 波 的核 心 是 滤 波增 益 矩 阵 ａｍａ
的计
计 算得 到 ｋ时刻 的 状态 估 计 （ 一１ ２ … ） ｋ ， ， 。根 据上述 的 滤波 公 式 ， 益矩 阵 增
１ Ｋａ ｎ 滤 波 参 数 设 置 理 论 分 ｌ ｍａ 析 一 ］
离 散 型 Ｋａｍａ ｌ ｎ滤 波 系统 状 态 向量
gps卡尔曼滤波算法
GPS卡尔曼滤波算法1. 引言GPS（全球定位系统）是一种用于确定地球上特定位置的导航系统。
然而，由于多种原因，例如信号遮挡、信号弱化和传感器误差，GPS定位结果往往存在一定的误差。
为了提高GPS定位的准确性和稳定性，可以使用卡尔曼滤波算法对GPS数据进行处理。
卡尔曼滤波算法是一种用于估计系统状态的最优滤波方法。
它结合了系统的动力学模型和观测数据，通过递归计算得到系统状态的最优估计。
在GPS定位中，卡尔曼滤波算法可以用于对位置、速度和加速度等状态量进行滤波和预测，从而提高定位的精度和稳定性。
本文将介绍GPS卡尔曼滤波算法的原理和实现步骤，并通过示例代码演示其应用。
2. GPS卡尔曼滤波算法原理GPS卡尔曼滤波算法的原理基于以下假设和模型：•系统模型：系统的状态变量可以用状态方程描述，例如在GPS定位中，可以使用位置、速度和加速度等状态变量来描述系统状态的变化。
状态方程通常是一个动力学模型，描述系统状态的演化规律。
•观测模型：系统的观测数据与状态变量之间存在线性关系。
例如在GPS定位中，可以使用卫星测量的距离数据与位置变量之间的线性关系来描述观测模型。
•噪声模型：系统的状态方程和观测模型中存在噪声，噪声可以用高斯分布来描述。
在卡尔曼滤波算法中，假设噪声是零均值、方差已知的高斯白噪声。
基于以上假设和模型，GPS卡尔曼滤波算法可以分为以下几个步骤：步骤1：初始化首先需要对卡尔曼滤波算法进行初始化。
初始化包括初始化状态向量和协方差矩阵。
状态向量包括位置、速度和加速度等状态变量的初始值。
协方差矩阵描述状态向量的不确定性，初始时可以假设状态向量的不确定性为一个较大的值。
步骤2：预测在预测步骤中，根据系统的动力学模型和状态方程，使用状态向量的当前值和协方差矩阵的当前值来预测下一时刻的状态向量和协方差矩阵。
预测过程中还需要考虑控制输入，例如在GPS定位中可以考虑加速度的输入。
预测步骤的数学表达式如下：x_hat = F * x + B * uP_hat = F * P * F^T + Q其中，x_hat是预测的状态向量，F是状态转移矩阵，x是当前的状态向量，B是控制输入矩阵，u是控制输入，P_hat是预测的协方差矩阵，Q是过程噪声的协方差矩阵。
gps漂移抑制算法
gps漂移抑制算法
GPS（全球定位系统）漂移抑制是指通过各种算法和技术来减少
或抑制GPS接收器在信号不稳定或环境变化时引起的位置漂移。
以下是一些常见的GPS漂移抑制算法：
1.卡尔曼滤波器：卡尔曼滤波器是一种递归滤波器，用于估计状态的动态系统。
在GPS中，它可以用于融合多个传感器的信息（（比如加速度计、陀螺仪），以提高位置估计的精度并减小位置漂移。
2.差分GPS（DGPS）：差分GPS通过基准站与接收器之间的信号对比来抑制漂移。
基准站具有已知准确位置的接收器，通过比较基准站和接收器之间的信号差异，可以纠正接收器的信号漂移。
3.自适应滤波：一些自适应滤波技术可以根据环境变化或信号不稳定性调整滤波参数，以适应不同的条件，从而减小GPS位置估计的漂移。
4.移动平均：移动平均是一种简单的平滑技术，可以减小GPS位置估计中的瞬时波动，从而降低漂移。
5.航向变化检测：通过监测导航系统的航向变化，可以检测和纠正由于方向变化引起的位置漂移。
6.信号强度检测：基于接收到的信号强度变化，可以对位置进行校正或调整，以抑制由信号变化引起的漂移。
7.干扰监测与抑制：监测并抑制外部干扰对GPS信号的影响，以减小干扰对位置估计的影响，进而减小位置漂移。
这些方法可以单独应用或组合使用，以改善GPS定位的准确性并抑制位置漂移。
实际应用中，结合多种方法和传感器数据融合技术，
可以有效地抑制GPS定位中的漂移。
1/ 1。
传统组合导航中的实用kalman滤波技术评述
传统组合导航中的实用kalman滤波技术评述传统组合导航是一种基于惯性导航和全球定位系统（GPS）的导航方法，可以在没有GPS信号的情况下提供可靠的位置和速度信息。
然而，惯性导航器存在漂移问题，而GPS信号在城市峡谷和密林等环境下容易受到干扰。
为了克服这些问题，研究者们提出了许多组合导航算法，其中kalman滤波技术是最常用的一种方法。
本文将从kalman 滤波技术的原理、应用和优缺点三个方面对其进行评述。
一、kalman滤波技术的原理kalman滤波技术是一种递归滤波器，可以用来估计一个动态系统的状态。
其基本思想是通过对系统状态的预测和观测值的校正来估计系统状态。
kalman滤波器可以分为两个步骤：预测和校正。
预测：首先，kalman滤波器需要对系统状态进行预测。
假设系统状态为x，状态转移矩阵为F，系统噪声为w，那么系统状态的预测可以表示为：x^ = Fx + w其中，^表示预测值。
校正：其次，kalman滤波器需要根据观测值对系统状态进行校正。
假设观测值为z，观测矩阵为H，系统噪声为v，那么系统状态的校正可以表示为：x = x^ + K(z - Hx^) + v其中，K表示卡尔曼增益，用于平衡预测值和观测值的权重。
二、kalman滤波技术的应用kalman滤波技术在组合导航中的应用主要包括以下几个方面： 1. 惯性导航器误差的校正惯性导航器存在漂移问题，因此需要通过GPS等其他传感器对其进行校正。
kalman滤波器可以将GPS观测值与惯性导航器状态进行融合，从而校正惯性导航器的误差。
2. GPS信号的平滑处理在城市峡谷和密林等环境下，GPS信号容易受到干扰，导致位置和速度信息不准确。
kalman滤波器可以通过对GPS观测值进行平滑处理，从而减少干扰对导航结果的影响。
3. 多传感器融合除了GPS和惯性导航器外，组合导航还可以使用其他传感器，如气压计、陀螺仪和加速度计等。
kalman滤波器可以将多个传感器的观测值进行融合，从而提高导航的精度和稳定性。
卡尔曼滤波法原理
卡尔曼滤波法原理引言：卡尔曼滤波法（Kalman Filter）是一种用于估计系统状态的数学方法，广泛应用于控制、信号处理、导航等领域。
其原理基于贝叶斯滤波理论和最小二乘估计，通过对系统的观测值和先验信息进行加权处理，得到对系统状态的最优估计。
一、贝叶斯滤波理论贝叶斯滤波理论是基于贝叶斯定理的一种数学方法，用于根据观测数据来更新对系统状态的估计。
贝叶斯定理表示在已知先验概率的条件下，通过观测数据来计算后验概率。
在卡尔曼滤波中，先验概率即为对系统状态的估计，后验概率为根据观测数据更新后的估计。
二、最小二乘估计最小二乘估计是一种通过最小化观测值与估计值之间的平方误差来确定参数的方法。
在卡尔曼滤波中，最小二乘估计用于确定系统状态的估计值与观测值之间的关系，即通过观测值来更新对系统状态的估计。
三、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波法将贝叶斯滤波理论和最小二乘估计相结合，通过递归的方式对系统状态进行估计。
其基本步骤如下：1. 初始化：给定系统状态的初始估计值和误差协方差矩阵。
2. 预测：根据系统的动态模型和控制输入，通过状态转移方程对系统状态进行预测。
3. 更新：根据观测模型和观测值，通过观测方程对系统状态进行更新。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的终止条件。
在卡尔曼滤波中，预测和更新步骤是通过计算协方差矩阵的加权平均来实现的。
预测步骤中，通过状态转移方程将先验估计值传递到下一个时刻，并更新误差协方差矩阵。
更新步骤中，通过观测方程将先验估计值与观测值进行比较，计算卡尔曼增益（Kalman Gain），并根据卡尔曼增益将先验估计值与观测值进行加权平均得到后验估计值。
四、卡尔曼滤波的优势卡尔曼滤波法具有以下几个优势：1. 高效性：卡尔曼滤波法通过递归的方式进行估计，计算量较小，适合实时应用。
2. 自适应性：卡尔曼滤波法能够根据观测数据和先验信息自动调整权重，适应不同的环境和噪声条件。
3. 鲁棒性：卡尔曼滤波法能够通过对系统状态的连续估计来抑制观测数据中的噪声和干扰，提高估计的精度和稳定性。
KalmanFilter在GPS定位中的应用
KalmanFilter在GPS定位中的应用Kalmanfilter是一个离散线性差分系统。
系统状态前后存在一定的关系，除了状态转移（多个系统变量对下一个状态的影响），还有过程噪声和测量噪声。
Kalmanfilter采用递归收敛的方式，能预测下一个系统状态或使输出的结果更可靠稳定。
Gyro陀螺仪是传感器数据的来源之一，由于它的精度与温度相关，所以应用Kalmanfilter对其进行预测和校正。
这里其输出主要是校正的数据。
Gyro的状态方程为gbias = a0 + a1 * T + a2 * T^2 + a3 * T^3若T1=T, T2=T^2， T3=T^3.----------以下是看别人写的代码的理解，有点蒙掉的感觉，因为没找到第一个差分量的含义，所以以下有关第一个变量的东西可能有误gbias是Gyro的偏移量数据，则kalmanfilter的状态转移矩阵的大小为5*5，系统状态矩阵（向量）为5*1。
测量矩阵为1*1则A =-1 1 T1 T2 T30 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1x = (0, a0, a1, a2, a3 )TH = （1, 1, T1, T2, T3）拿到温度T，及Gyro直接测量到的bias值。
时间更新，估计：首先由温度T，计算出mbias，然后设置状态转移矩阵A。
然后进行测量更新，校正：测量更新measurementUpdate，计算直接测量bias值与计算值mbias引起的误差协方差矩阵mMatMainCovariance和系统矩阵mMatCorrection的更新。
由新的a0, a1, a2, a3再次计算bias，得到校正的bias值。
此应用中，其中一个先验估计值bias由T计算出，使用旧的系统变量ai,然后由测量值bias，计算出最优的系统状态变量ai,并再次计算出最优的估计值。
x(0|0) = (0, A0, 0, 0, 0), A0 = biasP(0!0) = identity（0.1, 0.1, 1e-3, 1e-6, 1e-9）predict:x(1|0) = A*x(0|0)P(1|0) = AP(0|0)At + pnoisecorrect:Kg = P(1|0)/(P(1|0) + noise)x(1|1) = x(1|0) + correctMatrix ， correctMatrix = kg*error， error = measurement - x(1|0)[0] P(1|1) = P(1|0) - Kg*H*P(1|0)-----------------------------------------------------------看的太累了，附上两张GPS位置和gyro bias效应的kalmanfilter的示意图系统变量x(t) = (x, v, a)状态转移矩阵A =1, t, t^2/20, 1, t0, 0, 0测量输入变量可以有z = (x, v)B, 为0，H,单位矩阵，R,Q高斯随机噪声。
gps卡尔曼滤波算法
gps卡尔曼滤波算法（实用版）目录1.卡尔曼滤波算法概述2.GPS 定位系统简介3.卡尔曼滤波算法在 GPS 定位系统中的应用4.卡尔曼滤波算法的优缺点5.总结正文一、卡尔曼滤波算法概述卡尔曼滤波算法是一种线性最优递归滤波算法，主要用于实时估计动态系统的状态变量。
它的主要思想是在预测阶段，使用系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的状态值；在更新阶段，将预测值与观测值进行比较，得到一个残差，根据残差大小调整预测值，以得到更精确的状态估计值。
二、GPS 定位系统简介全球定位系统（Global Positioning System，简称 GPS）是一种以人造地球卫星为基础的高精度无线电导航定位系统。
GPS 允许用户在任何地方、任何时间获取其精确的三维位置、速度和时间信息。
三、卡尔曼滤波算法在 GPS 定位系统中的应用在 GPS 定位系统中，由于信号传播过程中的各种误差，如大气层延迟、多径效应等，使得接收到的 GPS 信号存在误差。
卡尔曼滤波算法可以用于对这些误差进行补偿，从而提高定位精度。
具体应用过程如下：1.初始化：设定初始状态的均值向量和协方差矩阵。
2.预测：使用 GPS 接收器提供的观测数据和系统模型，预测当前时刻的状态值。
3.更新：将预测值与实际观测值进行比较，得到一个残差，然后根据残差调整预测值，得到更精确的状态估计值。
4.重复步骤 2 和 3，直到达到预定的滤波阶数或达到终止条件。
四、卡尔曼滤波算法的优缺点优点：1.卡尔曼滤波算法可以实时处理数据，具有较好的实时性。
2.它能够对含有随机噪声的数据进行处理，并得到较为精确的结果。
3.对于非线性系统，可以通过线性化处理转化为线性系统，然后应用卡尔曼滤波算法。
缺点：1.卡尔曼滤波算法需要准确的系统模型，对于模型不准确或不稳定的系统，滤波效果会受到影响。
2.当系统状态变量的维数较高时，计算复杂度会增加，可能导致算法运行速度降低。
五、总结卡尔曼滤波算法是一种在 GPS 定位系统中应用广泛的实时滤波算法，可以有效地对 GPS 信号中的误差进行补偿，提高定位精度。
Kalman 滤波在 GPS 非差相位精密单点定位中的应用
Kalman 滤波在 GPS 非差相位精密单点定位中的应用符新新;高俊强;石岩【摘要】阐述单台双频 GPS 非差相位精密单点定位的数学模型，在最小二乘估计基础上，导出卡尔曼滤波算法。
提出采用迭代扩展卡尔曼滤波算法解决非差相位非线性方程在线性化过程中产生的线性误差问题，并将其应用于GPS 数据实时处理，不仅很好地降低非线性方程线性化产生的误差，而且能够精确推算到用户的三维位置。
%It presents the mathematical model of the precise point positioning,introducing the Kalman filter algorithm on the basis of the least squares estimation and using the extended recursive Kalman filter in the GPS data real-time processing.Not only can it well reduce errors resulting from linearization of nonlinear equations,but accurately calculate the three-dimensional position of the user’s.【期刊名称】《黑龙江工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】3页(P6-8)【关键词】GPS 非差定位;精密单点定位;卡尔曼滤波;迭代扩展【作者】符新新;高俊强;石岩【作者单位】南京工业大学测绘学院，江苏南京 210000;南京工业大学测绘学院，江苏南京 210000;南京工业大学测绘学院，江苏南京 210000【正文语种】中文【中图分类】P207精密单点定位是利用GPS卫星精密星历及精密卫星钟差［1］，对单台接收机采集的伪距观测值或相位观测值进行非差定位处理，GPS非差定位精度可达分米级甚至是厘米级。
GPS／CAPS双模定位解算的Kalman滤波算法
Ｋａｍａ ｉ ｅ ｉｇＡｌｏ ｉ ｍ ｏ Ｓ Ｃ Ｓ ｌ ｎ Ｆｌ ｒｎ ｇ ｒｔ ｆｒＧＰ ／ ＡＰ ｔ ｈ
Ｄｕ ｌＭ ｏ ｅ Ｐｏ ｉｉ ｎｉ ａ ｄ ｓｔｏ ｎｇ
ＺＨ Ｑｉ ｆ ｎ ，ＬＩＧｕ ｔ ｎ Ｕ ｕ ａ ｇ ｏ ｏ ｇ．儿Ａ ａ ｇ ｉ Ｇｕ ｎ ｙ
第 ２ ８卷
第 ５期
弹
箭
与
制
导
学
报
Ｖ０． Ｎｏ １ ２８ ．５ Ｏｃ Ｏ８ ｔ２Ｏ
２０ ０ ８年 ｌ Ｏ月
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＰｒｊｃｉｅ ，Ｒｏ ｋ ｔ ，Ｍｉｓｌｓａ ｄＧｕｄ ｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｏｅ ｔ ｓ ｏ ｌ ｃ ｅｓ ｓ ｉ ｎ ｉａ ｃ ｅ
ＧＰＳ ＣＡＰＳ 双 模定 位 解 算 的 ／
ｔｏ ｎｇ． ｉｎｉ ．Ｂａ ｅ ｔ ｔ ｅ ｄｉｃ ｅ ｅ ａ ａｐ ｉ ｅ ｅ ｅ ｄｅ ａｍ ａ ｉｔ ｒｎ ｑｕ ｔｏ ｏｍ ｂｉ ｎｇ Ｓａ ｅ Ｈ ｕｓ ａ ａｐ ｉ ｉｔ ｒｎｇ ｓ ｄ ｏｎ ｉ ・ ｈ ｓ ｒ ｔ ｄ ｔｖ ｘｔ ｎ ｄ Ｋ ｌ ｎ ｆｌｅ ｉｇ ｅ ａ ｉ ｎｓ ｃ ｎｉ ｇ － ａ ｄ ｔｖｅ ｆｌｅ ｉ ａｇｏ ｉｈｍ ｅ ｅｐｒ ｓ ｎｔ ｄ Ｔ ｈｅ ｌ ｒｔ ｗ ｒ ｅ ｅ ｅ ． ｎ・ｔ ｄａ ｉ ｉｔ ｒｎ ｇｏ ｉｈｍ ａ ｍ ｐ ｏ ｅ ｈｅａ ｐｔｖｅｆｌｅ ｉ ｇ ａｌ ｒｔ ｗ ｓｉ ｒ ｖ ｄ Ｗｈ ｎ ｔｅｆ ｔｒ ｇ ｗａ ｄ ｅ ｆ ｉ ｒ ｅ ｈ ｉ ｅｉ ｓｊ ｇ ｄｏ ｖ — ｌ ｎ ｕ ｄ ｅ
滤 波器 ， 并对滤波 算法进行 了改进 ， 既保证 了定位
ｌ 弓 言 ｌ
利用Kalman滤波修正卫星导航差分RTK定位坐标
利用Kalman滤波修正卫星导航差分RTK定位坐标随着卫星导航技术不断发展，差分RTK定位越来越成为了现代高精度测量的重要手段。
但由于信号传输的误差等因素的影响，差分RTK定位的精度仍然有待进一步提高。
Kalman滤波作为一种广泛应用的信号处理算法，被应用于卫星导航差分RTK定位结果的修正，已经取得了很好的效果。
Kalman滤波原理是基于盲目滤波的思想而得到的，是一种将连续时间的观测值利用某些模型来预测下一步状态的算法。
其实质就是将之前的估计结果和当前的观测结果结合起来，得到一个更准确的估计。
在卫星导航差分RTK定位中，Kalman滤波的作用就是对测量数据进行平滑处理，使得差分RTK定位的精度得到更显著的提升。
常见的Kalman滤波模型包括线性模型和非线性模型两类。
差分RTK定位中，由于卫星信号的传播路径被大量障碍物所截断，导致测量值存在着显著的不稳定性。
因此，需要采用非线性Kalman滤波模型进行修正。
该模型能够通过多次迭代，将多余的误差进行过滤，从而得到更为准确的测量结果。
以位姿状态估计为例，Kalman滤波可用于对卫星导航差分RTK定位坐标进行修正。
在该应用场景下，可以将卫星导航定位结果与惯性测量单元（IMU）测量的姿态数据进行结合，得到更高精度的坐标。
例如，差分导航定位结果和IMU姿态轨迹数据可以分别用来更新误差相关的方差，并计算出最终位置状态的估计值。
这种结合的方法解决了卫星导航系统定位精度受到环境影响而不稳定的问题，提高了差分RTK定位的准确性。
总之，利用Kalman滤波对卫星导航差分RTK定位坐标进行修正，在定位过程中能够起到重要的作用。
通过多次迭代，能够去除多余的误差，提高卫星导航系统的精度和稳定性，在大量实际应用中，已经取得了良好成果。
Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用
阅读感受
在我阅读《Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用》这本书的过程中，我 深深地被书中深入浅出的解释和详尽的实例所吸引。这本书不仅为我揭示了 Kalman滤波理论的深层含义，还让我了解到这一理论在导航系统中的广泛应用。
这本书的主题是Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用，这无疑是对于我 来说非常具有吸引力的一个主题。在我看来，这本书的内容非常充实，从Kalman 滤波理论的基础知识到其在导航系统中的应用，再到最新的相关研究进展，都进 行了深入而详细的阐述。
本书重点介绍了Kalman滤波理论在导航系统中的应用。首先介绍了全球定位系统（GPS）
的工作原理及其在导航中的应用，然后详细阐述了Kalman滤波器在GPS定位中的重要作用。还讨 论了Kalman滤波器在惯性导航系统（INS）中的应用，以及如何将INS和GPS进行组合以提供更准 确的导航信息。
《Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用》是一本深入浅出、理论与实践相结合的书籍，对于 希望了解和应用Kalman滤波理论的读者来说是一本非常宝贵的参考书。这本书不仅为导航系统的 设计和实现提供了重要的理论基础，也为相关领域的研究人员和技术开发者提供了实用的技术指 导。
在第一章，我们深入探讨了Kalman滤波理论的基础知识。它以最小均方误差 为最优准则，通过建立线性动态系统模型，实现对系统状态的精确估计。这种理 论在处理带有噪声的观测数据时，表现出了极高的精确性和鲁棒性。
第二章则是对实用Kalman滤波技术的详解。这一章详细介绍了如何将Kalman 滤波器应用于实际问题，包括如何建立系统模型，如何设置滤波器的参数，以及 如何处理系统噪声等。同时，通过实例演示，使我们对这种技术有了更直观的理 解。
谢谢观看
《Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用》这本书为我们提供了一个全面、 深入的视角来看待和处理Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用问题。它不仅 包含了基础的理论知识，还结合了许多实际的应用案例，使我们对这种理论有了 更深入的理解和应用。这本书对于导航、制导与控制领域的研究者和工程师来说 是一本极具价值的参考书籍。
基于扩展Kalman滤波的GPS定位算法研究
基于扩展Kalman滤波的GPS定位算法研究GPS定位算法是现代导航系统中的重要组成部分，其精度直接影响到车辆的位置准确性、导航指引的正确性以及整个系统的性能。
虽然传统的Kalman滤波算法已经被广泛应用于GPS定位中，但是在特殊场景下，其精度还是有限。
因此，本文将介绍基于扩展Kalman滤波的GPS定位算法研究进展。
1. GPS定位原理及基本流程GPS定位系统基于卫星发射信号和地面接收器接收信号的时间差测量来确定接收器的位置。
GPS基本流程如下：首先，接收器与卫星之间通过微波通信建立联系。
接收器接收从卫星发送的导航信号，并记录其时间信息。
接收器将测量到的信号传输时间与卫星发射信号的时间进行比较，从而计算出信号传播的时间差。
每个卫星都有自己的坐标，这个卫星通过可见性能够被确定，并且相应的位置信息会被传输回地面接收器。
由于接收器记录了至少三个卫星信号的时间信息，因此可以使用数学方法推导出接收器的位置坐标。
在实践操作中，这个方法会考虑到信号传播的时间以及各种噪声的影响，最终得到卫星定位及地球表面物体的坐标信息。
GPS定位算法的最终结果质量与GPS接收机的设计和信号处理算法有关。
2. 传统Kalman滤波算法在GPS定位中的应用Kalman滤波是一种最优估计过程，用于估计具有内部噪声和外部力影响的系统的状态变量。
Kalman滤波包括两个步骤：预测和修正。
预测步骤利用系统动力学方程来预测下一个时刻的状态变量。
修正步骤则使用测量方程将观测数据与预测结果进行比较，计算出评估误差，并将其用于调整预测值，得到更精确的结果。
在GPS定位中，传统Kalman滤波算法的基本思路是基于GPS信号的三个度量值，即码伪距、载波相位和多普勒频率，将其作为状态向量，建立状态方程和观测方程，然后利用Kalman滤波算法进行状态估计。
然而，Kalman滤波算法对于状态变量的线性性、高斯性等有一定的前提条件。
在实践中，GPS信号在传输过程中会受到多种噪声的干扰，使得传统Kalman滤波的预测结果精度有限。
基于非线性滤波和平滑相迭代的 GPS 定位估计算法
c t Rt
（5）
式中， Rt 为由时钟偏移引起的距离差。当接收到 n 颗（ n 3 ）卫星信号时，系统的测量 值为：
zt [ 1t , 2t ,
nt , D1t , D2t
Dnt ]T
（6）
2 UKF 算法
UKF 算法是基于 UT (Unscented Transform) 变换的最小方差估计， 由 Julier 等人在 1995 [4] 年首先提出 。其主要思想是逼近一种分布要比逼近任意的非线性函数更容易，因此对于非 线性的随机变量传递 yt h( xt , vt ) ，可以按式（7）选择一组采样点 t ,使其样本均值和协
it rt rit c t it vit
( X t X it ) 2 (Yt Yit ) 2 ( Z t Z it ) 2 c t it vit
式中： X t 、Yt 、Z t 为接收机在 t 时刻的位置坐标； X it 、Yit 、Z it 为 t 时刻第 i(i 1, 2, 颗卫星的位置坐标； rt 为接收机的位置矢量； vit 为通道 i 的测量白噪声。
滤波进行位置解算， 实验结果表明该模型虽然是一种有效的方法， 定位估计结果明显优于传 [3] 统的最小二乘估计 ，但由于雅克比矩阵仅是测量方程的泰勒一阶展开，所以定位精度低于 100 米（有 SA 干扰） 。随着对定位精度要求的提高和滤波理论的逐步完善，特别是 UKF 的 出现，该模型得到进一步改进，文献[2]建立了非线性的 GPS 定位模型，不需线性化测量方 程， UKF 通过确定性采样得到的采样点来表示系统的统计特性, 高斯随机变量通过非线性方 程直接传递,避免了系统模型线性化引入的误差和求解雅克比矩阵的繁琐计算过程，所以定 位精度得到进一步提高。 然而，无论是 EKF 还是 UKF，当前估计值均来自于前一时刻“历史记录”的递推和当 前观测量对递推值的修正。 作为当前时刻状态估计的起始值， 前一时刻状态估计的精确与否 直接影响到当前时刻的估计精度， 而且估计值对单一时间点的测量误差扰动非常敏感， 故要 进一步提高定位精度， 应通过提高每次滤波递推的起始值精度。 本文提出将后向卡尔曼平滑 算法融合到前向卡尔曼滤波过程中， 二者交替迭代， 通过后向平滑算法为前向滤波提供较高 精度的起始值。实验结果表明，滤波平滑相迭代的方法不仅提高了滤波初始值的精度，而且 后向平滑将“未来”的观测值信息融入当前估计值中，使得滤波曲线变得更加平缓，该方法 既在验后数据处理中体现出优越性，又能保证定位的实时性。
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提高非线性模型滤波解的精度和抗差性， 文献［５］
提出利用平淡 Ｋａｌｍａｎ 滤波模型求解非线性模型。
文 献 ［６］试 图 利 用 半 参 数 模 型 处 理 导 航 解 算 中 的 非
线性问题。本文将目前动态 ＧＰＳ 定位与导航中经
常使用的几种非线性 Ｋａｌｍａｎ 滤波算法进行理论和
实用方面的比较， 以供实际导航应用时参考。
收稿日期： ２００５－ ０３－ ０２ 项目来源： 国家自然科学基金项目（ ４０４７４００１ 和 ４０２７４００２） 作者简介： 杨元喜（１９５６～）， 男， 西安测绘研究所教授， 博士生导师。
第３期
杨元喜等! ＧＰＳ 导航解算中几种非线性 Ｋａｌｍａｎ 滤波的理论分析与比较
．５．
性化精度和按系统状态最优估计线性化类似。为了
气折射影响的情况下， 可得非线性伪距观测方程［８］
% ｊ％
ｊ
２
ｊ
２
ｊ
２
！ " ＝ （ ｘ － ｘ） ＋（ ｙ － ｙ） ＋（ ｚ － ｚ） ＋ ｃ$ｔ
（ １１）
式中， ｃ 为光速， $ｔ 为接收机钟差。
为了解决非线 性 问 题 ， 美 国 学 者 Ｂａｎｃｒｏｆｔ 于
１９８５ 年提出一种称之为“闭合形求解”的全局非线
ｄＴ
!＝ ［! ! … ! ］
（ １８）
+- *( *, "＝ １ ＜Ｎ， Ｎ＞＝ １
２
２
# ｂ
，
# ｂ
Ｔ
， $ ＝ ［１ １ … １］ （ １９）
ｄ×１
根据（ １６） ～（ １９） 式的定义， 在获得 ｄ 颗观测卫
星的情况下， 可得基于 Ｌｏｒｅｎｔｚ 内积方程
( * Ｔ
Ｂ Ｐ!－
Ｔ
Ｂ ＰＢＭ
# ｂ
观测卫星坐标和伪距的矩阵
" １ １ １ １％ %
ｘ#
#
ｙ
ｚ
!
& &
#
&
#
&
# ２ ２ ２ ２％ &
Ｂ＝
ｘ#
# #
ｙ
ｚ
!
& & &
#
&
… #
#
…
…
…
& &
#
&
ｘ ｙ ｚ ! #
##
ｄ
$
ｄｄ
ｄ％
& &&
’
（ １７）
另外定义
+( )( *, ｊ
!＝
１
ｊｊ
＜Ｔ ， Ｔ ＞＝
１
２
２
ｊ
ｊ
Ｓ
ｊ％
，
Ｓ
ｊ％
，
!!
１２
摘要： ＧＰＳ 导航解算中常采用离散线性 Ｋａｌｍａｎ 滤波模型。由于线性化忽略高次项， 加之线性化受初始值精
度的影响， 导致线性化模型精度很难满足高动态用户需求。为此， 分别讨论了扩展 Ｋａｌｍａｎ 滤波和 Ｂａｎｃｒｏｆｔ 算法
以及利用观测信息迭代精化观测方程三种算法， 并结合算例进行了比较与分析。
（ １２）
Ｔ
Ｔ
＜ｇ， ｈ＞＝ｇ Ｍｈ＝ｕ ｖ－ ａｂ
（ １３）
根 据 Ｌｏｒｅｎｔｚ 内 积 ， 将 Ｂａｎｃｒｏｆｔ 算 法 应 用 于
ＧＰＳ 导航伪距观测方程。由于 ｃ 为信号传播速度，
是常数， 因此， 可令 ｂ＝ ｃ$ｔ， 则将（ １１） 式重新写为
% ｊ％
ｊ
２
ｊ
２
ｊ
２
！ " － ｂ＝ （ ｘ － ｘ） ＋（ ｙ － ｙ） ＋（ ｚ － ｚ）
文 献［１］推 导 证 明 了 扩 展 Ｋａｌｍａｎ 滤 波 并 不 是 真 正 的 Ｋａｌｍａｎ 滤波算法， 以及采用泰勒级数展开至二 阶非线性滤波并未能真正改善估值的偏差量。基于 不 符 值 原 理 ， 文 献［２， ３］利 用 自 适 应 因 子 调 节 模 型 误差的影响， 包括模型的非线性项影响。在分析基 于系统标称状态和基于系统状态最优估计两种传 统 线 性 化 方 式 的 基 础 上 ， 文 献［４］针 对 非 线 性 系 统 Ｋａｌｍａｎ 滤波的线性化， 提出使用前一步最优估计 值进行线性化， 将最小二乘和 Ｋａｌｍａｎ 滤波的线性 观测方程统一， 在空间状态变化不大的情况下， 线
对观测方程（ ２） 也可采用相似的方法展成泰勒
级数， 并取至一次项得
％ "ｈ
％
Ｌｋ ＝ｈ（ Ｘｋ ） ＋ "Ｘｋ
（ Ｘｋ － Ｘｋ ） ＋!ｋ
Ｘ!
％ ｋ
（ ７）
令
"ｈ
％ "ｈ
％
Ａｋ ＝ "Ｘｋ
，
Ｘ!
％ ｋ
#ｋ ＝ｈ（ Ｘｋ ） －
"Ｘｋ
Ｘｋ
Ｘ!
％ ｋ
（ ８）
％
将 Ｘｋ 代入（ ７） 式和（ ８） 式即可得到线性化的观
（ １４）
对（ １４） 式两边同时平方并移项重新组合， 可得
２
２
２
２
ｊ
ｊ
ｊ
ｊ％
ｊ
ｊ
ｊ
ｊ％
（ ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ － " ） － ２（ ｘ ｘ＋ｙ ｙ＋ ｚ ｚ－ " ｂ） ＝
２ ２２ ２
－ （ｘ ＋ｙ ＋ｚ － ｂ ）
（ １５）
ｊ
ｊ Ｔ ｊ％ Ｔ
Ｔ
Ｔ
设 Ｔ ＝ ［（ Ｓ ） ， " ］ ， Ｎ＝ ［% ， ｂ］ ， 则根据 Ｌｏｒｅｎｔｚ 内
Ｔ
＋ Ｂ Ｐ"$＝ ０
（ ２０）
式中， Ｐ 为伪距观测值的对称权 阵 ， 由 式 （ ２０） 即 可
求解出基于 Ｂａｎｃｒｏｆｔ 算法的待定未知参数
( * Ｘ! ｂ ＝
# ｂ
＝ ＭＦ（ "$＋ !）
（ ２１）
Ｔ
－１ Ｔ
式中， Ｆ＝ （ Ｂ ＰＢ） Ｂ Ｐ， 参数 " 可由以下二次方程
解出， 详细推导过程可见文献［１， ９］。
．６．
测绘工程
积， （ １５） 式可表示为
１
ｊｊ
＜Ｔ ， Ｔ ＞－
ｊ
＜ Ｔ ， Ｎ＞ ＋
１
＜ Ｎ， Ｎ＞ ＝ ０
（ １６）
２
２
ｊ％
对每一个伪距观测值 ! 和对应的卫星坐标向
ｊ
量 Ｓ ， 均 可 根 据 （ １６） 式 列 出 一 个 Ｌｏｒｅｎｔｚ 内 积 方
程。设在历元 ｔｋ 观测到 ｄ 颗卫星（ ｄ≥４） ， 则可给出
１ 非线性离散系统扩展 Ｋａｌｍａｎ 滤波
考虑如下非线性系统状态方程和观测方程［７］
Ｘｋ ＝ｆ（ Ｘｋ－ １ ） ＋ Ｗｋ
（ １）
Ｌｋ ＝ｈ（ Ｘｋ ） ＋ ｅｋ
（ ２）
式中， Ｘｋ 为 ｔｋ 时刻的状态向量， Ｘｋ－ １ 为 ｔｋ－ １ 时刻的状
态向量， Ｗｋ 为动力学模型噪声向量， Ｌｋ 为 ｔｋ 时刻的
展开；
３） 状态预测向量可以由非线性函数（ ４） 式 直
接求解， 也可由线性化的预测模型（ ６） 式求解， 但预
测状态向量的协方差矩阵仍由下式求得
Ｔ
∑ ＝! ∑ ! ＋ ∑ Ｘ#ｋ
ｋ， ｋ－ １ Ｘ! ｋ－ １ ｋ， ｋ－ １
Ｗｋ
（ １０）
２ 基于 Ｂａｎｃｒｏｆｔ 算法的非线性 ＧＰＳ 两步滤 波法
４
性最小二乘算法［９］。Ｂａｎｃｒｏｆｔ 算法主要是依据 Ｒ 维
空 间 下 的 一 种 Ｌｏｒｅｎｔｚ 内 积 ， Ｌｏｒｅｎｔｚ 内 积 的 定 义
４
４
为： 在 Ｒ 维空间中有向量 ｇ、ｈ∈Ｒ ， 且
ＴＴ
Ｔ
Ｔ
ｇ ＝［ｕ ， ａ］ ， ｈ ＝［ｖ ， ｂ］
４×１ ３×１
４×１ ３×１
则向量 ｇ、ｈ 的 Ｌｏｒｅｎｔｚ 内积为
ＹＡＮＧ Ｙｕａｎ－ｘｉ１" ＺＨＡＮＧ Ｓｈｕａｎｇ－ｃｈｅｎｇ２" ＧＡＯ Ｗｅｉ－ｇｕａｎｇ３
（１． Ｘｉ＇ ａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｇｅｏｄｅｓｙ ａｎｄ Ｇｅｏｍａｔｉｃｓ， Ｘｉ＇ ａｎ ７１００５４* Ｃｈｉｎａ0 ２． Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｇｅｏｌｏｇｙ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｇｅｏｍａｔｉｃｓ， ｃｈａｎｇ＇ ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｘｉ＇ ａｎ ７１００５４* Ｃｈｉｎａ； ３． Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｇｅｏｄｅｓｙ ａｎｄ Ｇｅｏｍａｔｉｃｓ， Ｉｎｆｏ－ ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｕｎｉ．， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００５２， Ｃｈｉｎａ）
０ 引言
动态导航解算中广泛应用的 Ｋａｌｍａｎ 滤波， 一 般 为 线 性 的 、 离 散 化 的 Ｋａｌｍａｎ 滤 波 。 实 践 中 ， Ｋａｌｍａｎ 滤波的观测模型和动力学模型一般为非线 性的。为了便于应用， 通常将它们线性化， 以其线性 化的模型进行滤波解算。大多数情况下， 通过迭代 计算， 线性化的滤波能满足普通用户的精度要求， 然而对于高动态载体来说， 用来作为模型线性化的 状态参数近似值的精度很难满足用户的精度要求。
观测向量， ｅｋ 为观测误差向量， 且 Ｗｋ 和 ｅｋ 均为零均 值白噪声序列［１］。
所 谓 非 线 性 离 散 系 统 的 扩 展 Ｋａｌｍａｎ 滤 波 ［７］
（ Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ，简称 ＥＫＦ） 是指围绕 ｔｋ－ １ 历
由上述展开成泰勒级数过程可以看出：
１） 扩 展 Ｋａｌｍａｎ 滤 波 的 主 要 问 题 是 前 一 历 元
元的状态滤波值Ｘ! ｋ－ １ 对非线性 Ｋａｌｍａｎ 滤波模型进