2004-2007应用概率统计试卷(A)答案
应用概率统计试题答案.doc
042应用数学解答一、 1．0.2 2．36, 13 3．35, 0, 524．485C . 5．2(19)χ 6．47． 两个正态总体均值检验, 拒绝H 0. 二、1．C 2. A 3．B 4. B 5．C 三、1．解 以A 记事件“孩子得病”，以B 记事件“母亲得病”，以C 记事件“父亲得病”，按题意需要求()P ABC. （1分）已知()0.6,(|)0.5,(|)0.4P A P B A P C AB === ……（1分）由乘法定理得()()(|)()P ABC P CBA P C BA P BA ==……（2分）(1(|))(|)()P C BA P B A P A =-⋅⋅…… （2分）()10.40.50.60.18=-⨯⨯= ……………（2分）2. 解一学生接连参加一门课程的两次考试，以i A 表示事件“第i 次考试及格”，1,2i =；以A 表示“他能取得某种资格”……………………… .（1分）（1）按题意112A AA A =U ，因112A A A =∅I ，…………………….（1分） 且由已知 11()0.6,()10.60.4,P AP A ==-= 2121(|)0.6,(|)0.3P A AP A A ==………………… （2分） 故()()()()11212P A P A A A P A P A A ==+U ……………………（1分）2110.6(|)()0.60.30.40.72P A AP A =+=+⨯=……… （2分） （2）因为()()()22112121()P A P A A A P A A A A ==+I U …………… （1分）()()()()211211||P A A P A P A A P A =+………………（1分）所以()()()()()()()()()12211122211211||||P A A P A A P A P A A P A P A A P A P A A P A ==+（2分）220.60.750.60.30.4==+⨯…………………… （1分）3．解（1）由题意得120()1f x dx bx dx +∞-∞==⎰⎰而1312001333x b bx dx b b ===⇒=⎰()()()141123000333344x E X xf x dx x x dx x dx +∞-∞=====⎰⎰⎰()()()151122224000333355x E X x f x dx x x dx x dx +∞-∞=====⎰⎰⎰由()()()222333935451680D X E X E X ⎛⎫=-=-=-=⎪⎝⎭ （2）()()()113133Y X y y F y P Y y P X y P X F ++⎛⎫⎛⎫=<=-<=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上式两边对y 求导，有()21113,0111333330, Y X y y y f y f ⎧++⎛⎫<<+⎪⎛⎫ ⎪==⎨⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪⎩g g 其它()21,12=9 0, y y ⎧+⎪-<<⎨⎪⎩其它4.解 若新法比老办法效果好，则有毒物质平均浓度应低于老办法处理后的有毒物质平均浓度，设有019,μ=故应设待检验原假设0H 为0μμ=，对应假设1H 为0μμ<，若1H 成立，则认为新法效果好，检验如下：（1）H 0: μ=19,；H 1: μ<19 （2分） （2）在0H成立下，选检验统计量()9X T t =:（3）对给定的检验水平0.05α=，选0H 的拒绝域为()0.059T t <-1.92.05560.9243X T -=====- 显然)0.050.205569 1.833T t =-<-=- T 值落入0H 的拒绝域，故拒绝0H 而接受1H ，因此可以认为新法比老办法效果好。
历年《概率统计》试卷选择填空题-答案(7套)
02 (2 0) 2 1 1, DX i ，由中心极限定理 2 12 3
11 1 1 10000 ) ，故 P{Y 1} ( ) (0) 0.5 X i 近似服从 N (1, 30000 10000 i 1 1 30000
．
5．已知 T1 , T2 , T3 和 aT1 2aT2 2T3 均为非零参数 的无偏估计量，则 a 【解】由已知： E (Ti ) , i 1, 2,3,
1
1!
e
2
2!
，则 e 2 或 0 （舍）
P( X k )
20 2 21 2 2k 2 e , k 0,1, 2,..., 则 P{ X 2} P{ X 0} P{ X 1} e e 3e 2 k! 0! 1!
2
论正确的是（ （A）
） ． （ B）
1 n ( X i X )2 ~ 2 (n 1) n 1 i 1 1
1 n ( X i X )2 ~ 2 (n 1) n i 1 1
（C）
2
( X i X )2 ~ 2 (n 1)
i 1 2
n
（D）
2
E (aT1 2aT2 2T3 )
即有
a 2a 2 a 1 .
1
数学学院
苏灿荣
禹春福
2013.12
二、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1． A ， B 为随机事件，且 AB ．则下列说法正确的是（ （A） A ， B 不能同时发生 （C） A 发生则 B 必发生 ） ．
4．已知 X 1 , X 2 ,... X 50 为来自总体 X N(2, 4) 的样本，记 X 分布为（ ） ．
全国2007年04月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题和答案
2007年4月高等教育自学考试全国统一命题考试概率论与数理统计(经管类)试卷(课程代码4183)一、单项选择题(本大题共10小题。
每小题2分。
共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A与B互为对立事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列各式中错误．．的是 ( )A．P(A)=l一P(B)B．P(AB)=P(A)P(B)C．P()=1D．P(A ∪ B)=l2．设A，B为两个随机事件，且P(A)>O，则P(A∪ B | A)= ( ) A．P(AB) B．P(A) C．P(B) D．13．下列各函数可作为随机变量分布函数的是 ( )4．设随机变量x的概率密度为( )A．1/4B．1/2C．3/4D．15．设二维随机变量(X，Y)的分布律为则P{x+y=0}= ( )A．0.2B．0.3C．0.5D．0.76．设二维随机变量(x，y)的概率密度为则常数c = ( )A．1/4B．1/2C．2D．47．设随机变量x服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是( )A．E(x)=0.5，D(x)=0.5B．E(x)=0.5，D(x)=0.25C．E(x)=2，D(x)=4D．E(x)=2，D(x)=28．设随机变量x与y相互独立，且X~N(1，4)，Y~N(0，1)，令z=x –y，则D(Z)= ( )A．1B．3C．5D．69．已知D(X) = 4，D(Y) = 25，Cov(X ，Y) = 4，则ρxy= ( )A．0.004 B．0.04 C．0.4 D．410．设总体x服从正态分布N(μ,1)，x1 ，x2,…，x n为来自该总体的样本，为样本均值,s为样本标准差，欲检验假设，则检验用的统计量是( )二、填空题(本大题共15小题．每小题2分。
共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
2007-08概率统计A卷试题及答案
2007 – 2008学年第一学期《概率论与数理统计A 》试卷答案一、填空题（每小题3分，满分21分，把答案填在题中横线上）1．设()()P A P B p ==，且,A B 至少有一个发生的概率为0.2，,A B 至少有一个不发生的概率为0.6，则p = 0.3 ． 解 已知()0.2,()0.6P A B P A B == ，0.2()()()()2()P A B P A P B P AB p P AB ==+-=- ，0.6()1()1()P A B P A B P AB ==-=- ，()0.4P AB =， 0.3p =2．11个人随机地围一圆桌而坐，则甲乙两人相邻而坐的概率为 0.2 ．解 设A 表示事件“甲乙相邻而坐”。
样本空间所包含的基本事件数为11！，事件A 包含的基本事件数为1129!⨯⨯11292()0.21110P A ⨯⨯===！！ 3．设随机变量~(,)X B n p ，则对任意实数x ，有limn x P →∞⎫≤=⎬⎭()x Φ或22t xdt -⎰． 4．设随机变量X Y 与的方差和相关系数分别为XY ()3,()4,0D X D Y ρ===，则(21)D X Y -+= 16 ．解 (21)(2)D X Y D X Y -+=-(2)()2cov(2,)D X D Y X Y =+- 4()()4cov(,)D X D Y X Y =+-4()()4XY D X D Y ρ=+-=165．设~(0,1)X N ，1.96是标准正态分布的上0.025分位点，则{}1.96P X =≤ 0．975 ．解 1.96是标准正态分布的上0.025分位点，即{}0.0251.96P X =≥{}1.96P X =≤{}110.0250.9751.96P X -=-=>6．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则当常数k =11n -时， 221()ni i k X X σ==-∑ 是参数2σ的无偏估计量．7．设总体2~(,)X N μσ，12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，2σ未知，若检验假设0010:,:H H μμμμ=≠~ t (n-1).二、选择题（每小题3分，满分18分）X Y 与满足条件()()()D X Y D X D Y +=+， 则下面结论不成立的是（ C ）（A ）X Y 与不相关．（B ）()()()E XY E X E Y =．（C ）X Y 与相互独立． （D ）cov(,)0X Y =．2．设随机变量X 的概率密度为cos ,||,2()0,||.2k x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 则k 等于（ B ）（A ）14． （B ）12． （C ）0． （D ）1．3．某班12名战士各有一支归自己使用的枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，则拿到是自己枪的人数的数学期望是（ D ） （A ）112． （B ）0． （C ）12． （D ）1． 解 设1,i 0,i i X ⎧=⎨⎩第个战士拿到自己的枪，第个战士没拿到自己的枪，1,2,,12i = ，则1(),12i E X = 设X 表示拿到自己枪的人数.则121i i X X ==∑1212111()()12112i i i i E X E X E X ==⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭∑∑4．设X Y 与为相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ，则随机变量max(,)Z X Y =的分布函数为（ A ） （A ）()()()Z X Y F z F z F z =．（B ）[][]()1()1()Z X Y F z F z F z =--．（C ）()1()()Z X Y F z F z F z =-．（D ）()()()Z X Y F z F z F z =+．5．设1210(,,,)X X X 是来自总体2(0,)N σ的样本，则下面结论正确的是（ C ）（A ）1022211~(9)kk Xχσ=∑．（B ）1021~(9)k k X t =∑．（C ）1022211~(10)k k X χσ=∑． （D ）1021~(10)k k X t =∑．6．设总体2~(,)X N μσ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对给定的显著水平α，检验假设2201:2,:2H H σσ=<的拒绝域是（ B ） （A ）221/2(1)a n χχ-≤-． （B ）221(1)a n χχ-≤-． （C ）221/2()a n χχ-≤．（D ）221()a n χχ-≤．三、计算题（每小题10分，满分50分）1．一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时，系统不发生故障. 求系统发生故障的概率． 解 设A 表示“系统发生故障”的事件，i B 表示“有i 个元件发生故障”的事件，1,2,3i =；由全概率公式 112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++ 由已知，1()0.25P A B =，2()0.6P A B =，3()0.95P A B =1213()0.20.80.384P B C =⨯⨯= ，2223()0.20.80.096P B C =⨯⨯= ，3333()0.20.008P B C ==所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P 2．设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2P 0.1 2.0 a b若()1E X =，(1)求常数a , b ; (2)求Y=X 2 的分布律.解 (1)由 0.10.21a b +++=,()E X =10.100.212a b -⨯+⨯+⨯+⨯=1,解得a =0.3, b =0.4. (2) Y=X 2的可取值为0,1,4.{}0P Y =={}0P X ==0.2,{}1P Y =={}1P X =-+{}1P X ==0.1+0.3=0.4, {}4P Y =={}==2X P 0.4, 因此Y=X 2 的分布律为Y 0 1 4 P 2.0 0.4 0.43．设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,0<1,(,)0,Ax x y f x y <<⎧=⎨⎩其他.（1）求常数A ； （2）求关于,X Y 的边缘概率密度函数；（3）判断X Y 与是否相互独立；（4）求{1}P X Y +≤． 解（1）由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，有 1001d d 6yAy Ax x ==⎰⎰，得6A =； （2）()X f x =(,)d f x y y +∞-∞⎰, 当0x ≤或1x ≥时，()X f x =0,当01x <<时，1()6d 6(1)X x f x x y x x ==-⎰， 所以6(1),01;()0.X x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它同理 23,01;()0.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它（3）由(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X Y 与不相互独立 （4）11201(1)6d d 4xx P X Y x x y -+≤==⎰⎰.4．设随机变量X Y 与相互独立，其概率密度分别为0;e ,()0,0.xX x f x x ->⎧=⎨≤⎩ 20;1e ,()20,0.yY y f y y ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩求Z X Y =+的概率密度．解法1 由卷积公式 ()()()d Z X Y f z f x f z x x +∞-∞=-⎰因为e >0;()00.xX x f x x -⎧=⎨≤⎩ 21e>0;()200.yY y f y y -⎧⎪=⎨⎪≤⎩所以 0()()()d e ()d xZ X Y Y f z f x f z x x f z x x -+∞+∞-∞=-=-⎰⎰e ()d t zY z t z x f t t --∞=--⎰令e()d t zzY f t t --∞=⎰当0z ≤时 ()e ()d 0t zzZ Y f z f t t --∞==⎰ 当0z >时 201()e ()d ee d 2tt zt zzzZ Y f z f t t t ----∞==⎰⎰2e (e 1),z z -=- ()()()d Z X Yf z f x f z x x +∞-∞=-⎰2e (e 1),0,0,0.zz z z -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩解法2 先求Z 的分布函数()Z F z . 联合密度函数为21,0,0,(,)()()20,,y x X Y e e x y f x y f x f y --⎧>>⎪==⎨⎪⎩其它(){}{}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰当0z ≤时, ()(,)0,Z x y zF z f x y dxdy +≤==⎰⎰当0z >时, 21()(,)2yx Z x y zDF z f x y dxdy e e dxdy --+≤==⎰⎰⎰⎰20012yzz x x e dx e dy ---=⎰⎰221z ze e --=-+分布函数为 221,0()0,0z z Z e e z F z z --⎧⎪-+>=⎨⎪≤⎩再求导,得概率密度 2e (e 1),0,()()0,0.zz Z Z z f z F z z -⎧⎪->'==⎨⎪≤⎩5．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，求μ和2σ的最大似然估计量． 解 设12,,,n x x x ，相应的样本观测值，则似然函数为2()22122221L(,)11exp ()22i x ni nni i x μσμσμπσσ--===⎛⎫⎧⎫=--⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭∑取对数，得222211ln L(,)(ln 2ln )()22n i i n x μσπσμσ==-+--∑将2ln L(,)μσ分别对μ与2σ求偏导数，并令其等于零， 得方程组2122241ln 1()0ln 1()022ni i ni i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 解此方程组，得到参数μ和2σ的最大似然估计值是12211ˆ;1().n i i ni i x x n x x n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 因此,μ和2σ的最大似然估计量是12211ˆ;1().n i i ni i X X n X X n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑四、证明题（共2道小题，满分11分）1．（6分）若(|)(|)P A B P A B >，试证(|)(|)P B A P B A >． 证明 因为()(|)()()()()()(|)()1()1()P AB P A B P B P AB P A AB P A P AB P A B P B P B P B =--===--由 (|)(|)P A B P A B >， 所以得()()()()1()P AB P A P AB P B P B ->- ()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB ->- ()()()P AB P A P B ∴>从而 ()()()()()()()P AB P A P AB P A P B P A P AB ->-即()()()()P AB P A P A P BA > ()()()()P AB P BA P A P A > 所以(|)(|)P B A P B A >．2．（5分）设12(,,,)n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，证明{}21202ni i n P X n n=-<<≥∑． 证明 根据2221~()ni X n χχ=∑，且22(),()2E n D n χχ==，由切比雪夫不等式，有{}{}2221|()|02ni P P E nX n χχ=-<<<∑22()21D n n nχ-≥-=．。
2004年概率统计试卷
上海交通大学概率论与数理统计试卷 2004-01姓名: 班级: 学号: 得分: 一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 a .(a) r n r r n p p C ----)1(11； (b) r n rr n p p C --)1(； (c) 1111)1(+-----r n r r n p p C ； (d) r n r p p --)1(. 2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P d . (ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ； (ｃ) )(11+-<<k k x X x P ； (ｄ) )()(1--k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函 数 d .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D c .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.6 5. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 d .(ａ) )(~/21n t nX -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-；(ｃ) )1,0(~/21N nX -； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=-.二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为 1/222. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ 0.9772 . 4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f则条件密度函数为,当 o<x<1 时 ,=)(x y f X Y 5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 ) 6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为7. 设X 的分布律为X 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值 为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本.求常数 k , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X（单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.四. 证明题（7分）设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f Y ； 3.0.9772 ；4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(xy x x x y f X Y ；5. ),1(m F6. 上限为 15.263 .7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分)2. ⎩⎨⎧>=-其他0)(x e x f xX λλ ⎩⎨⎧>=-其他)(y e y f y Y μμ (1分)0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ⎰∞+-∞-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21 (2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P (1分)则一年的销售量为 ∑==521i iXY ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分)6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分)4. 注意到()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze nn z X X E nz i 222121|||)(|σσπ-∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||σπnn kn122-=σ令=5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.02==-≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . [ 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U , 落在拒绝域外，故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)(2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分)[22122079.0:,79.0:≠=σσH H ]检验用的统计量 )1(~)(222512--=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或 711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内， [711.0086.06241.0/0538.020<==χ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、证明题 (7分) 由题设知X 0 1 Y X + 0 1 2P p qP 2q pq 2 2p (2分))0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ；）分（2)1(2-=n n k π)1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；)0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；)1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；)1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P p Z Y X P . 所以 Y X +与Z 相互独立. (5分)。
2004-2005学年第二学期概率统计试卷(A)
2004-2005学年第二学期概率统计试卷(A)本试卷中可能用到的分位数：8595.1)8(95.0=t ，8331.1)9(95.0=t ，306.2)8(975.0=t ，2662.2)9(975.0=t。
15分，每小题3分）1、设事件B A ,互不相容，且,)(,)(q B P p A P ==则=)(B A P 。
2、设随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=21216.0113.010)(x x x x x F则随机变量X 的分布列为 。
3、设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)2,1(N 和)1,0(N ，则(1)P X Y +≤= 。
4、若随机变量X 服从[1,]b -上的均匀分布，且有切比雪夫不等式2(1),3P X ε-<≥则b = ,ε=。
5、设总体X 服从正态分布)1,(μN ， ),,,(21n X X X 为来自该总体的一个样本，则∑=-ni i X 12)(μ服从 分布。
（本题满分15分，每小题3分） 1、设()0,P AB =则有（ ）。
(A) A B 和互不相容； (B) A B 和相互独立； (C) ()0P A =或()0P B =； (D) ()()P A B P A -=。
2、设离散型随机变量X 的分布律为：()(1,2),kP X k b k λ=== 且0b >，则λ为（ ）。
(A)11b +；(B)11b -；(C) 1b +；(D) 大于零的任意实数。
3、设随机变量X 和Y 相互独立，方差分别为6和3，则)2(Y X D -=（ ）。
(A) 9；(B) 15；(C) 21；(D) 27。
4、对于给定的正数α，10<<α，设αu ，)(2n αχ，)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α分位数，则下面结论中不正．．确．的是（ ） （A ）αα--=1u u ； （B ）)()(221n n ααχχ-=-； （C ）)()(1n t n t αα--=； （D ）),(1),(12211n n F n n F αα=-5、设),,,(21n X X X (3≥n )为来自总体X 的一简单随机样本，则下列估计量中不是．．总体期望μ的无偏估计量有（ ）。
人大2007年概率统计试题真题
试题：（请将答案做再答题纸上，再试题上做题无效）一、（20分）两个不能分辨的盒子里都有9个球，其中一个是5红4白，另一个是4红5白。
从两个盒子中随机抽一个，希望通过无放回抽样来猜测抽到的是哪个盒子。
其规则是：无放回抽取三次，如果抽到的红球多，则认为盒子是5红4白；反之认为是4红5白。
问这样猜错的概率有多大？如果用有放回抽样，猜测的概率又有多少？二、（20分）相互独立的随机变量X 和Y 分别服从参数为1λ和2λ的泊松分布，证明随机变量X+Y 服从参数为1λ+2λ的泊松分布。
要求用两种方法证明，其中一种是特征函数。
三、（10分）二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为0<x<2,1<y<2(,)0 cxy f x y otherwise ⎧=⎨⎩求min(,)Z X Y =的概率密度函数。
四、（15分）设随机变量序列{}n ξ及{}n η分别以概率收敛于随机变量ξ和η，证明：{}n n ξη+以概率收敛于ξη+。
五、（15分）二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律求[|]E Y X 和[|]Var X Y 的分布律。
六、（20分）设12,,X X …，n X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，证明（1） 21σ21()(1);n X X n ιιχ=--∑（2） X 与2n S 相互独立。
七、（15分）设总体X 的分布函数为F ()x ，概率密度函数为()f x ，12,,X X …，n X 是总体X 的简单随机样本，证明第k 个次序统计量()k X 的概率密度函数为()()k f x =1![()][1()](),1,2,(1)!()!k n k n F x F x f x k k n k ---=--…，n八、（20分）设总体X 服从正态总体2(,)N θσ，其中2σ已知。
参数θ的先验分布为正态总体2(,)N μτ，其中μ和2σ已知。
12,,X X …，n X 是总体X 的简单随机样本，求：（1）参数θ的后验分布；（2）在平方损失函数下求θ的贝叶斯估计；（3）求θ的置信水平为1α-的区间估计。
概率统计试题及答案
概率统计试题及答案在概率统计学中，试题和答案的准确性和清晰度非常重要。
下面将给出一系列关于概率统计的试题和详细的解答，以帮助读者更好地理解和应用概率统计的基本概念和技巧。
试题一：基础概率计算某餐厅有3个主菜，每个主菜又有4种不同的配菜。
如果顾客在选择主菜和配菜时是随机的，那么一个顾客会选择哪种搭配的概率是多少？解答一：根据概率统计的基本原理，计算顾客选择搭配的概率可以使用“事件数除以样本空间”的方法。
在这个问题中，总共有3个主菜和4种配菜，所以样本空间的大小为3 × 4 = 12。
而一个顾客选择一种特定的搭配可以有1种选择，因此事件数为1。
因此，顾客选择某种搭配的概率为1/12。
试题二：概率的加法规则某班级有25名男生和15名女生。
从中随机选择一名学生，那么选择一名男生或选择一名女生的概率分别是多少？解答二：根据概率统计的加法规则，选择一名男生或选择一名女生的概率可以通过计算每个事件的概率然后相加来得到。
在这个问题中，男生和女生分别属于两个互斥事件，因此可以直接相加。
男生的概率为25/40，女生的概率为15/40。
因此，选择一名男生或选择一名女生的概率为25/40 + 15/40 = 40/40 = 1。
试题三：条件概率计算某电子产品的退货率是0.05，而该产品是有瑕疵的情况下才会退货。
对于一台已经退货的产品，有0.02的概率是有瑕疵的。
那么一台被退货且有瑕疵的电子产品占所有退货产品的比例是多少？解答三：根据条件概率的定义，求一台被退货且有瑕疵的电子产品占所有退货产品比例的问题，可以用有瑕疵且被退货的产品数除以所有被退货的产品数来得到。
假设有1000台电子产品被退货，根据退货率的定义，有5%的产品会被退货，即退货的产品数为0.05 * 1000 = 50台。
而在这50台退货产品中，有2%有瑕疵，即有瑕疵且被退货的产品数为0.02 * 50 = 1台。
因此，一台被退货且有瑕疵的电子产品占所有退货产品的比例为1/50，即0.02。
2007各地概率与统计高考真题---习题
2007年各地概率与统计试题汇编 山东理1．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，452．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位`于点(23)，的概率是（） A ．512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5251C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3351C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．523551C C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3． 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率． 山东文秒4．设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4全国II 文5．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．1206．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．7．某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．江西理8．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19 Ｂ．112 Ｃ．115 Ｄ．1189． 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．江西文10．一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132 Ｂ．164 Ｃ．332 Ｄ．36411．栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 江苏理12．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）湖南理 13．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(||1.96)P ξ<=（ ）A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.97514．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．15．甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．。
考研数学概率真题解析(2007年)
考研数学概率真题解析（2007年）一、数一、三、四（9）：（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 （A ）2)1(3p p - （B ）2)1(6p p -（C ）22)1(3p p -（D ）22)1(6p p -解答：C 解：第4次命中，前3次中1次命中，2次没有命中，对前3次使用伯努列概型：213)1(p p C -，加上第4次命中，概率为p p p C ⋅-213)1(＝22)1(3p p -。
选C 。
点评：考察考生对于伯努列概型（或者二项分布）中的基本特征：“只知次数，不知位置”。
类似题：例1．31：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2次之前已经失败3次的概率为： A ．32)1(4p p - B ．3)1(4p p - C ．32)1(10p p -D ．32)1(p p - E ．3)1(p -二、数一、三、四（10）：设随机变量),(Y X 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关)(),(y f x f y x 分别表示X ，Y 的概率密度，则在y Y =的条件下，X 的条件概率密度为)|(/y x f Y X（A ）)(x f x（B ）)(y f y（C ）)()(y f x f y x（D ）)()(y f x f y x 解答：A 解：在）（Y X ,服从二维正态分布时，若）（Y X ,不相关，则独立。
所以)()()()()(),()/(/x f y f y f x f y f y x f y x f X Y Y X Y Y X ===，与条件概率的简化类似。
选A 。
点评：考察考生两点：不相关与独立在二维正态分布时的互推关系；独立时联合密度等于边缘密度的乘积。
类似题：在新东方考研数学辅导班上和年底的全国串讲中详细强调过这两个考点。
已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数21-=XY ρ，设.23Y X Z +=（1）求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2）求X 与Z 的相关系数XZ ρ；（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？三、数一、三、四（16）：在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为。
07级《概率论与数理统计》期末考试A卷答案与评分标准
07级《概率论与数理统计》期末考试A卷答案与评分标准海南师范大学物理、电子、自动化、地理、城规、计算机专业《概率论与数理统计》2008—2009学年度第一学期期末考试（A ）卷答案与评分标准注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上 3．考试形式：闭卷4. 本试卷共五大题，满分100分，考试时间100分钟一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1、设A,B 为随机事件,若P(A ∪B)=P(A)+P(B),且P(A)>P(B)>0,则( D ); A: A,B 互不相容; B: A,B 非互不相容; C: A,B 相互独立; D: A,B 相互不独立;2、设随机变量X 只能取3,4,5, …,17这15个值, 且取每个值的概率均相同, 则概率P{0<="" 2A ：1514; B ：157; C ：152; D ： 154 ;3、己知二维随机向量(X,Y)具有联合密度:),,(,)1)(1(1),(22+∞<<-∞+∞<<-∞++=y x y x C y x f 则常数C=( D )A:1 ; B:π ; C:2π D: π2 4、己知随机变量X 服从二项分布B(5,0.2), 则D(X)/E(X)=（ B ）; A ：1 ; B 0.8; C: 0.2; D: 1.25; 5、己知随机变量X 的期望E(X)=20, 方差D(X)=8, 则( A );; A: P(|X-20|≥6)≤2/9 ; B: P(|X-20|≤6)≥2/9 ; C: P(|X-20|≤6)≤2/9 ; D: P(|X-20|≥6)≥2/9 ;6、设4321,,,X X X X 是来自正总体N(μ,σ2)的简单随机样本，下列四个μ的无偏估计量中, 最有效的是( B );A: )(313211X X X ++=μ; B: )(4143212X X X X +++=μ;C: 13X =μ,; D: 6233214X XX ++=μ;二、填空题（本题共6小题，每小题 3分，共18分。
2007年高考“概率与统计”题
2007年高考“概率与统计”题1．(全国Ⅰ) 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为 250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”3()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．2．(全国II) 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ． 解：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ>0），正态分布图象的对称轴为x=1，ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在 (1，2)内取值的概率于ξ在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机 变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ： “取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+212012()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）． （2）ξ的可能取值为012，，．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===．1180202100C C 160(1)C 495P ξ===．2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为3．（北京卷）某中学号召学生在今年春节期间至少 参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合 唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计 如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率． （III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值， 求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．123解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． （I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为1102503402302.3100100⨯+⨯+⨯==．（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==． （III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ， “这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=； (2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列：ξ的数学期望：0129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．（天津卷）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.(I)求取出的4个球均为黑色球的概率； (II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(III)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.解：(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.由于事件A ，B 相互独立，且2234224612(),()25C C P A P B C C ====.故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=. (II)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C ，D 互斥，且211123324422224646.41().,().155C C C C C P C PD C C C C ====.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=. (III)解：ξ可能的取值为0,1,2,3.由(I)，(II)得17(0),(1),515P P ξξ====又13224611(3).,30C P C C ξ===从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==.ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.5．(上海卷) 在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．解： 212335310C C C ==3.06．（重庆卷）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）A ．41 B ．12079 C ． 43 D ．2423 解：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，11153231031.4C C C P C ⇒=-= 选C某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元 的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。
2007年高考真题文科分章节详解“概率与统计”题
2007年高考“概率与统计”题1．(全国Ⅰ) 从某自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的 袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________。
解：袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为P=520=0.25。
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买。
根据以往资料统计， 顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款， 商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元。
(12分) （Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率。
解：（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．3()(10.6)0.064P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=．01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=．2．(全国II)一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．解：一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为49951005110020C C ==．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ： “取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ； （2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ． 解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+ 212012()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 则0B B =．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220⨯=件，故28002100C 316()C 495P B ==．00316179()()1()1495495P B P B P B ==-=-=3．（北京卷）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（I ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率； （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；解：（I ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为：610661512.15121010A P ==0≥． （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为：33666914580.014581010C P ⨯===．则这堆苹果中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的 ％． 解：由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为:2012314---= 故约占苹果总数的00140.707020==.【分析】1031142020++⇒==70%已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球． 现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识， 考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且2327C 1()C 7P A ==，2329C 5()C 18P B ==，故取出的4个球均为红球的概率是155()()()718126P A B P A P B ==⨯=．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内 取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ． 由于事件C D ，互斥，且1123442279C C C 2()C C 21P C ==，1125242275C C C 10()C C 63P D ==． 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363P C D P C P D +=+=+=．5．(上海卷) 在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个 数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 解： 剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是21233530.310C C P C ===。
历年自学考试概率论和数理统计(经管类)真题和参考答案解析[全套]
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2007年4月份全国自考概率论与数理统计（经管类）真题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.A. AB. BC. CD. D答案：B解析：A,B互为对立事件,且P(A)＞0,P(B)＞0,则P(AB)=0P(A∪B)=1，P(A)=1-P(B),P(AB)=1-P(AB)=1.2.设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，则P（A∪B｜A）=（）A. P（AB）B. P（A）C. P（B）D. 1答案：D解析：A,B为两个随机事件,且P(A)＞0,P(A∪B|A)表示在A发生的条件下,A或B发生的概率,因为A发生，则必有A∪B发生，故P(A∪B|A)=1.3.下列各函数可作为随机变量分布函数的是（）A. AB. BC. CD. D答案：B解析：分布函数须满足如下性质：（1）F(+∞)=1,F(-∞)=0,(2)F(x)右连续,(3)F(x)是不减函数,(4)0≤F(x)≤1.而题中F1(+∞)=0；F3(-∞)=-1；F4(+∞)=2.因此选项A、C、D中F(x)都不是随机变量的分布函数,由排除法知B正确,事实上B满足随机变量分布函数的所有性质.4.设随机变量X的概率密度为A. AB. BC. CD. D答案：A5.设二维随机变量（X，Y）的分布律为(如下图)则P{X+Y=0}=（）A. 0.2B. 0.3C. 0.5D. 0.7答案：C解析：因为X可取0,1,Y可取-1,0,1,故P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=-1}=0.3+0.2=0.5.6.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为A. AB. BC. CD. D答案：A7.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（）A. E（X）=0.5，D（X）=0.5B. E（X）=0.5，D（X）=0.25C. E（X）=2，D（X）=4D. E（X）=2，D（X）=2答案：D解析：X~P(2),故E（X）=2，D（X）=2.8.设随机变量X与Y相互独立，且X~N（1，4），Y~N（0，1），令Z=X-Y，则D（Z）=（）A. 1B. 3C. 5D. 6答案：C解析：X~N(1,4),Y~N(0,1),X与Y相互独立,故D(Z)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5.9.A. 0.004B. 0.04C. 0.4D. 4答案：C10.A. AB. BC. CD. D答案：B二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2007~2010年概率论试卷答案
2007级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、 1. C注释：由“A ⊂B 成立”得P(A)=P(AB)()()(|)()()P AB P A P A B P B P B ==故 2. C 3. B 注释：参考课本86页 4.B 2sin 1A xdx π=⎰注释： ?5.6. B A 项参见课本64页，D 项参见课本86页二、 1. 2 注释：若X 服从Poisson 分布，则EX=λ，DX=λ。
（课本84页） 2. 12 注释：cov(X,Y)= r XY DX DY ⋅⋅。
（参考课本86页）3. 1/5 注释：运用等比求和公式S=1(1)1n a q q--4. 38.4 注释：22()(),(,),,E D E B n p E np D npq ξξξξξξ=+==对于5．p(x)=,00,0x e x x λλ-⎧>⎨≤⎩,211,E D ξξλλ==6. 0.2 注释：类似2006级试卷填空题第6题7.2/5三、（1）1/20; (2)14/15注释：（1）P(A)=224431078910C C C ，表示从、、、这四个数中选两个;（2）B =“三个号码中既含4又含6” 四、（1）C=4; (2)112()-20{1}41-3e ;xx y P dx e dy ξη--++<==⎰⎰(3)222__02__0(),()0_____00_____0()()(,),x y e x e y p x p y x y p x p y p x y ξηξηξη--⎧⎧≥≥==⎨⎨<<⎩⎩⋅=因故与独立？(4)22220022112,2221()41124x x E x e dx E x e dx D E E E D ξηξηξξξξξηη+∞+∞--=⋅==⋅==-===⎰⎰与独立，所以cov(,)=0故同理，，五、 0.9979 注释：运用全概率公式，类似2006级试卷第三题 六、 0.9525100(100,0.9),))85{85)1)1( 1.67)(1.67)0.9525X X B P X ⨯⨯≈Φ-Φ≥≈-Φ=-Φ-=Φ=注释：设这个部件中没有损坏部件数为， 则服从二项分布且有______EX=np=1000.9=90,DX=npq=900.1=9由拉普拉斯定理，b-EX a-EXP{a<X<b}((DX DX故至少须有个部件工作的概率为：85-90(9七、M=160,X ⨯⨯⨯≈⨯⨯≥≥≤≥≤注释：设出事人数为则有X B(5000000,0.0003)EX=50000000.0003=1500,DX=50000000.00030.99971500若要以99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利润，则P{5000000M (1-40%)-X 300000600000}99%得P{X 10M-2}99%X-150010M-2-1500故需满足P{15001}99%99% 2.33159.22,160M M ≥Φ≥≈Φ≥=50010M-2-1500即（）（）1500解得故八、（1）课本98页辛欣大数定理（2）22222n 11221222211()0(1)()0()()[()]()211_____0(1)()()211,2,3,,()()0112)()2n n n n n n n k n k k k n n k k E n n n n nD E E E n n n n nk E E n n D n nn nξξξξξξξξξξξ++==+==⋅-+⋅+-⋅==-==⋅-+⋅+-⋅===⋅⋅⋅====⋅=∑∑∑由于令则______________________ D(由契比雪夫2n 0,2()|}1lim ()|}1}n n n n n E n E εξξεεξξεξ→∞>-<≥--<=不等式，对任意的有________________P{|故有P{|即{服从大数定律2008年概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、1.D 1(1)()X uu uP X u P σσ-+-≤+=≤注释：=1()σΦ2.C 注释：参考课本第8页3.A 注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A 正确 ？B 项是否正确4.B 注释：参考课本86页5.A 二、 1. 1.33(或者填13591024) 2．25 注释：参考课本86页 3. 0.25 4. （X+Y ）～B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X 、Y 独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p)设（X+Y ）～B(n,P),则有E(X+Y)=7p=nPD(X+Y)=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)⎧⎨⎩解得n=7,P=p 5. 2/52215041()5b 4(2)41(54)0,1 4.112555X f x ac X X X X P dx dx =∆=-=-⨯⨯-≥≤≥=+=⎰⎰的密度函数为方程有实根，则必须满足即或者故方程有实根的概率6. 0.3522(35)112(35),9322242{24}0.15,{}0.15333200.1532233202222}33333E X EX D X DX DX X P X P X σσσσσσσσσσσσσσ+==+===---<<=<<=ΦΦ=-ΦΦ----<=ΦΦΦ由得由得因故所以（）-（）所以（）-（）=0.3P{X<0}=P{（）=[1-（）-（）]/2______=[1-0.3]/2=0.35?7. 相关 三、四、1__1___30.3_0.5_0.2(1)0.310.530.20.8X EX -⎛⎫⎪⎝⎭=-⨯+⨯+⨯= 五、10022201____02(1)()1___021____02()11_0211(2)(510)1)(2211(322_____012xx xx x x x e x f x e x e x F x e x P X e ex e dx x e dx EX x e dx x ---∞--∞-∞⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-<<=--⋅+⋅===⋅+⋅⎰⎰⎰0+0由题意故（）EX=2021211___[22][22(2x x x x e dxx e xe e x DX EX ∞--∞=-++-=-=⎰+2EX)？六、2220001(0.005,0.035)0.0050.03510.02,(0.0350.005)0.000075212a 1(,),,())2120.0250.02520005020000{50}{i ii i i i i ii X i X U EX DX b X U a b EX DX b a Y X Y Y P Y P =+===-=+==-=<⨯=-⨯<=∑设为第台机床生产的次品率（注：对于均匀分布有设总次品率若要满足这批产品的平均次品率小于，则.025020000.02}(25.8)20000.00007520000.000075-⨯<=Φ⨯⨯A=B =B =B =B B B B (B )|)0.50.9|)0.540.83P A ⨯⨯⨯⋅⨯====甲乙丙乙甲丙甲甲甲甲设“取出的产品是正品”； 取出的产品是甲厂生产的” 取出的产品是乙厂生产的” 取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(A )+P(A )+P(A ) =0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(A )P(A B P(B P(A)P(A)？试卷中没有给出(25.8)Φ的值，且直观上感觉(25.8)Φ的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行 七、____,0_______2________()0__________2________()0__________22(2)0,0a b a b aba x ab y b a x ax ab y by bEX x dx EY y dy a b ππππππ--=⎧-≤≤-≤≤⎪⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩=⋅==⋅=⎰⎰椭圆X Y (1)S 1故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=ab其它X 的边缘密度函数f 其它Y 的边缘密度函数f 其它222222222222,2424,3344()25,()4335332(3),22()()a b a b a b EX x dx EY y dy a b a b DX EX EX DY EY EY a b a x a b y b x y a b πππππππππππ--=⋅==⋅==-===-====-≤≤-≤≤⋅=⋅≠⎰⎰X Y 解得，时，1f f ，故X与Y不独立ab八、555511___________5()1(1)(x z z Z dx ze dx e e F z z e ----≤⋅≤≤=-=-=--⋅-⎰⎰1z 1z的分布函数F(z)=P{Z z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)当z 0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0<z 1时，P(X>z)=P(Y>z)=故555555)z 1()1010__________________0()1(1)()__0_____________________0()65_______010_____________________1z z z e F z z F z z e e z f z e ze e z z ------>=-=≤⎧⎪=--⋅-≤⎨⎪⎩≤⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩当时，P(X>z)=0故所以0<z 11__________________z>12009年2学分参考答案一、解：设i A ＝｛第i 枚弹道导弹击沉航空母舰｝，i B ＝｛第i 枚弹道导弹击伤航空母舰｝ i C ＝｛第i 枚弹道导弹没有击中航空母舰｝，i ＝1，2，3，4 D ＝｛发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰｝()31=i A P ，()21=i B P ，()61=i C P ，i ＝1，2，3，4 43214321432143214321B C C UC C B C UC C C B UC C C C UB C C C C D =()()()()()()434432143214321432143216132161461=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=B C C C P C B C C P C C B C P C C C B P C C C C P D P()()461311-=-=D P D P = 0.99 二、解：（1）A ＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝()55255236)413(4C C A P =-⨯=（只要说明顺子的构成，分子40也算对） （2）A ＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝()5522411234113C C C C C A P = （3）A ＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝()552141421234113C C C C C C A P = 三、解：（1）设A ＝｛被查后认为是非危险人物｝， B ＝｛过关的人是非危险人物｝，则()()()()()B A P B P B A P B P A P +=9428.005.004.098.096.0=⨯+⨯=()()()()998.0==A PB A P B P A B P（2）设需要n 道卡，每道检查系统是相互独立的，则Ci={第i 关危险人物被误认为非危险人物}，{}n n C C P 05.01= ，所以999.005.01≥-n ，05.0ln 0001.0ln ≥n ，即1005.0ln 0001.0ln +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n =[3.0745]+1 = 4 四、解：当1=a 时，1=Y ，则()⎩⎨⎧>≤=1110y y y F Y当10<<a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y 当0>y 时，()()()y a X P y a P y F XY ln ln <=<=()⎪⎭⎫ ⎝⎛>=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=a y a y X P ln ln 1ln ln 1()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅-==a yY Y e a y dy y dF y f当1>a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y 当0>y 时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ=a y ln ln ()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅==a yY Y e a y dy y dF y f五、解：（1）E(X+Y)=6.0315.0314.0213.0103.0101.0114.023=+--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--⨯--=b a b a174.015.014.013.012.003.002.001.014.0=++=+++++++++b a b a 联立解得：17.0=a ，09.0=b（2）X 的概率分布函数：-2-110.17 0.23 0.06 0.54（3）E(XY)＝8.015.0214.0112.0114.0117.02=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯六、解：95.01.0≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-p n m P ，因()()1,0~1N np p p n m-- ()()95.011.01≥⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--n p p n p p p n m P ，()96.111.0975.0=≥-u np p ?不是u0.95吗？()()p p n -≥16.192；因为()4/11≤-p p ，取()4/6.192≥n =96.04即97=n七、解：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度：⎩⎨⎧<<<<=others by a x ab y x f ,00,0,/1),( 边缘概率密度：⎩⎨⎧<<=others a x a x f X ,00,/1)(，⎩⎨⎧<<=others by b y f Y ,00,/1)(（2）36)12/1(,12)12/1(22====b DY a DX ，312,12==b a （3）随机变量X 与Y 相互独立，因为)()(),(y f x f y x f Y X =八、解： 3330||33||33||||)(||)(||)()|(|t ct E x dF tx x dF t x x dF t P x t x t x ==≤≤=>⎰⎰⎰≥>>ξξ 九、解：（1）dx Axydy dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∞∞-+∞∞-1010),(4A =＝1，A ＝4 （2）P(X<0.4，Y<1.3)＝16.044.0010=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx xydyX（3）⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=++10104dx xydy e Eesy tx sYtX ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101014dx dy e s sye x e sy sytx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222114t t e t e s s e s e t t s s （4）32410102=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX ，214101032=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX ()91942122=-=-=EX EX DX ，()=XY E 944101022=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx dy y x ()0323294,=⨯-=⋅-=EY EX EXY Y X Cov十、解：（1）设ξ表示该观众答对题数， ,2,1,0=ξ 则第ξ+1次解答答错（即首次出错）。
华南农业大学2004-2007年应用概率统计试卷(A)与答案
042应用数学一、填空题 （每小题3分，共21分）1．已知()0.4,()0.3,()0.6,P A P B P AB ===则().P AB =2．设(),,X B n p 且()12 , ()8 ,E X D X ==则 , .n p == 3．已知随机变量X 在[0，5]内服从均匀分布，则()()()14 ,2 , .P X P X E X ≤≤====4．设袋中有5个黑球、3个白球，现从中随机地摸出4个，则其中恰有3个白球的概率为 . 5．设1219,X X X 是来自正态总体()2,N μσ的一个样本，则()219211ii Y Xμσ==-∑6．有交互作用的正交试验中，设A 与B 皆为三水平因子，且有交互作用，则A B ⨯的自由度为 .7．在MINITAB 菜单下操作，选择Stat Basic Statistics 2Sample T >>-可用来讨论 的问题，输出结果尾概率为0.0071P =，给定0.01α=，可做出 的判断. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,A B 为两随机事件，()60.6,()0.7,(|),7P A P B P A B ===则结论正确的是（ ） （A ）,A B 独立 （B ）,A B 互斥 （C ）B A ⊃ （D ）()()()P A B P A P B +=+2. 设()1F x 与()2F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数.为使()()()12F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）（A ）32,;55a b ==-（B ）22,;33a b ==（C ）13,;22a b =-=-（D ）13,.22a b ==- 3．设128,,X X X 和1210,,Y Y Y 分别来自两个正态总体()1,9N -与()2,8N 的样本，且相互独立，21S 与22S 分别是两个样本的方差，则服从()7,9F 的统计量为（ ）（A ）212235S S （B ）212289S S （C ）212298S S （D ）212253S S4. 设Y 关于X 的线性回归方程为01,Y X ββ∧∧∧=+则0β∧、1β∧的值分别为（ ） （10,780,88,3,24xx yy xy L L L x y =====）（A ）8.8，-2.4 （B ）-2.4，8.8 （C ）-1.2，4.4（D ） 4.4，1.25．若()10T t 分布，则2T 服从（ ）分布.（A ）()10,1F （B ）()9t （C ）(1,10)F （D ）(100)t 四、计算题（共56分）1．据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律： P{孩子得病}=0.6 ，P{母亲得病 | 孩子得病}=0.5 ，P{父亲得病 | 母亲及孩子得病}=0.4 ，求母亲及孩子得病但父亲未得病 的概率.（8分）2.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为0.6，若第一次及格则第二次及格的概率也为0.6；若第一次不及格则第二次及格的概率为0.3. （1）若至少有一次及格则能取得某种资格，求他取得该资格的概率？（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率？（12分）3．假定连续型随机变量X 的概率密度为()2, 010, bx x f x ⎧<<=⎨⎩其它，求 （1）常数b ，数学期望EX ，方差DX ；（2）31Y X =-的概率密度函数()g y .（12分） 4. 某工厂采用新法处理废水，对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度，得到10个数据（单位：mg/L ）:22 , 14 , 17 , 13 , 21 , 16 , 15 , 16 , 19 , 18而以往用老办法处理废水后，该种有毒物质的平均浓度为19.问新法是否比老法效果好？假设检验水平0.05α=，有毒物质浓度()2,XN μσ.（12分） （()()()20.0250.050.0250.0250.058.544, 1.96, 1.64,10 2.228,9 2.262,9 1.833S u u t t t ======） 5. 在某橡胶配方中，考虑三种不同的促进剂（A ），四种不同份量的氧化锌（B ），每种配(0.010.010.0198.67,25.17,69.34,(3,4)16.69,(2,6)10.92,(3,6)9.78,T A B SS SS SS F F F ====== 0.010.010.050.050.05(3,12) 5.95,(4,12) 5.41,(2,6) 5.14,(3,6) 4.76,(3,4) 6.59F F F F F =====)四. 综合实验报告（8分）052应用数学一、 填空题（每小题2分，共2⨯6=12分）1、设一维连续型随机变量X 服从指数分布且具有方差4，那么X 的概率密度函数为： 。
概率统计A答案
概率统计A答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March东华理工大学 2009 — 2010学年第 2 学期《概率论与数理统计》期末考试试卷（A1）A.2-eB.251e -C.241e -D.221e -. 3．.已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+ ~Z 则( A ).A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(-N4．随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,101)(~10x x e x f X x,则)12(+X E =( C ).A.1.5B. 54C. 21D. 205．12,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则( C ).A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC. 221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S - 6．设总体X 的数学期望为μ，方差为2σ，),(21X X 是X 的一个样本，则在下述的４个估计量中，（ C ）是最优的.(A) 2115451ˆX X +=μ(B) 2124181ˆX X +=μ (C) 2132121ˆX X +=μ(D) 2143121ˆX X +=μ 7．关于检验水平α的设定,下列叙述错误的是( D ). A. α的选取本质上是个实际问题,而非数学问题B. 在检验实施之前, α应是事先给定的,不可擅自改动C. α即为检验结果犯第一类错误的最大概率D. 为了得到所希望的结论,可随时对α的值进行修正题目 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分得分一、 填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1． 已知随机事件A 的概率P （A ）=，随机事件B 的概率P （B ）=及条件概率P （B|A ）=，则P （AUB ）=2．设)2,3(~2N X ，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c 3 .3．设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则Y X ,相互独立当且仅=ρ 0 . 4．X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2[3()20]E X += 32 .5．设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p q p A P -==1,)(，则对任意区间],[b a 有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-<∞→b npq np a P n n μlim ＝ ()()a b Φ-Φ . 6．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 独立性和代表性 . 7．某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：已知原来直径服从)06.0,(N μ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 [，] ，（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）.二、 选择题（本大题共7小题，每小题2分，共14分）1．将n 个小球随机放到)(N n N ≤个盒子中去,不限定盒子的容量,则每个盒子中至多有１个球的概率是( C ).A.!!N nB. n Nn ! C. n n N N n C !⋅ D. N n2.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( B ）.说明：1.试题须用碳素墨水钢笔集中填在方格内，答题纸另附并装订于后，字迹须工整清晰；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核并签署本人代号；3.学生只须在第一页试题纸上填写姓名等东华理工大学 2009 — 2010 学年第 2 学期《概率论与数理统计》期末考试试卷（ A2 ）卷 五、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ()⎩⎨⎧<<<<=其它,020,10,1,x y x y x f说明：1.试题须用碳素墨水钢笔集中填在方格内，答题纸另附并装订于后，字迹须工整清晰；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核并签署本人代号；3.学生只须在第一页试题纸上填写姓名等东华理工大学 2009 — 2010 学年第 2 学期《概率论与数理统计》期末考试试卷（ A3）卷九、设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均分为分，标准差为15分。
2007应用统计试卷
2007年研究生《应用统计》考试试卷(开卷)时间：110分钟一、填空题（15分）1．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X 。
2．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为____________________。
3．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。
4．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
5．设由一组观测数据（i i y x ,）(i =1,2,…,n )计算得150,200,25,xx x y L === 75,xy L =则y 对x 的线性回归方程为 .二、 设总体X 服从[,10]θ上的均匀分布, 求总体分布和样本分布, 并求θ的极大似然估计ˆθ，ˆθ是否为θ的无偏估计？（20分）三、设总体2~(,)X N μσ，μ已知，给定一个样本12,,,n X X X ，试求出2σ的点估计和1α-的置信区间，并导出假设2200:H σσ≥的检验方法。
（20分）四、 设有线性模型为⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=++=332211εεεb a Y b a Y b a Y其中1ε，2ε，3ε相互独立且都有服从),0(2σN ，求b a ,的最小二乘估计和2σ的无偏估计。
（10分）五、 为比较两台自动机床的精度，分别取容量为10和8的两个样本，测量某个指标的尺寸(假定服从正态分布)，得到下列结果：车床甲：1.08, 1.10, 1.12, 1.14, 1.15, 1.25,1.36, 1.38,1.40,1.42车床乙：1.11, 1.12, 1.18, 1.22, 1.33, 1.35, 1.36, 1.38在 α =0.1时， 问这两台机床是否有同样的精度?（10分）六、要评定四种不同的计算机辅导方案的教学效果，每一方案在30分钟辅导终了进行成绩测定，每种方案的试验次数及测验结果如下：问：四种不同的计算机辅导方案的效果是否相同？（15分）七．你如何理解区间估计和假设检验，区间估计和假设检验在线性模型中是否得到应用（10分）。
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042应用数学解答一、 1．0.2 2．36, 13 3．35, 0, 524．85C . 5．2(19)χ 6．47． 两个正态总体均值检验, 拒绝H 0. 二、1．C 2. A 3．B 4. B 5．C 三、1．解 以A 记事件“孩子得病”，以B 记事件“母亲得病”，以C 记事件“父亲得病”，按题意需要求()P ABC. （1分） 已知()0.6,(|)0.5,(|)0.4P A P B A P C AB === ……（1分）由乘法定理得()()(|)()P ABC P CBA P C BA P BA ==……（2分）(1(|))(|)()P C BA P B A P A =-⋅⋅…… （2分）()10.40.50.60.18=-⨯⨯= ……………（2分）2. 解一学生接连参加一门课程的两次考试，以i A 表示事件“第i 次考试及格”，1,2i =；以A 表示“他能取得某种资格”……………………… .（1分） （1）按题意112A A A A = ，因112A A A =∅ ，…………………….（1分） 且由已知 11()0.6,()10.60.4,P A P A ==-=2121(|)0.6,(|)0.3P A A P A A ==………………… （2分）故()()()()11212P A P A A A P A P A A ==+ ……………………（1分）2110.6(|)()0.60.30.40.72P A A P A =+=+⨯=……… （2分）（2）因为()()()22112121()P A P A A A P A A A A ==+ …………… （1分）()()()()211211||P A A P A P A A P A =+………………（1分）所以()()()()()()()()()12211122211211||||P A A P A A P A P A A P A P A A P A P A A P A ==+（2分）220.60.750.60.30.4==+⨯…………………… （1分） 3．解（1）由题意得120()1f x dx bx dx +∞-∞==⎰⎰而131201333x b bx dx b b ===⇒=⎰()()()141123000333344x E X xf x dx x x dx x dx +∞-∞=====⎰⎰⎰()()()151122224000333355x E X x f x dx x x dx x dx +∞-∞=====⎰⎰⎰由()()()222333935451680D X E X E X ⎛⎫=-=-=-=⎪⎝⎭（2）()()()113133Y X y y F y P Y y P X y P X F ++⎛⎫⎛⎫=<=-<=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 上式两边对y 求导，有()21113,0111333330, Y X y y y f y f ⎧++⎛⎫<<+⎪⎛⎫ ⎪==⎨⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪⎩ 其它()21,12=9 0, y y ⎧+⎪-<<⎨⎪⎩其它4.解 若新法比老办法效果好，则有毒物质平均浓度应低于老办法处理后的有毒物质平均浓度，设有019,μ=故应设待检验原假设0H 为0μμ=，对应假设1H 为0μμ<，若1H 成立，则认为新法效果好，检验如下：（1）H 0: μ=19,；H 1: μ<19 （2分） （2）在0H成立下，选检验统计量()9T t =（3）对给定的检验水平0.05α=，选0H 的拒绝域为()0.059T t <-1.92.05560.9243T -=====- 显然0.050.205569 1.833T t =-<-=- T 值落入0H 的拒绝域，故拒绝0H 而接受1H ，因此可以认为新法比老办法效果好。
5.解因为T A B E SS SS SS SS =++98.6725.1769.34 4.16E T A B SS SS SS SS ⇒=--=--=（2分）因为0.0118.1510.922,6,A F F =>=所以在0.01α=下拒绝，认为促进剂对定强的影响是特别显著(或有统计意义).(1分)因为()0.0133.349.783,6,B F F =>=所以在0.01α=下拒绝，认为氧化锌对定强的影响是特别显著（或有统计意义）（1分）.四. 综合实验报告（8分）052应用数学解答一、 填空题1、()121,020,x e x f x -⎧≥⎪=⎨⎪⎩其余 2、 ()2,020,Y y y f y <<⎧=⎨⎩其余3、2,100N σμ⎛⎫⎪⎝⎭4、 ()E θθ= 5、66、 013.8434,0.2721ββ=-=。
二、单项选择题：1、 B 2、C 3、D 4 、A 5、A 6、B 三、判别题：1、⨯ 2、⨯ 3、⨯ 4、 √ 5、√ 6、 √ 四、计算题1、解：（1）用X 表示4次射击击中目标的次数，则X ~B(4,p) 由题意，P{X ≥1}=1-P{X=0}= ()480211813p p --=⇒= （2）四次射击中恰好命中二次的概率P{X =2}22242180.29633327C ⎛⎫⎛⎫==≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、解：设i B 表示此人去到点()1,2,3,4iB i =，C 表示此人抵达C 点。
（1）()()()41i i i P C P B P C B ==∑11111113910.4875444244580=⨯+⨯+⨯+⨯== （2）()()()11150.128239P B P C B P B C P C ==≈ 3、解：（1）{}()550115153p P X f x dx dx -∞=<===⎰⎰（2）法1：()()151520017.51530x E X xf x dx dx x +∞-∞⎡⎤====⎣⎦⎰⎰法2：由X~U[0,15]得：()0157.522a b E X ++===4、解：（1）()()2,01,0,X x x f x f x y dy +∞-∞≤≤⎧==⎨⎩⎰其余地方()()2,01,0,Y y y f y f x y dx +∞-∞≤≤⎧==⎨⎩⎰其余地方因为()()(),X Y f x y f x f y =，所以X 与Y 相互独立。
（2）{}012,1PX X Y X ≤≤≤≤-()121122424112x xdx xydy x x dx -==-=⎰⎰⎰5、解：样本均值 6.0X =，样本均方差0.574,9,0.05S n α===，平均干燥时间μ的置信度为0.95的置信区间是((0.0250.02511X t n X t n ⎛--+- ⎝ ()0.5740.5746.0 2.306, 6.0 2.306 5.5588,6.441233⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭6、解：本题属总体均值未知，正态总体方差的单边检验问题：0010:0.005,:0.005H H σσσσ==>=选用统计量：()()22221~1n S n χχσ-=- 由样本得观察值：()()22220.0522180.00715.68815.510.005n S χχσ-⨯===>=即2χ的观察值落入拒绝域中，拒绝H 0， 故可认为在水平0.05α=下，这批导线的标准差显著地偏大。
7、解：（这是一个三水平，每个水平重复五次的单因素方差分析） 设第i 台机床的产量服从正态分布()2,,1,2,3iN i μσ=检验假设0123:H μμμ==根据题设条件列出方差分析表：（4分）因为()0.056.2182,12FF =>所以否定假设，即认为：三台机床生产的产品产量间的差异在检验水平0.05α=下是有统计意义的。
五、综合实验062应用数学解答一、 填空题（每小题2分，共2⨯6=12分）1、12p =2()25y --()()~5,0.8Y N3、3890a b += 4、2nσ5、6、()()1i xyniix x y L y =--=∑二、单项选择题（每小题2分，共2⨯6=12分）1、B2、A3、B4、 D5、C6、D三、判别题（每小题2分，共2⨯6=12分）1、⨯2、√3、⨯4、 √5、√6、⨯四、计算题（每小题8分，共8⨯7=56分）1、解：（1）由题意，()~10,XB p ， X 的分布律为：{}()()101010,1,2,...,10iii P X i C p p i -==⨯⨯-= （4分）（2）某天至少有一家分店订货的概率为{}()10111P X p ≥=--（4分） 2、 解：设A 为“甲队抽到与上届冠军队在同一组”的事件；B 为“乙队抽到与上届冠军队在同一组”的事件。
（1） 因为其余八队应有四个队与冠军队在同一组，所以()12P A =（2分） （2） ()()()()1314127272P B P AB AB P AB P AB =+=+=⨯+⨯= （3分）（3）()()()13327172P A P B A P A B P B ⨯=== （3分） 3、解：（1）X 的概率密度为(),00,0x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩{}()111001112xxP X f x dx edx eeλλλλ----∞⎡⎤<===-=-=⎣⎦⎰⎰ 1ln 22e λλ-⇒=⇒= （4分） （2）{}()()()()22ln 2ln 211ln 2ln 211ln 221ln 2x xxxe edx P X X edxe --+∞+∞--⎡⎤-⋅⎣⎦<>==⎡⎤⋅-⎣⎦⎰⎰l n 22l n 2l n 2l n 2112e e ee -----==-= （4分） 4、解：（1）X 的概率密度()1cos ,220,2X x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（4分）（2）随机变量()21Y X =+的数学期望()()()()2212121cos 2X E Y x f x dx x xdx ππ+∞-∞-=+=+⋅⎰⎰2222cos cos 2x xdx xdx ππππ--=+=⎰⎰ （4分）5. 解：（1）11,1,122F P X Y ⎛⎫⎧⎫=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1211204214dx xydy xdx ===⎰⎰⎰（4分）（2）(){}11Z F P XY =+<()11123000142426x dx xydy x x x dx -==-+=⎰⎰⎰ （4分） 6. 解：（本题属总体方差未知，正态总体均值的单边检验问题）检验假设：0000:179,:179H H μμμμ==<= （2分）选用统计量：()~4T t =由样本得观察值：()0.054.4184 2.132T t -==≈-<-=- （4分）即T 的观察值落入拒绝域中，拒绝H 0，故可认为在水平0.05α=下， 用此种仪器测量硬度所得数值显著偏低。