成都20届高二文科数学下学期零诊考试试卷
2020学年四川省成都市新高考高二数学下学期期末监测试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ）A ．20192B ．1C ．0D ．-12．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -3．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列4．已知函数()ln f x x ax =-在其定义域内有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)e B ．(,)e -∞ C ．(0,)e D ．1(,)e e5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A ．22139x y -= B ．22193x y -= C ．221412x y -= D ．221124x y -=6．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”是“1q >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知,αβ为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“αβ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则( )A ．ABC +=B ．2B AC = C ．()2A B C B +-=D ．()22A B A B C +=+ 9．如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(1)0.2P ξ>=，则(11)P ξ-≤≤=（ ）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.311．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ）A ．15B ．14C ．13D ．1212．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若3013C c a =︒==，，ABC ∆的面积为A ．34B ．32C ．34D ．32二、填空题：本题共4小题13．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是等腰梯形，其中AB ∥CD ，若1BC CD ==，60BAD ∠=︒，且侧棱与底面ABCD 所成的角均为45°，则该棱锥的体积为_________．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.15．在101()2x +的二项展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）16．高一（10）班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为__________人．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
成都市名校2020年高二下数学期末统考试题含解析
成都市名校2020年高二下数学期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知e 为自然对数的底数，则函数x y xe =的单调递增区间是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(],1-∞- C ．[)1,+∞ D ．(],1-∞【答案】A 【解析】因(1)x y x e =+'，故当1x ≥-时(1)0xy x e '=+≥，函数单调递增，应选答案A 。
2．下列函数中，即是奇函数，又在(0,)+∞上单调递增的是 A ．x x y e e -=+ B ．3y x x =+ C ．2sin y x x =+ D ．ln ||y x =-【答案】B 【解析】分析：对四个选项分别进行判断即可得到结果 详解：对于A ，xxy e e-=+，()xx f x ee --=+，()x xf x e e --=--()()f x f x -≠-，不是奇函数，故错误对于C ，2y x sinx =+，12cos y x =+'，当1cos 2x =-时，0y '=，函数在()0+∞，上不单调，故错误对于D ，函数在()0+∞，上单调递减，故错误 故选B点睛：对函数的奇偶性作出判断可以用其定义法，单调性的判断可以根据函数的图像性质，或者利用导数来判断。
3．已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（ ） A ．!!mn n C m =B ．!()!A mn n n m =-C ．111m m m n n n C C C --++= D ．111m m m n n n C C C -+++=【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断. 【详解】由组合数的定义可知()!!!mn n C m n m =-，A 选项错误；由排列数的定义可知()!!mn A n n m =-，B选项正确；由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.4．函数()x f x e x =-(e 为自然对数的底数)在区间[]1,1-上的最大值是( ) A ．11e+B ．1C ．1e +D ．1e -【答案】D 【解析】分析：先求导，再求函数在区间[-1,1]上的最大值. 详解：由题得()1,xf x e =-'令10,0.xe x -=∴=因为111(1)11,(1)11,(0)101f e f e e f e--=+=+=-=-=-=. 所以函数在区间[-1,1]上的最大值为e-1. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设()y f x =是定义在闭区间[],a b 上的函数，()y f x =在(),a b 内有导数，可以这样求最值： ①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程/()0f x =在(),a b 内的根12,,,n x x x ）；②比较函数值()f a ，()f b 与12(),(),,()n f x f x f x ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.5．函数()24412x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可． 【详解】函数2441()2x f x x-+=是偶函数，排除选项B ，当x=2时，f （2）=1532-＜0，对应点在第四象限，排除A ，C ； 故选D ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．6．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是A （1,2），B （3,4），C （5,6）D （7,8），则y 与x 之间的回归直线方程为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =+C ．21y x =+D ．ˆ1yx =- 【答案】A 【解析】分析：根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程． 详解：∵135744x +++==，246854y +++==∴这组数据的样本中心点是（4，5）把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立， 故选A ．点睛：本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法． 7．已知随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，若(2)(6)0.15P P ξξ<=>=，则(24)P ξ≤<等于（ ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7【解析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若(2)(6)P P ξξ<=>，函数的对称轴是4ξ= ，所以(24)0.50.150.35P ξ≤<=-=，故选B.8．已知:1p a >，213211:22a aq +-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：首先根据指数函数的单调性，结合幂的大小，得到指数的大小关系，即2132a a +>-，从而求得12a >，利用集合间的关系，确定出p,q 的关系. 详解：由21321122a a+-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2132a a +>-，解得12a >， 因为(1,)+∞是1(,)2+∞的真子集，故p 是q 的充分不必要条件，故选A.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在求解的过程中，首先需要判断命题q 为真命题时对应的a 的取值范围，之后借助于具备真包含关系时满足充分非必要性得到结果.9．设随机变量ξ～N （μ，σ2），函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．不能确定【答案】B 【解析】试题分析：由题中条件：“函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值．解：函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点， 即二次方程x 2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4， ∵函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点的概率是0.5， ∴P （ξ＞4）=0.5，由正态曲线的对称性知μ=4， 故选B ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．10．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( )A ．14B ．23C ．13D ．12【解析】 【分析】根据题目可知，求出事件A 的概率，事件AB 同时发生的概率，利用条件概率公式求得()|P B A ，即可求解出答案． 【详解】依题意，()1214C 1C 2P A ==，()11221143C C 1C C 3P AB ==，则条件概率()()()123|132P AB P B A P A ===．故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意()P AB 的求解． 11．若等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足44S =， 612S =，则2S =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．3【答案】B 【解析】根据等差数列的性质624,,246S S S 仍成等差数列，则6422426S S S⨯=+，则6423S S S =+ ，62412444033S S S =-=-=-=，选B. 12．某班级有男生32人，女生20人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为ξ，则ξ的数学期望为（ ）A ．1613B ．2013C ．3213D ．4013【答案】C 【解析】分析：先写出ξ的取值，再分别求ξ的概率，最后求ξ的数学期望. 详解：由题得0,1,2,3,4.ξ=413223140203220322032203220444445252525252(0)(1)(2)(3),(4).C C C C C C C C C P P P P P C C C C C ξξξξξ==========，，，所以4132231402032203220322032204444452525252523201234.13C C C C C C C C C E C C C C C ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)离散型随机变量的数学期望1122.n n E x p x p x p ξ=+++二、填空题：本题共4小题13．数列{}n a 的前n 项和记为()11,3,21n n n S a a S n +==≥，则n S =__________. 【答案】3nn S = 【解析】试题分析：由12n n a S +=可得：12n n n S S S +-=，所以13n nS S +=,则数列{}n S 是等比数列，首项为3，公比为3，所以3n n S =。
2020届四川省成都市高中毕业班第二次诊断性检测文科数学试题 word
2020届四川省成都市高中毕业班第二次诊断性检测数学(文科） 第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z 满足z(l+i)-2(i 为虚数单位)，则z 的虚部为(A)i (B) -i (C)-l (D)l2．设全集U=R ．集合M={x|x<l}，N={x|x>2}，则(C ∪M)∩N=(A){x|x>2} (B){x|x ≥l} (C){x|l<x<2} (D){x|x ≥2)3．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本，若样本中高中生恰有30人，则n 值为(A)20 (B) 50 (C)40 (D) 604．曲线y=x 3-x 在点(1，0)处的切线方程为(A)2x-y=0 (B)2x+y-2=0 (C)2x+y+2=0 (D)2x-y-2=05．已知锐角α满足2sin2α= l-cos2α，则tan α=(A) 21 (B)l (C)2 (D)4 6．函数)1ln(cos )(2x x x x f -+⋅=在[1，1]的图象大致为7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(A)16 (B)48 (C)96 (D)1288．已知函数0)4(),0)(2sin()(=<<+=ππωπωf x x f 则函数f(x)的图象的对称轴方程为(A) Z k kx x ∈-=,4π (B) Z k kx x ∈+=,4π (C) Z k k x ∈=,21π (D) Z k k x ∈+=,421ππ 9．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别为AB ，AD 的中点，过点D 作平面α使B 1P ∥平面α，A 1Q ∥平面α若直线B 1D ∩平面α=M ，则11MB MD 的值为 (A) 41 (B) 31 (C) 21 (D) 32 10．如图，双曲线C: 2222by a x -=l(a>0，b>0)的左，右焦点分别是F 1（-c ，0），F 2（c ，0)，直线abc y 2=与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若321π=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为 (A)2 (B) 324 (C) (D) 332 11已知EF 为圆(x-l)2+(y+1)2=l 的一条直径，点M(x ，y)的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+-103201y y x y x ，则⋅ 的取值范围为(A)[ 29,13] (B)[4,13] (C)[4,12] (D)[ 27,12] 12．已知函数x x x f ln )(=，g(x)=xe -x ，若存在x l ∈(0,+∞)，x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)=k(k<0)成立，则k e x x 212)(的最大值为 (A)e 2 (B)e (C)24e (D) 21e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．已知函数f(l)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,20,1x x x x 则f(f(x-1))= ．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B=3π，a=2，b=3，则△ABC 的面积为 ．15.设直线l ：y=x-l 与抛物线y2=2px （p>0）相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2，则p 的值为16．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为____．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分12分）已知{a n }是递增的等比数列，a 1=l ，且2a 2，23a 3，a 4成等差数列． (I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设2212log log 1++⋅=n n n a a b ，n ∈N*,求数列{bn}的前n 项和S n . 18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，M ，E 分别为 AB ，BC 的中点．(I)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PE=3，求三棱锥B-PEM 的体积．19. (本小题满分12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：(I)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润；(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(I)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年将(I)中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．参考公式：20.（本小题满分12分）已知椭圆E: 12222=+b y a x （a>b>0）的左，右焦点分别为F 1(-l ，0)，F 2(1，0)，点P(1，22)在椭圆E 上．(I)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)设直线l ：x=my+1(m ∈R)与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆x 2+y 2=a 2相交于C ，D 两点，当|AB|▪|CD|2的值为82 时，求直线x 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x 2-mx-mlnx ，其中m>0．(I)若m=l ，求函数，(l)的极值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)+mx ．若g(x)> x1在(1，+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==m y m x 22（m 为参数）以坐标原点O 为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ-ρcos θ+1=0.(I)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(Ⅱ)已知点P(2，1)，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求||1||1PN PM +的值 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|．(I)解不等式f(x)≥6；(Ⅱ)设g(x)=-x 2+2ax ，其中a 为常数，若方程f(x)=g(x)在(0，+∞)上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围，。
成都市第七中学2020-2021学年高二下学期零诊模拟考试文科数学试题及答案
成都七中高2022届高二下期零诊模拟考试数学（文）时间：120分钟 满分：150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.1.设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B ⋃= （）A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2 D.(1,)+∞2．复数z 满足i z i =-)1(（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．21- B ．21C ．i 21-D ．i 213．极坐标系中，直线l 的方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与曲线:2C ρ=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定，与θ有关4．若双曲线C 的中心为坐标原点，其焦点在y 轴上，离心率为2，则该双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．y =B．y x =C ．4y x =±D ．14y x =±5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-，则A 的大小为（） A ．4πB ．3πC ．6πD ．34π6.等差数列{}n a 公差为d (d ≠0)，且满足358,,a a a 成等比数列，则1d a =( )A.12 B.1 C.3 D.27．在圆2216x y +=内随机取一点P ，则点P 落在不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的区域内的概率为 （） A ．14πB ．34πC ．1πD ．43π8.已知直线l 为曲线sin cos y x x x =+在2x π=处的切线，则在直线l 上方的点是()算步骤.17. （本小题满分12分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布直方图如图所示.（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.18.(本小题满分12分)已知曲线2()ln 1f x x x ax =+-+.（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；（2）对任意的x ∈[1，+∞)，都有()0f x ≥，求实数a 的取值范围.19.(本小题满分12分)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形， AC BD O ⋂=， 1AO ⊥底面ABCD ， 2AB =，13AA =. （1）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求D 点到面B 1BC 的距离.20．(本小题满分12分)已知函数()()ln x f x mx m R x=-∈． （1）若f(x)≤0恒成立，求实数m 的最小值；（2）当0m ≥时，试确定函数()f x 的极值点个数，并说明理由.21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为且经过点(-.点M 是x 轴上一点.过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若||2||,AM MB =且直线l 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求||MN 的长．22．(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (t为参数)，曲线C 的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点，直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求的值. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231θρcos 4=)0,1(P 11PA PB+成都七中高2022届高二下期零诊模拟考试数学（文）1.D 2．B 3．B 4．B 5．A 6.A. 7．C 8.C 9．A 10．B 11．B 12．C 13．1217151311ln +++++>+n n ）（14．6365或336515.{x 丨x ＜-1或x ＞1或x=0} 16．4917.解：（1）由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=. ……4分 （2）因为第1，2，3组共有5050200300++=人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人. ……8分（3）设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从6位同学中抽两位同学有：()()()()()()()()()1234123412(,),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A C A C A C B C B C B C B C C C ， ()()()()()1314232434,,,,,,,,,C C C C C C C C C C 共15种可能.……10分其中2人年龄都不在第3组的有：(),A B 共1种可能，所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=.……12分 18.解：（1）函数f (x )的定义域为{x |x >0}，当a =1时，2()ln 1f x x x x =+-+，1()21f x x x '=+-，(1)2,(1)1f f '∴==， 所求切线方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.……5分（2）由题意对于[)1,x ∀∈+∞有2()ln 10f x x x ax =+-+≥则可得2ln 1x a x x ++≤，x ∈[1，+∞).设2ln 1()x x g x x ++=，x ∈[1，+∞)，22ln ()x x g x x'-=，x ∈[1，+∞) 再设m (x )=x 2-ln x ，x ∈[1，+∞)，2121()20x m x x x x '-=-=>，m (x )在[1，十∞)上为增函数，m (x )≥m （1）=1，即g '(x )>0，g (x )在[1，+∞)上为增函数，g (x )≥g （1）=2，即a ≤2. ……12分由韦达定理得212122224,.44tm m y y y y t t -+=-=++ ……6分 由2122122222,2,y y y y y y y y =-+=-+=-则[]221212122()2().y y y y y y =--+=-+2222422().44m tm t t -=--++化简得2222(4)(4)8.m t t m -+=- 原点O到直线的距离d = 又直线l 与圆224:7O x y +=相切,= 即227 1.4t m =- 22224222(4)(4)82116160714m t t m m m t m ⎧-+=-⎪⇒--=⎨=-⎪⎩即22(34)(74)0.m m -+= 解得243m =.此时243t =,满足0.∆>此时(3M ± ……10分 在Rt ONM △中，||21MN ==∴||MN的长为21……12分22．解： ..........5分（2）........7分 .........10分 013t 21231)1(=-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y x l t y t x 的普通方程为得直线消去 .42-x 04cos 4cos 422222=+∴=-+∴=∴=y x y x ）（曲线的直角坐标方程：θρρθρ 03304:21231222=-+=-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t t x y x C t y t x 得代入曲线0,033,21212121><⎩⎨⎧-=⋅-=+t t t t t t t t B A 不妨设则两点对应的参数分别为，设.3154)(111121212212121212121=-+=-=+=+=+∴t t t t t t t t t t t t t t t t PB PA。
成都市名校2020年高二第二学期数学期末统考试题含解析
成都市名校2020年高二第二学期数学期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A ．B ．C ．D ．2．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ） A ．0.2B ．0.6C ．0.8D ．0.93．点M 的直角坐标)3,1-化成极坐标为（ ）A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知A ＝B ＝｛1，2，3，4，5｝，从集合A 到B 的映射f 满足：①(1)(2)(3)f f f ≤≤ (4)(5)f f ≤≤；②f 的象有且只有2个，求适合条件的映射f 的个数为 ( ) A ．10B ．20C ．30D ．405．已知,,(0,2)a b c ∈，则(2),(2),(2)a b b c c a ---中（ ） A ．至少有一个不小于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都不大于1D ．都不小于16．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，……，1()'()n n f x f x +=，x ∈N ，则2019()f x =（ ） A ．cos xB ．cos x -C ．sin xD ．sin x -7．已知函数1()2ln (R)f x x a x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在定义域上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞8．已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<=（ ）． A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.610．设函数2()ln 2a f x x x bx =+-，若1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞11．如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )A ．6,8B ．6,6C ．5,2D ．6,212．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知可导函数()f x 的定义域为(),0-∞，其导函数()f x '满足22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2018)(2018)(1)0x f x f ++--≤的解集为__________．14．在正数数列中，，且点在直线上，则前项和等于__．15．数列{}n x 满足*1112,2,,,n n n x x x n n N x a x b +-=-≥∈==，则2019x =_________.16．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x 时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩则3()2f =__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知命题p ：()22log 31x x -+>. （Ⅰ）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）设命题q ：2x <；若“p q ∨”为真命题且“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围.18．某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 [95,100) [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125] 频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计（2）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（3）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X ，求X 的期望()E X . 附： P(K 2≥k 0)0.150.100.0500.0250.010k 02.072 2.7063.841 5.024 6.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19．（6分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋142,a 4a Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？20．（6分）在平面直角坐标系中，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=. (1)求曲线2C 的参数方程；(2)过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A C 、和B D 、，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 周长最大时，求直线1l 的普通方程.21．（6分）如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且2AG GE =．()1试用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ；()2若2OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=，求OG AB ⋅的值．22．（8分）已知函数()2af x x x=+（x≠0，常数a∈R）． （1）判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）若f （1）＝2，试判断f （x ）在[2，＋∞）上的单调性参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a ，a,0)，F(a,0,0)，＝(a ，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a ，－a ，0)，＝(0,0,2a)，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)， 由⇒⇒⇒n 1＝(1，－1,1)．sinθ＝＝＝.2．C 【解析】分析：由题意可知()()0.5,0.4P A P AB ==，利用条件概率公式可求得()|P B A 的值. 详解： 设第一个路口遇到红灯的事件为A ， 第二个路口遇到红灯的事件为B ， 则()()0.5,0.4P A P AB ==，则()()()|0.8P AB P B A P A ==，故选C.点睛：本题考查条件概率公式()()()/P AB P B A P A =，属于基础题.计算条件概率时一定要注意区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系. 3．D 【解析】 【分析】分别求得极径和极角，即可将直角坐标化为极坐标. 【详解】由点M 的直角坐标可得：2ρ==，点M 位于第二象限，且tan3θ==-，故116πθ=，则将点M 的直角坐标)1-化成极坐标为112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查直角坐标化为极坐标的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．D 【解析】分析：将元素1,2,3,4,5按从小到大的顺序排列，然后按照A 元素在B 中的象有且只有两个进行讨论. 详解：将元素1,2,3,4,5按从小到大的顺序排列， 因恰有两个象，将A 元素分成两组，从小到大排列， 有()(1),2,3,4,5一组；()(1,2),3,4,5一组； ()(1,2,3),4,5一组； ()(1,2,3,4),5一组，B 中选两个元素作象，共有25C 种选法，A 中每组第一个对应集合B 中的较小者，适合条件的映射共有25440C ⨯=个，故选D.点睛：本题考查映射问题并不常见，解决此类问题要注意：（1）分清象与原象的概念；（2）明确对应关系. 5．B 【解析】 【分析】用反证法证明，假设同时大于1，推出矛盾得出结果 【详解】假设()21a b ->，()21b c ->，()21c a ->， 三式相乘得()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->，由()02a b c ，，，∈，所以()220212a a a a -+⎛⎫<-≤= ⎪⎝⎭，同理()21b b -≤，()21c c -≤，则()()()2221a a b b c c -⋅-⋅-≤与()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->矛盾，即假设不成立，所以()()()222a b b c c a ---，，不能同时大于1，所以至少有一个不大于1，故选B 【点睛】本题考查的是用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键，同时还运用了基本不等式，本题较为综合 6．B 【解析】 【分析】根据题意，依次求出f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）、f 4（x ）的值，分析可得f n+4（x ）＝f n （x ），据此可得f 2019（x ）＝f 3（x ），即可得答案． 【详解】根据题意，()0f x ＝sinx ，f 1（x ）＝()0'f x ＝cosx ， f 2（x ）＝()1'f x ＝﹣sinx ， f 3（x ）＝()2'f x ＝﹣cosx ， f 4（x ）＝()3'f x ＝sinx ，则有f 1（x ）＝f 4（x ），f 2（x ）＝f 5（x ），…… 则有f n+4（x ）＝f n （x ）， 则f 2019（x ）＝f 3（x ）＝﹣cosx ； 故选：B ．【点睛】本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用，关键是掌握导数的计算公式． 7．D 【解析】 【分析】根据等价转化的思想，可得'()0f x =在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，进行计算，可得结果. 【详解】222122'()1x ax af x a xx x -+⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭， 令2()2g x x ax a =-+，方程()0g x =有两个不等正根1x ，2x ，则：21212(2)402010a a x x a a x x a ⎧∆=-->⎪+=>⇒>⎨⎪=>⎩ 故选：D 【点睛】本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题. 8．B 【解析】 【分析】 【详解】由y ＝f′(x)的图象知，y ＝f(x)的图象为增函数， 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B. 9．B 【解析】∵随机变量x 服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，即对称轴是2，(4)0.8P ξ<=，∴(4)(0)0.2P P ξξ≥=<=， ∴(04)0.6P ξ<<=， ∴(02)0.3P ξ<<=． 故选B ． 10．A 【解析】分析：()f x 的定义域为10'f x ax b x+∞=+-（，），（） ，由'10f =（）， 得1b a =+．所以()1(1)'ax x f x x--=（） 能求出a 的取值范围．详解：()f x 的定义域为10'f x ax b x+∞=+-（，），（） ，由'10f =（）， 得1b a =+．所以()1(1)'ax x f x x--=（）．①若0a = ，当01x ＜＜时，'0f x （）＞，此时()f x 单调递增； 当1x ＞时，'0f x （）＜ ，此时()f x 单调递减．所以1x =是函数()f x 的极大值点． 满足题意，所以0a =成立．②若0a ＞，由'0f x =（），得11x x a ==．，当11a＞ 时，即1a < ，此时 当01x ＜＜时，'0f x （）＞，此时()f x 单调递增； 当1x ＞时，'0f x （）＜ ，此时()f x 单调递减．所以1x =是函数()f x 的极大值点． 满足题意，所以1a <成立．．如果11a x =＞， 函数取得极小值，不成立；②若0a ＜ ，由'0f x =（） ，得11x x a==．． 因为1x =是f （x ）的极大值点，成立； 综合①②：a 的取值范围是1a < ． 故选：A ．点睛：本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 11．A 【解析】 【分析】根据题意，应用乘原理，即可求解甲地经乙地到丙地的走法的种数，再由加法原理，即可得到甲地到丙地的所有走法的种数. 【详解】由题意，从甲地经乙地到丙地的走法，根据分步乘法计数原理可得，共有23=6⨯种； 再由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地，共有628+=种走法，故选：A. 【点睛】本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用问题，其中正确理解题意，合理选择计数原理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 12．A 【解析】 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z . 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．[2019,2018)-- 【解析】 【分析】构造函数：2()()F x x f x = 根据其导函数判断单调性，再通过特殊值解得不等式. 【详解】函数()f x 的定义域为(),0-∞构造函数：2()()F x x f x =2'()2()'()F x xf x x f x ⇒=+ 已知：2232()()2()()0f x xf x x xf x x f x x ''+>+<<⇒ 所以'()0F x <，()F x 递减.(1)(1)F f -=-2(2018)(2018)(1)0(2018)(1)120180x f x f F x F x ++--≤⇒+<-⇒-≤+<即[2019,2018)x ∈-- 故答案为[2019,2018)-- 【点睛】本题考查了函数的构造，根据函数单调性解不等式，技巧性较强，构造函数2()()F x x f x =是解题的关键. 14．【解析】 【分析】 在正数数列中，由点在直线上，知，所以，得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出前n 项和，得到答案．【详解】由题意，在正数数列中，，且在直线上， 可得，所以，即，因为，所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列，所以，故答案为．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n 项和公式的应用，同时涉及到数列与解析几何的综合运用，是一道好题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n 项和公式和通项公式的灵活运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 15．b a -. 【解析】 【分析】根据数列递推关系，列出前面几项，发现数列{}n x 是以6为周期的周期数列，然后根据周期数列的性质特点可得出2019x 的值． 【详解】由题干中递推公式，可得：1x a =， 2x b =，321x x x b a =-=-，432x x x b a b a =-=--=-， 543()x x x a b a b =-=---=-， 654()x x x b a a b =-=---=-， 765()x x x a b b a =-=---=， 876()x x x a a b b =-=--=， 987x x x b a =-=-，∴数列{}n x 是以6为最小正周期的周期数列．201963363÷=，20193x x b a ∴==-．故答案为：b a -. 【点睛】本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求数列任一项的值，考查不完全归纳法的应用，考查从特殊到一般的思想和基本的运算求解能力． 16． 【解析】试题分析：考点：1.函数的性质；2.周期函数.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（Ⅰ） 12x <<；（Ⅱ）(]2,1-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）若p 为真命题，结合对数函数的定义域可得223230x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解不等式组求得答案；（Ⅱ）“p q ∨”为真命题且“p q ∧”为假命题，则p 真q 假或p 假q 真，解出命题q ，对p 真q 假和p 假q 真两种情况进行讨论，从而得到答案． 【详解】（Ⅰ）因为()22log 31x x -+>，所以可得 223230x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，所以当命题p 为真命题时，解得12x <<； （Ⅱ）易知命题q ：22x -<<.若p q ∨为真命题且p q ∧为假命题，则p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，1222x x x <<⎧⎨≤-≥⎩或，方程组无解；当p 假q 真时，1222x x x ≤≥⎧⎨-<<⎩或，解得21x -<≤；综上，p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，实数x 的取值范围是(]2,1-. 【点睛】本题主要考查利用命题与复合命题的真假关系求变量的取值范围，属于一般题． 18．（1）见解析；（2）见解析；（3）325【解析】试题分析：（1）根据表1和图1即可完成填表，再由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++将数据代入计算得3.053 2.706>即把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关（2）根据题意计算甲、乙两套设备生产的合格品的概率，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散，从而做出判断（3）根据题意知满足1~3,25X B ⎛⎫⎪⎝⎭，代入即可求得结果 解析:（1）根据表1和图1得到列联表甲套设备 乙套设备 合计 合格品 48 43 91 不合格品 2 7 9 合计5050100将列联表中的数据代入公式计算得()()()()()()222100487243 3.0535050919n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯∵ 3.053 2.706>，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 （2）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为4850，乙套设备生产的合格品的概率约为4350，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备. （3）由题知，1~3,25X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()1332525E X =⨯=. 19．（1）；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元.【解析】试题分析：（1）当甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，此时直接计算1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+=即可；（2）列出总收益的函数式得1()422504f x x x =-++，令，换元将函数转换为关于t 的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的x 值.试题解析： （1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， ∴1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+= （2），依题得，即，故.令，则，当时，即时，，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.考点：1.函数建模；2.二次函数. 20．（1）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)；（2）14y x =【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得2C 的普通方程，由此可求得2C 的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，点(2cos ,sin )A θθ，然后得到l 与θ的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得1l 的普通方程．试题解析：（Ⅰ）2214x y +=，2{x cos y sin θθ==（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点()2cos ,sin A q q ，8cos 4sin l θθ=+ ()θθθϕ⎫=+=+⎪⎭， 且cosϕ=，sin ϕ=，所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sinθϕ==，sin cos θϕ==， 此时，A ，1l 的普通方程为14y x =． 点睛：将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的,x y (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性． 21．（1）111333OG OA OB OC =++；（2）73. 【解析】 【分析】()()12232AG GE OG OA OE OG OG OE OA =∴-=-∴=+又2OE OB OC =+，由此即可求出结果；（2）利用111333OG OA OB OC =++，AB OB OA =-和数量及的定义1242OA OC ⋅=⨯⨯，1342OC OB ⋅=⨯⨯代入得结果．【详解】解：()()12232AG GE OG OA OE OG OG OE OA =∴-=-∴=+又2OE OB OC =+111333OG OA OB OC ∴=++()2由()1问知23,23⎡⎤-++⎣⎦．【点睛】本题考查平面向量的基本定理，和平面向量的数量积的运算公式及平面向量基本定理的应用． 22．（1）见解析；（1）见解析 【解析】试题分析：（1）利用函数奇偶性的定义进行判断，要对a 进行分类讨论； （1）由()12f =，确定a 的值，然后用单调性的定义进行判断和证明即可. 试题解析：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 1， f （－x ）＝f （x ），函数是偶函数． 当a≠0时，f （x ）＝x 1＋（x≠0，常数a∈R），取x ＝±1，得f （－1）＋f （1）＝1≠0；f （－1）－f （1）＝－1a≠0，即f （－1）≠－f （1），f （－1）≠f（1）． 故函数f （x ）既不是奇函数也不是偶函数．（1）若f （1）＝1，即1＋a ＝1，解得a ＝1，这时f （x ）＝x 1＋．任取x 1，x 1∈[1，＋∞），且x 1<x 1， 则f （x 1）－f （x 1）＝＝（x 1＋x 1）（x 1－x 1）＋ （注：若用导数论证，同样给分）＝（x 1－x 1）．由于x 1≥1，x 1≥1，且x 1<x 1．故x 1－x 1<0，，所以f （x 1）<f （x 1），故f （x ）在[1，＋∞）上是单调递增函数．。
2020-2021学年四川省成都七中高二下学期文零诊数学试题(解析版)
2020-2021学年四川省成都七中高二下学期文零诊数学试题一、单选题1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则AB =（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．(1,)+∞【答案】D【分析】先利用一元二次不等式及一次不等式求出集合A ，B ，然后画数轴进行并集的运算即可． 【详解】解：3{|13},{|}2A x xB x x =<<=>，(1,)AB ∴=+∞．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．复数z 满足()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．12C ．12iD ．12i -【答案】B【分析】根据复数的运算法则，化简得的1122z i =-+，结合复数的概念，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得(1)z i i -=，可得(1)111222i i i z i i ⋅+===-+- 故复数z 的虚部为12. 故选：B.3．在极坐标系中，直线l 的方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与曲线:2C ρ=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定，与θ有关【答案】B【分析】首先根据极直互化得到直线和圆的直角坐标方程，根据圆心到直线的距离跟半径的大小比较判断直线与曲线的位置关系即可.【详解】因为直线l 的方程为1sin 2(sin )232πρθρθθ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭,即sin cos 4ρθθ=，因为极坐标系中：sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为4x +=，对于曲线:2C ρ=，因为ρ22+4x y =， 所以:2C ρ=表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆， 因为圆心到直线的距离2d =， 所以直线l 与曲线C 相切. 故选：B.4．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】B【分析】易得2c a =，再结合222c a b =+可求得223a b=，最后由双曲线的焦点在y 轴上写出渐近线方程即可. 【详解】由题得，2ca=，即2c a =， 再由222c a b =+，得2224a a b =+，即223a b =，所以223a b=，又因为双曲线的焦点在y 轴上，所以其渐近线方程为a y x b =±=. 故选：B .【点睛】易错点睛：本题求解渐近线方程是易忽略焦点在y 轴上这一条件，从而导致错解.5．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A= A ．34πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【详解】试题分析：由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=，故选C.【解析】余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.6．等差数列{}n a 公差为()0d d ≠，且满足3a ，5a ，8a 成等比数列，则1d a =（ ）A ．12 B ．1 C ．3 D ．2【答案】A【分析】根据等差数列的基本量的计算，结合等比中项的概念，列式化简即可得解.【详解】根据题意可得：2538a a a =⋅，所以2111(4)(2)(7)a d a d a d +=++，由0d ≠，解得12a d =， 所以112d a =. 故选：A7．在圆2216x y +=内随机取一点P ，则点P 落在不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的区域内的概率为 （ ） A ．14πB ．34πC ．1πD ．43π【答案】C【分析】首先由画出不等式表示的可行域，根据可行域的形状求出其面积，再求出圆2216x y +=的面积，最后根据几何概型公式求解即可.【详解】根据不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，如图做出点P 的可行域:由图可知：点P 的可行域为等腰三角形ABC ， 所以1162ABCSAB OC =⨯⨯=, 圆2216x y +=的面积为16π， 由几何概型可知，圆2216x y +=内随机取一点P ，则点P 落在不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域内的概率为：16116P ππ==, 故选：C【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可. 8．已知直线l 为曲线sin cos y x x x =+在2x π=处的切线，则在直线l 上方的点是（ ） A ．,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,0C ．(),1π-D ．()1,π-【答案】C【分析】利用导数的几何意义求得切线的方程，进而判定点与切线的位置关系即可. 【详解】'cos cos sin 2cos sin y x x x x x x x =+-=-, 22x y ππ==-',又当2x π=时，1y =，所以切线的方程为122y x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭, 对于A,当2x π=时，1y =，故点,12π⎛⎫⎪⎝⎭在切线上； 对于B,当2x =时，2921π11 3.2502244y πππππ⎛⎫=--+=-++>-++=-> ⎪⎝⎭，故点()2,0在切线下方；对于C,当x π=时，2π91111,2512244y πππ⎛⎫=--+=-+<-+=-<- ⎪⎝⎭，故点(),1π-在切线上方；对于D,当x =1时，211122242y ππππππ⎛⎫=--+=-++>->- ⎪⎝⎭,故点()1,π-在切线下方. 故选：C.【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法和点与直线的位置关系的判定，其中导数的运算是重点.点与直线的位置关系的判定中利用不等式的基本性质和π的过剩和不足近似值进行大小判定是需要仔细处理的.9．设(3,),(5,1)a m b ==，p ：向量a 与a b -的夹角为钝角，q ：()2,3m ∈-，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题知()2,1a b m -=--，进而根据题意得以()0a a b ⋅-<且a 与a b -的不共线，解得23m -<<且35m ≠，再结合集合关系判断即可得答案. 【详解】由题知()2,1a b m -=--, 因为向量a 与a b -的夹角为钝角, 所以()0a a b ⋅-<且a 与a b -的不共线,所以260m m -+-<且()312m m -≠-,解得23m -<<且35m ≠ 因为332,,355m ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()2,3m ∈-的真子集,所以p 是q 的充分不必要条件, 故选:A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．8+D ．14+【答案】B【分析】首先根据三视图得到几何体的形状，接着利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】由题意可得几何体如下图所示四棱锥P ABCD -：其中2,2,3PA PB AB CD AD BC ======,且四边形ABCD 为矩形，三角形PAB 为等腰直角三角形， 且面ABCD ⊥面PAB ，所以3ABCD S ==h ==所以11433P ABCD ABCD V S h -=⨯⨯=⨯=，故选：B【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 11．已知函数f (x )满足：对任意x ∈R ，f (﹣x )=﹣f (x )，f (2﹣x )=f (2+x )，且在区间[0，2]上，f (x )=22x +cos x ﹣1，m =f ，n =f (7)，t =f (10)，则（ ）A ．m <n <tB ．n <m <tC ．m <t <nD ．n <t <m【答案】B【分析】根据题意探究得到()f x 的周期为8，将,n t 都化到[0,2]上对应的函数值，进而用单调性可得结果.【详解】∵f (﹣x )=﹣f (x )，f (2﹣x )=f (2+x )， ∴f (x )为奇函数，且关于x =2对称.将x 换成x +2，则f (2﹣(x +2))=f (2+x +2)，即f (﹣x )=f (x +4)=﹣f (x )， 将x 换成x +4，则f (x +8)=﹣f (x +4)=f (x )，即f (x )的最小正周期为8， ∴ f （7）=f (8﹣1)=f (﹣1)=﹣f （1）， f (10)=f (8+2)=f （2），当[0,2]x ∈时，f (x )=22x +cos x ﹣1，f ′(x )=x ﹣sin x ，令()()sin g x f x x x '==-，则()1cos 0g x x '=-≥， 所以()g x 在[0,2]上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，即当[0,2]x ∈时，()0f x '≥，所以()f x 在[0,2]上单调递增， 即当[0,2]x ∈时，f (x )≥f (0)=0.∴﹣f （1）<0，0<f f （2），∴f （7）<f f (10)，即n <m <t . 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：探究得到()f x 的周期为8，将,n t 都化到[0,2]上对应的函数值.12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，Р是椭圆上不同于A ，B 的一点．设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当2343a b mn mn⎛⎫-+⎪⎝⎭取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A B ．45C D ．15【答案】C【分析】根据椭圆方程，利用22b mn a=-为定值，代入整理可得323223234433a a a a b mn mn b b b ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，构造函数322343y t t t =-+利用导数即可得解.【详解】设(,)P x y ，222222222y y y y b mn a x a x a x a a y b=⋅===-+---， 所以3232232323444333a a a a ab mn mn b mn mn b b b⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令at b=，1t >， 构造函数322343y t t t =-+，2264y t t '=-+，当(1,2)t ∈，0y '<，322343y t t t =-+为减函数，当(2+)t ∈∞，，0y '>，322343y t t t =-+为增函数， 所以2t =时取最小值， 此时2a b =，e =故选：C 二、填空题13．观察下列式子，1ln 23>，11ln 335>+，111ln 4357>++，……，根据上述规律，第n个不等式应该为__________． 【答案】()111ln 13521n n +>+++⨯+ 【分析】根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，1ln 23>，则有()1ln 11211+>⨯+， 对于第二个不等式，11ln 335>+，则有()11ln 213221+>+⨯+，对于第三个不等式，111ln 4357>++，则有()111ln 2135231+>++⨯+，依此类推：第n 个不等式为：()111ln 13521n n +>+++⨯+， 故答案为()111ln 13521n n +>+++⨯+． 【点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律． 14．已知4sin 5β=，()5sin 13αβ+=，其中α，()0,βπ∈，则sin α的值为________． 【答案】6365或3365【分析】本题主要利用正弦的两角差公式进行计算，根据题意可知2παβπ<+<，分02πβ<<和2πβπ<<两种情况讨论即可得解.【详解】由α，()0,βπ∈可得02αβπ<+<， 又()5sin 013αβ+=>， 所以0αβ<+<π， 由()45sin sin 513βαβ=>+=，故2παβπ<+<， 所以当02πβ<<，则3cos 5β=，()12cos 13αβ+=-，此时5312463sin sin()sin()cos cos()sin 13513565ααββαββαββ=+-=+-+=⨯+⨯=， 当2πβπ<<时，3cos 5β=-，()12cos 13αβ+=-，所以5312433sin sin()sin()cos cos()sin ()13513565ααββαββαββ=+-=+-+=⨯-+⨯=. 故答案为：6365或336515．已知偶函数()f x ，对任意的x 都有()()2'6f x xf x +>，且()12f =，则不等式()2231x f x x >-的解集为_________．【答案】{1x x <-，或0x =，或}1x >【分析】由已知条件构造函数22()()31g x x f x x =-+，求导后可判断出()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，由()12f =，可得(1)(1)0g g -==，由()f x 为偶函数，可判断出()g x 为偶函数，而不等式()2231x f x x >-转化为()0>g x ，偶函数的性质可得1x >，从而可求出x 的范围，再由(0)10g =>可得0x =，进而可求出不等式的解集【详解】解：令22()()31g x x f x x =-+，则'2''()2()()6[2()()6]g x xf x x f x x x f x xf x =+-=+-，因为对任意的x 都有()()2'60f x xf x -+>，所以当0x >，'()0g x >，当0x <，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减， 因为()12f =，所以(1)(1)0g g -==， 因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以2222()()()3()1()31()g x x f x x x f x x g x -=----+=-+=， 所以()g x 为偶函数，所以由()0>g x ，所以()(1)g x g >，所以1x >，解得1x <-或1x >， 因为(0)10g =>，所以0x =， 综上，1x <-，或1x >，或0x =，所以不等式的解集为{1x x <-，或0x =，或}1x >. 故答案为：{1x x <-，或0x =，或}1x >16．抛物线1C ：()220x py p =>与双曲线2C ：223x y λ-=有一个公共焦点F ，过2C 上一点()4P 向1C 作两条切线，切点分别为A 、B ，则AF BF ⋅=______． 【答案】49【分析】将点P 的坐标代入双曲线方程，可求得λ的值，从而可得双曲线的方程，则可得焦点坐标，可得抛物线的准线方程，由导数的几何意义可得,A B 两点处的切线的斜率，求得切点弦AB 的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可【详解】解：由于点()4P 在曲线2C 上，所以453163λ=-⨯=-， 则双曲线的方程为2233x y -=-，即2213x y -=，则(0,2)F ，所以抛物线方程为28x y =，准线方程为2y =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2211228,8x y x y ==，由218y x =，得'14y x =，所以11(,)A x y 处的切线方程为1111()4y y x x x -=-， 即22111111844y x x x x -=-，即2111148y x x x =-，将点()4P 代入可得114160y --=，同理可得224160y --=，所以直线AB 的方程为4160y --=，联立抛物线的方程28x y =，可得2229320y y -+=， 所以121229,162y y y y +==，所以12(2)(2)AF BF y y ⋅=++1629449=++=.故答案为：49【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查切线方程的求法，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是由导数的几何意义求出切线方程114160y --=，224160y --=，从而可得切点弦AB 的方程为4160y --=，考查计算能力，属于较难题三、解答题17．某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布直方图如图所示.（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.【答案】（1）200a =，50b =；（2）第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；（3）1415. 【分析】（1）根据频率分布直方图得出[)35,40和[]45,50的频率，即可得出正整数,a b 的值；（2）利用分层抽样的性质，即可得出年龄在第1，2，3组的人数；（3）利用列举法得出6人中随机抽取2人的所有情况，根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】解：（1）由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=. （2）因为第1，2，3组共有5050200300++=人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人.（3）设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从6位同学中抽两位同学有：()()()()()()()()()1234123412(,),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A C A C A C B C B C B C B C C C ，()()()()()1314232434,,,,,,,,,C C C C C C C C C C 共15种可能.其中2人年龄都不在第3组的有：(),A B 共1种可能， 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用 ，利用古典概型概率公式计算概率，属于中档题.18．已知曲线2()ln 1f x x x ax =+-+.（1）当a =1时，求曲线在x =1处的切线方程；（2）对任意的x ∈[1，+∞)，都有()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）y =2x -1；（2）a ≤2.【分析】（1）代入1a =，对函数()f x 求导后求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）分离参量后，构造新函数，对新函数求导计算出最值，即可得到a 的取值范围. 【详解】（1）函数f (x )的定义域为{x |x >0}，当a =1时，2()ln 1f x x x x =+-+，1()21f x x x'=+-，(1)2,(1)1f f '∴==， 所求切线方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.（2）由题意对于[)1,x ∀∈+∞有2()ln 10f x x x ax =+-+≥则可得2ln 1xa x x ++≤，x ∈[1，+∞).设2ln 1()x x g x x ++=，x ∈[1，+∞)，22ln ()x x g x x '-=，x ∈[1，+∞)再设m (x )=x 2-ln x ，x ∈[1，+∞)，2121()20x m x x x x'-=-=>，m (x )在[1，十∞)上为增函数， m (x )≥m （1）=1，即g '(x )>0，g (x )在[1，+∞)上为增函数，g (x )≥g （1）=2，即a ≤2. 【点睛】思路点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以选用分离参量的方法，构造新函数，运用导数知识求出新函数的最值，即可得到结果；如果不分离参量，也可以直接对函数进行求导后解答，需要注意分类讨论.19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1A O ⊥底面ABCD ，2AB =，13AA =．（1）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求D 点到面1B BC 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）要证面面垂直只要证明其中一个面内的一条直线垂直于另外一个平面即可； （2）利用等体积法11B D B C C B B D V V --=，根据所给条件求得各已知量，代入即可得解. 【详解】（1）∵1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴1AO BD ⊥．∵ABCD 是菱形， ∴CO BD ⊥，∵1AO CO O ⋂=，∴BD ⊥平面1A CO ，∵BD ⊂平面11BB D D ， ∴平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）根据题意可得13,A A AO =1AO1A D 22211119471cos 22322AA AD A D A AD AA AD +-+-∠===⋅⨯⨯，1sin A AD ∠=所以11322ADA S=⨯⨯=， 易知11B BC A AD ≅，所以1BCB S=，由BCDS1AO 设D 点到面1B BC 的距离为h ， 根据等体积法11B D B C C B B D V V --=可得111133BCC BCDSh SAO ⋅=⋅代入数据可得h =，所以D 点到面1B BC . 20．已知函数()()ln xf x mx m R x=-∈． （1）若()0f x ≤恒成立，求实数m 的最小值；（2）当0m ≥时，试确定函数()f x 的极值点个数，并说明理由．【答案】（1）12e；（2）1个，理由见解析. 【分析】（1）首先将题意转化为2ln xm x ≥恒成立，设()2ln x g x x=，再利用导数求()g x 的最大值即可得到答案.（2）首先求导得到()221ln 'x mx f x x--=，令()21ln h x x mx =--，根据函数()h x 在区间()0,∞+上单调递减，20m h e -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0h e <，即可得到当0m ≥时，函数()f x 有且只有一个极值点.【详解】（1）由题意可得ln x mx x≥，即2ln xm x ≥．令()2ln x g x x =，()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，解得x =(x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；()max 12g x ge ==，所以12m e ≥，即m 的最小值为12e .（2）∵()()ln 0xf x mx m x=-≥， ∴()()2221ln 1ln '0x x mx f x m x x x ---=-=>，令()21ln h x x mx =--，∵()1'20h x mx x=--<，所以函数()h x 在区间()0,∞+上单调递减.∵me m >，∴2102m m m m h e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，()20h e me =-<，∴()00,x ∃∈+∞，使得()00h x =，∴当()00,x x ∈时，()0h x >，即()'0f x >，()f x 在区间()00,x 单调递增； 当()0x x ∈+∞时，()0h x <，即()'0f x <，()f x 在区间()0,x +∞单调递减， ∴0x x =，是函数()f x 在区间()0,∞+内的极大值点， 即当0m ≥时，函数()f x 有且只有一个极值点．21．已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为)，且经过点⎛- ⎝⎭．点M 是x 轴上一点．过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线l 与圆O ：2247x y +=相切于点N ，求MN 的长． 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题意，列出方程组，结合222a c b -=，求得,a b 的值，即可求解； （2）设直线:l x ty m =+，联立方程组，根据根与系数的关系，求得1212,y y y y +，根据2AM MB =，得出()()2222448m t t m -+=-，再结合直线与圆相切，得到22714m t =-，联立方程组求得m 的值，求得点M 的坐标，结合Rt ONM △，即可求解. 【详解】（1）由椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为)，且经过点⎛- ⎝⎭， 可得()2222222311a b c ab ⎧-==⎪⎪⎛⎨ ⎪-⎝⎭+=⎪⎩，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）设(),0M m ，直线:l x ty m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 由2AM MB =，可得122y y =-，由2214x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2224240t y tmy m +++-=， 所以12224tm y y t +=-+，212244m y y t -=+，由21222y y y =-，122222y y y y y +=-+=-，则()()2212121222y y y y y y =--+=-+⎡⎤⎣⎦，可得222242244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，化简得()()2222448m t t m -+=-．由原点O到直线的距离d =又由直线l 与圆O ：2247x y +==22714m t =-． 由()()222222448714m t t m t m ⎧-+=-⎪⎨=-⎪⎩，整理得422116160m m --=，即()()2234740m m -+=，解得243m =， 此时243t =，满足0∆>．此时M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 在Rt ONM △中，MN ==MN【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点()1,0P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（Ⅰ）:10l x -=，()22:24C x y -+=；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）由112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）直接消去参数t ，可得直线的普通方程，把cos ρθ=4两边同时乘以ρ，结合222x y ρ=+，cos x ρθ=可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2240x y x +-=，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t 的几何意义求解．【详解】解：（Ⅰ）由112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t，可得10x -=．∵cos ρθ=4，∴24cos ρρθ=，即2240x y x +-=． ∴曲线的直角坐标方程为()2224x y -+=；（Ⅱ）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2240x y x +-=，得230t +-=．设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t则12t t +=123t t =-． 不妨设10t <，20t >，∴1212121111t tPA PB t t t t ++=+===． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数t 的几何意义是解题的关键，是中档题．。
成都七中2022-2023学年度2024届高二(下)零诊模拟考试数学试题(文科)含答案
成都七中高2024届零诊模拟考试数学试题（文科）时间：120分钟 满分：150分一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分．1．直线1l ：210x y +-=与直线2l ：20ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-2．设1i2i 1iz -=++，则z 的虚部为（ ） A ．iB ．3iC ．1D ．33．一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（ ）A B ．C ．10D ．504．已知函数()f x 在其定义域R 上的导函数为()f x '，当x R ∈时，“()0f x '>”是“()f x 单调递增”的（ ） A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件5．圆C ：22(1)(1)1x y -+-=与直线l ：143x y+=的位置关系为（ ） A ．相切B ．相交C ．相离D ．无法确定6．如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为36、96，则输出的a =（ ）A ．0B ．8C ．12D ．247．直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D 、E 两点，若0OD OE ⋅=，其中O 为坐标原点，则C 的准线方程为（ ） A ．14x =-B ．12x =-C ．1x =-D ．2x =-8．函数lg y x =的图象经过变换ϕ：10,2x x y y '=⎧⎨'=+⎩后得到函数()y f x ''=的图象，则()f x =（ ）A ．1lg x -+B ．1lg x +C ．3lg x -+D ．3lg x +9．有甲、乙、丙、丁四名学生参加歌唱比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四人，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．点A 、B 在以PC 为直径的球O 的表面上，且AB BC ⊥，2AB BC ==，已知球O 的表面积是12π，下列说法中正确的个数是（ ）①BC ⊥平面PAB ；②平面PAC ⊥平面ABC ；③PB AC ⊥． A ．0B ．1C ．2D ．311．关于圆周率π，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，可通过设计如下实验来估计π值：先请100名同学每人随机写下一组正实数对(,)x y ，且要求x ，y 均小于1；再统计x 、y 和1作为三边长能形成钝角三角形的数对(,)x y 的个数m ；最后利用统计结果估计π值．假如某次实验结果得到28m =，那么本次实验可以将π值估计为（ ） A ．227B ．4715C ．7825D ．531712．函数25()log sin f x x x π=-零点个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：共45分，共20分．13．命题“0x ∀>，tan x x >”的否定为________． 14．函数()cos xf x x=的图象在x π=处的切线方程为________． 15．某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为________．16．双曲线H ：22221(,0)x y a b a b -=>其左、右焦点分别为1F 、2F ，倾斜角为3π的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设双曲线H 右顶点为A ，若226PF AF ≥，则双曲线H 的离心率的取值范围为________．三、解答题：共5道大题，共70分．17．（12分）设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，（1）求(1)f '-、(1)f 的值； （2）求()f x 在[0,2]上的最值．18．（12分）如图1，E 、F 、G 分别是边长为4的正方形的三边AB 、CD 、AD 的中点，先沿着虚线段FG 将等腰直角三角形FDG 裁掉，再将剩下的五边形ABCFG 沿着线段EF 折起，连接AB 、CG 就得到了一个空间五面体，如图2．（1）若O 是四边形EBCF 对角线的交点，求证：AO ∥平面GCF ； （2）若23AEB π∠=，求三棱锥A BEF -的体积． 19．（12分）信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018-2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018-2022年对应的代码依次为1~5．（1）从2018-2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型xy a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a ，b 的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．参考数据：其中ln i i v y =，5115i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，，(),n n u w ，其回归直线ˆˆˆwu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni ii nii uw nuwunu β==-=-∑∑，ˆˆw u αβ=-． 20．（12分）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为O ．已知T 为x 轴上动点，直线BT 与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为(-，直线PT 与y 轴交于点Q ．当T 与F 重合时，有||||PB PT =，且2BT BP BQ =+． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 的横坐标为t ，且(0,1)t ∈，当DTQ △时，求t 的取值． 21．（12分）设函数()xf x e ax =-，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；（2）若1a =，设()f x '为()f x 的导函数，当1t >时，有11(ln )(ln )ln f t f t tλλ+>+''-，求正实数λ的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 和直线l的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和：sin 4x πρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭M ，N 两个不同点． （1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=，求a 的值．成都七中高2024届零诊模拟考试数学参考答案（文科）一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分．二、填空题：共4道小题，每题5分，共20分．13．00x ∃>，00tan x x ≤ 14．0x y += 15．80.5 16．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：共5道大题，共70分．17．（12分）解：（1）由题设知2(1)()22f f x x x '-'=-+，取1x =-，则有(1)(1)32f f '-'-=+，即(1)6f '-=； 也即3213()2(1)32f x x x x f =-+-，取1x =，则有5(1)(1)6f f =-，即5(1)12f =．故(1)6f '-=，5(1)12f =．（2）由（1）知32135()2f x x x x =-+-，2()32(1)(2)f x x x x x '=-+=--，故max ()(1)12f x f ==，min ()(0)12f x f ==-． 18．（12分）解：（1）在图2中取线段CF 中点H ，连接OH 、GH ，如图所示：由图1可知，四边形EBCF 是矩形，且2CB EB =， ∴O 是线段BF 与CE 的中点，∴OH BC ∥且12OH BC =，图1中AG EF ∥且12AG EF =，而EF BC ∥且EF BC =． 所以在图2中，AG BC ∥且12AG BC =，∴AG OH ∥且AG OH =，∴四边形AOHG 是平行四边形，则AO HG ∥， 由于AO ⊂/平面GCF ，HG ⊂平面GCF ， ∴AO ∥平面GCF ．（2）∵EF AE ⊥，EF BE ⊥，AE ，BE ⊂面ABE ，AEBE E =，∴EF ⊥平面ABE ，121sin 22232ABE S AE BE π=⋅⋅=⨯⨯=△所以114333A BEF F ABE ABE V V S EF --==⋅==△， 即三棱锥A BEF -的体积为3． 19．（12分）解：（1）从2018-2022年中国信创产业规模中任取2个数据有(8.1,9.6)，(8.1,11.5)，(8.1,13.8)，(8.1,16.7)，(9.6,11.5)，(9.6,13.8)， (9.6,16.7)，(11.5,13.8)，(11.5,16.7)，(13.8,16.7)，共10种情况．其中这2个数据都大于10的有(11.5,13.8)，(11.5,16.7)，(13.8,16.7)，共3种情况， 所以2个数据都大于10的概率310P =． （2）xy a b =⋅两边同时取自然对数， 得()ln ln ln ln xy a ba xb =⋅=+，则ln ln v a x b =+．因为3x =， 2.45v =，52155ii x==∑，所以5152221538.5253 2.45ln 0.17755535i i i ii x v xvb xx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ln ln 2.450.1773 1.919a v x b =-⋅=-⨯=，所以ˆ 1.9190.177v x =+， 即ln 1.9190.177y x =+，所以 1.9190.177ˆe 6.81 1.19xx y+==⨯，即y 关于x 的回归方程为ˆ 6.81 1.19xy=⨯． 2023年的年份代码为6，把6x =代入ˆ 6.81 1.19xy =⨯， 得6ˆ 6.81 1.19 6.81 2.8419.3420y=⨯=⨯≈<， 所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元． 20．（12分）解：（1）设(,0)F c -，由2BT BP BQ =+知2()20c -=-+，即1c =， 由||||PB PT =知2222(20))[2(1)]0)b --+=---+，即b =则2a =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）直线BT的方程为x y =，与22143x y +=联立，可得()222243120t y y t +-+-=，且0>△，有223124D t y t -=+，即D y =；直线PT的方程为2x y +=-，令0x =，可得2Q y t =+；由sin sin DTQ PTBS y y QT DT DTQ QT DT S PT BT BTP PT BT ⋅-⋅⋅∠⋅===⋅⋅∠⋅△△3Q D DTQ PTB y yS S =-△△， 即2224DTQt t S t -=+△，(0,1)t ∈．22245t t t -=+，解得23t =，或1t =（舍去）． 故t 的取值为23． 21．（12分）解：（1）由()xf x e ax =-知()xf x e a '=-，1）当a e ≤时，且有[1,)x ∈+∞，()0f x '≥，()f x 单增，故无极值；2）当a e >时，有(1,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 单减，而(ln ,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单增，故()(ln )ln f x f a a a a ==-极小值，()f x 无极大值．综上，当a e ≤时，()f x 无极值；当a e >时，()f x 极小值为ln a a a -，()f x 无极大值． （2）由（1）可知()1xf x e '=-，即有1111ln t t t tλλ+>+--， 整理可令得(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，而()22221(1)1(1)()(1)(1)t t F t t t t t λλλλ--+'=-=++， 1）当1λ≥时，且(1,)t ∈+∞，有22(1)()0(1)t F t t t λ-'≥>+，()F t 单增，()(1)0F t F >=，满足题设； 2）当01λ<<时，且211,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()0F t '<，()F t 单减，()(1)0F t F <=，不满足题设； 综上，λ的取值范围为[1,)+∞． 22．（10分）解：（1）由2sin 2cos a ρθθ=+，得22sin 2cos a ρρθρθ=+，故曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即222()(1)1x a y a -+-=+；由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ-=， 故直线l 的直角坐标方程为2y x =+．（2）点P 的直角坐标为(2,0)-，在直线l 上，而直线l的标准参数方程为22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 将其代入2222x y y ax +=+，整理可得2)440t t a -++=． 由题设知222(3)4(44)2(1)0a a a ∆=+-+=->，解得1a ≠．又12t t +=，1244t t a =+．当1a >-，且1a ≠时，有1t ，20t >，则1212||||3)PM PN t t t t a +=+=+=+=解得2a =；当1a ≤-时，有120t t ≤，则1212||||1|PM PN t t t t a +=+=-==-= 解得4a =-． 故a 的值为2或4-．。
2024届四川省成都市高三零诊模拟考试数学(文)试题【含答案】
高2024届零诊模拟考试数学试题（文科）一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分．1.直线1l ：210x y +-=与直线2l：20ax y ++=平行，则=a （）A.12B.12-C.2D.2-A【分析】由两直线平行得到方程和不等式，求出答案.【详解】由题意得1120120a a ⨯-=⎧⎨⨯+≠⎩，解得12a =.故选：A 2.设1i2i 1iz -=++，则z 的虚部为（）A.i B.3iC.1D.3C【分析】利用复数的除法及加减运算求解作答.【详解】依题意，(1i)(1i)2i2i=2i i 2i i (1i)(1i)2z ---=++=-+=+-，所以复数z 的虚部为1.故选：C3.一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（） A.10 B.52C.10D.50A【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意这组数据的平均数为4748515455515++++=，所以方差为()()()()()22222147514851515154515551105⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，则标准差为10.故选：A4.已知函数()f x 在其定义域R 上的导函数为()f x '，当x ∈R 时，“()0f x '>”是“()f x 单调递增”的（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件D【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为函数()f x 在其定义域R 上的导函数为()f x '，若当x ∈R 时，()0f x '>，则()f x 单调递增，故充分性成立；若()f x 在R 上单调递增，则()0f x '≥，如()3f x x =，显然函数()f x 在R 上单调递增，但是()230f x x '=≥，故必要性不成立；故“()0f x '>”是“()f x 单调递增”的充分不必要条件.故选：D5.圆C ：22(1)(1)1x y -+-=与直线l ：143x y+=的位置关系为（）A.相切 B.相交C.相离D.无法确定A【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】圆C ：22(1)(1)1x y -+-=的圆心为()1,1C ，半径1r =，直线l ：143x y+=即34120x y +-=，则圆心到直线的距离223412134d r +-===+，所以直线l 与圆C 相切.故选：A6.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为36、96，则输出的=a （）A.0B.8C.12D.24C【分析】根据题意，由程序框图，逐步运算，即可得出结果.【详解】第一步：初始值36a =，96b =；此时a b ¹；进入循环；第二步：3696a =<，计算963660b =-=，此时3660≠，进入循环；第三步：3660a =<，计算603624b =-=，此时3624≠，进入循环；第四步：3624a =>，计算362412a =-=，此时1224≠，进入循环；第五步：1224a =<，计算241212b =-=，此时1212=，结束循环，输出12a =.故选：C.本题主要考查循环程序框图求输出值，属于基础题型.7.直线2x =与抛物线()2:20C y px p =>交于D 、E 两点，若0OD OE ⋅=，其中O 为坐标原点，则C 的准线方程为（）A.14x =- B.12x =-C.=1x -D.2x =-B【分析】求出点D 、E 的坐标，根据0OD OE ⋅=求出p 的值，即可得出抛物线C 的准线方程.【详解】不妨设点D 在第一象限，则点E 在第四象限，联立222x y px =⎧⎨=⎩可得22x y p=⎧⎪⎨±⎪⎩，则点()2,2D p 、()2,2E p -，所以，440OD OE p ⋅=-= ，解得1p =，因此，C 的准线方程为122p x =-=-.故选：B.8.函数lg y x =的图象经过变换10:2x xy y ϕ''=⎧⎨=+⎩后得到函数()y f x ''=的图象，则()f x =（）A.1lg x -+ B.1lg x+ C.3lg x-+ D.3lg x+B【分析】由已知可得出102x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=-⎩，代入lg y x =可得出()f x '的表达式，即可得出()f x 的表达式.【详解】由已知可得102x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=-⎩，代入lg y x =可得2lg lg 110x y x '''-==-，则lg 1y x ''=+，即()lg 1f x x ''=+，因此，()lg 1f x x =+.故选：B.9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（）A.甲 B.乙C.丙D.丁C【分析】逐一验证即可.【详解】若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意故获奖的歌手是丙故选：C10.点A 、B 在以PC 为直径的球O 的表面上，且AB BC ⊥，2AB BC ==，已知球O 的表面积是12π，下列说法中正确的个数是（）①BC ⊥平面PAB ；②平面PAC ⊥平面ABC ；③PB AC ⊥．A.0B.1C.2D.3C【分析】利用线面垂直的判定定理可判断命题①；取线段AC 的中点M ，连接OM ，利用球体的几何性质可得出OM ⊥平面ABC ，再利用中位线的性质结合面面垂直的判定定理可判断②；利用反证法可判断③.【详解】对于①，因为PC 为球O 的直径，B 为球O 上异于P 、C 的一点，所以，BC PB ⊥，又因为BC AB ⊥，PB AB B ⋂=，PB 、AB ⊂平面PAB ，所以，BC ⊥平面PAB ，①对；对于②，取线段AC 的中点M ，连接OM ，因为AB BC ⊥，则M 为ABC 外接圆的圆心，由球的几何性质可知OM ⊥平面ABC ，因为O 、M 分别为PC 、AC 的中点，则//OM PA ，则PA ⊥平面ABC ，又因为PA ⊂平面PAC ，因此，平面PAC ⊥平面ABC ，②对；对于③，因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以，PA AC ⊥，若PB AC ⊥，且PA PB P = ，PA 、PB ⊂平面PAB ，则AC ⊥平面PAB ，因为AB ⊂平面PAB ，则AC AB ⊥，事实上，因为AB BC ⊥，且2AB BC ==，则ABC 为等腰直角三角形，且45BAC ∠= ，这与AC AB ⊥矛盾，假设不成立，故PB 与AC 不垂直，③错故正确命题为①②.故选：C.11.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请100名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如某次统计结果是28m =，那么本次实验可以估计π的值为（）．A.227B.4715C.7825D.5317C【分析】根据约束条件22110x y x y +>⎧⎨+-<⎩画出可行域，得到面积，根据几何概型得到答案.【详解】∵0101x y <<⎧⎨<<⎩而满足构成钝角三角形，则需22110x y x y +>⎧⎨+-<⎩画出图像：弓形面积：28π110042=-，∴78π25=．故选C本题考查了几何概型，画出图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.12.函数()25πlog sin f x x x =-零点个数为（）A.4B.3C.2D.1B【分析】作出函数25πlogy x =、sin y x =的图象，观察两个函数图象的公共点个数，可得出结论.【详解】令()0f x =可得25πlog sin x x =，作出函数25πlogy x =、sin y x =的图象如下图所示：当5π2x >时，225π5π5πlog log 12x <=-，又因为1sin 1x -≤≤，所以，函数25πlog y x =、sin y x =在5π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的图象没有交点，观察图象可知，函数25πlogy x =、sin y x =的图象有三个交点，因此，函数()f x 的零点个数为3.故B.二、填空题：共4道小题，每题5分，共20分．13.命题“0x ∀>，tan x x >”的否定为________．00x ∃>，00tan x x ≤【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解.【详解】命题“0x ∀>，tan x x >”为全称量词命题，其否定为：00x ∃>，00tan x x ≤.故00x ∃>，00tan x x ≤14.函数()cos xf x x=的图象在πx =处的切线方程为________．0x y +=【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程.【详解】因为()cos xf x x=，则()πππcos πf ==-，2cos s ()cos in x x x x f x +'=，则()21cos si ππππc n os πf +'==-，所以切线方程为()()ππy x --=--，整理得0x y +=.故0x y +=15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为________．80.5【分析】根据所有矩形面积之和为1求出a 的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得这1000名学生平均成绩.【详解】由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，可得()0.0050.0220.04101a ++⨯+⨯=，解得0.015a =，由频率分布直方图可知，这1000名学生平均成绩的估计值为550.05650.15750.2850.4950.280.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.故答案为80.516.双曲线H ：22221(,0)x y a b a b -=>其左、右焦点分别为1F 、2F ，倾斜角为3π的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设双曲线H 右顶点为A ，若226PF AF ≥，则双曲线H 的离心率的取值范围为________．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】设2PF m =，则12PF a m =+，然后在12PF F △中利用余弦定理列方程可表示出m ，再由226PF AF ≥可求出离心率的范围【详解】设2PF m =，则12PF a m =+，因为直线2PF 的倾斜角为3π，所以212π3PF F ∠=，在12PF F △中，由余弦定理得2221212212212cos PF PF F F PF F F PF F =+-∠，2222π(2)(2)22cos3a m m c m c +=+-⋅，22224442a am m m c mc ++=++得22222c a m a c-=-，因为226PF AF ≥，所以22226()2c a c a a c-≥--得32c a a c +≥-，4502c aa c -≥-，所以(45)(2)020c a a c a c --≥⎧⎨-≠⎩，所以(45)(2)020e e e --≥⎧⎨-≠⎩，解得524e ≤<，即双曲线H 的离心率的取值范围为5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭故5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭关键点睛：此题考查求双曲线的离心率的范围，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是根据题意在12PF F △中利用余弦定理表示出2PF ，然后代入已知条件中可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题.三、解答题：共5道大题，共70分．17.设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，（1）求(1)f ¢-、(1)f 的值；（2）求()f x 在[0,2]上的最值．（1）(1)6f '-=，5(1)12f =（2）max 5()12=f x ，min 5()12=-f x 【分析】（1）求出函数的导函数，令=1x -求出(1)f ¢-，再令1x =求出()1f ；（2）由（1）可得32135()23212f x x x x =-+-，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.【小问1详解】因为321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，所以2(1)()22f f x x x '-'=-+，取=1x -，则有(1)(1)32f f '-'-=+，即(1)6f '-=；所以3213()2(1)32f x x x x f =-+-，取1x =，则有5(1)(1)6f f =-，即5(1)12f =．故(1)6f '-=，5(1)12f =．【小问2详解】由（1）知32135()23212f x x x x =-+-，[]0,2x ∈，则2()32(1)(2)f x x x x x '=-+=--，所以x 、()f x '与()f x ，[]0,2x ∈的关系如下表：x(0,1)1(1,2)2()f x '+-()f x 512-单调递增极大值512单调递减14故max 5()(1)12f x f ==，min 5()(0)12f x f ==-．18.如图1，E 、F 、G 分别是边长为4的正方形的三边AB 、CD 、AD 的中点，先沿着虚线段FG 将等腰直角三角形FDG 裁掉，再将剩下的五边形ABCFG 沿着线段EF 折起，连接AB 、CG 就得到了一个空间五面体，如图2．（1）若O 是四边形EBCF 对角线的交点，求证：//AO 平面GCF ；（2）若2π3AEB ∠=，求三棱锥A BEF -的体积．（1）证明见解析（2）433【分析】（1）在图2中取线段CF 中点H ，连接OH 、GH ，证明出四边形AOHG 是平行四边形，可得出//AO HG ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出EF ⊥平面ABE ，计算出ABE 的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥A BEF -的体积．【小问1详解】证明：在图2中取线段CF 中点H ，连接OH 、GH ，如图所示：由图1可知，四边形EBCF 是矩形，且2CB EB =，因为O 是线段BF 与CE 的中点，所以，//OH BC 且12OH BC =，在图1中，//AG EF 且12AG EF =，而//EF BC 且EF BC =．所以在图2中，//AG BC 且12AG BC =，所以，//AG OH 且AG OH =，所以，四边形AOHG 是平行四边形，则//AO HG ，由于AO ⊄平面GCF ，HG ⊂平面GCF ，所以，//AO 平面GCF ．【小问2详解】解：翻折前，EF AE ⊥，EF BE ⊥，翻折后，则EF AE ⊥，EF BE ⊥，AE 、BE ⊂面ABE ，AE BE E =I ，所以，EF ⊥平面ABE ，因为12π13sin 2232322ABE S AE BE =⋅⋅=⨯⨯⨯=△，所以114334333A BEF F ABE ABE V V S EF --==⋅=⨯⨯=，即三棱锥A BEF -的体积为433．19.信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．年份代码x12345中国信创产业规模y /千亿元8.19.611.513.816.7（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a ，b 的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．参考数据：v51i ii x v=∑ 1.919e 0.177e 61.192.4538.526.811192.84其中ln i i v y =，5115i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线 wu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1221ni ii ni i u w nuwu nu β==-=-∑∑， w u αβ=+．（1）310（2） 6.811.19x y =⨯，不会超过20千亿元．【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得2个数据都大于10的概率为310；（2）将指数型函数模型x y a b =⋅两边取对数可得ln ln ln y a x b =+，即ln ln v a x b =+，再利用参考数据可得回归方程为 6.811.19x y =⨯，将2023年的年份代码6代入可得19.3420y ≈<$，即可得出结论.【小问1详解】从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有()8.1,9.6，()8.1,11.5，()8.1,13.8，()8.1,16.7，()9.6,11.5，()9.6,13.8，()9.6,16.7，()11.5,13.8，()11.5,16.7，()13.8,16.7，共10种情况．其中这2个数据都大于10的有()11.5,13.8，()11.5,16.7，()13.8,16.7，共3种情况，所以2个数据都大于10的概率310P =．【小问2详解】x y a b =⋅两边同时取自然对数，得()ln ln ln ln xy a ba xb =⋅=+，则ln ln v a x b =+．因为3x =， 2.45v =，52155ii x==∑，所以5152221538.5253 2.45ln 0.17755535i i i ii x v xvb xx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ln ln 2.450.1773 1.919a v x b =-⋅=-⨯=，所以 1.9190.177vx =+ ，即 ln 1.9190.177y x =+，所以 1.9190.177e 6.81 1.19x x y +==⨯$，即y 关于x 的回归方程为 6.811.19x y =⨯．2023年的年份代码为6，把6x =代入 6.811.19x y =⨯，得 66.811.19 6.81 2.8419.3420y =⨯=⨯≈<，所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元．20.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为O ．已知T 为x 轴上动点，直线BT与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为()2,3-，直线PT 与y 轴交于点Q ．当T 与F 重合时，有PB PT = ，且2BT BP BQ =+．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 的横坐标为t ，且(0,1)t ∈，当DTQ △面积等于35时，求t 的取值．（1）22143x y +=（2）23【分析】（1）由2BT BP BQ =+结合平面向量的坐标运算可求得c 的值，由PB PT = 结合平面内两点间的距离公式可求出b 的值，进而可求得a 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）将直线BT 的方程与椭圆C 的方程联立，求出点D 的纵坐标，写出直线PT 的方程，可得出点Q 的纵坐标，由()33DTQ Q D PTBS y y S ⋅-=⋅△△可得出22234DTQt t S t -=⋅+△，再结合DTQ △面积等于35可求得t 的值.【小问1详解】解：设(,0)F c -，由2BT BP BQ =+知2202c -=-+=-，即1c =，由PB PT =知2222(20)(3)[2(1)](30)b --+-=---+-，即3b =，则222a b c =+=，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．【小问2详解】解：直线BT 的方程为(3)3t x y =--，联立22(3)3143t x y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩联立可得()22224233120t y t y t +-+-=，且()()42212443121920t t t ∆=-+-=>，，所以，2231234D t y t -⋅=+，即()22344D t y t -=+，直线PT 的方程为22(3)3t x y ++=--，令0x =，可得32Q ty t =+，由()sin sin 33DTQ Q D PTBS y y QT DT DTQ QT DT S PT BT BTPPT BT⋅-⋅⋅∠⋅===⋅⋅∠⋅⋅△△知3Q D DTQ PTBy y S S =-△△，即22234DTQt t S t -=⋅+△，(0,1)t ∈，而2223345t t t -⋅=+，解得23t =，或1t =（舍去），故t 的取值为23．21.设函数()e x f x ax =-，其中R a ∈．（1）讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；（2）若1a =，设()f x '为()f x 的导函数，当1t >时，有11(ln )(ln )ln f t f t tλλ+>+''-，求正实数λ的取值范围．（1）答案见解析（2）[1,)+∞【分析】（1）求出函数的导函数，分e a ≤、e a >两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值；（2）依题意可得1111ln t t t t λλ+>+--，整理得(1)(1)ln 01t t t λλ+-->+，令(1)(1)()ln 1t F t t t λλ+-=-+，()1,t ∈+∞，求出函数的导函数，分1λ≥、01λ<<两种情况讨论，结合函数的单调性，即可得解.【小问1详解】由()e x f x ax =-知()e '=-x f x a ，①当e a ≤时，且有[1,)x ∈+∞，()0f x '≥，()f x 单调递增，故无极值；②当e a >时，有(1,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，而(ln ,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，故()(ln )ln f x f a a a a ==-极小值，()f x 无极大值．综上，当e a ≤时，()f x 无极值；当e a >时，()f x 极小值为ln a a a -，()f x 无极大值．【小问2详解】当1a =时由（1）可知()e 1x f x '=-，即有1111ln t t t tλλ+>+--，由1t >整理可得(1)(1)ln 01t t t λλ+-->+，令(1)(1)()ln 1t F t t t λλ+-=-+，()1,t ∈+∞，所以()22221(1)1(1)()(1)(1)t t F t t t t t λλλλ--+'=-=++，①当1λ≥时，且(1,)t ∈+∞，有22(1)()0(1)t F t t t λ-'≥>+，()F t 单调递增，()(1)0F t F >=，满足题设；②当01λ<<时，且当211,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()0F t '<，()F t 单调递减，()(1)0F t F <=，不满足题设；综上，λ的取值范围为[1,)+∞．22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 和直线l 的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和：πsin 24x ρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．且二者交于M ，N 两个不同点．（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(2,π)，||||52PM PN +=，求a 的值．（1）()()2221+1-+-=x a y a ，2y x =+（2）2或4-【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标方程互化公式进行求解；（2）先判断出P 的直角坐标为(2,0)-，在直线l 上，写出直线l 的标准参数方程，代入曲线的普通方程中，得到1a ≠，分1a >-且1a ≠，1a ≤-两种情况，列出方程，求出答案.【小问1详解】由2sin 2cos a ρθθ=+，得22sin 2cos a ρρθρθ=+，故曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即222()(1)1x a y a -+-=+；由πsin 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，故直线l 的直角坐标方程为2y x =+．【小问2详解】因为π2,2sin π02cos =-=，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，在直线l 上，而直线l 的标准参数方程为22222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入2222x y y ax +=+，整理可得2(322)440t a t a -+++=．由题设知222(3)4(44)2(1)0a a a ∆=+-+=->，解得1a ≠．又12322t t a +=+，1244t t a =+．当1a >-，且1a ≠时，有1t ，20t >，则1212||||2(3)52PM PN t t t t a +=+=+=+=，解得2a =，满足要求；当1a ≤-时，有120t t ≤，则()()212122121||||21524PM PN t t t t t t t a t +=+==--+-==，解得4a =-，满足要求．故a 的值为2或4-．。
2024年四川省成都市石室中学高二下学期零诊模拟数学试题及答案
成都石室中学2023～2024学年度下期高2025届零诊模拟考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如下，则函数()f x 有A ．1个极大值点，1个极小值点B ．2个极大值点，2个极小值点C ．3个极大值点，1个极小值点D ．1个极大值点，3个极小值点2．已知数列{}n a 是等比数列，若2a ，48a 是22760x x -+=的两个根，则12254849a a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为A ．354B．C．±D ．2433．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，B 为B 的对立事件，则事件A B +发生的概率为A ．13B ．12C ．23D ．564．若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+∞上是减函数，则b 的取值范围是A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-5．某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单．如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种6．若随机变量X 的可能取值为1,2,3,4，且()P X k k λ==（1,2,3,4k =），则()D X =A ．1B ．2C ．3D ．4xy1x x 4O2x 3x ∙∙∙∙7．A 、B 两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片．如果某人已赢得所有卡片，该游戏终止．那么恰好掷完5次硬币时游戏终止的概率是A ．116B ．332C ．18D ．3168．在2024(x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S，当x =S 等于A ．30352B ．30352-C ．30362D ．30362-二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数3()1f x x x =++，则A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有一个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线10．已知X ，Y 都是服从正态分布的随机变量，且211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，其中12,R μμ∈，12,R σσ+∈，则下列命题正确的有A ．1()E X μ=B ．1()D X σ=C ．若12μ=，11σ=，则(1)(3)1P X P X ≤+≤=D ．若120μμ==，12σ=，23σ=，则(||1)(||1)P X P Y ≤>≤11．斐波那契数列{}n f 满足121f f ==，21n n n f f f ++=+（*N n ∈）．下列命题正确的有A ．28791f f f =+B ．存在实数λ，使得1{}n n f f λ+-成等比数列C ．若{}n a 满足11a =，111n n a a +=+（*N n ∈），则1n n nf a f +=D ．012345678910201918171615141312111020C C C C C C C C C C C f ++++++++++=第II 卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．函数()2cos f x x x =+（π02x <<）的最大值为．13．甲乙二人同时向某个目标射击一次．甲命中的概率为45，乙命中的概率为35，且两人是否命中目标互不影响．若目标恰被击中一次，则甲命中目标的概率为．14．数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=-+（*N n ∈），则122024111m a a a =+++L 的整数部分是．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的公差；（2）求数列{2}n a 的前n 项和n S ．16．（本小题15分）如图所示，斜三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成角为3π，且侧面11ABB A ⊥底面ABC ．（1）证明：点1B 在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点；（2）求二面角1C AB B --的正切值．17．（本小题15分）已知函数2()()e x f x x ax a -=++（a 为常数，e 为自然对数的底）在0x =时取得极小值．（1）试确定a 的取值范围；（2）当a 变化时，设由()f x 的极大值构成的函数为()g a ，试判断曲线()y g x =只可能与直线230x y m -+=、320x y n -+=（m ，n为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．18．（本小题17分）椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率22e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1e -，直线l 与y 轴交于点(0,)P m （0m ≠），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且4OA OB OP λ+=uur uu u r uu u r ．（1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围．19．（本小题17分）为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼塘中捞出m 条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘．一段时间后，再从鱼塘中捞出n 条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数N ．已知200m =，设第二次捞出的n 条鱼中身上有标记的鱼的数目为随机变量X ．（1）若已知4000N =，40n =．①求X 的均值；②是否有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼（即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于0.9）？（2）若700n =，其中身上有标记的鱼有30条，估计池塘中鱼的总数（将使(30)P X =最大的N 作为估计值）．参考数据：lg3.760.5752≈，lg3.80.5798≈，lg3.960.5977≈，lg 40.6021≈．成都石室中学2023～2024学年度下期高2025届零诊模拟考试数学参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．A ．2．C ．3．C ．4．C ．5．B ．6．A ．7．D ．8．B ．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．BC ．10．ACD ．11．BC ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．π6+．13．811．14．1．四、解答题：共73分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由题意，2(12)18d d +=+，（3分）解得1d =或0d =．（6分）（2）由（1）因此数列{}n a 的通项公式为1n a =或n a n =．（8分）由于22n a =或22n a n =，（10分）由等比数列前n 项和公式得2n S n =或12(12)2212n n n S +-==--．（13分）注：漏掉0d =的扣5分．16．证明：（1）过1B 作1B O AC ⊥于O ，（2分）由平面11ABB A ⊥平面ABC 得1B O ⊥平面ABC ，因此160B BA ∠=︒，（5分）从而1ABB V 为等边三角形，O 为AB 中点．（7分）（2）由于ABC V 是等边三角形，所以CO AB ⊥而平面11ABB A ⊥平面ABC ，所以CO ⊥平面1ABB ．（10分）过O 作1OH AB ⊥于H ，连接CH ，则OHC ∠是二面角1C AB B --的平面角．（13分）由于CO =，CH =tan 2OHC ∠=．因此二面角1C AB B --的正切值为2．（15分）17．解：（1）2()e [(2)]x f x x a x -'=---．（2分）当2a =时，()f x 无极值；当2a <时，0x =是()f x 的极小值点；当2a >时，0x =是()f x 的极大值点．因此2a <．（7分）（2）2x a =-是()f x 的极大值点．因此2()(2)e (4)a g a f a a -=-=--（2a <）．于是2()e (3)x g x x -'=--．（10分）令2()e (3)x h x x -=--，则2()e (2)x h x x -'=--，故()h x 在(,2)-∞上单调递增，()(2)1h x h <=，即()1g x '<恒成立．（13分）所以曲线()y g x =的切线的斜率可能为23，不可能为32，即只可能与230x y m -+=相切．（15分）18．解：（1）设椭圆的方程为22221y x a b +=（0a b >>），c，则2c a =．（2分）由题意，1a c -=-（5分）解得1a =，22b c ==，因此椭圆的方程为2221x y +=．（8分）（2）由题意可知3λ=．（10分）显然直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y kx m =+．联立方程消去y ，得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=，224(22)0k m ∆=-+>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12222kmx x k +=-+，212212m x x k -=+．（12分）由于1230x x +=，即123x x =-．因此1222x x x +=-，从而1232km x k -=+，222kmx k =+，所以2221222231(2)2k m m x x k k --==++，整理得22224220k m m k +--=，（15分）22222041m k m -=>-，解得112m -<<-或112m <<．经检验，此时0∆>．因此m 的取值范围是11(1,(,1)22--U ．（17分）19．解：（1）①由题意可知X 服从超几何分布，则40200()24000E X ⨯==．（3分）（2）②由于(1)1(0)P X P X ≥=-=，而404038004040003800379937613760(0)()4000399939613960C P X C ⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯L L ，（5分）从而lg (0)40(lg3.76lg3.96)0.91P X =>-≈->-，（7分）因此(0)0.1P X =>，(1)0.9P X ≥<，所以没有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼．（8分）（2）由题意，30670200200700(30)N NC C P X C -==且700(20030)870N ≥+-=．（9分）只需求使得670200700N N NC a C -=最大的N ．由于(200)!700!(700)!!670!(870)!N N N a N N -⨯⨯-=⨯⨯-，1(199)!700!(699)!(1)!670!(869)!N N N a N N +-⨯⨯-=+⨯⨯-，（11分）从而1(200)!700!(700)!670!(869)!N N N N a a N N N N N N +-⨯⨯--=---+-+⨯⨯-(200)!700!(700)!670!(869)!N N N N N -⨯⨯-=⨯+-+-++⨯⨯-(200)!700!(700)!670!(869)!N N N N N -⨯⨯-=--+-+--+⨯⨯-(200)!700!(700)!(13997030)(1)!670!(869)!N N N N N -⨯⨯-=-+⨯⨯-（14分）因此，当4665N ≤时，1N N a a +>，当4666N ≥时，1N N a a +<．所以，当4666N =时，(30)P X =最大．综上所述，N 的估计值为4666．（17分）注：第（2）问用70020030⨯来计算的，结果是4666的得2分，结果是4667的不得分．。
2020年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科) (含答案解析)
2020年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=(i+1)(i−2)，则复数z的虚部是()A. 1B. −1C. 3D. −32.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，集合M={0,1}，N={0,1，2}，则(∁U M)∩N=()A. {0,2}B. {1,2}C. {2}D. {0}3.某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n为()A. 75B. 85C. 90D. 1004.曲线y=x3+x+1在点(1,3)处的切线方程是()A. 4x−y−1=0B. 4x+y−1=0C. 4x−y+1=0D. 4x+y+1=05.已知α为锐角，sinα=13，则sin2α等于()A. 89B. 4√29C. −79D. −896.函数f(x)=sinx⋅ln x−1x+1的大致图象为()A. B.C. D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 5B. 4C. 3D. 28. 函数y =3sin(2x +π3)的对称轴方程是( )A. x =kπ+π3，k ∈Z B. x =kπ2+π12，k ∈ZC. x =2kπ−π12，k ∈ZD. x =2kπ−π3，k ∈Z9. 如图，已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA =AD =2，AB =1.则点A 到平面MBC 的距离为( )．A. √52 B. 2√55 C. 2√33 D. √5310. 已知倾斜角为135°的直线交双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)于A ，B 两点，若线段AB 的中点为P(2,−1)，则双曲线的离心率是( )A. √3B. √2C. √62D. √5211. 已知⊙O ：x 2+y 2=4及点A(1,3)，BC 为⊙O 的任意一条直径，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6B. 5C. 4D. 不确定12. 函数f(x)满足，若存在a ∈[−2,1]，使得f(2−1m )≤a 3−3a −2−e 成立，则m 的取值范围是( )A. [23,1]B. [23,+∞)C. [1,+∞)D. [12,23]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数{2x +1(x ≥0)2x (x <0)，已知f[f(x)]=2，则x =______．14. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c.若∠A =π3，AC =4，S △ABC =3√3，则a+b sinA+sinB=___________15.已知直线y=x−1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为__________，若OA⊥OB，则p的值为__________．16.已知底面是直角三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，若球0的表面积为3π，则这个直三棱柱的体积是___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为0的等差数列{a n}满足a3=9，a2是a1，a7的等比中项．(1)求{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=1，求{b n}的前n项和S n．n(a n+7)18.如图，正四棱锥P−ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，(Ⅰ)求证：平面EBD⊥平面PAC；(Ⅱ)求三棱锥E−PBD的体积．19. 某企业为了提高企业利润，从2015年至2019年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：(1)记ω=年利润增长量−投资金额，现从2015年至2019年这5年中抽出两年进行调查分析，求所抽两年都是ω>2万元的概率；(2)请用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程；如果2020年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元，试估计该企业在2020年的年利润增长量为多少？参考公式：b ̂=i −x )(i −y )ni=1∑(x −x )2n =∑x i y i −nxyni=1∑x i2−nx2n i=1，a ˆ=y −b ˆx ； 参考数据：∑x i y i 5i=1=286，∑x i 2n i=1=190．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−1,0)、F 2(1,0)，上、下顶点分别为B 1、B 2，且△B 1F 1F 2为等边三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)设点M(4,0)，直线B 1M 与椭圆E 相交于另一点A ，证明：A ，F 2，B 2三点共线．21. 函数(1)当−2<a <0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m ≥1时，不等式f(2m −1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα.(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ=4cosθ． (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点A (1,0)，且C 1和C 2的交点分别为点M ，N ，求1|AM |+1|AN |的取值范围．23.已知函数f(x)=|x|+|2x−1|．(1)求不等式f(x)<3的解集；(2)若存在α∈(0,π)，使得关于x的方程f(x)=msinα恰有一个实数根，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：z=(i+1)(i−2)=−3−i．则复数z的虚部是−1．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．根据集合补集和交集的定义进行求解即可．解：由条件可得∁U M={−2,−1,2}，则(∁U M)∩N={2}．故选：C．3.答案：C解析：解：由分层抽样的定义得10001400+1200+1000=25n，即10003600=25n，得n=90，故选：C．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4.答案：A解析：解：∵y=x3+x+1，∴y′=3x2+1令x=1得切线斜率4，∴切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0故选A．求出导函数，将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程．本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．5.答案：B解析：本题考查了二倍角公式和同角三角函数基本关系式，属于基础题．通过已知条件求出，再通过二倍角公式求出．解：∵sinα=13，α为锐角，∴cosα=2√23，∴sin2α=2sinα·cosα=2×13×2√23=4√29．6.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号是否对应，属于一般题．判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合f(3)的符号是否对应，进行排除即可．解：由题可得，f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，f(−x)=−sinx⋅ln −x−1−x+1=−sinx⋅lnx+1x−1=sinx⋅ln x−1x+1=f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，f(3)=sin3ln12<0，排除B，故选：D．7.答案：A解析：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目．解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=20，i=2，否；S=10，i=3，否；S=103，i=4，否；S=103×4=56<1，i=5，是，输出i=5.故选A．8.答案：B解析：本题考查正弦函数的图象与性质，是基础题．令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，解得x即可．解：令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，得x=12kπ+π12(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴为x=12kπ+π12(k∈Z)，故选B．9.答案：B解析：解：∵BC⊥平面PAB，AD//BC，∴AD⊥平面PAB，∴PA⊥AD，∵PA⊥AB，且AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，取AB的中点F，连结MF，则MF//PA，∴MF⊥平面ABCD，且MF=12PA=1，设点A 到平面MBC 的距离为h ， 由V A‐MBC =V M‐ABC ，得13S △MBC ·ℎ=13S △ABC ·MF ，∴ℎ=S △ABC ·MF S △MBC=12·BC·AB·MF 12·BC·MB =2√55．通过线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，取AB 的中点F ，连结MF ，设点A 到平面MBC 的距离为h ，利用V A−MBC =V M−ABC ，计算即可．本题考查直线与平面平行的判定，点到面的距离，棱锥体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题目．设出AB 的坐标，利用中点坐标公式，化简，通过平方差法求出直线的斜率，然后推出双曲线的离心率即可．解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为AB 的中点为P(2,−1)，所以{x 1+x 2=4y 1+y 2=−2，又{x 12a −y 12b =1x 22a 2−y 22b 2=1两式相减并整理可得k AB =y 1−y 2x1−x 2=−2b 2a 2=−1=tan135°．解得2c 2−2a 2=a 2，可得：e =√62．故选：C ．11.答案：A解析：解：由题意可得|OB|=|OC|=2，|AO|=√10.设∠AOB =θ，则∠AOC =π−θ． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =10+√10×2cosθ+√10×2cos(π−θ)+2×2cosπ=6， 故选A ．由题意可得|OB|=|OC|=2，|AO|=√10.设∠AOB =θ，则∠AOC =π−θ.再根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，利用两个向量的数量积的定义求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．12.答案：A解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是中档题．由已知可设函数f(x)=e x lnx−e x，结合函数的导数以及单调性求出m的范围即可．解：∵f′(x)=f(x)+e xx ，x∈[12,+∞)，∴令f(x)=e x lnx−e x，则f′(x)=e x lnx+e xx −e x=f(x)+e xx，由f′(x)=e x lnx+e xx −e x=e x(lnx+1x−1)，令t(x)=lnx+1x −1，则t′(x)=1x−1x2=x−1x2，当x=1时，t(x)取得最小值为0，∴f′(x)≥0，则f(x)在(0,+∞)上是增函数．若存在a∈[−2,1]，使得f(2−1m)≤a3−3a−2−e成立，只需求出a∈[−2,1]时，a3−3a−2−e的最大值且使f(2−1m)小于等于这个最大值．设g(a)=a3−3a−2−e，a∈[−2,1]，g′(a)=3a2−3=3(a+1)(a−1)，当a∈(−2,−1)时，g′(a)>0，g(a)为增函数，当a∈(−1,1)时，g′(a)<0，g(a)为减函数，∴当a=−1时，g(a)max=−e，即当a=−1时，g(a)=−e．又∵f(x)=e x lnx−e x是增函数且f(1)=−e．∴12≤2−1m≤1，∴m∈[23,1]．故选A．13.答案：−1解析：解：函数{2x +1(x ≥0)2x (x <0)， f[f(x)]=2，可得2f(x)+1=2，解得f(x)=12，所以2x =12，解得x =−1．故答案为：−1．利用f[f(x)]=2，求出f(x)的值，然后利用方程求解x 即可．本题考查分段函数的应用，函数的最值以及方程思想的应用，考查计算能力．14.答案：2√393解析：【试题解析】本题考查三角形面积公式及正余弦定理，属基础题目．由三角形面积公式得c =3，利用余弦定理得a ， 再由正弦定理即可得出答案．解：因为∠A =π3，AC =4，S △ABC =3√3=12AC ⋅AB ⋅sinA =12×4×AB ×√32，解得c =AB =3， 所以由余弦定理可得a =BC =√42+32−2×3×4×12=√13， 则a+b sinA+sinB =a sinA =√13√32=2√393．故答案为2√393． 15.答案：x =−1; 12解析：解：由题意知抛物线的焦点在x 轴，y =x −1，令y =0，x =1，求出直线与x 轴的交点，即为抛物线的焦点(1,0)，所以抛物线的方程为y 2=4x ，所以准线方程为：x =−1；若OA ⊥OB ，设A(x,y)，B(x′,y′)，直线与抛物线联立：x 2−(2+2p)x +1=0，∴x +x′=2+2p ，xx′=1，∴yy′=xx′−(x +x′)+1=−2p若OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴xx′+yy′=0，即1−2p =0，解得p =12；故答案分别为：x =−1，12．由直线过抛物线的焦点，求出焦点坐标及p 的值，进而求出准线方程；由若OA ⊥OB ，可得数量积为令求出p 的值．考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 16.答案：12解析：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的侧棱长为h ，然后由棱柱的体积公式得答案．解：因为球O 的表面积为3π，所以球的半径为4πR 2=3π，所以4R 2=3，因为底面是直角三角形的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，且AB =AC =1，设三棱柱的侧棱长为h ，所以AB 2+AC 2+ℎ2=4R 2，解得ℎ=1，所以这个直三棱柱的体积是1×12×1×1=12，故答案为12．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，则{a 1+2d =9(a 1+d)2=a 1⋅(a 1+6d)解得 d =4或d =0(舍去)，a 1=1， ∴a n =1+4(n −1)=4n −3．(2)∵b n =1n(a n +7)=14(1n −1n+1)， ∴S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =14[(11−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)] =14(1−1n+1)=n4n+4．解析：(1)根据条件列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；(2)利用裂项相消法求和．本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消进行数列求和的方法，属于基础题． 18.答案：证明：(I)设AC ，BD 交点为O ，连结PO.则O 为正方形ABCD 的中心，∴PO ⊥平面ABCD.∵BD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥BD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC.又AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，AC ∩PO =O ，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)因为BO =12BD =12×4√2=2√2，由(I)可得PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ，∴PO =√PD 2−DO 2=2√2，因为E 为PA 的中点， 故V E−PBD =12V P−ABD =12×13×S △ABD ×PO =12×13×12×4×4×2√2=8√23．解析：本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，(I)设AC ，BD 交点为O ，连结PO ，则PO ⊥平面ABCD ，于是PO ⊥BD ，又BD ⊥AC ，故而BD ⊥平面PAC ，于是平面EBD ⊥平面PAC ；(Ⅱ)由(I)可得PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ，求得PO 的长，故由V E−PBD =12V P−ABD =12×13×S △ABD ×PO 可得答案． 19.答案：解：(1)2015年至2019年的ω分别记为：ω1=2，ω2=2，ω3=3，ω4=4，ω5=4，抽取两年的基本事件有：(ω1,ω2)，(ω1,ω3)，(ω1,ω4)，(ω1,ω5)，(ω2,ω3)，(ω2,ω4)，(ω2,ω5)，(ω3,ω4)，(ω3,ω5)，(ω4,ω5)，共10种，其中两年都是ω>2的基本事件有：(ω3,ω4)，(ω3,ω5)，(ω4,ω5)，共3种，故所求概率为P =310．(2)∵x =6，y =9，5xy =270，则b ∧=x i 5i=1y i −5xy∑x 2−5x 25=286−270190−180=1.6，a ̂=y −b̂x =9−1.6×6=−0.6， 所以回归直线方程为ŷ=1.6x −0.6，将x =10代入上述方程得y ̂=15.4， 即该企业在该年的年利润增长量大约为15.4万元．解析：本题考查古典概型概率公式及利用最小二乘法求回归直线方程及回归分析，属于基础题目．(1)列出基本事件利用古典概型概率计算公式求出即可；(2)利用最小二乘法求出回归直线方程即可得出．20.答案：解：(1)由题设知c =1，因为△B 1F 1F 2为等边三角形，则a =2c =2，又a 2=b 2+c 2，所以b =√3，则E 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知B1(0,√3)，B2(0,−√3)，又M(4,0)，所以直线B1M：x4+√3=1，B1M与椭圆E的另一个交点A(85,3√35)，直线B2F2：x3=1，因为853√353=1，故点A在直线B2F2上．所以A，F2，B2三点共线．解析：本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用题设条件得a=2c，再结合a2=b2+c2，求得a，b即可；(2)由(1)得直线B1M的方程及直线B2F2的方程，即可得证．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x+1+ax(x>0)，令g(x)=x2+x+a，∵−2<a<0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x +alnx ，根据m 2≥2m −1≥1，问题转化为g(x)=−x +alnx 在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a 的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C 2：ρ=4cosθ.根据{x =ρcosθy =ρsinθ，可得ρ2=4ρcosθ，可得x 2+y 2−4x =0．(2)将{x =1+tcosαy =tsinα代入C 2的直角坐标方程， 得(1+tcosα)2+(tsinα)2−4(1+tcosα)=0，即有t 2−2tcosα−3=0，所以t 1+t 2=2cosα，t 1⋅t 2=−3．则1|AM|+1|AN|=|AM|+|AN||AM|⋅|AN|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1|+|t 2|3=|t 1−t 2|3=√(t 1+t 2)2−4t 1⋅t 23=√4cos 2α+123=2√cos 2α+33∈[2√33,43]．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23.答案：解：(1)①当x ≤0时，得−x +(1−2x )<3解得x >−23，所以−23<x ≤0;②当0<x <12时，得x +(1−2x )<3解得，x >−2，所以0<x <12；③当x ≥12时，得x −(1−2x )<3，解得x <43，所以12≤x <43．综上，不等式的解集为(−23,43)．(2)f (x )={ −3x +1,x ≤0−x +1,0<x <123x −1,x ≥12, 若关于x 的方程f(x)=msinα恰有一个实数根，则msinα=12有解，又，m =12sinα，所以m ∈[12,+∞)．解析：本题考查绝对值不等式和函数的零点与方程的根．(1)对x 分类讨论，去绝对值解出不等式的解集即可；(2)根据函数f (x )与y =msinα恰有一根，可得msinα=12有解，即m =12sinα，，求出m 的范围．。
四川省成都市2023-2024学年高二下学期期末数学试题含答案
成都市高二数学期末零诊模拟试卷（答案在最后）一、单项选择题1.下列导数运算错误的是（）A.()e xf x x =，则()()1e xf x x +'= B.()πsin 3f x =，则()πcos 3f x ='C.()f x =()f x '= D.()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=【答案】B 【解析】【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.【详解】A 选项，()e xf x x =，则()()()()''e e ee 1e x xxx x f x x x x x =+=+=+'，A 正确；B 选项，()πsin 3f x =，()πsin 03f x '⎛⎫ ⎪⎝⎭'==，B 错误；C 选项，()()12f x x ==，()1212f x x -='=C 正确；D 选项，()ln x f x x =，()()()22ln ln 1ln x x x x x f x x x ''⋅-⋅-=='，D 正确.故选：B2.已知数列21,n a n =-32n b n =-，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{}n c ，则数列{}n c 的通项公式为（）A.32n c n =-B.41n c n =-C.53n c n =-D.65n c n =-【答案】D 【解析】【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得.【详解】因数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，而数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{}n c 是首项为1，公差为6的等差数列，故1(1)665n c n n =+-⨯=-.故选：D.3.已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中果实横径落在[]40,55的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（）（若()2,X N μσ~，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈）A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可．【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中45,5μσ==，所以果实横径在[]40,55的概率为()2P X μσμσ-≤≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-≤≤++-≤≤+0.477250.341350.8186≈+=.故选：B ．4.函数()2ln f x x x =-单调递减区间是（）A.0,2⎛ ⎝⎦B.2⎫+⎪⎪⎣⎭∞C.,,0,22∞⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎦⎝⎭D.,0,22⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】求导后，令()0f x '≤，解出即可.【详解】()221212,0x f x x x x x-'=-=>,令()0f x '≤，解得202x <≤，所以单调递减区间为0,2⎛ ⎝⎦.故选：A.5.如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A.10B.20C.60D.120【答案】A 【解析】【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.6.已知a =，b =，ln 44c =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（）A.b a c <<B.b c a<< C.a b c<< D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】首先将,,a b c 化成统一形式，构造函数()ln xf x x=()0x >，研究单调性进而比较大小即可.【详解】由题意得a ==，b ==，ln 42ln 2ln 2442c ===；设()ln x f x x =，则21ln ()xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，又02e <<<<，所以(2)f f f <<ln 22<<，所以b a c <<.故选：A .7.已知AB 是圆O ：222x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（）A.0B.-2C.-4D.-【答案】C 【解析】【分析】取MN 的中点C ，结合垂径定理与数量积的运算表示出()OM ON AB +⋅后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设MN 的中点为C ，∵120MON ∠=︒，OM ON =，则302OC =°=，∵C 为MN 的中点，∴2OM ON OC +=，设向量OC 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，∴()22cos 4cos OM ON AB OC AB OC AB θθ+⋅=⋅==，又[]cos 1,1θ∈-，∴()OM ON AB +⋅的最小值为4-.故选：C.8.当0x >时，24e 2ln 1x x x ax ⋅-≥+恒成立，则实数a 最大值为（）A.4eB.4C.24e D.8【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤，再利用切线放缩化简求出a 的取值范围.【详解】因为0x >，由24e 2ln 1xx x ax ⋅-≥+，得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤.令()()242ln 4e 2ln 1e 2ln 10x x x x x x f x x x x+⋅----==>令()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+，则()10xg x e ='-≥在[0,)+∞上恒成立，故函数()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=即e 1x x ≥+，由e 1x x ≥+，得2ln 4e 2ln 41x x x x +≥++，所以()2ln 412ln 14x x x f x x++--≥=.当且仅当2ln 40x x +=时，取“=”，此时ln 2x x =-，由ln y x =与2y x =-图象可知0(0,x ∃∈+∞）使00ln 2x x =-，此时min ()4f x =.所以4a ≤，即a 有最大值为4.故选：B.二、多项选择题9.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若13465,135a a a a +=+=，则（）A.114a = B.3q =C.1134n n a -=⨯ D.()1314nn S =-【答案】BD 【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得1,a q ，代入公式即可一一判断.【详解】依题，21321(1)5(1)135a q a q q ⎧+=⎨+=⎩，解得11,23a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩故A 错误，B 正确；则111132n n n a a q--==⨯，1)(1)131(1)1(3144n n n n a q S q -==---=-，故C 错误，D 正确.故选：BD.10.已知函数()31f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有一个零点C.点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】ABC 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB ；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C ；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A ：()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在(,3-∞-，,)3+∞上单调递增，(,33-上单调递减，所以3x =±时取得极值，故A 正确；B ：因为323(1039f -=+>，3231039f =->，()250f -=-<，所以函数()f x 只在,3⎛-∞- ⎪⎝⎭上有一个零点，即函数()f x 只有一个零点，故B 正确；C ：令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；D ：令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C ，构造函数3()h x x x =-，奇函数图象关于原点对称推出()f x 的对称性是解决本题的关键.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1//B F 平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为π2C.三棱锥1F BC M -的体积为定值D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为26,3⎡⎢⎣【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1//B GH 平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹；选项C ：根据选项B 可得出//GH 平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为定值，即可判断；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ，由正方体的性质可得11//B H C M ，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1//C M 平面1B GH ，同理可得：1//BC 平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，1BC ，1C M ⊂平面1BC M ，所以平面1//B GH 平面1BC M ，而1//B F 平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，长度为，故B 不正确；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为//GH 平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为定值，同时1BC M 的面积也为定值，则三棱锥1F BC M -的体积为定值，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11//AA D D 平面11BB C C ，所以1//AM C N ，同理可证1//AN C M ，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得h =，综上，可知1AQ 长度的取值范围是26,3⎡⎢⎣，故D 正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题12.在322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数为_____________.【答案】6【解析】【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】二项式322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()32631332C 2C rrrr r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，{}0,1,2,3r ∈，令633r -=，解得1r =，所以3113322C 6T x x ==，所以展开式中3x 的系数为6.故答案为：613.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为原点，若以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且1=F P ，则C 的离心率为_____________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，得到1||||OP OF c ==，且1F P ==，在1OPF 中，利用余弦定理求得11cos 2F OP ∠=-，得到22πππ33F OP ∠=-=，结合2tan b F OP a ∠==，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，可得1||||OP OF c ==，又1F P ==，在1OPF 中，由余弦定理22211111cos 22OP OF PF F OP OP OF +-∠==-，得12π3F OP ∠=，所以22πππ33F OP ∠=-=，根据直线OP 为渐近线可得2tan OP b k F OP a =∠=，所以b a =2c e a ==.故答案为：2.14.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为______．【答案】365729【解析】【分析】先用古典概型计算公式求每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第n 次由甲组答题的概率为n P ，由全概率公式得到1n P +与n P 的递推公式，根据递推公式求数列{}n P 的通项公式，令7n =，可得问题答案.【详解】记答题的两位同学答对的题数分别为1x ，1y ，则1x ，{}11,2,3,4,5,6y ∈当()()()()()()()()()()()()(){}11,1,2,1,5,2,1,2,4,3,3,3,6,4,2,4,5,5,1,5,4,6,3,6,6x y ∈时，11x y +是3的倍数，故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为121663=⨯，两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为23．记第n 次由甲组答题的概率为n P ，则由乙组答题的概率为1n P -，()112133n n n P P P +=+-，即11233n n P P +=-+，进一步有1111232n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11111222p -=-=，所以数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以13-为公比的等比数列，所以1111223n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.令7n =，则67111365223729P ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭．故答案为：365729【点睛】关键点点睛：设n P 表示第n 次由甲组答题的概率，由全概率公式得()112133n n n P P P +=+-⇒11233n n P P +=-+，得到数列{}n P 的递推公式是解决该题的关键.四、解答题15.设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 为正项数列，且212n n a b +=，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：n S <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出d ，即可求出通项公式；（2）由（1）得2nb n =，即n b =，从而得到11n n b b +=-+，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，2a Q ，5a ，14a 成等比数列，则22145a a a =，即2111()(13)(4)a d a d a d ++=+，将11a =代入上式，解得2d =或0d =（舍去）．21n a n ∴=-；【小问2详解】由（1）得212n n a b n +==，又0n b >，所以n b =，所以11n n b b+===+，则1n S=-+-++…1=-<．16.如图，在底面ABCD 是矩形的四棱锥P ABCD -中，1,2,AB BC PA PD ====，点P 在底面ABCD 上的射影为点(O O 与B 在直线AD 的两侧)，且2PO =.（1）求证：AO PD ⊥；（2）求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，结合,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形，进而得到AO ⊥平面POD ，得到答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两个平面的法向量，由法向量夹角的余弦公式求出答案.【小问1详解】证明：连接OD ，因为PO ⊥平面,,ABCD OA OD ⊂平面ABCD ，所以,PO OA PO OD ⊥⊥.又2PA PD PO ===，所以OA OD ==又2AD =，故222OA OD AD +=，所以,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形.而PO OD O = ，,PO OD ⊂平面POD ，所以AO ⊥平面POD ，因为PD ⊂平面POD ，所以AO PD ⊥.【小问2详解】由（1）知，,,OA OD OP 两两垂直，以,,OA OD OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则)(),0,0,2AP ，由9045135OAB ∠=+=，得45BAx ∠=，可得点B 坐标为,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理得232,22C ⎛⎫⎪⎪⎝⎭.所以()()2,,,2,22AP BP BC ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭，设()111,,m x y z =为平面ABP 的法向量，则00m AP m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111202022z x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩令11z =，则11y x ==，得平面ABP的一个法向量)m =.设()222,,n x y z =为平面BCP 的法向量，则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220220x y z ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，令21x =，则221,y z ==，得平面BCP的一个法向量(n =.设平面ABP 与平面BCP 的夹角为α，则cos cos ,10m n m n m n α⋅====，所以平面ABP 与平面BCP夹角的余弦值为10.17.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为Y ，求Y 的数学期望.【答案】（1）0.125a =（2）分布列见详解，65（3）0.3【解析】【分析】（1）根据题意结合频率和为1列式求解即可；（2）根据分层抽样可知高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，结合超几何分布求分布列和期望；（3）根据题意分析可知()3,0.1Y B ~，结合二项分布的期望公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：每组的频率依次为0.1,0.15,2,0.3,0.2a ，因为0.10.1520.30.21a ++++=，解得0.125a =.【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17和[)17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，可知X 可取0，1，2，则有：()303235C C 10C 10P X ===，()213235C C 31C 5P X ===，()123235C C 32C 10P X ===，所以X 的分布列为：X012P11035310X 的期望为()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】因为高度在[)15,17的频率为0.1，用频率估计概率，可知高度在[)15,17的概率为0.1，由题意可知：()3,0.1Y B ~，所以()30.10.3E Y =⨯=.18.已知椭圆2222:1(0)xy E a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，离心率2e =，直线FB 过点(1,2)P .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若MPF NPF =∠∠，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）550x y ++=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即得椭圆E 的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得1MP NP k k ⋅=，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】令(,0)F c -，由2c e a ==，得,a b c ==，则直线FB 的斜率1k =，由直线FB 过点(1,2)P ，得直线FB 的方程为1y x =+，因此1,b c a ===所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】设MPF NPF θ∠=∠=，直线MP 的倾斜角为β，直线NP 的倾斜角为α，由直线FP 的斜率1k =知直线FP 的倾斜角为π4，于是ππ,44αθβθ=+=+，即有π2αβ+=，显然,αβ均不等于π2，则πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-，即直线,MP NP 的斜率满足1MP NP k k ⋅=，由题设知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1,1x my m =-≠，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得，22(2)210m y my +--=，显然0∆>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122221,22m y y y y m m +==-++，由1MP NP k k ⋅=，得121222111y y x x --⋅=--，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=，则1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=，整理得21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=，即2221(22)2022m m m m m --⋅--=++，于是25410m m --=，而1m ≠，解得，15m =-，所以直线l 的方程为115x y =--，即550x y ++=.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由MPF NPF =∠∠，结合直线倾斜角及斜率的意义求得1MP NP k k ⋅=是解题之关键.19.已知函数()22ln f x x x a x =-+.（1）当2a =时，试求函数图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），且不等式()()2211m x mf x ->恒成立，其中m ∈Z ，试求整数m 的取值范围.【答案】（1）230x y --=（2）见解析（3）3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【解析】【分析】（1）求当2a =时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出()f x 的导数，令()0f x '=，得2220x x a -+=，对判别根式讨论，令导数大于零得到增区间，令导数小于零，得到减区间；（3）函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（2）可知，102a <<，构造函数1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，利用导数求得()h x 的范围，分0m >或0m <或0m <的整数，对不等式()()2211m x mf x ->分离参数，分别求解.【小问1详解】当2a =时，()222ln f x x x x =-+，故()222f x x x -'=+.故()212221f =-'+=，又()21121f =-=-，故函数图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()121y x --=-，即230x y --=.【小问2详解】()22ln f x x x a x =-+的定义域为()0,∞+，所以()22222a x x af x x x x='-+=-+，令()0f x '=，得2220x x a -+=，（i ）当480a ∆=-≤，即12a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（ii ）当480a ∆=->，即12a <时，由2220x x a -+=，得1,212x ±=，①若102a <<，由()0f x '>，得11202x -<<或1122x +>,()f x ∴的单调递增区间是112(0,2-，1()2++∞；由()0f x '<，得11211222a a x -+<<,()f x ∴的单调递减区间是112112(22a a--+-；②若0a =，则2()2f x x x =-，函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增；③若a<0，由()0f x '<，得11202x <<，则函数()f x 在1(0,)2+上递减；由()0f x '>，得12x +>，则函数()f x 在1()2++∞上递增.综上，当12a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当102a <<时，()f x的单调递增区间是1(0,2，1(,)2++∞，单调递减区间是11(,)22+；当0a ≤时，()f x的单调递增区间是1()2++∞，单调递减区间是1(0,)2+.【小问3详解】由（2）可知，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则102a <<，由()0f x '=，得2220x x a -+=，则121x x =+，1x =，21122x +=，由102a <<，可得1102x <<，2112x <<，()()()22222111111111111112221222ln 222ln 2ln 1x x x x x x x x x x f x x x a x x x x x -+--+--+===-1111112ln 1x x x x =-++-，令1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则21()12ln (1)h x x x '=-+-，因为102x <<，1112x -<-<-，21(1)14x <-<，2141(1)x -<-<--，又2ln 0x <，所以()0h x '<，即102x <<时，()h x 单调递减，又3ln 21()22h --=，所以3()ln 2,02h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 恒成立，若0m >且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=->，即10m m-≥，设()1k m m m=-，()k m 在()0,∞+上单调递增，且()10k =，所以由10m m-≥可得，m 1≥且m ∈Z ，若0m <且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=-<，即13ln 22m m -≤--，设()1k m m m=-，()k m 在(),0∞-上单调递增，而()10k -=，()132222k -=-+=-，()18333ln 2332k -=-+=-<--，所以3m ≤-且m ∈Z ，若0m =，则不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 不成立，综上：3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
2020成都市高三零诊考试数学文科试题及详细解析
2020成都市高三零诊考试数学试题（文科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数z=1ii+（i为虚数单位）的虚部是（）A 12B -12C12i D -12i【解析】【考点】①复数的定义与代数表示法；②虚数单位的定义与性质；③复数运算的法则与基本方法；④复数虚部的定义与确定的基本方法。
【解题思路】运用复数运算的法则与基本方法，虚数单位的性质，结合问题条件通过运算得到复数z的代数表示式，利用复数虚部确定的基本方法求出复数z的虚部就可得出选项。
【详细解答】 z=1ii+=(1(1(1i ii i-+-）））=221i ii--=12i+=12+12i，∴复数z的虚部为12，⇒A正确，∴选A。
2、已知集合A={1，2，3，4}，B={x|2x-x-6<0}，则A B=（）A {2}B {1，2}C {2，3}D {1，2，3} 【解析】【考点】①集合的表示法；②一元二次不等式的定义与解法；③集合交集的定义与运算方法。
【解题思路】运用一元二次不等式的解法，结合问题条件化简集合B，利用几何交集运算的基本方法通过运算求出A B就可得出选项。
【详细解答】B={x|2x-x-6<0}={x|-2<x<3}，A={1，2，3，4}，∴A B={1，2}，⇒B正确，∴选B。
3、如图，是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛甲乙所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（） 0 8A 甲所得分数的极差为22B 乙所得分数的 7 5 1 1 1 2 6 8 中位数为18C 两人所得分数的众数线段 4 2 2 0 2 0 2 2D 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 3 2 3 1【解析】【考点】①茎叶图的定义与性质；②极差的定义与求法；③中位数的定义与求法；④众数的定义与求法；⑤平均数的定义与求法。
2020届四川省成都市新都一中高二数学下学期零诊模拟 试题答案
2019-2020学年四川省成都市新都一中高二零诊模拟练习六理科数学详解1．D由复数除法运算化简可得()133213233213i i i z i i +===-+-， 由复数的概念可知z 的虚部为3.故选：D.2．A解不等式220x x -<得；{|02}A x x =<<， 解不等式12x -<得：{|13}B x x =-<<，因为A 是B 的真子集，所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.3．B根据一个正方体的表面展开图以及图中“2”在正方体的上面，把该正方体还原，其直观图为：由直观图可得这个正方体的下面是9，故选B ．4．D ∵5tan 012A =-<， ∴A 为钝角，cos 0A <，且sin 5tan cos 12A A A ==-，22sin cos 1A A +=， 联立解得5sin 1312cos 13A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 故选：D.5．Da n ＝﹣21+（n ﹣1）d ．∵从第8项起开始为正数，∴a 7＝﹣21+6d ≤0，a 8＝﹣21+7d ＞0，解得3＜d 72≤． 故选：D ．6．D如图所示，不等式组表示的平面区域为ABC ∆边界及其内部的部分， 由140x x y =⎧⎨-+=⎩，可得(1,5)A ，同理可得(2,2),(1,1)B C --， 故6,AC ABC =∆的高3h =，所以192ABC S AC h ∆=⋅⋅=，故选D.7．C1136n n S x -=⋅-，1211112333663n n n n n n a S S x x x ----⎛⎫⎛⎫∴=-=⋅--⋅-=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211,362a x S x x ∴===-∴=，故选C. 8．A 第一次循环：09S =+，97T =+：第二次循环：97S =+，975T =++；第三次循环：975S =++，9753T =+++；第四次循环：9753S =+++，97531T =++++； 第五次循环：97531S =++++，()975311T =+++++-，此时循环结束，可得()591252S ⨯+==.选A.9．C 函数1()()ln f x x x x =+，定义域为{}0xx ≠关于原点对称，又()()f x f x -=-，故函数为奇函数，当1x >时，()0f x >故选：C。