抛物线的简单几何性质预习学案
学案1：3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质
3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.情景导入(1)通过多媒体课件展示．抛物线形反射镜，平行光束聚焦于焦点，激发学生兴趣．(2)问题：一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，一水面漂浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问能否通过该拱桥？为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点⎝⎛⎭⎫p2，0⎝⎛⎭⎫－p2，0⎝⎛⎭⎫0，p2⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝12.直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝ .3．直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．设直线y ＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，将y ＝kx ＋m 代入y 2＝2px ，消去y 并化简，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0. ①k ＝0时，直线与抛物线只有 交点；②k ≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线 ⇔有 个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线 ⇔只有 公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线 ⇔ 公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是无中心的圆锥曲线．( ) (2)抛物线y 2＝2px 过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p ． ( ) (3)抛物线y ＝－18x 2的准线方程为x ＝132．( )2．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8yD ．x 2＝±16y3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．44．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.合作探究类型1 抛物线性质的应用例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，求抛物线的方程．规律方法用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．跟踪训练1．若直线x＝m与抛物线y2＝43x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF为等边三角形，求m的值．类型2 直线与抛物线的位置关系例2 (1)过定点P (0,1)作与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax (a ≠0)恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合． 规律方法直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切． 跟踪训练2．若抛物线y 2＝4x 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A ，B ，求证OA ⊥OB .证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴OA →⊥OB →，即OA ⊥OB . 类型3 中点弦及弦长公式例3 过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程． 规律方法“中点弦”问题解题方法跟踪训练3．已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l 被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．类型4 抛物线的综合应用 [探究问题]1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？2．如何对待圆锥曲线中的定点、定值问题？例4 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值． 母题探究1.若本例题改为：如图所示，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△P AB 的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？2.若本例改为“抛物线方程为y2＝x，且过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A(1,1)不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1·k2为定值．应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．课堂小结1．抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线．2.抛物线中常见的几个结论：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．点F 是抛物线的焦点(如图)．则有(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p .(3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切． (4)以焦半径为直径的圆与y 轴相切． 课堂检测1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( ) A ．12B ．14C ．16D ．182．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4， 则点A 的坐标是( ) A ．(2，±22) B ．(1，±2) C ．(1,2)D ．(2,22)4．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 5．已知点P (1，m )是抛物线C ：y 2＝2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF |＝2，直线l ：y ＝k (x －1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B . (1)求抛物线C 的方程；(2)若|AB |＝8，求k 的值．参考答案新知初探 2.x 1＋x 2＋p . 3．①一个 ②相交 两相切 一 相离 没有思考： [提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点． 初试身手1．[提示] (1)√ (2)√ (3)× 2．【答案】D【解析】顶点到准线的距离为p 2，则p2＝4.解得p ＝8，又因对称轴为y 轴，则抛物线方程为x 2＝±16y . 3．【答案】B【解析】|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 4．【答案】4【解析】双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)，由条件可知，－p2＝－3＋p 216，解得p ＝4. 合作探究类型1 抛物线性质的应用例1 (1)【答案】y 2＝3x 或y 2＝－3x【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)， 则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .(2)解：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ， 由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∵BD ∥FG ，∴43p ＝23，p ＝2.因此抛物线的方程是y 2＝4x . 跟踪训练1．解：根据题意△ABF 为等边三角形，则tan 60°＝|m －3|43m ，m ＞0，解得m ＝73±12.类型2 直线与抛物线的位置关系例2 解：(1)当直线的斜率不存在时，直线x ＝0，符合题意．当直线的斜率存在时，设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝1，满足直线与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点；当k ≠0时，将直线方程y ＝kx ＋1代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.由Δ＝0，得k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.故满足条件的直线有三条． (2)因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①.(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程． 令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45.所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45.跟踪训练2．证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴OA →⊥OB →，即OA ⊥OB . 类型3 中点弦及弦长公式例3 解：法一：(点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)， 即y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴k AB ＝4. ∴AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 法二：由题意知AB 所在直线斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标． 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k .又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0. 跟踪训练3．解：当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px消去y ，得⎝⎛⎭⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x . 类型4 抛物线的综合应用 [探究问题]1．[提示] 两条直线的斜率互为相反数．2．[提示] 常选择一个参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算说明与参数无关，进而找到定点、定值．也常用特值法找定点、定值．例4 解：(1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1.1．【答案】A【解析】线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12. 2．【答案】D【解析】抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x 2＋y 2＝(x －4)2＋y 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2. 所以符合题意的点为(2，±42)．]3．【答案】B【解析】由题意知F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0， 由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B.4．【答案】158【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14. ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158. 5．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2， 由|PF |＝2得：1＋p 2＝2，得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2. ∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k2＋2＝8， 解得k ＝±1，所以k 的值为1或－1.。
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案正文
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质【学习目标】能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达.◆知识点一抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标(p2,0)(-p2,0)(0,p2)(0,-p2)准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2开口方向范围对称轴顶点坐标离心率【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线关于原点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. ( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )◆知识点二抛物线的焦半径、焦点弦与通径1.焦半径与焦点弦(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径.(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的.设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1,y1),N(x2,y2))为标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦半径|AF|焦点弦长|MN|x1+x2+p-x1-x2+p y1+y2+p-y1-y2+p2.通径经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|为.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( )(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0).( )(3)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p.( )◆探究点一抛物线的几何性质例1 (1)已知抛物线y2=8x,求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.(2)抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.变式已知等边三角形AOB的边长为2,O为坐标原点,AB⊥x轴,且点A在第一象限.(1)求以O为顶点且过点A,B的抛物线的方程;(2)求(1)中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e.[素养小结]运用抛物线的几何性质要把握三个要点:(1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0).(3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果.◆探究点二焦点弦的性质问题例2已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.变式 (多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是( )A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小B.1|AF|+1|BF|=p2C.以弦AB为直径的圆与直线x=-p2相离D.y1y2=-p2[素养小结]抛物线焦点弦长的求法:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2,由公式|AB|=x1+x2+p求出焦点弦长.◆探究点三抛物线几何性质的应用例3 (1)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )A.8√3B.4√2C.4√3D.3√2(2)已知抛物线C:y2=4√2x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3√2,则△POF的面积为.变式 (1)以抛物线C:y2=4x的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A,B两点,过B且平行于x轴的直线交C于点P,过A且平行于x轴的直线交l于点Q,若|AQ|=43,则△PBF的周长为( )A.16B.12C.10D.6(2)已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.[素养小结]利用抛物线的性质可以解决的问题:(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.。
3.3.2 抛物线的简单几何性质(第1课时)
对称性
对称中心为原点 两条对称轴
对称中心为原点 两条对称轴
无对称中心 一条对称轴
顶点 离心率 决定形状的因素
4个 0<e<1 e 决定扁平程度
2个
1个
e>1
e＝1
e 决定“张口”大小 p 决定“张口”大小
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课时学案
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题型一 抛物线的几何性质
例 1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的
写出△AOB的面积，利用面积列方程求解 . 【解析】 由题意，设抛物线方程为 y2＝2mx(m≠0)，焦点 Fm2 ，0，直线 l：
x＝m2 ，∴A，B 两点坐标为m2 ，m，m2 ，－m，∴|AB|＝2|m|.∵△OAB 的面积为 4， ∴12·m2 ·2|m|＝4，∴m＝±2 2.∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.
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探究2
利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦：解决焦点弦问题.
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思考题 2 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2 ＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3.求这个抛物线的方程.
2.抛物线方程中，参数 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，2p等于 焦点到抛物线顶点的距离.
3.在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系， 所以要注意相互转化.
其准线方程分别为 x＝－3 或 x＝3.
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探究1
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径) 长为 2p；离心率恒等于 1.
高二数学《抛物线的简单几何性质》学案(第课时)
§2。
3。
2抛物线的简单几何性质（第1课时)[自学目标］：1．掌握抛物线的图形和简单几何性质［重点］：抛物线的简单几何性质的应用[难点］：运用抛物线的定义解决问题［教材助读］：抛物线的几何性质：［1．范围：因为p＞0,由方程()022>y可知,这条抛物线上的点M=ppx的坐标（x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向和无限延伸．2．对称性：以－y代y,方程()022>y不变，所以这条抛物线关于px=p对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的．3．顶点：抛物线和它的轴的交点叫做．在方程()022>ypx=p中，当y=0时，x=0,因此抛物线()022>y的顶点就是．=ppx4．离心率：抛物线上的点M与和它到的比，叫做抛物线的离心率，用e表示,由抛物线的定义可知，e= 。
源：]()022>=p px y x yO F l()022>-=p px y x yO F l()022>=p py x()022>-=p py x[预习自测］1、求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点，关于 轴对称，并且经过点(5,4)M -, 。
②顶点在原点,焦点是(0,5)F , 。
③顶点在原点，准线是4x = 。
④焦点是(0,8)F - ，准线是8y =, 。
2、若抛物线过点（1,2),则抛物线的标准方程为: 。
x yO F l x yOF l3、有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米,当水面下降1米时，水面宽是多少米？待课堂上与老师和同学探究解决.［合作探究展示点评］探究一：抛物线的定义与性质的应用例1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M ，(2,求它的标准方程探究二：实际应用例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
学案7：2.3.2抛物线的简单几何性质
2.3.2抛物线的简单几何性质学习目标1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．学习重点：会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．学习难点：直线与抛物线的位置关系的应用．知识梳理1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为p2，焦点到顶点的距离为________．2．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程________________________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．3．抛物线的焦点弦设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．(1)以AB为直径的圆与准线________．(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)．(3)|AB|＝x1＋x2＋______.(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.例题精析例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M（2，），求它的标准方程.例2斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.例4 已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P（-2,1），斜率为k, k为何值时，直线l与抛物线y2=4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？课堂检测 一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( ) A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P (2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．9．过抛物线x2＝2py (p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于()A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．课堂小结1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．参考答案知识梳理1．(1)x ≥0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p 22．k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0 两 一 没有 平行或重合 一 3．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p 24 －p 2例题精析例1解：因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （2，），所以，可设它的标准方程为因为点M 在抛物线上，所以 即p =2.因此,所求抛物线的标准方程是例2【解析】由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l 的斜率为1，所以可以求出直线l 的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A ,B 两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB ｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.如图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.由抛物线的定义可知|AF |等于点A 到准线的距离|AA ’|设|AA ’|=d A ,而d A =x 1+1，于是|AF|= d A =x 1+1.同理|BF |=|BB ’|= d B =x 2+1，于是得|AB |=|AF |+|BF |= x 1+x 2+2由此可见，只要求出点AB 的横坐标之和x 1+x 2,就可以求出|AB |.解：由题意得，p =2,，焦点F (1，0),准线l :x =-1.如图，设设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），A ,B 到准线的距离分别为d A , d B .由抛物线的定义可知|AF|= d A =x 1+1，|BF |=|BB ’|= d B =x 2+1， 于是AB =|AF|+|BF |=x 1+x 2+2，由已知得抛物线的焦点为F (1，0),所以直线AB 的方程为y =x -1.①-22(0)y px p =>2(22,p -=⨯24.y x=12p=将①代入方程y2=4x，得（x-1）2=4x化简得x2-6x+1=0由求根公式得x1, x2=3-,于是|AB|= x1+ x2=8.所以，线段AB的长是8.例3【解析】我们用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐+标相等即可.证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系.设抛物线的方程为过点A的坐标为（，y0）,则直线OA的方程为抛物线的准线方程是联立(2)(3)，可得点D的纵坐标为22y px, (1)=22yp2py x(y), (2)y=≠2px. (3)=-2py. (4)y=-因为点F 的坐标为（，0），所以直线AF 的方程为联立(1)(5)，可得点B 的纵坐标为由(4)(6)可知，DB ∥x 轴. 当y 2=p 2时，结论显然成立.所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴.例4 【解析】用解析法解决这个问题，只要讨论直线l 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l 与抛物线的位置关系.由方程组2p022022022py py (x ), (5)y p y p .=--≠其中2p y . (6)y =-()12 ,y k x .-=+解：由题意设直线的方程为l ()2124y k x ,y x ,⎧-=+⎪⎨=⎪⎩()*()244210-++=可得ky y k ()101k ,y .==当时由方程得21144y y x,x .===把代入得114,(,).这时直线与抛物线只有一个公共点l ()()2201621k , k k .≠∆=-+-当时方程的判别式为211021012,k k ,k ,k .︒∆=+-==-=由即解得或112,k ,k ,,.,.=-=*于是当或时方程①只有一个解从而方程组（）只有一个解这时直线与抛物线只有一个公共点l课堂检测 1．B【解析】由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程． 2．A【解析】设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3， 因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2， 即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 3．A 【解析】212021012,k k ,k .︒∆>+-<-<<由即解得1102,k k ,,.,.-<<≠于是当,且时方程有两个解从而方程组有两个解这时直线与抛物线有两个公共点l 112,k ,k ,,.,.<->于是当或时方程 没有实数解从而方程组没有解这时直线与抛物线没有公共点l ,综上我们可得1102k ,k ,k .=-==当或或时，直线与抛物线只有一个公共点l 1102k k ,.-<<≠当，且时直线与抛物线有两个公共点l 112k ,k ,,.<->当或时直线与抛物线没有公共点l如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋14＝172.] 4．B【解析】y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a4，令x ＝0得y ＝－a2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 5．C【解析】∵点P (2,1)在抛物线内部，且直线l 1与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴过点P 的直线l 2在过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l 2共有3条． 6．D【解析】可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝⎛⎭⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x P ＋a 4＝a 4＋a 4＝a 2，|QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a .] 7．y 2＝4x【解析】 设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x . 8．2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． ∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x .将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2. 9. 13【解析】抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝33x ＋p 2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0，解得y 1＝p6，y 2＝3p 2.由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF ||FB |＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p 23p 2＋p 2＝13.10．解 由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1m y ，其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .11．解 方法一 设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，①y 22＝8x 2，②∵Q (4,1)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.方法二 设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，y ＝k x －4＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k，又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4. ∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0.12. B【解析】如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6，∴|PF |＝x 0＋2＝8，选B .]13．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p 2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为 (3,23)或(3，－23)．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k 2. 由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 2>4. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，所以，|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。
学案2：3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质
3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质学习目标1.掌握抛物线的简单几何性质.2.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.3.掌握直线与抛物线位置关系的判断.学习重点：抛物线的简单几何性质及其应用.学习难点：直线与抛物线位置关系的判断.知识梳理抛物线四种形式的标准方程及其性质(0，0)规律方法1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点：(1)顶点都为原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1；4(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为±2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.牛刀小试1. 判断(1)抛物线关于顶点对称.()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.()2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?3. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A.y2=8xB. y2=-8xC. y2 =8x或y2=-8xD. x2 =8y或x2=-8y 问题思考(1)掌握抛物线的性质，重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”，它们分别指的是什么?(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?学习过程一、问题导学类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法，y2=2px(p>0)，①你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？1. 范围抛物线y2= 2px (p＞0) 在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y) 的横坐标满足不等式x ≥ 0；当x 的值增大时，|y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．2. 对称性观察图象，不难发现，抛物线y2= 2px (p＞0)关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．3. 顶点抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0)．4. 离心率抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率. 用e表示，e = 1．探究如果抛物线的标准方程是y2=−2px(p>0)，②x2=2py(p>0)，③x2=−2py(p>0)，④那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与①所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？二、典例解析例1.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点，并且经过点M(2，−2√2)，求它的标准方程.跟踪训练1.设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程.例2.斜率为1 的直线经过抛物线y2= 4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．规律方法直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离.将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于x（或y 的）方程组：A x2+ Bx + C = 0（或Ay2+ By + C = 0），其中A，B，C 为常数.若A = 0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点；若A ≠ 0，计算判别式Δ＝B2－4AC：若Δ＞0，则直线和抛物线相交（有两个交点）；若Δ = 0，则直线和抛物线相切（有一个交点）；若Δ＜0，则直线和抛物线相离（无交点）.跟踪训练2.(1)过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．达标检测1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．182．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2，42) D ．(2，±42)3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 4. 已知抛物线y 2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围；(2)以坐标原点O 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB ，|OA|=|OB|，若焦点F 是△OAB 的重心，求△OAB 的周长.5．已知点P (1，m )是抛物线C ：y 2＝2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF |＝2，直线l ：y ＝k (x －1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B . (1)求抛物线C 的方程； (2)若|AB |＝8，求k 的值． 课堂小结参考答案牛刀小试1.【答案】(1)× (2)√ (3)√2.【答案】一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的 符号决定开口方向.如果y 是一次项，负时向下，正时向上. 如果x 是一次项，负时向左，正时向右. 3.【答案】C【解析】设抛物线方程为y 2=2px (p>0)或y 2=-2px (p>0)，依题意得x=p2，代入y 2=2px 或y 2=-2px ，得|y|=p ，∴2|y|=2p=8，p=4. ∴抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-8x. 问题思考(1)提示：“两点”是指抛物线的焦点和顶点；“两线”是指抛物线的准线和对称轴；“一率”是指离心率1；“一方向”是指抛物线的开口方向.(2)提示：抛物线的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线. 学习过程 二、典例解析例1.解：因为抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点在原点，并且经过点M (2，−2√2)， 所以可设它的标准方程为 y 2=2px(p >0)，因为点M (2，−2√2)在抛物线上，所以（−2√2）2=2p ×2. 解得p = 2，因此，所求抛物线的标准方程是 y 2=4x .跟踪训练1.解：y=mx 2(m ≠0)可化为x 2=1m y ，其准线方程为y=-14m.由题意知-14m =-2或-14m =4，解得m=18或m=-116，故所求抛物线的标准方程为x 2=8y 或x 2=-16y.例2.解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F (1，0)， 所以直线AB 的方程为01(1)y x -=⋅-，即1y x =-， ① 将方程①代入抛物线方程24y x =，化简得2610x x -+=，解这个方程，得13x =+，23x =-将13x =+，23x =-①中，得12y =+，2y =A(，B(，∴||8AB ==.方法二：由抛物线的定义可知，|AF |=|AD |=x 1＋1，|BF |＝|BC |= x 2＋1， 于是|AB |=|AF|＋|BF |= x 1＋x 2＋2． 在方法一中得到方程x 2－6x ＋1=0后， 根据根与系数的关系可以直接得到x 1＋x 2＝6， 于是立即可以求出|AB |=6＋2=8． 方法三：抛物线y 2＝4x 中2p ＝4，直线的 倾斜角为4π，所以焦点弦长224||81sin 2p AB θ===.跟踪训练2.解：(1)当直线的斜率不存在时，直线x ＝0，符合题意． 当直线的斜率存在时，设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝1，满足直线与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点； 当k ≠0时，将直线方程y ＝kx ＋1代入y 2＝2x ， 消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.由Δ＝0，得k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.故满足条件的直线有三条．(2)因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax 只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①.(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程． 令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45.所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45.达标检测 1．【答案】A【解析】线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0， 则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.2．【答案】D【解析】抛物线y 2＝16x 的顶点O (0，0)，焦点F (4，0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x 2＋y 2＝(x －4)2＋y 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2.所以符合题意的点为(2，±42)． 3．【答案】158【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14.∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.4. 解：(1)抛物线y 2=8x 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围分别为(0，0)，(2，0)，x=-2，x 轴，x ≥0.(2)如图所示，由|OA|=|OB|可知AB ⊥x 轴，垂足为点M ， 又焦点F 是△OAB 的重心，则|OF|=23|OM|. 因为F (2，0)，所以|OM|=32|OF|=3，所以M (3，0).故设A (3，m )，代入y 2=8x 得m 2=24， 所以m=2√6或m=-2√6， 所以A (3，2√6)，B (3，-2√6)，所以|OA|=|OB|=√33， 所以△OAB 的周长为2√33+4√6.5．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，由|PF |＝2得：1＋p2＝2，得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，解得k ＝±1，所以k 的值为1或－1.。
学案4:2.3.2 抛物线的简单几何性质
2.3.2 抛物线的简单几何性质学习目标 ： 学习目标思维脉络1.掌握抛物线的简单几何性质;2.能运用抛物线的几何性质解决有关问题;3.掌握直线与抛物线的综合问题.【新知导学】1.抛物线的简单几何性质2.焦半径与焦点弦抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径,过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦.设抛物线y 2=2px (p>0)上任意一点P (x 0,y 0),焦点弦端点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则焦半径|PF|=x 0+p2,焦点弦|AB|=x 1+x 2+p.特别地,过抛物线的焦点F 作垂直于对称轴的直线,交抛物线于A ,B 两点,则线段AB 称为抛物线的“通径”,由A (p2,p),B (p2,-p)可知通径的长|AB|等于2p.3.直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有交点.(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.【重难探究】抛物线几何性质的应用1.注意抛物线各元素间的关系:抛物线的焦点始终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点,抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.2.解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中,通过定义的运用,实现两个距离之间的转化,简化解题过程.例1若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A.(14,±√24)B.(18,±√24)C.(14,√24)D.(18,√24)变式训练1若抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12,则点P到焦点F的距离|PF|=.直线与抛物线的位置关系1.联立直线和抛物线方程得ax2+bx+c=0.当a≠0时,Δ>0⇔直线与抛物线相交,有两个不同的交点;Δ=0⇔直线与抛物线相切,只有一个公共点;Δ<0⇔直线与抛物线相离,没有公共点.当a=0时,则直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时,直线和抛物线相交,只有一个公共点,但不能称为相切.2.直线与抛物线相交且有两个公共点时,弦长|AB|=√1+k2|x1-x2|或|AB|=√1+1|y1-y2|.这里k2我们经常用设而不求的技巧,借助根与系数的关系整体代入.解题时应注意Δ>0这一隐含条件的作用.例2若直线l:y=(a+1)x-1与抛物线C:y2=ax(a≠0)恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.变式训练2设直线y=2x+b与抛物线y2=4x交于A,B两点,已知弦AB的长为3√5,则b=.抛物线的焦点弦问题设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则焦点弦AB的长度如下:,|AF|<|BF|,则例3过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=2512|AF|=.变式训练3过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则|PQ|等于()A.4pB.5pC.6pD.8p抛物线中的定点、定值问题1.一般地,求证某式的值为定值时,可转化为求该式的值,在求解过程中参数一般可以通过约分化去,或可以整体抵消;有时也可以从特殊情形入手求出定值,然后给出证明.2.定点问题可有两种处理方式,一是直接推理,引入参数,在变形过程中消去参数(部分),得到曲线方程,由方程特点判断曲线过定点;二是先考察特殊情况,再给出严密的推理证明.例4 已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2=2x 的顶点,点A ,B 都在抛物线上,且∠AOB=90°,证明:直线AB 必过一定点.变式训练4设抛物线C :y 2=4x ,F 为C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,求证:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个定值.【当堂检测】1．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8y D ．x 2＝±16y2．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1，0)，且AB ＝1，则点A 的横坐标为( ) A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．－2或23．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16【课后训练案】1．过(1，1)点与抛物线y 2＝x 只有一个公共点的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 2．直线y ＝2x ＋4与抛物线y ＝x 2交于A 、B 两点，则△ABO 的面积为( ) A ．25 B ．4 5 C ．6 5 D ．853．设AB 为抛物线y 2＝x 上的动弦，且|AB |＝2，则弦AB 的中点M 到y 轴的最小距离为( ) A ．2 B.34 C ．1 D.544．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________． 5．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t ，3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B ．6C ．12D ．73 7．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于__________________________________________________________． 8．已知抛物线y 2＝2px的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________．9．过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |＝8，O 为坐标原点，求△OAB 的重心的横坐标．10．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是5，求此抛物线的方程．答 案【重难探究】 抛物线几何性质的应用例1【思路分析】利用抛物线定义将点P 到准线的距离转化为点P 到焦点的距离,从而得到点P 的横坐标,再代入抛物线方程求其坐标.【解析】由题意知,点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离,因此点P 在线段OF 的垂直平分线上,而F (14,0),所以点P 的横坐标为18,代入抛物线方程得y=±√24,故点P 的坐标为(18,±√24),故选B .【答案】B变式1【解析】不妨设点P (x ,12),则122=16x ,解得x=9, 故|PF|=9+p2=9+4=13. 【答案】13例2 【思路分析】将直线方程与抛物线方程联立,消去y 后化为关于x 的方程,其中二次项系数含有参数,分类讨论方程有一个解时a 的取值. 【答案】解:因为直线l 与抛物线C 恰好有一个公共点, 所以方程组{y =(a +1)x -1,y 2=ax 有唯一一组实数解.消去y ,得[(a+1)x -1]2=ax ,整理得(a+1)2x 2-(3a+2)x+1=0.①(1)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x 的一元一次方程,解得x=-1,这时,原方程组有唯一解{x =-1,y =-1.(2)当a+1≠0,即a ≠-1时,方程①是关于x 的一元二次方程. 令Δ=(3a+2)2-4(a+1)2=a (5a+4)=0, 解得a=-45(a=0舍去).当a=-45时,原方程组有唯一解{x =-5,y =-2.综上可知,实数a 的取值集合为{-1,-45}.变式2 【解析】由{y =2x +b ,y 2=4x 消去y ,得4x 2+4(b -1)x+b 2=0.由Δ>0,得-2b+1>0,即b<12.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=1-b ,x 1x 2=b 24,∴|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1-2b . ∴|AB|=√1+22|x 1-x 2|=√5·√1-2b =3√5. ∴1-2b=9,即b=-4.【答案】-4例3 【解析】显然过焦点F 的直线AB 的斜率存在, 则设过抛物线焦点的直线方程为 y=k (x -12)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2).由{y 2=2x ,y =k (x -12),得k 2x 2-(k 2+2)x+14k 2=0,则x 1+x 2=k 2+2k 2,x 1x 2=14. 则|AB|=x 1+x 2+1=k 2+2k 2+1=2512,解得k 2=24,代入k 2x 2-(k 2+2)x+14k 2=0,得12x 2-13x+3=0,解得x 1=13,x 2=34, 故|AF|=x 1+12=56.【答案】56变式3 【解析】因为|PQ|=x 1+x 2+p ,且x 1+x 2=3p , 所以|PQ|=4p. 【答案】A例4【证明】设OA 所在直线的方程为y=kx ,则直线OB 的方程为y=-1k x , 由题意知k ≠0.由{y =kx ,y 2=2x ,解得{x =0,y =0或{x =2k 2,y =2k ,即点A 的坐标为(2k 2,2k ),同样由{y =-1k x ,y 2=2x ,解得点B 的坐标为(2k 2,-2k ).故AB 所在直线的方程为y+2k=2k +2k 2k 2-2k 2(x -2k 2),化简并整理,得(1k -k)y=x -2. 不论实数k 取任何不等于0的实数, 当x=2时,恒有y=0. 故直线过定点P (2,0).变式4 【证明】∵l 与抛物线有两个交点且过焦点,∴l 不与x 轴重合.设直线l 的方程为x=ky+1,设直线l 与抛物线的交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{x =ky +1,y 2=4x ,消去x 整理得y 2-4ky -4=0, ∴y 1+y 2=4k ,y 1y 2=-4.∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y2=(ky 1+1)(ky 2+1)+y 1y 2=k2y 1y 2+k (y 1+y 2)+1+y 1y 2=-4k 2+4k 2+1-4=-3, ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个定值.【当堂检测】 1．【答案】D2．【解析】由y 2＝4x 知B (1，0)为焦点，准线为x ＝－1，由抛物线定义知x A ＋p 2＝1，得x A＝0. 【答案】B 3．【答案】B【课后训练案】1．【解析】因为点(1，1)在抛物线y 2＝x 上，所以作与y 2＝x 只有一个公共点的直线有两条，其中一条为切线，一条为平行于x 轴的直线．2．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝x 2，得x 2－2x －4＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4，|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10，原点到直线的距离d ＝45，S △AOB ＝12×10×45＝4 5.【答案】B3．【解析】由题意，抛物线y 2＝x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14，根据抛物线的定义，∵|AB |＝2，∴A ，B 到准线的距离和最小为2(当且仅当A 、B 、F 三点共线时取最小)．∴弦AB 的中点到准线的距离最小为1.∴弦AB 的中点到y 轴的最小距离为1－14＝34.【答案】B4．【解析】设A (x 2，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，y 2＝4x ，整理得x 2－8x ＋4＝0，所以x 2＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 2＋x 2－4＝4，所以中点坐标为(4，2)． 【答案】(4，2)5．【解析】据已知可得直线AB 的方程为y ＝4tx －1，联立直线与抛物线方程，得⎩⎨⎧y ＝4t x －1，x 2＝12y ，消元整理，得2x 2－4t x ＋1＝0，由于直线与抛物线无公共点，即方程2x 2－4t x ＋1＝0无解，故有Δ＝(－4t )2－8<0，解得t >2或t <－ 2.【答案】D6．【解析】抛物线的焦点坐标为F (34，0)，直线AB 的斜率k ＝tan 30°＝33，所以直线AB的方程为y ＝33x －34.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34，y 2＝3x 得13x 2－72x ＋316＝0，故x 1＋x 2＝212，x 1x 2＝916.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋13·（212）2－4×916＝12. 【答案】C7．【解析】由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，又点P 在抛物线上， 则k 2＝4p ，因为|PF |＝4，所以p2＋2＝4，即p ＝4，所以k ＝±4.8．【解析】双曲线x 27－y 29＝1的右焦点为(4，0)，即为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以p 2＝4可得p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝16x ，其准线为x ＝－4，所以K (－4，0)，过A 作AM 垂直于准线，垂足为M ，则|AM |＝|AF |，则|AK |＝2|AM |，所以∠MAK ＝45°，|KF |＝|AF |，所以△AFK 的面积为12|KF |2＝32.【答案】329．【答案】解：由题意知抛物线焦点F (1，0)．设过焦点F (1，0)的直线为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．代入抛物线方程消去y ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. ∵k 2≠0，∴x 1＋x 2＝2（k 2＋2）k 2，x 1x 2＝1. ∵|AB |＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2 ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋k 2）⎣⎡⎦⎤4（k 2＋2）2k 4－4＝8， ∴k 2＝1.∴△OAB 的重心的横坐标为x ＝0＋x 1＋x 23＝2.10．【答案】解：如图设直角三角形为AOB ，直角顶点为O ，AO 边的方程为y ＝2x ， 则OB 边的方程为y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px 得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，得B 点坐标为(8p ，－4p )．因为|AB |＝5，所以 （p ＋4p ）2＋⎝⎛⎭⎫p 2－8p 2＝5， 因为p >0，解得p ＝21313， 所以所求抛物线方程为y 2＝41313x .。
抛物线的简单几何性质学案
抛物线的简单几何性质学习目标：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论。
学习重难点：抛物线的几何性质及其运用。
课前检测：1.若A是定直线l外的一定点，则过A且与l相切圆的圆心轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线2.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是( )A.2.5B.5C.7.5D.103.已知原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在2x-4y+11=0上，则抛物线方程是( )A.y2=11xB.y2=-11xC.y2=22xD.y2=-22x 4．曲线2x2-5xy+2y2=1( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x对称D.关于y=x对称也关于y=-x对称探究新知：（2）抛物线的几何性质的特点：有个顶点，个焦点，条准线，条对称轴，对称中心，没有渐近线。
典例分析：例1.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),求它的标准方程变式1：求顶点在原点,对称轴是坐标轴，并且经过点M (2,-22)的抛物线的标准方程。
例2、斜率为1的直线经L 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长。
变式2：过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =巩固练习：1、已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF的长分别是p 、q ，则q p 11+=（ ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a43．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______4.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标5、抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．6．以椭圆1522=+y x 的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．达标检测：1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( )A.pB.2pC.4pD.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15B.415C.215D.42 3.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( )A.-0x p B.0y p C.px - D.-px 0 4.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( )A.4B.-4C.p 2D.-p 2 5、抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 .6.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜= .7、若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为 .8、以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线的位置关系是 ．9、已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.课后反思：。
高中数学 2-1 2.4.2抛物线的简单几何性质 学案
2。
4.2抛物线的简单几何性质(一)教学目标1。
知识与技能：（1）通过对抛物线图形的研究，让学生熟悉抛物线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对抛物线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
（2）熟练掌握抛物线的几何性质，会用抛物线的几何性质解决相应的问题.2。
过程与方法：通过讲解抛物线的相关性质,理解并会用抛物线的相关性质解决问题。
3。
情感、态度与价值观：（1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；(2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点重点：抛物线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质.(三）教学过程活动一：创设情景、引入课题(5分钟）问题1:前面两节课，说一说所学习过的内容？1、抛物线的定义？2、四种不同抛物线方程的对比？问题2：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为抛物线22(0)=>有那些的几何性质？通过它的形状，你能y px p从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性？抛物线上哪些点比较特殊?活动二：师生交流、进入新知，（20分钟)一、抛物线的简单几何性质1．范围：0x≥,y R∈2．对称性:抛物线关于x轴对称。
3．顶点:坐标原点（0，0）4．离心率:=1e问题3：说出当e满足下列条件时,曲线是什么图形？（1）当0＜e＜1时，（2)当e＞1时，（3)当e=1时。
5。
焦半径：抛物线上任一点到焦点的距离（即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．6。
由焦半径公式不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦),若A（x1，y1)、B(x2,y2），则有|AB｜=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴时,抛物线的通径|AB｜=2p练习：完成下列表格例3:已知:抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点2M （，-，求它的标准方程，并用描点法画出图形．问题4：思考顶点在坐标原点，并且经过点2M （，-的抛物线有几条？求出它的标准方程。
抛物线的简单几何性质(第二课时)学案-高二上学期数学人教A版选择性
第2课时抛物线的简单几何性质学习目标1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题．知识梳理抛物线四种形式的标准方程及其性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形范围x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标准线方程顶点坐标O(0,0)离心率e=1合作探究学习目标一求抛物线的对称轴例1.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．思考：你还有其它的证明方法吗？学习目标二 和抛物线有关的轨迹方程例2. 如图，已知定点B (a,−ℎ), BC ⊥x 轴于点C , M 是线段OB 上任意一点, MD ⊥x 轴于点D , ME ⊥BC 于点E , OE 与MD 相交于点P ，求P 点的轨迹方程。
★例3. 已知动圆经过定点D (1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程.(2)设过点P (1,2)的直线l 1 ,l 2分别与曲线C 交于A ,B 两点,直线l 1 ,l 2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB 的斜率为定值. 巩固练习1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．182.动点P(x ，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x ＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是（ ） A.椭圆C.双曲线的一支3.已知动圆M 经过点A(3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）2＝12x 2＝－12x 2＝12y 2＝12y4.设A ，B 是抛物线x2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB 的面积为16，则∠AOB 等于（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°5.若直线x －y ＝2与抛物线y2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________.6.已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________.7．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，求b 的值． ★8.如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x 于A,B 两点,试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P,使△PAB 的面积最大,并求出这个最大面积.第2课时 抛物线的简单几何性质 参考答案例题3解：(1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1.又A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1.自我评价 1.A 2.D 3.A 4.D 5.(4,2) 6.x y 42=7.【答案】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24.∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1－2b.∴|AB|＝1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b ＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4. 8.解:由{y =2x -4.y 2=4x,解得{x =4,y =4或{x =1,y =−2.∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3√5.(方法1)设P(x 0,y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点,d 为点P 到直线AB 的距离,则有d=|2x 0-y 0-4|√5=1√5|y 022-y 0-4|=12√5|(y 0-1)2-9|.∵-2<y 0<4,∴(y 0-1)2-9<0.∴d=12√5[9-(y 0-1)2]. 从而当y 0=1时,d max =92√5,S max =12×92√5×3√5=274.因此,当点P 的坐标为(14,1)时,△PAB 的面积取得最大值,最大面积为274. (方法2)由{y =2x -4,y 2=4x,解得{x =4,y =4或{x =1,y =−2.∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3√5.设点P 的坐标为(4t 2,4t),∵点P(4t 2,4t)在抛物线AOB 这段曲线上,∴-2<4t<4,得-12<t<1.由题意得点P(4t 2,4t)到直线AB 的距离2√5=√5(t -14)2-98|.∵当t ∈(-12,1)时,2(t -14)2−98<0,∴d=√5[98-2(t -14)2],∴当t=14时,d max =√5×98=2√5.(方法3)设y=2x+m 是抛物线y 2{y =2x +m,y 2=4x,消去x,并整理,得y 2-2y+2m=0.∵Δ=4-8m=0,∴m=12.此时,方程为y 2-2y+1=0,解得y=1,x=14,∴P (14,1).此时点P 到直线y=2x-4的距离d 最大(在抛物线AOB 这段曲线上). ∴d max =|2×14-1-4|√5=2√5,∴S △PAB 的最大值为12×3√5×2√5=274.。
学案1：2.7.2 抛物线的几何性质
2.7.2抛物线的几何性质学习目标核心素养1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．通过抛物线的几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养．【情境导学】情境引入如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点离心率e＝思考1：抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴？思考2：抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？思考3：参数p对抛物线开口大小有何影响？2．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．()(2)抛物线的范围为x∈R．()(3)抛物线关于顶点对称．()(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同．()2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是() A．8B．6C．4D．23．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝．4．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是．【合作探究】【例1】(1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的标准方程是．(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[规律方法]用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程．[跟进训练]1．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程．【例2】(1)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O 为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是．(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p ＞0)上，求这个三角形的边长．[规律方法]利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．(4)焦点：解决焦点弦问题．提醒：解答本题时易忽略A，B关于x轴对称而出错．[跟进训练]2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，求抛物线的标准方程．[探究问题]以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，回答下列问题：(1)过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？(2)以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？(3)解决焦点弦问题需注意什么？【例3】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．[思路探究]根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程．[母题探究]1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．2．(变换条件)本例中，若A 、B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1．[规律方法]解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.【课堂小结】1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义．3．抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，其中x 1，x 2分别是点A ，B 横坐标的绝对值；抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ，其中y 1，y 2分别是点A ，B 纵坐标的绝对值．4．求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．【学以致用】1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．182．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( ) A ．(2，±22)B ．(1，±2)C．(1,2) D．(2,22)4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是．5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y ＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B．(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|＝8，求k的值．【参考答案】【情境导学】新知初探2．抛物线的几何性质(0,0)1思考1：[提示]有一条对称轴．思考2：[提示]抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．思考3：[提示]参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．初试身手1．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)×在抛物线中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化．(2)×抛物线的方程不同，其范围不同，y2＝2px(p＞0)中x≥0，y∈R．(3)×(4)√离心率都为1，正确．2．A[∵抛物线的方程为y2＝8x，∴其准线l的方程为x＝－2，设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|，即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，∵点P到y轴的距离是6，∴x0＝6，∴|PF|＝6＋2＝8．]3．8[∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2．∵由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．]4．y2＝24x或y2＝－24x[∵顶点与焦点距离为6，即p2＝6，∴2p＝24，又对称轴为x轴，∴抛物线方程为y2＝24x或y2＝－24x．]【合作探究】【例1】(1)y 2＝5x [线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫54，0， ∴抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫54，0，∴其标准方程是y 2＝5x ．] (2)解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3． [跟进训练]1．[解] 设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)． 因为点P 到对称轴距离为6，所以y 0＝±6，因为点P 到准线距离为10，所以⎪⎪⎪⎪x 0＋a2＝10． ① 因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0． ②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9. 所以所求抛物线方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x ．类型二抛物线性质的应用【例2】(1)43 [如图，设A (x 0，y 0)，过A 作AH ⊥x 轴于H ，在Rt △AFH 中，|FH |＝x 0－1，由∠AFO ＝120°，得∠AFH ＝60°，故y 0＝|AH |＝3(x 0－1)，所以A 点的坐标为()x 0，3(x 0－1)， 将点A 坐标代入抛物线方程可得3x 20－10x 0＋3＝0， 解得x 0＝3或x 0＝13(舍)，故S △AKF ＝12×(3＋1)×23＝43．](2)解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2．又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0．∵x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0，∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p ．∴|AB |＝2y 1＝43p ． [跟进训练]2．[解] 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3．即渐近线方程为y ＝±3x ，而抛物线准线方程为x ＝－p2，于是A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－32p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，32p ，从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2＝3．可得p ＝2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y 2＝4x ．类型三焦点弦问题[探究问题](1) [提示] ①|AB |＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋p2(焦点弦长与中点关系)． ②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．③A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．④S △AOB ＝p 22sin θ．⑤1|AF |＋1|BF |＝2p(定值)． (2) [提示] 如图，AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l ．所以以AB 为直径的圆必与准线l 相切．(3) [提示] 要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．【例3】[解] ∵过焦点的弦长|AB |＝52p ， ∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵y 2＝2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0．∴直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋14k 2p 2＝0(k ≠0)， ∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝k 2p ＋2p k 2＋p ， 又|AB |＝52p ，∴k 2p ＋2p k 2＋p ＝52p ，∴k ＝±2． ∴所求直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p 2． [母题探究]1．[解] 设AB 中点为M (x 0，y 0)，由例题解答可知2x 0＝x 1＋x 2＝32p ， 所以AB 的中点M 到y 轴的距离为34p ． 2．[解] 由例题解析可知AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，即x ＝1k y ＋p 2，代入y 2＝2px 消x 可得y 2＝2p k y ＋p 2，即y 2－2p ky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2， 由A 1点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，y 1，B 1点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2，得kA 1F ＝－y 1p ，kB 1F ＝－y 2p ． ∴kA 1F ·kB 1F ＝y 1y 2p2＝－1，∴∠A 1FB 1＝90°． 【学以致用】1．A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB的距离为1－12＝12．] 2．D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x 2＋y 2＝(x －4)2＋y 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2. 所以符合题意的点为(2，±42)．]3．B [由题意知F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0， 由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B ．] 4．158 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14． ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158．] 5．[解] (1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2， 由|PF |＝2得：1＋p 2＝2，得p ＝2． 所以抛物线的方程为y 2＝4x ．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，可得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2． ∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，解得k ＝±1， 所以k 的值为1或－1．。
抛物线的简单几何性质 学案
2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一 抛物线的简单几何性质 思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y 2＝2px (p >0)如何确定横坐标x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标O (0,0)离心率 e ＝1 通径长2p直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 知识点三 焦点弦的性质已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，|AF |＝x 1＋p2；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(1)抛物线没有渐近线．(√)(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p .(×)(3)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．(×)(4)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(√)类型一 抛物线方程及其几何性质例1 (1)顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8yD ．x 2＝±16y考点 抛物线的简单几何性质 题点 焦点、准线、对称性简单应用 答案 D解析 顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py ，x 2＝2py (p ＞0)．由顶点到准线的距离为4，知p ＝8，故所求抛物线方程为x 2＝16y 或x 2＝－16y .(2)顶点在原点，经过点(3，－6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线方程是________________． 考点 抛物线的简单几何性质 题点 焦点、准线、对称性简单应用 答案 y 2＝123x 或x 2＝－12y解析 若x 轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为点(3，－6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p ·3，解得2p ＝123，故所求抛物线的标准方程为y 2＝123x .若y 轴是抛物线的对称轴，则同理可得抛物线的标准方程为x 2＝－12y .反思与感悟 求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数． (2)方法：①定义法：根据定义求p ，最后写标准方程． ②待定系数法：设标准方程，列有关的方程组求系数．③直接法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．跟踪训练1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 考点 由抛物线的简单几何性质求方程 题点 由简单几何性质求抛物线的方程 解 由题意，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫a 2，0，准线l ：x ＝－a 2， ∴A ，B 两点坐标分别为⎝⎛⎭⎫a 2，a ，⎝⎛⎭⎫a 2，－a ， ∴|AB |＝2|a |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪a 2·2|a |＝4，∴a ＝±22，∴抛物线方程为y 2＝±42x . 类型二 焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线相交弦长及弦中点问题 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3， 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为 y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，消去y 得4x 2－20x ＋9＝0， 解得x 1＝12，x 2＝92，故|AB |＝1＋(3)2×⎪⎪⎪⎪92－12＝2×4＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.反思与感悟 抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．跟踪训练2 如图，斜率为43的直线l 经过抛物线y 2＝2px 的焦点F (1,0)，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段AB 的长．考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 求抛物线的焦点弦长解 (1)由焦点F (1,0)，得p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线的标准方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 直线l 的方程为y ＝43(x －1)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0， 由抛物线的定义可知， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝174＋2＝254，所以线段AB 的长为254.类型三 直线与抛物线位置关系例3 (1)过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.(2)已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴y ＝1，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1， 此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k ＞1时，l 与C 没有公共点． 引申探究求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解 (1)若直线斜率不存在， 则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以直线x ＝0与抛物线只有一个交点． (2)若直线斜率存在，设为k ，则过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0. 当k ＝0时，得x ＝12，且y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则 Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，则直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1或x －2y ＋2＝0.反思与感悟 设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)若k 2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．跟踪训练3 (1)已知直线y ＝kx －k 和抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( ) A ．直线和抛物线有一个公共点 B ．直线和抛物线有两个公共点 C ．直线和抛物线有一个或两个公共点 D ．直线和抛物线可能没有公共点 考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 C解析 ∵直线y ＝kx －k 过定点(1,0)， ∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．(2)(2017·牌头中学期中)抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为____．答案 (－2,4) (1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由⎝⎛⎭⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x考点 由抛物线的简单几何性质求方程 题点 由简单几何性质求抛物线的方程 答案 C解析 在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0，得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫－112，0，设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12考点 抛物线的简单几何性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，且点A (－2,3)在准线上， 故－p2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2,0)， 这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.3．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列也成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 考点 抛物线的简单几何性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 A解析 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3. 因为2y 22＝y 21＋y 23， 所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________. 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其他问题 答案 2解析 设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 易知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ， 且倾斜角为45°的直线的方程为y ＝x －p2，把x ＝y ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－p 2. ∵|AB |＝8，∴|y 1－y 2|＝42， ∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(42)2， 即(2p )2－4×(－p 2)＝32. 又p >0，∴p ＝2.5．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为________． 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用 答案41解析 圆心C (－3，－4)，由抛物线的定义知，m ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点(2,0)间的距离，即(－3－2)2＋(－4)2＝41.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．一、选择题1.(2017·嘉兴一中期末)已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14B ．2C ．4D ．8 答案 B2．抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 由简单几何性质求抛物线的方程答案 D解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2， ∴p 2＋p 4＝6，∴p ＝8. 3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D ．3 考点 直线与抛物线的位置关系题点 求距离最小值问题答案 A解析 设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值为43. 4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其上的三个点A ，B ，C 的横坐标之比为3∶4∶5，则以|F A |，|FB |，|FC |为边长的三角形( )A ．不存在B ．必是锐角三角形C ．必是钝角三角形D ．必是直角三角形考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 1＝3k ，x 2＝4k ，x 3＝5k (k >0)，由抛物线定义，得|F A |＝p 2＋3k ，|FB |＝p 2＋4k ，|FC |＝p 2＋5k ，易知三者能构成三角形，|FC |所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．5．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )．所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2. 6．(2017·牌头中学期中)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3C.1728D.10 答案 B解析 设点A 的坐标为(a 2，a )，点B 的坐标为(b 2，b )，直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，与抛物线y 2＝x 联立得y 2－ty －m ＝0，故ab ＝－m ，由OA →·OB →＝2得a 2b 2＋ab ＝2，故ab ＝－2或ab ＝1(舍去)，所以m ＝2，所以△ABO 的面积为12m |a －b |＝|a －b |＝⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，△AFO 的面积等于12×14|a |＝|a |8，所以△ABO 与△AFO 的面积之和为⎪⎪⎪⎪9a 8＋⎪⎪⎪⎪2a ≥29|a |8×2|a |＝3，当且仅当9|a |8＝2|a |，即|a |＝43时“＝”成立，故选B. 7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线位置关系的综合应用答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 消去x ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.二、填空题8．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是____________．考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 (1,2)或(1，－2)解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0， 则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0， 由OA →·AF →＝－4，得y 0＝±2，∴点A 的坐标是(1,2)或(1，－2)．9．(2017·嘉兴一中期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．答案 32210．已知在抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线位置关系答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)，两点关于直线y ＝kx ＋92对称，显然k ＝0时不成立， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k . 设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k，y 0＝k ×⎝⎛⎭⎫－12k ＋92＝4. 又中点P 在抛物线y ＝x 2内，∴4＞⎝⎛⎭⎫－12k 2，即k 2＞116， ∴k ＞14或k ＜－14. 三、解答题11．(2017·嘉兴一中期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解 (1)由题意知抛物线焦点坐标为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，Δ＝16t 2＋16b >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2.∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．12．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 已知弦长求抛物线的方程解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ， 得2x 2－ax ＋a ＝0.∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8.设两交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2， ∴|AB |＝54(x 1－x 2)2＝54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝145(a 2－8a ).∵|AB |＝15，∴145(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12，∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .13．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为2，求|AB |的值；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题(1)解 依题意得F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)．设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得x 2－3x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1.方法一 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5×32－4×1＝5.方法二 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋2＝5.(2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x ，整理得y 2－4ky －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3，∴OA →·OB →是一个定值．四、探究与拓展14．已知直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p,2p )，则其焦点弦的长度为________．考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 25p 8 解析 由题意，知直线l 过⎝⎛⎭⎫p 2，0和(2p,2p )，所以直线l ：y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2.设另一交点坐标为(x 1，y 1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0.由根与系数的关系，得x 1＋2p ＝17p 8，所以焦点弦的长度为x 1＋2p ＋p ＝25p 8. 15．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)设点A 的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A 的距离的最小值d ，并写出d ＝f (a )的函数表达式．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题解 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13. 因为x ≥0，且在此区间上|P A |2随着x 的增大而增大，所以当x ＝0时，|P A |min ＝23， 故距离点A 最近的点P 的坐标为(0,0)，最短距离是23. (2)同(1)求得|P A |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋2x ＝[x －(a －1)]2＋(2a －1)．当a －1≥0，即a ≥1时，|P A |2min ＝2a －1，解得|P A |min ＝2a －1，此时x ＝a －1；当a －1＜0，即a ＜1时，|P A |2min ＝a 2，解得|P A |min ＝|a |，此时x ＝0.所以d ＝f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1，a ≥1，|a |，a ＜1.。
学案2：2.3.2抛物线的简单几何性质
2．3.2 抛物线的简单几何性质学习目标：1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系．(难点)预习提示：1．类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？2．参数p对抛物线开口大小有何影响？3．点P(x0，y0)与抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系，如何判断？4．直线与抛物线有哪几种位置关系？5．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？课堂探究：例1、如图所示，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上的一点，其横坐标为4，且在x轴的上方，点A到抛物线的准线的距离等于5，过A作AB⊥y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过M作MN⊥F A，垂足为N，求直线MN的方程．变式训练：已知抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，求该抛物线的焦点坐标和准线方程．例2、已知：直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点？变式训练：若过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 有两个公共点，求直线的斜率k 的取值范围．例3、 已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l 被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．变式训练：本例中，若把直线的倾斜角改为135°，被抛物线截得的弦长改为8，其他条件不变，试求抛物线的方程．当堂达标：1．抛物线y2＝ax(a≠0)的对称轴为( )A ．y 轴B ．x 轴C ．x ＝－a 2D ．x ＝－a 42．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是________． 4．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，求点P 的坐标．答案：1．【提示】 范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0,0)． 2．【提示】 参数p (p ＞0)对抛物线开口大小的影响因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越大，开口越大． 3．【提示】 点P (x 0，y 0)与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的位置关系 (1)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)内部⇔y 20＜2px 0. (2)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上⇔y 20＝2px 0. (3)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)外部⇔y 20＞2px 0. 4．【提示】 三种：相离、相切、相交．5．【提示】 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．课堂探究：例1、 【自主解答】 (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)，F (1,0)， ∴k F A ＝43.又MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34，则直线F A 的方程为y ＝43(x －1)，直线MN 的方程为y －2＝－34x ，即3x ＋4y －8＝0.变式训练：【解】 抛物线方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y (a ≠0)．当a ＞0时，抛物线开口向上，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 当a ＜0时，抛物线开口向下，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 综上所述，抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 例2、【自主解答】 由{ y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得 k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程变为－4x ＋1＝0，x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1， 此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，方程(*)是一个一元二次方程： Δ＝(2k －4)2－4k 2×1＝16－16k①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时l 与C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时l 与C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与C 有一个公共点； (2)当k ＜1，且k ≠0时，直线l 与C 有两个公共点； (3)当k ＞1时，直线l 与C 没有公共点．变式训练：【解】 设直线方程为y －2＝k (x ＋3)． 由{ y －2＝k x ＋3y 2＝4x 消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①(1)当k ＝0时，方程①化为y ＝2，直线y ＝2与抛物线y 2＝4x 相交，有一个公共点，不合要求； (2)当k ≠0时，Δ＝16－4k (8＋12k )＞0. ∴－1＜k ＜13，因此－1＜k ＜13且k ≠0.综上可知，斜率k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪－1＜k ＜13且k ≠0. 例3、 【自主解答】 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时， 可设抛物线标准方程是y 2＝2px (p ＞0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 为y ＝x －p2. 设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A 、B 分别向抛物线的准线作垂线AA 1、BB 1，垂足分别为A 1、B 1.则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1| ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∴x 1＋x 2＝6－p . ①由⎩⎨⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫x －p22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0. ∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x . 变式训练：【解】 如图，依题意当抛物线方程设为y 2＝2px (p ＞0)时，抛物线的准线为l ，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.于是x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2. 故所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .当堂达标：1．【解析】 形如y 2＝±2px (p ＞0)的抛物线的对称轴为x 轴． 【答案】 B2．【解析】 依题意，p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为x 2＝±12y . 【答案】 C3．【解析】 设直线y ＝4x ＋b 与抛物线相切，切点P (x 0，y 0)， 则点P 离y ＝4x －5距离最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋b y ＝4x 2得， 4x 2－4x －b ＝0，Δ＝16＋16b ＝0，∴b ＝－1， 解得x 0＝12，y 0＝1，所以P ⎝⎛⎭⎫12，1.【答案】 ⎝⎛⎭⎫12，14．【解】 根据题意可知：|PF |＝|PO |，其中O 为原点，F 为焦点，∴x P ＝x F 2＝18，∴y P ＝±18＝±122＝±24，∴P ⎝⎛⎭⎫18，±24.。
《抛物线的简单几何性质》学案1(人教A版选修2-1)
§2.4.2抛物线的简单几何性质（1）学习目标1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程一、课前准备（预习教材理P 68~P 70，文P 60~P 61找出疑惑之处）复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是．复习2：双曲线221169x y 有哪些几何性质？二、新课导学※学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？新知：抛物线的几何性质图形标准方程焦点准线顶点对称轴x 轴离心率试试：画出抛物线28y x 的图形，顶点坐标（）、焦点坐标（）、准线方程、对称轴、离心率．※典型例题例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M ，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,22)M 的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x 于A ，B 两点，求AB ．小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．※动手试试练1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点(5M ，4)；⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ；⑶焦点是(0,8)F ，准线是8y ．三、总结提升※学习小结1．抛物线的几何性质；2．求过一点的抛物线方程；3．求抛物线的弦长．※知识拓展抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．其长为2p ．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．下列抛物线中，开口最大的是（）．A ．212yx B ．2y x C ．22y x D ．24yx 2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（）．A ．220y x B ．220xy C ．2120y x D ．2120x y 3．过抛物线24y x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（）．A ．10B ．8C ．6D ．44．抛物线2(0)yax a 的准线方程是．5．过抛物线22y x 的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x ，则AB =．课后作业1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：⑴顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；⑵顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点(6,3)P ．2M 是抛物线24y x 上一点，F 是抛物线的焦点，60xFM ，求FA ．。
学案9：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的下列性质：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的范围是什么？(2)抛物线y2＝2px(p>0)的对称轴是什么？是否存在对称中心？(3)抛物线的顶点坐标有几个？顶点坐标是什么？(4)抛物线的离心率是多少？2．归纳总结，核心必记抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0，0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下在同一坐标系下画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，试分析影响抛物线开口大小的量是什么？课堂互动区知识点1 抛物线的几何性质 讲一讲1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 类题通法(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程． 练一练1．已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．知识点2 抛物线的焦点弦问题思考 抛物线上一点与焦点F 的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦，若P (x 0，y 0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？讲一讲2．已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.类题通法(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．练一练2．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．知识点3 直线与抛物线的位置关系思考1若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切吗？思考2如何判断点P(x0，y0)与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系？讲一讲3．设直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．类题通法研究直线和抛物线的位置关系时，由于消元后所得的方程中含参数，因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论．练一练3．已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．————————[课堂归纳·感悟提升]——————————1．本节课的重点是抛物线的几何性质和焦点弦问题，难点是直线与抛物线的位置关系．2．在研究直线与抛物线的位置关系时，直线与抛物线只有一个公共点，包括相交和相切两种情况，这是本节课的一个易错点．3．本节课要重点掌握的规律方法(1)抛物线的焦点弦问题，见讲2；(2)直线与抛物线的位置关系，见讲3.4．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．参考答案预习导引区核心必知1．(1)提示：x≥0，y∈R．(2)提示：对称轴为x轴，不存在对称中心．(3)提示：只有一个顶点坐标(0，0)．(4)提示：e ＝1． 问题思考提示：影响抛物线开口大小的量是参数p ，p 值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 课堂互动区知识点1 抛物线的几何性质 讲一讲1．解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3. 练一练1．解：因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2. 知识点2 抛物线的焦点弦问题思考 名师指津：x 0＋p 2 p 2－x 0 y 0＋p 2__p2－y 0 x 1＋x 2＋p p －x 1－x 2 y 1＋y 2＋p p －y 1－y 2． 讲一讲2．解：设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3，∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝ 1＋19·22－4×（－22）＝22303. 练一练2．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝⎛⎭⎫32，0.所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知， |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.知识点3 直线与抛物线的位置关系思考1 名师指津：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是只有一个公共点时，直线与抛物线可能相切也可能平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 思考2 名师指津：(1)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)内部⇔y 20<2px 0； (2)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上 ⇔y 20＝2px 0； (3)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)外部⇔y 20>2px 0． 讲一讲3．解：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.若k ≠0，方程k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0为一元二次方程．∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． (1)当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切， (2)当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交， (3)当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离．若k ＝0，直线l 方程为y ＝1，显然与抛物线C 交于⎝⎛⎭⎫14，1.综上所述，当k ＝1时，l 与C 相切；当k <1时，l 与C 相交；当k >1时，l 与C 相离． 练一练3．证明：设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k 2k 2－2k 2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝⎛⎭⎫1k －k y ＝x －2. 不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2，0)．。
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x1 x2
类型
； y1 y 2
。
y 2 2 px ( p 0)
y 2 2 px ( p 0)
x 2 2 py ( p 0)
x 2 2 py ( p 0)
【自主检测】
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程。
图像
（1） x 2 2 y
（2） x 2 y 2
【思考探究】
设 AB 是抛物线 y 2 px( p 0) 过焦点 F 的一条弦，设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ，则
2
预习目标
【课前预习导读】
1、四种标准形式的抛物线几何性质与特征比较：
（1）|AB|=
； （焦点弦长）
（2） A、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积质 顶点 离心 率 开口 方向
2、准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程为 3、抛物线 y 2 8x 上到焦点的距离为 6 的点的坐标为 4、求抛物线的标准方程：
。 。
（1）顶点在原点，关于 x 轴对称，且经过点（5，-4） ； （2）顶点在原点，顶点与焦点的距离为 6.
踏踏实实，认认真真；日积月累，循序渐进。
即墨二中高二数学预习学案
编写人: 蓝文华 审核人：苗岩青 编写时间：20091228 课题 抛物线的简单几何性质
1、通过预习，理解并掌握抛物线的图形、标准方程、范围、顶点、焦点、准 线、焦点位置、对称性、离心率、开口方向等性质； 2、能解决一些简单的关于性质的问题。 2、抛物线只有一个 3、通径：过抛物线的 为 。 点，一个 点，一条 轴，一条 线，没有 心。 点且垂直于 轴的一条弦，称为抛物线的通径，其长度