高考数学模拟题复习试卷全国大联考高三第三次联考·数学试卷9

高考数学模拟题复习试卷全国大联考高三第三次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前2次联考内容＋数列＋不等式.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M＝{x|x2＋x－6＜0},N＝{x|1≤x≤3},则M∩(RN)等于A.(－2,1)B. (－2,3]C.(－3,1)D.(－1,2]2.已知数列{an}为等差数列,若a3＋a7＝20,则数列{an}的前9项和S9等于A.40B.45C.60D.903.若tanθ＝1,则sin2θ的值为A. B.1C. D.4.下面四个条件中,使a＞b成立的充分不必要条件是A.a＞b＋1B.a＞b－1C.a＋1＞b＋1D.a2＞b25.已知在等比数列{an}中,a3＋a6＝6,a6＋a9＝,则a8＋a11等于A. B. C. D.6.已知平面向量a、b,|a|＝3,|b|＝2且a－b与a垂直,则a与b的夹角为A. B. C. D.7.在各项均为正数的等比数列{an}中,≤2,则下列结论中正确的是A.数列{an}是递增数列B.数列{an}是递减数列C.数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列D.数列{an}是常数列8.若函数f(x)＝ax－k－1(a＞0,a≠1)过定点(2,0),且f(x)在定义域R上是减函数,则g(x)＝loga(x＋k)的图象是9.若0＜x＜1,则＋的最小值为A.24B.25C.36D.7210.已知在各项为正的等比数列{an}中,a2与a8的等比中项为8,则4a3＋a7取最小值时首项a1 等于A.8B.4C.2D.111.在数列{an}中,若存在一个确定的正整数T,对任意n∈N*满足an＋T＝an,则称{an}是周期数列,T叫做它的周期.已知数列{xn}满足x1＝1,x2＝a(a≤1),xn＋2＝|xn＋1－xn|,若数列{xn}的周期为3,则{xn}的前项的和为A.1344B.1343C.1224D.122312.已知log3(x＋y＋4)＞log3(3x＋y－2),若x－y＜λ恒成立,则λ的取值范围是A.(－∞,10]B.(－∞,10)C.(10,＋∞)D.[10,＋∞)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知a＞0,b＞0,ab＝4,当a＋4b取得最小值时,＝▲.14.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z＝2x＋3y的最大值为▲.15.函数y＝ax＋2－2(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx＋ny＋1＝0上,其中mn＞0,则＋的最小值为▲.16.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S6≥21且S15≤120,则a10的最大值是▲.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2－kx＋k－1.(1)当k为何值时,不等式f(x)≥0恒成立;(2)当k∈R时,解不等式f(x)＞0.18.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且满足sinA＋sinB＝2sinC,a＝2b.(1)求cosA的值;(2)若△ABC的面积S△AB C＝,求△ABC三边的长.19.(本小题满分12分)已知正项等比数列{bn}(n∈N*)中,公比q＞1,且b3＋b5＝40,b3·b5＝256,an＝log2bn ＋2.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)若cn＝,求数列{cn}的前n项和Sn.20.(本小题满分12分)某公司新研发了甲、乙两种型号的机器,已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元,劳动力5人,可获利润6万元,生产一台乙种型号的机器需资金20万元,劳动力10人,可获利润8万元.若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器,那么每周这两种机器各生产多少台,才能使周利润达到最大,最大利润是多少?21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(ax2－1)·ex,a∈R.(1)若函数f(x)在x＝1时取得极值,求a的值;(2)当a≤0时,求函数f(x)的单调区间.22.(本小题满分12分)各项均为正数的数列{xn}对一切n∈N*均满足xn＋＜2.证明:(1)xn＜xn＋1;(2)1－＜xn＜1.高三第三次联考·数学试卷参考答案1.C由题知集合M＝{x|－3＜x＜2},RN＝{x|x＜1或x＞3},所以M∩(RN)＝{x|－3＜x＜1}.2.DS9＝＝＝＝90.3.Bsin2θ＝＝＝1.4.A根据题意可知,选项A、C都能推出a＞b成立,但是根据a＞b不能推出A选项成立,故答案选A.5.C＝q3＝,q＝,a8＋a11＝(a6＋a9)q2＝×＝.6.A因为 a－b与a垂直,所以(a－b)·a＝0,所以a·a＝b·a,所以cos a,b ＝＝＝＝,所以 a,b ＝.7.D由题意可知,a3＋a11≥2＝2a7,所以有2≤≤2,从而＝2,当且仅当a3＝a11时取得等号.此时数列{an}是常数列.8.A由题意可知f(2)＝0,解得k＝2,所以f(x)＝ax－2－1,又因为是减函数,所以0＜a＜1.此时g(x)＝loga(x＋2)也是单调减的,且过点(－1,0).故选A符合题意.9.B因为0＜x＜1,所以＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝4＋9＋＋≥13＋2＝25,当且仅当＝,即x ＝时取得等号.10.C由题意知a2a8＝82＝,即a5＝8,设公比为q(q＞0),所以4a3＋a7＝＋a5q2＝＋8q2≥2＝32,当且仅当＝8q2,即q2＝2时取等号,此时a1＝＝2.11.B由xn＋2＝|xn＋1－xn|,得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a,x4＝|x3－x2|＝|1－2a|,因为数列{xn}的周期为3,所以x4＝x1,即|1－2a|＝1,解得a＝0或a＝1.当a＝0时,数列为1,0,1,1,0,1…,所以S＝2×671＋1＝1343.当a＝1时,数列为1,1,0,1,1,0,…,所以S＝2×671＋1＝1343.12.D要使不等式成立,则有,即,设z＝x－y,则y＝x－z.作出不等式组对应的可行域如图所示的阴影部分(不包括左右边界):平移直线y＝x－z,由图象可知当直线y＝x－z经过点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z最大,由,解得,代入z＝x－y得z＝x－y＝3＋7＝10,又因为可行域不包括点B,所以z＜10,所以要使x－y＜λ恒成立,则λ的取值范围是λ≥10,即[10,＋∞).13.4a＋4b≥2＝8,当且仅当a＝4b时取等号,结合a＞0,b＞0,ab＝4,所以a＝4,b＝1,＝4.14.23作出可行域,如图所示:当目标函数z＝2x＋3y经过x－y＋1＝0与2x－y＝3的交点(4,5)时,有最大值2×4＋3×5＝23.15.8函数y＝ax＋2－2(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A(－2,－1),所以(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1,又mn＞0,所以＋＝(＋)·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8.当且仅当＝,即m＝,n＝时取等号.16.10法一:S6＝6a1＋15d≥21,S15＝15a1＋105d≤120,∴2a1＋5d≥7,a1＋7d≤8.又a10＝a1＋9d＝－(2a1＋5d)＋(a1＋7d)≤－×7＋×8＝10.法二:设a1＝x,d＝y,,目标函数a10＝z＝x＋9y,画出平面区域知a10＝z＝x＋9y在点(1,1)处取到最大值10.17.解:(1)由f(x)≥0恒成,立即x2－kx＋k－1≥0恒成立,所以Δ＝k2－4(k－1)＝(k－2)2≤0,所以k＝2.5分(2) 当k∈R时,f(x)＞0等价于x2－kx＋k－1＞0⇔(x－1)[x－(k－1)]＞0.由k－1＝1,得k＝2.∴当k＝2时,不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞),当k＜2时,不等式的解集为(－∞,k－1)∪(1,＋∞),当k＞2时,不等式的解集为(－∞,1)∪(k－1,＋∞).10分18.解:(1)因为sinA＋sinB＝2sinC,由正弦定理得a＋b＝2c.又a＝2b,可得a＝c,b＝c,所以cosA＝＝＝－.6分(2)由(1)cosA＝－,A∈(0,π),所以sinA＝,所以S△ABC＝bcsinA＝×c×c×＝,得c2＝9,即c＝3 ,所以b＝2,a＝4.12分19.解:(1)由知b3,b5是方程x2－40x＋256＝0的两根,注意到bn＋1＞bn,得 b3＝8,b5＝32,因为q2＝＝4,所以q＝2或q＝－2(舍去),所以b1＝＝＝2,所以bn＝b1qn－1＝2n,an＝log2bn＋2＝log22n＋2＝n＋2.因为an＋1－an＝[(n＋1)＋2]－[n＋2]＝1,所以数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列.7分(2)因为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2,所以cn＝,所以Sn＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝.12分20.解:设每周生产甲种机器x台,乙种机器y台,周利润z万元,则目标函数为z＝6x＋8y.作出不等式组表示的平面区域,且作直线l:6x＋8y＝0,即3x＋4y＝0,如图:6分把直线l向右上方平移至l3的位置时,直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大,即z取最大值,解方程组(x≥0,y≥0,x,y∈Z)得,所以点M坐标为(4,9),将x＝4,y＝9代入目标函数z＝6x＋8y得最大值z＝6×4＋8×9＝96(万元).所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时,公司可获得最大周利润为96万元.12分21.解:(1)f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·ex,x∈R.2分依题意得f'(1)＝(3a－1)·e＝0,解得a＝.经检验符合题意.4分(2)f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·ex,设g(x)＝ax2＋2ax－1.①当a＝0时,f(x)＝－ex,f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.5分②当a＜0时,方程g(x)＝ax2＋2ax－1＝0的判别式为Δ＝4a2＋4a,令Δ＝0, 解得a＝0(舍去)或a＝－1.1°当a＝－1时,g(x)＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2≤0,即f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·ex≤0,且f'(x)在x＝－1两侧同号,仅在x＝－1时等于0,则f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.2°当－1＜a＜0时,Δ＜0,则g(x)＝ax2＋2ax－1＜0恒成立,即f'(x)＜0恒成立,则f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.3°a＜－1时,Δ＝4a2＋4a＞0,令g(x)＝0,得x1＝－1＋,x2＝－1－,且x2＞x1.所以当x＜－1＋时,g(x)＜0,f'(x)＜0,f(x)在(－∞,－1＋)上为单调减函数;当－1＋＜x＜－1－时,g(x)＞0,f'(x)＞0,f(x)在(－1＋,－1－)上为单调增函数;当x＞－1－时,g(x)＜0,f'(x)＜0,f(x)在(－1－,＋∞)上为单调减函数.综上所述,当－1≤a≤0时,函数f(x)的单调减区间为(－∞,＋∞);当a＜－1时,函数f(x)的单调减区间为(－∞,－1＋),(－1－,＋∞),函数f(x)的单调增区间为(－1＋,－1－).12分22.证明:(1)因为xn＞0,xn＋＜2,所以0＜＜2－xn,所以xn＋1＞,且2－xn＞0.因为－xn＝＝≥0.所以≥xn,所以xn≤＜xn＋1,即xn＜xn＋1.5分(2)下面用数学归纳法证明:xn＞1－.①当n＝1时,由题设x1＞0可知结论成立;②假设n＝k时,xk＞1－,当n＝k＋1时,由(1)得xk＋1＞≥＝1－.由①,②可得xn＞1－.8分下面先证明xn≤1.假设存在自然数k,使得xk＞1,则一定存在自然数m,使得xk＞1＋.因为xk＋＜2,xk＋1＞≥,xk＋2＞≥,…,xk＋m－1≥2,与题设xk＋＜2矛盾,所以xn≤1.若xk＝1,则xk＋1＞xk＝1,根据上述证明可知存在矛盾.所以xn＜1成立.12分高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。