映射知识讲解
映射基础知识
映射基础知识一、映射1.映射概念定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,么称f为从X到Y的映射, 记作f:x→y,其中y称为元素x(在映射/下)的像,并记作f(x),即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作D,即D=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记作R或f(X),即R=f(X)=f(x)lx∈X从上述映射的定义中,需要注意的是:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域D=X;集合Y,即值域的范围:R,Cy;对应法则f,使对每个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应(2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的;而对每个y∈R,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域R是Y的一个子集,即Rcy,不一定R=y2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个y∈R,有唯一的x∈X,适合f(x)=y.于是,我们可定义一个从R到X的新映射g,即g:R→X,对每个y∈R,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y个映射g称为f的逆映射,记作f, 其定义域D=R,值域R=X.按上述定义,只有单射才存在逆映射.所以在例1、例2、例3中,只有例3中的映射f才存在逆映射f,这个就是反正弦函数的主值f'(x)=arcsin x, x [-1 1],其定义域D=[-1,1],值域R=-设有两个映射g:X→y1， f:2→z,其中Y1CY2,则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个x∈X映成fg(x)]∈Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fg,即fg:→z,(fg)(x)=fg(x)],x∈X.由复合映射的定义可知,映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域R必须包含在f的定义域内,即RCD否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fg有意义并不表示gf也有意义即使fg与gf都有意义,复合映射fg与gf也未必相同。
高一数学映射与集合知识点
高一数学映射与集合知识点数学是一门抽象而又重要的学科，而映射与集合作为数学中的基础概念之一，是我们学习数学的重要内容。
本文将以高一数学的角度来探讨映射与集合的知识点，并且分析它们在实际应用中的意义和价值。
一、映射的概念和特征映射是数学中的一种函数关系，它描述了一个集合中的每个元素都对应着另一个集合中的唯一元素。
映射通常用箭头表示，箭头的起始点表示输入，箭头的终点表示输出。
映射具有以下特征：1. 单射：如果一个映射中不同的输入元素对应不同的输出元素，则该映射是单射。
简而言之，单射意味着每个输入只对应一个输出。
2. 满射：如果一个映射中的每个输出元素都有对应的输入元素，则该映射是满射。
也就是说，满射保证了每个输出都被至少一个输入对应。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则该映射是双射。
双射保证了每个输入都对应唯一的输出，并且每个输出都有对应的输入。
映射在实际应用中有着广泛的运用。
例如，地图是一种常见的映射形式，将实际空间上的点映射到纸面上，帮助我们理解和导航真实世界。
而在数学建模中，映射也被广泛应用于描述各种关系，帮助我们分析和解决问题。
二、集合的基本概念和操作集合是数学中另一个重要的概念，它是由一些确定的元素构成的整体，这些元素称为集合的成员。
集合有以下基本概念和操作：1. 元素：集合中的每个个体都被称为一个元素。
元素可以是数字、字母、符号等等，甚至可以是其他集合。
2. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，我们称这个集合为另一个集合的子集。
3. 并集：将两个或多个集合中所有的元素合并在一起，形成一个新的集合，该操作被称为并集。
4. 交集：将两个或多个集合中共有的元素提取出来，形成一个新的集合，该操作被称为交集。
5. 补集：给定一个全集，然后从全集中减去一个集合中的元素，得到的结果称为该集合关于全集的补集。
集合论在数学中有着广泛的应用，它帮助我们描述和分析各种数学概念和关系。
例如，在概率论中，集合的概念使我们能够描述和计算不同事件的发生概率。
映射与函数知识点总结
映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。
记作f：A→B。
2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。
记作f：A→B。
3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。
二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。
换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。
2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。
3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。
4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。
5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。
这样的函数g称为函数f的反函数。
三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。
2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。
第二讲 映射及映射法
第二讲 映射及映射法知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的. 任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f —1下的原象，即f —1(b)=a ，所以，f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得 ⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u 同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=x y y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.图Ⅰ－1－2－1【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A }.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C 例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖；（iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 )()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1→2→3→5→8→13→21→… ①链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())(( ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链.对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()( ③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(([由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。
映射及映射法
映射及映射法知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的. 任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f—1下的原象，即f —1(b)=a ，所以， f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=xy y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A图Ⅰ－1－2－1}.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C 例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y c ar d 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖； （iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 )()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1→2→3→5→8→13→21→… ①链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())(( ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链.对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()( ③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(([由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。
映射的概念和函数的概念
映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。
虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。
下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。
映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。
简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。
映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。
其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。
映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。
例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。
在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。
我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。
函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。
函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。
函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。
例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。
这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。
函数在数学中有很多重要的属性和性质。
比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。
函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。
函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。
映射重要知识点总结
映射重要知识点总结一、映射的定义1.1 映射的概念映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。
具体来说，如果从集合A到集合B的每个元素a都能找到集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说存在从集合A到集合B的一个映射。
我们通常用f: A → B来表示这个映射，其中f表示映射的规则，A称为定义域，B称为值域，而对应的元素对(a, b)称为映射对。
1.2 映射的表示方式映射可以用图、公式、表格等形式来表示。
在图中，我们可以用箭头连接集合A和集合B 的元素，表示它们之间的对应关系；在公式中，我们可以用f(x) = y来表示映射的规则，其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素；在表格中，我们可以将集合A的元素和对应的集合B的元素按一定顺序排列，表示它们之间的对应关系。
1.3 映射的例子为了更好地理解映射的概念，我们可以举几个具体的例子。
比如说，将一个学生的学号与他的成绩对应起来，就是一个映射；将一个人的身高与体重对应起来，也是一个映射；将一个城市的名称与它的人口数量对应起来，同样也是一个映射。
二、映射的性质2.1 单射、满射和双射在研究映射的性质时，我们通常关注三个重要的性质，即单射、满射和双射。
- 单射：如果一个映射f: A → B满足对任意的x1, x2∈A，只要x1≠x2就有f(x1)≠f(x2)，那么我们就说这个映射是单射。
单射也可以表述为：对于集合A中的任意两个不同的元素，它们在集合B中的像也是不同的。
- 满射：如果一个映射f: A → B满足对于集合B中的任意元素y，都能在集合A中找到一个元素x与之对应，那么我们就说这个映射是满射。
- 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么我们就说这个映射是双射。
2.2 映射的复合在实际问题中，有时我们会遇到多个映射的复合。
设有两个映射f: A → B和g: B → C，我们可以定义它们的复合映射g∘f: A → C为：对于A中的任意元素x，它在C中对应的像为(g∘f)(x) = g(f(x))。
映射的三种对应关系
映射的三种对应关系映射是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在实际生活中，映射也有很多应用，例如地图就是一种映射，将现实世界中的地理信息映射到平面上。
在数学中，映射有三种常见的对应关系：函数、关系和同构。
一、函数函数是最常见也是最基本的一种映射关系。
它描述了两个集合之间元素的一一对应关系，并且保证每个元素都有唯一一个对应元素。
通常用符号“f(x)”表示函数，在这里“x”表示自变量，“f(x)”表示因变量。
例如，y = f(x) = 2x + 1 就是一个函数，它将实数集合R中的每个元素x映射到另一个实数y上。
函数具有以下几个特点：1. 唯一性：每个自变量都对应唯一一个因变量。
2. 定义域和值域：定义域是自变量可以取值的范围，值域是因变量可以取值的范围。
3. 反函数：如果一个函数存在反函数，则该函数必须为双射（即既满足单射又满足满射）。
二、关系关系是一种比函数更广泛的映射关系。
它描述了两个集合之间元素的对应关系，但不要求每个元素都有唯一一个对应元素。
通常用符号“R”表示关系，在这里“(x, y)”表示集合中的一个元素，其中“x”为定义域上的元素，“y”为值域上的元素。
例如，{(1,2),(2,4),(3,6)}就是一个关系，它将自然数集合N中的每个元素x映射到另一个自然数y上。
关系具有以下几个特点：1. 自反性：每个元素都与自己相关。
2. 对称性：如果(x,y)属于关系，则(y,x)也属于关系。
3. 传递性：如果(x,y)和(y,z)属于关系，则(x,z)也属于关系。
三、同构同构是一种特殊的映射关系。
它描述了两个集合之间存在一种一一对应和结构相似的映射关系。
这种映射能够保持原有结构不变，并且保持原有运算规则不变。
例如，两个向量空间V和W之间存在同构映射f，当且仅当V和W在向量空间范畴中同构。
同构具有以下几个特点：1. 一一对应：每个元素都有唯一一个对应元素。
2. 结构相似：两个集合的结构相似，即它们之间存在相同的运算规则和性质。
映射的概念
初中遇到过的对应:
1、对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它 对应。
２、对于坐标平面内任何一个点Ａ，都有唯一的有序 数对（x，y）和它对应。
３、对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它 对应。
４、班级里的每一位学生都有唯一确定的学号与他对 应。
再如，某班级全体同学组成的集合为Ａ，正 实数集为Ｂ，让每位同学与其体重对应，则 Ａ中的每一个元素，在Ｂ中都有唯一元素与 之对应，用图可表示为：
1
(C) f: x y= 4 x
（） 1 (B) f: x y= 3 x
这些对应就是今天我们将要学习的概念“映 射”。前一章，学习了元素与集合及集合与 集合之间的关系，而映射是重点研究两个集 合的元素与元素之间的对应。
映射
1、定义：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对
应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都
有惟一元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A、
例1下列对应中，哪些是A到B的映射？
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
１
Hale Waihona Puke 142-2
2
Ａ
Ｂ
-3
3
-4
-2
4
4
高一（1） 高一（1）
Ａ
Ｂ
班学生
班借书证
Ｂ
2.3 2.4
2
f：每个人领自己的借书证
a
1
2.5 2.6
3
b 2
c
例2 设集合，
A=﹛x∣0≤x≤6﹜,B=﹛y∣0≤y≤2﹜,从A到B的 对
应法则f，其中不是1 映射的是 (A) f: x y= 2 x
B及A到B的对应法则）叫做集合A到集合B的映射，记
映射的概念
初中遇到过的对应:
1、对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它 对应。
２、对于坐标平面内任何一个点Ａ，都有唯一的有序数对（x，y）和它对应。
３、对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它 对应。
４、班级里的每一位学生都有唯一确定的学号与他对 应。
再如，某班级全体同学组成的集合为Ａ，正 实数集为Ｂ，让每位同学与其体重对应，则 Ａ中的每一个元素，在Ｂ中都有唯一元素与 之对应，用图可表示为：
1
(D) f: x y= 6 x
例3 设集合M={x|0x1},N={y|0y1},则下列 四个图像中,表示从M到N的映射的有哪些?
y 1
0
1
x
(1)
y
y
1
1
0
1
x
(2)
0
1
x
(3)
y 1
0
1
x
(4)
备用题1： 已知映射f：A→B，其中集合
A＝﹛-3，-2，-1，1，2，3，4﹜
且对任意a∈A,在B中和它对应的元素是
Ａ
Ｂ
班学生
班借书证
Ｂ
2.3 2.4
2
f：每个人领自己的借书证
a
1
2.5 2.6
3
b 2
c
例2 设集合，
A=﹛x∣0≤x≤6﹜,B=﹛y∣0≤y≤2﹜,从A到B的 对
应法则f，其中不是1 映射的是 (A) f: x y= 2 x
1
(C) f: x y= 4 x
（） 1 (B) f: x y= 3 x
f: x y y为x的体重数
Ａ
Ｂ
再如，坐标平面内的所有点组成的集合为Ａ， 所有的有序数对组成的集合为
映射的加法与乘法
映射的加法与乘法映射是数学中的一个重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在数学中，我们常常利用映射来进行加法和乘法运算。
本文将从映射的角度来探讨加法和乘法的概念与应用。
一、映射的基本概念映射是指一个集合中的元素与另一个集合中的元素之间的对应关系。
我们可以用箭头图表示映射，箭头的起点表示原集合的元素，箭头的终点表示目标集合的元素。
例如，如果我们有两个集合A={1,2,3}和B={a,b,c}，并且存在一个映射f:A→B，那么我们可以用箭头图表示为：1→a，2→b，3→c。
二、映射的加法在映射的加法中，我们将两个映射进行了结合，得到了一个新的映射。
具体来说，如果我们有两个映射f:A→B和g:A→C，其中A是原集合，B和C是目标集合，那么我们可以定义一个新的映射h:A→B×C，其中B×C表示B和C的笛卡尔积。
新的映射h的定义为：h(a)=(f(a),g(a))，其中a是A中的元素。
这样，我们就将两个映射的结果合并成了一个新的映射。
三、映射的乘法在映射的乘法中，我们将两个映射进行了组合，得到了一个新的映射。
具体来说，如果我们有两个映射f:A→B和g:B→C，其中A、B 和C分别是原集合、中间集合和目标集合，那么我们可以定义一个新的映射h:A→C，其中h(a)=g(f(a))，其中a是A中的元素。
这样，我们就将两个映射的结果组合成了一个新的映射。
四、映射的应用映射在数学中有着广泛的应用。
在加法中，我们常常利用映射来描述两个集合中的元素的对应关系。
例如，在集合A={1,2,3}和集合B={a,b,c}中，我们可以定义一个映射f:A→B，使得f(1)=a，f(2)=b，f(3)=c。
这样，我们就可以通过映射f来描述A中的元素与B中的元素之间的对应关系。
在乘法中，映射也有着重要的应用。
例如，在集合A={1,2,3}和集合B={a,b,c}中，我们可以定义两个映射f:A→B和g:B→C，其中C是另一个目标集合。
映射的概念分类及与函数的关系
映射的概念分类及与函数的关系1.映射：对于非空集合A、B，定义从A到B得对应法则f，对于A中的每一个元素a，按照法则f的作用，在B中都有唯一的元素b与之对应。
这就叫做从A到B得一个映射。
记作f:A→B。
通常把集合A叫做像集（源像），集合B 叫做像。
为了理解透彻，对其有两点说明：（1）集合A的遍历性，即集合A中的所有元素都必须参与法则f的作用，也就是说A中没有“剩余”元素，但是集合B不要求遍历性，B中可以有“剩余”元素，即B中可以有一部分元素不存在A中的任何元素与之对应。
（2）对应的唯一性，即对于A中的每一个元素，在法则f作用下，只能对应B中的一个元素，即“一对一”，如果“一对多”，则不叫做映射，只能叫做对应。
所以可以说映射是对应的一个子集。
同时，“多对一”也是映射所允许的，因为它仍满足唯一性。
2.单射：对于f:A→B，B中的每一个不“剩余”的元素b在A中只有一个a与之对应。
即除去了“多对一”的情况，但是仍然保留了B中可以有“剩余”元素这一点。
3.满射：集合B中的每一个元素在A中都至少有一个元素与之对应。
即对A、B都要求遍历性，使B中元素也没有“剩余”的。
即“满”之意。
当然，也允许“多对一”。
4.双射：既单又满谓之双，即“一一对应”，A、B元素皆遍历，并除去了“多对一”的情况。
换句话说，映射f:A→B 反过来（即f:B→A）也是映射。
这大概就是“双”的意思吧。
其他的类型则不然，所以双射的约束是最严苛的。
5.函数：是映射的一个子集，通常将A和B限定在数集中（对实际问题也总能够进行数学建模抽象成数域上的函数），集合A和B分别叫做定义域和值域。
法则f就抽练为函数表达式。
显然，它首先必须是一个满射，即值域不能有“剩余”，如果有了，则它不是函数值，当然集合B就不能叫做值域了。
其次，当函数又满足双射的条件时，自然就是所谓的严格单调函数了，或者说反函数存在（当然，函数的分类有许多种，我这样的说法严格来说是不准确的。
专升本数学集 合与映射基础知识梳理
专升本数学集合与映射基础知识梳理专升本数学：集合与映射基础知识梳理在专升本数学的学习中，集合与映射是非常基础且重要的概念。
理解和掌握好这部分知识，对于后续数学课程的学习起着至关重要的作用。
接下来，让我们一起系统地梳理一下集合与映射的基础知识。
一、集合的概念集合，简单来说，就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的一个整体。
这些对象称为集合的元素。
比如，我们可以把所有的正整数组成一个集合，把某班所有身高超过 18 米的同学组成一个集合。
集合通常用大写字母表示，如A、B、C 等，元素用小写字母表示，如 a、b、c 等。
如果一个元素 a 属于集合 A，我们记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，我们记作 b ∉ A。
集合的表示方法有多种，常见的有列举法、描述法和区间法。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，用逗号分隔，并用花括号括起来。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是用元素所具有的特征来描述集合。
例如，集合 B ＝｛x ｜x 是大于 5 的整数}。
区间法通常用于表示连续的实数集合。
例如，区间（1, 5) 表示大于1 且小于 5 的实数组成的集合。
二、集合的基本关系集合之间存在着包含、相等、真包含等关系。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么我们说集合 A 包含于集合 B，记作 A ⊆ B；如果集合 A 包含于集合 B，且集合 B 中存在元素不属于集合 A，那么我们说集合 A 真包含于集合 B，记作 A ⊂ B；如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么我们说集合 A 等于集合B，记作 A ＝ B。
三、集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。
交集：集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由既属于集合 A又属于集合 B 的所有元素组成的集合。
并集：集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于集合 A 或者属于集合 B 的所有元素组成的集合。
映射 引文
映射引文
映射是一种将现实世界的事物或概念转化为图形或图像的过程。
它通过将实体或概念与特定的符号或色彩相对应，用图形的方式展示出来。
映射常常用于地理学、数学、计算机科学等领域。
在地理学中，映射被用来表示地球表面的特征，如山脉、河流、城市等。
地图是一种常见的映射形式，它可以帮助人们了解地球上的各种地理特征和地区之间的空间关系。
在数学中，映射也被称为函数。
函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。
它可以用数学表达式、图表或图形的方式表示。
函数的应用范围非常广泛，包括物理学、经济学、计算机科学等领域。
在计算机科学中，映射常常用于图形处理和图像识别。
通过将图像中的像素点映射到特定的颜色或亮度，计算机可以对图像进行处理和分析。
此外，映射还可以用于定义数据结构和算法，以便更好地组织和操作数据。
总之，映射是一种将现实世界的事物或概念转化为图形或图像的过程。
它在地理学、数学、计算机科学等领域都起到重要的作用，帮助人们更好地理解和表达信息。
映射的对应法则
映射的对应法则
映射的对应法则，也被称为映射的定义域、值域和映射规则，是描述一个映射关系的方式。
在数学中，映射是一种关系，它将一个集合中的每个元素（称为定义域）映射到另一个集合中的某个元素（称为值域）。
映射的对应法则规定了如何将定义域中的元素映射到值域中的元素。
对于映射的对应法则，常用的表示方法有：
1. 通过一个函数关系式进行表示，例如 f(x) = x^2，表示定义域中的元素 x 被映射为其平方。
2. 通过一个映射表格进行表示，例如：
| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| f(x) | 1 | 4 | 9 |
表示定义域中的元素 x 分别被映射为 1、4、9。
3. 通过一个映射图进行表示，例如绘制一个有向箭头的图形，箭头从每个定义域元素指向其对应的值域元素。
需要注意的是，映射的对应法则必须满足每个定义域元素都有唯一的值域映射，即一个定义域元素不能对应多个值域元素，也不能没有对应的值域元素。
映射的概念
y为x的体重数
Ａ
Ｂ
再如，坐标平面内的所有点组成的集合为Ａ， 所有的有序数对组成的集合为
Ｂ＝｛﹙ｘ，ｙ﹚∣ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ｝．
让每一点与其坐标对应，则Ａ中的每一个元素 ﹙点﹚，在Ｂ中都有唯一的元素﹙有序数对 ﹚与之对应．
【财税】ｃáｉｓｈｕì名财政和税务的合称：～部门。在安徽。可按规定领奖。 【插】ｃｈā动①长形或片状的东西放进、挤入、刺进或穿入别的东西里：～秧 ｜双峰～云｜～翅难飞｜把插销～上。作物种植或生长的次数，【茶汤壶】ｃｈáｔāｎɡｈú名茶炊。【表演】ｂｉǎｏｙǎｎ动①戏剧、舞蹈、杂技 等演出；映射概念初中遇到过的对应:
1、对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它 对应。
２、对于坐标平面内任何一个点Ａ，都有唯一的有序 数对（x，y）和它对应。
３、对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它 对应。
４、班级里的每一位学生都有唯一确定的学号与他对 应。
再如，某班级全体同学组成的集合为Ａ，正 实数集为Ｂ，让每位同学与其体重对应，则 Ａ中的每一个元素，在Ｂ中都有唯一元素与 之对应，用图可表示为：
2、 映射是 特殊的对应
A、B及A到B的对应法则三部分构成整体
满足A中“任一”到B中“惟一”
3、 f：A B与f：B A是不同的。
4、集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合。
5、映射与函数的区别和联系：函数是特殊的映射， 它是两个非空数集之间的映射。所以，函数是映射， 但映射不一定是函数。
¡ 这些对应就是今天我们将要学习的概念“映 射”。前一章，学习了元素与集合及集合与 集合之间的关系，而映射是重点研究两个集 合的元素与元素之间的对应。
映射
1、定义：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对
映射定理公式(一)
映射定理公式(一)映射定理公式1. 什么是映射定理公式？映射定理公式指的是在数学中描述两个集合之间的映射关系的公式。
它们帮助我们理解和描述不同集合之间的对应关系，从而揭示了一些重要的数学性质。
下面是一些常见的映射定理公式及其解释。
2. 一对一映射•公式：f(a)=f(b)⇒a=b•解释：如果一个函数将集合A中的元素a和b映射到集合B中的同一个元素，则a和b必须相等。
3. 在映射中的周的个数•公式：V−E+F=2•解释：对于一个连通的无向图，其中V表示顶点的个数，E表示边的个数，F表示面（包括无限远的面）的个数。
这个公式说明了一个基本的性质：在映射中，顶点的个数减去边的个数再加上面的个数等于2。
4. 集合的基数•公式：|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|• 解释：集合A 和集合B 的并集的基数等于A 的基数加上B 的基数减去A 和B 的交集的基数。
这个公式帮助我们计算集合的基数，即集合中元素的个数。
5. 球面映射到平面• 公式：A4πr 2=1• 解释：这个公式描述了球面映射到平面的情况。
其中A 表示球面的面积，r 表示球的半径。
这个公式告诉我们，将球面铺开到平面上时，面积A 和半径r 之间存在着一个关系。
6. 傅里叶变换• 公式：F (ω)=∫f ∞−∞(t )e −iωt dt • 解释：傅里叶变换是一种用于将函数从时域（t ）转换到频域（ω）的数学工具。
这个公式描述了傅里叶变换的计算方式，其中f(t)表示原始函数，F(ω)表示变换后的函数。
总结以上是一些常见的映射定理公式及其解释。
这些公式帮助我们理解和描述不同集合之间的映射关系，在数学和工程领域中具有广泛的应用。
通过运用这些公式，我们可以揭示一些重要的数学性质和结论。
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定义
一般地，设A、B是两个集合， f：A→B 是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下， 对于集合A中的不同元素在集合B中都有不同 的象，且B中每一个元素都有原象，那么这
个映射就叫做A到B上的一一映射.
练习
A
1、在下列对应中，哪些对应是A到B的映
射？哪些是A到B上的一一映射？为什么？
BA
B
A
BA
说明：①A、B可以是有限集，也可以是无限集，可以是数集，也可以是点
集或其它集合，这两 个集合是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是 不同的；
②集合A、B与对应法则f是一个整体，一个系统，对应法则f可以用 文字叙述，也可用一个式子或其他形式来表示.
小结
1、映射的定义、表示方法、象及 原象的概念；
B
a1
b1
a1
b1
a2
b2
a2
b2
a3
b3
a3
b3
a4
b4
a4
b4
a1
b1
a1
b1
a2
b2
a2
b2
a3
b3
a3
b3
a4
b4
a4
b4
(1)
(2)
(3)
(4)
说明①A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的；
②B中可能有些元素不是A中的元素的象；
③A是原象集，B不是象集，象的集合C是B的子集，即CB；
④一一映射中，A中不同元素有不同的象，B中每一个元素都有原象.
2.1 映 射
霍邱县第二中学 余树宝
问题
1、元素与集合之间有什么关系？ 2、集合与集合之间有什么关系？
A 开平方B
3
9
-3
2
4
-2
1
1 -1
A 求正弦 B
1
300
2
2
450
2
600
3 2
900
1
A求平方 B
3 -3
9
2
4
-2
1
1
-1
A 乘以2 B
1
1 2
2
3
4
3
5
6
(1)Leabharlann (2)(3)(4)
一对多
2、一一映射 的定义.
作业
1、课本P.49习题2.1 第2、3题. 2、预习课本P50～53.2.2 函数，并思考： （1）如何用映射的概念来刻划函数的概念？ （2）函数的表示方法，常用的有几种？中学里 研究的函数主要用哪几种方法表示？ （3）如何用区间来表示数集？
大家一起做研究
我们生活和学习中的映射
一对一
多对一
一对一
思考：四个对应中,A、B两个集合中的元素
之间的对应关系有什么特点？
A 开平方 B
A 求正弦 B
A 求平方 B
A 乘以2 B
3
1
3
1
9
-3
300
2 2
-3
9
1
2
4 1
2
450
2
-2
600
1
3 2
-1
900
1
2 -2
4
1
1
-1
2
3 4
3
5
6
(1)
(2)
(3)
(4)
思考：图⑵、⑶、⑷的对应有什么共同点？
A 求平方 B
A 乘以2 B
3
9
-3
2
4
-2
1
1 -1
(1)
1
300
2
2
450
2
3
600
2
900
1
(2)
3
-3
9
2 -2
4
1
1
-1
(3)
1
1
2
2
3 4
3
5
6
(4)
思考：观察（2）、（3）、（4），图（2）的
映射又有什么特点？
特点一：A 中的不同元素在B中有不同的象； 特点二：B 中每一个元素都有原象.
练习
2、下列对应中，哪些对应是A到B的映射？哪些是一 一映射？为什么？
（1）设A=N+，B=｛0，1｝，A中的元素x按照对 应法则“x除以2得的余数”和B中的元素对应；
（2）设A=｛x|x＞0｝ ，B=R，对应法则是“求算 术平方根”；
（3）设A={三角形}，B=R，对应法则是“求面积”； （4）设A=｛x|x＞0｝，B=｛y|y＞0｝，对应法则 是f：x→y=x2，x∈A，y∈B.
集合A中的任何一个元素，在集合B中都 有唯一的元素与它对应.
A 开平方 B
A 求正弦 B
A 求平方 B
3
9
-3
2
4
-2
1
1 -1
(1)
1
300
2
2
450
2
3
600
2
900
1
(2)
3
-3
9
2 -2
4
1
1
-1
(3)
思考： 哪些对应是映射？
A 乘以2 B
1
1
2
2
3 4
3
5
6
(4)
A 开平方 B
A 求正弦 B