2017年全国高中数学联合竞赛精彩试题与解答(B卷)

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）

一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.

1.在等比数列{}n a

中，2a =

，3a =12011

72017

a a a a ++的值为 .

2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .

3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2

()f x x +是奇函数，()2x

f x +是偶函数，则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .

5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .

6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .

7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2

2

2

0x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .

8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .

二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

9.设不等式|2||52|x

x

a -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.

10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足2

12n n n n b a a a ++=-，1,2,

n =.

（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；

（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.

11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线22

2:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾

斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）

一、（本题满分40分）

设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-

二、（本题满分40分）

给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每

个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.

三、（本题满分50分）

如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点

,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .

四、（本题满分50分）

设1220,,

,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,

,10}b b b ∈，集合

{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.

一试试卷答案

1.答案：

89

解：数列{}n a

的公比为32a q a ==

，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.

解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得

9101022

a a

b b +=⎧⎨

=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+

，进而||z =3.答案：74

-

解：由条件知，2

(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2

f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-

，即7(1)4

f =-. 4.

答案：4

-

解：由正弦定理知，

sin 2sin a A c C

==，又2b ac =

，于是::2a b c =

，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===. 5.

答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，

7AD AB AE BE ==+=.

由余弦定理得，DE

==，

同理有DF =作等腰DEF ∆底边EF 上的高DH ，则1

22

EH EF ==

，故DH == 于是1

2332

DEF S EF DH ∆=

=

6.答案：

514

解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3

984C =种，

当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况： （1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，

（2

）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，有4416⨯=种情况，

（3

2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.

综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为

3058414

=. 7.

答案：

12

解：二次曲线方程可写成22

21x y a a

--

=，显然必须0a ->

，故二次曲线为双曲线，其标准方程为2221()x a =-

，则2222()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，

所以a =

. 8.答案：574 解：由条件知2017

[

]21000

c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为

20

10

(1022)11

(20210)5722

b b =+⨯-=

=∑，

当2c =时，由201720[

]100b ≤≤，知，20b =，进而2017

200[]20110

a ≤≤=， 故200,201a =，此时共有2组(,,)a

b

c .