椭圆方程第一讲

y
x
Ｏ Ｍ
1
C C 2
椭圆方程的几种常见求法
对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法
例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．
解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴162
1=+MC
MC ，
∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且82,162==c a ，
481664222=-=-=c a b ，
故所求轨迹方程为：
148
64
2
2
=+
y
x
．
评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．
二、待定系数法
例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．
分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：
2
2
ny mx
+＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为2
2
ny mx
+＝１（)0,0>>n m ．
∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，
∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==.
31,9
1n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ．
评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．
三、直接法
例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆
12
4
2
2
=+
y
x
于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段
AB 外一点，且满足1=∙PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．
分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直
于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=∙PB PA 即可求解．
解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，
由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０
∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号，
∴PB PA ∙=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y
∵)4
1(2)4
1(22
2
2
x
x y y y A A B A -
-=-
-=-=
1)4
1(22
2
=-
-x
y ，即
)22(13
6
2
2
<<-=+
x y
x
为所求．
评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换． 四、相关点法
例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．
分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．
解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系， 设Ｇ（x ，y ），由303
2⨯=
+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，
长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为
)0(136
100
2
2
≠=+
y y
x
．
（２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是
)0(136
100
02
2
≠=+
y y x
∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==33
00y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x
其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．
评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．
（1）用第一定义求椭圆的方程
例1．1 如图，动圆与定圆x 2+y 2+4y —32=0内切，且过定圆内的一个定点A （0，2），求动圆圆心P 的轨迹方程。

[
19
5
2
2
=+
y
x
]
例1．2 椭圆的两个焦点F 1，F 2都在y 轴上，且它们到原点的距离都是2，CD 是过F 2的弦，且ΔCDF 1
的周长为12，求此椭圆的方程。

[
19
5
2
2
=+
y
x
]
例1．3 已知圆422=+y x ，又P （3，0），M 是圆上的动点，MP 的中垂线交OM 于Q ，则点Q 的轨迹是（ B ）
A 圆
B 椭圆
C 双曲线
D 抛物线
（2）用第二定义求椭圆的方程
例 2。

2已知椭圆的准线是x=4，对应的焦点F （2，0），离心率e=
2
1，则椭圆的方程是（3x 2+4y 2—8x=0）
（3）用标准方程求椭圆的方程
例3 若椭圆ax 2+by 2
=1与直线x+y=1交于A 、B 两点，且|AB|=2
2，又点M 为AB 中点。

直线OM
（O 为原点）的斜率为2
2，求椭圆的方程。

[
1323
2
2
=+
y x
]
1\已知椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a>b>0）的离心率e=32
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；所以椭圆的方程为
2
2
14
x
y +=.
2\椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，
焦点12,F F 在x 轴上，离心率12
e =。

(Ⅰ)求椭圆E 的方程； 3、设1F ，2F 分别为椭圆222
2
:
1x y C a
b
+
=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于
A ,
B 两点，直线l 的倾斜角为60
，1F 到直线l 的距离为23.
（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；
（Ⅱ）如果222AF F B =
,求椭圆C 的方程.
解：（Ⅰ）设焦距为2c ，由已知可得1F 到直线l 的距离323, 2.c c ==故 所以椭圆C 的焦距为4.
（Ⅱ）设112212(,),(,),0,0,A x y B x y y y <>由题意知直线l 的方程为3(2).y x =-
联立22224
22
223(2),
(3)4330.1
y x a b y b y b x y a
b ⎧=-⎪++-=⎨+=⎪⎩得
解得2
2
122
2
2
2
3(22)
3(22),.33b a b a y y a b
a b
-+--=
=
++
因为22122,2.AF F B y y =-=
所以
即2
2
2
2
2
2
3(22)3(22)2.33b a b a a b
a b
+--=⋅
++
得223.4, 5.a a b b =-==
而所以
故椭圆C 的方程为
2
2
1.
9
5
x
y
+
=
4.（2009广东卷理）巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
32
，且G 上一点到G
的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．
【解析】2
3=e ，122=a ，6=a ，3=b ，则所求椭圆方程为
19
36
2
2
=+
y
x
.
5.（2009浙江理）（本题满分15分）已知椭圆1C ：222
2
1(0)y x a b a
b
+
=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦
点且垂直长轴的弦长为1． （I ）求椭圆1C 的方程；
2
2
14
y
x +=。