09-扭转

−
x
• 试与轴力图比较
8
例：画扭矩图。 画扭矩图。
2M
B
M
A
3M
C
2M
T2 = M
T = −2M 1
M
A
C
T
+
M
x
9
−
2M
§9 - 3
切应力互等定理与剪切胡克定律
1 薄壁圆筒： 圆筒的平均半径 平均半径） 薄壁圆筒：壁厚 t ≤ r0 r0—圆筒的平均半径） （ 10 薄壁圆管的扭转应力 一、薄壁圆管的扭转应力
7
扭矩图：扭矩随杆轴线变化的曲线。 扭矩图：扭矩随杆轴线变化的曲线。
M = 3ml
m
A B
C
x
D
例：(m：单位长度的扭力偶矩 ：单位长度的扭力偶矩) AB段： T ( x) = mx 段 1 BC段： T2 = ml 段 CD段： T3 = −2ml 段
l
l/2
l/2
T1 ( x )
x
T
ml
+
2ml
18
一、试验与假设
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。 圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。 纵线：倾斜同一角度并保持直线。 纵线：倾斜同一角度并保持直线。 扭转平面假设：各横截面如同刚性圆片， 扭转平面假设：各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对 旋转。 旋转。
19
30
二、圆轴扭转刚度条件 dϕ T θ= = dx GIP
dϕ :扭转角沿轴线的变化率 扭转角沿轴线的变化率 dx
单位 rad/m 单位 (°)/ m
Tmax ≤ [θ ] GIP
单位长度许用扭转角： 单位长度许用扭转角：[θ ]
T ≤ [θ ] GI P max
刚度条件: 刚度条件 注意
3
D F
B
F
A
M

A
B
M′ = M
归纳与比较： 归纳与比较： 1、由实例归纳受扭圆轴的外力与变形特征； 由实例归纳受扭圆轴的外力与变形特征； 2、与拉压杆比较。 与拉压杆比较。
4
扭转
外力：作用面垂直于杆轴线的力偶称为扭力偶， 外力：作用面垂直于杆轴线的力偶称为扭力偶， 扭力偶 之矩称为扭力偶矩 扭力矩。 扭力偶矩或 之矩称为扭力偶矩或扭力矩。 变形：各横截面绕轴线作相对旋转， 变形：各横截面绕轴线作相对旋转，截面间绕轴线的 相对角位移。 相对角位移。 轴：以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。 以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
τ = Gγ
该式称为材料的剪切胡克律. (Hooke’s law for shear) G –剪切弹性模量 弹性模量E 剪切弹性模量G与泊松比µ 弹性模量E，剪切弹性模量G与泊松比µ的 关系 O
τ
ϕ
E G= 2(1 + µ)
O
17
γ
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
问题分析与研究思路
M
τ1
M
τ2
T =M
M N⋅m = 9549
P kW nr / min
6
二、扭矩与扭矩图
m
A M
M
B
m m
A
T
x
M
m
扭矩：矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用 表示。 扭矩：矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用T 表示。 符号规定：矢量方向 按右手定则 按右手定则)与横截面外法线方 符号规定：矢量方向(按右手定则 与横截面外法线方 向一致的扭矩为正，反之为负。 向一致的扭矩为正，反之为负。
5
§9-2 动力传递与扭矩
一、轴的动力传递
联轴器
已知传动构件的转速与所传递的功 计算轴所承受的扭力矩。 率，计算轴所承受的扭力矩。
电机
A B
P = Mω
角速度 功率： 功率： KW 力偶矩： 力偶矩： N.m
2π n , n : 转速, r min 转速 = 60
P ×103 = M ×
2π n 60
定义： = IP 定义： WP
R
R
抗扭截面系数
23
例：画横截面扭转切应力示意图。 画横截面扭转切应力示意图。
R1
R2
O
O
T
空心轴
24
极惯性矩和抗扭截面系数的计算 极惯性矩和抗扭截面系数的计算
§9-5 极惯性矩与抗扭截面系数
2
Ip = ∫ ρ dA
A
Wt =
（1）实心圆截面
ρmax
d O
IP
dρ ρ
πd 4 Ip = ∫ ρ2dA = ∫ 2 2πρ3dρ = A 0 32 Ip πd4 / 32 πd 3 Wt = = = d/2 ρmax 16
（2）空心圆截面
dA = 2πρ(dρ) d
dρ D ρ d O
πD4(1 −α4 ) Ip = 32 其中 3 πD 4 Wt = (1 −α ) 16
d α= D
25
（3）薄壁圆截面
Ip = ∫ ρ dA = R
2 A
2 0
∫
A
dA = 2πR δ
3 0
IP 2 WP = = 2πR0 δ R0
26
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、扭转失效与扭转极限应力
塑性材料 脆性材料
τ 扭转极限应力 τ = s u τb
扭转屈服应力， 扭转屈服应力，塑性材料 扭转强度极限， 扭转强度极限，脆性材料
γ
D
γ
t
11
4、推导公式 (Derivation of formula)
d τ ∫A dA⋅ r =τ ⋅ r∫A A =τ ⋅ r(2π⋅ r ⋅ t) = T
T τ= 2πr2 ⋅ t
此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式. 此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式. 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直， 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直， 指向与扭矩的转向一致. 指向与扭矩的转向一致. τ T τ
τ′
τ
dx
τ′
τ
dy
x
单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体. 单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.
15
三、剪切胡克定律 （Hooke’s law for shear)
由图所示的几何关系得到
Me
γ
Me
ϕ
rϕ γ= l
式中， 为薄壁圆筒的外半经. 式中， r 为薄壁圆筒的外半经.
21
3、静力学方面 、
∫
A
ρτ ρdA = T
dϕ G ρ2dA = T dx ∫A
τρ
ρ dA
O
定义： Ip = 定义：
T
ρ2dA ∫A
极惯性矩
dϕ T = dx GIP
Tρ τρ = IP
扭转角变化率 圆轴扭转切应力的 一般公式。 一般公式。
22
三、最大扭转切应力
τ max
O
TR T T τmax = = = IP IP WP R
12
二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)
1、在单元体左、右面（杆的横截面）上 在单元体左、右面（杆的横截面） 只有切应力， 轴平行. 只有切应力，其方向于 y 轴平行. 由平衡方程 y
∑Fy = 0
可知，两侧面的内力元素 τ dy dz 可知， 大小相等，方向相反，将组成 大小相等，方向相反， 一个力偶。 一个力偶。 其矩为( 其矩为(τ dy dz) dx dx
等截面圆轴: 等截面圆轴
一般传动轴， 一般传动轴， [θ ] = 0.5 ° ~1°/m ° 180 1rad / m = /m 注意单位换算: 注意单位换算 π
31
l
薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 Me 在某一范围内时，与 在某一范围内时， 薄壁圆筒的扭转试验发现， Me （在数值上等于 T ）成正比. 成正比.
16
(torsion)
T τ= 2πr2t
的线性关系. 的线性关系.
rϕ γ= l
T
从 T 与 ϕ 之间的线性关系，可推出 τ 与γ 间 之间的线性关系，
z
τ′ =τ
14
3、切应力互等定理 （Shearing Stress Theorem)
y
τ′ =τ
单元体两个相互垂直平面上的切 应力同时存在，且大小相等，都 应力同时存在，且大小相等， 指相（或背离）该两平面的交线. 指相（或背离）该两平面的交线. z 纯剪切单元体： 纯剪切单元体： （Element in pure shear )
29
§ 9-7
圆轴扭转变形与刚度计算
一、圆轴扭转变形公式
dϕ T = dx GIP
微段dx的扭转变形 微段 的扭转变形
dϕ =
T dx GIP
相距l 相距 的两横截面的扭转角 GIp 长l 常扭矩等截面圆轴
ϕ = ∫ dϕ = ∫ l l
T dx GIP
圆轴截面扭转刚度 圆轴截面扭转刚度
ϕ=
Tl GIP
二、扭转应力的一般公式
A B
D C
dx
O1
O2
d
c
D
ρ
R a
dθ
A
D C
B
O2
A B
b
dx
C
20
O1
dx
dϕ
O2
O1
O2
ρ
R
ρ
a
b
γρ
d c
τρ τρ
D
D' C
d' c'
A