点点通(北师版)九年级数学 直角三角形边角关系 辅导—应用
新北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用》教案_3
完成任务，获得宝箱拼图的第二块！进
入古塔，映入眼帘的是古塔的楼梯，迎来我
们第三个任务——楼梯应该怎样修缮？
五、楼梯应该怎样修缮？（练习三）
古塔年代久远，需要改善原有楼梯的安
一 名学生大声读
全性能 , 把倾角由原来的 45°减至 30°, 已知 题，其余学生根据条件
PPT
原楼梯的长度为 4m,调整后的楼梯会加长多 抽象出数学模型，画出
如图 , 寻宝小分队要测量塔 CD的高度 . 一 名队员在 A 处仰望塔顶 , 测得仰角为 30° , 再 往塔的方向前进 50m 至 B 处 , 测得仰角为 60° , 那么该塔有多高 ?( 该队员的身高忽略 不计 , 结果保留根号 ).
你能完成这个任务吗 ?
一 名学生大声读 题，其余学生在学案上 标出条件。
独立完成题目。
打开宝箱！ 六、打开宝箱（课堂小结）
三角函数应用宝典 实际问题不难解，数学模型要会建， 三角函数要记牢，两直角边用正切， 斜边对边想正弦，斜边邻边用余弦， 必要时设未知数，方程模型来帮助。 七、作业布置 A 类：习题 1.6 第 2、 4 题； B 类：习题 1.6 第 2 题； 完成学案上的思考题
一 名学生大声读 题，其余学生在图中标 出条件，一名学生在黑 板上的图中标出条件。
分析完成题目。
两名学生讲解自Biblioteka 的思路及做法。完成任务，获得宝箱拼图的第一块！船 可以顺利航行了，航行到岛边，登上小岛后， 岛上有一个古塔，宝藏就在古塔里，但是我 们要先完成一个任务才能进入，请看任务二 ——古塔究竟有多高？ 四、古塔究竟有多高？（练习二）
3．情感教育与价值观
通过对三角函数的实际应用，体会数学源于生活且服务于生活。
初三数学直角三角形的边角关系知识精讲 北师大版
初三数学直角三角形的边角关系知识精讲 北师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：直角三角形的边角关系 （一）学习目标1. 通过对实际问题的探索，得出三种三角函数的概念。
2. 在探索出30°、45°、60°角的三角函数值后，利用它们解决实际问题。
3. 利用计算器解决有关三角函数计算。
4. 综合利用正弦、余弦、正切等三角函数的有关性质解决实际生活中的问题，提高合作、交流的意识和能力。
（二）学习重、难点及学法指导1. 注重揭示直角三角形的边与角的关系。
直角三角形是我们常见的三角形，我们也对它的特性做了很多了解和研究，如勾股定理，两锐角互余等。
而且直角三角形也是研究矩形、菱形、正方形等特殊四边形的基础，在九年级上册《证明三》中，我们已经对直角三角形的边角关系有了一定的认识。
大家还记得“直角三角形中，30°角对的直角边等于斜边的一半”吗？如图：∵在Rt △ABC 中，∠A=30° ∴。
BC AB =12所以，大家一定要认识到，学习的新知识，并不是孤立的，它与前面的知识都有密切的联系，所以我们在学习时，应学会利用旧知识来探索新知识。
2. 重视进行探索和交流，鼓励与提倡解决问题策略的多样化。
本章为我们提供了许多活动，学习中应当进行充分的探索与交流。
如对30°、45°、60°的三角函数值的探索。
我们可以利用一副三角尺来探究。
先拿出一个30°、60°的 三角板。
如图所示，先看一下°的正弦值是多少？根据正弦的定义可知30sin3030°，是°所对的直角边，是斜边，根据前面的知识，可知=BCABBC AB sin cos 301230=。
对于°的值的探索会有一定的难度。
这里应在和同伴的交流中，讨论解决的方案，因为我们已知，不妨设，，利用勾股定理BC AB BC k AB k ===122AC k AC AB k k ====3303232，根据余弦的定义得°。
北师大版九年级数学《直角三角形边角关系》回顾与思考教案
【回顾部分】一、教学内容回顾本节课主要学习了直角三角形的边角关系。
通过对直角三角形的边长关系及边角关系的学习，培养学生运用勾股定理求直角三角形边长的能力，同时巩固、加深学生对勾股定理和三角函数的理解。
几个重点内容回顾如下：1.勾股定理：已知直角三角形的直角边长分别为a和b，斜边长为c，则a^2+b^2=c^22. 正弦定理：在任意三角形ABC中，a/sin A = b/sin B = c/sin C。
3. 余弦定理：在任意三角形ABC中，a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos A。
4.边角关系：（1）在直角三角形中，斜边是直角边中任何一边的斜角对边。
（2）直角边是直角边中斜边的两个锐角的对边。
（3）斜边是斜边中直角边的对边。
二、教学难点回顾学生在学习直角三角形边角关系时，可能遇到以下难点：1.对勾股定理、正弦定理和余弦定理的理解不够深刻。
2.边角关系的理解不够全面，不能准确判断哪些是对边、邻边、而是错误地将直角边、斜边等与对边、邻边对应。
3.将已知的边长和角度运用到求解未知边长和角度的问题中。
【思考部分】一、教学反思本节课采用了讲授与练习相结合的教学方法，通过示例引入，讲解相关知识点，并通过例题进行练习巩固。
在授课过程中，我充分引导学生思考，引导他们归纳总结关键点，提高学生的自主学习能力。
同时，我也提供了大量的练习题，帮助学生加深对知识点的理解，并将知识运用到实际问题中。
教学效果较好。
但也有不足之处，即教学过程中，未能充分激发学生的兴趣，缺乏一些生动的教学手段。
对于边角关系的理解也需要进一步加强，引导学生从不同角度去理解、判断和应用知识。
未来的教学中，我会进一步完善教学设计，增加一些趣味性和实践性的教学活动，提高学生的学习兴趣和参与度。
二、教学改进为了更好地提高学生对直角三角形边角关系的理解和应用能力，我将采取以下教学改进措施：1.强化基础知识的梳理。
在下节课中，我将花更多的时间回顾和巩固勾股定理、正弦定理和余弦定理的相关知识点，让学生掌握更深刻、更全面的概念。
新北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用》教案_5
§1.5 三角函数的应用教学目标( 一) 知识与技能1.经历探索舰艇是否有触礁危险的过程，体会三角函数在解决问题中的应用；通过探究测高问题和建筑问题能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.(三) 情感态度与价值观在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气；选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.教学重点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.通过测高问题和建筑问题发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图并能利用三角函数建立方程。
教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示（PPT, 视频，投影仪，36份导学案，小组合作卡）教学过程Ⅰ.课堂热身，知识回顾[师]我们知道，三角函数是在直角三角形中定义的，那么直角三角形中存在怎样的边角关系呢？请同学们思考和老师一起完成知识树。
利用“直角三角形”知识树回顾其角之间、边之间、边与角、特殊角的三角函数值。
Ⅱ.创设情境，引入新课[师]在实际生活中哪些方面会用到三角函数呢？（学生思考并回答：在航海、工程等测量问题中有着广泛应用）老师最感兴趣的是它在航海方面的应用，今年是我国海军建军多少周年呢？（学生回答）请同学们先欣赏一段视频(多媒体演示海军70周年纪录片，学生观看，教师板书题目).[师]相信此时，同学们能够感受到保卫祖国，守护人民的职责是神圣的，国家利益所至，舰艇航迹必达。
“航迹问题”就和三角函数有关，只有准确的辨明方向，计算距离才能完成任务。
假如你是船长，下面的问题你能解决吗？（PPT展示探究一）探究一：船是否有触礁危险？海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有一艘救援舰艇由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，舰艇继续往东航行，你认为舰艇继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.（学生讨论交流，师生探讨思路，师生整理具体过程，教师板演）[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD 的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?（师生共同分析已知条件，完成示意图的标注，并分析题意整理思路）[师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.)＝20，AD(tan55°-tan25°AD=25tan 55tan 20≈20.67(海里).（留给学生计算时间，并在导学案上补充过程）这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险. [师]这个题目我们就完成了，在解决这个实际问题时，我们首先将它转换成数学问题，画出几何图形，构建直角三角形，实质是解两个直角三角形，解题的突破点就是两个直角三角形的公共边。
新北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用》教案_2
题意画出示意图，根据条件求解。
（三）、解实际问题常用的两种思维方法：
1、切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与
其他特殊图形的组合；
2、粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。
（四）、解实际问题常用的两种模型：
1、“背靠背”型
这类型的特点是：两直角三角形是并列关系， 有公共直角顶点和一条公共直角边， 其中，这
求 B 处与河岸的距离 .
A 后， 以和河岸成
30°角的方向行驶了
500m 到达 B 处，
例 2、如图，一艘船以 40km/h 的速度向正东航行， 在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 60°方向上， 继续航行 1h 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30°方向上 . 已知在灯塔 C 的四周 30km 内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
米
C.35.7 米 D.35.74
米
5．（ 2011 年广东 ）如图，小明家在 A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路
l ，AB 是
A 到 l 的小路 . 现新修一条路 AC 到公路 l. 小明测量出∠ ACD =30o，∠ ABD =45o， BC=50m .
请你帮小明计算他家到公路 l 的距离 AD 的长度（精确到 0.1m；参考数据： 2 1.414 ，
学校附近楼房 CD 的高度，在水平地面 A 处安置测倾器测得楼
房 CD 顶部点 D 的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A′处， 测
得点 D 的仰角为 67.5 °，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，
则楼房 CD的高度约为 ( 结果精确到 0.1 米， 2≈1.414)(
)
A.34.14 米 B.34.1
正弦：
新北师大版初中数学九年级下册第1章 直角三角形的边角关系《1.5三角函数的应用》优质课件
解:如图,根据题意可知, ∠B=90° ,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m
tan400 BC ,BC BD tan400. BD
E
BE BC 2 BD tan 400 2 6.1955(m).
DE BE2DB2 7.96m.
2m C
答:钢缆ED的长度约为7.96m.
A 50m B C
x
50 tan 600 tan
300
答:该塔约有43m高.
50 25 3 43m.
3 3 3
这道题你能有更简单的解法吗？
做一做
某商场准备改善原有楼梯的安 全性能,把倾角由原来的40° 减至35°,已知原楼梯的长度 为4m,调整后的楼梯会加长多 少?楼梯多占多长一段地 面?(结果精确到0.01m). B
A
D
4m
┌ C
做一做
求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.
解:如图,根据题意可知, ∠C=90° ∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.
sin400 BC , BD
BC BD sin400.
B 4m
sin350 BC , AB
350 400
┌
AD
C
AB
BC s in 350
400
D
5m B
随堂练习
2 如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m. 坡底BC=30m,∠ADC=1350. (1)求坡角∠ABC的大小; (2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确 到0.01m3 ).
A
D
B
C
随堂练习
解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小;
北师大版九年级下册数学教案：第一章直角三角形的边角关系
最后，总结回顾环节，学生能够较好地总结今天所学的知识点，但我也注意到他们对一些细节问题的掌握还不够牢固。在接下来的课程中，我需要设计更多针对性的练习和复习活动，帮助他们加深记忆，确保知识的长期掌握。
注意：由于教学难点与重点通常不会要求2000字，这里我按照要求提供了详细的说明，但实际教案中这部分内容通常会更为精简。以下内容是为了满足字数要求而扩展的，实际教案应根据具体情况调整。
对于勾股定理的难点，教师应重点讲解以下细节：
-定理的几何意义，即直角三角形斜边与两直角边的关系。
-定理的代数证明，包括代数方法的引入和每一步的逻辑推理。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形的边角关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过测量物体高度或距离的情况？”（如测量篮球架的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形边角关系的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形的边角关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用》教案_19
§1.5 <三角函数的应用>教学设计教学目标利用三角函数把实际问题转化为数学问题，进行有关三角函数与方程的计算，并能对结果的意义进行说明。
教学重点体会三角函数在解决问题过程中的作用；发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 探索——发现法教具准备白板、多媒体演示 教学过程一、温故知新设计目的：回顾特殊三角函数值，明确解直角三角形的条件.二、创设情境，引入新知下面我们就来欣赏一段视频：《泰坦尼克号》(多媒体演示).请思考：视频中游轮事故发生的原因是什么？现实生活中类似这样的事故能否避免?与同伴进行交流自己的想法。
.下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题(板书：船有触礁的危险吗) 出示本节课学习目标： 利用三角函数把实际问题转化为数学问题，进行有.22135的长，求，，中，如图，在AB AC BC ACB ABC ==︒=∠∆ABC关三角函数与方程的计算，并能对结果的意义进行说明。
三、讲授新课如图，海上有一小岛P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得小岛P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得小岛P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?[生]应该是“上北下南，左西右东”.[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的. [生]首先我们可将A处确定，海轮至A处测得P在它的北偏东60°的方向，至B 处测得P在它的北偏东45°处.示意图如下：通过自己的理解，思考一下几个问题：1、如何理解小岛四周有暗礁？2、海轮航行过程中与小岛之间的距离是怎样变化的？3、是否有触礁的危险是由什么来决定的？师生共析：[师]海轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定? [生]根据题意，小岛四周6海里内有暗礁，那么海轮继续向东航行的方向如果到P 的最短距离大于6海里，则无触礁的危险，如果小于6海里则有触礁的危险.P 到AB 所在直线的最短距离为过P 作PC ⊥BC ，C 为垂足，即PC 的长度.我们需根据题意，计算出PC 的长度，然后与6海里比较.[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看PC 如何求.根据题意，有哪些已知条件呢? [生]已知AB ＝6海里，∠PAC ＝30°，∠PBC ＝45°.[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt △APC 和Rt △BPC.你能在哪一个三角形中求出PC 呢?[生]在Rt △BPC 中，只知道∠PBC=45°，不能求PC.[生]在Rt △APC 中，知道∠PAC=30°，虽然知道AB ＝6海里，但它不是Rt △APC 的边，也不能求出PC.[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑? [生]我发现这两个三角形有联系，PC 是它们的公共直角边.而且BC 是这两个直角三角形AC 与AB 的差，即AC ＝AB+BC.PC 的对角是已知的，BC=PC,AC 、BC 和边PC 都有联系. [师]有何联系呢?[生]在Rt △APC 中，tan30°＝ACPC，PC=ACtan30°； [生]设PC=BC=x 就可以列出关于PC 的一元一次方程.[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.下面我们一起完整地将这个题做完.根据题意，可得：于点作解析：过点.C AB PC P ⊥海里6602018=⨯=AB[师]同学们，还有其他方法吗?[生]有，勾股定理也可以算出PC 的长：[师]太棒了！在解决这类实际问题时，我们可以借助这两种方法。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系(教案).5三角函数应用(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解三角函数的基本概念。三角函数是描述直角三角形中角度与边长比例关系的数学函数。它是解决高度、距离等实际问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用三角函数测量建筑物的高度，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切函数的定义和应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
此外，学生在解决综合性问题时，数学建模能力有待提高。在今后的教学中，我将着重培养学生的数学建模素养，让他们学会如何将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识进行求解。
在教学方法上，我尝试采用引导式教学，让学生在讨论和实践中发现问题和解决问题。这种教学方式在很大程度上激发了学生的兴趣，但也对课堂节奏的控制提出了更高的要求。在今后的教学中，我需要更好地把握课堂节奏，既要保证学生的讨论和实践时间，又要确保教学目标的顺利完成。
1.讨论主题：学生将围绕“三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
b.引导学生通过分析问题，抽象出数学模型，培养数学抽象素养。
3.培养学生的合作与交流能力，提高数学表达与交流素养；
a.组织课堂讨论和分享，鼓励学生表达自己的观点，倾听他人的意见，培养合作交流能力；
b.引导学生在解题过程中，注重数学语言的表达，提高数学表达与交流素养。
初三数学直角三角形边角关系专题复习知识精讲 北师大版
初三数学直角三角形边角关系专题复习知识精讲 北师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：直角三角形边角关系专题复习［学习过程］ 一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt △中①的对边的斜边tan ααα=∠∠②的对边的斜边sin ααα=∠∠③的邻边的斜边cos ααα=∠∠在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中2. 特殊角的三角函数值，可用表格来说明注：此表可借助特殊直角三角形三边的关系来记忆3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41234.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪二. 例题分析例 1. 如图在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠=DBA AD 15，求的长。
A E B分析：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知角放在所构造的直角三角形中。
本题已知所以可以过作于把放于tan ,,∠=⊥∠DBA D DE AB E DBA Rt DBE 15∆中，然后根据正切函数的定义，即可弄清DE 与BE 的长度关系，再结合等腰Rt △的性质，此题就不难解答了。
解：过D 作DE ⊥AB 于E ∴△DBE 和△DEA 为Rt △t a n ∠==∴==D B E DE BE DE x BE x 155设则 ∴=+=AB DE BE x 6又为等腰为等腰∆∆∆∆ACB Rt A Rt DEA Rt ∴∠=∴45∴==∴=AE DE x AD x 2又， AC AB AC x x =∴==∴=∴=62626622∴==⋅==AD x AD 22222即例2. 如图湖泊的中央有一个建筑物AB ，某人在地面C 处测得其顶部A 的仰角为60°，然后，自C 处沿BC 方向行100m 到D 点，又测得其顶部A 的仰角为30°，求建筑物的高（结果保留根号）A分析：本题的关键在于（1）DB-CB=100（2）Rt △ABC 与Rt △ADB 有一条共同的线段AB ，因此只要利用Rt △ABC 和Rt △ADB 分别用AB 表示出DB 和CB 即可列出方程DB-CB=100，问题便可迎刃而解。
北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
北师大版九年级下册数学《三角函数的有关计算》直角三角形的边角关系说课教学课件复习提高
B
30° 45° ┌
4C x D
BD
∴BD= 3 AD
3x
∵BD－CD=BC, 即 3AD－AD＝4
∴ AD＝2 3 +2
体会这两个图形的“模型”作用.将
会助你登上希望的峰顶.
(课本17页)
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角 为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
m．
5
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端, 梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°. 现有一个长6m的梯子.问:
(1)使用这个梯子最高可以安全
B
攀上多高的平房?(精确到0.1m)
角α越大,攀上的高度就越高.
这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知∠A= 75°, 斜边AB=6,求BC的长
∴∠CAF= ∠BAF -∠DAC= 45°-30°=15°
∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏
西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观
察站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E,
α＝22°
1.20
E
22.7
图 19.4.4
例2:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
(课本93页)
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角 为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1.1锐角三角函数教案
最后，我觉得在总结回顾环节，可以让学生更多地参与到总结中来，而不是由我来概括。这样既能检验学生对知识点的掌握程度，也能提高他们自主总结的能力。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们学习了锐角三角函数的定义、基本关系以及在实际问题中的应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
首先，我在导入新课环节提出的问题可能还需要更贴近学生的生活实际，以便更好地激发他们的兴趣。例如，可以询问学生在校园中或家庭中遇到的测量问题，这样或许能让他们更快地进入学习状态。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“锐角三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切的定义及基本关系这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，如通过实际测量角度和边长，计算未知边长。
数学北师大版九年级第一章直角三角形的边角关系同步辅导
专题讲座“化斜为直”构造直角三角形解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解.例1 如图1，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山的西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A ，B 两点间的距离为 米.分析：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，构造了两个直角三角形，先在Rt △ACD 中求得AD 的长；再在Rt △ABD中求得AB 的长.解：如图1，过点A 作AD ⊥BC 于DIAN D.由题意，得AC=30×25=750（米），∠B=30°.∴∠ACB=75°－∠B=45°.∴AD=AC·sin ∠ACB=3752.在Rt △ABD 中，∠B=30°，∴AB=2AD=7502（米）.例2 钓鱼岛是中国固有领土，为测量钓鱼岛东西两端A ，B 的距离，如图2，我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C 处，测得端点A 的俯角为45°，然后沿着平行于AB 的方向飞行3.2公里到点D ，并测得端点B 的俯角为37°，求钓鱼岛两端AB 的距离.（结果精确到0.1公里；参考数据：sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75，2≈ 1.41）图2解析：过点A 作AE ⊥CD ，过B 作BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，则四边形ABFE 为矩形.∴EF = AB ，AE = BF = 1.在Rt △AEC 中，∠C = 45°，∴CE = AE = 1.在Rt △BFD 中，∠BDF = 37°，∴DF=BDFBF tan ≈1.33. ∴AB=EF=CD−CE+DF=3.2−1+1.33≈3.5（公里）.例3 （2017·威海）如图3，图①是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图②，AB ⊥BC ，垂足为B ，EA ⊥AB ，垂足为A ，CD ∥AB ，CD=10 cm ，DE=120 cm ，FG ⊥DE ，垂足为G ．（1）若∠θ=37°50′，则AB 的长约为____________cm ；（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）（2）若FG=30 cm ，∠θ=60°，求CF 的长．A BC 30° 75° 图1 DA M CD N45° 37° BE F图3解析：（1）如图4，作EP ⊥BC 于点P ，DQ ⊥EP 于点Q ，则CD=PQ=10，∠2+∠3=90°．∵∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2，∴∠3=∠θ=37°50′.∴EQ=DE·sin ∠3=120·sin37°50′．∴AB=EP=EQ+PQ=120·sin37°50′+10≈83.2．图4（2）如图4，延长ED ，BC 交于点K ．由（1）知∠θ=∠3=∠K=60°．在Rt △CDK 中，CK=tan CD K =103. 在Rt △KGF 中，KF=sin GF K =3032=603． ∴CF=KF−CK=603−103=503=5033． 典例论坛 多姿多彩的解直角三角形【课本原题】如图1，工件上有一V 形槽（AC=BC ），测得它的上口宽20 mm ，深19.2 mm ，求V 形角（∠ACB ）的度数（结果精确到1°）.图1（北师大九年级下册教材P18习题1.5第3题）思路分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD ，BD 的长，然后利用正切求出∠BCD 的度数，进而求得∠ACB 的度数.解答展示：因为AC=BC ，CD ⊥AB ，所以AD=BD=21AB=10.在Rt △BCD 中，DC=19.2，tan ∠DCB==≈0.521，所以∠DCB≈27.5°.所以∠ACB=2∠DCB=55°．答：V 形角的度数为55°．变式训练1. 如图2，某山坡的坡面AB ＝200米，坡角∠BAC ＝30°，则该山坡的高BC 为_______米．分析：如图2，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，已知斜边AB 和∠BAC ，根据sin ∠ABC =BC AB 即可求解. 解： 2. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图3是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱AC 高为a.已知冬至时北京的正午日光入射角∠ABC 约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC 的长）约为（ ）A. a·sin26.5°B.tan 26.5a ︒C. a·cos26.5°D.cos26.5a ︒图3分析：要求直角边BC ，已知直角边AC 和∠ABC ，根据tan ∠ABC =AC BC即可求解. 解：3. 如图4，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21 m 的建筑物CD 的顶端D 处，测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°（A ，B ，C 在同一条直线上），则河的宽度AB 约为________m.（结果精确到0.1 m ；参考数据：2≈1.41，3≈1.73）分析：在Rt △BCD 中，根据tan ∠DBC=CD BC 可求出BC ，在Rt △ACD 中，根据tan ∠DAC=CD AC可求出AC ，从而可得AB 的长.解：方法引荐：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，只要再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素都可以确定下来.在求解的过程中注意根据问题中的条件，恰当选取锐角三角函数：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，当然正切是首选；已知直边求斜边，用除还是正余弦；已知两边求一角，函数关系要选好，能用乘法不用除.图2变式训练参考答案：1. 1002. B3. 15.3数学思想方程思想的小火花例1（2018·重庆）如图1，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度为i=1:0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，c os24°≈0.91，tan24°≈0.45）（ ）A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米图1解析：如图1，过点B 作BM ⊥ED ，交ED 的延长线于点M ，过点C 作CN ⊥DM 于点N.在Rt △CDN 中，==，所以设CN=4k ，DN=3k.由勾股定理，得DN 2+CN 2=CD 2，即（3k ）2+（4k ）2=100，解得k=2.所以CN=8，DN=6.因为四边形BMNC 是矩形，所以BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66.在Rt △AEM 中，AM=EMtan24°=29.7，所以AB=AM-BM=21.7（米）.故选A ．例2（2018·衢州）“五一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A 处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C 在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l 步行200米到达B 处，这时定位显示小陈家C 在自己的北偏东30°方向，如图2所示．根据以上信息，请你帮小明算一算他还需沿绿道l 继续直走大约多少米才能到达桥头D 处（结果精确到1米；参考数据：≈1.414，≈1.732）图2解析：根据题意，得∠CAD=45°，∠CBD=60°，AB=200 m ，设BD=x ，则CD=BDtan60°=x ，AD=tan 45CD =x.由题意，得x-x=200，解得x≈273.答：小明还需沿绿道l 继续直走大约273米才能到达桥头D 处．题型空间聚焦关于坡度的计算一、求坡角例1 一个拦水大坝的横断面如图1所示，AD ∥BC ，若背水坡AB 的坡度为1:3，则该背水坡的坡角∠B= °.分析：根据坡度的概念，易得tanB=i=1:3，利用特殊角的三角函数值即可求得∠B 的度数．解： .二、求坡度 例2 如图2，为测量山坡护坡石坝的坡度，李华将一根长5 m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1 m 处的点D 离地面的高度DE=0.6 m ，又量得竹杆底部与坝脚的距离AB=3 m ，则石坝的坡度为（ ）A ．34B ．3C ．35D ．4分析：过点C 作CF ⊥AB 于点F.根据DE ∥CF ，易得AD AC =DE CF，从而可求得CF 的长，再由勾股定理可得AF 的长，最后根据CF 和BF 的长即可求得石坝的坡度.解： .三、求高度 例3 一个小球由地面沿着坡度为1:2的坡面前进了10米，则此时小球距离地面的高度为 米．分析：画出如图3所示的示意图，在Rt △ABC 中，tanA=12，AB=10，可设BC=x ，AC=2x ，利用勾股定理构造方程解答即可.解： .四、求坡面长度例 4 如图4是一拦水坝的横断面示意图，斜坡AB 的高度为6米，坡比为1:2，则斜坡AB 的长为 米.分析：根据坡度（坡比）的定义可求得AC 的长，再根据勾股定理即可求得AB 的长.解： .参考答案：例1 30° 例2 B 例3 25 例4 65三角函数求值的几种方法一、利用定义求值例1 （2017·哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为（ ）A.154B.14C.1515D.1717 解析：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，根据勾股定理，得BC 2241 15所以cosB ＝BC AB ＝154.故选A. 二、利用等角求锐角三角函数值例2 （2017·孝感）如图1，已知矩形ABCD （AB ＜AD ）.（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①以点A 为圆心，以AD 的长为半径画弧，交边BC 于点E ，连接AE ；②作∠DAE 的平分线交CD 于点F ；③连接EF.（2）在（1）作出的图形中，若AB ＝8，AD ＝10，则tan ∠FEC 的值为 .图 1解析：（1）如图1所示.（2）由（1）知AE ＝AD ＝10，∠DAF ＝∠EAF ，又AF ＝AF ，∴△DAF ≌△EAF.∴∠D ＝∠AEF ＝90°.∴∠BEA+∠FEC ＝90°.又∵∠BEA+∠BAE ＝90°，∴∠FEC ＝∠BAE.在Rt △ABE 中，AB=8，AE=10，∴BE=22AE AB =6.∴tan ∠BAE ＝BE AB ＝68＝34. ∴tan ∠FEC ＝34. 三、利用互余两角间的关系求值例3 （2016·菏泽）如图2，△ABC 与△A ′B ′C ′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A ′B ′=A ′C ′=3，若∠B+∠B ′=90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为（ ）A .25∶9 B. 5∶3 C.5∶3 D. 55∶33图2解析：如图2，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，过点A ′作A ′D ⊥BC 于点D ′.∵△ABC 与△A ′B ′C ′都是等腰三角形，∴∠B=∠C ，∠B ′=∠C ′，BC=2BD ，B ′C ′=2B ′D ′.∴AD=AB ·sinB ，BC=2BD=2AB ·cosB ，A ′D ′=A ′B ′·sinB ′，B ′C ′=2B ′D ′=2A ′B ′·cosB ′.∵∠B+∠B ′=90°，∴sinB=cosB ′，sinB ′=cosB.∴S △ABC =12AD ·BC=12AB ·sinB ·2AB ·cosB=25 sinB ·cosB ， S △A ′B ′C ′=12A ′D ′·B ′C ′=12A ′B ′·sinB ′·2A ′B ′·cosB ′=9 sinB ′·cosB ′. ∴S △ABC ∶S △A ′B ′C ′=25∶9.故选A.题型空间仰角、俯角与三角函数合作秀例1（2018·张家界）2017年9月8日至10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图1，某选手从离水平地面1000米高的A 点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D 点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C 点，求该选手飞行的水平距离BC.图1解析：如图1，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F.由题意，得∠ADE=30°，∠DCF=60°.在Rt △ADE 中，AE=ADsin30°=700，ED=ADcos30°=700，所以EB=AB-AE=300.因为四边形BEDF 是矩形，所以BF=ED=700，DF=EB=300.在Rt △CDF 中，CF=tan 60DF =100. 所以BC=BF+CF=700+100=800（米）．答：选手飞行的水平距离BC 为800米．例2（2018·泸州）如图2，甲建筑物AD 与乙建筑物BC 的水平距离AB 为90 m ，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E 点（A ，E ，B 在同一水平线上）测得D 点的仰角为30°，测得C 点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C ，D 间的距离.（结果保留根号）图2解析：在Rt △ADE 中，∠AED=30°，所以AE=tan30AD ︒=AD ，DE=2AD. 在Rt △BCE 中，∠BEC=60°，所以BE=tan 60BC ︒=33BC ，CE=233BC.因为BC=6AD ，所以BE=2AD ，CE=4AD.因为AE+BE=AB=90，所以AD+2AD=90，解得AD=10. 所以DE=20，CE=120.因为∠DEC=180°-∠AED-∠BEC=90°，所以CD===20（m ）.答：这两座建筑物顶端C ，D 间的距离为20m.例3（2018·德州）如图3，两座建筑物的水平距离BC为60 m，从C点测得A点的仰角α为53°，从A点测得D点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）图3解析：如图3，过点D作DE⊥AB于点E，则DE=BC=60.在Rt△ABC中，AB=BCtan53°=80，在Rt△ADE中，∠ADE=37°，所以AE=DEtan37°=45.所以BE=CD=AB-AE=35（m）.答：两座建筑物的高度分别为80 m和35 m．。
九年级数学下册 1《直角三角形的边角关系》复习专题3 直角三角形边角关系的应用素材 (新版)北师大版
专题三 直角三角形边角关系的应用本专题主要是根据直角三角形边角的关系，确定边长、角的度数以及三角函数值等，此类问题是锐角三角函数解决实际问题中的一个过渡，通过本专题的复习，应达到以下目标：能根据直角三角形中的边角关系，求边长、角的度数以及锐角三角函数值等． 例1 如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，∠C =120°，AB =8，则CD 的长为（ ）．A．3 B． C．3D． 分析：求CD 的长可构造直角三角形利用三角函数求解：如图1，作AF ⊥BC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ，则根据已知条件可求出DE =AF =AB ·sin B ，再根据三角函数求出CD 的长． 解：作AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 并交BC 的延长线于E ．在Rt △ABF 中，因为AB =8，∠B =45°， 所以2422845sin =⨯=︒∙=AB AF ，所以DE AF ==在Rt △CDE 中，因为18012060DCE ∠=-=，所以sin 6033DE CD ===，故选A ． 说明：在利用锐角三角函数求边长时，若所求的边不在直角三角形内，则需将它转化到直角三角形中去，转化的途径比较多，如构造直角三角形或用已知的直角三角形的边或角来代替．例2 如图2，已知AD 为等腰三角形ABC 底边上的高，且4tan 3B =，AC 上有一点E ，满足AE ∶EC =2∶3．那么， tan ∠ADE 是（ ）． A ．35 B ．23 C ．12D ．13分析：要求tan ∠ADE 值，需要构造包含∠ADE 的直角三角形，为此需要过点E 作EF ⊥AD，再求出EFFD即可．解：因为AD⊥BC，垂足为D，AB=AC，所以∠BAD=∠CAD．因为4tan3B=，∠B+∠CAD=90°，所以3 tan4CAD∠=．作EF⊥AD交AD于F，则tan∠CAD34 EFAF==．所以34EF AF=．因为AD⊥BC，EF⊥AD，所以EF∥CB．又AE∶EC=2∶3，所以AF∶FD=2∶3．所以32FD AF=．所以314tan =322AFEFADEFD AF∠==．故选C．说明：当要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找等角．本题采用了构造直角三角形的方法．专题训练：1．如图3，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=_____．2．如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，tan∠DAC则AB=（）．A．5 BC．D．3．如图5，在△ABC中，∠B=60°，BC=2，中线CD⊥BC，求AB，tan A的值．参考答案：1．452．A3．因为∠B=60°，CD⊥BC，所以∠CDB=30°．因为CB=2，所以DB=4，CD=所以AD=4，AB=8．作CE⊥BD，则CE，DE=3．所以AE=7．所以tan A。
初三数学 直角三角形的边角关系 全章教案 北师版
初三数学直角三角形的边角关系全章教案北师版第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起课时安排2课时从容说课直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之—.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题.本节首光从梯子的倾斜程度谈起。
引入了第—个锐角三角函数——正切.因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的.所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角：三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算.本节的重点就是理解tanA、sinA、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA的数学含义.所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.第一课时课题§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比.教学方法引导—探索法.教具准备FLASH演示教学过程1.创设问题情境，引入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?[问题2]随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习，相信大家一定能够解决.这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起).Ⅱ.讲授新课用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?[生]梯子AB比梯子EF更陡.[师]你是如何判断的?[生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡.[生]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC 、FD 的长度即可知哪个梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡.[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢?[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡.[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？[生]385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED . ∵133538〈=, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡. 多媒体演示：想一想如图，小明想通过测量B 1C 1：及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?(2)和111AC C B 222AC C B 和有什么关系? (3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度.下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法.[生]在上图中，我们可以知道Rt △AB 1C 1，和Rt △AB 2C 2是相似的.因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2.[生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2//B 1C 1，Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2.[生]相似三角形的对应边成比例，得2221111212211,AC C B C A C B C A AC C B C B ==即. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt △B 2C 2A ∽Rt △Rt △B 1C 1A ，仍能得到222111AC C B AC C B =因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外)， 222111AC C B AC C B =总成立. [师]也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的.现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗?[生]∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变.[师]你又能得出什么结论呢?[生]∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关.也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价?[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1、B 2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关.[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成.[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡.我们学习数学就是为了更好地应用数学.由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即tanA=的邻边的对边A A ∠∠ .注意：1.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A”.4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切.思考：1.∠B的正切如何表示?它的数学意义是什么?2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗? [生]1.∠B的正切记作tanB，表示∠B的对边与邻边的比值，即tanB=的邻边的对边BB∠∠.2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在图1—3中，梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡.[师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.如图，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60 m，那么山坡的坡度(即坡角α的正切——tanα就是tanα=α5310060=.这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡.Ⅲ.例题讲解多媒体演示[例1]如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tanα、tanβ的值，比较大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，tanα=125513522=-=∠∠的邻边的对边αα.乙梯中，tanβ=4386==∠∠的邻边的对边ββ.因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.[例2]在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.分析：要求tanA ，tanB 的值，根据勾股定理先求出直角边AC 的长度.解：在△ABC 中，∠C ＝90°，所以AC=22221220-=-BC AB =16(cm), tanA=,431612===∠∠AC BC A A 的邻边的对边 tanB=.341216===∠∠BC AC B B 的邻边的对边 所以tanA=43，tanB=34. Ⅳ，随堂练习1.如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?分析：要求tanC.需从图中找到∠C 所在的直角三角形，因为BD ⊥AC ，所以∠C 在Rt △BDC 中.然后求出∠C 的对边与邻边的比，即DCBD 的值. 解：∵△ABC 是等腰直角三角形，BD ⊥AC ，∴CD ＝21AC ＝21×3＝1.5. 在Rt △BDC 中，tanC ＝DC BD =5.15.1＝1. 2.如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)分析：由图可知，∠A 是坡角，∠A 的正切即tanA 为山的坡度.解：根据题意：在Rt △ABC 中，AB=200 m ，BC ＝55 m ， AC=46.385147955520022⨯≈=-=192.30(m).TanA=.286.030.19255≈=AC BC 所以山的坡度为0.286.Ⅴ.课时小结本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“Rt △”中定义了tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠.接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念.Ⅵ.课后作业1.习题1.1第1、2题.2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡.Ⅶ.活动与探究(2003年江苏盐城)如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)[过程]要求DB 的长，需分别在Rt △ABC 和Rt △ACD 中求出BC 和DC.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，AB ＝12 m ，则可根据勾股定理求出BC ；在Rt △ADC 中，坡比为1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC ＝AC ，可求出CD.[结果]根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，所以△ABC 为等腰直角三角形.设BC=AC ＝xm ，则x 2+x 2＝122， x=62， 所以BC ＝AC=62.在Rt △ADC 中，tanD=5.11=CD AC , 即5.1126=CD CD=92. 所以DB ＝CD-BC ＝92-62=32(m).板书设计§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.2.正切的定义：在Rt △ABC 中，锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠. 注：(1)tanA 的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例题讲解(略)4.随堂练习5.课时小结备课资料[例1](2003年浙江沼兴)若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.分析：根据题意(如图)：在Rt △ABC中AC ：BC ＝3：4，AB ＝10米.设AC ＝3x ，BC ＝4x ，根据勾股定理，得(3x)2+(4x)2＝10，∴x ＝2.∴AC ＝3x=6(米).因此某人沿斜坡前进10米后，所在位置比原来的位置升高6米.解：应填“6 m ”.[例2](2003年内蒙古赤峰)菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.分析：如图，菱形ABCD ，BD ＝16，AC ＝12，∠ABO ＝θ， 在Rt △AOB 中，AO=21AC=6， BO=21BD=8. tan θ=4386==OB OA . 解：应填“43”.第二课时课 题§1.1.2 从梯子的倾斜程度谈起(二)教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.(二)能力训练要求1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法探索——交流法.教具准备多媒体演示.教学过程Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?Ⅱ.讲授新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2) 211122BA C A BA C A 和有什么 关系? 2112BA BC BA BC 和呢?(3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请同学们讨论后回答.[生]∵A 1C 1⊥BC 1，A 2C 2⊥BC 2，∴A 1C 1//A 2C 2.∴Rt △BA 1C 1∽Rt △BA 2C 2.211122BA C A BA C A 和 2112BA BC BA BC 和 (相似三角形对应边成比例). 由于A 2是梯子A 1B 上的任意—点，所以，如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.[生]如果改变梯子A 1B 的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?[生]函数关系.[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即cosA=斜边的邻边A ∠ 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction).[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函数”呢?[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A 确定时.∠A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠A 的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A 的三角函数”概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量.当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应. 2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?[生]如图所示，AB ＝A 1B 1，在Rt △ABC 中，sinA=ABBC，在 Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=111B A CB . ∵AB BC＜111B A C B , 即sinA<sinA 1，而梯子A 1B 1比梯子AB 陡，所以梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度. [生]同样道理cosA=ABACcosA 1＝111B A C A ,∵AB=A 1B 1AB AC＞111B A C A 即cosA>cosA 1， 所以梯子的倾斜程度与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡.[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切. 3.例题讲解 多媒体演示.[例1]如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝ 200.sinA ＝0.6，求BC 的长.分析：sinA 不是“sin ”与“A ”的乘积，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA ＝0.6，ACBC＝0.6. 解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200. sinA ＝0.6，即=ACBC0.6，BC ＝AC ×0.6＝200×0.6=120. 思考：(1)cosA ＝? (2)sinC ＝？ cosC ＝?(3)由上面计算，你能猜想出什么结论? 解：根据勾股定理，得 AB ＝2222120200-=-BC AC =160.19在Rt △ABC 中，CB ＝90°.cosA ＝54200160==AC AB ＝0.8， sinC= 54200160==AC AB =0.8，cosC ＝ 53200120==AC BC ＝0.6，由上面的计算可知 sinA ＝cosC ＝O.6， cosA ＝sinC ＝0.8.因为∠A+∠C ＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”. [例2]做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA ，cos (90°-A)=sinA.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=10，cosA ＝1312，cosA ＝AB AC ,∴AB=665121310131210cos =⨯==A Ac ,sinB ＝1312cos ==A AB Ac 根据勾股定理，得BC 2＝AB 2-AC 2＝(665)2-102=2222625366065=- ∴BC ＝625. ∴cosB ＝1356525665625===AB BC ,sinA＝135=AB BC 可以得出同例1一样的结论. ∵∠A+∠B=90°，∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)； cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A). Ⅲ.随堂练习 多媒体演示1.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要构造∠B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“三 线合一”的性质，可过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.解：过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足. ∴AB=AC ，∴BD=DC=21BC=3. 在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3， ∴AD ＝4.sinB ＝54=AB AD cosB ＝53=AB BD ,tanB=34=BD AD .2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积.解：sinA=AB BC ，∵sinA=54，BC ＝20，∴AB ＝5420sin =A BC ＝＝25. 在Rt △BC 中，AC ＝222025-=15， ∴ABC 的周长＝AB+AC+BC ＝25+15+20＝60， △ABC 的面积：21AC ×BC=21×15×20＝150. 3.(2003年陕西)(补充练习) 在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21， 则sinA= . 解：如图，tanA=AC BC =21.设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理，得 AB=x x x 5)2(22=+. ∴sinA=55515===x x AB BC . Ⅳ.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A 的三角函数概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题. Ⅴ.课后作业习题1、2第1、2、3、4题 Ⅵ.活动与探究已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)[过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB.所以图中含有三个直角三角形.例如∠B 既在Rt △BDC 中，又在Rt △ABC 中，涉及线段BC 、BD 、AB ，由正弦、余弦的定义得cosB ＝AB BC ，cosB= BCBD. [结果]在Rt △ABC 中，cosB ＝ABBC又∵CD ⊥AB.∴在Rt △CDB 中，cosB ＝BCBD∴AB BC =BCBD BC 2＝AB ·BD. 板书设计§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起(二)1.正弦、余弦的定义在Kt △ABC 中，如果锐角A 确定. sinA ＝斜边的对边A ∠cosA ＝斜边的对边A ∠2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 有关吗? sinA 的值越大，梯子越陡 cosA 的值越小，梯子越陡3.例题讲解4.随堂练习§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值课时安排1课时从容说课本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值.三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力.第三课时课题§1.2 30°，45°，60°角的三角函数值教学目标(一)教学知识点1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(二)思维训练要求1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教具重点1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点进一步体会三角函数的意义.教学方法自主探索法教学准备一副三角尺多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可.[生]在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AD ＝BE ，BE 是已知的，设BE=a 米，则AD ＝a 米，如何求CD 呢? [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC ＝2CD ，根据勾股定理，(2CD)2＝CD 2+a 2. CD ＝33a. 则树的高度即可求出.[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=aCDAD CD =，则CD= atan30°，岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝21. sin30°表示在直角三角 形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝212=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝2323=a a . tan30°=33313==a a [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=2323=a a , cos60°=212=a a ,tan60°＝33=aa. [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=23cos60°=sin(90°- 60°)=sin30°=21. [师生共析]我们一同来 求45°角的三角函数值.含 45°角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一 条直角边为a ，则另一条直角 边也为a ，斜边2a.由此可求得sin45°=22212==a a , cos45°＝22212==a a , tan45°=1=aa[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示) 30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sin αco αtan α30°21 23 33 45°22 22 160°23 21 3°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，2，3，随着角度的增大，。
北师大版数学九年级下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系(第2课时)
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教学目标
1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点） 2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角的问题.(难点)
新课导入
情境引入
俯角与仰角
水平线
仰角: 在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线的夹角叫做仰角. 俯角:
在进行测量时，从上向下看，视线与水平 线的夹角叫做俯角.
新知探究
例1、如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的 仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处， 又测得山顶A的仰角为45°,求山高(结果保留根号)．
新知探究
R t tan
·tan
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
课堂小测
1.如图①，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米
比），记作 i . 即i= . 坡度通常写成1：m，如i=1：6 .
铅垂 高度 （h ）
坡度与坡角的关系： i= =tanα .
坡度等于坡角的正切值 .
新课导入
利用坡角解决实际问题 例、 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基 的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1 米, 3 1.732 , 2 1.414）.
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点点通（北师版）九年级数学直角三角形边角关系辅导—应用一．解直角三角形的应用（共10小题）1．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）2．小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，即DE ＝BC＝AB，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．3．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．4．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα5．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（）A．60°B．45°C．15°D．90°6．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米7．如图，在某一时刻，太阳光线与地面成60°的角，一只皮球在太阳光的照射下的投影长为，则皮球的直径是cm．8．如图，旗杆高AB＝6m，某一时刻，旗杆影子长BC＝8m，则tan C＝．9．如图，菱形花坛ABCD的边长为6米，∠A＝120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长（不含图中虚线）为．10．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC＝10m，∠B＝36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是．二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共10小题）11．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm，温馨提示：sin15°≈0.26，cos l5°≈0.97，tan15°≈0.27）12．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）13．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m14．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．米15．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosαB．C．5sinαD．16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．17．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos x C．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x18．如图，一山坡的坡度为i＝1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了米．19．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）20．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了m．三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共10小题）21．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）22．如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为m．23．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A．47m B．51m C．53m D．54m24．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A．20B．30C．30D．4025．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米26．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米27．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）28．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．29．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．30．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为米（结果保留根号）．四．解直角三角形的应用-方向角问题（共10小题）31．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求（1）∠C的度数．（2）A，C两港之间的距离为多少km．32．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）33．如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里34．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km35．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为小时（用根号表示）．36．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A．4km B．（2+）km C．2km D．（4﹣）km37．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是千米．38．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．3039．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）第39题图第40题图40．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为海里．参考答案与试题解析点点通（北师版）九年级数学直角三角形边角关系辅导—应用一．解直角三角形的应用（共10小题）1．立柱BH的长约为16.3米．2．（1）AC＝（40+40）cm；（2）拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（20+20）cm．3．B．4．B．5．C．6．C．7．．8．．9．20m．10．5tan36°m．二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共10小题）11．改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．12．建筑物需要拆除．13．B．14．A．15．B．16．36（米）．17．D．18．100．19．280．20．25．三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共10小题）21．障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．22．14.4．23．B．24．B．25．A．26．A．27．乙楼的高度AC的长约为37.8m．28．3．29．1200（﹣1）30．100+100四．解直角三角形的应用-方向角问题（共10小题）31．（1）由题意得：∠ACB＝20°+40°＝60°；（2）A，C两港之间的距离为（30+10 ）km．32．CD＝BC•sin∠CBD＝≈17（海里）．33．D．34．C．35．．36．B．37．3．38．B．39．566．40．30．。