2009-2010第一学期线性代数试卷A
《线性代数》模拟试卷(A)卷
厦门大学网络教育2008-2009学年第一学期《线性代数》模拟试卷（ A ）卷一、单项选择题(每小题3分，共24分).1. 若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为( ). A ．12； B. －12； C. 18； D. 0. 2. 设A B 、为同阶方阵，则下面各项正确的是( ).A.若0AB =, 则0A =或0B =；B.若0AB =，则0A =或0B =；C.22()()A B A B A B -=-+；D.若A B 、均可逆，则111()AB A B ---=.3. 若方程组12312302403690x t x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的基础解系含有两个解向量，则 t =( ). A ．2； B ．4； C ．6； D ．8.4. 已知方程组A x b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是( ).A ．若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解；B ．若0Ax =有非零解，则Ax b =一定有无穷解；C ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定有非零解；D ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定只有零解.5. 设12, u u 是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则以下结论正确的是( ).A ．12u u +是Ax b =的解；B ．12u u -是Ax b =的解；C ．1ku 是Ax b =的解（1k ≠）；D ．12u u -是0Ax =的解. 6. 设123,,a a a 线性相关，则以下结论正确的是( ).A ．12,a a 一定线性相关；B ．13,a a 一定线性相关；C ．12,a a 一定线性无关；D ．存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k a k a k a ++=.7. 若20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与200010001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则x =( ). A ．-1； B ．0； C ．1； D ．2.8. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=32232221x x 12x 3x 3x +++是( ).A. 正定的；B. 半正定的；C. 负定的；D. 不定的.二、填空题(每小题4分，共24分)1. 设802020301A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =_________. 2. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是_________.3. 设方程组123131232 1 2 53(8)8x x x x x x x a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩，当a 取__________时，方程组无解.4. 设向量组1(1,3,)a k =-，2(1,0,0)a =，3(1,3,2)a =-线性相关，则k =_________.5. 二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则t 的取值范围是_____________.6. 3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则21()A -的特征值为_________.三、计算题(共38分).1. (10分) 计算行列式 3112513420111533D ---=---.2. (10分) 求123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.3. (10分)求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321=--=-==αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.4. (8分)已知111131111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的特征值. 四、证明题(每小题7分，共14分).1. 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，E 为n 阶单位阵，2T H E XX =-，证明: H 是对称阵，且T HH E =.2. 证明二次型22256444f x y z xy xz =---++是负定的.答案：一．1．A 1211121112111112222122212221212220220(1)22122021a a aa a a a a a a a a a a a a =-=-==--2. B 由矩阵的理论可得选项B3. C 基础解系含有两个解向量3()2()1r A r A ⇒-=⇒=,12312324006369000A t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,6t =时，()1r A =4. C 当()()r A r A =时，Ax b =有解5. D 1212()2A u u Au Au b b b +=+=+=，因此12u u +不是Ax b =的解， 下面的选项类似讨论6. D 由线性相关的定义可得选项D7. B 相似矩阵具有相同的特征值8．D f 的矩阵是100036063A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 的各阶主子式为：1110a =>，103003=>，10003613366270063A ==⋅⋅-⋅=-<，因此f 为不定的 二．1．16 8022016124301A ==-=， 33***416A A A E A AA A ====⇒=2. n A r =)( 由方程组解的理论可得3. 0 方程组无解可得()(,)r A r A b ≠11211121112110120111011153880223001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,(,)3r A b =，当0a =时，()2r A =。
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。
设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ） （A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。
如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。
如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。
设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2。
设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解， 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。
设A 为正交矩阵,则A = ；6。
设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（ ） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ； （C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ） (A) A E =； (B)B E =； （C ） A B =. (D) AB BA =。
3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关； （C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。
8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是 。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。
江西农业大学2009—2010第一学期《线性代数》试卷_(A) - 副本
线
= (−2, 4, b)T 线性相关，则 a = − 2
b=
6
.
二．单项选择题（2 分×6=12 分）
1. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式不 正确 的是（ B ）. ． ．． A. ( A + B ) =A + B
T T T
B. ( A + B )
T
−1
=A−1 + B −1
T T
·
a13 a23 = （ D ）. a33
D. −16
C. 16
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——第 1 页 本试卷共 4 页
3. 设 α1 ， α 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， β 是对应的齐次方程组 Ax = 0 的解，则
Ax = b 必有一个解是（ D ）.
A. α1 + α 2 B. α1 − α 2 C. β + α1 + α 2 D. β + α1 +
2 2
姓名：
AB = BA
.
不
5. 已知 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1 ﹑ −2 ﹑ 3 ，则 A =
− 6 ， A−1 = − 1 ， A∗ = 36 ，
6
A − 2E = 4 .
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订
6. 方程组 内
λ x1 + x2 = 0
x1 + λ x2 = 0
有非零解，则 λ = 1 或 − 1 .
订
C. ( AB )
−1
= B −1 A−1 a12 a22 a32
D. ( AB ) = B A
院系：
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全
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题和参考答案
2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.A.-2B.-1C.1D.2答案：B2.A.AB.BC.CD.D答案：C3.A.AB.BC.CD.D答案：A4.A.AB.BC.CD.D答案：A5.A.AB.BC.CD.D答案：B6.A.A2 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案3B.BC.CD.D答案：C7.A.AB.BC.CD.D答案：D8.下列矩阵中不是初等矩阵的为()A.AB.BC.CD.D答案：D9.A.1B.2C.3D.4答案：B10.4A.AB.BC.CD.D答案：D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.图中空白出应为：___答案：22.图中空白出应为：___答案：3.图中空白出应为：___ 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案5答案：4.图中空白出应为：___9.图中空白出应为：___答案：5.图中空白出应为：___答案：16.图中空白出应为：___答案：27.图中空白出应为：___答案：-18.图中空白出应为：___答案：246 自考资料,自考白皮书72009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案8答案：-110.图中空白出应为：___答案：-3＜a ＜1三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.答案：2. 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案9答案：3.答案：4.答案：5.答案：10 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案116.答案：四、证明题（本题6分）1.12 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案13答案：。
2010-2011第一学期线性代数期末试卷A(1)及答案
西南财经大学200 － 200 学年第 学期专业 科 级（ 年级 学期）学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师《线性代数》期末闭卷考试题（下述 一 — 四 题全作计100分， 两小时完卷）考试日期：试 题 全 文：一、 填空题（共5小题，每题2分）1、211121112---= 2、设A 是m n ⨯矩阵，B 是p m ⨯矩阵，则T T A B 是______矩阵。
3、设αβ、线性无关，则k αββ+、线性无关的充要条件是_______。
4、设αβ、为n 维非零列向量，则T R ()αβ=_________。
5、设3阶矩阵-1A 的特征值为-1、2、1，则A =_____。
二、选择题（共10小题，每题2分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，则下列说法正确的是（ ）（A ）、=B+AA B + （B ）AB =BA（C ）、T(AB )=TTA B （D ）若AB A =，则B E =2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（ ） （A)、有无穷解 （B)、有唯一解 （C)、无解 （D ）、以上都不对3、一个向量组的极大线性无关组（ ）（A)、个数唯一 （B)、个数不唯一（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A 与B 相似，且A 的特征值为2、3、5，则B-E =（ ）。
(A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、75、若m n ⨯矩阵A 的秩为m,则方程组A X B =（ ）。
（A)、有唯一解 （B ）、有无穷解 (C)、有解 （D)、 可能无解6、设A 为3阶方阵，且1A 2=，则1*2A A -+=( )。
（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、127、已知行列式D 的第一行元素都是4，且D=-12，则D 中第一行元素代数余子式之和为（ ）。
（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A 、B 都是正定矩阵，则（ ） （A)、AB,A+B 一定都是正定矩阵（B)、AB 是正定矩阵，A+B 不是正定矩阵（C)、AB 不一定是正定矩阵，A+B 是正定矩阵 （D)、AB 、A+B 都不是正定矩阵9、设A 是n 阶方阵，且k A O =(k 是正整数)，则（ ）（A ）、A O = （B ）、A 有一个不为零的特征值 (C)、 A 的特征值全为零 （D ）、A 有n 个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，则A （ ） （A)、正定 （B)、半正定 （C ）、负定 （D)、不定三、计算题（共8小题，每题8分）1、计算四阶行列式01001100100k k k k2、设100110111A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，且*22A BA BA E=-，求B3、设111111kA kk⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，求R(A)4、考虑向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1412,2615,1012,31407,023154321ααααα (1) 求向量组的秩;(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.5、设T α)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.6、设12314315A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭有一个2重特征值，求a 的值并讨论A 是否可对角化。
2009-2010-1线性代数A卷答案
2009-2010（上）线性代数参考答案A一、填空题（每空3分，共21分）1．12； 2．100122010345⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； 3．14-或； 4．1(3)2A E +； 5．3； 6．(2),(3),(5)；7．555,,423； 24； 8．t 9．相关。
二、（5分）解：312586254310532273222735324112411211010001----==--- ——（3分）07979209726497112===- ——（2分）三、（10分）解：由 2(2)AB A B A E B A =+⇒-=， ——（2分）而101(2)110012A E ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭， ——（2分）101301(2,)110110012014A E A ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭——（2分） 101301100522011211010432012014001223--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭——(2分) 故 522432223B --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭——(2分)四、（10分）解： 123411321326(,,,)151103142A αααα--⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭——（2分） 1000010200100000⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭——（2分） 由行最简形可得：3A R = ， ——（2分）123,,ααα是向量组A 的一个极大无关组 ，——（2分） 422αα= 。
——（2分）五、（10分）解：由4元 Ax b =的 ()3R A =，可知 0Ax =的基础解系只含一个向量ξ。
—— (2分)由于 123,,ηηη是Ax b =的三个解向量，根据解的性质，可知 2312ηηη+- 是0Ax =的解向量。
—— (4分)令12334256ξηηη⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪⎝⎭，则方程的通解为3243()5465x k k R ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
2009-2010学年第一学期线性代数A期末试卷A卷及参考答案
2.（6 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 + 9 A + 7 E = 0, ，求证 A − 2 E 可逆且求其逆．
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3、 （8 分）解矩阵方程 ⎜ 1 0 0 ⎟ X ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 2 0 −1 ⎟ ． ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
浙江科技学院 2009-2010 学年第一学期线性代数A考试试卷A卷 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 4 阶行列式 D 的第二行元素分别为 1、2、3、4，与它们对应的余子式依次 为 4、 −3 、2、 −1 ，则 D =__________ . 2. 设 A 是三阶方阵, A* 是其伴随矩阵, | A |=
第 3 页
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 5.（8 分）解： A= (α 1 , α 2 , α 3 )= ⎜ 1 2 3 ⎟ ， B= ( β1 , β 2 , β 3 )= ⎜ ⎜- 1 1 3 ⎟， P = A B ， ⎜1 3 4 ⎟ ⎜ 0 1 - 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 由 ( A, B ) ⎯⎯ →( E , A B ), 求得P = A B = ⎜ 5 1 −14 ⎟ ⎜ −4 −1 10 ⎟ ⎝ ⎠
第 4 页
⎛ 1 0 5 ⎜ ⎜ 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ −2 0 5 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 2 ⎞ 5⎟ 1 ⎟ ，则 P 为正交矩阵， 5⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
从而 x = Py 为正交变换，使 f = − y12 + 2 y2 2 + 4 y32 四、证明题（6 分） 证：设 k1α1 + k 2α 2 + k3α 3 + k 4 (α 5 − α 4 ) = 0, 由 R(I)=R(II)=3， 得 α 4 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 惟一线性表示， 设为 α 4 = l1α1 + l2α 2 + l3α 3 , 代入得 (k1 − l1 k 4 )α 1 + (k 2 − l 2 k 4 )α 2 + (k 3 − l3 k 4 )α 3 + k 4α 5 = 0, 因为 α1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关, 所以 k1 − l1 k 4 = k 2 − l 2 k 4 = k 3 − l 3 k 4 = k 4 = 0, 从而 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ,得证。
同济大学线性代数期末考试试题(多套)
二、(12 分)
⎧
设有非齐次线性方程组
⎪ ⎨
x1 (1 − λ)x1
+ +
x2 (1 − λ)x2
+ +
(1 − λ)x3 x3
=1 =1 ，
⎪⎩(5 − 3λ)x1 + (1 − λ)x2 +
x3 = λ
问 λ 取何值时，该方程组有唯一解、无解或有无穷多解？当解不唯一时，求出所有的解.
R(A) =
.
⎛ 1 0 2⎞
6、
设矩阵
A
=
⎜ ⎜
k
3
3
⎟ ⎟
可对角化，则
k
=
.
⎜⎝ −1 0 4 ⎟⎠
7 、 设 向 量 组 α1 ， α2 ， α3 线 性 相 关 ， 向 量 β = α1 + α2 + α3 ， 则 下 面 说 法 正 确 的
是
.
(A) 向量组 β ，α2 ，α3 线性无关.
同济大学课程考核试卷（A 卷）
2009—2010 学年第二学期
一、(24 分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.
⎛6 y 5⎞
1、
设
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 x
0 2
4 3
⎟ ⎟⎟⎠
，则
A
中元素
y
的代数余子式的值为
.
⎛1 0 0⎞
2、
设
3
阶方阵
A
与对角阵
⎜ ⎜
0
2
0
⎟ ⎟
相似，则
A
的伴随矩阵
A*
的秩
线性代数A模拟卷
.
1
1
，
1
1 1 0
x1 2x2 1x3 1 3. 设ξ 1=(2,0,-1)T, ξ 2=(1,0,0)T为线性方程组 2x1 x2 2x3 2
ax1 bx2 cx3 5
的两个解向量，则方程的通解为
.
4. 向量组α 1=(1,2,-3)T, α 2=(-2,1, 0)T, α 3=(0,5,-6)T,线性
(2 )x1 2x2 2x3 1 2x1 (5 )x2 4x3 2
2x1 4x2 (5 )x3 1
六、（18分）设二次型f=2x12+3x22+3x32+4x2x3. 1.写出f的矩阵； 2.求A的特征值与特征向量； 3.用正交变换X=QY将f化为标准形，并写出正交矩阵Q.
(B) α 1一定不可由α 2,α 3,…，α s线性表示；
(C) 其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示.
5.n阶方阵A与对角阵相似，则（
）.
(A)A有n个不同的特征值；(B) A有n个相同的特征值；(C) A有n
个线性无关的特征向量.
三、（14分）设n维向+2ααT,其中E 为n阶单位矩阵，求AB,A-1,B-1,并写出A-1与B-1的具体形式.
5.设α 1=(1,-2,5)T, α 2=(-2,4,-10)T,则（
）.
(A)(α 1,α 2)=-60；(B) α 1 与α 2正交；(C) α 1,α 2线性相关.
三、（10分）求非齐次线性方程组
4
2x1 x1
2
x2 x2
x3 x4 2x3 x
1 4 2
线性代数试卷A
A ，()T T T AB A B =， B ， ()T T T A B A B +=+C ， 111()AB A B ---=，D ， 111()A B A B ---+=+4．若A 是n 阶正定矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则以下命题哪一个不成立：A ，矩阵T A 为正定矩阵，B ，矩阵*A 为正定矩阵C ，矩阵1A -为正定矩阵，D ，以上都不对5．如果n （ｎ＞１）阶矩阵M 的行列式不为0，那么以下命题哪一个不成立：A ， M 的行向量有一部分线性相关，B ，M 可以仅用初等列变换化为单位矩阵;C ， M 可表示为初等矩阵的乘积，D ，以M 为系数矩阵的线性方程组仅有零解三、判断下面的命题是否正确（每小题4分，共12分）（二学分的只需要给出判断，三学分的要求说明正确的理由或举出不正确的反例）（1） 已知A,B 是n 阶矩阵。
如果rank （A ）=rank （B ），那么对于任意的n 阶矩阵C, rank （AC ）=rank （BC ）。
（2） 如果一个矩阵的行向量组线性无关,列向量组也线性无关，那么它是可逆的。
（3） 如果一个实对称矩阵A 的特征值皆大于0，那么它是正定的。
四、解下列各题（每小题7分共14分）1．设向量β与111101313A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭的行向量都是正交的。
将β扩充为R3的一个正交基.2. 设n阶方阵111111-1-11-11-11-1-11A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，计算P(2(2),1)AP(3(3),2)。
五. 求矩阵220144480233211A-⎛⎫⎪=--⎪⎪--⎝⎭前两个行向量的夹角以及A的列向量组的一个最大无关组。
（8分）六．证明题（8分）设A是n阶矩阵，*A是A的伴随矩阵。
如果A不可逆，证明*A的秩小于或等于1。
七．（6分）设A=1a2b c⎛⎫⎪⎪⎝⎭是一个2阶的正交矩阵,行列式等于1.求实数a,b,c。
八、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的矩阵。
2009-2010-1线性代数A卷参考答案
当 a －2， b －1 时， r(A) r(A) ＝2 < 3，方程组有无穷多组解, 其通解为 (3,1,0)T k(2,1,1)T ， k 为任意常数。…………………10 分
广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 3 页，第 1 页
六、解：设有 x0 , x1, x2 ,, xk 使得
x0 x1( 1) x2 ( 2 ) xk ( k ) 0 ，
(1)
(x0 x1 x2 xk ) x11 x22 xkk 0 ,
若 x0 x1 x2 xk 0 ，则 可由1, 2 ,, k 线性表示，
x1 x2 xk 0 ， x0 (x1 x2 xk ) 0 ，
因此向量组 , 1, 2 ,, k 线性无关.…………………………………10 分
4 6 0
七、解：由 A E 3 5 0 12 2，
011
2 0 1
1 0 0
令
P
1,2 ,3
1
0
1
，则有：
P1 AP
0
1
0
……2
广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 3 页，第 2 页
广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 3 页，第 3 页
(2)………4 分
是 Ax 0 的解,与已知矛盾.故必有 x0 x1 x2 xk 0 ，
从而 x11 x22 xkk 0 ，………………………………………………………7 分
由1, 2 ,, k 是 Ax 0 的一个基础解系知1, 2 ,, k 线性无关，
自-线性代数试题终极版
０６级《线性代数与概率统计》期末考试试题（A 卷)２007学年(1)学期姓名:＿_＿＿__＿_＿＿＿＿___＿___学号：___＿_＿____________＿_分数：_＿_＿___________＿___＿一、是非题（下列叙述正确的打“√”,错误的打“×”）(共10分）1、若A 是n 阶方阵(ｎ≥２）,则A A =-。
（ × )2、在样本空间S 中存在两个事件A 、B 满足()()()A B P AB P A P B φ⋂==且( √ )3、若向量组123,,,...,m αααα线性无关，则1α必可由23,,...,m ααα线性表出。
( × ）４、设A 是ｍ×n 矩阵，若m <n ，则A Ｘ＝0有无穷多个解。
（ √ ） 5、对于随机变量X 、Y ，若ρXY ≠0,则Ｘ与Y 必定不相互独立。
( √ ） 6、在圆周上任意放置三个点,则该三点构成各种三角形的概率必定大于0。
( ×)7、将一枚硬币抛掷10000次,出现正面580０次，认为这枚硬币不均匀是合理。
( √ ) 8、已知()(),A B A B A B A B C ++++++=则C ＝B 。
( √ ）9、设m ×n 矩阵B ≠Ｏ，且BX =B Ｙ,则X ＝Y 。
( × ）10、对于矩阵A 、B ，若矩阵A 满秩,则r(AB ）=ｒ(B ）。
（ √ )二、选择题（２0分）１、已知A 、B 、Ｃ为某随机试验中的事件，则下列各式一定正确的是( D ） （Ａ)();A B B A -+= (B)()();A B C A B C +-=+- （Ｃ);A C B C A B +=+⇒= (D)以上答案都不一定正确 2、设,A B 均为可逆矩阵，且AB BA =,则( B )（Ａ)11;A B B A --= （Ｂ）11;AB B A --= （C)11;AB B A --= （D ）11()()0A B A B --++≠３、某人射击时,中靶的概率为3/４，如果射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为( Ｃ ）(Ａ)33();4 (B) 231();44⨯ （C) 213();44⨯ (Ｄ） 31()44、下列说法不正确的是( A ）（A ）对于事件A ，若P(Ａ)=1,则事件A 必定为必然事件; （B ）极大无关组中的解向量一定线性无关；(Ｃ)交换行列式的某两行，行列式的值变为相反数；(Ｄ)满秩矩阵一定可逆，且可以化为若干个初等矩阵的乘积。
线性代数期末考试试卷A答案
合肥学院2007至2008学年第一学期线性代数（工、本）课程考试（ A ）卷系 级 专业 学号 姓名一、选择题：（每题2分，共10分）1、已知行列式A=26543211---，则1111M A - C 。
A ）20B ）18C ）0D ）-182、设矩阵A=()2,1，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛654321，则下列矩阵中运算有意义的是 B 。
A ） ACB B ）ABC C ）BACD ）CBA3、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011213011，则=||*A D 。
A ）8B ） -8C ）-16D ）164、设三元非齐次程组AX=B 的两个解分别为()TT 3,1,1,)2,0,1(-=βα，且系数矩阵A 的秩为2，则对任意常数21,,k k k 方程组的通解可表为 C 。
A ）βα21k k + B ）βα1k + C ）T k )1,1,0(-+α D ）T k )5,1,2(-+α装订线5、矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111非零特征值是 B 。
A ）4B ）3C ）2D ）1二、填空题：（每题2分共10分）1、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值 0 。
2、设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵B-A=E ，则矩阵B 的秩= 3 。
3、已知向量()()TT k ,2,1,2,1,1=-=βα正交，则k =214、实二次型2332222132124),,(x x x x x x x x x f ++-=所对应的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11014002121。
5、已知实二次型233222212132124),,(kx x x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则k 应满足154>k三、计算：（每题8分，共16分）1、ab c d100110011001---解：ab ab c d a b c d1110011110110110011001-----=---…………………(4分)=()ab c a abc d 11-+++=1++++ab cd ad abcd ………………(8分)2、设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111201，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--113120 求 1)(-T AB解：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3112111230111201T AB ……………………(2分) 因为05≠-=T AB ，故()1-TAB 存在 ………………………(4分)又()3112T AB *--⎛⎫= ⎪⎝⎭………………………(6分)故有 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-52515153*11T AB T AB ABT……………………(8分) 四、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=-+-=+++000432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系及通解。
线性代数课程期末考试试卷(A卷)1
信息学院本科生2009－2010学年第一学期线性代数课程期末考试试卷（A 卷）专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩:说明：A T 表示矩阵A 的转置，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，O 是零矩阵, A −1表示可逆矩阵A 的逆矩阵, |A |表示方阵A 的行列式, 〈α, β〉表示向量α, β的内积.一、 客观题：1−3小题为判断题，在对的后面括号中填“√”，错的后面括号中填“⨯”，4−8为单选题，将正确选项前的字母填在括号中. (每小题2分，共16分)1. 方阵,A B 满足，则必有)AB BA =22()(A B A B A B -=+-。
( )2. 若方阵A 有0k A =（0k >为整数）, 则必有||0A =。
( )3. ,A B 为同型矩阵，且秩(A)＝秩(B)，则0AX = 与0是同解方程组。
( )BX =4. n 阶实对称矩阵A 正定，则以下结论错误的是( ) (A) 可以找到一个正交矩阵F ，使T F AF 为对角矩阵。
(B) 的所有的特征值均为正值。
A (C) 是不可逆矩阵。
A (D) 对某个12(,,,)0T n X x x x =≠ ，必有。
0T X AX >5. n 维向量,αβ正交，则内积,β=( ) (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 0 6. 下列说法不正确的是 ( )(A) 存在满足的两个非零阶矩阵和。
0PQ =(1n n >)P Q (B) 维实线性空间V 中任何个线性无关的向量都构成V 的一个基底。
(1)n n >n (C) 设V 是一个任意的维欧式空间，T 是V 中一个任意的线性变换，则V 中的零向量在T 作用下的象一定也是零向量。
n (D) 是线性空间V 中线性变换，向量组T 12,,,m ααα 线性无关，则12,,,T m T T αα α线性无关。
)7. 下列说法不正确的是 ( )(A) 相似矩阵有完全相同的特征多项式。
2008-2009第一学期试卷
2008-2009第一学期《线性代数》试卷（A 卷） 一、填空题（每小题4分，共20分）1、若n 阶方阵A 满足E A =2009，则_____1=-A 。
2、已知三阶行列式||A 的第一行各元素及其余子式均为1，则____||=A 。
3、若三维向量组),1,1(),1,,1(),1,1,(c b a 为正交向量组，则向量____),,(=c b a 。
4、设A 是54⨯矩阵，B 是45⨯矩阵，且2)(=A r ，B 的列向量都是0 =x A 的解，则____)}({max =B r B。
5、设21,ηη 是四元线性非齐次方程组b x A =的两个不同的解，3)(=A r ，则b x A =的通解为___=x 。
二、选择题（每小题4分，共20分）1、设B A ,均为n 阶方阵，且O AB =，则必有（ ）。
(A) O A =或O B = (B) O BA = (C)0||=A 或0||=B (D) BA AB =2、n 维向量组m a a a ,,,21)3(n m ≤≤线性无关的充要条件是（ ）。
(A) m a a a ,,,21中任意两个向量均线性无关(B) 向量组m a a a ,,,21的秩小于m(C) m a a a,,,21中任意一个向量均不能由其余1-m 个向量线性表示 (D) 方程组02211 =+++m m a x a x a x 有非零解3、方程组0321=++x x x 的一个基础解系为（ ）。
(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,000 (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101,011 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110,011,101 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,011 4、已知A 为三阶实对称阵，且1)(,2==A r A A ，则A 的特征值为（ ）。
(A) 0,0,0 (B) 1,0,0 (C) 1,1,0 (D) 1,1,15、下列矩阵中不能．．相似于对角阵的是（ ）。
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···········································································································装 订线··································································································山东建筑大学试卷 共 4 页 第 1 页2009至2010第 2 学期 课程名称 线性代数 试卷 A （A 、B ） 专业：考试性质： 闭卷 考试时间 120 分钟 题号 一 二 三 四 总分 分数一、 选择（每小题3分，共15分）1．设四阶矩阵[]432,,,γγγα=A ，[]432,,,γγγβ=B ，其中432,,,,γγγβα均为4维列向量，且已知行列式4=A ，1=B ，则=+B A （ ） （A ）5； （B ）4； （C ）64； （D ）40。
2．设B A ,为n 阶方阵，则()2222B AB A B A ++=+的充分必要条件是（ ）（A ）E A =； （B ）O A =或O B =； （C ）BA AB =； （D ）B A =。
3．设A 是n 阶方阵，其A 的秩()3-=n A R ，且321,,ααα是0=Ax 的三个线性无关的解向量，则（ ）为0=Ax 的基础解系。
（A ）133221,,αααααα+++； （B ）312312,,αααααα---；（C ）312312,21,2αααααα---； （D ）31233212,,ααααααα---++。
4．设A 是n 阶方阵，21,λλ是A 的特征值，21,ξξ是A 的分别对应于21,λλ的特征向量，则（ ）（A ）21λλ=时，21,ξξ一定线性相关；（B ）21λλ=时，21,ξξ一定线性无关； （C ）21λλ≠时，21,ξξ一定线性相关；（D ）21λλ≠时，21,ξξ一定线性无关。
5．设A 是四阶方阵，A 的行列式0=A ，那么A 中（ ）（A ）必有一列元素全为零； （B ）必有一个列向量是其余列向量的线性组合； （C ）必有两列元素对应成比例； （D ）任意一个列向量是其余列向量的线性组合。
二、填空（每小题3分，共15分）1．()xx xx xx f 21112---=中，3x 的系数是 。
2．设A 为3阶方阵，且2=A ，则=--*231A A 。
3．如果⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=++05043z y kx z y z ky x 有非零解，则=k 。
4．设A 为n 阶方阵，3≥n ，且 ()2-=n A R ，则()=*A R 。
5．若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为51,41,31,21，则行列式=--E B 1 。
三、计算与证明（共70分）1．（6分）计算行列式1111111111111111--+---+---a a a a班级 ______________ 姓名 ______________学号 ______________山东建筑大学试卷 共 4 页 第2 页2.（8分）设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8000005300011000003100041A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100110210203201B求1-A ，及TB A 1-3．（6分）已知n 阶矩阵满足关系式()32A E A A =-，证明：A E -可逆，并求()1--A E 。
4.（10分）设3维向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1111λα，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1112λα，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λα1113，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=20λλβ问：当λ取何值时（1）β可由321,,ααα线性表示，且表示惟一？ （2）β可由321,,ααα线性表示，但表示不惟一？山东建筑大学试卷 共 4 页 第 3 页5．（14分）已知B A ,为4阶方阵，若满足方程O B AB =+2，()2=B R ，且行列式02=-=+E A E A ， （1）求A 的特征值； （2）证明A 可对角化； （3）计算行列式E A 3+。
6．（10分）设α是非齐次线性方程组b AX =的解，s βββ,,,21 是其对应的齐次线性方程组的基础解系。
证明s βββα,,,,21 线性无关。
···········································································································装 订线··································································································山东建筑大学试卷共 4 页第4 页7．（16分）设()323121232221321222,,x bx x x x ax x x x x x x f +++++=经正交变换PY X =可化为标准型23222y y f +=。
（1）求常数b a ,；（2）求出该正交变换所用的正交矩阵P 。