【高中数学】2018人教A选修2-3练习：第1章 计数原理1.3.2 Word版含解析
人教A高中数学选修23作业：第1章 计数原理2 含解析
第一章 1.3 1.3.2(建议用时：40分钟)考点对应题号 基础训练 能力提升1.杨辉三角与二项展开式的系数和 1,2,4,7 92.二项式系数的性质及其综合应用3,5,8,10,116,12,131．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7C 解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n 的各项系数的和为(1＋3)n ＝4n，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n的各项二项式系数的和为(1＋1)n ＝2n ，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4n 2n ＝2n＝64，解得n ＝6.故选C 项． 2．设(1＋2x )n 的展开式中各项二项式系数之和为a n ，(3＋x )5的展开式中各项系数之和为m ，若a n ＝m ，则n 的值为( )A ．11B ．10C ．6D ．5B 解析 由题可得a n ＝2n ，令x ＝1，得(3＋x )5的展开式中各项系数之和为m ＝(3＋1)5＝45，所以a n ＝2n ＝45＝210，解得n ＝10.故选B 项．3．设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5A 解析 由(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，可知a 0，a 1，a 2，…，a 8均为二项式系数，依次是C 08，C 18，C 28，…，C 88.因为C 08＝C 88＝1，C 18＝C 78＝8，C 28＝C 68＝28，C 38＝C 58＝56，C 48＝70，所以a 0，a 1，a 2，…，a 8中奇数只有a 0，a 8.故选A 项．4．已知⎝⎛⎭⎫x －ax 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28C 解析 T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝⎛⎭⎫－a x k ＝C k 8(－a )k x 8－2k ，令8－2k ＝0，得k ＝4，所以展开式中常数项为C 48(－a )4＝1 120，从而a ＝±2.当a ＝2时，⎝⎛⎭⎫x －2x 8展开式中各项系数和为1；当a ＝－2时，⎝⎛⎭⎫x ＋2x 8展开式中各项系数和为38. 5．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝( )A ．81B ．27C ．243D ．729A 解析 由题知2n ＋6＝n ＋2，所以n ＝－4(舍)，或2n ＋6＋n ＋2＝20，所以n ＝4，此时令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝34＝81.故选A 项．6．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210C 解析 含x m y n 项的系数为f (m ，n )＝C m 6C n 4，故原式＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.故选C 项．二、填空题7．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________(用数字作答)．解析 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝－1，令x ＝0，得a 0＝(－2)5＝－32，所以a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＝－1－a 0＝31.答案 318. 在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为________.解析 依题意得n2＋1＝5，所以n ＝8，所以二项式为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x8，其展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ⎝⎛⎭⎫128－r ·C r 8x 8－4r 3，令8－4r 3＝0，解得r ＝6，故常数项为(－1)6·⎝⎛⎭⎫122C 68＝7. 答案 79．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值是________.解析 令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9；令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9.故(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9)＝(2＋m )9m 9，所以(2＋m )9m 9＝39，所以(2＋m )m ＝3，所以m ＝－3或m ＝1. 答案 －3或1 三、解答题10．已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项．解析 由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4， 第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101，化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝C r 8·(－2)r ·x 8－r2－2r (r ＝0,1，…，8)， 令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1，故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.11．将数(k ＋1)C k n (n ∈N *,k ＝0, 1, …， n ) 排成下表．第一行 1 2第二行 1 4 3 第三行 1 6 9 4 第四行 1 8 18 16 5 ……第n 行 1 2C 1n 3C 2n … (n ＋1)C n n求第n 行的各数之和．解析 因为(k ＋1)C k n ＝k C k n ＋C k n ＝n C k －1n －1＋C k n ，k ≥1，所以第n 行的各数之和为1＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋(k ＋1)·C k n ＋…＋(n ＋1)C n n ＝1＋(n C 0n －1＋C 1n )＋(n C 1n －1＋C 2n )＋…＋(n C k －1n －1＋C k n )＋…＋(n C n －1n －1＋C n n )＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋1＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝n ·2n －1＋2n ＝(n ＋2)·2n －1. 12．已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n 展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x .解析 依题意得2n －22n －1＝－112，整理得(2n －16)(2n ＋14)＝0，解得n ＝4，所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．依题意得C 48(2x )4(xlg x )4＝1 120，化简得x 4(1＋lg x )＝1，所以x ＝1或4(1＋lg x )＝0，故所求x 的值为1或110. 四、选做题13．在(3x －2y )20的展开式中，求出满足下列条件的项． (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．解析 (1)二项式系数最大的项是第11项，T 11＝C 1020·310(－2)10x 10y 10＝C 1020·610x 10y 10. (2)设系数绝对值最大的项是第k ＋1项，于是⎩⎪⎨⎪⎧C k 20·320－k ·2k ≥C k ＋120·319－k ·2k ＋1，C k 20·320－k ·2k ≥C k －120·321－k ·2k －1，化简得⎩⎪⎨⎪⎧3(k ＋1)≥2(20－k )，2(21－k )≥3k ，解得725≤k ≤825.所以k ＝8，即T 9＝C 820·312·28·x 12y 8是系数绝对值最大的项．(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k －1项系数最大，于是⎩⎪⎨⎪⎧C 2k －220·322－2k ·22k －2≥C 2k －420·324－2k ·22k －4，C 2k －220·322－2k ·22k －2≥C 2k 20·320－2k ·22k ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧10k 2＋143k －1 077≤0，10k 2＋163k －924≥0.又k 为不超过11的正整数，可得k ＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T 9＝C 820·312·28·x 12y 8.。
高中数学人教A版选修2-3检测：第一章1.3-1.3.1二项式定理 Word版含解析
第一章计数原理1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理A级基础巩固一、选择题1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是()A．(2x＋2)5B．2x5C．(2x－1)5D．32x5解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.答案：D2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋13x24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有() A．3项B．4项C．5项D．6项解析：T r＋1＝C r24x24－r2·x－r3＝Cr24·x12－56r，则r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．答案：C3．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x－123xn的展开式中第四项为常数项，则n＝() A．4 B．5C ．6D ．7解析：由二项展开式可得T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r 2－r C rn x n －r 2·x －r 3，从而T 4＝T 3＋1＝(－1)32－3C 3n x n －52，由题意可知n －52＝0，n ＝5.答案：B4．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207解析：(1－x 3)(1＋x )10＝(1＋x )10－x 3(x ＋1)10展开式中含x 5的项的系数为：C 510－C 210＝207.答案：D5．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝5，n ＝5 B ．x ＝5，n ＝4 C ．x ＝4，n ＝4D ．x ＝4，n ＝3解析：C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，检验得B 正确．答案：B 二、填空题6．(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答)．解析：T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－2x )r ＝(－2)r C r 6·x r ，令r ＝2， 得T 3＝(－2)2C 26x 2＝60x 2.故x 2的系数为60.答案：607.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x . 答案：－160x8．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的展开式中，x 2项为第三项，则自然数n ＝________．解析：T r ＋1＝C rn (3x 2)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r n x2n －5r3，由题意知r ＝2时，2n －5r3＝2，所以n ＝8. 答案：8 三、解答题9．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项及项数．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k n (2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C r 6x 3－k ， 令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.10．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －123x n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项； (2)求展开式的常数项． 解：T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x 13n －23r . 由前三项系数的绝对值成等差数列， 得C 0n ＋⎝⎛⎭⎪⎫－122C 2n ＝2×12C 1n ， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)． (1)展开式的第四项为：T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 38x 23＝－73x 2.(2)当83－23r ＝0，即r ＝4时，常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48＝358.B 级 能力提升1．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．10解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n展开式的通项表达式为C r n (3x 2)n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r＝C r n 3n －r(－2)r x 2n －5r ，若C r n 3n －r(－2)r x 2n －5r 为非零常数项，必有2n －5r ＝0，得n ＝52r ，所以正整数n 的最小值为5.答案：B2．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中，x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝2(舍去a ＝－2)． 答案：23．如果f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n (m ，n ∈N *)中，x 项的系数为19，求f (x )中x 2项系数的最小值．解：x 项的系数为C 1m ＋C 1n ＝19，即m ＋n ＝19，当m ，n 都不为1时，x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋（19－m ）（18－m ）2＝m 2－19m ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1922＋171－1924，因为m ∈N *，所以当m ＝9或10时，x 2项的系数最小，为81.当m 为1或n 为1时，x 2项的系数为C 218＝153>81，所以f (x )中x 2项系数的最小值为81.。
高中数学人教A版选修2-3习题 第1章 计数原理1.2.2 第1课时 Word版含答案
选修第一章第课时一、选择题．若＝，则的值为( )．．．或．[答案][解析]由组合数性质知＝或＝－＝，故选．．(陕西高考)从正方形四个顶点及其中心这个点中，任取个点，则这个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( )．．．．[答案][解析]如图，基本事件共有＝个，小于正方形边长的事件有、、、共个，∴＝－＝.．某研究性学习小组有名男生和名女生，一次问卷调查活动需要挑选名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )．．．．[答案][解析]间接法：－＝种．．平面上有个点，其中没有个点在一条直线上，也没有个点共圆，过这个点中的每三个作圆，共可作圆( )．个．个．个．个[答案][解析]＝，故选．．(·潍坊高二检测)个代表分张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )．种．种．种．种[答案] [解析]由于张同样的参观券分给个代表，每人最多分一张，从个代表中选个即可满足，故有种．．(·佛山高二检测)将标号为、、、、、的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张卡片，其中标号为、的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )．种．种．种．种[答案][解析]由题意，不同的放法共有＝×＝种．二、填空题．，两地街道如图所示，某人要从地前往地，则路程最短的走法有种(用数字作答)[答案] [解析]根据题意，要求从地到地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走次，向右走次，共次，从次中选次向右，剩下次向上即可，则有＝种不同的走法，故答案为.．已知，，成等差数列，则＝[答案][解析]∵，，成等差数列，∴＝＋，∴×＝＋整理得－＋＝，解得＝，＝(舍去)，则＝＝.．对所有满足≤<≤的自然数，，方程＋＝所表示的不同椭圆的个数为[答案] [解析]∵≤<≤，所以可以是，，，，，，，，，，其中＝，＝，＝，＝，∴方程＋＝能表示的不同椭圆有个．三、解答题．平面内有个点，其中任何个点不共线，()以其中任意个点为端点的线段有多少条？()以其中任意两个点为端点的有向线段有多少条？()以其中任意三个点为顶点的三角形有多少个？。
高中数学人教A版选修2-3习题 第1章 计数原理1.3.2 Word版含答案
选修第一章一、选择题．若(－)的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项是( )．第项．第项．第项．第项[答案][解析]令＝，得出(－)的展开式中各项系数和为(－)＝，解得＝；∴(－)的展开式通项公式为：－·(－)＝(－)·－··－，＋＝·()令－＝，解得＝.∴展开式的常数项是＋＝，即第项．故选．．若＋·－＋…＋·＋是的倍数，则自然数为( )．奇数．偶数．的倍数．被除余的数[答案][解析]＋·－＋…＋·＋＝(＋＋＋…＋＋＋)－＝(＋)＋－＝(＋－)是的倍数，∴＋为偶数，∴为奇数．．(·潍坊市五校联考)已知(－)的展开式中，常数项为，则的值可以为( ) ．．．．[答案][解析]通项＋＝()－(－)＝(－)－，当＝时为常数项，即(－))＝，经检验＝.．若为正实数，且(－)的展开式中各项系数的和为，则该展开式第项为( ) ．．－．．－[答案][解析]由条件知，(－)＝，∴－＝±，∵为正实数，∴＝.∴展开式的第项为：＝·()·(－)＝－·－＝－－，故选．．(湖北高考)若二项式(＋)的展开式中的系数是，则实数＝( )．．．．[答案][解析]二项式(＋)的通项公式为＋＝()－()＝－－，令－＝－，得＝.故展开式中的系数是＝，解得＝.．(·南安高二检测)除以的余数是( )．．．．[答案][解析]＝()＝(－)＝－＋＋…＋－＝(－＋…＋－)＋，∴除以的余数是.故选．二、填空题．若展开式的各项系数之和为，则＝，其展开式中的常数项为(用数字作答)[答案][解析]令＝，得＝，得＝，则＋＝·()－·＝·－，令－＝，＝.故常数项为＝.．已知(－)展开式中常数项为，其中实数是常数，则展开式中各项系数的和是[答案]或[解析]＋＝－(－)＝(－)··－，令－＝得＝，由条件知，＝，∴＝±，令＝得展开式各项系数的和为或.．在二项式(＋)的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且＋＝，则＝[答案][解析]由题意可知，＝，＝，由＋＝，得＋＝，∴＝，∴＝.三、解答题．设(－)＝＋＋＋…＋(∈)()求＋＋＋…＋的值．()求＋＋＋…＋的值．()求＋＋＋…＋的值．[解析]()令＝，得：＋＋＋…＋＝(－)＝－①()令＝－，得：－＋－…－＝②。
2018秋新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理 1.3.1
1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理课时过关·能力提升基础巩固1.(x-y )n 的二项展开式中,第r 项的二项式系数为( )A B .C rn.Cr +1nC D.(-1)r-1.C r -1nC r -1nT r =x n+1-r ·(-y )r-1,则第r 项的二项式系数为C r -1n C r -1n .2.展开式中的常数项为( )(x -13x )12A.-1 320 B.1 320C.-220D.220k+1=x 12-k=(-1)k ,令12-k=0,得k=9.故T 10=(-1)9=-220.C k 12··(-13x )kC k 12x 12-43k43C 9123.的展开式中倒数第3项的系数是( )(2x +1x 2)7A 2B 26.C 67·.C 67·C 25D 22.C 57·.C 57·的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T 6=(2x )222·x -8.该2x +1x 2)7C 57··(1x 2)5=C 57·项的系数为22.C 57·4.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=( )A.x 4 B.x 4+1C.(x-2)4D.x 4+4(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+=[(x-1)+1]4=x 4,故选C 04C 14C 24C 34C 44A .5.的展开式中的常数项为-220,则a 的值为( )(3x +a x )12A.1B.-1C.2D.-2k+1=a k .C k12·x12-k3-k·∵T k+1为常数项,-k=0,∴12-k3∴k=3a 3=-220,∴a=-1..∴C 312·6.的展开式中含x 3项的二项式系数为( )(x -1x )5A.-10B.10C.-5D.5k+1=x 5-k=(-1)k x5-2k ,令5-2k=3,则k=1.故含x 3项的二项式系数为=5.C k5·(-1x)kC k5·C 157.的展开式中x 8的系数是 .(用数字作答)(x 3+12x )5T k+1=(x 3)5-k 2-k (k=0,1,2,…,5).令15-k=8,得k=2,于是展C k 5··(12x )k =C k 5··x 15-72k 72开式中x 8项的系数是2-2=C 25·52.8.若A=37+35+33+3,B=36+34+32+1,则A-B= .C 27·C 47·C 67·C 17·C 37·C 57·37-36+35-34+33-32+3-=(3-1)7=27=128.C 17·C 27·C 37·C 47·C 57·C 67·C 779.在的展开式中,求:(2x 2-13x )8(1)第5项的二项式系数及系数;(2)x 2的系数.因为T 5=(2x 2)424,所以第5项的二项式系数是=70,第5项的系数是24=1C 48(-13x )4=C 48·x 203C 48C 48·120.(2)的通项是(2x 2-13x )8T k+1=(2x 2)8-kC k 8(-13x)k=(-1)k 28-k ,C k 8··x 16-73k 根据题意得,16-k=2,解得k=6,73因此x 2的系数是(-1)628-6=112.C 68·10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.2n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(8n+1+8n +…+8+1)-C 0n +1·C 1n +1·C nn +1·24n+37=3×64(8n-1+8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(8n-1+8n-2+…+C 0n +1·C 1n +1·C n -1n +1C n n +1C 0n +1·C 1n +1·)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除.C n -1n +1能力提升1.对任意实数x ,有x 3=a 0+a 1(x-2)+a 2(x-2)2+a 3(x-2)3,则a 2的值是( )A.3 B.6C.9D.21x 3=[2+(x-2)]3=23+22·(x-2)+2·(x-2)2+(x-2)3.C 03·C 13·C 23·C 33所以a 2=2=6.C 23·2.若(1+)5=a+b (a ,b 为有理数),则a+b 等于( )22A.45B.55C.70D.80,得(1+)5=1+()2+()3+()4+()2C 15·2+C 25·2C 35·2C 45·2C 55·25=1+5+20+20+20+4=41+29,2222即a=41,b=29,故a+b=70.3.(1-)6(1+)4的展开式中x 的系数是( )x x A.-4B.-3C.3D.4:(1-)6的展开式的通项为(-)m ,(1+)4的展开式的通项为)n ,其中x C m 6x x C n 4(x m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x 的系数等于(-1)0(-1)1m 2+n2x x C 06··C 24+C 16·(-1)2=-3.·C 14+C 26··C 04方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4·(1-)2=(1-x )4(1-2+x ).x x x x x x 于是(1-)6(1+)4的展开式中x 的系数为1+(-1)1·1=-3.x x C 04·C 14·4.设a ∈Z ,且0≤a<13,若512 016+a 能被13整除,则a 等于( )A.0B.1C.11D.12,得512 016+a=a+(1-13×4)2 016=a+1-(13×4)+(13×4)2-…+(13×4)2C 12 016C22 016C 2 0162 016016,显然当a+1=13k (k ∈Z )时,512 016+a 能被13整除.又0≤a<13,则a=12.5.若x>0,设的展开式中的第3项为M ,第4项为N ,则M+N 的最小值为 .(x 2+1x )5T 3=x ,C 25·(x 2)3(1x )2=54T 4=,C 35·(x 2)2·(1x )3=52x 则M+N=25x 4+52x ≥258=52.当且仅当,即x=时,等号成立.5x 4=52x 26.二项式的展开式中,常数项的值为 .(x -123x)10★7.已知(ax+1)n =a n x n +a n-1x n-1+…+a 2x 2+a 1x+a 0(x ∈N *),点A i (i ,a i )(i=0,1,2,…,n )的部分图象如图,则a= .T k+1=(ax )n-k =a n-k x n-k ,由题图可知a 1=3,a 2=4,即a =3,且a 2=4,化简得C k n ·C kn C n -1n C n -2n na=3,且=4,解得a=n (n -1)a 2213.★8.(1)求(1+x )2(1-x )5的展开式中x 3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没(x x +23x )n 有,请说明理由;如果有,请求出来.+x )2的通项为T r+1=x r ,C r 2·(1-x )5的通项为T k+1=(-1)k x k ,·C k5其中r ∈{0,1,2},k ∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x 3的系数为-=5.C 22C 15+C 12C 25‒C 02C 35(2)展开式的通项为T k+1=(x )n-k 2k (k=0,1,2,…,n ),C kn x ·(23x )k =C kn ··x 9n -11k 6由题意,得20+2+22=129.C 0n C 1n C 2n 所以1+2n+2n (n-1)=129,则n 2=64,即n=8.故T k+1=2k (k=0,1,2,…,8),C k 8··x72-11k6若展开式存在常数项,则=0,72-11k6解:之,得k=Z ,所以展开式中没有常数项.7211∉若展开式中存在一次项,则=1,72-11k6即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T 7=26x=1 792x.C 68★9.已知f (x )=(1+x )m ,g (x )=(1+2x )n (m ,n ∈N *).(1)若m=3,n=4,求f (x )g (x )的展开式含x 2的项;(2)令h (x )=f (x )+g (x ),h (x )的展开式中x 的项的系数为12,当m ,n 为何值时,含x 2的项的系数取得最小值?当m=3,n=4时,f (x )g (x )=(1+x )3(1+2x )4.(1+x )3展开式的通项为x k ,C k3(1+2x )4展开式的通项为(2x )k ,C k 4f (x )g (x )的展开式含x 2的项为1(2x )2+x (2x )+x 2×1=51x 2.×C 24C 13×C 14C 23(2)h (x )=f (x )+g (x )=(1+x )m +(1+2x )n .因为h (x )的展开式中x 的项的系数为12,所以+2=12,C 1m C 1n 即m+2n=12,所以m=12-2n.x 2的系数为+4+4C 2m C2n=C 212-2nC 2n =(12-2n )(11-2n )+2n (n-1)12=4n 2-25n+66=4,n ∈N *,(n -258)2+43116所以当n=3,m=6时,x 2的项的系数取得最小值.。
人教A版选修2-3第一章计数原理本章练测(人教A版选修2-3).docx
第一章计数原理本章练测1 2 3 4 56 7 8 9的1165有数法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它们的积，可以得到多少个不同的积？ 18．（12分）6个人坐在一排10个座位上,问： (1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种? (3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种? 19．（12分）有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？20．（12分）已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数的和比7(32)a b +展开式中的二项式系数的和大128,求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项.21．（12分）（1）在(1+x )x 的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n 等于多少？（2）若n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项.22．（14分）已知5025001250(2),a a x a x a x =++++L 其中01250,,,,a a a a L 是常数,计算220245013549()().a a a a a a a a ++++-++++L L第一章 计数原理本章练测答题纸得分：一、选择题二、填空题13． 14． 15． 16． 三、解答题 17. 18. 19. 20. 21. 22.第一章 计数原理本章练测答案一、选择题1．B 解析：每个小球都有4种可能的放法，所以共有44464⨯⨯=种放法.2．C 解析：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 41C 52种；甲型2台乙型1台的取法有C 42C 51种.根据分类加法计数原理可得总的取法有C 41C 52+C 42C 51=40+30=70(种).3．C 解析：不考虑限制条件有A 55种排法，若甲、乙两人都站中间有A 32∙A 33种排法，所以符合题意的排法有A 55−A 32∙A 33种.4．B 解析：不考虑限制条件有25A 种选法，若a 当副组长有14A 种选法，故2154A A 16-=为所求.5．B 解析：设男学生有x 人，则女学生有（8x -）人，则21383C C A 90,x x -=即(1)(8)30235,3所以x x x x --==⨯⨯=，8−x =5. 6．A 解析：148888833188811C ()((1)()C (1)()C 222r r r r r r r r r r r r r x T x x ------+==-=-.令6866784180,6,(1)()C 732r r T --===-=. 7．B 解析：555332255(12)(2)2(12)(12)2C (2)C (2)x x x x x x x x -+=-+-=+-+-+L L233355(4C 16C )120x x =+-+=-+L L L L. 8．A 解析：只有第六项的二项式系数最大，则10n =，551021101022C ()2C r rrr r r r T x x --+==，令2310550,2,4C 1802r r T -====. 9．A 解析：从,,,c d e f 中选2个，有24C 种方法，把,a b 看成一个整体，3个元素全排列，有33A种方法，共计2343C A 36=种排法.10．A 解析：先从5双鞋中任取1双，有15C 种方法，再从8只鞋中任取2只，有28C 种取法，但需要排除4种成双的情况，所以有28C 4-种取法，则共计1258C (C 4)120-=种取法.11．D 解析：7377810C ()T x =-=，系数为.12．A 解析：222221221C (2)()2C 2r n r r n r r n r r n n T x xx---+==，令222,1n r r n -==-, 则211222C224,C56,4n n nnn --===，再令52862C 14822,5,4得r r T x x--=-===. 二、填空题13．4 186 解析：至少有3件次品包括有3件次品或有4件次品，故抽法共有3241446446C C C C +=4186（种）. 14．8640 解析：先排女生有A 64种排法，再排男生有A 44种排法，共有A 64∙A 44=8 640种排法.15．480 解析：0既不能排首位，也不能排在末尾，即有A 41种排法，其余的数字有A 55种排法，共有 A 41∙A 55=480种排法.16．1890 解析：10110C (rrrr T x -+=，令466510106,4,9C 1890r r T x x -====.三、解答题17．解：（1）①是排列问题，共通了211A 110=封信；②是组合问题，共握手211C 55=次.（2）①是排列问题，共有210A 90=种选法；②是组合问题，共有210C 45=种选法.（3）①是排列问题，共有28A 56=个商；②是组合问题，共有28C 28=个积.18．解：6个人排有66A 种坐法,6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有47C 35=种插法，故空位不相邻的坐法有6467A C 25200=种.(2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插，有27A 种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有6267A A 30240=种.(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类： ①4个空位各不相邻有47C 种坐法;②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有1276C C 种坐法; ③4个空位分两组,每组都有2个相邻,有27C 种坐法.综上所述,应有6412267767A (C C C C )115920++=种坐法.19．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，有44A 24=种排法；若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有2234C A 36=种排法；若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有1134C A 12=种排法；所以有24361272++=种排法.20．解：由722128,8得n n -==，821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项281631881C ()()(1)C r r r r r r r T x x x --+=-=-.当4r =时，项的系数最大，即4570T x =为展开式中的系数最大的项；当35或r =时，项的系数最小，即74656,56T x T x =-=-为展开式中的系数最小的项.21．解：（1）由已知得25C C 7.n n n =⇒=（2）由已知得1351C C C 128,2128,8n n n n n -+++===L ，所以展开式中二项式系数最大的项是444418C (70T x +==22．解：设50()(2)f x =，令1x =，得5001250(2a a a a ++++=L ,令1x =-，得5001250(2a a a a -+-+=L ,225024501349()()a a a a a a a a ++++-++++=L L50500125001250()()(2(2 1.a a a a a a a a ++++-+-+==L L。
2018秋新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理 检测(A)
第一章检测(A)(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(x3+x2+x+1)(y2+y+1)(z+1)展开后的不同项数有( )A.9项B.12项C.18项D.24项:第一步,从(x3+x2+x+1)中任取一项,有4种方法;第二步,从(y2+y+1)中任取一项,有3种方法;第三步,从(z+1)中任取一项有2种方法.根据分步乘法计数原理得共有4×3×2=24项.2.下列等式不正确的是( )A.C mn=C n-m nB.C mm+C m-1m=C mm+1C=25 .C15+C25+C35+C45+C55D.Cmn+1=C m-1n+C mn-1+C m-1n-1:=25,故C不正确,而A,B,D正确.C05+C15+C25+C35+C45+C553.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有( )A.8种B.10种C.12种D.32种4.将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中,每间宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有( )A.252种B.112种C.70种D.56种:甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人或一间住5人、另一间住2人,所以不同的分配方案共有=35×2+21×2=112种.C37A22+C27A225.满足a ,b ∈{-1,0,1,2},且关于x 的方程ax 2+2x+b=0有实数解的有序数对(a ,b )的个数为( )A.14B.13C.12D.10a=0时,方程变为2x+b=0,则b 为-1,0,1,2都有解;当a ≠0时,若方程ax 2+2x+b=0有实数解,则Δ=22-4ab ≥0,即ab ≤1.当a=-1时,b 可取-1,0,1,2.当a=1时,b 可取-1,0,1.当a=2时,b 可取-1,0,故满足条件的有序数对(a ,b )的个数为4+4+3+2=13.6.若x+x 2+…+x n 能被7整除,则x ,n 的值可能为( )C 1n C 2n C n n A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5x+x 2+…+x n =(1+x )n -1,分别将选项A,B,C,D 中的值代入检验知,仅有选项C 适合.C 1n C 2n C n n7.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.279=900,而无重复数字的三位数的个数为=648,故所C 19C 110C 110C 19C 19C 18求个数为900-648=252,应选B .8.在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数为( )A.30B.20C.15D.10x 3的项是由(1+x )6展开式中含x 2的项与x 相乘得到,又(1+x )6展开式中含x 2的项的系数为=15,故含x 3项的系数是15.C 269.设(1+x+x 2)n =a 0+a 1x+…+a 2n x 2n ,则a 2+a 4+…+a 2n 的值为( )A.3nB.3n -2C D .3n -12.3n +12x=0,得a 0=1;①令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 2n =1;②令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2n =3n ,③②+③得2(a 0+a 2+…+a 2n )=3n +1,故a 0+a 2+a 4+…+a 2n =,3n +12再由①得a 2+a 4+…+a 2n =3n -12.10.从正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的个数为( )A -12B -8.C 48.C 48C -6D -4.C 48.C 486个面和6个对角面中,每个面上的四个点不能构成四面体.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.如图所示为一电路图,若只闭合一条线路,从A 处到B 处共有 条不同的线路可通电.,上线路中有3条,中线路中有一条,下线路中有2×2=4条.根据分类加法计数原理,共有3+1+4=8条不同的线路.12.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 .(用数字作答):第一类,7级台阶上每一级只站一人,则有种;第二类,若有一级台阶有2人,另一级A 37有1人,则共有种.因此共有不同的站法种数是=336.C 13A 27A 37+C 13A 2713.若的展开式中x 4的系数为7,则实数a= .(x +a 3x )8的通项为x 8-r a r ()r(x +a 3x )8C r 8x -13=a r x 8-r a r ,C r 8x -r 3=C r 8x 8-r -r 3∴令8-r-=4,r 3解得r=3.a 3=7,得a=∴C 3812.14.-2+4-8+…+(-217)= .C 017C 117C 217C 317C 1717=(1-2)17=(-1)17=-1.115.若4名学生和3名教师站在一排照相,则其中恰好有2名教师相邻的站法有 .(用数字作答)3名教师中任取2名作为一个整体排列,共有种方法,然后排4名学生共有种方法,把2A 23A 44名教师组成的整体和另外一名教师安排在4名学生隔成的五个空中,有种排法,故共有不同的站法A 25种数为=2 880.A 23·A 44·A 25种三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设集合M={-2,-1,0,1,2,3},P (a ,b )是坐标平面上的点,a ,b ∈M.(1)P 可以表示多少个第四象限内的点?(2)P 可以表示多少个不在直线y=x 上的点?分两步,第一步确定横坐标有3种,第二步确定纵坐标有2种,根据分步乘法计数原理得点的个数为N=3×2=6.(2)分两步,第一步确定横坐标有6种,第二步确定纵坐标有5种,根据分步乘法计数原理得点的个数为N=6×5=30.17.(8分)球台上有4个黄球、6个红球,击黄球入袋记2分,红球入袋记1分.求将此10球中的4球击入袋中,但总分不低于5分的击球方法有多少种?x 个,红球y 个符合要求.则有{x +y =4,2x +y ≥5,x ,y ∈N .解得{x =1,y =3或{x =2,y =2或{x =3,y =1或{x =4,y =0.对应每组解(x ,y ),击球方法数分别为,所以不同的击球方法种数为C 14C 36,C 24C 26,C 34C 16,C 44C 06=195.C 14C 36+C 24C 26+C 34C 16+C 44C 0618.(9分)有大小、形状、质地相同的6个球,其中3个一样的黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?1个、2个、3个黑球进行分类求解.:(1)若取1个黑球,和另三个球排4个位置,不同的排法种数为=24;A 44(2)若取2个黑球,从另三个球中选2个排4个位置,2个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为=36;C 23A 24(3)若取3个黑球,从另三个球中选 1个排4个位置,3个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为=12.C 13A 14综上,不同的排法种数为24+36+12=72.19.(10分)求证:(1)4×6n +5n+1-9是20的倍数(n ∈N *);(2)3n -2n ≥n ·2n-1(n ∈N *).×6n +5n+1-9=4×(5+1)n +5×(4+1)n -9=4(5n +5n-1+…+5+1)+5(4n +4n-C 0n C 1n C n -1nC 0n C 1n 1+…+4+1)-9=20[(5n-1+5n-2+…+)+(4n-1+4n-2+…+)],故结论成立.C n -1n C 0n C 1n C n -1n C 0n C 1n C n -1n (2)∵3n -2n ≥n ·2n-1⇔3n ≥n ·2n-1+2n =2n-1(n+2),①当n=1时,①式左边=31=3,右边=21-1×(1+2)=3,∴3n =2n-1(n+2).当n ≥2时,3n =(2+1)n =2n +2n-1+2n-2+…+>2n +n ·2n-1=2n-1(2+n ).C 1n C 2n C n n 综上,对一切n ∈N *,不等式3n ≥2n-1(2+n )成立,即3n -2n ≥n ·2n-1(n ∈N *)恒成立.20.(10分)已知的展开式中前三项的系数成等差数列.(x +12x )n (1)求n 的值;(2)求展开式中系数最大的项.,利用等差中项的性质即可求出n 的值;所谓系数最大的项,即只要某一项的系数不小于与它相邻的两项的系数即可,这是由二项式系数的增减性决定的.由题意,得=2,C 0n +14×C 2n ×12×C 1n 即n 2-9n+8=0,解得n=8,n=1(舍去).(2)设第r+1项的系数最大,则{12r C r 8≥12r +1C r +18,12r C r 8≥12r -1C r -18,即{18-r ≥12(r +1),12r ≥19-r ,解得r=2或r=3.所以系数最大的项为T 3=7x 5,T 4=7x 72.。
2018秋新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理 1.3.2
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质课时过关·能力提升基础巩固1.已知(a+b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n 等于( )A.11B.10C.9D.8只有第5项的二项式系数最大,+1=5.∴n=8.∴n22.(a+b )n 二项展开式中与第(r-1)项系数相等的项是( )A.第(n-r )项B.第(n-r+1)项C.第(n-r+2)项D.第(n-r+3)项(r-1)项的系数为,所以第(n-r+3)项与第(r-1)项的系数相等.C r -2n =C n -r +2n3.若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )(x +1x )nA.10B.20C.30D.1202n =64,得n=6,则T k+1=x 6-kx 6-2k (0≤k ≤6,k ∈N ).由6-2k=0,得k=3.则T 4==20.C k6(1x )k=C k6C 364.若(x+3y )n 的展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( )A.5 B.8 C.10 D.15a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.5.若的二项式系数之和为128,则展开式中含的项是( )(3x -13x 2)n1x 3A B C D.7x 3.-7x 3.21x3.-21x 3的二项式系数之和为128可得2n=128,n=7.其通项T k+1=(3x )7-k=(-1)(3x -13x 2)nC k7(-13x 2)k k 37-k ,令7-=-3,解得k=6,此时T 7=C k7·x7-5k 35k321x3.C0n C1n C2n C n n C1n+C3n+C5n6.已知+2+22+…+2n=729,则的值等于( )A.64B.32C.63D.31C1n+C3n+C5n=C16+C36+C56(1+2)n=3n=729,解得n=6.则=32.7.如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第n行的首尾两个数均为 .1个数1,3,5,7,9…成等差数列,由等差数列的知识可知,a n=2n-1.n-18.设(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a0+a1+a2+a3+…+a10= .x=2,则(2×2-3)10=a0+a1+a2+…+a10,所以a0+a1+…+a10=1.9.如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列{a n},则数列的第10项为 .a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,…,从第三项开始每一项为前两项之和,a10=a9+a8=2a8+a7=3a7+2a6=5a6+3a5=8a5+5a4=13a4+8a3=21a3+13a2=42+13=55.10.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.(1)求a0+a1+a2+a3+a4+a5;(2)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;(3)求a1+a3+a5.令x=1,得(2×1-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1.①(2)∵(2x-1)5的展开式中偶数项的系数为负值,∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.令x=-1,得[2×(-1)-1]5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5,即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3)5=35.②则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35=243.(3)由①②两式联立,得{a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=243,则a 1+a 3+a 5=(1-243)=-121.12×11.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9.由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,①令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为;1+5102①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9)=1-510,则偶数项系数的和为1-5102.能力提升1.已知(1+x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.212B.211C.210D.29,∴n=10.C 3n =C 7n ∴(1+x )10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.2.(1+x )n (3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( )A.8B.9C.10D.11(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9.3.若(1-2x )2 016=a 0+a 1x+…+a 2 016x 2 016(x ∈R ),则+…+的值为( )a 12+a 222a 2 01622 016A.2B.0C.-1D.-2x=0,则a 0=1,令x=,则a 0++…+=0,故+…+=-1.12a 12+a 222a 2 01622 016a 12+a 222a 2 01622 0164.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( )A.第4项和第5项 B.第5项C.第5项和第6项 D.第6项10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大.5.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=a 5(-b )5=-252a 5b 5.C 510252a 5b 56.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= .(x-1)21的展开式的通项为T k+1=x 21-k (-1)k ,∴a 10+a 11=(-1)11+(-1)10=-=-C k 21C 1121C 1021C 1121+C 1021=0.C 1021+C 10217.如图数表满足:(1)第n 行首尾两数均为n ;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第n (n ≥2)行的第2个数是 .,第n (n ≥2)行的第2个数是第(n-1)行第1个数跟第2个数的和,即a 2=2,a 3=a 2+2=2+2=4,a 4=a 3+3=4+3=7,…….则a n =2+2+3+4+5+…+…+n-1=1+(n -1)(1+n -1)2=n 2-n +22.8.若(2x+)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .3x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)332=(a0+a 1+a 2+a 3+a 4)·(a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+)4(-2+)4=1.33★9.已知(+3x 2)n 的展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.3x 2(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n .展开式二项式系数和为+…+=2n ,C 0n +C 1n C n n 由题意有4n -2n =992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n +31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=)3·(3x 2)2=90x 6,C 25(3x 2T 4=)2(3x 2)3=270C 35(3x 2x 223.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由T k+1=)5-k ·(3x 2)k =3k ,C k 5(3x2C k5x10+4k 3得{C k 5·3k≥C k -15·3k -1,C k 5·3k ≥C k +15·3k +1k ⇒{3k ≥16-k ,15-k ≥3k +1⇒72≤≤92.因为k ∈Z ,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T 5=34=405C 45x 263x263.★10.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般有这样的结论:第m 斜列中(从右上到左下)前k 个数之和,一定等于第m+1斜列中第k 个数.试用含有m ,k (m ,k ∈N *)的数字公式表示上述结论,并给予证明.=1 140.C 320(2)+…+,证明如下:左边=+…+C m -1m -1+C m -1m C m -1m +k -2=C m m +k -1C mm +C m -1m +…+=…==右边.C m -1m +k -2=C m m +1+C m -1m +1C m -1m +k -2C m m +k -2+C m -1m +k -2=C mm +k -1。
2018-2019学度高中数学人教A版选修2-3练习：第1章计数原理1.3.1Word版含解析
2018-2019学度高中数学人教A 版选修2-3练习：第1章计数原理1.3.1Word 版含解析A 级 基础巩固一、选择题1．在(x －12x )10旳二项展开式中，x 4旳系数为导学号 51124222( C )A ．－120B ．120C ．－15D ．15[解析] T r ＋1＝C r 10x 10－r (－12x )r ＝(－12)r ·C r 10x 10－2r令10－2r ＝4，则r ＝3. ∴x 4旳系数为(－12)3C 310＝－15.2．(2015·湖北理，3)已知(1＋x )n 旳展开式中第4项与第8项旳二项式系数相等，则奇数项旳二项式系数和为导学号 51124223( A )A ．29B ．210C ．211D ．212[解析] 由题意可得，二项式旳展开式满足T r ＋1＝C r n x r ，且有C 3n ＝C 7n ，因此n ＝10.令x＝1，则(1＋x )n ＝210，即展开式中所有项旳二项式系数和为210；令x ＝－1，则(1＋x )n ＝0，即展开式中奇数项旳二项式系数与偶数项旳二项式系数之差为0，因此奇数项旳二项式系数和为12(210＋0)＝29.故本题正确答案为A ．3．若二项式(x －2x )n 旳展开式中第5项是常数项，则自然数n 旳值可能为导学号 51124224( C )A ．6B ．10C ．12D ．15[解析]∵T 5＝C 4n (x )n －4·(－2x)4＝24·C 4n xn －122是常数项，∴n －122＝0，∴n ＝12.4．(湖南高考)(12x －2y )5旳展开式中x 2y 3旳系数是导学号 51124225( A )A ．－20B ．－5C ．5D ．20[解析] 展开式旳通项公式为T r ＋1＝C r 5(12x )5－r ·(－2y )r ＝(12)5－r ·(－2)r C r 5x 5－r y r. 当r ＝3时为T 4＝(12)2(－2)3C 35x 2y 3＝－20x 2y 3，故选A ． 5．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)旳展开式中，若x 5与x 6旳系数相等，则n ＝导学号 51124226( B )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 二项式(1＋3x )n 旳展开式旳通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r .依题意得 C 5n ·35＝C 6n ·36，即n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)5！＝3×n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)6！(n ≥6)，得n ＝7.6．在(1－x 3)(1＋x )10旳展开式中x 5旳系数是导学号 51124227( D ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207[解析] x 5系数应是(1＋x )10中含x 5项旳系数减去含x 2项旳系数．∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.二、填空题7．(2016·山东理，12)若(ax 2＋1x)5旳展开式中x 5旳系数是－80，则实数a ＝__－2__. 导学号 51124228[解析] (ax 2＋1x)5旳展开式旳通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2.8．设a ＝⎠⎛0πsin xdx ，则二项式(a x －1x)6旳展开式中旳常数项等于__－160__.导学号 51124229[解析] a ＝⎠⎛0πsin xdx ＝(－cos x )|π0＝2，二项式(2x －1x )6展开式旳通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 3－r，令3－r ＝0得，r ＝3，∴常数项为(－1)3·23·C 36＝－160. 9．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，若a 0＋a 1＋…＋a n ＝30，则n 等于__4__.导学号 51124230[解析] 令x ＝1得a 0＋a 1＋…＋a n ＝2＋22＋…＋2n ＝30得n ＝4. 三、解答题10．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8旳展开式中，求：导学号 51124231(1)第5项旳二项式系数及第5项旳系数； (2)倒数第3项． [解析](1)∵T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 4＝C 48·24·x 203 ， ∴第5项旳二项式系数是C 48＝70，第5项旳系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中旳倒数第3项即为第7项， T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 6＝112x 2. B 级 素养提升一、选择题1．(1＋2x )3(1－3x )5旳展开式中x 旳系数是导学号 51124232( C ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4[解析] (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x ＋12x ＋8x x )(1－3x )5，故(1＋2x )3(1－3x )5旳展开式中含x 旳项为1×C 35(－3x )3＋12x C 05＝－10x ＋12x ＝2x ，所以x 旳系数为2.2．若(1＋2x )6旳展开式中旳第2项大于它旳相邻两项，则x 旳取值范围是导学号 51124233( A )A ．112＜x ＜15B ．16＜x ＜15C ．112＜x ＜23D ．16＜x ＜25[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧T 2>T 1，T 2>T 3，得⎩⎨⎧C 162x >1，C 162x >C 26(2x )2.∴112＜x ＜15. 二、填空题3．(1＋x ＋x 2)(x －1x )6旳展开式中旳常数项为__－5__.导学号 51124234[解析] (1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6 ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6＋x ⎝⎛⎭⎫x －1x 6＋x 2⎝⎛⎭⎫x －1x 6， ∴要找出⎝⎛⎭⎫x －1x 6中旳常数项，1x 项旳系数，1x2项旳系数，T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，∴r ＝3， 令6－2r ＝－1，无解． 令6－2r ＝－2，∴r ＝4.∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.4．若x >0，设(x 2＋1x )5旳展开式中旳第三项为M ，第四项为N ，则M ＋N 旳最小值为2.导学号 51124235 [解析] T 3＝C 25·(x 2)3(1x )2＝54x ，T 4＝C 35·(x 2)2·(1x )3＝52x ， ∴M ＋N ＝5x 4＋52x ≥2258＝522. 三、解答题5．(2016·湛江高二检测)在二项式 (3x －123x)n 旳展开式中，前三项系数旳绝对值成等差数列.导学号 51124236(1)求n 旳值；(2)求展开式中二项式系数最大旳项； (3)求展开式中系数最大旳项．[解析] (1)C 0n ＋14C 2n ＝2·12C 1n ，∴n 2－9n ＋8＝0；∵n ≥2，∴n ＝8. (2)∵n ＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大旳项为第5项，即T 5＝C 48(3x )4·(－123x )4＝358. (3)研究系数绝对值即可，⎩⎨⎧C r 8(12)r ≥Cr ＋18(12)r ＋1，C r 8(12)r≥Cr －18(12)r －1，解得2≤r ≤3，∵r ∈N ，∴r ＝2或3.∵r ＝3时，系数为负． ∴系数最大旳项为T 3＝7x 43.6．(2016·金华高二检测)已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 旳展开式中x 旳系数为7，导学号 51124237(1)试求f (x )旳展开式中旳x 2旳系数旳最小值；(2)对于使f (x )旳展开式旳x 2旳系数为最小旳m ，n ，求出此时x 3旳系数； (3)利用(1)中m 与n 旳值，求f (0.003)旳近似值(精确到0.01)[解析] (1)根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即 m ＋n ＝7①，f (x )旳展开式中旳x 2旳系数为C 2m ＋C 2n ＝m (m －1)2＋n (n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2. 将①变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2旳系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354，故当m ＝3或m ＝4时，x 2旳系数旳最小值为9.(2)当m ＝3、n ＝4时，x 3旳系数为C 33＋C 34＝5； 当m ＝4、n ＝3时，x 3旳系数为C 34＋C 33＝5.(3)f (0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C 04＋C 14×0.003＋C 03＋C 13×0.003＝2.02.C 级 能力拔高求(x 2＋1x＋2)5旳展开式中整理后旳常数项.导学号 51124238 [解析] (x 2＋1x＋2)5不是一个二项式，但可以通过组合某些项变成二项式，组合旳方法有：(1)(x 2＋1x ＋2)5＝[(x 2＋1x )＋2]5，(2)(x 2＋1x ＋2)5＝(x 2＋22x ＋22x )5＝(x ＋2)10(2x )5.解法一：(x 2＋1x ＋2)5＝[(x 2＋1x)＋2]5，通项公式T k ＋1＝C k 5·2k 2·(x 2＋1x)5－k(k ＝0,1,2，…，5)， (x 2＋1x )5－k 旳通项公式为T r ＋1＝C r 5－k ·x －r ·x 5－k －r ·2－(5－k －r )＝C r 5－k ·x 5－2r －k ·2k ＋r －5(r ＝0,1，…，5－k )，令5－2r －k ＝0，则k ＋2r ＝5，可得k ＝1，r ＝2或k ＝3，r ＝1或k ＝5，r ＝0. 当k ＝1，r ＝2时，得C 15·C 24·2·2－2＝1522； 当k ＝3，r ＝1时，得C 35·C 12·22·2－1＝202； 当k ＝5，r ＝0时，得C 55·42＝4 2. 综上，(x 2＋1x ＋2)5旳展开式中整理后旳常数项为 1522＋202＋42＝6322.解法二：(x 2＋1x ＋2)5＝(x 2＋22x ＋22x )5＝[(x ＋2)2]5(2x )5＝(x ＋2)10(2x )5，在二项式(x ＋2)10中，T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·(2)r (r ＝0,1,2，…，10)， 要得到常数项需10－r ＝5，即r ＝5， 所以常数项为C 510·(2)525＝6322.。
【高中数学】2018人教A选修2-3练习：第1章 计数原理1.2.2 第2课时 Word版含解析
第一章 1.2 1.2.2 第2课时A级基础巩固一、选择题1．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是导学号51124189(C) A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25[解析]第一步从后排8人中抽2人有C28种抽取方法，第二步前排共有6个位臵，先从中选取2个位臵排上抽取的2人，有A26种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位臵上，只有1种安排方法，∴共有C28A26种排法．2．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有导学号51124190(B) A．24种B．18种C．12种D．96种[解析]先选后排C23A33＝18，故选B．3．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有导学号51124191(A)A．40个B．120个C．360个D．720个[解析]先选取3个不同的数有C36种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方式共有导学号51124192(B)A．4种B．10种C．18种D．20种[解析]分两类：第一类，取出两本画册，两本集邮册，从4人中选取2人送画册，则另外两人送集邮册，有C24种方法．第二类，3本集邮册全取，取1本画册，从4人中选1人送画册，其余送集邮册，有C14种方法，∴共有C14＋C24＝10种赠送方法．5．(2016·青岛高二检测)从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有导学号51124193(B)A．60种B．72种C．84种D．96种[解析]解法一：根据题意，分两种情形讨论：①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有C12C33C13A33＝36种选派方案．②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C23·A23·A22＝36种选派方案，综上可得，共有36＋36＝72种不同的选派方案，故选B．解法二：从甲、乙以外的三人中选一人从事A工作，再从剩余四人中选三人从事其余三项工作共有C13A34＝72种选法．6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有导学号51124194(A)A．72种种C．24种D．12种[解析]解法一：(1)4种颜色全用时，有A44＝24种不同涂色方法．(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A34种涂法，然后涂D，D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A34＝48种，∴共有不同涂色方法24＋48＝72种．解法二：涂A有4种方法，涂B有3种方法，涂C有2种方法，涂D有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．二、填空题7．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有__60__种.导学号51124195[解析]对于任一种坐法，可视4个空位为0,3个人为1,2,3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1,2,3即可．∴不同排法有A35＝60种．8．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有__112__种放法(用数字作答).导学号51124196[解析]设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题，总的放法为C27＋C37＋C47＋C57＝112.9．(2016·沈阳高二质检)用1、2、3、4、5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1、3、5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是__48__(注：用数字作答).导学号51124197[解析]按2的位臵分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有C13A22A22＝12个；②当2出现在第3位时，即00200，则第1位、第2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个数字，所以满足条件的五位数有2A23A22＝24个；③当2出现在第4位时，即00020，则第5位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有C13A22A22＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个．三、解答题10．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？导学号51124198(1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．[解析](1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C36种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C36＝20种．(2)第一步从7人中选取6人，有C67种选法；第二步从6人中选2人排一列有C26种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C24种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C67·C26·C24＝630种．B级素养提升一、选择题1．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为导学号51124199 (B)A．151B．168C．1306D．1 408[解析]从18人中任选3人，有C318种选法，选出的3人编号能构成公差为3的等差数列有12种情形)，∴所求概率P＝12C318＝168.2．编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为导学号51124200(D)A．120 B．119C．110 D．109[解析]5个人坐在5个座位上，共有不同坐法A55种，其中3个号码一致的坐法有C35种，有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为A55－C35－1＝109.二、填空题3．航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有__36__种. 导学号51124201[解析]∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有2A44＝48种，其中甲、乙相邻，且甲、丙相邻的只能是甲、乙、丙看作一个整体，甲中间，有A22 A33＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．4．(2017·天津理，14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__1_080__个．(用数字作答)导学号51124787 [解析]①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．三、解答题5．(2016·泰州高二检测)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？导学号51124202(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．[解析](1)第一步：选3名男运动员，有C36种选法；第二步：选2名女运动员，有C24种选法，故共有C36·C24＝120种选法．(2)解法一：(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理知共有C14·C46＋C24·C36＋C34·C26＋C44·C16＝246种选法．解法二：(间接法)，不考虑条件，从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种，故“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种)．(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45；故不选女队长时共有C48－C45种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．6．四个不同的小球，全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.导学号51124203(1)随便放(可以有空盒，但球必须都放入盒中)有多少种放法？(2)四个盒都不空的放法有多少种？(3)恰有一个空盒的放法有多少种？(4)恰有两个空盒的放法有多少种？(5)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？[解析](1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数是：4×4×4×4＝44＝256种．(2)将四个小球全排列后放入四个盒子即可，所以放法总数是：A44＝24种．(3)由题意知，必然是四个小球放入三个盒子中．分三步完成：选出三个盒子；将四个小球分成三堆；将三堆小球全排列后放入三个盒子．所以放法总数是：C34·C24·A33＝144种．(4)由题意，必然是四个小球放入2个盒子中．分三步完成：选出两个盒子；将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子．所以放法总数是：C24·(C24·C22A22＋C14·C33)·A22＝84种．(5)分三类放法．第一类：甲球放入1号盒子，即，则乙球有3种放法(可放入2,3,4号盒子)，其余两球可随便放入四个盒子，有42种放法．故此类放法的种数是3×42；第二类：甲球放入2号盒子，即，则乙球有2种放法(可放入3,4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法．故此类放法的种数是2×42；第三类：甲球放入3号盒子，即，则乙球只有1种放法(放入4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法，故此类放法的种数是1×42.综上，所有放法的总数是：(3＋2＋1)×42＝96种．C级能力拔高不定方程x1＋x2＋…＋x10＝100的正整数解有多少组？导学号51124204[解析]不定方程就是未知数的个数大于方程的个数的方程，像方程x1＋x2＋…＋x n＝m 就是一个最简单的不定方程，解决这类问题的常用方法是“隔板法”．解：考虑并列出100个：，在每相邻两个1之间都有1个空隙，共有99个空隙．在这99个空隙中，放上9个“＋”号，每个空隙中至多放1个，共有C999种放法，在每一种放法中，这100个数被“＋”号隔为10段，每一段中“1”的个数从左至右顺次记为“x1，x2，…，x10”．显然，这就是不定方程的一组正整数解，而“＋”号的放法与不定方程的正整数解之间是一一对应的，故不定方程的正整数解有C999组．。
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第1章 计数原理1.3.2 Word版含解析
第一章 1.3 1.3.2A 级 基础巩固一、选择题 1．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是导学号 51124255( C )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； ∴(3x －1x)8的展开式通项公式为： T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·38－r ·C r 8·x 4－r ， 令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为导学号 51124256( A )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．(2016·潍坊市五校联考)已知(x 2－1x )n 的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为导学号 51124257( D )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 通项T r ＋1＝C r n (x 2)n －r (－1x)r ＝(－1)r C r n x2n －3r，当r ＝23n 时为常数项，即(－1)23 n＝15，经检验n ＝6.4．若a 为正实数，且(ax －1x )2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为导学号 51124258( D )A ．1x 2016B ．－1x 2016C ．4032x2014D ．－4032x2014[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1， ∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C 20152016·(2x )·(－1x )2015 ＝－2C 12016·x －2014＝－4032x－2014，故选D ．5．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝导学号 51124259( C )A ．2B ．54 C ．1D ．24[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6．(2016·南安高二检测)233除以9的余数是导学号 51124260( A ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1[解析] 233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21199＋…＋C 10119－1＝9(910－C 11199＋…＋C 1011－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A ． 二、填空题7．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝__5__，其展开式中的常数项为__10__(用数字作答).导学号 51124261[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫1x 3r ＝C r 5·x 10－5r，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.8．已知(x －ax)8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是__1或38__.导学号 51124262[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x )r ＝(－a )r ·C r 8·x 8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2， 令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.9．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A＋B ＝72，则n ＝__3__.导学号 51124263[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 三、解答题10．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ).导学号 51124264 (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－1＋320172.(3)∵T r ＋1＝C r 2017·12017－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2017·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝32017.B 级 素养提升一、选择题1．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是导学号 51124265( C )A ．0B ．2C ．7D ．8[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.2．(2016·上饶市高二检测)设函数f (x )＝(2x ＋a )n ，其中n ＝6cos x d x ，f ′(0)f (0)＝－12，则f (x )的展开式中x 4的系数为导学号 51124266( B )A ．－240B ．240C ．－60D ．60[解析] ∵n ＝6cos x d x ＝6sin x⎪⎪⎪⎪π20＝6， ∴f (x )＝(2x ＋a )6，∴f ′(x )＝12(2x ＋a )5，∵f ′(0)f (0)＝－12，∴12a 5a 6＝－12，∴a ＝－1.∴f (x )＝(2x －1)6.其展开式的通项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1)r ＝(－1)r C r 6·26－r x 6－r ， 令6－r ＝4得r ＝2，∴f (x )展开式中x 4的系数为(－1)2C 26·24＝240，故选B ．二、填空题3．观察下列等式：导学号 51124267 (1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8， ……由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＝ n (n ＋1)2. [解析] 观察给出各展开式中x 2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a 2＝n (n ＋1)2.4．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则导学号 51124268 (1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝__255__； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝__32896__. [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.三、解答题5．在(2x －3y )10的展开式中，求：导学号 51124269 (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．[解析] 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.6．在二项式(x ＋12x)n 的展开式中，前三项系数成等差数列.导学号 51124270(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． [解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n (n －1)8，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r . 令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358. (2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧C r 8·(12)r ≥C r ＋18·(12)r ＋1C r 8·(12)r≥C r －18·(12)r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .C 级 能力拔高(2016·江苏卷)(1)求7C 36－4C 47的值；导学号 51124271(2)设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.[解析] (1)7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0. (2)当n ＝m 时，结论显然成立．当n >m 时， (k ＋1)C m k＝(k ＋1)·k ！m ！·(k －m )！＝(m ＋1)． (k ＋1)！(m ＋1)！·[(k ＋1)－(m ＋1)]！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n . 又C m ＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2，所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n .因此，(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n ]＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＋(m ＋1)[(C m ＋2m ＋3－C m ＋2m ＋2)＋(C m ＋2m ＋4－C m ＋2m ＋3)＋…＋(C m ＋2n ＋2－C m ＋2n ＋1)]＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.。
高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案
1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ，所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6．
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− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
（3）根据原方程，可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 （1）计算：C5 10 ⋅ C10 − C10 ； m−1 （2）证明：mCm n = nCn−1 ．
解：（1）原式= （2）证明：因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ； 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0! = 1 ．所以排列数公 式还可以写成
Am n =
(n − m)！
n！
.
组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）． 组合数及组合数的公式 从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．
2018学年高中数学人教A版选修2-3课件 第1章 计数原理1.3.1 精品
(1)∵第 6 项为常数项， n－2r ∴r＝5 时有 3 ＝0，∴n＝10.
10－2r (2)令 3 ＝2，得 r＝2， ∴所求的系数为 1 2 45 2 C10(－ ) ＝ . 2 4
10－2r∈Z， 3 (3)根据通项公式，由题意得： 0≤r≤10， r∈Z. 10－2r 令 3 ＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k， 10－3k 3 即 r＝ 2 ＝5－2k.
2 10 2 ． 二 项 式 (x ＋ ) 的展开式中的常数项是 x
2
导学号 03960203 ( A．第 10 项 C．第 8 项
) B．第 9 项 D．第 7 项
[ 答案]
[ 解析]
B
通项 5r r 2 10－r 2 r r r Tr＋1＝C10· (x ) · ( ) ＝2 · C10x20－ ，令 x 2 20
他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指， 错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大 叫，离他而去． 那么，什么是二项式定理？二项 式定理的无穷魅力在哪里？
二项式定理及相关的概念
二项式定理 公式(a＋b)n＝ 概念
0 n 1 n－1 2 n－2 2 r n－r r n n C a ＋ C a b ＋ C a b ＋…＋ C a b ＋…＋ C n n n n nb (n∈N＋) __________________________________________
念．
1 5 1 ． (x － x ) 的 展 开 式 中 含 x 3 项 的 二 项 式 系 数 为 导学号 03960202 ( A．－10 C．－5 ) B．10 D．5
[ 答案]
[ 解析]
D
1r r 5－r 5－2r Tr＋1＝C5· x (－ ) ＝(－1)rCr · x ， 5 x
2018学年高中数学人教A版课件选修2-3 第一章 计数原理
阶 段 3
1.3 1.3.1
阶 段 2
二项式定理 二项式定理
学 业 分 层 测 评
1．会证明二项式定理．(难点) 2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)
[ 基础· 初探] 教材整理 二项式定理
阅读教材 P29～P31，完成下列问题． 二项式定理及相关的概念 二项式定理 概念
0 n 1 n－1 2 n－2 2 k n－k k C a ＋ C a b ＋ C a b ＋…＋ C b ＋… n n n na 公式(a＋b) ＝________________________________________
【解析】 (2)×
－k
(1)×
因为(a＋b)n 展开式中共有 n＋1 项．
k n －k k n 因为二项式的第 k＋1 项 Cn a b 和(b＋a)n 的展开式的第 k＋1 项 Ck nb
ak 是不同的，其中的 a，b 是不能随便交换的． (3)× (4)√
n－k k 因为 Ck a b 是(a＋b)n 展开式中的第 k＋1 项． n
12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ x ＋x2.
2
法二： 3
4 3 x ＋ 1 1 4 x＋ ＝ x2 x
1 ＝x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) 12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ x ＋x2.
2 2 2 n n n n (2)原式＝1＋2C1 ＋ 2 C ＋ … ＋ 2 C ＝ (1 ＋ 2) ＝ 3 . n n n
r
x)
6－r
1 － r · x
3
r 6－r 3－2r C6 · 2 · x ，
9 － . 2
∴T6＝－12· x
高中数学人教A版选修2-3练习第1章 计数原理1.2.1 第2课时 Word版含解析
第一章第课时级基础巩固一、选择题．个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为( )．．．．[解析]甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间个位置选一个，有种站法，其余人有种站法，故共有··＝种站法．．某单位安排位员工在月日至日值班，每天安排人，每人值班天．若位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在月日，丁不排在月日，则不同的安排方案共有( )．种．种．种．种[解析]甲、乙相邻的所有方案有＝种；其中丙排在月日的和丁排在月日的一样多，各有：＝种，其中丙排在月日且丁排在月日的有＝种，故符合题设要求的不同安排方案有：－×＋＝种，故选．．(·郑州高二检测)从个人中选人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )．种．种．种．种[解析]先从除甲、乙外的人中选取人去巴黎，再从其余人中选人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同选择方案·＝种．．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )．种．种．种．种[解析]分两类：最左端排甲有＝种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有＝种不同的排法，由分类加法原理可得满足条件的排法共有＋＝种．．甲、乙、丙位志愿者安排在周一至周五的天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( )．种．种．种．种[解析]分三类：甲在周一，共有种排法；甲在周二，共有种排法；甲在周三，共有种排法；∴＋＋＝.．由数字、、、、、可以组成能被整除，且无重复数字的不同的五位数有( )．(－)个．(－)个．个．个[解析]能被整除，则个位须为或，有个，但其中个位是的含有在首位的排法有个，故共有(－)个．二、填空题．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为[解析]“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作个空位和个人满足上述两要求的一个排列，只要将个人插入个空位形成的个空档中即可．∴有＝种不同坐法．．将序号分别为的张参观券全部分给人，每人至少张，如果分给同一人的张参观券连号，那么不同的分法种数是[解析]先分组后用分配法求解，张参观券分为组，其中个连号的有种分法，每一种分法中的排列方法有种，因此共有不同的分法＝×＝(种)．．年某地举行博物展，某单位将展出件艺术作品，其中不同书法作品件、不同绘画作品件、标志性建筑设计件，在展台上将这件作品排成一排，要求件书法作品必须相邻，件绘画作品不能相邻，则该单位展出这件作品不同的方案有种．(用数字作答) [解析]将件书法作品排列，方法数为种，然后将其作为件作品与标志性建筑设计作品共同排列有种排法，对于其每一种排法，在其形成的个空位中选个插入件绘画作品，故共有不同展出方案：××＝种．三、解答题．一场晚会有个演唱节目和个舞蹈节目，要求排出一个节目单()个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？()前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解析]()先从个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有种排法，再将剩余的个演唱节目，个舞蹈节目排在中间个位置上有种排法，故共有不同排法＝种．()先不考虑排列要求，有种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从个演唱节目中选个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(－)＝种．级素养提升一、选择题．用、、、、、组成没有重复数字的位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有( )。
高中数学人教A版选修2-3练习第1章 计数原理1.1 第2课时 Word版含解析
第一章第课时级基础巩固一、选择题．已知函数＝＋＋，其中、、∈{}，则不同的二次函数的个数共有( )．个．个．个．个[解析]由题意可得≠，可分以下几类，第一类：＝，≠，此时有种选择，也有种选择，共有×＝个不同的函数；第二类：＝，≠，此时有种选择，也有种选择，共有×＝个不同的函数；第三类：≠，≠，此时，，都各有种选择，共有××＝个不同的函数；第四类：＝，＝，此时有种选择，共有个不同的函数．由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有＝＋＋＋＝(个)．故选．．(·无锡高二检测)体育老师把个相同的足球放入编号为的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放球方法有( )．种．种．种．种[解析]首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有种结果；第二种方法，可以把球分成两份，和，这两份在三个位置，有×＝种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有种结果．综上可知共有＋＋＝种结果．．名班委进行分工，其中不适合当班长，只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为( )．．．．[解析]根据题意，只适合当学习委员，有种情况，不适合当班长，也不能当学习委员，有种安排方法，剩余的人，担任剩余的工作，有××＝种情况，由分步乘法计数原理，可得共有××＝种分工方案，故选．．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为的概率是( )．．．．[解析]本题考查计数原理与古典概型，∵两数之和为奇数，则两数一奇一偶，若个位数为奇数，则共有×＝个数，若个位数为偶数，共有×＝个数，其中个位为的数共有个，∴＝＝.．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有个焊接点、、、、、，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )．种．种．种．种[解析]每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，∴共有－＝种．故选．．从集合{，…，}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )．．．．[解析]当公比为时，等比数列可为、、、、.当公比为时，等比数列可为、、.当公比为时，等比数列可为、、.同时，、、、、、、和、、也是等比数列，共个．二、填空题．(·温州高二检测)有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有、、、四个数字，现将它连续抛掷次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为，则“恰好为”的概率为[解析]本题是一道古典概型问题．用有序实数对(，，)来表示连续抛掷次所得的个数字，则该试验中共含××＝个基本事件，取＝＋＋，事件“恰好为”中包含了()，()，()三个基本事件，则所求概率＝.．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有种[解析]依次给区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ涂色分别有、、、种方法，根据分步乘法计数原理，不同的涂色方法的种数为×××＝.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第1章 计数原理1.3.2 Word版含解析
第一章 1.3 1.3.2A 级 基础巩固一、选择题 1．若(3－)n 的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是x 1x( C )导学号 51124255A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项[解析] 令x ＝1，得出(3－)n 的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； x 1x∴(3－)8的展开式通项公式为： x 1xT r ＋1＝C ·(3)8－r ·(－)r ＝(－1)r ·38－r ·C ·x 4－r ， r 8x 1xr 8令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C ·9n －1＋…＋C ·9＋C 是11的倍数，则自然数n 为1n ＋1－n ＋1n n ＋1导学号 51124256( A )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[解析] 9n ＋C ·9n －1＋…＋C ·9＋C 1n ＋1－n ＋1n n ＋1＝(9n ＋1＋C 9n ＋…＋C 92＋C 9＋C )－ 191n ＋1－n ＋1n n ＋1n ＋119＝(9＋1)n ＋1－＝(10n ＋1－1)是11的倍数， 191919∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．(2016·潍坊市五校联考)已知(x 2－)n 的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为1x ( D )导学号 51124257A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] 通项T r ＋1＝C (x 2)n －r (－)r ＝(－1)r C x 2n －3r ，当r ＝n 时为常数项，即(－1)n r n 1x r n 2323＝15，经检验n ＝6.4．若a 为正实数，且(ax －)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项1x 为( D )导学号 51124258A ． B ．－1x 20161x 2016C ．D ．－4032x 20144032x 2014[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1， ∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C ·(2x )·(－)2015 201520161x＝－2C ·x －2014＝－4032x －2014，故选D ． 120165．若二项式(2x ＋)7的展开式中的系数是84，则实数a ＝( C )a x 1x 3导学号 51124259A ．2 B ． 54C ．1D ．24[解析] 二项式(2x ＋)7的通项公式为T r ＋1＝C (2x )7－r ()r ＝C 27－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－a x r 7a x r 73，得r ＝5.故展开式中的系数是C 22a 5＝84，解得a ＝1. 1x3576．(2016·南安高二检测)233除以9的余数是( A ) 导学号 51124260A ．8 B ．4 C ．2 D ．1[解析] 233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C 910＋C 99＋…＋C 9－1＝9(910－C 99＋…＋C 1112111011111－1)＋8， 1011∴233除以9的余数是8.故选A ． 二、填空题 7．若n展开式的各项系数之和为32，则n ＝__5__，其展开式中的常数项为(x 2＋1x 3)__10__(用数字作答).导学号 51124261[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C ·(x 2)5－r ·r＝C ·x10－5r ，令10r 5(1x 3)r5－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.8．已知(x －)8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和ax 是__1或38__.导学号 51124262[解析] T r ＋1＝C x 8－r (－)r r 8a x＝(－a )r ·C ·x 8－2r ，令8－2r ＝0得r ＝4， r 8由条件知，a 4C ＝1120，∴a ＝±2， 48令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.9．在二项式(＋)n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且Ax 3x ＋B ＝72，则n ＝__3__.导学号 51124263[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 三、解答题10．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ). 导学号 51124264(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－.1＋320172(3)∵T r ＋1＝C ·12017－r ·(－2x )r r 2017＝(－1)r ·C ·(2x )r ， r 2017∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝32017.B 级 素养提升一、选择题1．若n 为正奇数，则7n ＋C ·7n －1＋C ·7n －2＋…＋C ·7被9除所得的余数是1n 2n n －1n ( C )导学号 51124265A ．0 B ．2 C ．7D ．8[解析] 原式＝(7＋1)n －C ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C ·9n －1＋C ·9n －2－…＋C ·9(－n 1n 2n n －1n 1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.。
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第一章 1.3 1.3.2A 级 基础巩固一、选择题 1．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是导学号 51124255( C )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； ∴(3x －1x)8的展开式通项公式为： T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·38－r ·C r 8·x 4－r ， 令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为导学号 51124256( A )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．(2016·潍坊市五校联考)已知(x 2－1x )n 的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为导学号 51124257( D )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 通项T r ＋1＝C r n (x 2)n －r (－1x)r ＝(－1)r C r n x2n －3r，当r ＝23n 时为常数项，即(－1)23 n＝15，经检验n ＝6.4．若a 为正实数，且(ax －1x )2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为导学号 51124258( D )A ．1x 2016B ．－1x 2016C ．4032x2014D ．－4032x2014[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1， ∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C 20152016·(2x )·(－1x )2015 ＝－2C 12016·x －2014＝－4032x－2014，故选D ．5．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝导学号 51124259( C )A ．2B ．54 C ．1D ．24[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6．(2016·南安高二检测)233除以9的余数是导学号 51124260( A ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1[解析] 233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21199＋…＋C 10119－1＝9(910－C 11199＋…＋C 1011－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A ． 二、填空题7．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝__5__，其展开式中的常数项为__10__(用数字作答).导学号 51124261[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫1x 3r ＝C r 5·x 10－5r，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.8．已知(x －ax)8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是__1或38__.导学号 51124262[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x )r ＝(－a )r ·C r 8·x 8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2， 令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.9．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A＋B ＝72，则n ＝__3__.导学号 51124263[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 三、解答题10．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ).导学号 51124264 (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－1＋320172.(3)∵T r ＋1＝C r 2017·12017－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2017·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝32017.B 级 素养提升一、选择题1．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是导学号 51124265( C )A ．0B ．2C ．7D ．8[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.2．(2016·上饶市高二检测)设函数f (x )＝(2x ＋a )n ，其中n ＝6cos x d x ，f ′(0)f (0)＝－12，则f (x )的展开式中x 4的系数为导学号 51124266( B )A ．－240B ．240C ．－60D ．60[解析] ∵n ＝6cos x d x ＝6sin x⎪⎪⎪⎪π20＝6， ∴f (x )＝(2x ＋a )6，∴f ′(x )＝12(2x ＋a )5，∵f ′(0)f (0)＝－12，∴12a 5a 6＝－12，∴a ＝－1.∴f (x )＝(2x －1)6.其展开式的通项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1)r ＝(－1)r C r 6·26－r x 6－r ， 令6－r ＝4得r ＝2，∴f (x )展开式中x 4的系数为(－1)2C 26·24＝240，故选B ．二、填空题3．观察下列等式：导学号 51124267 (1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8， ……由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＝ n (n ＋1)2. [解析] 观察给出各展开式中x 2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a 2＝n (n ＋1)2.4．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则导学号 51124268 (1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝__255__； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝__32896__. [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.三、解答题5．在(2x －3y )10的展开式中，求：导学号 51124269 (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．[解析] 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.6．在二项式(x ＋12x)n 的展开式中，前三项系数成等差数列.导学号 51124270(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． [解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n (n －1)8，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r . 令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358. (2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧C r 8·(12)r ≥C r ＋18·(12)r ＋1C r 8·(12)r≥C r －18·(12)r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .C 级 能力拔高(2016·江苏卷)(1)求7C 36－4C 47的值；导学号 51124271(2)设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.[解析] (1)7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0. (2)当n ＝m 时，结论显然成立．当n >m 时， (k ＋1)C m k＝(k ＋1)·k ！m ！·(k －m )！＝(m ＋1)． (k ＋1)！(m ＋1)！·[(k ＋1)－(m ＋1)]！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n . 又C m ＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2，所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n .因此，(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n ]＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＋(m ＋1)[(C m ＋2m ＋3－C m ＋2m ＋2)＋(C m ＋2m ＋4－C m ＋2m ＋3)＋…＋(C m ＋2n ＋2－C m ＋2n ＋1)]＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.。