2013高考数学能力加强集训：专题七第1讲 几何证明选讲(含详解)
2013高考数学一轮复习立体几何空间关系证明运用(答案版)
2013高考数学一轮复习第7讲空间线面关系【考点核心】空间直线、平面的平行与垂直关系（用定义、公理、判定、性质及其已获得的结论证明一些空间图形的位置关系、并能在此基础上求见角和距离问题）【应试策略】空间三大关系的定义、判定、性质定理是核心、一空间棱柱棱锥为载体；能力要求：1.对定义定理的理解（直棱柱、空间异面垂直）2.语言的顺利转换（如勾股数想到垂直等）3.空间想象能力（先画大件后小样）及其逻辑思维能力（平行可有那些方法得到）4.证明要由已知想性质，由目标想判定 5.(理)空间坐标系建立要先证明做辅助线6.小题判断是非举正反例7.综合题要一作二证三计算。
【知识回顾】必须知（此处略）【基本题型】题型一：定义、公理、判定定理、性质定理、已获得的结论与空间关系的判断（2010山东文4理3）(4)在空间，下列命题正确的是A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个面平平行D.垂直于同一平面的两条直线平行（2010全国卷2文数）（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个【解析】D：本题考查了空间想象能力∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，10.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【答案】D.4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=2。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换)
. AE D CBO第15题图2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（18选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：选修4—1；几何证明选讲1. (2013北京理)如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.答案 954解析 由PD ∶DB ＝9∶16.设PD ＝9a ，DB ＝16a ，由切割线定理，PA 2＝PD·PB ，即9＝ 9a ×25a ，∴a ＝15，所以PD ＝95.在Rt △PAB 中，PB ＝25a ＝5，∴AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.2．(2013广东文) 如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠=，21DE ==【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.3. (2013广东理) 如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB=,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE =,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.4、(2013湖北理) 如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。
若3AB AD =，则CEEO的值为 。
【解析与答案】由射影定理知()()2222812AD AB AD CE CD AD BDEO OD OA AD AB AD -====-⎛⎫- ⎪⎝⎭【相关知识点】射影定理，圆幂定理图3OD EBA第15题图C5. (2013湖南理) 如图2的O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点 1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【答案】23 【解析】 ，由相交弦定理得5,4==⇒⋅=⋅DC PC PC DP PB AP23)2(22=-=PC r d CD 的距离圆心到6． (2013陕西文) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = . B 【答案】.6 【解析】 ..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 7．(2013陕西理) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则 .【解析】.//BAD BCD PED BCD PE BC ⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 8． (2013天津文) 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 . 【答案】152【解析】连结AC,则EAB ACB ADB ABD DCA ∠=∠=∠=∠=∠，所以梯形ABCD 为等腰梯形，所以5BC AD ==，所以24936AE BE CE =⋅=⨯=，所以6AE =,所以2222226543cos 22654AE AB BE EAB AE AB ++-===⋅⨯⨯.又2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅,即222355254BD BD =+-⨯⋅⨯，整理得21502BD BD -=，解得152BD =。
2013年文科全国各省市高考真题——几何证明选讲(解答题带答案)
2013年全国各省市文科数学—几何证明选讲1、2013广东文T15．（几何证明选讲选做题） 如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．2、2013陕西文B . (几何证明选做题) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = .3、2013辽宁文22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，.AB O CD O E AD CD D 为直径，直线与相切于垂直于于，BC 垂直于 ,.CD C EF F AE BE 于，垂直于，连接证明：（I ）;FEB CEB ∠=∠ （II ）2.EF AD BC =图 3P4、2013新课标1文T22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点ABCD。
=；（Ⅰ）证明：DB DC∆外接圆的半径。
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF5、2013新课标Ⅱ文（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲∆外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点如图，CD为ABCD，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且⋅=⋅，B、E、F、C四点共圆。
BC AE DC AF∆外接圆的直径；（Ⅰ）证明：CA是ABC==，求过B、E、F、C四点的圆的面积（Ⅱ）若DB BE EA∆外接圆面积的比值。
与ABC参考答案：1、【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠= ，DE =2、【解析】..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 3、解析（I ）由直线CD 与圆O 相切，得∠CEB=∠EAB 由AB 为圆O 的直径，得AE ⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=,又EF ⊥AB ，得∠FEB+∠EBF=,从而∠EAB=∠FEB ，故∠FEB=∠CEB （II ）由BC ⊥CE,EF ⊥AB, ∠FEB=∠CEB,BE 是公共边，得Rt ⊿BCE ≅ Rt ⊿AFE,得AD=AF,又在Rt ⊿AEB 中，EF ⊥AB,故,所以4、。
2013届高考数学一轮复习讲义：14[1].1_几何证明选讲.
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一轮复习讲义几何证明选讲相似三角形的判定及性质先证明△ABD FDA，利用BD AD过AD AF AC AF探究提高(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．如图，的延长线上一点，BE直角三角形射影定理及其应用先证△AFH∽△中利用射影定理．∠BAC＝90°，，BF＝GF·HF.探究提高(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．，圆周角、弦切角及圆的切线问题(1)∠BCF＝∠BCF＝∠ACD＋∠DAC ＝90°；(1)则由弦切角定理知，(2)探究提高(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧弦切角．ABC. ABC，与圆有关的比例线段(1)要证AD＝AE，而∠AED是△EPC 的外角，∠ADE的外角，因此可利用此两条件结合EPEC，应将等积式转化因此可将待证式转化为AD＝探究提高涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．ED.EDF＝∠C.答题规范(10分如图，已知△CE相交于(2)CE平分∠审题视角(1)要证四点共圆，的一组对角互补．所以要从角的关系入手．＝∠CEF，可从找批阅笔记(1)本题主要考查了四点共圆的充要条件及角平分线的性质应用．(2)学生易错原因是弄不清四点共圆的条件，或找不到∠EBD与∠EHD的互补关系，从而无从入手．(3)推理过程不严谨，书写格式不规范．要写清楚定理的条件，每步推理要体现出“因为……，所以……”的格式来．方法与技巧主页失误与防范。
2013版高考数学一轮复习精品学案：选修系列(第3部分：几何证明选讲)
2013版高考数学一轮复习精品学案：选修系列第三部分几何证明选讲【高考新动向】一、相似三角形的判定及有关性质1．考纲点击（1）了解平行线分线段成比例定理。
（2）会证明并应用直角三角形射影定理。
2．热点提示（1）利用平行线等分线段定理和平行级分线段成比例定理进行相关推理和计算。
（2）相似三角形的判定及有关性质，直角三角形的射影定理的应用。
二、直线与圆的位置关系1．考纲点击（1）会证明并应用圆周定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
（2）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
2．热点提示（1）应用圆心角、圆周角、弦切角定理说明角之间的关系。
（2）应用圆内接四边形的性质进行推理。
（3）利用圆的切线的性质和判定进行推理和证明。
（4）利用圆中的比例线段进行计算和推理。
【考纲全景透析】一、相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
（2）推论：①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2．平行线分线段成比例定理及推论（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
如图，若123////l l l ，则有：,,.AD AE AD AE DB ECAB AC DB EC AB AC=== 注：把推论中的题设和结论交换之后，命题仍然成立。
3．相似三角形的判定及性质 （1）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
（2）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如图，若EF//BC ，则⊿AEF ∽⊿ABC 。
高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
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确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
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几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
2013年高考数学总复习 12-1 几何证明选讲课件 新人教B版
②如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么 它们相似． 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那 么它们相似． 如果一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个 直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，那么这两 个三角形相似．
(3)性质 ①性质定理 1 相似三角形对应边上的高、 中线和它 们周长的比都等于相似比．
定理
在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交
于 O 点，其夹角为 α，l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点， l′为母线的圆锥面，任取平面 π，若它与轴 l 交角为 β(π 与 l 平行，记 β＝0)，则：
(1)β>α，平面 π 与圆锥面的交线为椭圆； (2)β＝α，平面 π 与圆锥面的交线为抛物线； (3)β<α，平面 π 与圆锥面的交线为双曲线．
(4)借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时 圆上定点的轨迹(平摆线)、 直线在圆上滚动时直线上定点 的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能 推导出它们的参数方程．
(5)通过阅读材料，了解其它摆线(变幅平摆线、变幅 渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆 线在实际中应用的实例(例如，最速降线是平摆线，椭圆 是特殊的内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿 轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星 形线与公共汽车门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的 作用．
4．弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
5．圆幂定理 (1)相交弦定理 线段长的积相等． (2)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切 圆的两条相交弦被交点分成的两条
线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中 项． (3)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点
2013年高考数学一轮复习 14.1 几何证明选讲精品教学案(教师版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案14.1 几何证明选讲（新课标人教版，教师版）【考纲解读】1．理解相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用2．理解圆的切线定理和性质定理的应用．3．理解相交弦定理，切割线定理的应用，圆内接四边形的判定与性质定理．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.几何证明选讲是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，又经常与其它知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持在选择题、填空题中考查,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰．(2)平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．(4)梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2．相似三角形(1)相似三角形的判定a．两角对应相等的两个三角形相似．b．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c．三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．(2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．3．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半．(3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．4．圆的切线(1)直线与圆的位置关系(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等．(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．6．圆中的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P (1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△PAC∽△PDB(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补．(2)圆内接四边形判定定理：①如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．【例题精析】考点一平行线截割定理与相似三角形例1.已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，点D是垂足．求证：BC2＝2CD·AC.即BC2＝2CD·AC.【名师点睛】本小题主要考查判定两个三角形相似，要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．【变式训练】1. (2011年惠州调研)如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，则BF ＝________.考点二圆周角、弦切角与圆内接四边形例2.(2011年辽宁三校联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.【名师点睛】 (1)四边形ABCD的对角线交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆．(2)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．以上两个命题的逆命题也成立．该组性质用于处理四边形与圆的关系问题时比较有效．【变式训练】2.(2010年高考新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.【易错专区】问题：综合应用例.（2012年高考江苏卷21）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ． 求证：E C ∠=∠． 【解析】证明：连接AD ，∵AB 是圆O 的直径，∴090ADB ∠=（直径所对的 圆周角是直角）【名师点睛】本小题主要考查了圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重． 【课时作业】1.(2012年高考北京卷理科5)如图. ∠ACB=90º，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( )A. CE ·CB=AD ·DBB. CE ·CB=AD ·ABC. AD ·AB=CD ²D.CE ·EB=CD ²2. (2012年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA=_______. 【答案】3【解析】连结OA,因为∠ABC=30°，所以∠AOC=60°， 因为AP 是圆O 的切线,所以OA ⊥AP,所以∠P=30°， 因为OA=1,所以OP=2,解得PA=3.3．(2011年高考广东卷文科15)（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为．4.（2011年高考陕西卷文科15)如图，,,B D AE BC ∠=∠⊥090,ACD ∠= 且6AB =，4AC =，12,AD =则AE =_______.5.（2011年高考辽宁卷文科22)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED。
高考数学一轮复习课件：几何证明选讲
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6.直线与圆的位置关系 圆 相如离果；圆与直线没有公共点，这种情况我们说直线与
如果圆心到一条直线的距离小于半径 ， 则这条直线 和该圆一定相交于两点，这时我们说直线与圆相交，这条 直线叫做 圆的割线 ；
如果一条直线与圆只有一个公共点，则这条直线叫 做这个圆的切线，公共点叫做切点.
7.圆切线的判定定理、性质及推论. 8.圆周角、圆周角定理及推论. 9.弦切角、弦切角定理及推论. 10.圆的切线、内接四边形、弦切角、比例线段.
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题型分析
考点一 计算问题 如图所示，圆O的直径AB=6，C 为圆周上一点，BC=3，过C作圆 的切线l，过A作l的垂线AD，AD 分别与直线l、圆交于点D,E，则 ∠DAC= ，线段AE的长为 .
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【分析】本题主要考查直线与圆的关系及平面几何基本 知识. 【解析】如图所示：∵OC⊥l,AD⊥l,∴AD∥OC. ∵BC=3, ∴△OBC为等边三角形，∠B=60°, ∴∠CAB=30°,∴∠ACO=30°, ∴∠DAC=30°.∴∠EAO=60°.连结OE， ∴∠OAE为等边三角形.∴AE=3.
线NB垂直于直线ON，且 交圆O于B点. 过B点的切 线交直线ON于K.证明：∠OKM=90°.
【分析】利用射影定理、圆的切线性质解题是关键.
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【证明】（1）因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.
又因为AP⊥OM，在Rt△OAM源自，由射影定理知，OA2=OM·OP.
（2）因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，
1.射影定理的内容及其证明； 2.圆周角与弦切角定理的内容及其证明； 3.圆幂定理的内容及其证明； 4.圆内接四边形的性质与判定； 5.平行投影的性质与圆锥曲线的统一定义.
2013年高考数学理科新课标版二轮复习专题突破课件7.1几何证明选讲
(2)因为 FG∥BC，故 GB＝CF. 由(1)可知 BD＝CF， 所以 GB＝BD. 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC， 故△BCD∽△GBD.
考点分类 考向一 相似三角形的判定与性质 【例 1】 如图 8，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°， 且 AB＝6，AC＝4，AD＝12，则 BE＝________.
图8
【分析】 (1)DC 的长度如何求解？(利用∠ACD＝90° 的条件，在直角三角形 ADC 中，DC2＝AD2－AC2)
(2)证明△ADC 与△ABE 相似，使用哪个定理？(如果两 个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．)
【解析】 因为△ACD 为直角三角形， 所以 DC＝ 122－42＝8 2， 易知△ADC∽△ABE， 所以DACD＝ABEB⇒8122＝B6E⇒BE＝4 2.
图 14
证明：连接 OD，因为 BD＝DC，O 为 AB 的中点，所 以 OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.
图 15
因为 OB＝OD，所以∠ODB＝∠B. 于是∠B＝∠C. 因为点 A，E，B，D 都在圆 O 上，且 D，E 为圆 O 上 位于 AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角， 故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
答案：5
3．(2012·广东)如图 3，圆 O 的半径为 1，A，B，C 是圆 周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P，则 PA＝________.
图3
解析：连接 OA，由圆周角定理得∠AOC＝60°，又由切 线的性质得 OA⊥PA，
在 Rt△POA 中，PA＝OA·tan∠AOC＝ 3.
(4)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长 是这点的割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)17：几何证明
2013高考试题解析分类汇编（理数）17：几何证明一、填空题1 ．（2013年高考重庆数学（理））如图,在ABC 中,090C ∠=,60,20A AB ∠==,过C 作ABC 的外接圆的切线CD ,BD CD ⊥,BD 与外接圆交于点E ,则DE 的长为__________5【命题立意】本题考查与圆有关的几何证明问题。
，延长BA交切线CD 于M.因为090C ∠=，所以AB 为直径，所以半径为10.连结OC ，则OC CD ⊥,且//OC BD ，因为060A ∠=，所以60AOC ∠=,60OBE ∠=,即10BE OB ==且30M ∠= .即220OM OC ==,所以10AM =.所以11020()1522BD AM AB +=+==，即15105DE BD BE =-=-=.2 ．（2013年高考天津数学（理）试题（含答案））如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为______.833 ．（2013年高考广东省数学（理）卷（纯WORD 版））(几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.依题意易知ABC CDE ∆∆ ,所以A B B CC D D E =,又BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =4 ．（2013年高考四川卷（理））设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小,则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”.例如,线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.则有下列命题: ①若,,A B C 三个点共线,C 在线AB 上,则C 是,,A B C 的中位点; ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区)①④ ①若三个点A 、B 、C 共线，C 在线段AB 上，根据两点之间线段最短，则C 是A ，B ，C 的中位点，正确；②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC ，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7， 所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；.AED CBO第15题图③若四个点A 、B 、C 、D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一；故错误；④如图，在梯形ABCD 中，对角线的交点O ，P 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD ≥AC+BD=OA+OB+OC+OD ，所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确． 故答案为：①④．5 ．（2013年高考陕西卷（理））B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD =2DA =2, 则PE =_____..6..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 6．（2013年高考湖南卷（理））如图2,的O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==,1PD =,则圆心O 到弦CD 的距离为____________.2本题考查与圆有关的几何证明。
2013届高考数学一轮复习几何证明选讲-1相似三角形的判定及有关性质课件理新人教A版
4.直角三角形相似的判定 定理1：如果两个直角三角形有一个锐锐角对应相等，那么 它们相似．
定理2：如果两个直角三角形的两条直直角角边对应成比例， 那么它们相似．
定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一 个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角 三角形相似．
5.相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角 平分线的比都等于相似比； (2)相似三角形周长的比等于相相似似比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的平平方方； (4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似 比，外接圆的面积比等于相似比的平平方方．
3．[2012·广东模拟]如图所示，给出下列
条件：
①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；
③CADC＝ABBC；④AC2＝AD×AB，
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C 解析：其中①利用有两角分别对应相等的三角形相 似；②利用有两角分别对应相等的三角形相似；④利用 有一角相等且此角的两边对应成比例的三角形相似．
创新演练·当堂冲关
1. [教材改编]在△ABC 中，AC＝6，BC＝4，BA＝9，
△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′最短边为 12，则
它的最长边的长度为( )
A．16
B．18
C．27
D．24
答案：C
解析：因为△ABC∽△A′B′C′，AC＝6，BC＝
4，BA＝9，所以△A′B′C′的最短边是B′C′，最长边是
第十二章 几何证明选讲
第1课时 相似三角形的判定及有关性质
考纲下载 复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明 直角三角形射影定理． 请注意！ 此部分多和圆的有关知识，结合考查．
2013高中数学高考真题分类：考点52-几何证明选讲
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考点 52 几何证明选讲一、填空题1. (2013 ·天津高考理科· T13) 如图 , △ABC 为圆的内接三角形 ,BD 为圆的弦 ,且 BD ∥ AC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延伸线交于点AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为.E,AD 与BC 交于点F. 若【解题指南】 利用圆以及平行线的性质计算 .【分析】 由于 AE 与圆相切于点 A, 因此 AE 2=EB ·(EB+BD), 即 62 =EB ·(EB+5), 因此 BE=4, 依据切线的性质有∠ BAE=∠ ACB,又由于 AB=AC,因此∠ ABC=∠ ACB, 因此∠ ABC=∠BAE,因此 AE ∥BC,由于 BD ∥AC,因此四边形 ACBE 为平行四边形 ,因此 AC=BE=4,BC=AE=6设. CF=x, 由 BD ∥ AC 得 AC CF , 即 4x , 解得 x= 8 ,BD BF 5 6 x3即 CF=8 .3【答案】8 .32. （ 2013·湖南高考理科·Ｔ11）如图，在半径为7 的⊙中 ,弦AB,CD 订交于点P, PAPB2,PD1，则圆心O 到弦 CD 的距离为.【解题指南】本题要利用订交弦定理:PA ·PB=PD ·PC 和解弦心三角形dr2(1CD )22【分析】 由订交弦定理 PA PB PDPC 得PC 4 ，因此弦长 CD 5，故圆心 O到弦 CD 的距离为 OC2(1CD )2 7 253.242【答案】 3 .23. （ 2013·陕西高考文科·Ｔ 15）如图 , AB 与 CD 订交于点 E ,过E 作BC的平行线与 AD 的延伸线订交于点 P . 已知AC , PD = 2 DA = 2,则 PE=.【解题指南】 先经过AC 及线线平行同位角相等，找出三角形相像 , 再由比率线段求得答案 .【分析】 由于 BC // PE 因此BCDPED .且ACPEDBAD.EPD∽APEPEPDPE 2PA PD3 26.因此 PE6.PAPE【答案】6 .4. (2013 ·北京高考理科· T11) 如图 ,AB 为圆 O 的直径 ,PA 为圆 O 的切线 ,PB 与圆 O 订交于 D. 若 PA=3,PD ∶DB=9∶16, 则 PD= ,AB= .。
2013年高考数学总复习 12-1几何证明选讲 新人教B版
12-1几何证明选讲基础巩固强化1.如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π [答案] B[解析]∠A ＝∠BCD ＝30°，由BCsin A＝2R ，得R ＝1，所以圆O 的面积为πR 2＝π.2．(文)如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BEEC ＝4，AE 交BD 于F ，BF FD等于( )A.45B.49C.59D.410 [答案] A[解析] 在AD 上取点G ，使AG GD ＝1:4，连接CG 交BD 于H ，则CG ∥AE ，∴BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DG GA ＝4，∴BF FD ＝45. [点评] 利用AD ∥BC 可证△BEF△DAF .⎭⎪⎬⎪⎫BC ∥AD ⇒∠EAD ＝∠AEB ∠ADF ＝∠FBE⇒△BFE △DFA ⇒BF FD ＝BE AD ＝BE BC ＝45. (理)如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，则BC 的长为( )A ．12cmB ．21cmC ．18cmD ．15cm [答案] B[解析]∵四边形DEFG 是正方形，∴∠GDB ＝∠FEC ＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm ，又∵∠B ＋∠C ＝90°，∠B ＋∠BGD ＝90°，∴∠C ＝∠BGD ，∴△BGD △FCE ，∴BD EF ＝GD EC ，即BD ＝EF ·GDEC＝12cm ， ∴BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21cm.3．(文)如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD :BD ＝3:2，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．56B.562C.15D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.(理)如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S 矩形＝40cm 2，S △ABE :S △DBA ＝1:5，则AE 的长为________．[答案] 4cm[解析]∵∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ，∴△ABE △DBA ，∴S △ABE S △DBA ＝AB2DB 2.∵S △ABE :S △DBA ＝1:5，∴AB 2:DB 2＝1:5， ∴AB :DB ＝1: 5.设AB ＝k ，则DB ＝5k ，AD ＝2k ，∵S 矩形＝40cm 2，∴k ·2k ＝40，∴k ＝25， ∴BD ＝5k ＝10，AD ＝45，S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，∴12×10×AE ＝20，∴AE ＝4cm. 4．(文)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.(理)已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析]∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△PAR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．5．(2012·某某二检)如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为( ) A.55B.255 C.355 D.32[答案] C [解析]延长BO 交圆O 于点F ，由D 为OB 的中点，知DF ＝3，DB ＝1，又∠AOB ＝90°，所以AD ＝5，由相交弦定理知AD ·DE ＝DF ·DB ，即5DE ＝3×1，解得DE ＝355.6．(文)(2012·某某质检)如图所示，△ABC 内接于圆O ，过点A 的切线交BC 的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于点M ，若BP ＝8，AM ＝4，AC ＝6，则PA ＝________.[答案] 4 2[解析] 由题意MC ＝AC －AM ＝6－4＝2.又D 为AB 的中点，∴AD ＝BD .过点C 作∥AB 交PD 于N ，∴AM MC ＝AD ＝BD ＝BP CP ，∴8PC ＝42，∴PC ＝4.∵PA 2＝PC ·PB ＝32，∴PA ＝4 2.(理)(2012·某某十二校联考)如图所示，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝2，BD ＝4，则EA ＝( ) A ．4 B.52C ．3 D.12[答案] B[解析] 解法1：根据题意可得BC 2＝CD 2＋BD 2＝22＋42＝20，即BC ＝2 5.由射影定理得BC 2＝AB ·BD ，即20＝4AB ，解得AB ＝5，所以AC ＝52－20＝5，设EA ＝x ，EC ＝y ，根据切割线定理可得x 2＝y (y ＋25)，即x 2＝y 2＋25y ，在Rt △ACE 中，x 2＝y 2＋(5)2，故25y ＝5，解得y ＝52，故x 2＝54＋5＝254，得x ＝52，即EA ＝52.解法2：连AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，CD ＝2，BD ＝4，∴AD ＝CD 2BD＝1，又EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB ＝90°， ∴△EAB△CDB ，∴EA CD ＝AB BD ，∴AE ＝AB ·CD BD ＝52. 7．(文)(2012·某某二检)如图，在⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，线段DE 的长为355，则⊙O 的半径为________．[答案] 2[解析] 延长BO 交⊙O 于点F ，设⊙O 的半径为r ，则AD ＝r 2＋r22＝52r ，又BD ＝12，DF ＝2r －12r ＝32r ， 由圆的相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DF ，即5r 2×355＝12r ×32r ，解得r ＝2. (理)(2011·某某调研)如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.[答案]377[解析]∵∠POD ＝120°，OD ＝OB ＝1，PO ＝2，∴PD ＝PO 2＋OD 2－2OD ·PO ·cos120°＝7， 由相交弦定理得，PE ·PD ＝PB ·PC ， ∴PE ＝PB ·PC PD ＝1×37＝377. 8．(文)如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，PA 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴PA ＝3，∴∠AOP ＝60°， 又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.(理)(2012·某某理，11)如右图，过点P 的直线与⊙O 相交于A 、B 两点．若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．[答案]6[解析] 设圆半径为r ，由切割线定理：PA ·PB ＝(3－r )·(3＋r )， 即1×3＝9－r 2，r 2＝6，∴r ＝ 6. 9.(2012·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.[答案]2[解析] 连接AC .因为∠ABC ＝90°，所以AC 为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.10．(2012·哈三中模拟)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，过⊙O 上一点H 作⊙O 的切线，BC 与这条线切线平行，AC 、AB 的延长线交这条切线于点E 、F ，连接AH 、CH .(1)求证：AH 平分∠EAF ；(2)若CH ＝4，∠CAB ＝60°，求圆弧BHC ︵的长． [解析] (1)证明：连接OH ，则OH ⊥EF .∵EF ∥BC ，∴OH ⊥BC ，∴H 为弧BC 的中点， ∴∠EAH ＝∠FAH ，∴AH 平分∠EAF .(2)连接CO 、BO ，∵∠CAB ＝60°，∴∠COB ＝120°， ∴∠COH ＝60°，∴△COH 为等边三角形， ∴CO ＝CH ＝4，又∵∠BOC ＝120°，∴BHC ︵的长为8π3.能力拓展提升11.(文)(2012·某某十二校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝__________.[答案] a2[解析] 连接DE ，可知△AED 为直角三角形，则EF 是Rt △DEA 斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为a2.(理)如图所示，已知圆O直径为6，AB是圆O的直径，C为圆O上一点，且BC＝2，过点B的圆O的切线交AC延长线于点D，则DA＝________.[答案] 3[解析]∵AB为直径，∴∠ACB为直角，∵BC＝2，AB＝6，∴AC＝2，∵DB与⊙O相切，∴∠DBA为直角，由射影定理BC2＝AC·CD，∴CD＝1，∴AD＝3.12．(文)如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4.则AB的长为________．[答案] 2 3[解析]∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，又∠C ＝∠D ，∴∠ABC ＝∠D ，又∠BAE ＝∠DAB ，∴△ABE △ADB ，∴AB 2＝AE ·AD ，∴AB ＝2 3. (理)已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝______，AD ＝________.[答案] 52，5[解析]∵AD 切⊙O 于D ，∴OD ⊥AC ，又BC ⊥AC ， ∴△ADO △ACB ，∴OD BC ＝AOAB，∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝10，设OD ＝R ，则AO ＝53R ，∴R ＋53R ＝10，∴R ＝154，AE ＝AB －2R ＝52，AD OD ＝AC BC ＝43，∴AD ＝5.13．(文)(2012·某某理，15)如下图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．[答案] 2[解析] 解法1：∵CD ⊥OD ，∴OC 2＝OD 2＋CD 2，当OD 最小时，CD 最大，而OE 最小(E 为AB 的中点)，∴CD max ＝EB ＝2.解法2：由题意知，CD 2＝AD ·DB ≤(AD ＋DB2)2＝AB 24＝4.(当且仅当AD ＝DB 时取等号)．∴CD max ＝2.(理)(2012·某某测试)如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC ＝2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD 、BD ，则AD BD的值为________．[答案]2[解析] 连接OD ，则OD ⊥CD .设圆O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝OD ＝r ，BC ＝2r .所以OC ＝3r ，CD ＝OC 2－OD 2＝22r .由弦切角定理得，∠CDB ＝∠CAD ，又∠DCB ＝∠ACD ，所以△CDB △CAD .所以AD BD ＝AC CD ＝4r22r＝ 2.14．(文)(2012·某某，13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．[答案] 43[解析] 如图，由相交弦定理得AF ·FB ＝EF ·FC ，∴FC ＝AF ·FBEF＝2， ∵FC ∥BD ，∴FC BD ＝AF AB ，BD ＝FC ·AB AF ＝83.又由切割线定理知BD 2＝DC ·DA ， 又由DA ＝4CD 知4DC 2＝BD 2＝649，∴DC ＝43. 明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键．(理)(2012·某某调研)如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA ＝2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD ＝________.[答案]355[解析] 延长CO 交圆于点E ，依题意得，BC ＝OB 2＋OC 2＝5，BC ·CD ＝CA ·CE ，5×CD ＝1×3，因此CD ＝355.15．(文)(2012·某某一中二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是AC ︵的中点，BD 交AC 于E .(1)求证：DC 2＝DE ·DB ；(2)若CD ＝23，O 到AC 的距离为1，求⊙O 的半径r . [解析] (1)证明：由D 为AC →中点知，∠ABD ＝∠CBD ，又∵∠ABD ＝∠ECD ，∴∠CBD ＝∠ECD ， 又∠CDB ＝∠EDC ，∴△BCD ～△CED ，∴DE DC ＝DC DB， ∴DC 2＝DE ·DB ；(2)∵D 是AC ︵的中点，∴OD ⊥AC ， 设OD 与AC 交于点F ，则OF ＝1，在Rt △COF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，即CF 2＝r 2－1， 在Rt △CFD 中，DC 2＝CF 2＋DF 2，∴(23)2＝r 2－1＋(r －1)2，解得r ＝3.(理)(2012·某某一中测试)如图，已知A 、B 、C 、D 四点共圆，延长AD 和BC 相交于点E ，AB ＝AC .(1)证明：AB 2＝AD ·AE ；(2)若EG 平分∠AEB ，且与AB 、CD 分别相交于点G 、F ，证明：∠CFG ＝∠BGF . [证明] (1)如图，连接BD .因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADB . 又因为∠BAD ＝∠EAB ，所以△ABD △AEB ， 所以AB AD ＝AE AB，即AB 2＝AD ·AE .(2)因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ABC ＝∠EDF . 又因为∠DEF ＝∠BEG ，所以∠DFE ＝∠BGF . 又因为∠DFE ＝∠CFG ，所以∠CFG ＝∠BGF .16．(2012·某某某某模拟)如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E .(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若EB＝6，EC＝62，求BC的长．[解析](1)∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上，连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD，又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC，∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA.又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6.∵∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB△EAC，∴BCAC＝ECEA＝22，∴AC＝2BC.∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2 3.1.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635C.656D.636[答案] C[解析] 过点A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE Rt △DAH .∴BE AB ＝AH AD .∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5， ∴BE ＝122＋52＝13，∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656. 2．(2011·某某市测试)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________．[答案]237[解析]如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴PA PB ＝AD BC ＝25，∴PA AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴PA AE ＝149，∴PA PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝PA PE ＝1423，又AD ＝2，∴EF ＝237. [点评]过D 作DH ∥AB 交EF 于G ，交BC 于H ，由平行截割定理知，DG GH ＝AE EB ＝34，∴DG DH ＝37，由GF ∥HC 可得，GF HC ＝DG DH ＝37， ∵GF ＝EF －2，HC ＝5－2＝3，∴EF ＝237.3．(2011·某某市模拟)函数f (x )＝(x －2010)(x ＋2011)的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是________．[答案] (0,1)[解析]f (x )的图象与x 轴交于点A (－2011,0)，B (2010,0)，与y 轴交于点C (0，－2010×2011)，设经过A 、B 、C 三点的圆与y 轴另一个交点为D (0，y 0)，易知原点O 在圆的内部，y 0>0，由相交弦定理知，|OA |·|OB |＝|OC |·|OD |，∴2011×2010＝2010×2011y 0，∴y 0＝1.4.(2011·某某某某测试)如图，正△ABC 的边长为2，点M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，直线MN 与△ABC 的外接圆的交点为P 、Q ，则线段PM ＝________.[答案]5－12[解析] 设PM ＝x ，则QN ＝x ，由相交弦定理可得PM ·MQ ＝BM ·MA 即x ·(x ＋1)＝1，解得x ＝5－12. 5．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .6．(2011·某某区统考)如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，直线CD 交AB 于点E .若AB ＝3，ED ＝2，则CB 的长为________．[答案] 3[解析] 由切割线定理得，ED 2＝EA ·EB ， ∴4＝EA (EA ＋3)，∴EA ＝1，∵CB 是⊙O 的切线，∴EB ⊥CB ， ∴EB 2＋CB 2＝CE 2，又∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ＝CB ， ∴42＋CB 2＝(CB ＋2)2，∴CB ＝3.7．(2011·某某文，13)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF :FB :BE ＝4:2:1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．[答案]72[解析] 由题意：⎩⎪⎨⎪⎧AF ·FB ＝DF ·FC ＝2，AFFB＝2.∴AF ＝2，FB ＝1，∴BE ＝12，AE ＝AF ＋BF ＋BE ＝72.由切割线定理得：CE 2＝BE ·AE ＝12×72＝74.∴CE ＝72. 8．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠PAC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CPA ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°. 设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中，r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33. 9．如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析]连接OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形， ∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.10．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．[解析] (1)∵AD 为∠BAC 的角平分线 ∴∠BAE ＝∠CAD又∵∠AEB 与∠ACB 为AB 所对的圆周角∴∠AEB ＝∠ACD ，∴△ABE △ADC . (2)由(1)可知△ABE △ADC ，故AB AE ＝ADAC， 即AB ·AC ＝AD ·AE ①又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE∴12AB ·AC sin ∠BAC ＝12AD ·AE ② 由①②式得 sin ∠BAC ＝1∵∠BAC 为三角形内角，∴∠BAC ＝90°11．(2011·新课标全国文，22)如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD 、AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径． [解析](1)连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ， 即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE △ACB .因此∠ADE ＝∠ACB . 所以C 、B 、D 、E 四点共圆。
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专题七第1讲几何证明选讲
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2012·北京)如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则
A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2
解析在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
所以CD2＝AD·DB，
由切割线定理得CD2＝CE·CB，
所以CE·CB＝AD·DB.
答案 A
2．从球外一点引球的切线，则
A．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个大圆
B．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个小圆
C．只可以引两条切线，两切点的连线过球心
D．只可以引两条切线，两切点的连线不过球心
解析从球外一点可以引球的无数条切线，所有切点组成球的一个小圆．答案 B
3．如图所示，⊙O 的割线P AB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，已知P A ＝6，AB ＝71
3，PO ＝12，则⊙O 的半径为
A ．8
B ．2 2
C ．6
D. 6
解析 设圆的半径为r ，根据割线定理， 得P A ·PB ＝PC ·PD ，
即6×⎝ ⎛
⎭⎪⎫6＋713＝(12－r )(12＋r )，解得r ＝8.
答案 A
4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点
D ，若AD ＝32，CD ＝18，则AB 的长为
A ．1 600
B ．40
C ．4 6
D ．96
解析 连接BD ，则BD ⊥AC ，由射影定理， 知AB 2＝AD ×AC ＝32×50＝1 600，故AB ＝40. 答案 B
5．如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点．已知P A
＝2，点P 到⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为
A.169 B ．8 C ．6
D ．16
解析 由圆的几何性质知PT 2＝P A ·PB ， ∴PB ＝8，又P A ＝2，∴AB ＝6. 答案 C
6．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC 、BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD
DA 等于
A ．4
B ．6
C ．9
D.169
解析 连接CD .
∵AC 为⊙O 的直径，∴CD ⊥AD . ∵△ABC 为直角三角形．
∴AC 2＝AD ·AB ，BC 2
＝BD ·AB ，∴BD AD ＝BC 2AC 2＝42
32＝169.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2012·东莞高级中学二模)如图所示，AB 是半径等于3的⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点P ，若P A ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝________.
解析 连接AC ，DO ，OC ，由圆内接四边形的对角互补可得△P AC ∽△PDB ， ∴P A
PD ＝PC PB . ∴PD ＝8，CD ＝3.
又OC ＝OD ＝3，∴△OCD 为等边三角形． ∴∠COD ＝60°，∴∠CBD ＝1
2∠COD ＝30°. 答案 30°
8．(2012·汕头高三模拟)如图所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与AC 交于点D ，与圆交于点E ，连接AE ，已知ED ＝3，BD ＝6，则线段AE ＝________.
解析∵∠CBE＝∠CAE，BD为角平分线，∠AED＝∠AEB，∴△ADE∽△BAE.
∴AE
BE＝
DE
AE.∴AE
2＝DE·BE＝3×9.∴AE＝3 3.
答案3 3
9．(2012·广东)如图所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则P A＝________.
解析解法一连接OA得∠AOP＝60°，所以OP＝2，PC＝1，
所以P A2＝PC×(PC＋2)＝1×3，所以P A＝ 3.
解法二延长PO交圆于点D，连接AD、OA，
则∠D＝∠B＝30°，因为OA＝OD，
所以∠DAO＝∠D＝30°，
又因为OA⊥P A，所以∠P＝180°－90°－30°－30°＝30°，
所以P A＝AD，在△AOD中，由余弦定理得，
AD＝12＋12－2×1×1×cos 120°＝3，
故P A＝ 3.
答案 3
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．(2012·南通第一次调研)锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧 AB于点E，连接EC，求∠OEC.
解析连接OC.∵∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝80°.
∵OE⊥AB，∴E为 AB的中点，
∴ BE和 BC所对的圆心角均为80°.
∴∠EOC＝80°＋80°＝160°，∴∠OEC＝10°.
11．(2012·大荔城郊中学二模)如图，△ABC内接于圆O，AB＝
AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E.
(1)求证：AE＝AD；
(2)若AB＝6，BC＝4，求AE.
解析(1)证明∵BD∥MN，∴∠AED＝∠ACN.
又MN为圆的切线，∴∠ACN＝∠ABC.
则∠AED＝∠ABC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ACB＝∠AED。
∵∠ADB＝∠ACB，∴∠AED＝∠ADB，
∴AE＝AD.
(2)∵∠ACD＝∠ABD，∠CAD＝∠CAB且AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD.
∴BE＝CD＝BC＝4.
设AE＝x，易证△ABE∽△DCE，DE＝2
3x，
又AE·EC＝BE·ED，∴x＝10 3.
12．(2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：
(1)AC·BD＝AD·AB；
(2)AC＝AE.
证明(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.
从而AC
AD＝
AB
BD，
即AC·BD＝AD·AB.
(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD. 又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.
从而AE
AB＝
AD
BD，即AE·BD＝AD·AB.
结合(1)的结论知，AC＝AE.。