第21周 抓不变量解题
小学六年级数学专题《抓“不变量”试题》
抓“不变量”解决实际问题
1、有甲乙两筐水果，甲占总数的55%，若从甲筐中拿出
7.5千克放入乙筐，这时乙筐是总数的3/5,两筐共重多少千
克？
2、一本书读了3天后，已读的页数是未读页数的3/4，再
读36页，已读的是未读的4/5，这本书共有多少页？
3、学校买来彩色粉笔是白色粉笔的1/5，后来检查发现错
误的把2盒彩色粉笔当成白色粉笔，实际彩色粉笔是白色粉笔的1/4，学校共买来多少盒粉笔？
4、甲、乙二人共有科技书若干本，其中甲占总数的60%，若甲给乙14本，则甲剩下的书占总数的25%，甲、乙两人共有科技书多少本？
5、甲、乙两水泥堆，原来甲堆水泥是乙堆的5/7，若从乙堆中调出6袋给甲堆，甲堆水泥是乙堆的4/5，原来一共有多水泥多少吨？
6、甲、乙两个仓库，甲仓库存水泥是总数的56%，如果从甲仓库调6吨水泥到乙仓库，这时两仓库水泥重量相等，两仓库共有水泥多少？。
小学数学 六年级奥数举一反三 教师教案 全20-40周
第23周 周期工程问题 疯狂操练二
【例题2】
【思路导航】
【练习2】
第23周 周期工程问题 疯狂操练三
【例题3】 一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做， 恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做， 做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工 作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？
【例题 1 】修一条路，甲队每天修 8小时， 5天完成；乙队每 天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可 以完成？ 【思路导航】
【练习1】
1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5 天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？
2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2 人和乙组7人合作，多少天可以完成？
【例题4】甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事
停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件， 需要多少天才能完成？
【思路导航】
【练习4】 1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲因输请假5天， 因此共用15天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完 成？
第25周 最大最小问题 疯狂操练四
【例题 4 】三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数 的积之差是114。这三个数中最小的是多少？ 【思路导航】 因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝ 114，即：（最 大数－最小数）×中间数＝114 而三个连续自然数中，最大数－最小数＝ 2 ，因此，中间数 是114÷2＝57，最小数是57－1＝56
例题1思路导航同步教材免费视频练习1第21周抓不变量解题疯狂操练二例题2思路导航第21周抓不变量解题疯狂操练二练习2第21周抓不变量解题疯狂操练三例题3思路导航练习3第21周抓不变量解题疯狂操练四例题4思路导航练习4第21周抓不变量解题疯狂操练五例题5思路导航练习5六年级数学举一反三有些工程题中工作效率工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路如综合转化整体思考等方法来解题
抓“不变量”解题
例6、现有浓度为20%的食盐水80克。把这些食盐水变为浓度为75％的食盐水，需要再加食盐多少克?
举一反三（易错点、方法、技巧、知识串联）
培优题
课 堂 札 记
1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。问又转入多少名女生？
例题精讲
基础题
课 堂 札 记
考点一：总量不变
题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。
例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?
例2、小丽有故事书108本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的3倍。问小芳借了多少本故事书给小丽？
例3、有一个书架，上层与下层书的数量比是2：3，现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比是3：扫除的人数是未参加的 ,后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的 ，问某班五年级有学生多少人?
9、在阅览室里,女生占全室人数的 ，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的 ，阅览室原有多少人?
10、现有浓度为20%的食糖水160克,把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克？
11、乙队原有人数是甲队的 。现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的 .甲乙两队原来各有多少人？
课堂小结
4、甲、乙两个书架放图书册数的比是7︰5，从甲书架上拿78册到乙书架，甲、乙书架上的图书册数的比变为3︰4。甲书架原有图书多少册？
抓不变量解题
抓住不变量，份数巧解题江苏省江阴市：蒋仪有些分数或比的应用题，在进行解答时，如果能抓住不变的量，运用份数解题，能解得更巧妙。
例1、一只袋子里原有红球与白球的数量比是19∶13，如果放进若干只红球后，红球与白球的数量比是5∶3；如果再放进若干只白球后，红球与白球的数量比是13∶11。
已知放入的红球比白球少80只，问原先袋子里有红球和白球各多少只？分析与解答：因为袋子里原有红球与白球的数量比是19∶13，19∶13＝57∶39；当放入若干只红球后，这时红球与白球的数量比是5∶3，5∶3＝65∶39。
即可得，当白球未曾发生变化，放进若干只红球后，红球比原来增加了：65－57＝8份。
当再次放进若干只白球后，红球没有发生变化，而这时红球与白球的数量比是13∶11，13∶11＝65∶55。
这时红球没有变化，仍为65份，而白球却比原来多了：55－39＝16份。
因为当放进若干只红球后，红球比原来多了8份，再放进若干只白球后，白球比原来多了16份，可知放进的红球比白球少放进了：16－8＝8份，红球比白球正好少放了80只，因此可知，每份球的只数为：80÷8＝10（只）。
因此可求得原来红球的只数为：10×57＝570（只）。
白球的只数为：10×39＝390（只）。
例2、某种浓度的盐水中，加入若干水后，得到的盐水浓度为20%；如果在新盐水中再加入与前面相等重量的盐后，盐水的浓度为1/3，求原来盐水的浓度是多少？分析与解答：因为某种浓度的盐水中，加入若干水后，得到的盐水浓度为20%，20%＝1/5，即可得，加入若干水后得到的新盐水中，盐为1份，水为：5－1＝4份，当再在新的盐水中加入与前面相等重量的盐后，盐水的浓度为1/3，1/3 ＝2/6 ，这时盐为2份，水仍为：6－2＝4份，比原来多了1份盐，因此可得，原来盐水为盐的重量为1份，在原来的盐水中加入的水的重量也为1份，因此可知，原来的盐水中。
抓不变量解答分数应用题复习过程
抓不变量解答分数应用题一、抓住和不变1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人? 练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。
如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户?2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱?3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?二、抓住部分不变1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。
又买来多少本科技书？练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克?2、现有质量分数为20％的食盐水80克。
把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克?练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块?2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？三、抓住差不变王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？综合练习：1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。
那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个?2、现有浓度为20％的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克?3、乙队原有人数是甲队的3/7。
抓不变量解题
第1讲 抓“不变量”解题 专题解析一些分数的分子和分母发生了加减变化，解答时要分析哪些量变了，哪些量不变。
抓住分子或分母，或分子分母的差，或分子分母的和等不变量进行分析后，再转化并解答。
典型例题例1、将6143的分子与分母同时加上某数后得97，求所加的这个数。
例2、将一个分数的分母减去2得54。
如果将它的分母加上1，则得32，求这个分数。
例3、将一个分数的分母加3得97，分母加5得43。
求这个分数。
例4、一个分数，如果分子加1，这个分数等于21。
如果分母加1，这个分数等于31。
求这个分数。
解决问题1、193的分子、分母加上同一个数并约分的75。
那么加上的数是多少？2、将7958的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是32。
那么减去的数是多少？3、将一个分数的分母加上5得73，分母加上4得94。
原来的分数是多少？4、将一个分数的分母减去9得85，分母减去6得74。
原来的分数是多少？5、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于97。
如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于53。
求这个分数。
6、将一个分数的分母减去3，约分后得76。
若将它的分母减去5，则得87。
原来的分数是多少？（用两种方法求解）7、把一个分数的分母减去2，约分后等于43。
如果给原分数的分母加上9，约分后等于75。
求原分数。
8、一个分数，如果分子加3，这个分数等于21。
如果分母加1，这个分数等于31。
求这个分数。
9、一个分数，如果分子加5，这个分数等于21。
如果分母减3，这个分数等于31。
求这个分数。
10、一个分数，如果分子减1，这个分数等于21。
如果分母加11，这个分数等于31。
求这个分数。
抓不变量的题
5.对某种水果进行分析，发现100千克的水果含水 ，再过几天又对这些水果进行分析，发现这些水果含水 。这时果个数是甲筐的 ，从甲筐取出17个放到乙筐，这时甲筐比乙筐多2个，甲筐原有多少个苹果？
2.光明小学六年级有学生360人，其中女生占 ，后来又转来了几名女生，这样女生就占六年级的 ，转来的女生有多少？
3.甲乙两校原有图书的本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲乙两校图书数的比就是3：4，原来甲校有多少本图书？
4.修路队修一段铁路，修了一天后，已修的和末修的比是1：4，第二天修320米，这时已修和未修的比是5：4，这段路长多少米？
1.有200克含盐 的盐水，要把它稀释为含盐 的盐水，应加水多少克？
2.有200克含盐 的盐水，要把它变为含盐 的盐水，要加盐多少克？
3.有200克含盐 的盐水，要把它变为含盐 的盐水，要蒸发多少克水？
抓不变量解题
抓不变量解题有些数学应用题因为数量关系较为复杂，在进行求解时会有一定的难度，这时可抓住诸多量中一个不变的量进行分析与解答。
例1、某工程，由甲先做了12天，再由甲、乙两人合做，完成任务时，甲做了这项工程的5/8 ，甲每天的工作量是乙的 2/3 ，如果这项工程由甲单独做，几天完工？分析与解答：从题中条件可知，这项工程在由甲先做了12天后，剩下的工程是由甲、乙两人合做，才完成剩下的工程，甲、乙两人做的时间是相等的，这是一个不变的量。
另外由题意知道，甲每天的工作量是乙的2/3 ，因为这项工程，甲做了其中的5/8 ，乙则做了其中的：1－5/8 ＝3/8 ，在乙完成这项工程的3/8 这段时间里，甲只能完成这项工程的：3/8 2/3 ＝1/4 ，即可得，在甲先做的12天的这段时间里，完成了工程的：5/8－1/4 ，因此可得，甲单独完成这项工程用的时间是：12 （5/8 －1/4 ）= 32（天）。
例2、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。
出发时，甲、乙两车的速度比是4∶3。
相遇后，两车继续前进，乙车每小时比原来多行35千米。
结果两车同时到达目的地，求甲车每小时行多少千米？分析与解答：甲、乙两车同时出发，相向而行。
出发时，甲、乙两车的速度比是4∶3，到相遇时用的时间相等，因此可得，这时两车行的路程比也是4∶3，两车相遇后，两车到达目的地的行程比则变为3∶4，如设乙车的速度为“1”，则甲车的速度为4/3，设乙车原来的速度为X，乙车现在的速度则为：X+35，甲车的速度则为4/3X，因为两车在相遇后，又继续前进，并且两车同时到达目的地，这时两车行的时间又是相等的，时间一定，路程和速度成正比例，因此可得：4∶（X+35）=3∶4/3X，解得，X=45，即乙车原来的速度为每小时行45千米，甲车的速度则为：45 4/3 = 60（千米）。
例3、把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个小正方体，然后拼成一个大正方体，求这个大正方体的表面积。
六年级奥数举一反三专题 第21周 抓不变量解题
第二十一周 抓“不变量”解题专题简析：一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
例1．将4361 的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。
”分母：（61-43）÷（1－79 ）＝81分子：81×79 ＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：4361 的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将79 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
① 79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381③ 所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
练习1：1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少?2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得35 ，那么同加的这个数是多少?3、319 的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少? 4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少?例2：将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23 ，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45 ”可知，分母比分子的54 倍还多2。
由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
小学奥数训练第21周抓“不变量”解题
第21周抓“不变量”解题专题简析一些分数的分子与分母发生了加减变化，解答时，关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等不变量进行分析后，再转化并解答。
王牌例题1将43/61的分子与分母同时加上某数后得7/9.求所加的这个数。
【思路导航】解法一:因为分数的分子与分母加上了同一个数，所以分数的分母与分子的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一个简单的分数问题:“一个分数的分子比分母少18，且分子是分母的7/9，由此可求出新分数的分子和分母。
”分母：分子:81×7/9 = 6381—61 = 20 或 63 — 43 = 20解法二:43/61的分母比分子多18，7/9的分母比分子多2。
因为分数的分母与分子差不变，所以将7/9的分子、分母同时扩大到原来的 18÷2=9(倍)。
①7/9的分子、分母应扩大到原来的:(61—43) ÷ (9—7)=9(倍）②约分后所得的7/9在约分前是③所加的数是:81 —61=20答:所加的这个数是20。
举一反三11. 分数97/181的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是2/5。
求减去的这个数。
2. 分数1/13的分子、分母同加上一个数后得3/5。
求同加的这个数。
3. 3/19的分子、分母加上同一个数并约分得5/7.求加上的这个数。
4. 将58/79这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是2/3。
求减去的这个数。
王牌例题2将一个分数的分母减去2得4/5。
如果将它的分母加上1，则得2/3。
求这个分数。
【思路导航】解法一:因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得4/5可知，分母比分子的5/4倍还多2。
由“分母加1得2/3”可知,分母比分子的3/2倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子:分母:解法二:两个新分数在未约分时，分子相同。
①将两个分数化成分子相同的分数,且使分母相差3。
六年级数学上册“抓不变量”巧解题（2）
六年级数学上册“抓不变量”巧解题（2）
二、相差量不变。
这类应用题的特点是：题中的两个量同时增加，或者同时减少，但是这两个量的差始终保持不变。
根据这个不变的差量，就可以解决问题了。
例题1：有甲乙两个粮仓，原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数比是3：5，从两个仓库都运走后50吨的粮食后，甲仓库的存粮是乙仓库存粮的5/9。
问原来甲乙两个粮仓各存粮多少吨？
思路：根据题意，甲乙两个粮仓的存粮的吨数都发生了变化，而且它们的总存粮的吨数也发生了变化，但是我们可以发现，由于两个粮仓的存粮数都减少了50吨，所以现在两个粮仓存粮的吨数差不变。
我们可以把吨数差作为单位“1”。
“原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数比是3：5”，可知甲仓库存粮的吨数占吨数差的3÷(5-3)=3/2，都运走50吨后，甲仓库存粮的吨数占吨数差的5÷(9-5)= 5/4。
由此可以求出甲乙两个粮仓存粮的吨数差是50÷（3/2-5/4）=200（吨），甲仓库存粮的吨数是200×3/2=300（吨），乙仓库存粮的吨数是300+200=500（吨）。
小升初数学要抓不变量解题
小升初数学要抓不变量解题知识导航:在小学数学应用题中犹以分数应用题为学生的一大难点。
其中一类分数应用题以其特有的结构和数理关系使多数学生难以入手。
为此，经过多年的实践和摸索，我总结了一套行之有效的方法，让教者易教，学者易学。
那就是找准题目中的不变量，以不变量为突破口，根据数量间的数理关系解决问题。
抓不变量问题主要分以下三种情况。
一.抓住“和不变”在许多应用题中，看似很复杂，只要抓住某一个量是不变的，问题就好解决了。
和不变，也就是总量不变，就以不变量为单位“1”，再用“量”“率”对应解题，就很简单了。
例如：第一桶柴油的重量是第二桶的6 倍，从第一桶取出12 千克柴油加入第二桶，这时第一桶柴油的重量是第二桶的4 倍，原来第一桶有柴油多少千克？分析：两桶柴油的重量总是不变的，又未知，要看作单位“1”的量。
则“取前”第二桶占两桶总量的1÷（1 6）=1/7，“取后”第二桶占两桶总量的1÷（1 4）=1/5，第一桶取前取后差12千克，占两桶总量的1/5-1/7＝2/35，故两桶总量为：12÷2/35=210（千克）。
原来第一桶：210×6/7=180（千克）二. 抓住“差不变”有些应用题中，原来两个量的总量不同，它们用去同样多后，所剩下的总量还是不同的，但是，原来总量的差等于现在两个量的差，它们的差是不变的。
例如：新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生48 人，六年二班有学生56 人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多2/11，两个班各转出多少人？分析：两个班的人数都发生了变化。
谁不变呢？惟有转出人数相同是不变的量，所以转出前后两班人数差是不变的，又未知，必须要先求出来。
即两班人数差为：56－48＝８（人），对应转出后六年二班人数还比六年一班人数多2/11。
因此转出后一班人数为：８÷2/1144（人），转出人数是：48－44＝４（人）。
抓住不变量,解分数应用题的方法
抓住不变量解分数应用题的方法例1、甲乙两个班，甲班的人数是乙班的54，现在从甲班调2位男生到乙班，这时甲班的人数是乙班的43。
甲班原有多少人？分析与解答：解决这道题的关键就是抓住两班的总人数不变，由于甲班的人数是乙班的54，则甲班人数是两班总人数的454+=94，同理从甲班调2位男生到乙班，这时甲班的人数是两班总人数的433+=73，这时乙班男生人数比甲班男生人数多了总数的73-94=631，则总人数的631就是从甲班调2位男生到乙班的人数所对应的分率，那么两班的总人数就是2÷631=126（人），再由甲班的人数是乙班的54可知，甲班人数占总人数的94，因此甲班有126×94=56（人）。
例2、六（1）班男生是女生的54，后来又招来2名女生，现在男生是女生的43。
六（1）原来有多少人？分析与解答：解决这道题的关键是抓住招聘前后的男生人数不变，由于招聘前男生是女生的54，则女生人数是男生人数的45，后来又招来2名女生后女生人数是男生人数的34，这时女生人数就比男生人数多了34-45=121，那么男生人数有2÷121=24（人），由男生是女生的54可知，男生人数是全班人数的454+=94，所以六（1）原来有24÷94=54（人）。
例3、六年级男生占全年级人数的52，现在男生和女生各增加100人，这时男生人数占全年级人数的125。
现在六年级男生、女生各有多少人？分析与解答：解决这道题的关键是抓住男女生人数差不变，增加前，男女人数差占全年级的523-=51=102(差相同)，增加后，男女人数差占全年级的1257-=122，因为男生和女生各增加100人，那么总人数就增加了100×2=200（人），由上面分析可知，总人数增加200人以后，总人数增加了12-10=2（份），说明每份就是200÷2=100（人），又因为男生和女生各增加100人后男生人数占全年级人数的125，说明现在男生人数占5份，女生人数占12-5=7份，所以现在男生人数有100×5=500（人），女生有100×7=700（人）。
五年级抓不变量解答角度应用题
五年级抓不变量解答角度应用题题目：请根据下面的题目，在解答中运用抓不变量的角度进行分析和解答。
1. 题目描述：在一个棋盘上，有一个正方形格子的区域。
格子的边长为a，请问这个正方形区域的周长和面积分别是多少？解答角度：我们可以将棋盘上的正方形区域分割成更小的正方形格子，计算周长和面积时可以利用这些小格子的特性。
解答：- 正方形区域的周长等于四条边的长度之和，即4 * a。
- 正方形区域的面积等于边长的平方，即a * a。
因此，这个正方形区域的周长为4a，面积为a^2。
2. 题目描述：A和B两个人同一时刻同时出发，从同一地点分别沿着直线向着不同的方向行走，A的速度是每分钟3米，B的速度是每分钟4米。
请问，当A走了8分钟时，A和B之间的距离是多少？解答角度：我们可以用时间和速度的关系，以及相对速度的概念来解答这个问题。
解答：- A每分钟走3米，所以在8分钟内，A总共走了8 * 3 = 24米。
- B每分钟走4米，所以在8分钟内，B总共走了8 * 4 = 32米。
- A和B之间的距离等于B走过的距离减去A走过的距离，即32 - 24 = 8米。
所以，当A走了8分钟时，A和B之间的距离为8米。
3. 题目描述：小明拿着300元去买书，他买了一本数学书，价钱是原价的1/6，然后他买了一本英语书，价钱是剩下的钱的1/4，最后他还买了一本科学书，价钱是剩下的钱的1/3。
请问小明买了这三本书一共花了多少钱？解答角度：我们可以利用抓不变量的角度来解答这个问题，通过一步步计算找到不变量。
解答：- 假设原价为x元。
- 小明用了1/6的原价买了数学书，所以数学书的价钱是x/6元。
剩下的钱是300 - x/6元。
- 小明用了1/4的剩下的钱买了英语书，所以英语书的价钱是(300 - x/6) * 1/4元。
剩下的钱是300 - (300 - x/6) * 1/4元。
- 小明用了1/3的剩下的钱买了科学书，所以科学书的价钱是(300 - (300 - x/6) * 1/4) * 1/3元。
高中抓不变量解答容量应用题
高中抓不变量解答容量应用题1. 题目描述题目中给出了一个的尺寸和容量，并提出了一系列关于的操作。
要求我们根据这些操作找出的最终容量。
本文将针对这些题目进行解答。
2. 解答步骤a. 首先，我们需要理解题目中给出的的尺寸和容量的含义。
的尺寸指的是的长度、宽度和高度，而容量指的是能够容纳的物体的体积。
b. 接下来，我们需要根据题目中的操作依次进行计算，并更新的容量。
常见的操作包括添加物体、移除物体和改变尺寸等。
c. 在进行计算时，我们需要根据的形状和物体的形状来计算容量。
例如，对于一个长方体和一个长方体物体，的容量可以通过的长度、宽度和高度相乘来计算。
d. 最后，根据题目的要求，我们可以得到的最终容量。
3. 例题解答a. 题目：一个长方体的初始尺寸为10x5x3，容量为150。
在中放入一个长方体物体，长宽高分别为4x2x1。
求的最终容量。
解答：根据和物体的形状，的最终容量可以通过计算的初始容量加上物体的体积得到。
的初始容量为150，物体的体积为4x2x1=8，所以的最终容量为150 + 8 = 158。
b. 题目：一个圆柱形的初始尺寸为半径为3，高度为8，容量为226.08。
在中放入一个球体物体，半径为2。
求的最终容量。
解答：根据和物体的形状，的最终容量可以通过计算的初始容量加上物体的体积得到。
的初始容量为226.08，物体的体积可以通过公式πr^3/3来计算，即π(2^3)/3 = 33.51。
所以的最终容量为226.08 + 33.51 = 259.59。
4. 总结高中抓不变量解答容量应用题需要我们根据和物体的形状计算的最终容量。
在解答过程中，我们需要理解尺寸和容量的概念，并根据题目中的操作进行计算。
通过练和实践，我们可以更加熟练地解答这类题目。
以上是关于高中抓不变量解答容量应用题的文档内容。
六年级数学抓住不变量解应用题
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抓住不变量解应用题（一）
1、某学校有男教师48人，占全校教师人数的4/5，调入几名女教师后，女教师占全校教师人数的1/4，调入女教师多少人？
2、学校阅览室有36名学生看书，其中女生占9
4，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的19
9。
问：后来又有几名女生来看书？
3、现有含糖1/10的糖水50千克，要将它的含糖率提高到1/5，需要加糖多少千克？
4、某校原有科技书和文艺书共630本，其中科技书占1/5，后来又买进一些科技书，这时科技书占总数的3/10，求又进进科技书多少本？
抓住不变量解应用题（二）
1、育英小学原来男、女生人数的比是7：5，后来又转来12名女同学，这时男、女生人数的比是9：7.学校现有女生多少人?
2、某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走21个男工，那么女工人数是男工人数的2倍。
这个车间的女工有多少人？
3、甲、乙两种电话的价格之比是7：3，如果他们的价格分别上涨70元后，价格之比
是7：4。
这两种商品原来的价格各是多少元？
4、盒里装着各色圆珠笔，其中红色占4
1，后来又往盒里放了8支红色圆珠笔，这时红色圆珠笔占总数的12
5，则原有红色圆珠笔多少支？。
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3 （3-2）=3，分母是 3×2+2=8。所以，这个分数是8 。
练习 5： 1、 一个分数，如果分子加 3，这个分数等于12 ，如果分母加上 1，这个分数等于13 ，这
个分数是多少？
2、 一个分数，如果分子加 5，这个分数等于12 ，如果分母减 3，这个分数等于13 ，这个 分
数是多少？
1
1
3、 一个分数，如果分子减 1，这个分数等于2 ；如果分母加 11，这个分数等于3 ，这个
第二十一周 抓“不变量”解题
专题简析： 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有
变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转 化并解答。
例 1． 将4631 的分子与分母同时加上某数后得79 ，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是 18， 所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少 18，切分子 7 是分母的9 ，由此可求出新分数的分子和分母。”
个数，这个分数就等于35 ，求这个分数。
例 4： 将一个分数的分母加 3 得79 ，分母加 5 得34 。原分数是多少？
解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即79 ＝2271 ，
3 21
21
4 ＝28 。根据题意，两个新分数的分母应相差 2，而现在只相差 1，所以分别将27
4、 将一个分数的分母减去 9 得58 ，分母减去 6 得74 。原来的分数是多少？
例 3： 在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于57 。如果在它的分子上减去同一个
数，这个分数就等于12 ，求原来的最简分数是多少。
5 10 解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即7 =14 ，
17
10 7
2 =14 。根据题意，两个新分数分子的差应为 2 的倍数，所以分别想14 和14 的分
子和分母再乘以 2。所以
5 7
＝1140
＝2280
，12
＝174
＝1248
故原来的最简分数是1278 。
解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的 2 倍。所以
（57
1 +2
）÷2＝1278
答：原来的最简分数是1278 。 练习 3：
5 1、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于8 。如果在它的分子上减去
1 同一个数，这个分数就等于2 ，求这个分数。
6 2、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于7 。如果在它的分子上减去
同一个数，这个分数就等于13 ，求这个分数。 3、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于79 。如果在它的分子上减去同一
21
7 21 42 3 21 42
和28 的分子和分母再同乘以 2。则9 ＝27 ＝54 ，4 ＝28 ＝56 。所以，原分数
42 的分母是（54－3＝）51。原分数是51 。
9 解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加 3 后是分子的7 ，分母加 5
后是分子的43 ，因此，原分数的分子是（5－3）÷（43 －97 ）＝42。原分数的分母
3
5
3、 19 的分子、分母加上同一个数并约分后得7 ，那么加上的数是多少？
4、 将7598 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23 ，那么减去的数是
多少？
例 2：
将一个分数的分母减去 2 得45 ，如果将它的分母加上 1，则得23 ，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去 2
分数是多少？ 答案：
练1 1、 41 练2
21 1、 25
2、17 12
2、13
3、 37 12
3、23
4、 16 20
4、 41
练3
1、196
2、2452
3、4351
练4
1、6670
2、18041
3、126252
练5
、16
7 分母：（61-43）÷（1－9 ）＝81
分子：81×79 ＝63
81-61＝20 或 63-43＝20
43
7
解法二：61 的分母比分子多 18，9 的分母比分子多 2，因为分数的 与分母的差不变，所
7 以将9 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9 倍。
7 ① 9 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
4
5
2
3
得5 ”可知，分母比分子的4 倍还多 2。由“分母加 1 得3 ”可知，分母比分子的2
倍少 1，从而将原题转化成一个盈亏问题。 分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12
分母：12×32 -1＝17
解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差 3。23 ＝46 ＝1128 ，45 ＝1125
是 42÷7×9-3=51，原分数是4521 。
练习 4：
5
4
1、 一个分数，将它的分母加 5 得6 ，加 8 得5 ，原来的分数是多少？（用两种方法）
6
7
2、 将一个分数的分母减去 3，约分后得7 ；若将它的分母减去 5，则得8 。原来的分数是
多少？（用两种方法做）
3、 把一个分数的分母减去 2，约分后等于34 。如果给原分数的分母加上 9，约分后等于57 。
7
7 7×9 63
② 约分后所得的9 在约分前是：9 ＝9×9 ＝81
③ 所加的数是 81-61＝20
答：所加的数是 20。
练习 1：
97
2
1、 分数181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是5 ，那么减去的数是多少？
1
3
2、 分数13 的分子、分母同加上一个数后得5 ，那么同加的这个数是多少？
求原分数。
例 5：
有一个分数，如果分子加 1，这个分数等于12 ；如果分母加 1，这个分数就等于13 ，这个
分数是多少？
1 根据“分子加 1，这个分数等于2 ”可知，分母比分子的 2 倍多 2；根据“分母加 1 这
1 个分数就等于3 ”可知，分母比分子的 3 倍少 1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷
② 原分数的分母是： 18-1＝17 或 15+2＝17
答：这个分数为1127 。
练习 2： 1、 将一个分数的分母加上 2 得79 ，分母加上 3 得34 。原来的分数是多少？
2、 将一个分数的分母加上 2 得34 ，分母加上 2 得45 。原来的分数是多少？
3、 将一个分数的分母加上 5 得37 ，分母加上 4 得49 。原来的分数是多少？