苏教版高中数学选修(2-2)课件01平均变化率--
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备1.1.1平均变化率瞬时变化率导数
1.1 导数的概念1.1.1 平均变化率1.1.2 瞬时变化率——导数知识梳理1.函数f(x)在区间［x 1,x 2］上的平均变化率为___________.2.设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),当Δt 趋近于0时,函数f(t)在t 0+Δt 之间的平均变化率tt f t t f ∆-∆+)()(00趋近于常数.我们把这个常数称为t 0时刻的____________. 3.函数y=f(x)在x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即k=f′(x 0)=_____________.知识导学要学好本节内容,最重要的是理解平均变化率和瞬时变化率的概念.本节的重点是导数的定义及其几何意义,难点是利用割线逼近的方法求曲线在某点处的导数,及两种变化率之间的关系.疑难突破1.正确理解平均变化率和瞬时变化率的关系.剖析:平均变化率和瞬时变化率都是反映事物变化程度的量,平均变化率表示的是曲线在某区间上的变化趋势;瞬时变化率表示的是曲线上某一点处的变化趋势.2.怎样理解导数的定义及几何意义?剖析:导数是函数在某一点处的瞬时变化率，导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,深刻理解导数的定义是本节的关键.典题精讲【例1】 已知f(x)=x 2,求曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率.思路分析：为求得过点(3,9)处的切线斜率,我们从经过点(3,9)的任意一条直线(割线)入手.解：设P(3,9),Q(3+Δx,(3+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+9)3(2=6+Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数6,从而曲线y=f(x)在点P(3,9)处的切线斜率为6. 绿色通道：利用割线逼近切线的方法,求曲线在某一点处的切线斜率的方法是一种比较直观的解题方法.变式训练：已知f(x)=2x 2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率.思路分析:为求得过点(1,2)处的切线斜率,我们从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手. 解:设P(1,2),Q(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+2)1(22=4+2Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线斜率为4.【例2】 已知f(x)=x 2+3.(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a 处的导数.思路分析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率,深刻理解概念是正确解题的关键.解:(1)因为xx x f x f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)31(3)1()1()1(22=2+Δx ， 当Δx 无限趋近于0时,2+Δx 无限趋近于2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为xa x a x a f x a f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)3(3)()()(22=2a+Δx ， 且当Δx 无限趋近于0时,2a+Δx 无限趋近于2a,所以f(x)在x=a 处的导数等于2a.绿色通道：本题主要考查对导数概念的理解程度,及应用定义解题的熟炼程度.变式训练：已知f(x)=3x+5,求当x=2时的导数.思路分析：函数在某一点处的导数的几何意义就是函数图象在该点切线的斜率.解:因为3)523(5)2(3)2()2(=∆+⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆xx x f x f x y . 所以f(x)在x=2时的导数为3.【例3】 已知曲线y=3x 2-x,求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.思路分析：求曲线上某点的切线斜率就是求函数在那一点的导数值.解:因为x xx x x y ∆+=∆-⨯-∆+-∆+=∆∆35)113()1()1(322, 当Δx 趋近于0时,5+3Δx 就趋近于5,所以曲线y=3x 2-x 在点A(1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.绿色通道：根据导数的定义将切线的斜率求出,再根据点斜式方程求出切线方程,这是用导数求某点处切线的一般方法.变式训练：已知曲线y=331x 上一点P(2,38),求点P 的切线斜率及点P 处的切线方程. 思路分析：先求出某点处的切线斜率,即求该函数在某点处的导数，然后利用导数定义求解.解:因为xx x y ∆⨯-∆+=∆∆33231)2(31 xx x x x x x x ∆∆+∆+∆=∆∆+∆⨯+∆⨯=323223124])()(2323[31=4+2Δx+231x ∆， 当Δx 趋近于0时,4+2Δx+2 31x ∆就趋近于4， 所以曲线y=331x 上点P(2,38)处的切线斜率为4，切线方程为)2(438-=-x y ，即03164=--y x 问题探究问题：某钢管厂生产钢管的利润函数为P(n)=-n 3+600n 2+67 500n-1 200 000,其中n 为工厂每月生产该钢管的根数,利润P(n)的单位是元.(1)求边际利润函数P′(n)=0时n 的值;(2)解释(1)中n 的实际意义.导思：这是一道有关边际函数的实际应用题,由于利润函数已给出，只需先求边际利润函数P′(n),再根据P′(n)=0解出n 的值即可.探究：(1)因为nn n n n n n n y ∆-∆++∆++∆+-=∆∆1200000)(67500)(600)(23 =(-3n 2+1 200n+67 500)+Δn.当Δn 无限趋近于0时,-3n 2+1 200n+67 500+Δn 无限趋近于-3n 2+1 200n+67 500.∴P′(n)=-3n 2+1 200n+67 500.由P′(n)=0,即-3n 2+1 200n+67 500=0.解得n=450或n=-50(舍).即当边际利润函数P′(n)=0时,n 的值为450.(2)P′(n)=0时,n 的值为450表示的实际意义是当工厂生产450根钢管时,利润增加量为零.。
苏教版选修2-2导数及其应用平均变化率2
K=0.5
20
30 34 t(d)
1、平均变化率
一般地，函数 f (x)在区间 [x1, x2 ]上的平均变化率为
f ( x2 ) f (x1) x2 x1
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭 程
度是平均变化率“视觉化”。
据今年9月12日北京晚报报道：汽车的动 力性通常以加速能力来评定。汽车的加速性 是指汽车用最高挡或次高挡由某一预定车速 全力加速至某一高速所需时间。这段时间越 短，说明超车加速能力越强，从而可以减少 超车过程中的并行时间，有利于保障安全。
月该婴儿体重的平均变化率。
W(kg) 11
8.6 6.5
3.5
3
6
9
12 T(月)
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后
容器甲中水的体积 V (t) 5 20.（1t 单位：cm3 ），
计算第一个10s内体积V的平均变化率。
甲 乙
例3、已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x分, 别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 f (x)及 g(x)
（1）[0.9，1]； （2）[0.99，1]； （3）[0.999，1].
1.9 （1）[1，3]； 1.99 （2）[1，2]； 1.999（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001].
4 3 2.1 2.001
1、平均变化率
一般地，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
例1、甲、乙两汽车，速度从0km/h分 别加速到100 km/h和80 km/h ，如何评 判两车的性能？
在行驶中，甲用3分钟时间加速到100km/h，
高中数学选修2-2-导数的概念-课件.ppt
x
x2 x1
3.求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度 v s
t
（3）求极限
s
s(t t) s(t)
lim lim
t t 0
t 0
t
.
4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.31f′(1)
[答案] C
D．f′(3)
2．若 f′(x0)＝2，则 likm→0 f(x0－k2)k－f(x0)等于(
)
A．－1
B．－2
C．1
1 D.2
[答案] A
3. 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝329t2＋＋32(t－3)2
(t≥3) (0≤t<3)
一.复习回顾：
1.平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ] 的平均变化率
为 y f (x2) f (x1)＝f x1＋x－f x1
x x2 x1
x
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)再计算自变量的改变量 x x2 x1
有关。
6.若极限 lim f (x0 x不) 存f (在x0 )，则称函数在点x0处
x0
x
不可导。
求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法:
1.求函数的改变量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
2. 求平均变化率 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
苏教版高中数学选修2-2第1章1.1.1.docx
第1章 导数及其应用§1.1 导数的概念1.1.1 平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为__________．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用________代替x 2；类似地，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．2．函数y ＝f(x)的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1的几何意义是：表示连接函数y ＝f(x)图象上两点(x 1，f(x 1))、(x 2，f(x 2))的割线的________．一、填空题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)①在[x 0，x 1]上的平均变化率；②在x 0处的变化率；③在x 1处的变化率； ④以上都不对．2．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的增量Δy ＝____________________. 3．已知函数f(x)＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f(1＋Δx ))，则Δy Δx ＝________.4．某物体做运动规律是s ＝s(t)，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是______________．5．如图，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率是________．6．已知函数y ＝f(x)＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．7．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．8．若一质点M 按规律s(t)＝8＋t 2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．二、解答题9．已知函数f(x)＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y ＝f(x)＝x 3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx ，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．能力提升11. 甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？12．函数f(x)＝x 2＋2x 在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x －3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a 的值．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s(t)描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.答 案知识梳理1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1x 1＋Δx Δy Δx 2．斜率作业设计1．① 2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx . 4.s (t ＋Δt )－s (t )Δt解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt. 5．－1解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 6．0.417．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1. 8．4.1解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2.1)－s (2)0.1＝4.1. 9．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为：f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6. 函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4. 10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3，∴割线PQ 的斜率Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，则k ＝Δy Δx＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31. ∴当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31. 11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上的平均变化率为f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2a a ＝a ＋2.函数g (x )在[2,3]上的平均变化率为 g (3)－g (2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2. ∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2.。
2020-2021学年苏教版数学选修2-2课件：1.1.1 平均变化率
2.(1)求半径r关于体积V的函数r(V)⇒V= 4πr3.
3
(2)半径r(V)的平均变化率⇒ r⇒Δr,ΔV.
V
【解析】1.Δs=(10+0.1)+(10+0.1)2-10-102=2.11, 所以 s＝２１=. 2１1.1(m/s).
t 0.1
故10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为21.1 m/s.
2.已知气球的体积为V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)= 4 πr3.
3
(1)求半径r关于体积V的函数r(V).
(2)求体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时,半径r的平均变化率(精确到
0.01).
【思路导引】1.
v⇒
s ⇒Δs=s(10.1)-s(10),Δt=0.1.
D.5(Δt)2(m/s)
【解析】选A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)
=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是
s （t）2=(5Δtt+5)(m/s).
t
t
类型二 函数平均变化率的应用 【典例】1.在山地自行车比赛中,运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系 s(t)=t+t2(位移单位:m,时间单位:s).则10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为 ____________.
t2 t1
【自我检测】
1.自变量x从2变到3时,函数f(x)=3x-1的函数值的增量与相应自变量的增量之
比等于 ( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.自变量x从2变到3时,函数f(x)=3x-1的函数值的增量为8-5=3,
2020-2021学年苏教版选修2-2 平均变化率 课件(31张)
g(1) g(3) 2 (1) (3)
函数g(x)在[0，5]上的平均变化率为
g(5) g(0) 2 50
思考:
一次函数 y=kx+b在区间 m, n(m n) 上的平均变化
率有什么特点？
答：平均变化率就等于直线的斜率k
例4、已知函数 f (x) x2，分别计算 f (x) 在下列
算第一个10s内V的平均变化率.
甲 乙
解：在区间[0,10]上，V的平均变化率
为 : 5 20.110 5 20.10 = 1 (cm3 / s)
10 0
4
甲
即第一个10s内容器甲中水的体积的
乙 平均变化率为 1 cm3 / s.
4
练习： 环境保护部门在规定的排污达标日期前，对甲、
乙两家企业进行检查，连续检测结果如图所示（其 中 W1(t)，W2(t) 分别表示甲、乙两企业的排污量），试 比较两个企业的治污效果. W W1(t)
32 1
31
T (℃) 30 20
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30 34 t(d)
气温在区间[32，34]上的平均变化率为
yC - yB = 33.4 - 18.6 = 14.8 = 7.4
xc - xB
34 - 32
2
平均变化率:
一般的，函数f (x) 在区间 [x1, x2 ]上的平均变化率为
2.平均变化率的实际作用:反映函数变化的快慢.
3.平均变化率的几何意义:过曲线上两点的直线的斜率.
例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该 婴儿体重的平均变化率.
苏教版高中数学选修2-2第一章第一节《瞬时变化率—导数》课件(共40张PPT)
Q 割线 切线
y=f(x) P（x0,f(x0))
f (x0+x) f (x0) Q(x0+△x,f(x0+ △x))
（即 y) △x>0时,点Q位于点P的右侧
x
M
X0＋x x
△x<0时,点Q位于点P的左侧
求曲线y=f (x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤：
1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0 + Δx))
2.1 2
（2）计算运动员在2s到2＋Δt s（t∈[2，2＋ Δt]）内的平均速度.
则割线PQ的斜率为：
kPQ＝
xQ 2－4 xQ－2
令xQ－2＝x，
所以xQ＝x＋2
＝xQ＋2
k
PQ＝
(2＋x) x
2－4
＝ 4x＋x2 x
＝4＋x
当xQ无限趋近于2时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
问题二：
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的．假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋ 10， 试确定t＝2s时运动员的速度.
（1）计算运动员在2s到2.1s（t∈[2，2.1]） 内的平均速度.
v H 2.1 H 2 13.59m / s
高中数学 选修２-２
放大
放大
问题一 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
问题二 观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你 看到了怎样的现象？
高中数学 1.1.1 平均变化率配套教学课件 苏教版选修22
并称该比值(bǐzhí)为位移在区间[32，34]上的平均变化率．
第六页，共24页。
S/m
30
虽然点A，B之间
的位移差与点B， 20
C之间的位移差
几乎相同(xiānɡ
tónɡ)，但它们的 平均变化率却相
10 A (1, 3.5)
差很大．
2
O2
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
20
第十二页，共24页。
例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲
中水的体积V(t)＝5×2－0.1t（单位：cm3），试计算(jì
suàn)第一个10s内V的平均变化率．
平均变化率可正
解 在第一个10s内，体积(tǐjī)V的平均变化率为 可负
V (10)－V (0)＝5× 10－0
21－5× 10－0
y=f(x)
你在解本题的过程(guòchéng)中有没有发现什么y？
f(x2)
f
(
x2 )－f ( x2－x1
x1
)
＝
y x
＝k
f(x1)
你能解释为什么会出现这一现象吗？
O
B
△y
A △x
x1
x2 x
一次函数y＝kx＋b在区间(qū jiān)[m，n]上的平均变 化率等于斜率k．
第十五页，共24页。
cm3），试计算第一个10s内V的平均变化率．
解 在第一个10s内，体积(tǐjī)V的平均变化率为
V (10)－V (0)＝5× 10－0
21－5× 10－0
20 ＝－0.25(cm3 / s)
问题3 乙容器中水的体积(tǐjī)平均 变化率为多少？
苏教版高中数学选修2-2知识讲解_平均变化率与导数的概念_基础
平均变化率与导数的概念【学习目标】（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；【要点梳理】要点一：平均变化率问题1.平均变化率一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x -- 要点诠释：① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为y ∆,21()()y f x f x ∆=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- ② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 即递增或递减幅度的大小。
对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。
如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。
高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
2.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=- ②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。
要点诠释：1. x ∆是1x 的一个“增量”，可用1x x +∆代替2x ，同样21()()y f x f x ∆=-。
2. x 是一个整体符号，而不是与x 相乘。
3. 求函数平均变化率时注意,x y ，两者都可正、可负，但x 的值不能为零，y 的值可以为零。
若函数()y f x =为常函数，则y =0.要点二：导数的概念定义：函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x 无限趋近于0时，比值()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ， 则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数,记作()0f x '. 要点诠释：① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。
《1.1.1 平均变化率》课件1-优质公开课-苏教选修2-2精品
教
互
师
动 探
10 在区间[1，2]上的平均变化率．
备 课
究
资
源
菜单
SJ·数学 选修 2-2
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教 学
【自主解答】 (1)运动员在第一个 0.5 s 内高度 h 的平 当
方
堂
案 设 计
均变化率为h（0.50）.5－－h0（0）＝4.05(m/s)．
双 基 达
标
课 前
(2)在 1≤t≤2 这段时间内，高度 h 的平均变化率为
时 作 业
课
堂
教
互
师
动
备
探
课
究
资
源
菜单
SJ·数学 选修 2-2
教
学
易
教
错
法 分
【自主解答】
(1)函数 f(x)在区间[1，3]上的平均变化
易 误
析
辨
教 学
率为f（3）3－－f1（1）＝32＋3－（2 12＋1）＝5.
方
析
当 堂
案
双
设
(2)函数 f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为
计
基 达
课 前 自
互
教 师
动
备
探
课
究
资
源
菜单
SJ·数学 选修 2-2
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
教
●教学建议
析
学
当
方
本节课是起始课，对导数概念的形成起着奠基作用．平 堂
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.1 1.1.1 平均变化率 Wor
姓名，年级：时间：_1。
1导数的概念1．1。
1 平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A是出发点,H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y＝f(x）表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为（x0，y0），点B的坐标为(x1,y1）．问题1：若旅游者从A点爬到B点，则自变量x和函数值y的改变量Δx,Δy分别是多少？提示：Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0.问题2：如何用Δx和Δy来刻画山路的陡峭程度？提示：对于山坡AB，可用错误!来近似刻画山路的陡峭程度．问题3：试想错误!＝错误!的几何意义是什么？提示：错误!＝错误!表示直线AB的斜率．问题4：从A到B，从A到C，两者的错误!相同吗？错误!的值与山路的陡峭程度有什么关系？提示：不相同。
错误!的值越大，山路越陡峭．1．一般地,函数f(x）在区间［x1，x2]上的平均变化率为错误!。
2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化"．在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：（1)函数在[x1，x2］上有意义；（2)在式子错误!中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1）的值可正、可负、可为0。
(3）在平均变化率中，当x1取定值后,x2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x2取定值后，x1取不同的数值时,函数的平均变化率也不一定相同．错误!求函数在某区间的平均变化率［例1］（1）求函数f（x)＝3x2＋2在区间[2,2.1］上的平均变化率;(2）求函数g(x)＝3x－2在区间[－2,－1]上的平均变化率．[思路点拨］求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量,从而求出平均变化率．［精解详析] （1)函数f（x)＝3x2＋2在区间［2，2。
1］上的平均变化率为：错误!＝错误!＝12.3。
（2)函数g（x）＝3x－2在区间[－2，－1］上的平均变化率为错误!＝错误!＝错误!＝3。
(教师用书)高中数学 1.1.1 平均变化率同步备课课件 苏教版选修2-2
1．本题主要依据平均变化率的意义代入公式直接计算， 解题的关键是弄清自变量与函数值的增量． 2． 求函数 y＝f(x)在区间[x1， x2]上的平均变化率的步骤： (1)作差：求Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)； Δy f（x2）－f（x1） (2)作商：求 ，即 的值． Δx x2－x1
1．1
导数的概念
1．1.1 平均变化率
教师用书独具演示
1．知识与技能 通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过 程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模 型．
2．过程与方法 理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义， 会计算函数在某个区间上的平均变化率． 3．情感、态度与价值观 感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数 学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．
1 2 已知某物体运动位移与时间的关系为 s(t)＝ gt ， 试分别 2 计算 t 从 3 s 到 3.1 s，3.001 s 各段的平均速度，通过计算你 能发现平均速度有什么特点吗？ 【解】 设物体在区间[3，3.1]，[3，3.001]上的平均速
1．由Δ y＝f(x2)－f(x1)能否判断曲线在 A→B 段的陡峭 程度？
【提示】 不能．
f（x2）－f（x1） 2 ．平均变化率 能否近似刻画曲线在 x2－x1 A→B 段的陡峭程度？为什么？曲线段 AB 与曲线段 DE 哪 段更陡峭？ 【提示】 f（x2）－f（x1） 能．因为 kAB＝ 表示 A，B x2－x1
●教学建议 本节课是起始课，对导数概念的形成起着奠基作用．平 均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要 的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础． 在这个过程中，要注意特殊到一般、数形结合等数学思 想方法的渗透．
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求函数y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均 变化率的步骤：
(1)求自变量的增量 x x2 x1
(2)求函数的增量 y f (x2 ) f (x1)
y (3)求平均变化率 x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
12 6
12 t/月
[问题8]本例中两个平均变化率的数值不同的实际意 义是什么？
[练习1]如图，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，ts
后容器甲中水的体积V（ｔ）＝5（单2位0.1t：），试c计m算3
第一个10s内V的平均变化率。
解：在第一个10秒内，体积V的
平均变化率为 V (10) V (0)
2.5 10
5
10 0
＝－0.25（cm 3/ｓ）,
甲
即第一个10s内容器甲中水的体
积V的平均变化率为－0．25
乙
（ cm3／ｓ）。
[问题9]容器甲中水的体积V的平均变化率是一个负数, 它的实际意义是什么？
例2已知函数f（x）=2x+1，g（x）=-2x，分别计算在 区间[-3，-1]，[0，5]上函数f（x）及g（x）的平均变 化率。
[情境2]某 市2004年3 月18日到4 月20日期间 的日最高气 温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
联想 温差15.1℃ 温差14.8℃
直线？
气温变化慢 气温变化快
T/oC 33.4
18.6 A(1,3.5)
3.5
C(34,33.4)
陡 峭
[探究与思考] 当x0逼近1的时候，f(x)在区间[1，x0]上的平均 变化率呈现什么样的变化？
答案：逼近2
例3引申：已知函数 f (x) x2
问题(1)求函数在[1,a](a>1)上的平均变化率；
(1)函数在[1,a](a>1)上的平均变化率为a+1 问题(2)当a趋近于1时，函数在[1,a]上 的平均变化率有何趋势？ (2)当a趋近于1时，函数在[1,a]上的
例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别 计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的 平均变化率。
W/kg 11 8.6 6.5
3.5
o 36
解：从出生到第3个月，婴儿体重的
平均变化率为 6.5 3.5
30
=1（kg/月）;
从第6个月到第12个月，婴儿体重的
平均变化率为11 8.6=0.4（kg/月）
率:(1)[1，3]；(2)[1，2]；
(3)[1，1.1]；(4)[1，1.01];(5)[1，1.001]。
越来越小 趋近于
(1)[1，3]； 4 (2)[1，2]； 3 (3)[1，1.1]； 2.1
yB9来自4C(4)[1，1.01]; 2.01
2
(5)[1，1.001] 2.001
A
1 0 123 x
平均变化率趋近于2
问题：
设函数 y = f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到 x0 x 时，
函数的增量 y 等于（ D ）
A． f (x0 x)
B． f (x0 ) x
C． f (x0 )x)
D． f (x0 x) f (x0 )
结论：
设函数 y = f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到 x0 x 时，
B(32,18.6)
平缓
气温曲线
yC-yB xC-xB
[问题3]
你能用数学语言来 量化BC段曲线的陡 峭程度吗？
o1
32 34 t/d
y
f(34)
f(34)-f(1)
C
f(x2)
f(x1) A
f(1)
y=f(x)
o1
x1 34-1
x2 34
你能据此归纳出“函数 f(x)的平均变化率”的 一般性定义吗？
回顾小结
本节课学习的数学知识有： ；本节平课均涉变及化的率数的学概思念想；方平法均有变：化率的应用 。
以直代曲、数形结合、归纳、逼近思想
布置作业：
必做题2-1课本P7(2、3、4) 选做题： 向气球内匀速吹气时,你会发现:随着气 球内空气容量的增加,气球的半径增加得 越来越慢,你能从数学的角度解释这一现 象吗?
高中数学课件
灿若寒星整理制作
平均变化率
修远中学梁成阳
[情境1]下图是一段登山路线。
[问题1]同样是
y/m yC
yB A
o
登山路线
B
xB
登山，但是从A
C
处到B处会感觉
yC-yB xC-xB
比较轻松，而 从B处到C处会 感觉比较吃力。
想想看，为什 xC x/m 么？
[问题2]
“陡峭”是生活用语，如何量化线段BC的陡峭程度呢？
如图，分别计算曲线在区间[1，2]和[2，4]上 的平均变化率。
y
6
曲线在区间[1，2]上的
平均变化率为-3；
3
2
曲线在区间[2，4]上的
平均变化率为。 1
o12
4x
2
[结论]平均变化率的绝对值越大，曲线越陡峭， 变量变化的速度越快。
变量的变化速度
数学化 生活化
平均变化率
视觉化 数量化
曲线陡峭程度
[练习2].
若函数f(x)=3x+1,试求f(x)在区间[a,b]
上的平均变化率。
答案：3
［问题10］从上述例、习题的求解中，你 能发现一次函数y=kx+b在区间[p,q]上的 平均变化率有什么规律吗？
［结论］：一次函数y=kx+b在区间[p,q]上的平均 变化率为直线的斜率k．
例3已知函数，f分( 别x)计算x它2 在下列区间上的平均变化
解：函数f（x）在区间[-3，-1]上的平均变化率为
f (1) f (3) [2 (1) 1] [2 (3) 1]
(1) (3)
2
2
同理可得, 函数f（x）在区间[0，5]上的平均变化率为2； 函数g（x）在区间[-3，-1]上的平均变化率为-2； 函数g（x）在区间[0，5]上的平均变化率为-2．
34 x2
[问题5]
下面分别是两个函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在区 间[x1，x2]上平均变化率是否相等？为什么？
y y2
y=g(x)
y1 A
o x1
B
y=f(x) x2 x
[结论]
用平均变化率来 量化曲线的陡峭 程度是“粗糙不 精确”的。
[问题6]如图，请分别计算气温在区间[1，32]和区间[32， 34]上的平均变化率。
[问题4]如果将上述气温 曲线看成是函数y=f(x)
的图象,任取x1,x2[ 1,34]
则函数y=f(x)在区间
[1,34]上的平均变化率 为 f(34) f(1)
34 1 x 在区间[1，x1]上的平均
变化率为 f (x1) f (1)
在
区
间
[
x
2
，
3x41]
1
上的
平
均变化率为 f (34) f (x2 )
T/ 0C
33.4
18.6 A(1,3.5)
3.5 o1
C(34,33.4) B(32,18.6) 气温曲线
气温在区间[1，32]上 的平均变化率约为0.5；
气温在区间[32，34] 上的平均变化率为7.4。
32 34 t/d
[问题7]你能发现“平均变化率的数值”和“曲线的陡峭 程度”以及“气温变化的速度”之间有什么样的对应关 系吗？