2019-2020学年高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业新人教A版必修4.doc

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高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业新人教A版必修4

高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业新人A 教版必修4基础巩固一、选择题1．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥b ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向[答案] D[解析] ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，又a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1..∴c ＝－d ，∴c 与d 反向．2．(陕西高考文)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.3．(2015·北京西城高三第一学期期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，又AB →∥a ，所以(y －1)－2×3＝0，解得y ＝7.4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)[答案] A[解析] 设C (x ，y )，∵A (0,1)，AC →＝(－4，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，∴C (－4，－2)，又B (3,2)，∴BC →＝(－7，－4)，选A ．5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于( ) A ．－6 B ．6 C ．2 D ．－2[答案] B[解析] a ＋2b ＝(5,5)，3a ＋λb ＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6.6．(2015·济南模拟)若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－12B ．12C ．2D ．－2 [答案] A[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，a －mb ＝(1,2)－m (－3,0)＝(1＋3m,2)∵(2a ＋b )∥(a －m b ) ∴－1＝(1＋3m )×2 ∴6m ＝－3，解得m ＝－12二、填空题7．(2015·北京东城区模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为________．[答案] 12[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝12.8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)．若λa ＋u b 与a ＋b 共线，则λ与u 的关系为________．[答案] λ＝u[解析] ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋u b ＝λ(1,2)＋u (－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u )．又∵(λa ＋u b )∥(a ＋b )，∴(－1)×(2λ＋3u )－5(λ－2u )＝0.∴λ＝u . 三、解答题9．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值． [解析] ∵AB →＝(4－k ，－7)，BC →＝(－k －4,5)，因A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →， ∴7(k ＋4)－5(4－k )＝0，∴k ＝－23.10．已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标． [解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →|，则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x,9－y )．当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝36－x ，y －5＝39－y ，解得x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－36－x ，y －5＝－39－y ，解得x ＝152，y ＝11.∴点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11.能力提升一、选择题1．已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，则a 和b 的关系是( ) A ．共线且方向相同 B ．共线且方向相反 C ．是相反向量 D ．不共线[答案] B[解析] 因为a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，所以a ＝－23b ，由于λ＝－23<0，故a 和b共线且方向相反．2．(2015·福州高一检测)设a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．75°D ．45°[答案] D[解析] 32×13＝sin αcos α，sin2α＝1,2α＝90°，α＝45°.3．(重庆高考文)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[思路点拨] 分别求出a ＋b,4b －2a ，将向量共线的条件转化为坐标运算，从而求出x 的值．[解析] 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．Ø[答案] C[解析] 设a ∈M ∩N ，则存在实数λ和中μ，使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－3λ＝35μ－4λ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝0，∴a ＝(－2，－2)．二、填空题5．(北京高考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.[答案] 1[解析] a －2b ＝(3，3)．因为a －2b 与c 共线，所以k3＝33，解得k ＝1. 6．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|，则求点P的坐标为________．[答案] (45，34)[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有P 1P →＝23PP 2→，又P 1P →＝(x －2，y ＋1)，PP 2→＝(－1－x,3－y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝23－1－x ，y ＋1＝233－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.三、解答题7．平面内给定三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 和n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解析] (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.∴m ＝59，n ＝89.(3)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)．又∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)判断EF →与AB →是否共线．[解析] (1)设E (x 1，y 1)、F (x 2，y 2)，依题意得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)．由AE →＝13AC →可知(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝23y 1＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13y 1＝23，∴E (－13，23)．由BF →＝13BC →可知(x 2－3，y 2＋1)＝13(－2,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23y 2＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0.∴F (73，0)，即E 点的坐标为(－13，23)，F 点的坐标为(73，0)．(2)由(1)可知EF →＝OF →－OE →＝(73，0)－(－13，23)＝(83，－23)，(O 为坐标原点)，又AB →＝(4，－1)， ∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，即EF →与AB →共线．。

人教A版2019高中数学必修4讲义：第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示_含答案

2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )A ．(2,1)B ．(－1,2)C ．(6,10)D ．(－6,10)答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案] A(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线．又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)， ∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.一般是看AB 与BC AB 与AC AC BC AC BC AB λBC ，或AB ＝λAC 设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB 与CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB 与CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又AB 与CD 方向相同，所以x ＝2.此时，AB ＝(2,1)，BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB 与BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP＝t OB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－OA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC＝OC－OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)，且向量CP ，CA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23 D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0，即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)， ∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线．AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )，DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)．又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)，由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

2.3.4平面向量共线的坐标表示

本节课到此结束，请同学们课后再做好复习与作业。谢谢！
作业：课本P101习题2.3.4：6、7 B组1~4
《聚焦课堂》
再见!
聚焦作业手册P80: 8T
已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB＋λAC (λ∈R),试求λ为何值时,点P在第三象限内? 解:设P(x,y). AP =(x－2,y－3), AB =(3, 1), x－2=3＋5λ y－3=1＋7λ AC =(5, 7), (x－2, y－3) =(3, 1)＋λ(5, 7) =(3＋5λ, 1＋7λ) x=5＋5λ <0 y=4＋7λ <0
∴只能有:
(1)k 1 : ke1 e2 e 1 ke2 ,同向共线. (2)k 1 : ke1 e2 (e 1 ke2 ) ,反向共线.
{ k 1 0
k 0
λ 1 k 1.
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ).
B( x 2 , y 2 )
x1=x2,且y1=y2
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 )
探究：
向量平行的坐标表示
向量平行的向量表示
设a=(x1,y1), b=(x2,y2), 其中a≠0, b // a b = λa (x2,y2) =λ(x1,y1) = (λx1,λy1)
(x , y ) λa 3.两个结论 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) a b x1=x2,且y1=y2 4.共线向量的充要条件:(a≠0) x1y2-x2y1=0 向量a与b共线 b=λa
a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ), a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ),

高中数学必修四课时作业1：2.3.4 平面向量共线的坐标表示

2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、基础过关1．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)[答案] C2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 [答案] C[解析] ∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴．3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A ．2 B.12C ．－2D ．－12[答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α. ∴tan α＝2.故选A.4．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( ) A ．－13 B ．9 C ．－9 D ．13[答案] C[解析] 设C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)． ∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9.5．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________． [答案] 12[解析] 由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12.已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________. [答案] 32[解析] 由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6)．又AB →与a ＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，得λ＝32.7．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.二、能力提升8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1[答案] B[解析] ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )， v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.故选B.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b与a －2b 共线，则mn 等于( )A ．－12B.12 C ．－2 D ．2[答案] A[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，选A.10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. [答案] 2[解析] λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)， ∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2. 11．已知两点A (3，－4)，B (－9,2)在直线AB 上，求一点P 使|AP →|＝13|AB →|.解设点P 的坐标为(x ，y )，①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →，∴(x －3，y ＋4)＝12(－9－x,2－y )．解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)．②若点P 在线段BA 的延长线上，则AP →＝－14PB →，∴(x －3，y ＋4)＝－14(－9－x,2－y )．解得x ＝7，y ＝－6，∴P (7，－6)．综上可得点P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．12.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)、B (6,4)、C (5,0)、D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )， DB →＝(5,4)，CA →＝(－3,6)，DC →＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)．又∵CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4,4λ)，由于CP →与CA →共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0. 解之得λ＝47，∴DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎫207，167， ∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167. 三、探究与拓展如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．解 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， ∴C (0，54)．∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝⎛⎭⎫2，32，∴D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72. ∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，74， ∵CM →∥CB →，∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.。

人教A版高中数学必修四课时提升作业(二十一) 2.3.4 平面向量共线的坐标表示2 Word版含解析

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课时提升作业(二十一)平面向量共线的坐标表示一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·房山高一检测)已知三点P(1，-2)，Q(2，3)，R(-3，y)共线，则y=( ) A.-2 B.-22 C.2 D.22【解析】选B.因为=(1，5)，=(-4，y+2)，且∥，故(y+2)×1-(-4)×5=0，所以y=-22.【变式训练】已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，且a∥b，则2a+3b等于( ) A.(-4，8) B.(4，-8)C.(-4，-8)D.(4，8)【解析】选C.因为a∥b，所以1×m-2×(-2)=0，m=-4，所以2a+3b=2(1，2)+3(-2，-4)=(-4，-8).2.(2013·陕西高考)已知向量a=(1，m)，b=(m，2)，若a∥b，则实数m等于( )A.-B.C.-或D.0【解题指南】根据条件建立关于m的方程，求解即得.【解析】选C.因为a=(1，m)，b=(m，2)，且a∥b，所以1·2=m·m⇒m=±.3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4【解析】选B.因为i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量，所以=i+2j=(1，2)，=(3-x)i+(4-y)j=(3-x，4-y)，若与共线，则1·(4-y)-2·(3-x)=0，整理得2x-y=2，经检验可知x，y的值可能分别为2，2.4.(2014·塘沽高一检测)已知平面向量a=(x，1)，b=(-x，x2)，则向量a+b( )A.平行于x轴或与x轴重合B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴或与y轴重合D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】选C.因为a+b=(0，1+x2)，由1+x2≠0及向量的性质可知，C正确.5.已知A(4，6)，B，与平行的向量的坐标可以是( )①；②；③；④(7，9).A.①②④B.①②③C.②③④D.①②③④【解析】选B.因为=-(4，6)=，而×-(-7)×3=0，7×-(-7)×=0，×-(-7)×(-3)=0，7×-(-7)×9≠0，故与平行的向量的坐标可以是；；.6.(2014·太原高一检测)若向量a=(-1，x)与b=(-x，2)共线且方向相同，则x 的值为( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选A.因为a=(-1，x)与b=(-x，2)共线，所以(-1)×2-x(-x)=0，解得x=±，又a与b方向相同，所以x=.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014·三明高一检测)已知两向量a=(2，s i nθ)，b=(1，cosθ)，若a∥b，则=.【解析】因为a∥b，所以2cosθ-sinθ=0，2cosθ=sinθ，所以===4.答案：4【变式训练】已知向量a=(1-s i nθ，1)，b=(，1+s i nθ)，且a∥b，则锐角θ=.【解析】由a∥b可得(1+sinθ)(1-sinθ)-=0，又θ是锐角，故cosθ=，从而θ=45°.答案：45°8.已知=(-2，m)，=(n，1)，=(5，-1)，若点A，B，C在同一条直线上，且m=2n，则m+n=.【解题指南】由点A，B，C在同一条直线上可得与共线，进而可得关于m，n的方程，与m=2n联立即可求出m，n，进而求出m+n.【解析】=-=(n，1)-(-2，m)=(n+2，1-m)，=-=(5，-1)-(n，1)=(5-n，-2).因为A，B，C共线，所以与共线，所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n，②解①②组成的方程组得或所以m+n=9或.答案：9或9.(2014·荆州高一检测)已知点A(1，-2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)且与向量a=(1，λ)共线，则λ=.【解题指南】由中点坐标公式先求出点B的坐标，进而求出的坐标，最后根据与向量a共线求λ.【解析】由题意得，点B的坐标为(5，4)，则=(4，6).又与a=(1，λ)共线，则4λ-6=0，得λ=.答案：【变式训练】已知向量a=(1，2)，b=(1，λ)，c=(3，4).若a+b与c共线，则实数λ=.【解析】因为a+b=(2，2+λ)，a+b与c共线，所以2×4-3×(2+λ)=0，解得λ=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知向量a=(1，2)，b=(x，1)，u=a+2b，v=2a-b，且u∥v，求实数x的值. 【解析】因为a=(1，2)，b=(x，1)，所以u=a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)，v=2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3)，又因为u∥v，所以3(2x+1)-4(2-x)=0，解得x=.【拓展延伸】向量共线的坐标表示在两个方面的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.解答此类问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.解答此类问题要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据.11.(2014·沧州高一检测)已知a=(1，0)，b=(2，1).(1)当k为何值时，k a-b与a+2b共线？(2)若=2a+3b，=a+m b且A，B，C三点共线，求m的值.【解析】(1)k a-b=k(1，0)-(2，1)=(k-2，-1)，a+2b=(1，0)+2(2，1)=(5，2).因为k a-b与a+2b共线，所以2(k-2)-(-1)×5=0，得k=-.(2)方法一：因为A，B，C三点共线，所以=λ，λ∈R，即2a+3b=λ(a+m b)，所以解得m=.方法二：=2a+3b=(8，3)，=a+m b=(2m+1，m)，因为A，B，C三点共线，所以∥，故8m-3(2m+1)=0，m=.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·三亚高一检测)下列各组向量相互平行的是( )A.a=(-1，2)，b=(3，5)B.a=(1，2)，b=(2，1)C.a=(2，-1)，b=(3，4)D.a=(-2，1)，b=(4，-2)【解析】选D.因为(-2)×(-2)-1×4=0，故a=(-2，1)，b=(4，-2)互相平行.【一题多解】选D.易知选项D中，b=-2a，故a=(-2，1)，b=(4，-2)互相平行.2.已知向量a=(1，0)，b=(0，1)，c=k a+b(k∈R)，d=a-b，如果c∥d，那么( )A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】选D.c=k a+b=(k，1)，d=(1，-1)，又c∥d，所以k×(-1)-1×1=0，故k=-1.所以c=(-1，1)与d反向，选D.【变式训练】已知向量a=(1，3)，b=(2，1)，若a+2b与3a+λb平行，则λ的值等于()A.-6B.6C.2D.-2【解析】选B.因为a+2b=(5，5)，3a+λb=(3+2λ，9+λ)，由条件知，5(3+2λ)-5(9+λ)=0，解得λ=6.3.(2014·铁岭高一检测)已知a=(3，4)，b=(s i nα，cosα)，且a∥b，则tan α= ( )A. B.- C. D.-【解析】选A.由已知得，4sinα-3cosα=0，所以tanα=.4.(2014·株洲高一检测)已知向量a=(x，3)，b=(-3，x)，则下列叙述中，正确的个数是( )①存在实数x，使a∥b；②存在实数x，使(a+b)∥a；③存在实数x，m，使(m a+b)∥a；④存在实数x，m，使(m a+b)∥b.A.0B.1C.2D.3【解题指南】利用两向量共线的坐标表示求解出x的值.【解析】选B.由a∥b得x2=-9，无实数解，故①不对；又a+b=(x-3，3+x)，由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0，即x2=-9，无实数解，故②不对；因为m a+b=(mx-3，3m+x)，而(m a+b)∥a，所以(3m+x)x-3(mx-3)=0，即x2=-9，无实数解，故③不对；由(m a+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0，即m(x2+9)=0，所以m=0，x∈R，故④正确.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知向量a=(1，2)，b=(λ，1)，若(a+2b)∥(2a-2b)，则λ的值等于. 【解题指南】a+2b与2a-2b的坐标，用平面向量共线的坐标表示列方程求出参数.【解析】a+2b=(1，2)+2(λ，1)=(1+2λ，4)，2a-2b=2(1，2)-2(λ，1)=(2-2λ，2)，由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0，解得λ=.答案：【一题多解】假设a，b不共线，则由(a+2b)∥(2a-2b)可得a+2b=μ(2a-2b)，从而方程组显然无解，即a+2b与2a-2b不共线，这与(a+2b)∥(2a-2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以=，即λ=.答案：6.(2014·淄博高一检测)已知向量=(k，6)，=(4，5)，=(1-k，10)，且A，B，C三点共线，则k=.【解析】=(4-k，-1)，=(-3-k，5)，因为A，B，C三点共线，所以∥，故5(4-k)-(-1)(-3-k)=0，解得k=.答案：【变式训练】若三点P(1，1)，A(2，-4)，B(x，-9)共线，则x=.【解析】因为=(1，-5)，=(x-1，-10)，依题意有∥，所以-5(x-1)-1×(-10)=0，解得x=3.答案：3三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·舟山高一检测)已知四点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x).(1)求实数x，使两向量，共线.(2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？【解析】(1)=(x，1)，=(4，x).因为，共线，所以x2-4=0，即x=±2时，两向量，共线.(2)当x=-2时，=(6，-3)，=(-2，1)，则∥，此时A，B，C三点共线，又∥，从而，当x=-2时，A，B，C，D四点在同一条直线上.当x=2时，A，B，C，D四点不共线.8.过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线交函数y=log2x的图象于C，D两点.求证：O，C，D三点在一条直线上.【解题指南】设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，由O，A，B三点在一条直线上可以推出关于x1，x2的等量关系.借助此关系式可以证与共线，进而得O，C，D三点在一条直线上.【证明】设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，则=(x1，log8x1)，=(x2，log8x2)，根据已知与共线，所以x1log8x2-x2log8x1=0.又根据题设条件可知C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，所以=(x1，log2x1)，=(x2，log2x2).因为x1log2x2-x2log2x1=x1lo-x2lo=3(x1log8x2-x2log8x1)=0，所以与共线，又与有公共点O，所以O，C，D三点在一条直线上.关闭Word文档返回原板块。

课时作业14：2.3.4　平面向量共线的坐标表示

2.3.4 平面向量共线的坐标表示基础过关1．已知向量a ＝(3,5)，b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A ．35B ．53C ．－35D ．－53解析由a ∥b ，得5cos α－3sin α＝0，即tan α＝53．答案 B2．向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( ) A ．(4,8) B ．(8,4) C ．(－4，－8)D ．(－4,8)解析由a ∥b 可排除A ，B ，C ，故选D ．答案 D3．向量P A →＝(k,12)，PB →＝(4,5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为( ) A ．－2 B ．11 C ．－2或11D ．2或11解析 AB →＝PB →－P A →＝(4－k ，－7)，BC →＝PC →－PB →＝(6，k －5)，由题知AB →∥BC →，故(4－k )(k －5)－(－7)×6＝0，解得k ＝11或k ＝－2．答案 C4.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________. 解析 2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12.答案 125．已知A (2,0)，B (0,2)，若AC →＝13AB →，则点C 的坐标是________．解析设C (x ，y )，则AC →＝(x －2，y )，AB →＝(－2,2)，所以(x －2，y )＝(－23，23)，得x ＝43，y ＝23，即C (43，23)．答案 (43，23)6．已知两点A (3，－4)，B (－9,2)在直线AB 上，求一点P 使|AP →|＝13|AB →|．解设点P 的坐标为(x ，y )，①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →，∴(x －3，y ＋4)＝12(－9－x,2－y )．解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)．②若点P 在线段BA 的延长线上，则AP →＝－14PB →，∴(x －3，y ＋4)＝－14(－9－x,2－y )．解得x ＝7，y ＝－6，∴P (7，－6)．综上可得点P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．7．如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )， DB →＝(5,4)，CA →＝(－3,6)，DC →＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)．又∵CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4,4λ)，由于CP →与CA →共线得，(5λ－4)6＋12λ＝0．解之得λ＝47，∴DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎫207，167，又OP →＝OD →＋DP →＝(1,0)＋(207，167)＝(277，167)，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167．能力提升8．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1解析因为A ，B ，C 三点不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，又AB →＝OB →－OA →＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ，k ＋1)，所以2k －(k ＋1)＝0，即k ＝1．答案 C9．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数是( ) ①存在实数x ，使a ∥b ； ②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ； ③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ； ④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b ． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b ．答案 B10．已知a ＝(1,1)，b ＝(x 2，x ＋λ)且a ∥b ，则实数λ的最小值是________．解析因为a ∥b ，所以x 2－x －λ＝0，即λ＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14．答案－1411．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________．解析 ∵AC →＝12BC →，∴A 为BC 的中点，AC →＝BA →，设C (x C ，y C )，则(x C －2，y C ＋1)＝(1，－5)， ∴C 点的坐标为(3，－6)，又|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上，∴CE →＝－14ED →，设E (x ，y )，则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )，得⎩⎨⎧x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y ).解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7.故点E 的坐标是(83，－7)．答案 (83，－7)12．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－x ，－3－y )． (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求x ，y 应满足的条件； (2)若AC →＝2BC →，求x ，y 的值．解 (1)因为点A ，B ，C 不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线．由题意得AB →＝(3,1)，AC →＝(2－x,1－y )，所以3(1－y )＝2－x ．所以x ，y 满足的条件为x －3y ＋1＝0． (2)BC →＝(－x －1，－y )，由AC →＝2BC →得(2－x,1－y )＝2(－x －1，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＝－2x －2，1－y ＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1.创新突破13．已知ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE ．证明建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便．不妨设正方形ABCD 的边长为1，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (x ，y )，这里y >0，于是AC →＝(1,1)，BE →＝(x －1，y )． ∵AC →∥BE →，∴1×y －(x －1)×1＝0⇒y ＝x －1.①∵AC ＝OC ＝CE ，∴CE 2＝OC 2⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.②由y >0，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32，y ＝1＋32，即E ⎝⎛⎭⎪⎫3＋32，1＋32． AE ＝OE ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋322＝3＋1．设F (t,0)，则FC →＝(1－t,1)，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32．∵F ，C ，E 三点共线，∴FC →∥CE →．∴(1－t )×－1＋32－1＋32×1＝0，解得t ＝－1－3．∴AF ＝OF ＝1＋3，∴AF ＝AE ．。

2021-2022学年高中数学必修4作业：2.3.4平面向量共线的坐标表示

课时分层作业(二十)(建议用时：40分钟)一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)B [只有选项B 中两个向量不共线可以表示向量a .]2．若向量a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线且方向相同，则x 的值为( ) A.2 B ．－ 2 C ．2D ．－2A [由a ∥b 得－x 2＋2＝0，得x ＝±2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反．]3．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 A [∵b ∥a ，∴2sin α－cos α＝0，即tan α＝12.]4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，c ＝(k,2)．若(3a －b )∥c ，则实数k 的值为( ) A ．－8 B ．－6 C ．－1D ．6B [由题意得3a －b ＝(3，－1)，因为(3a －b )∥c ，所以6＋k ＝0，k ＝－6.故选B.]5．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [由a ∥b ，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°.]二、填空题6．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________.32[由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6)．又AB→与a ＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，解得λ＝32.]7．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 23 [AB→＝(x ＋1，－6)，AC →＝(4，－1)， ∵AB→∥AC →，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.] 8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 [由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎨⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎨⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2，又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.]三、解答题9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求a ＋3b 的坐标．(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ [解] (1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)． (2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，解得k ＝－13，所以k a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，即k ＝－13时，k a －b 与a ＋3b 平行，方向相反．10．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB→. [证明] 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC→＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB→＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.所以EF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23. 又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF→∥AB →.1．已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若()2a ＋b ∥c ，则x ＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．－4C [向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，则b ＝a －(a －b )＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)， ∴(2a ＋b )＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)， ∵(2a ＋b )∥c ，∴－3－x ＝0，∴x ＝－3，故选C.]2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，若p ∥q ，则角C 为( )A.π6B.2π3C.π2D.π3C [因为p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，且p ∥q ，所以(a ＋c )(c －a )－b ·b ＝0，即c 2＝a 2＋b 2，所以角C 为π2.故选C.]3．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )A ．(1,5)或(5,5)B ．(1,5)或(－3，－5)C ．(5，－5)或(－3，－5)D ．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)D [设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，第四个顶点为D ， ①若这个平行四边形为▱ABCD ，则AB→＝DC →，∴D (－3，－5)； ②若这个平行四边形为▱ACDB ，则AC→＝BD →，∴D (5，－5)； ③若这个平行四边形为▱ACBD ，则AC →＝DB →，∴D (1,5)．综上所述，D 点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．]4．已知向量OA→＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．m ≠12 [AB →＝OB →－OA →＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，AC →＝OC →－OA →＝(5－m ，－3－m )－(3，－4)＝(2－m,1－m )，由于点A ，B ，C 能构成三角形，则AC →与AB →不共线，则3(1－m )－(2－m )≠0，解得m ≠12.]5．如图所示，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，用向量的方法证明：DE ∥BC .[证明] 如图，以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，设|AD→ |＝1，则|DC →|＝1，|AB →|＝2. ∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形，∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)． ∵ED→＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)， BC→＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， ∴ED →＝BC →，∴ED →∥BC →，即DE ∥BC .。

高中数学必修四课时作业7：2.3.4 平面向量共线的坐标表示

2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、选择题1．设k ∈R ，下列向量中，与向量a ＝(1，－1)一定不平行的向量是( )A ．b ＝(k ，k )B ．c ＝(－k ，－k )C ．d ＝(k 2＋1，k 2＋1)D ．e ＝(k 2－1，k 2－1)2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)3．在▱ABCD 中，已知AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 、BD 相交于O 点，则CO →的坐标是( )A ．(－12，5) B ．(－12，－5) C ．(12，－5) D ．(12，5) 4．已知向量a ＝(32，sin α)，b ＝(sin α，16)，若a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°二、填空题5．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(0，－1)，(2,3)，(－1，－3)，则A ，B ，C 三点的位置关系是________．6．设向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(6,2)共线，则实数λ＝________.7．已知：AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)．若A 、C 、D 三点共线，则k ＝________.三、解答题8．已知四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．参考[答案]一、选择题1．C【[解析]】由向量共线的判定条件，当k ＝0时，向量b ，c 与a 平行；当k ＝±1时，向量e 与a 平行．对任意k ∈R,1·(k 2＋1)＋1·(k 2＋1)≠0，∴a 与d 不平行．2．B【[解析]】由a ∥b 得m ＋2×2＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)．∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．3．B【[解析]】∵CO →＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →)＝－12(－2,3)－12(3,7)＝(－12，－5)． 4．A【[解析]】∵a ∥b ，∴sin 2 α＝32×16＝14， ∴sin α＝±12.∵α为锐角，∴α＝30°. 二、填空题5．共线【[解析]】AB →＝(2,4)，AC →＝(－1，－2)，∴AB →＝－2AC →.∴A ，B ，C 三点共线．6．2【[解析]】λa ＋b ＝λ(1,0)＋(1,1)＝(λ＋1,1)，因为向量λa ＋b 与c ＝(6,2)共线，所以(λ＋1)×2＝6×1，∴λ＝2.7．4【[解析]】∵AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)，∴AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)，又∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →∥CD →.∴10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.三、解答题8．解：以A 为坐标原点，AB →为x 轴建立直角坐标系，如图所示，∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)．∴F (6,4)，E (3,0)，设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )，AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)．由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －6y ＝0，6（x －3）－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3.∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB＝36－12×3×3－12×3×6＝452.。

高中数学第二章平面向量课时作业242.3.4平面向量共线的坐标表示新人教A版必修4

课时作业(二十四) 2.3.4 平面向量共线的坐标表示1．下列向量中，能作为表示它们所在平面所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)答案 B2．已知向量a ＝(4，2)，向量b ＝(x ，3)，且a ∥b ，则x 等于( ) A ．9 B ．6 C ．5 D ．3答案 B3．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝( ) A.34 B ．－34C.43 D ．－43答案 A解析 a ∥b ⇒3cos α＝4sin α，∴tan α＝34.4．已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( ) A ．(4，8) B ．(8，4) C ．(－4，－8) D ．(－4，8)答案 D解析 a ＝(1，－2)＝－14(－4，8)．即b ＝－4a ，∴b 可能是(－4，8)．5．若P 1(1，2)，P(3，2)且P 1P →＝2PP 2→，则P 2的坐标为( ) A. (7，2) B ．(－7，－2) C ．(－4，－2) D ．(4，2)答案 D解析设P 2(x ，y)，则由P 1P →＝2PP 2→得(2，0)＝2(x －3，y －2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＝2， y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即P 2＝(4，2)． 6．已知A(2，－1)，B(3，1)，若AB →与向量a 平行且方向相反，则a 的坐标可以是( ) A ．(1，12)B ．(2，1)C ．(－1，2)D ．(－4，－8)答案 D解析 AB →＝(3－2，1＋1)＝(1，2)，设a ＝(x ，y)． ∵a ∥AB →且方向相反，∴y ＝2x<0. 令x ＝－4，y ＝－8.7．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2答案 D解析依题意得a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6，4x －2)，∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)＝6(x ＋1)，由此解得x ＝2，选D.8．(高考真题·北京卷)已知a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．答案 19．已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，x)方向相反，则x ＝________．答案－1解析由题意知a 与b 共线，则x 2＝1，∴x ＝±1，又∵a 与b 反向，∴x ≠1，∴x ＝－1.10．(高考真题·陕西卷)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________．答案－1解析由已知a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1，2)，由(a ＋b )∥c 得1×2－(m －1)×(－1)＝m ＋1＝0，所以m ＝－1.11．若点P(x ，1)在A(2，－4)、B(5，11)这两点的连线上，则x ＝________．答案 312．平面内给出三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，求解下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k.解析 (1)3a ＋b －2c ＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1)＝(0，6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3)∵a ＋k c ＝(3，2)＋k(4，1)＝(3＋4k ，2＋k)， 2b －a ＝2(－1，2)－(3，2)＝(－5，2)，又(a ＋k c )∥(2b －a )，∴(3＋4k)·2＝(2＋k)·(－5)．∴k＝－1613.►重点班·选做题13．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝S △PBC S △ABC ，λ2＝S △PCA S △ABC ，λ3＝S △PABS △ABC ，定义f(P)＝(λ1，λ2，λ3)．若G 是△ABC 的重心，f(Q)＝(12，13，16)，则( )A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合答案 A14．设A(x ，1)，B(2x ，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x 为何值时，AB →与CD →共线且方向相同，此时A ，B ，C ，D 能否在同一直线上？解析 AB →＝(x ，1)，CD →＝(4，x)，AB →与CD →共线，则x 2＝4，x ＝±2. 又∵AB →，CD →同向，∴x ＝2.此时BC →＝(－3，2)，AB →与BC →不共线． ∴A 、B 、C 、D 不在同一直线上．15．已知点A(2，0)，B(2，2)，C(1，3)，O 为坐标原点，求AC 与OB 的交点D 的坐标．解析由题意知OB →，OD →共线，故存在实数λ，使OD →＝λOB →＝(2λ，2λ)．又AD →＝OD →－OA →＝(2λ－2，2λ)．AC →＝OC →－OA →＝(－1，3)，又∵AC →与AD →共线，∴(2λ－2)×3－2λ×(－1)＝0，解得λ＝34.故点D 的坐标为(32，32)．1．已知a ＝(－2，1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．15°答案 A解析由a ∥b 得－2(－14)－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0即12＝1－cos 2θ＝sin 2θ，即sin θ＝±22，又∵θ为锐角，∴sin θ＝22，θ＝45°，故选A. 2．已知a ＝(2，－4)，b ＝(1，2)，c ＝(1，－2)，d ＝(－2，－4)，其中的共线向量有( ) A ．a 和b ；c 和d B ．a 和d ；b 和c C ．a 和c ；b 和d D ．以上都正确答案 C3．以下命题错误的是( )A ．若i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，则|i ＋j |＝|i －j |B ．若a ∥b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则必有x 1y 1＝x 2y 2C ．零向量的坐标表示为(0，0)D ．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标答案 B4．(高考真题·广东卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2答案 B5．已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x ，y)，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________．答案112解析 ∵AC →＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，BD →＝(x ，y)－(2, 3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.6．设a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，若向量m a ＋b 与向量c ＝(－3，2)共线，则m ＝________．答案－587．在直角坐标系xOy 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 是∠AOB 的平分线与AB 的交点，则C 坐标为________．答案 (－12，32)8．已知a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，若λa ＋b 与a ＋λb (λ∈R )平行，求λ的值．解析 λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)． ∵λa ＋b 与a ＋λb (λ∈R )平行，∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)＝0，即－7λ2＋7＝0，解得λ＝±1. 9．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ的值．解析 (1)设B(x ，y)．∵A(－1，－2)，∴AB →＝(x ＋1，y ＋2)＝(4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝4，y ＋2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.即B(3，1)．同理可得D(－4，－3)．∴线段BD 的中点M 的坐标为(3－42，1－32)，即M(－12，－1)． (2)∵PB →＝(1，1－y)，BD →＝(－7，－4)， ∴由PB →＝λBD →得(1，1－y)＝λ(－7，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，解得y ＝37，λ＝－17.10．已知a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，n ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . (1)若n ＝3v ，求x ；(2)若n ∥v ，并说明此时两向量方向相同还是相反．解析 ∵a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，∴n ＝a ＋2b ＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3)，v ＝2a －b ＝(2，2)－ (x ，1)＝(2－x ，1)．(1)∵n ＝3v ，∴(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝6－3x ，3＝3，解得x ＝1.(2)∵n ∥v ，∴2x ＋1＝3 (2－x)，∴x ＝1.此时，n ＝(3，3)，v ＝(1，1)，n ＝3v ，∴n 与v 方向相同．11．在△ABC 中，已知点A(3，7)、B(－2，5)．若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上，求点C 的坐标．解析 (1)若AC 的中点在y 轴上，则BC 的中点在x 轴上，设点C 的坐标为(x ，y)，由中点坐标公式，得3＋x 2＝0，y ＋52＝0，∴x ＝－3，y ＝－5，即C 点坐标为(－3，－5)．(2)若AC 的中点在x 轴上，则BC 的中点在y 轴上，则同理可得C 点坐标为(2，－7)．综合(1)(2)，知C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．12．设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．解析 (1)如图，由向量的线性运算可知OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)(2)如图，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1P PP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12，那么OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)，即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1P PP 2＝2，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式．教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y)，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ（x 2－x ），y －y 1＝λ（y 2－y ），⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．13．设a ＝(6，3a)，b ＝(2，x 2－2x)且满足a ∥b 的实数x 存在，求实数a 的取值范围．解析由a ∥b 的条件得6(x 2－2x)－3a×2＝0. 即x 2－2x －a ＝0. ①根据题意，方程①有实数解，故有Δ＝4＋4a≥0，即a≥－1.。

2019-2020学年高中数学人教A版必修4同步作业与测评：2.3.3 平面向量共线的坐标表示 Word版含解析

第22课时平面向量共线的坐标表示A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)B．a＝(2，3)，b＝(3，2)C．a＝(1，2)，b＝(7，14)D．a＝(－3，2)，b＝(6，－14)答案C解析－2×6－3×4＝－24≠0，故A错误；2×2－3×3＝－5≠0，故B错误；－3×(－14)－2×6＝30≠0，故D错误；1×14－2×7＝0，故选C．2．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若m a＋4b与a－2b共线，求m的值．解m a＋4b＝(2m，3m)＋(－4，8)＝(2m－4，3m＋8)；a－2b＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1)，由题意得4(3m＋8)－(－1)(2m－4)＝0，解得m＝－2．A．(－2，－1) B．(2，1)C ．(3，－1)D ．(－3，1) 答案 A解析 ∵a ∥b ，∴x ＝－4，∴a ＋b ＝(2，1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)，故选A ． 4．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A ．14B ．12 C ．1 D ．2 答案 B解析由题意可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)．由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，解得λ＝12．5．已知AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，且BC →∥DA →，试确定x ，y 的关系式．解因为AB→＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，所以AD→＝AB →＋BC →＋CD →，＝(6，1)＋(x ，y )＋(－2，－3) ＝(4＋x ，y －2)．又因为BC→∥DA →，所以BC →∥AD →．所以x (y －2)－y (4＋x )＝0，得xy －2x －4y －xy ＝0，故x ＋2y ＝0．6．已知A ，B ，C 三点共线，BA ＝－38AC ，点A ，B 的纵坐标分别为2，5，则点C 的纵坐标为________．答案 10解析设点C 的纵坐标为y ，∵A ，B ，C 三点共线，BA→＝－38AC →，A ，B 的纵坐标分别为2，5，∴2－5＝－38(y －2)，∴y ＝10．7．已知OA →＝(1，1)，OB →＝(3，－1)，OC →＝(a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系； (2)若AC→＝2AB →，求点C 的坐标．解由题意知，AB→＝OB →－OA →＝(2，－2)，AC →＝OC →－OA →＝(a －1，b －1)．(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，即2(b －1)－(－2)×(a －1)＝0，故a ＋b ＝2．(2)∵AC→＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝(4，－4)， ∴⎩⎨⎧a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3，即点C 的坐标为(5，－3)． 8．已知两点A (3，－4)，B (－9，2)在直线AB 上求一点P ，使|AP→|＝13|AB →|．解设点P 的坐标为(x ，y )，①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝12(－9－x ，2－y )．解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)．②若点P 在线段BA 的延长线上，则AP→＝－14PB →，∴(x －3，y ＋4)＝－14(－9－x ，2－y )．解得x ＝7，y ＝－6，∴P (7，－6)．综上可得点P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (3，1)，C (4，3)，D (1，2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM →，CN →的坐标，并判断AM →，CN →是否共线．解由已知可得M (2．5，2．5)，N (1．5，0．5)，所以AM→＝(2．5，2．5)，CN →＝(－2．5，－2．5)．又2．5×(－2．5)－2．5×(－2．5)＝0，所以AM →，CN →共线．一、选择题1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( ) A ．－6 B ．－3 C ．0 D ．9 答案 A解析 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6．故选A ．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C ．12 D ．1 答案 B解析因为u ＝a ＋k b ＝(1，2＋k )，v ＝2a －b ＝(2，3)，所以3－2(2＋k )＝0，解得k ＝－12．3．若点M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( )A ．AB→＋BC →＋AC → B ．AM →＋MB →＋BC → C ．AM →＋BM →＋CM → D ．3AM →＋AC → 答案 C解析选项A 中，AB→＋BC →＋AC →＝2AC →，与AB →不共线；选项B 中，AM →＋MB →＋BC→＝AC →，与AB →不共线；选项C 中，因为M 是△ABC 的重心，所以AM →＋BM →＋CM →＝0，故与AB→共线；易知3AM →＋AC →与AB →不共线．故选C ．4．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，0)，λa ＋μb 与a －2b 共线，则λμ等于( ) A ．12 B ．2 C ．－12 D ．－2 答案 C解析易知a ，b 不共线，则有λ1＝μ－2，故λμ＝－12．5．已知a ＝(－2，1－cos θ)，b ＝1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45° B ．30° C ．60° D ．15° 答案 A解析由a ∥b 得－2×－14－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0，即12＝1－cos 2θ＝sin 2θ，得sin θ＝±22，又θ为锐角，∴sin θ＝22，θ＝45°，故选A ．二、填空题6．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．答案 0，72或73，0解析由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB→＝(x －1，y －2)＝b ．由⎩⎨⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎨⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B 0，72或73，0．7．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________．答案 1解析 a －2b ＝(3，3)．由a －2b 与c 共线，得k 3＝33，解得k ＝1． 8．已知△ABC 的顶点A (2，3)和重心G (2，－1)，则BC 边上的中点的坐标是________．答案 (2，－3)解析设BC 边上的中点为D (x ，y )，则AG →＝2GD →，∴⎩⎨⎧2(x －2)＝0，2(y ＋1)＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3.三、解答题9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且AE →＝13AC →，BF→＝13BC →． (1)求E ，F 的坐标； (2)判断EF→与AB →是否共线．解 (1)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．依题意得AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)．由AE →＝13AC →可知，(x 1＋1，y 1)＝13(2，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝23，y 1＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13，y 1＝23，∴E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23．由BF →＝13BC →可知，(x 2－3，y 2＋1)＝13(－2，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23，y 2＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0，∴F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0．故E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，F 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0． (2)由(1)可知EF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23，又AB→＝(4，－1)，∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，故EF →与AB →共线． 10．设四边形ABCD 的四个顶点分别为A (4，8)，B －1，152，C (－2，－1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，7，求AC 与BD 交点M 的坐标．解设M (x ，y )，则AM→＝(x －4，y －8)，BM →＝x ＋1，y －152，CM →＝(x ＋2，y ＋1)，DM →＝x ＋34，y －7．因为A ，M ，C 共线，有(x －4)(y ＋1)＝(x ＋2)·(y －8)，即3x －2y ＋4＝0；因为B ，M ，D 共线，有(x ＋1)(y －7)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫y －152，化简为4x＋2y －11＝0，由⎩⎨⎧3x －2y ＋4＝0，4x ＋2y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝72，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72．。

2020_2021高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业含解析新人教A版必修

2.3.4[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：AB →＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．答案：D2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析：由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．答案：C3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( )A.12B.13C ．1D ．2解析：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A. 答案：A4．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1)C ．(9,1)D ．(－9，－1)解析：设点C 的坐标是(x ，y )，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋λm 2＝0，1＋2λ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－12，m ＝0或2，故选C.方法二由a ＋λb ＝0，知a ＝－λb ，故a ∥b ，所以2m ＝m 2，解得m ＝0或2. 答案：C12．已知向量a ＝(1,2)，写出一个与a 共线的非零向量的坐标________．解析：向量a ＝(1,2)，与a 共线的非零向量的纵坐标为横坐标的2倍，例如(2,4)．答案：(2,4)(答案不唯一)13．如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．解析：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．易知AC →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以P 点的坐标为(3,3)． 14．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解析：(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ，3＝m λ，解得m ＝32.。

2019高中数学课时分层作业20 平面向量共线的坐标表示新人教A版必修4

课时分层作业(二十) 平面向量共线的坐标表示(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)B [只有选项B 中两个向量不共线可以表示向量a .]2．若向量a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线且方向相同，则x 的值为( )【导学号：84352236】A. 2 B ．－ 2 C ．2D ．－2A [由a ∥b 得－x 2＋2＝0，得x ＝± 2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反．]3．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则( ) A ．存在实数x ，使a∥b B ．存在实数x ，使(a ＋b )∥a C ．存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a D ．存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥bD [由a∥b ⇔x 2＝－9无实数解，故A 不对；又a ＋b ＝(x －3,3＋x )，由(a ＋b )∥a 得3(x －3)－x (3＋x )＝0，即x 2＝－9无实数解，故B 不对；因为m a ＋b ＝(mx －3,3m ＋x )，由(m a ＋b )∥a 得(3m ＋x )x －3(mx －3)＝0，即x 2＝－9无实数解，故C 不对；由(m a ＋b )∥b 得－3(3m ＋x )－x (mx －3)＝0，即m (x 2＋9)＝0，所以m ＝0，x ∈R ，故D 正确．] 4．若三点A (2,3)，B (3，a )，C (4，b )共线，则有( ) A ．a ＝3，b ＝－5 B ．a －b ＋1＝0 C ．2a －b ＝3D ．a －2b ＝0C [AB →＝(1，a －3)，AC →＝(2，b －3)，因为A ，B ，C 共线，所以AB →∥AC →，所以1×(b －3)－2(a －3)＝0，整理得2a －b ＝3.]5．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于 ( ) 【导学号：84352237】A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [由a ∥b ，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°.]二、填空题6．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________. 32[由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6)．又AB →与a ＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，解得λ＝32.]7．若三点A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (x,1)共线，则x ＝________. 9 [∵AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x －1,4)，AB →∥AC →，∴7×4－72×(x －1)＝0，∴x ＝9.]8．已知向量a ＝(－2,3)，b∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________.【导学号：84352238】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 [由b∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB→＝(x －1，y －2)＝b . 由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2，又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.]三、解答题9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求a ＋3b 的坐标．(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？【导学号：84352239】[解] (1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．所以a ＋3b ＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)． (2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，解得k ＝－13，所以k a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，即k ＝－13时，k a －b 与a ＋3b 平行，方向相反．10．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.[证明] 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)， AB →＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23. 因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. 所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF →∥AB →.[冲A 挑战练]1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则n m＝( )【导学号：84352240】A ．2B ．3C ．±2D ．－2D [由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以nm＝－2.]2．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，若p ∥q ，则角C 为( )A.π6 B.2π3C.π2D.π3C [因为p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )，且p ∥q ，所以(a ＋c )(c －a )－b ·b ＝0，即c 2＝a 2＋b 2，所以角C 为π2.故选C.] 3．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．m ≠12[AB →＝OB →－OA →＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，AC →＝OC →－OA →＝(5－m ，－3－m )－(3，－4)＝(2－m,1－m )，由于点A ，B ，C 能构成三角形，则AC →与AB →不共线，则3(1－m )－(2－m )≠0，解得m ≠12.]4．已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，且P 1P →＝λPP 2→，则λ＝________，y ＝________.517 4922 [∵P 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，y －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y －2，PP 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫－8－12，3－y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－172，3－y ，且P 1P →＝λPP 2→，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－172，3－y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－52＝－172λ，y －2＝λ－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.]5．如图2320所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标.【导学号：84352241】图2320[解] ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫4，74，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①∵CM →∥CB →， ∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.。

2019-2020高中数学必修四配套课件：2.3.4平面向量共线的坐标表示

【方法规律】由向量共线求参数的值的步骤
第十四页，编辑于星期日：点三十七分。
(1)已知向量 a＝(2,3)与 b＝(x，－6)共线，求实数 x；
(2)已知四边形 ABCD 中，A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，若B→C＝2A→D，求点 D 的坐标．
第十五页，编辑于星期日：点三十七分。
忽视向量共线中的方向致误
【示例】设点 A(－1,2)，B(n－1,3)，C(－2，n＋1)，D(2,2n
＋1)，若向量A→B与C→D共线且同向，则 n 的值为( )
A．0
B．±2
C．2
D．－2
第十七页，编辑于星期日：点三十七分。
【错解】B 【错因】易忽略题目条件中的同向．准确计算有关向量的坐标是解答此类问题的前提．【正解】由已知条件得A→B＝(n,1)，C→D＝(4，n)，由A→B与C→D 共线得 n2－4＝0，n＝±2. 当 n＝2 时，A→B＝(2,1)，C→D＝(4,2)，则有C→D＝2A→B，A→B与C→D共线且同向；
【解析】(1)由向量 a＝(2,3)与 b＝(x，－6)共线，得 2×(－ 6)－3x＝0，解得 x＝－4.
(2)设 D(x，y)，则B→C＝(4,3)，A→D＝(x，y－2)，
由B→C＝2A→D，得22xy＝－42，＝3，
x＝2，解得y＝72，
即 D2，72.
第十六页，编辑于星期日：点三十七分。
第二十三页，编辑于星期日：点三十七分。
4．(2019年安徽模拟)已知平面向量a＝(2，x)，b＝(3，x＋ 1)，若a∥b，则x＝______.
【答案】2 【解析】a＝(2，x)，b＝(3，x＋1)，a∥b，所以2(x＋1)－ 3x＝0，解得x＝2.

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2019-2020学年高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业新人教A 版必修4一、选择题1．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥b ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向[答案] D[解析] ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，又a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1..∴c ＝－d ，∴c 与d 反向．2．(陕西高考文)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.3．(2015·北京西城高三第一学期期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，又AB →∥a ，所以(y －1)－2×3＝0，解得y ＝7.4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)[答案] A[解析] 设C (x ，y )，∵A (0,1)，AC →＝(－4，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，∴C (－4，－2)，又B (3,2)，∴BC →＝(－7，－4)，选A ．5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于( ) A ．－6 B ．6 C ．2 D ．－2[答案] B[解析] a ＋2b ＝(5,5)，3a ＋λb ＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6.6．(2015·济南模拟)若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－12B ．12C ．2D ．－2 [答案] A[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，a －mb ＝(1,2)－m (－3,0)＝(1＋3m,2)∵(2a ＋b )∥(a －m b ) ∴－1＝(1＋3m )×2 ∴6m ＝－3，解得m ＝－12二、填空题7．(2015·北京东城区模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为________．[答案] 12[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝12.8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)．若λa ＋u b 与a ＋b 共线，则λ与u 的关系为________．[答案] λ＝u[解析] ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋u b ＝λ(1,2)＋u (－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u )．又∵(λa ＋u b )∥(a ＋b )，∴(－1)×(2λ＋3u )－5(λ－2u )＝0.∴λ＝u . 三、解答题9．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值． [解析] ∵AB →＝(4－k ，－7)，BC →＝(－k －4,5)，因A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →， ∴7(k ＋4)－5(4－k )＝0，∴k ＝－23.10．已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标． [解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →|，则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x,9－y )．当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－x ，y －5＝－y ，解得x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－－x ，y －5＝－－y ，解得x ＝152，y ＝11.∴点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11.能力提升一、选择题1．已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，则a 和b 的关系是( ) A ．共线且方向相同 B ．共线且方向相反 C ．是相反向量 D ．不共线[答案] B[解析] 因为a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，所以a ＝－23b ，由于λ＝－23<0，故a 和b共线且方向相反．2．(2015·福州高一检测)设a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．75°D ．45°[答案] D[解析] 32×13＝sin αcos α，sin2α＝1,2α＝90°，α＝45°.3．(重庆高考文)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[思路点拨] 分别求出a ＋b,4b －2a ，将向量共线的条件转化为坐标运算，从而求出x 的值．[解析] 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．Ø[答案] C[解析] 设a ∈M ∩N ，则存在实数λ和中μ，使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－3λ＝35μ－4λ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝0，∴a ＝(－2，－2)．二、填空题5．(北京高考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.[答案] 1[解析] a －2b ＝(3，3)．因为a －2b 与c 共线，所以k3＝33，解得k ＝1. 6．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|，则求点P的坐标为________．[答案] (45，34)[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有P 1P →＝23PP 2→，又P 1P →＝(x －2，y ＋1)，PP 2→＝(－1－x,3－y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝23－1－x ，y ＋1＝23－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.三、解答题7．平面内给定三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 和n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解析] (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.∴m ＝59，n ＝89.(3)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)．又∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)判断EF →与AB →是否共线．[解析] (1)设E (x 1，y 1)、F (x 2，y 2)，依题意得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)．由AE →＝13AC →可知(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝23y 1＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13y 1＝23，∴E (－13，23)．由BF →＝13BC →可知(x 2－3，y 2＋1)＝13(－2,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23y 2＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0.∴F (73，0)，即E 点的坐标为(－13，23)，F 点的坐标为(73，0)．(2)由(1)可知EF →＝OF →－OE →＝(73，0)－(－13，23)＝(83，－23)，(O 为坐标原点)，又AB →＝(4，－1)， ∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，即EF →与AB →共线．。