2016山东高考冲刺卷概率统计大题(文)
2016年高考数学冲刺卷02 理(山东卷)答案
2016年高考数学冲刺卷02 理（山东卷）答案第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【命题意图】本题考查集合的真子集的概念、方程的解法等基础知识，考查数据处理能力以及基本运算能力. 【答案】C【试题解析】由于{}2|02A x ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，所以集合A 只有一个元素，有1211-=个真子集；故选C.2.【命题意图】本题考查复数的几何意义、直线方程等基础知识，考查学生的基本运算能力. 【答案】B.【试题解析】复数z 对应的点为(1,3)a -，则有312a =-+，所以2a =；故选B.3.【命题意图】本题考查指数不等式、对数不等式以及充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力. 【答案】B4.【命题意图】本题考查平面向量垂直的判定和四边形的面积等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】C【试题解析】∵0OB AC ⋅=，∴OA BC ⊥，∴152OABC S OB AC ==，故选C . 5.【命题意图】本题考正态分布、正态分布密度曲线和定积分的几何意义等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】A【试题解析】因为随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数()()222x f x --=的图象，所以2μ=，即函数()f x 的图象关于直线2x =对称，因为21()3f x dx =⎰，所以()1023P X <≤=，所以()1243P X <≤=，因为()()12442P X P X <≤+>=， 所以()()14242P X P X >=-<≤111236=-=；故选A ．6.【命题意图】本题考查程序框图的应用和三角函数的周期性，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】B【试题解析】由框图知输出的结果π2π2016πsin sin sin333s =+++，因为函数πsin 3y x =的周期是6，所以π2π6π336(sinsin sin)333s =+++00336=⨯=，故选B. 7.【命题意图】本题考查简单的线性规划和数形结合思想的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力. 【答案】B8.【命题意图】本题以新定义为载体考查不足近似值或过剩近似值等基础知识，意在考查学生的审题能力和基本运算能力. 【答案】A 【试题解析】令3149π1015<<，则第一次用“调日法”后得16 3.2π5=>是π的更为精确的过剩近似值，即3116π105<<；第二次用“调日法”后得47π15<是π的更为精确的不足近似值，即4716π155<<；第三次用“调日法”后得63π20>是π的更为精确的过剩近似值，即4763π1520<<；第四次用“调日法”后得72235110=是π的更为精确的过剩近似值，即第四次用“调日法”后可得π的近似分数为722；故选A ． 9.【命题意图】本题考查双曲线的定义和几何性质、抛物线的几何性质和平面向量的数量积等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力. 【答案】B10.【命题意图】本题考查函数的性质的应用以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、基本运算能力和解决问题的综合能力. 【答案】B【试题解析】令221)()(x x f x g -=，因为x ∀∈R ，有2()()f x f x x -+=， 所以021)(21)()()(22=-+--=+-x x f x x f x g x g ，即函数)(x g 为奇函数，因为在(0,)+∞上()f x x '<，所以0)()(''<-=x x f x g ，即函数)(x g 在(0,)+∞上单调递减，在)0,(-∞上单调递减，又0)0(=g ，)(x g ∴在R 上单调递减，由(4)()84f m f m m --≥-，得2211(4)()(84)(4)(4)[()](84)(4)()022f m f m mg m m g m m m g m g m ----=-+--+--=--≥，即(4)()g m g m -≥，所以m m ≤-4，解得2≥m ；故选B ．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.【命题意图】本题考查全称命题的否定，意在考查学生的逻辑思维能力.【答案】“0x ∃∈R ，0sin 1x ≥”【试题解析】命题“x ∀∈R ，sin 1x <”的否定是“0x ∃∈R ，0sin 1x ≥”．12.【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、组合体的体积等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力. 【答案】36π288+【试题解析】由三视图，知该几何体是由底面圆的半径为3，高为8的半圆柱和长为8，宽为6，高为6的长方体的组合体，所以该几何体的体积是21π3886636π2882V =⨯⨯⨯+⨯⨯=+． 13.【命题意图】本题考查排列组合应用题，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】3614.【命题意图】本题考查正弦定理、三角形的面积公式以及两角差的正弦公式的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.【试题解析】由正弦定理得：2sin b R B =，2sin c R C =，因为cos cos b C c B =，所以sin cos sin cos B C C B =，即()sin cos sin cos sin 0B C C B C B -=-=，所以C B =，即1c b ==，所以a 边上的高是12=，所以ABC ∆的面积是1122= 15.【命题意图】本题考查利用数列的递推式求数列的通项公式以及利用基本不等式求最值等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、基本运算能力和解决问题的综合能力. 【答案】229【试题解析】因为数列}{n a 满足601=a ，*12()n n a a n n +-=∈N ，所以)1(24260)()()(123121-+⋅⋅⋅+++=-+⋅⋅⋅+-+-+=-n a a a a a a a a n n n602)11)(1(2602+-=-+-⨯+=n n n n则160602-+=+-=nn n n n n a n ，当7=n 时，7414160=-+n n ，当8=n 时， 229160=-+n n ，所以n a n 的最小值为229；故填229．三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换以及余弦定理的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．（Ⅱ）由1cos 22A f A ⎛⎫-=⎪⎝⎭，可得1sin cos 62A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，11cos 22A A -= ， …………………………………7分 化简得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， …………………………………8分50666A A ππππ<<∴-<-<…………………………………9分 ,663A A πππ∴-=∴=， …………………………………10分又1bc =，3b c +=，由余弦定理可得()22222cos 36a b c bc A b c bc =+-=+-=， …………………………………11分a ∴=…………………………………12分17. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项和前n 项和公式以及数学归纳法、裂项抵消法的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．（Ⅱ）因为)121121(1142114141414222+--+=-+=-+=-+=n n n n n a a c n n n ，所以1211)121121()7151()5131()311(+-+=+--+⋅⋅⋅+-+-+-+=n n n n n S n ．因为2016<n S ，所以20161211<+-+n n ，即2015121<+-n n ，所以使2016<n S 的最大 自然数n 为2015． ………………12分 18. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查独立性检验思想的应用、几何概型的概率公式、超几何分布的分布列和期望等知识，意在考查学生的应用数学能力和准确的计算能力.【试题解析】(Ⅰ)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关；.……………4分(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种； 两人都被抽到有221C =种X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X == X 的分布列为：151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯=.………………12分19. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查空间中垂直关系的转化、空间向量在立体几何中的应用以及同角三角函数基本关系式等知识，意在考查学生的空间想象能力和严密的逻辑推理能力.【试题解析】（Ⅰ）由题意，菱形11ACC A 中，1112,60AC AA AAC ==∠=111,DA DC DC DA ∴===又1BAC ∆中，12BA BC ==1,BD AC BD ∴⊥=222BCD BC DB DC ∴∆=+中，BD DC ∴⊥又11DC AAC C ⊂面，且1DC AC D =11BD AAC C ∴⊥面………………6分20. （本小题满分13分）【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，意在考查学生的化归与转化思想的应用、运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）()()00ln 011f e =++=，()11x f x e x '=++，()010201f e '=+=+， ∴()y fx =在点()()0,0f 处的切线方程为()120y x -=-，即210x y -+=.…5分（Ⅱ）令()()1g x f x ax =--，则()()11x g x f x a e a x ''=-=+-+，令()11xh x e x =++，则()()211x h x e x '=-+，21. （本小题满分14分）【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系以及对称问题，意在考查学生逻辑推理能力和分析问题、解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的左顶点在圆22:12O x y +=上，所以a =. …………1分又离心率为23，所以23=a c ，所以3=c …………………2分 所以2223b a c =-=， …………………3分所以椭圆C 的方程为221123x y +=. …………………………4分（Ⅱ）（i ）设11(,)M x y ，22(,)N x y .直线l 与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得22(4)630m y my ++-=，∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ …………………………………………6分 ∴2121222624()6644m x x m y y m m +=++=-+=++，222212121222231836123()99444m m m x x m y y m y y m m m -=+++=--+=+++.因为OM ON ⊥，∴0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，代入，得22236123044m m m --=++，解得2114m =，所以m =. ………………8分故PMN ∆的面积存在最大值，最大值为1. ……………………………14分。
2016版高考数学(文山东版)二轮复习课件第2部分-专题6 概率与统计-第3讲
法二 ∵(z－－ z )i＝2， 2 － ∴z－ z ＝ ＝－2i.又 z＋－ z ＝2， i ∴(z－－ z )＋(z＋－ z )＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i，故选 D.
【答案】 (1)A (2)D
1．与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形，把复 数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解． 2．与复数 z 的模|z|和共轭复数 － z 有关的问题，一般都要先设出复数 z 的代 数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决．
【理要点· 5 分钟回扣核心知识】 一、熟记核心要点 1．程序框图的三种逻辑结构： 顺序结构 、 条件结构 (1)顺序结构：如图 631(1)所示． 和 循环结构 ．
图 631
(2)条件结构：如图 631(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图 631(4)和图(5)所示． 2．复数的四则运算法则 (1)(a＋bi)± (c＋di)＝ (a±c)＋(b±d)i ； (2)(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(bc＋ad)i ； ac＋bd bc－ad (3)(a＋bi)÷ (c＋di)＝ 2 ＋ i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)． c ＋d2 c2＋d2
考点 1 复数的概念及运算 题型：选择、填空 热点 难度：基础 分值：5 分
以复数的运算为载体，考查复数的有关概念及几何意义
知识小脉络：
1＋z (1)(2015· 全国卷Ⅰ)设复数 z 满足 ＝i，则|z|＝( 1－z A．1 B. 2 C. 3 D．2
)
(2)(2015· 太原模拟)－ z 是 z 的共轭复数，若 z＋－ z ＝2，(z－－ z )i＝2(i 为虚数单 位)，则 z＝( A．1＋I ) B．－1－i C．－1＋I D．－ － (4)|z|＝1⇔z z ＝1⇔ z ＝ . z
【名校推荐】专题25 概率与统计-三年高考(2016-2018)数学(文)试题分项版解析 Word版含解析
考纲解读明方向分析解读 本节内容是高考的重点考查内容之一,最近几年的高考有以下特点:1.古典概型主要考查等可能性事件发生的概率,也常与对立事件、互斥事件的概率及统计知识综合起来考查;2.几何概型试题也有所体现,可能考查会有所增加,以选择题、填空题为主.本节内容在高考中分值为5分左右,属容易题.分析解读从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.1．【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.点睛：2．【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则，因为，所以，故选B.点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。
3．【2018年全国卷II文】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4．【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5．【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.6．【2018年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样。
金卷：2016年高考数学(文)冲刺卷 06(山东卷)(考试版)
绝密★启用前2016年高考冲刺卷（6）【山东卷】文科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|11M x x =-≤≤，{}2|,N y y x x M ==∈，M N =I （ ）A ．[1,1]-B ．[0,)+∞C ．(0,1)D ．[0,1]2．已知复数z 满足(1i)2i z +=(i 为虚数单位），则z =（ ）A ．12BCD ． 23．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里 4．设命题:p 函数x x f 2sin )(=的最小正周期为2π；命题:q 函数x x g cos )(=的图像关于直线2π=x 对称，则下列判断正确的是（ ）A.p 为真B. q ⌝为假 C ．q p ∨为真 D. q p ∧为假 5．某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝ln x ＋2x －6 D ．f (x )＝sin x 6．给出下列命题：①设,a b 为非零实数，则“a b <”是“11a b>”的充分不必要条件；②在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >；③命题“R sin 1x x ∀∈<，”的否定为“00R,sin 1x x ∃∈>”； ④命题“若x ≥2且y ≥3，则x y +≥5”的逆否命题为“5x y +<，则2x <且3y <”.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.37．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( ) A .4πB .22π- C .6πD .44π- 8．已知(3)1()log 1a a x a x f x xx a --<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是(-∞,+∞)上的增函数，则a 的取值范围是( ).A.)3,2[B. )3,1(C. ),1(+∞D. ),3(+∞9． 已知抛物线28x y =的焦点为F ,点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(0,2)A -,则PA PF的最大值是（ ） A.1B.C.D.210．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程||()10x f x -=在1010[,]33-上根的个数是 A.6个 B.8个 C.10个 D. 4个第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知向量,a b r r ，满足(1,3)a =r ，()()a b a b +⊥-r r r r ，则||b =r.13．设函数()f x =，则4()()2x f f x+的定义域为13.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则sin A = .14．已知直线2y x a =-+与圆C :224440x y x y +-++=相交于B A ,两点，且ABC △的面积2S =，则实数=a ．15．已知函数12)(23+++=cx bx x x f 有两个极值点21,x x ，且]1,2[1--∈x ，]2,1[2∈x ，则)1(-f 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）已知向量)sin 2,cos (sin x x x -=，)cos ,cos (sin x x x +=，记b a x f ⋅=)(.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）将函数)(x f 的图像向左平移4π个单位，再向下平移1个单位后，得到函数)(x g 的图像，求函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2的值域.17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，243,7a a ==；数列{}n b 为公比为(1)q q >的等比数列，且满足集合123{,,}{1,2,4}b b b =. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）如图，圆柱1O -O 中，AB 为下底面圆O 的直径，CD 为上底面圆1O 的直径，//CD AB ，点E 、F 在圆O 上，且//F AB E ，且2AB =，D 1A =．（I ）求证：平面DF A ⊥平面C F B ；（II ）若DF 与底面所成角为4π，求几何体F CD E -AB 的体积．19．（本小题满分12分）甲，乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）：甲：79，81，82，78，95，93，84，88 乙：95，80，92，83，75，85，90，80（Ⅰ）画出甲，乙两组同学成绩的茎叶图；（Ⅱ）计算甲，乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟考试中发挥比较稳定；（Ⅲ）在甲，乙两组同学中，若对成绩不低于90分的再随机地抽3名同学进行培训，求抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率．（参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差：s=，其中x 为样本平均数）20.（本小题满分13分）已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>，焦距为线2C ：22(0)x py p =>的焦点F 是椭圆1C 的顶点． （Ⅰ）求1C 与2C 的标准方程；（Ⅱ）若2C 的切线交1C 于P ，Q 两点，且满足0FP FQ ⋅=，求直线PQ 的方程．21．（本小题满分14分）设函数a x a e a x x f x+-+-=)1()()(，R a ∈． （I ）当1=a 时，求)(x f 的单调区间；（II ）（i ）设)(x g 是)(x f 的导函数，证明：当2>a 时，在),0(+∞上恰有一个0x 使得0)(0=x g ； （ii ）求实数a 的取值范围，使得对任意的[]2,0∈x ，恒有0)(≤x f 成立．注：e 为自然对数的底数。
山东省高三数学理一轮复习专题突破训练：统计与概率Word版含解析
山东省2016届高三数学理一轮复习专题突破训练统计与概率一、选择、填空题 1、（2014年山东高考）为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 2、（2013年山东高考）在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为__________． 3、（德州市2015届高三二模）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是A.91 5.5B.91 5C.92 5.5D.92 5 4、（菏泽市2015届高三二模）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A ，编号落入区间[301，495]的人做问卷B ，编号落入区间[496，600]的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为 8 ． 5、（青岛市2015届高三二模）高三（3）班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（ ） A ． 30 B ． 31 C ． 32 D ． 33 6、（潍坊市2015届高三二模）某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是 ； 7、（德州市2015届高三上期末）如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄 在[30，35)，[35，40)，[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列，则年龄在[35，40）的频 A. 0. 04 B. 0. 06 C. 0. 2 D. 0. 38、（莱州市2015届高三上期末）某次数学摸底考试共有10道选择题，每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是 A. 4310-⨯B. 5310-⨯C. 6310-⨯D. 7310-⨯9、（青岛市2015届高三上期末）有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是13，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少以后一位同学能通过测试的概率为 A. 827 B. 49 C. 23 D. 192710、（潍坊市2015届高三上期末）向右图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为A.12ln 24+ B.ln 22 C. 2ln 24+D. 2ln 24-11、（潍坊市2015届高三一模）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为A ．90%B ．95%C ．99%D ．99.9%附：参考公式和临界值表由))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，12、（烟台市2015届高三一模）甲乙两名同学参加某项技能比赛，7名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（ ）A ．甲成绩稳定且平均成绩较高B ．乙成绩稳定且平均成绩较高C ．甲成绩稳定，乙平均成绩较高D ．乙成绩稳定，甲平均成绩较高13、（泰安市2015届高三一模）根据如下样本数据得到的回归方程为.7.9y bx a a x =+=若，则$每增加1个单位，y 就A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位C.增加1.2个单位D.减少1.2个单位 14、（德州市2015届高三一模）某校对全校1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是＿＿＿＿人。
山东省高考数学文科汇总--统计概率
近年山东文科高考分类汇编---概率统计部分【2016山东（文）】16.某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【解析】解：（Ⅰ）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个，∴小亮获得玩具的概率为；（Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，∴小亮获得水杯的概率为；小亮获得饮料的概率为1﹣﹣=，∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．【2014山东（文）】(16)（本小题满分12分）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（Ｉ）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（II ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【解析】16、（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：::50:150:1001:3:2A B C ==所以各地区抽取商品数为：1:616A ⨯=，3:636B ⨯=，2:626C ⨯=； （Ⅱ）设各地区商品分别为：12312,,,,,A B B B C C基本时间空间Ω为：()()()()()()()123121213,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C A C B B B B ()()()()()()()()1112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,B C B C B B B C B C B C B C C C ，共15个. 样本时间空间为：()()()()12132312,,,,,,,B B B B B B C C所以这两件商品来自同一地区的概率为：()4 15P A=.【2013山东（文）】16.(本小题满分12分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)2(1) 1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．【解析】解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝36＝12.(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝3 10.【2012山东（文）】(18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【解析】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310 P=.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815 P=.【2011山东（文）】18．（本小题满分12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．【解析】18．解：（I ）甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：（A ，D ）（A ，E ），（A ，F ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ）共9种。
2016年高考数学(文)冲刺卷03(山东卷)解析版含解析
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21z i=+（i 是虚数单位）在复平面内对应的点是（ ） A. (1.1) B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)-- 【命题意图】本题考查复数的除法运算、复数的概念及复数的几何意义，意在考查学生的基本计算能力. 【答案】B【试题解析】所以z 的对应点为(1,1)-. 故答案为B.2. 已知集合{}{}2|20,|02M x x x N x x =+-<=<<,则M N = （ ）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(0,1)D ．(1,2)【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力. 【答案】C3. 已知等比数列{}n a 的公比为正数，且237424,2a a a a ==，则1a =（ ）A ．1 C ．2 D ．2【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式等知识，意在考查学生的归纳推理的能力和基本计算能力. 【答案】B【试题解析】222237454444,02a a a a a q q q =⇒=⇒=>∴= ，因此21 1.a a q ==选B.4. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．7【命题意图】本题考查程序框图的应用，意在考查学生的逻辑思维能力. 【答案】C5. 已知函数()2ln x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图像为（ ）【命题意图】本题主要考查了学生的识图能力以及运用数形结合的思想方法，属于中档题.解答这类问题通常用排除法，也就是通过图象的区别逐个选项排除，主要的技巧是先观察各图象的区别，确定应研究函数的奇偶性、单调性等，再利用解析式加以解决. 【答案】A 【试题解析】通过函数解析式，可以判断函数不具备奇偶性，图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，排除B ，C ，而221ln1110e f e e e e e⎛⎫-=-=-< ⎪⎝⎭-，排除D ，故选A.6. “4a >”是“方程20x ax a ++=有两个负实数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】A 【试题解析】7. 函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0 B．．．【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质、函数图象的平移变换等基础知识，意在考查基本运算能力. ω由周期T 确定，即由2T πω=求出．常用的确定T 值的方法有：（1）曲线与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2T ；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为2T ；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T ；（4）有时还可以从图中读出4T 或34T 的长度来确定ω．【答案】A 【试题解析】8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.3B. 2πD. π 【命题意图】本题考查空间几何体的三视图识别及圆锥体的体积计算等知识，意在考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】A【试题解析】该几何体是半个圆锥，故故答案为A.9. 已知,A B 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右顶点，P 是C 上一点，且直线,AP BP 的斜率之积为2，则C 的离心率为（ ）A 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其几何性质、直线的斜率等知识，意在考查学生的数学逻辑思维能力、计算能力和解决问题的综合能力. 【答案】B 【试题解析】10. 已知函数)(x f 定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题：①当0>x 时，()(1)xf x e x =-②函数)(x f 有2个零点③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ④R x x ∈∀21,，都有2)()(21<-x f x f ， 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④【命题意图】本题考查函数的单调性、函数的奇偶性、导数的应用及不等式的性质．意在考查学生的数学逻辑思维能力、计算能力和解决问题的综合能力. 【答案】C 【试题解析】① 函数()f x 在R 上的奇函数，∴()()f x f x =--，令()0,x ∈+∞，则(),0x -∈-∞，()()(1)(1)x x f x f x e x e x --=--=--=-，故①错；②当0<x 时，()(1)0x f x e x =+=，0x e > ，∴1x =-是函数的一个零点，同理可以求出当0>x ，1x =是函数的一个零点，函数()f x 是奇函数，∴()00f =，综上所述函数()f x 有3个零点，故②错；由①可知函数()(1)000(1)0x xe x xf x x e x x -⎧+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ，故③正确；④当0<x 时，()()(1)2xxxf x e x e ex '=++=+，当()2,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单增；当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单减；∴在0<x ，函数有最小值()()2min 2f x f e -=-=-．同理在0x >时，函数有最大值()()2max 2f x f e -==．∴R x x ∈∀21,，都有()()212ma x min ()()2f x f x f x f x e --<-=， 201e -<<,∴222e -<,故④正确．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 设向量a 与b 的夹角为θ，且(3,3),(1,2)a b ==，则cos θ=________．【命题意图】本题考查平面向量的数量积、夹角及向量的坐标运算，意在考查学生的计算能力..【答案】1012. 若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是 .【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查学生的数形结合思想的应用. 【答案】3-【解析】作出不等式组02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域及直线0x y -=，如下图：平移直线0x y -=，由图可知当直线经过点03C （，）时min 3z =-．13. 采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002，....，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001,300]的人做问卷A ，编号落入区间[301,495]的人做问卷B ，编号落入区间[496,600]的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为_________.【命题意图】本题考查系统抽样方法，意在考查学生的应用意识及计算能力. 【答案】8【试题解析】分段间隔为抽到的第一个号码为003，所以抽到的第n 个号码为：因为所以第43至50个人做问卷C ，即共50428-=人，故答案为8.14. 若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b += .【命题意图】本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、数形结合思想的应用及基本计算能力. 【答案】18 【试题解析】15. 已知定义的R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-且在[1,)+∞上是增函数，不等式(2)(1)f ax f x +≤-对任意1[,1]2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 .【命题意图】本题主要考查的是函数的对称性、单调性及利用函数性质解决恒成立问题，涉及含参绝对值不等式的恒成立问题，最值问题，意在考查逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】[2,0]-【试题解析】由(1)(1)f x f x +=-知，函数的对称轴为1x =，又()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以在(,1)-∞上是减函数，因为(2)(1)f ax f x +≤-对任意1[,1]2x ∈恒成立，所以211(1)2ax x x +-≤--=-对任意1[,1]2x ∈恒成立，即12ax x +≤-对任意1[,1]2x ∈恒成立，所以212x ax x -≤+≤-，因为1[,1]2x ∈，所以3111a x x-≤≤-，由函数增减性知，当1x =时，max 3(1)2x -=-，min 1(1)0x -=，所以20a -≤≤，故答案为[2,0]-．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()()cos 2cos b A c a B π=+-.（1）求角B 的大小；（2）若4b =，ABC ∆a c +的值.【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理和余弦定理的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．【答案】（1）23B π=；（2）a c += 【试题解析】17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，74a =，1992a a =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其性质、裂项相消法求和等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和较高的计算能力. 【答案】（1）12n n a +=，（2）2.1n nS n =+ 【试题解析】18. （本小题满分12分）某高校从2015年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2015年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段[)[)[)90,100,100,110140,150 ，后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校2015年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数；（3）若用分层抽样的方法从数学成绩在[)90,100与[]140,150两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[)90,100内的概率．【命题意图】本题考查古典概型的概率、分层抽样、样本的频率分布直方图，意在考查学生的数学知识的应用能力和基本计算能力.【答案】10.0326243（）；（）；（）35． 【试题解析】（1）(0.0050.0120.020.025)101a +⨯+++⨯=，∴0.03a =………………3分 （2）(0.030.0250.01)10960624++⨯⨯=（人） ………………6分19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．【命题意图】本题考查空间平面与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定等知识；意在考查学生的空间想象能力与逻辑推理论证能力.【答案】（1）见解析；（2）见解析【试题解析】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（3分）因为PC 平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（5分）（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（7分）因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE∩DE=E， 所以PA ⊥平面BDE ．…（11分）因为PA ⊂平面PAB ，所以平面BDE ⊥平面PAB ．…（12分）20.（本小题满分13分）已知函数()e ln 1xf x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >.【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、证明不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的综合能力，以及基本运算能力. 【答案】（Ⅰ）()e 1y x =-. （Ⅱ）见解析.（Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1x xf x m x x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明e ln 20xx -->.……………………………………4分 以下给出三种思路证明e ln 20xx -->.思路1：设()e ln 2xg x x =--，则1()e x g x x'=-. 设1()e xh x x =-，则21()e 0xh x x'=+>，所以函数()h x =1()e xg x x'=-在0+∞（，）上单调递增．…………………………6分 因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e xg x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.…………8分 因为0()0g x '=时，所以01ex x =，即00ln x x =-.………………………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()000001()=e ln 220xg x g x x x x ≥--=+->．当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增．所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．………………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以e ln 20xx -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………13分 （若考生先放缩ln x ，或e x、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e ln 2xx ->.②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t -'=-=．因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=．所以2d =≥所以)122AB d d =+>=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………13分综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………13分思路2：先证明e 1()x x x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>．……………………5分21.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率2e =P 为椭圆E 上的任意一点（不含长轴端点），且△12PF F 面积的最大值为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线:1(l x my m =+∈R )交椭圆E 于A 、B 两点，试探究：点(3,0)M 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、平面向量的数量积、夹角公式、点与圆的位置关系等知识，意在考查学生的数形结合思想、化归与转化思想的应用及运算求解能力.【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）点(3,0)M 在以AB 为直径的圆外． 【试题解析】因此，点(3,0)M 在以线段AB 为直径的圆外．……14分 解法二：设点1122(,),(,)A x y B x y ，由22221,(2)23024x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，∴12222m y y m -+=+，12232y y m -=+，……8分∵11(3,)MA x y =- ，22(3,)MB x y =-， ∴1122(3,)(3,)MA MB x y x y ⋅=-⋅-2212122232(1)2()4(1)2422m m y y m y y m m m m --=+-++=+⋅-⋅+++225502m m +=>+，……12分∴cos ,)0MA MB <> ，又,MA MB不共线，∴AMB ∠为锐角，……13分因此，点(3,0)M 在以AB 为直径的圆外．……14分。
2016年高考数学(文)冲刺卷 02(山东卷)(答案及评分标准)
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查学生的逻辑思维能力. 【答案】A【试题解析】因为{}{}1,2,,2,3,4,S a T b ==，{}1,2,3S T = ，所以1,3==b a ，则2=-b a ；故选A ．2. 【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数的概念等，意在考查学生的基本计算能力. 【答案】D【试题解析】由已知可得1(1)(2)13132(2)(2)555i i i i z i i i i ++++====+--+，所以1355z i =-，故选D.3. 【命题意图】本题考查指数不等式、对数不等式以及充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力. 【答案】B【试题解析】b a ba >⇔>22 ，且0log log 22>>⇔>b a b a ，∴“22a b >”是“22log log a b >”的必要不充分条件；故选B ．4. 【命题意图】本题以应用题为载体考查等比数列的通项和前n 项和公式的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】B5. 【命题意图】本题考查程序框图的应用，意在考查学生的逻辑思维能力.【答案】A【试题解析】初始条件1S =，1K =；运行第一次，131122S =+=⨯，2K =；运行第二次，3152233S =+=⨯，3K =；运行第三次，5173344S =+=⨯，4K =；运行第四次，7194455S =+=⨯，5K =．要输出的值是95，必须条件满足，停止运行，所以4?K >，所以4a =，故选A ．6. 【命题意图】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】C【试题解析】因为点00(,)P x y 在圆22:4C x y +=外，所以22004x y +>，则圆心)0,0(C 到直线00:40l x x y y +-=的距离24202<+=yx d ，直线00:4l x x y y +=与圆C 相交；故选C ．7. 【命题意图】本题考查导数与函数的单调性的关系和数形结合思想的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】B8.【命题意图】本题考查不等式组和平面区域的关系、三角形的面积，意在考查学生的数形结合思想的应用和基本运算能力. 【答案】C【试题解析】作出可行域（如图所示），且直线04=+-y kx 可化为4+=kx y ，即恒过点)4,0(A ，联立⎩⎨⎧=+=44x kx y ，得)44,4(+k C ，则ABC ∆的面积为1644421=+⨯⨯k ，解得1=k 或3-=k ；故选C ．9. 【命题意图】本题主要考查茎叶图的识别、样本数据的平均数以及均值不等式求解最值等知识，意在考查学生识图能力以及基本的运算能力. 【答案】B10. 【命题意图】本题考查分段函数、函数的零点等知识，意在考查学生的数学逻辑思维能力、计算能力和解决问题的综合能力. 【答案】B 【试题解析】试题分析：令1)(222≤---x x x ，即0322≤--x x ，解得231≤≤-x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤≤--=231,231,2)(22x x x x x x x f 或，则)(x f 的图象如图所示，且曲线的端点分别为)43,23(),41,23(),2,1(),1,1(----，令)(1x f y =，c y =2，由图象，可知当2-≤c 或431-<<-x 时，直线c y =2与)(1x f y =的图象有两个交点，即函数()y f x c =-恰有两个不同的零点；故选B ．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、组合体的体积等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力. 【答案】28836+π 【试题解析】试题分析:由三视图知：该几何体是由底面圆的半径为3，高为8的半圆柱和长为8，宽为6，高为6的长方体的组合体，所以该几何体的体积是2138866362882V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+．12. 【命题意图】本题考查两个变量间的线性回归关系，意在考查学生逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】4【试题解析】由题意， 1.5x =，84y π+=，∴样本中心点是坐标为8(1.5,)4π+，∵回归直线必过样本中心点，y 与x 的回归直线方程为^332y x =-，∴83 1.5 1.54π+=⨯-，∴4m =；故答案为4．13. 【命题意图】本题考查归纳推理的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】（5，7）14. 【命题意图】本题考查正弦定理、三角形的面积公式以及两角差的正弦公式的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.【答案】4【试题解析】由正弦定理得：2sinB b R =，2sinC c R =，因为B c C b cos cos =，所以B C C B cos sin cos sin =，即0)sin(=-B C ，所以C B =，即1c b ==，所以a 边上的12=，所以C ∆AB 的面积是1122=4． 15. 【命题意图】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力.. 【答案】1556-三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查平面向量的数量积运算、三角恒等变形、三角函数的图象与性质等知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．【试题解析】（Ⅰ）()f x =⋅ab ππcos π2sin(π)6x x x =+=+， ………………2分 由π2π2k -≤ππ6x +≤π2π2k +，解得223k -≤x ≤123k +，k ∈Z ， ……………………4分因为[0,2]x ∈时，0≤x ≤13或43≤x ≤2， ………………………………………………5分()f x ∴的单调递增区间为1[0,]3，4[,2]3. (6)分（Ⅱ）由题意，得1(,2)3P ，4(,2)3Q -， …………………………………………………7分由距离公式，得|OP =|OQ =，|PQ = ………………………………………………………10分根据余弦定理，得37526417cos +--∠===POQ .…………………12分17. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查等差数列的通项和裂项抵消法的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．18. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查独立性检验思想的应用、几何概型的概率公式等知识，意在考查学生的应用数学能力和准确的计算能力. 【试题解析】(Ⅰ)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关.………………6分(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示)yx11O设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18.………………12分19.（本小题满分12分）【命题意图】本题考查空间中平行关系的转化、几何体的体积公式，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.20.（本小题满分13分）【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，意在考查学生逻辑推理能力和分析问题、解决问题的综合能力.21.（本小题满分14分）【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，意在考查学生逻辑推理能力和分析问题、解决问题的综合能力【试题解析】（Ⅰ）()()22x x x x e a ae f x e a e a '⎛⎫-'== ⎪+⎝⎭+，由题意得：()()221021a f a '==+， ∴1a = …6分 （Ⅱ）令()()12g x fx x =-，。
2016年高考数学(理)冲刺卷 04(山东卷)(答案及评分标准)
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【命题意图】本题考查绝对值不等式、一元二次不等式的解法以及集合的交集运算，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】A【试题解析】因为{}21012P =--，，，，，{}012,3Q =，，，所以P Q ={}012，，；故选A.2.【命题意图】本题主要考查复数的计算与复平面的概念，意在考查学生的基本运算能力．【答案】B.【试题解析】由题意，得0)]1([2=+--i i zi ，即i i i i z 21212)1(--=+-=，则1122z i =-+，即复数z 对应的点在第二象限，故选B ．3.【命题意图】本题考查条件概率的应用，意在考查学生的逻辑思维能力．【答案】A4.【命题意图】本题考查程序框图中的条件结构，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力．【答案】D【试题解析】因为6=m ，4=n ，所以m n >，所以lg(64)1y =+=，所以答案为D.5.【命题意图】本题考查点和直线的位置关系、诱导公式、二倍角公式等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】B【试题解析】∵点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，∴sin 2cos αα=-，∴tan 2α=-，则222sin cos cos(2)sin 22sin cos παααααα+=-=-=+ 22tan 44tan 1415αα-==++；故选B 6.【命题意图】本题考查两直线平行的判定，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．【答案】C【试题解析】由直线032=++a y ax 与直线7)1(3-=-+a y a x 平行，得()160a a --=,即260a a --=,解得3a =或2a =-，经验证，当2a =-时两直线重合，所以3=a 是直线032=++a y ax 与直线7)1(3-=-+a y a x 平行的充要条件；故选C.7.【命题思路】本题考查双曲线的几何性质的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．【答案】D【试题解析】显然PF PA >，PF AF >，所以由PAF ∆是等腰三角形得PA AF =.易知A (0)a ，，P 2()a ab c c ， ，所以2222()()()a a b a c a c c -+=-，即22222222)()()(a c a c c a c a c a -=-+-，即1)()(22=-++a c a c c a c a ，即1111122=-++e e e e ，解得 2e =；故选D.8.【命题意图】本题考查空间几何体的三视图和几何体的体积，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力． 【答案】C9.【命题意图】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力 【答案】D【试题解析】AP AB AC λ=+ ，且AP AB ⊥ ，()()AP BC AB AC AC AB λ∴⋅=+⋅-220(1)(1)23cos120490AB AC AB AC λλλλ=-⋅-+=-⨯⨯⨯-+= ，解得712=λ；故选D.10.【命题意图】本题考查函数的零点、导数在研究函数中的应用等知识，意在考查学生分析问题、解决问题的综合能力． 【答案】D【试题解析】由题意，得2320142420122014()1(1)(1)f x x x x x x x x x x '=-+-++=-+++++ ，则(0)1f '=，(1)1f '=，(1)2015f '-=．当0x ≠且1x ≠±时，210072015201421()1()(1)11x x f x x x x x -+'=-+=-+ ＞0，所以()f x 在R 上是增函数，且(1)0,(0)1f f -<=，同理可知()g x 在R 上是减函数，且(1)0,(2)0g g ><，所以函数()f x 在(0,1)上有唯一零点，()g x 在(1,2)上有唯一零点，则由130x -<+<与142x <-<解得43x -<<-与56x <<，所以函数(3)f x +与(4)g x -的零点分别为(4,3)--与(5,6)，所以函数()(3)(4)F x f x g x =+-的零点为(4,3)(5,6)-- ．又,a b Z ∈，所以min ()b a -＝6(4)10--=，故选D ．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.【命题意图】本题考查等比数列的性质，意在考查学生的基本运算能力．【答案】135【试题解析】由等比数列的性质，知12345678,,,a a a a a a a a ++++仍成等比数列，公比为3412603402a a q a a +===+，所以378340()1352a a +=⨯=．12.【命题意图】本题考查非线性规划问题求最值，意在考查学生的数形结合思想的应用和基本计算能力．【答案】913.【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查学生的基本运算能力．【答案】1120【试题解析】因为2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以n 为偶数，且展开式共有9项，则8=n ，则8)2(xx -展开式的通项公式为k k k k k k k x C xx C T 288881)2()2(--+-=-=，令028=-k ，得4=k ，则展开式中的常数项为1120)2(484=-C .14.【命题意图】本题考查绝对值不等式的最值、基本不等式和不等式恒成立等知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的综合能力． 【答案】415.【命题意图】本题以命题真假的判定为载体考查三角函数的图象变换、几何概型、排列组合、正态分布等知识，考查学生的逻辑思维能力．【答案】①③④【试题解析】把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，得3sin[2()]3sin 263y x x ππ=-+=的图象，故①正确；由几何概型的概率公式，得所求概率为阴影部分和矩形面积之比（如图所示），即为22124ππ-=-，故②不正确；因为ξ服从正态分布2(2,)N σ，所以正态分布的图象的对称轴为2x =，由ξ在(,1)-∞内取值的概率为0.1，所以在(12)0.4P ξ<<=，又(23)(12)0.4P Pξξ<<=<<=，故③正确的；由题意得，第一组分3人有312C 种选择，第二组分3人有38C 种选择，第三组分3人有36C 种选择，第四组分3人有33C 种选择；第一组选择一名组长有3种选择，第二组选择一名组长有3种选择，第三组选择一名组长有3种选择，第四组选择一名组长有3种选择，由分步计数原理，得满足题目要求的种数有33334333412963129633C C C C C C C =种；故④正确；故填①③④．三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质、正弦定理、三角形的面积公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.17.18. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查平面图形的折叠问题、空间中垂直关系的转化、二面角、线面角以及空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.【试题解析】（Ⅰ）连结AB 、11A B ，∵ C C ,1分别是矩形11ABB A 边11B A 、B A 的中点， ∴1AC CC ⊥，1BC CC ⊥ ，AC BC C ⋂= ∴1CC ⊥面ABC∴ACB ∠为二面角A CC A ''-- 的平面角，则60OACB ∠= ∴ABC ∆为正三角形，即几何体111C B A ABC -是正三棱柱. ∴四边形11A ABB 为正方形∴B A AB 11⊥，…………………………………2分 取BC 中点O ，连结AO ，则BC AO ⊥.∵正三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面11B BCC ,∴AO ⊥平面11B BCC ,∵⊂BD 平面11B BCC ,∴AO ⊥BD在正方形11B BCC 中，∴BD O B ⊥1…………………………………3分 ∵O O B AO =⋂1,∴BD ⊥面O AB 1，∴BD ⊥1AB . ∴1AB ⊥平面D AB 1．∴ 1AB ⊥1A D ．…………………………………6分设平面D A B 11的法向量为),,(z y x n = ∵)3,0,1(11-=B A ，)3,1,1(1---=D A19.20. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查独立性检验思想的应用和离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生的逻辑思维能力和数学的应用能力.………………………………………………2分()()()()2250(311729) 6.27372911329711K ⨯⨯-⨯=≈++++＜6.635…………………4分所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.…………5分(Ⅱ)所有可能取值有0, 1,2,3, ………………………6分22842251062884(0),1045225C C P C C ζ==⋅=⨯=()211128824422225105104286161041,10451045225C C C C C P C C C C ζ==⨯+⨯=⨯+⨯=()1112282442222251051041661352,10451045225C C C C C P C C C C ζ==⨯+⨯=⨯+⨯=ξ124222510412(3),1045225C C P C C ζ==⋅=⨯=……………………10分所以的分布列是所以的期望值是0.2252252255E ζ=+++=………………………12分 21. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查数列的递推式、等差数列、对数的运算和错位相减法等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和解决问题的综合能力.（Ⅱ）由⑴，得22121log ,2n n n n a nb n N a +--==∈，………………………8分设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则01111112222n n S n -=⨯+⨯+⨯ 121111122222n n S n =⨯+⨯+⨯ 上述两式相减，得0121111111222222n n n S n -=++++-⨯ 222n n +=-ξξ124,2n n n S n N +-+∴=-∈ 所以数列{}n b 的前n 项和为124,2n n n S n N +-+=-∈………………………12分 22. （本小题满分13分）【命题意图】本题考查圆的方程、椭圆的方程和几何性质、直线和椭圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的综合能力．（II ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程得22,220y kx x y =⎧⎨+-=⎩，∴()221220k x +-=． 1212220,12x x x x k+==-+， ………………5分 则AB ==． (6)分 又点)M到直线的距离d =，则GH = ………………7分 显然若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，与已知矛盾． 所以要使AG BH =，只要AB GH =． ………………8分所以()222228124121k k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， ()22422242212211212231k k k r k k k k +⎛⎫=+=+ ⎪++++⎝⎭． ………………9分当0k =时，r = ………………10分当0k ≠时，24211212131322r k k ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+<+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪++⎝⎭． 又2421213132r k k ⎛⎫ ⎪=+> ⎪ ⎪++⎝⎭显然成立，∴r << ………………12分综上，圆M 的半径r的取值范围是． ………………13分 21. （本小题满分14分）【命题意图】本题考查导数的几何意义、图象的零点以及导数在研究函数中的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和方程问题、解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）因为()2(1)f x x '=-，2ln ()a x g x x '=， ……… 2分 所以()2(1)f e e '=-，2ln 2()a e a g e e e'==. 由()()f e g e ''=，得2a e e =-. ……… 6分。
2016年高考数学(文)冲刺卷01(山东卷)解析版 含解析
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数1+1i i-(i 是虚数单位）等于（ )A 。
1B 。
2 C. i D 。
2i【命题意图】本题考查复数的除法运算，意在考查学生的基本运算能力。
【答案】C【试题解析】i ii i i i i ==+-+=-+22)1)(1()1(112;故选C 。
2.已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B =（)A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤<C ．{|11}x x -<≤D ．{|21}x x -<≤【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力. 【答案】B3。
已知函数()12log 030xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，，则((4))f f 的值为（ ）91- B ．9-C ．91 D ．9【命题意图】本题以分段函数为载体考查指数式、对数式的运算,意在考查学生的基本运算能力。
【答案】C【试题解析】因为()12log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，，所以()1(4)(2)9f f f =-=；故选C ．4。
设x R ∈，向量(,1)a x =,(1,2)b =-，且a b ⊥，则||a b +=（ ） A ．5B ．10C ．25D ．10【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算,意在考查学生的基本计算能力。
【答案】B【试题解析】∵a b ⊥，∴20x -=，解得2=x ，∴(3,1)a b +=-, 则(3,1)||10a b a b +=-⇒+=；故选B ．5。
运行右图所示框图的相应程序，若输入b a ,的值分别为3log 2和2log 3，则输出M 的值是( ）A ．0B ．1C ．2D ．－1 【命题意图】本题考查程序框图中的条件结构、比较大小等知识，意在考查学生解决问题的综合能力. 【答案】C 【解析】因为2log31>，3log 21<,所以23log 3log 2>，由算法框图可知，运行后输出M 的值为23log 3log 21112M =⋅+=+=；故选C ．6.为了得到函数2y x=的图象，可以将函数x x y 3cos 3sin +=的图象（ )A ．向右平移12π个单位长 B ．向右平移4π个单位长C ．向左平移12π个单位长 D ．向左平移4π个单位长【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数的图象变换,意在考查学生的化简计算能力和转化能力. 【答案】A7.已知数列{}na 满足21n n n aa a ++=-，且1=2a ,2=3a ,n S 为数列{}n a 的前n 项和,则2016S 的值为（ ）A 。
2016年山东高考数学真题冲刺
2016年山东高考真题冲刺( )（1）设集合{}{}3,4,5=,1,3,5=A ,6},{1,2,3,4,5=U B ，则=)(B A C U （A ）}6,2{ （B ）}6,3{ （C ）}5,4,3,1{ （D ）}6,4,2,1{ ( )（2）若复数－iz 12=，其中i 为虚数为单位，则=z（A ）i +1 （B ）－i 1 （C ）i －+1（D ）－i －1( )（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60 （C ）120（D ）140( )（6）已知直线b a ,分别在两个不同的平面βα、内， 则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面α相交”的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件( )（7）已知圆)0>(0=2+:M 22a ay －y x 截直线0=+y x所得线段长度是22，则圆M 与1=)1(+)1(:22y －x －N（A ）内切（B ）相交 （C ）外切 （D ）相离( )（8）ABC 中，角C B,A,的对边分别为a,b,c ，已知)sin 1(2=,=22A －b a c b ，则=A（A ）43π （B ）3π （C ）4π （D ）6π（11）执行右边的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为（12）观察下列等式：2×1×34=)32(sin +)3(sin 22－－ππ；3×2×34=)54(sin +)53(sin +)52(sin +)5(sin 2222－－－－ππππ；4×3×34=)76(sin ++)73(sin +)72(sin +)7(sin 2222－－－－ππππ ；5×4×34=)98(sin +)93(sin +)92(sin +)9(sin 2222－－－－ππππ；…… 照此规律，=)1+22(sin +)1+23(sin +)1+22(sin +)1+2(sin2222－－－－n πn n πn πn π( )（13）已知向量)4,6(=),1,1(=－b －a ．若)+(b ta a ⊥，则实数t 的值为( ) （16）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．若两次记录的数分别为y x ,．奖励规则如下： ① 若3≤xy ，则奖励玩具一个； ② 若8≥xy ，则奖励水杯一个； ③ 其余情况奖励饮料一瓶．假定转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (Ⅰ)求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．（17）设2)cos (sin sin sin 32=)(x x －x －－x πx f ）（．(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； （18）在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF//DB ． (Ⅰ)已知EC =AE BC,=AB ．求证：FB ⊥AC ；（19）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，{}n b 是等差数列， 且1++=n n n b b a ．(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；（20）设x x x f ln =)(－.,)12(+2R a x a －ax ∈(Ⅰ)令)(′=)(x f x g ，求)(x g 的单调区间；（21）已知椭圆)0>>(1=+:2222b a by a x C 的长轴长为４，焦距为22．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；ＡＢＣＥＦＤＧ Ｈ。
【精品】2016年高考数学(新课标版) 专题18 概率与统计大题(文) 含解析
【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013 新课标全国】为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？【解析】（1）利用平均数公式进行计算；（2）绘制茎叶图，进行观察.2.【2014高考全国1文】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 【解析】（1）（2）质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.3. 【2015全国II 文18)】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得出A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表(1)在答题卡上作出地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,给出结论即可）.B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级：4.【2015全国I文19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.千元565452504846444240383634表中i w =18i i w w ==∑（1）根据散点图判断,y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可,不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与,x y 的关系为0.2z y x =-,根据（2）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时,年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据()11,u v ,()22,u v ,,(),n n u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑,v u αβ=-.解析（1）由散点图变化情况选择y c =+.6.8=,即26.846.24x ==（千元）时,年利润的预报值最大, 【热点深度剖析】1.纵观2013年和2014年2015年的高考题对本热点的考查，可以发现概率和统计、统计案例相结合是高考命题的热点， 2013年考查了茎叶图、利用样本数据估计总体，考查学生的数据处理能力，这也体现了高考对新课标的新增内容的要求，试题难度不大，但是要求同学们对相关的基础知识掌握必须准确，2014年考查了频率分布表，频率分布直方图，平均数与方差的计算，主要考查生活中的概率统计知识和方法. 2015年分别考查了频率分布直方图、线性回归分析.从近几年的高考试题来看，古典概型、频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题考查知识点较单一，解答题考查得较为全面，常常和概率、平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解决问题的能力．独立性检验、回归分析高考对此部分内容考查较少，主要是以小题形式考查独立性检验、回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想，在高考中多为选择、填空题，也有解答题出现．，根据近三年高考趋势预测2016年高考，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差仍然是考查的热点，由于连续3年大题都没考古典概型、独立性检验，故应注意和概率知识的结合，同时应注意独立性检验在实际生活中的应用，有可能涉及一道与独立检验有关的大题． 【重点知识整合】一，统计初步 1.简单随机抽样简单随机抽样是不放回抽样，被抽取样本的个体数有限，从总体中逐个地进行抽取，使抽样便于在实践中操作．每次抽样时，每个个体等可能地被抽到，保证了抽样的公平性．实施方法主要有抽签法和随机数法． 2.系统抽样(1)定义：当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样，也称作等距抽样．(2)系统抽样的步骤：①编号．采用随机的方式将总体中的个体编号．②分段．先确定分段的间隔k .当N n (N 为总体中的个体数，n 为样本容量)是整数时，k ＝N n；当N n不是整数时，通过从总体中随机剔除一些个体使剩下的总体中个体总数N ′能被n 整除，这时k ＝N ′n.③确定起始个体编号．在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号S . ④按照事先确定的规则抽取样本．通常是将S 加上间隔k ，得到第2个个体编号S ＋k ，再将(S ＋k )加上k ，得到第3个个体编号S ＋2k ，这样继续下去，获得容量为n 的样本．其样本编号依次是：S ，S ＋k ，S ＋2k ，…，S ＋(n －1)k . 3．分层抽样(1)定义：当总体由有明显差别的几部分组成时，按某种特征在抽样时将总体中的各个个体分成互不交叉的层，然后按照各层在总体中所占的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样．分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取．分层抽样要求对总体的内容有一定的了解，明确分层的界限和数目，分层要恰当． (2)分层抽样的步骤①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样(方法可以不同)；④汇合成样本．(3)分层抽样的优点分层抽样充分利用了己知信息，充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性．使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用． 4.绘制频率分布直方图把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，纵轴表示“频率/组距”，数据落在各小组内的频率用小矩形的面积表示，各小矩形的面积总和等于1. 5．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示，但当样本数据较多时，茎叶图就不太方便．6．平均数、中位数和众数(1)平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数．(2)中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数的平均数，是这组数据的中位数．(3)众数：出现次数最多的数(若有两个或几个数据出现得最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数)．(4)在频率分布直方图中，最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．而在频率分布直方图上的中位数左右两侧的直方图面积应该相等，因而可以估计其近似值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 7．方差、标准差(1)设样本数据为x 1，x 2，…，x n 样本平均数为x －，则s 2＝1n ＝1n叫做这组数据的方差，用来衡量这组数据的波动大小，一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样本标准差．(2)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，其中极差反映了一组数据变化的最大幅度．方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小． 8.两个变量的线性相关 (1)散点图将样本中n 个数据点(xi ，yi )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．利用散点图可以判断变量之间有无相关关系． (2)正相关、负相关如果散点图中各点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．反之，如果两个变量的散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 9．回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：①画散点图，②求回归直线方程，③用回归直线方程作预报．(1)回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归直线方程的求法——最小二乘法．设具有线性相关关系的两个变量x 、y 的一组观察值为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，则回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 的系数为：⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧b^＝∑i ＝1n x i y i －n x ·y ∑i ＝1n x i 2－n x 2＝∑i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n (x i －x －)2a^＝y －－b ^x其中x －＝1n ∑i ＝1n x i ，y －＝1n ∑i ＝1ny i ，(x －，y －)称作样本点的中心．a ^，b ^表示由观察值用最小二乘法求得的a ，b 的估计值，叫回归系数． 10.独立性检验(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，则这些变量称为分类变量． (2)两个分类变量X 与Y 的频数表，称作2×2列联表.二．随机事件的概率1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件. (1)在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母,,,A B C 表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n=为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，把这个常数记作()p A ，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 3．互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即A B 为不可能事件(AB φ=)，则称事件A 与事件B 互斥，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生． 一般地，如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥.对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即A B 为不可能事件，而AB 为必然事件，那么事件A 与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件. 4.事件的关系与运算B或A B +)B (或AB )B 为不可能事件，那么称事件B φ= B 为不可能事件，B 为必然事件，那么称事件与事件B 互为对立事件B φ=B =Ω事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作()p A .由定义可知()01p A ≤≤，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：()01p A ≤≤. (2)必然事件的概率：()1p A =. (3)不可能事件的概率：()0p A =. (4)互斥事件的概率加法公式： ①()()()p A B p A p B =+(,A B 互斥)，且有()()()1p A A p A p A +=+=． ②()()()()1212n n p A A A p A p A p A =+++ (12,,,n A A A 彼此互斥)．(5)对立事件的概率：()()1P A P A =-． 三．古典概型1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n1.如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=nm . 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.四．几何概型1．（1）随机数的概念：随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的. （2）随机数的产生方法①利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；②在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数. 2.几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为为几何概率模型，简称几何概型．（2）特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； ②等可能性：每个结果的发生具有等可能性． （3）几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式()p A =构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.（4）求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答.一般与线性规划知识有联系.3．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为： P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积五．条件概率 1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号()/p B A 来表示，其公式为()()()/p AB p B A P A =.在古典概型中，若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数，则()()()/n AB p B A n A =. (2)条件概率具有的性质： ①()0/1p B A ≤≤；② 如果B 和C 是两互斥事件，则()()()///p B C A p B A p C A =+．2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则()()/p B A p B =，()()()()()/p AB p B A P A P A P B =⋅=⋅．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若()()()p AB P A P B =⋅，则A 与B 相互独立． 【应试技巧点拨】 1.三种抽样方法的比较在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；中位数的估计值，应使中位数左右两边的直方图面积相等；最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．3．方差是刻画一组数据离散程度的量，方差越大，这组数据波动越大，越分散．讨论产品质量、售价高低、技术高低、产量高低、成绩高低、寿命长短等等问题，一般都是通过方差来体现．5.判断两变量是否有相关关系很容易将相关关系与函数关系混淆．相关关系是一种非确定性关系，即是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系是一种因果关系.6．求回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意回归直线方程中一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同)7．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出回归直线方程．8．独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的随机变量，对假设的正确性进行判断．【考场经验分享】1.进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性应相同；(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．2.在作茎叶图时，容易出现茎两边的数字不是从小到大的顺序排列，从而导致结论分析错误，在使用茎叶图整理数据时，要注意：一是数据不能遗漏，二是数据最好按从小到大顺序排列，对三组以上的数据，也可使用茎叶图，但没有表示两组记录那么直观、清晰．3．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．4．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．5．r的大小只说明是否相关并不能说明拟合效果的好坏，R2才是判断拟合效果好坏的依据．6．独立性检验的随机变量K2＝2.706是判断是否有关系的临界值，K2<2.076应判断为没有充分证据显示X与Y有关系，而不能作为小于90%的量化值来判断．7. 概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．8．在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了．9．相当一类概率应用题都是比如掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质．【名题精选练兵篇】1.【2016广西钦州上学期期末,文18】某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏,但可见部分如下,据此解答如下问题：（Ⅰ）求分数在[50,60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80,90）之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90）间的矩形的高；（Ⅲ）若规定：90分（包含90分）以上为优秀,现从分数在80分（包含80分）以上的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率．2.【2016河北唐山二模,文18】二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝i ＝1∑x i y i －n ·x -y-n i ＝1∑x 2i －nx-2,a ˆ＝y -－b ˆx -．）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测x 为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？ 解：（Ⅰ）由已知：x -＝6,y -＝10,5i ＝1∑x i y i ＝242,5i ＝1∑x 2i ＝220,^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45,a ˆ＝y -－^bx-＝18.7；所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2)＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5 ＝－0.05(x －3)2＋1.95,所以预测当x ＝3时,销售利润z 取得最大值．3．【2016吉林长春质量监测二,文18】近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为35,对服务的好评率为34,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关？ (2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥4.【2016辽宁省沈阳质量监测一,文19】为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只,（Ⅰ）求22 列联表中的数据x ,y ,A ,B 的值； （Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？ （Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？10000005016.6710.8285020603==≈>⨯⨯． 所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.5.【2016新疆乌鲁木齐一诊,文19】某城市居民月生活用水收费标准为1.6,022.7,23.54.0,3.5 4.5t t W t t t t t ≤<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩（）=（t 为用水量,单位：吨；W 为水费,单位：元）,从该市抽取的未注射 注射未注射 注射100户居民的月均用水量的频率分布直方图如图所示.(I)求这100户居民的月均用水量的中位数及平均水费；（II）从每月所交水费在14元-18元的用户中,随机制取户,求2户的水费都超过16元的概率.()()⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯0.50 2.250.28 2.750.12 3.25 2.70.08 3.750.04 4.2540.5⎤⎦=（元）…6分5.052756.【山东省青岛市2015届高三上学期期末】右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人（I）求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数n；（II）现欲将90~95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率.。
山东省2016届高三数学理一轮复习专题突破训练：统计与概率含解析
山东省2016届高三数学理一轮复习专题突破训练统计与概率一、选择、填空题1、（2014年山东高考）为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位:kPa )的分组区间为［12，13)，[13，14),［14,15)，［15，16),［16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组,……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa频率 / 组距0.360.240.160.08171615141312(A ）6 (B ）8 (C ） 12（D ）182、(2013年山东高考）在区间［－3,3］上随机取一个数x ，使得｜x ＋1｜－｜x －2|≥1成立的概率为__________．3、（德州市2015届高三二模）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数,则这组数据的平均数和方差分别是A。
91 5.5 B.91 5C。
92 5。
5 D。
92 54、（菏泽市2015届高三二模）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003,抽到的50人中，编号落入区间[001,300］的人做问卷A,编号落入区间［301,495]的人做问卷B，编号落入区间［496,600］的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8 ．5、（青岛市2015届高三二模)高三（3）班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．30 B．31 C．32 D．336、(潍坊市2015届高三二模）某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查,现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本,已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是；7、(德州市2015届高三上期末）如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在［30,35),[35，40)，[40，45］的上网人数呈现递减的等差数列，则年龄在[35，40）的频A. 0。
山东省14市2016届高三3月模拟数学文试题汇编：概率与统计
山东省14市2016届高三3月模拟数学文试题分类汇编概率与统计一、选择、填空题1、（滨州市2016高三3月模拟）根据如下样本数据：x 24568y 20 40 60 70 80得到的回归直线方程为ˆ10.5yx a =+，据此模型来预测当20x =时，y 的值为 （A ）210 （B ） 210.5 （C ）211.5 （D ）212.52、（德州市2016高三3月模拟）为了增强环保意识，某校从男生中随机制取了60人，从女生中随机制取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示，经计算2K ＝7.822，则环保知识是否优秀与性别有关的把握为A 、90%B 、95%C 、99% B 、99.9%3、（菏泽市2016高三3月模拟）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002，....，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001,300]的人做问卷A ，编号落入区间[301,495]的人做问卷B ，编号落入区间[496,600]的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为_________.4、（济南市2016高三3月模拟）某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，，,,3，...，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应该为（A ）27 （B ）26 （C ）25 （D ）245、（济宁市2016高三3月模拟）在区间[]4,4-上随机地抽取一个实数x ，若x 满足2x m ≤的概率为34，则实数m 的值为 ▲ . 6、（临沂市2016高三3月模拟）某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由此表可得回归直线方程，据此模型预测零售价为5元时，每天的销售量为 A. 23个 B. 24个 C.25个 D.26个7、（青岛市2016高三3月模拟）已知数据12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅（单位：公斤），其中12350,,,,,x x x x ⋅⋅⋅是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x ，中位数为y ，则12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅这51个数据的平均数、中位数分别与x y 、比较，下列说法正确的是 A.平均数增大，中位数一定变大 B.平均数增大，中位数可能不变 C.平均数可能不变，中位数可能不变D.平均数可能不变，中位数可能变小8、（日照市2016高三3月模拟）某校高三100名学生寒假读书消费支出情况的频率分布直方图如图所示.则这100名学生中，寒假读书消费支出超过150元的人数是________.9、（泰安市2016高三3月模拟）随机抽取100名年龄在[)[)10,20,20,30…，[)50,60年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[)50,60年龄段抽取的人数为 ▲ .10、（威海市2016高三3月模拟）一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位cm ）分布茎叶图如图，1801170389x测得平均身高为177cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为 (A)5 (B)6(C)7(D)811、（烟台市2016高三3月模拟）在区间[-2,4]上随机地取一个数x ,若x 满足|x|≤ m 的概率为31，则实数m =12、（烟台市2016高三3月模拟）.甲、乙两名篮球运动员在7场比赛中的得分情况如茎叶所示，x甲、x 乙分别表示甲、乙两人的哦平均得分，则下列判断正确的是A. x 甲＞x 乙 ，甲比乙得分稳定B. x 甲＞x 乙 ，乙比甲得分稳定C. x 甲＜x 乙 ，甲比乙得分稳定D. x 甲＜x 乙 ，乙比甲得分稳定13、（淄博市2016高三3月模拟）任取[]1,1k ∈-，直线:3l y kx =+与圆()()22:234C x y -+-=相交于M,N 两点，则23MN ≥的概率为A.32 B. 33C. 23D. 1214、（淄博市2016高三3月模拟）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把末位数记为x ，那么x 的值为 .15、（滨州市2016高三3月模拟）在样本的频率分布直方图中，一共有()3m m ≥个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余1m -各小矩形面积之和的14，且样本容量为100，则第3组的频数是 （A ）10 （B ）20 （C ） 25 （D ）4016、（德州市2016高三3月模拟）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人. 为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则标本容量为＿＿17、（菏泽市2016高三3月模拟）设p 在[0,5]上随机的取值，则关于x 的方程210x px ++=有实数根的概率为_________.18、（济南市2016高三3月模拟）已知函数()x bx ax x f +-=232131，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是b a ,，则函数()x f '在1=x 处取得最值的概率是A 、361 B 、181 C 、 121 D 、61参考答案：1、C2、C3、84、A5、96、B7、B8、309、2 10、B11、1 12、B 13、B 14、2 15、B 16、15 17、3518、【答案】C【解析】连续抛掷两颗骰子得到的基本事件总数是36，同时()x f '12+-=bx ax ，()x f '是开口向上的抛物线，且有最小值，此时对称轴为a bx 2=1=，此时有3种情况满足条件分别是6,3;4,2;2,1======b a b a b a ，所以概率121363==P二、解答题1、（滨州市2016高三3月模拟）某高校进行自主招生测试，对20名已经选拔入围的学生进行语言能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果对应人数如下表：逻辑思维能力语言表达能力 一般 良好 优秀 一般 2 2 m 良好 4 4 1 优秀1m2例如表中语言表达能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人，由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机选取1名，选到语言表达能力一般的学生的概率为14. （Ⅰ）求m,n 的值；（Ⅱ）从语言表达能力为优秀的学生中随机选取2名，求其中至少有1名逻辑思维能力优秀的学生的概率.2、（德州市2016高三3月模拟）某中学为了解某次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图解决下列问题：（I ）写出,,,a b x y 的值；（II ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加座谈，求所抽取的2名同学来自同一组的概率。
2016年高考数学(文)冲刺卷 05(山东卷)(答案及评分标准)
2016年高考冲刺卷（5）【山东卷】 文科数学 参考答案及评分标准第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【命题意图】本题考查复数的除法运算和复数的概念，意在考查学生的基本计算能力. 【答案】C2.【命题意图】本题考查对数函数的性质、一元二次不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力. 【答案】A【试题解析】由题意，2{|2}{|12}B x x x x x x =->=<->或，所以{|23}A B x x =<≤ ．故选A ．3.【命题意图】本题考查空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图，意在考查学生的空间想象能力及基本运算能力. 【答案】A【试题解析】该几何体是半个圆锥，故故选A.4.【命题意图】本题考查程序框图的应用，意在考查学生的逻辑思维能力. 【答案】C【试题解析】∵609.72016ln ≈,∴8e 2016>∴ 8i =时,符合2016a ≥,∴ 输出的结果8i =,故选C.5.【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、数列的求和、对数运算等知识，意在考查学生的基本运算能力. 【答案】C 【试题解析】 由题意可知656574a a q a qa a a =⋅⋅=，所以有1010192836574=====a a a a a a a a a a ，即51092110......=a a a a ，数列{}n a lg 的前10项和等于510log ......log log log ......log log 5102110921===++++a a a a a a a ，所以本题的正确选项为C. 6.【命题意图】本题考查函数的奇偶性、周期性、对数计算等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用及基本运算能力. 【答案】C7.【命题意图】本题考查函数的零点、指数函数、对数函数的性质及充要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】B【试题解析】若函数21xy m =+-有零点,则1m <;若函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数,则01m <<.故选B. 8.【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数的图象变换，意在考查学生的化简计算能力和转化能力.【答案】B 【试题解析】对A ：故A 错；对B ：图像关于直线对称，故B 正确；对C ：将他的图像向左平移个单位，得到的图像，故C 错；对D ：将他的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，的图像，故D 错。
金卷：2016年高考数学(文)冲刺卷 09(山东卷)(考试版)
绝密★启用前2016年高考冲刺卷（9）（山东卷）文科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，若5()2a a R i+∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3 B. -2 C. -1 D. 22.已知集合{}221=|,|40A y y B x x x ⎧⎫==-≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．[]2,2- B. ()2,2- C. (]0,2 D. [)(]2,00,2-3.已知,,a b m R ∈，则“lg lg a b >”是“22am bm >”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.如图所示是某组数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为252，则41a b+的最小值为（ ）A ．32 B. 2 C.52D. 3 5.设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域，则区域D 内的点为(),x y ，则()221x y-+的最小值为（ ）A ．1 B. 15 C. 4 D.456.函数()1f x x x=+的大致图像是（ ）A BC D7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）B.2C.3D.8.数列()()12121n a n n =-+，其前n 项和为919，则在平面直角坐标系中，直线()20n x y n +++=在y 轴上的截距为（ ）A ．-10 B. 10 C. -9 D. 9 9. 若函数()21log x f x x a +⎛⎫=⎪-⎝⎭是奇函数，则使得()1f x ≥成立的x 的取值范围为（ ）A ．[)3,1-- B. (]1,3 C. ()1,+∞ D. [)(]3,11,3--10.已知双曲线()2222:10,0x y t a b a b-=>>的一条渐近线与函数1ln ln 3y x =++的图像相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．C.D.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 已知圆2220x y x +-=，过点()2,3P 引该圆作切线，则切线方程为 .12. 已知实数[]1,20x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于65的概率为 .13. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在坐标原点的单位圆相交于第四象限内的点3,5P P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan 2α= .14.已知函数()()ln 5f x a x ax a R =-+∈的图象在点()()2,2f 处的切线的倾斜角为4π，若函数()()322m g x x x f x ⎡⎤'=++⎢⎥⎣⎦在区间()2,3上不是单调函数，则实数m 的取值范围为 .15.定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足：①()1,123,23x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，②()()33f x f x =；设()()()13F x f x a a =-<<，在()11,3n n N ++⎡⎤∈⎣⎦上的零点从小到大依次为123,,,,n x x x x ，则123n x x x x ++++= .三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16. （本小题满分12分）50名高中学生某次数学考试成绩（均90分以上，满分150分）的频率分布直方图如下：(I)求频率分布直方图中a 的值；(II)分别求出成绩落在[)100,110与[)110,120中的学生人数；(III)从成绩在[)100,120的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)110,120中的概率.17. （本小题满分12分）已知向量()()2sin ,cos ,cos ,2cos m x x n x t x ωωωω==，设函数()f x m n t =⋅-（其中0,0t ω>>）的最大值为2，直线12,x x x x ==是()y f x =图像的任意两条对称轴，且12x x -的最小值为2π. (I)求函数()y f x =的解析式；(II)设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若()0f A =且6,ABC b c S ∆+==求边a 的长度.18. （本小题满分12分）如图①，在等边ABC ∆中，,E F 分别是AB AC 、的点，//,4,2EF BC BC EF a ==，将此三角形沿EF 对折，使平面AEF ⊥平面EFCB ，O 为EF 中点（如图②）. (I)求证：AO BE ⊥；(II)在线段AB 上是否存在一点Q ，使得//EQ 平面AOC ？若存在，找出这样的点Q ；若不存在，请说明理由.图① 图②AEFCB19. （本小题满分12分）观察下式：2222112343345675456789107=++=++++=++++++=…………n 个等式为：n n c =n c 关于n 的关系式； 的前n 项和n T . 13分）已知12,F F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直N 两点，且1197,22F M F N MN +==，72MN =，椭圆的离心率12e =.2F 且互相垂直的直线12l l 、分别与椭圆交于A B 、和C D 、，试判断. 14分）已知函数()()1ln 0xf x k kx+=≠ )的单调区间； ()11f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； )()11121233n n n ee n N ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭+⨯⨯⨯>∈。
高三数学一轮专题突破训练：《统计与概率》(文)及答案
山东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练统计与概率一、选择、填空题1、（2015年高考）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )（A）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④2、（2015年高考）在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“121-1log2x≤+≤（）1”发生的概率为( )（A）34（B）23（C）13（D）143、（2014年高考）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa频率 / 组距0.360.240.160.08171615141312（A）6（B）8（C）12（D）184、（2013年高考）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示．则7个剩余分数的方差为( )8 7 79 4 0 1 0 x 9 1图1－4A.1169B.367C．36 D.6 775、（滨州市2015届高三一模）根据如下样本数据得到的回归方程为1212ˆ55y x=+，则m的值为（）A．1 B．32C．4 D．56、（德州市2015届高三一模）某校对全校1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是＿＿＿＿人。
2016山东高考数学真题
2016山东高考数学真题2016年山东高考数学试题考查了高中数学知识的各个方面，包括代数、几何、概率统计等内容。
以下是2016年山东高考数学试题的具体内容及解析：一、选择题部分1. 已知函数f(x) = |x + 2|，则f(-3) + f(1)的值为多少？A. 0B. 4C. 3D. -2解析：将x分别代入函数，得f(-3) = |-1| = 1，f(1) = |3| = 3，所以f(-3) + f(1) = 1 + 3 = 4，故选B。
2. 抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为p，今抛掷两次，出现两次正面朝上的概率为多少？A. p^2B. 2pC. p/2D. 1/2解析：根据概率的乘法公式，两次出现正面的概率为p*p = p^2，因此答案为A。
二、填空题部分1. 已知直线y = kx + 3通过点(1, 0)，求k的值。
（填简便分数）解析：将点(1, 0)代入直线方程得0 = k*1 + 3，解得k = -3。
2. 已知A(1, 2)，B(3, -1)，若M为线段AB的中点，求AM的长度。
解析：根据中点公式，AM的长度为√[（1-3）^2 + (2-(-1))^2 ] = √13。
三、解答题部分1. 如图所示，矩形ABCD中，A(-3, 1)，B(1, 4)，点P在CD上，使得AP和BP的长度相等，求P点的坐标。
解析：设P点坐标为(x, y)，则根据题意，AP的长度为√[（x+3）^2 + (y-1)^2 ]，BP的长度为√[（x-1）^2 + (y-4)^2 ]。
将AP,BP长度相等代入方程并整理，解得P(0, 2)。
2. 已知函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + ax + 3和g(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + b有相同的最小值，求a和b的值。
解析：f(x)和g(x)的最小值点即是它们的导数为0的点，解得a = 9，b = -7。
通过以上题目的训练，希望同学们对高中数学知识有更深入的理解，备战高考。
2016山东高考冲刺卷概率统计大题(文)
[29.98，30.02）
[30.02，30.06）
[30.06，30.10）
[30.10，30.14）
频数
40
70
79
162
59
55
35
（1）根据以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。
甲厂
乙厂
合计
优质品
非优质品
合计
附： ， 。
（2）先用分层抽样的方法从乙厂抽取5个零件，求从这5个零件中任意抽取两件，至少有一件优质品的概率。
我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：
空气污染指数
空气质量
空气污染指数
空气质量
-50
优
201--250
中度污染
51--100
良
251--300
中度重污染
101--150
轻微污染
＞300
重污染
151----200
轻度污染
我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天．
甲厂:
分组
[29.86，29.90）
[29.90，29.94）
[29.94，29.98）
[29.98，30.02）
[30.02，30.06）
[30.06，30.10）
[30.10，30.14）
频数
15
30
125
198
77
35
20
乙厂：
分组
[29.86，29.90）
2016年山东省高考数学冲刺卷5理含解析
2016年山东省高考数学冲刺卷5（理含解析）绝密★启用前2016年高考冲刺卷（5）【山东卷】理科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位,如果复数的实部与虚部相等,那么实数的值为（）A．B．C．D．2.若集合，，则（）A．B．C．D．3.等比数列中，，则数列的前10项和等于（）A.2B.C.5D.104.如图所示的算法框图中,是自然对数的底数,则输出的的值为（参考数值：）（）A．B．C．D．5.已知定义在R上的函数满足，，且当时,,则=()A．B．C．D．6.已知,“函数有零点”是“函数在上为减函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.定义矩阵，若，则（）A.图象关于中心对称B.图象关于直线对称C.在区间上单调递增D.周期为的奇函数8.已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）A．B．C．D．9.如果点在平面区域上,则的最大值和最小值分别是（）A．,B．,C．,D．,10.点是抛物线于双曲线的一条渐近线的一个交点，若点到抛物线的焦点的距离为，则双曲线的离心率等于（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知向量，则在上的投影等于______________.12.如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为．13.若的展开式中项的系数为20，则的最小值为________．14.已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为．15.设函数①若，则的最小值为；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分12分）如图,是直角斜边上一点,．（I）若,求角的大小；（II）若,且,求的长．17.（本小题满分12分）在等差数列中，，数列的前n 项和.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．18.（本小题满分12分）某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目.设每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的.（1）恰有2人选修物理的概率；（2）选修科目个数的分布列及期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，面，，，，是线段的中点.（1）求证：面；（2）求二面角的余弦值.20.（本小题满分13分）已知椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（﹣2，0），一定点为P（﹣8，0）．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过P的直线与椭圆交于P1，P2两点，求△P1F2F 面积的最大值及此时直线的斜率．21.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（Ⅲ）若正实数满足，证明．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【命题意图】本题考查复数的除法运算和复数的概念，意在考查学生的基本计算能力.【答案】C【试题解析】∵,∴,,故选C.2.【命题意图】本题考查指数函数、对数函数的性质、一元二次不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力.【答案】A【试题解析】由题意，，所以．故选A．3.【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、数列的求和、对数运算等知识，意在考查学生的基本运算能力. 【答案】C【试题解析】4.【命题意图】本题考查程序框图的应用，意在考查学生的逻辑思维能力.【答案】C【解析】∵,∴∴时,符合,∴输出的结果,故选C.5.【命题意图】本题考查函数的奇偶性、周期性、对数计算等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用及基本运算能力.【答案】C【试题解析】因为，所以，所以函数是以为周期的周期函数，所以，故选C.6.【命题意图】本题考查函数的零点、指数函数、对数函数的性质及充要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.【答案】B【试题解析】若函数有零点,则;若函数在上为减函数,则.故选B.7.【命题意图】本题考查新定义问题、三角恒等变换、三角函数的图象与性质等基础知识，意在考查学生的学习能力及基本运算能力.【答案】C【试题解析】由题中所给定义可知，根据三角函数的图象性质可知本题的正确选项应该为C.8.【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、几何体的体积等知识，意在考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力及基本运算能力.【答案】C．9.【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查学生的数形结合思想的应用.【答案】B【试题解析】10.【命题意图】本题考查双曲线的标准方程、双曲线及抛物线的几何性质等知识，意在考查学生的数学逻辑思维能力、计算能力和解决问题的综合能力.【答案】B【试题解析】因为点到抛物线的焦点的距离为，故A到准线距离为p，所以A（）双曲线渐近线为故，即=，故选B.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.【命题意图】本题考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算，意在考查学生的基本运算能力.【答案】．【试题解析】由定义，.答案为.12.【命题意图】本题考查频率分布直方图、等差数列的性质，意在考查学生的数学应用意识及基本计算能力. 【答案】．【试题解析】前3个小组的频率和为，所以第2小组的频率为；所以抽取的学生人数为．故答案为．13.【命题意图】本题考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数及基本不等式；意在考查学生的基本计算能力.【答案】【试题解析】展开后第项为，其中项为，即第项，系数为，即，，当且仅当时取得最小值.14.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、数形结合思想的应用及基本运算能力.【答案】【试题解析】15.【命题意图】本题以分段函数为载体考查函数的单调性、最值、函数与方程等知识，意在考查学生的基本运算能力和逻辑思维能力【答案】(1)1，(2)或.【解析】①时，，函数在上为增函数，函数值大于1，在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为1；（2）①若函数在时与轴有一个交点，则，并且当时，，则，函数与轴有一个交点，所以；三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分12分）【命题意图】本题考查正弦定理和余弦定理的应用、函数方程思想的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本运算能力．【答案】（I）；（II）2.【解析】（Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有.因为,所以.又所以.……………3分于是,所以.……………6分（Ⅱ）设,则,,.于是,,……………9分在中,由余弦定理,得,即,得.故……………12分17.（本小题满分12分）【命题意图】本题考查利用与的关系求数列的通项、等差数列的通项公式及“裂项求和法”的应用等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和较高的计算能力.【答案】（I），；（II）．【解析】（2）n=1时，，n2时，，所以n=1仍然适合上式，…………（10分）综上，…………（12分）18.（本小题满分12分）【命题意图】本题考查利概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识，意在考查学生的应用数学能力和准确的分类讨论能力和准确的计算能力.（II）ξ的所有可能值为1，2，3.又……………8分综上知，ξ有分布列ξ123P……………10分……………12分19.（本小题满分12分【命题意图】本题考查空间中平行关系的转化、二面角以及空间向量在立体几何中的运用，意在考查学生的空间想象能力和严密的逻辑推理能力.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（2）∵，面，∴以为原点，以为轴的正方向，为轴的正方向，作平行于的直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系.则，……………………8分设面的法向量为，则，∴，∴，设面的法向量为，则，∴，∴，……………………10分∴，故二面角的余弦值为.……………………12分20.（本小题满分13分）【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系等知识，意在考查学生的化归与转化思想的应用、运算求解能力.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当过P点的直线斜率为时，△P1F2F 面积取最大值．【解析】（Ⅱ）设过的直线为交椭圆于由，得，21.（本小题满分14分）【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及不等式问题，意在考查学生逻辑推理能力和分析问题、解决问题的综合能力.【答案】（Ⅰ）函数的增区间是，减区间是；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．【解析】试题分析：（I）求出，解不等式，即可得到函数的单调区间；（II）构造新函数，要使恒成立，只要最大值小于或等于零即可，通过分类讨论判断出其单调性，找到最大值点求出最大值，令最大值小于或等于零，即可求得整数的最小值；（III）代入整理可得，换元设，构造新函数，利用导数研究其单调性，可知，解不等式即得. （Ⅲ）由，即，从而令，则由得，，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以，所以，又，因此成立……………………14分。
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空气污染指数
空气质量
空气污染指数
空气质量
0--50
优
201--250
中度污染
51--100
良
251--300
中度重污染
101--150
轻微污染
＞300
重污染
151----200
轻度污染
我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天．
（II）在本次训练中，从两班中分别任选一名同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学的概率.
甲厂:
分组
[29.86，29.90）
[29.90，29.94）
[29.94，29.98）
[29.98，30.02）
[30.02，30.06）
）
频数
15
30
125
198
77
35
20
乙厂：
分组
[29.86，29.90）
[29.90，29.94）
[29.94，29.98）
[29.98，30.02）
[30.02，30.06）
[30.06，30.10）
[30.10，30.14）
频数
40
70
79
162
59
55
35
（1）根据以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。
甲厂
乙厂
合计
优质品
非优质品
合计
附： ， 。
（2）先用分层抽样的方法从乙厂抽取5个零件，求从这5个零件中任意抽取两件，至少有一件优质品的概率。
下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下：（百位为茎，十、个位为叶）
（Ⅰ）计算这18天样本数据的平均数和中位数；
（Ⅱ）从A类天和B类天中任取两天求至少一天是A类天的概率.
某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：