2020年9月高二月考试数学(理)试题

合集下载

高二9月月考(数学)试题含答案

高二9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5（（1.数数1,3,5,7,9--,.......数数数数数数数数( ) A.21n a n =-B.(1)(12)nna n =-- C.(1)(21)nn a n =--D.(1)(21)n na n =-+2.（5分）2.已知数列{a n }满足a n+1=a n +3,S 5=10，则a 7为（）A ．14B ．12C ．15D ．223.（5分）3.在△ABC 中，如果sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC 等于（）A ． 23B ．−23C ． −13D ． −144.（5分）4.等差数列{a n }的前项和为S n ，若a 3与a 8 的等差中项为10，则S 10=（）A.200B.100C.50D.255.（5分）5.在ABC ∆中，若120B =，则222a ac cb ++-的值（）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不确定6.（5分）6.已知在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,a =2,若a:b:c =2:3:4,则△ABC 外接圆的面积为( )A.16πB.64π15C.256π15D.64π 7.（5分）7.在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，若C=π4,a =4,S △ABC =2，则2a+3c−b2sinA+3sinC−sinB = （）A.√5B.2√5C.2√7D.2√138.（5分）8.已知两等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n 且S n T n=n+12n，则a 5b 5=（）A ．23B ．35C ．59D ．29.（5分）9.等比数列{a n }的前n 项和S n ，4a 1,2a 2,a 3 成等差数列，a 1=1，则S 4=（） A.15B.-15C.4D.-410.（5分）10.正项等比数列{a n }中， a 4⋅a 5=32，则log 2⁡a 1+log 2⁡a 2+⋯+log 2⁡a 8的值（）A.10B.20C.36D.12811.（5分）11.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，S 表示△ABC 的面积，若ccosB +bcosC =asinA, S =√34(b 2+a 2−c 2)，则∠B =（）A.90°B.60°C.45°D.30°12.（5分）12.已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,b c==，且2sin()cos 12cos sin B C CA C +=-，则ABC 的面积是（）A ．4B ．12C 或D ．4或12二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13.（5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11=132，a 6+a 9=30，则a 12的值为____.14.（5分）14.（5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3 成等差数列. 若a 1=1，则S 3=______.15.（5分）15.（5分）等差数列{a n } 中， a 10<0 ，且a 11>|a 10| ， S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n>0 的n 的最小值为______.16.（5分）16.（5分）数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝3n －1，则{a n }的前60项和____________.三、解答题（本题共计5小题，总分58分）17.（10分）17.（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2acosB +b =2c ．(1)求A 的大小； (2)若a=√7，b =2，求△ABC 的面积．18.（12分）18.（12分）设{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值．19.（12分）19.（12分）已知ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且22sinB sinAcosC sinC -=.（1）求角A ；（2）若2,a=且ABC 的面积为求ABC 的周长，20.（12分）20.（12分）已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差d=−2，且a 1,a 3,a 4成等比数列．（1）求a n ，S n ；（2）设T n=|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |，求T n ．21.（12分）21.（12分）已知数列{a n }为公差不为0的等差数列,满足a 1=5,且a 2,a 9,a 30成等比数列.(Ⅰ) 求{a n }的通项公式； (Ⅱ) 若数列{b n }满足b n+1−b n =a n (n ∈N ∗),且b 1=3求数列{1bn}的前n 项和T n .四、（本题共计0小题，总分0分）答案一、单选题（本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1.答案：B解析：数列中正负项(先正后负)间隔出现,必有1(1),1,3,5,7,9,n --……故21n -,所以数列1,3,5,7,9,--……的一个通项公式是(1)(12)nn a n =--,故选B 。

2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期9月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【详解】解：因为复数1z ，2z 对应的向量分别是(2,1)OA =--，(0,1)OB =，则复数12212z i i z i--==-+，因此点位于第二象限，选B 2．已知样本9,10,11,,m n 的平均数是9，方差是2，则mn m n ++=（） A ．41 B ．71C ．55D ．45【答案】B【分析】根据平均数与方差的定义，列出方程，求出m 与n 的值，即可得出mn m n ++的值.【详解】9,10,11,,m n 的平均数是9，()9101195m n ∴++++=⨯，即15m n +=①；又方差是2，222221(99)(109)(119)(9)(9)25m n ⎡⎤∴-+-+-+-+-=⎣⎦，即22(9)(9)5m n -+-=②；由①②联立，解得：78m n =⎧⎨=⎩或87m n =⎧⎨=⎩；71mn m n ∴++=故选：B.3．如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中5,2O A O C ''''==,30A O C ∠'''=，则原图形的面积是（）A ．4B ．102C ．42D ．52【答案】B【分析】求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为22:1，计算即可.【详解】解：平行四边形O A B C ''''中，5,2,30O A O C A O C ∠'''''''===，所以平行四边形O A B C ''''的面积为1sin305252S O A O C '''''=⋅⋅=⨯⨯=，所以原平面图形的面积是22225102S S ==⨯='. 故选：B4．已知向量,,a b c 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底{},a b 表示c ，则（）A ．23c a b =-+B ．23c a b =-C ．32c a b =-+D ．32c a b =-【答案】D【分析】建立直角坐标系，得到,,a b c 的坐标，设c xa yb =+，联立解方程组，求出,x y 得出结论.【详解】建立如图直角坐标系，则()()()2,11,01,1a =-=，()()()0,42,12,3b =-=-，()()()7,10,47,3c =-=-设c xa yb =+，则()()()7,31,12,3x y -=+-所以7233x y x y =-⎧⎨-=+⎩解得：3,2x y ==-，故32c a b =-，故选：D.5．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立【答案】B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁，， 1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立6．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（） A ．1 B ．2 C ．12D ．3【答案】A【分析】由a b ⊥，转化为0a b ⋅=，结合数量积的坐标运算得出tan 2θ=，然后将所求代数式化为222222sin cos cos sin 2cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++=+=+，并在分子分母上同时除以2cos θ，利用弦化切的思想求解．【详解】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=． ∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++，故选A ．【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角θ弦的n 次分式齐次式，分子分母同时除以cos n θ，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角θ的二次整式，然后除以22cos sin θθ+化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以2cos θ可以实现弦化切．7．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，且函数()3=-y f x 的图象关于点()3,0对称.若不等式()()2240f mx m f x ++<对任意[]1,2x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(B ．(,-∞C ．)+∞D ．(-∞【答案】B【分析】由()y f x =的图象可由()3=-y f x 的图象向左平移3个单位得到，则()f x 为奇函数，且()f x 是定义在R 上的增函数，可得()()2240f mx m f x ++<即为224mx m x +<-，由参数分离和对勾函数的单调性，结合恒成立思想可得所求范围．【详解】函数()3=-y f x 的图象关于点()3,0对称，由()y f x =的图象可由()3=-y f x 的图象向左平移3个单位得到，则()f x 的图象关于原点对称，即()f x 为奇函数，且()f x 是定义在R 上的增函数，()()2240f mx m f x ++<即为()()()2244f mx m f x f x +<-=-，由()f x 为R 上的增函数，可得224mx m x +<-，即有242xm x -<+对任意[]1,2x ∈恒成立，又≤x 2x +≤3，有22x x +≤3，即2132x x ≤≤+即24423x x ≤-≤-+，则m < 所以实数m的取值范围是(,-∞ 故选：B ．8．在ABC 中，9sin cos sin 6ABCAB AC B A C S ⋅===，，，P 为线段AB 上的动点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则11xy +最小值为（）A ．76B ．712C ．76D ．712【答案】B【分析】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求cos 0C =，可得2C π=，再由已知条件求得4a =，3b =，5c =，考虑建立以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=，然后利用基本不等式可求得11x y+的最小值.【详解】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，sin cos sin B A C =，即()sin cos sin A C A C +=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=，sin cos 0A C ∴=，0A π<<，sin 0A ∴>，cos 0C ∴=，0C π<<，2C π∴=，9AB AC ⋅=，即cos 9cb A =，又1sin 62ABCSbc A ==，sin 4tan cos 3bc A a A bc A b∴===， 162ABCSab ==，则12ab =，所以，4312a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，5c ∴=.以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C 、()3,0A 、()0,4B ，P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP AB λλλλλ==-=-≤≤，()33,4CP CA AB λλλ∴=+=-，设1CA e CA=，1C e B CB =，则121e e ==，()11,0e ∴=，()20,1e =，()12,CA CB CP x y xe ye x y CACB=⋅+⋅=+=，334x y λλ=-⎧∴⎨=⎩，消去λ得4312x y +=，134x y∴+=，所以，117723434123411127312x y x y x y x x y y y y x x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪⎝⎭⎭⎪⎝，当且仅当3x y =时，等号成立，因此，11x y +的最小值为7312+故选：B.【点睛】关键点点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解CA CA是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP ，建立x 、y 与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解.二、多选题9．2020年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解A 、B 两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了2020年2月到7月A 、B 两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图，下列说法正确的是（）A ．A 店营业额的极差比B 店营业额的极差小 B ．A 店2月到7月营业额的75%分位数是45C ．B 店2月到7月每月增加的营业额越来越多D ．B 店2月到7月的营业额的平均值为29 【答案】ABD【解析】计算出A 、B 两店营业额的极差，可判断A 选项的正误；根据百分位数的定义可判断B 选项的正误；根据营业额折线图可判断C 选项的正误；利用平均数的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由折线图可知，A 店营业额的极差为641450-=（万元），B 店营业额的极差为63261-=（万元），A 选项正确；对于B 选项，A 店2月到7月营业额由低到高依次为14、20、26、36、45、64，所以，A 店2月到7月营业额的75%分位数是45，B 选项正确；对于C 选项，B 店从4月到5月营业额的增加量为19，从5月到6月营业额的增加量为15，C 选项错误；对于D 选项，B 店2月到7月的营业额的平均值为2816355063296+++++=，D 选项正确. 故选：ABD.10．下列说法正确的有（） A ．0x >且02x yy y x>⇔+≥B ．不等式21031x x -<+的解集是11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数234y x x =--的零点是()()4,0,1,0-D ．12110,,22xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BD【分析】利用不等式求解，结合一元二次不等式的解法，对A 进行判断，利用必要条件､充分条件与充要条件的判断，结合利用基本不等式求最值，对B 进行判断，利用二次函数的零点与一元二次方程解的关系，对C 进行判断，利用基本不等式求最值，对D 进行判断，从而得结论.【详解】对于A ，当0x >且0y >时，22x y x y x y x x +=，当且仅当x y =时，等号成立，因此充分性成立，又因为当1,2x y =-=-时，2x yyx+成立，所以必要性不成立，因此A 不正确；对于B ，由21031x x -<+得()()21310x x -+<，所以1132x -<<，即不等式21031x x -<+的解集是11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此B 正确；对于C ，因为方程2340x x --=的解为4,1-，所以函数234y x x =--的零点是4,1-，因此C 不正确；对于D ，根据两个函数的单调性可以判断D 正确. 故选：BD .11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E O ､分别是1111A B A C ､的中点，P 满足1312423AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（） A ．点A 到直线BEB ．点O 到平面11ABCD C ．平面1A BD 与平面11B CD D ．点P 到直线AB 的距离为2536【答案】AB【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则()()0,0,0,1,0,0A B ，()()()()11110,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,,0,12D A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()11,0,0,,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.设ABE θ∠=，则5cos 5BA BE BA BEθ=⋅⋅=225sin 1cos θθ=-故A 到直线BE 的距离12525sin 1d BA θ===，故A 对. 易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量()10,1,1DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211222DA C O d DA ⋅===，故B 对.()()()11111,0,1,0,1,1,0,1,0A B A D A D =-=-=.设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则110n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0,0x z y z -=⎧⎨-=⎩ 令1z =，得1,1y x ==，所以()1,1,1n =.所以点1D 到平面1A BD 的距离11313||3A D n d n ⋅===因为平面1A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为33，故C 错. 因为131242?3AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭又()1,0,0AB =，则34AP AB AB⋅=，所以点P 到AB 的距离22418195144166AP AB d AP AB⋅=-=-=，故D 错. 故选：AB.12．已知ABC 中，1AB =，4AC =，13BC =，D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点下列结论正确的是（） A ．3BE = B ．ABC 的面积为13C ．435AD =D ．P 在ABE △的外接圆上，则2PB PE+的最大值为27 【答案】ACD【分析】先由余弦定理算出3BAC π∠=，再计算ABC 面积，验证B 选项，在ABE △中，利用余弦定理求BE 验证A 选项，用等面积法ABCABDACDS SS=+，求AD 验证C 选项，用正弦定理表示PB ，PE ，结合三角函数性质验证D 选项.【详解】解：在ABC 中，由余弦定理得2221cos 22AC AB BC BAC AC AB +-∠==⋅，因为()0,BAC π∠∈，所以3BAC π∠=.所以1sin 32ABCSAB AC BAC =⋅∠=，故B 错误；在ABE △中，2222cos 3BE AE AB AE AB BAE =+-⋅∠=，所以3BE =，故A 正确；因为AD 为BAC ∠的角平分线，由等面积法得11sin sin 2222ABCABD ACDBAC BAC S SSAB AD AC AD ∠∠=+=⋅+⋅，整理得53=4AD ，解得435AD =，故C 正确； P 在ABE △的外接圆上，如图则3BPE BAE π∠=∠=，3BE =所以在BPE 中，记PBE α∠=，BEP β∠=，由正弦定理得2sin PB β=，2sin PE α=，又23παβ+=，所以22=2sin 4sin 2sin 4sin 35sin 3PB PE πβααααα⎛⎫++=-+=+ ⎪⎝⎭()=27αϕ+，其中3tan ϕ=，又因为20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2PB PE +的最大值为27D 正确. 故选：ACD【点睛】本题考查正余弦定理的综合应用，考查数学运算能力，是中档题.三、填空题13．若命题“存在2019x <，使得x a >”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[)2019,∞+【分析】将条件转化为“对任意2019,x x a <≤”，从而解出实数a 的取值范围. 【详解】由于命题“存在2019,x x a <>”是假命题，因此其否定命题“对任意2019,x x a <≤”是真命题，所以2019a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2019,∞+.故答案为：[)2019,∞+.14．已知θ为锐角，()3cos 155θ+︒=，则cos(215)θ-︒=______.【分析】因为()21523045θθ-=+-，并且()230215θθ+=+，所以利用已知和二倍角公式()()()sin 2302sin 15cos 15θθθ+=++，以及()()2cos 2302cos 151θθ+=+-化简求值.【详解】θ为锐角，()3cos 155θ+︒=，()4sin 155θ︒+∴=.()()()24sin 2302sin 15cos 1525θθθ∴+︒=+︒+︒=， ()()297cos 2302cos 151212525θθ+︒=+︒-=⨯-=-. ()()()()cos 215cos 23045cos 230cos45sin 230sin 45θθθθ∴-︒=+︒-︒=+︒︒++︒︒7242525=-= 【点睛】本题考查了二倍角公式以及两角差的余弦公式的化简求值，本题的重点是角的变换，三角函数的化简主要有角的变换，和三角函数名称的变换，尤其是二倍角公式和变形比较多，需灵活掌握.15圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______. 【答案】4π【分析】根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得.【详解】有题意可知，PA π⋅=，所以PA =所以，圆锥的轴截面是边长为圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以tan tan 301R OD AD OAD ==⋅∠=︒=，所以该圆锥的内切球的表面积为4π. 故答案为：4π四、解答题16．已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为m ，底面是正方形，且11120A AD A AB ∠=∠=︒，设AB a =，AD b =，1AA c =. （1）用a ，b ，c 表示1BD 及求1BD ；（2）求异面直线AC 与1BD 所成的角的余弦值.【答案】(1) 1BD a b c =-++,13BD m =6【分析】(1)在图形中，利用向量的线性运算法则表示1BD ，再由211||=BD BD 求1||BD . (2) 由111cos ,||||AC BD AC BD AC BD ⋅=可求异面直线AC 与1BD 所成的角的余弦值.【详解】（1）111=BD BA AD AB AD AA a b c DD =++=-++-++. 22221||222BD a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅=2222202cos1202cos120m m m m m ++--︒+︒23m =，1||3BD m ∴=.（2）AC AB AD =+=+a b ，则1()()AC BD a b b c a ⋅=+⋅+- 22a b a c a b b c a b =⋅+⋅-++⋅-⋅ 22a c a b b c =⋅-++⋅2222cos120cos120m m m m =︒-++︒ 2m =-.又1||3BD m =，2AC m =，21116cos ,6||||23AC BD m AC BD AC BD m m ⋅-∴===-⨯.异面直线AC 与1BD 6【点睛】本题考查空间向量的运算，用空间向量求异面直线的夹角.在不建立坐标系的情况下，空间向量的运算与平面向量类似，但表示空间向量需要不共面的三个向量作为基向量.由空间向量求异面直线的夹角时，应注意向量夹角和直线夹角的取值范围的不同，当向量的夹角的余弦值为负数时，相应异面直线的夹角应为其相反数.17．2018年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表. 组号分组频数频率 1[)0,550.052[)5,10 a0.353 [)10,1530b4[)15,20200.205 [)20,2510 0.10 合计 1001（1）求,a b 的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；（用阴影涂黑）（2）根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数（求中位数精确到0.01）；（3）现从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”，经过比赛后从这6人中选拔2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率.【答案】（1）35a =，0.30b =，频率分布直方图见解析；（2）众数为7.50，中位数为11.67；（3）1115【分析】（1）结合频率分布表总数为100即可求出a ，频数比总数可得频率即可求出b 的值，由此能作出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图最高矩形的中点值为众数，利用中位数左边矩形面积为0.5即可可求出中位数；（3）列出基本事件总数，和满足条件的基本事件个数，用古典概型求解即可. 【详解】解：（1）35a =，0.30b = 频率分布直方图如下（2）该组数据众数的估计值为7.50由题图可知，中位数应在10至15之间，设中位数为x ，则()0.050.35100.060.5x ++-⨯=，解得11.67≈x ，故中位数的估计值为11.67.（3）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，第3组的3人设为123,,A A A ，第4组的2人设为12,B B ，第5组的1人设为C ，则从该6人中选出2人的基本事件有1213111212321222313231212,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B AC A A A B A B A C A B A B A C B B B C B C共15种，其中来自不同的组别的基本事件有共11种，所以这2人来自不同组别的概率为1115. 【点睛】本题考查频率分布直方图，涉及到概率的计算，中位数、众数的求法，古典概型概率的计算等问题.18．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,,,cos sin a b c a B A a -. (1)求角B ；(2)若4a c +=，求ABC 外接圆半径R 的最小值，并求出此时ABC 的面积. 【答案】(1)π3(2)外接圆半径R ABC【分析】（1）由正弦定理及两角差的正弦公式可得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而可求B .（2）利用基本不等式可求b 的最小值，从而可求半径的最小值，根据面积公式可求三角形面积.【详解】(1)因为cos sin a B A a =-，故()cos 1sin a B A +，而A 为三角形内角，故sin 0A ≠，故b a =，由正弦定理得sinsin B A =cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ππ5π0π,666B B <<∴-<-<， πππ,663B B ∴-=∴=. (2)22222cos ()3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-， 22163122a c b +⎛⎫∴-≤= ⎪⎝⎭，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号，min 23432,2sin 33b b R b B ∴===≥， ABC 外接圆半径R 最小值为233，此时ABC 的面积1sin 32S ac B ==.19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,,,1PA PD BC AD DC DA BC CD =⊥==//，2,,AD E F =分别为,AD PC 的中点，PE CD ⊥.(1)证明：PE BD ⊥；(2)若PC 与AB 所成角为45，求二面角F BE C --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； 3【分析】（1）由题设易得PE AD ⊥，结合PE CD ⊥，根据线面垂直的判定和性质证结论；（2）构建空间直角坐标系，求面FBE 、面ABE 的法向量，应用向量夹角的坐标表示求二面角F BE C --的余弦值.【详解】(1)因为,PA PD E =为AD 的中点，所以PE AD ⊥，又PE CD ⊥且AD CD D =，,AD CD ⊂面ABCD ，所以PE ⊥面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以PE BD ⊥；(2)底面ABCD 为直角梯形，,,1BC AD DC DA BC CD ⊥==//，2,AD E =为AD 的中点，则1DE BC CD ===，综上，BCDE 为正方形，故BE AE ⊥，又//,AE BC AE BC =，则四边形ABCE 是平行四边形，则//AB EC ，所以45PCE ∠=，则2PE EC ==以E 为原点，以EA 为x 轴，EB 为y 轴，以EP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()1120,1,0,1,1,0,0,0,0,,,222B C E F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故()1120,1,0,,,222EB EF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，设面FBE 的一个法向量为(),,m x y z =，则01120222EB m y EF m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1z =，则()2,0,1m =，平面ABE 的一个法向量为()0,0,1n =，则3cos ,3m n m n m n⋅==⋅，所以二面角F BE C --.的余弦值33. 20．为改善小区环境，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为人工湖，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且60OA =米，60AOB ∠=︒，设POB θ∠=.(1)求人工湖面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； (2)当θ为何值时，人工湖面积S 最大，并求出最大值. 【答案】(1)()24003sin sin 60S θθ=︒-，其中060θ︒<<︒ (2)当30θ=︒时，人工湖最大面积为26003m【分析】（1）利用正弦定理及面积公式可求人工湖面积S 关于θ的函数关系式. （2）利用三角变换公式可得()12003sin 2306003S θ=+︒-求面积的最大值.【详解】(1)在OPN 中，120,60,60ONP OPN OP θ∠=︒∠=︒-=，由正弦定理得sin sin sin ON OP PNOPN ONP PON==∠∠∠，即()60sin 60sin120sin ON PNθθ==︒-︒，所以()60,ON PN θθ=︒-=，所以人工湖面积()sin sin 60S ON PN ONP θθ=⨯∠=︒-，其中060θ︒<<︒.(2)由（1）得()1sin 60sin 2S θθθθθ⎫=︒-=-⎪⎪⎝⎭23600sin cos 1800sin2θθθθθ=-=+-()230θ=+︒-因为060θ︒<<︒，所以30230150θ︒<+︒<︒，所以max 23090,1S θ+︒=︒=-.故当30θ=︒时，人工湖最大面积为2 21．已知函数()242f x ax x =-+，函数()()13f x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)若函数()f x 有唯一零点，求a ；(2)若0a <，不等式()9g x ≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，求a 的取值范围；(3)已知1a ≤，若函数()2log 8xy f x =-在区间[]1,2内有且只有一个零点，试确定实数a 的范围.【答案】(1)0或2 (2)[)8,0- (3)[]1,1-【分析】（1）分0a =和0a ≠两种情况讨论，当0a ≠时需0∆=，即可求出参数的值；（2）根据题意，将不等式恒成立，转化为224444x a x x x -≥=-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，令()12t t x=≥，则转化为244a t t ≥-在[)2,t ∈+∞上恒成立，求出2max (44)t t -，即可得出结果；（3）设()245r x ax x =-+，()2log s x x =，[]1,2x ∈，根据原函数有一个零点，得到两个函数()r x 与()s x 的图象在区间[]1,2内有唯一交点；分别讨论0a =，0a <，01a <≤三种情况，结合二次函数与对数函数的性质，即可求出结果.【详解】(1)解：当0a =时()42f x x =-+，函数()f x 有唯一零点12，当0a ≠时，由1680a ∆=-=，解得2a =，函数有唯一零点1，综上：0a =或2 (2)解：依题意得()211933f x -⎛⎫⎛⎫≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即24221133ax x -+-⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在10,2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上恒成立，转化为2422ax x -+≥-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即2440ax x -+≥在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，转化为224444x a x x x -≥=-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立. 令()12t t x=≥，则问题可转化为244a t t ≥-在[)2,t ∈+∞上恒成立，因为22142414y t t t ⎛⎫=-- -⎪⎭=+⎝在[)2,+∞上单调递减，所以当2t =时max 8y =-，即()[)()2max442,a t tt ≥-∈+∞，所以8a ≥-，所以a 的取值范围为[)8,0-. (3)解：()222log 45log 8xy f x ax x x =-=-+-，设()245r x ax x =-+，()[]()2log 1,2s x x x =∈，则由题意知函数()r x 与()s x 的图象在区间[]1,2内有唯一交点.当0a =时，()45r x x =-+在[]1,2上单调递减，()2log s x x =在[]1,2上为增函数，且()()1110r s =>=，()()2321r s =->=，所以函数()r x 与()s x 的图象在区间[]1,2内有唯一的交点. 当0a <时，()r x 的图象开口向下，对称轴为直线20x a=<，所以()r x 在[]1,2上单调递减，又()2log s x x =在[]1,2上为增函数，由题意知，需()()()()1122r s r s ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，得10431a a +≥⎧⎨-≤⎩，得11a -≤≤，所以10a -≤<.当01a <≤时，()r x 的图象开口向上，对称轴为直线22x a =≥，所以()r x 在[]1,2上单调递减，又()2log s x x =在[]1,2上为增函数，由题意知，需()()()()1122r s r s ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，得10431a a +≥⎧⎨-≤⎩，得11a -≤≤，所以01a <≤.综上，a 的取值范围为[]1,1-.五、双空题22．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1BB 的中点，点P 在侧面11BCC B （包含边界）．（1）若点P 与点Q 重合，则点P 到平面11ACC A 的距离是________；（2）若1⊥A P DQ ，则线段CP 长度的取值范围是________．【答案】2⎤⎥⎣⎦ 【分析】（1）连接11B D 交11A C 于点E ，由正方体的性质可证1//BB 面11ACC A ，1B E ⊥面11ACC A ，即可得到点1B 到平面11ACC A 的距离，当点P 与点Q 重合时，点P 到平面11ACC A 的距离即为点1B 到平面11ACC A 的距离；（2）建立空间直角坐标系，设(),2,P x z ，由1⊥A P DQ 得到22z x =-，再根据2CP x =【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，1BB ⊄面11ACC A ，1CC ⊂面11ACC A ，所以1//BB 面11ACC A ，连接11B D 交11A C 于点E ，所以1111B D A C ⊥，又1CC ⊥面1111D C B A ，1B E ⊂面1111D C B A ，所以11CC EB ⊥，因为1111CC AC C ⋂=，所以1B E ⊥面11ACC A ，因为正方体的棱长为2，所以1B E 1B 到平面11ACC A若点P 与点Q 重合，则点P 到平面11ACC A 的距离即为点1B 到平面11ACC A 的距离为2；如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0C ，()12,0,2A ，()0,0,0D ，()2,2,1Q ，设(),2,P x z ，则()12,2,2A P x z =--，()2,2,1DQ =，(),0,CP x z =，因为1⊥A P DQ ，所以10A P DQ ⋅=，所以()22420x z -++-=，即22z x =-，所以()222224422555CP x z x x x ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，因为020222x z x ≤≤⎧⎨≤=-≤⎩解得01x ≤≤，所以2525CP ≤≤，即25,25CP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：2；25,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

2020高二数学(理)下学期期末学业质量监测试题(含解析)

高二下学期期末学业质量监测数学理试题试卷满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：选修2-2、选修2-3．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.已知z C ∈，()2zi bi b R =-∈，z 的实部与虚部相等，则b =（） A. 2 B.12C. 2D. 12-【答案】C 【解析】【分析】利用待定系数法设复数z ，再运用复数的相等求得b .【详解】设z a ai =+ （R a ∈），则()2,a ai i bi +=- 即2a ai bi -+=-22,2a a a b b -==-⎧⎧∴∴⎨⎨=-=⎩⎩.故选C.【点睛】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.2.函数121x y x -=+在()1,0处的切线与直线l :y ax =垂直，则a =（） A. 3 B. 3 C. 13D. 13-【答案】A 【解析】【分析】先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得a 的值。

【详解】''213()21(21)x y x x -==++Q 11,3x y =∴='∴ 函数在（1，0）处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是3,-3.a ∴=- 故选A.【点睛】本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．3.若随机变量X 满足(),X B n p ~，且3EX =，94DX =，则p=（） A.14B.34C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】根据二项分布的数学期望和方差求解.【详解】由题意得：39(1)4np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得：1214n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选A.【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差求解，属于基础题.4.若函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()'y f x =的图像有可能是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系求解。

泸县第二中学高二数学上学期第二次月考试题理

四川省泸县第二中学2020—2021学年高二数学上学期第二次月考试题理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题(60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若直线l经过点(2,3)B,则直线l的倾斜角为A,(3,4)A．30B．45︒C．60︒D．90︒2．已知a b cac>,则下列关系式一定成立的是>>，0A．2c bc>B．()0->C．a b cbc a c+>D．22>a b3．命题“关于x的方程ax2－x－2＝0在（0，＋∞）上有解"的否定是A．∃x∈（0，＋∞)，ax2－x－2≠0B．∀x∈(0,＋∞)，ax2－x －2≠0C ．∃x ∈(－∞,0）,ax 2－x －2＝0D ．∀x ∈（－∞,0），ax 2－x －2＝0 4．如果椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为A ．10B ．6C ．12D ．145．已知命题1:sin 2p x =，命题:2 6q x k k Z ππ=+∈，，则p 是q 的A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D 。

既不充分也不必要条件 6．若2a >-，则162a a ++的最小值为A ．8B ．6C ．4D ．27．在空间直角坐标系中，已知点2,3)P ，过点P 作平面yoz的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为 A ．2,0)B ．2,3)C ．3)D ．2,0)8．下列命题正确的是A ．到x 轴距离为3的点的轨迹方程是x ＝3B ．方程1yx=表示的曲线C 是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线C ．方程｜x ﹣y |+（xy ﹣1)2＝0表示的曲线是一条直线和一条双曲线D ．3x 2﹣2y 2﹣3x +m ＝0通过原点的充要条件是m ＝09．与圆()22C x y 59：＋＋＝相切，且在x 轴与y 轴上的截距都相等的直线共有 A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．当直线(2)4y k x =-+和曲线214y x 有两个交点时，实数k 的取值范围是A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,31 C ．)125,0( D ．),125(+∞11．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左,右顶点。

2019-2020年高二9月月考数学(理)试题含答案

2019-2020年高二9月月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．42．已知向量a ，b ，则“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．¬p 是真命题D ．¬q 是真命题4．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1B ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －15．设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 6．“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．给出下列命题，其中真命题为( ) A ．对任意x ∈R ，x 是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x ＞1是1x＜1的充要条件8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c 则“a ≤b ”是 “sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 9．已知p ：1x ＋1＞0；q ：lg(x ＋1＋1－x 2)有意义，则¬p 是¬q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ：命题q ：若x >y ，则x 2>y 2，在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(¬q )；④(¬p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则¬p 为 ( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤112．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是____________．14．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则¬p 是____________．15．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 16．已知命题p ：|x 2－x |≠6，q ：x ∈N ，且“p ∧q ”与“¬q ”都是假命题，则x 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(1)写出命题：“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(2)已知集合P ＝{x |－1<x <3}，S ＝{x |x 2＋(a ＋1)x ＋a <0}，且x ∈P 的充要条件是x ∈S ，求实数a 的值．18．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除． (2) ∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x ≥2.(3)∃ x 0∈{x |x ∈Z }，log 2x 0>2.19．设p：关于x的不等式a x＞1(a＞0且a≠1)的解集为{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x ＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．20．已知命题p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21．已知命题p：方程x2－2mx＋m＝0没有实数根；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0.(1)写出命题q的否定“¬q”．(2)如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．22．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的解析式．(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．参考答案：一、选择题1．B2.B3.D4．C5．D6.B7．C8．A9．A10．C11．B12．C 二、填空题13．圆的切线到圆心的距离等于半径 14．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0 15．(－2,2] 16．3 三、解答题17．逆命题：若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0，是真命题；否命题：若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2，是真命题；逆否命题：若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0，是真命题．(2)因为S ＝{x |x 2＋(a ＋1)x ＋a <0}＝{x |(x ＋1)(x ＋a )<0}，P ＝{x |－1<x <3}＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}，因为x ∈P 的充要条件是x ∈S ，所以a ＝－3.18．(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (2)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题． (3)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题． 19．a ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 20．m 的取值范围是(0,3]． 21．(1)¬q ：∃x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0. (2)－2≤m ≤0或1≤m ≤2.22．p ，q 有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，＋∞.。

哈尔滨市延寿县第二中学2020_2021学年高二数学9月月考试题

黑龙江省哈尔滨市延寿县第二中学2020-2021学年高二数学9月月考试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1．下面对算法描述正确的一项是（)A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一个问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同2．图示程序的功能是()错误!A．求1×2×3×4×…×10 000的值B．求2×4×6×8×…×10 000的值C．求3×5×7×9×…×10 001的值D．求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的a,b分别为14，18，则输出的a＝(）A．0 B．2C．4 D．144．用秦九韶算法求多项式f（x）＝208＋9x2＋6x4＋x6当x ＝－4时的值时，v2的值为()A．－4 B．1C．17 D．225．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i＝i＋1 B．i＝i＋2C．i＝i＋3 D．i＝i＋46．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本7．2012年6月16日“神舟”九号载人飞船顺利发射升空，某校开展了“观‘神九’飞天燃爱国激情”系列主题教育活动．该学校高一年级有学生300人,高二年级有学生300人，高三年级有学生400人，通过分层抽样从中抽取40人调查“神舟”九号载人飞船的发射对自己学习态度的影响，则高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多(）A．5 B．4C．3 D．28．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，…，800,利用随机数表法抽取样本，从第7行第1个数8开始,依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是()(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行）1622779439495443548217379323788735209643 84263491648442175331572455068877047447672176335025 8392120676630163783916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342 99660279545760863244094727965449174609629052847727 0802734328A．425 B．506C．704 D．7449。

2020年高二下学期期末考试数学(理数)试卷(含答案)

2020年高二下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共60分） 1．设zz i i z 2),(12+-=则为虚数单位= （）（A ）i --1（B ）i +-1 （C ）i -1（D ）i +12．下列等于1的积分是（）A ．dx x ⎰10 B ．dx x ⎰+10)1( C ．dx ⎰101 D ．dx ⎰10213.用数学归纳法证明：1+21+31+)1,(,121>∈<-+*n N n n n Λ时，在第二步证明从n =k 到n =k +1成立时，左边增加的项数是（） A.k 2 B.12-k C.12-k D.12+k4. 若()sin cos f x x α=-，则'()f α等于（）（A ）sin α （B ）cos α （C ） sin cos αα+ （D ）2sin α5. 函数xy 1=在点4=x 处的导数是（）(A)81 (B) 81- (C) 161 ( D) 161- 6. 已知随机变量ξ服从正态分布84.0)4(),,2(2=≤ξσP N ,则=≤)0(ξP ( ) (A) 0.16 (B) 0.32 (C) 0.68 (D) 0.847. 某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同（）的停放方法共有（A ） 16种（B ）18种（C ）24种（D ）32种8. 若幂函数)(x f 的图象经过点)21,41(A ，则它在A 点处的切线方程为（）（A ） 0144=++y x （B ）0144=+-y x （C ）02=-y x （ D ）02=+y x9. 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象可能是（）10. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，2)2(=f ,当0>x 时，有)()(x f x x f '>恒成立，则不等式x x f >)(的解集是（）（A ）（2-，0）∪（2，∞+）（B ）（2-，0）∪（0，2）（C ）（∞-，2-）∪（2，∞+）（D ）（∞-，2-）∪（0，2）11.某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（）A ．16种B ．18种C ．24种D ．32种12. 设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（）Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．5二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 是虚数单位，则22a b +=_________。

高二数学上学期第一次月考试题

2019届高二第一学期第一次月考数学试卷一、选择题1．已知集合{10}{lg(1)}M x x N x y x =+>==-，，则M N =（）A ．{11}x x -<<B ．{1}x x >C ．{11}x x -≤<D ．{1}x x ≥-2．函数21)(--=x x x f 的定义域为（）（A ）[1，2）∪（2，+∞）（B ）（1，+∞）（C ）[1，2）（D ）[1，+∞）3．执行如图所示的程序框图，输出的T =（）（A ）29 （B ）44 （C ）52 （D ）624．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23x y+的最小值为（ ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．2565．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A．3π+ B．23π+ C．π D．2π6．已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与3-a b 垂直，则实数值为（）（A ）13-（B ）119（C ）（D ）7．已知函数()()cos (0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A. 函数()f x 的最小周期为23πB. 函数()f x 的图象关于,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称C. 函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D. 函数()f x 的最小值为8．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=，22221234n S a a a a =-+-+…22212n n a a -+-等于（）A.()1213n - B. ()41125n - C. ()1413n - D. ()1123n - 9．若sin()cos(2)1sin cos()2πθθπθπθ-+-=++，则tan θ=（）A ．B ．C ．D ．10.已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是（）A ．10B ．12C ．14D ．1511.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，，是线段11B D 上的两个动点，且2EF =，则下列结论错误．．的是（） A. AC BF ⊥B. 直线AE 、BF 所成的角为定值C. EF ∥平面ABCDD. 三棱锥A BEF -的体积为定值12．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点、，是坐标原点，且有3||||OA OB AB+≥，那么的取值范围是（） A.)+∞B.C.)+∞D. 二、填空题13．在ABC ∆中，角，，所对的边分别为，，，若60C ∠=，2b =，c =，则__________． 14．数列{}n a 的前项和*23()n n S a n N =-∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =．15．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 16．在底面边长为2 的正三棱锥V-ABC 中，E 是BC 的中点，若VAE ∆的面积是41，则该正三棱锥的体积为__________________三、解答题 17．化简或求值：（1）1242--（2）2(lg 2)lg 2lg5+ 18．xx x f 1)(+=已知 (1) 判断并证明f(x)的奇偶性； (2) 证明f(x)在),1[+∞的单调性。

河南省青桐鸣2023-2024学年高二上学期9月大联考数学试题(含答案解析)

河南省青桐鸣2023-2024学年高二上学期9月大联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．346B 二、多选题9．现有一组数据为1，2A ．这组数据的极差为C ．这组数据的平均数为变小10．已知直线l 过点(M -A ．若直线l 的斜率为B ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线C ．若M 为AB 的中点，则D ．直线l 的方程可能为11．已知O 为坐标原点，动点，则下列说法正确的是（A ．点M 到直线ABC ．点M 关于直线AB 12．在长方体1ABCD A -Q 分别是直线1CC ，AM A ．三棱锥A BDM -C ．145AC =三、填空题13．已知O 为坐标原点，直线则点Q 的坐标为．四、解答题17．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111OAB O A B -，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，()2,0,0A ，平面1ABO 的一个法向量为()4,2,1e =．(1)求点1O 与B 的坐标；(2)求点O 到平面1ABO 的距离．18．某校在某次考试后，为了解高二年级整体的数学成绩，对高二年级学生的数学成绩进行了抽样调查，抽取了一个容量为50的样本，将调查数据整理成如下频率分布直方图，分段区间为[)90,100，[)100,110，L ，[]140,150（单位：分）．(1)求样本中低于120分的人数；(2)用样本估计总体，以频率作为概率，在高二年级中随机抽取一名同学的数学成绩，若不低于130分称为优秀，求该同学成绩优秀的概率．(1)证明：平面A BE '⊥平面A DE ¢(2)求直线CD 与平面A DE ¢所成角的余弦值．22．在三棱台111ABC A B C -中，111224AB AC AA A B ====．(1)证明：平面1ABC ⊥平面1CBC ；(2)记1B C 的中点为M ，过M 的直线分别与直线面11AB C 所成角的正弦值．参考答案：在A CB '△中，cos A CB '∠=∴()A D BC A C CD BC ⋅=+⋅''则()4,0,0B ，()0,2,0D ，1C 则()14,2,3AC =，(4,2,0BD =- 129A C =，故C 错误；设AQ AM λ= ，1CP kCC =，则()()(2224423PQ λλ=-+-+14．5264+【分析】求出平面ABC 的法向量，借助空间向量数量积求出求解作答.【详解】依题意，(2,3,0),AB =- (),,m a b c =，则230360m AB a b m BC b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令则()11111324x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭32x y =时取等号，由32324x y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得4x =-所以当464,263x y =-=-设2AB =，则()12,0,2A ，M ()12,1,0A M =- ，(11,A N =- 由111B Q B C λ= 得(22,2,2Q λ-由题意知，向量1A M ，1A N可知π1cos 234x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭在()0,2π上有令()π2π3x k k -=∈Z ，则()ππ26k x k =+∈Z 为πcos 23y x ⎛=- ⎝当2k =时，7π6x =是πcos 23y x ⎛=- ⎝则12347π14π463x x x x +++=⨯=．22．(1)证明见解析(2)0【分析】（1）取AC 的中点D ，可得四边形理、性质定理和面面垂直的判定定理证明可得答案；（2）以A 为原点，AB ，AC ，角坐标系A xyz -，求出平面AB 线，可设PM k MQ = ，求出PQ【详解】（1）取AC 的中点D ，则AD 与11A C 平行且相等，可得四边形11ADC A 为平行四边形，则有112AA C D ==，又2AD DC ==，故190AC C o Ð=．又1AA AB ⊥，AC AB ⊥，1AC AA A =∩，AC ，1AA ⊂平面11ACC A ，故AB ⊥平面11ACC A ，又因为1CC ⊂平面11ACC A ，故1AB CC ⊥，又因为11AC CC ⊥，1AC AB A = ，1AC ，AB ⊂平面1ABC ，故1CC ⊥平面1ABC ，而1CC ⊂平面1CBC ，故平面1ABC ⊥平面1CBC ；（2）以A 为原点，AB ，AC ，1AA 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()12,0,2B ，()10,2,2C ，()0,4,0C ，则()1,2,1M ，设平面11AB C 的法向量为(),,m x y z =，则1100m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，则()1,1,1m =- ．设(),0,0P λ，()0,,2Q μ，则()1,2,1PM λ=- ，()1,2,1MQ μ=-- ，由题意知P ，M ，Q 三点共线，可设PM k MQ = ，则()1221k k k λμ-=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得124k λμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，故()2,0,0P ，()0,4,2Q ，则()2,4,2PQ =- ，。

高二9月月考(数学)试题含答案

高二9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，2.（5分）已知空间向量3，，1，，则等于A. 1，B. 5，C.D.3.（5分）若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于A. B. C. D.4.（5分）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则等于A. B.C. D.5.（5分）已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l在y轴上的截距为A. B. C. 2 D. 46.（5分）两平行直线与的距离为A. B. C. D.7.（5分）若点为圆C：的弦MN的中点，则弦MN所在的直线方程为A. B. C. D.8.（5分）过点且与原点O距离最大的直线方程为A. B. C. D.二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）已知为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，那么下列说法中正确的有A. B. C. D.10.（5分）已知点P是所在的平面外一点，若1，，，2，，则A. B. C. D.11.（5分）下列说法正确的是A. 直线必过定点B. 直线在轴上的截距为C. 直线的倾斜角为D. 过点且垂直于直线的直线方程为12.（5分）已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为A. B. C. D.三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）如图，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是14.（5分）空间向量，，如果，则．15.（5分）直线所经过的定点为四、双空题（本题共计1小题，总分5分）16.（5分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻的研究，其主要成果集中于他的代表作圆锥曲线一书，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于常数该常数大于零且不等于的点的轨迹为圆，后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，，，动点P 满足，由上面的结果知点P 的轨迹是圆，则该圆的半径是，PA 的最大值是．五、解答题（本题共计5小题，总分70分）17.（14分）已知向量(1,3,2)a =-，(2,1,1)b =-，(3,1,4)c =--.求：（1）()a b c ⋅+；（2）|25|a b c +-.18.（14分）在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，．证明：．（2）求二面角的余弦值．19.（14分）中，顶点，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求边所在直线的方程；（2）求的面积．20.（14分）已知点和求直线AB的斜率和AB的中点M的坐标；（2）若圆C经过A，B两点，且圆心在直线上，求圆C的方程．21.（14分）已知圆C过三点，，．求圆C的方程；（2）斜率为1的直线l与圆C交于两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程．答案一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）【答案】C【解析】解：由平面向量基本定理得：对于A选项，，所以，，三个向量共面；对于B选项，同理：，，三个向量共面；对于D选项，，所以三个向量共面；故选：C．由平面向量基本定理判断．本题考查平面向量基本定理，属于基础题．2.（5分）【答案】A【解析】【分析】本题考查空间向量的坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．任意空间向量都可以用三维有序实数组表示，直接利用空间向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：空间向量3，，1，，3，，2，，1，．故选：A．3.（5分）【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量的夹角公式，涉及模长的求解，属于基础题．由向量坐标可得向量的数量积和向量的模长，代入夹角公式计算可得．【解答】解：设，所成的角为，则，．故选B．4.（5分）【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量定理及其应用利用向量加法和减法的运算得出答案，属基础题．利用向量的线性运算直接求解即可．【解答】解：如图：由题意，又，．故选B．5.（5分）【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了两条直线垂直的判定，直线的点斜式方程及截距的求法，属于基础题．由题意，可得直线l的斜率为，则利用点斜式可求得直线l的方程，令，则可得直线l在y轴上的截距．【解答】解：由，即，其斜率为2，则直线l的斜率为，故直线l的方程为：，令，则，故直线l在y轴上的截距为．故选B．6.（5分）【答案】B【解析】【分析】本题考查点到直线的距离求解，属于基础题．在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离，即可求解．【解答】解：由直线取一点，则两平行直线的距离等于A到直线的距离．故选B．7.（5分）【答案】D【解析】【分析】本题考查直线的斜率的求法，直线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用，属于基础题．求出圆心坐标，求出PC的斜率，然后求出MN的斜率，即可利用点斜式方程求出直线MN的方程．【解答】解：将圆方程化为标准方程可得圆心，所以，方程为，即，故选D．8.（5分）【答案】A【解析】【分析】本题考查用点斜式求直线方程的方法，数形结合判断什么时候距离最大是解题的关键，属基础题．先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：要使过点的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线PO垂直，由，则所求直线l的斜率为，直线l的方程为，即．故选A．二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）【答案】BC【解析】【分析】本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题．根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案．【解答】解：因为为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，A.或，故错误；B.正确；C.正确；D.或，故错误，故选BC．10.（5分）【答案】AC【解析】【分析】本题考查了空间向量的坐标运算，涉及向量垂直，平行以及向量的模，属于基础题．根据向量坐标运算依次判断各个选项．【解答】解：，故，故A正确；，，故B不正确．，则，故C正确；，故D不正确，故选AC．11.（5分）【答案】ABD【解析】【分析】本题考查直线相关概念以及直线的方程、直线与直线的垂直关系，属基础题．将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D．【解答】解：可化为，则直线必过定点，故A正确；令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C 错误；设过点且垂直于直线的直线的斜率为，因为直线的斜率为，所以，解得，则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确．故选ABD．12.（5分）【答案】BD【解析】【分析】本题考查了直线的点斜式方程，直线的一般式方程，考查学生的计算能力，属于基础题．根据题意对直线l是否经过原点讨论即可求解．【解答】解：由题意可知，当直线l过原点时，斜率，又直线l过点，直线l的方程为，即．当直线l不过原点时，设方程为，又直线l过点，，解得，直线l的方程为，故选BD．三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）【答案】3，【解析】【分析】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由的坐标为3，，分别求出A和的坐标，由此能求出结果．【解答】解：以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，的坐标为3，，0，，3，，．故答案为3，．14.（5分）【答案】3【解析】【分析】本题考查空间向量的垂直的判断，向量的数量积的坐标运算，向量的模，属基础题．根据先求出m的值，再代入即可计算．【解答】解：向量，，且，，，解得，，．故答案为3．15.（5分）【答案】【解析】【分析】本题主要考查了直线过定点的相关问题，属于基础题．根据题意得到直线所过定点为两直线和交点，从而求解．【解答】解：由题意可知，，故直线所经过的定点为的交点，解得，，故答案为．四、双空题（本题共计1小题，总分5分） 16.（5分）【答案】26【解析】【分析】本题考查两点间的距离公式及与圆有关的轨迹问题，考查学生的计算能力，属于中档题．设P 点的坐标为，利用两点间的距离公式表示出、，代入等式，化简整理得答案，再根据的几何意义可求得最大值．【解答】解：设，由于，，，，，即，点P 的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．因为为点P 到定点的距离，所以，的最大值是．故答案为2；6．五、解答题（本题共计5小题，总分70分） 17.（14分）【答案】（1）5；（2）152【分析】(1)根据空间向量的坐标运算可得答案.（2）先由空间向量的坐标运算得出向量的坐标，再由模长公式可得答案. 【详解】（1）由(1,3,2)a =-，(2,1,1)(3,1,4)(5,0,5)b c +=-+--=-，得()1(5)(3)0255a b c ⋅+=⨯-+-⨯+⨯=.（2）因为25(2,6,4)(2,1,1)(15,5,20)(15,0,15)a b c +-=-+----=-，所以()()222|25|15015152a b c +-=++-18.（14分）【答案】证明：取AB的中点M，连接DM，PM，为等边三角形，．在直角梯形ABCD中，，，，，为等腰三角形，．，，平面PDM．平面PDM，解：由知，DM，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，1，，1，，，则，，，设平面APB的法向量为，即令，得．设平面PBC的一个法向量为，，即可得平面PBC的一个法向量为，，又二面角为钝二面角，故其余弦值为．【解析】本题考查异面直线垂直的判定，考查利用空间向量求二面角余弦值的应用，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题．取AB的中点M，连接DM，PM，由题可知在直角梯形ABCD中，求出，可知，进而得证平面PDM，即可求证．由DM，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标得到，，，即可求出平面APB 的法向量平面PBC的一个法向量为，即可求出二面角余弦值．19.（14分）【答案】解：边上的高所在直线方程为，即斜率为，边所在直线的斜率为，又点，则AB边所在直线的方程为，即；解方程组，得，，，又点到直线AB的距离，所以的面积．【解析】本题考查了直线的点斜式方程，考查了直线的交点，两点间距离公式，点到直线的距离公式，两条直线垂直的判定，属于基础题．求出直线AB的斜率，然后由点斜式方程求解；联立直线方程求出A点坐标，由两点间距离公式求得，求出点到直线AB的距离，得出结果．20.（14分）【答案】解：由点和，得，，，直线AB的斜率为1，AB的中点M的坐标为；设圆心C为，半径为r，圆心在直线上，，则点C为，由题意可得，即，解得，，．圆C的标准方程为．【解析】本题考查由两点坐标求直线的斜率，考查中点坐标公式的应用，训练了圆的方程的求法，考查计算能力，是中档题．直接由两点坐标求斜率公式求AB的斜率，由中点坐标公式求AB的中点M的坐标；设圆心C为，半径为r，由圆心在直线上，得圆心C为，再由列式求得a，进一步求出圆的半径，则圆的方程可求．21.（14分）【答案】解：圆C过三点，，，圆心在上，设圆心坐标，则，解得，．则圆C的方程为；设直线方程为．为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，则，即或．直线l的方程为或．【解析】【试题解析】本题考查圆的方程的求法，直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．由已知可得圆心在上，设圆心坐标为，再由圆心到圆上两点的距离相等列式求得x，得到圆心坐标，进一步求得半径，则圆的方程可求；设直线方程为，由为等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得c，则直线l的方程可求．。

北京同仁中学2020年高二数学理联考试题含解析

北京同仁中学2020年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线的实轴长是A．2 B．2 C．4 D．4参考答案：C略2. （多选题）设函数，则下列说法正确的是A. f(x)定义域是（0，+∞）B. x∈（0，1）时，f(x)图象位于x轴下方C. f(x)存在单调递增区间D. f(x)有且仅有两个极值点E. f(x)在区间（1，2）上有最大值参考答案：BC【分析】利用函数的解析式有意义求得函数的定义域，再利用导数求解函数的单调区间和极值、最值，逐项判定，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；由，当时，，∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确；由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；由，则，所以，函数单调增，且，，所以函数在先减后增，没有最大值，所以E 不正确，故选BC．【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，其中解答中准确求解函数的导数，熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3. 若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（）A. B. C.D.参考答案：C略4. 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）A．6 B．4 C．12 D．144参考答案：C【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】连接PB，PC，由余弦定理可得AC的值，由PA⊥AC，故根据勾股定理可得PC的值．【解答】解：连接PB，PC，∵PA=AB=BC=6，∴由余弦定理可得AC==6，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴PC==12．故选：C．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．5. 已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（）A.2B.3C.4D.参考答案：C6. 一个正三棱柱恰好有一个内切球（即恰好与两底面和三个侧面都相切）和一外接球（即恰好经过三棱柱的6个顶点），此内切球与外接球的表面积之比为（）A．1∶ B．1∶3 C．1∶ D．1∶5参考答案：D略7. 函数是（）．周期为的奇函数.周期为的偶函数. 周期为的奇函数.周期为的偶函数参考答案：C8. 在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A． B． C． D．参考答案：A9. 若平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与夹角的余弦是A. B. C. D. －参考答案：A10. 圆的圆心坐标和半径分别是（）A．（0，2） 2 B．（2，0） 4C．（－2，0） 2 D．（2，0） 2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出命题：①直线互相垂直，则实数的值的个数是；②过点的直线与圆相切，则切线的方程为；③点到直线的距离不小于；④上，则的重心的轨迹方程是。

山东百师联盟2024-2025学年高二上学期9月联考数学试题(解析版)

2024～2025学年度高二9月联考数学试题1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 给出下列命题： ①零向量的方向是任意的；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足a b= ，则a b = ；④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D 【解析】【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为0的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确；方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误；若空间向量a ，b 满足a b = ，但由于它们的方向不一定相同，故,a b不一定相等，③错误；空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误；所以正确的命题只有1个；故选：D.2. 如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，E 为棱11A C 的中点.设BA a =，1BB b = ，BC c =，则BE =（）A. 1122a b c ++B. 1122a b c ++C. 1122a b c ++D. 12a b c ++【答案】A 【解析】【分析】由空间向量线性运算即可求解.【详解】由题意可得111111112BE BB B A A E BB BA A C =++=++()111111122221122BB BA AC BB BA BC c BA B b A BC BB a =++=++−=++=++ .故选：A.3. 对于任意空间向量a，b ，c ）．A. 若a b ⊥ ，b c ⊥ ，则a c ⊥B. ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C. 若0a b ⋅< ，则a ，b 的夹角是钝角D. ()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】B 【解析】【分析】由空间向量的位置关系可得A 错误；由数量积的运算律可得B 正确，D 错误；当两向量的夹角为π时，0a b ⋅< 也成立可得D 错误；【详解】对于A ，若ab ⊥，b c⊥ ，则a c ⊥ 或//a c，故A 错误；对于B ，由数量积的运算律可知()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅，故B 正确；对于C ，若0a b ⋅< ，则a ，b 的夹角是钝角或反向共线，故C 错误；对于D ，由数量积的运算律可知，等号左面与c 共线，等号右面与a，两边不一定相等，故D 错误；故选：B.4. 设,x y ∈R ，向量(),2,2a x =，()2,,2b y = ，()3,6,3c =− ，且a c ⊥ ，//b c，则a b +=（）．A.B.C. 5D. 6【答案】D 【解析】【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求,x y ，由此可求a b +的坐标，再求其模即可.【详解】因为ac ⊥，(),2,2a x =，()3,6,3c =− ，所以31260x −+=，所以2x =，因为//b c ，()2,,2b y = ，()3,6,3c =−，所以22363y ==−，所以4y =−，所以()4,2,4a b +−，所以6a b +=.故选：D.5. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点()3,4A −的直线l的一个法向量为()1,3−，则直线l 的点法式方程为；()()()13340x y ×++−×−=，化简得3150x y −+=．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3M 的平面的一个法向量为()1,2,4m=−，则该平面的方程为（）．A 2470x y z −−+= B. 2470x y z +++= C. 2470x y z +−+=D. 2470x y x +−−=【答案】C 【解析】【分析】由题意进行类比推理即可；【详解】由题意可得()()()()1122430x y z ×−+×−+−×−=，化简可得2470x y z +−+=，故选：C.6. 已知圆锥PO 的母线长为2，表面积为3π，O 为底面圆心，AB 为底面圆直径，C 为底面圆周上一点，.60BOC ∠=°，M 为PB 中点，则MOC △的面积为（）．A.B.C.154D.158【答案】A 【解析】【分析】先由圆锥的表面积公式求出底面半径，在OCN 中由余弦定理解出CN ，然后在Rt MNC △中由勾股定理求出MC ，最后由余弦定理和三角形的面积公式求出结果即可；【详解】设,OB r PB l ==，由题意可得2ππ3πr rl +=，即2π2π3πr r +=，解得1r =或3−（舍去），连接OM ，因为M 为PB 中点，所以112OMPB OB ===，过M 作MN OB ⊥于N ，连接CN，则12MNPO == 在OCN 中，222cos 2OC ON CN CON OC ON +−∠=⋅，即222112cos 601212CN+− °=××，解得CN = 又在Rt MNC △中，MC ，所以22261114cos 22114OC OM MCMOC OC OM+−+−∠===⋅××，所以sin MOC ∠，所以MOC △的面积为11sin 1122OM OC MOC ⋅∠=××=，故选：A.7. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30°，则点Q 的轨迹长度为（）A.π2B. πC. 2πD. 3π【答案】C 【解析】【分析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系可证得1DB ⊥平面PMN ，可得点Q 的轨迹为圆，由此即可得．【详解】解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，()1,2,0P ，()0,1,2M ，()2,0,1N ，()0,0,0D ，()12,2,2B ，故()12,2,2DB = ，()1,1,2PM =−−， ()1,2,1PN =− ，设平面PMN 的法向量为mm��⃗=(xx ,yy ,zz )，则()()()(),,1,1,220,,1,2,120m PM x y z x y z m PN x y z x y z ⋅=⋅−−=−−+= ⋅=⋅−=−+= ，令1z =得，1xy ==，故()1,1,1m =，因为12DB m =，故1DB ⊥平面PMN ，Q 为平面PMN 上的动点，直线1QB 与直线1DB 的夹角为30°，1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S为圆心，1r B S =为半径作圆，即为点Q的轨迹，其中11B D B D ==，由对称性可知，1112B S B D ==，故半径1r ==，故点Q 的轨迹长度为2π. 故选：C.8. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB PA =.若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ QD ⊥，此时二面角A PD Q −−的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由线面垂直性质与判定可证得DQ ⊥平面PAQ ，进而得到DQ AQ ⊥，设2PA AB ==，()0AD t t =>，()0BQ m m t =≤≤，利用勾股定理可得关于m 的方程，由方程有且仅有一个[]0,t 范围内的解，由0∆=求得,t m 的值；以A 为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】PA ⊥ 平面ABCD ，DQ ⊂平面ABCD ，PA DQ ∴⊥，的又PQ DQ ⊥，PA PQ P = ，,PQ PA ⊂平面PAQ ，DQ ⊥∴平面PAQ ，又AQ ⊂平面PAQ ，DQ AQ ∴⊥；设2PA AB ==，()0ADt t =>，()0BQ m m t =≤≤， 224AQ m ∴=+，()224DQ t m =+−，22AD t =， ()22244m t m t ∴+++−=，即240m tm −+=，关于m 的方程有且仅有一个[]0,t 范围内的解，对称轴为2tm =， 2160t ∴∆=−=，解得：4t =，2m ∴=，以A 为坐标原点，,,AD AB AP正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()002P ,,，()4,0,0D ，()2,2,0Q ，()4,0,2PD ∴=−，()2,2,0DQ =−，y 轴⊥平面PAD ，∴平面PAD 的一个法向量()0,1,0m =；设平面PDQ 的法向量(),,n x y z =，则420220PD n x z DQ n x y ⋅− ⋅=−+= ，令1x =，解得：1y =，2z =，()1,1,2n ∴= ，cos ,m n m n m n⋅∴<>==⋅ ，由图形可知：二面角A PD Q −−为锐二面角，∴二面角A PD Q −−故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得DQ AQ ⊥，从而利用勾股定理构造关于BQ 的一元二次方程，根据其根的分布可求得BQ 和AD 的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知平面α与平面β平行，若()2,4,8n =−是平面β的一个法向量，则平面α的法向量可能为（）． A. ()1,2,4−− B. ()1,2,4−C. ()2,4,8−D. ()2,4,8−−【答案】AD 【解析】【分析】由已知可得平面α的法向量与向量()2,4,8n =−共线且为非零向量，结合共线向量关系可得结论.【详解】设平面α的法向量为m，因为平面α与平面β平行，()2,4,8n =−是平面β的一个法向量，所以//m n，且0m ≠ ，所以平面α的法向量可能为()1,2,4−−，()2,4,8−−，故选：AD.10. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点()0000,,P x y z ，且以()(),,0ua b c abc ≠为方向向量的空间直线l 的方程为000x x y y z z a b c−−−==；（2）过点()000,,P x y z ，且()(),,0vm n t mnt ≠为法向量的平面α的方程为()()()0000m x x n y y t z z −+−+−=．现已知平面:236x y z α++=，1632:321x y l y z −= −=，2:31l x y z −==−，3134:222x y z l −−−==−，则（）． A. 1l α⊥ B. 2l ∥C. 3l α∥D. 1l α∥【答案】AC【解析】【分析】根据公认事实求出直线的方向向量和平面的法向量，用空间向量判断它们之间的位置关系即得.【详解】平面:236x y z α++=的法向量为(1,2,3)v =，对于1632:321x y l y z −=−=，则62321x y z −+，即：1132111632x z y −+==，故1l 经过点11(,0,)32−，方向向量为1111(,,)632u = ，则16v u = ，即1//v u ，故1l α⊥，即A 正确，D 错误；对于2:31l x y z −==−，即31111x y z −−==−，故2l 经过点(3,0,1)，方向向量为2(1,1,1)u =− ，因点(3,0,1)满足平面:236x y z α++=，即2l 与α有公共点，故B 错误；对于3134:222x y z l −−−==−，可知3l 经过点(1,3,4)，方向向量为3(1,1,1)u =− ，因3(1,2,3)(1,1,1)1230v u ⋅=⋅−=+−=，可得3v u ⊥ ，即3l α⊂或3//l α，但点(1,3,4)不满足平面:236x y z α++=，即3l α⊄，故3//l α，故C 正确. 故选：AC.11. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（）A. 两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4B. 直线1BC 与平面ABCD 所成的角等于π4C. 点C 到面1BDCD. 四面体11BDC A 体积是13【答案】BCD 【解析】的【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量逐项计算与判断即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系D xyz −，对A ：()10,0,1D 、()0,1,0C 、()1,1,0B 、()10,1,1C ，则()10,1,1D C =− 、()11,0,1BC =−，故111cos ,2D C BC ==−，故112π,3D C BC = ，即异面直线1D C 和1BC 所成的角为π3，故A 错误；对B ：()11,0,1BC =− ，由z 轴⊥平面ABCD ，故平面ABCD 法向量可为()0,0,1m =，则1cos ,BC m = 1BC 与平面ABCD 所成的角为π4，故B 正确；对C ：()1,0,0BC =− ，()1,1,0DB = ，()11,0,1BC =−，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则有00x y x z += −+=，令1x =，则()1,1,1n =−，故d =，故C 正确；对D ：易得四面体11BDC A 为正四面体，则111111111111414111323B B A B AC BDC A CD A B C D V V V −−=−=−×××××=，故D 正确. 故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 如图，四棱柱1111ABCD A B C D −为正方体．①直线1CC 的一个方向向量为()0,0,1； ②直线1BC 的一个方向向量为()0,1,1；③平面11B C CB 的一个法向量为()1,0,0−； ④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1)．则上述结论正确的是______.（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断.【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知，1(1,1,0),(1,1,1),(1,0,0),C C B于是，()()110,0,1,0,1,1CC BC == ,故① ，② 正确；因AB ⊥平面11B C CB ，而(1,0,0)AB = ，故 ()1,0,0−可作为平面11B C CB 的法向量，即③正确；在正方体1111ABCD A B C D −中，因CD ⊥平面11B C CB ,1BC ⊂平面11B C CB ，则1BC CD ⊥，易得11BC B C ⊥，又1CD B C C ∩=，故1⊥BC 平面1B CD ，而1(0,1,1)BC = ，即1BC 可作为平面1B CD 的法向量，故④错误.故答案为：①②③.13. 已知空间向量()2,3,a m = ，()0,2,1b = ，()2,7,c n = ，若a ，b ，c 共面，则mn 的最小值为__________．【答案】1−【解析】【分析】由空间向量共面定理列方程组得到2n m =+，再结合二次函数的性质解出最值即可；【详解】因为a ，b ，c 共面，所以b a c λµ=+ ，即()()()()22,3,0,2,12,,2,77,3m n m n µλλµµλµλ=+=+++，即2203721m n λµλµλµ+= += += ，解得12122n m λµ =− = −=，所以2n m =+，所以()()222211mn m m m m m =+=+=+−，所以最小值为1−，故答案为：1−. 14. 设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j −− 的最小值是2，则3a k + 的最小值是_________．【答案】1【解析】【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k + 的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i = ，()0,1,0j = ，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则a xi y j −−=，当,r x s y ==时a xi y j −− 的最小值是2， 2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k + 的最小值是5. 取(),,2a x y =− 则()3,,1a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k + 的最小值是1.故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，//AB CD ，AB AD ⊥，1224AA AB AD CD ====，E ，F ，G 分别为棱1DD ，11A D ，1BB 的中点．（1）求CG EF ⋅ 的值；（2）证明：C ，E ，F ，G 四点共面．【答案】（1）6 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）以A 为坐标原点，AD ，1AA ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，找出各点坐标，再表示向量，即可求出CG EF ⋅ .（2）在（1）建立的空间直角坐标系基础上，表示出CG EF CE、、,再利用共面向量定理即可证明.【小问1详解】解：在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，AB AD ⊥，易得，AD ，1AA ，AB 两两垂直.故以A 为坐标原点，AD ，1AA ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，1224AA AB AD CD ==== ,∴(2,0,2)C ，(2,2,0)E ，(1,4,0)F ，()0,2,4G ．()2,2,2CG =− ，(1,2,0)EF − ．()210226CG EF ⋅=−×−++×= ．【小问2详解】证明：由（1）得：()0,2,2CE =− ．令CE mCG nEF =+ ，即0222222m nm n m =−− =+ −= ，解得12m n =− = ，∴2CE CG EF =−+ ．故C ，E ，F ，G 四点共面．16. 如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是边长为1的菱形，12CC =，1160C CB BCD C CD ∠∠∠===（1）求线段1CA 的长；（2）求证：111CA B D ⊥．【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）11CA CD CB CC =++，结合向量数量积运算，求模即可.（2）11B D CB CD=−+，由向量数量积关于垂直的表示即可判断.【小问1详解】设1,,CD a CB b CC c === ，则1,2a b c === ，∵1160C CB BCD C CD ∠∠∠=== ，则121cos 601,11cos 602a c b c a b ⋅=⋅=⨯⨯︒=⋅=⨯⨯︒= . ∵11CA CD CB CC a b c =++=++，∴1CA a b c =++====.故线段1CA .【小问2详解】证明：∵11B D BD CB CD a b ==−+=−，∴()()211121111022C a b c a b a b b c a c A B D ++−−−⋅+⋅−⋅=−+==⋅. 故111CA B D ⊥.17. 已知空间中三点()1,A ，()B ，()4C ．（1）若向量m 与AB 平行，且m = ，求m 的坐标；（2）求向量AB 在向量AC 上的投影向量a ；（3）求以CB ，CA 为邻边的平行四边形的面积．【答案】（1）m 的坐标为()1,2−或()1,2−−；（2）109a =；（3.【解析】【分析】（1）由已知可设m AB λ= ，利用向量的模长公式求出λ的值，即可求出向量m的坐标；（2）先求向量,AB AC ，再根据投影定义求a ；（3）利用空间向量的夹角公式求出cos ,CB CA ，结合三角形的面积公式求结论.【小问1详解】因为()1,A ，()B ，所以()1,2AB =− ，因为向量m 与AB 平行，所以可设m AB λ= ，R λ∈，所以(),,2m λλ=−，因为m = ，所以1λ=±，所以()1,2m =−或()1,2m =−− ，所以m的坐标为()1,2−或()1,2−−；【小问2详解】因为()1,A，()B，()4C ，所以()1,2AB =−，()0,AC = ，所以08210AB AC ⋅=++= ，3AC =所以向量AB 在向量AC 上的投影向量109AB AC AC a AC ACAC ⋅=⋅= ，所以109a =；【小问3详解】因为()1,A，()B，()4C ，所以()1,0,1CB =−，()0,1CA =−− ，所以cos ,CB CA CB CA CB CA ⋅==⋅ ，即cos ACB ∠()0,πACB ∠∈，所以sin ACB ∠ 所以ABC的面积11sin 322S CB CA ACB =∠== ，所以以CB ，CA．18. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，90ADC BCD ∠=∠=°，1BC =，CD =，2PD =，60PDA ∠=°，30PAD ∠=°，且平面PAD ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内过B 作BO AD ⊥，交AD 于O ，连PO .（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）求二面角A PB C −−正弦值；（3）在线段PA 上存在一点M ，使直线BM 与平面PAD，求PM 的长. 【答案】（1）证明见解析（2. （3. 【解析】【分析】（1）由已知四边形BODC 为矩形，证明PO AD ⊥，由条件根据面面垂直性质定理证明⊥PO 平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，求平面APB ，平面CPB 的法向量，利用向量法求出二面角A PB C −−的余弦值，再求其正弦值；（3）设AM AP λ= ，求BM ，利用向量方法求直线BM 与平面PAD 所成的角的正弦值，列方程求λ.【小问1详解】因为BO AD ⊥，因为//BC AD ，90ADC BCD ∠=∠=°，所以四边形BODC 为矩形，在PDO △中，2PD =，1DO BC ==，60PDA ∠=°，则PO =，的222PO DO PD ∴+=，PO AD ∴⊥，且平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAD平面PAD ∩平面ABCD AD =，PO ∴⊥平面ABCD ；【小问2详解】以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，PO = 30PAD ∠=°，可得3AO =，则(0,0,0)O ，(3,0,0)A，(P，()B ，CC�−1,√3,0�，设平面APB 的法向量为(,,)m x y z =，(3,0,PA =，(PB = ，由300PA m x PB m⋅== ⋅=−=，取(m = . 设平面CPB 的法向量为(,,)n a b c =，(PC =− ，由00n PB n PC a ⋅== ⋅=−= ，取(0,1,1)n = ，cos ,m n m n m n ⋅== . 二面角A PB C −−是钝角，∴二面角A PB C −−. 【小问3详解】设AM AP λ=，则()(()3,33,BM BA AM λλ=+=+−=− ，又平面PAD的法向量为()OB = ，直线BM 与平面PAD所成的角的正弦值为cos ,OB BM = 解得34λ=，14PM AP ∴===19. 将菱形ABCD 绕直线AD 旋转到AEFD 的位置，使得二面角E AD B −−的大小为π3，连接,BE CF ，得到几何体ABE FDC −.已知π4,,,3AB DAB M N ∠==分别为,AF BD 上的动点且(01)AM BN AF BDλλ==<<.（1）证明：MN ∥平面CDF ；（2）求BE 的长；（3）当MN 的长度最小时，求直线MN 到平面CDF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而线面平行，求出平面HMN ∥平面CDF ，得到线面平行；（2）作出辅助线，得到EOB ∠为二面角E AD B −−平面角，并求出各边长，得到答案；（3）作出辅助线，证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并求出()()6,3,2,,0AM BN λλλ=−=−− ，表达出221||5232MN λ =−+ ，求出12λ=，的()N −，求出平面CDF 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案.【小问1详解】证明：在AD 上取点H ，使得(01)AH AM BN AD AF BD λλ===<<，连接,HM HN ，如图1. 因为AH AM AD AF=，所以HM ∥DF . 因为DF ⊂平面,CDF HM ⊄平面CDF ，所以HM ∥平面CDF . 因为AH BN AD BD=，所以HN ∥AB ，又CD ∥AB ，所以HN ∥CD . 因为CD ⊂平面,CDF HN ⊄平面CDF ，所以HN ∥平面CDF . 因为HM HN H = 且都在面HMN 内，所以平面HMN ∥平面CDF . 因为MN ⊂平面HMN ，所以MN ∥平面CDF .【小问2详解】取AD 的中点O ，连接,,OE OB ED ，如图2.由题意可得,EAD BAD 是边长为4的正三角形，则EO BO ===，且,EO AD BO AD ⊥⊥，所以EOB ∠为二面角E AD B −−的平面角，即π3EOB ∠=，则EOB 为正三角形，所以BE =. 【小问3详解】取OB 的中点G ，连接EG ，则EG OB ⊥，且3EG =. 由（2）得,EO AD BO AD ⊥⊥，EO OB O = ，,EO OB ⊂平面OBE ，第21页/共21页所以AD ⊥平面OBE ，因为EG ⊂平面OBE ，所以EG AD ⊥.又因为EG OB ⊥，AD OB O ∩=，,AD OB ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，,OA OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,0,,,2,0,0,4,A B F D C −−−，()()()(),2,,2,,0,AF BD CD CF =−=−−=−= .又()()6,3,2,,0AM AF BN BD λλλλλ==−==−−，所以()2,,0N λ−. 连接AN，则()22,,0AN λ=−−− ，()42,,3MN AN AM λλ=−=−−− ，所以222221||(42))(3)5232MN λλλ =−+−+−=−+. 当12λ=时，2||MN 取得最小值，且最小值为3，则MN此时()N −，则()1,ND =− . 设平面CDF 的法向量为nn�⃗=(xx ,yy ,zz )，则0,0,n CD n CF ⋅= ⋅=即20,30,x z −= +=取y =，得()n = . 因为MN ∥平面CDF ，所以直线MN 到平面CDF 的距离就是点N 到平面CDF 的距离，则点N 到平面CDF的距离ND n d n ⋅= 故直线MN 到平面CDF.。

2020年9月高二月考试数学(理)试题

高二9月月考(数学)试题含答案

2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期9月月考数学试题(解析版)

2020高二数学(理)下学期期末学业质量监测试题(含解析)

泸县第二中学高二数学上学期第二次月考试题理

2019-2020年高二9月月考数学(理)试题 含答案

哈尔滨市延寿县第二中学2020_2021学年高二数学9月月考试题

最新高二数学理科试题精品版

2020年高二下学期 期末考试 数学(理数)试卷(含答案)

高二数学上学期第一次月考试题

河南省青桐鸣2023-2024学年高二上学期9月大联考数学试题(含答案解析)

高二9月月考(数学)试题含答案

北京同仁中学2020年高二数学理联考试题含解析

山东百师联盟2024-2025学年高二上学期9月联考数学试题(解析版)

2019-2020年高二9月月考数学(理)试题含答案

2020年高二下学期期末考试数学(理数)试卷(含答案)