振动理论讲义第6章 非线性系统

6.2 速 速度和周期 期的直接 接积分法 法
考虑具有非线性对 对称恢复力的无阻尼系 系统的自由振动，其运 运动方程为 (a) 或 式中， 度可以表示为 (6.8) 表示 示单位质量 量的恢复力，是位移 的函数。由方程(6.8)，加速 (b) 代入方程 程(6.8), 有 (c) 假定单位 位质量的恢 恢复力 可得 由图 6.9 9 给出， 最大 大位移 对 对应的速度 度为零。 积分 分方程(c)，
第6章 具有非线性特 特征的系 系统 6.1 非 非线性系统 统的举例 例
在前 前面几章所 所处理的问题 题中，在粘 粘性阻尼条件 件下，系统 统的运动微分 分方程为线 线性二阶 常微分方程， (6.1) 这个方程在线性振 振动理论中起到了核心 心作用，能表 表征很多实 实际问题。但 但是实际上 上，还有 很多物理系统不能 能用常系数的线性微分 分方程来描述， 对这类 类问题的分析 析需要讨论 论非线性 微分方程。 如果 果忽略质量 量的变化，单 单自由度系 系统的运动方 方程的一般 般形式可以写 写为 (6.2) 带有非线性特征的 的系统称为非线性系统 统，其运动称 称为非线性 性振动或者非线性响应 应。叠加 原理不适用于非线 线性系统。一般来讲，非线性振动不是简谐 谐的，其频 频率随振幅改 改变。 非线 线性现象的 的一个重要类 类型是弹性 性恢复力与变 变形不成比 比例。
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图 6.4
对比方程(6.5)和(6.7)， 可以看出这两个方程里面的非线性项在组合系统里(图 6.4)互相补 偿. 也就是说，用一根水平的附在摆杆 点上的拉伸的弦（垂直于摆动平面）限制其运 动，可用于的等时振动近似。
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图 6.5
分段线性化的恢复力（图 6.5(b), 图 6.6(b)）可以看成是连续的非线性曲线（图 6.1(b) 图 6.2(b)）的近似，表明可以通过用连续的直线段形成的分段线性函数近似非线性恢复 力。

或
4
n

xm
xm
dx
0
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
2 m
2 m
4 x 2 xm x4 / 2
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图 6.6
如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围， 造成的运动称为非弹性响 应。尽管通常不允许正常使用中超出弹性范围，然而在极端条件下的结构或机器中永损 伤的程度是设计工程师非常感兴趣的问题。在强风暴或地震中，建筑物很可能会发生非 弹性变形。
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图 6.2
图 6.2 给出了一个具有对称硬化弹簧的例子。质量 m 附在长度为 的拉直的弦 AB 的中 部，弦的初始张力用 表示。令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为 ，弦中产生的 弹性恢复力如图 6.2(b)所示。系统进行自由振动, 其运动方程为 0 :弦的横截面积； : 弦的模量， : 横向位移 导致的弦的伸长。根据几何关系，有
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目录
第 6 章 具有非线性特征的系 系统 ............ ................... ................... ................... ................... ........... 1 6.1 1 非线性系 系统的举例 . ................... ................... ................... ................... ................... ........... 1 6.2 2 速度和周 周期的直接积 积分法 ....... ................... ................... ................... ................... ........... 9 6.3 3 自由振动 动的近似方法 法-Ritz 平均 均法 ............ ................... ................... ................... ......... 14 6.4 4 非线性受 受迫振动 ..... ................... ................... ................... ................... ................... ......... 15 6.4.1 无阻尼情况 .. ................... ................... ................... ................... ................... ......... 15 6.4.2 非线性系统的 的跳跃现象 .................. ................... ................... ................... ......... 18 6.4.3 有粘性阻尼的 的情况， .... ................... ................... ................... ................... ......... 19 6.5 5 非线性系 系统的数值求 求解 ........... ................... ................... ................... ................... ......... 21 6.5.1 平均加速度法 法 ................ ................... ................... ................... ................... ......... 21 6.5.2 线性加速度法 法 ................ ................... ................... ................... ................... ......... 25 6.6 6 参考书 ... ................... ................... ................... ................... ................... ................... ......... 26 6.7 7 习题 ....... ................... ................... ................... ................... ................... ................... ......... 26
图 6.3
另一个几何非线性的例子是图 6.3 所示的单摆，重 ，长度 。单摆离开竖直位置的 夹角为 , 单摆关于轴 的回复力矩为 ， 绕轴的转动方程为 (d) 代入，有 把质量的惯性矩 (6.6) 对于小振幅情况， 成比例（ ，运动可以近似看成是简谐的。如果振幅较大，其恢复力与 ） ，因此有 (6.7)
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图 6.8
图 6.8( (a)是一个带 带有摩擦抗力的单自由 由度系统，其滞后回线 线示于图 6.8(b). 6 注意 意到，如 1 、○ 3 ）的 2 、○ 4 )的斜 果图 6.7(d)中的倾 倾斜线段（○ ○ 的斜率趋于无 无穷, 图 6. .8(b)中倾斜 斜线段(○ 率为零，这两个问 问题在数学上 上是相同的 的。前者是属 属于刚塑形 形恢复力的情 情况，弹簧 簧的变形 处于弹性范围且与 与材料的塑形范围相比 比很小； 后者 者是没有弹 弹簧的质量在 在摩擦力的 的阻滞下 运动。 除粘 粘性阻尼外 外，其它类型 型的耗散机 机制均导致非 非线性。通 通常，我们假 假定质量、阻尼和 刚度特征不随位移 移、速度和加速度而改 改变。
√
(a)
(6.3)
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代入(a)，有
√ √
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(6.4)
如果认为是小振动，有如下的简化： (b) 方程(6.4)可以简化为： (6.5) 运动方程中包含 项，因而是非线性的。 如果初始的弦张力很高而位移 很小， 方程(6.5)中的立方项可以忽略， 质量的运动又 可以看成近似简谐的。 如果考虑立方项，其恢复力就是如图 6.1(a)所示。荷载-位移的曲线的斜率随位移增 加，自由振动的频率也将随振幅增加。实际上，这个问题的非线性是由于大位移引起的 几何非线性，不是弦的非线性性质。
, 积分方程(6.11)，有

4 2
n

xm
dx
4 xm x4
0

4 2 n xm

1
du 1 u4
0
(i)
后一个积分需要进行数值求解，其值为
.
. 因此其周期为 (6.12)
这种情况下的振动周期与振幅成反比例(图 6.10)。
图 6.10
如果图 6.2(a)中弦的初始张力不为零，可得更一般的振动情形，即单位质量的恢复力有 以下形式： (j) , . 于是由方程(6.9)得， 式中， (k) 当 m n xm . 为计算自由振动的周期，把 时，退化为 x 代入方程(6.10)可得
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(d)
图 6.9
振动系统在任一点的单位质量的动能等于图 6.9 阴影部分表示的势能。 在平衡位置动能 最大，为 KE 方程(d)给出了振动质量在任意位置的速度的表达式：
m
PE
(6.9)
(e)
因此，根据方程(e)，再进行一次积分，就可以得到一周期之内任意部分的时间。所以一 个完整周期的时间为
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图 6.7
图 6.7(a)为一矩形建筑的二维钢框架，受横向力 P 作用于屋顶。如果柱的弯曲刚度小于 梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。 对应的荷载 -位移 曲线直到
1 段)，然后材料发生屈服，随便曲线会类似于 为线性(○
2 段)。一旦卸载，材料会弹性恢复（○ 3 段） 弹簧软化一样发生弯曲(○ ；继续反向加载，如 4 和○ 5 ， 6 段。 图中的○ 然后在卸载， 即图中○ 实验表明， 最大的正力 和最大的负力 在数值上是相等的。滞后回线关于原点对称。 图 6.7(b)中的曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为。图 6.7(c)称为 2 和○ 4 的斜率为零，称为理想弹塑性恢复力（图 6.7(d)） 双线性非弹性恢复力。如果○ 。 滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保 持能量守恒。这种能量耗散机制称为滞后阻尼。
m
(6.10)
如果知道恢复力的解析表达式，可以通过计算上述积分求得系统的固有周期。 可 方程(6.9)还给出了平衡位置上的最大速度 和最大位置处的位移 之间的关系， 用于在由初始位移引起的自由振动中确定非线性系统的最大速度， 或者初速度导致的最 大位移。 初始速度可以通过脉冲的方式传递给质量。 以下考虑几种特殊情况。 首先讨论恢复力为 的奇次幂的情况： 式中， 为正整数，荷载-位移曲线关于原点对称。代入方程(6.9)，积分后可得
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图 6.1
如图 6.1(a)为非线性弹性硬化弹簧的静态荷载-位移曲线，曲线斜率随荷载增长。虚线为 原点切线，代表其初始刚度。图 6.1(b)描述的是非线性软化弹簧的荷载位移曲线，曲线 的斜率随荷载的增加而减小。注意到上面两个图中，曲线均关于原点对称，这样的弹簧 具有对称恢复力，否则为非对称恢复力。
m √
例如， 时，有 (6.10)后积分，
；
时，有
，等等。方程
代入
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对于 4 n
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n

xm
dx x x2n
2n m
0
(6.11)
的线性恢复力情况，积分后为

4
n

xm
dx
2 x2 xm
0

4
n

1
du 1 u2
0

2
n
( h)
时，恢复力正比于