第五章 概率与正态分布
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它在自然界和人类社会中广泛存在，被用于描述各种现象的分布规律，从而对数据进行分析和预测。
本文将详细介绍正态分布的定义、性质以及应用。
一、正态分布的定义和性质正态分布是一种连续型的概率分布，可以通过其概率密度函数来描述。
这个函数的图像呈现出钟形曲线，其形状对称轴对称，且在均值处达到最大值。
正态分布的概率密度函数可由以下公式表示：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
正态分布具有以下重要的性质：1. 对称性：正态分布的概率密度函数相对于均值呈现对称性，即左右两侧的曲线形状相同。
2. 峰度：正态分布的峰度为3，表示其曲线相较于正态分布的峰度更加平坦。
3. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，所得的正态分布称为标准正态分布。
标准正态分布在统计学中具有重要的作用，经过适当的转换，可以将任何正态分布转化为标准正态分布。
二、正态分布的应用正态分布在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 统计推断：由于正态分布具有丰富的性质和可靠的统计特征，在统计学中得到了广泛应用。
通过对观测数据的分析，可以利用正态分布进行参数估计和假设检验，从而得到关于总体的推断结果。
2. 质量控制：正态分布在质量控制中有着重要的应用。
例如，在生产过程中，通过对产品质量数据的测量和分析，可以使用正态分布来确定产品是否合格以及如何调整生产过程，以确保产品符合规定的质量标准。
3. 金融市场：正态分布在金融领域中的应用广泛而重要。
许多金融市场价格变动的模型都基于正态分布。
例如，根据正态分布模型，可以计算股票价格的变动概率，评估投资风险，并进行资产配置和风险管理。
4. 人口统计学：正态分布在人口统计学中的应用主要用于研究人口特征和人口变化规律。
第五章概率与正态分布
正态分布曲线的特点
• 钟形轴对称曲线，对称轴是随机变量的平均数
。
• 正态分布曲线的位置和形状分别由平均数
和标准差 决定。
• 平均数大小决定图形向左移或右移。 • 标准差大小决定图形的陡峭程度，即纵线的最大
值。
y
0 1
5 1
x
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
图5.3 平均数不等，标准差相等的正态分布示意图
标准正态分布表中各变量的含义
表 5.4 标准正态分布表中各变量的说明
Z 横轴坐标
原始变量（Xi）取值转换后的标准
分数（Zi）
Y 纵轴高度
某一点取值（Zi）所对应的概率密
度（相对频次，Yi）
P （0，Zi）两点间 取值界于区间（0，Zi）的概率
曲线下的面积
• 已知下列Z值，查表求P值。
– （1）Z＝-1与Z＝1之间的概率 – （2）Z＝-2与Z＝2之间的概率 – （3）Z＝-3与Z＝3之间的概率 – （4）Z＝-1.96与Z＝1.96之间的概率 – （5）Z＝-2.58与Z＝2.58之间的概率
• 经验概率 对多次重复相同或相似试验所得到的数据进行分 析，获得事件发生的相对频率，作为对此事件 发生概率的一个估计。
P(A) a,N NFra bibliotek事件的概率
• 先验概率 • 当试验满足:试验中各种可能结果（基本事件）是
有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时， 则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件 数除以试验中可能发生的基本事件总件数之商。 • 设N代表可能发生的基本事件总数，K代表事件A 包含的基本事件数，则A事件发生的概率为：
– 例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为 随机变量Y
概率统计中的正态分布与标准正态分布分析
概率统计中的正态分布与标准正态分布分析正态分布是概率统计学中最重要的分布之一，因其广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域，成为了统计学的基石之一。
本文将对正态分布及标准正态分布进行分析，并探讨其在概率统计中的重要性。
正态分布，又称高斯分布，是指在概率论和统计学中常见的一种连续概率分布。
它的特点是具有对称性，其概率密度曲线呈钟形，两侧的尾部渐进于x轴。
正态分布可以由两个参数来决定：均值μ和方差σ^2。
其中，均值决定了曲线的位置，方差决定了曲线的形状。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))正态分布在实际应用中非常广泛，尤其在大样本量下，许多变量都呈现出近似正态分布的特征。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，无论原始数据服从何种分布，其样本均值的分布都接近于正态分布。
这使得正态分布成为统计推断的基础。
例如，在假设检验中，我们常使用正态分布来计算拒绝域和P值。
此外，正态分布还常用于构建置信区间、回归分析和因子分析等统计方法中。
标准正态分布是正态分布的一种特殊形式，也被称为单位正态分布。
它具有均值μ=0和方差σ^2=1的特点，其概率密度函数为：φ(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)标准正态分布的特殊性在于，其所有的分位数和累积概率都可以通过查表得到，这是因为标准正态分布的累积分布函数不依赖于具体的均值和方差。
相关的Z分数表可以用来计算标准正态分布中的分位数。
我们可以利用标准正态分布的特性，将其他服从正态分布的随机变量转换为标准正态分布，并通过查表计算分位数和计算概率。
标准正态分布在实际应用中也非常重要。
例如，在统计推断中，我们经常使用标准正态分布对样本均值和样本比例进行推断。
具体来说，我们根据样本均值与总体均值之间的差异，以及样本比例与总体比例之间的差异，来做出统计推断。
通常情况下，我们会将样本均值或样本比例标准化为Z分数，然后利用标准正态分布的性质进行概率计算或假设检验。
医学统计学 常用概率分布-正态分布
N (123.02，4.792)
（2）身高在120~128者占该地8岁男孩总数的百分比；
解析：
58.65%
58.65%
120cm 128cm N (123.02，4.792)
-0.63 1.46 N (0，1)
（3）该地80%男孩的身高集中在哪个范围？
解析：
80%
10%
10%
10% Z1
80%
10% Z2
任意正态分布曲线 X~N(μ,σ2)
标准正态分布曲线 X~N(0,1)
采用定积分的办法，对函数式 (1) 或 (2) 定积分， 算得从 -∞ 到 x累计面积，从而推算出该区间事件发 生的概率值。 .
j(Z )
1 2
Z
e
Z
2
/ 2
dZ
图 6 正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积
1.2 正态概率密度曲线下的面积 1.3 正态分布的应用
1.4 正态分布的判断
一、正态分布的概念
正态分布(normal distribution)
德莫佛最早发现了二项概率
的一个近似公式，这一公式被 认为是正态分布的首次露面。
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由
高斯加以推广，所以通常称为 高斯分布(Gauss distribution)。
单侧临界值：标准正态分布单侧尾部面积等于α 时所对应 的正侧变量值，记作Zα 。
若按左单侧算，则是 97.5% 参考值范围
按左单侧算，是 95% 参考值范围
举例2： 某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通 气量得均数 X =4.2(L), 标准差S =0.7(L)，试据此估 计其第一秒肺通气量的95%参考值范围。 解析： 分布近似正态 1. 2. 仅过低为异常 3. 求下界值
概率与统计中的正态分布和中心极限定理
概率与统计中的正态分布和中心极限定理正态分布（Normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），在概率与统计学中是一种经常出现的分布。
它具有钟形曲线的特征，广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学、经济学等。
正态分布的形状是由均值（μ）和标准差（σ）所决定的。
本文将介绍正态分布的特点以及它在概率与统计中的重要作用，进而探讨与之相关的中心极限定理。
一、正态分布的特点正态分布具有以下几个重要的特点：1. 对称性：正态分布是关于均值对称的，即以均值为中心，两边的尾部概率相等。
这意味着在正态分布中，均值、中位数和众数均相等。
2. 峰值：正态分布的曲线呈现出一个明显的峰值，同时两边的尾部逐渐减少。
这意味着大部分的数据会集中在均值附近，而远离均值的数据发生的概率较小。
3. 参数决定：正态分布的形态由均值和标准差所决定。
均值决定了曲线的位置，而标准差决定了曲线的宽度。
标准差越大，曲线越宽。
二、正态分布的应用正态分布在各个领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用示例：1. 自然科学：在物理学、生物学等自然科学研究中，许多实验数据都服从正态分布。
例如，物体的测量误差、实验数据的偏差等都可以用正态分布进行描述和分析。
2. 社会科学：在社会调查、民意测验等社会科学研究中，许多指标的分布也符合正态分布。
例如，身高、体重、智力水平、收入水平等都可以用正态分布来描述。
3. 经济学：在经济学中，许多经济指标的分布也近似于正态分布。
例如，收入分布、失业率等经济指标都可以采用正态分布进行统计分析。
三、中心极限定理中心极限定理是概率论与统计学中的一条重要定理，它描述了当样本容量足够大时，样本的均值近似服从正态分布的规律。
中心极限定理有以下几个关键概念：1. 独立性：样本观测值之间相互独立，意味着一个观测值的取值不受其他观测值的影响。
2. 同分布性：样本观测值来自同一个总体，并且具有相同的概率分布。
概率与统计中的正态分布与标准化
概率与统计中的正态分布与标准化正态分布（Normal distribution）是概率论与统计学中一种重要的连续概率分布，也被称为高斯分布（Gaussian distribution）。
正态分布在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
本文将介绍正态分布的特点、标准化以及相关应用。
一、正态分布的特点正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其特点包括：1. 对称性：正态分布的曲线关于均值对称，即均值左右对称。
2. 唯一性：正态分布由两个参数决定，即均值和标准差。
3. 正态性：大部分实际数据可以近似看作是正态分布，例如身高、体重等。
二、标准化标准化是指将正态分布的随机变量转化为标准正态分布的随机变量的过程。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
标准化的步骤为：1. 假设有一个服从正态分布的随机变量X，其均值为μ，标准差为σ。
2. 标准化公式为Z = (X - μ) / σ，其中Z为标准化后的变量。
标准化后的变量Z可以用来计算正态分布中某个随机变量落入某个区间的概率，而不需要知道具体的正态分布的均值和标准差。
三、正态分布的应用正态分布在各个领域都有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用：1. 统计推断：利用正态分布的特性，可以进行假设检验、置信区间估计等统计推断分析，从而帮助研究人员做出科学的决策。
2. 风险分析：正态分布可以用来分析金融市场的风险，帮助投资者做出风险管理和资产配置的决策。
3. 质量控制：正态分布可以应用于质量控制中，通过控制图等方法，对生产过程中的差异进行监控和控制。
4. 教育评估：正态分布可以用来评估学生的智力、能力等指标，帮助教师进行个体化的教育和辅导。
5. 自然科学研究：正态分布在物理、化学、生物等自然科学研究中有着广泛的应用，从而揭示事物的规律和特性。
综上所述，正态分布是概率与统计学中的重要内容，通过对正态分布的了解和应用，可以为实际问题提供科学的分析和解决方案。
标准化是利用正态分布特性的一种方法，可以简化计算和分析过程。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15,那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
例11：
0Z 图5-11
(1)求Z 1分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
（Z） Z
1
t2
e 2 dt
2
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ? 解：因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1 (1.3) 1 - 0.9032 0.0968
2
如果把u 0， 1代入(x)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
三、标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数 都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ 乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
概率分布中的均匀分布与正态分布
概率分布是统计学中的一个重要概念，它描述了一个随机变量取值的可能性。
在统计学中，有许多概率分布被广泛应用于不同的情境。
本文主要讨论两种常见的概率分布：均匀分布和正态分布。
均匀分布是一种最简单的概率分布。
在均匀分布中，每个取值的概率是相等的，区间内的取值概率是均匀分布的。
例如，如果我们考虑一个硬币投掷的实验，正面和反面是两个可能的结果。
在均匀分布中，头朝上和尾朝上的概率是一样的。
在0到1之间的均匀分布中，每个数值的概率都是1/1=1。
这意味着，不论我们选择0.1、0.5还是0.9，概率都是相等的。
均匀分布的概率密度函数（PDF）是一个常数，而累积分布函数（CDF）则是线性增长的。
然而，与均匀分布相比，正态分布要复杂得多。
正态分布也被称为高斯分布或钟形曲线分布。
它常用来描述自然界中许多现象，例如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）都可以通过数学公式来描述。
正态分布的PDF呈现出一个对称的钟形曲线，期望值（均值）位于曲线的中心，标准差决定了曲线的宽度。
当标准差较小时，曲线较窄，当标准差较大时，曲线较宽。
在正态分布中，大约68%的数据集中在均值的一个标准差范围内，约95%的数据集中在两个标准差范围内，而大约99.7%的数据集中在三个标准差范围内。
均匀分布和正态分布在现实生活中的应用非常广泛。
均匀分布最典型的例子是抛硬币的实验，掷骰子、摇奖机等随机事件也都近似均匀分布。
在工程领域，均匀分布被用于电子设备可靠性的分析，以及时钟和信号处理系统中的时间延迟。
另一方面，正态分布在许多统计学和科学领域中被广泛应用。
例如，当我们测量一组人的身高时，通常可以使用正态分布来描述数据的分布。
在金融领域，利率的波动、股票价格的变动等也常用正态分布进行建模。
两种概率分布在不同的场景中有不同的特点。
均匀分布的特点是简单且直观，每个数值的概率都是相等的，但它在描述许多现实世界中的现象时并不适用。
正态分布则更具有灵活性和适应性，可以更好地描述许多实际数据的分布。
第五章 概率及概率分布
P A B P ( A) P ( B)
16
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50， 问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少？ 答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。 获得一、二、三等奖的概率分别为：0.002、0.005和0.993， 获奖的概率是多少？ 答：获奖的概率为1。
17
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独 立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。表示 两个事件同时出现的概率。 用公式可表示为：
P ( A B ) P ( A) P ( B)
18
第一节 概率的一般概念
npq 101/ 2 1/ 2 1.58
31
第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假 定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回 答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少。 分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的 运用条件。
8
第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——
表5.1 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 12000 24000 正面朝上次数 1061 2048 6019 12012 正面朝上频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@
1
第五章
概率及概率分布
第一节 概率的一般概念 第二节 二项分布
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的分布之一。
它的形状呈钟形曲线，被广泛应用在各个领域，由于其重要性，也被称为“常态分布”或“高斯分布”。
本文将对正态分布的概念、性质以及使用方法进行介绍。
一、概念和性质正态分布的概念最初由德国数学家高斯提出，并且在很多实际问题中都能够很好地适应数据分布。
正态分布的概率密度函数可以用以下形式表示：$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$其中，$x$ 表示随机变量的取值，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
正态分布的均值决定了其分布的中心位置，标准差则决定了分布的形状的宽度。
正态分布具有以下几个重要的性质：1. 正态分布是对称的。
其概率密度函数关于均值对称，即在均值两侧的概率是相等的。
2. 均值、中位数和众数相等。
在正态分布中，这三个统计量都落在分布的中心位置。
3. 标准差决定形状。
标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。
4. 经典的“68-95-99.7”法则。
在正态分布中，约有68%的数据点落在一个标准差内，约有95%的数据点落在两个标准差内，约有99.7%的数据点落在三个标准差内。
二、正态分布的应用正态分布在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用示例：1. 自然科学与工程领域。
在物理学、化学、生物学、电子工程等领域，很多现象都服从正态分布。
例如，测量的误差、物理实验的结果、机械零件的尺寸等都可以用正态分布进行建模和分析。
2. 金融与经济学。
正态分布在金融与经济学中有着广泛的应用。
股票价格、汇率变动、经济指标等的波动性通常都可以用正态分布进行建模。
3. 社会科学。
正态分布在统计学、心理学、人口学等社会科学领域也有重要应用。
例如，智力测验、身高分布、心理测量等都可以用正态分布来描述。
4. 质量管理与过程控制。
在企业的生产与服务过程中，正态分布可以用来分析质量数据，判断生产过程是否稳定，并进行质量改进与控制。
概率与统计中的正态分布与标准正态分布
概率与统计中的正态分布与标准正态分布概述：在概率与统计学中，正态分布（Normal Distribution）是一种经常被应用于描述各种现象的概率分布。
它的形态特征被认为是最常见的分布形态之一。
本文将介绍正态分布的概念、特性以及与标准正态分布的关系。
一、正态分布的概念与特性正态分布又称为高斯分布（Gaussian Distribution），它是以其创始人卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）命名的。
正态分布的概率密度函数可以用以下数学公式表示：f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，f(x)表示变量x的概率密度函数；μ是均值（mean），代表分布的中心位置；σ是标准差（standard deviation），用于衡量分布的离散程度；π是圆周率，e是自然对数的底。
正态分布具有以下特性：1. 正态分布是一个对称分布，其形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐逼近于x轴，无限延伸。
2. 标准差的大小决定了曲线的宽窄，标准差越大，曲线越宽，反之亦然。
3. 正态分布的总面积等于1，它关于均值μ对称，且均值、中位数和众数都相等。
二、标准正态分布标准正态分布（Standard Normal Distribution）是一种特殊的正态分布，其均值（μ）为0，标准差（σ）为1。
标准正态分布的概率密度函数可以用以下数学公式表示：φ(x) = 1/√(2π) * e^(-x^2/2)标准正态分布的随机变量常用字母Z表示。
Z的取值范围为负无穷到正无穷，其概率密度函数图像呈现出对称的钟形曲线。
在实际应用中，标准正态分布可以通过查找Z表或使用计算机软件进行计算和查找。
三、正态分布与标准正态分布的关系正态分布与标准正态分布之间存在着一种转化关系。
对于一个服从正态分布的随机变量X，可以通过以下公式将其转化为标准正态分布：Z = (X - μ) / σ其中，Z为标准正态分布的随机变量，X为正态分布的随机变量，μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一。
它的形状对称、钟形曲线使得它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍正态分布的定义、性质以及如何使用正态分布进行概率计算和统计推断。
一、正态分布的定义正态分布，又称高斯分布，是一种连续型的概率分布。
它的概率密度函数（probability density function, PDF）可以用以下公式表示：f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差，e是自然对数的底数。
二、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中的几个：1. 对称性：正态分布的概率密度函数关于均值对称。
即当x接近μ时，f(x)的值趋近于最大值。
2. 峰度：正态分布的峰度是3，意味着它的尾部相对较重。
3. 范围：正态分布的取值范围是(-∞, +∞)，即负无穷到正无穷。
4. 均值和标准差：正态分布的均值μ决定了分布的中心位置，标准差σ决定了分布的形状。
68%的数据在均值的一个σ范围内，95%的数据在两个σ范围内，99.7%的数据在三个σ范围内。
三、正态分布的应用正态分布在实际问题中有着广泛的应用。
以下是正态分布常见的几个应用场景：1. 抽样分布近似：中心极限定理表明，当样本容量足够大时，许多随机变量的抽样分布可以近似为正态分布。
2. 参数估计：在统计推断中，我们经常使用正态分布来估计未知参数的置信区间。
通过样本数据的均值和标准差，我们可以计算出参数估计的置信区间。
3. 假设检验：正态分布在假设检验中也有着重要的应用。
我们可以通过计算检验统计量并参考正态分布的分位数，判断某个假设是否成立。
4. 质量控制：正态分布在质量控制中常用于确定过程的稳定性。
通过统计过程得到的样本数据，可以进行正态性检验，判断过程是否受到特殊因素的影响。
四、正态分布的计算与推断在实际应用中，我们经常需要计算正态分布的概率值或进行统计推断。
第5章 常用概率分布2
正态分布的参数
1
2
3
图9 标准差相同、均数不同的正态分布曲线
正态分布的参数
σ1 σ2 σ3 σ1<σ2<σ3
图10 均数相同、标准差不同的正态分布曲线
正态分布
二、正态概率密度曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1；
正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相 等；
计算z值：
z1 x1
( 1.96 )
1.96
z2
x2
( 1.96 )
1.96
0.025 1.96
查附表1：确定概率 结论：95％
0.025 -1.96
正态分布
例 已知X服从均数为 、标准差 为的正态分布， 1 .96 试估计：(1)X取值在区间 上的概率； (2)X 取值在区间 上的概率。 2.58
记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。
标准正态分布曲线下的面积
μ±1范围内的面积为68.27% μ±1.96范围内的面积为95%
μ±2.58范围内的面积占99%
图12 正态曲线下的面积分布示意
标准正态分布曲线下的面积的计算
求z值，用z值查表，得到所求区间面积占总面
积的比例。 曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下总面积为100％或1。
计算z值：
Z 130 123 .02 1.46 4.79
查附表1：确定概率
0.0721 0.0721 1.46
结论：7.21％
-1.46
第5章正态分布
32
常用的标准值
Z ≥1.65,概率P为0.05;
Z ≥1.96,概率P为0.025; Z ≥2.58,概率P为0.005;
33
4. 二项分布的正态近似法
通过前面的讨论，我们已经知道二项分布受成功事件概率 p和重复次数n两个参数的影响，只要确定了p和n，二项 分布也随之确定了。 但是，二项分布的应用价值实际上 受到了n的很大限制。也就是说，只有当n较小时，我们 才能比较方便地计算二项分布。所幸的是，二项分布是以 正态分布为极限的。所以当n很大时，只要p或q不近于零， 我们就可以用正态近似来解决二项分布的计算问题。即以 n p＝μ、n p q＝σ2，将B(x；n，p)视为N(n p，n p q)进行 计算。在社会统计 中，当n ≥30，n p、n q均不小于5时，对二项分布作正态
42
F 分布
F 分布是连续性随机变量的另一种重要的小样本分布， 可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是 否相等。还是方差分析和正交设计的理论基础。 1.数学形式 设 和 相互独立，那么随机变量
服从自由度为(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由 度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。
24
四、标准正态分布表的使用
4.1 标准正态分布表的介绍
25
Xi:大写Ξ， 小写ξ 4.2标准正态分布的计算 读作：克西
【例5】已知ξ服从标准正态分布N（0，1）， 求P（ ξ ≤1.3)=? 解：因为ξ 服从标准正态分布N（0，1）， 可直接查附表4，根据z=1.3，有 P（ ξ ≤1.3)= 1.3=0.9032
20
3.3 标准分（Standard scores)
公式:
Z
X
概率分布中的均匀分布与正态分布
概率分布中的均匀分布与正态分布在我们探索概率与统计学的奇妙世界时，均匀分布和正态分布是两个经常遇到的重要概念。
它们在各个领域都有着广泛的应用，从自然科学到社会科学，从工程技术到日常生活，理解它们对于我们分析和解释数据、做出合理的预测和决策都具有至关重要的意义。
首先，让我们来认识一下均匀分布。
想象一下，你在一个数轴上随意地扔一个点，而这个点落在数轴上任何一个相等长度区间内的可能性都是相同的。
这就是均匀分布的基本思想。
比如说，在一个时间段内，公交车每隔 10 分钟发一辆车，那么你在这个时间段内任意时刻到达公交站等待的时间就服从均匀分布。
均匀分布的概率密度函数是一个常数。
如果我们考虑区间a, b上的均匀分布，那么概率密度函数 f(x) ＝ 1 ／（b a) ，其中 a ＜＝ x ＜＝b ，在这个区间之外，概率密度为 0 。
这意味着在区间a, b内，每个点的“概率重量”都是相等的。
均匀分布有一些有趣的特点。
它的均值（也就是期望）是（a ＋ b) ／ 2 ，方差是（b a)＾2 ／ 12 。
从实际应用的角度来看，均匀分布常用于模拟随机事件，比如在随机数生成、抽样调查中都可能会用到。
接下来，我们把目光转向正态分布。
正态分布也被称为高斯分布，它的形状就像一个钟形曲线，左右对称，中间高，两边逐渐降低。
在现实生活中，很多自然现象和社会现象都近似地服从正态分布。
例如，人群的身高、体重，学生的考试成绩，工厂生产的零件尺寸等等。
这是因为这些现象往往受到众多微小的、独立的随机因素的影响，当这些因素综合作用时，结果就会呈现出正态分布的特征。
正态分布的概率密度函数看起来可能有点复杂，但它的核心是由均值μ和标准差σ决定的。
函数形式为 f(x) ＝ 1 ／（σ √（2π)） e^（（x μ)＾2 ／（2σ^2)）。
均值μ决定了曲线的中心位置，也就是分布的中心；标准差σ则决定了曲线的“胖瘦”程度，σ越大，曲线越“胖”，数据越分散；σ越小，曲线越“瘦”，数据越集中。
概率分布中的均匀分布与正态分布
概率分布中的均匀分布与正态分布在概率与统计学的广袤领域中，均匀分布和正态分布是两个极为重要的概念。
它们在各个学科和实际应用中都有着广泛的身影，从物理学、工程学到经济学、生物学等等。
接下来，让我们一同走进这两个分布的奇妙世界。
均匀分布，顾名思义，就像是把某个量均匀地散布在一个区间内。
想象一下，你有一根长度固定的绳子，要把它平分成若干等份，每一份的长度都相等。
这就是均匀分布的一种直观体现。
比如说，在一个区间 a, b 上的均匀分布，任意一个取值落在这个区间内的任何一个小区间的可能性都是相同的。
举个简单的例子，假设我们要在 1 到 10 之间随机选择一个整数，每个整数被选中的概率都是1/10，这就是一个典型的均匀分布。
均匀分布的概率密度函数是一个常数，在区间 a, b 上为 1/（b a) ，在区间之外为 0 。
这意味着在这个区间内，概率的分布是均匀的，没有任何一个部分比其他部分更“受青睐”。
均匀分布在实际生活中有不少应用。
比如在抽奖活动中，如果奖项的设置是在一定范围内随机抽取，且每个数值被抽到的机会均等，就可以看作是均匀分布。
再比如，在计算机程序中生成随机数时，如果需要在某个特定范围内产生均匀分布的随机数，也会用到均匀分布的相关知识。
说完均匀分布，我们再来聊聊正态分布。
正态分布又被称为高斯分布，它的形状就像一个钟形，所以也常常被形象地称为“钟形曲线”。
正态分布的出现极为普遍。
很多自然现象和社会现象中的数据都近似地服从正态分布。
比如人的身高、体重，学生的考试成绩，工厂生产零件的尺寸误差等等。
正态分布具有一些非常重要的特征。
它是一个对称的分布，也就是说以均值为对称轴，左右两边的概率分布是相等的。
而且，大部分的数据都集中在均值附近，离均值越远，出现的概率就越小。
正态分布的概率密度函数可以用一个数学公式来表示，看起来可能有些复杂，但关键是理解它所反映的分布特征。
均值和标准差是决定正态分布形态的两个重要参数。
概率与统计中的正态分布与标准化与概率与统计中的假设检验与置信区间的应用
概率与统计中的正态分布与标准化与概率与统计中的假设检验与置信区间的应用在概率与统计领域中，正态分布是一种重要的概率分布。
它具有许多重要的特性，广泛应用于各种统计分析中。
本文将介绍正态分布的概念、特性及其在概率与统计中的应用，同时探讨假设检验与置信区间的相关内容。
一、正态分布正态分布，又称为高斯分布，是一种对称的连续概率分布。
其概率密度函数的形状呈钟形曲线，两头趋于无穷远，中间部分是对称的，呈现出一个峰值。
正态分布由两个参数决定，即均值μ和标准差σ，分别表示分布的中心位置和离散程度。
正态分布的重要特性包括：1. 均值与中位数相等：正态分布的均值等于中位数，呈现出对称性。
2. 68-95-99.7法则：约68%的观测值位于均值的一个标准差内，约95%的观测值位于均值的两个标准差内，约99.7%的观测值位于均值的三个标准差内。
3. 标准正态分布：当均值为0，标准差为1时，正态分布称为标准正态分布。
它的概率密度函数可用标准正态分布表查找。
二、正态分布的标准化在实际问题中，我们常常需要将正态分布转化为标准正态分布进行分析。
这一过程被称为标准化。
标准化的方法是通过下式进行变换：Z = (X - μ) / σ其中，Z为标准正态随机变量，X为原始随机变量，μ为原始随机变量的均值，σ为原始随机变量的标准差。
标准化的目的是为了简化计算和比较不同正态分布的数据。
通过标准化，我们可以使用标准正态分布表来查找概率值，进行相关的统计推断。
三、假设检验假设检验是统计学中一种常用的推断方法，用于验证一个假设关于总体参数的真实性。
其基本步骤包括：1. 建立零假设和备择假设：零假设（H0）是对总体参数进行假设的初始假设，备择假设（H1或Ha）则是我们要验证的假设。
2. 选择显著性水平：显著性水平α是在进行假设检验时事先确定的，代表了对犯错误的容忍程度。
3. 计算检验统计量：根据样本数据计算具体的检验统计量，如z统计量或t统计量。
4. 判断统计显著性：根据检验统计量的值与临界值进行比较，判断结果是否在显著性水平α的拒绝域中。
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• 在随机现象中还有不少样本点本身不是数，这时可根据研究需 要设计随机变量。
– 检查一个产品，只考察合格与否，则其样本空间为{合格品，不合
格品}，这时可设计一个随机变量X如下： 0 合格品
不合格品 1
样本点
X的取值
• 定义在样本空间上的实 可以将概率研究定量化，引入分布函数 • 设X是一个随机变量，对任意实数x，称 • F（x）=P（X<=x） • 为随机变量X的分布函数。
• 离散型随机变量
– 随机变量X只取有限或可列无穷多个值。 – 例：某学生做一道正误判断题，做对记１分， 做错记０分。他在这道题的得分为随机变量X
• 连续型随机变量
– 随机变量X可以取无限的且是不可列的值。 – 例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为 随机变量Y
• 概率分布
– 随机变量各取值的概率构成的分布 某学生参加一次数学竞赛，共回答三个问题，求该生答 对题数的概率分布。
(1)任何随机事件的概率都是不小于零且不大于１的 数。
0 P( A) 1
(2)不可能事件的概率等于零。 (3)必然事件的概率等于１。 (4)两个互逆事件（对立事件）的概率之和等于１， 逆事件的概率
P( A ) 1 P( A)
(5)小概率事件，P(A)<0.05
• 概率的两个基本法则
表 5.2 概率分布表
X Pi 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8
考虑全班153位同学体重的概率分布，若体重 以千克为单位，可以精确到无限小数位，你 能否列表显示各种取值的概率？
• 连续型随机变量的概率分布
– 连续型随机变量X有无限多个可能的取值，那么 任何一个特殊值的概率都是0。 – 由于X的取值是不可数的，则对应的概率密度也 是不可数的。 – 连续型概率分布不能表示为列表的形式，只能 表示为连续型的曲线或者该曲线的函数表达式 – 连续型分布不能计算某一点的概率，只能计算 两点间的概率，以曲线下的面积表示。
转换成原始分数即可，得到a点的分数为86.7分 • 答：择优录取25％的人的话，最低分数线应为86.7 分。
• 某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛 学生200人，平均分66.78分，标准差为 9.19分，（1）若表彰前20名竞赛优胜者， 其最低分应是多少？（2）某生若得80分， 他在参赛者中排列第几名？
2 P(是非题)＝ 9 6 P(选择题)＝ 9 2 6 8 P(是非题或选择题＝ 0.89 ) 9 9 9
• 概率的两个基本法则
– 乘法法则：两个相互独立事件A、B同时发生的概率 等于两个事件分别发生的概率的积。
P( A B) P( A) P( B)
相互独立事件：一个事件的发生概率与另一个 事件的发生与否无关。
学生甲的标准分数 Z X甲 X
70 85 1.5 10
查正态分布表， 1.5, 则P 0.433319 Z ;
所以Z 1.5左侧的面积为 .5 0.433319 0.06681 0 200 0.06681 13(人) 答：全年級中比甲生成 绩低的人数约为 人。 13
• 已知某省有86582名考生参加1998年全国 普通高校招生入学数学考试，总体成绩服 从均值为66分、标准差为19.79分的正态分 布，试问下列范围内的人数有多少？ （1）60－72分； （2）72分以上。
推求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限
• 某次招生考试，学生成绩符合正态分布， 学生成绩的平均分为80分，标准差为10分， 要择优录取25％的学生进入高一级学校学 习，问最低分数线应是多少分？
• 利用正态分布表求：
– （1）中央50％的面积的下限Z值和上限Z值 – （2）正态曲线下右尾20％的面积的下限Z值 – （3）正态曲线下左侧30％的面积的上限Z值
标准正态曲线下面积的应用
• 使用前提：
– 随机变量（X）服从或近似正态分布，其标准 化后的变量（Z）才能服从标准正态分布，才能 应用正态分布表（标准正态分布曲线）的规律 进行概率的计算。
第五章 概率与正态分布
• 概率基本知识
– 随机事件 – 概率的两个基本法则
• 正态分布
– 随机变量 – 正态分布特点(标准正态分布) – 正态分布表 – 正态分布曲线下面积的应用
概率基本知识
• 随机现象与确定性现象
– 抛硬币，落地时，正面向上。 – 掷一粒骰子，掷出７点（不可能事件）。 – 向空中抛一块石头，落到地上（必然事件）。
25％
a
图5.7
运用标准正态分布曲线解题（二）
• 解：已知 X 80, 10, 1.择优25％录取，设分数线在a点，则a点右侧的 的概率为0.25 2.那么a 点的P为0.5-0.25＝0.25 3.查正态分布表P=0.25时，Z=0.67 X X 4.将Z＝0.67通过公式
Z
• 钟形轴对称曲线，对称轴是随机变量的平均 数 。 • 正态分布曲线的位置和形状分别由平均数 和标准差 决定。 • 平均数大小决定图形向左移或右移。 • 标准差大小决定图形的陡峭程度，即纵线的最大 值。
y
0 1
5 1
x
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
• 解题关键
– 画出正态分布曲线示意图 – 注意题意转换成Z、P
推求考试成绩特定区间内的人数
• 已知某年级200名学生考试成绩呈正态分布， 平均分为85分，标准差为10分，学生甲的 成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低的 学生人数是多少？
图5.6
运用标准正态分布曲线解题（一）
解：已知X 85, 10, X甲 70
– 曲线最高点为（Z＝0，Y=0.3989）。曲线下的总面积即概率总和为１， 对称轴两边各为0.5。 – 曲线是以过Z=0的纵线为对称轴，两侧横坐标绝对值相等的对应点高度 相等，对应的曲线下面积相等。 – 标准正态分布的平均数、中数、众数三点重合在Z=0这一点上。 – 曲线与对称轴交点处Y值最大，即此处观测值的相对次数最大，概率最大；
– 概率的加法法则：两个互不相容事件A、B之和的概 率等于两个事件分别发生的概率之和。
P( A B) P( A) P( B)
互不相容事件：一次试验中不可能同时出现的事件 称为互不相容事件。
在9道试题中，有6道选择题，2道是非题，1道填空 题，随机抽出一道题为是非题或选择题的概率是 多少？ 解：
事件的概率
• 经验概率 对多次重复相同或相似试验所得到的数据进行分 析，获得事件发生的相对频率，作为对此事件 发生概率的一个估计。
a P ( A) , N N
事件的概率
• 先验概率 • 当试验满足:试验中各种可能结果（基本事件）是 有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时， 则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件 数除以试验中可能发生的基本事件总件数之商。 • 设N代表可能发生的基本事件总数，K代表事件A 包含的基本事件数，则A事件发生的概率为：
图5.3
平均数不等，标准差相等的正态分布示意图
y
0.5
1.6
1
x
－5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
图5.4
平均数相等，标准差不等的正态分布示意图
标准正态分布
• 标准正态分布：平均数为０，标准差为1的正态分布。标准分数即服 从标准正态分布 • 标准正态分布曲线的特点：
• 分析：已知N=200, X 66.78, 9.19 （1）前20名，在所有参赛者中的位置是前10％ 设最低分数点为b，则b点右侧的概率是0.1 b点标准分数对应的P 值是0.5-0.1＝0.4 查正态分布表得b点的Z分数为1.28，根据Z分数 的公式转换求得b点分数为78.54分。 （2）某生得80分，则其Z 分数为1.44 查表Z＝1.44时，P=0.42507 那么等于和高于该生的人数比率为 0.5-0.42507＝0.07493 具体人数＝200×0.07493＝15（人）
•
已知下列Z值，查表求P值。
– （1）Z＝-1与Z＝1之间的概率 – （2）Z＝-2与Z＝2之间的概率 – （3）Z＝-3与Z＝3之间的概率 – （4）Z＝-1.96与Z＝1.96之间的概率 – （5）Z＝-2.58与Z＝2.58之间的概率
• 利用正态分布表求：
– （1）正态曲线下Z＝1.34处左侧的面积 – （2）正态曲线下Z＝2.16处右侧的面积 – （3）正态曲线下Z＝-1.64处左侧的面积 – （4）正态曲线下Z＝-1.5处右侧的面积
图5.1
连续型随机变量的概率分布
表 5.3
智商密度分布表
人数 3 21 90 295 330 201 54 5 1 1000 相对密度 0.003 0.021 0.090 0.295 0.330 0.201 0.054 0.005 0.001 1
智商分数 54.5－64.5 64.5－74.5 74.5－84.5 84.5－94.5 94.5－104.5 104.5－114.5 114.5－124.5 124.5－134.5 134.5－144.5 合计
在某大城市一家医院的产房，去年出生1060个男婴 和1000个女婴，假设这些数据表示了全部出生情 况，在该医院下一个出生的婴儿是男婴的概率是 多少？是女婴的概率是多少？
a 1060 P (男婴) ＝ ＝0.51 N 2060 a 1000 P (女婴) 0.49 N 2060
• 概率的性质
• 随机事件：随机现象的各种可能结果（也 称为“事件”，用大写字母A，B，C等表 示）
– 基本事件：不能分解的 – 复合事件：可分解的
事件的概率
• 1.频率 事件发生的概率与频率有关。对于随机事件A， 如果在N次试验中出现a次，则A发生的频率记作 • F（A）=a/N
• 频率满足不等式0F（A） 1