圆的复习(三)教学讲义 2
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。
圆的专题复习课件.
圆的
轴对称性 定理知
垂直于弦 的直径
性质
二得三
圆的基本概念
半径、弦心距、
弦的一半构成 Rt△
圆弧 弦
直线与圆
圆与圆
正多边形 与圆
相交
等分 圆周
圆心角等 弦等 弧等
中心、外接圆
正多边形
半径R外
中心角 360 n
弧长与扇 形面积
边心距R内 计算解直角△
圆
圆锥侧面积 与全面积
s n R2 360
l n R 180
③ PA⊥OA，PB⊥OB； ④∠1=∠2=∠ 3=∠ 4; ⑤ AC＝BC； ⑥C为△PAB的内心 △OAD, △OAP, △PAD, △OBD, △PBD, △OPB都相似.等等
A
１
·D C ３
O
４P
２
B
把圆的许多知识都串起来了。
求扇形面积问题
如图：草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它 的喷射半径是20m，求它能喷灌的草坪的面积。
方法四：思路，连接OC、DE，利用菱形的对角线互相垂 直、平分的性质．通过列出比例式得到．
方法五：思路，证四边形ADEC是平行四边形，在利用 △ODE与△OAB相似得比例式
圆在生活中的应用
如图：海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔 船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东 600方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北 偏东300方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有 没有触礁的危险？
积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点 是．
2009年
中考考点：2010年
2011年
中考考点：
2012年
近五年中考考题分析
圆的复习课2
指出圆的圆心、直径和半径
回答：圆的周长、面积公式。
通过复习了解圆的有关公式
（二）巩固练习
（1）半径2米的圆的面积是多少平方米？
（12.56平方米）
（2）直径2米的圆的面积是多少平方米？
（3.14平方米）
列式计算：
1、一个雷达圆形屏幕的直径是40厘米。它的面积是多少平方厘米？
2、一种自动旋转喷灌装置的射程是15米，它能喷灌的面积是多少平方米？
圆的复习（1）
一、教学目标
1、理解掌握圆的周长、面积计算公式
2、理解圆的特征
二、教学重点
1、根据已知条件灵活运用圆周长、面积公式进行计算；
2、能把实践问题转化为求圆周长、面积的数学问题；
三、教学难点
能把实践问题转化为求圆周长、面积的数学问题
四、教学过程
过程
教师活动学生活动来自设计意图（一）复习圆复习：1、圆的有关概念
3、一个圆形花圃，他的直径是8米。周长是多少？面积是多少？
解题
对已学的知识要学会应用。
（三）小结与作业
总结：
·你通过这堂课学到了什么？有什么收获？
布置作业：
练习册第六节
学生总结
课后反思：学生把复杂实际问题转化为求圆的面积、周长问题的能力偏弱，要加强针对训练。
把实际问题转化为数学模型是一种思维方法，应在以后的教学中多贯彻多训练。
初中数学圆的复习教案
初中数学圆的复习教案一、教学目标1. 回顾和掌握圆的基本概念、性质和定理；2. 提高学生解决直线与圆、圆与圆位置关系的几何问题能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
二、教学内容1. 圆的基本概念和性质；2. 直线与圆的位置关系；3. 圆与圆的位置关系；4. 圆的应用问题。
三、教学过程（一）复习导入（5分钟）1. 复习圆的基本概念：圆的定义、圆心、半径等；2. 复习圆的性质：圆的对称性、周长、面积等；3. 引导学生回顾圆的画法和相关工具。
（二）直线与圆的位置关系（15分钟）1. 讲解直线与圆的相交、相切、相离三种情况；2. 引导学生掌握垂径定理及其推论；3. 举例讲解直线与圆的位置关系在实际问题中的应用。
（三）圆与圆的位置关系（15分钟）1. 讲解圆与圆的相交、相切、相离三种情况；2. 引导学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理；3. 举例讲解圆与圆的位置关系在实际问题中的应用。
（四）圆的应用问题（15分钟）1. 讲解圆的周长、弧长、扇形面积等概念；2. 引导学生掌握圆的周长、弧长、扇形面积的计算方法；3. 举例讲解圆的应用问题在实际问题中的应用。
（五）课堂练习（10分钟）1. 针对本节课的内容，设计一些填空题、选择题和计算题；2. 引导学生独立完成练习题，并及时给予解答和反馈。
（六）总结与反思（5分钟）1. 引导学生回顾本节课所学内容，总结直线与圆、圆与圆的位置关系及应用；2. 鼓励学生提出问题，解答学生的疑问；3. 强调圆的知识在实际生活中的应用价值。
四、教学评价1. 课堂练习的完成情况；2. 对直线与圆、圆与圆位置关系的理解和应用能力；3. 学生的提问和解答问题的能力。
五、教学资源1. 教学PPT；2. 练习题；3. 几何画板等教学工具。
六、教学建议1. 注重学生的参与，鼓励学生积极提问和解答问题；2. 结合生活中的实例，让学生感受圆的知识在实际中的应用；3. 加强对学生几何画板等工具的指导，提高学生的动手能力。
(完整版)初三数学圆的经典讲义
圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
圆的复习讲义。doc
济川初中初三数学圆的复习讲义知识点归纳：点点点点三、垂径定理:四、圆心角、弦、弧、弦心距、圆周角关系直相相相切线的判定一般有三种方法：1.定义法：和圆有唯一的一个公共点2.距离法： d=r3.判定定理：过半径的外端且垂直于半径的直线七、三角形的内切圆，外接圆半径，内心，外心的位置及性质1、弧长公式 ；2、扇形面积公式 . 十、圆锥的侧面积和全面积:圆锥侧面积计算公式 . 圆锥全面积计算公式 r,n,l 之间的关系 例题讲解1．如图⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD ,1cm ，则弦AC 、BD 所夹的锐角 ＝ ．l 2．如图， BE是半径为 6 的⊙D 的41圆周，C 点是 BE 上的任意一点，△ABD 是等边三角形,则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是3．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是m 。
（结果用π表示）4．如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =35，求圆的直径．5.如图，有一块含︒30的直角三角板OAB 的直角边长BO 的长恰与另一块等腰直角三角板ODC 的斜边OC 的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且3=AB . (1)若双曲线的一个分支恰好经过点A ，求双曲线的解析式； (2)若把含︒30的直角三角板绕点O 按顺时针方向旋转后，斜边OA 恰好与x 轴重叠，点A 落在点A '，试求图中阴影部分的面积(结果保留π).第14题图BB（第5题图）巩固练习 一、选择题1、下列说法正确的是（ ）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、90°的角所对的弦是直径C 、等弧所对的弦相等D 、圆的切线垂直于半径2、在⊙O 中，AB 是弦，圆心到AB 的距离为1，若⊙O 的半径为2，则弦AB 的长为（ ）A ． 5B ．2 5C ． 3D ．2 33、⊙O 的半径为R ，圆心到点A 的距离为d ，且R 、d 分别是方程 x 2－6x ＋8＝0的两根，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ）A 、点A 在⊙O 内部B 、点A 在⊙O 上C 、点A 在⊙O 外部D 、点A 不在⊙O 上 4、两圆的半径为4cm 和2cm ，如果这两圆相切，则圆心距为（ ）A 、6cmB 、2cmC 、2cm 或6cmD 、3cm5、图中实线部分是半径为9m 的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为( ) A ．12πm B ．18πm C ．20πm D ．24πm6.己知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点 P 在 OM 上．一只锅牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示,若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）7.如图，图2 是一个组合烟花（图1）的横截面，其中16个圆的半径相同，点O 1、O 2、O 3、O 4分布是四个角上的圆的圆心，且四边形O 1O 2O 3O 4正方形。
《圆的整理和复习》完整版课件
《圆的整理和复习》完整版课件一、教学内容1. 圆的基本概念（10.1）2. 圆的方程（10.2）3. 圆的性质与判定（10.3）4. 弧、弦、圆心角（10.4）5. 圆与三角形、四边形的关系（10.5）二、教学目标1. 让学生掌握圆的基本概念、性质与判定方法，能熟练运用圆的方程解决问题。
2. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
3. 使学生了解圆在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
三、教学难点与重点1. 教学难点：圆与三角形、四边形的关系，圆的方程在实际问题中的应用。
2. 教学重点：圆的基本概念、性质与判定，弧、弦、圆心角的关系。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、圆规、直尺、量角器。
2. 学具：圆规、直尺、量角器、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示生活中的圆形物体（如车轮、圆桌等），引导学生思考圆的特点和性质。
2. 例题讲解：（1）求半径为5的圆的周长和面积。
（2）已知圆的方程，求圆的半径和圆心坐标。
（3）证明圆内接四边形的对角互补。
3. 随堂练习：（2）已知圆的半径，求圆的周长和面积。
（3）已知圆的方程，求圆的半径和圆心坐标。
六、板书设计1. 圆的基本概念、性质与判定。
2. 圆的方程及其应用。
3. 弧、弦、圆心角的关系。
4. 圆与三角形、四边形的关系。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求半径为10的圆的周长和面积。
（2）已知圆的方程为(x3)²+(y+2)²=16，求圆的半径和圆心坐标。
（3）证明圆内接四边形的对角互补。
答案：（1）周长：62.8，面积：314。
（2）半径：4，圆心坐标：（3，2）。
（3）见教材10.5节。
2. 拓展延伸：（1）研究圆与多边形的关系，了解圆内接多边形和圆外切多边形的性质。
（2）了解圆在实际生活中的应用，如圆周运动、圆的轨迹等。
八、课后反思本节课通过整理和复习圆的相关知识，使学生掌握了圆的基本概念、性质与判定方法，提高了学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
《圆的整理和复习》完整版课件
《圆的整理和复习》完整版课件一、教学内容本节课我们将整理和复习教材第十一章“圆”的相关内容。
详细内容包括：圆的基本概念、圆的周长和面积、圆的切线与割线、圆的方程、圆与三角形及矩形的关系等。
二、教学目标1. 让学生掌握圆的基本概念，理解圆的周长、面积的计算方法。
2. 使学生熟练运用圆的切线与割线定理解决相关问题。
3. 培养学生运用圆的方程解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：圆的基本概念、圆的周长和面积的计算、圆的方程。
难点：圆的切线与割线定理的理解与应用、圆与三角形及矩形的关系。
四、教具与学具准备1. 教具：圆规、直尺、三角板、多媒体课件。
2. 学具：圆规、直尺、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的圆形物体，引导学生发现圆的特点和美感。
2. 教学内容讲解（15分钟）（1）回顾圆的基本概念，强调圆心、半径、直径等要素。
（2）讲解圆的周长和面积的计算方法，结合例题进行讲解。
（3）介绍圆的切线与割线定理，通过例题进行讲解。
（4）阐述圆的方程，引导学生运用方程解决实际问题。
3. 例题讲解（15分钟）选择具有代表性的例题，分别针对圆的周长、面积、切线与割线、方程等知识点进行讲解。
4. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成教材课后练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论与分享（5分钟）学生分小组讨论解题过程，分享解题心得。
六、板书设计1. 圆的基本概念2. 圆的周长和面积3. 圆的切线与割线定理4. 圆的方程5. 例题解析6. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目：（1）计算半径为5cm的圆的周长和面积。
（2）已知圆的周长为31.4cm，求该圆的半径。
（3）过圆上一点作圆的切线，求切线的长度。
（4）已知圆的方程为（x3）^2 + (y+2)^2 = 16，求圆的半径和圆心坐标。
2. 答案：（1）周长：31.4cm，面积：78.5cm²（2）半径：5cm（3）切线长度：待定（4）半径：4cm，圆心坐标：（3，2）八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：（1）探讨圆与三角形、矩形的关系，如圆的内接三角形、外切矩形等。
第3章圆章末复习(教案)
一、教学内容
第3章圆章末复习
1.圆的基本概念：半径、直径、圆周率、弧、弦、圆心角。
2.圆的性质：半径相等等圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质。
3.弧、弦与圆心角的关系：圆心角相等等弧、等弦；等弧、等弦的圆心角相等。
4.坐标系中的圆：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程。
5.圆的切线与割线：切线的判定、切线方程的求法、割线定理。
1.讨论主题：学生将围绕“圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果，这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
在讲授过程中，我尽量使用简单的语言和生动的例子来解释圆的方程，尤其是标准方程和参数方程。通过将几何图形与代数表达式相结合，学生似乎更容易理解方程背后的几何意义。这一点在今后的教学中，我需要继续强化。
我还注意到，在小组讨论环节，学生们表现得非常积极，他们能够将圆的知识与生活实际相结合，提出不少有创意的想法。这让我感到很欣慰，说明学生们已经能够开始尝试运用所学知识解决实际问题。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了圆的基本概念、性质、方程以及它在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中能够发现和运用圆的相关知识。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对圆的基本概念掌握得相对较好，但是在涉及到圆的性质和方程的应用时，部分学生显得有些吃力。我意识到，需要通过更多的实例和实际操作来帮助他们理解这些较为抽象的知识点。
圆复习课教案初中数学
圆复习课教案初中数学教学目标：1. 复习并巩固圆的基本概念、性质和公式；2. 提高学生解决与圆相关的实际问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
教学内容：1. 圆的基本概念：圆的定义、圆心、半径；2. 圆的性质：圆的对称性、圆的周长和面积公式；3. 与圆相关的实际问题：圆的周长和面积的计算、圆的直径和半径的关系。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习圆的定义：一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的点的集合；2. 引导学生回顾圆的基本性质，如对称性、周长和面积公式等。
二、自主学习（15分钟）1. 学生自主复习圆的性质，总结圆的周长和面积公式；2. 学生通过练习题巩固圆的性质和公式的应用。
三、合作探究（15分钟）1. 学生分组讨论与圆相关的实际问题，如圆的周长和面积的计算、圆的直径和半径的关系；2. 各小组选取一道实际问题，进行展示和讲解，其他小组成员进行评价和补充。
四、巩固练习（15分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固圆的性质和公式的应用；2. 教师选取部分学生的练习题进行讲解和分析，指出错误和不足之处。
五、总结和反思（5分钟）1. 学生总结本节课的收获和不足，制定下一步的学习计划；2. 教师对学生的表现进行评价，鼓励学生继续努力。
教学评价：1. 学生课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和练习情况，了解学生的学习状态；2. 学生练习题完成情况：检查学生的练习题，评估学生对圆的性质和公式的掌握程度；3. 学生合作探究能力：评价学生在小组合作中的表现，如沟通、协作、解决问题等能力。
教学资源：1. 圆的性质和公式PPT；2. 与圆相关的实际问题练习题。
(完整版)圆复习讲义
站在此圆外投标圆的综合复习【重难点】圆是我们研究曲线图形的开始，在观中、操作中体会圆的特征及培养空间观念。
一、圆的简单认识 引：1、哪种方式更公平？2、车轮为什么是圆的呢？圆心到圆上的任意一点距离相等，圆在滚动时，圆心在一条直线上，这样的车轮滚动时才平稳。
3、井盖为什么是圆的？圆形的井盖边缘到圆心的距离处处相等，无论井盖怎样旋转，都不会掉到井中。
方形的一边要比其对角线短，一旦井盖翻转，就有可能掉入其中；还有为了节省材料、美观等。
4、水桶为什么一般都是圆的？【知识点】1、圆中心的一点叫圆心,用O 表示。
连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径,常用r 表示。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径,常用d 表示。
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
2、一个圆有无数条半径，无数条直径。
同圆中所有的半径都相等，所有的直径也都相等 ，在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，字母关系式为2d r =（或半径是直径的一半，字母关系式为12r d =）。
3、圆规两脚尖所叉开的距离为圆的半径。
在圆内最长的线段是直径。
将一张圆形纸片至少对折2次，就能确定圆心的位置 。
4、圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
圆有无数条对称轴。
5、圆心相同的两个圆（同心圆），半径不一定相等；半径相等的两个圆（等圆），圆心不一定相同。
只有当两个圆的圆心相同、半径相等时，它们才叫同圆。
二、圆的周长（用C来表示）1、围成员的曲线的长度就是圆的周长。
2、测量圆周长的方法：1）以圆上某点开始，圆片向右滚动一周，量它的长度，即圆片滚动一周的长度即为圆的周长；2）用绳子绕圆一周，再测量绳子的长度。
3、任何圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率, 用字母π表示，计算时通常取3.14，圆周率不随圆的大小而变化，即π是一个固定值。
4、圆的周长公式：C=πd 或C=2πr==π÷圆的周长圆周率圆的周长圆的直径圆的直径三、圆的面积（用S来表示）圆所占平面的大小就是圆的面积。
第2章 圆的复习课2(教案)
湘教版九年级下册教案第2章圆的复习与小结（2）教学目标1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．2．了解切线的概念，切线的性质及判定． 3．会过圆上一点画圆的切线．重点难点重点：1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．难点：探索各种位置关系及切线的性质．教学设计一.预习导学1.确定圆的条件(1)要确定一个圆，其就是确定圆的圆心和半径，圆就随之确定．（2）经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．（3）经过两点也可以作无数个圆．（4）经过在同一直线上的三点不能作圆．（5）经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．（一）探究展示1．点和圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．（a）当d＜r时，点在圆内；（b）当d＝r时，点在圆上；（c）当d＞r时，点在圆外．2．直线和圆的位置关系（1）直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，（2）另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．（a）当d＜r时，直线和圆相交；（b）当d＝r时，直线和圆相切；（c）当d＞r时，直线和圆相离．3.切线的性质和判定．(1) 切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的半径（或直径）．(2) 切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．(二)展示提升1．矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？2．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？3．如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，求AD 的长．三.知识梳理以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.本节课我们复习巩固了两种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；切线的性质与判定以及判断四点是否共圆．四.当堂检测1．菱形各边的中点在同一个圆上吗？2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠CAE ＝∠B ，你认为AE 与⊙O 相切吗？为什么？A BD C EG FH3.如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，求图中阴影部分的面积．五、教学反思从学生已有的基础知识出发，让学生自己交流总结，经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．。
圆复习课教学课件
VS
详细描述
割线定理指出，经过圆上两点的割线与经 过这两点的弦平行。这个定理在证明和解 决几何问题中也非常有用，因为它提供了 一个判断直线是否为割线的方法。
切线与割线的应用
总结词
切线和割线在几何学中有着广泛的应用，它 们是解决各种几何问题的关键。
详细描述
切线和割线的应用包括证明圆的性质、解决 最值问题、计算面积和周长等。通过利用切 线和割线的性质，可以简化复杂的几何问题， 找到解决问题的有效途径。
公式
周长 = π × 直径，面积 = π × 半径^2
圆与圆的位置关系
总结词
两个圆的位置关系有相切、相交 和相离三种。
详细描述
两个圆相切表示它们有且仅有一个 公共点，相交表示它们有两个公共 点，相离表示它们没有公共点。
分类
根据两圆心距与两圆半径之和或差 的关系，可以进一步细分为内切、 外切、相交等具体位置关系。
详细描述
圆的直径是经过圆心、穿过圆周的线段，是圆中最长的弦。圆的半 径是从圆心到圆周的距离，是圆的直径的一半。
公式
直径 = 2 × 半径
圆的周长与面积
01
02
03
总结词
周长与面积是衡量圆的大 小的两个重要指标。
详细描述
圆的周长，也称为圆的周 界，是围绕圆边缘的长度。 圆的面积是圆所占平面的 大小。
05
圆的综合问题
圆的轨迹问题
总结词
理解圆的轨迹问题需要掌握圆的基本性质和 定理，以及如何运用这些性质和定理解决实 际问题。
详细描述
圆的轨迹问题通常涉及到圆与其他几何图形 的关系，如点、直线、圆等。解决这类问题 需要运用圆的定义、性质和定理，如圆上一 点到圆心的距离等于半径，圆与圆的位置关 系等。此外，还需要掌握一些常用的解题方
圆复习教案(课外辅导用)
圆复习教案（课外辅导用）第一章：圆的基本概念一、教学目标1. 理解圆的定义及特点2. 掌握圆的半径、直径、弧、扇形等基本概念3. 能够运用圆的基本概念解决实际问题二、教学内容1. 圆的定义及特点2. 圆的半径、直径的概念及计算3. 弧、扇形的概念及计算4. 圆的实际应用问题三、教学方法1. 采用讲解、演示、练习相结合的方式进行教学2. 利用图形软件或实物模型进行直观展示，帮助学生理解圆的概念3. 引导学生通过实际问题，运用圆的知识进行解决问题四、教学步骤1. 引入圆的概念，讲解圆的特点2. 讲解圆的半径、直径的定义及计算方法3. 讲解弧、扇形的概念及计算方法4. 结合实际问题，让学生运用圆的知识进行解决问题五、课后作业1. 复习圆的基本概念，绘制一个圆，并标注半径、直径2. 练习计算弧长和扇形的面积第二章：圆的周长和面积一、教学目标1. 掌握圆的周长和面积的计算公式2. 能够运用圆的周长和面积公式解决实际问题二、教学内容1. 圆的周长公式及应用2. 圆的面积公式及应用3. 圆的周长和面积的实际应用问题三、教学方法1. 采用讲解、演示、练习相结合的方式进行教学2. 利用图形软件或实物模型进行直观展示，帮助学生理解圆的周长和面积的计算方法3. 引导学生通过实际问题，运用圆的周长和面积公式进行解决问题四、教学步骤1. 讲解圆的周长公式及应用2. 讲解圆的面积公式及应用3. 结合实际问题，让学生运用圆的周长和面积公式进行解决问题五、课后作业1. 复习圆的周长和面积公式，计算给定半径或直径的圆的周长和面积2. 练习解决实际问题，如计算一个圆形花坛的周长和面积第三章：圆的位置关系1. 理解圆与圆之间的位置关系2. 掌握圆与圆相切、相离、相交的概念及判断方法二、教学内容1. 圆与圆的位置关系及判断方法2. 圆与圆相切、相离、相交的性质及应用3. 圆的位置关系的实际应用问题三、教学方法1. 采用讲解、演示、练习相结合的方式进行教学2. 利用图形软件或实物模型进行直观展示，帮助学生理解圆与圆的位置关系3. 引导学生通过实际问题，运用圆的位置关系进行解决问题四、教学步骤1. 讲解圆与圆的位置关系及判断方法2. 讲解圆与圆相切、相离、相交的性质及应用3. 结合实际问题，让学生运用圆的位置关系进行解决问题五、课后作业1. 复习圆与圆的位置关系，绘制两圆相切、相离、相交的图形2. 练习判断给定的两圆的位置关系六章：圆的方程一、教学目标1. 理解圆的方程及其表示方法2. 学会用圆的标准方程和一般方程解决实际问题1. 圆的标准方程及其推导2. 圆的一般方程及其推导3. 圆的方程在实际问题中的应用三、教学方法1. 采用讲解、演示、练习相结合的方式进行教学2. 利用图形软件或实物模型进行直观展示，帮助学生理解圆的方程3. 引导学生通过实际问题，运用圆的方程进行解决问题四、教学步骤1. 讲解圆的标准方程及其推导2. 讲解圆的一般方程及其推导3. 结合实际问题，让学生运用圆的方程进行解决问题五、课后作业1. 复习圆的方程，绘制几个不同半径和圆心的圆，并写出它们的方程2. 练习解决实际问题，如给定圆上的两点坐标，求圆的方程七章：圆的函数性质一、教学目标1. 理解圆的函数性质2. 学会运用圆的函数性质解决实际问题二、教学内容1. 圆的函数性质及其表示方法2. 圆的函数性质在实际问题中的应用1. 采用讲解、演示、练习相结合的方式进行教学2. 利用图形软件或实物模型进行直观展示，帮助学生理解圆的函数性质3. 引导学生通过实际问题，运用圆的函数性质进行解决问题四、教学步骤1. 讲解圆的函数性质及其表示方法2. 结合实际问题，让学生运用圆的函数性质进行解决问题五、课后作业1. 复习圆的函数性质，利用圆的函数性质解决一些实际问题2. 练习解决实际问题，如给定圆的半径和圆心，求圆上某点的坐标八章：圆的复合问题一、教学目标1. 理解圆的复合问题及其解决方法2. 学会运用圆的复合问题解决实际问题二、教学内容1. 圆的复合问题及其解决方法2. 圆的复合问题在实际问题中的应用三、教学方法1. 采用讲解、演示、练习相结合的方式进行教学2. 利用图形软件或实物模型进行直观展示，帮助学生理解圆的复合问题3. 引导学生通过实际问题，运用圆的复合问题进行解决问题四、教学步骤1. 讲解圆的复合问题及其解决方法2. 结合实际问题，让学生运用圆的复合问题进行解决问题五、课后作业1. 复习圆的复合问题，解决一些实际问题2. 练习解决实际问题，如给定圆的半径、直径和圆心，求圆的方程九章：圆的极限与连续性一、教学目标1. 理解圆的极限与连续性的概念2. 学会运用极限与连续性解决圆的实际问题二、教学内容1. 圆的极限与连续性的概念及其表示方法2. 圆的极限与连续性在实际问题中的应用三、教学方法1. 采用讲解、演示、练习相结合的方式进行教学2. 利用图形软件或实物模型进行直观展示，帮助学生理解圆的极限与连续性3. 引导学生通过实际问题，运用圆的极限与连续性进行解决问题四、教学步骤1. 讲解圆的极限与连续性的概念及其表示方法2. 结合实际问题，让学生运用圆的极限与连续性进行解决问题五、课后作业1. 复习圆的极限与连续性，解决一些实际问题2. 练习解决实际问题，如给定圆的半径、直径和圆心，求圆的方程在某个区间内的连续性十章：圆的综合应用一、教学目标1. 掌握圆的知识在实际问题中的应用2. 提高学生解决实际问题的能力二、教学内容1. 圆的知识在实际问题中的应用2. 圆的综合应用问题解决方法三、教学方法1. 采用讲解、演示、练习相结合的方式进行教学2. 利用图形软件或实物模型进行直观展示，帮助学生理解圆的综合应用3. 引导学生通过实际问题，运用圆的综合应用进行解决问题四、教学步骤1. 讲解圆的知识在实际问题中的应用2. 结合实际问题，让学生运用圆的综合应用进行解决问题五、课后作业1. 复习圆重点和难点解析一、圆的基本概念难点解析：圆的定义和特点的深入理解，以及圆的半径、直径、弧、扇形等基本概念在实际问题中的运用。
圆复习教案(课外辅导用)
圆复习教案（课外辅导用）章节一：圆的基本概念1.1 圆的定义：平面上一动点以一定点为中心，一定长为半径运动一周的轨迹称为圆。
1.2 圆的性质：（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
（2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
（3）圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径。
章节二：圆的周长和面积2.1 圆的周长：围圆一周的曲线长称为圆的周长，用字母C表示，计算公式为C=2πr。
2.2 圆的面积：圆的表面或围成的圆形表面的大小称为圆的面积，用字母S表示，计算公式为S=πr²。
章节三：圆的画法3.1 圆规画圆：圆规两脚间的距离为圆的半径，固定一脚，另一脚旋转一周，连接圆心和圆上各点，即可画出圆。
3.2 圆的切线：从圆上某一点向圆外画一条直线，且仅与圆相交于这一点，这条直线称为圆的切线。
章节四：圆的方程4.1 圆的标准方程：以圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆的方程为(x-h)²+(y-k)²=r²。
4.2 圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D²+E²-4F>0。
章节五：圆与直线的位置关系5.1 直线与圆相交：直线与圆有2个交点。
5.2 直线与圆相切：直线与圆有1个交点，且这个交点是圆的切点。
5.3 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
圆复习教案（课外辅导用）章节六：圆的弦与弧6.1 弦：圆上任意两点间的连线称为弦。
6.2 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的弦称为直径。
6.3 弧：圆上任意两点间的部分称为弧。
6.4 优弧：大于半圆的弧称为优弧。
6.5 平分线：圆上的一条线段，它把圆分成两个相等的部分，称为圆的平分线。
章节七：圆的相交弦与圆系7.1 相交弦：两条弦相交于圆内或圆上的点称为相交弦。
7.2 圆系：以圆心为圆心，半径不同的圆组成的系统称为圆系。
7.3 圆系的特点：圆系中的任意两个圆都相交于两点。
圆的单元复习讲义
圆的单元复习讲义(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--海豚教育个性化简案海豚教育个性化教案（真题演练）1.（2014?白银）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断2.（2014?天津）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°海豚教育个性化教案圆的单元复习【知识框架】圆切线长切线圆与圆的位置关系圆的切线直线与圆的位置关系点与圆的位置关系垂径定理及其推论圆周角、同弧上圆周角的关系弧、弦与圆心角与圆有关的位置关系圆的基本性质圆的对称性两圆公切线与圆有关的计算弧长和扇形的面积圆锥的侧面积和全面积题型一：圆的基本性质1. 如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（）A．25°B．50°C．60°D．80°2. 如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙0上，顶点C在⊙O直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC 的度数是( )A,44°B．54° C．72° D．53°3. 如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是．4. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于．5. 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为。
6. 如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=°，若CD=6cm，则AB的长为。
16-1圆的概念及性质.讲义教师版(2)
内容 基本要求略高要求较高要求垂径定理 会在相应的图中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题一、垂径定理【例1】 如果两条弦相等，那么（ ）A ．这两条弦所对的弧相等B ．这两条弦所对的圆心角相等C ．这两条弦的弦心距相等D ．以上答案都不对【考点】垂径定理 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】考察圆心角定理，关键是这些条件成立的前提是在同圆或等圆中．所以选D ． 【答案】D【巩固】下列判断中正确的是（ ）A ．平分弦的直线垂直于弦B ．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C ．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D ．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【考点】垂径定理 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧，答案是C ． 【答案】C【例2】 如图，O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=︒，则DCF ∠等于（ ）A ．80︒B ．50︒C ．40︒D ．20︒中考要求例题精讲圆的概念和性质【考点】圆周角定理，垂径定理 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2006年，重庆市中考题 【解析】略 【答案】D【巩固】如图，ABC △内接于O ，点D 是CA 延长线上一点，若120BOC ∠=︒，则BAD ∠等于（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【考点】圆周角定理【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】B ．【例3】 如图，AB O ⊙是的直径，弦CD AB ⊥于E ，30CDB ∠=°，O ，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cmC ．D ．9cmC ABOE D【考点】垂径定理【题型】选择 【难度】2星【关键词】2009年，广西南宁【解析】考察同弧所对圆心角是圆周角的2倍，结合垂径定理求解．本题可用三角函数，也可用直角三角形中30°所对直角边斜边一半结合勾股定理求弦长．但如若学习了三角函数，还是它较简单．答案选B【巩固】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，OD AB ⊥于点D ，交O ⊙于点E ，60C ∠=︒，如果O ⊙的半径为2，则结论错误的是（ ）A ．AD DB = B ．AE EB = C ．1OD = D．AB =【考点】垂径定理【题型】选择 【难度】1星【关键词】2007年，广州中考 【解析】略 【答案】D【例4】 如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm【考点】切线的性质及判定，垂径定理 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2009年，常德市【解析】根据相切的性质结合垂径定理，勾股定理求得答案是选D 【答案】Ｄ【巩固】如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【考点】切线的性质及判定，垂径定理【题型】选择【关键词】2009年，嘉兴【解析】设O ⊙半径为R ，P ⊙半径为r ，则阴影部分面积为()22π9πR r -=，∴229R r -=，又132AB =，∴6AB =． 【答案】C【例5】 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =．B【考点】垂径定理 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】略【答案】作OM AB ⊥，垂足为M ，大圆中，∵OM AB ⊥，∴AM BM = 小圆中，∵OM CD ⊥，∴CM DM = ∴AM CM BM DM -=- 即AC BD =．【巩固】如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，42AB CD ==，，AB 的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．【考点】垂径定理 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】【解析】略【例6】 在半径为4cm 的圆中，垂直平分半径的弦长是_______． 【考点】垂径定理 【题型】填空 【难度】1星 【关键词】【解析】略 【答案】．【巩固】O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则O的半径长为（）A.3cmB.4c mC.5cmD.6c m【考点】垂径定理【题型】选择【难度】1星【关键词】福州中考【解析】略【答案】C【巩固】若O⊙中等于120︒的劣弧所对的弦长为，则O⊙的半径是_______．【考点】垂径定理【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】略【答案】12【例7】如图，已知O⊙的半径是5，点A到圆心O的距离为3，求过点A的所有弦中最短弦的长度．B【考点】垂径定理【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】连结OA，过A点作OA的垂线交O⊙于B C、两点，则弦BC即为所求．连结OB，由垂径定理得12AB BC=．在Rt AOB∆中，90OAB∠=︒，53OB OA==，，∴4AB=，∴28BC AB==．此题是经典的垂径定理的应用，也是一个十分有用的结论．当然，在使用前需要证明一下．过A点再任意作一条与BC不同的弦DE，过O点作OH DE⊥于H．在Rt AOC∆和Rt BOH∆中，显然OE OC=，又AOH∆是直角三角形，∴OH OA<，则222222OE OH EH AC OC OA-=>=-∴DE BC>．【答案】8【巩固】如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】垂径定理 【题型】选择 【难度】2星【关键词】2009年，甘肃白银【解析】考察垂径定理结合勾股定理求半径．关键是OM 最小值实际上是考察点到直线的最短距离是垂线段的长度，所以选A【答案】A【例8】 如图，O 是等边三角形ABC 的外接圆，O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ）ABC．D．【考点】垂径定理，三角形的外接圆及外心 【题型】选择 【难度】3星【关键词】2008年，江苏南京【解析】考察特殊的等边三角形边长与其外接圆半径的关系．所以选C 【答案】C【巩固】如图所示，ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．CB A【考点】垂径定理，三角形的外接圆及外心 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2005年，镇江中考【解析】作高AD ，设点O 是ABC ∆的外心，则点O 在AD 上，连结OB∵AB AC =，AD BC ⊥，∴162BD BC ==在Rt ABD ∆中，2222221068AD AB BD =-=-=，∴8AD = 设O ⊙的半径为R ，则OB AO R ==，8OD R =-． 在Rt OBD ∆中， 222OB BD OD =+∴2226(8)R R =+-，解得254R =，∴外接圆的半径为254．运用外心到三角形的三个顶点的距离相等这一性质，注意，三角形的外心在等腰三角形底边的中垂线上． 【答案】254【例9】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）A ．5米B ．8米C ．7米 D．DCBA【考点】垂径定理 【题型】选择 【难度】2星【关键词】2009年，甘肃兰州 【解析】略 【答案】B【巩固】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽16cm AB =，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．【考点】垂径定理 【题型】解答 【难度】2星【关键词】2006年，青岛市 【解析】（1）正确作出图形，并做答．（2）过O 作OC AB ⊥于D ，交弧AB 于C ，∵OC AB ⊥，∴11168cm 22BD AB ==⨯=．由题意可知，4cm CD =．设半径为cm x ，则()4cm OD x =-．在Rt BOD ∆中，由勾股定理得：222OD BD OB +=，∴()22248x x -+=．∴10x =．即这个圆形截面的半径为10cm ．．【答案】（1）略；（2）10cm【例10】 如图所示，在Rt ABC ∆中90C ∠=︒，AC =1BC =，若以C 为圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = ．PCB A MPC BA【考点】垂径定理 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】【解析】过C 作CM PB ⊥于M ，即MP MB =，设为MB x =，Rt ABC ∆中，有AB =ABC BMC ∆∆∽， 得2BC BM AB =⋅∴21∴x =故2AP AB x =-=．【巩固】如图所示，在O ⊙与三角形所组成的图形中，OA OB =，求证AC BD =．D C B A OE DC B A O【考点】垂径定理 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】略【答案】过O 作OE AB ⊥于E因为OA OB =，所以Rt Rt OAE OBE ∆∆≌， 所以AE BE =又根据垂径定理可知CE ED = 所以AE CE BE ED -=- 即AC BD =．【例11】 在半径为1的O ⊙中，弦AB AC 、BAC ∠的度数为________．【考点】垂径定理 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】【解析】此题分两种情况讨论：（1）若AB AC 、在圆心O 的同侧，如图连结OA ，过O 点分别作OD AB OE AC ⊥⊥，，垂足分别为D E 、则AD AE ==， ∴3045OAD OAE ∠=︒∠=︒，， ∴453015BAC DAE ∠=∠=︒-︒=︒． （2）若AB AC 、在圆心O 的异侧，如图 根据圆的对称性，75BAC ∠=︒综上所述，BAC ∠的度数为15︒或75︒．【答案】15︒或75︒【巩固】如图所示，已知O ⊙的直径AB 和弦CD 相交于点E ，6cm AE =，2cm EB =，30BED ∠=︒，求CD的长．B AB A【考点】垂径定理 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】【解析】过O 作OF CD ⊥于F ，连结CO ，∵6cm AE =，2cm EB =，∴8cm AB =，∴14cm 2OA AB ==，2cm OE AE OA =-=，在Rt OCF ∆中，∵30CEA BED ∠=∠=︒∴112OF OE ==．∴CF = 又∵OFCD ⊥∴2CD CF==，故CD 的长为．要充分利用条件30BED ∠=︒，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过直角三角形求得未知量．【答案】【例12】 已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，求弦AB 与CD 间的距离．【考点】垂径定理 【题型】解答 【难度】3星【关键词】【解析】本题有两种情况：（1）AB ，CD 在圆心O 的同侧，当AB ，CD 在圆心O 的同侧时，作OF AB ⊥于F ， 交CD 于E 如右图所示． ∵AB CD ∥，∴OE CD ⊥由垂径定理知：120cm 2AF AB ==，124cm 2CE CD ==．连结OA 与OC ，25cm OA OC ==．∴7cm OE =，15cm OF ∴AB 与CD 之间的距离1578cm EF =-=（2）AB ，CD 在圆心O 的两侧如右图所示，AB 与CD 之间的距离15722cm EF =+=．【答案】8cm 或22cm【巩固】已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD 、是两条平行弦，且86AB CD ==，，求AC 的长． 图(4)图(3)图(2)图(1)【考点】垂径定理 【题型】解答 【难度】4星【关键词】2008年，郴州【解析】此题要分四种情况讨论：不仅要讨论弦AB CD 、在圆心的同、异侧，还要讨论A C 、两点在两弦垂直平分线的同、异侧． 如图，连结半径，作出垂径，求解是不困难的．图⑪中AC ⑫中AC=⑬中AC =⑭中AC=∴AC或【例13】 如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交O ⊙于点D ，点E 在O ⊙上．（1）若52AOD ∠=︒，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．【考点】垂径定理 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2008年，沈阳 【解析】⑪∵OD AB ⊥，∴AD BD =， ∴1262DEB AOD ∠=∠=︒，⑫∵在Rt AOC ∆中，4AC ==，∵OC AB ⊥， ∴28AB AC ==．【答案】⑪26︒；⑫8【巩固】如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC OC BC ，，． （1）求证：ACO BCD ∠=∠．（2）若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．【考点】垂径定理【题型】解答 【难度】3星【关键词】2008年，广东湛江【解析】⑪∵AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于E ，∴CE ED =， CBDB =， ∴BCD BAC ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠， ∴ACO BCD ∠=∠．⑫设O ⊙的半径为r ，则8OE OB EB r =-=-，1122CE CD ==，在Rt CEO ∆中，由勾股定理可得222OC OE CE =+，即()222812r r =-+，解得13r =，∴226r =， ∴O ⊙的直径为26cm ．【答案】⑪略；⑫26cm【例14】 如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．求证：AMN CNM ∠=∠．【考点】垂径定理 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】略【答案】连结OM ON 、∵M N 、分别是弦AB CD 、的中点，∴OM AB ON CD ⊥⊥，∵AB CD =，∴OM ON = ∴AMN CNM ∠=∠．【巩固】如图，O ⊙中，AB 是直径，弦GE EF HF EF ⊥⊥，，GE HF 、交AB 于C D 、．求证：AC BD =．【考点】垂径定理 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】略【答案】过O 点作OM EF ⊥于M 点，∴M 是EF 中点，∵GE EF HF EF ⊥⊥，，∴GE HF ∥， 又OM EF ⊥，∴GE OM HF ∥∥， ∴O 是CD 中点，∵OA OB =，∴AC BD =．【例15】 如图，AE CD ，是O 的两条直径，弦AB CD ⊥，BC DE ，交于点F ，求证：OF AB ∥． OF EDCBA【考点】垂径定理【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略【答案】连接BE ，∵AE 是直径，∴BE AB ⊥． ∵ BC DE =，∴ CBE DEB =，∴C D ∠=∠． 又∵O 为CD 中点，∴OF CO ⊥，∴OF AB ∥．【巩固】当AB CD ，是O 的直径，弦CF AP ∥，BF PD ，相交于点E ，求证：OE PA ∥． OPFEDCB AOP FE DCBA【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，垂径定理【难度】4星 【题型】解答【关键词】【解析】注意使用垂径定理的推论(平行弦所夹的弧相等)以及相等的弧所对的圆周角相等．【答案】连接PB OP ，， ∵PA CF ∥，∴AC PF =， ∵AOC BOD ∠=∠， ∴ BDAC =，∴ PF BD =， ∴PBE BPE ∠=∠，∴BE PE =． 又∵OB OP OE OE ==，， ∴BOE POE ∆∆≌．∴12BOE POE BOP ∠=∠=∠，∵12A BOP ∠=∠，∴BOE A ∠=∠，∴OE PA ∥．【例16】 如图，AB 是O ⊙的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A B ，到MN 的距离分别为12h h ，，则12h h -等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【考点】相似三角形的性质及判定，垂径定理 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，湖北黄石【解析】解法一：设AB MN 、相交于P ，过O 点作OH MN ⊥于H ，连结NO ．由垂径定理114522NH MN NO AB ====，，∴3OH =，∵AF MN BE MN OH MN ⊥⊥⊥，，，∴AF OH BE ∥∥， ∴AF AP BE BP OH OP OH OP ==，，即1233h AP h BPOP OP ==，，∴123h h AP BP OP--= 当P 点在O 点左侧时，AP BP <，()()2AP BP AO OP BO OP OP -=--+=当P 点在O 点右侧时，AP BP >，()()2AP BP AO OP BO OP OP -=+--= ∴126h h -=．解法二：极端假设法⑪当N 点运动到与A 点重合时，10AF h ==，2BEh BM ==， 此时ABM ∆是直角三角形，6BM ，∴126h h -=． ⑫当MN 与AB 垂直时，12AF h AP BE h BP ====，， ∵8MN =，由垂径定理知4MP NP ==，∴3OP =， ∴532538AP BP =-==+=，， ∴126h h -=．【答案】B【巩固】如图，O 的直径15AB cm =，有一条定长为9cm 的动弦CD 在AmB 上滑动（点C 与A ，点D 与点B 不重合），且CE CD ⊥交AB 于E ，DF CD ⊥交AB 于F ． （1）求证：AE BF =．（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDFE 的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．G【考点】垂径定理，梯形的中位线 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略 【答案】（1）作OG CD ⊥交CD 于G ，OE OF =，OA OB =，AE BF =． 四边形CDFE 一定是直角梯形，OG 为其中位线，()219542CDFES CE DF CD OG CD cm =+⋅=⋅==梯形，为定值．【例17】 如图，半径为O ⊙内有互相垂直的两条弦AB CD 、相交于P 点．（1）求证：PA PB PC PD ⋅=⋅；（2）设BC 的中点为F ，连结FP 并延长交AD 于E ，求证：EF AD ⊥；（3）若86AB CD ==，，求OP 的长．【考点】相似三角形的性质及判定，垂径定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，湖北荆门 【解析】略【答案】⑪ ∵DAP BCP APD CPB ∠=∠∠=∠，， ∴APD CPB ∆∆∽，∴AP PDCP PB=， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅．⑫ ∵AB CD ⊥，∴90BPD BPC ∠=∠=︒，∵F 是BC 中点，∴12PF BC BF ==，∴BPF PBF ∠=∠，∵ADC PBC ∠=∠，∴ADP BPF ∠=∠∵90DPE BPF ∠+∠=︒，∴90ADP DPE ∠+∠=︒， ∴90DEP ∠=︒，即EF AD ⊥．⑬ 过O 点作OM AB ON CD ⊥⊥，，垂足分别为M N 、 由垂径定理得43AM CN ==，，∴2OM ON ==，易证得四边形OMPN 是矩形，∴OP【巩固】如图，已知：在O 中，直径4AB =，点E 是OA 上的任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是 BC上一点，连接AF 交CE 于H 连接AC CF BD OD ，，，． （1）求证：ACH AFC △∽△；（2）猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S =△△？并加以说明．FBBF【考点】相似三角形的性质及判定，垂径定理 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】略【答案】（1）∵直径AB CD ⊥，∴AC AD = ∴F ACH ∠=∠又∵CAF FAC ∠=∠ ∴ACH AFC △∽△（2）答： AH AF AE AB ⋅=⋅ 连接FB∵AB 是直径，∴90AFB AEH ∠==︒，又∵EAH FAB ∠=∠ ∴Rt AEH Rt AFB △∽△ ∴AE AH AF AB=∴AH AF AE AB ⋅=⋅ （3）当32OE =（或12AE =）时，:1:4AEC BOD S S =△△∵直径AB CD ⊥∴CE ED =∵1122AEC BOD S AE EC S OB ED=⋅=⋅△△，∴14AEC BOD S AE S OB ==△△ ∵O 的半径为2，∴2124OE -=∴32OE =【例18】 （1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13．（2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是ABC △的面积的13．AAA【考点】垂径定理，旋转类全等问题 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，中山市中考 【解析】略 【答案】（1）如图1，连结OA OC ，，因为点O 是等边三角形ABC 的外心，所以Rt Rt Rt OFC OGC OGA △≌△≌△． 2OFCG OFC OAC S S S ==△△，因为13OAC ABC S S =△△，所以13OFCG ABC S S =△．（2）解法一：连结OA OB ，和OC ，则AOC COB BOA △≌△≌△，12∠=∠ 不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ， 3412054120AOC DOE ∠=∠+∠=∠=∠+∠=°°，， ∴35∠=∠．在OAG △和OCF △中， 1235OA OC ⎧⎪=⎨⎪⎩∠=∠∠=∠，，， 9060OHC OKC C ∠=∠=∠=°°，，∴13OFCG AOC ABC S S S ==△△．解法二：不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ， 作OH BC OK AC ⊥⊥，，垂足分别为H K 、在四边形HOKC 中，9060OHC OKC C ∠=∠=∠=°°，， ∴360909060120HOK ∠=-︒-︒=︒°-? 即12120∠+∠=°．又∵23120GOF ∠=∠+∠=°，∴13∠=∠．∵AC BC =，∴OH OK =，∴OGK OFH ≌△△，∴13OFCG OHCK ABC S S S ==△【例19】 如图，AM 是O ⊙的直径，过O ⊙上一点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，其延长线交O ⊙于点C ，弦CD 交AM 于点E ．⑪ 如果CD AB ⊥，求证：EN NM =；⑫ 如果弦CD 交AB 于点F ，且CD AB =，求证：2CE EF ED =⋅ ．MM【考点】垂径定理，全等三角形的性质及判定，相似三角形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】略【答案】⑪连结MC ，∵AM BC ⊥，∴90ANC ∠=︒，则90C CEN ∠+∠=︒， ∵CD AB ⊥，∴90AFE ∠=︒，则90A AEF ∠+∠=︒， 又AEF CEN ∠=∠，∴A C ∠=∠， ∵A BCM ∠=∠，∴C BCM ∠=∠， ∴CEN CMN ∆∆≌，∴EN NM =．⑫解法一：连结BE 并延长交O ⊙于G ，连结BD ．∵AM BC ⊥，∴ BE CE AB AC ==，， ∴EBC ECB ∠=∠，∴ BDCG =， ∴AD AG =，∴ABE ABD ∠=∠， ∵AB CD =，∴AB CD =，∴ AD BC =， ∴ABD BDC ∠=∠，∴ABE BDC ∠=∠ 又BEF ∠是公共角，∴BEF DEB ∆∆∽， ∴BE EF DE EB=，即2BE EF ED =⋅， ∴2CE EF ED =⋅． 解法二：连结BE BD BM 、、．∵AM 是直径，∴90ABM ∠=︒，即90ABE EBM ∠+∠=︒，又AD DBC ADM +=，且 ADM 是半圆，∴90ABD DCM ∠+∠=︒， ∵AB CD =，∴AB CD =，∴ AD BC =，∴ABD BDC ∠=∠， ∴90BDC DCM ∠+∠=︒∵AM BC ⊥，∴BE CE BM CM ==，，∴EBC ECB MBC MCB ∠=∠∠=∠，， ∴EBC MBC ECB MCB ∠+∠=∠+∠，即EBM ECM ∠=∠， ∴BDC EBF ∠=∠，∴BEF DEB ∆∆∽， ∴BE EF DE EB=，即2BE EF ED =⋅， ∴2CE EF ED =⋅．圆中的相似问题与普通三角形的相似不同，会出现很多”反平行”的基本模型，抓住这一特点，解题思路会很清晰，题目难度也会降低．【例20】 如图，Rt ABC ∆内接于O ⊙，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与O ⊙交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD 与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ． ⑪判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；⑫求证：AE BF =；⑬若(32OG DE ⋅=，求O ⊙的面积．【考点】垂径定理，全等三角形的性质及判定，相似三角形的性质及判定，勾股定理 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，四川成都 【解析】略【答案】⑪ OG CD ⊥ 连结OC OD 、∵OC OD =，G 是CD 的中点， ∴OG CD ⊥．⑫ ∵ABC ∆是直角三角形，且AC BC =， ∴90ACB ∠=︒∵CAD CBF ∠=∠，∴ACE BCF ∆∆≌， ∴AE BF =．⑬ 由⑪可知12COG COD ∠=∠，12CG DG CD ==，∵12EBD COD ∠=∠，∴EBD COG ∠=∠，∵90BDE OGC ∠=∠=︒，∴BDE OGC ∆∆∽，∴DE BDCG OG=，即OG DE BD CG ⋅=⋅， ∵AD 是BAC ∠的平分线，∴CD BD =，∴212BD CG BD⋅=，∵(32OG DE ⋅=，∴(21322BD =，∴(262BD =设O ⊙的半径为r ，∵AB 是O ⊙的直径，∴2AB r =，∵90AC BC ACB =∠=︒，，∴AC BC ==， ∵90BAD CAD ADB ∠=∠∠=︒，，∴ABF ∆是等腰三角形， ∴2AF AB r ==，12DF BD BF ==，∴(2CF AF AC r =-=，∴)((222222242BF BC CFr r ⎡⎤=+=+=⎣⎦，∵12BD BF =，∴2214BD BF =，∴((2262r =，解得26r =， ∴O ⊙的面积为2π6πS r ==．1.如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则 AmB等于．A．60°B．90°C．120°D．150°【考点】垂径定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】C2.如图所示，AB是O的直径，AD DE=，AE与BD交于点C，则图中与BCE∠相等的角有（）BAA．2个B．3个C．4个D．5个【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，垂径定理【难度】2星【题型】选择【关键词】2008年，山东滨州【解析】考察同弧，等弧所对圆周角相等，所以选B．【答案】B3.O⊙的半径为1，AB是O⊙的一条弦，且AB则弦AB所对圆周角的度数为_____________．【考点】圆周角定理，垂径定理【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，山东泰安，分类讨论思想【解析】略【答案】60︒或120︒4.若O⊙中等于120︒的劣弧所对的弦长为O⊙的半径是_______．【考点】垂径定理【题型】填空【难度】1星【关键词】【解析】略课后作业【答案】125. 如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥于D 交O ⊙于E ，则下列说法错误．．的是（ ） A ．AD BD = B ．ACB AOE ∠=∠ C ．AE BE = D ．OD DE =【考点】垂径定理【题型】选择 【难度】1星【关键词】2009年，湖南娄底 【解析】略 【答案】D6.O ⊙的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是__________．【考点】垂径定理 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】 【解析】略 【答案】67. 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，则EF =_________．B【考点】垂径定理 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】【解析】过O 点作OH CD ⊥于H ．由题意得：45OG AG ==，，则3EH =，∵OH EF ⊥，∴12EH EF =，∴6EF =．【答案】6cm8. 如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是AC 的中点，MN AB ⊥于N ，则MN 与AC 的关系是___________．【考点】垂径定理，全等三角形的性质及判定 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】【解析】连结OM ，交AC 于D∵M 是AC 的中点，∴OM AC ⊥，即90ADO ∠=︒，12AD AC =， ∵OA OM AOD MON =∠=∠，，∴AOD MON ∆∆≌， ∴AD MN =，∴12MN AC =．【答案】12MN AC =9. 已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P 是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．【考点】垂径定理，轴对称与线段和差最值问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】【解析】作B 点关于MN 的对称点B ′，连结AB ′与MN 交于点P ，易证得，此时PA PB +取得最小值．根据圆的对称性，B ′点在O ⊙上，且 B N BN =′， ∵A 是半圆的三等分点，∴13AN MAN=，∴60AON ∠=︒， ∵B 是AN 的中点，∴1302BON AON ∠=∠=︒，∴30B ON ∠=︒′， ∴90AOB AON B ON ∠=∠+∠=︒′′， ∵O ⊙半径为1，∴1OA OB ==′，∴AB =′∴PA PB +10.把正ABC ∆的外接圆对折，使点A 落在 BC的中点'A 上，若5BC =，则折痕在ABC ∆内的部分长为（ ）A B ．103C D ．52【考点】垂径定理，等边三角形的性质及判定【题型】选择 【难度】3星 【关键词】 【解析】略 【答案】B11. 如图，O 的半径为5，BC OA OD AB ⊥⊥，，求22OD CD +的值．【考点】垂径定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【题型】解答 【难度】3星 【关键词】【解析】∵OD AB ⊥∴D 为AB 的中点，由Rt ACB ∆知：12CD AB AD ==，在Rt ADO ∆中，22225OD DA OA +==，∴2225OD CD +=【答案】2512. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD AB ∥，且24m CD =，OE CD ⊥于点E ．已测得12sin 13DOE ∠=．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？B【考点】垂径定理，解直角三角形的应用 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，河北【解析】（1）∵OE CD ⊥，∴112m 2DE CD ==，∵12sin 13DE DOE OD ∠==，∴1313m 12OD DE ==．（2）由⑪可知5m OE =，50.510÷=，∴经过10小时才能将水排干．【答案】（1）13m ；（2）1013. 如图，P 为O ⊙外一点，过点P 引两条割线PAB 和PCD ，点M N ，分别是 AB CD，的中点，连结MN 交AB ，CD 与E F ，．求证：PEF ∆为等腰三角形．MM【考点】垂径定理，等腰三角形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】略【答案】连结OM ON ，，分别交AB CD ，于G H ，． ∵M N ，分别是 AB CD，的中点， ∴OM AB ⊥，ON CD ⊥，即90MGE NHF ∠=∠=︒．又∵OM ON =，∴M N ∠=∠，由此得MEG NFH ∠=∠，即PEF PFE ∠=∠， ∴PE PF =，即PEF ∆为等腰三角形．14.如图，AD 是O ⊙的直径．⑪ 如图1，垂直于AD 的两条弦11B C ，22B C 把圆周4等分，则1B ∠的度数是___________，2B ∠的度数是____________；⑫ 如图2，垂直于AD 的三条弦112233B C B C B C 、、把圆周6等分，分别求123B B B ∠∠∠，，的度数；⑬ 如图3，垂直于AD 的n 条弦112233n n B C B C B C B C ，，，…，把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数(只需直接写出答案)．图3图2图1-1n -2B n 3B B 2【考点】垂径定理【难度】3星 【题型】解答【关键词】2009年，浙江衢州【解析】⑪22.567.5︒︒，； ⑫ ∵圆周被6等分，∴ 111223360660B C C C C C ===÷=︒． ∵直径11AD B C ⊥，∴1111302AC B C ==︒，∴()()12311153060453060607522B B B ∠=︒∠=⨯︒+︒=︒∠=⨯︒+︒+︒=︒，，．⑬()()90451136036012222n n B n n n n -︒︒︒⎡⎤∠=⨯+-⋅=⎢⎥⎣⎦(或3604590908nB n n ︒︒∠=︒-=︒-)【答案】（1）22.567.5︒︒，；（2）75︒；（3）() 9045nn-︒15.已知：如图，M是 AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝．（1）求圆心O到弦MN的距离；（2）求∠ACM的度数．ANN【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】（1）连结OM．∵点M是 AB的中点，∴OM AB⊥．过点O作OD MN⊥于点D，由垂径定理，得12MD MN==在Rt ODM∆中，4OM MD==，∴2OD==．故圆心O到弦MN的距离为2cm．（2）cosMDOMDOM∠==，∴3060OMD ACM∠=︒∠=︒，．【答案】（1）2cm；（2）60︒16.如图，在O中，60ACB BDC∠=∠=︒，AC=．（1）求BAC∠的度数；（2）求O的周长．D【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星【关键词】2009年，广州中考【解析】（1）∵BC BC=，∴60BAC BDC∠=∠=︒．（2）∵60BAC ACB∠=∠=︒，∴60ABC∠=︒．∴ABC∆是等边三角形．求⊙O的半径给出以下四种方法：方法1：连结AO并延长交BC于点E(如图1)．∵ABC∆是等边三角形，∴圆心O既是ABC∆的外心又是重心，还是垂心．在Rt AEC ∆中AC =，CE =，∴3cm AE =．∴22cm 3AO AE ==，即O 的半径为2cm ．方法2：连结OC 、OA ，作OE AC ⊥交AC 于点E (如图2)． ∵,,OA OC OE AC =⊥ ∴CE EA =．∴1122AE AC ==⨯．∵2120,AOC ABC OE AC ∠=∠=⊥ ，∴Rt AOE ∆中60AOE ∠= ． 在Rt AOE ∆中，sin AE AOE OA ∠=，∴sin 60AEOA==． ∴2cm OA =，即O 的半径为2cm ．方法3：连结OC 、OA ，作OE AC ⊥交AC 于点E (如图2)． ∵O 是等边三角形ABC 的外心，也是ABC ∆的角平分线的交点，∴30OAE ∠=，1122AE AC ==⨯．在Rt AEO ∆中，cos AEOAE OA∠=，即cos30= ．=． ∴2cm OA =，即O 的半径为2cm ．方法4：连结OC 、OA ，作OE AC ⊥交AC 于点E (如图2)． ∵O 是等边三角形的外心，也是ABC ∆的角平分线的交点，∴30OAE ∠=，1122AE AC ==⨯．在Rt AEO ∆中，设cm OE x =，则2cm OA x =， ∵222AE OE OA +=．∴222(2)x x +=．解得1x =．∴2cm OA =，即O 的半径为2cm ． ∴O 的周长为2r π，即4cm π．【答案】（1）60︒；（2）4cm π17. 如图，AB 是O ⊙的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交 BC于D ． （1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若8BC =，2ED =，求O ⊙的半径．【考点】垂径定理 【题型】解答 【难度】2星【关键词】2007年，枣庄中考 【解析】（1）不同类型的正确结论有：①BE CE =；② BDCD =；③90BED ∠=︒；④BOD A ∠=∠；⑤AC OD ∥，⑥AC BC ⊥；⑦222OE BE OB +=；⑧ABC S BC OE ∆=⋅；⑨BOD ∆是等腰三角形；⑩BOE BAC ∆∆∽等（2）∵OD BC ⊥，∴142BE CE BC ===．设O ⊙的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-． 在Rt OEB ∆中，由勾股定理得222OE BE OB +=，即222(2)4R R -+=，解得5R =．【答案】（1）①BE CE =；② BDCD =；③90BED ∠=︒；④BOD A ∠=∠；⑤AC OD ∥，⑥AC BC ⊥；⑦222OE BE OB +=；⑧ABC S BC OE ∆=⋅；⑨BOD ∆是等腰三角形；⑩BOE BAC ∆∆∽等；（2）518. 圆内接四边形两条对角线互相垂直，则一边的弦心距等于它的对边的一半．AEFOC B DAEFOC BD AG EHFOCBDA【考点】垂径定理，全等三角形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】略【答案】证法一：如图，设四边形ABCD 内接于圆O ，且AC BD ⊥，OF 为AB 之弦心距．作CD 的弦心距OE ，连接OB 、OC ．显然190902OCE EOC DC ∠=︒-∠=︒-的度数．∵AC BD ⊥，∴180AB DC +=︒， ∴ 12m OCE AB ∠=．又 12m BOF AB ∠=，∴OCE BOF ∠=∠．∵OC BO =，∴Rt Rt OCE BOF ∆∆≌．∴CE OF =，即12OF DC =．证法二：如图，作直径AE ，连接BE 、CE ． ∵O 、F 为中点，∴2BE OF =． ∵CE AC ⊥，BD AC ⊥，∴CE BD ∥，∴ BEDC =，∴BE DC =． 即2OF DC =，∴12OF DC =．证法三：如图，设AC 、BD 交于P ，E 为DC 之中点．连接EP 延长垂直AB 于G ．连接FP 延长必垂直DC 于H ．连接OE ．∵OE DC ⊥，FH DC ⊥，∴FH OE ∥，同理EG OF ∥．∴PFOE 为平行四边形，∴OF EP =．而12EP DC =(∵EP 是Rt CDP ∆斜边上的中线)，∴12OF DC =． 19.如图，在O 的内接ABC △中，12AB AC +=，AD BC ⊥于D ，且3AD =，设O 的半径为y ，AB 的长为x ．（1）求y 与x 的函数关系式．（2）当AB 的长为多少时，O 的面积最大？并求出O 最大面积．【考点】圆周角定理，垂径定理 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2006年，兰州市中考题【解析】（1）作直径AE ，连CE ，由ABD AEC △∽△，得AB AE AD AC =，即2312x y x =-，∴2126y x x =-+；（2）当6x =时，y 的最大值为6，O 的最大面积为36π．【答案】（1）2126y x x =-+；（2）36π。
圆复习讲义-经典之作
图5图4图1B AO B A圆复习讲义一、圆的有关概念1、圆：可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合． 2、圆心、半径、直径、弧3、圆心角：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角．4、圆周角：顶点在圆周上，并且角的两边为圆的两条弦的角叫做圆周角． 二、与圆有关的位置关系： 1、点与圆的位置关系：（1）点在圆内⇒d<r ⇒点C 在圆内 （2）点在圆上⇒d=r ⇒点B 在圆上 （3）点在圆外⇒d>r ⇒点A 在圆外2、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相离⇒d>r ⇒无交点 （2）直线与圆相切⇒d=r ⇒有一个交点 （3）直线与圆相交⇒d<r ⇒有两个交点3、圆与圆的位置关系：（1）外离（图1）⇒无交点⇒d>R+r （2）外切（图2）⇒有一个交点⇒d=R+r （3）相交（图3）⇒有两个交点⇒R-r<d<R+r （4）内切（图4）⇒有一个交点⇒d=R-r（5）内含（图5）⇒无交点⇒d<R-r 三、关于圆的定理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧．★推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 23、圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半．即：∵∠AOB 和∠ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴∠AOB=2∠ACB★ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧．即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是弧AB 所对的圆周角 ∴∠C=∠D★推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径． 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径★推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°4、切线的性质与判定定理：（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN ⊥OA 于A 点，且A 点在⊙O 上 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径 ★推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 ★推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心即：过圆心—过切点—垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 四、三角形与圆1．经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的_____________，它的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形的___________________的交点．外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于圆的半径.2．与三角形的三边都_______的圆叫做三角形的________圆，它的圆心叫做三角形的内心；三角形的内心是三角形的三条______________________的交点．内心到三角形三边的距离相等，都等于圆的半径．O D C B A 【热点试题归类】 题型1 圆的有关性质 1．如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D•在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_____．(1) (2) (3) (4)2．如图2，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC 的周长为______．3．如图3，AB 是⊙O 的弦，圆心O 到AB 的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是________． 4．如图4，⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm ．（5） （6） （7） （8）5．我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离．类似地，如图5，若P 是⊙O 外一点，直线PO 交⊙O 于A 、B 两点，PC 切⊙O 于点C ，则点P 到⊙O 的距离是（ ）A ．线段PO 的长度B ．线段PA 的长度C ．线段PB 的长度D ．线段PC 的长度 6．如图6，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（ ） A ．100° B ．110° C ．120° D ．135°7．如图7，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°，则∠DCF 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．20° 8．图8中∠BOD 的度数是（ ）A ．55°B ．110°C ．125°D ．150°题型2 直线与圆的位置关系 1．已知∠ABC=60°，点O 在∠ABC 的平分线上，OB=5cm ，以O 为圆心，3cm 为半径作圆，则⊙O 与BC 的位置关系是________．2．如图1，AB 是⊙O 的切线，OB=2OA ，则∠B 的度数是_______．（1） （2） （3） 3．如图2，已知直线CD 与⊙O 相切于点C ，AB 为直径，若∠BCD=40°，则∠ABC 的大小等于_____． 4．如图3，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，连结PO 交⊙O 于点A ，PA=2，PO=5，则PB 的长为（ ） A ．4 B 10 C ．6 D ．35．如右图，AB 与⊙O 切于点B ，AO=6cm ，AB=4cm ，则⊙O 的半径为（ ） A ．5 B ．5 C ．13 D 13cm 6．如右图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，那么∠P 等于（ ） A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 7．⊙O 的半径为4，圆心O 到直线L 的距离为3， 则直线L 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定8．如图，A 是⊙O 外一点，B 是⊙O 上一点，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，∠C=22．5°，∠A=45°．求证：直线AB 是⊙O 的切线．9．如图，⊙O 的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D 是线段BC 的中点． （1）试判断点D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，求证直线DE 是⊙O 的切线．题型3 圆与圆的位置关系1．已知⊙O 与⊙O 半径的长是方程x 2-7x+12=0的两根，且O 1O 2=0.5，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 （ ）A ．相交B ．内切C ．内含D ．外切2．已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，则两圆的位置关系是 （ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3．若⊙A 和⊙B 相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为 （ ） A ．10cm B ．6cm C ．10cm 或6cm D ．以上都不对题型4 弧长、扇形面积，侧面展开图 1．已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm ，则扇形的弧长为 cm （结果保留 ）． 2．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处 不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A ．6cmB ．35cmC ．8cmD ．53cm3．如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ， 扇形的半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）A ．R=2rB ．R=94rC ．R=3rD ．R=4r剪。
《圆的复习》教学过程和课件
教学过程：一、导入（2分钟）夏天已经来到了我们的身边。
在夏天，有一种花热热闹闹的开放着。
看，这是一朵……？你能在这朵向日葵里找到一种我们熟悉的平面图形吗？正是有了圆，向日葵才如此美丽，难怪古希腊的一位数学家说：“在一切平面图形中，圆是最美的。
”今天，我们就来进行有关圆的知识的整理和复习（板书课题）。
二、梳理1、过渡（2分钟）提问：给你一个圆形纸片，你能想办法找出它的圆心吗？圆心可以用什么字母表示？在圆的有关知识中，我们还用到了哪些字母？2、自主梳理（4分钟）引导：你能利用这几个字母回忆并整理圆的有关知识吗？可以写下来，相关内容分类写在每个字母的后面。
怎样写可以简明扼要、一目了然？学生在本子上整理。
反馈交流（要不要展示学生作业？）3、回顾推导（2分钟）提问：我们是怎样推导出圆的面积计算公式的？出示推导图提问：平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近什么图形？拼成的长方形和原来的圆形具有什么样的联系？说明：我们解决实际问题的时候，经常使用这种转化的策略。
这里，我们是“化圆为方”的。
（板书）三、练习1、判断（2分钟）2、填写表格（4分钟）3、动手操作（4分钟）画出一个直径4厘米的半圆，并且计算出所画半圆的周长和面积。
【示范】4、灵机一动（3分钟）教材108页思考题四、拓展1、羊吃草组题（4分钟）【板书】2、测量并计算一元硬币的面积（6分钟）学生分组操作并计算交流反馈。
说明：这里也可以运用转化的策略，“化曲为直”。
（板书）五、拓展1、周长相等的正方形和圆形，谁的面积大？（3分钟）学生说计算方法。
程序验证。
解决问题：巴依老爷买回一群羊，要阿凡提放入一个边长3.14米的正方形羊圈里去，但太小放不进去，周围又没有可以借用的墙，阿凡提该怎么办？大家帮他想想办法。
2、周长相等3、面积相等4、画出美丽的图形六、小结这节课哪些知识的复习令你印象深刻？课后可以继续尝试画出美丽的图形。
美，无处不在。
只要我们有一颗擅于观察、擅于转化的心，我们就总会被生活中的美所陶醉着。
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永成教育一对一讲义
教师: 学生:日期:星期:时段:课题圆的单元复习
学习重点圆的性质以及切线的证明
学习方法
考点一确定圆的条件
例1[2010·河北] 如图X3－4，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()
A．点P B．点Q C．点R D．点M
考点二垂径定理及其推论
例2如图X3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为() A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
考点三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
例3如图X3－6，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于( ) A．30° B．35° C．40° D．50°
考点四圆心角与圆周角
例4 如图X3－7，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝________°.
考点六圆与圆的位置关系的判别
例6⊙O1的半径为3 cm，⊙O2的半径为5 cm，圆心距O1O2＝2 cm，两圆的位置关系是( ) A．外切B．相交 C．内切 D．内含
考点七计算扇形面积
例7如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为( )
A．π B．1 C．2 D.2
3π
考点八计算弧长
例8如图X3－9，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为________cm(结果保留π)．
考点九圆的切线性质
例9如图X3－10，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D 的切线交BC于E.
(1)求证：DE＝1
2 BC；
(2)若tanC＝
5
2
，DE＝2，求AD的长．
方法技巧
圆的切线性质有很多，可以总结为：与圆相切一直线，只有一个公共点；切点圆心相连接，垂直切线是必然；切线上面取一点，此点圆心相互联；如若垂直圆切线，此点切点零相间(此句指此点与切点之间距离为零)
考点十圆的切线的判定方法
例10如图X3－11，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，
以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.
(1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；
(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．
方法技巧
在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
考点十一圆锥面积问题
例11如图X3－12，已知Rt△ABC的斜边AB＝13 cm，一条直角边AC＝5 cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
课堂练习：
1、在Rt△ABC中，∠A＝30°，直角边AC＝6 cm，以C为圆心，3 cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是________．
2、如图X3－1，直线y＝
3
3
x＋3与x轴、y轴分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为(1,0)，
圆P与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3、如图X3－2，直径分别为CD 、CE 的两个半圆相切于点C ，大半圆M 的弦AB 与小半圆N 相切于点F ，且AB ∥CD ，AB ＝4，设CD 、CE 的长分别为x 、y ，线段ED 的长为z ，则z(x ＋y)＝________.
图X3－2
4、三个半径都为3 cm 的圆两外切，切点分别为D 、E 、F ，则EF 的长为________cm.
5、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为6 cm 、11 cm ，当两圆相切时，其圆心距d 的值为( )
A ．0 cm
B ．5 cm
C ．17 cm
D ． 5 cm 或17 cm
6、两圆的半径分别为R 和r ，圆心距d =3，且R ，r 是方程27100x x -+=的两个根，则这两个圆的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．外切
C ．相交
D ．外离
7、圆内接四边形ABCD ，∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为3:4:6，则∠D 的度数为( )
A 、60
B 、80
C 、100
D 、120
8、CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB =10，CD =6，则BE 的长是（ ）
A ．1或9
B ．9
C ．1
D ．4
9、已知扇形的弧长为π，半径为1，则该扇形的面积为 ．
10、若⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，它们的直径分别为10cm 和8cm ，则圆心距O 1O 2= ．
11、圆锥的高为33cm ，底面圆半径为3cm ，则它的侧面积等于 ．
12、直线l 与⊙O 有两个公共点A ，B ，O 到直线l 的距离为5cm ，AB =24cm ，则⊙O 的半径是 cm ．
13、经过已知⊙O 内的已知点A 作弦，使它以点A 为中点
14、已知甲、乙、丙三条村计划修建一个贮物库，使三条村到贮物库的距离一样，请你帮这三条村设计贮物库
的具体位置
15、如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，
求证：AC 平分∠DAB
16、已知直线y=32
1 x 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，另外有点C （0，2）和点M(m,0)，如果以MC 为半径的⊙M 与直线AB 相切，求经过点A 、B 、M 的抛物线的解析式。
（12分）
丙
乙 甲 O
D C
B A。