微分方程——全微分方程
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第五节 全微分方程
一、全微分方程 二、积分因子法
第十二章
机动
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一、全微分方程
若存在 u ( x, y ) 使 d u ( x, y ) = P ( x, y ) d x + Q ( x, y ) d y 则称 P ( x, y ) d x + Q ( x, y ) d y = 0 ①
− ∫ P ( x ) dx
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则 ① 为全微分方程 求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
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例1. 求解
(5 x 4 + 3x y 2 − y 3 ) d x + (3x 2 y − 3x y 2 + y 2 ) d y = 0 ∂P 2 ∂Q = 6x y − 3y = , 故这是全微分方程. 解: 因为 ∂x ∂y 取 x0 = 0, y0 = 0, 则有
u ( x, y ) = ∫
例2 目录 上页 下页 返回 结束
常用微分倒推公式: 常用微分倒推公式 1) d x ± d y = d ( x ± y )
2) xd y + yd x = d ( x y )
3) xd x + yd y = d (
1 (x2 2
+y ))
2
x −y yd x − xd y yd x − xd y 5) = d( ) 4) = d( ) 2 2 y x y x yd x − xd y x 积分因子不一定唯一 . 6) = d ( ln ) xy y 例如, 对 yd x − xd y = 0 x yd x − xd y 7) = d ( arctan ) 可取 2 2 y x +y
y 将 u = 代入 , 得通解 x 此外, y = 0 也是方程的解.
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解法3 解法 化为线性方程. 原方程变形为
其通解为
即
∫ P ( x ) dx d x + C ] [ ∫ Q( x) e y= e 此外, y = 0 也是方程的解.
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作业
P285 1(2), (4), (7); 4 2(2),
(5);
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备用题 解方程
解法1 解法 积分因子法. 原方程变形为 取积分因子 µ =
1 y2
故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
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解法2 解法 化为齐次方程. 原方程变形为
积分得
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思考: 思考 如何解方程
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 .
二、积分因子法
若存在连续可微函数 µ = µ ( x, y ) ≠ 0 , 使 为全微分方程, 则称 µ ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
x
0
+ ∫ (3 x 2 y − 3x y 2 + y 2 ) d y 5 x dx 0
4
y
Leabharlann Baidu
1 3 3 2 2 3 = x + x y − xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y − xy + y = C 2 3
5
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y
( x, y )
o (x,0) x
8)
xd x + yd y x 2+ y 2
= d(
x2 + y2 )
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例3. 求解 解: 分项组合得 ( y d x + x d y ) + x y ( y d x − x d y ) = 0 2 2 dx d y 即 d ( xy ) + x y ( − ) = 0 y x 1 选择积分因子 µ ( x, y ) = 2 2 , 同乘方程两边 , 得
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例2. 求解
∂P 1 ∂ Q 解: Q = 2 = , ∴ 这是一个全微分方程 . ∂x ∂y x
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x d y − y dx x dx − =0 2 x 1 2 y 1 2 y 即 d ( x ) − d ( ) = 0, 或 d ( x − ) = 0 2 x 2 x 1 2 y 故原方程的通解为 x − = C 2 x
x y
−1 ) + d( ln x ) − d( ln y ) = 0 d( 即 xy 1 −1 x x 因此通解为 + ln = ln C , 即 = C e x y y xy y 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
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d( x y ) d x d y + − =0 2 x y ( x y)
一、全微分方程 二、积分因子法
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一、全微分方程
若存在 u ( x, y ) 使 d u ( x, y ) = P ( x, y ) d x + Q ( x, y ) d y 则称 P ( x, y ) d x + Q ( x, y ) d y = 0 ①
− ∫ P ( x ) dx
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则 ① 为全微分方程 求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
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例1. 求解
(5 x 4 + 3x y 2 − y 3 ) d x + (3x 2 y − 3x y 2 + y 2 ) d y = 0 ∂P 2 ∂Q = 6x y − 3y = , 故这是全微分方程. 解: 因为 ∂x ∂y 取 x0 = 0, y0 = 0, 则有
u ( x, y ) = ∫
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常用微分倒推公式: 常用微分倒推公式 1) d x ± d y = d ( x ± y )
2) xd y + yd x = d ( x y )
3) xd x + yd y = d (
1 (x2 2
+y ))
2
x −y yd x − xd y yd x − xd y 5) = d( ) 4) = d( ) 2 2 y x y x yd x − xd y x 积分因子不一定唯一 . 6) = d ( ln ) xy y 例如, 对 yd x − xd y = 0 x yd x − xd y 7) = d ( arctan ) 可取 2 2 y x +y
y 将 u = 代入 , 得通解 x 此外, y = 0 也是方程的解.
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解法3 解法 化为线性方程. 原方程变形为
其通解为
即
∫ P ( x ) dx d x + C ] [ ∫ Q( x) e y= e 此外, y = 0 也是方程的解.
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P285 1(2), (4), (7); 4 2(2),
(5);
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备用题 解方程
解法1 解法 积分因子法. 原方程变形为 取积分因子 µ =
1 y2
故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
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积分得
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思考: 思考 如何解方程
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 .
二、积分因子法
若存在连续可微函数 µ = µ ( x, y ) ≠ 0 , 使 为全微分方程, 则称 µ ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
x
0
+ ∫ (3 x 2 y − 3x y 2 + y 2 ) d y 5 x dx 0
4
y
Leabharlann Baidu
1 3 3 2 2 3 = x + x y − xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y − xy + y = C 2 3
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y
( x, y )
o (x,0) x
8)
xd x + yd y x 2+ y 2
= d(
x2 + y2 )
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例3. 求解 解: 分项组合得 ( y d x + x d y ) + x y ( y d x − x d y ) = 0 2 2 dx d y 即 d ( xy ) + x y ( − ) = 0 y x 1 选择积分因子 µ ( x, y ) = 2 2 , 同乘方程两边 , 得
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例2. 求解
∂P 1 ∂ Q 解: Q = 2 = , ∴ 这是一个全微分方程 . ∂x ∂y x
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x d y − y dx x dx − =0 2 x 1 2 y 1 2 y 即 d ( x ) − d ( ) = 0, 或 d ( x − ) = 0 2 x 2 x 1 2 y 故原方程的通解为 x − = C 2 x
x y
−1 ) + d( ln x ) − d( ln y ) = 0 d( 即 xy 1 −1 x x 因此通解为 + ln = ln C , 即 = C e x y y xy y 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
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d( x y ) d x d y + − =0 2 x y ( x y)