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高二入学考试数学检测题

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陕西省西安交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

陕西省西安交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

(1)求直线 AC 的方程；
(2)求顶点 C 的坐标与V ABC 的面积.
18．已知函数
f
(x)
=
log 1
2
1- ax x -1
a 的图象关于原点对称，其中
为常数.
（1）求 a 的值；
（2）当 x Î (1, +¥) 时， f (x) + log1 (x -1) < m 恒成立，求实数 m 的取值范围； 2
×
uuur ON
=
-7
，求
k
的值；
(2)过点 E 作倾斜角互补的两条直线分别与圆 O 相交，所得的弦为 AB 和 CD，若
AB = l CD ，求实数 l 的最大值．
试卷第41 页，共33 页
参考答案：
题号 1
2
3
4
5
6
7
答案 C
D
A
D
B
B
B
题号 11
答案 CD
1．C 【分析】由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角.
.
14．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x - 2 y + 4 = 0 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 M
在圆 x2 + ( y - a)2 = 5(a > 0) 上运动．若∠AMB 恒为锐角，则实数 a 的取值范围是
四、解答题
15．已知二次函数 f ( x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) ．
3 4
ö ÷ø
8．直线 l 过点 (2,1) ，且与圆 C： ( x - 2)2 + ( y - 4)2 = 10 相交所形成的长度为整数的弦的条

河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试 数学含答案

河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试 数学含答案

高二数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i 1iz=--+，则z =（）A.22i+ B.22i-- C.2i- D.2i2.已知ABC 的三个顶点分别为()()()1,2,3,1,5,A B C m ，且π2ABC ∠=，则m =（）A.2B.3C.4D.53.若{},,a b c是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A.,,2a b a b +B.,,a a b a c++C.,,a a c c-D.,,2b c a c a b c++++4.已知平面α的一个法向量为()1,2,2n =-，点M 在α外，点N 在α内，且()1,2,1MN =- ，则点M 到平面α的距离d =（）A.1B.2C.3D.25.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65,95,75,70,95,85,92,80，则这组数据的上四分位数（也叫第75百分位数）为（）A.93B.92C.91.5D.93.56.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan B b ==，则2()a c ac+=（）A.6B.4C.3D.27.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（）A.15B.25C.35 D.9208.已知圆锥1A O 在正方体1111ABCD A B C D -内，2AB =，且1AC 垂直于圆锥1AO 的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（）C.2D.3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为真命题的有（）A.若m ∥,n α∥α，则m ∥nB.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C.若,m m n α⊥⊥，则n α⊂或n ∥αD.若m ∥,,m n α相交，则n ∥α10.已知事件,,A B C 两两互斥，若()()()135,,4812P A P A B P A C =⋃=⋃=，则（）A.()12P B C ⋂= B.()18P B =C.()724P B C ⋃=D.()16P C =11.已知厚度不计的容器是由半径为2m ，圆心角为π2的扇形以一条最外边的半径为轴旋转π2得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（）A.棱长为1.1m 的正方体B.底面半径和高均为1.9m 的圆锥C.棱长均为2m 的四面体D.半径为0.75m 的球三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭111111,33ABCD A B C D AB A B -==，体积为13，则该方亭的高是__________.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，()()()4,0,0,0,2,0,0,0,4,A B C D 为AB 的中点，则异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为__________.14.在ABC 中，点D 在BC 边上，2,,BC BAD CAD AB AC AD AB AC AD ∠∠==⋅=⋅+⋅，则ABC 的外接圆的半径为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中休育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()sin cos 1cos sin ,1C B a C B b =->.（1）证明：1cos C b=.（2）若2,a ABC = 的面积为1，求c .17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为60,BAD PA PB PD ∠====，且PE ⊥平面ABCD ，垂足为E .（1）证明：BC ⊥平面PBE .（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（17分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1AB =，点,,E F G 分别在棱111,,BB CC DD 上，且,,,A E F G 四点共面，,BAE DAG ∠α∠β==.（1）若AE AG =，记平面AEFG 与底面ABCD 的交线为l ，证明：BD ∥l .（2）若π4αβ+=，记四边形AEFG 的面积为S ，求S 的最小值.19.（17分）给定平面上一个图形D ，以及图形D 上的点12,,,n P P P ，如果对于D 上任意的点P ，21ni i PP =∑为与P 无关的定值，我们就称12,,,n P P P 为关于图形D 的一组稳定向量基点.（1）已知()()()1231230,0,2,0,0,2,P P P PP P 为图形D ，判断点123,,P P P 是不是关于图形D 的一组稳定向量基点；（2）若图形D 是边长为2的正方形，1234,,,P P P P 是它的4个顶点，P 为该正方形上的动点，求1223341PP P P P P PP ++- 的取值范围；（3）若给定单位圆E 及其内接正2024边形122024,PP P P 为该单位圆上的任意一点，证明122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，并求202421i i PP =∑的值.高二数学考试参考答案1.C 因为1i 1iz=--+，所以2(1i)2i z =-+=-.2.D 因为()()2,1,2,1,BA BC m BA BC =-=-⊥ ，所以()410BA BC m ⋅=-+-=，解得5m =.3.B 因为()22a a b b =+- ，所以,,2a b a b + 共面；{},,a b c 是空间的一个基底，假设,,a a b a c ++ 共面，则存在不全为零的实数,s t ，使得()()a s a b t a c =+++ ，即()a s t a sb tc =+++，则1,0s t s t +===，无解，故,,a a b a c ++不共面；因为()a a c c =-+ ，所以,,a a c c - 共面；因为()()2a b c b c a c ++=+++ ，所以,,2b c a c a b c ++++ 共面.4.A 14213MN n d n ⋅--+===.5.D8名学生的成绩从低到高依次为65,70,75,80,85,92,95,95，且875%6⨯=，故上四分位数为929593.52+=.6.B因为tan B =，所以2π3B =，由余弦定理可得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++=，即2()4a c ac +=，故2()4a c ac+=.7.B 设{i A =第i 次拨号拨对号码},1,2i =.拨号不超过两次就拨对号码可表示为112A A A +，所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为()()()11211214125545P A A A P A P A A +=+=+⨯=.8.C 如图所示，取111111,,,,,AB AD DD D C C B B B 的中点，分别记为M ，,,,,N E F P G ，连接111,,,,,,,B D BD EF FP PG GM MN NE .根据正方体的性质易知六边形MNEFPG 为正六边形，此时1A C 的中点O 为该正六边形的中心，且1A C ⊥平面MNEFPG ，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG 时，该圆锥的底面积最大.设此时圆锥的底面圆半径为r，因为11B D ==，所以1112FP B D ==，所以22r FP ==，圆锥的底面积23ππ2S r ==，圆锥的高1122AO ==，所以圆锥的体积1113π3322V S A O =⋅=⨯=.9.BC 对于A ，若m ∥,n α∥α，则直线,m n 可能相交或平行或异面，故A 错误.对于B ，若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥，故B 正确.对于C ，若,m m n α⊥⊥，则n ∥α或n α⊂，故C 正确.对于D ，若m ∥,,m n α相交，则n ∥α或n 与α相交，故D 错误.10.BCD因为事件,,A B C 两两互斥，所以()()()0P B C P A B P A C ⋂=⋂=⋂=，故A 错误.由()()()()1348P A B P A P B P B ⋃=+=+=，得()18P B =，故B 正确.由()()()()15412P A C P A P C P C ⋃=+=+=，得()16P C =，故D 正确.因为()()()1178624P B C P B P C ⋃=+=+=，所以C 正确.11.AC 设扇形所在圆的半径为R ，对于A ，设正方体的棱长为a ，如图1，则可容纳的最长对角线max 2OA R ===，解得max 1.15 1.1a =≈>，故A 正确.对于C ，如图2，取三段14圆弧的中点,,B C D ，则四面体OBCD 的棱长均为2m ，所以可以容纳，故C 正确.对于B ，如图2，同选项C 的分析，BCD 的外接圆半径为1.93<，所以不可以容纳，故B 错误.对于D ，如图3，4，设球的半径为r ，其中图4是图3按正中间剖开所得的轴截面，可知圆O '与圆O 内切，2O M OO r r r =+=++''10.7320.75r=-≈<，所以不可以容纳，故D错误.12.3设正四棱台的高为h.因为1133AB A B==，所以方亭1111ABCD A B C D-的体积()()221111331333V h S S h=⋅+=⋅+⨯+=下上，解得3h=.13.15依题意可得()()()2,1,0,2,1,0,0,2,4D OD BC==-，则1cos,5BC ODBC ODBC OD⋅==-，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为15.14.233设2BAC∠θ=，因为BAD CAD∠∠=，所以BAD CAD∠∠θ==.由ABC ABD ADCS S S=+，得111sin2sin sin222AB AC AD AB AD ACθθθ⋅=⋅+⋅，即()sin2sinAB AC AD AB AD ACθθ⋅=⋅+⋅，又AB AC AD AB AC AD⋅=⋅+⋅，所以sin2sinθθ=，即2sin cos sinθθθ=，又02πθ<<，所以π2θ<<，所以sin0θ>，则1cos2θ=，所以π3θ=，所以2π23BAC∠θ==，则ABC外接圆的半径232sin3BCRBAC∠===.15.解：（1）由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为100.1100=，则0.10.0110a==，由各组频率之和为1，可知()0.0050.010.02520.005101b+++⨯+⨯=，解得0.03b=.（2）前3组的频率之和为()0.0050.010.03100.450.5,++⨯=<前4组的频率之和为0.450.025100.70.5+⨯=>，所以样本数据的中位数在第4组，设为x，所以()0.45700.0250.5x+-⨯=，解得72x=，估计样本数据的中位数是72分钟.估计平均数是()()45950.05550.1650.375850.2572+⨯+⨯+⨯++⨯=分钟. 16.（1）证明：因为()sin cos 1cos sin C B a C B =-，所以sin cos cos sin cos sin C B C B a C B +=，即()cos sin sin a C B C B =+.根据πB C A +=-，得()sin sin C B A +=，所以cos sin sin a C B A =，由正弦定理得cos ab C a =，所以cos 1b C =，从而1cos C b=.（2）解：由（1）可得1sin C b==.因为ABC 的面积为1，所以1sin 12ab C b b=⋅=，解得22b C ==.又2a =，所以由余弦定理得c ==.17.（1）证明：连接,DE BD ，因为PA PB PD PE ===⊥平面ABCD ，所以EA EB ED ==.又四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠= ，所以ABD 是正三角形，所以30EBD ∠= .由AB BD BC CD ===，得BCD 是正三角形，60DBC ∠= .所以90EBC EBD DBC ∠∠∠=+= ，即BC BE ⊥.由PE ⊥平面ABCD ，可得BC PE ⊥.因为PE BE E ⋂=，所以BC ⊥平面PBE .（2）解：以E 为坐标原点，,EB EP的方向分别为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.因为AB =，所以2,3BE AE PE ====则())()(()(()0,2,0,1,0,2,0,0,0,,,0,2,,B AC P BC BP AC --=-=-=-.设(),,m x y z = 是平面PBC 的一个法向量，由0,0,m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,20,y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取1z =，可得()m =.设直线AC 与平面PBC 所成的角为θ，则sin 6m AC m AC θ⋅=== ，即直线AC 与平面PBC所成角的正弦值为6.18.（1）证明：连接EG ，因为,,90AE AG AB AD ABE ADG ∠∠==== ，所以ABE ADG ≅ ，则BE DG =.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，易知BE ∥DG ，所以四边形BDGE 是平行四边形，从而BD ∥GE .又BD ⊄平面AEFG ，所以BD ∥平面AEFG .又BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AEFG l =，所以BD ∥l .（2）解：易证四边形AEFG 为平行四边形.以A 为坐标原点，AB ，1,AD AA的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.()()1,0,tan ,0,1,tan E G αβ，则()()1,0,tan ,0,1,tan AE AG αβ==，cos AE AG EAG AE AG ∠⋅==，sin S AE AG EAG ∠==S =因为π4αβ+=，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-，整理得tan tan 1tan tan αβαβ+=-.由()tan tan 1tan tan tan ,tan 0,1αβαβαβ+=-∈ ，可得0tan tan 3αβ<- .S =，易知()2f x x =-42x +在(0,3-上单调递减，所以当tan tan 3αβ=-min S =，当且仅当tan tan 1αβ==-时，S .19.解：（1）点()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.理由如下：当P 与()10,0P 重合时，有2221238PP PP PP ++= ，当P 与()22,0P 重合时，有222123128PP PP PP ++=≠ ，故()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.（2）因为12233411414PP P P P P PP PP PP PP ++-=-= ，所以12233414PP P P P P PP PP ++-=，当P 与2P 重合时，4PP取得最大值，当P 与4P 重合时，4PP取得最小值0，所以1223341PP P P P P PP ++-的取值范围为0,⎡⎣.（3）设单位圆E 的圆心为O ，所以()2024202420242222221220241112024||2.i l i i i PP OP OPOP OP OP OP OP OP ====-=++++-⋅∑∑∑因为多边形122024PP P 是正2024边形，所以20242024110,0.i l i i OP OP OP ===⋅=∑∑又1i OP OP == ，所以2024214048i i PP ==∑ ，故122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，且.2024214048l i P ==∑.。

浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题+答案

浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题+答案

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合2{|4}A x x =<，{}|41B x x =−<≤，则A B = （ ▲ ）A.{|2}x x <B.{|21}x x −<≤C.{|41}x x −<≤D.{|42}x x −<< 2．记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ▲ ）A ．1BC ．2D．3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7， 且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ）A ．两人都中靶的概率为0.12B ．两人都不中靶的概率为0.42C ．恰有一人中靶的概率为0.46D ．至少一人中靶的概率为0.74 4．已知向量12a =，b = ，若()()//a b a b λµ++，则（ ▲ ） A. 1λµ= B. 1λµ=− C.1λµ+=− D. 1λµ+= 5．已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= 则“//n m ”是“//n α”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 设函数()f x x x = ，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ▲ ）A ．1,2727B ．1027，C ．()270，D ．()27+∞，7．已知函数()4f x x π=+ 的定义域为[],a b ，值域为，则b a −的取值范围是（ ▲ ） A ．π4π,23B ．π5π,23C ．5π5π,63D ．2π4π,33 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点， 且1A F //平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角1F AD E −−的大小为常数 ②二面角1F D E A −−的大小为常数 ③二面角1F AE D −−的大小为常数A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差 22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A ．极差变大 B ．中位数不变11．四面体ABCD 中,3AC BC AB ===，5BD =，4CD =，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ， 当AD 变化时，则（ ▲ ） A. 当3AD =时，32411S=π B. 当四面体ABCD 体积最大时，28S =π C. S 可以是16π D. S 可以是100π非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数()2()57m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是 ▲ .13．已知1,1x y >>且3log 4log 3y x =，则xxxx 的最小值为 ▲ .14．在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ .四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）．15．已知a R ∈,()(){}|20A x a x a x =++>,102x B xx −=≤ −． (Ⅰ)当0a <时求集合A ；(Ⅱ)若B A ⊆，求a 的取值范围.16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．17．已知函数()sin()cos()sin +632f x x x x πππ=+−++. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位， 得到函数()g x 的图象，若6()5g α=−，且5,612αππ∈−，求cos 2α的值.18．如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD ∠=∠=°，且PB PD ⊥， (Ⅰ)求证：BD PA ⊥；(Ⅱ)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；(Ⅲ)若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．19．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”.设()2816log log f x x x =⋅，()16g x ax m ax =+−.(Ⅰ)判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个交点，求m 的值；(Ⅲ)当1a >时,设()()()hx f x g x =−，已知()h x 在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，证明：1216x x <.命题： 学军中学 温岭中学（审校） 审核：春晖中学2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试卷

湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试卷

湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试卷一、单选题1．已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ，则下列运算结果为U 的是（ ）． A ．M N ⋃ B ．()() U UN M ⋃痧C ．() U M N ⋃ðD ．() U N M ⋃ð2．已知α为锐角，且1cos sin 5αα-=，则下列选项正确的有（ ）A ．ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．4tan 3α=C ．12sin225α=D ．sin co 7s 5αα+=3．下列命题正确的是（ ）A ．若直线//a b ，//a 平面α，则//b 平面αB ．若直线a 与b 异面，则过空间任意一点与a 和b 都平行的平面有且仅有一个C ．三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域D ．已知直线a 与b 异面，不同的两点,P a Q a ∈∈，不同的两点,M b N b ∈∈，则直线PM 与QN 可能相交4．“函数()()12log 3f x ax =-在区间[]1,2上单调递增”的充分必要条件是（ ）A ．()0,a ∈+∞B ．()0,1a ∈C ．30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．30,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦5．2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为31.2mg /cm ，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过30.1mg /cm ，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要（ ）小时？（结果取整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） A ．12B ．8C ．10D ．116．已知M 是ABC V 所在平面内一点，满足3145AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则ABM V 与BCM V 的面积之比为（ ） A ．3B ．4C ．58D ．1257．已知495ln ,log 3log 17,72425b b c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>8．已知函数()21log 2,1,(0(1)4,1a x x f x a x a x ⎧+-≤=>⎨-+>⎩且)1a ≠在R 上为单调函数，若函数()2y f x x =--有两个不同的零点，则实数a 的取值不可能是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．1316二、多选题9．下列命题为假命题的是（ ）A ．在复数集C 中，方程210x x ++=有两个根，分别为12-，12-B ．若三个事件,,A BC 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =C ．若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则1x y z ++=是,,,P A B C 四点共面的充要条件D ．复平面内满足条件i 2z +≤的复数z 所对应的点Z 的集合是以点()0,1为圆心，2为半径的圆10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线y =f x 的两个交点，若π6AB =，则（ ）A ．()0f =B ．函数()f x 的最小正周期为7π12C ．若1291π12x x +=，则()()12f x f x =D ．若12π24x x -=，则()()12f x f x -的最大值大于111．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11111,,,2AC BC B C BC AC B C BC CB AC ⊥⊥⊥===，下列结论中正确的有（ ）A ．平面11BCCB ⊥平面11ACC AB ．直线1AA 与1BC 所成的角的正切值是13C ．三棱锥111C A B C -的外接球的表面积是12πD ．该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍三、填空题12．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，角β满足()cos 0αβ+=，则sin2cos21ββ+的值为.13．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm ，方差为217cm ，女生身高样本均值为160cm ，方差为230cm .则每个女生被抽入到样本的概率均为，所有样本的方差为2cm .14．如图，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上一点，且12CP PC =u u u r u u u u r，M 为平面1BDC 内一动点，则MC +MP 的最小值为.四、解答题15．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为h 米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为2πrad 3．(1)求圆锥筒的容积；(2)在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x 的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时x 的取值．16．已为,,a b c 分别为ABC V 三内角,,A B C 的对边，且cos sin a C C b c =- (1)求A ；(2)若2c =，角B 的平分线BD =ABC V 的面积S ．17．某高校的特殊类型招生面试中有4道题目，获得面试资格的甲同学对一~四题回答正确的概率依次是34，12，23，13．规定按照题号依次作答，并且答对一，二，三，四题分别得1，2，3，6分，答错1题减2分，当累计积分小于2-分面试失败，不少于4分通过面试，假设甲同学回答正确与否相互之间没有影响． (1)求甲同学回答完前3题即通过面试的概率； (2)求甲同学最终通过面试的概率．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，DCP V 是等边三角形，π4DCB PCB ∠∠==，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：//MN 平面PBC ； (2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ； (3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.19．已知()22,f x ax bx x =++∈R .定义点集A 与()y f x =的图象的公共点为A 在()f x 上的截点.(1)若(){}1,,3,,b L x y y x L =-==∈R ∣在()f x 上的截点个数为0.求实数a 的取值范围； (2)若()(){}1,,2,0,2,a S x y y x S ===∈∣在()21f x x +-上的截点为()1,2x 与()2,2x . （i ）求实数b 的取值范围； （ii ）证明：121124x x <+<.。

广东省东莞市东莞中学松山湖学校2024-2025学年高二上学期第一次检测数学试卷(含答案)

广东省东莞市东莞中学松山湖学校2024-2025学年高二上学期第一次检测数学试卷(含答案)

秘密★启用前松山湖学校2024-2025学年高二上学期第一次检测数学试题试卷分值：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．本卷共4页．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．5．考生必须保证答题卡的整洁．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，2．已知直线和互相垂直，则实数（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．设x ，，向量，，，且，，则（ ）A ．B ．C ．5D ．64．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在正四棱台中，，与的交点为M ．设，{,,}a b c b c + c b c- b a b + a b- a b +a b -ca b +a b c ++c1:(3)210l t x y +--=2:(1)20l x t y +-+=t =y ∈R (,2,2)a x = (2,,2)b y = (3,6,3)c =- a c ⊥ //b ca b +=(2,3)A -(3,2)B --(1,1)AB 3,[4,)4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦3(,4],4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1111ABCD A B C D -1123AB A B =AC BD AB a =，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．6．过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经x 轴反射后与圆相切，则（ ）ABC ．2D7．在正方体中，平面经过点B ，D ，平面经过点A ，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（ ）ABC ．D ．8．已知点A 为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆，，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，圆与圆有2条公切线B ．当时，是圆与圆的一条公切线C ．当时，圆与圆相交11A D b = 1A A c = 1B M232323a b c-++ 1334a b c-++1334a b c--+ 1364a b c-++ (2,3)P -2-222:(3)(2)(0)C x y r r -+-=>r =1111ABCD A B C D -αβ1D αβαβ12133470x y +-=(4,0)B (,)P x y 2220x y x ++-=3||||AP BP +6575135215221:1C x y +=2222:(3)(3)(0)C x y r r -+-=>1r =1C 2C 2r =1y =1C 2C 3r =1C 2CD ．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为10．已知点P 在圆上，点，，当最小时，记直线斜率为，当最大时，记直线斜率为，则（ ）A ．B ．C ．三角形的面积小于D ．过点A 和点B 的中点作圆C 的两条切线，则两切点连线的直线方程为11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M ，N 分别是线段，的中点，Q 是线段上的一个动点（含端点D ，C ），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得B ．存在点Q ，使得异面直线与所成的角为C ．三棱锥体积的最大值是D ．当点Q 自D 向C 处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知动直线l 经过点，且向量所在直线与动直线l 垂直，则点到l 所在平面的距离为__________．13．若直线与直线平行，且与，则4r =1C 2C 12y x =-+22:(5)(5)16C x y -+-=(4,0)A (0,2)B PBA ∠PB 1k PBA ∠PB 2k 1279k k =-21k k -=PAB 2310x y +-=ABCDES SA ⊥ABCD ABCD //DE SA 22SA AB DE ===BC SB DC NQ SB⊥NQ SA 60︒Q AMN -23DC QMN (2,3,1)A (1,0,1)n =-(4,3,2)P 1:10l mx y -+=2:620l x y n --=1l 2l m n -=__________．14．圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的．一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x 、y 无关，则实数a 的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）已知三个顶点的坐标分别为、、，求：（1）边上的中线所在直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程；（3）的平分线所在直线的方程．16．（本小题共15分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知．（1）求B ；（2）若，M 是中点，，求的面积．17．（本小题共15分）已知圆E 经过点，，从下列3个条件选取一个__________①过点；②圆E 恒被直线平分；③与y 轴相切．（1）求圆E 的方程；（2）已知线段的端点Q 的坐标是，端点P 在圆E 上运动，求线段的中点M 的轨迹方程．18．（本小题共17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，（1）求证：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．(3,2)(,)P x y |34||634|x y a x y +++--ABC △(2,4)A (1,1)B -(9,3)C -BC BC BAC ∠ABC △2222sin sin c Ca cb A=+-b =BC AM =ABC △(0,0)A (1,1)B (2,0)C 0()mx y m m --=∈R PQ (4,3)PQ P ABCD -PAD ⊥ABCD PA PD ⊥AB AD ⊥PA PD =1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD（3）在棱上是否存在点M ，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题共17分）如图，已知满足条件（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面对应的点的轨迹为圆C（圆心为C ），设复平面上的复数（x ，）对应的点为，定直线m 的方程为，过的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦中点．（1）当l 的一般式方程；（2）设，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由．松山湖学校2024-2025学年高二上学期第一次检测数学试题参考答案题号12345678910答案C CDBDDCDBDABC题号11答案ACD11．ACD 【详解】以A 为坐标原点，，，正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，；PA //BM PCD AMAP|3i i z --xOy xOy i z x y =+y ∈R (,)x y 360x y ++=(1,0)A -PQ ||PQ =t AM AN =⋅AB AD AS(0,0,0)A (2,0,0)B (2,2,0)C (0,2,0)D (0,2,1)E (0,0,2)S (1,0,1)N (2,1,0)M对于A ，假设存在点，使得，则，又，所以，解得，即点Q 与D 重合时，，A正确；对于B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，，所以，方程无解；所以不存在点Q ，B 错误；对于C ，连接，，，设，因为，所以当，即点Q 与点D 重合时，取得最大值2；又点N 到平面的距离，所以，C 正确；对于D ，由上分析知：，，若是面的法向量，则，令，则，因为，设直线与平面所成的角为，，所以，当点Q 自D 向C 处运动时，m 的值由0到2变大，此时也逐渐增大，因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D 正确．故选：ACD ．(,2,0)(02)Q m m ≤≤NQ SB ⊥(1,2,1)NQ m =--(2,0,2)SB =- 2(1)20NQ SB m ⋅=-+=0m =NQ SB ⊥(,2,0)(02)Q m m ≤≤NQ SA 60︒(1,2,1)NQ m =-- (0,0,2)SA =- 1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA ⋅===⋅ AQ AM AN (02)DQ m m =≤≤22AMQ ABCD ABM QCM ADQ mSS S S S =---=-Y △△△△0m =AMQ S △AMQ 112d SA ==()()max max 122133Q AMN N AMQ V V --==⨯⨯=(1,2,1)NQ m =-- (1,1,1)NM =-(,,)m x y z = NMQ (1)20m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1x =(1,2,3)m m m =--(2,0,0)DC = DC QMN θπ0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin DC n DC n θ⋅===⋅ sin θsin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦θ12【详解】，由点到平面的距离公式．13．15或14．]15．（1）（2）（3）16．（1）（2）17．（1）（2）18．【详解】（1）平面平面，且平面平面，且，平面，平面，平面，，又，且，，平面，平面；（2）取中点为O ，连接，，又，，则，，，则，以O 为坐标原点，分别以，，所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，，设为平面的一个法向量，则由，得，(2,0,1)PA =-- PA n d n ⋅====5-(,27-∞-52180x y +-=5220x y --=2x =π3B=S =2220x y x +-=22335304x y x y +--+= PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =AB AD ⊥AB ⊂ABCD AB ∴⊥PAD PD ⊂ PAD AB PD ∴⊥PD PA ⊥PA AB A = PA AB ⊂PAB PD ∴⊥PAB AD CO PO PA PD = PO AD ∴⊥1AO PO ==CD AC == CO AD ∴⊥2CO ===OC OA OPO xyz -(0,0,1)P (1,1,0)B (0,1,0)D -(2,0,0)C (1,1,1)PB =- (0,1,1)PD =-- (2,0,1)PC =- (2,1,0)CD =--(,,)n x y z = PCD 0n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020y z x z --=⎧⎨-=⎩令，则．设与平面的夹角为，则；（3）假设在棱上存在点M 点，使得平面．设，，由（2）知，，，，则，，，由（2）知平面的一个法向量．若平面，则，解得，又平面，故在棱上存在点M 点，使得平面，此时．19．（1）或（2）是，1z =1,1,12n ⎛⎫=-⎪⎝⎭PB PCD θsin cos ,n θ=PA //BM PC D AM AP λ=[0,1]λ∈(0,1,0)A (1,1,0)B (0,0,1)P (0,1,1)AP =- (1,0,0)BA =-(1,0,0)(0,,)(1,,)BM BA AM BA AP λλλλλ=+=+=-+-=--PC D 1,1,12n ⎛⎫=-⎪⎝⎭//BM PC D 112022BM n λλλ⋅=-++=-= 14λ=BM ⊂/PC D PA //BM PC D 14AM AP =10x +=4340x y -+=5t =-。

浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题参考答案

浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题参考答案

2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(答案)

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(答案)

长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z 34A x x x =∈+<，{}1,2,5B =-，则A B 中元素的个数为（）A.1B.4C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据并集的定义，即可求解.【详解】因为{}()(){}{}{}2Z 34Z 140Z 413,2,1,0A x x x x x x x x =∈+<=∈-+<=∈-<<=---，{}1,2,5B =-，所以{}3,2,1,0,2,5A B =--- ，有6个元素.故选：C.2.命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是（）A.x ∀∈Q ，2tan x ∉QB.x ∀∈Q ，2tan x ∈QC.x ∃∈Q ，2tan x ∈QD.x ∀∉Q ，2tan x ∈Q【答案】A 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得否定命题.【详解】命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是x ∀∈Q ，2tan x ∉Q .故选：A.3.已知i 是虚数单位，则复数12i1i--的虚部是（）A.12-B.12C.32-D.32【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算得出结果.【详解】()()()()12i 1i 12i 3i 31i 1i 1i 1i 222-+--===---+，所以复数12i1i --的虚部为12-，故选：A.4.函数()ln e exxx f x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的定义域，排除CD 选项，再由函数()f x 的为偶函数，排除A 选项，即可求解.【详解】由函数()ln e exxx f x -=+，可得其定义域为{}0x x ≠，可排除C 、D 选项，又由()()ln ln e ee exxxxx x f x f x ----===++，所以函数()f x 为偶函数，排除A 选项.故选：B.5.已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，则13x y+的最小值是（）A.8B.12C.16D.10+【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得.【详解】解：lg 2lg8lg 2x y +=()lg 28lg 2x y ∴⋅=322x y +∴=31x y ∴+=0x >，0y >()1313333101016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当14x y ==时取等号.故选：C【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题.6.已知随机事件A ，B ，C 中，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.3P A =，()0.6P C =，则()P A B = （）A.0.4B.0.58C.0.7D.0.72【答案】B 【解析】【分析】由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 可知只需求出()(),P B P AB 即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解.【详解】()1()0.4P B P C =-=，()()()0.30.40.12P AB P A P B ==⨯=，所以()()()()0.30.40.120.58P A B P A P B P AB =+-=+-= .故选：B.7.甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.【详解】甲乙丙丁甲得奖乙得奖丙没得奖丁没得奖由上表知：若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.故选：D8.设5log 2a =，0.60.5b =，0.50.6c =，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.b a c>> D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性分别求出12a <，12b >，即可判断出b a >，再利用作差法比较,c b 的大小关系即可求解．【详解】解：551log 2log 2a =<=，10.620.150.5b ==>，b a ∴>，350.610.52b ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，120.530.65c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，10351011264b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥∴==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，101210324353125c ⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，10102431124270312564200000c b -=-=> ，c b ∴>，c b a ∴>>，故选：A ．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象B.直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴C.()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】CD 【解析】【分析】利用正弦函数的性质来研究正弦型函数的性质即可.【详解】对于A ，由()f x 的图象向左平移π6个单位得：ππππsin 2=sin 26362f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭不相同，故A 错误；对于B ，将π3x =代入得：πππ5πsin 2=sin 3366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时既不是最高点，也不是最低点，所以直线π3x =不是()f x 图象的一条对称轴，故B 错误；对于C ，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由于sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而2π7ππ3π,,3622⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；对于D ，将5π12x =代入得：5π5ππsin 2=sinπ012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时是函数零点，所以()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确；故选：CD ．10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s ．记样本平均数为ω，样本方差为2s ，2222212[()][()]m n s s x s y m n m nωω=+-++-++．A.男生样本容量为50 B.每个女生被抽到的概率110C.抽取的样本的均值为165D.抽取的样本的方差为43【答案】ABD 【解析】【分析】根据抽样比即可求解人数判断A ，根据概率公式即可求解B ，根据平均数以及方差的计算公式即可求解CD.【详解】对于A ，男生被抽的人数为5009050900⨯=，故A 正确，对于B ，每个女生被抽到的概率为40090190040010⨯=，故B 正确，对于C166=，故C 错误，对于D ，样本的方差为22254[19(170166)][28(161166)]4399s =+-++-=，故D 正确，故选：ABD11.如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为4，M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界），点P 在棱CC '上，且||1PC '=，则下列结论正确的有（）A.沿正方体的表面从点A 到点PB.保持PM 与BD '垂直时，点M的运动轨迹长度为C.若保持||PM =，则点M 的运动轨迹长度4π3D.平面AD P '截正方体ABCD A B C D -''''所得截面为等腰梯形【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面展开即可判断A ；过P 做平面//PEF 平面ACB '，即可判断B ；根据点M 的轨迹是圆弧，即可判断C ；作出正方体ABCD A B C D -''''被平面AD P '所截的截面即可判断D ．【详解】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则AP ==<A 错误；对于B ，如图：DD ' 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DD AC '⊥，又AC BD ⊥，DD BD D '= ，DD '，BD ⊂平面DD B '，AC ∴⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B ',AC BD '∴⊥，同理可得BD AB ''⊥，AC AC A '= ，AC ，AB '⊂平面ACB '．BD '∴⊥平面ACB '．∴过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，由//AB C D ''，可得//PG AB '，PG ⊂/平面ACB '，AB '⊂平面ACB '，//PG ∴平面ACB '，同理可得//GF平面ACB '，,,PG GF G PG GF ⋂=⊂平面PGF ，则平面//PGF 平面ACB '．设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，由点P 在棱CC '上，且||1PC '=，可得||||1DG DF ==，//EF B C'∴34EF AD ==，故B 正确；对于C ，如图：若||PM =，则M 在以P 为球心，为半径的球面上，过点P 作PQ ⊥平面ADD A ''，则||1D Q '=，此时||2QM =．∴点M 在以Q 为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．点M 的运动轨迹长度2π4π×2=33，故C 正确；对于D ，如图：延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，∴平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '．~PCH D DH ' ，∴||||||3||||||4PH PC HC D H DD DH ===''，~ICH ADH ，∴||||||3||||||4CI HC IH DA DH AH ===，∴||||||3||||||4PH IH PI D H AH AD ===''，//PI AD '∴，且||||PI AD '≠，∴截面AIPD '为梯形，||||AI PD '===，∴截面AIPD '为等腰梯形，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，若a b a b ⋅=-⋅ ，则m 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，得到向量,a b的夹角为πθ=，设(0)b a λλ=< ，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.【详解】设向量,a b的夹角为θ，因为a b a b ⋅=-⋅ ，可得cos 1θ=-，因为[0,π]θ∈，所以πθ=，即向量a 与向量b反向，又因为向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，设(0)b a λλ=< ，可得)((,13),1m m m λ-+=，可得3m m m λλλ=⎧⎨+=-⎩且0λ<解得1,1m λ=-=-.故答案为：1-.13.如图60°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB ，6AC BD ==，8AB =，则CD =__________．【答案】10【解析】【分析】过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，先证明BDE V 为等边三角形，从而得到DE ，再证明CE DE ⊥，进而利用勾股定理即可求解．【详解】如图，过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，则60DBE ∠=︒，又6BD BE ==，所以BDE V 为等边三角形，所以6DE =，则四边形ABEC 为矩形，即CE AB =，由AC AB ⊥，则EB AB ⊥，又BD AB ⊥，且BD EB B = ，所以AB ⊥平面BDE ，所以CE ⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，所以CE DE ⊥，则由勾股定理得10CD ==．故答案为：10．14.若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t ，其中*N t ∈，则t 的一个取值可以为______．【答案】25（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角形的三边关系即可求解范围，进而根据*N t ∈求解.【详解】如图所示的三棱锥中，5,21,23,29,8AB AC BC BD CD =====,在,ABC BCD 中，三边关系符合三角形的边角关系，设AD t =，则1329AC CD AD AC CD AD -<<+⇒<<且2434BD AC AD BD AC AD -<<+⇒<<，因此2429AD <<，由于*N t ∈，故可取25t =，故答案为：25（答案不唯一）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设锐角ABC V 的内角、、A B C 的对边分别为,2sin a b c c A =,,，（1）求角C ；（2）若边7c =，面积为，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3；（2）20.【解析】【分析】（1）由正弦定理得到sin 2C =，求出π3C =；（2）由三角形面积得到40ab =，根据余弦定理得到13a b +=，从而得到周长.【小问1详解】由2sin c A 及正弦定理，得2sin sin C A A =，又π02A <<，得sin 0A >，所以3sin 2C =，又C 为锐角，所以π3C =；【小问2详解】由（1）得13sin 24ABC S ab C ab ===△40ab =，由余弦定理，得()()222222cos 22cos 3c a b ab C a b ab ab C a b ab =+-=+--=+-，所以()223169a b c ab +=+=，所以13a b +=，所以ABC V 的周长为13720l a b c =++=+=．16.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[)160,164，第2组[)164,168，…，第6组[)180,184，得到如下频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；（2）求这50名男生中身高在176cm 以上（含176cm ）的人数；（3）从这50名男生身高在176cm 以上（含176cm ）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率．【答案】（1）0.05；169.5（2）6（3）815【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解a 的值，再结合百分位数的定义即可求解结果；（2）根据图表先求出相应的频率，再求出频数即可；（3）根据图表先求出相应区间的人数，再根据古典概型求解概率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，()0.010.020.020.080.0741a +++++⨯=，解得0.05a =.因为()0.050.0740.48+⨯=，0.0840.32⨯=，所以第60百分位数落在[)168,172区间内，设第60百分位数为x ，则()1680.080.12x -⨯=，解得169.5x =，即第60百分位数为169.5.【小问2详解】由图知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数频率为0.0340.12⨯=，则身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为500.126⨯=.【小问3详解】由（2）知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为6，则身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为1623⨯=，男生中身高在[)176,180内的人数为4，令身高在[)176,180内编号为1,2,3,4，身高在[)180,184内编号为5,6，则样本空间为()()()()(){()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()}3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，所以该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率为815.17.如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，点E ，F 分别为棱BC ，PD 的中点，Q 是线段PC 上的一点．（1）若Q 是直线PC 与平面AEF 的交点，试确定PQ PC 的值；（2）若三棱锥C EQA -的体积为6，求直线AQ 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）23（2）14【解析】【分析】（1）根据线线平行可得平面BNMK //平面AEF ,即可根据中点关系，结合面面平行的性质，即可求解AQH ∠的余弦值，根据AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角即可求解.（2）根据体积公式可得Q 是PC 中点，进而根据线线垂直证明PD ⊥平面AEF ，即可根据三角形的边角关系，以及余弦定理求解【小问1详解】取PA 中点为K ，取PF 中点M ，过M 作//MN PQ ,连接BN ，由于1//,,2KF AD KF AD =且1//,2BE AD BE AD =，故//,KF BE BE KF =,故四边形BEFK 为平行四边形，故//BK EF ，BK ⊄平面AEF ,EF ⊂平面AEF ,故//BK 平面AEF又//KM AF ,KM ⊄平面AEF ,AF ⊂平面AEF ,故//KM 平面AEF ,,,KM BK K KM BK ⋂=⊂平面BNMK ，故平面BNMK //平面AEF ,由于平面PBC 与平面BNMK 相交于BN ,于平面AEF 相交于EQ ，故//EQ BN ，又//MN PQ ，M 是PF 的中点，N 是BC 的中点，所以,NQ QC NQ PN ==,故Q 是PC 靠近于C 处的三等分点，故23PQ PC =【小问2详解】由于三棱锥C EQA -36，由于60,2ABC AB BC ∠=︒==,故ABC V 为等边三角形，故,3,AE BC AE ⊥=则11111331332326C EQA Q ECA ACE Q Q Q V V S h AE EC h h --===⨯⋅⋅=⨯⨯⋅= ,故1Q h =，即Q 到平面ABCD 的距离为1，由于2PA =,故Q 是PC 中点，由于PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,故PA AE ⊥,又,//AE BC AD BC ⊥,则AE AD ⊥，,,PA AD A PA AD ⋂=⊂平面PAD ，故AE ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故AE PD ⊥,又,PA AD F =为中点，故AF PD ⊥,,,AF AE A AF AE ⋂=⊂平面AEF ，故PD ⊥平面AEF ，取CD 的中点H ，连接HQ ,则//HQ PD ,故HQ ⊥平面AEF ，22221111222,2222222AQ PC QH PD ==+===+=,223AH AD DH =-=,则2222231cos 24222AQ QH AH AQH AQ QH +-+-∠===⋅⨯⨯,由于AQH ∠为锐角，且AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角，因此AQ 与平面AEF 所成角的正弦值为1418.已知函数()sin cos f x a x b x =+，称非零向量(),p a b = 为()f x 的“特征向量”，()f x 为p 的“特征函数”．（1）设函数()ππ2sin cos 36h x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的“特征向量”；（2）若函数()f x 的“特征向量”为(3p = ，求当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；（3）若)3,1p = 的“特征函数”为()f x ，11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦且方程()()()2230f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（2433-（3）(]()1,34,5 ．【解析】【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可；（2）由已知可得π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可求解；（3）由定义得()f x 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程()()()2230f x a f x a +-+-=得()1f x =或()3f x a =-且31a -≠，()1f x =求得两根，然后作出函数()f x ，11π[0,]6x ∈的图象，由图象可得()3f x a =-且31a -≠有两根的的范围．【小问1详解】因为()3131312cos sin cos sin cos sin 222222h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ℎ的“特征向量”为13,22p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意知()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由()85f x =得π82sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【小问3详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ,2π66x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．由()()()2230f x a f x a +-+-=得()()()()()130f x f x a ---=，所以()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0x =或2π3x =，即()1f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个根，因为方程()()()2230f x a f x a +-+-=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在4个不相等的实数根，所以当且仅当()3f x a =-且31a -≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线3y a =-，因为方程()()34f x a a =-≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即当且仅当函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线()34y a a =-≠有两个公共点，由图像可知：230a -<-≤或132a <-<，解得13a <£或45a <<，所以实数G 的取值范围是(]()1,34,5⋃．个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题.19.在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(,,)u a b c = ，点0000(,,)P x y z ．若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为000()()()0a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1α：210x y --=，平面1β：3210y z -+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的一个方向向量；（2）已知集合{(,,)|||1,||1,||1}P x y z x y z =≤≤≤，{(,,)|||||||2}Q x y z x y z =++≤，{(,,)|||||2,||||2,||||2}T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤．记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积为2V ，集合T 中所有点构成的几何体为W ．（ⅰ）求1V 和2V 的值；（ⅱ）求几何体W 的体积3V 和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．【答案】（1）()1,2,3（2）（ⅰ）1323V =；2203V =；（ⅱ）316V =，12-【解析】【分析】（1）根据直线l 满足方程，对y 进行合理取值两次，求出,x z 即可求解；（2）（ⅰ）根据分析得到P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，然后用割补法求解体积即可；（ⅱ）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可．【小问1详解】直线l 是两个平面210x y --=与3210y z -+=的交线，所以直线l 上的点满足2103210x y y z --=⎧⎨-+=⎩，不妨设1y =，则1,2x z ==，不妨设3y =，则2,5x z ==，∴直线l 的一个方向向量为：()()21,31,521,2,3---=；【小问2详解】（ⅰ）记集合Q ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积分别为1V ，2V ，考虑集合Q 的子集{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，即为三个坐标平面与2x y z ++=转成的四面体，四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，此四面体的体积为1142(22)323Q V '=⨯⨯⨯⨯=，由对称性知13283Q V V '==，考虑到P 的子集P '构成的几何体为棱长为1的正方体，即{(,,)|01,01,01}P x y z x y z '=≤≤≤≤≤≤，{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，P Q ''∴ 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，P '的体积1111P V '=⨯⨯=，三棱锥4123Q Q Q Q -的体积为41231111(11)326Q Q Q Q V -=⨯⨯⨯⨯=，P Q ''∴ 的体积为412315166P Q P Q Q Q Q V V V '''-=-=-= ，∴由对称性知22083P Q V V ''== ．（ⅱ）①记集合T 中所有点构成的几何体为W，如图，其中，正方体ABCD LIJM -即为集合P 所构成的区域，E ABCD -构成了一个正四棱锥，其中E 到面ABCD 的距离为2，1412233E ABCD V -=⨯⨯⨯=，W ∴的体积34686163P E ABCD V V V -=+=+⨯=．②由题意面EBC 的方程为20x z +-=，由题干定义知其法向量为1(1,0,1)n = ，面ECD 方程为20y z +-=，由题干定义知其法向量为2(0,1,1)n = ，1212121cos ,2||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅ ，由图知两个相邻面所成的角为钝角，∴所成二面角的余弦值为：12-．【点睛】方法点睛：关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决．。

高二数学上学期入学考试试题 2(共11页)

高二数学上学期入学考试试题 2(共11页)

2021-2021学年秋季(qi ūj ì)高二入学〔分班〕考试数学试题全卷满分是150分，考试用时120分钟第I 卷〔选择题 60分〕一、选择题〔本大题有12小题，每一小题5分，一共60分。

〕 1.是偶函数，且，那么〔2.如图是某个集合体的三视图，那么这个几何体的外表积是〔 〕A. B. C.D.在直线 上运动，，，那么的最小值是〔 〕 A.B.4.假设对圆上任意一点，的取值与无关，那么实数的取值范围是( ) A.B.C. 4a ≤-或者D. 6a ≥5..如图，在三棱锥V-ABC 中，VO ⊥平面ABC ，O∈CD，VA=VB ，AD=BD ，那么以下结论中不一定成立的是 ( )A. AC=BCB. VC⊥VDC. AB⊥VCD. S△VCD·AB=S△ABC·VO6.向量(xiàngliàng)满足，，,p q的夹角为，如图，假设，，，那么为〔〕A. B. C. D.7.等差数列{}的首项为1，公差不为0．假设成等比数列，那么{}前6项的和为〔〕A. ﹣24B. ﹣3C. 3D. 88.设函数满足对任意的，都有，且，那么〔〕A. 2021B. 2017C. 4032D. 40349.函数的图像的一条对称轴为〔〕A. B. C. D.10.如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点作x轴的垂线，垂足为．记线段的长为，那么函数的图象大致是〔 〕A B.C. D.11.假设直角坐标平面(píngmiàn)内的两个不同点 、 满足条件：① 、 都在函数的图像上；② 、 关于原点对称，那么称点对 是函数的一对“友好点对〞〔注：点对与看作同一对“友好点对〞〕．函数,那么此函数的“友好点对〞有〔 〕对．B.1C.212.将函数f (x )＝sin2x sin＋cos 2x cos3π－12sin(＋3π)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，那么函数g (x )在[0， 4π]上的最大值和最小值分别为 ( ) A.12，－ 12 B. ，－ 14 C. 12，－ 14 D. 14， 12第II 卷〔非选择题 90分〕二、填空题〔本大题有4小题，每一小(y ī xi ǎo)题5分，一共20分。

福建省高二上学期入学考试数学试题(解析版)

福建省高二上学期入学考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则“”是“”的（ ） {}012M =,,{}1,0,1,2N =-a M ∈a N ∈A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分、必要条件定义即可得出答案.【详解】因为,所以“” “”，但“”推不出“”， M N ⊆a M ∈⇒a N ∈a N ∈a M ∈所以“”是“”的充分不必要条件. a M ∈a N ∈故选：A.2．已知，，则的值为（ ）πsin 2sin 2αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan αA B C ．D ．【答案】B【分析】利用倍角的正弦公式和诱导公式化简可得，再求． 1sin 2α=tan α【详解】∵，则πsin 22sin cos ,sin cos 2ααααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2sin cos cos ααα=又∵，则π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α≠∴，即，则1sin 2α=π6α=tan α=故选：B ．3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复()2i i z a =+数”，则实数的值为（ ） a A ． B ．C ．2D ．1-0-2【答案】D【分析】化简复数，再由“等部复数”的定义即可求出答案.【详解】化简复数，因为“等部复数”的实部和虚部相等， ()2i i=2i z a a =+-复数为“等部复数”，所以，所以. z 2a -=2a =-故选：D.4．高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，，则（ ） 8,5,8,7,8,6,97,7,5A ．该组数据的平均数为7，众数为 7.5B ．该组数据的第60百分位数为6C ．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小D ．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 【答案】C【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数、众数、中位数、方差的定义计算可得； 【详解】解：这组数据从小到大排列为、、、、、、、、、， 5567778889故平均数为，众数为和，中位数为，故A 错误； ()152673839710⨯++⨯+⨯+=787方差为， ()()()()2222157******** 1.610⎡⎤-⨯+-+-⨯+-=⎣⎦因为，所以第60百分位数为，故B 错误； 1060%6⨯=787.52+=如果再增加一位评委给该班也打分，则平均分不变也为， 77此时的方差为，故C 正确； ()()()()22221165726787397 1.61111⎡⎤-⨯+-+-⨯+-=<⎣⎦对于D ：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故D 错误； 故选：C5．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD 为正方形，底面ABCD ，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，//EF） 12,2EF AB AE ===A B ． C D ．32π【答案】A【分析】根据给定条件，求出点E 到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结ABCD 合球面的性质求解作答.【详解】取AD ，BC 中点N ，M ，正方形中心O ，EF 中点，连接，如ABCD 2O 2,,,EN MN FM OO 图，依题意，平面，，点O 是MN 的中点，， 2OO ⊥ABCD ////EF AB MN 4MN AB ==等腰中，，，同理AED △AD EN⊥EN ==FM =因此，等腰梯形的高 EFMN 2OO =刍甍的外接球球心在直线上，连，正方形外接圆半径1O 2OO 11,,O E O A OA ABCD OA =则有，而， 222112221221O A OA OO O E O E O O ⎧=+⎨=+⎩1121,12O A O E O E EF ===当点在线段的延长线（含点O ）时，视为非负数，若点在线段（不含点O ）1O 2O O 1OO 1O 2O O 上，视为负数，1OO 即有，即，解得，21211O O O O OO OO =+=222111)OO OO +=+10OO =因此刍甍的外接球球心为O ，半径为 OA =所以刍甍的外接球的体积为. 34π3⨯=故选：A【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.6．在锐角三角形中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对应边，设A ＝2C ，则的取值范围是2cc b+（ ）A ．B ．C ．D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解【详解】由正弦定理可得()22sin 2sin 2sin sin sin sin sin sin sin c C C Cc b C B C B C A C ===+++++()2sin 2sin sin sin 2sin sin 2cos cos 2sin C CC C C C C C C C ==++++()222sin sin 2sin cos 2cos 1sin CC C C C C=++-()22222214cos 2cos 12cos 2cos 1C CC C ===++-又因为三角形是锐角三角形，所以，即，也即, π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩()π022π0π2π02C A C C ⎧<<⎪⎪⎪<-+<⎨⎪⎪<<⎪⎩π04ππ63π02C C C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩所以， ππ64C <<，， cos C <213cos 24C <<2312cos 2C <<， 221132cos C <<所以的取值范围是， 2c c b +2,13⎛⎫⎪⎝⎭故选：A7．已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，()cos 2(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭2π()f x 6π再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论不正确的是()g x （ ） A ．B ．的图象关于点对称(0)0g =()g x ,02π⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象关于对称D ．在上的最大值是1 ()g x 4x π=-()g x ,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】首先根据函数的周期和图象变换得到，再依次判断选项即可. ()sin 2g x x =-【详解】因为，所以，.222T ππω==2ω=()cos 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将的图象向左平移个单位长度，得到， ()f x 6πcos 4sin 466y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到. ()sin 2g x x =-对选项A ，，故A 正确.()0sin 00g =-=对选项B ，，所以的图象关于点对称，故B 正确.sin 02g ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()g x ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对选项C ，，所以的图象关于对称.故C 正确.sin 142g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()g x 4x π=-对选项D ，，，所以， ,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦1sin 212x -≤≤所以，故在上的最大值是，故D 错误.()112g x -≤≤()g x ,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12故选：D8．如图，在平面四边形ABCD ，，，，．若点E 为AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒1AB AD ==边上的动点，则的取值范围为（ ）CD AE BE ⋅A ．B ．C ．D ．21,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22116⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由已知条件可得，则，由BC DC ==DE x =(0CE x x =≤≤，展开后，利用二次函数性质求解即可. ()()AE BE AD DE BC CE ⋅=+⋅+【详解】∵()()AE BE AD DE BC CE ⋅=+⋅+,AD BC AD CE DE BC DE CE =⋅+⋅+⋅+⋅ 因为，，， AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒所以，60BCD ∠=︒连接，因为，AC 1AB AD ==所以≌， Rt ADC A Rt ABC △所以， 30ACB ACD ∠=∠=︒所以，则 2AC =BC DC ==设，则，DE x =(0CE x x =≤∴，，，312AD BC ⋅=︒= 0AD CE ⋅=60DE BC x ⋅=︒=，2)(1)DE CE x x x ⋅=-=所以，22233212216AE BE x x x ⎛⋅=+=+=+ ⎝因为， 0x ≤≤所以.21316AE BE ≤⋅≤故选：A.二、多选题9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利用奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列选项正确的是（ ） 0b a <<A ． B ． C ．D ．22a b >a b ab +<a b <2ab b >【答案】BC【分析】根据不等式的性质即可逐一求解. 【详解】对于A,由得:，故错误； 0b a <<22a b <对于B ，因为，所以，故正确； 0b a <<00a b ab +<>，对于C;由得:，故正确；0b a <<a b <对于D,由于，故，故错误；()20ab b b a b -=-<2ab b <故选：BC10．设为复数，且，则下列命题正确的是（ ） 123,,z z z 30z ≠A ．若，则 B ．若，则 12=z z 12=±z z 1323z z z z =12z z =C ．若，则 D ．若，则2313z z z =13z z =21z z =1323z z z z =【答案】BD【分析】由反例可知AC 错误；由可得，得到，知B 正确；设1323z z z z =()3120z z z -=12z z =，，根据共轭复数定义和复数乘法及模长运算可求得，知D 正确.1i z a b =+3i z c d =+1323z z z z =【详解】对于A ，若，，则，此时，A 错误；11i z =+21i z =-12=z z 12z z ≠±对于B ，，，又，，即，B 正确； 1323z z z z = ()3120z z z ∴-=30z ≠120z z ∴-=12z z =对于C ，若，则，若为虚数，则，C 错误； 13z z =213333z z z z z ==13,z z 13z z ≠对于D ，设，，则，1i z a b =+3i z c d =+21i z z a b ==-，，()()()()13i i i z z a b c d ac bd ad bc ∴=++=-++()()()()23i i i z z a b c d ac bd ad bc =-+=++-，==，D 正确. 1323z z z z ∴=故选：BD.11．已知函数，下列说法正确的是（ ） ()sin lg sin f x x x =+A ．的最大值为1B ．2π是的周期()f x ()f x C ．关于，对称 D ．在上单调递增()f x (π,0)k Z k ∈()f x π(0,)2【答案】ABD【分析】求得的最大值判断选项A ；依据周期定义判断选项B ；举反例否定选项C ；依据复合()f x 函数单调性判定规则判断选项D.【详解】定义域为，()sin lg sin f x x x =+(2π,2ππ)k k +Z k ∈选项A ：的单调递增区间为，()sin lg sin f x x x =+π(2π,2π)2k k +Z k ∈单调递减区间为，π(2π,2ππ)2k k ++Z k ∈则在，时取得最大值.判断正确；()f x π2π2x k =+Z k ∈π(2π)1lg112f k +=+=选项B ：由 (2π)sin(2π)lg sin(2π)sin lg sin ()f x x x x x f x +=+++=+=可得2π是的周期.判断正确；()f x 选项C ：由定义域为 ()sin lg sin f x x x =+(2π,2ππ)k k +Z k ∈可得点在图象上，π(,1)2P ()f x 但关于的对称点不在图象上，π(,1)2P (0,0)π(,1)2P '--()f x 则不关于，对称.判断错误；()f x (π,0)k Z k ∈选项D ：当时，单调递增，且，则单调递增，π(0,)2x ∈sin x sin (0,1)x ∈lg sin x 则当时，单调递增.判断正确.π(0,2x ∈()f x12．下列命题正确的是（ ）A ．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件m n λλ= m n 0m n ⋅<u r rB ．点是边的中点，若在的投影向量是 D ABC A BC AB AC AB AC += BA BC BD C ．点是边的中点，若点是线段上的动点，且满足，则的最D ABC A BC P AD BP BA BC λμ=+λμ大值为18D ．已知平面内的一组基底，，则向量，不能作为一组基底1e 2e 12e e + 12e e -【答案】ABC【分析】对A ，根据向量平行的性质与数量积的运算判断即可；对B ，根据平行四边形法则，结合单位向量的方法可得是以为直角的等腰直角三角形，进而判断；对C ，根据、、ABC A CAB ∠A P 三点共线，设，将替换为后与已知式子对比，用t 表示，根D (1),01BP tBA t BD t =+- ……BD 12BC λμ据二次函数性质即可判断；对D ，根据基底向量的性质结合平行四边形法则判断即可【详解】对A ，若存在负数，使得，则成立；λλ= m n 20m n n λ⋅=< 当时，可能夹角为钝角，不满足，故A 正确；0m n ⋅<u r r,m n λ= m n对B ，由同向的单位向量和与同向的AB AC AB AC += AB 1e AC 单位向量，1e和与同向的单位向量构成正方形的两边与对角线.故，且为的角平分线.AD 3e 2CAB π∠=AD CAB ∠又是边的中点，D ABC A BC 由三角形三线合一可得是以为直角的等腰直角三角形.故在的投影向量是.ABC A CAB ∠BA BC BD对C ，如图所示：∵在上，即、、三点共线， P AD A P D 则可设，(1),01BP tBA t BD t =+-……又∵，∴， 12BD BC =(1)2t BP tBA BC -=+∵，则，，BP BA BC λμ=+ 12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩01t ……令， 21111(2228t y t t l m -==´=--+时，取得最大值为，故C 正确 12t =λμ18对D ，已知平面内的一组基底，，则向量，为以，为边的平行四边形的两条对1e 2e 12e e + 12e e -1e 2e 角线，故，一定不共线，故能作为一组基底，故D 错误； 12e e + 12e e -故选：ABC三、填空题13．已知非零向量，的夹角为，则______．a bπ3()a ab ⊥- b =【答案】【分析】利用垂直关系的向量表示，结合数量积的定义及运算律求解作答.【详解】非零向量，的夹角为得：，即a b π3()a ab ⊥-()0⋅-= a a b 20a ab -⋅= ，于是得，所以2π3||||cos |3aa b a b b ==⋅==||b = 故答案为：14．圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________． 【答案】28π【分析】求出圆台的高，结合圆台的体积公式即得解.【详解】解：设这个圆台的高为h ，画出圆锥圆台的轴截面，可得，解得h =3， 2646h -=所以这个圆台的体积是.2213(24)283πππ⨯⨯⨯+⨯=故答案为：28π15．甲､乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为，方差为100，乙队体重的平60kg 均数为，方差为200，又已知甲､乙两队的队员人数之比为，那么甲､乙两队全部队员的方64kg 1:3差等于___________. 【答案】178【分析】先求出甲、乙两队队员所有队员中人数所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．【详解】解：由题意可知甲队的平均数为，乙队体重的平均数为， 60kg 64kg 甲队队员在所有队员中人数所占权重为， 11134=+乙队队员在所有队员中人数所占权重为， 33134=+则甲、乙两队全部队员的平均体重为，4136064634x kg =⨯+⨯=甲、乙两队全部队员体重的方差为．22213[100(6063)][200(6463)]17844s =+-++-=故答案为178．16．如图，在中，角、、的对边分别为、、，若，，，若ABC A A B C a b c 3cos 4A =2B A =3b =点在边上，且平分，则的面积为____________.M BC AM BAC ∠ABM A【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用二倍角公式可求得、，进而sin A sin B cos B 可求得的值，利用正弦定理可求出、的值，利用角平分线的性质可求得、的长，sin C a c BM CM 再利用三角形的面积公式可求得的面积.ABM A 【详解】因为，，，则为锐角，且3cos 4A =2B A =3b =A sinA ===所以，， 3sin sin 22sin cos 24B A A A====由得， sin sin a b A B =sin 2sin b A a B ===， 2231coscos 22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭所以，()13sin sin sin cos cos sin 84C A B A B A B =+=+=+=由正弦定理得. sin sin b c B C =sin 5sin 2b C c B ===又平分，则，AM BAC ∠36552ACM BAM S CM CA S BM BA ====A A又，所以，，， 2CMBM BC +==1211CM =1011BM =所以，. 11510sin 22211ABM S BA BM B=⋅=⨯⨯=△四、解答题17．在中，.ABC A 222a a c b =+-=(1)若，求；b =sin C (2)若存在且唯一确定，求的取值范围.ABC A b 【答案】(1)答案见解析(2)或2b =b ≥【分析】（1）由，利用余弦定理求得角，然后利用余弦定理求得的值，然222a c b +-=B c 后利用正弦定理求得；（2）存在且唯一确定，则，或，从而求得的范sin C ABC A sin b a B =b a ≥b 围.【详解】（1）因为，222a c b +-=所以. 222cos 2a c b B ac +-===因为，0B π<<所以.4B π=由余弦定理知2222cos .b c a ca B =+-.2224c c π=+-⨯得.2430c c -+=所以，或.1c =3c =由正弦定理知. sin sin c b C B=所以，当时，1c =sin C当时，3c =sin C =（2）由（1）得，存在且唯一确定，则，或 4B π=ABC A sin 2b a B ===b a ≥=综上，当或时，存在且唯一确定.2b =b ≥ABC A18．已知函数．()22cos cos sin f x x x x x =+-(1)若，求的单调递增区间；()0,x π∈()f x (2)若，且，求的值． ()65f θ=263θππ<<sin 2θ【答案】(1)单调递增区间为， 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）首先化简函数，再求函数的单调递增区间； ()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由（1）的结果求得，再利用角的变换，结合两角3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2sin 266θππθ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=差的正弦公式，即可求解.【详解】（1）， ()cos 22=+f x x x 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，，则，，222262k x k πππππ-+≤+≤+k ∈Z 36k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 因，所以的单调递增区间为，. ()0,x π∈()f x 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以．因为，所以， ()65f θ=3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭263θππ<<32262πππθ<+<所以，所以 4cos 265πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin 2sin 266θππθ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sin 2cos cos 2sin 6666ππππθθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341552=⨯=19．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，2πCD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝2，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．(1)证明：EF ⊥平面ABE ；(2)求二面角D ﹣BF ﹣E 的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理即可求证；（2）在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G ，在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ，可得二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角∠DHG ，计算∠DHG 的余弦值即可.【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，因为，故DA ⊥AB ，BC ⊥AB ，2ABC BAD π∠=∠=因为EF ∥BC ，故EF ⊥AB ．所以在折叠后的几何体中，有EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，而AE ∩BE ＝E ，故EF ⊥平面ABE ．（2）解：如图，在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G ．在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ．因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ∩平面EBCF ＝EF ，DG ⊂平面AEFD ，故DG ⊥平面EBCF ，因为BF ⊂平面EBCF ，故DG ⊥BF ，而DG ∩DH ＝D ，故BF ⊥平面DGH ，又GH ⊂平面DGH ，故GH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角，在平面AEFD 中，因为AE ⊥EF ，DG ⊥EF ，故AE ∥DG ，又在直角梯形ABCD 中，EF ∥BC 且EF ＝（BC +AD ）＝3，12故EF ∥AD ，故四边形AEGD 为平行四边形，故DG ＝AE ＝2，GF ＝1，在Rt △BEF 中，， 2tan 3BFE ∠=因为∠BFE 为三角形的内角，故sin BFE ∠=1sinGH BFE =⨯∠=故，tan DHG ∠==因为∠DHG 为三角形的内角，故cos DHG ∠=所以二面角D ﹣BF ﹣E． 20．如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，AB O P O O C 2AC BC =点是的中点，与交与点，点是上的一个动点.D PA PO BDEF PC（1）若平面，求的值； //EF ABC PC FC（2）若点为的中点，且，求三棱锥的体积.F PC 2PC AB ==P BEF -【答案】（1）3；（2）. 445【分析】（1）先证明，再证明点为的重心，即得解； PF PE FC EO =E PAB A （2）分析得到，再求出即得解. 13P BEF P BOC V V --=14,315P BOC BOC V S PC -=⨯=A 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面//EF ABC EF ⊂ABC POC ⋂ABC OC =所以，所以． //EF OC PF PE FC EO=因为，分别为，的中点，D O PA AB 所以点为的重心，E PAB A 所以，即，所以. 2PE EO=2PF FC =3PC FC =（2）点为的重心，所以, E PAB A 23PE EO =又点为的中点，所以, F PC 12PF PC =所以, 211323PEF POC S S =⨯=A A 所以. 13P BEF B PEF PEF P BOC B POC POC V V S V V S ----===A A 在直角中，, ABC A 122,2,25BOC ABC AB AC BC S S ==∴==A A所以 11242,33515P BOC BOC V S PC -=⨯=⨯⨯=A 所以. 1144331545P BEF P BOC V --==⨯=A 所以三棱锥的体积为. P BEF -44521．甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分.已知甲，乙共进行了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数：123 344 423 114 423 453 354 332 125 342534 443 541 512 152 432 334 151 314 525(1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；(2)计算甲获胜的概率.【答案】(1)0.65(2)0.648【分析】（1）由频率可得到概率估计值；（2）事件“甲获胜”可分类为：第一次和第二次比赛胜利；第一次比赛失败，第二、三次比赛胜利；第一、三次比赛胜利，第二次比赛失败.【详解】（1）设事件为 “甲获胜”，A 计算机产生的20个随机数相当于做了20次重复试验，其中事件发生了13次：A 对应的数组为：123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，334，151，314， 用频率估计事件的概率近似值为； A ()130.6520P A ==（2）设事件为第局“甲获胜”，则，i A i ()0.6i P A =12123123A A A A A A A A A =++根据概率的加法公式和事件独立性定义，得∴.()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯=22．为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关部门在该市随机调查了200位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频率分布直方图，如图：（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）（1）试估计该地区居民的户月均用电量平均值；（2）如果该市计划实施3阶的阶梯电价，使用户在第一档（最低一档），用户在第二75%20%档，用户在第三档（最高一档）.5%①试估计第一档与第二档的临界值，第二档与第三档的临界值；αβ②市政府给出的阶梯电价标准是：第一档元/千瓦时，第二档元/千瓦时，第三档元/千瓦0.40.550.8时，即：设用户的用电量是千瓦时，电费是元，则x ()f x ，试估计该地区居民的户月均电费平均值.()()()()0.4,0.40.55,0.40.550.8,x x f x x x x x ααααβαβαββ⎧≤⎪=+-<≤⎨⎪+-+->⎩【答案】(1)；(2) ①,；②.6776α==90β27.14【分析】（1）根据同一组中的数据用该组区间的中点值作代表进行求解即可；（2）①利用频率分布直方图中的频率分别列式求解即可；②利用平均数的计算方法求解即可.【详解】（1）设户月均用电量的平均值为，x 则；450.1550.2650.375x =⨯+⨯+⨯+0.25850.1950.0567⨯+⨯+⨯=（2）①因为前三组的频率为，()0.010.020.03100.6++⨯=第四组的频率为，所以在，则有0.025100.25⨯=α[70,80)，解得，()0.025700.750.6α⨯-=-76α=区间的频率为，区间的频率为，[40,80)0.60.250.085+=[80,90)0.1所以；=90β②设该地区居民户月均电费的平均值为，依题意得w0.4(450.1550.2650.3750.25)w =⨯⨯+⨯+⨯+⨯0.4760.10.5590.10.4760.05+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯. 0.55140.050.850.0527.14+⨯⨯+⨯⨯=。

浙江省杭州市周边重点中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)

浙江省杭州市周边重点中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)

高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 已知集合{}24A x x =<，{}41B x x =−<≤，则A B = （ ） A. {}2x x < B. {}21x x −<≤ C. {}41x x −<≤ D. {}42x x −<< 【答案】B【解析】 【分析】先借助不等式求出集合A ，再运用交集的运算求A B ∩. 【详解】由{}{}2422A x x x x =<=−<<， 则{}{}{}224121A B x x x x x x ∩=−<<∩−<≤=−<≤， 故选：B .2. 记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ）A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算求得z ，再由z z =可得. 【详解】由()2i 24i z +=−得()()()()22224i 2i 24i i 2i 4i 41i i 2i 2i 802225i 1z −−−−−−+=++−====−+， 所以2zz ==，故选：C. 3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ）A. 两人都中靶的概率为0.12B. 两人都不中靶的概率为0.42C. 恰有一人中靶的概率为0.46D. 至少一人中靶的概率为0.74【答案】C【解析】【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可.【详解】设甲中靶为事件A ， 乙中靶为事件B ，()0.6,()0.7,P A P B ==则两人都中靶的概率为()()0.70.60.42P A P B ×=×=，两人都不中靶的概率为()()1()1()0.30.40.12P A P B −×−×，恰有一人中靶的概率为()()1()()()1()0.30.60.70.40.46P A P B P A P B −×+−=×+×=，至少一人中靶的概率为10.30.40.88−×=.故选：C4.已知向量1,2a b = ，若()()a b a b λµ++ ∥，则（）A. 1λµ=B. 1λµ=−C. 1λµ+=−D. 1λµ+=【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，结合向量加减、数乘的坐标运算求解可得.【详解】1122a b λλ+=+=+，1122a b µµµ+=+++由()()a b a b λµ++ ∥，则1122µµ+，化简得1λµ=.故选：A.5. 已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= ，则“//n m ”是“//n α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】 【分析】借助长方体模型，判断线线与线面位置即可.【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D −中，平面ABCD ⊥平面11D C CD ，令平面ABCD 为α，平面11D C CD 为β，则平面ABCD 平面11,D C CDDC m DC αβ=== ， ①令AB n =，//AB CD ，即//n m ，但AB ⊂平面ABCD ，n ⊂α，故AB 不与平面ABCD 平行，即//n α不成立故//n m ⇒//n α，所以“//n m ”是“//n α”的不充分条件；②令11n B C =，11//B C 平面ABCD ，即//n α，但11B C DC ⊥，11B C 不与DC 平行，即//n m 不成立.故//n α⇒//n m ，所以“//n m ”是“//n α”的不必要条件；综上所述“//n m ”是“//n α”的既不充分也不必要条件.故选：D.6. 设函数()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ）A. 1,2727B. 10,27C. ()0,27D. ()27,+∞【答案】B【解析】【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为RR 上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为332log log 3x x <−，化简求解可得..【详解】()f x x x =，xx ∈RR ，则22,0(),0x x f x x x ≥= −<， 作出函数()f x 的图象，可知()f x 是RR 上的增函数.又()()f x x x x x f x −=−−=−=−，()f x ∴是奇函数. 不等式()()332log 3log 0f x f x +−<可化为()()332log 3log f x f x <−−，所以()()332log log 3f x f x <−，则332log log 3x x <−，即3log 3x <−，解得1027x <<， 不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是10,27. 故选：B.7. 已知函数()π4f x x =+ 的定义域为[],a b ，值域为 ，则b a −的取值范围是（ ） A. π24π,3B. π5π,23C. 5π5π,63D. 2433ππ, 【答案】D【解析】【分析】根据π4x ≤+≤5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由此可得b a −的最大、最小值.【详解】由函数()π4f x x =+ 的值域为 ，得π4x ≤+≤，得1πsin 124x −≤+≤ ， 6π24π7ππ2π6k k x −≤≤++()k ∈Z ，得5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由()f x 定义域为[],a b ， 所以max 11π5π4π()2π2π12123b a k k −=+−−= ()k ∈Z ， min 11π5π2π2π2π1212()23k k b a +−− −==()k ∈Z ， 所以b a −的取值范围是2π4π,33. 故选：D.8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1//A F 平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ）①二面角1F AD E −−的大小为常数②二面角1F D E A −−的大小为常数③二面角1F AE D −−的大小为常数A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量，看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数.【详解】设正方体棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,0,D a ，,,02a E a， 又F 是侧面11BCC B 上的动点，设()00,,F x a z ，[][]000,,0,x a z a ∈∈，则()100,,A F x a a z a =−− ，设平面1AD E 的法向量为nn 1����⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)，又()1,0,AD a a =− ，,,02a AE a =−， 则11100AD n AE n ⋅= ⋅= ，即1111002ax az a x ay −+= −+= ，令11x =，则112y =，11z =， 即111,,12n =， 又1//A F 平面1AD E ，则11A F n ⊥ ，即110A n F ⋅=， 则0002a x a z a −++−=，解得0032a x z =−， 因此可得003,,2a F z a z − ，100,,2a A F z a z a =−− ， 设平面1FAD 的法向量为()2222,,n x y z = ，又()1,0,AD a a =− ，00,,2a AF z a z =−， 则21200AF n AD n ⋅= ⋅= ，即022*******a z x ay z z ax az −++= −+=，令21x =，则212y =−，21z =， 即211,,12n =−， 的又1212127cos ,9n n n n n n ⋅==⋅ 因此可得二面角1F AD E −−的大小为常数，故①正确；设平面1FD E 的法向量为()3333,,n x y z = ，又1,,2a D E a a =− ，()00,0,EF a z z =− ，则31300EF n D E n ⋅= ⋅= ，即()0303333002a z x z z a x ay az −+= +−= ，令31x =，则3012a y z =−，301a z z =−， 即30011,,12a a n z z =−− ， 因为3n 中含参数0z ，故13cos ,n n 的值不定，因此二面角1F D E A −−的大小不是常数，故②不正确；设平面FAE 的法向量为()4444,,n x y z = ，又,,02a AE a =− ，00,,2a AF z a z =−， 则4400AE n AF n ⋅= ⋅= ，即44044040202a x ay a z x ay z z −+= −++= ，令42x =，则41y =，3022a z z =−， 即4022,1,2a n z =−， 因为4n 中含参数0z ，故14cos ,n n 的值不定，因此二面角1F AE D −−的大小不是常数，故③不正确；故选：B.【点睛】方法点睛：1.与平行有关的轨迹问题的解题策略（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略（1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ）A. 极差变大B. 中位数不变C. 平均数变小D. 方差变大【答案】BC【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误.【详解】由于10个数据已经确定， 故不妨设129103x x x x x ≤≤≤≤≤ ，由题意不妨取1105,10x x ==， A 项， 原极差为1011055x x −=−=，去掉最高与最低分后，极差为921015x x x x −≤−=， 所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A 项错误；B 项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B 项正确；C 项，由题意原平均数99110221571010i i i i x x x x x ==+++==∑∑， 则9255i i x==∑，则去掉最高与最低分后， 平均数变为9255788ii x==<∑，平均数变小，故C 正确； D 项， 去掉最高和最低分后，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小，故方差会变小，故D 项错误.故选：BC.10. 已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边，则下列命题中正确的是（ ）A. 若A B >，则cos cos A B <B.若π,1,6B b c ===，则π4C = C. 若O 是ABC 所在平面内的一点，且2−=+− OB OC OB OC OA ，则ABC 是直角三角形D. 若π,16B b ==，则AB AC ⋅ 的最大值是32【答案】AC【解析】【分析】由正弦定理边角关系判断A ；利用正弦定理解三角形求角C 判断B ；由已知可得CB AB AC =+ ，由其几何意义可知CB 边上的中线长等于CB 的一半，即可判断C ；由余弦定理和基本不等式求出2≤+ac ，再由数量积的定义将AB AC ⋅ 的最大值转化为求ac 的最大值，由求解可判断D .【详解】对于A ，因为cos y x =在()0,π上单调递减，所以A B >，则cos cos A B <，故A 正确对于B ，由121sin sin 2c b C B ===，则sin C =， 而5π06C <<，故π4C =或3π4，因为b c <，所以B C <， 所以π4C =或3π4，故B 错误； 对于C ，由OB OC CB −= 、OB OA AB −=，OC OA AC −= ， 故CBAB AC =+ ，所以在ABC 中CB 边上的中线长等于CB 的一半， 即ABC 是A 为直角的直角三角形，故C 正确.对于D，由余弦定理可得：222222cos 2b a c ac B a c ac =+−=+−≥−所以2ac ≤+，当且仅当a c =时取等， 由已知cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅= ， 由正弦定理可得：121sin sin 2a b A B ===，所以sin 2a A =， 所以要求AB AC ⋅ 的最大值，则π0,2A∈，此时cos 0A >，所以cos A ，所以3cos 22bc A =≤+.故则AB AC ⋅ 32+，故D 错误. 故选：AC.11. 四面体ABCD 中，3,5,4AC BC AB BD CD =====，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ，当AD 变化时，则（ ）A. 当3AD =时，324π11S =B. 当四面体ABCD 体积最大时，28πS =C. S 可以是16πD. S 可以是100π【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，构造直角三角形求外接球的半径；B 选项，平面ABC ⊥平面BCD 时，构造直角三角形求外接球的半径；C 选项，由外接球半径的范围进行判断；D 选项，验证外接球的半径5R =是否成立.【详解】设四面体ABCD O ，半径为R ， 当3AD =时，AC AD AB ==，则A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，由222BD BC CD =+，BCD △为直角三角形，外心1O 是BD 边的中点，1AO ⊥平面BCD ，1OO ⊥平面BCD ，1,,A O O 三点共线，1Rt ADO 中，1AO ，1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得22252R R + ，解得R =此时23244ππ11SR =，A 选项正确； 当四面体ABCD 体积最大时，有平面ABC ⊥平面BCD ，设平面ABC 的外心为2O ，E 为BC 中点，连接21,,OO AE O E ，则2OO ⊥平面ABC ，由3AC BC AB ===，则=AE ，2AO =2EO =， 平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AE ⊂平面ABC ，AE BC ⊥，则AE ⊥平面BCD ，又1OO ⊥平面BCD ，则有1//OO AE ，Rt BCD △中，CD BC ⊥，又1//CD O E ，则1O E BC ⊥， 同理可得1O E ⊥平面ABC ，12//O E OO ，所以四边形12O EO O 为矩形，12OO EO ==1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得R =，此时24π28πSR =，B 选项正确；若16πS =，则外接球的半径为2R =，而BCD △的外接圆半径12.52r BD R ==>， 所以这种情况不成立，C 选项错误；当5OB OC OD ===时，2222211575524OO OD O D =−=−=，2222117591244OE OO O E =+=+=，则22222222222291254OA OO AO OE EO AO =+=−+=−+=，即5OA =，四面体ABCD 外接球的半径5R =成立，此时100πS =，D 选项正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：求一个特殊四面体的外接球半径 , 通常有以下几种思路 : 一是构造法 ,比如求等腰四面体与直角四面体的外接球半径 ,可通过构造一个球内接长方体得到 ; 二是截面法 ,比如求正三棱锥的外接球径 , 可通过分析球心与一条侧棱所在截面的有关三角形计算得到 ; 三是观察法 , 比如将一个矩形沿对角线折成一个四面体 , 它的外接球球心就是原来矩形外接圆的圆心 .关于一般四面体的外接球半径问题 , 可以用解析法求出 . 方法如下 : 先建立适当的空间直角坐标系 , 并写出这个四面体四个顶点的坐标.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知幂函数()()257m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是______．【答案】2 【解析】【分析】根据函数()f x 为幂函数求出m 的值，再通过()f x 的图象关于y 轴对称来确定m 的值. 【详解】由()f x 为幂函数，则2571m m −+=，解得2m =，或3m =， 当2m =时，()2f x x =，其图象关于y 轴对称，当3m =时，()3f x x =，其图象关于()0,0对称，因此2m =， 故答案为：2.13. 已知1x >，1y >且3log 4log 3y x =，则xy 的最小值为______． 【答案】81 【解析】【分析】根据对数的运算性质可得33log log 4x y ⋅=，再结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由1x >，1y >，则3log 0x >，log 30y >，3log 0y >，又3log 4log 3y x =，则3log 4log 3y x=，即33log log 4x y ⋅=，又33331log =log log 4lo 8g xy x y +==≥， 当且仅当332log log x y ==，即9xy ==时，等号成立， 所以可得81xy ≥， 因此xy 的最小值为81. 故答案为：81.14. 在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______． 【答案】135【解析】【分析】根据线线平行可得截面，即可利用等体积法，结合比例即可求解.详解】取23CH CD =,由23AG AD =可得//,//GH AC EF AC ,故//HG EF ，故得截面为四边形EFHG ，14A EFHG A EFG A FHG G AEF F AGH G ABC F AGH V V V V V V V −−−−−−−=+=+=+12124333D ABC F ACD V V −−=×+×， 11215633218D ABC B ACD D ABC V V V −−−+××=, 121233A FHC A BCD D ABC V V V −−−=×=, 故1118A FHC A EFHG D ABC V V V −−−+=， 故体积较大部分与体积较小部分的体积之比1111187718=，故答案为：117【四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知a ∈R ，()(){}20A x a x a x =++>，102x B xx−=≤ −． （1）当0a <时求集合A ； （2）若B A ⊆，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}2x x a −<<− （2）{2a a ≤−或}0a > 【解析】【分析】（1）当0a <时，解不等式()()20a x a x ++>，从而求出集合A ；（2）对a 进行分类讨论，求a 取不同值时的集合A ，再根据B A ⊆，即可求实数a 的取值范围. 【小问1详解】 当0a <时，则0a −>，由不等式()()20a x a x ++>，解得2x a −<<−，即{}2Ax x a =−<<−；【小问2详解】 由不等式102x x −≤−，则12x ≤<，即{}12B x x =≤<，当0a <时，由（1）知，{}2Ax x a =−<<−，又B A ⊆，则2−≥a ，即2a ≤−符合题意；当0a =时，A 为空集，又B A ⊆，显然不成立；当02a <<时，{2=<−A x x 或}x a >−，又B A ⊆，则<1a −，即1>−a ，故02a <<符合题意；当2a =时，{2=<−A x x 或}2x >−，显然B A ⊆，故2a =符合题意；当2a >时，{A x x a =<−或}2x >−，显然B A ⊆，故2a >符合题意；综上知，{2a a ≤−或}0a >.16. 为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；（2）估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （3）估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）． 【答案】（1）0.68 （2）20； 20.32 （3）23.86 【解析】分析】（1）用频率估计概率可得；（2）根据频率分布直方图求出a 的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算； （3）先根据各区间频率，确定75百分位数所在区间，再由比例关系计算即可.小问1详解】由志愿者服务时间低于18小时的频率为(0.020.06)40.32+×=， 10.320.68−=，所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为0.68. 【小问2详解】由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20；由(0.020.060.0750.025)41a ++++×=，解得0.07a =， 估计平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32×+×+×+×+××=；【【【小问3详解】(0.020.060.075)40.62++×= ，(0.020.060.0750.07)40.9+++×=， 由0.620.750.9<<，∴第75百分位数位于22~26之间，设上四分位数为y ，则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为23.86. 17. 已知函数()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，若()65g α=−，且π5π,612α∈−，求cos2α的值．【答案】（1）π4π2π+,2π+,33k k k∈Z（2【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数()f x 的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得()g x 解析式，得π3sin 265α−=−，根据整体角范围求余弦值，再由ππ2266αα−+角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++ππππsin coscos sin cos cos sin sin cos 6633x x x x x=+−−+11cos cos cos 22x x x x x =+−+ πcos 2sin 6x x x=+=+.由ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z ， 解得π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z 即π4π2π+,2π+,33x k k k∈∈Z 时，函数单调递减， 所以函数()f x 的单调递减区间为π4π2π+,2π+,33k k k∈Z ； 【小问2详解】将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）， 则得到函数π(2)2sin 26f x x=+的图象，再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象， 所以πππ()2sin 22sin 2666gx x x=−+=−. 若()65g α=−，则π6()2sin 265g αα =−=− ， π3sin 265α −=−. 由π5π,612α ∈−，得ππ2π2,623α −∈− ，又πsin 206α−< ，所以ππ2,062α −∈− ，则π4cos 265α −=， 故ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα=−+=−−−431552 =−−×=.故cos2α 18. 如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD °∠=∠=，且PB PD ⊥，（1）求证：BD PA ⊥；（2）求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；（3）若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积． 【答案】（1）证明见解析（2（3） 【解析】【分析】（1）取BD 中点O ，连接,AO PO ，证PO BD ⊥，AO BD ⊥，利用线面垂直的判定定理得BD ⊥平面APO ，再利用线面垂直的性质即可证得BD PA ⊥；（2）由（1）知BD ⊥平面APO ，利用面面垂直的判断定理可得平面APO ⊥平面ABCD ，则PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，再利用题中条件求,AO PO 的长度，最后利用余弦定理进行求解即可；（3）由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ，则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，再利用题中条件求出四边形ABCD 的面积和四棱锥P ABCD −的高PM ，最后用锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】取BD 中点O ，连接,AO PO ，由60PB PD APB APD PA PA °=∠=∠= =，则APB APD ≅△△， 因此可得AB AD =，又O 为BD 中点，则在等腰ABD △和等腰BPD △中，可得PO BD ⊥，AO BD ⊥， 又AO PO O = ，,AO PO ⊂平面APO ，BD ∴⊥平面APO ，又PA ⊂平面APO ，BD PA ∴⊥.【小问2详解】过P 作PM 垂直AO 的延长线于一点M ， 由（1）知BD ⊥平面APO ，BD ⊂平面ABCD , 则平面APO ⊥平面ABCD ，又平面APO 平面ABCD AO =，PM ⊂平面APO ，PM AO ⊥,PM ∴⊥平面ABCD ，故PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，又在等腰直角BPD △中，4PB PD ==，则BD =，12BODO PO BD ==== 又在APB △中，2222212cos 64264282AB PA PB PA PB APB +−⋅∠+−×××，则AB AD ==在Rt AOB 中，AO ，则在APO △中，222cos 2PA AO PO PAO PA AO +−∠==⋅，因此可得sin PAO ∠即直线PA 与平面ABCD【小问3详解】由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ， 则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，在Rt PAM 中，sin 6PM AP PAO =⋅∠=cos 6AM AP PAO =⋅∠，在Rt PMC △中，CM又AC AM CM =+=+=, 又四边形ABCD 的面积()111222ABD CBD S S S BD AO BD CO BD AO CO =+=⋅+⋅=+ 1122BD AC =⋅=×, 又（2）知PM ⊥平面ABCD ，故PM 为四棱锥P ABCD −的高，所以四棱锥P ABCD −的体积1133V S PM =⋅=× 【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明BD ⊥平面APO ，再利用面面垂直的判定定理证平面APO ⊥平面ABCD ，最后根据平面PAC 与平面ABCD 垂直，确定,,,A O M C 四点共线，考查了线面垂直， 面面垂直的判定与性质，及线面角的定义，是一道综合性较强的题.19. 已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数(0)k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”．设()()281616log log ,f x x g x ax m x ax==+−． （1）判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由；（2）当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，求m 的值；（3）当1a >时，设()()()h x f x g x =−，已知()h x 在()0,∞+上有两个零点12,x x ，证明：1216<x x ．【答案】（1）()f x 是“反比例对称函数”，理由见解析；（2）443m = （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用“反比例对称函数”的概念计算判断即可；（2）构造新的“反比例对称函数”，然后利用其性质求解即可.（3）将两个函数看做两个“反比例对称函数”，然后找到同一个k 时的图像，判断交点横坐标关系，然后判断其中一个图像发生伸缩变换之后的交点横坐标关系即可.【小问1详解】()2816log ?log f x x x=是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知()282216116log ?log log ?log 3f x x x x x ==， 可知2216116log ?log 3f x x x =所以()16f x f x =， 故()f x 是“反比例对称函数”.【小问2详解】由题可知，0x >，此时()16g x x m x=+−， 因为函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()()0f x g x −=有一个解， 得22221161616116log log 0log log 33x x m m x x x x x x−−+=⇒=+− ， 令()2216116log ?log 3H x x x x x =+−，得()m H x =仅有一个解， 显然()221616116log ?log 3H x x H x x xx +− ，因为()m H x =，则有16m H x =， 要使()m H x =仅有一个解， 只需164xx x⇒，或4x =−（舍） 所以()4443m H ==. 【小问3详解】不妨先设1a =，由题可知()2211616log ?log 3h x x x m x x =−−+， 显然()221616116log ?log 3h x x m h x x xx +−+ ， 已知ℎ(xx )有两个零点，12,x x ，则两个零点满足1216x x =， 此时1216x x =， 即，函数()2816log ?log f x x x =与函数()16g x x m x=+−，的两个交点横坐标满足1216x x =； 可知()()228221641log ?log log log 33f x x x x x ==−利用复合函数单调性可知， 当()0,4x ∈时，()f x 单调递增；()4,x ∞∈+时，()f x 单调递减；由对勾函数性质可知()16g x x m x=+− ， 在()0,4x ∈时，此时()g x 单调递减；在()4,x ∞∈+时，此时()x 单调递増；得两函数示意图当1a >，此时()16g x ax m ax =+−， 相当于函数()()1616g x x m g ax ax m x ax=+−⇒=+−， 故所有的横坐标缩小为原来的1a 倍；故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故1216<x x .层层递进的，所以还是需要寻找前后问题的联系.。

河南省郑州市2024-2025学年高二上学期开学考试 数学含答案

河南省郑州市2024-2025学年高二上学期开学考试 数学含答案

2024—2025学年郑州市高二（上）开学考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知正数a ，b ，c 满足2b ac =，则a c bb a c+++的最小值为（）A.1 B.32C.2D.522.已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（）A.c b a<< B.a b c<< C.a <c <bD.c <a <b3.已知1133log (1)log (1)a b -<-，则下列说法一定成立的是（）A.11a b> B.1120222021ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.n 0()l a b -> D.若AC abAB =，则点C 在线段AB 上4.已知函数()π37π5sin 2,0,63f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()4F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且123n x x x x <<<< ，则1231222n n x x x x x -+++++= （）A.292πB.625π2C.1001π3D.711π25.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）①A 与C 互斥②B 与D 对立③A 与D 相互独立④B 与C 相互独立A.①③B.①④C.②③D.②④6.已知函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，则函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为（）A.1B.2C.3D.47.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos a cC C b+=+，则a cb +的最大值为（）C.328.已知12,z z 是复数，满足124z z +=，13=z ，12z z -=12⋅=z z （）A.32B.3C. D.6二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.设12,z z 为复数，则下列命题正确的是（）A.若12z z =，则12Rz z ∈B.若112z =-+，则202411i22z =-C.若12=z z ，则2212z z =D.若12z z z z -=-，且12z z ≠，则z 在复平面对应的点在一条直线上10.如图，函数()()π2tan 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC 的面积为π2，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为ππ,082k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC.()f x 的单调增区间是ππ5ππ,8282k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图：棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列命题正确的是（）①存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ；②对于任意点G ，OA 平行于平面EFG ；③直线EF 被球O 截得的弦长为④过直线EF 的平面截球O 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2.A.①B.②C.③D.④三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数()sin cos sin2f x x x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是.13.若函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =，则()y f x =和()y g x =在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的所有公共点的横坐标的和为.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1≤x ≤27，函数33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b (a ＞0)的最大值为4，最小值为0.(1)求a 、b 的值；(2)若不等式()(3)0t g t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.16.（15分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在[)0,20，[]80,100的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.17.（15分）ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos 2a A B A π==+.（1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC ，且2AD BC =，8PA PB AD ===，5CD =，点E ，F 分别为棱PD ，AD 的中点.(1)若平面PAB ⊥平面ABCD ，①求证：PB AD ⊥；②求三棱锥P ABE -的体积；(2)若8PC =，请作出四棱锥P ABCD -过点B ，E ，F 三点的截面，并求出截面的周长.19.（17分）已知平面向量π2sin 3cos 2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，πsin ,2sin 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数.(1)求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)求函数()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，并求出取得最大值时x 的值.数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】因为a ，b ，c 为正数且满足2b ac =，所以2a c b +≥=，当且仅当a b c ==时等号成立，令a c t b+=，[)2,t ∈+∞，则1a cb t b ac t ++=++，令1y t t =+，[)2,t ∈+∞，又1y t t=+在[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，y 取得最小值为15222+=，所以a c bb a c+++的最小值为52，当且仅当a b c ==时取得.故选D.2.【答案】D 【解析】293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a∴<3132π2a π==⨯，设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯=()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x xπ>10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a >∴c<a<b故选：D.3.【答案】B【解析】因为1133log (1)log (1)a b -<-，则101011a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，即1a b >>，所以11a b<，故A 错误；因为12022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且a b >，所以1120222022ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1b >，所以by x =在()0,+∞单调递增，所以1120222021bb⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以1120222021a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；因为1a b >>，所以0a b ->，当01a b <-<时，()ln 0a b -<，当1a b ->时，()ln 0a b ->，故C 错误；又1a b >>，所以1ab >，由AC abAB =可得点C 在AB 延长线上，故D 错误；故选B.4.【答案】A【解析】函数()π5sin 2,6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令()ππ2π62x k k -=+∈Z ，可得1ππ()23x k k =+∈Z ，即函数的对称轴方程为1ππ()23x k k =+∈Z ，又()f x 的周期为πT =，37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1π37ππ=233k +，可得24k =，所以函数在37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有25条对称轴，根据正弦函数的性质可知，12231π5π71π2,2,,2366n n x x x x x x -+=⨯+=⨯+=⨯ （最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,将以上各式相加得12312π5π8π71π22226666n n x x x x x -⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2+7124π876π==292π323⨯⨯=，故选A.5.【答案】B【解析】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，所以A 与C 互斥，因此本序号说法正确；②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B 与D 同时发生，因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；③：()()()419341,1,369364369P A P D P AD ===-===，显然()()()P A P D P AD ≠，所以A 与D 不相互独立，所以本序号说法不正确；④：()()()1131,,263612P B P C P BC ====，显然()()()P B P C P BC =，所以B 与C 相互独立，所以本序号说法正确，故选：B.6.【答案】C【解析】函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，所以()5π3π18k k ϕ⨯+=∈Z ，解得()5ππ6k k ϕ=-∈Z ，又因为ππ22ϕ-<<，所以6ϕ=π，所以()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()πcos 306f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()ππ3π62x k k +=+∈Z ，解得ππ39k x =+，因为[]0,πx ∈，所以π9x =，4π9，7π9.即函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为3.故选C.7.【答案】B【解析】在ABC中，有2cos a cC C b++由正弦定理得sin 2sin sin sin cos A C B C B C +=+，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以cos sin 2sin sin B C C B C +=，因为sin 0C ≠，所以cos 2B B -=，即π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ62B -=，即2π3B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-()222a c ac a c ac=++=+-()()222324a c a c a c +⎛⎫≥+-=+ ⎪⎝⎭，则233a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，所以33a cb b +≤=.故选B.8.【答案】D【解析】因为21212121212()()()z z z z z z z z z z +=+⋅+=+⋅+，且124z z +=，13=z ，即221211121222212129||()16z z z z z z z z z z z z z z +=+++=+++=，得221212||7z z z z ++=；同理因为21212121212()()()z z z z z z z z z z -=-⋅-=-⋅-，且12z z -=即221211121222212129||()10z z z z z z z z z z z z z z z -=--+=+-+=，得：221212||1z z z z --=；联立可得：224z =，22z =，1212||326z z z z ⋅=⋅=⨯=.故选D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】AD【解析】对于A，设()2i ,R z m n m n =+∈，则1i z m n =-，所以2212R z z m n =+∈，故A 正确；对于B，由112z =-，得2211122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()22421111i i 2222z z⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以450220462112z z ⨯-==，故B 错误；对于C，若121,i z z ==，则12=z z ，而22121,1z z ==-，故C 错误；对于D，因为12z z ≠，设12,z z 对应的点为,A B ，若12z z z z -=-，则z 在复平面内对应点到A 和B 的距离相等，即z 在复平面内对应点在线段AB 的垂直平分线上，所以z 在复平面对应的点在一条直线上，故D 正确.故选：AD.10.【答案】ABD【解析】A：当0x =时，()π02tan 24OC f ===，因为2ABC S π= ，所以122ABCS OC AB π== ，得π2AB =，即函数()f x 的最小正周期为π2，由πT ω=得2ω=，故A 不正确；B：由选项A 可知()π2tan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ242k x +=，k ∈Z ，解得ππ48k x =-，k ∈Z ，即函数()f x 的对称中心为ππ,048k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故B 不正确；C：由ππ3ππ2π242k x k +<+<+，k ∈Z ，得π5ππ8282πk k x +<<+，k ∈Z ，故C 正确；D：将函数()f x 图象向右平移π4个长度单位，得函数π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 不正确.故选ABD.11.【答案】ACD【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()12,2,2C 、()10,2,2D 、()1,0,0E 、()2,2,1F 、()1,1,1O ，设点()2,,0G a ，其中02a ≤≤，对于①，()1,1,1OD =-- ，()1,2,1EF = ，()1,,0EG a =，若存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ，只需OD EF ⊥，OD EG ⊥，则1210OD EF ⋅=-+-= ，10OD EG a ⋅=-+=，解得1a =，此时，G 为BC 的中点，故当点G 为BC 的中点时，OD ⊥平面EFG ，①对；对于②，当点G 与点B 重合时，A ∈平面EFG ，②错；对于③，()0,1,1EO = ，()1,2,1EF =，则3cos 2EO EF OEF EO EF ⋅∠==⋅，因为0πOEF ≤∠≤，则π6OEF ∠=，所以，点O 到EF的距离为π12sin 622d EO === ，所以，直线EF 被球O截得的弦长为=对于④，设点O 在EF 上的射影为点M ，过直线EF 的平面为α，当直线OM 与平面α垂直时，平面α截球O 所得截面圆的半径最小，且半径的最小值为22=，因此，半径最小的圆的面积为2ππ22⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，④对.故选：ACD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令πsin cos )4t x x x =-=-，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以[1,1]t ∈-，()22sin cos sin2sin cos (sin cos )11f x x x x x x x x t t =-+=---+=-+，设2()1,[1,1]g t t t t =-++∈-，显然一元二次函数2()1g t t t =-++在区间1[1,]2-上单调递增，在区间1[,1]2上单调递减，所以max min 15(,(1)124g g =-=-，所以函数()sin cos sin2f x x x x =-+的值域为5[1,4-.故答案为：5[1,]4-.13.【答案】3π【解析】因为()7tan f x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，()5sin 2g x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以两函数的交点也关于π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭对称，k ∈Z ，又因为函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =的最小正周期为π，作出两函数的在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，如下图，由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，且123456x x x x x x <<<<<，其中13,x x 关于()0,0对称，20x =，46,x x 关于()π,0对称，5πx =，所以1234563πx x x x x x +++++=.故答案为：3π.14.【答案】3/【解析】正四棱台1111ABCD A B C D -的对角面为11ACC A 是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形11ACC A 中，11AC A C ==，因为1AA =h =所以该棱台的体积为()221442233V =+⨯+⨯.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）【答案】(1)1,2a b ==；(2)43⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】（1）()()()()3333log 3log 2log 1log 3227x f x a x b a x x b =⋅++=+-++()23log 142a x a b =+--+，由1≤x ≤27得[]3log 0,3t x =∈，()[]23log 10,4x -∈，又a ＞0，因此33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b 的最大值为24+=b ，最小值为420a b -++=，解得1,2a b ==.（2）()()23log 1f x x =-，()()()2310t g t f kt t kt =-=--≥又1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2112t k t t t-≤=+-，而1()2h t t t =+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增.由不等式()()30tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，得：max 12k t t ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭43=.因此，k 的取值范围是43⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，.16.（15分）【答案】(1)0.0075；1603；(2)910【解析】（1）()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=，解得0.0075a =设中位数为x ，因为学生成绩在[)0,40的频率为()200.0050.010.30.5⨯+=<，在[)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>所以中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得1603x =故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（2）成绩在[)0,20的频数为0.0052010010⨯⨯=成绩在[]80,100的频数为0.00752010015⨯⨯=按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[)0,20的学生被抽取105225⨯=人，在[]80,100的学生被抽取155325⨯=人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为2225C 1C 10=，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P =-=.17.（15分）【答案】（1）2.【解析】（1）在ABC中，由题意知sin A ==又因为2B A π=+，所有sin sin(cos 23B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a BAb ==.（2）由2B A π=+得cos cos sin 2()B A A π=+=-=A B C π++=,得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(3333=-+⨯13=.因此，ABC的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.18.（17分）【答案】(1)①证明见解析.②247.(2)232 6.2+【解析】（1）①因为平面PAB ⊥平面,ABCD 平面PAB ⋂平面,ABCD AB =又因为底面ABCD 为直角梯形，其中//,AD BC 所以,AD AB ⊥又因为AD ⊂面,PAD 所以AD ⊥面.PAB 又因为PB ⊂面,PAB 所以.PB AD ⊥②由①知AD ⊥面,PAB 取PA 的中点设为,Q 连结,QE 则,QE AD //则QE ⊥面,PAB 则点E 到面PAB 的距离为14.2AD =又因为在ABCD 直角梯形ABCD 中4BC =，8PA PB AD ===，5,CD =解得3,AB =所以在等腰三角形PAB 中PAB S =△3247.4三棱锥P ABE -的体积132474247.34V =⨯⨯=（2）取线段PC 的中点H ，连接,EH HB ，因为DN BC =，且//DN BC ，所以四边形NDCB 为平行四边形，所以//DC NB ，又,E H 分别为线段,PD PC ，所以//EH DC ，所以//EH NB ，则四边形EHBN 为四棱锥P ABCD -过点,B E 及棱AD 中点的截面，则5BN CD ==，142EN PA ==，1522HE CD ==，在PBC 中，14,4,2BC HC PC ===，21cos 84PCB ∠==，所以22212cos 161624424.4BH BC HC BC HC HCB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则 6.BH =，所以截面周长为523546622BN EN HE HB +++=++=+19.（17分）【答案】(1)3π；(3)max ()2f x =，5π12x =【解析】（1）解法1：因为当π3x =时，ππ32sin 362a ⎛⎫⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭ ，5ππ1sin ,2sin 632b ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝ ，π13322f a b ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭==.解法2：由诱导公式可得()2sin a x x = ，()cos ,2sin b x x = ，所以()2sin cos 2sin f x a b x x x x =⋅=⋅+⋅)2sin212sin x x =-sin2x x =π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由解法2得()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的最小正周期为π.（3）当π02x ≤≤时，ππ2π2333x -≤-≤，当ππ232x -=，即5π12x =时，函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取最大值1，此时max ()2f x =.。

2023年高二上学期开学考试数学试题(含答案)

2023年高二上学期开学考试数学试题(含答案)

高二数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若z(2-i)²=-i (i 是虚数单位),则复数z 的模为A. B. C. D. 2.如图所示，△A'O B '表示水平放置的△AOB 的直观图，B '在x’轴上c あ 和x '轴垂直，且AdO=1, 则△AOB 的边OB 上的高为 ( )A. 4√2B.2√2C. 4D. 23.设a=(- 1,3),b=(1. 1),x 容+kb,若b ⊥ā,则ā与こ夹角的余弦值为()A. B. C. D.4. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A 地 区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示.估算月经济损失的平均数为m, 中位数为n, 则A.50B.75C.90D.1005. 数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古 代已具有很高的数学水平，其求法是："以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积. ”若把以上这段文字写成公式，即, 其 中a 、b 、C 分别为△ABC 内 角A 、B 、C 的对边.若,b=2, 则△ABC 面积S 的最大值为( )A.√3B.√5C.2D.√26. 在下列条件中，使M 与 A,B,C 一 定共面的是( )A. OM=OA-OB-OCB.C. MA+MB+MC=0D. OMA+OB+OC=0 7.已知直线L:xsinα+2y - 1=0, 直线l ₂:x-ycos αt3=0, 若L ⊥L ₂, 则tan 2α=( )A. B. C. D.8.若过直线3x-4y+2=0上一点A :(x-2)²+(y+3)²=4 作一条切线于切点T, 则|MT|的最 小值为( )A.√ 10B.4C. 2√2D. 2√3二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得分 )9.已知三条不同的直线l,m,n 和两个不同的平面α,β,下列四个命题中不正确的为( )A 若m//α,n//α, 则 m//nB. 若l//m,mcα, 则l//aC. 若l//α,l/β, 则α//βD. 若l//a,l ⊥β, 则α⊥β10.如图，已知正方体ABCD-AB₁C₁D₁的棱长为2, E、F 分别为AD、AB 的中点，G 在线段A₁C 上运动(包含两个端点),以下说法正确的是( )A. 三棱锥C-EFG 的体积与G 点位置无关B. 若G 为AC 中点，三棱锥C-EFG 的体积》C. 若G 为AC₁中点，则过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得截面的面积是D. 若G 与G 重合，则过点E 、F 、G 作正方体的截面，截面为三角形11.在锐角△A B C中，若,且√3sinC+cosC=2,则a+b不能取到的值有( )A. 2 C 2√3B D.√312.下列命题正确的是( )A. 已知空间向量元=(3.13),i=(A)), 且而/后，则实数B. 过点(3,2),斜率是的直线分程是2x-3y=0C. 已知直线mx+2y+3=0 与直线3x+(m- 1)y+m=0 平行，则实数m 为2D. 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是(x-2)²+(y- 1)²=1三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分 . 将答案填在题中横线上)13.某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本 情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取比例分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为14.已知正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2 √6,则该正四棱锥外接球的表面积为15.已知△ABC 是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且CP|=√3, 则FC.(PA+PB) 的取值范围.16.与圆x²+y²-4y=0 相交所得的弦长为2,且在y 轴上截距为-1的直线方程是四 、解答题(本大题共4小题，共40分 . 解答时应写出必要的文字、证明过程或演算步骤 )17.如图， BC=2, 原点O 是 BC 的中点，点A 的坐标为) , 点D 在平面yOz 上，且 ∠BDC=90°, ∠DCB=30° .(1)求向量CD 的坐标.(2)求AD 与BC 的夹角的余弦值.18.某校后勤服务中心为了解学校食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查， 每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据是自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这0名师生对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图.下图是根据本学期第二次抽样调查师生打众结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40, 50),(50,60),...,[90,100].(1)学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75分，否则将进行内部整顿.用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；(2)学校每周都会随机抽取3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量. 校长的做法是让学生在"差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者"没有出现好评",会立即让后勤分管处亲自检查食堂服务情况，若以本次抽取的50名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中，评分在(40,60)之间的会给“差评”,评分在(60,80)之间的会给“中评”,评分在[80,100]之间的会给“好评”,已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周校长会让后勤分管处亲自检查食堂服务质量的概率.19. 在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD, 底面ABCD 为直角梯形，BC//AD,∠ADC=90°, 1,PA=PD,E,F 为AD,PC 的中点.(I) 求证： PA//平面 BEF;( Ⅱ) 若PC 与AB 所成角为45°,求PE 的长；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值20.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,·b,c.(1)若(2a c)cosB=bcosC.b=Z;5, 求sinC的值.(2)若△ABC为锐角三角形中，b²=4c²,求cosC的取值范围.。

重庆市南开两江中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

重庆市南开两江中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

重庆市南开两江中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．倾斜角为120°的直线经过点(和()3,a ，则a =（ ）A．0 B ．C D 2．向量()2,1,2a =-r ，()4,2,b x =-r ，a b ⊥r r ，则2a b +=r r （ ）A ．9B ．3C ．1D ．3．已知椭圆C ：2211x y m m +=+的离心率为12，则m =（ ） A ．13B ．1C ．3D ．44．已知0a >，0b >，直线(1)10a x y -+-=和210x by ++=垂直，则21a b+的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．25．若F 为椭圆22:197x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上一动点，()M ，则MFP V 周长的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．106．若椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，左顶点为A ，点P ，Q 为C 上任意两点且关于y 轴对称，则直线AP 和直线AQ 的斜率之积为（ ） A ．14B ．12C ．34D ．457．过直线l ：3410x y +-=上一点P 作圆M ：22(4)1x y +-=的两条切线，切点分别是A ，B ，则四边形MAPB 的面积最小值是（ ）A ．1B C ．2D ．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F P 在椭圆C 上，直线1PF 与直线y 交于点Q ，且12QF QF ⊥，则12tan F PF ∠=（ ）AB C D二、多选题9．已知圆()2222212:1,:(3)(3)0C x y C x y r r +=-+-=>，则下列说法正确的是（ ）A ．当1r =时，圆1C 与圆2C 有2条公切线B ．当2r =时，1y =是圆1C 与圆2C 的一条公切线 C ．当3r =时，圆1C 与圆2C 相交D ．当4r =时，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为12y x =-+10．已知P 是椭圆2212516x y +=上一点，椭圆的左、右焦点分别为12,F F ，121cos 2F PF ∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．△F 1PF 2的周长为16B ．12F PF S =VC ．点P 到xD ．1283PF PF ⋅=u u u r u u u u r11．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，且1AA =P 是线段1BD 上一点（包含端点），Q 在四边形11ADD A 内运动（包含边界），则下列说法正确的是（ ）A ．该四棱柱能装下球的最大半径是1B ．点P 到直线11A BC ．若P 为1BD 中点，且AQ CP ⊥，则Q D ．PC PQ +的最小值是3三、填空题12．若2()1,M -为圆22:(1)16C x y +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为．13．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =BC =14AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为 .14．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12π3F PF ∠=，若12F PF V 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为．四、解答题15．锐角ABC V 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c sin cos2A a a B =- (1)求角B ；(2)已知ABC V 的面积为ABC V 的周长．16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，E ，F 分别为AB ，1AC 的中点.(1)证明://EF 平面11AA D D ； (2)求点1C 到平面1ACE 的距离. 17．已知圆22:6490C x y x y ++-+=，A 是圆C 上一动点，点(3,0)B ，M 为线段AB 的中点．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)记M 的轨迹为曲线E ，过点(1,3)N 的点线l 与曲线E 有且只有一个交点，求直线l 的方程． 18．如图1，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，142AD DC CB AB ====，点M 在AB 上，AM MB =，将ADM △沿DM 折起至A DM 'V ，如图2，点N 在线段A C '上．(1)若2A C NC '=，求证：平面DNM ⊥平面A BC '；(2)若AC '=DNM 与平面CDM A N A C ''值．19．定义:若点（x 0，y 0），（x 0’，y 0’）在椭圆M :22221x y a b +=（a >b > 0）上，并满足''0000221x x y y a b +=，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点（x 0，y 0）关于M 的一个共轭点为（x 0’，y 0’）.已知点A （2，1）在椭圆M :22163x y +=上，O 是坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标:(2)设点P ，Q 在M 上，且PQ →∥OA →，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.。

高二入学考试数学试题答案

高二入学考试数学试题答案

D.-的图象向左平移一个单位，所得的函数图象的一条对称轴方程是6 4C. xD.x3 12+2k 兀,k€ Z, q： y=cos （3 x + 0 ）（ 3 丈0）是奇函数，贝U p 是q的（B.充分不必要条件D. 既不充分也不必要的条件5、设a>0, b>0,且不等式上+ 土+史一X）包成立，则实数k的最小值等丁（）a & a+bxln x6、函数y——的图象可能是（）x7、已知一个确定的二面角a-l -和白是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使口和占所成的角也确定的是（）A. 口础伊口/穿且占］B C.Q匚疵且b上B D.Q 1 Q且A _L p8、已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球。

的球面上，球O的体积为2好 ,则OA3与半向ABCD所成的角的余弦值为（）A.二1010 B. -55C. -105D. -155高二全一、选择题（本大题共1、已知集合A x|x2A. A，B2、1 tan17' tan 28'tan17，tan 28, 能知识竞赛时量：120分钟总分：150分12小题，每小题5分，共60分）4x 3 0 ,BB. A B等丁（）x|y Vxl ,见J ()C. B A数学试题D. A B3、将函数y sin 2x （）A. x 一12兀4、若p： 0 =2A.充要条件C.必要不充分条件B. x -6三、解答题(共6道大题，共70分，解答应写出文字说明、 算步骤。

) 17、在S B 皿角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，已藉。

裟。

)(1) 求角C 的大小；(2) 若c=2,求zXABCH 积最大值.(本小题满分10分)18、(本小题满分12分)已知函数 f(x) = x 2 — 2x- 8, g(x) = 2x 2-4x - 16, ⑴ 求不等式g(x)<0的解集;9、设实数x, y 满足约束条件A.B.it+y - 7<0 K -3y+l< 0 3x _ y一 5》。

青铜鸣联考2024-2025学年高二上学期开学数学试题(解析版)

青铜鸣联考2024-2025学年高二上学期开学数学试题(解析版)

2026届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考（高二）数学（人教版）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{1235},1,1,2,3,4,5M x x N =−<−<=−∣，则M N = （ ）A. {}1,1,2−B. {}1,2,3C. {}2,3D. {}2,3,4【答案】C 【解析】【分析】先解不等式得M ，根据交集的概念计算即可. 【详解】解不等式1235x −<−<得14x <<，即{}14M x x =<<，所以{}2,3M N = . 故选：C2. 已知i 为虚数单位，12ii z−=−，则z 的共轭复数z =（ ） A. 2i − B. 2i +C. 2i −−D. 2i −+【答案】A 【解析】【分析】根据除法运算可得2i z =−，再根据共轭复数概念分析判断. 【详解】因为12ii z −=−，则12i 2i iz −==+−， 所以z 的共轭复数z =2i −. 故选：A.3. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点()2,3，则()sin3πα+=的AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义可先得sinα，再根据诱导公式计算即可.【详解】由正弦函数的定义可知sinα=，再利用诱导公式知()sin3πsinαα+=−.故选：B4. 已知向量()()0,2,21a ab b−−⋅，则a b−=（）A. 1B.C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据题意可得2a=，221a b b−⋅+=−，结合模长关系运算求解即可.【详解】因为()0,2a=−，又因为()2221a b b a b b−⋅⋅−，即221a b b−⋅+=−，所以2222413a b a a b b−=−⋅+=−=，即a b−=.故选：C.5. 已知,αβ是两个不重合的平面，,m n是两条不重合的直线，且,m nαβ⊂⊂，则下列结论正确的是（）A. 若αβ⊥，则m n⊥B. 若α∥β，则m∥nC. 若m∥,nβ∥α，则α∥βD. 若mβ⊥，则αβ⊥【答案】D.【分析】根据线面，面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定即可. 【详解】对于A ，若αβ⊥，则直线,m n 可能平行，异面，相交，故A 错误； 对于B ，若//αβ，则直线,m n 可能平行，异面，故B 错误； 对于C ，若//m β，//n α，则α与β可能平行或相交，故C 错误； 对于D ，若m β⊥，又m α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D.6. 已知长为a ､宽为b 的矩形的面积为()2a b +，则该矩形周长的最小值为（ ） A. 4 B. 8C. 12D. 16【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得()2ab a b =+，结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：()2,0,0ab a b a b =+>>，又因为()24a b ab +≤，即()()224a b a b ++≤，可得8a b +≥，即()216a b +≥， 当且仅当4a b ==时，等号成立， 所以该矩形周长()2a b +的最小值为16. 故选：D. 7. 已知函数()22cos 4f x x x a =−+−在R 上有且仅有1个零点，则实数a =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】分析可知()f x 为偶函数，由对称性可知()f x 的唯一零点为0，解得2a =，并代入检验. 【详解】因为()f x 定义域为RR ，且()()()()222cos 42cos 4f x x x a x x a f x −=−−−+−=−+−=，可知()f x 为偶函数，的若函数()f x 在RR 上有且仅有1个零点，由对称性可知()f x 的唯一零点为0，则()020f a =−=，解得2a =；若2a =，则()()222cos 22cos 1f x x x x x =−−=−−， 因为cos 1≤x ，即cos 10x −≤，当且仅当2π,x k k ∈Z 时，等号成立，且20x ≥，即20x −≤，当且仅当0x =时，等号成立，可知()()22cos 10f x x x =−−≤，当且仅当0x =时，等号成立，所以()f x 有且仅有一个零点0，符合题意； 综上所述：2a =. 故选：A.8. 记ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若135,,32AB BCAC c a b µµ+=∈，则cos B 的取值范围为（ ） A. 1,12B.15,68C. 15,28D. 1,16【答案】B 【解析】【分析】根据向量的线性运算可得3,a c b c µ==，结合余弦定理运算求解. 【详解】因为AB BC AC += ，且13AB BC AC c a bµ+=， 则13c a bµ==，即3,a c b c µ==， 可得22222222910cos 2236a cbc c c B =ac c c µµ+−+−−==××， 因为5,32µ∈ ，则225,94µ∈，即215101,4µ−∈ ，可得21015cos ,668B =µ− ∈， 所以cos B 的取值范围为15,68. 故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数()()πsin ,sin 24f x x g x x==+，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 与()g x 的最小正周期相同B. ()f x 与()g x 有相同的最大值C. ()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴D. 曲线()f x 与()g x 在[]0,2π上有4个交点 【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由sin y x =的周期可得()f x 的周期，根据周期公式求出()g x 的周期，并判断；对B ，求出()f x 与()g x 的最大值判断；对C ，根据图象求出()f x 与()g x 的对称轴判断；对D ，根据图象可判断.【详解】对于A ，因为sin y x =的周期为2π，所以()sin f x x =的最小正周期为π，又函数()πsin 24g x x=+ 的最小正周期为2ππ2=，故A 正确；对于B ，()sin f x x =的最大值为1，()πsin 24g x x=+的最大值为1，故B 正确； 对于C ，()sin f x x =的对称轴为π2k x =，Z k ∈， 令ππ2π42x k +=+，解得ππ82k x =+，Z k ∈，所以()πsin 24g x x=+的对称轴为ππ82k x =+，Z k ∈，所以()f x 与()g x 的对称轴不同，故C 错误；对于D ，如图作出()f x 与()g x 的图象，()f x 与()g x 在[]0,2π上有4个交点，故D 正确. 故选：ABD.10. 已知,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()0.6,0.3P A P B ==，则下列结论一定正确的是（ ）A. ()0.18P AB = B. ,A B 不可能为互斥事件C. 若()0.42P AB =，则事件,A B 相互独立D. 若,A B 相互独立，则()0.7P A B += 【答案】BC 【解析】【分析】根据相互独立事件性质可判断A ；根据互斥事件的概率加法公式进行判断B ；根据相互独立事件性质可判断C ；根据相互独立事件性质及概率的加法公式可判断D.【详解】对于A ，若()()()0.18P ABP A P B ==⋅，则事件,A B 相互独立，无法确定，故A 错误； 对于B ，若,A B 为互斥事件，则()0P AB =，所以()()()0.610.3 1.31P A B P A P B +=+=+−=>，故,A B 不可能为互斥事件，故B 正确；对于C ，若()()()0.42P AB P A P B ==⋅，所以事件,A B 相互独立，故C 正确； 对于D ，若A ，B 互相独立，则,A B 相互独立，所以()()()()0.40.30.40.30.58P A B P A P B P AB +=+−=+−×=.故D 错误. 故选：BC.11. 已知圆台12O O 的上､下底面圆的直径分别为2和6，母线长为4，则下列结论正确的是（ ）A. 该圆台的高为B. C. 该圆台的外接球的表面积为112π3D. 挖去以该圆台的上底面为底面､高为2的圆柱，剩余的几何体的表面积为30π 【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据圆台的结构特征求高；对于B ：根据圆台的体积公式运算求解；对于C ：根据台体的结构特征求外接球的半径，即可得表面积；对于D ：根据题意分析剩余几何体的表面构成，进而求表面积. 【详解】如图所示，ABCD 为轴截面，点,C D 在下底面的投影分别为,F E ，由题意可知：6,2,4AB CD AD ===，则22AB CDAE−==， 对于选项A：该圆台的高为DE =，故A 错误；对于选项B：圆台的体积为(19ππ3×++×B 正确； 对于选项C ：由题意可知：外接球的球心12O O O ∈，设外接球的半径为R ，因为2221122222O D O O OD O A O O OA += +=，即()22122119O O R O O R += +=，解得1O O R = =所以该圆台的外接球的表面积为21124ππ3R =，故C 正确； 对于选项D ：由题意可知：剩余的几何体的表面有：上、下底面圆面，圆台、圆柱的侧面，所以剩余的几何体的表面积为()9ππ314ππ2230π+++×+××=，故D 正确； 故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为__________. 【答案】75 【解析】【分析】先进行排序，后按照百分位数概念计算可得.【详解】先将成绩进行排序：63，66，66，68，70，74，76，78， 80， 84. 由于100.66×=，60%分位数为第6和第7个数据的平均值.即7476752+=. 故答案为：75.13. 设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知1,60a c b B −=== ，则a c=__________. 【答案】32【解析】【分析】利用余弦定理结合条件建立方程解方程即可.【详解】由余弦定理知()22222731cos 1222a c ac a c b B ac acac −+−+−===−=，所以()613,2ac a a a c ==−⇒==，所以32a c =. 故答案为：3214. 已知[,][,]max{()},min{()}x a b xa b f x f x ∈∈分别表示函数()f x 在区间[],a b 上的最大值与最小值，则[][]31,23,11max min 23∈∈− ++= y x y x __________. 【答案】30 【解析】【分析】根据幂函数性质可得[]31,211min 2333y yx x ∈++=+，再结合对数函数性质分析求解.【详解】因为[][]1,2,3,1x y ∈∈−，则310,03yx >> ，可得31203yx ++>，即33112233yyx x ++=++ ， 若[]1,2x ∈，则31x ≥，当且仅当1x =时，等号成立，即3123y x ++ 在[]1,2x ∈内的最小值为1112333y y++=+，所以[]31,211min 2333y yx x ∈++=+；若[]3,1y ∈−，则3112733y − ≤= ，当且仅当=3y −时，等号成立，即133y+在[]3,1y ∈−内的最大值为27330+=， 所以[][]31,23,11max min 2303y x y x ∈∈− ++=. 故答案为：30.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知3π1tan 42θ−=−.（1）求tan θ的值；（2）求πcos cos 4cos2θθθ+的值. 【答案】（1）13− （2【解析】【分析】（1）由3π3π44θθ=−−，利用两角差的正切公式求解可得； （2）利用两角和的余弦公式与二倍角公式展开化简，可得有关正余弦的齐次比式cos cos sin θθθ+的形式，再上下同除cos θ化弦为切代入tan 3θ=−可求. 【小问1详解】3π1tan 42θ−=−，且3πtan 14=−，()3π3π1tan tan 13π3π1442tan tan 3π3π14431tan tan 11442θθθθ−−−−−∴=−−===− +−+−×−.tan θ∴的值为13−.【小问2详解】πcos cos 4cos2θθθ+=1111tan 13θ+−故πcos cos 4cos2θθθ+16. 某农业研究所为调研新品种玉米的亩产量分布情况，从甲镇种植的旧品种玉米中随机抽取100亩的产量，并得到亩产量的平均数730x =甲，中位数700y =甲；从乙镇种植的新品种玉米中随机抽取100亩的产量，按亩产量进行分组（每组为左闭右开区间），得到亩产量的频率分布直方图如下：（1）每组数据以组中值为代表，估计乙镇种植的新品种玉米亩产量的平均数x 乙，中位数y 乙；并根据“同一品种玉米亩产量的平均数与中位数差的绝对值越小，玉米亩产量越稳定”，比较甲､乙两镇种植的不同品种玉米亩产量的稳定情况.（2）现按亩产量用分层随机抽样的方法，从乙镇亩产量在[500,600)和[900,1000]内的样本中共抽取6亩，再从这6亩中随机抽取2亩深入调研分析，求抽取的2亩的产量位于不同亩产量区间的概率. 【答案】（1）735x =乙，750y =乙；乙镇种植的新品种玉米更稳定； （2）815【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估算平均数，中位数，再根据定义运算判断两镇玉米品种谁更稳定； （2）根据分层随机抽样确定抽取的6亩构成，利用古典概型概率公式计算.【小问1详解】 根据题意，5500.16500.257500.48500.29500.05735x =×+×+×+×+×=乙，750y =乙， 因为73070030x y −=−=甲甲，73575015x y −=−=乙乙，所以乙镇种植新品种玉米谁更稳定.【小问2详解】由频率分布直方图，亩产量在[)500,600的有10亩，亩产量在[]900,1000的有5亩，所以样本中共抽取的6亩有610415×=亩在[)500,600，有2亩在[]900,1000， 设在[)500,600的4亩为A ，B ，C ，D ，在[]900,1000的2亩为,m n ，则从这6亩中随机抽取2亩的情况有：,,,,AB AC AD Am An,,,BC BD Bm Bn,,CD Cm Cn,Dm Dnmn所以抽取的2亩的产量位于不同亩产量区间的概率为815P =. 17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，1,3,2,AD BC CD AC ====，,BC PC PC PD ⊥=，侧面PCD ⊥平面ABCD .（1）证明：//BC 平面PAD ；的（2）若直线BP 与平面ABCD P ABC −的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理先证AD CD ⊥，取CD 中点E ，由面面垂直得PE BC ⊥，结合线面垂直的判定得⊥BC 平面PCD ，从而证明BC CD ⊥得出//BC AD ，最后利用线面平行的判定证明即可；（2）利用线面角的定义得出PE ，再根据锥体的体积公式计算即可.【小问1详解】因为1,2,AD CD AC ===，即222AC AD CD =+，所以AD CD ⊥， 如图所示，取CD 中点E ，连接,PE BE ，因为PC PD =，所以PE CD ⊥，又侧面PCD ⊥平面ABCD ，侧面PCD 平面ABCD CD =，所以PE ⊥底面ABCD ，而⊂BC 底面ABCD ，所以PE BC ⊥，因为BC PC ⊥，PC PE P ∩=，PC PE ⊂、平面PCD ，所以⊥BC 平面PCD ,因为CD ⊂平面PCD ，所以BC CD ⊥，所以//BC AD ，因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD ；【小问2详解】由上知PE ⊥底面ABCD ，且//BE AD BC ，则直线BP 与平面ABCD 所成角为PBE ∠，即tan 2PE PBE PE BE ∠==⇒=， 132ABC S BC CD =⋅= ， 故三棱锥P ABC −的体积为123ABC V PE S =⋅= .18. 已知函数()()2log 0a x f x a x−=>的图象的对称中心为()2,0. （1）求a 的值；（2）用函数单调性的定义证明()f x 在其定义域上单调递减； （3）若方程()142x x f x m +=−+在(]0,2x ∈上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4（2）证明见解析 （3）[)8,−+∞【解析】【分析】（1）利用对称性的性质有()()40f x f x +−=，待定系数计算即可； （2）利用（1）的结论结合函数单调性的定义作差证明即可；（3）利用换元法结合复合函数的单调性、二次函数的性质及（2）的结论得出()(]()1420,2x x yf x x +=−+∈单调递减，计算其值域即可.【小问1详解】 根据题意有()()224log lo 0g 44f x f a x a x x x x −−+=+−=+−， 整理得()()241444a x a x a x a x x x xx −−+⋅=⇒−−+=−−， 即()22444a a x x x x −+−=−，所以()()4004a a a a −=>⇒=， 经检验，4a =符合题意；【小问2详解】由上知()24log x f x x−=，令()400,4x x x −>⇒∈， 不妨设令()1212,0,4x x x x <∈、，则()()()()1212122221221444log log log 4x x x x f x f x x x x x −−−−=−=−， 易知1211221244,44x x x x x x x x <∴−<−，又()120,4x x ∈、，所以112212044x x x x x x <−<−， 则()()1221414x x x x −>−，即()()()()12122214log 04x x f x f x x x −−=>−， 则()f x 在定义域()0,4上单调递减，证毕；【小问3详解】方程()142x x f x m +=−+在(]0,2x ∈上有解，即两个函数()(]()1420,2x x y f x x +=−+∈与y m =有交点，令142x x y +=−+，设2x t =，则(]0,2x ∈时，(]1,4t ∈，则()22211y t t t =−+=−−+，显然(]1,4t ∈时，该函数单调递减， 而2x t =单调递增，根据复合函数的单调性知142x x y +=−+在(]0,2x ∈时单调递减， 结合（2）的结论有()(]()1420,2x x y f x x +=−+∈单调递减，所以()288y f ≥−=−，而x 接近0时，y 接近正无穷， 所以8m ≥−，即实数m 的取值范围为[)8,−+∞.19. 已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22(cos 1)sin a b C C b+++=. （1）证明：sin sin3A B =； （2）若3cos ,64B c ==，求ABC 的面积； （3）若ABC 为锐角三角形，当228a b b c+取得最小值时，求cos B 的值. 【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系、三角形内角和及正弦定理化简条件等式为()sin 2sin cos sin sin B B C A B C +==+，根据正弦的和差公式化简得2C B =即可；（2）先根据角的关系求出cos C ，作三角形的高，利用锐角三角函数解三角形即可求面积；（3）利用正弦和角公式及正弦定理化简2222823sin cos a b B b c B+=−+，利用基本不等式计算即可. 【小问1详解】 易知22sin (cos 1)sin 22cos 1sin a b A C C C b B+++=+==+， 整理得()sin 2sin cos sin sin B B C A B C +==+， 即sin 2sin cos sin cos cos sin B B C B C B C +=+，所以()sin sin B C B =−， 因为()π,0,πA B C A B C ++=∈、、， 所以B C B =−，即2,π3C B A B ==−,所以sin sin3A B =，证毕；【小问2详解】由（1）知21cos 2cos 18C B =−=，则π,0,2B C ∈， 如图所示作AD BC ⊥，垂足为D ， 由题意知139,842CD BD BD AC AB ==⇒=，根据勾股定理有AD，且AD =， 所以12CD =，故()12ABC S AD CD BD ⋅+的【小问3详解】由（1）知23sin sin 3sin 2cos cos 2sin 2sin cos sin 2sin A B B B B B B B B B ++− 33sin 4sin ,sin sin 22sin cos B B C B B B =−==，根据正弦定理知：22222228sin sin 22834sin 4cos 1sin sin cos cos a b A B B B b c B C B B +=+=−+=+− 又ABC 为锐角三角形，即π0π3ππ2π64022A B B C B <=−< ⇒<< <=<，则213cos cos ,24B B ∈⇒∈ ,所以22124cos 1co s B B ≥+−，当且仅当2cos B =即cos B =.。

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【最新整理，下载后即可编辑】高二开学考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案：B2．已知f(α)＝sin π－α·cos 2π－αcos －π－α·tan π－α，则f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－25π3的值为( )A.12 B ．－12C ．32D ．－32答案：A3．函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案：A4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，0对称 B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案：B5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为( )A ．－12B ．12C ．－13D ．2327答案：D6.已知函数f(x)＝1＋cos 2x 4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x ＋asin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－x 2的最大值为2，则常数a 的值为( )A.15 B ．－15 C ．±15 D ．±10答案：C7．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m n 的值为( )A ．2B ．12C ．3D ．13答案：B 8．已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x －3，y －1，若a 与b 共线，则y ＝f(x)的最小值是( )A ．－92B ．－4C ．－72D ．－3答案：C9.已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD→|＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案：D10．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36 答案：B11.对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116 B ．18C.14D ．12答案：B12．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B ．1235C ．1735D ．1答案：C二、填空题（每小题5分，共20分）13．(2015·辽宁五校二联)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2mm ＋5，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，2π，则tan x ＝________.答案：－3414．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 答案：－5π615．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2→＝16，|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|.→|＝________.则|AM答案：216．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：球与性别有关．(请用百分数表示)附表：答案：三、解答题17（本小题10分）．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α.(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)解法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ＝4，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 解法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 18（本小题12分）．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2－α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.19（本小题12分）．设函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g(x)的最大值．解：(1)由题意知，f(x)＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f(x)的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2kπ－π2≤πx 3－π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x≤6k＋52，k ∈Z ，所以y ＝f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g(x)的最大值即为x ∈[3,4]时y ＝f(x)的最大值．当x ∈[3,4]时， π3x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3，π， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，32， f(x)∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g(x)的最大值为12.20（本小题12分）.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)∵m ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，m⊥n ， ∴ m·n ＝22sin x －22cos x ＝0，即sin x ＝cos x ，∴ tan x ＝sin xcos x＝1.(2)由题意知，|m|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－222＝1， |n|＝sin 2x ＋cos 2x ＝1，m·n ＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4. 而m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝cos π3＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π4，π4， ∴ x －π4＝π6，∴ x ＝5π12.21（本小题12分）.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2015年11月11日的网购金额，所得数据如图①：②已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为3∶2.(1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图②)； (2)营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中抽取5人进行问卷调查．若需从这5人中随机选取2人进行访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50.∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)根据题意，“网购金额在(1,2]”的群体中应抽取24 24＋16×5＝3(人)，记为a，b，c，“网购金额在(4,5]”的群体中应抽取1624＋16×5＝2(人)，记为A，B.在此5人中随机选取2人，有以下可能情况：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种情况．设“此2人来自不同群体”为事件M，包含了(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种可能，∴P(M)＝610＝35，即此2人来自不同群体的概率是35.22（本小题12分）．一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字，现随机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为随机抛掷两次，所以基本事件(b ，c)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．当z ＝4时，(b ，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，共2个． 所以P(z ＝4)＝216＝18.(2)∵Δ＝b 2＋4c>0恒成立， ∴方程必有两根．∴①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0， 即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0， 即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0， 即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.。

高二上开学考数学试题及答案

高二上开学考数学试题及答案

高二上开学考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. 5D. -5答案：B2. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，则向量a与向量b的点积为：A. -25B. 25C. -1D. 1答案：A3. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (3, 2)D. (-3, 2)答案：A4. 函数y = x^2 - 6x + 8的对称轴为：A. x = 3B. x = -3C. x = 2D. x = -2答案：A5. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，则第10项a10的值为：A. 19B. 20C. 21D. 22答案：A6. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-2, 2]B. [-√2, √2]C. [-1, 1]D. [0, 2]答案：B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，则三角形ABC的面积为：A. 6B. 12C. 9D. 15答案：A8. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B =：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B9. 函数y = 1/x在点(2, 1/2)处的切线斜率为：A. -1/2B. 1/2C. -2D. 2答案：C10. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 1/2，则第5项b5的值为：A. 1/16B. 1/8C. 1/4D. 1/2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(2)的值。

答案：112. 已知复数z = 3 + 4i，求z的模。

答案：513. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l与x轴的交点坐标。

湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题(含答案)

湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题(含答案)

长郡中学2024年高二暑假作业检测试卷数学得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“对任意，”的否定为A ．对任意， B ．存在，C ．对任意，D ．存在，2．已知，，则A ． B ．C ．D ．3．已知，则A ．2B ．C ．4D ．★4．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（-∞，0]上单调递增，若对任意的，不等式恒成立，则a 的取值范围是A ．B ．C ．（-2，2） D ．（-∞，-2）∪（2，＋∞）5．已知，，则A．B ．C ．D ．★6．若函数有两个零点，则实数m 的取值范围是A ．（-1，2）B ．（-1，1）C ．（0，1）D ．（-1，0）7．如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，最短路线长度为x ∈R 2240x x -+≤x ∈R 2240x x -+≥0x ∈R 200240x x -+>x ∉R 2240x x -+≥0x ∉R 200240x x -+>{}|43A x x =-≤≤(){}|lg 10B x x =->A B = {}|42x x -<≤{}|42x x -≤≤{}|23x x <<{}|23x x <≤3i1iz +=-|1|z +=x ∈R ()()21f ax f x >+11,22⎛⎫-⎪⎝⎭11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()2tan 5αβ+=πtan 4β⎛⎫+=⎪⎝⎭3221318161322()|e 1|xf x m =-+12PA =23AB AP =A ．B ．16C ．D ．128．在△ABC 中，，O 是△ABC 的外心，M 为BC 的中点，，N 是直线OM 上异于M ，O 两点的任意一点，则A ．3B ．6C ．7D ．9二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知事件A ，B 发生的概率分别为，，则A ．若，则事件与B 相互独立 B ．若A 与B 相互独立，则C ．若A 与B 互斥，则 D ．若B 发生时A10．，，若在上的投影向量为，则A ． B ． C ． D ．11．已知，，且，则A ． B ．C ．的最大值为2D ．选择题答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知函数则________．AC =8AB AO ⋅=AN BC ⋅=()13P A =()16P B =()19P AB =A ()49P A B = ()49P A B =(),1a λ= ()1,1b =-a b b 3λ=a b P ()a ab ⊥- ||a b -=1x >1y >4xy =45x y +<≤220log log 1x y <⋅≤2log yx21log log 2x x y -+<≤()()3,0,2,0,x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩≤31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13．一组数据42，38，45，43，41，47，44，46的第75百分位数是________．★14．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）★15．（13分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，．（1）求△ABC 的面积；（2）若b ．16．（15分）已知函数，．（1）解不等式；（2）若对任意的恒成立，求m 的取值范围．★17．（15分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，，，E 为AD 的中点，点F 在PA 上，．（1）证明：；（2）若，且PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值．18．（17分）已知函数f （x ）满足：，，且当时，，函数．（1）求实数m 的值；111ABC A B C -1AB =12AC AA ==2π3BAC ∠=1S 2S 3S 123S S S -+=1sin 3B=sin sin A C =()πcos 1224x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()sin 2g x x =()1f x ≥()()mf x g x ≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦PBC ABCD ⊥平面平面30ACD ∠=︒3AP AF =PC BEF 平面P PDC PDB ∠=∠x ∀∈R ()()132f x f x +=-[]0,3x ∈()2f x x x m =--+()()21xg x =-（2）若，且，求x 的取值范围；（3）已知，其中，是否存在实数λ，使得恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（17分）设整数集合，其中，且对任意i ，j （），若，则．（1）请写出一个满足条件的集合A ；（2）证明：对任意，；（3）若，求满足条件的集合A 的个数．长郡中学2024年高二暑假作业检测试卷数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BDBCADCBABADABC8．B 【解析】因为O 是△ABC 的外心，M 为BC 的中点，设AC 的中点为D ，连接OD ，所以，，设，则，又O 是△ABC 的外心，所以，所以．故选B ．(0,3]x ∈()()0g x f x ->()223h x x x λλ=-+-+[]0,1x ∈()()()()g h x f h x >{}12100,,,A a a a = 121001205a a a <<< ≤≤1100i j ≤≤≤i j A +∈i j a a A +∈{}101,102,,200x ∈ x A ∉100205a =OM BC ⊥OD AC ⊥ON OM λ= ()AN BC AO ON BC AO BC OM BCλ⋅=+⋅=⋅+⋅ ()AO BC AO BA AC=⋅=⋅+AO BA AO AC AO AB AO AC =⋅+⋅=-⋅+⋅ ()(2211||||cos ||cos ||||1422AO AC AO AC CAO AO CAO AC AC ⋅=⋅∠=∠⋅==⨯= 8146AN BC AO AB AO AC ⋅=-⋅+⋅=-+=11．ABC 【解析】因为，所以，因为所以，对于A ，，令，，由双勾函数的性质可得函数f （x ）在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，所以，又，，所以，即，故A 正确；对于B ，，由，得，所以，即，故B 正确；对于C ，令，则，即，即，则，由，得，所以当时，lg k 取得最大值lg2，所以k 的最大值为2，即的最大值为2，故C 正确；对于D ，，令，，则，4xy =4y x=1,41,x y x >⎧⎪⎨=>⎪⎩14x <<4x y x x +=+()4f x x x=+14x <<()()min 24f x f ==()15f =()45f =()[4,5)f x ∈45x y +<≤()()222222224log log log log log 2log log 11x y x x x x x⋅=⋅=⋅-=--+14x <<20log 2x <<()220log 111x <--+≤220log log 1x y <⋅≤2log yxk =224log log log x y k x==4lglg lg 2lg k x x =2lg 2lg lg lg 2lg x kx -=()()()22lg 2lg 2lg lg lg 2lg 2lg lg 2lg 2x x x k -+⋅--+==14x <<0lg 2lg 2x <<lg lg 2x =2log yx2224log log log log log 2log 21x xx x y x x x+=+=+-2log t x ∈()0,2t ∈1log 2x t=则，令，，由双勾函数的性质可得函数g （t ）在上单调递减，在上单调递增所以，当x →0时，g （t ）→＋∞，所以，即，故D 错误．故选ABC ．三、填空题12．13．45.5 14．四、解答题15．【解析】（1）由题意得，，，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，所以，即，则．（2）由正弦定理得，则，222log log log 2log 211x xx y x t t+=+-=+-()21g t t t=+-()0,2t ∈()2()min 1g t g==()1,)g t ∈-+∞2log log 1x x y +≥811640π322112S a =⋅=22S =23S =222123S S S a -+=-+=2222a c b +-=222cos 2a c b B ac+-=cos 1ac B =cos 0B >1sin 3B =cos B ==1cos ac B ==1sin 2ABC S ac B ==△sin sin sin b a cB A C==229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===则，所以．16．【解析】（1）依题意，，由，得则，，解得，，所以不等式的解集为（）．（2）由，得，由，得，令，，原不等式化为，即，显然函数在上单调递增，则当时，，因此，所以m 的取值范围为．17．【解析】（1）设AC ，BE 的交点为O ，连接FO ，易知O 为△ABD 的重心，所以，而，所以在△APC 中，，所以，又，，所以．（2）因为，所以，所以△DCB 为等边三角形，所以，又因为，所以，所以，取BC 的中点为H ，连接PH ，则，3sin 2b B =31sin 22b B ==()212sin cos 12sin 222222x x x x x x f x ⎫=-+=+-⎪⎪⎭πsin cos 4x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()1f x ≥πsin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭ππ3π2π2π444k x k +++≤≤k ∈Z π2π2π2k x k +≤≤k ∈Z ()1f x ≥π2π,2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()()mf x g x ≤()sin cos sin 2m x x x +≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πππ442x +≤≤πsin 14x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭2sin 22sin cos 1x x x t ==-21mt t -≤211t mt t t t-=-≤1y t t =-1t =min 0y =0m ≤0m ≤12AO OC =12AF FP =12AO AF OC FP ==FO PC P FO BEF ⊂平面PC BEF ⊄平面PCBEF 平面P 30ACD ∠=︒30ACB ∠=︒DC DB =PDC PDB ∠=∠PDB PDC △≌△PB PC =PH BC ⊥因为，，所以，以H 为坐标原点，HD ，HB ，HP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为PD 与平面ABCD 所成的角为，所以，设菱形ABCD 的边长为2，则，B （0，1，0），，，，因为，所以，，，，设平面AEF 的法向量为，则令，，，所以，设平面BEF 的法向量为，则令，，所以，则PBC ABCD ⊥平面平面PBC ABCD BC = 平面平面PH ABCD ⊥平面45PDH ∠=︒PH DH =PH DH ==(P )2,0A )D)E3AP AF = 43F 13EF ⎛= ⎝ ()0,1,0AE =-)BE =(),,n x y z =0,0,10,03y n AE x y z n EF -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎪⎪⎩⎩ 1x =0y =1z =()1,0,1n =()222,,m x y z =22220,0,100,3m BE m EF x y z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩ 2y =20x =21z =-()1m =-cos ,||||m n m n m n ⋅==所以平面AEF 与平面BEF．18．【解析】（1）由题意得，即，解得．（2）时，，即，令，定义域为，可以看出，又在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故的解集为（2，3]．（3）的定义域为（0，＋∞），要使恒成立，首先满足在上恒成立，由于开口向下，只需解得，此时，故当时，对任意时恒成立，令，则恒成立，即恒成立，由（2）可知，的解集为（2，3]，故只需解得，综上，存在满足条件．19．【解析】（1）答案不唯一．如．()()1302f f =-21332m m --+=-8m =(0,3]x ∈()()0g x f x ->()22180xx x -++->()()2218xu x x x =-+-(0,3]x ∈()234280u =++-=()()21xg x =-(0,3]x ∈22133824y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭(0,3]x ∈()()2218xu x x x =-++-(0,3]x ∈()()0g x f x ->()()21xg x =-()()()()g h x f h x >()0h x >[0,1]x ∈()223h x x x λλ=-+-+()()22030,1130,h h λλλ⎧=-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩1λ-<<()22233333244h x x λλλ⎛⎫=---+-+ ⎪⎝⎭≤≤1λ-<<()03h x <≤[0,1]x ∈()()03s h x s =<≤()()g s f s >()()0g s f s ->()()0g s f s ->()()22032,1132,h h λλλ⎧=-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩01λ<<01λ<<{}1,2,3,,100A =（2）假设存在一个使得，令，其中且，由题意，得，由为正整数，得，这与为集合A 中的最大元素矛盾，所以对任意．（3）设集合中有个元素，，由题意，得，，由（2）知，．假设，则．因为，由题设条件，得，因为，所以由（2）可得，这与为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以，又因为，，所以．任给集合{201，202，203，204}的元子集B ，令，以下证明集合符合题意：对于任意i ，j （），则．若，则有，所以，，从而．故集合符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201，202，203，204}的子集个数相同，{}0101,102,,200x ∈ 0x A ∈0100x s =+s ∈N 1100s ≤≤100s a a A +∈s a 100100s a a a +>100a {}101,102,,200x ∈ x A ∉{}201,202,,205A ()15m m ≤≤100m a b -=12100200m a a a -<<< ≤10011002100200m m a a a -+-+<<<< 100100m a b -=≤100b m >-1000b m -+>10010010055100b m m -+-+=<-≤100100m b m a a A --++∈100100100100200m b m a a --+++=≤100100100m b m a a --++≤100m a -100100m a m --≤121001m a a a -<<< ≤i a ∈N ()1100i a i i m =-≤≤1m -{}{}01,2,,100205A m B =- 0A 1100i j ≤≤≤200i j +≤0i j A +∈100i j m +-≤i a i =j a j =0i j a a i j A +=+∈0A故满足条件的集合A 有个．4216。

2024湖南省天一名校联盟高二入学考试数学试卷答案

2024湖南省天一名校联盟高二入学考试数学试卷答案
C))＝P (
B ) １－
(
所以 P (
B )＝
３
１
＝ , ６ 分
４
８
)
１
, ７ 分
２
所以乙、丙各自解出该题的概率为
１ ３
, ． ８ 分
２ ４
(
２)设“甲、乙、丙 ３ 人中至少有 １ 人解出该题”为事件 D ,
【高二数学试题参考答案 第
３ 页(共 ５ 页)】
＝A
B
C
, ９ 分
则D
因为 P (
A )＝
)＝
所以 P (
A
２
１
３
,
P(
B )＝ ,
５－x)]
＋ [(
２－x)－ (
２x－１)]
＝ １４x２ －３２x＋１９
＝ １４ x－
(
当 x＝
８
７
)
２
＋
５
, １１ 分
７
８
３５
时,AB 有最小值
． １３ 分
７
７
a＋i (
b２ ≥ ＋２,
a b
b
a b
a
２
a ３
b ２a ３
b
２
a ３
b
＝２ ６(当且仅当 ２a＝ ３b 时取等号),
∴a２ ＋b２ ≥３＋ ＋ ,又 ＋ ≥２
b a
b a
b a
１ ２ １
３ ２ ２
∴a２ ＋b２ ≥３＋２ ６,故 C 正确;∵a≥ ＋ ＞ ,∴a＞１,∵b≥ ＋ ＞ ,∴b＞ ２,故 D 正确,故选 CD．
１２
１２
１２ １２ ２ ２
|ω|
π

北京市2024年高二数学秋季开学考试数学试题与答案

北京市2024年高二数学秋季开学考试数学试题与答案

北京市2024年高二数学秋季开学考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()1,a m = ，(),2b m m =- ，若//a b，则m =（）A ．1或2-B ．1-或2C ．1或12-D ．1-或122．复数21i ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭（其中i 为虚数单位）的虚部等于（）A ．i-B ．1-C ．1D ．03．经过点()1,1M 且斜率为1-的直线方程是（）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．20x y -+=D ．20x y +-=4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（）A ．56B ．2243C D ．35．已知一组样本数据1x ，2x ，…，n x （*n ∈N ）的方差为1.2，则151x -，251x -，⋯，51n x -的方差为（）．A ．5B ．6C ．25D ．306．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（）．A ．15B ．25C ．12D ．237．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积为（）A ．23B ．3C ．83D ．38．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（）A ．甲和乙相互独立B ．甲和丙相互独立C ．甲和丁相互独立D ．丁和丙相互独立9．已知两个不重合的平面α，β，三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的是（）A ．若a b ，b α⊂，则a αP B ．若a b ⊥r r，b c ⊥，则a cP C ．a β∥，b β∥，a α⊂，b α⊂，则αβ∥D ．a α ，a β⊂，b αβ= ，则a b10．在四边形ABCD 中，//,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=︒∠=︒，将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论不正确的是（）A ．CD AB ⊥B ．CD BD ⊥C ．平面ADC ⊥平面ABD D ．平面ABC ⊥平面BDC 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知3512a b a b ==⋅=- ，，，则a 在b上的投影向量为12．过点()1,2-和点()1,2-的直线的斜率为.13．数据：35，54，80，86，72，85，58，53，46，66的第25百分位数为．14．已知三棱锥,,P ABC PA AB PA BC -⊥⊥，30,2,BAC BC PA ∠=== ，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.15．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知平面向量a ，b ，c ，其中()3,4a =.(1)若c 为单位向量，且//a c，求c 的坐标；(2)若5b = 且2a b - 与2a b - 垂直，求向量a ，b夹角的余弦值.17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是2222222sin sin ,,,sin A C a b c a b c C a c b-+-=+-.(1)若2,c D =是BC 的中点，且19AD =ABC 的面积；(2)若ABC 为锐角三角形，求222a cb +的取值范围.18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），使居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)[)0,1,1,2,,8,9 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =.(1)求直方图中a ，b 的值；(2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；(3)若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,D AD BC CD A ⊥∥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面,D,ABCD PA P PA PD ⊥=．(1)求证：CD PA ⊥；(2)求平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点M ，使得DM ⊥平面PAB ？若存在，求PMPB的值；若不存在，说明理由．20．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．北京市2024年高二数学秋季开学考试数学试题答案1．【分析】运用向量平行的坐标表示求解即可.【详解】由//a b，有22m m =-，解得1m =或2-．故选：A.2．【分析】由复数的运算法则先化简复数，根据复数虚部的概念可得答案.【详解】()2222==i 1i 2i 1i ⎛⎫--=- ⎪ ⎪---⎝⎭，所以其虚部为1-故选：B3．【分析】利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】因为直线经过点()1,1M 且斜率为1-，所以直线方程为()111y x -=-⨯-，即20x y +-=.故选：D.4．【分析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式求解.【详解】由()1424242h '+⋅=⎡⎤⎣⎦⇒2h '=为四棱台的斜高.设四棱台的高为h ，则h =所以四棱台的体积为：(14163V =+=故选：C5．【分析】利用方差的性质求解．【详解】 数据12,,...,n x x x 的方差为1.2，151x ∴-，251x -，……51n x -的方差为：25 1.230⨯=．故选：D.6．【分析】利用古典概型公式，结合列举法，即可求解.【详解】设1个红球为1a ，2个白球分别为12,b b ，2个黑球分别为12,c c ，则从袋子中任取2个球包含：()()()()()()()()()()11121112121112212212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a c a c b b b c b c b c b c c c ，共10个基本事件，其中取到红球，包含()()()()11121112,,,,,,,a b a b a c a c ，共4个基本事件，则取出的2个球都是红球的概率42105P ==.故选：B7．【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出sin A ，再利用余弦定理求出bc 即可求出三角形面积.【详解】在ABC 中，由sin sin 4sin sin b C c B a B C +=及正弦定理，得2sin sin 4sin sin sin B C A B C =，而sin sin 0B C >，则1sin 2A =，由2228b c a +-=及余弦定理得2cos 8bc A =，cos 0A >，因此cosA ==bc =，则11sin 243ABC S bc A ==⨯ ，所以ABC 的面积为3.故选：B8．【分析】根据相互独立事件的定义可得答案.【详解】123,134,145,2+3=52+4=63+4=7，，+=+=+=，213,314,415,3+2=54+2=64+3=7，，+=+=+=，()12甲=P ，()12乙=P ，()16丙=P ，()13丁=P ，()0甲乙=P ，()16甲丙=P ，()16甲丁=P ，()0P =丙丁，对于A ，()()()1110224甲乙甲乙=⨯=≠=P P P ，故A 错误；对于B ，因为()()()111126126甲丙甲丙=⨯=≠=P P P ，故B 错误；对于C ，()()()11112366甲丁甲丁=⨯===P P P ，故C 正确；对于D ，()()()11106318丙丁丙丁=⨯=≠=P P P ，故D 错误.故选：C.9．【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据空间直线的位置关系判断B ，根据面面平行的判定定理判断C ，根据线面平行的性质定理判断D.【详解】当a b ，b α⊂，a α⊂时，不能推出a αP ，故A 错误；当a b ⊥r r，b c ⊥时，,a c 可能相交，也可能异面，不能推出a c P ，故B 错误；当a β∥，b β∥，a α⊂，b α⊂，若,a b 不相交，则推不出αβ∥，故C 错误；当a α ，a β⊂，b αβ= ，由线面平行的性质定理知a b ，故D 正确.故选：D10．【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可.【详解】对于B ，如图①，因为//,,90AD BC AD AB BAD =∠= ，所以45ABD ADB ∠=∠= ，又因为45BCD ∠= ，//AD BC ，所以135ADC ∠= ，所以1354590BDC ADC ADB ∠=∠-∠=-= ，所以CD BD ⊥，故B 正确；对于A ，由B 选项知CD BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以CD ⊥平面ABD ，因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥，故A 正确；对于C ，由选项A 知，CD ⊥平面ABD ，因为CD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面ABD ，故C 正确;对于D ，如图②过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以⊥AE 平面BCD ，显然AE ⊄平面ABC ，所以平面ABC 与平面BDC 不垂直，故D 错误.故选：D.11．【分析】根据投影向量的公式即可得解.【详解】因为3,5a b == ，且12a b ⋅=-，所以a 在b 上的投影向量为21225||a b b b b ⋅⋅=-.故答案为：1225b -.12．【分析】利用两点斜率公式即可得解.【详解】因为直线过点()1,2-和点()1,2-，所以直线的斜率为()22211k --==---.故答案为：2-.13．【分析】根据百分位数的定义直接计算.【详解】将数据从小到大依次排列为35，46，53，54，58，66，72，80，85，86，又1025% 2.5⨯=，所以第25百分位数为第三个数，即为53，故答案为：53.14．【分析】先证明线面垂直，再将三棱锥放置在圆柱内，利用底面外接圆半径、高与球半径的关系即可求解.【详解】,PA AB PA BC ⊥⊥ ，AB BC B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA ∴⊥平面ABC ，如图，设圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，母线长（即圆柱的高）为h ，则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，即O 为圆柱12O O 的外接球球心，且有外接球半径R =故可以将三棱锥-P ABC 置于以ABC 外接圆为底面，PA 为高的圆柱内（如图），其中上底面外接圆圆心为1O ，下底面ABC 外接圆的圆心为2O ，因为30,2BAC BC ∠== ，所以ABC 外接圆的直径2241sin 2BC r BAC ===∠，则2r =，又圆柱的高23h PA ==所以三棱锥-P ABC 外接球的半径()22222372PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，球的表面积24π28πS R ==.故答案为：28π.15．【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的棱切球，求出该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到表面积.【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：不妨取两棱中点为,E F ，由题知2EF =，易知,BE BF BE BF ⊥=，可得2BE BF ==所以正方体的棱长为221111ABCD A B C D -的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为4，因此该多面体的外接球的半径为2，所以其表面积为24π216πS =⋅=.故答案为：16π.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是通过适当补形，求出外接球的半径，由此即可顺利得解.16．【分析】（1）设(,)c x y =,根据//a c 和||1c = 列出关于,x y 的方程求解即可.（2）根据垂直数量积为0,代入,a b 的模长,求解得12a b ⋅=.再根据夹角公式求解即可.【详解】（1）设(,)c x y =,由//a c 和||1c = 可得：223401y x x y -=⎧⎨+=⎩∴3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴34,55c ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 或34,55c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）∵(2)(2)0a b a b -⋅-=，即222|52|0a a b b -⋅+=，又||5a =,||b = ∴12a b ⋅=，∴向量a ,b夹角的余弦值cos ,a b a b a b⋅==17．【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得π3B =，在ABD △中利用余弦定理求出BD ，从而可求出BC ，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积；（2）利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简222a cb +，得2π4sin 2363A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，然后求出角A 的范围，再利用正弦函数的性质可求得答案.【详解】（1）由余弦定理得2222222cos ,2cos a b c ab C a c b ac B +-=+-=，所以2sin sin cos ,sin cos A C b CC c B-=由正弦定理得2sin sin cos sin cos sin cos sin cos A C b C B CC c B C B-==，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin =+=+=A B B C B C B C A ，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又()0,πB ∈，所以π3B =.在ABD △中，由余弦定理得2222cos AD BA BD BA BD ABD ∠=+-⋅，所以21942BD BD =+-，解得5BD =，所以10BC =.所以ABC的面积1sin 2S ac B ==（2）由正弦定理得()2222222222sin sin 442πsin sin sin sin sin 333a c A C A C A A b B ⎡⎤++⎛⎫==+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222241453sin sin sin cos cos 32344A A A A A A A ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥=++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦412π4cos21sin 2344363A A A ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ABC 是锐角三角形，所以π022ππ0,32A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得ππ62A <<，所以ππ5π2666A <-<，所以1π52π4sin 21,sin 22263363A A ⎛⎫⎛⎫<-≤<-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222a cb +的取值范围是5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦.18．【分析】（1）结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出答案；（2）由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可；（3）结合图中数据易知标准x 在[5,6)中，由此即可求出x 的估计值.【详解】（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08+0.200.260.040.021a a b ++++++=，又0.4a b =，则0.15a =，0.06b =.（2）该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.15 6.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨）.（3）因[0,5)的频率为0.040.080.150.200.260.730.85++++=<，[0,6)的频率为0.730.150.880.85+=>，故x 的估计值为()0.850.73565 5.80.15-+⨯-=（吨）．所以有85%的居民每月的用水量不超过标准5.8（吨）．19．【分析】（1）设k A ，k B (1,2,3)k =分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，设甲获胜为事件E ，则111211223E A A B A B A B A =++，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；（2）设投篮结束时，甲只投2个球为事件F ，则1121122F A B A A B A B =+，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；（3）设第3次投篮结束后，投篮结束为事件G ，按甲和乙谁先投篮分2中情况讨论，进而由互斥事件概率的加法公式计算可得答案.【详解】（1）根据题意，设k A ，k B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则1()3k P A =，1()2k P B =，(1,2,3)k =设甲获胜为事件E ，则111211223E A A B A A B A B =++，而1A ，112A B A ，11223A B A B A 互斥，故11121122312112121113()()()()33233232327P E P A P A B P A B A B =++=+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（2）根据题意，设投篮结束时，甲只投2个球为事件F ，则1121122F A B A A B A B =+，而112A B ，1122A B A B 互斥，所以112112*********()()()32332329P F P A B P A B A =+=⨯⨯+⨯⨯⨯=（3）根据题意，设第3次投篮结束后，投篮结束为事件G ，分两种情况讨论：若甲先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件112A B A ，若乙先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件112B A B ，故11211211121111215()()()222323223236P G P A B P B A B =⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=20．【分析】（1）根据面面垂直的性质可得CD ⊥平面PAD ，即可得结果；（2）建系标点，分别求平面APB 与平面PBC 法向量，利用空间向量求面面夹角；（3）设PM PB λ= ，分析可知DM ∥n，列式求解即可判断.【详解】（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，可得CD ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥.（2）取AD 中点O ，连接,OP OB ，因为PA PD =，则PO AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，可得PO ⊥平面ABCD ，由,OA OB ⊂平面ABCD ，可得,PO OA PO OB ⊥⊥，因为,//,2CD AD BC AD AD BC ⊥=，则//,BC OD BC OD =，可知四边形OBCD 是平行四边形，则OB AD ⊥，如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1).O A B C D P --可得()()()1,0,1,0,2,1,1,0,0AP PB CB =-=-= ，设平面APB 的法向量为(),,n x y z = ，则020n AP x z n PB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则2x z ==，可得()2,1,2n =；设平面PBC 的法向量为(),,m a b c = ，则020m CB a m PB b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1b =，则0,2a c ==，可得()0,1,2m =；则cos ,3n mn m n m ⋅=⋅，所以平面APB 与平面PBC（3）设()[]0,2,,0,1PM PB λλλλ==-∈，且()1,0,1DP = ，则()1,2,1DM DP PM λλ=+=-，若DM ⊥平面PAB ，则DM ∥n ，可得121212λλ-==，方程无解，所以不存在点M ，使得DM ⊥平面PAB .20．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【答案】(1)2,1;(2)最大值为4;(3)【详解】（Ⅰ），．（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，相应的分别为、、、，所以中的每个元素应有奇数个，所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：、、、，、、、，对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，所以集合、、、满足题意，假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，故中元素个数的最大值为．（Ⅲ），此时中有个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为，假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，所以除外至少有个元素含有，根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，故中最多有个元素.。

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高一数学测试题
时间：120分钟 满分：150分
班级： 姓名： 学号：
第I 卷（选择题, 共60分）
一 、选择题（本大题共12小题，每小题５分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是
A B C D
2．0sin390=( )
A ．2
1 B ．2
1- C ．
2
3 D ．2
3-
3.已知⎩⎨
⎧<+≥-=)
6()2()6(5
)(x x f x x x f ，则
f(3)为（ ）
A 2
B 3
C 4
D 5
4.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（ ）
A 3-≤a
B 3-≥a
C 5≤a
D 5≥a 5. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) A ①和② B ②和③
C ③和④
D ①和④
6．下列函数中，最小正周期为2
π的是( )
A ．sin y x =
B ．sin cos y x x =
C ．tan 2
x y = D ．cos 4y x =
7．已知(,3)a x = , (3,1)b =
, 且a b ⊥ , 则x 等于 ( )
A ．－1
B ．－9
C ．9
D ．1
8．已知1sin cos 3
αα+=，则sin 2α=( )
A ．21
B ．21-
C ．89
D ．89
-
9．要得到2sin(2)3
y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( )
A ．向左平移23π个单位
B ．向右平移23
π个单位
C ．向左平移3π个单位
D ．向右平移3
π个单位
10．已知a ，b 满足：||3a = ，||2b = ，||4a b += ，则||a b -=
( )
A
B ．3 D ．10
11．已知2tan()5
αβ+=, 1tan()4
4
πβ-=, 则tan()4
πα+的值为 ( )
A ．16
B ．2213
C ．
3
22 D ．1318
12．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）
A ．)3
22sin(2π+=x y B )3
2sin(2π+=x y
C ．)3
2
sin(2π-=x y D )3
2sin(2π-=x y
第II 卷（非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在题中横线上）
13. 已知含有三个元素的集合2{,,1}{,,0},b a a a b a
=+求20082007b a +=_______.
14．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是 15．若)3,2(=a 与),4(y b -=共线，则y ＝ 16．1-=
x e y 的.函数定义域为 ;
17．设sin α－sin β=3
1，cos α+cos β=21, 则cos(α+β)= 。

18．函数x x y sin 2sin 2-=的值域是∈y ；
第II 卷
一、选择题：（每小题5分共计60分）
二、填空题：（每小题5分，共计30分）
13、____ 14、____ 15、____ 16、_______ 17、_____ 18、__________ 三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19（本小题满分12分）
(1)已知4
cos 5
a
=-，且a 为第三象限角，求sin a 的值
(2)已知3tan =α，计算 α
αααsin 3cos 5cos 2sin 4+- 的值
20（本题满分12
分）已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()
22tan()sin()
f ππ
ααπαααπαπ-+-=----． （１）化简()f α （２）若31cos()2
5
πα-=，求()f α的值
21（本小题满分12分）
已知向量a , b 的夹角为60 , 且||2a = , ||1b =
,
(1) 求→
a ·→
b ; (2) 求 ||a b +
.
22（本小题满分12分）
已知(1,2)a =
,)2,3(-=b ,当k 为何值时，
(1) ka b + 与3a b - 垂直？ (2) ka b + 与3a b -
平行？
23（本小题满分12分）
已知
,cos )a x m x =+ ，(cos ,cos )b x m x =-+ , 且()f x =→a ·→
b
(1) 求函数()f x 的解析式;
(2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢
⎥⎣⎦
时,若m=1 , 求此时函数()f x 的最大值,。

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