(整理)“三次函数的图象和性质”教学设计.
三次函数的图象与性质教学设计与实践①.pdf
设计意图 引导学生明确研究对象和研究方法，学会将零点个数的研究转化为函数的极 值或解析式结构形式的研究，并在尝试中猜测、归纳三次函数有不同零点个数时的图象所具 有的基本特征，探究不同零点个数的函数解析式的系数应满足的关系，进一步巩固用导数研
3
究函数性质的方法．
设计意图 本题研究系数 a ， b ， c ， d 对三次函数的单调性的影响．在学生确定研究
对象和研究方法，并认识到函数的单调性有多种情形下，引导学生明晰研究的思路，并正确 进行分类讨论：一要关注分类的标准，二要选择分类的方法，三要注意分类的原则．
5.3 借助探究，拓展应用
问题 3 你能得出函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 只有一个零点时系数应该满足
对函数单调性的影响让我们眼花缭乱，为了简化研究，我们可以选择什么方法？
（3）用图形计算器单独验证系数 a 对三次函数 f (x) 的单调性的影响，你得到什么结
论？你想怎样继续研究函数的单调性？ （4）在用图形计算器画不同单调性的图象时，你想过如何界定“不同单调性”吗？用什
么标准对“不同单调性”进行划分？你能借助导数写出不同单调性的情形下，各系数应满足的 关系式吗？
设计意图 迁移本课的研究思路和方法．
5． 已知 n R ，函数 f (x) x2 (x 3) n ． （Ⅰ）若曲线 y f (x) 的切线中，斜率最小的切线 l 经过点 A(3,0) ，求 n 值； （Ⅱ）若经过点 A(3,0) 可作曲线 y f (x) 的三条切线，求 n 的取值范围．
2 目标和目标解析
本课是为了进一步掌握用导数研究函数性质的方法，感受导数在解决问题中的作用，体 会导数的思想及其丰富内涵，同时扩展学生的数学视野，发展学生独立获取数学知识的能力， 提高学生应用所学知识解决问题的能力．具体目标是：
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
三次函数研究课教案
附录1：课前练习题1、若函数322()25f x x mx m =-+-在区间(9,0)-上单调递减，则m 的取值范围为 . 2、若函数322()f x x ax bx a =+++在x=1处有极值10，求a,b 的值.3、已知函数3()-3f x x x =，若()-0f x a =有三个不等的实根，求a 的取值范围.4、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，则b 的取值范围是（ ）．A ．(-∞,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,+∞)附录2：附录3：巩固练习题：判断下列三次函数32(0)y ax bx cx d a =+++≠各图象中的a,b,c,d 的符号： （1） （2） （3） （4）判别式系数a>0，0∆> a<0，0∆>a>0，0∆≤a<0，0∆≤图象导函数原函数性质单调性 增区间为12(,),(,)x x -∞+∞； 减区间为12(,)x x增区间为12(,)x x ；减区间为12(,),(,)x x -∞+∞ 增区间为(,)-∞+∞减区间为(,)-∞+∞极值点2个2个0个0个零点12()()0f x f x <：三个零点；12()()=0f x f x ：一个零点； 12()()0f x f x >：无零点.1个零点对称中心 ,())33b b f a a(-- 参数对函数图象的影响0a >：两边为增函数,0a <：两边为减函数；230b ac ->：为双峰函数,230b ac -≤为单调函数； b ：与a 共同影响函数的对称中心 c :0x =处的切线斜率 d :纵截距xx 1x 2x 1x 2xx 0xxxx 1 x 2xx 1x 2 xx（3）（4）A a<0,b>0,c>0,d<0B a>0,b<0,c>0,d=0C a>0,b<0,c<0,d>0D a<0,b<0,c<0,d<0。
5-4三次函数的图象和性质
专题4 三次函数的图像和性质第一讲 三次函数的基本性质设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有： 性质一：定义域为R ．性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．性质三：单调性和图象．a>a <图像0∆>0∆≤0∆>0∆≤当0a >时，先看二次函数()32f x ax bx c =++，4124(3)b ac b ac ∆=-=-①当224124(3)0b ac b ac ∆=-=->，即230b ac ->时，()f x '与x 轴有两个交点1x ，2x ，)(x f 形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，图像如图1，2．②当224124(3)0b ac b ac ∆=-=-=，即230b ac -=时，)(x f '与x 轴有两个等根1x ，2x ，)(x f 没有极值点图像如图3，4．③当224124(3)0b ac b ac ∆=-=-<，即230b ac -<时，()f x '与x 轴没有交点，)(x f 没有极值点，图像如图5，6．图1 图2 图3 图4 图5 图6 当0<a 时，同理先看二次函数2()32f x ax bx c '=++，.224124(3)b ac b ac ∆=-=-①当0)3(412422>-=-=∆ac b ac b ，即032>-ac b 时，)(x f '与x 轴有两个交点1x ，2x ，)(x f 形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x .②当224124(3)0b ac b ac ∆=-=-=，即230b ac -=时，)(x f '与x 轴有两个等根1x ，2x ，)(x f 没有极值点. ③当224124(3)0b ac b ac ∆=-=-<，即230b ac -<时，)(x f '与x 轴没有交点，)(x f 没有极值点.性质四：三次方程()0f x =的实根个数对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为c bx ax x f ++='23)(2当032>-ac b ，其导数0)(='x f 有两个解1x ，2x ，原方程有两个极值2123b b ac x x -±-、①当0)()(21>⋅x f x f ，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14. ②当12()()0f x f x ⋅=，则方程有2个实根，图像如图15，16. ③当12()()0f x f x ⋅<，则方程有三个实根，图像如图17.图14 图15 图16 图17 性质五：奇偶性对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠）. ①)(x f 不可能为偶函数；②当且仅当0b d ==时是奇函数． 性质六：对称性（1）结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,())33b bf a a--； （2）结论二：其导函数为2()320f x ax bx c '=++= 对称轴为3bx a=-，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，)(x f y =图象的对称中心在导函数()y f x '=的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；（3）结论三：()y f x =是可导函数，若()y f x =的图象关于点(,)m n 对称，则'()y f x =图象关于直线m x =对称.（4）结论四：若()y f x =图象关于直线x m =对称，则'()y f x =图象关于点(,0)m 对称. （5）结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.（6）结论六：已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++的对称中心横坐标为0x ，若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，则有()()()()21212012223f x f x a x x f x x x -'=--=-. 性质七：切割线性质（1）设P 是()f x 上任意一点(非对称中心)，过点P 作函数()f x 图象的一条割线AB 与一条切线PT (P 点不为切点),,,A B T 均在()f x 的图象上，则T 点的横坐标平分A B 、点的横坐标，如图18．图18 图19 图20x 1 x 2x x 1 x 2推论1：设P 是()f x 上任意一点（非对称中心)，过点P 作函数()f x 图象的两条切线PM PN 、切点分别为M P 、，则M 点的横坐标平分P N 、的横坐标，如图19．推论2：设)(x f 的极大值为M ，当成M x f =)(的两根为1x ，2x 12()x x <，则区间[]12,x x 被中心(,())33b bf a a--和极小值点三等分，类似的，对极小值点N 也有此结论，如图20．第二讲 三次函数切线问题一般地，如图，过三次函数()f x 图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线L 和函数()f x 的图象分割为四个区域，有以下结论：（1）过区域Ⅰ、IV 内的点作()f x 的切线，有且仅有3条；（2）过区域II 、Ⅲ内的点以及对称中心作()f x 的切线，有且仅有1条； （3）过切线L 或函数()f x 图象（除去对称中心）上的点作()f x 的切线，有且仅有2条． 【例1】过点()11-，与曲线()32f x x x =-相切的直线方程是______ ． 【解析】由题意可得： ()2'32f x x =-，设曲线上点的坐标为()3000,2x x x -，切线的斜率为2032k x =-， 切线方程为： ()()()320000232y x x x x x --=--，由于切线过点()1,1-，则： ()()()32000012321x x x x ---=--，解得：01x =或012x =-将其代入切线方程式整理可得，切线方程为：20x y --=或5410x y +-=.【例2】若2f x f x +-= 3x x ++对R x ∈恒成立，则曲线y f x =在点()2,2f 处的切线方程为____． 【解析】()()()()()()3323,23f x f x x x f x f x x x +-=++∴-+=-+-+()()()()333233f x x x x x ⎡⎤∴=++--+-+⎣⎦()()()321,31,213f x x x f x x f ''∴=++=+=又 ()211f =，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()11132y x -=- ，即1315y x =-. 【例3】过点()21A ，作曲线()33f x x x =-的切线最多有（ ） A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条【解析】法一：设切点为()300,3x x x -，则切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--，因为过()21A ，，所以()()()323200133322670x x x x xx --=--∴-+=令()32267g x x x =-+，()26120g x x x =-='0,2x x ∴==，而()()070,210g g =>=-<，所以()0g x =有三个零点，即切线最多有3条，选A .法二：根据题意，()33f x x x =-关于点()0,0中心对称，()()23303f x x f ''=-⇒=-，在原点的切线方程为3y x =-，()221f =>故点()2,1A 位于区域Ⅰ，有三条切线（如图），选A .秒杀秘籍：第三讲 四段论法则─“房间里装大象”()()320f x ax bx cx d a =+++>且导函数0∆> ()()320f x ax bx cx d a =+++<且导函数0∆>极大值 极大值极小值等值点 中心 极小值 极小值 中心 极小值等值点 1．对称中心：33bb faa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，； 2．极大值到对称中心距离为x ∆，极小值到对称中心距离为x ∆，极小值等值点到极大值距离为x ∆，极大值等值点到极小值距离为x ∆；3．对称中心为极值与极值等值点的三等分点（三次函数性质七）.【例4】函数()331f x x x =-+在闭区间[],03-上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1，1-B ．3，17-C ．1，17-D ．9，19-【解析】依题意得对称中心为()0,1，由()233f x x '=-，得1x =±，如图，画出四段论图像，得()()max 13f x f =-=，()()min 317f x f =-=-.【例5】已知函数()3f x x ax b =++的定义域为[1,2]-，记()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．3【解析 】依题意得对称中心为()0,b ，定义域内画出四段论图像，得()()()112f f f -=-=，解得3a =-，0b =，即()()()1122f f f -=-==，故选C .【例6】已知()33f x x x m =-+，在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．2m >B ．4m >C ．6m >D ．8m >【解析】由()()()233311f x x x x '=-=+-，得1x =±，画出函数四段论图像 ∵函数的定义域为[0,2]，所以()()min 12f x f m ==-，()()max 22f x f m ==+，()0f m =由题意知()()()112f f f +>，即422m m -+>+得到6m >，故选C ．【例7】已知32()2f x ax ax b =-+在区间[2,1]-上的最大值是5，最小值为11-，求()f x 解析式．【解析】由32()2f x ax ax b =-+，得2()34(34)f x ax ax ax x '=-=-，令()0f x '=，则10x =，243x =（舍去），如图分类画出四段论图像；当0>a 时，如图1所示，()()max 05f x f b ===，()()min 251611f x f a =-=-=-，得1a =， 所以32()25f x x x =-+；当0<a 时，如图2所示，()()max 216115f x f a =-=--=，得1a =-，()()min 011f x f b ===-，所以32()211f x x x =-+-；综上323225,0()211,0x x a f x x x a ⎧-+>⎪=⎨-+-<⎪⎩.图1()0a > 图2()0a <【例8】若函数()321233f x x x =+-在区间)5,(+a a 内存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)0,5[-B ．)0,5(-C ．)0,3[-D ．)0,3(-【解析】由题意，()22f x x x '=+，另()1202,0f x x x '=⇒=-=，又()()30f f -=画出四段论图像，依题意结合图象可知，⎩⎨⎧>+<≤-0503a a ，得a ∈[﹣3，0），故选C ．【例9】若函数32430ax x x -++≥对任意的[]2,1x ∈-恒成立，求a 的取值范围（ ） A ．[]2,2-B ．[]2,4-C ．[]2,6-D ．[]2,8-【解析】两边同时除以3x ，当0x =时恒成立；当(]0,1x ∈时，即323410a x x x+-+≥恒成立，令[)()11,+t t x=∈∞，构造()()()()()322min 340,981911g t t t t a g t g t t t t t '=+-+⇒≥=+-=-+，对称中心为44,99f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，画出函数四段论图像得()()min 160g t g a ==+≥，即6a ≥-；同理当[),02x ∈-时，()()max10g t g =-≤，得2a ≥-，故选C .【例10】设函数()32f x x ax bx c =+++，a b c R ∈，，，总存在[]004x ∈，，使得不()0f x m ≥等式成立，则实数m 的取值范围是 . 【解析】根据四段论法则（最佳位置选取）得对称中心为()20，，令()32g x x ax bx c =+++,画出四段论图像知()()()()()201069243f f f a b c f f =⎧⎪=-⇒=-==-⎨⎪=-⎩，，,即()32692g x x x x =-+-，()32692f x x x x =-+-，易得()()min 12Maxf x f ==，所以2m ≤.达标训练一．选择题1．函数()32395f x x x =-+在区间]2,2[-上的最大值是（ ） A ．5 B ．2 C ．7- D ．14 2．已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5-B ．11-C ．29-D ．37-3．函数3()34([01])f x x x x =-∈，的最大值是（ ） A ．1 B ．12C ．0D ．1-4．若函数()3232f x x x a =-+在]1,1[-上有最大值3，则该函数在]1,1[-上的最小值是（ ）A ．12- B ．0 C ．12 D ．15．若函数()33f x x x =-在区间()212,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)11,1(-B ．)4,1(-C ．]2,1(-D ．)2,1(-6．若函数()33f x x x =-在)8,(2a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,7(-B ．)1,7[-C ．)1,2[-D ．)1,2(-7．函数()33f x x ax a =--在)1,0(内有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．01a ≤<B ．01a <<C ．11a -<<D ．102a <<8．当]1,2[-∈x 时，不等式3243mx x x ≥--恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．86,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]6,2--C ．[]5,3--D ．[]4,3--9．若关于x 的不等式32392x x x m --+≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(],7-∞B ．(],20--∞C ．(],0-∞D ．[]12,7-10．函数()3213f x x x a =-+，函数()23g x x x =-，它们的定义域均为[)1,+∞，并且函数()f x 的图象始终在函数()g x 的上方，那么a 的取值范围是（ ） A ．),0(∞+B ．)0,(-∞C ．),34(∞+-D ．]34,(-∞11．设函数()321252f x x x x =--+，若对于任意[]1,2x ∈，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．),7(∞+B ．),8(∞+C ．),7[∞+D ．),8[∞+ 12．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） A ．),2(∞+B ．)2,(--∞C ．),1(∞+D ．)1,(--∞13．已知304a b ≥-≥，，函数()()311f x x ax b x =++-≤≤，设()f x 的最大值为M ，对任意的a b R ∈、恒有M k ≥，则实数k 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．21 D ．41 14．曲线3y x x =-的所有切线中，经过点(1,0)的切线的条数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．315．已知函数321()3()3f x x x ax a R =-++∈有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）A ．1()3f x ，210()3f x <B ．1()3f x ，210()3f x >C ．1()3f x ，210()3f x <D ．1()3f x ，210()3f x >16．已知函数32()698f x x x x =-+-+，则过点(0,0)可以作几条直线与曲线()y f x =相切（ ） A ．3条B ．1条C ．0条D ．2条17．已知函数32()f x x ax bx c =+++，[3x ∈-，3]的图象过原点，且在点(1，f （1）)和点(1-，(1))f -处的切线斜率为2-，则()f x =（ ） A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数 18．已知函数32()f x x ax bx c =--+有两个极值点1x ，2x ，若122()x x f x <=，则1()f x x =的解的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 19．已知函数32()21f x x mx nx =-++，()f x '是函数()f x 的导数，且2(2)()3f x f x '+='--，若在[1，]π上()1f x 恒成立，则实数n 的取值范围为（ ）A ．]21,(-∞B ．]21,(--∞C ．),21[∞+ D ．),[∞+π20．（2019•汕头月考）函数321()3f x x x ax =-+在[1-，2]上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．0aC ．1aD ．1a > 21．（2019•浙江期中）已知函数321()23f x x ax x =+-在区间(1,)+∞上有极小值无极大值，则实数a 的取值范围（ ） A ．12a <B ．12a >C ．12aD ．12a22．（2019•长沙期中）已知函数2()431f x x x =-+，3()31g x x x =--，则()f x 与()g x 的大小关系是（ ） A ．()()f x g x =B ．()()f x g x >C ．()()f x g x <D ．随x 的变化而变化23．（2019•临川月考）正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数321()4433f x x x x =-+-的极值点，则20192a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．524．若函数32()132x a f x x x =-++在区间(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．]25,2[B ．),25[∞+C ．),25(∞+ D ．(2,)+∞25．（2019•醴陵期中）函数32()394f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[2x ∈-，5]上有3个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．(23,9)-B ．]2,23(-C ．]9,2[D ．)9,2[26．（2019•湛江一模）已知函数32()f x x x ax a =-+-存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，102x x +=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．027．（2019•邯郸一模）过点(1,0)M -引曲线3:2C y x ax a =++的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A ，B 两点，若||||MA MB =，则a =（ ）A ．254-B ．274-C ．2512-D ．4912-28．（2019•黔东南州一模）已知函数322()2(63)1216(0)f x x a x ax a a =-+++<只有一个零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（ ）A ．1(,)2-∞-B ．)0,21(-C ．3(,)2-∞- D ．)0,23(-29．（2019•莆田一模）若函数32()23af x x x x =-+没有极小值点，则a 的取值范围是（ ）A ．]21,0[B ．1[,)2+∞C ．1{0}[,)2⋃+∞D ．1{0}(,)2⋃+∞30．（2018秋•晋中期末）已知3215()632f x x ax ax b =-++的两个极值点分别为1x ，212()x x x ≠，且2132x x =，则函数12()()f x f x -=（ ） A ．1-B ．16C ．1D ．与b 有关31．（2019•陕西一模）已知函数3()3f x x x =+，则不等式33863(1)1x x x x+>+++的解集为（ ） A ．)1,1()2,(-⋃--∞ B ．),1[)1,2[∞+⋃--C ．),1(]2,(+∞⋃--∞D ．)1,2(-32．（2018•宜春期末）等比数列{}n a 的各项均为正数，5a ，6a 是函数321()3813f x x x x =-++的极值点，则2122210log log log (a a a ++⋯+=（ ） A ．23log 5+B ．8C ．10D ．1533．（2018•湖北期末）已知函数32()17(f x ax bx cx a =++-，b ，)c R ∈的导函数为()f x '，()0f x '的解集为{|23}x x -，若()f x 的极小值等于98-，则a 的值是（ ） A ．8122-B ．13C ．2D ．534．（2019•朝阳二模）已知31()3f x x x =-+在区间2(,10)a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．23a -<C ．21a -<D ．31a -<<35．（2018•海淀期末）函数32()7f x x kx x =+-在区间]1,1[-上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ） A ．]2,(--∞B ．]2,2[-C ．),2[∞+-D ．),2[∞+36．（2019•汉阳模拟）函数32()31f x ax x =+-存在唯一的零点0x ，且00x <，则实数a 的范围为（ ） A ．(,2)-∞-B ．(,2)-∞C ．(2,)+∞D ．(2,)-+∞37．（2019•瀍河月考）设函数3()2f x ax bx =-+的极大值和极小值分别为M ，m ，则(M m +=（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4 38．（2018•南阳期末）函数32()392f x x x x =--+在]4,0[上的最大值和最小值分别是（ ） A ．2，18- B ．18-，25-C ．2，25-D ．2，20-39．（2018•合肥期末）已知函数53()353f x x x x =---+，若f （a ）(2)6f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞ B ．(3,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞二 填空题1．（2019•东城一模）已知函数3()4f x x x =-，若1x ∀，2[x a ∈，]b ，12x x ≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是 ．2．（2019•陕西二模）设函数32()21f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若函数()y f x ='的图象的顶点横坐标为12-，且f '（1）0=．则a b +的值为 ．3．（2019•新疆二模）已知函数32()f x x ax =-在(1,1)-上没有最小值，则a 的取值范围是 ． 4．（2019•十堰模拟）对于三次函数32()(f x ax bx cx d a =+++，b ，c ，d R ∈，0)a ≠，有如下定义：设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解m ，则称点(m ，())f m 为函数()y f x =的“拐点”．若点(1,3)-是函数32()5g x x ax bx =-+-，(,)a b R ∈的“拐点”也是函数()g x 图象上的点，则当4x =时，函数4()log ()h x ax b =+的函数值为 ．5．（2018•揭阳期末）已知函数3()2f x x x =+，若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是 ． 6．（2018•长治期末）已知函数3()23f x x x =-，若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则t 的取值范围是 ．7．（2019•自贡模拟）已知32()31f x ax x =+-存在唯一的零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是 ． 8．（2019•天山月考）设321()252f x x x x =--+，当[1x ∈-，2]时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ．9．已知函数()32143+33f x x x x =--，直线l ：920x y c ++=．若当[]2,2x ∈-时，函数()y f x =的图象恒在直线l 的下方，则c 的取值范围是 ． 三 解答题1．已知函数321()23f x ax x =+，其中0a >．若()f x 在区间[11]-，上的最小值为2-，求a 的值．2．知函数32()6([12])f x ax ax b x =-+∈-，的最大值为3，最小值为29-，求a 、b 的值．3．已知函数321()2f x x x bx c =-++；（1）若()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，求b 的取值范围；（2）若()f x 在1=x 时取得极值，且[1,2]x ∈-时，2)(c x f <恒成立，求c 的取值范围.4．（2019•海淀期中）已知函数32()f x ax bx x c =+++，其导函数()y f x '=的图象过点1(,0)3和(1,0)．（1）函数()f x 的单调递减区间为 ，极大值点为 ； （2）求实数a ，b 的值；（3）若()f x 恰有两个零点，请直接写出c 的值．5．（2019•莱西月考）设函数32()32g x x x =-+．（1）若函数()g x 在区间(0,)m 上递减，求m 的取值范围；（2）若函数()g x 在区间(-∞，]n 上的最大值为2，求n 的取值范围．6．（2019•海淀一模）已知函数3215()||132f x x x a x =-+-． （1）当6a =时，求函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（2）求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．7．（2019•怀柔一模）已知函数32()231()f x x ax a R =++∈．（1）当0a =时，求()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）求()f x 在区间[0，2]上的最小值8．（2019•天津一模）已知函数32()21()f x x ax a R =-+∈．（1）6a =时，直线6y x m =-+与()f x 相切，求m 的值；（2）若函数()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，求此时函数()x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()f x 在]1,1[-上的最大值和最小值的和为1，求实数a 的值．9．（2018•镇海期末）已知函数311()32f x x =+． （1）求曲线()y f x =在点5(1,)6P 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积； （2）若过点(2,)a 可作三条不同直线与曲线()y f x =相切，求实数a 的取值范围．10．（2018•太原期末）若2x =是函数32()3f x ax x =-的极值点．（1）求a 的值；（2）若[]x n m ∈，时，4()0f x -成立，求m n -的最大值．11．（2018•佛山期末）已知函数322()33()f x x ax a l x =++-．（1）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的值；（2）设1x ，2x 是22()()635(0)g x f x ax a x a a =--+>的两个极值点，若12()()0g x g x +，求a 的最小值．。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
专题17 三次函数的图像与性质(解析版)
专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一 运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是．【答案】3(2)2-，【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),则实数m 的取值X 围是________．【答案】 [－2,8]【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),求出它的值等于－16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定．当x ≤0时,f (x )＝12x －x 3,所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0,则x ＝－2(正值舍去),所以当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＜0,此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时,f ′(x )＞0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时,f (x )＝－2x 单调递减,f (0)＝0,f (8)＝－16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力．题型二 三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =．(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点；(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式；(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间．解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4)；(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤． 当0x =时,上式恒成立；当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =；②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤； 由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤； (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞；2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞；3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞．例4,(2018某某期末) 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________．【答案】 (－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|.令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a,则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．令g ′(x)＝0得x 1＝－1,x 2＝2a －13.①当2a －13<－1,即a<－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<2a －13或x>－1；令g ′(x)<0,解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1,满足条件,故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1,即a ＝－1时,f(x)＝|(x ＋1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),满足条件,故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1,即a>－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0,解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13,(a,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ,要使f(x)在[－1,2]上单调递增,必须满足2≤2a －13,即a ≥72,又因为a>－1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上,实数a 的取值X 围是(－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ，x ≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时,求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0,＋∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围；规X 解答 (1) 当a ＝2时,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ，x ≥0.①当x<0时,f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立,所以f(x)在(－∞,0)上递减；(2分)②当x ≥0时,f ′(x)＝e x －2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0,所以f(x)的单调递减区间是(－∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,＋∞)．(5分)(2) 当x>0时,f(x)＝e x －ax,此时－x<0,f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2.所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0,＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2＋x ＋3x ,x ∈(0,＋∞),则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,且g(1)＝5,当x →＋∞时,g(x)→＋∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,＋∞),即实数a 的取值X 围是[5,＋∞)．(10分)题型三 三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值；② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示)；② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在,试求出a 的值；若不存在,请说明理由；规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->，,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<，,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>，,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点； 当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域；(2)证明：33b a >；(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围．解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>；(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >；(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=．记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一．例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3,求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0,＋∞),f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围；(3) 若a ＞1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )＝M (a )－m (a ),求h (a )的最小值．思路分析 第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)＝6(x －1)(x －a),且a ＞1,故只需分为两大类：a ≥2,1＜a ＜2.当1＜a ＜2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.规X 解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a,所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝6a,所以6a ＝3,所以a ＝12.(2分)(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,＋∞)恒成立,所以－(a ＋1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)＝2lnx x2,x ＞0,则g ′(x)＝2（1－2lnx ）x3.令g ′(x)＝0,解得x ＝ e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)＞0,所以g(x)在(0,e)上单调递增；当x ∈(e,＋∞)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减．所以g(x)max ＝g(e)＝1e,(6分)所以－(a ＋1)≥1e ,即a ≤－1－1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1－1e .(8分)(3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a),令f ′(x)＝0,则x ＝1或x ＝a.(10分)f(1)＝3a －1,f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2),所以M(a)＝f(2)＝4,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(12分)②当53＜a ＜2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2),所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2时,h(a)＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(2)＝4,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5,所以h(a)在[2,＋∞)上的最小值为h(2)＝1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，x3，－1≤x ≤1，)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【解析】思路分析 方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数．在同一个直角坐标系中,分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像,则函数f (x )max ＝f (1)＝1,设A (1,1),B (－1,0),函数y ＝k (x ＋1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则0＜k ＜k AB ＝12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x ＜1，x3－9x2＋25x ＋a ，x ≥1，)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________．【答案】 {－20,－16}【解析】当x ＜1时,f(x)＝sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sinx ，y ＝x ，得x －sin x ＝0,令u(x)＝x －sin x(x ＜1),则u ′(x)＝1－cos x ≥0,所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数,且u(0)＝0,所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x＝0,这表明当x ＜1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时,f(x)＝x 3－9x 2＋25x ＋a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x3－9x2＋25x ＋a ，y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x,令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1),则h ′(x)＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4,列表如下：32数a ＝－20或a ＝－16.综上所述,实数a 的取值集合为{－20,－16}．3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1,且函数y ＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－9，13【解析】解法1 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|－（kx ＋1），x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2，x>0，若其图像经过四个象限．①当x>0时,y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2,当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0,则k ＋12>x 2＋2x ,即k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0),h ′(x)＝2x －2x2＝2（x3－1）x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,＋∞)上递增；当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x ＝1时取得极小值,也是最小值,h(x)min ＝h(1)＝3,所以k ＋12>3,即k>－9.②当x ≤0时,y ＝|x ＋3|－(kx ＋1),当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)<0,则k<|x ＋3|－1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x ＋3|－1x max .令φ(x)＝|x ＋3|－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－4x ，x ≤－3，1＋2x ，－3<x<0，易知φ(x)在(－∞,－3]上单调递增,在(－3,0)上单调递减,当x ＝－3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max ＝φ(－3)＝13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)＝x 3－12x ＋3,f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,＋∞)上单调递增,且 f(2)＝－13<0,当x ≤0时,f(x)＝|x ＋3|.g(x)＝kx ＋1恒过(0,1),若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3,0)和切点)．①当k>0时,在(0,＋∞)必有交点,在(－∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(－∞,0)必有交点,在(0,＋∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30－12x 0＋3),由k ＝3x20－12＝x30－12x 0＋3－1x 0,解得x 0＝1,切线斜率k ＝－9,所以k∈(－9,0)．③当k ＝0也符合题意．综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，，的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ ．【答案】a ＜0或a ＞2【解析】当a ＜0时,10y ax x =-，≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a ＜0时显然满足题意； 当a ≥0时,10y ax x =-，≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->，的图象需经过第一,二象限．【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公 共点(且不相切)．如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a ＞2时,符合．综上,a ＜0或a ＞2．【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a ＞2,则实数a 的取值X 围为a ＜0或a ＞2．5,(2019某某期末)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a,b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时,求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值；(3) 当a ＝0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围．解后反思 在第(2)题中,也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外,由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点,可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开,得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4,所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t2＝0，－st2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时,f(x)＝x 3＋x 2－4,f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<－23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0,＋∞)．(4分)(2)法一：f ′(x)＝3ax 2＋2bx,令f ′(x)＝0,得x ＝0或x ＝－2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)＝0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0.当f(0)＝0时,得a ＝0,不合题意,舍去；(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2－4a ＝0,即－827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3＋49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3－4＝0,所以ba ＝3.(10分)法二：由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)＝0得,b a ＝4－x3x2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x2－x,h ′(x)＝－8x3－1,令h ′(x)＝0,得x ＝－2, 当x ∈(－∞,－2)时,h ′(x)<0,h(x)递减；当x ∈(－2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,＋∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a＝4－x3x2＝4x2－x 恰有一个根－2,此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3)当a ＝0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )＝ln x －bx 2,则g ′(x )＝1x－2bx ＝1－2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,＋∞)上递增,且g (1)＝－b ≥0,所以在(1,＋∞)上,g (x )＝ln x －bx 2≥0,不合题意；(11分)当b >0时,令g ′(x )＝1－2bx2x＝0,得x ＝12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ，＋∞递减, 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ＝ln12b －12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b －12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)＝－b <0,g (e 12)＝12－b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b>0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )＝lnx x,则h ′(x )＝1－lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增；当x ∈(e,＋∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e>h (2)＝ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b ＜ln24.(16分)(注：用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围；(2) 求证：对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组．规X 解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1,得f ′(x)＝3x 2－2tx.由f ′(x)＝0,得x ＝0,或x ＝23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)＝3x 2－2tx ＝p,即3x 2－2tx －p ＝0,Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t23时,Δ＞0,此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y ＝(3x21－2tx 1)x －2x31＋tx21＋1和y ＝(3x22－2tx 2)x －2x32＋tx22＋1.若两切线重合,则－2x31＋tx21＋1＝－2x32＋tx22＋1,即2(x21＋x 1x 2＋x22)＝t(x 1＋x 2),即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3,化简得x 1·x 2＝t29,此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t29－4t29＝0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合．综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行．(10分)(3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1,f ′(x)＝3x 2－6x.由(2)知x 1＋x 2＝2时,两切线平行．设A(x 1,x31－3x21＋1),B(x 2,x32－3x22＋1),不妨设x 1＞x 2,则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x21－6x 1)x －2x31＋3x21＋1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d ＝|2x32－2x31－3（x22－x21）|1＋9（x21－2x 1）2＝|（x2－x1）|1＋9（x21－2x 1）2＝4,化简得(x 1－1)6＝1＋92,(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ＞0),则λ3－1＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解,λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解．因为x 1－1＞0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时,若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a ),证明：M (a )<－73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1,则g ′(－a －1)＝0且g ′(x)＝0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系．(2) 求导得F ′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3),解方程F ′(x)＝0时,无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0,构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,证得h(x)>0,所以－a －1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可．规X 解答 (1) 因为f ′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ,令f ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,f(x)取得极小值．(2分)因为g ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b,由题意可知g ′(－a －1)＝0,且Δ＝4a 2－12b>0,所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0,化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0,得a ≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx),所以F ′(x)＝f ′(x)－g ′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,则h ′(x)＝e x －3,令h ′(x)＝0,解得x ＝ln 3.列表如下：所以x ＝ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a＝3ln e23＋a>a>0.(10分)所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,F(x)取得极小值,也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1,则t<－1,记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2,t<－1,则m ′(t)＝－e t ＋3t 2－2t,t<－1.因为－e －1<－e t <0,3t 2－2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73,即M(a)<－73.(16分)。
三次函数的图象与性质
三次函数的图象与性质河源市河源中学 钟少辉三次函数()f x =32(0)ax bx cx d a +++≠是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考点。
本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例说性质的应用。
已知三次函数：32(0)y ax bx cx d a =+++≠定义域(,)-∞+∞则232y ax bx c '=++ ， 62y ax b ''=+。
由0y '=得 2320ax bx c ++= (1)依一元二次方程根的判别式知：1.1若24120b ac ∆=-＞ ， 即23b ac ＞。
则方程（1）必有两个不相等的实根12,x x ，即三次函数必有两个驻点12,x x （这里不妨设21x x ＞）， 且123()()y a x x x x '=--。
由函数极值的判定定理则有： 1.a ＞0当1(,)()0x x f x '∈-∞时,＞，()f x 单调递增。
当12(,)()0x x x f x '∈时,＜， ()f x 单调递减。
当2(,)()0x x f x '∈+∞时,＞ ，()f x 单调递增。
驻点即为极值点，且在两个驻点中值较小的一个点上取得极大值，在值较大的一个点上取得极小值，且12,x =。
Ⅱ.0a ＜情况正好与I 相反，在此不再赘述。
由以上讨论知：1223b x x a +=-，而由0y ''= 得33b x a=-，因而：6()3by a x a ''=+，当a>0， (,)3b x a ∈-∞-时，()0f x ''＜，曲线是（向下凹）。
(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＞曲线是（向上凹）。
当 0a ＜， (,)3b x a ∈-∞-时，()0f x ''＞，曲线是（向上凹），(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＜曲线是（向下凹）。
三次函数的图像与性质
三次函数的图像与性质形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的函数叫做三次函数。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题已经成为高考命题的一个新的热点和亮点，尤其是文科数学更是如此。
我们可以采用类比的方法，利用几何画板，较为深入地研究三次函数的图像与性质以及三次方程的解的个数的问题。
１三次函数的图像与性质设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c，其判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）。
当a>0时，若△>0，方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1f（x2）。
结论1：f（x1）·f（x2）>0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有一个公共点；f（x1）·f（x2）=0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有两个公共点；f （x1）·f（x2）０，f（x2）0为例）：当a>0时，f（x）的四种图象３推论设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a>0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c 的判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0。
方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1<x2，则函数f（x）在x=x1处取得极大值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极小值f（x2）。
类似可知a<0的情形（其余条件同前）：函数在x=x1处取得极小值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极大值f（x2）。
４例题例1.（湖南卷）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为h==4.5-3x（m）（0<x<），故长方体的体积为V（x）=2x2（4.5-3x）＝９x2－６x３（m３）（0<x<），从而V’（x）=18x-18x2（4.5-3x）=18x（１－x）。
高二年级数学 《三次函数的图象与性质》教学设计
五、布置作业
1、已知函数 f (x) x3 bx2 cx d （ b,c, d 为常数），当 k (,0) (5, ) 时， f (x) k 0 只 有一个实数根；当 k (0,5) 时， f (x) k 0有 3 个相异实根，现给出下列 4 个命题：
a0
a0
0
图象 =0
0
三次函数的单调性、极值、最值
函
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0；a,b, c, d是常数)
数
b2 3ac 0
b2 3ac 0
f (x)
f (x)
图
象
x1
x2
极 值
极大值f (x1)，极小值f (x2 )
单 调
增区间：, x1 和 x2, +
人民教育出版社高中数学选修1-1第三章导数及其应用
三次函数的图象和性质
高二 文数 专题课
一、问题情景、引入课题
问题：请你画出下列函数的大致图像
1、f (x) x3 3x 2、f (x) 2x3 5 x2 x 1
2 3、f (x) 2x3 5 x2 x 3
2 4、f (x) x3 3x2 3x 1
二、自主探索，总结规律
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如：y ax3 bx2 cx d (a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f (x) 3ax2 2bx c 4b2 12ac 4(b2 3ac)
二、自主探索，总结规律
函数
二次函数 y ax2 bx c(a 0；a,b,c是常数)
【变 1】已知函数 f x x3 3x ⑴求函数 f x 的单调区间及极值；⑵求 f x 在0,3 上的最值.
“三次函数的图象和性质”教学设计
“三次函数的图象和性质”教学设计1、设计意图与学情分析三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材。
本节课是在复习“二次函数”基础上的一节高三复习探究课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数的工具来研究三次函数的图象和性质，符合学生的认知规律。
通过本节内容的教学，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、函数极限、导数等相关知识，完善学生的知识结构，体会其中蕴涵的数学思想方法，同时也有利于扩展学生的数学视野，体验再发现和再创造的过程，发展学生独立获取数学知识的能力，提高学生应用所学知识解决问题的能力。
另外，作为高三复习教学，力求想走出简单重复与承袭过去的怪圈，三次函数在近几年全国各地高考及模拟试题中频繁出现，但教材和各种资料中往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。
2、教学目标与重点难点通过这节课的教学想达到下列三个目标：1）知识目标：让学生了解三次函数的概念、定义域、值域；能利用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性，发现三次函数图象的对称性，进一步理解函数的单调性、对称性、极值，能利用图象来讨论三次方程实根的个数，体会分类讨论、数形结合、函数方程的数学思想方法。
2）能力目标：培养学生识图能力、探究能力和创新意识，提高运用所学知识解决问题的能力。
3）情感目标：让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，鼓励学生勇于探索、设法寻到解决问题的方案，体验“再创造”的乐趣。
这节课的教学重点是讨论三次函数的单调性和相应三次方程实根的个数，发现三次函数图象的对称性，其中发现并验证三次函数图象的对称性是本节课的教学难点。
3、设计思想与教学方法这节课的设计强调学生主动探究式的学习方式，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验，注重培养学生的终生学习能力。
按建构主义观点，知识需要经过学习者自身体验，才能被有效地同化和顺应。
三次函数的图像和性质以及在高考中的应用
三次函数的性质以及在高考中的应用三次函数厂用+bF 七 +&（占0）已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。
2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。
单调性和对称性最能反映这个函数的特性。
下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。
函数厂卅4贰址沙验知）的导函数为八“+2卄。
我们不妨把方程2 I曲+称为原函数的导方程，其判别式色=4@一纸）。
若A >0，设其两根，则可得到以下性质:性质1：函数厂宀贰七+班尹）,若>0|,当A兰0时，y = f（x）是增函数；当|A >0|时，其单调递增区间是（-©无山［比+®）,单调递增区间是【冋，帀】；若口uD，当A < 0时，戸=/0）是减函数；当A >0时，其单调递减区间是（-□也］,［心！+侗），单调递增区间是［乃*心］。
（证明略）推论：函数厂用+用 F+辿#®,当怙£0|时，不存在极大值和极小值；当心时，有极大值41）、极小值•‘「。
根据a和「的不同情况，其图象特征分别为：图1性质2 :函数了何"F +M +滋+乳口尹5 ［耕*用］,若观E ［糾总］,且''■ ' 1 '，则：/何闷=msLX（f（m^ /（0）, /何）.（证明略）性质3 :函数’I .「一I是中心对称图形，其对称中心是证明：设函数7（工）=/亠曲4^+平知）的对称中心为（m, n）o—按向量住7-用、-冊将函数的图象平移，则所得函数》=/（兀+啊）一丹是奇函数，所以j（才+ wi） + 丁（一工+ - 2w = 0（纸诅+3）常-+a^ +助即+卍耕4£ 一理=0 上式对・L「恒成立，故化简得:3rna +占=0 ,得n - am1十占烧° +即耗+ d = /（------------ ）3aO__________________________ . 丄■ f （丄）所以，函数P =赤4” 5 T占°）的对称中心是（x 3a）o可见，y = f（x）图象的对称中心在导函数y ：I的对称轴上，且又是两个极值点的中点。
全国高中数学 青年教师展评课 三次函数的图象和性质教学设计(青海西宁五中)
“三次函数的图象与性质”教学设计一、教学内容解析：三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。
三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。
因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。
但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。
本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。
同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。
基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为：重点：（1）探究系数a,b,c,d的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律；（2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。
难点：根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。
二、教学目标设置：根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标：1、知识与能力：①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。
②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。
③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。
2、过程与方法：通过对函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。
3、情感态度与价值观：通过直观的图形和抽象的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。
人教A版二 级三次函数的图象和性质的教学设计
人教A版二年级选修2-2《三次函数的图象和性质》的教学设计第一章导数及其应用第三节导数在研究函数中的应用（第四课时）【教学设计】【教学目标】知识与技能：1．识记三次函数图象的特征；2．会利用导数研究三次函数的单调性和极值；3．正确作出三次函数图象的简图．过程与方法：通过对《超级画板》作出的三次函数的图象进行观察和分析，作出猜想和发现，从而探讨三次函数的性质；用导数研究三次函熟性质后，利用计算机图形技术进行验证，体会数形结合的思想方法．情感态度与价值观：1．说出利用计算机图形技术研究三次函数性质的好处；2．逐渐树立数形结合数学思想和严谨求实的科学态度．【总任务】三次函数3=+++≠的图象特征、单调性与极值、简图作法() (0)f x ax bx cx d a【教学过程】一、学生知识和能力准备1．熟悉二次函数的图象（抛物线）特征、性质，正确作出二次函数的图象；2．会利用导数研究特殊三次函数的单调性和极值．二、资源准备1．学生阅读内容：教材本单元中的例2和例4；信息技术应用—《图形技术与函数性质》（P）332．教师准备《超级画板》课件：《三次函数的图象和性质》三、教学步骤（一）步骤一：创设情景1．你知道函数3=的图象的名称吗？你知道它的大致形状和主要特点吗？你能y x用什么方法画出它吗？你能根据图象理解并记忆这个函数的那些性质？（立方抛物线；单调上升、关于原点对称；描点作图；定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增）2．你想知道一般的三次函数3=+++≠图象的大致形状和主要f x ax bx cx d a() (0)特点吗？你想过用什么方法画出三次函数图象吗？3．你研究过一般三次函数的性质吗？你尝试过根据图象理解并记忆三次函数的性质吗？（二）步骤二：探究11、探究问题三次函数3=+++≠的图象特征f x ax bx cx d a() (0)2、探究目标初步认识三次函数图象的大致形状，了解其主要特点，根据图象看出单调区间，培养学生识图和用图能力．3、探究方式和方法探究方式：实验探究、合作探究探究方法：实验法、观察法、讨论法4、探究活动组织流程教师活动：利用《超级画板》课件演示三次函数3=+++≠的图象，通过改变,,,() (0)f x ax bx cx d aa b c d的值演示不同形状的图象．学生活动：观察三次函数的不同形状的图象，小组讨论归纳其大致形状、主要特点，根据图象看出单调区间．5、探究结论归纳：(1) 三次函数图象的大致形状：>0a：上升型（）、波形上升型（）；a：下降型（），波形下降型（）．<0(2) 三次函数图象的大致特点：无峰型（、）：无极值；双峰型（，）：有极值——极大值和极小值各一个．是中心对称图形．(3) 单调区间：无峰型的一个，双峰型的有三个．（三）步骤三：探究21、探究问题三次函数3=+++≠的单调性和极值f x ax bx cx d a() (0)2、探究目标运用导数研究三次函数3=+++≠的单调性和极值，培养学生分f x ax bx cx d a() (0)类讨论的数学思想、严密的逻辑推理能力和运用所学知识解决问题的能力．2、探究方式和方法独立探究，合作探究，讨论法3、探究活动组织流程教师活动：引导，巡回个别指导导语：我们通过认识三次函数3=+++≠的图象特征直观的了解f x ax bx cx d a() (0)了这个函数的性质，直观的东西一定可靠吗？（不一定）结下来，请同学们参阅课本例2和例4, 运用导数研究三次函数3=+++≠的单调性和极值．f x ax bx cx d a() (0)学生活动：首先独立进行一般性研究，然后小组讨论、交流．5、探究结论及展示3222() (0)' ()32 (0).(2)434(3).f x ax bx cx d a f x ax bx c a b a c b ac =+++≠∴=++≠∆=-⋅⋅=-， 当20 30 ' ()0b ac f x ∆>->=即 时，有两个不相等的实数根1,2x =当20 30 ' ()0b ac f x ∆=-==即 时，有两个相等的实数根12.3b x x a==-当20 30 ' ()0b ac f x ∆<-<=即 时，没有实数根（1）0a >① 230 b ac ->列表：结论：当20,30 a b ac >->时，函数3() f x ax bx cx d =+++有极大值和极小值，在区间c ⎛-∞ ⎝⎭c ⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在区间⎝⎭上单调递减．② 230 b ac -=列表：结论：当20,3=0a b ac >-时，函数3() f x ax bx cx d =+++没有极值，单调递增．③ 230 b ac -<列表：结论：当20,30a b ac >-<时，函数3() f x ax bx cx d =+++没有极值，单调递增． 综合②③得出的结论：当20,30a b ac >-≤时，函数3() f x ax bx cx d =+++没有极值，单调递增．逆向思考得出的结论：（i ）若函数3() (0)f x ax bx cx d a =+++≠单调递增，则20,30a b ac >-≤． (ii)函数3() (0)f x ax bx cx d a =+++≠单调递增20,30a b ac ⇔>-≤．（2）0a <（学生课后完成，附结论如下）当20,30 ab ac <->时，函数3() f x ax bx cxd =+++有极大值和极小值，在区间⎛-∞ ⎝⎭⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，在区间33b b a a ⎛-- ⎪⎝⎭上单调递增．当20,30a b ac <-≤时，函数3() f x ax bx cx d =+++没有极值，单调递减． 逆向思考得出的结论：（i ）若函数3() (0)f x ax bx cx d a =+++≠单调递减，则20,30a b ac <-≤． (ii)函数3() (0)f x ax bx cx d a =+++≠单调递减20,30a b ac ⇔<-≤． （四）步骤三：探究31、探究问题三次函数3() (0)f x ax bx cx d a =+++≠图象的画法2、探究目标类比绘制正弦型函数图象简图的“五点法”，探究绘制三次函数3() (0)f x a x b x c x d a =+++≠图象简图的作法，培养学生数形结合的数学思想和作图能力，能够利用几何直观对结论加以验证． 3、探究方式和方法实验探究，实验法、观察法 4、探究活动组织流程 教师活动：（1）演示绘制正弦型函数图象简图的“五点法”你还记得正弦型函数图象的对称性吗？会用“五点法”作出正弦型函数图象的简图吗？知道这五个关键点分别是函数图象的什么点吗？（中心对称、轴对称；图象的最高点、最低点、与平衡轴的交点；2个极值点--最值点，三个对称中心点）（2）演示三次函数图象（双峰型（，））通过类比，三次函数是中心对称图形，你认为哪些关键点可以大致确定三次函数的图象？ 你能猜测出三次函数图象对称中心的坐标吗？你能提出一个快速作出三次函数图象的 “n 点法”来吗？学生活动：观察、讨论，提出自己的观点，尝试作出教材例2和例4中三次函数的图象．4、 探究结论与展示（1） 双峰型：三个关键点：2个极值点，一个对称中心点，另外在关于中心点对称的两个单调区间内对称地至少取一对点，函数的零点（如果易求）． 简记为“三+N 点法”，“一个中心两个峰，中心对称成图形”．（2） 无峰型：一个对称中心点，另外在关于中心点对称的两个单调区间内至少取一对点，函数的零点（如果容易求得的话）． 简记为“一+N 点法”，“中心对称成图形”．（3） 对称中心是函数两个极值点连线的中点，其坐标为：',33bb O f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（证明留给学生课后探究）【教学设计说明】1、教材及内容解析求三次函数的单调区间和极值是本节的重点．教材安排了两个例题和多个习题，例题后面给出函数图象，目的是用函数图象为结论提供直观支持，把函数的解析表示和图形表示有机结合起来．教材特别安排了习题1.3 B 组第二题，鼓励学生利用信息技术工具画出三次函数图象，对一般的三次函数的单调性和极值进行探索，进行直观验证．体会到教材的编写意图，为了帮助学生学好一般的三次函数及其性质，以此题为素材设计了这个探究．2、学情分析学生已经知道利用导数研究函数的单调性以及极值的方法，会用导数求一个具体的三次函数（有极值的）的单调区间以及极值，通过例题后面给出的图象有了直观验证．学习数学不仅要学会举一反三，而且更重要地是要善于举三反类，因此，研究一般的三次函数的性质，通过图象进行直观验证，就成为学生的一种自然地迫切的学习需要．合理地使用信息技术，旨在帮助学生更好地认识和理解函数及其性质，同时可以增加学习兴趣．3、设计思路与其他依据设计思路：感知图象—归纳特征—直观性质—证明结论 其他依据：现代认知心理学理论认为，学生的学习是学生主体基于已有的知识和经验由学生自己主动、积极建构的过程．这种建构不可由他人替代，学习者是在主体与环境的交互作用中不断重构、发展和深化主体的理解和知识．教师应作为学生自主探究、合作交流、反思提高的指导者与合作者．《新课程标准》确立了学生在教学中的主体地位．而素质教育则更突出强调学生的主体参与、过程教学，强调发展学生的主体的创新精神和实践能力．【设计后反思】1、设计的特点设计思路符合学生认知规律；合理使用信息技术，帮助学生更好地认识和理解函数及其性质；充分利用《超级画板》软件的作图功能和分析功能，演示三次函数的动态解析式和相应的动态图象，动态演示图象的中心对称特征，有利于学生全面认知三次函数的图象的特征，形成对三次函数单调性等性质的直观印象．2、可能达到的效果根据三次函数解析式正确判断其图象形状、有无极值，求出其对称中心、单调区间，并画出其简图．3、要注意的方面教师要熟练掌握《超级画板》软件操作技能，提醒学生仔细观察图象；有的学生不习惯于解决一般性问题，要加强个别引导；不要过分强调几何直观而忽视代数证明．。
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“三次函数的图象和性质”教学设计1、设计意图与学情分析三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材。
本节课是在复习“二次函数”基础上的一节高三复习探究课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数的工具来研究三次函数的图象和性质，符合学生的认知规律。
通过本节内容的教学，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、函数极限、导数等相关知识，完善学生的知识结构，体会其中蕴涵的数学思想方法，同时也有利于扩展学生的数学视野，体验再发现和再创造的过程，发展学生独立获取数学知识的能力，提高学生应用所学知识解决问题的能力。
另外，作为高三复习教学，力求想走出简单重复与承袭过去的怪圈，三次函数在近几年全国各地高考及模拟试题中频繁出现，但教材和各种资料中往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。
2、教学目标与重点难点通过这节课的教学想达到下列三个目标：1）知识目标：让学生了解三次函数的概念、定义域、值域；能利用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性，发现三次函数图象的对称性，进一步理解函数的单调性、对称性、极值，能利用图象来讨论三次方程实根的个数，体会分类讨论、数形结合、函数方程的数学思想方法。
2）能力目标：培养学生识图能力、探究能力和创新意识，提高运用所学知识解决问题的能力。
3）情感目标：让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，鼓励学生勇于探索、设法寻到解决问题的方案，体验“再创造”的乐趣。
这节课的教学重点是讨论三次函数的单调性和相应三次方程实根的个数，发现三次函数图象的对称性，其中发现并验证三次函数图象的对称性是本节课的教学难点。
3、设计思想与教学方法这节课的设计强调学生主动探究式的学习方式，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验，注重培养学生的终生学习能力。
按建构主义观点，知识需要经过学习者自身体验，才能被有效地同化和顺应。
自然，学生在探索的过程中会遇到障碍，需要得到教师的适时引导和帮助，教师应该围绕学生的“最近发展区”做文章。
本节课始终贯彻的教学方式是：因此，不是简单地给出三次函数的概念、单调性、对称性，而是通过创设情境，搭设台阶，类比二次函数，从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性，利用多媒体呈现三次函数的图象，凭借图象的直觉去发现、去探索，从直觉层面、几何层面、代数层面、导函数分析层面，数形结合层面进行思考逐步加深对三次函数图象和性质的认识，最后，借助连续函数的零点存在定理来讨论三次方程的实根的个数，作为对三次函数图象和性质的应用。
在整个教学过程中，学生的主体地位得到充分发挥，教师起组织者、帮助者和促进者的作用，利用情境、对话等学习环境充分发挥学生的主动性、积极性和创造精神，使数学教学成为数学活动的教学，享受探究带来的成就感，激发学生学习数学的兴趣，提高他们发现问题、分析问题、解决问题的能力，这正是新课程所倡导的教学理念。
4、教学流程4．1 三次函数概念T ：类比二次函数，请同学们自己对三次函数下定义。
[板书]形如)0(23≠+++=a d cx bx ax y 的函数叫做三次函数。
定义域：R ；T ：要求三次项的系数不为0，那么三次项的系数a 与函数值变化有什么关系？S ：当0>a 时，让x 无限增大，对函数值y 起决定地位的是3ax 项，即+∞→x ，+∞→y ；同样地当-∞→x 时，-∞→y ，（让学生体会极限的思想方法）[板书]：值域为RT ：下面我们从已搭建的研究函数的一般“平台”出发来探讨三次函数的图象和性质。
4．2 三次函数的图象和性质4．2．1单调性：T ：研究三次函数的单调性，常用什么工具？S ：导数。
T ：下面我们一起先来做两个题目：(多媒体演示例1、例2)例1、已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。
例2、试确定函数x x x f 3)(3-=的单调区间，并在同一坐标系中画出此函数与它的导函数图象。
（以上两题由同学们自己完成，然后交流。
旨在复习导数、极值二次不等式恒成立等相关知识，引导学生从特殊的简单的情形出发，先从图象上直观感知三次函数的单调性，并能结合导函数图象（如图1）分析，为接下来得出一般性结论作铺垫）T ：要使函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数，系数应满足什么条件？要使函数 )0(23≠+++=a d cx bx ax y 图1 在R 上不是单调函数，那么它在R 上一定有几个单调区间，系数又应满足什么条件？ （通过学生自主探究，相互交流、讨论，得出以下结论）[板书]一般地，当032≤-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
（根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论）4．2．2对称性：T ：根据你的经验，三次函数的图象有何特征？S ：象“闪电”一样。
T ：三次函数是否具有奇偶性？S ：有些是奇函数，有些不是奇函数，但不可能是偶函数。
T ：奇函数的本质是什么？S ：奇函数的图象关于原点成中心对称。
T ：下面我们一起来观察几个三次函数的图象，表达式中的系数d c b a ,,,请同学们提供。
（多媒体演示几个三次函数的图象） O O y x yT ：三次函数图象有什么共性？图象有对称中心吗？（学生的思维被激活，他们开始讨论，有些说有对称中心，有些说没有对称中心） S 1：三次函数图象好象都是关于某个点成对称，且对称中心就在三次函数的图象上。
（直觉是发现的前奏）S 2：老师，因为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的导函数是二次函数)0(23)(2≠++='a c bx ax x f ，二次函数是轴对称图形，根据导数的几何意义，说明三次函数的图象上关于某个点对称的两点处的导数值始终相等，说明这两点处切线的斜率相等。
S 3：是的，我猜想：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 对称中心的横坐标是其导函数的极值点的横坐标ab x 3-=。
（教师鼓励他们，继续引导学生从感性向理性过渡）T ：3)(x x f =，Bx Ax x f +=3)(，它们都是奇函数，所以他们的对称中心均为原点)0,0(。
T ：函数)()()(030x x B x x A x f -+-=有对称中心吗？S 4：有，是点)0,(0x .T ：追问：函数0030)()()(y x x B x x A x f +-+-=有对称中心吗？S 5：有，是点),(00y x .S 6：（抢着说）老师，我知道了，三次函数一定有对称中心，你随便给我一个三次函数，我总可以把它化为0030)()()(y x x B x x A x f +-+-=的形式。
T ：为什么？S 6：我象二次函数配方那样，对三次函数“配三次方”，一定可以把二次项“隐藏”起来。
T ：精彩！二次函数经过“配方”，“配”出了一条对称轴，三次函数经过“配三次方”，“配”出了一个对称中心。
请大家一起来试试。
[板书]例3、试求函数663)(23-+-=x x x x f 图象的对称中心。
O y x O x y O xS ：找到了，点)2,1(-。
（用图象来验证）T ：[板书]∵2)1(3)1()(3--+-=x x x f ∴函数)(x f 的图象关于点)2,1(-对称。
事实上这里的00,,y x B 被d c b ,,所确定，任意一个三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 一定能化为0030)()()(y x x B x x a x f +-+-=的形式。
（培养学生化归意识，也体现了方程思想）T ：我们把它叫三次函数的“什么式”？S 7：联想到二次函数的解析式有：一般式、顶点式、两根式，把它叫“中心式”。
S 8：老师，我想用以前学过的一个结论（函数)(x f ，对于定义域内的任意x ，都有b x a f x a f 2)()(=-++成立的充要条件是函数)(x f 的图象关于点),(b a 对称）来证明？但感觉很麻烦。
T ：想法很好，我们只需证明()()2()333b b b f x f x f a a a-++--=-，请同学们课后完成。
（教师归纳总结，结合三次函数图象及它的导函数图象，根据导数的几何意义来加以解释：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 对称中心的横坐标是其导函数的极值点的横坐标，并归纳证明三次函数对称性的两种方法）方法一：任意一个三次函数都可化为0030)()()(y x x B x x A x f +-+-=的形式。
方法二：用结论（函数)(x f ，对于定义域内的任意x ，都有b x a f x a f 2)()(=-++成立的充要条件是函数)(x f 的图象关于点),(b a 对称）来证明。
[板书]三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(ab f a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
4．4应用——讨论三次方程实根的个数 [板书]例4、讨论方程)0(023>=+++a d cx bx ax 的实根的个数。
分析：函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的图象与x 轴有几个交点，方程便有几个根。
（通过学生的自主探索，师生交流，共同完成以下结论）1、当△=01242≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
2、当△=01242>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，由图象可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。
此时：1） 若0)()(21>⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根（如图2、3）。
图2 图3 2） 若0)()(21<⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根（如图4）。
3） 若0)()(21=⋅x f x f ，即 )(1x f 与)(2x f 中有且只有一个 图4值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等（如图5、6）。