高中物理水平面内圆周运动的临界问题
水平面内圆周运动的临界问题
水平面内圆周运动的临界问题
题
水平面内圆周运动的临界极值问题型 分1.与摩擦Fra bibliotek有关的临界问题
类 2.与弹力有关的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰
好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力， 则有Ffm＝mv2/r，静摩擦力的方向一定指向圆心； 如果除摩擦力以外还有其他力，存在一个恰不向内 滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件.
速转动时，要保持木块与转盘相对静 止，木块转动半径的范围是多少？(g 取10 m/s2)
【盘审题备转用动123...当当若变的木使木式角块 木块速】离 块恰度对圆 半好范于心 径不围上的再向是题距增里多，离大滑少若很动,木？木小时块块时,所木,转块受随动受圆各的力盘力情转情半况动况径如,又保木何会块持?如会r遵=何向0从变.圆5什m化心么,则？滑规转动律？？
两边连接着物理过程的不同阶段，各阶段物体的运动形 式以及遵循的物理规律往往不同． 4．结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析。
【跟踪训练】 如图所示，质量为m的
木块，用一轻绳拴着，置于很大的水
平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管， 与质量也为m的小球相连，木块与转 盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍(μ ＝0.2)，当转盘以角速度ω＝4 rad/s匀
审 (1)转台的角速度较小时，谁提供向心力？
题
(2)物块A、B谁先达到最大静摩擦力？ (3)细线上何时开始出现张力？
设 (4)细线上有张力时，谁提供物块A、B的向心力，列出表 达式？
疑 (5)两物块何时开始滑动？
转 解析
【备选】 如图所示,水平杆固定在竖直杆上,两者互相垂直,水平杆上 O、 A 两点连接有两轻绳,两绳的另一端都系在质量为 m 的小球上,OA＝OB
2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题
2
对 a 有 kmg-FT=ml2 ,对 b 有 FT+kmg=m·
2l2 ,解得 ω2=
2
。
3
拓展变式 2
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零?
答案 (1)
2
(2)
解析 (1)在 b 的静摩擦力达到最大时,轻绳刚要产生拉力,对 b 有
的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数
为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小
物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g
取10 m/s2。
(1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少?
(2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,
滑动的末速度 vt',由题意可得 vt'2-0 2 =-2ax'
由于餐桌半径为 R'= 2r,所以 x'=r=1.5 m
解得 vt'=1.5 m/s
设小物体做平抛运动的时间为 t,则
1 2
h=2gt ,解得
t=
小物体做平抛运动的水平位移为 x1=vt't=0.6 m。
2ℎ
=0.4
s
审题指导
关键词句
在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
题型一
水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关
的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路
高中物理圆周运动的临界问题(含答案)
1圆周运动的临界问题一 ．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m rv 2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝lkg2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝lkg32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。
它们所需的向心力由F 向＝mω2r知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起2绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝lkg32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝32kmg ，选项D 错误【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A ．OB 绳的拉力范围为 0～33mg B ．OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg C ．AB 绳的拉力范围为33mg ～332mg D ．AB 绳的拉力范围为0～332mg 答案 B解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝33mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg ，AB 绳的拉力范围为 0～33mg ，B 项正确。
圆周运动临界问题 高一下学期物理人教版必修2
（2）水在最高点速率v=3m/s时水对桶底的压力？
解：（1）以最高点处的水为研究对象，当桶底对水没有支持力 时，水刚好不流出，由牛顿第二定律和向心力公式得
mg mvm2in / r vmin gr 2m / s
（2）设桶底在最高点处对水的支持力为FN，由牛顿第二定律和 向心力公式得
它们到转轴的距离分别为r、2r，两物块与转盘间的动摩擦因
数均为μ．当转盘以某角速度匀速转动时，A、B均一起随转盘
转动，则以下说法正确的是（
）
A.两物体所受的静摩擦力均指向圆心
B.两物体所受的静摩擦力的大小相等
C.当角速度增大到一定程度时，两物体同时开始滑动
D.当角速度增大到一定程度时，B物体先开始滑动
fA 2m r 2; fB m 2r 2 fA fB
分析：设转盘角速度为ω0时，物体刚开始滑动。
m ' g m ' R02 0 g / R
B
A
RA r RB 2r 0A 0B
故在转盘角速度一定时，B物体比A物体更容易滑动。
专题讲座：圆周运动中的临界问题
一、水平面内的圆周运动的临界问题
mg FN mv2 / r FN mv2 / r mg 6.25N
由牛顿第三定律知水对桶底的压力大小为6.25N,方向竖直向上.
例2.长L=0.4m，质量可忽略的细杆，其下端固定于O点，上端
连接着一个质量为m=2.0kg的小球A，A绕O点做圆周运动，在A
通过最高点时，（g=10m/s2)
课堂小结
临界问题----三部曲 步骤一：会不会---判断是否出现滑动、脱离、松弛； 步骤二：啥时会---确定临界状态，求出对应临界值； 步骤三：是否会---进行比较，确定状态，具体分析.
水平面内圆周运动临界问题的分析技巧
水平面内圆周运动临界问题的分析技巧1．在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势．这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)．2．三种临界情况：(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T＝0.1．(多选) 如图1所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()图1A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg答案AC解析小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：f a＝mωa2l，当f a＝kmg时，kmg＝mωa2l，ωa＝kgl；对木块b：f b＝mωb2·2l，当f b＝kmg时，kmg＝mωb2·2l，ωb＝kg2l，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则f a＝mω2l，f b＝mω2·2l，f a<f b，选项B错误；当ω＝kg2l时b刚要开始滑动，选项C正确；当ω＝ 2kg 3l 时，a 没有滑动，则f a ＝mω2l ＝23kmg ，选项D 错误．。
圆周运动的临界问题-高考物理复习
力提供向心力，有μmg＝mω2lsin θ，解得 ω＝ 4gl，可得
当 ω≤ 4gl时绳子无张力，ω> 4gl时绳子有张力，故 A、B 正确；圆台对木箱恰好无支持力时，有 mgtan θ＝mω2lsin θ，
解得 ω＝ 53gl ，即当 ω≥ 故 C 正确，D 错误。
53gl 时，圆台对木箱无支持力，
目录
研透核心考点
2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律 方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛 顿第三定律求出压力。
目录
研透核心考点
2.(2024·北京丰台高三期中)如图5甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点 时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的 一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的
0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在
竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确
的是( D )
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s
图3
B.当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力为 15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的最大速度不能超过 4 2 m/s
目录
研透核心考点
1.(多选)如图2所示，在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l， 细绳的一端连接一个小木箱，木箱里坐着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹 角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊的总质量为m，木箱 与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水
6.4圆周运动的临界问题人教版(教材)高中物理必修二PPT
题述的过程存在着“起止点”，对应着临界状态； ➢ 若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述
的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态。
（2）方法突破——步骤：
[写秦军势如破竹，说明故事的背景。] 24.《离骚》中表明自己即使佩带芳草和玉佩，但是自己光明纯洁的品质没有亏损的两句： 1、 关于烛之武
共享经济的迅速崛起和发展绝非偶然，伴随着经济水平的发展，消费日益多元化和细分化，传统粗放型经济模式已经不能完全资源的高效配置。而共享经济能有效的调整供需需求 ，将闲置资源进行合理配置，更好的满足差异化的需求。同时，共享经济借助互联网形成了全新的社交信赖体系，并通过社群和分享的方式，颠覆着传统产业形态的发展。
＝20 m /s，故 B 正确。
绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运 动，水的质量m=0.5kg，绳子长度为L=60cm，求：
明确：当权者不注意选拔人才，有权者的嫉妒。 微：1．则名微而众寡（细小，轻微 2、 请学生思考：
（1）最高点水不留出的最小速度？ 荆轲刺秦王的历史背景
3、让学生展开想象，想象烛之武在漫长的岁月里是怎样渴望为国立功，实现自己的报负的。 6．情景交融．意境旷达，极写自己羁旅之愁和孤独之感的句子是：万里悲秋常作客，百年多病独登台。 且举世誉之而不加劝，举世非之而不加沮。
是：FT＝0。
（4）水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类： 一类是与摩擦力有关的临界问题；一类是与弹力有关的临界问题。 第一、与摩擦力有关的临界极值问题
物①心体如；间果恰只好是不摩发擦生力相提对供滑向动心力的，临则界有条F件m＝是物m体vr间2 恰，好静达摩到擦最力大的静方摩向擦一力定。指向圆
圆周运动的临界问题
解：在最高点F向=G+T, 即G+T=mv2/r
T=mv2/r-mg≥0
小球经过最高点的速度：v gr
线或绳
讨论：
①、当 v gr 时，细绳对小球没有拉力作用。向心
力只由小球所受重力提供。
②、如果 v＞ gr ，轻绳对小球存在拉力。
③、如果 v＜ gr ，小球无法到达圆周的最高点
练习：如图，在“水流星”表演中，绳长为 1m，水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的 速度为4m/s，求此时绳受到的拉力大小。
变式训练2：如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其
轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端 拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆 锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v＝ gl 6
时，求绳对物体的拉力；
练习：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端 固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A 绕O点做圆周运动,在A通过最高点时，试讨论在下列 两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m/s时 ②当A的速率v2＝4m/s时
A
L
O
小结：
一．水平面内的圆周运动的临界问题
处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从 而结合其他力分析出指向圆心的合外力的变化，以 确定圆周运动的其他物理量的变化范围。
mgt0 am n ω 1 2L 3s0 i3n00
B
30 0
45 0
C
将已知代入解得ω1＝2.4 rad/s
②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC
增大。设角速度达到ω2时，TAC=0，则③ω＝3 rad／s，此时两绳拉
竖直、水平面内圆周运动中的临界问题和周期性问题(有解答)
水平面内圆周运动中的临界问题一、圆周运动问题的解题步骤:1确定研究对象2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径3、分析研究对象的受力情况，画受力图4、确定向心力的来源5、由牛顿第二定律F n ma n 2 小V 2 / 2 \ 2m m r m(——)rr T二、临界问题常见类型：1按力的种类分类：（1 ）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无，或从无到有绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无（2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦2、按轨道所在平面分类：（1 ）、竖直面内的圆周运动（2）、水平面内的圆周运动三、竖直面内的圆周运动的临界问题1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R宀v临界=.Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力②能过最高点的条件：v> Rg，当v> . Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力.③不能过最高点的条件：v v V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳子长度为求：（g 取10m/s2）A、最高点水不留出的最小速度？B、设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力？答案：（1）、、6m/s （2）2.5N列方程求解l=60cm ,变式1、如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.（1）若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？（2）若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg,则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题:汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度V gr时，汽车对弧顶的压力FN=O,此时汽车将脱离桥面做平抛运动, 因为桥面不能对汽车产生拉力.例2、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图所示。
23圆周运动临界问题
水平面内匀速圆周运动的临界问题考点规律分析水平面内圆周运动的临界问题，其实就是要分析物体所处的状态的受力特点，然后结合圆周运动的知识，列方程求解，一般会涉及临界速度、临界角速度等。
通常有下面两种情况：(1)与绳的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出绳恰好无弹力或弹力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。
(2)与支持面弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)。
(3)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。
典型例题例如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是()A．B对A的摩擦力一定为3μmgB．C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力C．转台的角速度一定满足：ω≤2μg 3rD．转台的角速度一定满足：ω≤μg 3r[规范解答]对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，只有当A要相对于B滑动时B对A的摩擦力才为3μmg，故A错误。
A与C转动的角速度相同，都是由静摩擦力提供向心力，对A有F f A＝3mω2r，对C有F f C＝mω2·1.5r，由此可知C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，故B错误。
当C刚要滑动时：μmg＝mω2C·1.5r，解得ωC＝2μg3r；对A、B整体刚要滑动时：μ(2m＋3m)g＝(2m＋3m)ω2AB r，解得ωAB＝μgr；当A刚要相对于B滑动时：3μmg＝3mω2A r，解得：ωA＝μgr；由以上可知要想三个物体均不滑动，角速度应满足：ω≤2μg3r，故C正确，D错误。
[完美答案]C举一反三1.如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看做质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
高中物理新教材同步必修第二册 第6章 专题强化 水平面内的圆周运动的临界问题
水平面内的圆周运动的临界问题[学习目标] 1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件.2.掌握圆周运动临界问题的分析方法．物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态．水平面内的圆周运动常见的临界问题：(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值．(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0.(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值．(4)物体所受支持力为0或绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0.例1(2022·河北邯郸一中高二学业考试)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()A．A的向心加速度最大B．B和C所受摩擦力大小相等C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动答案 C解析A、B、C三物体角速度相同，a n＝ω2r，则物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，F f B＝mω2R，F f C＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时，kmg＝mω2r，ω＝kg，故滑动的临界角速度与质量无关，rr越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，A、B同时滑动，选项C正确，D错误．针对训练如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r ，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(重力加速度为g )(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度； (2)当角速度为3μg2r，绳子对物体拉力的大小． 答案 (1)μg r (2)12μmg 解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力，绳子拉力为零时转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，根据牛顿第二定律有μmg ＝mω02r ，得ω0＝μgr. (2)当ω＝3μg2r时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F 和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F ＋μmg ＝mω2r 解得F ＝12μmg .例2 (2022·南通市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，物块到转轴的距离为r .一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方43r 处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g .(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值； (2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值． 答案 (1)μgr(2)3g 4r解析 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg ＝mrω12，解得：ω1＝μg r. (2)物块恰好离开转盘，则F N ＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，mg tan θ＝mω22r tan θ＝34联立解得：ω2＝3g 4r. 例3 (多选)如图所示，质量为m 的小球由轻绳a 和b 分别系于一轻质细杆的A 点和B 点，当轻杆绕轴OO ′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a 绳与水平面成θ角，b 绳平行于水平面且长为l ，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )A ．小球一定受a 绳的拉力作用B ．小球所受a 绳的拉力随角速度的增大而增大C ．当角速度ω>gl tan θ时，b 绳将出现弹力 D ．若b 绳突然被剪断，则a 绳的弹力一定发生变化 答案 AC解析 对小球受力分析可得a 绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得F T a ＝mgsin θ，为定值，A 正确，B 错误．当F T a cos θ＝mω2l ，即ω＝gl tan θ时，b 绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b 绳将出现弹力，C 正确．由于b 绳可能没有弹力，故b 绳突然被剪断，a 绳的弹力可能不变，D 错误．1.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上离转轴某一距离处放一小木块，该木块恰能跟随圆盘做匀速圆周运动而不发生相对滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在改变下列哪种条件时，物体仍能与圆盘保持相对静止()A．增大圆盘转动的角速度B．增大木块到转轴的距离C．增大木块的质量D．改变上述的任一条件都不能使木块与圆盘继续保持相对静止答案 C解析木块刚要发生相对滑动时，最大静摩擦力提供向心力，此时有：μmg＝mω2r，角速度ω增大，所需要的向心力F n＝mω2r增大，mω2r将大于最大静摩擦力μmg而发生相对滑动，故A错误；木块到转轴的距离越大，需要的向心力F n＝mω2r越大，则会发生滑动，故B错误；木块在圆盘上发生相对滑动的临界状态是μmg＝mω2r，由此可知与质量无关，所以增大木块的质量仍能保持相对静止，故C正确，D错误．2．(2021·嘉兴市高一期中)如图所示，a为置于距圆桌转盘中心r1处的杯子，装满水的总质量为2m，另有一空杯子b质量为m，置于距圆盘中心r2处，已知r2＝2r1，圆盘从静止开始缓慢地加速转动，两杯子与桌面间的动摩擦因数均为μ(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，且均未相对桌面滑动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法不正确的是()A．b比a先达到最大静摩擦力B．a、b所受的摩擦力始终相同C．ω＝μg2r1是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝μg2r1时，a所受摩擦力的大小为μmg答案 B解析杯子随着圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，a刚要开始滑动时有μ2mg＝2mωa2r1，解得ωa＝μgr1，b刚要开始滑动时有μmg＝mωb2r2，解得ωb＝μgr2＝μg2r1，因为b比a先达到最大静摩擦力，故b先开始滑动，故A、C正确；在杯子b的摩擦力没有达到最大前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知F f a＝2mω2r1，F f b＝mω2r2＝2mω2r1，所以a和b 受到的摩擦力大小是相等的，方向不同，故B错误；当ω＝μg时，a没有发生相对滑动，2r1静摩擦力为F f＝2mω2r1＝μmg，故D正确．3.如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB答案 C解析把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝m v2，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也R相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B错误；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μB mg－μA mg＜μA mg，即μB＜μA，故D错误．4.(2021·棠湖中学高一质检)如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r 的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．重力加速度为g，则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是()A．螺丝帽受重力、弹力、摩擦力以及向心力B．螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心C．此时手转动塑料管的角速度ω＝g μrD．若塑料管转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管发生运动答案 C解析螺丝帽受重力、弹力和摩擦力三个力的作用，螺丝帽在水平方向受到的弹力提供向心力，弹力的方向指向圆心，故A、B错误；螺丝帽恰好不下滑，则螺丝帽受到的重力和最大静摩擦力平衡，根据mg＝F f＝μF N，F N＝mω2r，解得ω＝gμr，故C正确；若塑料管转动加快，则所需向心力增大，弹力增大，最大静摩擦力增大，螺丝帽受到的重力和静摩擦力仍然平衡，故D错误．5．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是()A．此时绳子张力为F T＝4μmgB．此时圆盘的角速度为ω＝2μg rC．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内D．若此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动答案 B解析A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2R，B的运动半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A、B，根据牛顿第二定律分别得：F T－μmg＝mω2r，F T＋μmg＝mω2·2r，解得：F T＝3μmg，ω＝2μgr，此时A所需的向心力大小为F n A＝mω2r＝2μmg，B所需的向心力大小为F n B＝mω2·2r＝4μmg ，若此时烧断细线，A 、B 的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A 、B 均做离心运动，故B 正确，A 、C 、D 错误．6．如图所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO ′重合．转台以一定角速度匀速转动，一质量为m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O 点的连线与OO ′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g .求转台转动的角速度．答案2gR解析 对小物块受力分析，如图所示：设此时的角速度为ω0，由支持力和重力的合力提供向心力，有：mg tan θ＝mRω02sin θ，解得：ω0＝g tan θR sin θ＝gR cos θ＝2g R. 7．(2021·宿迁市高一期中)“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能滑向盘的边缘．如图所示，质量为m 的人(视为质点)坐在转盘上，与转盘中心O 相距r ，转盘的半径为R ，人与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .(1)当转盘的角速度大小为ω0时，人未滑动，求此时人受到的摩擦力大小和方向； (2)使转盘的转速缓慢增大，求人与转盘发生相对滑动时转盘的角速度大小ω；(3)当人滑至“魔盘”侧壁时，只要转盘的角速度不小于某一数值ωm，人就可以离开盘面，贴着侧壁一起转动，试求角速度ωm的大小．答案(1)mω02r指向转盘中心O点(2)μgr(3)gμR解析(1)人做圆周运动，摩擦力提供向心力，有F f＝mω02r，方向指向转盘中心O点(2)静摩擦力提供人做圆周运动所需的向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，此时的角速度为最大角速度，则μmg＝mω2r解得ω＝μgr(3)人离开盘面贴着侧壁一起转动时，竖直方向受力平衡，水平方向侧壁对人的支持力提供向心力，则有F N＝mωm2RμF N＝mg解得ωm＝gμR.8.如图所示，质量为m的木块，用一轻绳拴着，置于足够大的水平转盘上，轻绳穿过转盘中央的小孔，与质量也为m的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的0.2倍，当转盘以角速度ω＝4 rad/s匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是多少？(g取10 m/s2)答案见解析解析由于转盘以角速度ω＝4 rad/s匀速转动，因此木块做匀速圆周运动所需向心力为F＝mrω2.由题可知轻绳的拉力F T＝mg.当木块做匀速圆周运动的半径取最小值时，其所受最大静摩擦力与拉力方向相反，则有mg －μmg＝mr minω2，代入数据，解得r min＝0.5 m；当木块做匀速圆周运动的半径取最大值时，其所受最大静摩擦力与拉力方向相同，则有mg ＋μmg＝mr maxω2，代入数据，解得r max＝0.75 m.因此，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是0.5 m≤r≤0.75 m.9．(2021·南京外国语学校高一期中)如图所示，长为L的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直线夹角θ＝60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上．求：(重力加速度为g)(1)当小球刚好离开水平桌面时，小球匀速转动的角速度ω0为多大；(2)当小球以ω1＝gL做圆锥摆运动时，绳子张力F1为多大？桌面对小球的支持力F N1为多大；(3)当小球以ω2＝3gL做圆锥摆运动时，绳子张力F2及桌面对小球的支持力F N2各为多大．答案(1)2gL(2)mg12mg(3)3mg0解析(1)当小球刚好离开水平桌面做匀速圆周运动时，由向心力公式可得mg tan θ＝m·L sin θ·ω02解得小球的角速度为ω0＝2gL(2)当小球以ω1＝gL做圆锥摆运动时，由于ω1<ω0，桌面对小球存在支持力，竖直方向小球处于平衡状态，满足F N1＋F1cos θ＝mg水平方向由向心力公式可得F1sin θ＝m·L sin θ·ω12联立解得F1＝mg，F N1＝12mg(3)当小球以ω2＝3gL做圆锥摆运动时，由于ω2>ω0，小球离开桌面，故桌面对小球的支持力F N2＝0设此时绳子与竖直方向夹角为α，由向心力公式可得F2sin α＝m·L sin α·ω22解得F2＝3mg.。
圆周运动中的临界问题
(1)不滑动
质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图甲、乙所
示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速
度也达到最大，即Ffm＝m
vm2 r
，解得vm＝m
Ffm r m
。
• 这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度。
圆周运动中的临界问题
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(2)绳子被拉断
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圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
当物体从某种特性变化为另一 种特性时，发生质的飞跃的转折状 态，通常叫做临界状态，出现临界 状态时，即可理解为“恰好出 现”，也可理解为“恰好不出现”
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圆周运动中的临界问题
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1．水平面内圆周运动的临界问题
圆周运动中的临界问题
• 解析：设物体M和水平面保持相对静止，当ω具有最 小值时，M有向圆心运动的趋势。所以M受到的静摩 擦力方向沿半径向外，且等于最大静摩擦力，隔离 M分析受力有
• T－fm＝Mω2r，又T＝mg • 0．3×10－2＝0.6ω×0.2，ω1＝2.9rad/s • 当ω具有最大值，M有离开圆心趋势。M受的最大静
的来源。
圆周运动中的临界问题
用长L＝0.6m的绳系着装有m＝0.5kg水的小桶，在竖直平面内做 圆周运动，成为“水流星”。g＝10m/s2。求：
(1)最高点水不流出的最小速度为多少？ (2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力多大？
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圆周运动中的临界问题
小
结
处理临界问题的解题步骤
摩擦力2N、指向圆心，隔离M受力分析有
• T＋fm＝Mω2r • 又T＝mg,0.3×10＋2＝0.6ω×0.2，ω2＝6.5rad/s • 所以ω的范围是2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s。
水平面内圆周运动的模型和临界问题
水平面内圆周运动的模型和临界问题一、水平面内圆周运动的模型和临界问题1、模型：有水平转盘模型、圆锥筒、圆锥摆模型和火车转弯问题等。
2、临界问题：（1）静摩擦力产生的临界情况：在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化，当$F_f$达到最大值$F_{f\rm max}$时，对应有临界角速度。
解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变”这一特点。
（2）与弹簧或绳连接的物体的临界情况：处理该类问题时关键是分析弹力的大小和方向的改变。
特别是有摩擦力参与的问题更需要和静摩擦力的特点相结合。
对于与弹簧连接的物体的圆周运动，当运动状态发生改变时，往往伴随着半径的改变，从而导致弹簧弹力发生变化。
分析时需明确半径是否改变，什么情况下改变，弹簧是伸长还是缩短等。
3、解决圆周运动中临界问题的一般方法：（1）对物体进行受力分析。
（2）找到其中可以变化的力以及它的临界值。
（3）求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值。
（4）用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值。
4、水平转盘模型的规律：物体离中心越远，越容易被“甩出去”。
5、圆锥筒模型的规律：稳定状态下小球所处的位置越高，半径越大，角速度就越小，线速度就越大，而小球受到的支持力和向心力并不随位置的变化而变化。
二、水平面内圆周运动的相关例题（多选）全国铁路大面积提速，给人们的生活带来便利。
火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损，为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是____A．适当减小内外轨的高度差B．适当增加内外轨的高度差C．适当减小弯道半径D．适当增大弯道半径答案：BD解析：设火车轨道平面的倾角为*α*时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定律有$mg\tanα=m\frac{v^2}{r}$，解得$v＝\sqrt{gr\tanα}$，所以，为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可行的措施是适当增大倾角$α$(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径$r$。
专题七 圆周运动的临界问题
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
条件分析
①绳的临界:张力 ;②接触面滑动的临界: ;③接触面分离的临界: .分析时一般先假设达到临界状态后,再分析结论.
C
A.小球通过最高点时的最小速度 B.小球通过最高点时的最小速度 C.小球在水平线 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线 以上的最高点的速度可以为零，故A、B错误;小球在水平线 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力 与小球重力在背离圆心方向的分力 的合力提供向心力，即 ，因此外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C正确;小球在水平线 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误.
考向二 “杆-球”模型
例4 如图甲所示，轻杆一端固定在 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为 的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 ，小球在最高点的速度大小为 ，其 图像如图乙所示.则( )
A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C. 时，在最高点杆对小球的弹力方向向上D. 时，在最高点杆对小球的弹力大小为
√
√
√
变式2 如图所示，相同的物块 、 用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上.当圆盘绕转轴转动时，物块 、 始终相对圆盘静止.下列关于物块 所受的摩擦力 随圆盘角速度的平方 的变化关系正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 角速度慢慢增大，一定是长绳挂着的那个球先离开圆锥筒，选项A正确，B错误；设小球离开圆锥筒后，绳子的拉力为 ，绳子长度为 ，与竖直方向的夹角为 ，由 ， ，联立解得 ，而 ，为小球到圆锥筒顶点的高度，所以两个球都离开圆锥筒后，它们的高度一定相同，选项C正确；而细绳中拉力 ，即两个球都离开圆锥筒时两端绳子的拉力不一定相同，选项D错误.
专题7水平面内的圆周运动的临界问题(人教2019必修第二册 )(解析版)
第六章 圆周运动专题7 水平面内的圆周运动的临界问题课程标准核心素养1. 知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件.2. 掌握圆周运动临界问题的分析方法．3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题．1、物理观念：水平面内做圆周运动的向心力来源。
2、科学思维：水平面内的圆周运动的临界问题是由哪些因素引起的。
3、科学探究：探究水平面内的圆周运动的临界问题的解决方法。
4、科学态度与责任：利用所学水平面内的圆周运动的临界问题的知识解决实际问题。
知识点01 水平面内圆周运动的临界问题1．运动特点(1)运动轨迹是水平面内的圆．(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动． 2．过程分析重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题． 3．方法突破(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力． (2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等． 4．解决方法当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，目标导航知识精讲然后再列方程求解．【即学即练1】如图所示，a为置于距圆桌转盘中心r1处的杯子，装满水的总质量为2m，另有一空杯子b质量为m，置于距圆盘中心r2处，已知r2＝2r1，圆盘从静止开始缓慢地加速转动，两杯子与桌面间的动摩擦因数均为μ(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，且均未相对桌面滑动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法不正确的是()A．b比a先达到最大静摩擦力B．a、b所受的摩擦力始终相同C．ω＝μg2r1是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝μg2r1时，a所受摩擦力的大小为μmg【答案】B【解析】杯子随着圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，a刚要开始滑动时有μ2mg＝2mωa2r1，解得ωa＝μgr1，b刚要开始滑动时有μmg＝mωb2r2，解得ωb＝μgr2＝μg2r1，因为b比a先达到最大静摩擦力，故b先开始滑动，故A、C正确；在杯子b的摩擦力没有达到最大前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知F f a ＝2mω2r1，F f b＝mω2r2＝2mω2r1，所以a和b受到的摩擦力大小是相等的，方向不同，故B错误；当ω＝μg2r1时，a没有发生相对滑动，静摩擦力为F f＝2mω2r1＝μmg，故D正确．知识点02 斜面内圆周运动的临界问题物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．【即学即练2】(多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为32，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是()A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用B．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心D．ω的最大值是1.0 rad/s【答案】CD【解析】当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，故A错误；当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误；当物体在最高点时，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，即可能指向圆心，也可能背离圆心，故C正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力F N＝mg cos θ，摩擦力F f＝μF N＝μmg cos θ，又μmg cos 30°－mg sin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故D正确．考法01 水平面内圆周运动的临界问题【典例1】如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A 和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是()A．此时绳子张力为F T＝4μmgB．此时圆盘的角速度为ω＝2μg rC．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内D．若此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动能力拓展【答案】 B 【解析】A 和B 随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F ＝mω2R ，B 的运动半径比A 的半径大，所以B 所需向心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B 的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A 的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A 、B ，根据牛顿第二定律分别得：F T －μmg ＝mω2r ，F T ＋μmg ＝mω2·2r ，解得：F T ＝3μmg ，ω＝2μgr，此时A 所需的向心力大小为F n A ＝mω2r ＝2μmg ，B 所需的向心力大小为F n B ＝mω2·2r ＝4μmg ，若此时烧断细线，A 、B 的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A 、B 均做离心运动，故B 正确，A 、C 、D 错误．考法02 斜面内圆周运动的临界问题【典例2】（多选）如下图所示是自行车场地赛中一段半径为R 的圆弧赛道（忽略道路宽度），赛道路面与水平面间的夹角为θ，不考虑空气阻力，自行车与骑手总质量为m ，两者一起在该路段做速度为v 的匀速圆周运动。
临界问题
θ
11.如图，两绳AC BC系一质量m=0.1kg 的小球，且AC绳长l=2m，两绳都拉直时 与竖直轴的夹角分别为300和450，当小球 以ω=4rad/s绕AB轴转动时，上下两绳拉 力分别是多少？ ω ω ω ω A A A A B C B C B C B C
h
0
L
α 0’
15、如图所示，已知mA=2mB=2mC,它 们距轴的关系是rA=rC=1/2rB,三物体与转 盘表面的动摩擦因数相同，当转盘的转 速逐渐增加时 A、物体A先滑动 B、物体B先滑动 A C B C、物体C先滑动 D、B与C同时开始滑动
15、如图所示，已知mA=2mB=2mC,它 们距轴的关系是rA=rC=1/2rB,三物体与转 盘表面的动摩擦因数相同，当转盘的转 速逐渐增加时 A、物体A先滑动 B、物体B先滑动 A C B C、物体C先滑动 D、B与C同时开始滑动
O M
m
6.如图，半径为R的洗 衣机圆筒，绕竖直中心 AB转动，小橡皮块a靠 在圆筒内壁上，它与圆 筒的动摩擦因数为μ， 现要使a不落下，则圆 筒转动的角速度ω至少 为多少？
A
a
B
7.如图所示，光滑平台上的小球A通过 一根不可伸长的细绳穿过小孔系一个 小球B，小球A的质量为mA=100g，A 球在平台上做匀速圆周运动，稳定后 小球A的线速度为5m/s。A球到小孔的 距离r=0.2m，求B球的质量。(取 g=10m/s2)
A
B
9.如图，半径为R的半球形碗内，有一个具 有一定质量的物体A，A与碗壁间的摩擦不计。 当碗绕竖直轴OO1匀速转动时，物体A在离 碗底高为h处紧贴着碗随碗一起匀速转动而 不发生相对滑动，求碗转动的角速度。
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题⼀、⽔平⾯内圆周运动的临界问题关于⽔平⾯内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界⼒的问题，具体来说，主要是与绳的拉⼒、弹簧的弹⼒、接触⾯的弹⼒和摩擦⼒有关。
1、与绳的拉⼒有关的临界问题例1 如图1⽰，两绳系⼀质量为kg m 1.0=的⼩球，上⾯绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹⾓分别为o30与o45，问球的⾓速度在什么范围内，两绳始终张紧，当⾓速度为s rad /3时，上、下两绳拉⼒分别为多⼤？2、因静摩擦⼒存在最值⽽产⽣的临界问题例2 如图2所⽰，细绳⼀端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静⽌在⽔平⾯上，另⼀端通过光滑⼩孔吊着质量为kg m 3.0=的物体，M 的中⼼与圆孔距离为m 2.0并知M 与⽔平⾯间的最⼤静摩擦⼒为N 2，现让此平⾯绕中⼼轴匀速转动，问转动的⾓速度ω满⾜什么条件可让m 处于静⽌状态。
（2/10s m g =）3、因接触⾯弹⼒的有⽆⽽产⽣的临界问题⼆、竖直平⾯内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平⾯内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最⾼点C图1图2和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最⾼点如图所⽰，⽤轻绳系⼀⼩球在竖直平⾯内做圆周运动过最⾼点的情况，与⼩球在竖直平⾯内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于⽆⽀撑的类型。
临界条件：假设⼩球到达最⾼点时速度为0v ，此时绳⼦的拉⼒（轨道的弹⼒）刚好等于零，⼩球的重⼒单独提供其做圆周运动的向⼼⼒，即rvm mg 20=，gr v =0，式中的0v 是⼩球过最⾼点的最⼩速度，即过最⾼点的临界速度。
（1）0v v = （刚好到最⾼点，轻绳⽆拉⼒）（2）0v v > （能过最⾼点，且轻绳产⽣拉⼒的作⽤）（3）0v v < （实际上⼩球还没有到最⾼点就已经脱离了轨道）例4、如图4所⽰，⼀根轻绳末端系⼀个质量为kg m 1=的⼩球，绳的长度m l 4.0=，轻绳能够承受的最⼤拉⼒为N F 100max =，现在最低点给⼩球⼀个⽔平初速度，让⼩球以轻绳的⼀端O 为圆⼼在竖直平⾯内做圆周运动，要让⼩球在竖直平⾯内做完整的圆周运动且轻绳不断，⼩球的初速度应满⾜什么条件？（2/10s m g =）2、轻杆模型过最⾼点如图所⽰，轻杆末端固定⼀⼩球在竖直平⾯内做圆周运动过最⾼点的情况，与⼩球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有⽀撑的类型。
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高中物理水平面内圆周运动的临界问题
1．(多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图1所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心．已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距R A＝2R B.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是()
图1
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为a A∶a B＝2∶9
C．转速增加后滑块B先发生滑动
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
答案ABC
解析假设轮盘乙的半径为R，由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有ω甲(3R)＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，A正确；滑块相对轮盘滑动前，根据a＝ω2r得A、B的向心加速度之比为a A∶a B＝2∶9，B正确；据题意可得滑块A、B的最大静摩擦力分别为F f A＝μm A g，F f B＝μm B g，最大静摩擦力之比为F f A∶F f B＝m A∶m B，滑块相对轮盘滑动前所受的静摩擦力之比为F f A′∶F f B′＝(m A a A)∶(m B a B)＝m A∶(4.5m B)，综上分析可得滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，C 正确，D错误．
2．(多选)如图2所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动．三个物体与圆盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．三个物体与轴O共线且OA＝OB＝BC＝r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程，下列说法正确的是()
图2
A．A、B两个物体同时达到最大静摩擦力
B．B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变，A物体所受的静摩擦力先增大后减小再增大
C．当ω2> μg
r时整体会发生滑动
D．当μg
2r<ω<
μg
r时，在ω增大的过程中B、C间的拉力不断增大
答案BCD
解析当圆盘转速增大时，静摩擦力提供向心力，三个物体的角速度相等，由F0＝mω2r，由于C的半径最大，质量最大，故C所需要的向心力增加最快，最先达到最大静摩擦力，
此时μ(2m)g＝2m·2rω12，解得ω1＝μg
2r，当C的摩擦力达到最大静摩擦力之后，细线BC
开始提供拉力，B的摩擦力增大，达到最大静摩擦力后，A、B之间细线开始有力的作用，随着角速度增大，A的摩擦力将减小到零然后反向增大，当A的摩擦力达到最大，且细线BC的拉力大于A、B整体的摩擦力时物体将会出现相对滑动，此时A与B还受到细线的拉
力，对C有F T＋μ(2m)g＝2m·2rω22，对A、B整体有F T＝2μmg，解得ω2＝μg
r，当ω2>
μg
r时整体会发生滑动，故A错误，B、C正确；当μg
2r<ω<
μg
r时，C所受摩擦力沿
着半径向里，且没有出现滑动，故在ω增大的过程中，由于向心力F＝F T＋F f不断增大，故B、C间的拉力不断增大，故D正确．
3.如图3所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是()
图3
A．OB绳的拉力范围为0～
3
3mg
B．OB绳的拉力范围为
3
3mg～
23
3mg
C ．AB 绳的拉力范围为
33mg ～233mg D ．AB 绳的拉力范围为0～23
3
mg 答案 B
解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ，F 1＝
3
3
mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2＝23
3mg ，因此
OB 绳的拉力范围为
33mg ～233mg ，AB 绳的拉力范围为0～33
mg ，B 项正确． 4．如图4所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO ′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O 点的连线与OO ′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g .
图4
(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
(2)若ω＝(1±k )ω0，且0＜k ≪1，求小物块受到的摩擦力大小和方向． 答案 (1)
2g R
(2)当ω＝(1＋k )ω0时，F f 沿罐壁切线向下，大小为 3k (2＋k )
2
mg 当ω＝(1－k )ω0时，F f 沿罐壁切线向上，大小为 3k (2－k )
2
mg 解析 (1)对小物块受力分析可知： F N cos 60°＝mg
① F N sin 60°＝mR ′ω02
② R ′＝R sin 60°
③
联立①②③解得：ω0＝2g R
(2)由于0＜k≪1，
当ω＝(1＋k)ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向下．
由受力分析可知：
F N′cos 60°＝mg＋F f cos 30°④F N′sin 60°＋F f sin 30°＝mR′ω2⑤
联立③④⑤解得：F f＝3k(2＋k)
2mg
当ω＝(1－k)ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向上．
由受力分析和几何关系知：
F N″cos 60°＋F f′sin 60°＝mg⑥F N″sin 60°－F f′cos 60°＝mR′ω2⑦
联立③⑥⑦解得F f′＝3k(2－k)
2mg.。