(完整)人教版八年级上册数学第15章《分式》小结与复习

知识梳理1．形如AB(A 、B 是 ，且B 中含有 ，B ≠0)的式子，叫做分式． 2．分式有、无意义的条件：当分母 时，分式有意义；当分母 时，分式无意义．3．分式值为零的条件：当分式的分子 ，分母 时，分式的值为零． 4．分式的基本性质是：分式的分子与分母都 （或 ）同一个 的整式，分式的值 ．5．分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的 ，分母的积作为积的 ；分式除以分式，把除式的分子、分母 后，与被除式 ．6．分式的乘方：分式乘方，把分子、分母 ．7．同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ；异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先 ，变为同分母的分式，然后再 ．8．分母中含有 的方程叫做分式方程． 9．解分式方程的步骤：（1）分式方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，转化为 方程； （2）解这个 方程；（3）检验，把 方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，它是原方程的增根，应当舍去．10．我们规定：任何不等于零的数的零次幂都等于 ，即0a = （a ≠0）． 11．一般地，当n 是正整数时，n a -= （a ≠0）．即任何不等于零的数的n -（n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的 ．12．一般地，绝对值小于1的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，即a 是整数位数只有 位的数；n 是一个 整数．考点呈现考点1 分式值为0的条件 例1 （2013年温州）若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是（ ） A ．x =3 B ．x =0 C ．x =－3 D ．x =－4 解析：因为分式43+-x x 的值为0，所以x －3=0，x +4≠0，所以x =3．故选A ． 点评：分式的值为0的条件是分子为0，分母不为0，这两个条件缺一不可. 考点2 分式的基本性质例2 （2013年淄博）下列运算中错误的是（ ）A.22)()(a b b a --=1 B.b a b a +--=-1 C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D.a b a b b a b a +-=+- 解析：2222)()()()(b a b a a b b a --=--=1，A 选项正确；b a b a b a b a b a b a ++-=++-=+--)(=-1，B 选项正确；ba ba b a b a b a b a 3210510)3.02.0(10)5.0(3.02.05.0-+=⨯-⨯+=-+，C 选项正确；ab ab a b a b b a b a +--=+--=+-)(，D 选项错误.故选D. 点评：解“判断下列运算（或说法）错误（或正确）”类型的选择题，除了采用逐一验证四个选项进行求解之外，还可以利用排除法选出符合题意的答案. 考点3 分式的运算例3 （2013年凉山州）化简：)1(111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m 的结果为 ．解析：)1(111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m =)1(1111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++m m m m =)1(1+•+m m m =m .故填m. 例4 （2013年泰安）化简分式⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷-1112122x x x 的结果是（ ） A ．2 B ．12+x C ．12-x D ．－2 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷-1112122x x x =()()()()221111x x x x x x ⎡⎤-÷+⎢⎥---⎣⎦+1+1 =()()211x x x x ÷--+1+1=()211x x •--=2．故选A ．点评：分式的混合运算，要注意运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果要化成最简分式或整式． 考点4 分式的化简求值例5 （2013年重庆）先化简，再求值：4442122+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+x x x x x xx ，其中x 是不等式173>+x 的负整数解．解：4442122+--÷⎪⎭⎫⎝⎛---+x x x x x x x =444)2()1()2)(2(2-+-⋅---+-x x x x x x x x x=4)2()2(4222--⋅-+--x x x x x x x=4)2()2(42--⋅--x x x x x =xx 2-.由173>+x ，解得2->x ． 又x 为负整数，所以1-=x . 当1-=x 时，原式=3121=---． 点评：分式的化简求值，要根据所给式子的特点，按照分式化简的步骤化简，最后代值计算．考点5 科学记数法例6（2013年茂名）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm（0.000 002 5 m ）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将0.000 002 5用科学记数法表示为（ ）A ．25×10－7B ．2.5×10－6C ．0.25×10－5D ．2.5×106解析：0.000 002 5=2.5×10－6.故选B.点评：把一个数写成a ×10n的形式（其中1≤a ＜10，n 为整数），称为科学记数法.当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位数上的0）. 考点6 解分式方程 例7（2013年资阳）解方程24x x -＋22x +＝12x -. 解：方程两边乘（x ＋2）（x －2），得x ＋2（x －2）＝x ＋2.解得x ＝3.检验：当x ＝3时，（x ＋2）（x －2）≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝3．点评：解分式方程的基本思想是“化分式方程为整式方程”，解分式方程后一定要注意检验．考点7 根据方程的解确定字母的值或取值范围 例8 （2013年扬州）已知关于x 的方程2123=++x nx 的解是负数，则n 的取值范围为 ．解析：化简方程2123=++x nx ，得x=n －2.根据题意，得x<0且2x+1≠0，所以n －2<0且2（n －2）+1≠0，解得2<n 且23≠n . 点评：解含有字母系数的分式方程时，通常先化为整式方程，把未知数用其他字母表示，进而求解．要注意分式方程增根的存在. 考点8 列分式方程解应用题例9 （2013年湘西）吉首城区某中学组织学生到距学校20 km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．解：设骑自行车学生的速度为x km/h ，则汽车的速度为2x km/h. 根据题意，得2122020=-x x ． 解得x =20．经检验，x =20是原方程的解，且符合题意． 答：骑自行车学生的速度为20 km/h ．点评：分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，得到等量关系式，进而引进未知数，列方程解决问题.误区点拨易错点1 分式的基本性质理解不深例1 若A ，B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是（ ） A.E B E A B A ⋅⋅=（E 为整式） B.EB EA B A ++=（E 为整式）C.()()1122+⋅+⋅=x B x A B A D.()()2211+⋅+⋅=x B x A B A 错解：选A 或D.剖析：分式的基本性质是分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.所以B 选项明显不正确；A 选项和D 选项中E 和2)1+x （均可能为零，所以A ，D 选项错误；C 选项中112≥+x ，C 选项正确.正解：选C.易错点2 忽视分母不为0的条件 例2 若方程08242=---x x x ，则=x . 错解：填±4.剖析：若分式的值为0，则分子为0且分母不为0，所以04=-x ，且0822≠--x x ， 则4-=x .错解未考虑分式的分母不为0.正解：填-4. 易错点3 轻易约分 例3 x 取何值时，分式()()223x x x +++有意义？错解：原式13x =+.由03≠+x ，得3-≠x .所以当3-≠x 时，分式()()223x x x +++有 意义.剖析：错解约去分母中的2+x ，但无法确定2+x 不为零，使得未知数x 的取值范围扩大，导致漏解.正解：由（x+2）（x+3）023x x ≠≠-≠-，得且.所以当32-≠-≠x x 且时，分式()()223x x x +++有意义.易错点4 分式的运算顺序错误例4 计算()()222111x x x x x ÷+-+g . 错解：原式=121122-=+÷-x x x x x . 剖析：分式的乘除运算是同一级运算，应按照从左向右的顺序依次计算，不可因为计 算简便而颠倒顺序，导致结果出现错误.正解：原式=()()()222212122421111x x x x x x x x x x +++++==---g g . 易错点5 分式的增根认识不清 例5 若关于x 的方程0111=--+x ax 有增根，则a 的值为________. 错解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=12--a .因为原分式方程有增根，所以x-1≠0，即x≠1. 所以112≠--a ，解得a≠-1. 剖析：分式方程的增根应是最简公分母分母为0的x 值，即x=1而不是x≠1.正解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=12--a . 因为原分式方程有增根，所以x-1=0，即x=1. 所以211a -=-，解得a=-1. 跟踪训练1.（2013年攀枝花）若分式211x x -+的值为0，则实数x 的值为______.2.（2013年永州）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑岛，面积约为0.000 8平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为 平方公里．3.（2013年大连）化简：x ＋1－122++x xx ＝___________．4.（2013年德阳）已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是__________.5.（2013年盘锦）小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为____________.6.（2013年宁夏回族自治区）解方程1326-+=-x xx .7.（2013年普洱）先化简，再求值：2222211a a a aa a a +++÷-+，其中a=2013.8.（2013年三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款式T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完.老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．（1）第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元？（2）老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫，当第二批T 恤衫售出45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售价－进价）分式小结与复习知识梳理：略.跟踪训练：1. 1 2. 4810-⨯ 3.11+x 4. m>﹣6且m≠﹣4 5. 61255=-x x 6. 解：方程两边乘（x －2）（x+3），得)3)(2()2()3(6+---=+x x x x x . 解得x=34-. 检验：当x=34-时，（x －2）（x+3）≠0. 所以，原分式方程的解为x=34-.7. 解：2222211a a a a a a a +++÷-+=222(1)(1)1a a a a a a +⋅-++=211a aa a -++ =21a a a -+=1aa +. 当a=2013时，原式=201320131+=20132014.8. 解：（1）设第一批T 恤衫每件进价x 元． 根据题意，得450049509x x =+. 解得90x =．经检验，90x =是原方程的解，且符合题意． 答：第一批T 恤衫每件进价是90元．（2）由（1）知，第二批购进T 恤衫49505099=（件）． 设剩余的T 恤衫每件售价y 元，根据题意，得411205050495065055y ⨯⨯+⨯⨯-≥．解得y ≥80.答：剩余的T 恤衫每件售价至少要80元．。