[考研类试卷]考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷3.doc
考研数学二(行列式、矩阵)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A、B、A+B、A-1+B-1均为n阶可逆方阵，则(A-1+B-1)-1等于A．A-1+B-1B．A-BC．A(A+B)-1BD．(A+B)-1正确答案：C解析：因(A-1+B-1)EA(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E，故(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B．知识模块：矩阵2．设n维行向量α=，矩阵A=I-αTα，B=I+2αTα，其中I为n阶单位矩阵，则AB=A．0B．-IC．ID．I+αTα正确答案：C解析：ααT=()2+()2=，AB=(I-αTα)(I+2αTα)=I+2αTα-αTα-2αT(ααT)α=I+αTα-αTα=I，故(C)正确．知识模块：矩阵3．设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，则成立A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：当同阶方阵P、Q满足PQ=E时，有QP=E．故E=ABC=A(BC)=(BC)A=BCA．知识模块：矩阵4．设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，且｜A｜=a≠0，则｜A*｜=A．aB．C．an-1正确答案：C解析：由AAα*=｜A｜E两端取行列式，得｜A｜｜Aα*｜=｜A｜αn-1，｜Aα*｜=｜A｜αn-1=aαn-1．知识模块：矩阵5．设则成立A．AP1P3=BB．AP2P1=BC．P1P2A=BD．P2P1A=B正确答案：C解析：B可看作A作下列初等行变换得到的：先将A的第1行加到第3行——对应初等矩阵为P2，再将所得矩阵的1、2两行互换一一对应初等矩阵为P1，于是由初等变换与初等矩阵的关系，得B=P1P2A．知识模块：矩阵6．设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩为1．则必有A．a=b或a+2b=0．B．a=b或a+2b≠0．C．a≠b且a+2b=0．D．a≠b且a+2b≠0．正确答案：C解析：由条件知0=｜A*｜=｜A｜2，0=｜A｜=(a+2b)(a-b)2，a=-2b或a=b，若a=b，则A*=O，与r(A*)=1矛盾，故必有a≠b且a+2b=0．知识模块：矩阵7．已知矩阵A相似于矩阵B=，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于A．2B．3C．4D．5正确答案：C解析：由条件知存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，P-1(A-2E)P=P-1AP-2E=B-2E，即A-2E与B-2E相似，故有r(A-2E)=r(B-2E)==3，同理知r(A-E)=r(B-E)=1，故r(A-2E)+r(A-E)=3+1=4．知识模块：矩阵8．设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11等于A．B．D．正确答案：A解析：由已知的A*=AT，即，得aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式．于是由行列式按行展开法则得｜A｜=a1jA1j=a1i2=3a112＞0，再由A*=AT两端取行列式，得｜A｜=｜A｜2，｜A｜=1，故得3a112=1，a11=. 知识模块：矩阵填空题9．设A=，B=P-1AP，其中P为3阶可逆矩阵，则B2004-2A4=______.正确答案：解析：由于A2=，2A2=，A4=(A2)2=E，A2004=(A4)501=E501=E，故B2004-2A2=P-1A2004P-2A2=E-2A2= 知识模块：矩阵10．设A=(aij)3×3是实正交矩阵，且a11=1。
考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1987年)设I＝tf(tχ)dχ，其中f(χ)连续，S＞0，t＞0，则I的值【】A．依赖于s，t．B．依赖于s，t，χ．C．依赖于t，χ，不依赖于s．D．依赖于s不依赖于t．正确答案：D解析：由此可见，I的值只与s有关，所以应选D．知识模块：一元函数积分学2．(1988年)设f(χ)与g(χ)在(－∞，＋∞)上皆可导，且f(χ)＜g(χ)，则必有【】A．f(－χ)＞g(－χ)B．f′(χ)＜g′(χ)C．D．∫0χf(t)dt＜∫0χg(t)dt正确答案：C解析：由于f(χ)和g(χ)在(－∞，＋∞)上皆可导，则必在(－∞，＋∞)上连续，则f(χ)＝f(χ0)，g(χ)＝g(χ0)，又f(χ)＜g(χ) 从而f(χ0)＜g(χ0)，即知识模块：一元函数积分学3．(1988年)由曲线y＝号z(0≤χ≤π)与χ轴围成的平面图形绕χ轴旋转而成的旋转体体积为【】A．B．C．D．正确答案：B解析：Vχ＝π∫0πdχ＝π∫0πsin3χdχ＝π∫(cosχ－1)dcosχ＝知识模块：一元函数积分学4．(1989年)曲线y＝cosχ()与χ轴所围成的图形，绕χ轴旋转一周所成旋转体的体积为【】A．B．πC．D．π2正确答案：C解析：知识模块：一元函数积分学5．(1990年)设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，则d[∫f(χ)dχ]等于【】A．f(χ)B．f(χ)dχC．f(χ)＋CD．f′(χ)dχ正确答案：B解析：d[f(χ)dχ]＝(∫f(χ)dχ)′dχ＝f(χ)dχ知识模块：一元函数积分学6．(1990年)设f(χ)是连续函数，且F(χ)＝f(t)dt，则F′(χ)等于【】A．－e－χf(e－χ)－f(χ)B．－e－χf(e－χ)＋f(χ)C．e－χf(e－χ)－f(χ)D．e－χf(e－χ)＋f(χ)正确答案：A解析：由于则F′(χ)＝－f(e－χ)e－χ－f(χ)，故应选A．知识模块：一元函数积分学7．(1991年)设函数，记F(χ)＝∫0χf(t)dt，0≤χ≤2，则【】A．B．C．D．正确答案：B解析：当0≤χ≤1时，F(χ)＝∫0χf(t)dt＝∫0χt2dt＝当1＜χ≤2时，F(χ)＝∫tdt＋∫(2－t)dt＝由此可见应选B．知识模块：一元函数积分学填空题8．(1987年)∫f′(χ)dχ＝_______．∫abf′(2χ)dχ＝_______．正确答案：f(χ)＋C，[f(2b)－f(2a)]．解析：∫f′(χ)dχ＝f(χ)＋C 知识模块：一元函数积分学9．(1987年)积分中值定理的条件是_______，结论是_______．正确答案：f(χ)在[a，b]上连续；在[a，b]内至少存在一点ξ，使f(ξ)(b－a)＝∫ab(χ)dχ．解析：由定积分中值定理：若f(χ)在[a，b]上连续，则在[a，b]内至少存在一点ξ，使∫abf(χ)dχ＝f(ξ)(b－a) 知识模块：一元函数积分学10．(1988年)_______．正确答案：2(e2＋1)．解析：知识模块：一元函数积分学11．(1988年)设f(χ)连续，且f(t)dt＝χ，则f(7)＝_______．正确答案：解析：等式f(t)dt＝χ两边对χ求导得3χ3f(χ3－1)＝1 令χ＝2得12f(7)＝1 则f(7)＝知识模块：一元函数积分学12．(1989年)∫0πtsintdt＝_______．正确答案：π．解析：知识模块：一元函数积分学13．(1989年)曲线y＝∫0χ(t－1)(t－2)dt在点(0，0)处的切线方程是_______．正确答案：y＝2χ．解析：y′(χ－1)(χ－2)，y′(0)＝2 则所求切线方程为y－0＝2(χ－0)，即y＝2χ知识模块：一元函数积分学14．(1989年)设f(χ)是连续函数，且f(χ)＝χ＋2∫01f(t)dt，则f(χ)＝_______．正确答案：χ－1．解析：令∫01f(t)dt＝a，则f(χ)＝χ＋2a．将f(χ)＝χ＋2a代入∫01f(t)dt ＝a，得∫01(t＋2a)dt＝a即＋2a＝a 由此可得a＝－则f(χ)＝χ－1 知识模块：一元函数积分学15．(1990年)∫01χdχ＝_______．正确答案：解析：＝t，原式＝∫(t－1)2tdt＝2∫(t－t)dt＝知识模块：一元函数积分学16．(1990年)下列两个积分大小关系式：∫-2-1dχ_______∫-2-1dχ正确答案：“＞”．解析：由于当χ∈[－2，－1]时，，则知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷33(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷33(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1．=__________。
正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学2．=__________。
正确答案：解析：已知函数可化为知识模块：一元函数积分学3．=__________。
正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学4．=__________。
正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学5．设a＞0，则=__________。
正确答案：解析：由题干可知，原式可化为知识模块：一元函数积分学6．设=__________。
正确答案：解析：令x一1=t，知识模块：一元函数积分学7．=__________。
正确答案：解析：令x=sint，则知识模块：一元函数积分学8．=__________。
正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学9．=__________。
正确答案：解析：本题主要考查的是凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式。
知识模块：一元函数积分学10．=__________。
正确答案：ln2解析：知识模块：一元函数积分学11．设函数则∫一∞+∞xf(x)dx=____________。
正确答案：解析：已知x≤0时，函数f(x)值恒为0，因此可得知识模块：一元函数积分学12．已知则k=_________。
正确答案：一2解析：已知要求极限存在，所以k＜0。
那么所以k=一2。
知识模块：一元函数积分学13．由曲线和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为_____________。
正确答案：4ln2解析：先画图，作出y=4x与的交点(1，4)，直线y=x与的交点(2，2)，由图可知，面积S分两块(如图1一3—8)。
知识模块：一元函数积分学14．设封闭曲线L的极坐标方程为则L所围平面图形的面积是__________。
正确答案：解析：直接利用封闭曲线图形的面积公式可得知识模块：一元函数积分学15．在曲线y=x2(0≤x≤1)上取一点(t，t2)(0＜t＜1)，设A1是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=0所围成图形的面积；A2是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=1所围成图形的面积，则t取_______时，A=A1+A2取最小值。
考研数学二(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2011年] 已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )．A．k=1，c=4B．k=1，c=一4C．k=3，c=4D．k=3，c=一4正确答案：C解析：利用等价无穷小定义、等价无穷小代换及泰勒展开式求之．解一由题设有=1．即=1.因而k=3．当k=3时，由上式得到27／(6c)一1／(2c)=1，即c=4．仅(C)入选.解二当k一2=1即k=3时，=1，即c=4．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续2．[2014年] 当x→0+时，若lnα(1+2x)，(1一cosx)1/α均是比x高阶的无穷小，则α的取值范围是( )．A．(2，+∞)B．(1，2)C．(1／2，1)D．(0，1／2)正确答案：B解析：由lnα(1+2x)，(1一cosx)1/α均是比x高阶的无穷小，分别求出α的取值范围即可．a＞0时，显然有lnα(1+2x)～(2x)α=2αxα(x→0-)，(1一cosx)1/α～(x→0+)因它们均是比x高阶的无穷小，由分别得到α一1＞0，一l ＞0，即1＜α＜2，因而α的取值范围为(1，2)．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续3．[2000年] 若=0，则为( )．A．0B．6C．36D．∞正确答案：C解析：消去未知函数f(x)，或求出其表达式，代入极限式求之．解一或=36．解二用带皮亚诺型余项的泰勒公式求之．题设相当于sin6x+xf(x)=o(x3)，将sin6x=6x一(6x)3／3!+o(x3)代入，得到6+f(x)=36x2+o(x2)，[6+f(x)]／x2=36+o(1)，于是{[6+f(x)]／x2}=36．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续4．[2017年] 设数列{xn}收敛，则( )．A．当sinxn=0时，xn=0B．当=0时，xn=0C．当(xn+xn2)=0时，xn=0D．当(xn+sinxn)=0时，xn=0正确答案：D解析：取特殊值法或反推法求之．解一对于选项(A)，(B)，(C)分别取xn=π,xn=一1，xn=一l，可排除(A)，(B)，(C)．仅(D)入选．解二令xn=A，由(xn+sinxn)=A+sinA=0得A=0．仅(D)入选．知识模块：函数、极限与连续5．[2017年] 若函数f(x)=在x=0处连续，则( )．A．ab=B．ab=一C．ab=0D．ab=2正确答案：A解析：所给函数为分段函数，因其在分段点连续，可先求出其左右极限，然后利用函数在分段点处左右极限相等的性质求之．f(0+0)=f(0)一f(0—0)=b，因f(x)在x=0处连续，故f(0+0)=f(0一0)=f(0)，从而=b，即ab=仅(A) 入选．知识模块：函数、极限与连续6．[2018年] 设函数f(x)=若f(x)+g(x)在R上连续，则( )．A．a=3，b=1B．a=3，b=2C．a=一3，b=1D．a=一3，b=2正确答案：D解析：由函数表达式易得分段点为x=一1，x=0．在x=一1点处，f(x)为连续函数，故只需考虑g(x)的连续性，而g(x)=g(一1)=2+a，g(x)=一1，所以2+a=一1，解得a=一3；在x=0点处，有[f(x)+g(x)]=f(0)+g(0)=1一b，[f(x)+g(x)]=一l+0=一1，从而1一b=一1，得b=2．故选(D)．知识模块：函数、极限与连续7．[2015年] 函数f(x)=在(一∞，+∞)内( )．A．连续B．有可去间断点C．有跳跃间断点D．有无穷间断点正确答案：B解析：f(x)显然在x=0处无定义，因而x=0为其不连续点，至于是哪一类的不连续点，首先需考查其极限是否存在．因f(x)==ex(x≠0)，而=1，又因f(x)在x=0处无定义，故x=0为其可去间断点．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续8．[2005年] 设函数f(x)=，则( )．A．x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B．x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C．x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D．x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点正确答案：D解析：找出间断点，让x趋向这些间断点时考察f(x)的左、右极限或其极限的存在情况．由于函数f(x)在x=0，x=1处无定义，这些点为f(x)的间断点，因=0，故f(x)=∞，因而x=0为f(x)的第二类间断点(无穷间断点)．又因，所以=一1．因而x=1为f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．仅(D)入选．知识模块：函数、极限与连续9．[2007年] 函数f(x)=在[一π，π]上的第一类间断点是x=( )．A．0B．1C．一π／2D．π／2正确答案：A解析：根据定义，应考察f(x)在上述诸点的左、右极限是否都存在．左、右极限都存在的点为第一类间断点，否则不是第一类间断点．解一函数f(x)虽不是分段函数，但因其含e1/x，需分f(0+0)及f(0—0)考察．f(0+0)==1，f(0一0)=×1=一1．因f(0+0)，f(0—0)都存在，故x=0为第一类间断点．仅(A)入选．解二函数e1/x在x=l，x=±π／2处的极限存在，不必分左、右极限讨论，但需注意tanx=±∞．因故x=1，±π／2是f(x)的第二类间断点．由排除法可知，仅(A)入选．知识模块：函数、极限与连续10．[2009年] 函数f(x)=的可去间断点的个数为( )．A．1B．2C．3D．无穷多个正确答案：C解析：先求出f(x)的所有间断点，然后求x趋近这些点时哪些有极限，有极限的点即为可去间断点．f(x)的间断点为x=0，x=±1，x=±2，…，故f(x)的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点．而分子中x—x3=0的点只有x=0，x=±1，极限存在的点只可能在这些点中去寻找．因则x=0，x=±1为f(x)的可去间断点，其余均为无穷间断点．仅(C)入选．知识模块：函数、极限与连续11．[2008年] 设函数f(x)=sinx，则f(x)有( )．A．1个可去间断点，1个跳跃间断点B．2个跳跃间断点C．1个可去间断点，1个无穷间断点D．2个无穷间断点正确答案：A解析：先求f(x)的间断点，再用f(x)在这些间断处的极限确定正确选项．f(x)的间断点为x=0，1，其中x=0为可去间断点．这是因为可见，x=1为f(x)的跳跃间断点．仅(A)入选．知识模块：函数、极限与连续12．[2010年] 函数f(x)=的无穷间断点的个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：先找出f(x)无定义的点．再进一步找出极限为无穷间断点．由题设已看出，f(x)除在x=0，x=1，x=一1处外处处有定义，因而f(x)只有3个间断点．而故x=1为f(x)的第一类间断点，且为可去间断点．而所以x=0为f(x)的第一类间断点，且为跳跃间断点．而故x=一1是f(x)的无穷间断点．仅(B)入选．知识模块：函数、极限与连续填空题13．[2004年] 设f(x)=，则f(x)的间断点为x=__________.正确答案：先求得f(x)的表达式，再求间断点．当x=0时，f(x)=0；当x ≠0时，f(x)=(n为自变量，x是常数)，或f(x)=因(1/x)=∞≠f(0)，故x=0为f(x)的第二类间断点．涉及知识点：函数、极限与连续14．[2008年] 已知函数f(x)连续，且=1，则f(0)=___________．正确答案：利用等价无穷小代换将所给极限用f(0)表示出来，由此求得f(0)．当x→0时，xf(x)→0，故1一cos[xf(x)]～[xf(x)]2／2．由1=,得到f(0)／2=l，即f(0)=2．涉及知识点：函数、极限与连续15．[2002年] 设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：f(x)为分段函数，先求出f(x)在分段点x=0处的左、右极限f(0—0)，f(0+0)，再根据f(0—0)=f(0+0)或f(0+0)=f(0)确定常数a．解一因f(x)=f(0+0)==—2．f(x)=f(0—0)==a，由f(x)在x=0处连续，有f(0+0)=f(0—0)．因而一2=a，即a=一2．解二由题设有f(0)=ae2x∣x-0=a.又由解一知f(0+0)=一2，再由f(x)在x=0处连续得到f(0+0)=f(0)，即a=一2．涉及知识点：函数、极限与连续16．[2006年] 设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：利用函数在一点连续的定义求之．因，故a=f(x)=1／3．涉及知识点：函数、极限与连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷58(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷58(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设一元函数f(x)有下列四条性质：①f(x)在[a，b]连续；②f(x)在[a，b]可积；③f(x)在[a，b]存在原函数；④f(x)在[a，b]可导。
若用“P => Q”表示可由性质P推出性质Q，则有( )A．①=>②=>③。
B．①=>③=>④。
C．④=>①=>②。
D．④=>③=>①。
正确答案：C解析：这是讨论函数f(x)在区间[a，b]上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。
由f(x)在[a，b]可导，则f(x)在[a，b]连续，那么f(x)在[a，b]可积且存在原函数。
故选C。
知识模块：一元函数积分学2．设则I，J，K的大小关系为( )A．I＜J＜K。
B．I＜K＜J。
C．J＜I＜K。
D．K＜J＜I。
正确答案：B解析：当时，因为0＜sinx＜cosx，所以ln(sinx)＜ln(cosx)，因此同时，又因为因为所以综上可知，I，J，K，的大小关系是I＜K＜J。
故选B。
知识模块：一元函数积分学3．设g(x)=∫0xf(u)du，其中则g(x)在区间(0，2)内( )A．无界。
B．递减。
C．不连续。
D．连续。
正确答案：D解析：因为f(x)在区间[0，2]上只有一个第一类间断点(x=1为f(x)的跳跃间断点)，所以f(x)在该区间上可积，因而g(x)=∫0xf(u)du在该区间内必连续。
故选D。
知识模块：一元函数积分学4．如图，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周。
设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：结合定积分的几何意义，可知F(一2)=∫0—2=f(x)dx=一∫0—2f(x)dx=∫02f(x)dx=所以故选C。
考研数学二(一元函数微分学)-试卷3
考研数学二（一元函数微分学）-试卷3(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设ψ(x)在[a，b]上连续，且ψ(x)＞0，则函数y=φ(x)=∫ a b |x一t|ψ(t)dt的图形 ( )（分数：2.00）A.在(a，b)内为凸B.在(a，b)内为凹√C.在(a，b)内有拐点D.在(a，b)内有间断点解析：解析：先将φ(x)利用|x—t|的分段性分解变形，有φ(x)=∫ a x (x一t)ψ(t)dt+∫ x b (t一x)ψ(t)dt=s∫ a xψ(t)dt一∫ a x tψ(t)dt+∫ x b tψ(t)dt—x∫ x bψ(t)dt．因为ψ(t)在[a，b]上连续，所以φ(x)可导，因而答案不可能是(D)．为讨论其余三个选项，只需求出φ"(x)，讨论φ"(x)在(a，b)内的符号即可．因φ"(x)=∫ a xψ(t)dt一∫ x bψ(t)dt，φ"(x)=2ψ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=φ(x)的图形为凹．直选(B)．x f(t)dt，则 ( )-1（分数：2.00）A.F(x)为f(x)的一个原函数B.F(x)在(一∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函数C.F(x)在(一∞，+∞)上不连续D.F(x)在(一∞，+∞)上连续，但不是f(x)的原函数√解析：解析：请看通常的解法：求积分并用连续性确定积分常数，可得F" +(0)≠F" -(0)．根据原函数定义，F(x)不是f(x)在(-∞，+∞)上的原函数．请考生看看，我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上，由于f(x)有第一类间断点，所以F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择(D)．(一∞，+∞)内，下列正确的是 ( )（分数：2.00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为f(x)的原函数√B.f(x)不连续，不存在原函数，因而F(x)不是f(x)的原函数C.f(x)和F(x)均为可微函数，且F(x)为f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且F’(x)=f(x)解析：解析：可以验证x=0为f(x)的第二类间断点，因为：故x=0为f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数．故F(x)可微．即F"(x)=f(x)，故(A)正确．5.设F(x)=∫ x x+2π e sint sintdt，则F(x) ( )（分数：2.00）A.为正常数√B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：因e sinx sin x是以2π为周期的周期函数，所以 e sinx cos 2x≥0，故选(A)．6.设f(x)是以l为周期的周期函数，则∫ a+kl a+(k+l)l f(x)dx之值 ( )（分数：2.00）A.仅与a有关B.仅与a无关C.与a及k都无关√D.与a及k都有关解析：解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以∫ a+kl a+(k+1)l f(x)dx=∫ kl(k+1)l f(x)dx=∫ 0l f(x)dx，故此积分与a及k都无关．二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.∫ 0+∞ xe -x dx= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：原积分=一∫ 0+∞ xde -x =xe -x | 0+∞+∫ 0+∞ e -x dx=∫ 0+∞ e -x dx=一e -x | 0+∞ =1．8.设f(x)连续，则0x [sin 2∫ 0t f(u)du]dt)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：sin 2∫ 0x f(u)du）解析：解析：∫ 0x [sin 2∫ 0t f(u)du]dt是形如∫ 0xφ(t)dt形式的变上限积分，由9.设两曲线y=f(x)与y=∫ 0arctanx在点(0，0)处有相同的切线，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由已知条件知f(0)=0，f"(0)==1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：显然积分难以积出．考虑积分中值定理，其中ξx介于a，a+a之间．所以11.设f(x)，则f(7)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x求导得f(x 3一1).3x 2 =1，f(x 3一1)= 令x=2，即得12.设01 f(x)dx= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令3x+1=t，所以13.设-∞a te t dt，则a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： e a =(a一1)e a，a=2．14.设f(x)的一个原函数，则∫ 1e xf’(x)dx= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：∫ 1e xf’(x)dx=∫ 1e xdf(x)=[xf(x)]| 1e一∫ 1e f(x)dx．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln 3）三、解答题(总题数：16，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(填空题)模拟试卷123(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷123(题后含答案及解析)题型有：1.1．设a＞0，且，则a=________，b=__________正确答案：4，1解析：由知识模块：函数、极限、连续2．=________.正确答案：解析：因为x→0时，eln2(1+x)-1～ln2(1+x)～x2，知识模块：高等数学3．=_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分4．＝_______．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续5．arctan(x－lnx.sinx)=________．正确答案：解析：x－lnx.sinx=，由于x→+∞时，，x－lnx.sinx→+∞，于是知识模块：极限、连续与求极限的方法6．设f(χ，y)在单位圆χ2＋y2≤1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0，0)＝2004，试求极限＝_______．正确答案：2004 涉及知识点：多元函数微积分7．若f(t)=，则f’(t)=____________．正确答案：(2t+1)e2t解析：f(t)= 知识模块：一元函数微分学8．=_______________.正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学9．已知A=有三个线性无关的特征向量，则x=________。
正确答案：0解析：由A的特征方程｜λE—A｜==(λ—1)(λ2一1)=0，可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=一1。
因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=1必有两个线性无关的特征向量，因此r(E—A)=3—2=1，根据知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．曲线上对应于t=1点处的法线方程为_________．正确答案：解析：由此可得法线的斜率为一1，因此可得法线方程为即知识模块：一元函数微分学11．=_______正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学12．设f(x)=D为xOy面，则f(y)f(c+y)dxdy=_________．正确答案：解析：在D1={(x，y)｜∞＜x＜+∞，0≤y≤1}上，f(y)=y；在D0：0≤x+y ≤1上，f(x+y)=x+y，则在D0=D1∩D0={(x，y)｜-y≤x≤1-y，0≤y≤1}上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以f(y)f(x+y)dxdy=∫01dy∫-y1-yy(x+y)dx=. 知识模块：高等数学13．曲线在点(0，1)处的法线方程为_______．正确答案：y＝－2χ＋1解析：在点(0，1)处t＝0，则对应点处法线的斜率为－2，所以法线方程为y＝1＝－2(χ－0)，即y＝－2χ＋1．知识模块：一元函数微分学14．设函数z=z(x，y)由方程(z+y)2=xy确定，则=______。
考研数学二(高等数学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设y=y(x)由确定，则y”(0)等于( )．A．2e2B．2e-2C．e2-1D．e-2-1正确答案：A解析：当x=0时，由得y=1，应选(A) 知识模块：高等数学部分2．函数z=f(x，y)在点(x0，y0)可偏导是函数z=f(x，y)在点(x0，y0)连续的( )．A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．非充分非必要条件正确答案：D解析：如f(x，y)=，在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如f(x，y)=在(0，0)处连续，但对x不可偏导．选(D) 知识模块：高等数学部分3．设D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)，(-1，-1)为顶点的三角形区域，D1为区域D位于第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dσ等于( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：令A(1，1)，B(0，1)，C(-1，-1)，D(-1，0)，E(-1，-1)，记△OAB、△OBC、△OCD、△ODE所在的区域分别记为D1，D2，D3，D4，选(A) 知识模块：高等数学部分填空题4．当x→0时，～ax2，则a=_______．正确答案：3／4解析：知识模块：高等数学部分5．设当x→0时，ksin2x～，则k=_______．正确答案：1／2解析：而当x→0时，所以当x→0时，，又ksin2x～kx2，所以k=1／2．知识模块：高等数学部分6．设f(u)可导，y=f(x2)在x0=-1处取得增量△x=0．05时，函数增量△y 的线性部分为0．15，则f’(1)=_______．正确答案：解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=-1=-2f’(1)×0．05=-0．1f’(1)，因为△y 的线性部分为dy，由-0．1f’(1)=0．15得f’(1)= 知识模块：高等数学部分7．∫sin3xcosxdx=_______．正确答案：cos4x-cos2x+C解析：因为sin3xcosx=(sin4x+sin2x)，所以∫sin3xcosxdx=(∫sin4xdx+∫fsin2xdx)=cos4x-cos2x+C 知识模块：高等数学部分8．曲线y=x4(x≥0)与x轴围成的区域面积为_______．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分9．设z==_______正确答案：1／2解析：知识模块：高等数学部分10．设f(x)连续，且[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=_______．正确答案：e-x解析：由∫01[f(x)+xf(x)]dt=1得∫01f(x)dt+∫01f(xt)d(xt)=1，整理得f(x)+∫0xf(u)du=1，两边对x求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x．知识模块：高等数学部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(二次型)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学二（二次型）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设矩阵则A与B( )A．合同，且相似．B．合同，但不相似．C．不合同，但相似．D．既不合同，也不相似．正确答案：B解析：本题考查实对称矩阵相似、合同的概念以及判断的方法．事实上，两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是，它们有相同的特征值及对应的重数；而两个同阶实对称矩阵合同的充要条件是，它们有相同的秩和相同的正惯性指数．由此可知相似的实对称矩阵必合同．所以选项C肯定错．为判别其他选项，求矩阵A的特征值即可．因为即矩阵A的特征值为3，3，0，而矩阵B的特征值为1，1，0，所以矩阵A与B不相似；但A与B的秩均为2，正惯性指数也都是2．所以它们是合同的．总之．选项B正确．知识模块：二次型2．设则A与B( )A．合同且相似．B．合同但不相似．C．不合同但相似．D．不合同且不相似．正确答案：A解析：本题考查实对称矩阵相似、合同的判定．所用的知识点是：任给实对称矩阵A，总存在正交矩阵Q，使得Q一1AQ=QTAQ=A．其中对角矩阵A主对角线上的元素是A的特征值；Q是正交矩阵Q一1=QT．显然A是实对称矩阵，且特征值为4，0，0，0．故存在正交矩阵Q，使得Q一1AQ=QTAQ= B．因此选A．知识模块：二次型3．设A，B为同阶可逆矩阵，则( )A．AB=BA．B．存在可逆阵B，使P一1AP=B．C．存在可逆阵C，使CTAC=B．D．存在可逆阵P和Q，使PAQ=B．正确答案：D解析：本题主要考查的知识点为矩阵相似、合同、等价、交换等概念．用排除法解此题．矩阵的乘法不满足交换律．事实上，令易知A，B均可逆，但AB ≠BA，排除选项A．注意到矩阵A与B的特征值不一定相同．故A与B不一定相似，排除选项B；若A是对称矩阵，B为非对称矩阵，知A与B不合同，排除选项C．故选项D正确．知识模块：二次型填空题4．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2的秩为_________．正确答案：2解析：本题考查二次型的秩的概念及矩阵秩的求法．二次型f(x)=xTAx的秩为rA．由于f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3—2x2x3的矩阵为对A 施以初等变换得从而r(A)=2．即二次型的秩为2．知识模块：二次型5．已知二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32—2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2，则常数c=________．正确答案：3解析：本题考查二次型秩的概念及当矩阵的秩小于矩阵的阶数时其行列式为零．由于二次型f的矩阵为由r(A)=2，知｜A｜=0，解得c=3．知识模块：二次型6．设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x2x3，则f的惯性指数为_________．正确答案：2解析：用配方法把f(x1，x2，x3)化成标准形，或求出特征值，正特征值个数即为正惯性指数．利用配方法化二次型为标准形．f=x12+2x1x2+2x2x3=x12+2x1x2+x22一(x22一2x2x3)=(x1+x2)2一(x2一x3)2+x32=y12一y22+y32，其中y1=x1+x2，y2=x2一x3，y3=x3，即由于这个线性变换是可逆的，故由惯性定理知，二次型f的正惯性指数为2．知识模块：二次型7．已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_____．正确答案：2解析：本题考查二次型对应的对称矩阵A的特征值与二次型的标准形f=6y12的系数之间的关系．注意二次型经正交变换化成的标准形的系数是二次型对应的对称矩阵A的特征值，并且A的特征值的和等于A的迹trA．由于二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3的矩阵且矩阵A的特征值为6，0，0．于是3a=6，所以a=2，故填2．知识模块：二次型8．若二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3正定，则t的取值范围是_____________．正确答案：解析：本题考查正定二次型的判定方法．注意正定二次型对应的对称矩阵A 是正定矩阵．A是正定矩阵A的各阶顺序主子式全为正．由于二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3的矩阵知识模块：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学二(一元函数积分概念、计算及应用)模拟试卷8.doc
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[考研类试卷]考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷8一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设f(x)为(－∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫0x(2t－x)f(x－t)dt，则F(x)是（A）单调增加的奇函数．（B）单调增加的偶函数．（C）单调减小的奇函数．（D）单调减小的偶函数．2 下列函数中在[－1，2]上定积分不存在的是3 设f(t)=∫01ln dx，则f(t)在t=0处（A）极限不存在．（B）极限存在但不连续．（C）连续但不可导．（D）可导．二、填空题4 设f(x)为连续函数，且满足f(x)=x+∫01xf(x)dx，则f(x)=________．5 (Ⅰ)下列可表示由双纽线(x2+y2)2=x2－y2围成平面区域的面积的是________．(Ⅱ)由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=________．6 设f"(x)连续，f'(x)≠0，则=________．7 (n≠0)=________．8 设f(x)具有连续导数，且F(x)=∫0x(x2－t2)f'(t)dt，若当x→0时F'(x)与x2为等价无穷小，则f'(0)=________．9 曲线x=a(cost+tsint)，y=a(sint－tcost)(0≤t≤2π)的长度L=________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10 求下列变限积分函数的导数：(Ⅰ)F(x)=，求F'(x)(x≥0)；(Ⅱ)设f(x)处处连续，又f'(0)存在，F(x)=，求F"(x)(－∞＜x＜+∞)．11 计算下列定积分：12 求不定积分13 求下列不定积分：14 求一块铅直平板如图3．1所示在某种液体(比重为γ)中所受的压力．15 设两曲线y=(a＞0)与y=在(x0，y0)处有公切线(如图3．13)，求这两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积V．16 设f(x)在(a，b)上有定义，c∈(a，b)，又f(x)在(a，b)＼{c}连续，c为f(x)的第一类间断点．问f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么?17 求下列积分： (Ⅰ)设f(x)=，求∫01x2f(x)dx； (Ⅱ)设函数f(x)在[0，1]连续且∫01f(x)dx=A，求∫01dxf(x)f(y)dy．18 设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同为单调不增)函数，证明：(b－a)∫a b f(x)g(x)dx≥∫a b f(x)dx∫a b g(x)dx． (*)19 边长为a和b的矩形薄板与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面位于深h处，设a＞b，液体的比重为7，求薄板受的液体压力．20 设有以O为圆心，r为半径，质量为M的均匀圆环，垂直圆面，=b，质点P的质量为m，试导出圆环对P点的引力公式21 求22 求定积分：(Ⅰ)J=∫－22min{2，x2}dx； (Ⅱ)J=∫－1x(1－｜t｜)dt，x≥－1．23 设a＞0，f(x)在(－∞，+∞)上有连续导数，求极限24 求星形线L：(a＞0)所围区域的面积A．25 设常数a≤α＜β≤b，曲线Г：y=(x∈[α，β])的弧长为1．(Ⅰ)求证：l=；(Ⅱ)求定积分J=26 证明：定积分I=sinx2dx＞0．27 设函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上连续，证明：[∫a b f(x)g(x)dx]2≤∫a b f2(x)dx∫a b g2(x)dx． (*)。
考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷32(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷32(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设则F(x)在x=0处( )A．极限存在但不连续。
B．连续但不可导。
C．可导。
D．可导性与a有关。
正确答案：D解析：即F(x)在x=0处的可导性与a有关。
所以选D。
知识模块：一元函数积分学2．设f(x)=∫0xf(t)dt则( )A．F(x)在x=0处不连续。
B．F(x)在(一∞，+∞)内连续，但在x=0处不可导。
C．F(x)在(一∞，+∞)内可导，且满足F’(x)=f(x)。
D．F(x)在(一∞，+∞)内可导，但不一定满足，F’(x)=f(x)。
正确答案：B解析：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理：设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外的其他点都连续，且x=c为f(x)的跳跃间断点。
又设F(x)=∫cxf(t)dt，则：①F(x)在[a，b]上必连续；②当x∈[a，b]且x≠c时，F’(x)=f(x)；③F’(C)必不存在，且F+’?=f(c+)，F-’(C)=f(c-)。
直接利用上述结论(本题中的c=0)，可知选项B正确。
知识模块：一元函数积分学3．设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )A．∫0x[f(t)一f(一t)]dtB．∫0xt[f(t)+f(一t)dtC．∫0xf(t2)dtD．∫0xf(t)2dt正确答案：B解析：取f(x)=x，则相应的均为奇函数，故不选A、C、D。
应选B。
知识模块：一元函数积分学4．如图1-3-1，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周。
设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：结合定积分的几何意义，可知知识模块：一元函数积分学5．设函数若反常积分∫0+∞f(x)dt收敛，则( )A．α＜一2B．α＞2C．一2＜α＜0D．0＜α＜2正确答案：D解析：根据反常积分的收敛性判断，将已知积分分解为知识模块：一元函数积分学6．设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性( )A．仅与m的取值有关。
考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷30(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷30(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．记P=，则( )．A．P＜Q＜RB．Q＜R＜PC．Q＜P＜RD．R＜P＜Q正确答案：C解析：因为三者的大小为Q＜P＜R，应选(C)．知识模块：一元函数积分学填空题2．设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3θ，则L所围成的平面图形的面积为________正确答案：解析：曲线所围成的平面图形的面积为知识模块：一元函数积分学3．区域D：(x2+y2)2≤x2-y2所围成的面积为_______正确答案：1解析：设区域D位于第一卦限的区域为D1，由对称性，区域D的面积为A=4A1=1．知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4．证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学5．设f(x)=正确答案：涉及知识点：一元函数积分学6．设f(x)=正确答案：涉及知识点：一元函数积分学7．设f’(x)=arcsin(x-1)2且f(0)=0，求I=正确答案：由f(0)=0得f(x)=，则涉及知识点：一元函数积分学8．设f(u)是连续函数，证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学9．设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：正确答案：由｜f(x)｜=｜f(x)-f(1)｜=｜arctanx-arctan1｜=｜arctanx-｜得涉及知识点：一元函数积分学10．证明：，其中a＞0为常数．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学11．证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学12．设f(x)，g(x)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明：正确答案：令F(x，y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]，D={(x，y)｜ax≤6，a≤y≤b}，因为f(x)，g(x)在[a，b]上为增函数，所以F(x，y)≥0，从而涉及知识点：一元函数积分学13．设f(x)在[0，1]上可导，且｜f’(x)｜＜M，证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学14．设函数f(x)在[0，2π]上连续可微，f’(x)≥0，证明：对任意正整数n，有正确答案：因为f’(x)≥0，所以f(0)≤f(2π)，从而f(2π)-f(0)≥0．涉及知识点：一元函数积分学15．设f(x)在(-∞，+∞)上是导数连续的有界函数，｜f(x)-f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1．正确答案：因为f(x)有界，所以涉及知识点：一元函数积分学16．设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’’(x)＜0，证明：正确答案：令[f(x)+f(a)]，φ(a)=0，因为f’’(x)＜0，所以f’(x)单调递减，从而φ’(x)＞0(a＜x＜b)．由得φ(x)≥0(a＜x＜b)，于是φ(b)≥0，故涉及知识点：一元函数积分学17．已知f(x)在[0，2]上二阶连续可微，f(1)=0，证明：正确答案：由泰勒公式得f(x)=f’(1)(x-1)+(x-1)2，其中ξ位于1与x之间，积分得涉及知识点：一元函数积分学18．计算曲线y=的弧长．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学19．设D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)，直线l：x+y=t(t≥0)，S(t)为正方形区域D位于l左下方的面积，求正确答案：涉及知识点：一元函数积分学20．求曲线y=2e-x(x≥0)与x轴所围成的图形的面积．正确答案：所围成的面积为=2．涉及知识点：一元函数积分学21．设f(x)是(-∞，+∞)上的连续非负函数，且f(x)f(x-t)dt=sin4x，求f(x)在区间[0，π]上的平均值．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学22．设抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)满足：(1)过点(0，O)及(1，2)；(2)抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2+2x所围图形的面积最小，求a，b，c的值．正确答案：由y=ax2+bx+c过点(0，0)及(1，2)得则y=ax2+(2-a)x．令ax2+(2-a)x=-x2+2x得x=0及x=所围成的图形面积为S(a)=[-x2+2x-ax2-(2-a)x]dx 得a=-3，且当a＜-3时，S’(a)＜0；当a＞-3时，S’(a)＞0，故当a=-3时，所围成的面积最小，此时a=-3，b=5，c=0 涉及知识点：一元函数积分学设L：y=sinx(0≤x≤)．由x=0，L及y=sint围成面积S1(t)；由y=sint，L及x=围成面积S2(t)，其中0＜t＜23．t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最小值?正确答案：S1(t)=tsint-sinxdx=tsint+cost-1，S2(t)=S(t)=S1(t)+S2(t)=2(t-)sint+2cost-1．当t=时，S(t)最小，且最小面积为涉及知识点：一元函数积分学24．t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?正确答案：当t=0时，S(t)最大，且最大面积为S(0)=1．涉及知识点：一元函数积分学25．设f(x)=(1-｜t｜)dt(x＞-11)，求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．正确答案：当-1＜x≤0时，f(x)=当x＞0时，f(x)=即f(x)=由故所求的面积为A= 涉及知识点：一元函数积分学26．求曲线y=xe-x(x≥0)绕x轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学27．设由y轴、y=x2(x≥0)及y=a(0＜a＜1)所围成的平面图形及由y=a，y=x2及x=1所围成的平面图形都绕x轴旋转，所得旋转体的体积相等，求a．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学设曲线y=在点(x0，y0)处有公共的切线，求：28．常数a及切点坐标；正确答案：由，切点坐标为(e2，1)．涉及知识点：一元函数积分学29．两曲线与x轴所围成的平面图形绕X轴旋转所得旋转体的体积．正确答案：所求体积为V=V1+V2，涉及知识点：一元函数积分学。
考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学2．设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3．设曲线y=ax2(a>0，x≥0)与y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形．问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?正确答案：[*] 涉及知识点：一元函数积分学4．设函数f(x)在求f(x)．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学曲线与直线x=0，x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)．5．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学6．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学7．设f(x)是区间[0,1]上的单调、可导函数，且满足其中f-1是f的反函数，求f(x)．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域．8．求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；正确答案：涉及知识点：一元函数积分学9．当a为何值时，y(a)最小?并求此最小值．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学10．比较的大小，说明理由。
考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷61(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷61(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设，则( )A．I1＞I1＞。
B．I1＞＞I2。
C．I2＞I1＞。
D．I2＞＞I1。
正确答案：B解析：因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有，从而可见有I1＞I2，又由，I2＜知，故选B。
知识模块：一元函数积分学2．设f(x)=∫0π(ecost—e—cost)dt，则( )A．f(x)=f(x+2π)。
B．f(x)＞f(x+2π)。
C．f(x)＜f(x+2π)。
D．当x＞0时，f(x)＞f(x+2π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+2π)。
正确答案：A解析：由题意f(x+2π)一f(x)=∫xx+2π(ecost一e—cost)dt，被积函数以2π为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得f(x+2π)一f(x)=∫—ππ(ecost —e—cost)dt=2∫0π(ecost—e—cost)dt 2∫0π(ecosu+e—cosu)du，因此f(x+2π)—f(x)=0。
故选A。
知识模块：一元函数积分学3．设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )A．∫0xtf(t)一f(一t)dtB．∫0xtf(t)+f(一t)dt。
C．∫0xf(t2)dt。
D．∫0x[f(t)]2dt。
正确答案：B解析：取f(x)=x，则相应的∫0xt[f(t)—f(—t)]dt=∫0x2t2dt=x3，∫0xf(t2)dt=∫0xt2dt=x3，∫0x[f(t)]2dt=∫0xt2dt=x3，均为奇函数，故选B。
知识模块：一元函数积分学4．曲线y=e—xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积可表示为( ) A．一∫03πe—xsinxdx。
B．∫03πe—xsinxdx。
C．∫0πe—xsinxdx—∫π2πe—xsinxdx+∫2π3πe—xsinxdx。
考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷57(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷57(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设则F(x) ( )A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以又esinx～cos2x≥0，且不恒等于0，故选(A)．知识模块：一元函数积分学2．设f(x)是以l为周期的周期函数，则之值( )A．仅与a有关B．仅与a无关C．与a及k都无关D．与a及k都有关正确答案：C解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以故此积分与a及k都无关．知识模块：一元函数积分学3．设则( )A．N＜P＜MB．M＜P＜NC．N＜M＜PD．P＜M＜N正确答案：D解析：因是奇函数，所以M=0．所以P＜M＜N．知识模块：一元函数积分学4．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：选项(A)中，故发散；在选项(B)中，在选项(C)中，收敛；在选项(D)中，发散．知识模块：一元函数积分学5．A．B．C．D．正确答案：B解析：此题若立刻作变换tanx=t或则在0≤x≤2π上不能确定出单值连续的反函数x=φ(t)．可先利用周期性和奇偶性将积分区间缩小，在此小区间上作变换tanx=t．在第2式中作变换x=π一t，即可化为第1式，于是知识模块：一元函数积分学填空题6．设则a=___________．正确答案：2解析：所以ea=(a一1)ea，a=2．知识模块：一元函数积分学7．设是f(x)的一个原函数，则正确答案：解析：由于是f(x)的原函数，所以所以知识模块：一元函数积分学8．设f(x)有一个原函数则正确答案：一π2+2π+6解析：因是f(x)的原函数，所以知识模块：一元函数积分学9．正确答案：其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学10．设y=y(x)，如果y(0)=1，且当x→+∞时，y→0，则y=____________．正确答案：e-x解析：由已知得由不定积分定义有所以即分离变量，两边积分，再由已知条件得结果y=e-x．知识模块：一元函数积分学11．设f(x)连续，则正确答案：xf(x2)解析：知识模块：一元函数积分学12．正确答案：1解析：知识模块：一元函数积分学13．正确答案：解析：令则x=t2+2，dx=2tdt，所以知识模块：一元函数积分学14．曲线9y2=4x3(y＞0)上从x=0到x=1的一段弧的长度为___________．正确答案：解析：曲线方程可化为弧长元素所以弧长知识模块：一元函数积分学15．积分正确答案：其中C为任意常数解析：设则知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年] 行列式==( )．A．(ad—bc)2B．一(ad一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：待计算的行列式为数字型行列式，且元素排列有一定规律，应利用行列式性质将其变形化为能直接使用非零元素仅在主、次对角线上的2n阶或2n 一1阶行列式计算：=(a1a2n一b1b2n)(a2a2n-1—b2b2n-1)…(anan+1—bnbn+1)，=an(an-1an+1一bn-1bn+1)(an-2an+2一bn-2bn+2)…(a2n-1a1一b2n-1一b1)．解一令.此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，由式(2．1．1．5)，即得∣A∣=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．解二将∣A∣按第1行展开，然后可利用式(2．1．1．6)直接写出结果：∣A∣=(一a)=(一a)d(ad一bc)+bc(ad —bc)=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．知识模块：行列式2．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：利用行列式性质将f(x)化为含零子块的四分块矩阵的行列式或三角形行列式计算．(式(2．1．1．6))=5x(x－1)．由此可知f(x)=0的根有2个．仅(B)入选．知识模块：行列式3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式∣AB∣≠0B．当m＞n时，必有行列式∣AB∣=0C．当n＞m时，必有行列式∣AB∣≠0D．当n＞m时，必有行列式∣AB∣=0正确答案：B解析：证秩(AB)＜m或证ABX=0有非零解(利用命题2．1．2．7)证之．解一利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于的法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式∣AB∣是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到：(1)当m＞n时，有秩(A)≤min{m，n)=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m；(2)秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故∣AB∣=0．仅(B)入选．解二因BX=0的解必是ABX=0的解．而BX=0是n个方程m 个未知数的齐次线性方程组．当m＞n时，BX=0有非零解，从而ABX=0有非零解，故∣AB∣=0．仅(B)入选．知识模块：行列式4．[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=.若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：注意到Q的列向量为α1，α2，α3的线性组合，首先将Q改写为P与一数字矩阵相乘的形式，再代入Q-1AQ中进行运算，即可求得正确选项．解一因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]因而Q-1AQ=，故仅(B)入选．解二用初等矩阵表示，有Q=PE12：(1)，由E12-1(1)=E12(一1)得到Q-1AQ=[PE12(1)]-1APE12(1)=E12-1(1)P-1APE12(1)=E12(一1)P-1APE12(1)=仅(B)入选．知识模块：矩阵5．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：利用命题2．2．1．4及命题2．1．2．6求之．解一易求得(E —A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E－A+A2)=E+A3=E．由命题2．2．1．4知E一A可逆，E+A也可逆．仅(C)入选．解二由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值，由命题2．1．2．6知，它们均可逆．仅(C)入选．知识模块：矩阵6．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．√3／3B．3C．1／3D．√3正确答案：A解析：出现第l行3个相等的元素，自然想到用行列式展开定理．用a11的表达式表示∣A∣，再利用命题2．1．2．8即可求出a11解一显然矩阵A满足命题2．1．2．8中的三个条件，因而由该命题即得∣A∣=1．将∣A∣按第1行展开得到1=∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故以a11=√3／3．仅(A)入选．解二由A*=AT，即，其中Aij为∣A∣中元素aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，得aij=Aij(i，j=l，2，3)．将∣A∣按第1行展开，得∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到∣A*∣=∣A∣3-1=∣AT∣=∣A∣，即∣A∣(∣A∣一1)=0，而∣A∣＞0，故∣A∣一1=0，即∣A∣=1，则3a112=1，因a11＞0，故a11==√3／3．仅(A)入选．知识模块：矩阵填空题7．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量．记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如果∣A∣=1，那么∣B∣=_________．正确答案：将分块矩阵B改写为分块矩阵A右乘另一数字矩阵的形式，再在等式两边取行列式；也可利用行列式性质恒等变形找出∣A∣与∣B∣的关系，从而求出∣B∣．解一B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC，其中C=为三阶范德蒙行列式，则∣C∣=2，故∣B∣=∣A∣∣C∣=1×2=2．解二用行列式性质将∣B∣化为∣A∣的线性函数，找出∣A ∣与∣B∣的关系，求出∣B∣．∣B∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，2α3∣∣α1+α2+α3，α2，2α3∣=2∣α1+α2+α3，α2，α3∣2∣α1，α2，α3∣=2∣A∣=2．涉及知识点：行列式8．[2006年] 设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则∣B∣=_________．正确答案：可用上述法一或法二求之．解一由BA=B+2E得∣B(A—E)∣=∣2E∣=22=4，故∣[B∣∣A—E∣=4，∣B∣=4／∣A—E∣=4／2=2．解二由BA=B+2E得B(A—E)=2E，则B=2(A—E)-1=2，故∣B∣=2．涉及知识点：行列式9．[2003年] 设三阶方阵A，B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则∣B∣=_________．正确答案：注意到所给矩阵方程A2B—A—B=E含单位矩阵E的加项，左端又出现矩阵A的平方，应将它们结合在一起，因式分解，将方程化成矩阵乘积形式，再取行列式求解．题设等式化为(A2一E)B=A+E，即(A+E)(A—E)B=A+E．易求得∣A+E∣=18≠0，故A+E可逆．在上式两端左乘(A+E)-1，得到(A—E)B=E．再在两边取行列式，得∣A—B∣∣B∣=1．因∣A—E∣==2，故∣B∣=／2．涉及知识点：行列式10．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式∣2A∣=一48，则λ=________．正确答案：先利用命题2．1．2．2求出行列式∣A∣，再利用命题2．1．2．4即可求出参数λ．由命题2．1．2．2得∣2A∣=23∣A∣=一48，解得∣A ∣=一6．又由命题2．1．2．4得到∣A∣=一6=λ·2·3，故λ=一1．涉及知识点：行列式11．[2012年] 设A为三阶矩阵，∣A∣=3．A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则∣BA*∣=_________．正确答案：先将矩阵B用初等变换E12与A表示．为利用AA*=∣A∣E，将所得表示式右乘A*．再取行列式．计算行列式时，要正确计算出初等矩阵的行列式∣E12∣．由题设有B=E12A，两边右乘A*得到BA*=E12AA*=∣A ∣E12E=∣A∣E12，则∣BA*∣=∣∣A∣∣E12∣=∣A∣3∣E12∣=33(一1)=一27．涉及知识点：行列式12．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=__________．正确答案：利用A*=(Aij)及∣A∣=∣A∣3-1求之．由a=一A，则(a)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=一(Aij)，故AT=一A*，从而∣A∣=∣AT∣=∣—A*∣=(一1)3∣A∣3-1=一∣A∣2，即∣A∣2+∣A∣=∣A∣(∣A∣+1)=0，故∣A∣=0或∣A∣=一1．若∣A∣=0，则由∣A∣=ai1Ai1+ai1Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到a=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾，故∣A∣=一1．涉及知识点：行列式13．[20l0年] 设A，B为三阶矩阵，且∣A ∣=3，∣B∣=2，∣A-1+B∣=2，则∣A+B-1∣=_________．正确答案：∣A+B-1∣=∣A+B-1∣，常用单位矩阵E将其恒等变形为∣A+B-1∣=∣A+B-1E∣而求之，也可在A+B-1的左和(或)右边乘以适当矩阵化为其行列式已知的矩阵而求之．解一∣A+B-1∣=∣EA+B-1E∣=∣(B-1B)A+B-1(A-1A)∣=∣B-1(BA+A-1A)∣=∣B-1(B+A-1)A∣=∣B-1∣∣B+A-1∣A∣=1．2．3=3．解二A-1(B-1+A)B=A-1B-1B+A-1AB=A-1+B，故∣A-1∣∣B-1+A∣∣B∣=∣A-1+B∣=2，即∣B-1+A∣=2∣A∣／∣B ∣=6／2=3．涉及知识点：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是_________．正确答案：利用命题2．1．3．1(1)寻找λ满足的条件．因方程个数与未知数的个数相等，又该方程组只有零解，由命题2．1．3．1(1)知∣A∣≠0，从而∣A∣==(λ—1)2．于是当λ≠1时，∣A∣≠0，即该方程组只有零解．涉及知识点：行列式15．[2003年] 设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=则αTα=_________．正确答案：由命题2．2．1．2知，αTα为ααT的主对角线元素之和．另一种思路是利用向量运算规律求出α，再求αTα．解一由命题2．1．1．2知，αTα为ααT的主对角线上的元素之和，即αTα=1+1+1=3．解二由ααT=[1，一1，1]知α=，于是αTα=3．涉及知识点：矩阵16．设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．正确答案：求方阵的n次幂一般要先就n=2，n=3进行计算，然后归纳其规律，得出结论．也可用相似对角化及命题2．2．1．3求之．解一先求出n=2，3时，A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A,A3=A2．A=2A·A=2A2=2．2A=22A，设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak．A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1．2A=2kA．因而对任何自然数，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1．A－2·2n-2A=0．解二由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由∣λE－A∣=λ(λ－2)2得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0．由于A为实对称矩阵，必存在可逆阵P，使P-1AP=diag(2，2，0)=Λ，于是A=PΛP-1，An=PΛnP-1，2An-1=P(2Λn-1)P-1=PΛnP-1，故An一2An-1=0．涉及知识点：矩阵17．设A=，其中ai≠0(i=1，2，…，n)，则A-1=_________．正确答案：把A看作是A=的分块矩阵，利用分块矩阵的求逆公式(命题2．2．1．5(3))易求得A-1也可用初等行变换求之．涉及知识点：矩阵18．设A=,A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_________．正确答案：直接利用式(2．2．2．1)求之．由式(2．2．2．1)得到(A*)-1= 涉及知识点：矩阵19．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为________．正确答案：解一因A的秩为2，较其阶数4小2，由命题2．2．2．1知秩(A*)=0．解二由题设知A的秩为2，因而A的所有三阶子式等于0．于是A 的所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故秩(A*)=0．涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(解答题)模拟试卷234(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷234(题后含答案及解析)题型有：1.1．求极限：．正确答案：涉及知识点：极限、连续与求极限的方法2．设f(χ)在[0，1]上连续，求∫01χnf(χ)dχ．正确答案：因为∫01χndχ＝，且连续函数｜f(χ)｜在[0，1]存在最大值记为M，于是又＝0，则∫01χnf(χ)dχ＝0．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法3．求不定积分。
正确答案：．涉及知识点：一元函数积分学4．求曲线y=ex上的最大曲率及其曲率圆方程．正确答案：由y’=ex，y”=ex得曲线y=ex上任意点P(x，y)处的曲率令得唯一的驻点因当时，当时，故为曲率K=K(x)的极大值点，亦是最大值点，且其最大曲率为其中，当时，且曲线y=ex上具有最大曲率的点(x0，y(x0))处的曲率圆的曲率半径则曲率圆的圆心(ξ，η)为所以它的曲率圆方程为涉及知识点：一元函数微分学5．求正确答案：涉及知识点：高等数学部分6．证明：x-x2＜ln(1+x)＜x(＞0)正确答案：(Ⅰ)令F(x)=x-ln(1+x)(x＞0)．又F(0)=0，F(x)在[0，+∞)连续F(x)在[0，+∞)F(x)＞F(0)=0(＞0)．(Ⅱ)令G(x)=ln(1+x)-x2，则故G(x)在[0，+∞)↑，即有G(x)＞G(0)=0．涉及知识点：微分中值定理及其应用7．设χ3－3χy＋y3＝3确定y为χ的函数，求函数y＝y(χ)的极值点．正确答案：χ3－3χy＋y3＝3两边对χ求导得令＝0得y＝χ2，代入χ3－3χy＋y3＝3得χ＝－1或χ＝，因为－1＞0，所以χ＝－1为极小值点，极小值为y＝1；因为＝－1＜0，所以χ＝为极大值点，极大值为y ＝χ＝y2时，≠0，此时y没有极值．涉及知识点：一元函数微分学8．设f(x)连续，且求f(0)．正确答案：等式两边取极限，得由于f(x)在x=0处连续，所以f(0)= 涉及知识点：函数、极限、连续9．设xy=xf(z)+yg(z)，且xf’(z)+yg’(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函数．证明：正确答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得涉及知识点：高等数学部分10．计算正确答案：涉及知识点：二重积分11．求微分方程xy’=yln的通解．正确答案：xy’=变量分离得，积分得ln(lnu-1)=lnx+lnC，即lnu-1=Cx，或u=eCx+1，故原方程的通解为y=xeCx+1．涉及知识点：常微分方程12．(1)用x=et化简微分方程正确答案：(2)①齐次方程y”+2y’+5y=0的特征方程为λ2+2λ+5=0，解得λ1,2=一1±2i，故y齐通(t)=e一t(C1 cos 2t+C2 sin 2t)．②令y*(t)=(at+6)et代入①得a=2，b=一1，故y通(t)=e一t(C1cos 2t+C2sin 2t)+(2t一1)et，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：微分方程设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。
考研数学二(解答题)模拟试卷306(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷306(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)对一切x1，x2满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，并且f(x)在x=0处连续，证明：函数f(x)在任意点x0处连续．正确答案：已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x2=0，则f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又f(x)在x=0处连续，则有而f(x0+△x)一f(x0)=f(x0)+f(△x)一f(x0)=f(△x)，两边取极限得到故函数f(△x)在任意点x0处连续．涉及知识点：函数、极限、连续2．求极限正确答案：由麦克劳林展开式可得原式= 涉及知识点：函数、极限、连续3．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续4．设函数证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．正确答案：故涉及知识点：函数、极限、连续5．设函数f(x)=(x＞0)，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续6．设n维向量组α1，α2，…，αs线性相关，并且α1≠0，证明存在1＜k≤s，使得αk可用α1，…，αk－1线性表示．正确答案：因为α1，α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs，使得c1α1+c2α2+…+csαs=0．设ck是c1，c2，…，cs中最后一个不为0的数，即ck≠0，但i＞k时，ci=0．则k≠1(否则α1=0，与条件矛盾)，并且有c1α1+c2α2+…+ckαk=0．则于涉及知识点：向量组的线性关系与秩7．求下列导数：(1)设y＝，求．(2)设y＝(1＋χ2)tanχ，求．正确答案：涉及知识点：导数与微分8．设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)=求f(x)．正确答案：因由f(x)连续及x2可导知f2(x)可导，又f(x)＞0，从而f(x)可导，且[f2(x)]’=2f(x)f’(x)，故将上式两边对x求导，得2f(x)f’(x)=f(x).2xf’(x)=x．在(*)式中令x=0可得f(0)=0．于是(*)式两边积分(∫0x)得∫0xf’(t)dt=∫0xtdt，f(0)=0，x∈[0，a]．涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用9．设f(x，y)=其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}．正确答案：令D1={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)|1＜x+y≤2，x≥0，y≥0}，涉及知识点：高等数学10．计算积分：∫一12[x]max{1，e一x}dx，其中，[x]表示不超过x的最大整数．正确答案：因分段函数[x]=则由定积分的分段可加性得∫一12[x]max{1，e一x}dx=∫一10(一1)e一xdx+∫010dx+∫121dx=2一e．涉及知识点：一元函数积分学11．计算∫2+∞(k为常数)．正确答案：根据k的取值，分情况讨论：涉及知识点：一元函数积分学12．计算正确答案：涉及知识点：一元函数积分学设f(a)=f(b)=0，，f’(x)∈C[a，b]．13．求正确答案：涉及知识点：一元函数积分学14．证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学15．正确答案：(Ⅰ)因f(χ，1)＝χ2，故又因f(2，y)＝4＋(y－1)arcsin，故(Ⅱ)按定义类似可求＝0(或由χ，y的对称性得)．涉及知识点：多元函数微分学16．设正确答案：涉及知识点：多元函数微分学17．计算二重积分(x+y)dxdy，其中D：x2+y2≤x+y+1．正确答案：涉及知识点：高等数学部分18．曲线的极坐标方程为r=a(1+cos θ)，求该曲线上对应于处的切线的直角坐标方程．正确答案：由直角坐标与极坐标的关系，有x=a(1+cosθ)cosθ，y=a(1+cos θ)sin θ，所以涉及知识点：一元函数微分学19．f(x)=，求f(x)的间断点并分类．正确答案：x=k(k=0，-1，-2，…)及x=1为f(x)的间断点．f(0-0)=因为f(0-0)≠f(0+0)，所以x=0为跳跃间断点；由得x=-2为可去间断点；当x=k(k=-1，-3，-4，…)时，由=∞得x=k(k=-1，-3，-4，…)为第二类间断点；由=∞得x=1为第二类间断点．涉及知识点：函数、极限、连续20．由Y=sinx的图形作下列函数的图形：(1)y＝sin2x (2)y=2sin2x (3)y ＝1—2sin2x正确答案：y＝sinx (1)y＝sin2x (2)y＝2sin2x。
考研数学二(一元函数积分学)-试卷13
考研数学二（一元函数积分学）-试卷13(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A.B.C.D. √(D)．3.设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：因为t[f(t)-f(-t)]为偶函数，所以t[f(t)-f(-t)]dt为奇函数，(A)不对；因为f(t 2 )为偶函数，所以f(t 2 )dt为奇函数，(C)不对；因为不确定f 2 (t)的奇偶性，所以(D)不对；令F(x)= t[f(t)+f(-t)]dt，(-u)[f(u)+f(-u)](-du)=F(x)，选(B)．二、填空题(总题数：13，分数：26.00)（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）5.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5π）6.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）7.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）8.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）9.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）10.设（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e 2 -e）11.设f(x)（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）13.设连续非负函数f(x)满足f(x)f(-x)=1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）[-1，1]上的最大值为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：令I"(x)=时，I"(x)＜0，当x∈为I(x)在[-1，1]上的最小值点，I(x)在[-1，1]上的最大值为ln3．15.设f(x)（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）三、解答题(总题数：18，分数：36.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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[考研类试卷]考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷3
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性
（A）仅与m的取值有关．
（B）仅与n的取值有关．
（C）与m，n的取值都有关．
（D）与m，n的取值都无关．
2
二、填空题
3 曲线y=x+x(x的点坐标是______.
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4 已知，求k。
5
6 设曲线的极坐标方程为ρ=eαθ(α>0)，求该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
7 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a，2b．用过此柱体底面的短轴且
与底面成α角(0
8
9 当0≤0≤π时，求对数螺线r=eθ的弧长.
10
11
12 如图，设有曲线，过原点作其切线，求此曲线、切线及x轴围成的
平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．
13 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口(见图)．已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速度从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：①1 N×1 m=1 J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳
长度忽略不计．)
14 某闸门的形状与大小如图所示，其中直线2为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分
的高h应为多少m(米)?
15 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3/2b时(如图)，计算油的质量．(长度单位为m，质量
单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)
16 设f(x)在上连续，证明：当0
16
17 当n为正整数，且nπ≤x<(n+1)π时，证明：2n≤S(x)<2(n+1)；
18 求。