2017年天津市和平区高考数学一模试卷(理科) 有答案

2017年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，若A∩B={﹣1，2}，则a的值为（）A．﹣2或﹣1 B．0或1 C．﹣2或1 D．0或﹣22．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的取值范围是（）A．[6，22]B．[7，22]C．[8，22]D．[7，23]3．在△ABC中，若AB=4，AC=BC=3，则sinC的值为（）A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．B．C．D．5．“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知A、B分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且△ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则∠ABP的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．30°或120°7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足==λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣3，1]C．[﹣1，1]D．[1，3]8．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4）C．（4，5）D．（0，5）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知复数=a+bi，则a+b=．10．（﹣）8的展开式中x2的系数为．（用数字作答）11．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ=﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为．13．已知f（x）=x3+3x2+6x，f（a）=1，f（b）=﹣9，则a+b的值为．14．若不等式3x2+y2≥mx（x+y）对于∀x，y∈R恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．16．理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表：3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC．（Ⅰ）求PE的长；（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度数．18．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=1，a n=2S n+1（n∈N*）．+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若=3n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点（2，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标．20．设函数f（x）=x2+alnx（a＜0）．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．2017年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，若A∩B={﹣1，2}，则a的值为（）A．﹣2或﹣1 B．0或1 C．﹣2或1 D．0或﹣2【考点】交集及其运算．【分析】由交集定义得到或，由此能求出a的值．【解答】解：∵集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，A∩B={﹣1，2}，∴或，解得a=﹣2或a=1．故选：C．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的取值范围是（）A．[6，22]B．[7，22]C．[8，22]D．[7，23]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件，作可行域如图．由z=3x+2y，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点A，B时，目标函数取得最值，由：，可得A（4，5），由可得B（1，2）时，目标函数取得最小值和最大值，分别为z max=3×4+2×5=22，z min=3×1+2×2=7．目标函数的范围：[7，22]．故选：B．3．在△ABC中，若AB=4，AC=BC=3，则sinC的值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosC的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值．【解答】解：在△ABC中，∵AB=4，AC=BC=3，∴cosC===，∴sinC==．故选：D．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S、i的值，当i=5时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值即可．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0，k=1；k=1，不满足条件i＞4，S=1，i=2；k=，不满足条件i＞4，S=，i=3；k=，不满足条件i＞4，S=，i=4；k=，不满足条件i＞4，S=，i=5；k=，满足条件i＞4，退出循环，输出S=．故选：C．5．“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对x分类讨论，解出不等式|x+1|+|x﹣2|≤5，即可判断出结论．【解答】解：由|x+1|+|x﹣2|≤5，x≥2时，化为2x﹣1≤5，解得2≤x≤3；﹣1≤x＜2时，化为x+1﹣（x﹣2）≤5，化为：3≤5，因此﹣1≤x＜2；x＜﹣1时，化为﹣x﹣1﹣x+2≤5，解得﹣2≤x＜﹣1．综上可得：﹣2≤x≤3．∴“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的充要条件．故选：C．6．已知A、B分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且△ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则∠ABP的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．30°或120°【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2﹣y2=a2，利用△ABP为等腰三角形，分类讨论，即可求出∠ABP的度数．【解答】解：双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2﹣y2=a2，若|AB|=|BP|=2a，设P（m，n），则，∴m=2a，∴∠PBx=60°，∴∠ABP=120°；若|AB|=|AP|=2a，设P（m，n），则，∴m=﹣2a，∴∠PAB=120°，∴∠ABP=30°，故选D．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足==λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣3，1]C．[﹣1，1]D．[1，3]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，建立直角坐标系，求出B，A，D的坐标，利用比例关系和向量的运算求出，的坐标，然后通过二次函数的单调性，求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）．∵满足==λ，λ∈[0，1]，=+=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）=（，）+（1﹣λ）（2，0）=（﹣2λ，）；=+=﹣+（1﹣λ）=（﹣2，0）+（1﹣λ）（，）=（﹣﹣λ，（1﹣λ）），则•=（﹣2λ，）•（﹣﹣λ，（1﹣λ））=（﹣2λ）（﹣﹣λ）+•（1﹣λ）=λ2+λ﹣3=（λ+）2﹣，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣，则[0，1]为增区间，故当λ∈[0，1]时，λ2+λ﹣3∈[﹣3，﹣1]．故选：A．8．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4）C．（4，5）D．（0，5）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则y=f（x）与y=m有五个不同的交点，数形结合可得答案．【解答】解：作出函数的图象，如图所示，关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则y=f（x）与y=m有五个不同的交点，∴0＜m＜4，故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知复数=a+bi，则a+b=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简求出a，b的值，则a+b的答案可求．【解答】解：∵=，∴，．则a+b=．故答案为：2．10．（﹣）8的展开式中x2的系数为70．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．==（﹣1）r，令8﹣=2，解得r=4，【解答】解：T r+1∴展开式中x2的系数==70．故答案为：70．11．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为20cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，如图所示；该几何体的体积为V=×3×4×4﹣××2×3×4=20cm3．故答案为：20．12．在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ=﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】直线l的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y+1=0，圆ρ=﹣4cosθ 即ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2+4x=0，即（x+2）2+y2=4，表示以（﹣2，0）为圆心，半径等于2的圆．∴圆C的圆心到直线l的距离为=，故答案为．13．已知f（x）=x3+3x2+6x，f（a）=1，f（b）=﹣9，则a+b的值为﹣2．【考点】函数的值．【分析】推导出函数f（x）的图象关于（﹣1，﹣4）对称，（a，f（a）），（b，f（b））恰好关于（﹣1，﹣4）对称，由此能求出a+b的值．【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+6x，f（a）=1，f（b）=﹣9，∴f（x）=（x+1）3﹣3x﹣1+6x=（x+1）3+3x﹣1=（x+1）3+3（x+1）﹣4，∴函数f（x）的图象关于（﹣1，﹣4）对称，∵f（a）=1，f（b）=﹣9，∴（a，f（a）），（b，f（b））恰好关于（﹣1，﹣4）对称，∴a+b=﹣2．故答案为：﹣2．14．若不等式3x2+y2≥mx（x+y）对于∀x，y∈R恒成立，则实数m的取值范围是[﹣6，2] ．【考点】函数恒成立问题．【分析】把y当作常数，得出关于x的一元二次不等式（3﹣m）x2﹣my•x+y2≥0恒成立，根据二次函数的性质列出不等式组解出m的范围．【解答】解：∵3x2+y2≥mx（x+y）恒成立，即（3﹣m）x2﹣my•x+y2≥0恒成立，∴，∴，解得﹣6≤m≤2．故答案为[﹣6，2]．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求a的值．（Ⅱ）x∈[0，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求f（x）最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），化简可得：f（x）=sin（2ax﹣）+cos（2ax﹣）+1=cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax+）+1∵函数的最小正周期为．即T=由T=，可得a=2．∴a的值为2．故f（x）=2sin（4x+）+1；（Ⅱ）x∈[0，]时，4x+∈[0，]．当4x+=时，函数f（x）取得最小值为=1．当4x+=时，函数f（x）取得最大值为2×1+1=3∴f（x）在[0，]上的最大值为3，最小值为1．16．理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表：3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人．利用组合数的意义即可得出．（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为0，1，2，3，可得P（X=k）=，即可得出分布列与数学期望计算公式．【解答】解：（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人．可以得到个不同的样本．（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为0，1，2，3，则P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．其X分布列为：数学期望E（X）=0+1×+2×+3×=．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC．（Ⅰ）求PE的长；（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度数．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AC长，从而得到PC长，由此能求出PE．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面PBC．（Ⅲ）求出平面ABE的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的度数．【解答】解：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC，∴AC==，∴PC===，∴PE=PC=．证明：（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2），E（），B（2，0，0），=（），=（2，0，﹣2），=（1，1，﹣2），==0，==0，∴AE⊥PB，AE⊥PC，又PB∩PC=P，∴AE⊥平面PBC．解：（Ⅲ）D（0，1，0），=（2，0，0），=（0，1，0），=（），设平面ABE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣1），设平面ADE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，﹣1），设二面角B﹣AE﹣D的度数为θ，则cosθ===．∴θ=60°，∴二面角B﹣AE﹣D的度数为60°．=2S n+1（n∈N*）．18．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=1，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若=3n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）由条件得a n =2S n ﹣1+1（n ≥2），与条件式相减可得=3，再验证即可得{a n }为等比数列，从而求出通项公式；（II ）化简得b n =（3n ﹣1）•3n ﹣1，使用错位相减法求和即可． 【解答】解：（I ）∵a n +1=2S n +1，∴a n =2S n ﹣1+1，（n ≥2），两式相减得：a n +1﹣a n =2a n ，即=3．又n=1时，a 2=2a 1+1=3，∴，∴{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列． ∴a n =3n ﹣1．（II ）b n =（3n ﹣1）a n =（3n ﹣1）•3n ﹣1， ∴T n =2•30+5•31+8•32+…+（3n ﹣1）•3n ﹣1，① ∴3T n =2•31+5•32+8•33+…+（3n ﹣1）•3n ，② ∴﹣2T n =2+32+33+34+…+3n ﹣（3n ﹣1）•3n=﹣1﹣（3n ﹣1）•3n =（）•3n ﹣，∴T n =（﹣）•3n +．19．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）经过点（2，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P （x ，y ）是椭圆E 上的动点，M （2，0）为一定点，求|PM |的最小值及取得最小值时P 点的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意求得2b=a ，将点（2，1），代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）利用两点之间的距离公式，求得丨PM 丨2=（x ﹣2）2+y 2，由P 在椭圆上，则y 2=4﹣，代入利用二次函数的性质，即可求得|PM |的最小值及P 点坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2b=a ，将（2，1）代入椭圆方程：，解得：b2=4，a2=16，∴椭圆E的方程；（Ⅱ）由丨PM丨2=（x﹣2）2+y2，由P（x，y）在椭圆上，（﹣4≤x≤4）则y2=4﹣，∴丨PM丨2=x2﹣4x+4+4﹣=x﹣4x+8=（x+）+，∴当x=﹣时，丨PM丨取最小值，最小值为，∴当x=﹣，解得：y=±，∴|PM|的最小值，P点的坐标（﹣，±）．20．设函数f（x）=x2+alnx（a＜0）．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，即有a的方程，解方程可得a的值；（2）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可【解答】解：（1）函数f（x）=x2+alnx的导数为f′（x）=x+，由函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，可得2+=，解得a=﹣3；（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，当a＜0时，f′（x）=，当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．综上，当a＜0时，f（x）的增区间是（，+∞），减区间是（0，）；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x2+（1﹣a）x=﹣x2+（1﹣a）x+alnx，x＞0，问题等价于求函数F（x）的零点个数．当a≤﹣1时，F′（x）=﹣x+1﹣a+=﹣，由a=﹣1时，F′（x）≤0，F（x）递减，由F（3）=﹣+6﹣ln3=﹣ln3＞0，F（4）=﹣8+8﹣ln4＜0，由零点存在定理可得F（x）在（3，4）内存在一个零点；当a＜﹣1时，即﹣a＞1时，F（x）在（0，1）递减，（1，﹣a）递增，（﹣a，+∞）递减，由极小值F（1）=﹣+（1﹣a）+aln1=﹣a＞0，极大值F（﹣a）=﹣a2+a2﹣a+aln（﹣a）=a2﹣a+aln（﹣a）＞0，由x→+∞时，F（x）→﹣∞，可得F（x）存在一个零点．综上可得，当a≤﹣1时，f（x）与g（x）图象交点的个数为1．。