信息安全数学基本第一阶段知识归纳
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信息安全数学基础第一阶段知识总结
第一章 整数的可除性
一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念
定义1 设a 、b 是两个整数,其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立,就称b 整除a 或者a 被b 整除,记作b|a ,并把b 叫作a 的因数,把a 叫作b 的倍数.这时,q 也是a 的因数,我们常常将q 写成a /b 或
否则,就称b 不能整除a 或者a 不能被b 整除,记作a b.
2整除的基本性质
(1)当b 遍历整数a 的所有因数时,-b 也遍历整数a 的所有因数. (2)当b 遍历整数a 的所有因数时,a/b 也遍历整数a 的所有因数. (3)设b ,c 都是非零整数, (i)若b|a ,则|b|||a|. (ii)若b|a ,则bc|ac.
(iii)若b|a ,则1<|b|≤|a|. 3整除的相关定理
(1) 设a ,b ≠0,c ≠0是三个整数.若c|b ,b|a ,则c|a. (2) 设a ,b ,c ≠0是三个整数,若c|a ,c|b ,则c|a ±b
(3) 设a ,b ,c 是三个整数.若c|a ,c|b 则对任意整数s ,t ,有c|sa+tb. (4) 若整数a 1 , …,a n 都是整数c ≠0的倍数,则对任意n 个整数s 1,…,
a
b
n
n a s a s ++ 11
s n,整数是c的倍数
(5) 设a,b都是非零整数.若a|b,b|a,则a=±b
(6) 设a, b , c是三个整数,且b≠0,c ≠0,如果(a , c)=1,则(ab , c)=(b , c)
(7) 设a , b , c是三个整数,且c≠0,如果c|ab , (a , c) = 1, 则c |
b.
(8) 设p 是素数,若p |ab , 则p |a或p|b
(9) 设a1 , …,a n是n个整数,p是素数,若p| a1…a n,则p一定整除某一个a k
二整数的表示
主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化.
三最大公因数和最小公倍数
(一)最大公因数
1.最大公因数的概念
定义:设是个整数,若使得,则称为的一个因数.公因数中最大的一个称为的最大公因数.记作.
若,则称互素.
若,则称两两互素.
思考:1.由两两互素,能否导出
2.由能否导出两两互素?
2.最大公因数的存在性
(1)若不全为零,则最大公因数存在并且
(2)若全为零,则任何整数都是它的公因数.这时,它们没有最大公因数.
3.求两个正整数的最大公因数.
定理1:设任意三个不全为零的整数,且则
辗转相除法
由带余除法得
(1)
……
因为每进行一次带余除法,余数至少减少1,且是有限整数,故经过有限次带余除法后,总可以得到一个余数是零的情况,即
由(1)知,
定理2:任意两个正整数,则是(1)中最后一个不等于零的余数.
定理3:任意两个正整数的任意公因数都是的因数.4.性质
定理4:任意两个正整数,则存在整数,使得成立
定理5:设是不全为零的整数.
(i)若则
(ii)若则
(iii)若是任意整数,则
从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论:
①
②且
③
④
5.求两个以上正整数的最大公因数
设
则有下面的定理:
定理6:若是个正整数,则
只需证①是的一个公因数.②是的公因数中最大一个
例求
解:
6.求两个正整数的最大公因数的线性组合(重点掌握)
方法一运用辗转相除法求最大公因数的逆过程;
方法二补充的方法
方法三运用列表法求解
(二) 最小公倍数
1.最小公倍数的定义
定义:是个整数,如果对于整数,有
,那么叫做的一个公倍数.在的一切公倍数中最小一个正整数,叫做最小公倍
数.记作.
2.最小公倍数的性质.
定理1:设是任给的两个正整数,则
(i)的所有公倍数都是的倍数.
(ii)
定理2:设正整数是的一个公倍数,则
3.求两个以上整数的最小公倍数
定理3:设是个正整数, 若
则
只需证:①是的一个公倍数,即,
②设是的任一公倍数,则
例1 求
解:
又
四素数算术基本定理
1.素数、合数的概念
定义:一个大于1的整数,如果它的正因数只有1和它的本身,我们就称它为素数,否则就称为合数.
2.性质
定理1:设是大于1的整数,则至少有一个素因数,并且当是合数时,若是它大于1的最小正因数,则
p ,都有定理2设n是一个正整数,如果对所有地素数n
p n,则n一定是素数.
求素数的基本方法:爱拉托斯散筛法。
定理3:设是素数,是任意整数,则
(i) 或(ii) 若则或
3.素数的个数
定理4:素数的个数是无穷的.
4.算术基本定理
定理5任一整数n>1都可以表示成素数的乘积,且在不考虑乘积顺序的情况下,该表达式是唯一的.即
n= p1…p s , p1≤…≤p s , (1)
其中p i是素数,并且若n = q1…q t , q1≤…≤q t , 其中q j是素数,则s= t , p i = q j, 1 ≤i ≤s.
推论1:设是任一大于1的整数,且
为素数,且则是的正因数的充分必要条件是
推论2:且
为素数.则
第二章同余
一同余概念和基本性质
<一>、同余的定义.
定义:如果用去除两个整数所得的余数相同,则称