大学物理-11第十一讲简谐振动、振动能量、旋转矢量法

kxv

0
d2x dt 2

k m
x

0
22
课堂练习
例：轻弹簧下端挂一重物时伸长 l =9.8cm。若给物体 一向下的瞬时冲力，使它具有1m/s的向下速度，它就 上下振动起来。试证明物体作简谐振动，并写出振动 方程式。
解：取物体的平衡位置为原点
o，则 mgkl 0
k
当物体运动至某点 x时，有
例如：♥ 当 2 k k 0 ， 1 ， 2 ， ,
◆两振动同相。即 x
1
两运动完全同步。
2
t
♥ 当 2 k 1 k 0 ， 1 ， 2 ， ,
x
12
◆两振动反相。 t
8
谐振动的位移、速度、加速度 之间的相位的关系
v x A A c so in ( tst ( )) A c o s( t )
力使 减小.

mgsinmldd2t2
很小，sin mg
ml
d2
dt2
l m
f mg
d 2
dt 2

g
l

0
角谐振动
解为 0cos(t)
g T 2 l
l
g
12
例：如图所示装置，轻弹簧k =50N/m，滑轮 M =1kg,
半径 R =0.2m，物体 m =1.5kg。若将物体由平衡位置
变化。
E1m2A2 1kA2
2
2
EK
1kA2sin2t
2
t
EP1 2kA2cos2t 21
◎若某振动系统的机械能守恒，则该运动必为简谐
振动。
1mv2 1kx2 E 22
E = const
等式两边对 t 求导 mvdv kxdx 0 dt dt
即
mv
d2x dt2
X
P
xAcos(t)
◆可用该旋转矢量末端的投影点 P 的运动来表示简 谐振动。
16
旋转矢量法的应用
1.确定初位相 ●由初始位置 x0 确定旋转矢量两个可能的位置。 （特殊情况下只有一个位置） ●根据初始速度方向，由旋转矢量两个可能的位 置中确定初始位置，从而找出初相.。
A

Ox
17
例：确定下列情况的初位相 (a) 已知 t = 0 时，x = -A。 (b) 已知 t = 0时，x = 0，且向 x 轴正方向运动。 (c) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴负方向运动。 (d) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴正方向运动。
a rc ta n ( 1 ) 4 5或 1 3 5
确定初位相 ：
x0 Acos v0Asin
而 v0 > 0， 45(315)
11
例：确定单摆固有角频率及周期T。 设摆角 很小.
解：重力的切向分量 f mgsin
切向加速度
a

l
d 2 dt2
负号是由于
= =3 /2


= 2 /3
A

= 4 /3

AO x
Ox
A
O x Ox
A
(a)
(b )
(c)
(d )
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2.确定振动方程
t 1
例：已知一简谐振动的位移时间曲
线如图所示，写出振动方程。 解：从图中可知
A / 2 t
o x
A2cm
t
0,
x0
A, 2
v0
◆任何复杂的振动都是由简谐振动合成的，简谐振 动是其他振动的基础。
一、弹簧振子
◎弹簧振子的运动是典型的简谐振动。 弹簧振子模型：
轻弹簧+质点m。质点只在弹 力的作用下运动。
f
X
ox
2
简谐振动的特点
受力
f

kx

m
d2x dt2

d2x dt2

k m
x

0
k 2 m
谐振动微分方程 简谐振动的位移
说明同一周期中不存 在完全相同的两个运 动状态。 ●两个相同的运动状
态之间的相位差为2
的整数倍。
xT
v
a
t1 t2
t
t
t3 t4 t
6
关于位相的应用举例
x A c o s ( t )
1. 确定任一时刻 t 物体的振动状态。
例：已知 t1时刻，t1+ =/2，则可得出 x 0 ,v A ,a 0 .
F浮
水l2gx

m
d2x dt2
mg 水bl2g（由平衡状态得）
b
x

d2x dt2

2x 0
谐振动
g b
mg
X
15
§5-3 简谐振动的旋转矢量法
作一长度为A、以 旋转的 旋转矢量 A
Y
A( t )
矢量与 x 轴的夹角
t
矢量末端投影点的坐标为

1m2A2cos2t
2
振动总能 EEKEP1 2m 2A21 2kA2
20
讨论
●振动动能和势能均随时间作周期性变化，周期均
为 T/2，取值范围
0~1kA2(1m2A2)
22
●动能与势能的位相相反，动能最大时，势能为零；
势能最大时，动能为零。 ●振动总能量不随时间
E EK EP
向上托起0.15m后突然放手，证明物体作简谐振动, 并
写出振动方程。 解：在平衡位置 o 处有
mgkx0 0
k
T2 M
o
T1
m
离o点 x 处时 T2 kx0x
m:mgT1ma M: T1T2R12MR2 aR
解方程得
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
简谐振动
13
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
d2x dt 2


2
x

0

k 5rad/s T 2 1.26s
m(1/2)m

初始条件 t 0 ， x 0 0 .1 5 m ， v 0 0
A x02v02 x0 0.15m
x 0 A c o s A c o s 1
即
mgkxlmddt22x
v0 m
d2x dt 2

k m
x

0
说明物体作简谐振动。
m
o
X
23
xAcost
k/m g/l 1 0 rads 1
初始条件： t0 ： x00 ， v0 1 m s 1
A x0 2 (v0/ )20 (1 /1 0 )20 .1 m v t0 an A sv in x 00 0 10 1 0s in 0 2 2
0
x(cm )
2
t 0
t1, x0, v0
1
0
1
1
t(s)
2/3 7/6 2
x2cos 76t32cm t 1 , t 7/6
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§6-4 简谐振子的能量
振动动能 E K1 2m v21 2m 2A 2sin2t 振动势能 E P1 2kx21 2kA 2cos2t
2
a A 2 c o s (t ) A 2 c o s (t )
● v 比 x 超前 /2，a 比 x 超前 或 a与x反相。
xva
t
9
四、初位相
● t = 0 时，t + = 。 称为初位相。
●振幅 A和初位相 可由初始条件决定。
设 t0:xx0,vv0
振动方程 x0.15cos5tmxAcost
14
例：边长l的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分 的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运 动。忽略水的阻力，证明木块作谐振动。 解：以水面为原点建立坐标OX。
任意时刻 F浮水(bx)l2g mgF浮ma
水 b l2g水 l2(bx)gm a
振动方程为 x0.1cos10t2m
24
作业 习题四：
25
弹簧 振子
i uq
第六章 机械振动
振荡 + +
X 电路 - -
t
振动是自然界中的一种普遍运动形式—周期运动
振动的一般概念：一个物理量在某一定值附近作 周期性变化，则相应的运动称为振动。如电磁波、 交流电等。
机械振动—物体在平衡位置附近作来回往复地周 期运动，简称振动。
1
§6-1 简谐振动
◆简谐振动是一切振动中最基本、最简单的振动形 式。
TT
百度文库
弹簧振子的周期
T 2 m k
k 2 m
●仅由振子本身的力学性质决定，称固有周期。
◆ 和分别称固有频率和固有圆频率。
4
三、简谐振动的振幅和位相
振幅 A—质点离开平衡位置的最大位移。
振动的位相（周相）— t + ●当 A、 一定时，在任一时刻t，振动状态完全取 决于量t +。（相表示状态）
位相的概念和意义 ●一定的位相对应着一个确定的运动状态。 ◆在一个周期内，物体所经历的运动状态各不相同，
不可能重复。
原因： t + 的取值在一个周期内单值地经历从 0 —2 的变化。
5
一周期内的状态分析
xAcots
vA sint
aA2cost
同一周期内找不到x， v，a 三量全同的两点.
xddt22xAcos2(xt 0)定 谐义 振式 动
vdxAsin t()
dt
advA2cos(t)
dt
f 回复力
X
ox
3
二、简谐振动的周期性，周期、频率
● 简谐振动的位移、速度、加速度均为时间的周 期函数，且
T2 ,
1, 22
则 x 0 A c o s,v 0 A s in
所以
A
x02


v0

2



arctan

v0
x0

10
例：一谐振动 x0= 0.707cm，v0= 7.07cm/s， =10/s, 求初相.
解： arctan( vx 00)arctan(10 7.0 0 .7 707)
◎ t1时刻质点恰过平衡位置，并以速率 A向负方
向运动；
2.由位相差确定同一时刻，不同物体的振动状态的 差别。
设 m 1:1 t1 , m 2:2 t2 ，则位相差
(2 t 2 ) (1 t 1 ) (2 1 ) t (2 1 )
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