大学物理-11第十一讲简谐振动、振动能量、旋转矢量法
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简谐运动的旋转矢量描述法
π
4
A g a'*
h' * g'* *
t f O b*' T T f'* 3T T 5T
e
c' 4* 2*e' 4
4
-A
d*'
T 2 （旋转矢量旋转一周所需的时间）
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
二、旋转矢量法对相位的表示
若某时刻t，测得质点的位移为x =A/2，向OX轴负方
简谐运动的旋转 矢量表示法
一、简谐运动的旋转矢量表示法
P
t=t
t+
o
A t=0
A
x·
x
x Aco（s t ）
x Aco（s t ）
旋 转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
x Acos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
x
Ah
a
bO
c -Ad
x
x Acos(t )
向运动
M
A
O 3P
X
M
三、旋转矢量法对相位差的表示
A2
A1
O
相位差 2 1 2kπ
x
(k 0，1， 2,)
两个振动同相，步调相同
A1
O
A2
相位差 2 1 (2k 1)π
x
(k 0，1,)
两个振动反相，步调相反
例题 两个同方向、同频率的谐振动，频率为2s-1，
当第一个振子从平衡位置向正向运振动的相位差。
解：
2 1
A 2
t
o
旋转矢量法简谐运动的动力学能量实例
旋转矢量的长度表示振动的振幅，矢 量的角度表示相位，通过旋转矢量的 旋转速度和方向可以描述简谐运动的 特性。
旋转矢量与简谐运动的关联
旋转矢量与简谐运动的振动方向和速度相关联，通过旋转矢量的几何特性可以推 导出简谐运动的振动方程和能量表达式。
旋转矢量法可以直观地表示简谐运动的振动形式，帮助理解振动的合成与分解， 以及振动在不同方向上的表现。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，旋转矢量法在简谐运动研究中 的应用将更加广泛和深入。未来可以进Байду номын сангаас步探索旋转矢量 法在其他领域的应用，如量子力学、光学等。
未来研究可以进一步优化旋转矢量法的计算方法和可视化 效果，提高其精度和直观性，以更好地服务于科学研究和 技术创新。
THANKS
感谢观看
旋转矢量法简介
01
旋转矢量法是一种描述简谐运动 的直观方法，通过引入一个旋转 矢量来表示振动的状态。
02
旋转矢量具有长度和方向，分别 对应振动的振幅和相位，矢量的 旋转速度则与角频率有关。
02
旋转矢量法在简谐运动中的应用
旋转矢量表示
旋转矢量表示是一种用于描述简谐运 动的几何方法，通过引入一个旋转矢 量来表示简谐运动的相位和振幅。
简谐运动的定义
简谐运动
物体在一定力的作用下，以一定的初速度做周期 性往复运动。
描述参数
振幅、角频率、初相角、周期等。
实例
单摆、弹簧振子等。
简谐运动的数学模型
微分方程
$mfrac{d^2x}{dt^2}
+
cfrac{dx}{dt} + kx = F$
旋转矢量法
通过旋转矢量表示简谐运动的相 位和振幅，简化分析过程。
旋转矢量与简谐运动的关联
旋转矢量与简谐运动的振动方向和速度相关联，通过旋转矢量的几何特性可以推 导出简谐运动的振动方程和能量表达式。
旋转矢量法可以直观地表示简谐运动的振动形式，帮助理解振动的合成与分解， 以及振动在不同方向上的表现。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，旋转矢量法在简谐运动研究中 的应用将更加广泛和深入。未来可以进Байду номын сангаас步探索旋转矢量 法在其他领域的应用，如量子力学、光学等。
未来研究可以进一步优化旋转矢量法的计算方法和可视化 效果，提高其精度和直观性，以更好地服务于科学研究和 技术创新。
THANKS
感谢观看
旋转矢量法简介
01
旋转矢量法是一种描述简谐运动 的直观方法，通过引入一个旋转 矢量来表示振动的状态。
02
旋转矢量具有长度和方向，分别 对应振动的振幅和相位，矢量的 旋转速度则与角频率有关。
02
旋转矢量法在简谐运动中的应用
旋转矢量表示
旋转矢量表示是一种用于描述简谐运 动的几何方法，通过引入一个旋转矢 量来表示简谐运动的相位和振幅。
简谐运动的定义
简谐运动
物体在一定力的作用下，以一定的初速度做周期 性往复运动。
描述参数
振幅、角频率、初相角、周期等。
实例
单摆、弹簧振子等。
简谐运动的数学模型
微分方程
$mfrac{d^2x}{dt^2}
+
cfrac{dx}{dt} + kx = F$
旋转矢量法
通过旋转矢量表示简谐运动的相 位和振幅，简化分析过程。
旋转矢量法(干货分享)
2A x
a
o
2
A
v
3
4 t
例：一质点沿 x 轴作简谐振动，振幅 A = 0.12m，周期 T = 2s，当 t = 0 时， x0 = 0.06m，此时质点向 x 轴正向运动。求： （1）此简谐振动的表达式； （2）从初始时刻开始第一次通过平衡位置所需时间。 （3）ｔ=T/4时质点的 位置、速度和加速度； （4）从 x = - 0.06m 向 x 轴负向运动，第一次回到平衡位置所需的时间（思 考？）。
解：
2
1
23 6
质点 ２ 的振动超前质点 １的振动613xO
A
2
2
比较一下简谐运动的位移、速度、加速度的相位关系。
xA cots()
A si n t ()Acost(π)
aA 2cost()A 2cots( 2π)
速度的相位比位移的相位超前π/2 ，加速度的相位比位
x,v,a 移的相位超前π/2 。
5t
32 6
t
0.83(s)
y
x
o A3
求：（3）ｔ= T/4 时刻质点的位置、速度和加速度；
解： 由 振 动x表 0.1达 c2o式 st()： m ()
可 得 A ： si n t ( )
3
0.12sin(t-)(m/s)
3
aA 2cost()
0.062cots()(m /s2)
x0Acos
A 在 轴上的
x x 投影点的运 动为简谐运
动。
t t 时
A
t
o 以 为
原点旋转矢
量 的端点 A 在 轴上的
o
x x 投影点的运 动为简谐运
动。
xAcots()
简谐振动能量 旋转矢量
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos(t1 ) x2 Acos(t2 )
(t2 ) (t1 )
t
t2
t1
第九章 振 动
17
物理学
第五版
x
A A2
o
A
a
b
v
9-2简谐振动的能量 旋转矢量
t A
tb
x o A ta A
例 如图，求质点振动式
x/cm
4
2
0
1
t/s
第九章 振 动
34
cos(t) x 1
A2
t π 或 5π
33
由旋转矢量图可知 t π
3
v A sint
A
o A Ax
2
0.26m s1 （负号表示速度沿 Ox轴负方向）
第九章 振 动
32
物理学
9-2简谐振动的能量 旋转矢量
第五版
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
第九章 振 动
26
物理学
第五版
9-2简谐振动的能量 旋转矢量
x 0.08cos(π t π) 0.04 0.08cos(π t π)
23
23
t
arccos(
1) 2
π 3
解
A＇
x02
v02
2
0.0707m
简谐振动旋转矢量法
v d x 0.24sin 6.0t dt
sin 6.0t 1 cos2 6.0t
1
1
2
3
2 2
依题意, v＜0
v 0.24 3 0.208 m s1 2
§5.2 简谐运动的旋转矢量 表示法
旋转矢量表示法
t
x
P
• 旋转矢量A的模即为简谐运 动的振幅.
• 旋转矢量A与x轴的夹角(t+)
x Acos(t )
简谐运动方程中的三
2
)
)
T 2
频率 : 单位时间内完成的振动次数.
1. 描述振动强弱的物理量
振幅 A : 离开平衡位置的 最远距离.
单位: m
2. 描述振动快慢的物理量
周期 T : 往复振动一次所 经历的时间.
单位: s
1
单位: 赫兹(Hz, 1/s)
2
初相: arctan( v0 )
x0
A 和 完全由初始条件决定. 的取值不唯一, 并与坐标正
方向的选取有关.
例1: 轻弹簧一端固定, 另一端连 接一个物块. 整个系统位于水平 面内, 系统的角频率为6.0s-1. 将 物体沿水平向右拉到 x0= 0.04 m 处再释放, 试求: (1)简谐运动表 达式; (2)物体从初始位置起第 一次经过A/2处时的速度.
间的变化规律满足简谐运 t=0时的相位, 描述初始时刻的振动状态, 与初始条件有关.
振子沿 x 轴负方向运动
动方程, 或遵从余(正)弦规 旋转矢量 的角速度 即为振动的角频率.
单位: 弧度/秒(rad/s)
律, 一般来说, 这一物理量 振幅 A : 离开平衡位置的最远距离.
旋转矢量 旋转一周, P点完成一次全振动.
sin 6.0t 1 cos2 6.0t
1
1
2
3
2 2
依题意, v＜0
v 0.24 3 0.208 m s1 2
§5.2 简谐运动的旋转矢量 表示法
旋转矢量表示法
t
x
P
• 旋转矢量A的模即为简谐运 动的振幅.
• 旋转矢量A与x轴的夹角(t+)
x Acos(t )
简谐运动方程中的三
2
)
)
T 2
频率 : 单位时间内完成的振动次数.
1. 描述振动强弱的物理量
振幅 A : 离开平衡位置的 最远距离.
单位: m
2. 描述振动快慢的物理量
周期 T : 往复振动一次所 经历的时间.
单位: s
1
单位: 赫兹(Hz, 1/s)
2
初相: arctan( v0 )
x0
A 和 完全由初始条件决定. 的取值不唯一, 并与坐标正
方向的选取有关.
例1: 轻弹簧一端固定, 另一端连 接一个物块. 整个系统位于水平 面内, 系统的角频率为6.0s-1. 将 物体沿水平向右拉到 x0= 0.04 m 处再释放, 试求: (1)简谐运动表 达式; (2)物体从初始位置起第 一次经过A/2处时的速度.
间的变化规律满足简谐运 t=0时的相位, 描述初始时刻的振动状态, 与初始条件有关.
振子沿 x 轴负方向运动
动方程, 或遵从余(正)弦规 旋转矢量 的角速度 即为振动的角频率.
单位: 弧度/秒(rad/s)
律, 一般来说, 这一物理量 振幅 A : 离开平衡位置的最远距离.
旋转矢量 旋转一周, P点完成一次全振动.
物理-简谐振动的基本特征与旋转矢量图示法
研究简谐振动的重要性
机械振动的分类（从振动形式分） 连续振动、非连续振动； 周期振动、非周期振动…；
最简单、最基本的振动 —— 简谐运动.
简谐运动
合成 分解
复杂振动
机械振动第一讲
简谐振动的基本特征 旋转矢量图示法
一、简谐振动的定义
简谐振动
物体运动过程中，如果离开平衡位置的位 移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数） 的规律随时间变化的运动，称为简谐振动。
三、简谐振动的三个特征量
4、振幅(A)与初相()的确定
设
注意 应根据
的符号确定 的象限范围。
三、简谐振动的三个特征量
讨论：两个同频谐振动的振动步调关系
谐振动1 x1 A1 cos(t 1 )
谐振动2 x2 A2 cos(t 2 )
相位差 (t 2 ) (t 1) 2 1
x
1）若 2 1 0
2
x轴负方向运动，而质点2在-A处。
试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差，及 两个质点第一次通过平衡位置的时刻。
四、简谐振动的旋转矢量图示法
小结：用旋转矢量法求相位或相位差的
O
x
第一步：由质点的位移x的值确定旋转矢量动端投影点 在x轴上的位置；
第二步：过该点作x轴的垂线，与矢量参考圆交于两点； 第三步：由质点振动速度的方向确定旋转矢量的位置。
运动学方程： 2、圆频率（ω）
最小正周期
完成一次全振动所需的时间
振动周期
振动频率 （系统固有）
三、简谐振动的三个特征量
运动学方程：
3、初相（ ）
振动速度 振动加速度
若A与确定：物体在t时刻的（x,v,a） 仅由( t + ) 决定。 称( t + ) 为物体在 t 时刻振动的相位(或)。 t =0 时的相位 ——初相位（或初相）
大学物理旋转矢量法课件
dt t 0.5
t 0.5
3 t0.5
（3）若在某时刻质点位于x=-0.06m，且向x轴负方向运动，求 从该位置回到平衡位置所需最短时间
旋转矢量法 2
平衡位置处：
3
3
2
v
A 2 3 2 x o
D 3 2 5 2 36
也可用公式法计算
Dt D 5 (s) 6
应用 1.求解相位 （0）
四.谐振动的矢量图表示法(旋转矢量表示法)
ωM A
t o
O
P
x
表示
A A0
ω
振幅M
初相位
0ω
x
t o
圆频P率x
相位
x Acos(t 0 )
逆时针转动
ω
A
M
t o
o
0P
x
结论： 投影点P的运动为谐振动
2021/6/3
A
0
t 0
旋转矢量
简谐运动
模长（半径）
振幅
角速度
角频率
初始角位置 角位置
初相位 相位
匀速运动
变速运动
2021/6/3
结论：旋转矢量法在求解相位时很方便
t 0
xω
x
A
o
t
A 转动方向（逆时针）
2021/6/3
谐振子速度方向
已知如图振动曲线 求：初相位
x 解：
x
0
A
2
o
t
利用旋转矢量法得
0 3
例题、 一质点沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s.当
t=0时, 位移为0.06m，且向x轴正方向运动.求(1)振动方程； (2)t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度；（3）若在某时刻质
大学物理课后答案第十一章
第十一章 机械振动一、基本要求1．掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。
2. 掌握描述简谐运动的运动方程，理解振动位移，振)cos(0ϕω+=t A x 幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。
能根据给出的初始条件求振幅和初位相。
3. 掌握旋转矢量法。
4. 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。
二、基本内容1. 振动 物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。
如果物体振动的位置满足，则该物体的运动称为周期性运动。
否则称为非周)()(T t x t x +=期运动。
但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。
振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。
一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。
2. 简谐振动 简谐振动是一种周期性的振动过程。
它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。
简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。
（1）简谐振动表达式反映了作简谐振动的物体位移随时间)cos(0ϕω+=t A x 的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。
但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须涉及到的物理量、、（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量A ω0ϕ确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由对应地t 得到。
2cos()sin(00πϕωωϕωω++=+-=t A t A v )cos()cos(0202πϕωωϕωω±+=+-=t A t A a （2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即，它是判定一个系统的运动过程kx F -=是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。
§3.2 简谐振动的旋转矢量图示【VIP专享】
F kx m 2x
(0.01kg)(π s1)2 (0.069m) 1.70103 N
2
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04m (0.08m) cos[(π s1)t π ]
sin0 0
0
3
简谐振动表达式 x 0.12cos( t ) m
3
因为
（2）由简谐振动的运动方程 x 0.12cos( t ) m
3
可得
v dx 0.12 sin( t ) m/s
dt
3
a dv 0.12 2 cos( t ) m/s2
dt
3
在t =T/4=0.5s时，可得
x (0.08m) cos[(π s1)t π ] 3
2
3
v0 0
π
3
A
π3
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x (0.08m) cos[(π s1)t π ]
2
3
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
2
3
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
cos( t ) 1
23 2
t 2 或 4
233 3
又因为第一次到达- 0.04m处时，v 0
即v A sin(t ) 0
23
所以t 2
23 3
t 2s 3
(0.01kg)(π s1)2 (0.069m) 1.70103 N
2
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04m (0.08m) cos[(π s1)t π ]
sin0 0
0
3
简谐振动表达式 x 0.12cos( t ) m
3
因为
（2）由简谐振动的运动方程 x 0.12cos( t ) m
3
可得
v dx 0.12 sin( t ) m/s
dt
3
a dv 0.12 2 cos( t ) m/s2
dt
3
在t =T/4=0.5s时，可得
x (0.08m) cos[(π s1)t π ] 3
2
3
v0 0
π
3
A
π3
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x (0.08m) cos[(π s1)t π ]
2
3
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
2
3
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
cos( t ) 1
23 2
t 2 或 4
233 3
又因为第一次到达- 0.04m处时，v 0
即v A sin(t ) 0
23
所以t 2
23 3
t 2s 3
8.2 简谐运动的旋转矢量表示法
x
ω
当
t =0
时
v A
以 o为 原点旋转矢
v 量 A的端点
在
o
x0 = A cos
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动。
ω
t =t 时
v A
以 o为 原点旋转矢
ωt +
v 量 A的端点
o
x = A cos(ωt + )
x
在
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动。
简谐振动特征量与旋转矢量模型的比较
A
t= 0
x
x = 4 cos(πt + ) 3
π
t = 1s
时的矢 量位置
的物体作简谐运动， 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x = 0.04m 轴负方向运动（如图）。 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）。 试求 （1 ） t 物体所处的位置和所受的力； = 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
[例] 已知简谐振动，A=4cm，ν = 0.5 Hz, t =1s时， 例 已知简谐振动， ， 时 x =-2cm且向 正向运动。写出简谐振动的表达式。 且向x正向运动 且向 正向运动。写出简谐振动的表达式。 解：由题意，T=2s，t =1s=T/2 。 由题意， ， 由图， = π/3 。 由图，
A
π 3
ω
x/m
0.08
o
0.04
π 1 π x = ( 0.08 m ) cos[( s )t + ] 2 3
t=1s=T/4
A
0.08 0.04
π6
A
简谐振动-旋转矢量法
简谐振动的运动学函数应是复数 z 的实部
即
x Re[ Aei( t ) ]
用复数表示振动，有时在处理复杂振动过程中很方 便；最终只取实部(可观察物理量只可能是实量)。
复数法在光学、电工学等专业领域中被广泛运用
四、旋转矢量法
旋转矢量法
当t 0 时
A
o
x0 x
x0 Acos
t t 时
o
A
t
x
x
A1 o
o
A
A2
A A1 A2
Tt
结论
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相Байду номын сангаас：
2 1 2k k 0,1, 2,
A A1 A2
若两分振动反相位:
两分振动相互加强
2 1 (2k 1) k 0,1, 2,
A A1 A2
两分振动相互减弱
再若 A1= A2 , 则 A= 0
简谐振动的描述方法有多种∶代数法、曲线表 示法、旋转矢量法、复数法等等。
一、代数法
x Acos(t )
振幅 系统固有角频率 相位 初相位 其中，振幅、角频率、初相是简谐振动的特征量
二、图示法： （振动曲线）
x Acos(t 0 )
三、复数法
z Aei( t )
由欧拉公式 ei cos i sin
sin2 (2 1)
y
2） 2 1 π
y A2 x A1
3）2 1 π 2
x A2
o A1
x2 A12
y2 A22
1
x A1 cost
y
A2
cos(t
π) 2
A2 y
高二物理竞赛课件：简谐振动的旋转矢量投影表示法
初位相确定简谐振动在初始时刻的运动状态。 l
位相 (t) = t + —物体在任一时刻的位相。
位相确定简谐振动在任意时刻的运动状态。
周期T —物体完成一次全振动所用的时间。
频率 — 单位时间内物体完成全振动的次数。
说明：
1.周期、频率和角频率(圆频率)三者关系： T 1 2
2. 一个系统自由振动的周期和频率完全由这个系统本 身的性质决定，该频率称为固有频率。 3. 频率的单位是赫兹 (Hz)，角频率的单位与角速度相 同，均为弧度/秒(rad/s)，周期的单位是秒 (s).
/ )2
A2
A
x
2 0
v0
2
②/①有：tg v0 / A v0
x0 / A
x 0
(周期为 )
在 0—2 之间有两个解，但只有一个解符合要求，
为此要根据初始条件 x0、v0 的正负来判断和取舍。
二、简谐振动的旋转矢量法
在平面上作坐标轴OX, 由原点O作长度等于振幅的矢量 A.
t = 0, 矢 量与坐标轴夹角等于初相 0 = .
A2
x2 A2 cos(t 2 )
x A1
(t 2 ) (t 1) A 0
A
2 1
0同步 x
o
t
1
2
2
超前
π 反相
为其它
落后
x
o
1 0
x
A/ 2
o
2
1
3
或
1
5 3
t
t
2 0, 振动2比振动1超前4 / 3
或 0, 振动2比振动1落后2 / 3
例1. 计算下列情况的初位相
应用
(1) 用旋转矢量法确定谐振动的初位相 .
位相 (t) = t + —物体在任一时刻的位相。
位相确定简谐振动在任意时刻的运动状态。
周期T —物体完成一次全振动所用的时间。
频率 — 单位时间内物体完成全振动的次数。
说明：
1.周期、频率和角频率(圆频率)三者关系： T 1 2
2. 一个系统自由振动的周期和频率完全由这个系统本 身的性质决定，该频率称为固有频率。 3. 频率的单位是赫兹 (Hz)，角频率的单位与角速度相 同，均为弧度/秒(rad/s)，周期的单位是秒 (s).
/ )2
A2
A
x
2 0
v0
2
②/①有：tg v0 / A v0
x0 / A
x 0
(周期为 )
在 0—2 之间有两个解，但只有一个解符合要求，
为此要根据初始条件 x0、v0 的正负来判断和取舍。
二、简谐振动的旋转矢量法
在平面上作坐标轴OX, 由原点O作长度等于振幅的矢量 A.
t = 0, 矢 量与坐标轴夹角等于初相 0 = .
A2
x2 A2 cos(t 2 )
x A1
(t 2 ) (t 1) A 0
A
2 1
0同步 x
o
t
1
2
2
超前
π 反相
为其它
落后
x
o
1 0
x
A/ 2
o
2
1
3
或
1
5 3
t
t
2 0, 振动2比振动1超前4 / 3
或 0, 振动2比振动1落后2 / 3
例1. 计算下列情况的初位相
应用
(1) 用旋转矢量法确定谐振动的初位相 .
简谐振动旋转矢量表示法
3
加速度为：
a 2 A cos(t ) 0.12 2 cos( t )
3
第十第一1章3页/振共1动7页
13
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
将t=T/4=0.5s分别代入位移、速度、加 速度的公式，得：
x 0.104m v 0.188m / s
a 1.03m / s2
A
t 时刻
x/m
0.12 0.06 o π0.06 0.12
3
A
起始时刻
第十第一1章4页/振共1动7页
14
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
（2）从初始时刻开始第一次通过平衡位 置的时刻.
通过平衡位置时，x=0，则由位移公式：
0 0.12 cos(t )
3
所以：t (2k 1) , k 1, 2,
x A cos(t )
v A sin(t )
相位 (位相) (t) t
初相位 t 0时，(t)
相位的意义: 表征任意时刻（t）物体振动状态
（相貌）. 物体经一周期的振动，相位改变 2π .
第十一第章6页/共振17动页
6
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
3
简谐运动表达式为：
x 0.12 cos( t )
3
0.12 0.06 o π0.06 0.12
v0
0,
3
3
A
x/m
第十第一1章2页/振共1动7页
12
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
（2）t T / 4 时，质点的位置、速度、加速度
加速度为：
a 2 A cos(t ) 0.12 2 cos( t )
3
第十第一1章3页/振共1动7页
13
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
将t=T/4=0.5s分别代入位移、速度、加 速度的公式，得：
x 0.104m v 0.188m / s
a 1.03m / s2
A
t 时刻
x/m
0.12 0.06 o π0.06 0.12
3
A
起始时刻
第十第一1章4页/振共1动7页
14
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
（2）从初始时刻开始第一次通过平衡位 置的时刻.
通过平衡位置时，x=0，则由位移公式：
0 0.12 cos(t )
3
所以：t (2k 1) , k 1, 2,
x A cos(t )
v A sin(t )
相位 (位相) (t) t
初相位 t 0时，(t)
相位的意义: 表征任意时刻（t）物体振动状态
（相貌）. 物体经一周期的振动，相位改变 2π .
第十一第章6页/共振17动页
6
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
3
简谐运动表达式为：
x 0.12 cos( t )
3
0.12 0.06 o π0.06 0.12
v0
0,
3
3
A
x/m
第十第一1章2页/振共1动7页
12
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
（2）t T / 4 时，质点的位置、速度、加速度
10-1 简谐振动的矢量图示法
速度v <0
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
C
x = 0.12 cos (πｔ-π/3 ) (m)
如不用参考圆只用数学式解题：
由
x = A cos (ωｔ+ φ)
已知 A= 0.12m , T= 2s → ω= π
则 x = 0.12 cos (πｔ+ φ) φ= ?
t = 0 时 x=0.06m: 0.06 = 0.12cosφ →
cosφ = 0.5 → φ= ±π/3
简谐振动的矢量图示法
简谐振动的矢量图示法
A 的长度
振幅A
A旋转的角速度
振动圆频率 O
ω
M
A
t 0
P
X
x
A 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向x 的夹角 振动相位
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
矢量OM 的端点 M 所画的圆叫参考圆。 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置，它与 x 轴的夹角φ叫初相位。 简谐振动的参考圆和矢量表示方法十分形
x
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
C
x = 0.12 cos (πｔ-π/3 ) (m)
如不用参考圆只用数学式解题：
由
x = A cos (ωｔ+ φ)
已知 A= 0.12m , T= 2s → ω= π
则 x = 0.12 cos (πｔ+ φ) φ= ?
t = 0 时 x=0.06m: 0.06 = 0.12cosφ →
cosφ = 0.5 → φ= ±π/3
简谐振动的矢量图示法
简谐振动的矢量图示法
A 的长度
振幅A
A旋转的角速度
振动圆频率 O
ω
M
A
t 0
P
X
x
A 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向x 的夹角 振动相位
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
矢量OM 的端点 M 所画的圆叫参考圆。 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置，它与 x 轴的夹角φ叫初相位。 简谐振动的参考圆和矢量表示方法十分形
x
简谐振动的旋转矢量图示法
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, December 13, 20201
3-Dec-2020.12.13
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1301:46:0113 December 202001:46
6.0t
3
OA
2
x
v 0.3sin( ) 0.3 3 0.26 m/s
3
2
(3) 由初始条件，t=0,v0=0.30m/s, x0=0.05m,可得
A
x02
v02
2
0.0707 m
0
arctan（
v0 ）= arctan（1）
x0
0
4
或
3
4
0.05
由旋转矢量
0
4
O
x
运动方程
x 0.0707 cos(6.0t ) m
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 01:46:0 101:46: 0101:4 6Sunda y, December 13, 2020
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1301:4 6:0101: 46:01D ecembe r 13, 2020
t2
3
3
2
t2 1.83s
因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间：
t t2 t1 0.83s
解法二(旋转矢量法）:
(1)
0
O
x = 0.06m x t=0时旋转矢量
0
5
3
或
3
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振动方程 x0.15cos5tmxAcost
14
例：边长l的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分 的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运 动。忽略水的阻力，证明木块作谐振动。 解：以水面为原点建立坐标OX。
任意时刻 F浮水(bx)l2g mgF浮ma
水 b l2g水 l2(bx)gm a
力使 减小.
mgsinmldd2t2
很小，sin mg
ml
d2
dt2
l m
f mg
d 2
dt 2
g
l
0
角谐振动
解为 0cos(t)
g T 2 l
l
g
12
例：如图所示装置，轻弹簧k =50N/m，滑轮 M =1kg,
半径 R =0.2m，物体 m =1.5kg。若将物体由平衡位置
X
P
xAcos(t)
◆可用该旋转矢量末端的投影点 P 的运动来表示简 谐振动。
16
旋转矢量法的应用
1.确定初位相 ●由初始位置 x0 确定旋转矢量两个可能的位置。 （特殊情况下只有一个位置） ●根据初始速度方向，由旋转矢量两个可能的位 置中确定初始位置，从而找出初相.。
A
Ox
17
例：确定下列情况的初位相 (a) 已知 t = 0 时，x = -A。 (b) 已知 t = 0时，x = 0，且向 x 轴正方向运动。 (c) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴负方向运动。 (d) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴正方向运动。
13
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
d2x dt 2
2
x
0
k 5rad/s T 2 1.26s
m(1/2)m
初始条件 t 0 ， x 0 0 .1 5 m ， v 0 0
A x02v02 x0 0.15m
x 0 A c o s A c o s 1
例如：♥ 当 2 k k 0 ， 1 ， 2 ， ,
◆两振动同相。即 x
1
两运动完全同步。
2
t
♥ 当 2 k 1 k 0 ， 1 ， 2 ， ,
x
12
◆两振动反相。 t
8
谐振动的位移、速度、加速度 之间的相位的关系
v x A A c so in ( tst ( )) A c o s( t )
则 x 0 A c o s,v 0 A s in
所以
A
x02
v0
2
arctan
v0
x0
10
例：一谐振动 x0= 0.707cm，v0= 7.07cm/s， =10/s, 求初相.
解： arctan( vx 00)arctan(10 7.0 0 .7 707)
弹簧 振子
i uq
第六章 机械振动
振荡 + +
X 电路 - -
t
振动是自然界中的一种普遍运动形式—周期运动
振动的一般概念：一个物理量在某一定值附近作 周期性变化，则相应的运动称为振动。如电磁波、 交流电等。
机械振动—物体在平衡位置附近作来回往复地周 期运动，简称振动。
1
§6-1 简谐振动
◆简谐振动是一切振动中最基本、最简单的振动形 式。
◆任何复杂的振动都是由简谐振动合成的，简谐振 动是其他振动的基础。
一、弹簧振子
◎弹簧振子的运动是典型的简谐振动。 弹簧振子模型：
轻弹簧+质点m。质点只在弹 力的作用下运动。
f
X
ox
2
简谐振动的特点
受力
f
kx
m
d2x dt2
d2x dt2
k m
x
0
k 2 m
谐振动微分方程 简谐振动的位移
向上托起0.15m后突然放手，证明物体作简谐振动, 并
写出振动方程。 解：在平衡位置 o 处有
mgkx0 0
k
T2 M
o
T1
m
离o点 x 处时 T2 kx0x
m:mgT1ma M: T1T2R12MR2 aR
解方程得
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
简谐振动
振动方程为 x0.1cos10t2m
24
作业 习题四：
25
◎ t1时刻质点恰过平衡位置，并以速率 A向负方
向运动；
2.由位相差确定同一时刻，不同物体的振动状态的 差别。
设 m 1:1 t1 , m 2:2 t2 ，则位相差
(2 t 2 ) (1 t 1 ) (2 1 ) t (2 1 )
7
即
mgkxlmddt22x
v0 m
d2x dt 2
k m
x
0
说明物体作简谐振动。
m
o
X
23
xAcost
k/m g/l 1 0 rads 1
初始条件： t0 ： x00 ， v0 1 m s 1
A x0 2 (v0/ )20 (1 /1 0 )20 .1 m v t0 an A sv in x 00 0 10 1 0s in 0 2 2
a rc ta n ( 1 ) 4 5或 1 3 5
确定初位相 ：
x0 Acos v0Asin
而 v0 > 0， 45(315)
11
例：确定单摆固有角频率及周期T。 设摆角 很小.
解：重力的切向分量 f mgsin
切向加速度
a
l
d 2 dt2
负号是由于
1m2A2cos2t
2
振动总能 EEKEP1 2m 2A21 2kA2
20
讨论
●振动动能和势能均随时间作周期性变化，周期均
为 T/2，取值范围
0~1kA2(1m2A2)
22
●动能与势能的位相相反，动能最大时，势能为零；
势能最大时，动能为零。 ●振动总能量不随时间
E EK EP
TT
弹簧振子的周期
T 2 m k
k 2 m
●仅由振子本身的力学性质决定，称固有周期。
◆ 和分别称固有频率和固有圆频率。
4
三、简谐振动的振幅和位相
振幅 A—质点离开平衡位置的最大位移。
振动的位相（周相）— t + ●当 A、 一定时，在任一时刻t，振动状态完全取 决于量t +。（相表示状态）
说明同一周期中不存 在完全相同的两个运 动状态。 ●两个相同的运动状
态之间的相位差为2
的整数倍。
xT
v
a
t1 t2
t
t
t3 t4 t
6
关于位相的应用举例
x A c o s ( t )
1. 确定任一时刻 t 物体的振动状态。
例：已知 t1时刻，t1+ =/2，则可得出 x 0 ,v A ,a 0 .
2
a A 2 c o s (t ) A 2 c o s (t )
● v 比 x 超前 /2，a 比 x 超前 或 a与x反相。
xva
t
9
四、初位相
● t = 0 时，t + = 。 称为初位相。
●振幅 A和初位相 可由初始条件决定。
设 t0:xx0,vv0
kxv
0
d2x dt 2
k m
x
0
22
课堂练习
例：轻弹簧下端挂一重物时伸长 l =9.8cm。若给物体 一向下的瞬时冲力，使它具有1m/s的向下速度，它就 上下振动起来。试证明物体作简谐振动，并写出振动 方程式。
解：取物体的平衡位置为原点
o，则 mgkl 0
k
当物体运动至某点 x时，有
xddt22xAcos2(xt 0)定 谐义 振式 动
vdxAsin t()
dt
advA2cos(t)
dt
f 回复力
X
ox
3
二、简谐振动的周期性，周期、频率
● 简谐振动的位移、速度、加速度均为时间的周 期函数，且
T2 ,
1, 22
F浮
水l2gx
m
d2x dt2
mg 水bl2g（由平衡状态得）
b
x
d2x dt2
2x 0
谐振动
g b
mg
X
15
§5-3 简谐振动的旋转矢量法
作一长度为A、以 旋转的 旋转矢量 A
Y
A( t )
矢量与 x 轴的夹角
t
矢量末端投影点的坐标为
位相的概念和意义 ●一定的位相对应着一个确定的运动状态。 ◆在一个周期内，物体所经历的运动状态各不相同，
不可能重复。
原因： t + 的取值在一个周期内单值地经历从 0 —2 的变化。
5
一周பைடு நூலகம்内的状态分析
xAcots
vA sint
aA2cost
同一周期内找不到x， v，a 三量全同的两点.
0
x(cm )
2
t 0
t1, x0, v0
1
0
1
1
t(s)
2/3 7/6 2
x2cos 76t32cm t 1 , t 7/6
19
§6-4 简谐振子的能量
14
例：边长l的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分 的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运 动。忽略水的阻力，证明木块作谐振动。 解：以水面为原点建立坐标OX。
任意时刻 F浮水(bx)l2g mgF浮ma
水 b l2g水 l2(bx)gm a
力使 减小.
mgsinmldd2t2
很小，sin mg
ml
d2
dt2
l m
f mg
d 2
dt 2
g
l
0
角谐振动
解为 0cos(t)
g T 2 l
l
g
12
例：如图所示装置，轻弹簧k =50N/m，滑轮 M =1kg,
半径 R =0.2m，物体 m =1.5kg。若将物体由平衡位置
X
P
xAcos(t)
◆可用该旋转矢量末端的投影点 P 的运动来表示简 谐振动。
16
旋转矢量法的应用
1.确定初位相 ●由初始位置 x0 确定旋转矢量两个可能的位置。 （特殊情况下只有一个位置） ●根据初始速度方向，由旋转矢量两个可能的位 置中确定初始位置，从而找出初相.。
A
Ox
17
例：确定下列情况的初位相 (a) 已知 t = 0 时，x = -A。 (b) 已知 t = 0时，x = 0，且向 x 轴正方向运动。 (c) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴负方向运动。 (d) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴正方向运动。
13
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
d2x dt 2
2
x
0
k 5rad/s T 2 1.26s
m(1/2)m
初始条件 t 0 ， x 0 0 .1 5 m ， v 0 0
A x02v02 x0 0.15m
x 0 A c o s A c o s 1
例如：♥ 当 2 k k 0 ， 1 ， 2 ， ,
◆两振动同相。即 x
1
两运动完全同步。
2
t
♥ 当 2 k 1 k 0 ， 1 ， 2 ， ,
x
12
◆两振动反相。 t
8
谐振动的位移、速度、加速度 之间的相位的关系
v x A A c so in ( tst ( )) A c o s( t )
则 x 0 A c o s,v 0 A s in
所以
A
x02
v0
2
arctan
v0
x0
10
例：一谐振动 x0= 0.707cm，v0= 7.07cm/s， =10/s, 求初相.
解： arctan( vx 00)arctan(10 7.0 0 .7 707)
弹簧 振子
i uq
第六章 机械振动
振荡 + +
X 电路 - -
t
振动是自然界中的一种普遍运动形式—周期运动
振动的一般概念：一个物理量在某一定值附近作 周期性变化，则相应的运动称为振动。如电磁波、 交流电等。
机械振动—物体在平衡位置附近作来回往复地周 期运动，简称振动。
1
§6-1 简谐振动
◆简谐振动是一切振动中最基本、最简单的振动形 式。
◆任何复杂的振动都是由简谐振动合成的，简谐振 动是其他振动的基础。
一、弹簧振子
◎弹簧振子的运动是典型的简谐振动。 弹簧振子模型：
轻弹簧+质点m。质点只在弹 力的作用下运动。
f
X
ox
2
简谐振动的特点
受力
f
kx
m
d2x dt2
d2x dt2
k m
x
0
k 2 m
谐振动微分方程 简谐振动的位移
向上托起0.15m后突然放手，证明物体作简谐振动, 并
写出振动方程。 解：在平衡位置 o 处有
mgkx0 0
k
T2 M
o
T1
m
离o点 x 处时 T2 kx0x
m:mgT1ma M: T1T2R12MR2 aR
解方程得
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
简谐振动
振动方程为 x0.1cos10t2m
24
作业 习题四：
25
◎ t1时刻质点恰过平衡位置，并以速率 A向负方
向运动；
2.由位相差确定同一时刻，不同物体的振动状态的 差别。
设 m 1:1 t1 , m 2:2 t2 ，则位相差
(2 t 2 ) (1 t 1 ) (2 1 ) t (2 1 )
7
即
mgkxlmddt22x
v0 m
d2x dt 2
k m
x
0
说明物体作简谐振动。
m
o
X
23
xAcost
k/m g/l 1 0 rads 1
初始条件： t0 ： x00 ， v0 1 m s 1
A x0 2 (v0/ )20 (1 /1 0 )20 .1 m v t0 an A sv in x 00 0 10 1 0s in 0 2 2
a rc ta n ( 1 ) 4 5或 1 3 5
确定初位相 ：
x0 Acos v0Asin
而 v0 > 0， 45(315)
11
例：确定单摆固有角频率及周期T。 设摆角 很小.
解：重力的切向分量 f mgsin
切向加速度
a
l
d 2 dt2
负号是由于
1m2A2cos2t
2
振动总能 EEKEP1 2m 2A21 2kA2
20
讨论
●振动动能和势能均随时间作周期性变化，周期均
为 T/2，取值范围
0~1kA2(1m2A2)
22
●动能与势能的位相相反，动能最大时，势能为零；
势能最大时，动能为零。 ●振动总能量不随时间
E EK EP
TT
弹簧振子的周期
T 2 m k
k 2 m
●仅由振子本身的力学性质决定，称固有周期。
◆ 和分别称固有频率和固有圆频率。
4
三、简谐振动的振幅和位相
振幅 A—质点离开平衡位置的最大位移。
振动的位相（周相）— t + ●当 A、 一定时，在任一时刻t，振动状态完全取 决于量t +。（相表示状态）
说明同一周期中不存 在完全相同的两个运 动状态。 ●两个相同的运动状
态之间的相位差为2
的整数倍。
xT
v
a
t1 t2
t
t
t3 t4 t
6
关于位相的应用举例
x A c o s ( t )
1. 确定任一时刻 t 物体的振动状态。
例：已知 t1时刻，t1+ =/2，则可得出 x 0 ,v A ,a 0 .
2
a A 2 c o s (t ) A 2 c o s (t )
● v 比 x 超前 /2，a 比 x 超前 或 a与x反相。
xva
t
9
四、初位相
● t = 0 时，t + = 。 称为初位相。
●振幅 A和初位相 可由初始条件决定。
设 t0:xx0,vv0
kxv
0
d2x dt 2
k m
x
0
22
课堂练习
例：轻弹簧下端挂一重物时伸长 l =9.8cm。若给物体 一向下的瞬时冲力，使它具有1m/s的向下速度，它就 上下振动起来。试证明物体作简谐振动，并写出振动 方程式。
解：取物体的平衡位置为原点
o，则 mgkl 0
k
当物体运动至某点 x时，有
xddt22xAcos2(xt 0)定 谐义 振式 动
vdxAsin t()
dt
advA2cos(t)
dt
f 回复力
X
ox
3
二、简谐振动的周期性，周期、频率
● 简谐振动的位移、速度、加速度均为时间的周 期函数，且
T2 ,
1, 22
F浮
水l2gx
m
d2x dt2
mg 水bl2g（由平衡状态得）
b
x
d2x dt2
2x 0
谐振动
g b
mg
X
15
§5-3 简谐振动的旋转矢量法
作一长度为A、以 旋转的 旋转矢量 A
Y
A( t )
矢量与 x 轴的夹角
t
矢量末端投影点的坐标为
位相的概念和意义 ●一定的位相对应着一个确定的运动状态。 ◆在一个周期内，物体所经历的运动状态各不相同，
不可能重复。
原因： t + 的取值在一个周期内单值地经历从 0 —2 的变化。
5
一周பைடு நூலகம்内的状态分析
xAcots
vA sint
aA2cost
同一周期内找不到x， v，a 三量全同的两点.
0
x(cm )
2
t 0
t1, x0, v0
1
0
1
1
t(s)
2/3 7/6 2
x2cos 76t32cm t 1 , t 7/6
19
§6-4 简谐振子的能量